1El tomoEl modelo de tomo de Rutherford basado en la mecnica clsica consta de un electrn girando alrededor de ncleo a travs de una atraccin elctrica.

Ep=- 2Ek E=Ep+Ek=-Ek < 0

La energa del sistema es negativa (E

2Modelo de Bohr

Niels Bohr (Nobel en 1922) propuso, basado en la hiptesis de De Broglie (anterior a la formulacin de Schrodinger ), que el electrn deber formar una onda estacionaria a lo largo de su rbita

Como la circunferencia de la rbita es (2 r) y se debe formar una onda estacionaria entonces:

2 r = n e con n un nmero enteroy e=h/p la longitud de onda del electrn

2 r = n e= n (h/p= nh/(m v)

L=mvr= momento angular delelectrn

El momento angular del electrn resulta cuantizado!!3

Onda de De Broglie viajandoen una trayectoria circular

La energa del tomo tambin resulta cuantizada con la proposicin de BohrPara Z=1 (tomo de hidrgeno) E=(-13.6 eV) (1/n2)=-E0/n2

Conclusiones: Los valores de energa para un electrn ligado al ncleo son discretos En=-E0/n2 siendo n un nmero entero Existe un mmimo valor de energa E=-E0 ( no es posible que su energa sea menor que este valor el tomo es estable !!!

4

3Cul es el tamao del tomo en este modelo?

Ze

n=1

n=2

n=3

Si n=1 (estado fundamental) y Z=1 (at. Hidrgeno) r 0.529 A (a0=radio de Bohr) E=-13.6 eV

1A=10-10 m 1eV=1.6 10-19 J5

Esto sale usando

y

Transiciones cunticas. Emisin y absorcin de radiacin

Los tomos absorben y emiten radiacin electromagntica solamente de frecuencias bien caractersticas

Emisin de radiacin

nf ni+

El electrn en un estado de energa superior ni decae a un estado de energa menor nf y la diferencia de energa se la lleva un fotn (la frecuencia del fotn corresponde a la diferencia de energa de los niveles)

En i= Enf+ h

ni > nf 6

4Absorcin de radiacin

ni nf+

Un fotn llega a un tomo y es absorbido por el electrn si y slo si su energa es igual a la diferencia de energa entre el nivel inicial ni y un nivel nf

En f= Eni+ h

nf > ni

La emisin y absorcin de radiacin por un tomo solo a frecuencias caractersticas queda ahora explicada con el modelo de Bohr, debido a que cada tomo tiene niveles de energa caractersticos

7

Ejemplo: Espectro de emisin de tomo de hidrgeno (Z=1)

400 nm 700 nmEspectro de emisin de H en el rango visible

(13.6eV-3.4eV)=10.2 eV=(10.2 eV)/h=2.46 1015 Hz=c/= 121 nm (ultravioleta)

(3.4eV-1.51eV)=1.89 eV=(1.89 eV)/h=4.56 1014 Hz=c/= 656 nm (rojo)

656 nm

(3.4eV-0.85eV)=2.55 eV=(2.55 eV)/h=6.16 1014 Hz=c/= 486 nm (azul)

486 nm

Lyman (UV)

Balmer (UV y visible)

Paschen (IR)

8

5Energa de ionizacin: si quiero sacar arrancar a un electrn desde el estado fundamental fuera del tomo debo entregarle una energa mnima de 13.6 eV

ni=1nf= Eioniz=E0 ((1/1)-(1/)) =13.6 eV

9

Ventajas del modelo de Bohr

Predice que el tomo es estable y que sus energa son discretas. Describe bien los valores de energa de los estados del tomo de hidrgeno. Predice la existencia de un estado fundamental (el sistema no puede bajar su energa por debajo del nivel fundamental)

Explica bien los espectros de emisin y absorcin de energa. Al menos la posicin de la frecuencia de la radiacin emitida y absorbida

Inconvenientes con el modelo de Bohr:

No explica como se forman los estados ligados entre tomos (molculas, slidos, etc)

No explica bien las variaciones del espectro de energa debido a la interacciones entre varios electrones (por eso funciona bien para el hidrgeno que tiene un solo electrn y empieza a fallar para tomos de ms electrones como He,Li,etc)

No explica detalles del espectro de energa (estructura fina, hiperfina, etc)

No explica el ancho de las lneas espectrales de emisin de radiacin

I()

Porqu las lneas de emisin tienen distinto ancho?Que representa el ancho de las lneas?

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6Emisin de radiacin

Nf, Ef ni, Ei +

El estado ni es inestable (por eso el electrn decae al estado nf) es la vida media del estado excitado (es decir el electrn permanece ah un tiempo medio y despus decae al estado de menor energa

Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg si un estado existe durante un tiempo tiene una incerteza en su energa

Entonces como la energa del estado Ei no es exacta sino que tiene cierta incerteza, el espectro de los fotones emitidos tiene una cierta incerteza en la frecuencia y los picos tienen un ancho

11

Experimento de Franck-Hertz (1914)Este experimento fue el primero que confirm que los niveles de energa de los tomos eran discretos. Se arrancan electrones de un ctodo C y se los acelera hasta una energa (V0.e) por la grilla G, pasando por estos por una zona con vapor de mercurio. Si los electrones llegan a la grillaG con energa cintica > (e.V) podrn alcanzar el nodo A y contribuir a la corriente i del nodo. Pero ocurre que si la energa cintica que ganan en el primer tramo (C-G) es mayor que la primera energa de excitacin de los tomos de mercurio los electrones pueden entregar su energa cintica por colisin a los tomos de Hg y en ese caso no llegarn con suficiente energa cintica a la grilla V0 como para llegar al nodo A y contribuir a la corriente i, y por eso se observa que la corriente disminuyaSi se sigue aumentando V0 eventualmente llegarn a tener sufieciente energa cintica como para excitar dos tomos de Hg y as sucesivamente.

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Vapor de mercurio

Corrientenodo i

7Si Ek(e-) < E excitacin solo hay colisiones elsticas, poca prdida de energia cintica

Si Ek(e-) > E excitacin casi toda la energa cintica es absorbida excitando al tomo entonces se reduce la corriente

Para el mercurio (Hg) la primera energa de excitacin es 4.9 eV

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tomo de Hidrgeno segn la Ec. de Schrodinger

Veamos como describir al tomo de Hidrgeno, el ms simple (Z=1) dentro del esquema de la ecuacin de Schrodinger

r

La ecuacin de Schrodinger indpendiente del tiempo considerando el ncleo fijo (muy pesado comparado con el electrn)

Fuerza Coulomb

Laplaciano=2

Al resolver esta ecuacin podremos obtener toda la informacin disponible sobre el electrn en el tomo de hidrgeno

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8Ecuacin de Schrodinger con potencial de Coulomb

Como el potencial de Coulomb es central (depende slo de la distancia entre el electrn y el ncleo, r) es ms simple plantear la ecuacin de Schrodinger en coordenadas esfricas (r, , )

El laplaciano expresado en coordenadas esfrica queda:

Coordenadas cartesianas

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Ec. Schrodinger 3D

0 r 0 0 2

Reemplazando la forma del potencial de Coulomb y reordenando

Multiplico toda la ecuacin por r2 y reemplazo por el valor del Laplaciano en coord. esfricas:

Queda separado en dos partes: una parte que depende de r y la otra de las variables y

Suponemos que la solucin se puede separar de la siguiente manera (r,,)=R (r).Y(,)

depende der=cte

depende de y =-cte 16

9La nica forma que esta igualdad se mantenga para todo valor de r, y es si las dos partes de la ecuacin son constantes iguales y opuestas (independiente de r, y )

Sea la constante l(l+1) (despus veremos porqu escribimos a la constante de esta manera)

La parte angular de la ecuacin queda:

Esta parte va a quedar igual para todo potencial central (del estilo V(r )) lo que va a cambiar es la parte radial de la ecuacin.

Separemos de nuevo la solucin Y(,)=T().F()Reemplacemos en la ecuacin anterior y multipliquemos todo por sin2()

Depende de solamente=cte

Depende de solamente=-cte 17

Igual que antes para que se satisfaga para todos los valores de y es necesario que ambas partes de la ecuacin sean constantes iguales y opuestas.Escribimos la constante como m2

Se requiere que la funcin F(0)=F(2) (funcin univaluada)Entonces es necesario para que se cumpla esto que la constante m se un entero:

m=0, 1, 2, ....Luego la parte de la ecuacin que depende de queda:

Esta ecuacin tiene una solucin T() bien definida en el intervalo =0 hasta = si y solo si: l es un nmero natural (l=0,1,2,...) m pertenece al conjunto [-l.-l+1,.....0,....,l-1,l] 18

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Cuando ocurre esta condicin, la solucin T() es lo que se denomina un polinomio de Legendre en cos()

En total la parte angular es Ylm(,) y se denomina armnico esfrico

Ylm(,)=Pl(cos()). e(imf)

Con l= 0,1,2... Nmero angularY m=-l,-l+1,.....,0,...,l-1,l Nmero magntico

Ejemplos de armnico esfricos

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De donde salen las constantes de normalizacion estas ?Recordemos que la funcin de onda debe estra normalizada

d3r

De aqu salen las constantes para que la integral sea 1

20

11

Qu significado fsico tienen los nmeros l y m ?

Interpretacin vectorial: El momento angular del electrn resulta cuantizado, pero uno puede hacer la asociacin clsica de que el momento angular L es un vector que gira alrededor del eje z y que tiene cuantizado el modulo y la proyeccin Lz del vector L en el eje z (Las componentes Lx y Ly oscilan)

l especifica el modulo del momento angular Lm especifica la proyeccin en la direccin z del vector L

Ejemplo l=2 m=-2,-1,0,1,2

m=2

m=1

m=0

m=-1

m=-2

donde l=0,1,2....,n-1

m=-l,-l+1,....,0,.....,l-1,l

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La parte radial de la ecuacin de Schrodinger queda

o bien

Potencial atractivoCoulomb

Potencialcentfugo

L2=l(l+1)=momento angular

Buscamos soluciones de esta ecuacin que satisfagan las condiciones

R(r=)=0 o sea la probabilidad de encontrar al electrn alejado del ncleo es cero, porque estamos fijndonos en los estados ligados del tomo de hidrgeno

Se puede mostrar que la ecuacin anterior tiene solucin si y solo si:

E=En=-E0/n2 siendo n entero, n=1,2,3,.... y se cumple que l n-1 22

12

Entonces las soluciones son funciones asociadas con el nmero cuntico n que determina la energa y el nmero cuntico l, estas funciones se denominan polinomios de Hermite

Las soluciones Rn,l (r) dependen de n y de l pero la energa de los estados dependen solo del nmero cuntico n

Adems deben cumplir con la condicin de normalizacin:

Ejemplos de las primeras funciones Rn,l (r)

Donde a0=Radio de Bohr=0.529 A

0.00.0

R

1

0

(

r

)

r 23

0.0

R

2

0

(

r

)

r

0.0

R

2

1

(

r

)

r

En general puede decirse que Rnl (r ) decae para r grandes como exp(-r/n a0) Rnl (r=0) 0 solo si l=0. Si l0 la barrera centrfuga impide que se acerque al ncleo

24

13

Resumen

El estado de un electrn cerca de un ncleo est dado por una funcin de onda (r,,)=Rnl (r).Ylm(,) que depende de 3 nmeros cunticos: n,l,m

n=1,2,3....... (nmero cuntico principal)n define el valor de la energa En=-E0/n2 (E0=13.6 eV)

Para cada n tenemos (n-1) posibles valores de l (nmero angular) l=0,1,2,.....n-1

Para cada valor de l tenemos (2l+1) posibles valores de m (nmero magntico) m=-l,-l+1,....0,.....,l-1,l

Para cada valor de n hay entonces (n-1) valores de l y por cada l hay (2l+1) valores de m y todos estos estados posibles (n,l,m) distintos tienen el mismo valor de energa En (se dice que el nivel de energa En est degenerado)

Para cada n hay n2 estados distintos con la misma energa En

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n=1l=0m=0

E=-13.6 eV1 slo estado

n=2l=0 m=0l=1 m=-1,0,1

E=-(13.6 eV)/44 estados

n=3l=0 m=0l=1 m=-1,0,1l=2 m=-2,-1,0,1,2

E=-(13.6 eV)/99 estados

26

14

Interpretacin fsica

Que podemos decir sobre donde se encuentra el electrn para un dado estado especificado por la funcin de onda n,l,m(r,,)=Rnl (r).Ylm(,)

Sabemos que es la probabilidad de

al electrn en un volumen dV alrededor del punto con coordenadas r,,

En coordenadas esfricas dV=r2 dr sin() d d

La probabilidad de encontrar al electrn para un valor fijo de r, independientemente del valor de y , se obtiene al integrar lo anterior para las variables angulares

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0.00.0

R

1

0

(

r

)

r

Ejemplo para el estado de n=1 l=0

0.0

P

1

0

(

r

)

r

radio promedio

El electrn en un estado dado no est a una distancia r fija sinoque est distribuido alrededor del ncleo con una cierta probabilidad de estar a una distancia r (como si fuera una nube electrnica difusa)

Si queremos calcular la distancia media al ncleo a que se encuentra el electrn:

28

15

El spin

Pero adems de los nmeros cunticos que hemos visto hasta ahora existe otro nmero cuntico para determinar el estado del electrn y que se denomina spin

El spin es como un momento angular intrnseco que tiene el electrn. La imgen clsica que podemos formarnos es que el spin es como si el electrn estuviera girando sobre si mismo pero no es una imagen verdadera

Entonces el electrn tiene momento angular L por estar girando alrededor del ncleo y momento angular intrnseco o spin.Al igual que el momento angular orbital L el spin tambin est cuantizado.

Para L tenamos para el mdulo de L y su proyeccin

donde l=0,1,2.......

m=-l,-l+1,....,0,.....,l-1,l

Para el caso del spin tenemos

ahora s=0,1/2,1,3/2,2.......

ms=-s,-s+1,...,s-1,s29

El spin de las partculas tiene valores posibles del nmero cuntico s semienteros (0,1/2,1,3/2,2,.....,etc)

Por ejemplo el electrn tiene spin 1/2 , entonces

s=1/2 y ms=-1/2,1/2 (solo dos posibles valores de ms)

Entonces el electrn en el tomo esta determinado por cuatro nmeros cunticos n,l,m,msComo ms tiene dos valores posibles significa que cada estado anterior (n,l,m) hay dos estados posibles (ms=-1/2,+1/2)

Para cada n hay (2.n2) estados en vez de n2 por efecto del spin

Las partculas elementales se dividen en dos tipos segn sea el valor de su spin:

Fermiones (s=1/2): electrn, mun, protn, neutrnBosones (s=0,1): fotn, mesn , etcVeremos ms adelante que esta distincin es importante cuando uno realiza la estadstica de las partculas.

30

16

Que significado fsico tiene el spin ?

Dijimos que el spin es como si fuera el momento angular ntrnseco del electrn, como si ste estuviera girando sobre smismo.

Ahora una distribucin de carga que gira, genera corriente y por lo tanto un campo magntico

Supongamos una geometra fcil para calcular el campo magntico, por ejemplo una carga q y masa m girando con velocidad angular en una circunferencia de radio r

El momento angular L ser L =m r2 La corriente I ser I =q/ =q / 2

El momento magntico dipolar es =I. Area= (q / 2).( r2)=(1/2).(q/m).L

El momento magntico es proporcional al momento angular L31

Recordemos que era un momento magntico. Si tenemos un momento magntico en un campo magntico externo este dipolo experimentar un torque que tender a alinearlo con el campo magntico

B

La energa potencial en el campo externo B es:

Esta energa es mnima si el dipolo esta alineado con el campo, en ese caso Ep=-B y el torque es ceroLa energa potencial es mxima si el dipolo esta antiparalelo con el campo magntico B

32

17

Entonces en el caso del electrn al tener un momento angular intrnseco S (spin) aparece un momento magntico asociado

g= Factor de Land 2

Spin sin el factor h barrao sea

33

Experimento de Stern-Gerlach (1930)

Este experimento permiti determinar: la presencia del spin del electrn (s=1/2) la cuantizacin del momento angular

El campo magntico del experimento esta dirigido en la direccinz

La energa potencial del electrn es:

Se hace atravesar un haz de electrones por una zona con campo magntico y se observa que el haz se separa en dos, obtenindosedos manchones en una pantalla.

34

imn

Placa fotogrfica

B F

F

18

En el experimento el campo magntico no es uniforme sino que hay un cierto gradiente de campo, esto hace que aparezca una fuerza neta sobre los electrones

Entonces dependiendo de la componente Sz del spin del electrnva a haber una fuerza neta hacia arriba o hacia abajo y apareceen la pantalla dos manchones correspondientes a los electrones con las dos componentes de spin posibles (proyeccin).

Cuntos manchones habran aparecido si hubieramos usado partculas de spin s=2 en vez de partculas de spin=1/2 como los electrones ?Respuesta: 5 manchones (Por qu?)

35

Como la componente Sz para el electrn puede valer 1/2 hay dos posibles valores de energa potencial del electrn en el campo magntico

Estructura fina

Son exactamente degenerados los niveles de energa del electrn en el tomo de hidrgeno ?Recordemos que habiamos dicho que para cada nmero cuntico n haba (2 n2) estados con la misma energa En=-E0/n2

Esto es as si consideramos solamente la interaccin de Coulomb entre el electrn y el ncleo pero hay otros efectos de menor importancia que hacen que esos estados tengan energa ligeramente distinta.

La estructura fina es debido a lo que se denomina interaccin spin-rbita (campo magntico del ncleo en torno al electrn interacta con el spin del electrn)

36

En el sistema de referencia del electrn, el protn orbita alrededor de el. Entonces el electrn ve un campo magntico Bque es proporcional a L

19

n=1 l=0 m=0

No cambian la energa

n=2

l=0 m=0l=1 m=0

l=1 ms y m anti paralelos

l=1 ms y m paralelos

10.2 eV

5 10-5 eV

Para cada valor de l, S tiene dos posibles valores por lo tanto la energa de los niveles con un dado l se divide en dos.Si l=0, la energa no cambia debido a este efecto

2 estados

8 estados

2 estados

4 estados

2 estados

Es una correccin de energa muy pequea comparada can la diferencia de energa entre los niveles de n=1 y n=2

37

Esto es lo que vara la energa de los niveles debido a la interaccin spin-rbita=(const)SzLz