Transitive ( Menghantar )

Relasi R pada Himpunan A disebut menghantar (transitive) jika (a,b) R dan (b,c) R, maka

(a,c) R, untuk semua a,b,c A.

Sebagai ilustrasi, misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian

sehingga (a,b) R jika dan hanya jika b adakah keturunan a. Jelas, jika b adalah keturunan a,

yaitu (a,b) R, dan c adalah keturunan b , yaitu (b,c) R, maka c juga keturunan a, yaitu (a,c)

R. Jadi, R adalah relasi menghantar (transitive). Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian

sehingga (a,b) T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar (transitive)

Contoh :

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat postif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6 T : 3x + y = 10

R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z. S tidak menghantar

karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) ∉ S. Sebaliknya, T = {

(1,7), (2,4),(3,1) } tidak menghantar.

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} transitif?

a. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}

b. R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}

c. R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)}

Jawab:

a. Transitif

b. Tidak Transitif

c. Tidak Transitif

Ditinjau dari representasi relasi, relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus

pada matriks representasinya, tetapi sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh : jika

ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

Suatu relasi dapat mengandung bebrapa sifat sekaligus atau sama sekali tidak mengandung sifat

apa pun sama sekali. Berikut contoh dibawah mengilustrasikan hal ini.

Contoh :

Misalkan R adalah relasi yang didifinisikan pada himpunan bilangan bulat (integer), yang dalam

hal ini (x , y) R jika x adalah kelipatan dari y. tentukan apakah R refleksif, setangkup, tolak-

setangkup, dan/atau menghantar dengan menyebutkan masing-masing alasannya.

Penyelesaian :

Berdasarkan pernyataan "(x , y) R jika x adalah kelipatan dari y" kita dapat menuliskan sebagai

x = ky, yang dalam hal ini k = 0,1,2,... jadi(x , y) = ( ky , y ) R.. R bersifart refleksif, tolak-

setangkup dan menghantar, tetapi R tidak setangkup :

(a) R refleksif sebab untuk k = 1, (y,y) R. Misalnya , (4,4),(5,5), dst adalah R.

(b) R tidak setangkup sebab x ≥ y sehingga tidak mungkin y adalah kelipatan dari x kecuali

jika x = y.

(c) R tolak-setangkup karena (x , y) R dan (y , x) R jika x = y.

(d). R menghantarkan sebab jika x=ky dan y=mz, maka di sini x =kmz, sehingga x juga

kelipatan z. contohnya, jika (8,4) R dan (4,2) R, maka (8,2) R

Contoh Soal :

Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers R-1

juga transitif

Jawab:

Misalkan (a,b) dan (b,c) termasuk R-1

; maka (c,b) R dan (b,a) R. Karena transitif

maka (c,a) juga termasuk R ; oleh karena itu (a,c) R-1

Kita telah memperlihatkan bahwa

jika (a,b) R-1

, (b,c) R-1

maka (a,c) R-1

; oleh karena itu R-1

transitif.

Latihan :

1. Tentukan apakah R transitif !

a. Misalkan himpunan W = {1, 2, 3, 4} dan relasi R = {(I, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1)}.

b. Misalkan W ={1, 2, 3, 4} dan R ={(2, 2), (2, 3), (1,4), (3, 2)}.

Kunci Jawaban :

a. R tidaklah transitif karena (4, 3) R , (3, 1) R tetapi (4, 1) ∉ R.

b. R tidaklah transitif karena (3,2) R, (2,3) R tetapi (3,3) ∉ R.

2. Misalkan E = { 1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :

R1 ={(1, 2), (2, 2)}

R2 ={(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}

R3={(1,2)}

R4={(1, 1)}

R5 =E x E

Nyatakan apakah relasi-relasi ini transitif atau tidak.

Kunci Jawaban :

Masing-masing relasi ini transitif kecuali R2 , R2 tidak transitif karena

(2,1) R2, (1,2) R2 , tetapi (2,2) ∉ R2