Upload
eza2008
View
770
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Журнал «Математика» № 1/2012
Е. Зудинаг. Москва
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Журнал «Математика» № 1/2012
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Текстовые задачи на применение навыков счета в повседневной жизни.
Задача В1
Задачи на интерпретацию графиков и диаграмм, на соотнесение текстового описания реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса. Задачи представлены в виде графиков или диаграмм.
Задача В2
Журнал «Математика» № 1/2012
Задачи, в которых рассматриваются простые жизненные ситуации, связанные с выбором тарифных планов, заказом и доставкой товаров, выбором наиболее короткого пути.
Задача В4
Задачи на анализ явления, описываемого формулой функциональной зависимости.
Задача В12
Задача В10Практическое задание на использование вероятностных моделей.
Журнал «Математика» № 1/2012
Несложное показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение (или неравенство).
Задача В5
Задачи относятся к разделу математического анализа.
Задача В8
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В1
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Внимательно читать условие и аккуратно вычислять, тем самым укрепляя необходимую базу для решения более сложных задач (В13).
Невнимательное чтение условия задачи и неверные вычисления приводят к возникновению ошибок.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит сумка во время распродажи?
Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей:
р.
Цена понизилась на 290 рублей.
Новая цена равна:
1450 – 290 = 1160 р.
201450 290
100
Решение.
Ответ: 1160.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 октября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 ноября – 12 801 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в октябре?
Решение.
Ответ: 580,8.
Найдем, сколько электроэнергии было использовано за октябрь: 12801 – 12625 = 176 кВт.ч.Так как 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 р. 30 к., то заплатить нужно 3,3 · 176 = 580,8 р.
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В2
Уметь интерпретировать графики, извлекать из них простейшую числовую информацию и делать необходимые выводы.
Уметь делать простейшие выводы на основании графика функциональной зависимости.
Уметь соотносить текстовое описание реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса.
Уметь извлекать из графика качественную и количественную информацию о процессе.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. На диаграмме показано количество людей, побывавших в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По горизонтали указываются годы, по вертикали – количество людей, побывавших в космосе в данном году. Определите по диаграмме, сколько было таких лет, когда в космосе побывало ровно 6 человек.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем горизонтальную прямую. Она «касается» четырех столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы.
Ответ: 4.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – давление в атмосферах. Когда давление достигает определённого значения, открывается клапан, выпускающий часть пара, и давление падает.
Затем клапан закрывается, и давление снова растет. Определите по графику, сколько минут прошло между первым и вторым открытием клапана
Журнал «Математика» № 1/2012
Между первым и вторым открытием клапана прошло 10 – 4 = 6 мин.
Решение.
Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска. Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и через 10 мин. после запуска вновь достигло критического давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз. Эти моменты отметим на графике.
Ответ: 6.
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В4
Уметь применять математические методы для решения задач из различных областей науки и практики.
Уметь выполнять преобразования выражений, включающих арифметические операции.
Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор.
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Журнал «Математика» № 1/2012
Компания-перевозчик
Стоимость перевозки одним автомобилем(р. за каждые 100 км)
Грузоподъемность одного автомобиля (тонн)
А 3200 3,5
Б 4100 5
В 9500 12
1. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку груза?
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение.
Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для этого разделим массу груза на грузоподъёмность каждого автомобиля и округлим полученный результат с избытком.
Например, . Округлив, получим 4 поездки.140 :12 3
3
Компания-перевозчик
Стоимость перевозки одним автомобилем(р. за каждые 100 км)
Грузоподъемность одного автомобиля (тонн)
А 3200 3,5
Б 4100 5
В 9500 12
Журнал «Математика» № 1/2012
Расчёты можно разместить в таблице:
Заказ получается дешевле всего, если выбрать перевозчика Б.
Ответ: 426 400.
Компания-перевозчик А Б В
Стоимость перевозки (р. за каждые 100 км)
3200 4100 9500
Стоимость одной поездки
3200 · 13 =
= 41 6004100 · 13 =
= 53 3009500 · 13 =
= 123 500
Грузоподъемность автомобиля (тонн) 3,5 5 12
Число поездок 12 8 4
Стоимость всей перевозки
12 · 41 600 =
= 499 2008 · 53 300 == 426 400
4 · 123 500 =
= 494 000
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В12
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Уметь применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
Уметь интерпретировать результат и учитывать реальные ограничения.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
в Ньютонах, равна , где m – масса воды (кг),
v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение
свободного падения (считайте g = 10 м/с2), L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.
2vP m g
L
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0.
Подставим в формулу давления данные задачи:
тогда необходимо решить неравенство
Учитывая, что m > 0, получим:
откуда
Учитывая, что v > 0, получим:
v ≥ 2,8 м/с.
2
10 ,0,784
vP m
2
10 0.0,784
vm
2
10 0,0,784
v 2 7,84.v
Решение.
Ответ: 2,8.
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В10
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
Знать основные понятия теории вероятностей и статистики.
Уметь проводить доказательные рассуждения при решении задач.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с равновероятностными исходами, вычисляется по формуле
Возможны шесть исходов, то есть n = 6.
число исходов, благоприятствующих событию ( ) .
число всех исходов
A kP A
n
Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков} три исхода, т.е. k = 3. Следовательно,
3 1( ) 0,5.
6 2P A
Ответ: 0,5.
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?
Журнал «Математика» № 1/2012
Броски Исходы Исход 1 Исход 2 Исход 3 Исход 4
Первый бросок
Второй бросок
Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба раза выпал орел} исход 3, т.е. k = 1.
Следовательно,
Решение. Возможны четыре исхода:
1( ) 0,25.
4P A
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадает орел?
Ответ: 0,25.
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В5
Уметь решать уравнения и неравенства.
Знать, что данное уравнение (неравенство) сводится к линейному.
Такие уравнения (неравенства) являются базовыми: без них невозможно продвинуться в решении более сложных задач.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение большинства показательных уравнений после преобразований сводится к решению простейших показательных уравнений вида:
1. откуда f(x) = b.
2. откуда f(x) = g(x) , где a > 0, a 1.
( ) ,f x bа а( ) ( ) ,f x g xа а
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Решите уравнение
Решение. Перепишем данное уравнение в видеоткуда 5 – x = 3, значит, x = 2.
Ответ: 2.
54 64.x
5 34 4 ,x
2. Решите уравнение
Решение. Перепишем данное уравнение в виде –x – 4 = 2, значит, x = –6.
Ответ: –6.
41
25.5
x
( 4) 25 5 ,x
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение многих логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнений вида:
1. где a > 0, a 1.
Для решения такого уравнения достаточно знания определения логарифма, из которого вытекает, что f(x) = аb.
2. откуда f(x) = g(x), причем a > 0, a 1.
Решив такое уравнение, необходимо проверить корни полученного уравнения на выполнение одного из неравенств: f(x) > 0 либо g(x) > 0.
log ( ) ,а f x b
log ( ) log ( ),а аf x g x
Журнал «Математика» № 1/2012
3. Решите уравнение log6 (x + 1) = 2. Решение. Из определения логарифма следует, что x + 1 = 62, откуда х = 35.
Ответ: 35.
Журнал «Математика» № 1/2012
Для решения несложных иррациональных уравнений достаточно знать определение арифметического квадратного корня:
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен а.
Таким образом, если одновременно выполняются два условия:1. b ≥ 0. 2. a = b2.
,a b
Журнал «Математика» № 1/2012
4. Решите уравнение
Решение.
Из определения следует, что 1 – 3x = 42, откуда –3x = 15.
Следовательно, x = –5 .Ответ: –5.
1 3 4.x
Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В8
Уметь выполнять действия с функциями.
Знать геометрический смысл производной.
Знать уравнение касательной к графику функции.
Знать производные основных элементарных функций.
Уметь читать график производной функции.
Уметь применять производную для исследования функции.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке –4, проходит через начало координат. Найдите f '(–4).
Журнал «Математика» № 1/2012
O(0;0)
A(–4; –2)
Решение. Построим касательную, которая проходит через начало координат и указанную точку А с абсциссой x0 = –4. Значение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке.
Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b, то f '(x0) = k.
Журнал «Математика» № 1/2012
Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b, проходящей через точки А(–4; –2) и О(0; 0), составив систему:
4 2, 0,5,
0 0, 0 .
k b k
k b b
Следовательно, f '(–4) = 0,5.
Ответ: 0,5.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (–6; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней.
Журнал «Математика» № 1/2012
–3
y = –2M –2
Решение. Если касательная к графику функции параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней, то значение производной в точке касания равно –2, так как f '(x0) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем горизонтальную прямую y = –2.
М – точка пересечения этой прямой с графиком производной. Абсцисса точки М равна –3.
–3 – искомая абсцисса точки касания.
Ответ: –3.
Журнал «Математика» № 1/2012
ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ
Уметь решать уравнения и неравенства.
Задача С1
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение имеет хотя бы один
корень.
4 3 9 1x x x a x
Решение. Рассмотрим непрерывную функцию
1. При всех x ≥ 1
где
значит, f(x) возрастает.
9 1 3 4 .f x x x x a x
9 9 4 3 ,f x x x x x a kx m
9 4 4 0,k
Журнал «Математика» № 1/2012
3 1 4.a
Ответ: [–8; 6].
2. При всех x ≤ 1
где
значит, f(x) убывает.
3. Следовательно, х = 1 – точка минимума функции f (x), и область значений функции E(f) = [ f (1); ).
Уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда f (1) 0, то есть
9 4 4 0,k
9 9 4 3 ,f x x x x x a kx m