3. Grupos Libres y Productos Libres de Gru- postesis.uson.mx/digital/tesis/docs/18960/Capitulo3.pdfest a bien de nida ya que el producto es nito y Aes un grupo abeliano as que no depende

3. Grupos Libres y Productos Libres de Gru-

pos

Esta seccion del trabajo esta basado el los libros [4] y [2].

3.1. Producto Debil de Grupos Abelianos

Definicion 3.1. Sean G1, G2 grupos. Definimos

G1 ×G2 = {(g1, g2) : g1 ∈ G1, g2 ∈ G2}

y definimos el operador en el mismo por la regla

(g1, g2) (g′1, g′2) = (g1g

′1, g2g

′2)

Observacion 3.2. G1 ×G2 es un grupo.

Demostracion.

Cerradura Sean (g1, g2), (g′1, g′2) ∈ G1×G2, entonces por definicion tenemos

que g1, g′1 ∈ G1 y g2, g

′2 ∈ G2 entonces g1g

′1 ∈ G1 y g2g

′2 ∈ G2 asi que

(g1g′1, g2g

′2) ∈ G1 ×G2.

Asociatividad Sean (g1, g2), (g′1, g′2), (g1, g2) ∈ G1×G2, entonces (g1g

′1) g1 =

g1 (g′1g1) y analogamente (g2g′2) g2 = g2 (g′2g2) ası que

((g1, g2) (g′1, g′2)) (g1, g2) = (g1g

′1, g2g

′2) (g1, g2)

= ((g1g′1) g1, (g2g

′2) g2)

= (g1 (g′1g1) , g2 (g′2g2))

= (g1, g2) ((g′1g1) , (g′2g2)) .

Neutro Sean 11 y 12 los elementos neutros de los grupos G1 y G2 respecti-vamente, entonces (11, 12) ∈ G1 × G2 y ademas es su elemento neutropues si (g1, g2) ∈ G1 ×G2 entonces

(11, 12) (g1, g2) = (11g1, 12, g2) = (g1, g2)(g1, g2) (11, 12) = (g111, g212) = (g1, g2)

45

3.1 Producto Debil de Grupos Abelianos

Inverso Sea (g1, g2) ∈ G1 × G2, entonces tambien(g−1

1 , g−12

)∈ G1 × G2,

veamos que(g−1

1 , g−12

)= (g1, g2)−1(

g−11 , g−1

2

)(g1, g2) =

(g−1

1 g1, g−12 g2

)= (11, 12)

(g1, g2)(g−1

1 , g−12

)=(g1g−11 , g2g

−12

)= (11, 12)

De manera analoga podemos definir el producto de los grupos {Gi}ni=1 de-

notado porn∏i=1

Gi o por G1×G2×...×Gn. Tambien el producto de una familia

numerable de grupos {Gi}∞i=1 este denotado por∞∏i=1

Gi en ambos casos defin-

imos el producto componente a componente. Ahora definimos el producto defamilas arbitrarias de grupos.

Notacion 3.3. En futuras ocaciones denotaremos 1 al elemento identidaddel grupo G, en cado de haber una familia {Gi}i∈I de grupos denotaremos 1ial elemento identidad en el grupo Gi.

Definicion 3.4. Sea {Gi}i∈I una familia arbitraria de grupos. Sea∏i∈IGi su

producto cartesiano, es decir,∏i∈I

Gi =

{f : I →

⋃i∈I

Gi : ∀i ∈ I, f (i) ∈ Gi

}Y definimos el producto componente a componente,(f · g) (i) = f (i) g (i) para

cada i ∈ I. A

(∏i∈IGi, ·

)se le llama producto directo o producto cartesiano

de la familia {Gi}i∈I .

Observacion 3.5. Si {Gi}i∈I es una familia de grupos abelianos entonces∏i∈IGi tambien lo es.

Demostracion. Sean f, g ∈∏i∈IGi entonces veamos que fg = gf . Sea i ∈ I,

entonces fg (i) = f (i) g (i) = g (i) f (i) = gf (i).Dada una familia arbitraria de grupos {Gi}i∈I , su producto debil se define

como el subgrupo de su producto directo∏i∈IGi formado por los elementos g

tales que g (i) es el neutro enGi excepto para una cantidad finita de elementosde I. Formalmente lo definimos ası

46


Definicion 3.6. Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y sea

G =

{f ∈

∏i∈I

Gi : f (i) = 1i excepto para una cantidad finita de elementos de I

}.

Entonces llamaremos a G el producto debil de {Gi}i∈I .

Observacion 3.7. El producto debil es un subgrupo del producto directo.

Demostracion. Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y sea G su productodebil, entonces solo tendremos que probar que para cualquiera dos elementosf, g ∈ G, se tiene que fg−1 ∈ G.

Sean f, g ∈ G entonces digamos que Ff , Fg son los conjuntos finitos de Itales que para cualquier i 6∈ Ff , f (i) = 1i y para cualquier i 6∈ Fg, g (i) = 1i,ası el conjunto de elementos i donde g−1 (i) 6= 1i es Fg tambien. Por otrolado hay que notar que Ff ∪ Fg es finito, y ademas si i 6∈ Ff ∪ Fg entoncescomo i 6∈ Ff se tiene que f (i) = 1i y i 6∈ Fg tenemos g−1 (i) = 1i con estoprobamos que para cualquier i 6∈ Ff ∪Fg fg−1 (i) = 1i entonces fg−1 ∈ G.

Observacion 3.8. Si los Gi son abelianos y la operacion de los grupos esaditiva, al producto debil suele llamarsele suma directa y se denota por ⊕.

Observacion 3.9. Si {Gi}i∈I es una familia finita de grupos entonces suproducto debil y su producto directo coinciden.

Proposicion 3.10. Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y sea G su productodebil, o producto directo, entonces para cualquier i ∈ I, la funcion ϕi : Gi →G definido de la siguiente forma, para cada j ∈ I, y x ∈ Gi

(ϕi (x)) (j) =

{x si j = i1 si j 6= i

es un monomorfismo.

Demostracion. Tenemos que probar que ϕi es homomorfismo y que es unoa uno.

ϕi es un homomorfismo. Veamos ambos casos si j = i tenemos que

(ϕi (xy)) (j) = xy = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j)

Si j 6= i tenemos

(ϕi (xy)) (j) = 1 = 1 · 1 = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j)

47


ϕi es inyectiva. Como ϕi es un homomorfismo, es suficiente con mostrarque ϕ−1

i (1) = {1i}. Sea x ∈ ϕ−1i (1), entonces ϕi (x) = 1 o bien

(ϕi (x)) (j) = 1j para cualquier j ∈ I. Si tomamos en particular j = itenemos que x = (ϕi (x)) (i) = 1i.

Definicion 3.11. A los ϕi como en la proposicion anterior se le llamanmonomorfismos naturales.

En el caso de que cada Gi sea abeliano el teorema siguiente da una car-acterizacion importante de su producto debil y de sus monomorfismos natu-rales.

Teorema 3.12. Si {Gi}i∈I es una coleccion de grupos abelianos y G es suproducto debil entonces dado un grupo abeliano A y dada una coleccion dehomomorfismos {ψi : Gi → A}i∈I existe un unico homomorfismo ψ : G→ Atal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta

Giϕi //

ψi��

G

ψ~~~~~~

~~~~

A

Demostracion. Si f ∈ G, sea {ij}nj=i ⊂ I el conjunto finito donde se cumpleque f (ij) 6= 1 que existe por definicion de producto debil, entonces definimosψ : G→ A de la siguiente manera

ψ (f) =n∏j=1

ψij (f (ij))

ψ esta bien definida ya que el producto es finito y A es un grupo abelianoası que no depende el orden en el que se tomen los {ij}.

Podemos observar que si {kj}mj=i ⊃ {ij}nj=i entonces ψ (f) =

m∏j=1

ψim (f (km))

pues para los elementos kj 6∈ {ij}nj=i se tiene que f (kj) = 1 y ası tambien,por ser ψin un homomorfismo, ψij (f (ij)) = 1 y entonces no afectara en elproducto.

Ahora probamos que ψ es un homomorfismo. Sean f1, f2 ∈ G y sea {ij}nj=ilos ındices para los cuales f1 (ij) 6= 1 o f2 (ij) 6= 1.

48


Por la observacion anterior tenemos

ψ (f1) =n∏j=1

ψij (f1 (ij))

ψ (f2) =n∏j=1

ψij (f2 (ij))

Ahora calculemos ψ (f1f2)

ψ (f1f2) =n∏j=1

ψij (f1f2 (ij))

=n∏j=1

ψij (f1 (ij) f2 (ij))

=n∏j=1

ψij (f1 (ij))ψij (f2 (ij))

=n∏j=1

ψij (f1 (ij))n∏j=1

ψij (f2 (ij))

= ψ (f1)ψ (f2)

Ahora veamos que el diagrama conmuta, tenemos que probar que para cualquieri ∈ I se tiene que ψϕi = ψi. Tomemos x ∈ G entonces por definicion tenemos

ϕi (x) (j) =

{x si i = j1 si i 6= j

entonces aplicando ψ tenemos que

ψϕi (x) = ψi (x)

ası que el diagrama conmuta.Ahora la unicidad, sea ψ′ : G→ A un homomorfismo que hace conmutar

el diagrama.Sea f ∈ G probaremos la siguiente igualdad

f =∏i∈I

(ϕi (f (i))) (1)

49


para ello tomemos j ∈ I arbitraria, notemos que

ϕi (f (i)) (j) =

{f (j) si i = j

1 si i 6= j

luego (∏i∈I

ϕi (f (i))

)(j) =

∏i∈I

(ϕi (f (i))) (j) = f (j)

para cada j ∈ I por lo tanto probamos (1). Entonces

ψ′ (f) = ψ′

(∏i∈I

ϕi (f (i))

)=

∏i∈I

ψ′ (ϕi (f (i)))

=∏i∈I

ψi (f (i))

= ψ (f)

Se sigue que ψ′ = ψ y el teorema queda demostrado.

Al teorema anterior se le suele llamar propiedad universal del productodebil de grupos abelianos.

La siguiente proposicion establece que el teorema 3.12 caracteriza el pro-ducto debil de grupos abelianos.

Proposicion 3.13. Sea {Gi}i∈I una coleccion de grupos abelianos y G suproducto debil. Sea G′ un grupo abeliano arbitrario y ϕ′i : Gi → G′ unacoleccion de homomorfismos tal que el teorema 3.12 sea valido al sustituirG y ϕi respectivamente por G′ y ϕ′i, entonces existe un unico isomorfismoh : G→ G′ tal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta

Giϕi //

ϕ′i��

G

h~~~~~~

~~~~

G′

(2)

Demostracion. Por el teorema 3.12 tenemos que existe un homomorfismoh que hace conmutar el diagrama 2. Por otra parte, el teorema 3.12 tambien

50


se aplica a G′ y ϕ′i por las hipotesis de la proposicion 3.13 ası que tenemosel siguiente diagrama conmutativo

Gi

ϕ′i //

ϕi

��

G′

k~~}}}}

}}}}

G

(3)

Si unimos los diagramas 2 y 3 tenemos

G

h��

G′

k��

Gi

ϕi>>}}}}}}}}

ϕ′i

//

ϕi AAA

AAAA

A G′

k��

Gi

ϕ′i>>}}}}}}}}

ϕi//

ϕ′i AAA

AAAA

A G

h��

G G′

y por lo tanto los siguientes diagramas conmutan

Giϕi //

ϕi

��

G

k◦h~~~~~~

~~~~

Gi

ϕ′i //

ϕ′i��

G′

h◦k~~}}}}

}}}}

G G′

Por otro lado, es claro que

Giϕi //

ϕi

��

G

IdG~~~~~~

~~~~

G

conmuta. Y por la unicidad del teorema 3.12 tenemos que

kh = IdG

hk = IdG′

Con esto h posee una funcion inversa ası que h es un isomorfismo.

Observacion 3.14. Puesto que cada ϕi es un monomorfismo, podemos iden-tificar Gi con su imagen en G por ϕi, y considerar ϕi como una inclusioncuando sea conveniente. Ası que en este caso diremos que G es el productodebil de los grupos Gi entendiendose que ϕi es una inclusion.

51

3.2 Grupos Abelianos Libres

3.2. Grupos Abelianos Libres

Definicion 3.15. Sea G un grupo. Sea S ⊂ G. Se dice que S genera a G sitodo elemento de G puede escribirse como producto de potencias de elementosde S. Ademas si S es finito diremos que G es finitamente generado.

Observacion 3.16. Si G es un grupo, y S ⊂ G entonces S genera a G si ysolo si S no esta contenido en algun subgrupo propio de G.

Demostracion. Sea 〈S〉 = {sm11 sm2

2 · · · smkk : mi ∈ Z, si ∈ S, k ∈ N}

Supongamos que existe un subgrupo propio H de G tal que S ⊂ H. Porlas propiedades de ceradura bajo producto e inversos de H tenemos que

〈S〉 ⊂ H

como H es propio de G tenemos que existe g ∈ G tal que g 6∈ 〈S〉 ası que g nose puede escribir como producto de potencias de elementos de S y entoncesS no genera a G.

Ahora supongamos que S no genera a G entonces 〈S〉 6= G y es claro queS ⊂ 〈S〉 y ademas que 〈S〉 es un subgrupo de G ası que ya acabamos.

Ejemplo 3.17. Si G es un grupo cıclico de orden n, a saber

G ={xi : i ∈ Z, xn = 1

}entonces {x} genera a G.

Si el conjunto S genera a un grupo G, cierto producto de elementos de Spueden dar el neutro de G, por ejemplo

a) si x ∈ S entonces xx−1 = 1.

b) si G es un grupo cıclico de orden n generado por {x} entonces xn = 1.

a un producto de elementos de S que sea igual al neutro se le llamauna relacion entre elementos del conjunto generador S. Podemos distinguirentre dos tipos de relaciones, triviales y no triviales, las primeras que sonconsecuencias de los axiomas de grupo como en a), y las no triviales que sonlas que dependen de la estructura del grupo G como en b).

Estas observaciones nos llevan a la ”definicion”siguiente, si S es un con-junto generador de G decimos que G esta libremente generado por S si todaslas relaciones entre los elementos de S son triviales.

52


Tambien estas nociones nos llevan a la idea de que podemos determinarcompletamente un grupo por los elementos de un conjunto generador y lasrelaciones no triviales entre ellos.

Para poder dar una definicion precisa de la idea anterior, nos basaremosen las siguientes observaciones

Observacion 3.18. 1. Sea S un conjunto de generadores de G y f : G→G′ un epimorfismo, entonces el conjunto f (S) es un conjunto generadorde G′, ademas cualquier relacion de G entre los elementos de S estambien una relacion en G′ entre los elementos de f (S), ası que G′

satisface al menos tantas relaciones como G.

2. Sea S un conjunto generador de G y f : G → G′ un homomorfis-mo. entonces f esta completamente determinado por su restriccion alconjunto S, sin embargo, es falso que toda aplicacion g : S → G′ pue-da extenderse a un homomorfismo f : G → G′, ya que puede que gno “mande” la identidad en la identidad (suponiendo que la identidadfuese un elemento de S).

Ahora daremos la definicion de grupo abeliano libre.

Definicion 3.19. Sea S un conjunto arbitrario. Uno grupo abeliano libresobre un conjunto S es un grupo abeliano F junto con una funcion ϕ : S → Ftal que para cualquier grupo abeliano A y para cualquier funcion ψ : S → Aexiste un unico homomorfismo f : F → A que hace conmutar el siguientediagrama

Sϕ //

ψ

��

F

f��~~~~

~~~

A

Demostraremos que esta definicion caracteriza efectivamente a los gruposabelianos libres sobre un conjunto S dado.

Proposicion 3.20. Sean F y F ′ grupos abelianos libres sobre un conjuntoS respecto a las funciones ϕ : S → F y ϕ′ : S → F ′ respectivamente.Entonces existe un unico isomorfismo h : F → F ′ que ademas hace conmutarel diagrama siguiente

53


Sϕ //

ϕ′

��

F

h~~}}}}

}}}

F ′

Demostracion. De las definiciones de que F, F ′ son grupos abelianos libresobre S respecto a ϕ y ϕ′ respectivamente, tenemos que

Sϕ //

ϕ′

��

F

h~~~~~~

~~~~

Sϕ′ //

ϕ

��

F ′

k~~~~~~

~~~~

F ′ F

para algunas funciones h, k.A partir de estos diagramas tenemos que los diagramas siguientes con-

mutan

Sϕ //

ϕ

��

F

k◦h��

��

Sϕ′ //

ϕ′

��

F ′

k◦h~~}}}}

}}}}

F F ′

Pero la funcion identidad en F y F ′ respectivamtente tambien hacenconmutar dichos diagramas y por la unicidad se sigue que k◦h = IdF , h◦k =IdF ′ asi que en particular h es el isomorfismo buscado.

Hasta ahora simplemente hemos dado una definicion; dado un conjuntoS no sabemos si existe algun grupo abeliano libre sobre S ademas no sabe-mos si la funcion ϕ es inyectiva ni que F esta generada por ϕ (S). Ası quemostraremos primero que ϕ (S) genera a F .

Proposicion 3.21. Si F es un grupo abeliano libre sobre S con respecto aϕ entonces F esta generado por ϕ (S).

Demostracion. Es claro que el diagrama siguiente conmuta

Sϕ //

ϕ

��

〈ϕ (S)〉

i{{xx

xxxx

xxx

F

(4)

54


donde i : 〈ϕ (S)〉 → F es la funcion inclusion. Por otro lado, F es ungrupo abeliano libre, ası que existe un homomorfismo f : F → 〈ϕ (S)〉 talque el siguiente diagrama conmuta

Sϕ //

ϕ

��

F

f{{xxxx

xxxx

x

〈ϕ (S)〉

(5)

Por los diagramas 4 y 5 tenemos

F

f��

S

ϕ<<xxxxxxxxxx

ϕ##F

FFFF

FFFF

F 〈ϕ (S)〉i

��F

ademas la funcion identidad IdF tambien hace conmutar este diagramaası que if = IdF ası que i es sobreyectiva y entonces i = IdF y luegoF = 〈ϕ (S)〉.

Consideremos la siguiente situacion, si {Si}i∈I es una familia no vacıade subconjuntos de S ajenos dos a dos, cuya union es S mismo, ademas,para cada i ∈ I, Fi es un grupo abeliano libre sobre Si respecto a la funcionϕi : Si → Fi. Sea F el producto debil de los grupos Fi denotemos por ηial monomorfismo natural de Fi a F . Como {Si}i∈I son ajenos por pares,podemos definir ϕ : S → F de la siguiente manera,

ϕ|Si = ηiϕi

Proposicion 3.22. Bajo las hipotesis anteriores, F es un grupo abelianolibre sobre S respecto a ϕ.

Demostracion. Sea A un grupo abeliano arbitrario y ψ : S → A una funcioncualquiera. Para cada ındice i ∈ I definimos

ψi = ψ|Si

55


ahora como por la hipotesis Fi es un grupo abeliano libre sobre Si existe ununico homomorfismo fi : Fi → A tal que el diagrama siguiente conmuta paracada i ∈ I

Siϕi //

ψi��

Fi

fi~~~~~~

~~~

A

(6)

por el teorema 3.12 existe un unico homomorfismo f : F → A tal quepara cualquier i ∈ I se tiene que el diagrama siguiente conmuta

Fiηi //

fi��

F

f��~~~~

~~~~

A

(7)

de los diagramas 6 y 7 y del hecho de que ϕ|Si = ηi ◦ ϕi y ψi = ψ|Siobtenemos el siguiente diagrama conmutativo

Siϕ|Si //

ψ|Si��

F

f��~~~~

~~~~

A

Dado que S =⋃i∈ISi tenemos que el diagrama siguiente conmuta

Sϕ //

ψ��

F

f��~~~~

~~~

A

Solo nos falta probar la unicidad de esta f . Sea f ′ : F → A tal que eldiagrama conmuta

Sϕ //

ψ��

F

f ′��~~~~

~~~

A

56


Definimos f ′i : Fi → A por f ′i = f ′ ◦ ηi, luego tenemos que el diagramasiguiente conmuta

Siϕi //

ψi��

Fi

f ′i~~~~~~

~~~

Aya que

f ′iϕi = f ′ηiϕi

= f ′(ϕ|Si

)= f ′ϕ|Si= ψ|Si= ψi

Ahora dado que Fi es un grupo abeliano libre sobre Si respecto a ϕi, tenemosque f ′i es unico tal que el diagrama anterior conmuta y por (6) tenemos quefi = f ′i para cada i ∈ I y ademas el diagrama siguiente conmuta

Fiηi //

fi=f′i

��

F

f ′��~~~~

~~~~

A

luego obtenemos que f = f ′ por la unicidad en (7) pues habıamos definidof ′i = f ′ ◦ ηi.

La proposicion anterior significa que el producto debil de una coleccionde grupos abelianos libres es un grupo abeliano libre. Vamos a utilizar esteteorema para demostrar la existencia de un grupo abeliano libre sobre S.Supongamos que

S = {xi}i∈Iy definimos Si el subconjunto de S con un solo elemento

Si = {xi}

sea Fi el grupo cılico infinito formado por todas las potencias de xi

Fi = {xni : n ∈ Z}

denotemos por ϕi : Si → Fi a la inclusion, esto es, ϕi (xi) = x1i .

57


Proposicion 3.23. Fi es un grupo abeliano libre sobre Si.

Demostracion. Sean i ∈ I fijo, A un grupo abeliano y ψi : Si → A unafuncion. Definimos fi : Fi → A de la siguiente manera

fi (xmi ) = ψi (xi)

m

fi es un homomorfismo pues

fi (xmi x

ni ) = fi

(xm+ni

)= ψi (xi)

m+n

= ψi (xi)m ψi (xi)

n

= fi (xmi ) fi (x

ni )

Veamos que fi hace conmutar el diagrama

Siϕi //

ψi��

Fi

fi~~~~~~

~~~

A

fi ◦ ϕi (xi) = fi(x1i

)= ψi (xi)

Probamos ahora la unicidad de fi. Sea f ′i : Fi → A un homomorfismo quehaga conmutar el diagrama. Entonces

f ′i ◦ ϕi = ψi

⇒ f ′i (xi) = ψi (xi)

⇒ f ′i (xmi ) = f ′i (xi)m = ψi (xi)

m = fi (xmi )

para cada xmi ∈ Fi con lo que probamos la unicidad.

Corolario 3.24. El producto debil F de los grupos Fi es un grupo abelianolibre sobre S =

⋃i∈ISi respecto a ϕ.

Demostracion. Es un resultado directo de la proposicion 3.22 y la proposi-cion 3.23.

58


Observese que el cardinal de I es el mismo que el cardinal de S, estosignifica que F es el producto debil de tantas copias de Z como elementostenga S.

Ahora probaremos que ϕ es inyectiva. Tenemos que ϕ|Si = ηi ◦ ϕi.Sea xi ∈ S, luego

ϕ (xi) = ηi ◦ ϕi (xi) = ηi (xi)

entonces

ϕ (xi)j = ηi (xi)j =

{x1i si i = jx0j si i 6= j

Ahora sean xi, xj ∈ S tales que xi 6= xj entonces

ϕ (xi)j = x0j 6= x1

j = ϕ (xj)j

asi que ϕ (xi) 6= ϕ (xj) entonces ϕ es uno a uno.Como ϕ es inyectiva, podemos identificar a cada xi ∈ S con ϕ (xi) ∈ F ,

entonces S se vuelve un subconjunto de F . Ademas es claro que podemosexpresar a cada elemento g 6= 1 de F de manera unica, salvo el orden de losfactores de la forma

g = xn1iixn2i2· · ·xnkik

donde los ı1, i2, . . . , ik son distintos y n1, n2, ..., nk son todos enteros distintosde cero.

Observamos que si F ′ es otro grupo abeliano libre sobre S respecto ala funcion ϕ′ : S → F ′, entonces esta es tambien inyectiva ya que por laproposicion 3.20 tenemos que existe un isomorfismo h tal que el siguientediagrama conmuta

Sϕ //

ϕ′

��

F

h~~}}}}

}}}

F ′

de aquı ϕ′ = ϕ ◦ h entonces ϕ′ es inyectiva.Recapitulando lo anterior tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3.25. Dado un grupo abeliano libre F sobre un conjunto S respectoa una funcion ϕ : S → F , entonces F es isomorfo a un producto debil degrupos cıclicos infinitos, ϕ es inyectiva y ademas ϕ (S) genera a F .

59


Observacion 3.26. Otra manera de abordar el tema de los grupos abelianoslibres serıa decir que un grupo abeliano F es libre sobre el conjunto S ={si}i∈I ⊂ F si todo elemento g 6= 1 de F admite una expresion de la forma

g = xn1iixn2i2· · ·xnkik

unica salvo el orden de los factores. Aunque es mas facil de enunciar nosconviene mas la otra.

Una razon para la importancia de los grupos abelianos libres es la sigu-iente

Proposicion 3.27. Todo grupo abeliano es imagen homomorfa de un grupoabeliano libre; es decir, dado un grupo abeliano A existe un grupo abelianolibre F y un epimorfismo f : F → A.

Demostracion. Sea S un conjunto generador de A (podrıamos tomar porejemplo S = A) y sea F un grupo abeliano libre sobre S respecto a la funcionϕ : S → F entonces existe un homomorfismo f que hace conutar el siguientediagrama

Sϕ //

i��

F

f��~~~~

~~~

A

donde i es la funcion inclusion, probamos que f es sobreyectiva.Sea a ∈ A entonces existen x1, x2, ..., xk ∈ S y m1,m2, ...,mk ∈ Z tales

que a = xm11 xm2

2 · · ·xmkk sea g = ϕ (x1)m1 ϕ (x2)m2 · · ·ϕ (xk)

mk ∈ F luego

f (g) = f (ϕ (x1)m1 ϕ (x2)m2 · · ·ϕ (xk)mk)

= f (ϕ (x1))m1 f (ϕ (x2))m2 · · · f (ϕ (xk))mk

= i (x1)m1 i (x2)m2 · · · i (xk)mk

= xm11 xm2

2 · · ·xmkk

= a

entonces f es un epimorfismo.

Gracias a la proposicion anterior podemos dar la siguiente

60


Definicion 3.28. Sean A un grupo abeliano, S un conjunto generador de A,F un grupo abeliano libre sobre S y f : F → A un epimorfismo, entoncesa los elementos de ker f − {1} se le llaman relaciones no triviales entre S.Si {ri}i∈I es una coleccion de relaciones no triviales entre S y si r ∈ 〈ri〉i∈Ientonces se dice que la relacion r es consecuencua de las relaciones ri.

Observacion 3.29. Si la coleccion {ri}i∈I genera a ker f entonces el grupoA esta completamente determinado, salvo isomorfismos, por el conjunto gen-erador S y el conjunto de relaciones {ri}i∈I pues A es isomorfo al grupocociente F� 〈ri〉i∈I .

Si S, S ′ son conjuntos con el mismo cardinal y F, F ′ son grupos abelianoslibres sobre S y S ′ respectivamente, entonces F y F ′ son isomormos, esto sedebe a que cada uno de ellos es isomorfo al producto debil de tantas copiasde Z como elementos tenga S o de igual manera, S ′. Veamos que, en el casofinito, el recıproco es tambien cierto, para ello primero pasaremos por lasiguiente

Definicion 3.30. Si G es un grupo y n ∈ N, definimos Gn como el conjuntogenerado por {gn : g ∈ G}, en otras palabras

Gn = 〈{gn : g ∈ G}〉

Observacion 3.31. En la definicion anterior, si G es abeliano, entonces esclaro que {gn : g ∈ G} es un subgrupo y por lo tanto Gn = {gn : g ∈ G}.

Lema 3.32. Sea F un grupo abeliano libre sobre un conjunto de k elementosentonces F�F n es un grupo finito de orden nk.

Demostracion. Si

F = {xp11 · · · xpkk : p1, ..., pk ∈ Z}

entoncesF n = {(xp11 · · · x

pkk )n : p1, ..., pk ∈ Z}

Sea aF n ∈ F�F n entonces aF n = (xp11 · · ·xpkk )F n; por el algoritmo de la

division tenemos que pi = qin+ ri con 0 ≤ ri < n de aquı

xp11 · · ·xpkk = xq1n+r1

1 · · ·xqkn+rkk

= (xr11 · · ·xrkk ) (xq1n1 · · · xqknk )

= (xr11 · · ·xrkk ) (xq11 · · ·xqr)

n

61


ademas (xq11 · · ·xqr)n ∈ F n por lo que aF n = (xr11 · · ·x

rkk )F n. Ahora si

probamos que los elementos de {(xr11 · · ·xrkk )F n : 0 ≤ ri < n} son distintos

entre sı habremos terminado.Supongamos que (xr11 · · ·x

rkk )F n = (xs11 · · ·x

skk )F n con 0 ≤ ri, si < n para

toda i = 1, ..., k entonces

(xr11 · · ·xrkk ) (xs11 · · ·x

skk )−1 ∈ F n

luego(xr11 · · ·x

rkk ) (xs11 · · · x

skk )−1 =

(xt11 · · ·x

tkk

)n ∈ F n

ası que xr1−s11 · · ·xrk−skk = xnt11 · · ·xntkk . Como estamos suponiendo que los xi

son distintos, nti = ri − si. Se sigue de las restricciones de ri y de si que|ri − si| < n pues 0 ≤ ri < n implica que −n < −ri ≤ 0 y tambien sabemosque 0 ≤ si < n sumando estas desigualdades tenemos −n < si − ri < n loque implica que |ri − si| < n, ademas |ri − si| = |nti| entonces |nti| < n yentonces ti = 0 y se concluye que ri = si.

Corolario 3.33. Sean S y S ′ conjuntos finitos de distinto cardinal, y F yF ′ grupos abelianos libres sobre S y S ′ respectivamente, entonces F y F ′ noson isomorfos.

Demostracion. Supongamos que F y F ′ son isomorfos, luego veamos que|F�F n| = |F ′�F ′n|, pues si h : F → F ′ es un isomorfismo, consideremos lacomposicion π ◦ h : F → F ′�F ′n, donde π (f ′) = f ′F ′n para cada f ′ ∈ F ′.Probaremos que ker π ◦ h = F n. Sea x ∈ kerπ ◦ h entonces π ◦ h (x) =F ′n entonces h (x) ∈ F ′n luego h (x) = x′n para algun x′ ∈ F ′ luego x =h−1 (x′n) = h−1 (x′)n con h−1 (x′) ∈ F se sigue que x ∈ F n. Recıprocamente,sea x ∈ F n entonces h (x) ∈ F ′n y luego π◦h (x) = F ′n entonces x ∈ kerπ◦h;entonces F�F n F ′�F ′n son isomorfos, en particular, |F�F n| = |F ′�F ′n| ypor el lema 3.32 n|S| = n|S

′| luego |S| = |S ′| lo cual contradice la hipotesis.

Definicion 3.34. Sea F un grupo abeliano libre sobre un conjunto S, defin-imos el rango de F como el cardinal de S.

Hemos probado que, en caso finito, dos grupos abelianos libres son ismor-fos si y solo si tienen el mismo rango.

Definicion 3.35. Sea G un grupo abeliano, definimos su subgrupo de torsioncomo

tG = {x ∈ G : ∃n ∈ Z \ {0} tal que nx = 0}

62


ademas, si tG = G decimos que G es de torsion y si tG = {0} decimos queG es libre de torsion.

Observacion 3.36. el subgrupo de torsion tG sı es en realidad un subgrupode G.

Demostracion. Sean x1, x2 ∈ tG entonces existen n1, n2 ∈ Z ambos distin-tos de cero, tales que

n1x1 = 0

n2x2 = 0

veamos que x1 − x2 ∈ tG. Sea n = n1n2 6= 0 entonces

n (x1 − x2) = nx1 − nx2

= n2 (n1x1)− n1 (n2x2)

= n2 (0)− n1 (0)

= 0

Proposicion 3.37. El grupo cociente G�tG es libre de torsion

Demostracion. Supongamos que n (g + tG) = ng + tG = tG para algunn 6= 0 entonces ng ∈ tG luego por definicion, existe m 6= 0 tal que mng = 0y como mn 6= 0 se tiene que g ∈ tG luego g+ tG = tG entonces t (G�tG) ={tG} ası que G�tG es libre de torsion.

Observacion 3.38. Sean G y G′ grupos abelianos isomorfos, entonces tG ∼=tG′ y G�tG ∼= G′�tG′.

Demostracion. Supongamos que h : G → G′ es un isomorfismo, sea h′ :tG→ tG′ dada por h′ (g) = h (g) esta bien definida ya que si ng = 0 entoncesnh′ (g) = 0, ademas es inyectiva pues kerh′ ⊂ kerh = {0} veamos que essobreyectiva, sea g′ ∈ tG′ entonces, por un lado ng′ = 0 para alguna n ∈ Z,y por otro lado, existe g ∈ G tal que h (g) = g′ veamos que g ∈ tG.

nh (g) = nh (g) = n (g′) = 0

y de la inyectividad de h, ng = 0 en otras palabras, g ∈ tG.

63


Ahora veamos que G�tG ∼= G′�tG′. sea h : G → definida por h (g) =h (g) + tG′ es sobreyectiva, pues es la composicion de h y la proyeccioncanonica π : G′ → G′�tG′, ambas son sobreyectivas, si probamos que kerh =tG ya habremos terminado por el primer teorema del isomorfismo, para ello,sea g ∈ kerh entonces h (g) = tG′ y por definicion, h (g) = h (g)+ tG′ ası queh (g) ∈ tG′ y ya que h es biyectiva, g ∈ h−1 (tG′) = tG. Recıprocamente, sig ∈ tG entonces h (g) ∈ tG y entonces h (g) = tG′ y luego g ∈ kerh.

El recıproco de la observacion anterior no es cierta en general, no podemosafirmar que G es isomorfo a G′ si tG ∼= tG′ y G�tG ∼= G′�tG′. Sin embargo,para grupos abelianos finitamente generados tenemos el siguiente teoremaque nos describe completamente su estructura.

Teorema 3.39. a) Sea A un grupo abeliano finitamente generado y T susubgrupo de torsion. Entonces T y A�T tambien son finitamente gen-erados, ademas A es isomorfo al producto directo T × A�T . Por lotanto, la estructora de A esta completamente determinada por su sub-grupo de torsion y de su grupo cociente libre de torsion.

b) Todo grupo abeliano finitamente generado libre de torsion es un grupoabeliano libre de rango finito.

c) Todo grupo abeliano de torsion T finitamente generado es isomorfo a unproducto C1×C2×· · ·×Cn, donde Ci es un grupo cıclico finito de ordenεi ademas para cada i, εi divide a εi+1. Ademas los enteros εi estanunıvocamente determinados por el grupo de torsion T y determinancompletamente su estructura.

Demostracion. La prueba se puede encontrar en [2] pag. 88, 184.

A los enteros εi del teorema anterior se le llaman coeficientes de torsionde T y mas en general, si T es el grupo de torsion de A, se denominancoeficientes de torsion de A. Analogamente, el rango del grupo libre A�T sele llama rango de A.

El teorema anterior tambien nos asegura que todo grupo abeliano finita-mente generado es un producto directo de grupos cıclicos, pero nos dice mas,Observese que un grupo de torsion finitamente generado es de orden finito.

Teorema 3.40. Sea F un grupo abeliano libre sobre el conjunto S y F ′

un subgrupo de F . Entonces F ′ es un grupo abeliano libre sobre un ciertoconjunto S ′ y el cardinal de S ′ es menor o igual que el de S.

64


Demostracion. Se puede encontrar la prueba en [2] pag. 183.

Aun que las demostraciones de los teoremas 3.39 y 3.40 no son dificiles,no las probaremos por que pertenecen propiamente al estudio del algebralineal y modulos sobre un anillo de ideales principales.

65

3.3 Producto Libre de Grupos

3.3. Producto Libre de Grupos

El producto libre de una coleccion grupos arbitrarios es lo analogo alproducto debil de una coleccion de grupos abelianos.

En esta seccion todo grupo considerado puede o no ser abeliano, al menosque se especifique lo contrario.

Definicion 3.41. Sea {Gi}i∈I una coleccion de grupos y G un grupo ysupongamos que para cada ındice i ∈ I tenemos un homomorfismo ϕi : Gi →G entonces diremos que G es el producto libre de los grupos Gi con respectoa los homomorfismos ϕi si para cualquier grupo H y cualquier coleccion dehomomorfismos {ψi : Gi → H}i∈I existe un unico homomorfismo f : G→ Htal que para todo i ∈ I el siguiente diagrama es conmutativo

Giϕi //

ψi��

G

f~~~~~~

~~~~

H

Proposicion 3.42. Supongamos que G y G′ son productos libres de unacoleccion {Gi}i∈I de grupos respecto la los homomorfismos ϕi : Gi → G yϕ′i : Gi → G′ respectivamente. Entonces existe un unico isomorfismo h : G→G′ tal que hace conmutar el siguiente diagrama para cada i ∈ I

Giϕi //

ϕ′i��

G

h~~~~~~

~~~~

G′

Demostracion. La demostracion es analoga al teorema 3.13.

Aunque hemos definido el producto libre de grupos y demostrado su uni-cidad aun falta probar su existencia.

Tambien probaremos que los homomorfismos ϕi dados en la definicionde producto libre son monomorfismos y ademas podemos saber mas sobre elproducto G, este esta generado por la union de las imagenes ϕi (Gi).

Teorema 3.43. Dada una coleccion de grupos {Gi}i∈I siempre existe suproducto libre.

66


Demostracion. Definimos una palabra en la coleccion {Gi}i∈I como unasucesion finita (x1, x2, ..., xn) donde cada xk ∈

⋃i∈IGi, (notemos que es una

union ajena), ademas dos terminos consecutivos de la sucesion pertenecen adistintos grupos y no aparecen los terminos neutros de algun Gi, a esta n lellamaremos longitud de la palabra.

Consideremos tambien la palabra vacıa, es decir, la de longitud cero y ladenotaremos ().

Denotamos W al conjunto de todas las palabras.Para cada i ∈ I definiremos la siguiente accion ·i : Gi ×W →WSi x1 6∈ Gi entonces definimos

g ·i (x1, x2, ..., xn) =

{(g, x1, x2, ..., xn) si g 6= 1i(x1, x2, ..., xn) si g = 1i

g ·i () =

{(g) si g 6= 1i() si g = 1i

ahora si x1 ∈ Gi entonces

g ·i (x1, x2, ..., xn) =

{(gx1, x2, ..., xn) si g 6= 1i

(x2, ..., xn) si gx1 = 1i

g ·i (x1) = () si gx1 = 1i

veamos que ·i es efectivamente una accion, para ello haremos un examenexhaustivo de los distintos casos.

Primero veamos que

1i ·i w = w para cada w ∈ W (8)

Si w = () entonces por definicion 1i ·i w = w.Ahora supongamos que w = (x1, x2, ..., xn) entonces consideramos los

siguientes dos casos.Si x1 6∈ Gi entonces

1i ·i (x1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn)

Ahora si x1 ∈ Gi entonces

1i ·i (x1, x2, ..., xn) = (1ix1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn)

Ahora probemos que (gg′) ·i w = g (g′ ·i w)

67


Si g = g′ = 1i tenemos

(gg′) ·i w = 1i ·i w = 1i ·i (1i ·i w) = g ·i (g′ ·i w)

la ultima igualdad se da por (8).Si g = 1 y g′ 6= 1

(gg′) ·i w = g′ ·i w = 1i ·i (g′ ·i w) = g ·i (g′ ·i w)

la ultima igualdad se da por (8).Si g 6= 1 y g′ = 1

(gg′) ·i w = g ·i w = g ·i (1i ·i w) = g ·i (g′ ·i w)

la ultima igualdad se da por (8).Si g 6= 1 y g′ 6= 1 analizaremos varios casos; primero consideremos la

palabra vacıa, w = ()

(gg′) ·i w =

{(gg′) si gg′ 6= 1i

() si gg′ = 1i

por otra parte,

g ·i (g′ ·i w) = g ·i (g′) =

{(gg′) si gg′ 6= 1i

() si gg′ = 1i

ahora si w = (x1), si x1 6∈ Gi

(gg′) ·i w =

{(gg′, x1) si gg′ 6= 1i

(x1) si gg′ = 1i

por otra parte,

g ·i (g′ ·i w) = g ·i (g′, x1) =

{(gg′, x1) si gg′ 6= 1i

(x1) si gg′ = 1i

si x1 ∈ Gi tenemos

(gg′) ·i w =

{(gg′x1) si gg′x1 6= 1i

() si gg′x1 = 1i

68


por otra parte,

g ·i (g′ ·i w) = g ·i{

(g′x1) si g′x1 6= 1i() si g′x1 = 1i

=

(gg′x1) si g′x1 6= 1i, gg

′x1 6= 1i(g) si g′x1 = 1i

() si g′x1 6= 1i, gg′x1 = 1i

=

(gg′x1) si g′x1 6= 1i, gg

′x1 6= 1i(gg′x1) si g′x1 = 1i y g ·i (g′ ·i x1) 6= 1i

() si g′x1 6= 1i, gg′x1 = 1i

=

{(gg′x1) si gg′x1 6= 1i

() si gg′x1 = 1i y g′x1 6= 1i

Ahora consideremos una palabra de longitud n > 1, sea w = (x1, x2, ..., xn)y supongamos que x1 6∈ Gi

(gg′) ·i w =

{(gg′, x1, x2, ..., xn) si gg′ 6= 1i

(x1, x2, ..., xn) si gg′ = 1i

por otra parte,

g ·i (g′ ·i w) = g ·i (g′, x1, x2, ..., xn) =

{(gg′, x1, x2, ..., xn) si gg′ 6= 1i

(x1, x2, ..., xn) si gg′ = 1i

De nuevo, si x1 ∈ Gi

(gg′) ·i w =

{(gg′x1, x2, ..., xn) si gg′x1 6= 1i

(x2, ..., xn) si gg′x1 = 1i

por otra parte,

g ·i (g′ ·i w) = g ·i{

(g′x1, x2, ..., xn) si g′x1 6= 1i(x2, ..., xn) si g′x1 = 1i

=

(gg′x1, x2, ..., xn) si g′x1 6= 1i, gg

′x1 6= 1i(g, x2, ..., xn) si g′x1 = 1i

(x2, ..., xn) si g′x1 6= 1i, gg′x1 = 1i

=

(gg′x1, x2, ..., xn) si g′x1 6= 1i, gg

′x1 6= 1i(gg′x1, x2, ..., xn) si g′x1 = 1i y g′x1 = 1i

(x2, ..., xn) si g′x1 6= 1i, gg′x1 = 1i

=

{(gg′x1, x2, ..., xn) si gg′x1 6= 1i

(x2, ..., xn) si gg′x1 = 1i

69


Ası que ·i es una accion.

Ademas esta accion es libre para cada i ∈ I pues si g ∈ Gi es tal queg ·i w = w para cada w ∈ W podemos tomar w = () y tenemos g ·i () = () yentonces de la definicion de la accion ·i tenemos que g = 1i, lo que significaque efectivamente, la accion ·i es libre.

Ahora cada g ∈ Gi puede pensarse como una permutacion en W y Gi

como un subconjunto del grupo de permutaciones de W que es lo que dicela siguiente afirmacion:

Sea Biy (W) = {θ :W →W : θ es biyectiva} el grupo de permutacionesde W y consideremos las siguientes permutaciones

θg (w) = g ·i w

θg ∈ Biy (W) ya que

θgθg−1 (w) = θg(g−1 ·i w

)= g ·i

(g−1 ·i w

)=(gg−1

)·i w = w

θg−1θg (w) = θg−1 (g ·i w) = g−1 ·i (g ·i w) =(g−1g

)·i w = w

Ahora para cada i ∈ I sea ϕi : Gi → Biy (W) dado por

ϕi (g) = θg

estas funciones son monomorfismos:

ϕi es homomorfismo Sean g1, g2 ∈ Gi y w ∈ W entonces

θg1g2 (w) = (g1g2) ·i w = g1 ·i (g2 ·i w) = g1 ·i θg2 (w) = θg1 ◦ θg2 (w)

ϕi es inyectiva Sea g ∈ Gi tal que ϕi (g) = θg = IdW ası que

θg (w) = g ·i w = w ∀w ∈ W

y como la accion es libre se tiene que g = 1i.

Sea G =

⟨⋃i∈Iϕi (Gi)

⟩es claro que G es un subgrupo de Biy (W) y todo

elemento de G es producto de potencias de elementos de⋃i∈Iϕi (Gi); ademas

si dos elementos consecutivos estan en el mismo grupo podemos reemplazarlo

70


por un solo factor, ası todo elemento no neutro puede ser expresado en formareducida, es decir, no hay dos factores en el mismo grupo y no aparece ningunelemento neutro de ellos. Ademas afirmamos que tal expresiones unica:

Supongamos que θ = θg1 · · · θgm = θh1 · · · θhn donde ambas expresionesson reducidas, entonces

θ () = (g1, . . . , gm) = (h1, ..., hn)

ası que m = n y ademas gi = hi en otras palabras, la expresion es unica.Afirmamos que G es el producto libre de los {Gi}i∈I con respecto a los

monomorfismos {ϕi}i∈ISea H un grupo arbitrario y {ψi : Gi → H}i∈I . Definimos f : G→ H de

la siguiente manera. Si θ = θg1 · · · θgm ∈ G, donde θ 6= 1, θgk ∈ ϕgk (Gik) ∀k = 1, ...,m esta en forma reducida definimos

f (θ) = (ψi1 (g1)) · · · (ψim (gm))

f (1) = 1

f esta bien definida pues la forma reducida es unica ∀θ ∈ G, θ 6= 1.Veamos que f es un homomorfismo. Sean θ1 y θ2 ∈ G donde

θ1 = θg1 · · · θgm , gk ∈ Gik ∀ k = 1, ...,m

θ2 = θgm+1 · · · θgn , gk ∈ Gik ∀ k = m+ 1, ..., n

son sus formas reducidas entonces

f (θ1) f (θ2) = (ψi1 (g1)) · · · (ψim (gm))(ψim+1 (gm+1)

)· · · (ψin (gn))

Consideremos 2 casos, primero si im 6= im+1 entonces

f (θ1) f (θ2) = f(θg1 · · · θgmθgm+1 · · · θgn

)= f (θ1θ2)

ahora si im = im+1

f (θ1) f (θ2) = (ψi1 (g1)) · · · (ψim (gm))(ψim+1 (gm+1)

)· · · (ψin (gn))

= (ψi1 (g1)) · · ·((ψim (gm))

(ψim+1 (gm+1)

))· · · (ψin (gn))

= (ψi1 (g1)) · · · (ψim (gmgm+1))(ψim+2 (gm+2)

)· · · (ψin (gn))

71


si im 6= im+2 obtenemos

f (θ1) f (θ2) = f(θg1 · · · θgmgm+1θgm+2 · · · θgn

)= f (θ1θ2)

en caso contrario repetimos el proceso como anteriormente.Ahora veamos que f hace conmutar el diagrama para cada i ∈ I

Giϕi //

ψi��

G

f~~~~~~

~~~~

H

si g ∈ Gi entonces f (ϕi (g)) = f (θg) = ψi (g).Ahora f es unico pues si suponemos que f ′ tambien hace conmutar el

diagrama anterior. Bastara con probar la igualdad para los elementos delconjunto generador de G por ser f, f ′ homomorfismos. Sea θg ∈ G entoncespara algun i ∈ I

f ′ (θg) = f ′ (ϕi (g)) = ψi (g) = f (ϕi (g))

ası que f es unico y ası G es el producto libre de los {Gi}i∈I con respecto alos monomorfismos {ϕi}i∈I .

Notemos que al ser ϕi monomorfismos podemos identificar a cada grupoGi con si imagen ϕi (Gi) y considerar Gi como un subgrupo del prodcutolibre G; entonces ϕ sera considerada como una inclusion.

Observacion 3.44. Los puntos mas importantes a recordar de la demostraciondel teorema 3.43 son los siguientes

1. Todo elemento g 6= 1 puede expresarse de manera unica como un pro-ducto en forma reducida de los elementos de los grupos Gi.

2. Las reglas para multiplicar de tales productos en forma reducida sonobvias y naturales.

Ejemplo 3.45. Sean G1, G2 grupos cıclicos de orden 2 generados por x1

y x2 respectivamente, entonces todo elemento de su producto libre puede serexpresado de manera unica como productos de x1 y x2 de manera alternada,por ejemplo algunos elementos tıpicos del producto libre son

x1, x1x2, x1x2x1

72


x2, x2x1, x2x1x2

hay que observar que los elementos x1x2 y x2x1 son de orden infinito.Podemos notar una gran diferencia entre su prodcuto directo y su producto

libre, ya que su producto directo es el 4-Grupo de Klain, que es abeliano y deorden 4, mientras que el producto libre tiene orden infinito y no es abeliano.

De ahora en adelante denotaremos al producto libre de {Gi}i∈I como∏?i∈I Gi, o bien G1 ? G2 ? G3 ? · · ·Gn para una cantidad finita.

73

3.4 Grupos Libres

3.4. Grupos Libres

Como es de suponer, la definicion de grupo libre es analoga a la de grupoabeliano libre.

Definicion 3.46. Sea S un conjunto arbitrario. Un grupo libre sobre el con-junto S (o grupo libre generado por S) es un grupo F junto con una funcionϕ : S → F tal que para cualquier grupo H y cualquier funcion ψ : S → Hexiste un unico homomorfismo f : F → H que hace conmutativo el siguientediagrama

Sϕ //

ψ��

F

f~~~~~~

~~~

H

Exactamente como en los casos anteriores, esta definicion caracteriza com-pletamente un grupo libre como lo enuncia el siguiente resultado cuya de-mostracion es analoga a la de la proposicion 3.20.

Proposicion 3.47. Sean F y F ′ dos grupos libres sobre el conjunto S respec-to a las funciones ϕ : S → F y ϕ′ : S → F ′ respectivamente. Entonces existeun unico isomorfismo h : F → F ′ que hace conmutar el siguiente diagrama

Sϕ //

ϕ′

��

F

h~~}}}}

}}}

F ′

�

Falta probar la existencia de un grupo libre sobre un conjunto S arbitrarioy establecer sus propiedades principales. Usaremos el mismo metodo que enel caso de grupos abelianos libres.

Proposicion 3.48. Supongamos que S =⋃i∈ISi, que los conjuntos Si son

ajenos por pares, no vacıos y para cada i ∈ I, sea Fi un grupo libre sobreSi con respecto a una funcion ϕi : Si → Fi. Si F es el producto libre de losgrupos Fi con respecto a los monomorfismos ηi : Fi → F , ηi (g) = θg y sidefinimos ϕ : S → F como ϕ|Si = ηi ◦ ϕi. Entonces F es el grupo libre sobreel conjunto S respecto a la funcion ϕ.

74

3.4 Grupos Libres

Demostracion. La demostracion de esta proposicion es identica a la proposi-cion 3.22.

De manera intuitiva, la proposicion 3.48 significa que el producto libre degrupos libres es un grupo libre.

Aplicaremos ahora esta proposicion para demostrar la existencia de gru-pos libres tal como se hizo en el caso de grupos abelianos libres.

Proposicion 3.49. Sea S = {xi}i∈I y para cada i ∈ I sea Si = {xi} elconjunto que solo contiene al elemento xi. Denotemos por Fi al grupo cıclicoinfinito generado por xi

Fi = {xni : n ∈ Z}y sea ϕi : Si → Fi la inclusion. Entonces Fi es un grupo libre sobre el conjuntoSi respecto a ϕi.

Demostracion. Es completemante analoga a la demostracion del caso abeliano.

Corolario 3.50. Dado un conjunto S existe su grupo libre.

Demostracion. Aplicando las proposiciones 3.48 y 3.49 obtenemos que Fes un grupo libre sobre S con respecto a la funcion ϕ.

De lo conocido de productos libres sabemos que todo elemento g no neutropuede expresarse de manera unica de la forma reducida

g = xn11 x

n22 · · ·x

nkk

donde los xi ∈ S y dos elementos consecutivos son siempre distintos y los nison enteros no nulos. A esta expresion le llamamos palabra reducida, y parano tener excepciones, el elemento neutro estara representado por la palabravacıa. Las reglas para formar inversos y productos son obvias.

Veamos ahora que ϕ definida anteriormente por ϕ|Si = ni◦ϕi es inyectiva.Sean xi, xj ∈ S tales que ϕ (xi) = ϕ (xj) entonces ηi (ϕi (si)) = ηj (ϕj (sj))

entonces ηi (xi) = ηj (xj) esto implica por definicion de ηi que θxi = θxjademas ambas son palabras en forma reducida en F ası que tienen que serla misma, ası que xi = xj.

Ahora probamos que F esta generado por ϕ (S). Sea θ ∈ F θ 6= 1 entoncessi su expresion reducida es

θ = θg1θg2 · · · θgn

75

3.4 Grupos Libres

donde cada gk ∈ Fik = 〈xik〉 ∀ k = 1, ..., n; en otras palabras, gk = xmkik conmk 6= 0 entonces

θ = θxm1i1θxm2

i2· · · θxmnin

= θϕi1(xi1)m1θϕi2(xi2)

m2 · · · θϕin (xin )mn

= ηi1 (ϕi1 (xi1)m1) ηi2 (ϕi2 (xi2)

m2) · · · ηin (ϕin (xin)mn)

= ηi1 (ϕi1 (xi1))m1 ηi2 (ϕi2 (xi2))

m2 · · · ηin (ϕin (xin))mn

= ϕ (xi1)m1 ϕ (xi2)

m2 · · ·ϕ (xin)mn

y entonces 〈ϕ (S)〉 = F .Hemos demostrado que existe un grupo libre F sobre un conjunto dado

S respecto a una funcion particular ϕ que es inyectiva y que manda a Sa un conjunto generador de F . Si dieramos otro grupo libre sobre el mis-mo conjunto S respecto a otra funcion ϕ′ entonces por la proposicion 3.47obtendrıamos que ϕ′ es tambien inyectiva y ademas 〈ϕ′ (S)〉 = F ′.

Concluımos esta seccion estudiando la relacion entre grupos libres y gru-pos abelianos libres. Recordamos que si x, y son elementos arbitrarios de ungrupo G, entonces [x, y] denota el elemento xyx−1y−1 y se llama conmutadorde x con y. [G,G] denota el subgrupo de G generado por todos sus conmu-tadores y se llama subgrupo conmutador, se comprueba facilmente que esun subgrupo normal y el grupo cociente G� [G,G] es abeliano, y no soloeso, si N es un subgrupo normal de G tal que G�N es abeliano, entonces[G,G] ⊂ N ; la prueba de esta afirmacion se puede encontrar en [2] pag. 122.

Proposicion 3.51. Sea F un grupo libre sobre S respecto a la funcion ϕ :S → F y denotemos por π : F → F� [F, F ] la proyeccion natural de Fsobre su grupo cociente. Entonces F� [F, F ] es un grupo abeliano libre sobreel conjunto S con respecto a la funcion π ◦ ϕ : S → F� [F, F ].

Demostracion. Sea A un grupo abeliano y ψ : S → A una funcion. Dadoque F es un grupo libre sobre S respecto a la funcion ϕ : S → F se tienela existencia de un unico homomorfismo f : F → A tal que el diagramasiguiente conmuta

S

ψ��

ϕ // F

f

(I)

��~~~~

~~~

A

76

3.4 Grupos Libres

ahora definamos f : F� [F, F ]→ A tal que

f (a [F, F ]) = f (a)

veamos primero que esta bien definido, supongamos que a [F, F ] = a′ [F, F ],luego a (a′)−1 ∈ [F, F ], observemos que cualquier elemento de [F, F ] es envi-ado al 1 bajo f , basta probarlo para los generadores de [F, F ]

f(xyx−1y−1

)= f (x) f (y) f (x)−1 f (y)−1 = 1

pues A es abeliano. Luego

1 = f(a (a′)

−1)

= f (a) f (a′)−1

y entonces f (a) = f (a′), y por lo tanto

f (a [F, F ]) = f (a′ [F, F ])

Ası que f esta bien definida.Probemos que f es un homomorfismo. Sean a [F, F ] , a′ [F, F ] ∈ F� [F, F ]

entonces

f (a [F, F ] a′ [F, F ]) = f (aa′ [F, F ])

= f (aa′)

= f (a) f (a′)

= f (a [F, F ]) f (a′ [F, F ])

ası que f es un homomorfismo; ademas hace conmutar el diagrama siguientepor su misma definicion

F

f

��

π // F� [F, F ]

f

(II)

zztttttttttt

A

y es el unico con esa propiedad, pues supongamos que f ′ : F� [F, F ] → Atambien hace conmutar este diagrama luego para cada a ∈ F se tiene que

f ′ (a [F, F ]) = f (a) = f (a [F, F ])

77

3.4 Grupos Libres

luego f ′ = fLos dos diagramas anteriores inducen este diagrama conmutativo

S

ψ

��

π◦ϕ // F� [F, F ]

f

(III)

zztttttttttt

A

veamos que es f es el unico que hace conmutar el diagrama anterior (III),supongamos que f tambien lo hace conmutar, entonces para cada x ∈ S,f ◦ π (ϕ (x)) = ψ (x) = f (ϕ (x)), la segunda igualdad es por el diagrama (I)y como ϕ (S) genera a F tenemos que f ◦ π = f pero por el diagrama (II) fes la unica tal que f ◦ π = f esto significa que f = f por lo tanto, F� [F, F ]es un grupo abeliano libre sobre S.

Corolario 3.52. Si F y F ′ son grupos libres sobre conjuntos finitos S y S ′

entonces F y F ′ son isomorfos si y solo si tienen el mismo cardinal.

Demostracion. Supongamos que F y F ′ son grupos libres isomorfos so-bre los conjuntos S y S ′ respectivamente, digamos que h : F → F ′ es suisomorfismo. Veamos que F� [F, F ] y F ′� [F ′, F ′] son isomorfos

Fh // F ′

π // F ′� [F ′, F ′]

Si probamos que ker (π ◦ h) = [F, F ] habremos terminado por el segundo teo-rema del isomorfismo; probemos la doble contencion, sea xyx−1y−1 ∈ [F, F ], entonces

h(xyx−1y−1

)= h (x)h (y)h (x)−1 h (y)−1 ∈ [F ′, F ′]

y entonces π ◦ h (xyx−1y−1) = [F ′, F ′] entonces xyx−1y−1 ∈ ker (π ◦ h).Recıprocamente, si a ∈ ker (π ◦ h) entonces π ◦ h (a) = [F ′, F ′] ası que

h (a) ∈ [F ′, F ′] = 〈{xyx−1y−1 : x, y ∈ F ′}〉 luego podemos expresar h (a) dela siguiente forma

h (a) =n∏i=1

xiyix−1i y−1

i

y luego

a =n∏i=1

h−1 (xi)h−1 (yi)h

−1h−1 (xi)−1 h−1 (yi)

−1 ∈ [F, F ]

78

3.4 Grupos Libres

y por la proposicion 3.51 tenemos que F� [F, F ] y F ′� [F ′, F ′] son gruposabelianos libres sobre S y S ′ respectivamente y luego por el corolario 3.33tienen el mismo cardinal. La prueba recıproca es identica a la de gruposabelianos libres.

Definicion 3.53. Si F es un grupo libre sobre S entonces definimos el rangode F como el numero cardinal de S.

El corolario 3.52 nos dice que el rango es un invariante de grupos, almenos si el rango es finito, se puede mostrar tambien se cumple si el rango esinfinito, la prueba de esta afirmacion es solo aritmetica, por lo que se omitira.

79

3.5 Presentacion de Grupos por Generadores y Relaciones

3.5. Presentacion de Grupos por Generadores y Rela-ciones

Empezamos con un resultado analogo a la proposicion 3.27 para gruposarbitrarios.

Proposicion 3.54. Todo grupo es imagen homomorfica de un grupo libre.Para ser precisos, si S es un conjunto arbitrario de generadores del grupo Gy F un grupo libre sobre S entonces la inclusion i : S → G determina unepimorfismo de F a G.

Demostracion. La prueba de esta proposicion es analoga a la 3.27.

Esta proposicion nos permite dar una definicion de relacion no trivialentre generadores por un metodo analogo al de los grupos abelianos, la difer-encia en es este caso general es que no cualquier subgrupo puede ser el nucleode un homomorfismo, solo los grupos normales, ası que haremos una modifi-cacion en esta definicion.

Definicion 3.55. Sea S un conjunto de generadores del grupo G y F ungrupo libre sobre S respecto a la funcion ϕ : S → F . Sea ψ : S → G lainclusion y f : F → G el unico homomorfismo tal que ψ = f ◦ ϕ, definimosuna relacion entre los generadores de S para el grupo G como un elementono trivial r ∈ ker f .

S

ψ��

ϕ // F

f��~~~~

~~~

G

Definicion 3.56. Si tenemos {ri}i∈I una familia de relaciones entonces sedice que una relacion r es consecuencia de los {ri}i∈I si r pertenece al menorsubgrupo normal que contiene a los {ri}i∈I . Si cualquier relacion es conse-cuencia de {ri}i∈I se dice que {ri}i∈I es un conjunto completo de relaciones.

En vista de la definicion anterior es conveniente denotar por⟨{ri}i∈I

⟩al

menor subgrupo normal que contiene a {ri}i∈I .Si {ri}i∈I es un conjunto completo de relaciones, entonces ker f esta com-

pletamente determinada por {ri}i∈I , ya que es la interseccion de todos lossubgrupos normales que contienen a {ri}i∈I . Ası que G esta completamentedeterminado, salvo isomorfismos, por el conjunto generador S y el conjunto

{ri}i∈I pues G es isomorfo al cociente F�⟨{ri}i∈I

⟩.

80


Definicion 3.57. Una presentacion de un grupo G es un par(S, {ri}i∈I

)donde S es un conjunto generador de G y {ri}i∈I es un conjunto completode relaciones entre los generadores. La presentacion se dice finita si tanto Sy I son finitos y el grupo G se llama de presentacion finita si posee al menosuna presentacion finita.

Notese que culaquier grupo admite muchas presentaciones distintas, recıpro-camente dadas dos presentaciones es, en general, difıcil saber si los gruposque definen son isomorfos.

Ejemplo 3.58. Un grupo cıclico de orden n admite una presentacion ({x} , xn).

Demostracion. Sea G un grupo cıclico de orden n, digamos

G ={x, x2, x3, . . . , xn = 1

}entonces por lo sabido de grupos libres tenemos el siguiente diagrama con-mutativo

S = {x}ψ

��

ϕ // 〈ϕ (x)〉 = Ff

wwooooooooooooo

G

donde ψ es la inclusion y f es un epimorfismo por la proposicion 3.54. Como

F = 〈ϕ (x)〉 es claro que F es el cıclico infinito; y f(ϕ (x)k

)= xk Luego

ker f ={xk : f

(xk)

= 1}

={ϕ (x)k : f

(ϕ (x)k

)= 1}

={ϕ (x)k : ∃m ∈ Z tal que f

(ϕ (x)k

)= xnm

}=

{ϕ (x)k : ∃m ∈ Z tal que xk = xnm

}=

{ϕ (x)k : ∃m ∈ Z tal que k = mn

}= 〈ϕ (x)n〉

ası una presentacion para G es (x, ϕ (x)n), o bien, abusando de la notacion,como lo haremos de ahora en adelante, aprovechando que ϕ es inyectivapodemos escribir la presentacion de G ası (x, xn).

81


Proposicion 3.59. Las presentaciones ({a, b} , baba−1) y ({a, c} , a2c2) de-finen el mismo grupo.

Demostracion. Sean F (a, b) y F (a, c) los grupos libres sobre los conjuntos{a, b} y {a, c} respecto a ϕf y ϕg respectivamente. Definamos los homomor-fismos f : F (a, b) → F (a, c) y g : F (a, c) → F (a, b) de la siguiente forma.Sean f : {a, b} → F (a, c) y g : {a, c} → F (a, b) por la siguiente regla

f (a) = ϕg (a)

f (b) = ϕg (c)ϕg (a)

g (a) = ϕf (a)

g (c) = ϕf (b)ϕf (a)−1

luego, por definicion de F (a, b) y F (a, c) tenemos la existencia de unicosf : F (a, b) → F (a, c) y g : F (a, c) → F (a, b) que hacen conmutar elsiguiente diagrama

{a, b}f

��

ϕf // F (a, b)

fyyssssssssss{a, c}g

��

ϕg // F (a, c)

gyyssssssssss

F (a, c) F (a, b)

Afirmamos que f y g son isomorfismos y uno es inverso del otro, vamos aprobarlo en los generadores

g(f (ϕf (a))

)= g (f (a))

= g (ϕg (a))

= g (a)

= ϕf (a)

g(f (ϕf (b))

)= g (f (b))

= g (ϕg (c)ϕg (a))

= g (ϕg (c)) g (ϕg (a))

= g (c) g (a)

= ϕf (b)ϕf (a)−1 ϕf (a)

= ϕf (b)

ası que g ◦ f = Id

82


hagamos lo mismo para f ◦ g

f (g (ϕg (a))) = f (g (a))

= f (ϕf (a))

= f (a)

= ϕg (a)

f (g (ϕg (c))) = f (g (c))

= f(ϕf (b)ϕf (a)−1)

= f (ϕf (b)) f(ϕf (a)−1)

= f (b) f (a)−1

= ϕg (c)ϕg (a)ϕg (a)−1

= ϕg (c)

luego f ◦ g = Id con esto probamos que tanto f como g son isomorfismos yque son inversos uno del otro.

Ahora afirmamos que⟨ϕg (a)ϕg (c)2⟩ = f

(⟨ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1⟩)

Note que

ϕg (a)2 ϕg (c)2 = ϕg (c)−1 f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)ϕg (c)

pues

ϕg (a)2 ϕg (c)2 = ϕg (c)−1 ϕg (c)ϕg (a)ϕg (a)ϕg (c)ϕg (a)ϕg (a)−1 ϕg (c)

= ϕg (c)−1 f (b) f (a) f (b) f (a)−1 ϕg (c)

= ϕg (c)−1 f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)ϕg (c)

luego ϕg (a)2 ϕg (c)2 ∈⟨f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)⟩.

Ahora como⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩ es el mınimo subgrupo normal que contiene

a ϕg (a)2 ϕg (c)2 entonces⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩ ⊂ ⟨f (ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)⟩

y como f es un isomorfismo entonces⟨f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)⟩ = f

(⟨ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1⟩)

83


y con esto terminamos la primer contencion, la otra es analoga,

f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1) = ϕg (c)−1 ϕg (a)2 ϕg (c)2 ϕg (c)

ası que f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1) ∈ ⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩ y por la misma

razon anterior⟨f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)⟩ ⊂ ⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩

y luego

f(⟨ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1⟩) ⊂ ⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩

lo que prueba que⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩ =

⟨f(ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1)⟩

lo que prueba nuestra afirmacion. De manera analoga podemos probar que⟨ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1⟩ = g

(⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩)

por lo tanto, el subgrupo normal de F (a, b) generado por

ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1

; y el subgrupo normal de F (a, c) generado por

ϕg (a)2 ϕg (c)2

se corresponden por los isomorfismos f y g. Entonces tenemos un isomorfismo

f :F (a.b)⟨

ϕf (b)ϕf (a)ϕf (b)ϕf (a)−1⟩ → F (a, c)⟨ϕg (a)2 ϕg (c)2⟩

Note que la escencia del razonamiento anterior esta contenido en dossimples calculos:

1. Si b = ca entonces baba−1 = ca2c y a2c2 = c−1 (baba−1) c.

2. Si c = ba−1 entonces a2c2 = a2 (ba−1) (ba−1) ⇒ a2c2 (ba−1)−1

= a2 ⇒(ba−1) a2c2 (ba−1)

−1= baba−1.

84


En el siguiente capıtulo veremos que estos grupos anteriores son el grupofundamental de la Botella de Klein.

Ahora encontraremos una presentacion para G� [G,G] en terminos de lapresentacion de G .

Observemos que si tenemos un conjunto S y una funcion ψ : S → G talque ψ (S) genera a G, si F es un grupo abeliano libre sobre S con respecto aϕ : S → F , entonces por definicion existe un unico homomorfismo que haceconmutar el siguiente diagrama

S

ψ

��

ϕ // F

f��~~~~

~~~

G

aun mas, dado que ψ (S) genera a G, f es claramente un epimorfismo, yaque si g ∈ G entonces podemos expresar a g como productos de potencias deelementos en ψ (S)

g =n∏i=1

ψ (si)hi

luegon∏i=1

ϕ (si)hi ∈ F y ademas por la conmutatividad del diagrama tenemos

que

f

(n∏i=1

ϕ (si)hi

)=

n∏i=1

f (ϕ (si))hi =

n∏i=1

ψ (si)hi = g

ası que efectivamente, f es epimorfismo.Podemos extender el diagrama anterior al siguiente

Sϕ //

ψ

��

FπF //

f

(I)

zzttttttttttt F� [F, F ]

f

(II)

zzttttttttttttttttttttttt

G

πG��

(III)

G� [G,G]

Dado que por la proposicion 3.51 se cumple que F� [F, F ] es un grupoabeliano libre sobre S con respecto a la funcion πF ◦ ϕ : S → F� [F, F ]

85


lo que nos da la existencia de la unica funcion f que hace conmutar el dia-grama grande (III) anterior, ahora con esto veremos que el trapecio (II) enel diagrama tambien conmuta, para esto hay que probar que f ◦πF = πG ◦f .Primero sabemos, ya que (I) y (III) conmutan que f ◦πF ◦ϕ (x) = πG◦ψ (x) =πG ◦ f ◦ ϕ (x) para cada x ∈ S, o bien, f ◦ πF (ϕ (x)) = πG ◦ f (ϕ (x)) paracada ϕ (x) ∈ ϕ (S) con F = 〈ϕ (S)〉 ası que f ◦ πF = πG ◦ f y por lo tanto eltrapecio (II) conmuta.

Ahora afirmamos que f (a [F, F ]) = f (a) [G,G] en efecto, sea a ∈ Fentonces f ◦ πF (a) = πG ◦ f (a) y ası f (a [F, F ]) = f (a) [G,G] .

Veamos que f es epimorfismo. Sea g [G,G] ∈ G� [G,G], entonces g ∈ G ylo podemos expresar como productos de potencias de elementos de S digamos

g =n∏i=1

ψ (si)hi

luegon∏i=1

ϕ (si)hi [F, F ] ∈ F� [F, F ]

ası tenemos que

f

(n∏i=1

ϕ (si)hi [F, F ]

)= f

(n∏i=1

ϕ (si)hi

)[G,G]

=n∏i=1

f ◦ ϕ (si)hi [G,G]

=n∏i=1

ψ (si)hi [G,G]

= g [G,G]

que es lo que querıamos probar.Veamos ahora que ker f = {a [F, F ] : a ∈ ker f}. Sea a [F, F ] con a ∈ ker f

entonces f (a [F, F ]) = f (a) [G,G] = [G,G] pues f (a) = 1 ası que a [F, F ] ∈ker f . Recıprocamente, sea a [F, F ] ∈ ker f entonces f (a [F, F ]) = [G,G],pero por otro lado, f (a [F, F ]) = f (a) [G,G] lo que implica que f (a) ∈ [G,G]entonces

f (a) =n∏i=1

(xiyix

−1i y−1

i

)hi86


con xi, yi ∈ G; por ser f un epimorfismo existen x′i, y′i ∈ F tal que f (x′i) = xi

y f (y′i) = yi y sustituyendo y usando el hecho de que f es homomorfismo

f (a) = f

(n∏i=1

(x′iy′i (x′i)−1

(y′i)−1)hi)

y ası

1 = f (a) f

(n∏i=1


(y′i)−1)hi)−1

= f

a( n∏i=1


(y′i)−1)hi)−1

lo que quiere decir que a

(n∏i=1

(x′iy′i (x′i)−1 (y′i)

−1)hi)−1

∈ ker f ası entonces,

como

(n∏i=1

(x′iy′i (x′i)−1 (y′i)

−1)hi)−1

∈ [F, F ]

a [F, F ] = a

(n∏i=1


(y′i)−1)hi)−1

[F, F ] ∈ ker f

esto prueba la otra contencion y por lo tanto la igualdad

ker f = {a [F, F ] : a ∈ ker f} . (9)

Ahora con estas observaciones podemos encontrar la presentacion paraG� [G,G]

Proposicion 3.60. Sea(S, {ri}i∈I

)una presentacion para un grupo G, en-

tonces una presentacion respecto a un grupo abeliano libre F (S) paraG� [G,G] es (

πg (S) | {ri [G,G]}i∈I)

Demostracion. Sea F (S) un grupo libre sobre S con respecto a la inclusion,

entonces G ∼= F (S) �⟨{ri}i∈I

⟩y ademas tenemos un diagrama conmutativo

S

π��

ϕ // Ff

||xxxx

xxxx

x

F�N

87


donde π es la proyeccion natural, y por la conmutatividad del diagrama, tam-

bien lo debe de ser f , y ademas es claro que π (S) genera a F (S) �⟨{ri}i∈I

⟩por lo que podemos usar las observaciones anteriores.

Afirmamos ahora que

⟨{ri}i∈I

⟩=

{m∏k=1

x−1k rnkik xk : xk ∈ F, rik ∈ {ri}i∈I , nk ∈ Z,m ∈ N

}

dado que⟨{ri}i∈I

⟩C F (S) entonces ker f debe contener a los productos

m∏k=1

x−1k rnkik xk y tenemos la contencion

⟨{ri}i∈I

⟩⊃

{m∏k=1


}

ahora

{m∏k=1


}C F (S) y ademas

este subgrupo contiene a los {ri}i∈I , entonces por ser⟨{ri}i∈I

⟩el menor sub-

grupo normal con estas propiedades tenemos que

⟨{ri}i∈I

⟩⊂

{m∏k=1


}

y por lo tanto la igualdad, hay que notar que⟨{ri}i∈I

⟩= ker f

ya que f es la proyeccion natural y de (9) y de la igualdad recien obtenidatenemos que

ker f = {a [F, F ] : a ∈ ker f}

=

{m∏k=1

x−1k rnkik xk [F, F ] : xk ∈ F, rik ∈ {ri}i∈I , nk ∈ Z,m ∈ N

}

=

{m∏k=1

(x−1k [F, F ]

) (rnkik [F, F ]

)(xk [F, F ]) : xk ∈ F, rik ∈ {ri}i∈I , nk ∈ Z,m ∈ N

}=

⟨{ri [F, F ]}i∈I

⟩88


entonces una presentacion para G� [G,G] es(π (S) , {ri [F, F ]}i∈I

).

Enfatizamos que la presentacion dada para G� [G,G] en la proposicionanterior es respecto a un grupo abeliano libre puede ser distinta a una pre-sentacion dada respecto a un〈〉 grupo libre.

89

Documents

3. Grupos Libres y Productos Libres de Gru- postesis.uson.mx/digital/tesis/docs/18960/Capitulo3.pdfest a bien de nida ya que el producto es nito y Aes un grupo abeliano as que no depende