*2. Konsep ErrorAnalisis Numerik

*

*ErrorJika adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a maka selisih dengan a disebut dengan error. = a error lebih berarti jika diketahui perbandingan dengan nilai aslinya yang disebut error relatif :R = / a atau R = / a x 100%Untuk kasus dimana nilai asli sulit didapatkan, sehingga digunakan nilai hampiran hasil iterasi : RA = (ar+1 ar) / ar+1

*

*Sumber Utama ErrorRound-off Error

diakibatkan keterbatasan komputer menyimpan detail bilangan riil.Panjang bilangan yang melebihi kemampuan media penyimpanan akan dibulatkan (ke atas)Truncation Error

Diakibatkan oleh adanya penghentian komputasi tak hingga menjadi berbatas.Digunakan hampiran sebagai pengganti formula yang eksak.

*Angka PentingAngka yang dapat digunakan secara pasti.Angka penting akan terlihat dengan pasti jika ditulis dalam notasi ilmiah. Jumlah angka penting terletak pada jumlah digit mantis.

*Bilangan Floating PointFormula bilangan floating point :

a = + m x b + pDimana :m = mantis(riil)b = basis p = pangkat (bilangan bulat positif)Format standar floating point :

Single (32 bit)Double (64 bit)Setiap format terdiri 3 field (sign bit,eksponen bit dan fraction bit)

*Bilangan Floating Point Ternormalisasi

Untuk menyeragamkan penyajian Agar semua digit mantis merupakan angka pentingFormat :a = + m x b + p = +0.d1d2d3d4..dn x b + p dengan syarat 1

*Epsilon MesinSetiap komputer memiliki kemampuan menyimpan detail bilangan positif terkecil.Epsilon mesin () didefinisikan sebagai bilangan positif terkecil sedemikian sehingga 1 + > 1Gap (x) adalah jarak antara sebuah bilangan floating point dengan bilangan floating point berikutnya, formulanya :

x = x RR adalah bilangan floating point sekarang.

*Epsilon Mesin (Cont.)Gambar Rentang Bilangan Floating Point

1Negative overflow

2ExpressibleNegative numbers

3Negative underflow

4Zero

5Positive underflow

6ExpressiblePositive numbers

7Positive overflow

-1099

-10-100

0

10-100

1099

*Pembulatan pada Floating PointPemenggalan (chopping)

Digit bilangan yang lebih banyak daripada digit mantis komputer akan mengalami pemenggalana = +0.d1d2d3dndn+1 x 10+p Dengan n digit mantis pada komputer akan menjadi :flchop(a) = +0.d1d2d3dn x 10+p

Contoh :

Bilangan = 0.31415926535897. x 100Pada komputer dengan mantis 7 bit menjadi flchop() = 0.3141592 x 100error = 0.000000065

Bilangan biner untuk hasil 1/10 (basis 10) = (0.00011001100110011)2Dinormalkan dan dipenggal dengan mantis 32 bit : flchop(1/10) (0.11001100110011001100110011001100 )2 x 2-3 maksimum error pemenggalan adalah x.

*Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)Bilangan basis 10

a = +0.d1d2d3dndn+1 x 10+p Pembulatan dengan n digit mantis menjadi : flround(a) = +0.d1d2d3z x 10+pZ dalam hal ini :z =dn jika dn+1 < 5 dn + 1 jika dn+1 > 5dn jika dn+1 = 5 dan n genapdn + 1 jika dn+1 = 5 dan n ganjilContoh :

Bilangan basis 10 = 0.31415926535897. x 100 flround() = 0.3141593 x 100Bilangan basis 2 Batas maksimum galat : x /2Pembulatan pada Floating Point (Cont.)

*Error mutlak ke digit terdekat :| a fl(a) | = | +0.d1d2d3dndn+1 x 10+p - +0.d1d2d3dn x 10+p | < ( x 10n ) x 10+p= ( x 10n ) x a/m (karena 10+p = a/m) < 5a x 10-nPembulatan pada Floating Point (Cont.)

*Aritmatika Bilangan Floating PointTeorema pada Aritmatika Bilangan Floating point.Jika a dan b adalah bilangan floating point maka :

i) fl(a + b) = (a + b)(1 + 1)fl(a b) = (a b)(1 + 2)fl(ab) = (ab)(1 + 3)fl(a/b) = (a/b)(1 + 4)Yang dalam hal ini | i | < 5 x 10-n = e, i = 1,2,3,4

*Operasi Penjumlahan & Pengurangan Harus ada penyamaan pangkat : kiri atau kanan ?Geser kiri kehilangan bit pentingGeser kanan kehilangan lebih sedikit bit penting (error lebih kecil ?)Penjumlahan bilangan kecil ke besar menyebabkan error pembulatan hilang angka penting akibat pergeseranPengurangan 2 bilangan yang hampir sama menghasilkan bilangan nol pada digit mantis yang paling penting

Aritmatika Bilangan Floating Point (Cont.)

*Perkalian dan pembagian tidak memerlukan penyamaan pangkat

Aritmatika Bilangan Floating Point (Cont.)

*Perambatan ErrorPada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun.Menyebabkan hasil yang menyimpang dari sebenarnya kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik)Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir.Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.

*Ketidakstabilan Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai akibat metode komputasi yang dipilih.Contoh :

F(x) =x ((x+1)- x), hitung f(500) sampai 6 angka penting, solusi asli =11.174755300747198F(x) = (x+1)- x, hitung f(12345) sampai 6 angka penting , solusi asli = 0.00450003262627751Cari akar-akar polinom x2 40x + 2 = 0 sampai 4 angka pentingF(x) = (ex -1- x) / x2 hitung f(0.01) sampai angka 6 penting

*Kondisi Buruk Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data atau error pembulatan.Contoh :

x2 -4x + 3.999 = 0 akar-akar x1 = 2.032 dan x2 = 1.968x2 -4x + 4.000 = 0 akar-akar x1 = x2 = 2.000x2 -4x + 4.001 = 0 akar-akarnya imajiner

*Bilangan Kondisi Bilangan kondisi didefinisikan sebagai :

Bilangan Kondisi = |RA [f()]/ RA ()| = | f(a)/f()|Arti bilangan kondisi :Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif xBilangan kondisi >1, galat relatif hampiran diperkuatBilangan kondisi