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CF
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Método de Volume de ControleMétodo de Volume de Controle
Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
2PFG/DE/FEM/UNICAMP
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 22PF
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BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
• Suhas V Patankar – Numerical Heat Transfer and Fluid Flow
• Versteeg H. K. and Malalasekera W – An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 32PF
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Forma geral da equação de transporteForma geral da equação de transporte
• t é o tempo;• é a densidade;• V é o vetor velocidade;• é a propriedade a ser conservada;• é o coeficiente de difusão de ;• S representa os termos fontes;
{ { {FonteConvecção Difusão
Transiente
V St
r
1442443
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Quantidade de movimentoQuantidade de movimento
• U, V, W e = .(L + T)
– L e T são as contribuições das viscosidades cinemáticas de origem Laminar e Turbulenta
• S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + Atrito com paredes + Força centrífuga + Força Coriolis + Termos de empuxo + ...
V VV V P gt
r r r r r
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Conservação de energia - EntalpiaConservação de energia - Entalpia
• = h e = .[(L /PrL) + (T /PrT)]
– onde PrL e PrT são os números de Prandtl de origem Laminar (L/L) e Turbulenta (T/T)
• S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2S:S + fontes/sorvedouros de calor + condições de contorno (entradas, paredes e saídas) do domínio
DPh Vh h 2 S : S outros
t Dt
r
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Conservação de espécie químicaConservação de espécie química
• = C e = .[(L /PrL) + (T /PrT)] – C é fração molar, de massa ou volume de uma espécie
química;
– PrL e PrT são os números de Prandtl devido a transferência de massa de origem Laminar (L/DL) e Turbulenta (T/DT):
• Conhecidos por número de Schmidt onde D é o coeficiente de difusão de massa.
• S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão) + empuxo + forças devidas a gradientes térmicos (efeito de Soret) + ...
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Equações auxiliaresEquações auxiliares• São utilizadas para definir:
– Propriedades Termodinâmicas• densidade, entalpia, entropia, etc
– Propriedades de Transporte: • viscosidade, difusividade, condutividade, etc
– Termos Fonte: • leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc
– Termos ´artificiais´:• Falso transiente para relaxação e condições de contorno
• Todos os termos acima dependem de uma ou mais variáveis e/ou das equações que estão sendo resolvidas;– Quanto maior o número de equações auxiliares, maior o ´grau´ de não-
linearidade do sistema.
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Equação de transporte e MVFEquação de transporte e MVF• As equações de conservação não são resolvidas
diretamente:– São discretizadas na forma de um sistema de um sistema
algébrico de equações lineares:• Esse sistema representa o balanço dos fluxos e o armazenamento de uma
propriedade (massa, momento, energia, etc). – As equações algébricas são obtidas a partir da integração das
eqs. de conservação;– São necessárias interpolações para se obter valores das
grandezas escalares e vetoriais;• Não são utilizadas expansão em série de Taylor
(diferenças finitas) nem princípios variacionais (elementos finitos)
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Método dos Volume FinitosMétodo dos Volume Finitos
• O espaço é representado por diversos V.C. adjacentes que compõem todo domínio.
• As equações de conservação são integradas para cada V.C. para se chegar a uma equação algébrica que contem os valores de na grade.
• A equação discretizada expressa o princípio de conservação para o volume finito da mesma maneira que a equação diferencial expressa-o para um volume de controle infinitezimal.
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Conseqüências do MVFConseqüências do MVF
• A equação algébrica resultante implica que a conservação é satisfeita para cada V.C. do domínio.– Conserva o balanço das propriedades em todo o domínio;
– Isto se aplica para grades com qualquer número de pontos (volumes), não somente para grades refinadas.
• Por este motivo diz-se que o método dá ao modelo uma forte base da física do problema;– Uma solução convergida implica em uma solução que satisfaz
os princípios de conservação que regem as equações.
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Forma de FluxoForma de Fluxo
• A forma geral da equação de conservação pode ser escrita na forma de fluxo como:
• sendo um escalar J um vetor
• sendo um vetor J um tensor
PJ S St
onde J V
r
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Integrando a Eq. de ConservaçãoIntegrando a Eq. de Conservação
• A equação de transporte pode ser integrada no V.C. com o auxílio do Teorema de Gauss:
P
VC S VC
d n.J dA S S dt
r
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Célula de cálculo – 2DCélula de cálculo – 2D
• Considerando uma célula de cálculo 2D como:
• Pode-se integrar as equação de conservação na forma de fluxo
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IntegrandoIntegrando
• Assumindo um perfil de interpolação para J no VC – constante – pode-se calcular as integrais acima como:
i i
n op p P
e e w w n n s s
x xi
J A J A J A J A S St
donde J V
dx
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Forma discretizada – 2D Forma discretizada – 2D
• As EVF’s podem ser re-escritas na forma de um sistema de equações algébricas:
• Ou na forma de resíduo
P P N N S S E E W W T T
P N S E W T
a a a a a a S
onde a a a a a a
N N P S S P E E P
W W P T T P
a a a
a a S 0
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Transporte de um escalarTransporte de um escalar
• Considerando somente difusão pura – Condução por exemplo
• O termo de fluxo para esse caso pode ser escrito como:
J 0 T k T k T
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Je
Jn
Js
Jw
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Integrando no VCIntegrando no VC
n op p T T T T T
e e w w n n s s
Ti
p i
T Te we P E w P W
p EP p WP
T T snn P N s P S
p NP p SP
T TJ A J A J A J A S
tk dT
Jc dx
k kJ T T ; J T T ;
c c
kkJ T T J T T ;
c c
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Buscando os a’sBuscando os a’s
n op p
n n n ne we P E w P W
p EP p WP
n n n n Tsnn P N s P S
p NP p SP
T Tt
k kA T T A T T
c c
kkA T T A T T S
c c
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Equação discretizadaEquação discretizada
n op p
n n n ne we P E w P W
p EP p WP
n n n n Tsnn P N s P S
p NP p SP
T Tt
k kA T T A T T
c c
kkA T T A T T S
c c
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Forma geral da eq. discretizadaForma geral da eq. discretizada
• Note que todos os termos da equação algébrica discretizada podem ser colocados numa forma geral do tipo:
– T é um tipo geométrico: área ou volume
– C é um coeficiente que pode estar associado a um coeficiente de difusão e fatores geométricos da malha
– V é o valor que a variável vizinha ao ponto P assume
– P é o valor da variável no ponto P
PS T.C Value ;
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Convecção e difusão de um escalarConvecção e difusão de um escalar
• Nesse caso o fluxo seria escrito como:
n op p P
e e w w n n s s
i ii
J A J A J A J A S St
donde J u
dx
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D
Je
Jn
Js
Jw
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Integrando no VC (Integrando no VC ( = T) = T)
n op p T T T T T
e e w w n n s s
Ti i
p i
T Te we e e p P E w w w p P W
p EP p WP
T T snn n n p P N s s s p P S
p NP p SP
T TJ A J A J A J A S
tk dT
J u Tc dx
k kJ u T T T ; J u T T T ;
c c
kkJ u T T T J u T T T
c c
;
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Fluxo de massaFluxo de massa
• Os fluxos de massa são calculados por:
• Para cada face do volume de controlei i i im u A&
e e e e w w w w
n n n n s s s s
m u A m u A
m u A m u A
& &
& &
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Coeficiente de difusãoCoeficiente de difusão
• E o coeficiente de difusão por:
p p
k k=
Pr c c
e e w we w
p EP p WP
s s n ns n
p SP p NP
k A k Ad d
c c
k A k Ad d
c c
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Coeficientes a’sCoeficientes a’s
• Definindo coeficientes a’s que transmitem os efeitos convectivos, difusivos e transientes às EVF:
T,
a max 0,d m max 0, m
a max 0,d m max 0,m
at
& &
& &
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D Fluxos de massa e coeficientes de Fluxos de massa e coeficientes de difusãodifusão
• Os fluxos de massa são calculados por:
• E o coeficiente de difusão por:
m V A &
Ad
L
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Termo Termo
• Realiza uma ponderação entre a difusão e a convecção.
• Existem diversas proposições de se realizar esta ponderação que originaram diferentes esquemas de discretização;
• Os diversos esquemas são obtidos com valores apropriados de
e emax 0,d m &
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HibridoHibrido
• É o esquema padrão do PHOENICS e é acesso pela variável DIFCUT no grupo 8
• É obtido com = ½;– garante que o efeito da difusão é nulo se o Peclet da
célula for > 2
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UpwindUpwind
• É obtido com a = ½;
• Os fluxos difusivos contribuem independentemente do valor de Peclet
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ObservaçõesObservações
• Os coeficientes a’s são aproximados– Não se conhece ‘a priori’ os campos reais de velocidade e
outros escaleres – São calculados e corrigidos posteriormente, sendo que as
correções tendem a zero com convergência.
• Os acoplamentos aumenta com:– Aumento da velocidade, da área da face, da densidade do
fluido e do coeficiente de difusão
• Os acoplamentos diminuem com:– Aumento da distância internodal;
• Os coeficientes são SEMPRE POSITIVOS
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Forma geralForma geral
• A contribuição de um nó vizinho ao ponto P é dada pelo produto de seu coeficiente e da diferença entre o nó e o vizinho, por exemplo
– que também pode ser colocado na forma geral distinguindo-se os coeficientes de difusão e convecção, C , CP :
W P W w w w P W
CONVECÇÃODIFUSÃO
a max 0,d m max 0, m
& &14444424444431444444442444444443
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S = T.C.(Value-S = T.C.(Value-))
{ { {
{
w wW Ww w
w
P P PA A
max U,0A P
x
S T . C Value T . C Value ;
1442443 1442443
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Acoplamento pressão e velocidadesAcoplamento pressão e velocidades• Nova situações surgem para a eq. conservação de
movimento:– é um vetor e J passa a ter uma natureza tensorial;– Isto faz surgir três equações de conservação, uma para cada
direção.• A determinação dos fluxos requer cuidados especiais;
– Para a estabilidade, as velocidades são armazenadas nas faces dos volumes de controle.
– O deslocamento das malhas requer um número extra de interpolações lineares para se determinar as propriedades nas faces e os coeficientes;
• É necessário se conhecer a pressão!
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Determinação da pressãoDeterminação da pressão
• Uma dificuldade extra na necessidade de se determinar a pressão:– Os gradientes de pressão presentes nas equações de
momento agem como termos fontes e são necessários para se calcular o momento;
– Não há porém, uma equação óbvia para determinar a pressão.
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 372PF
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D SIMPLE – Semi Implicit Pressure SIMPLE – Semi Implicit Pressure Linked EquationLinked Equation
• A equação da pressão não é resolvida diretamente, mas suas correções.
• O algorítmo SIMPLE é um algorítmo do tipo Preditor/Corretor
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 382PF
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Campo Inicial Velocidades & Pressão
Determine Coef. aE, aW, aS, aN, aT
Resolva U* (preditor)
Determine Massa D*
Resolva P´
Passo CorretorP = P* + P´U = U* + U´
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 392PF
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Correção da pressãoCorreção da pressão
• Velocidade e pressão são determinados em duas etapas: – 1a valores de U são preditos porém imprecisos pois
não satisfazem a massa; – 2a os valores de P e U são corrigidos para satisfazer a
massa.
• Isto garante que em cada iteração os campos resultantes satisfazem a massa.
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 402PF
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Fase preditoraFase preditora
• Com um campo inicial aproximado de U* e P*, pode-se calcular os coeficientes e resolver as equações de conservação de quantidade de movimento para obter um campo de velocidade;
• Esse campo não satisfaz a massa, somente a conservação de quantidade de movimento;
* * * *P,i P,i nb,i nb,i i P i ia U a U S P P A
i x,y e z
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 412PF
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Fase corretoraFase corretora
• Os valores de U* e P* são corrigidos para se obter novos valores que satisfaça a conservação de massa;
• Os valores para as novas variáveis serão calculados como:
Ui = Ui* + Ui’; P = P*+P’
• As equações de U’ e P’ são obtidas com auxílio da equação de conservação da massa;
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 422PF
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Correção das velocidadesCorreção das velocidades
• A equação da massa para a U* e U’:
• Velocidade em função da pressão:
*
´ ´ ´ ´e e w w n n s s
correção velocidade satisfazer massa
* * * *e e w w n n s s
D balanço massa preditor
U A U A V A V A
U A U A V A V A
14444444444444444244444444444444443
1444444444444444442444444444444444443
´ ´ ´ ´P,I P,i nb,i nb,i P i i
0(SIMPLE)
a U a U P P A
14444244443
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 432PF
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Correção da pressãoCorreção da pressão
• Substituindo a equação para a correção da velocidade na conservação de massa:
E W
N S
´ ´ ´ ´e e P E w w P W
a a
´ ´ ´ ´ *n n P N s s P S
a a
d A P P d A P P
d A P P d A P P D
1442443 1442443
1442443 1442443
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 442PF
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CF
D
SIMPLE passo a passoSIMPLE passo a passo1. Campo Inicial de Pressão e Velocidades;2. Determine os coeficientes a´s; 3. Resolva o campo ´imperfeito´ das velocidades, U*, baseado
nas estimativas iniciais de P*;
4. Resolva a equação de correção da pressão, P´
5. Atualize (corrija) os valores de pressão e de velocidades para satisfazer o balanço de massa em cada volume
6. Retorne passo (2) utilizando valores de P e U corrigidos em (5)
* * * *e e nb nb P E ea U a U S P P A
´ ´ ´ ´ ´P P E E W W N N S Sa P a P a P a P a P D*
{ { * * ´ * * ´ ´e e e P E
atual preditor corretor
P P P ; U U d P P 14444244443
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 452PF
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CF
D
Campo realCampo real
• O campo real será obtido como:
U = U* + U´; V = V* + V´; P = P*+P´
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CF
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Solução numérica das equaçõesSolução numérica das equações
Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
2PFG/DE/FEM/UNICAMP
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 472PF
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CF
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Equações de conservaçãoEquações de conservação
• Uma equação algébrica e linear é criada para cada variável e para cada volume de controle da malha:
• O conjunto de equações aplicadas a todos os volumes de controle geram um sistema de equações lineares;
P P N N S S E E W W T T
P N S E W T
a a a a a a S
onde a a a a a a
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 482PF
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Controle de soluçãoControle de solução
• O PHOENICS pode resolver o sistema linear resultante de diversas formas;
• Iremos apresentar as possíveis formas;
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Método Método : Point By Point (PBP): Point By Point (PBP)
• Calcula o valor novo (n) por meio da média dos valores dos vizinhos obtidos no tempo anterior (o):
• Os valores calculados são atualizados após ser concluída a varredura do ´slab´ (plano XY visitado).
•
N S E W T
P
o o o o oN S E W Tn
N S E W T
a a a a a S
a a a a a
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Características e aplicaçõesCaracterísticas e aplicações (PBP) (PBP)
• PBP é útil para sistemas fortemente acoplados ou não-linearidades severas:
• Baixa taxa de variação na variável de uma varredura para outra.
• Ele é frequentemente utilizado para velocidades especialmente quando os efeitos viscosos não são importantes.
• Em outras circunstâncias, PBP conduz a um tempo de processamento longo devido a baixa taxa de convergência. A informação viaja um intervalo da grade por iteração.
•
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Método Método : Slabwise: Slabwise
• É o método default do PHOENICS para escalares e velocidades.
• Utiliza uma extensão do método TDMA (stone ou gradiente conjugado)
• Resolve simultaneamente todos valores num plano (XY) que pertence a uma dada posição IZ.
• Ele assume que os valores pertencentes aos volumes adjacentes são aqueles de sua última iteração.
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nSS
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CaracterísticasCaracterísticas: Slabwise: Slabwise• A informação é transmitida de uma só vez em todo o slab e
portanto sua taxa de convergência é mais rápida que o Jacobi onde a informação viaja um intervalo de grade por iteração
• No PHOENICS a varredura é sempre realizada na direção Z.– Para ser efetivo a direção principal do escoamento deve ser a direção Z.
• Se os coeficientes numa direção são muito maiores daqueles em outras direções, uma varredura na direção transversal a direção dos coeficientes dominantes resulta em uma taxa de convergência muito rápida.
• Devido às não-linearidades e pelos valores das variáveis fora do ‘slab’ serem aquelas da iteração anterior, é muito raro ter necessidade de se obter soluções precisas para um ‘slab’. É mais econômico varrer o domínio diversas vezes.
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Slabwise x ParabólicoSlabwise x Parabólico
• A opção ´slabwise´ é sempre empregada para escoamentos parabólicos.
• O processo de marcha se dá sempre na direção Z. • Neste caso, a solução depende somente dos valores do
slab da face ´LOW´ ;• Nestas circunstâncias é necessário obter uma solução
completamente convergida em cada ´slab´ uma vez que ele será visitado somente uma única vez na simulação parabólica.
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 552PF
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MétodoMétodo: Whole Field: Whole Field• Opera também como uma extensão do algoritmo
TDMA. – Neste caso a informação é propagada em todo domínio e não
em cada distância entre nós da grade ou entre ´slabs´.• Ele requer uma maior capacidade de armazenamento
porém é sempre recomendado quando as não-linearidades são pequenas:– Condução de calor e escoamento potencial.
• O campo de velocidade nunca é resolvido dessa forma• É sempre recomendado para eq. de correção da
pressão porque ele é capaz de transmitir as condições de contorno e bloqueios rapidamente em todo domínio
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Controle de convergênciaControle de convergência
Prof. Dr. Ricardo A. Mazza
2PFG/DE/FEM/UNICAMP
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RelaxaçãoRelaxação
• É uma técnica utilizada para obter soluções convergidas fazendo com que as correções sejam diminuídas;
• A relaxação não altera a solução convergida, apenas a taxa de convergência;
• Há dois tipos de relaxação que se pode utilizar:– Linear– False time step (Falso transiente)
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Relaxação linearRelaxação linear
• É feito uma ponderação linear entre as soluções antiga e nova para compor a variável:
= (1 – ) old + new
• Se = 0 = old não há correção
• Se = 1 = new não há relaxação
• O comando do PHOENICS que activa a relaxação linear é:– RELAX(, LNRLX, )
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Falso transiente (False time step)Falso transiente (False time step)
• É obtido adicionando-se um termo fonte no lado direito da equação de transporte discretizada;
• O termo adicionado é:
• A relaxação é ajustada escolhendo valores para dt:– dt elevados = new não há relaxação
– dt pequenos = old não há correção
oldp pdt
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Escolha do parâmetro dtEscolha do parâmetro dt
• Pode ser determinado pela escala de tempo característico do fenômeno estudado:– Escala de tempo convectiva: dt ~ L/U– Escala de tempo difusiva: dt ~ L2/
• O comando PHOENICS para ativas esse tipo de relaxação é:– RELAX(, FALSDT, dt)
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 612PF
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CONWIZCONWIZ
• CONWIZ é um mecanismo de relaxação padrão quando usamos o VR;
• Começa estabelecendo valores de referência para: – Length; velocity, density and temperature.
• A partir desse valores calcula taxas de alterações para as velocidades com o campo de pressão para todos os pontos;
• Define valores de relação linear para todas as variáveis;
• Define valores máximos para os incrementos por sweep para algumas variáveis;
• Ativa o procedimento Whole-field para todas as velocidades.
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SARAHSARAH
• SARAH pode ser usado para calcular o falso transiente internamente;
• O dt é calculado como:– Dt = SARAH . Valor calculado internamente
• Os valores típicos é na faixa de 0,1 até 0,001;
• Não pode ser usado em conjunto com o CONWIZ e afeta somente as velocidades– Não tem efeito sobre grandezas escalares
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Controle de interaçõesControle de interações
• É possível determinar quantas vezes cada equação será resolvida antes de resolver a próxima;
• Esse controle é feito por meio de duas variáveis:– LITER– ENDIT
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LITERLITER
• Define o número máximo de vezes que cada equação linear é solucionada para uma dada variável antes de resolver a outra equação;
• Valores elevados para LITER, maior será o tempo gasto por iteração e menor será o resíduo resultante– Pode diminuir o número total de iteração para obter solução
convergida;
• Devido ao acoplamento dos coeficientes, valores muito elevados para LITER não garante a convergência.
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ENDITENDIT
• Se for maior que zero, influencia no término das iteração no solver linear;
• É limitado pelo LITER;
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LITER e ENDIT x ConvergênciaLITER e ENDIT x Convergência• A convergência é um processo iterativo:
– O solver resolve uma variável de cada vez• Não é necessário obter uma solução perfeitamente convergida para cada varáivel
todo o tempo
• LITER:– Grande irá demandar tempo para obter uma solução para cada variável;– Pequeno provável mente não garantirá uma solução convergida uma vez
que as soluções intermediárias não estarão bem resolvidas;
• ENDIT:– Pequenos necessitará de todos o LITER– Grande fará com que o solver deixe a variável antes de obter uma
solução razoável
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Limitando as variáveisLimitando as variáveis
• Para prevenir estouros das variáveis pode-se limitar a faixa em que cada variável pode existir;
• Isso pode ser feito no PHOENICS especificando-se VARMIN e VARMAX para cada variável;
• O fato de se conseguir os valores especificados em VARMIN e VARMAX não garante uma solução convergida.
04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 712PF
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Controle das variáveisControle das variáveis
• Pode-se definir uma célula para monitorar as variáveis durante o procedimento de solução;
• Para tanto, basta informar qual é a célula que se deseja monitorar pelas variáveis:– IXMON, IYMON, IZMON
• Os valores calculados para cada variável nessa célula será mostrado graficamente caso TSTSWP = -1
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ResíduoResíduo
• Os resíduos são utilizados no PHOENICS para monitorar o procedimento de convergência;
• São definidos para cada variável como:
• Durante o procedimento computacional é possível monitorar o resíduo;
• Tende a diminuir com a adoção de estratégias de relaxação e com o número de iterações.
p p p i i T Ti W,E,S,N,L,H
e a a a S
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Monitoramento do resíduoMonitoramento do resíduo
• O resíduo pode ser acompanhado no RESULT ou graficamente;
• A freqüência do calculo do resíduo no PHOENICS é definida na variável TSTSWP– Caso seja definido TSTSWP = -1, o resíduo será
mostrado graficamente;
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Normalização do resíduoNormalização do resíduo
• O valor impresso na tela é do resíduo normalizado, calculado como:
• A solução é considerada convergida quando a quantidade acima é menor que 1;– O processo iterativo é interrompido para cada variável;
• A solução é considerada convergida quando todas as variáveis tem seu resíduo normalizado menor que 1
pe
RESREF
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Determinação do RESREFDeterminação do RESREF
• No PHOENICS quando SEFREF = T, o resíduo de referência (RESREF) é calculado automaticamente baseado nos fluxo líquidos de cada variável;
• Pode-se estabelecer uma tolerância no resíduo com a variável RESFAC;– Fazendo RESFAC = 0,01 significa que o processo
iterativo se encerra quando o erro for menor que 1% do fluxo de referencia.
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Número de iterações totalNúmero de iterações total
• Além do número de iterações de cada equação linear é possível controlar quantas vezes (iterações) todas as equações serão resolvidos;
• Esse controle é realizado pela variável LSWEEP;
• Quando maior for essa variável, maior é a probabilidade de se obter uma solução convergida e maior será o tempo computacional;
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Tempo de cálculoTempo de cálculo
• Para evitar que se fique indefinidamente buscando uma solução, pode-se especificar um limite máximo de para se obter uma solução convergida;
• É acessado pela variável MAXSEC, onde se especifica o tempo máximo de calculo em segundos;
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FIM !FIM !
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Equações de conservaçãoEquações de conservação
• Uma equação algébrica e linear é criada para cada variável e para cada volume de controle da malha:
• O conjunto de equações aplicadas a todos os volumes de controle geram um sistema de equações lineares;
P P N N S S E E W W T T
P N S E W T
a a a a a a S
onde a a a a a a