El Solucionario de Matemticaspara 2. de Bachillerato es una obra colectivaconcebida, diseada y creada en el departamentode Ediciones Educativas de Santillana Educacin, S. L.,dirigido por Enrique Juan Redal.En su realizacin han intervenido:M. Jos BarberoAna M. GazteluAugusto GonzlezJos LorenzoMercedes de LucasPedro MachnMara Jos ReyJos del RoEDICINAnglica EscoredoCarlos PrezDIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez FigueroaSantillanaMatemticas 2 BACHILLERATOBiblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO833276 _ 0001-0005.indd 1 21/7/09 10:48:592PresentacinEl nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al plantea-miento de presentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemtico debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la realidad, sino tambin la actuacin sobre ella. 6 Matrices17CRITERIOS DE EVALUACINt Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal.t Determinar la igualdad de dos matrices.t Identificar los distintos tipos de matrices.t Calcular la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada.t Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un nmero.t Calcular el rango de una matriz por el mtodo de Gauss.t Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando la definicin o por el mtodo de Gauss-Jordan.CONTENIDOSConceptost Elementos de una matriz. Clasificacin de matrices. t Operaciones con matrices: Suma y resta de matrices. Propiedades. Producto de una matriz por un nmero. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades.t Matriz traspuesta. Matriz simtrica y antisimtrica.t Rango de una matriz. Mtodo de Gauss.t Matriz inversa. Mtodo de Gauss-Jordan.Procedimientost Utilizacin de los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal, e identificacin y utilizacin de los distintos tipos de matrices.t Determinacin de la igualdad de dos matrices y clculo de la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada.t Realizacin de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un nmero.t Determinacin del rango de una matriz analizando la dependencia o independencia lineal de sus filas o columnas.t Clculo del rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss.t Clculo de la matriz inversa mediante su definicin.t Clculo de la matriz inversa utilizando el mtodo de Gauss-Jordan.OBJETIVOSt Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios.t Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o ms matrices del mismo orden.t Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o ms matrices, as como las potencias de distintos rdenes de una matriz cuadrada.t Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada.t Determinar si una matriz es simtrica o antisimtrica.t Determinar el rango de una matriz utilizando el mtodo de Gausst Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definicin de matriz inversa y por el mtodo de Gauss-Jordan.Actitudest Valoracin de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales.t Gusto por la resolucin ordenada de operaciones con matrices.t Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los clculos con matrices.dd 6-715/7/09 09:12:28 29CRITERIOS DE EVALUACIN Integrales definidas12t Obtener el rea bajo una curva de una funcin cualquiera mediante aproximacin de la suma de las reas de rectngulos de igual base.t Utilizar el concepto de integral definida y sus propiedades para resolver diferentes problemas.t Determinar la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones.t Verificar el cumplimiento del teorema del valor medio del clculo integral en distintasfunciones.t Utilizar el teorema fundamental del clculo integral para resolver problemas.t Calcular la integral definida aplicando la regla de Barrow.t Determinar la derivada de una integral definida.t Calcular el rea de una regin limitada por una curva, el eje OX y dos ordenadas de la curva.t Obtener el rea de una regin comprendida entre dos curvas.t Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin.CONTENIDOSConceptost rea bajo una curva.t Integral definida. Propiedades.t Funcin integral.t Teorema del valor medio del clculo integral.t Teorema fundamental del clculo integral.t Regla de Barrow.t Clculo de reas por integracin.t rea entre dos curvas.t Volumen de un cuerpo de revolucin.Procedimientost Obtencin del rea de diferentes recintos, mediante aproximaciones sucesivas.t Utilizacin del concepto de integral definida y de las propiedades de esta para resolver distintos problemas.t Determinacin de la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones.t Utilizacin del teorema del valor medio para resolver problemas.t Utilizacin del teorema fundamental del clculo integral en la resolucin de problemas.t Aplicacin de la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones.t Obtencin del rea de una regin limitada por una funcin y el eje OX.t Determinacin del rea comprendida entre dos curvas, entre dos valores.t Clculo del volumen de un cuerpo de revolucin.OBJETIVOSt Obtener aproximaciones del rea encerrada por una curva a travs de la suma de las reasde los rectngulos inscritos y circunscritos.t Utilizar la integral definida y sus propiedades para resolver distintos problemas.t Relacionar los conceptos de integral definida e indefinida utilizando el teorema del clculo integral.t Aplicar la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones.t Obtener el rea de una regin limitada por una funcin, el eje OX y las rectas x a y x b, as como el rea comprendida entre dos curvas.t Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin utilizando integrales definidas.Actitudest Valoracin de la precisin y utilidad del empleo de la integral definida para representar y resolver problemas de la vida diaria.X-MimeOLE: Produced By Microsoft Exchange V6.5.7226.0833276 _ 0001-0005.indd 2 21/7/09 10:49:003a-la os be d, 31Los jardines cifrados Carlo FrabettiEl narrador de esta novela es un hombre de mediana edad que ha sido abandonado por su mujer Nora. Un da conoce a otra mujer, Elena, de la que se enamora a pesar de que un amigo, que es profesor de matemticas, le dice que esa mujer no le conviene porque tambin va a dejarlo. l contesta:Al menos quisiera tener la oportunidad de comprobarlo. No hay muchas mujeres as; ni una en un millnAlto ah! exclam el amigo levantando las manos con gesto alarmado. Si empiezas a tergiversar los aspectos matemticos de la cuestin, ests perdido.Qu tienen que ver las matemticas con esto?Mucho. Ests cayendo en la faIacia en la que caen todos los tontos enamorados, valga el pleonasmo, la absurda falacia de pensar que el objeto de su amor es nico e irrepetible, o cuando menos un bien escassimo.En toda mi vida slo he conocido a dos mujeres como ellas.Supongamos, y es mucho suponer, que eso sea cierto. A cuntas mujeres has conocido?Depende de lo que se entienda por conocer.Qu entiendes t cuando dices que en toda tu vida slo has conocido a dos como ellas?Bueno, he conocido a muchas mujeres lo suficiente como para darme cuenta de si, en principio, me interesaban o no.A cuntas?No las he contado, pero muchas Varios cientosSeamos generosos y consideremos que has conocido a mil mujeres Io suficiente como para darte cuenta de su posible adecuacin como objeto amoroso. Bien, eso significa que la frecuencia estadstica del tipo Nora-Elena es del dos por mil. As que, para empezar, lo de una en un milln es pura hiprbole.PeroDjame seguir. Hay unos tres mil millones de mujeres en el mundo, de las cuales aproximadamente un tercio tendrn entre veinte y cincuenta aos (por tu bien y el de ellas. espero que no te interesen las nias ni las ancianas). Es decir, hay unos mil millones de mujeres con las que, en principio, podras relacionarte. Si la incidencia del tipo Nora-Elena es del dos por mil, eso significa que hay unos dos millones de candidatas que se ajustan a tu concepto de mujer ideal. Como vers, es matemticamente absurdo que te obsesiones con una de tan dudosa moralidad y oscuras intenciones como Elena, habiendo otros dos millones esperndote. []301SOLUCIONARIO1SOLUCIONARIOLI TERATURA Y MATEMTI CAS Los jardines cifrados De la pared del fondo parta un largo pasillo dbilmente iluminado; lo recorr y, al final, me encontr ante una puerta con apertura de combi-nacin: junto a la puerta, bajo una pequea pantalla cuadrada, haba nueve botones numerados, dispuestos en tres filas de tres. Me acord del cuadrado mgico. El enano me haba dicho que el contenido de la cajita me abrira ms de una puerta, y no tena por qu referirse slo a la msica. Saqu el cuadrado de metal [una reproduccin del cuadra-do de nmeros que aparece en el grabado de Durero titulado Melanco-la] y lo examin a la dbil luz del pasillo. Las combinaciones de las puertas solan tener cuatro cifras, y los nmeros ms significativos de aquel cuadrado eran el 15 y el 14 del centro de la ltima fila: 1514 era el ao en que Durero haba realizado su Melancola, y El Bosco haba muerto por esas fechas, tal vez ese mismo ao. Marqu el 1514 y las cifras fueron apareciendo en la pantallita cuadrada: las tres primeras en la fila superior y el 4 debajo del primer 1. Tras unos segundos, las ci-fras desaparecieron sin que ocurriera nada. Entonces pens que tena que llenar la pantalla y marcar, por tanto, nueve cifras. La probabilidad de acertar era remotsima. Marqu las nueve primeras cifras de mi cua-drado mgico, y luego las nueve ltimas. Luego prob con los nmeros del 1 al 9 en el orden en que aparecan en el cuadrado: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Prob varias combinaciones ms, pero sin xito.Entonces, cuando estaba a punto de renunciar, se me ocurri otra posi-bilidad: el cuadrado mgico que tena en la mano poda ser simplemen-te un modelo, un referente. Puesto que tena que llenar una pantalla de tres por tres y haba nueve botones numerados del 1 al 9, tal vez tuviera que componer con ellos un cuadrado mgico de orden tres: disponer los nueve dgitos de forma que todas sus filas, columnas y diagonales sumaran lo mismo. [] Estaba cansado y aturdido, y mi primer impul-so fue intentar resolver el cuadrado mgico por tanteo. Pero mi reduci-da pizarra manual no permita muchos ensayos... De pronto me acord del mtodo de Holmes: descartar lo imposible. Qu pasara si el 1 es-tuviera en la primera casilla?, me pregunt. En ese caso, como todas las filas y las columnas tenan que sumar 15, habra que poner en la prime-ra fila dos nmeros que sumaran 14, y... [...]Marqu los nmeros en ese orden y el cuadrado mgico se form en la pantalla. Con un suave zumbido, la puerta se abri.CARLO FRABETTINmeros realesMatrices1Construye el cuadrado mgico que le permiti al protagonista de esta novela abrir la puerta. Un cuadrado o un rectngulo de nmeros como el anterior (aunque no cumpla ninguna propiedad especial) se llama matriz. Hay situaciones que se pueden representar mediante una matriz. Descubre alguna. Si el 1 estuviera en la primera casilla hara falta encontrar tres parejas de nmeros cuya suma fuera 14, y esto es imposible. Solo hay dos parejas que suman 14 : 9 5 8 6 14.Siguiendo el razonamiento si el 1 estuviera 6 1 87 5 32 9 4 en la segunda casilla el cuadrado que formara es:833276Unidad01.indd 30-3132Matrices331 SOLUCIONARIOACTIVIDADES001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones.t Su dimensin sea 3 r2.t a32 a21 a11 1t a22 a12 a31 2La matriz es: 1 21 22 1

.002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listonespequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. Anota estos datosen forma de matriz.La matriz ser de dimensin 2 r 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao y los elementos de la matriz, el precio: 0 45 0 750 60 1, ,,003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales. xz x zyy y

1 3 01 2 12 1 02 3 Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser igualestodos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 r3.x 1 2 x 1 z 1 y 2 z y 1 z 33 y 1 y 2 x 2 3 x 10 0 z 1 y z 1 2 3Es decir, la solucin es x 1, y 2 y z 3.004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) Una matriz fila con cuatro columnas.b) Una matriz columna con cuatro filas.c) Una matriz cuadrada de orden 4.Respuesta abierta. Por ejemplo:a) A (1 3 1 0)b) B

1241c) C

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1ANTES DE COMENZAR RECUERDA001 Resuelve estos sistemas.a) xxxyyyzzz2 2332044

b) 2 12 3 05 7333y zx y zx y za) xxxyyyzzzx2 2332044

}}}m

y z y z y zy z y z3 2 3 2 43 3 2 4( )m ] 4 7 44 46 0 07y zy zz z m4y z 4z 0 y 1x y 3z 0y 1, z 0 x 1La solucin del sistema es x 1, y 1 y z 0.b)22531072 1xxyyyzz z y

}}m22 3 2 1 05 72 5 35x y yx yx yx y

( )m7710 xx y yx

5 717510}}mz y zy

2 13451395175}}mLa solucin del sistema es x 10, y z 175395y .002 Resuelve estos sistemas.a) x yx yx y2 02 52 3 12 b) x yx yx yx y 4402 33 4 12 3a)

x yx yx yx y2 02 522 5 2 m }}mm mx yy y y

24 5 1y 1y 2y x 22x 3y 1x 2, y 1 4 3 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.b)

x yx yx x y02 33 3 1 1 m m3x 4y 1x 1, y 1 3 4 1x 2y 3x 1, y 1 1 2 3En este caso, la solucin del sistema es vlida.En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolu-cin no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisicin de los distin-tos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.29833276 _ 0001-0005.indd 3 21/7/09 10:49:014ndiceUnidad 1 Matrices 6Unidad 2 Determinantes 8Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 10Unidad 4 Geometra en el espacio 12Unidad 5 Producto escalar 14Unidad 6 Productos vectorial y mixto 16Unidad 7 Lmites y continuidad 18Unidad 8 Derivada de una funcin 20Unidad 9 Aplicaciones de las derivadas 22Unidad 10 Representacin de funciones 24Unidad 11 Integrales indefinidas 26Unidad 12 Integrales definidas 28Programacin de las unidades833276 _ 0001-0005.indd 4 21/7/09 10:49:025680246802468Unidad 1 Matrices 30Unidad 2 Determinantes 80Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 128Unidad 4 Geometra en el espacio 202Unidad 5 Producto escalar 260Unidad 6 Productos vectorial y mixto 328Unidad 7 Lmites y continuidad 392Unidad 8 Derivada de una funcin 452Unidad 9 Aplicaciones de las derivadas 504Unidad 10 Representacin de funciones 562Unidad 11 Integrales indefinidas 664Unidad 12 Integrales definidas 720Resolucin de las actividades833276 _ 0001-0005.indd 5 21/7/09 10:49:026 Matrices1 U D I C R C CdCONTENIDOSConceptos Elementos de una matriz. Clasificacin de matrices. Operaciones con matrices: Suma y resta de matrices. Propiedades. Producto de una matriz por un nmero. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Matriz traspuesta. Matriz simtrica y antisimtrica. Rango de una matriz. Mtodo de Gauss. Matriz inversa. Mtodo de Gauss-Jordan.Procedimientos Utilizacin de los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal, e identificacin y utilizacin de los distintos tipos de matrices. Determinacin de la igualdad de dos matrices y clculo de la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada. Realizacin de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un nmero. Determinacin del rango de una matriz analizando la dependencia o independencia lineal de sus filas o columnas. Clculo del rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss. Clculo de la matriz inversa mediante su definicin. Clculo de la matriz inversa utilizando el mtodo de Gauss-Jordan.OBJETIVOS Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o ms matrices del mismo orden. Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o ms matrices, as como las potencias de distintos rdenes de una matriz cuadrada. Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada. Determinar si una matriz es simtrica o antisimtrica. Determinar el rango de una matriz utilizando el mtodo de Gauss Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definicin de matriz inversa y por el mtodo de Gauss-Jordan.Ac V G S833276 _ 0006-0029.indd 6 21/7/09 10:46:567CRITERIOS DE EVALUACIN Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensin y diagonal principal. Determinar la igualdad de dos matrices. Identificar los distintos tipos de matrices. Calcular la matriz traspuesta y la matriz simtrica de una dada. Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un nmero. Calcular el rango de una matriz por el mtodo de Gauss. Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando la definicin o por el mtodo de Gauss-Jordan.Actitudes Valoracin de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales. Gusto por la resolucin ordenada de operaciones con matrices. Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los clculos con matrices.833276 _ 0006-0029.indd 7 21/7/09 10:46:568 Determinantes2 C A A Od D C D O D CCONTENIDOSConceptos Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. Menor complementario y adjunto. Determinantes de cualquier orden. Rango de una matriz. Matriz adjunta de una matriz dada.Procedimientos Clculo del valor de un determinante de orden 2. Aplicacin de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. Utilizacin de las propiedades para simplificar el clculo de determinantes. Obtencin del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Determinacin de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Clculo del valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Obtencin del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. Obtencin de la matriz adjunta de una matriz. Clculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividindola por el valor del determinante.OBJETIVOS Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada. Obtener los valores numricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus. Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su clculo. Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz. Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla.Ac Cc P833276 _ 0006-0029.indd 8 21/7/09 10:46:569CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular el valor de un determinante de orden 2. Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los clculos. Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una lnea. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. Obtener el rango de una matriz. Determinar la matriz adjunta de una matriz dada. Calcular la matriz inversa de una matriz dada.Actitudes Curiosidad e inters por la resolucin de problemas que impliquen clculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos. Perseverancia y flexibilidad en la resolucin de problemas de determinantes.833276 _ 0006-0029.indd 9 21/7/09 10:46:5610 Sistemas de ecuaciones lineales3 A O A CONTENIDOSOBJETIVOS Resolver sistemas mediante su transformacin en sistemas escalonados. Analizar, discutir y resolver por el mtodo de Gauss sistemas de ecuaciones lineales y sistemas dependientes de un parmetro. Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogneos. Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parmetros. Discutir y resolver sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas.Ac Vy V CConceptos Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados. Mtodo de Gauss para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouch-Frbenius. Regla de Cramer. Sistemas homogneos. Sistemas con distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Sistemas dependientes de un parmetro.Procedimientos Transformacin de un sistema en otro equivalente escalonado y resolucin del mismo. Aplicacin del mtodo de Gauss a la resolucin y discusin de sistemas de ecuaciones lineales. Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones que tengan distinto nmero de ecuaciones que de incgnitas. Resolucin de sistemas de ecuaciones dependientes de un parmetro utilizando el mtodo de Gauss y discusin de sus soluciones en funcin de los valores de este. Resolucin de sistemas por mtodos matriciales, mediante la matriz inversa. Discusin y clasificacin de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouch-Frbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. Utilizacin de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual nmero de ecuaciones que de incgnitas y con determinante distinto de cero. Discusin y resolucin de sistemas homogneos. Discusin y resolucin de sistemas dependientes de parmetros.833276 _ 0006-0029.indd 10 21/7/09 10:46:5611CRITERIOS DE EVALUACIN Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformacin en sistemas escalonados. Aplicar el mtodo de Gauss para estudiar y resolver sistemas. Resolver sistemas de ecuaciones mediante mtodos matriciales. Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. Utilizar correctamente la regla de Cramer. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogneos. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parmetros.Actitudes Valoracin de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicary resolver situaciones cotidianas. Valoracin de la necesidad de interpretacin crtica de las soluciones obtenidas. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.es.s 833276 _ 0006-0029.indd 11 21/7/09 10:46:5612 Geometra en el espacio4 O C Oy A ACONTENIDOSConceptos Vectores en el espacio. Mdulo, direccin y sentido. Combinacin lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y dimensin de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector. Ecuaciones de la recta en el espacio. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Posiciones relativas de recta y plano en el espacio. Posiciones relativas de dos planos en el espacio. Posiciones relativas de tres planos en el espacio.Procedimientos Utilizacin del concepto de vector y clculo de sus elementos. Realizacin de sumas de vectores libres y producto de un nmero por un vector. Obtencin de combinaciones lineales de vectores, matrices y polinomios. Clculo de las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base cannica. Obtencin de la ecuacin de una recta en forma vectorial, paramtrica, continua y cartesiana o implcita, pasando de unas formas a otras.OBJETIVOS Determinar los elementos de un vector en el espacio. Utilizar el concepto de combinacin lineal de vectores para establecer cundo un vector depende linealmente de otros. Analizar cundo varios vectores en el espacio son linealmente independientes o dependientes. Encontrar las coordenadas de un vector en una base y determinarlas cuando se cambia de base. Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuacin de una recta en el espacio. Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuacin de un plano en el espacio. Analizar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Interpretar y resolver problemas de posiciones relativas de un plano y una recta en el espacio. Determinar las posiciones relativas de dos o tres planos en el espacio. O A f yAc V C833276 _ 0006-0029.indd 12 21/7/09 10:46:5613CRITERIOS DE EVALUACIN Determinar el mdulo, direccin y sentido de un vector en el espacio. Obtener combinaciones lineales de vectores. Determinar la relacin de linealidad entre dos vectores. Calcular las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base cannica. Expresar la ecuacin de una recta en forma vectorial, paramtrica, continua y cartesiana o implcita, pasando de una forma a otra correctamente. Obtener la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, eligiendo uno de los puntos y calculando un vector director de la misma. Expresar la ecuacin de un plano en forma vectorial, paramtrica y general, pasando de una forma a otra correctamente. Estudiar la posicin relativa de dos rectas en el espacio, distinguiendo la forma en que estn expresadas, as como el procedimiento ms adecuado para aplicar en cada caso. Analizar la posicin relativa de planos y rectas en el espacio aplicando mtodos matriciales (teorema de Rouch-Frbenius) y algebraicos (anlisis del valor del parmetro). Determinar la posicin relativa de dos planos en el espacio, analizando las matrices asociadas a las ecuaciones de los planos. Aplicar correctamente el teorema de Rouch-Frbenius para analizar la posicin relativa de tres planos en el espacio. Obtencin de la ecuacin del plano en forma vectorial, paramtrica y general, pasando de unas formas a otras. Anlisis de la posicin relativa de dos rectas en el espacio, expresadas mediante dos puntos,un punto y un vector director, o mediante ecuaciones paramtricas, continuas o generales. Determinacin de la posicin relativa de dos planos en el espacio, mediante el anlisis de las matrices asociadas a las ecuaciones generales de los planos. Determinacin de las posiciones relativas de tres planos, obteniendo las matrices del sistema formado por las ecuaciones generales de los planos y aplicando correctamente el teorema de Rouch-Frbenius. Estudio de la posicin relativa de planos y rectas en el espacio mediante mtodos matriciales y algebraicos.Actitudes Valoracin de la presencia de vectores en la realidad. Comprender el lenguaje geomtrico en informaciones de todo tipo.833276 _ 0006-0029.indd 13 21/7/09 10:46:5614 Producto escalar5 C C C o C o C CONTENIDOSConceptos Producto escalar de dos vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto escalar: ngulo entre dos vectores, clculo de vectores perpendiculares, vector perpendicular a un plano. Haces de planos. ngulo que forman dos rectas y dos planos. ngulo entre una recta y un plano. Proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. Proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Punto simtrico respecto de otro punto, una recta o de un plano. Distancia entre un punto y otro punto, una recta o un plano. Distancia entre dos planos y entre dos rectas.Procedimientos Expresin analtica del producto escalar entre dos vectores, anlisis de sus propiedades e interpretacin geomtrica del mdulo del producto escalar. Obtencin del producto escalar entre dos vectores y utilizacin de sus propiedades para resolver distintos problemas: ngulo entre dos vectores, clculo de vectores perpendiculares Clculo de las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta.OBJETIVOS Expresar analticamente el producto escalar de vectores. Aplicar el producto escalar a la determinacin de ngulos entre vectores. Calcular vectores perpendiculares a uno dado. Determinar la perpendicularidad entre planos y rectas. Determinar las ecuaciones de un haz de planos secante y perpendicular a una recta. Calcular el ngulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano. Calcular las coordenadas de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o sobre un plano. Determinar la ecuacin de la proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Establecer estrategias para determinar las coordenadas de un punto simtrico de otro respecto de una recta o de un plano. Determinar distancias entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. Hallar distancias entre planos y entre rectas determinando previamente sus posiciones relativas. Oy O C OyAc V G833276 _ 0006-0029.indd 14 21/7/09 10:46:5615CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular el producto escalar de dos vectores expresados en coordenadas. Determinar el ngulo entre dos vectores utilizando el producto escalar. Determinar el vector normal a un plano. Calcular rectas o planos perpendiculares a otras rectas u otros planos. Hallar las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta. Calcular el ngulo entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Determinar las coordenadas de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. Calcular las ecuaciones de la proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano. Hallar las coordenadas del punto simtrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. Calcular la distancia de un punto a otro punto, una recta o un plano. Determinar la distancia entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Determinacin del ngulo que forman dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Obtencin de la proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta o un plano, y de una recta sobre un plano. Obtencin del punto simtrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. Clculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. Obtencin de la distancia entre dos planos paralelos, entre una recta y un plano y entre dos rectas.Actitudes Valorar la importancia de las representaciones grficas para obtener y comunicar informacin. Gusto por la realizacin cuidadosa de los clculos con vectores.833276 _ 0006-0029.indd 15 21/7/09 10:46:5616 Productos vectorial y mixto6 Ad Ce C d CONTENIDOSConceptos Producto vectorial de vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto vectorial: clculo de bases ortogonales, clculo del vector director de una recta, reas de figuras planas en el espacio, distancia entre un punto y una recta Producto mixto de vectores: definicin, interpretacin geomtrica y expresin analtica. Aplicaciones del producto mixto: volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro, distancia entre dos rectas que se cruzan Lugares geomtricos en el espacio. Esferas. Posiciones relativas entre rectas, planos y esferas. Recta tangente y normal a un punto de una esfera. Procedimientos Expresin del producto vectorial entre dos vectores, interpretacin geomtrica y expresin en coordenadas. Aplicacin del producto vectorial para calcular un vector perpendicular a otros dos. Aplicacin del producto vectorial para hallar el rea de un paralelogramo y de un tringulo, conocidas las coordenadas de sus vrtices. Determinacin del producto mixto entre dos vectores, interpretacin geomtrica y expresin en coordenadas. Clculo mediante el producto mixto del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro.OBJETIVOS Expresar analticamente el producto vectorial de vectores. Aplicar el producto vectorial al clculo de bases ortogonales y al clculo del vector director de una recta. Expresar analticamente el producto mixto de vectores. Aplicar el producto mixto al clculo del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro definido por tres vectores. Determinar el rea un paralelogramo definido por dos vectores. Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial. Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Determinar el lugar geomtrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. Calcular la ecuacin de una esfera. Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera. C Ac V833276 _ 0006-0029.indd 16 21/7/09 10:46:5617CRITERIOS DE EVALUACIN Expresar analticamente el producto vectorial y mixto de vectores. Determinar del vector director de una recta utilizando el producto vectorial. Determinar el rea un paralelogramo definido por dos vectores. Aplicar el producto mixto al clculo del volumen de un paraleleppedo y de un tetraedro definido por tres vectores. Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial y la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Determinar el lugar geomtrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. Calcular el radio y el centro de una esfera. Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera comparando distancias y el radio de la esfera. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera.n Determinacin de la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. Clculo del radio y el centro de una superficie esfrica. Determinacin de la posicin relativa de un plano o de una recta respecto de una superficie esfrica. Determinacin de la recta tangente o normal a un punto de una superficie esfrica. Actitudes Valorar la importancia de las representaciones grficas para obtener y comunicar informacin.833276 _ 0006-0029.indd 17 21/7/09 10:46:5618 Lmites y continuidad7CONTENIDOSConceptos Lmite de una sucesin. Lmite de una funcin en el infinito. Operaciones con lmites. Lmites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones. Lmites laterales. Continuidad de una funcin en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidades. Teoremas de Bolzano y de Weierstrass.Procedimientos Determinacin, si existe, del lmite de una sucesin de nmeros reales de la que conocemos su trmino general. Determinacin, si existe, del lmite de una funcin en un punto de manera aproximada y de forma exacta. Clculo del lmite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del producto de un nmero por una funcin. Lmite de funciones potenciales, exponenciales y racionales.OBJETIVOS Determinar, si existe, el lmite de una sucesin de nmeros reales. Aplicar la definicin de lmite de una sucesin a la resolucin del lmite de una sucesin de nmeros reales. Determinar el valor del lmite de una funcin en el infinito. Aplicar la definicin de lmite de una funcin en el infinito a la resolucin de lmites de funciones. Aplicar las operaciones con lmite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolucin de lmites. Determinar el lmite de una funcin en un punto y obtener sus lmites laterales. Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del clculo de lmites. Analizar la continuidad de una funcin en un punto, verificando si los lmites laterales son iguales al valor que toma la funcin en ese punto. Determinar los puntos de discontinuidad de una funcin, y el tipo de discontinuidad que presentan. Aplicar los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolucin de problemas en los que intervengan funciones continuas. C C A D C R E E D A A O A AAc 833276 _ 0006-0029.indd 18 21/7/09 10:46:5619CRITERIOS DE EVALUACIN Calcular, si existe, el lmite de una sucesin de nmeros reales. Calcular el lmite, si existe, de una funcin en el infinito. Aplicar las operaciones con lmites para resolver lmites de funciones. Determinar el lmite de una funcin en un punto. Calcular los lmites laterales de una funcin en un punto. Resolver indeterminaciones de los tipos: ``, ` `, 1` y 00 . Estudiar la continuidad de una funcin en un punto. Estudiar la continuidad de una funcin en un intervalo. Determinar las discontinuidades de una funcin y estudiar el tipo al que pertenecen. Aplicar e interpretar geomtricamente el teorema de Bolzano para funciones continuas. Aplicar e interpretar geomtricamente el teorema de Weierstrass para funciones continuas. Obtencin de los lmites laterales de una funcin en un punto. Resolucin de indeterminaciones en el clculo de lmites. Anlisis de la continuidad de una funcin en un punto, verificando si se cumple que los dos lmites laterales son iguales al valor de la funcin en ese punto. Evaluacin de la continuidad de una funcin en un intervalo. Estudio de las discontinuidades de una funcin, determinando de qu tipo son. Aplicacin de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolucin de distintos problemas en los que intervengan funciones continuas.Actitudes Reconocimiento de la utilidad del estudio de los lmites y la continuidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo cientfico.833276 _ 0006-0029.indd 19 21/7/09 10:46:5620 Derivada de una funcin8 O A O C Cd Oy CCONTENIDOSConceptos Tasa de variacin media. Derivada de una funcin en un punto. Interpretacin geomtrica. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. Funcin derivada. Derivada de la suma y de la diferencia de funciones. Derivada del producto y cociente de funciones. Regla de la cadena. Derivadas de funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas e implcitas.Procedimientos Obtencin de la funcin derivada y de las derivadas sucesivas de una funcin. Clculo de las derivadas laterales de una funcin en un punto. Anlisis de la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto a partir de las relaciones entre ambas. Deduccin y aplicacin de las reglas de derivacin para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.OBJETIVOS Utilizar la tasa de variacin media de una funcin para interpretar situaciones de la vida cotidiana. Obtener la derivada de una funcin en un punto y sus derivadas laterales. Obtener la ecuacin de la recta tangente y la recta normal a una funcin en un punto. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto, teniendo en cuenta las relaciones entre ambas. Calcular la funcin derivada de una funcin, as como las derivadas sucesivas. Calcular derivadas usando las reglas de derivacin. Obtener derivadas de operaciones con funciones. Aplicar la regla de la cadena al clculo de la derivada de una funcin compuesta. Calcular la derivada de las funciones potenciales, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. Utilizar las tcnicas de derivacin para calcular la derivada de algunas funciones. Ac V C833276 _ 0006-0029.indd 20 21/7/09 10:46:5621CRITERIOS DE EVALUACIN Hallar la tasa de variacin media de una funcin en un intervalo. Determinar la derivada de una funcin en un punto, y sus derivadas laterales. Utilizar la interpretacin geomtrica de la derivada para resolver problemas. Obtener la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a una funcin en un punto. Analizar la continuidad y derivabilidad de una funcin en un punto. Obtener la funcin derivada de una funcin elemental. Calcular derivadas sucesivas de una funcin. Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas. Obtener la derivada de las funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas, y de funciones compuestas de estas. Calcular la derivada de una funcin expresada en forma implcita.es Utilizacin de la regla de la cadena para obtener la funcin derivada de distintas funciones compuestas. Deduccin y aplicacin de las reglas de derivacin para obtener funciones derivadas de funciones potenciales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas e implcitas.Actitudes Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo cientfico. Valoracin del lenguaje grfico a la hora de tratar la informacin. Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al mximo un fenmeno o situacin.833276 _ 0006-0029.indd 21 21/7/09 10:46:56229 Aplicaciones de la derivada O C AdCONTENIDOSConceptos Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Optimizacin. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicaciones. Regla de LHpital.Procedimientos Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtencin de los puntos crticos de una funcin y de sus mximos y mnimos a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Resolucin de problemas reales de optimizacin de funciones. Reconocimiento de los teoremas del clculo diferencial (teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy) y su aplicacin en la resolucin de problemas. Aplicacin de la regla de LHpital para resolver indeterminaciones en el clculo de lmites de funciones derivables.OBJETIVOS Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, as como sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una funcin dada. Optimizar funciones. Reconocer los teoremas fundamentales del clculo diferencial: teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, as como sus aplicaciones en diferentes contextos. Aplicar los teoremas anteriores a la resolucin de problemas. Determinar la regla de LHpital y su aplicacin al clculo de lmites.Ac V G833276 _ 0006-0029.indd 22 21/7/09 10:46:5623CRITERIOS DE EVALUACIN Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Resolver problemas reales de optimizacin de funciones: maximizar y minimizar. Comprender y aplicar en problemas reales los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicar la regla de LHpital para resolver indeterminaciones en el clculo de lmites de operaciones con funciones derivables.hy) Actitudes Valoracin de la presencia de las derivadas en la vida real. Gusto por la presentacin clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el clculo de derivadas.833276 _ 0006-0029.indd 23 21/7/09 10:46:5624 Representacin de funciones10 Cr O CONTENIDOSConceptos Dominio y puntos de corte con los ejes. Simetras. Periodicidad. Ramas infinitas. Asntotas. Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexin. Funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas a trozos.Procedimientos Obtencin del dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin dada. Estudio de las simetras de una funcin. Determinacin del perodo de una funcin peridica. Clculo de las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcin. Determinacin de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del signo de su derivada primera. Obtencin de los mximos y mnimos de una funcin a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinacin de los intervalos de convexidad y concavidad de una funcin, y de sus puntos de inflexin, mediante el estudio de su derivada segunda. Representacin grfica de funciones polinmicas, racionales, con radicales, exponenciales, logartmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores.OBJETIVOS Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es simtrica. Estudiar si una funcin es peridica y, en caso de que lo sea, calcular su perodo. Determinar las asntotas verticales, horizontales y oblicuas. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos a partir del estudio de la derivada primera. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexin a partir del estudio de la derivada segunda. Representar grficamente una funcin.Ac y A833276 _ 0006-0029.indd 24 21/7/09 10:46:5725CRITERIOS DE EVALUACIN Hallar el dominio, las simetras y los puntos de corte con los ejes de una funcin. Determinar si una funcin es peridica. Calcular las asntotas horizontales, verticales y oblicuas de una funcin, y determinar la posicin relativa de la grfica de una funcin respecto a ellas. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funcin. Obtener los mximos y los mnimos de una funcin. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Hallar los puntos de inflexin de una funcin. Representar grficamente una funcin a partir del estudio de sus propiedades.s Actitudes Reconocimiento de la utilidad del lenguaje grfico como medio para el estudio y comprensin de fenmenos de la vida real. Aprecio de los medios tecnolgicos como herramienta para analizar la realidad.833276 _ 0006-0029.indd 25 21/7/09 10:46:5726 Integrales indefinidas11 C C O y CONTENIDOSConceptos Primitiva de una funcin. Integral de una funcin. Integral de funciones elementales. Integracin por partes. Integracin de funciones racionales. Integracin por cambio de variable.Procedimientos Comprobacin, realizando la derivada, de la relacin entre una funcin y su posible funcin primitiva, y obtencin de funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivacin. Obtencin de las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas ms conocidas, aplicando las frmulas pertinentes en cada caso. Utilizacin del mtodo de integracin por partes para resolver integrales de un producto, estableciendo los factores de manera correcta para que la integral resultante sea sencilla. Resolucin de integrales de funciones racionales, reducindolas a la integral de una funcin racional con el grado del numerador menor que el grado del denominador, y analizando el tipo de races y la multiplicidad de este. Resolucin de integrales aplicando el mtodo de sustitucin o cambio de variable, determinando el cambio ms adecuado y obteniendo una integral ms sencilla que la de partida.Actitudes Sensibilidad y gusto por la presentacin clara y ordenada de los clculos numricos. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar clculos.OBJETIVOS Establecer la relacin entre una funcin y su posible funcin primitiva, realizando la derivada. Obtener funciones primitivas de funciones sencillas. Utilizar las propiedades de la integral indefinida para resolver distintos problemas. Determinar las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas. Utilizar el mtodo de integracin por partes para resolver integrales. Resolver integrales de funciones racionales atendiendo al nmero y el carcter de las races del polinomio del denominador. Resolver integrales aplicando el mtodo de sustitucin o cambio de variable.833276 _ 0006-0029.indd 26 21/7/09 10:46:5727CRITERIOS DE EVALUACIN Comprobar, mediante derivacin, si una funcin es o no primitiva de una funcin dada. Calcular las funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivacin. Obtener integrales inmediatas de funciones sencillas o compuestas. Resolver integrales utilizando el mtodo de integracin por partes. Resolver integrales de funciones racionales, analizando el grado del numerador y del denominador, y estudiando el tipo de races del denominador. Resolver integrales aplicando el cambio de variable.s, s 833276 _ 0006-0029.indd 27 21/7/09 10:46:5728 Integrales definidas12 Od d Vf C C O CCONTENIDOSConceptos rea bajo una curva. Integral definida. Propiedades. Funcin integral. Teorema del valor medio del clculo integral. Teorema fundamental del clculo integral. Regla de Barrow. Clculo de reas por integracin. rea entre dos curvas. Volumen de un cuerpo de revolucin.Procedimientos Obtencin del rea de diferentes recintos, mediante aproximaciones sucesivas. Utilizacin del concepto de integral definida y de las propiedades de esta para resolver distintos problemas. Determinacin de la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Utilizacin del teorema del valor medio para resolver problemas. Utilizacin del teorema fundamental del clculo integral en la resolucin de problemas. Aplicacin de la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtencin del rea de una regin limitada por una funcin y el eje OX. Determinacin del rea comprendida entre dos curvas, entre dos valores. Clculo del volumen de un cuerpo de revolucin.OBJETIVOS Obtener aproximaciones del rea encerrada por una curva a travs de la suma de las reas de los rectngulos inscritos y circunscritos. Utilizar la integral definida y sus propiedades para resolver distintos problemas. Relacionar los conceptos de integral definida e indefinida utilizando el teorema del clculo integral. Aplicar la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. Obtener el rea de una regin limitada por una funcin, el eje OX y las rectas x = a y x = b, as como el rea comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin utilizando integrales definidas.Ac Vy833276 _ 0006-0029.indd 28 21/7/09 10:46:5729CRITERIOS DE EVALUACIN Obtener el rea bajo una curva de una funcin cualquiera mediante aproximacin de la suma de las reas de rectngulos de igual base. Utilizar el concepto de integral definida y sus propiedades para resolver diferentes problemas. Determinar la funcin primitiva de una funcin dada, eligindola entre un conjunto de funciones. Verificar el cumplimiento del teorema del valor medio del clculo integral en distintas funciones. Utilizar el teorema fundamental del clculo integral para resolver problemas. Calcular la integral definida aplicando la regla de Barrow. Determinar la derivada de una integral definida. Calcular el rea de una regin limitada por una curva, el eje OX y dos ordenadas de la curva. Obtener el rea de una regin comprendida entre dos curvas. Calcular el volumen de un cuerpo de revolucin.Actitudes Valoracin de la precisin y utilidad del empleo de la integral definida para representar y resolver problemas de la vida diaria.833276 _ 0006-0029.indd 29 21/7/09 10:46:57Los jardines cifradosCarlo FrabettiEl narrador de esta novela es un hombre de mediana edad que ha sido abandonado por su mujer Nora. Un da conoce a otra mujer, Elena, de la que se enamora a pesar de que un amigo, que es profesor de matemticas, le dice que esa mujer no le conviene porque tambin va a dejarlo. l contesta:Al menos quisiera tener la oportunidad de comprobarlo. No hay muchas mujeres as; ni una en un millnAlto ah! exclam el amigo levantando las manos con gesto alarmado. Si empiezas a tergiversar los aspectos matemticos de la cuestin, ests perdido.Qu tienen que ver las matemticas con esto?Mucho. Ests cayendo en la faIacia en la que caen todos los tontos enamorados, valga el pleonasmo, la absurda falacia de pensar que el objeto de su amor es nico e irrepetible, o cuando menos un bien escassimo.En toda mi vida slo he conocido a dos mujeres como ellas.Supongamos, y es mucho suponer, que eso sea cierto. A cuntas mujeres has conocido?Depende de lo que se entienda por conocer.Qu entiendes t cuando dices que en toda tu vida slo has conocido a dos como ellas?Bueno, he conocido a muchas mujeres lo suficiente como para darme cuenta de si, en principio, me interesaban o no.A cuntas?No las he contado, pero muchas Varios cientosSeamos generosos y consideremos que has conocido a mil mujeres Io suficiente como para darte cuenta de su posible adecuacin como objeto amoroso. Bien, eso significa que la frecuencia estadstica del tipo Nora-Elena es del dos por mil. As que, para empezar, lo de una en un milln es pura hiprbole.PeroDjame seguir. Hay unos tres mil millones de mujeres en el mundo, de las cuales aproximadamente un tercio tendrn entre veinte y cincuenta aos (por tu bien y el de ellas. espero que no te interesen las nias ni las ancianas). Es decir, hay unos mil millones de mujeres con las que, en principio, podras relacionarte. Si la incidencia del tipo Nora-Elena es del dos por mil, eso significa que hay unos dos millones de candidatas que se ajustan a tu concepto de mujer ideal. Como vers, es matemticamente absurdo que te obsesiones con una de tan dudosa moralidad y oscuras intenciones como Elena, habiendo otros dos millones esperndote. []301 SolucionarioLI TERATURA Y MATEMTI CASLos jardines cifradosDe la pared del fondo parta un largo pasillo dbilmente iluminado; lo recorr y, al final, me encontr ante una puerta con apertura de combi-nacin: junto a la puerta, bajo una pequea pantalla cuadrada, haba nueve botones numerados, dispuestos en tres filas de tres. Me acord del cuadrado mgico. El enano me haba dicho que el contenido de la cajita me abrira ms de una puerta, y no tena por qu referirse slo a la msica. Saqu el cuadrado de metal [una reproduccin del cuadra-do de nmeros que aparece en el grabado de Durero titulado Melanco-la] y lo examin a la dbil luz del pasillo. Las combinaciones de las puertas solan tener cuatro cifras, y los nmeros ms significativos de aquel cuadrado eran el 15 y el 14 del centro de la ltima fila: 1514 era el ao en que Durero haba realizado su Melancola, y El Bosco haba muerto por esas fechas, tal vez ese mismo ao. Marqu el 1514 y las cifras fueron apareciendo en la pantallita cuadrada: las tres primeras en la fila superior y el 4 debajo del primer 1. Tras unos segundos, las ci-fras desaparecieron sin que ocurriera nada. Entonces pens que tena que llenar la pantalla y marcar, por tanto, nueve cifras. La probabilidad de acertar era remotsima. Marqu las nueve primeras cifras de mi cua-drado mgico, y luego las nueve ltimas. Luego prob con los nmeros del 1 al 9 en el orden en que aparecan en el cuadrado: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Prob varias combinaciones ms, pero sin xito.Entonces, cuando estaba a punto de renunciar, se me ocurri otra posi-bilidad: el cuadrado mgico que tena en la mano poda ser simplemen-te un modelo, un referente. Puesto que tena que llenar una pantalla de tres por tres y haba nueve botones numerados del 1 al 9, tal vez tuviera que componer con ellos un cuadrado mgico de orden tres: disponer los nueve dgitos de forma que todas sus filas, columnas y diagonales sumaran lo mismo. [] Estaba cansado y aturdido, y mi primer impul-so fue intentar resolver el cuadrado mgico por tanteo. Pero mi reduci-da pizarra manual no permita muchos ensayos... De pronto me acord del mtodo de Holmes: descartar lo imposible. Qu pasara si el 1 es-tuviera en la primera casilla?, me pregunt. En ese caso, como todas las filas y las columnas tenan que sumar 15, habra que poner en la prime-ra fila dos nmeros que sumaran 14, y... [...]Marqu los nmeros en ese orden y el cuadrado mgico se form en la pantalla. Con un suave zumbido, la puerta se abri.Carlo Frabettinmeros realesMatrices1833276 _ 0030-0079.indd 30 21/7/09 14:03:5531Los jardines cifradosCarlo FrabettiEl narrador de esta novela es un hombre de mediana edad que ha sido abandonado por su mujer Nora. Un da conoce a otra mujer, Elena, de la que se enamora a pesar de que un amigo, que es profesor de matemticas, le dice que esa mujer no le conviene porque tambin va a dejarlo. l contesta:Al menos quisiera tener la oportunidad de comprobarlo. No hay muchas mujeres as; ni una en un millnAlto ah! exclam el amigo levantando las manos con gesto alarmado. Si empiezas a tergiversar los aspectos matemticos de la cuestin, ests perdido.Qu tienen que ver las matemticas con esto?Mucho. Ests cayendo en la faIacia en la que caen todos los tontos enamorados, valga el pleonasmo, la absurda falacia de pensar que el objeto de su amor es nico e irrepetible, o cuando menos un bien escassimo.En toda mi vida slo he conocido a dos mujeres como ellas.Supongamos, y es mucho suponer, que eso sea cierto. A cuntas mujeres has conocido?Depende de lo que se entienda por conocer.Qu entiendes t cuando dices que en toda tu vida slo has conocido a dos como ellas?Bueno, he conocido a muchas mujeres lo suficiente como para darme cuenta de si, en principio, me interesaban o no.A cuntas?No las he contado, pero muchas Varios cientosSeamos generosos y consideremos que has conocido a mil mujeres Io suficiente como para darte cuenta de su posible adecuacin como objeto amoroso. Bien, eso significa que la frecuencia estadstica del tipo Nora-Elena es del dos por mil. As que, para empezar, lo de una en un milln es pura hiprbole.PeroDjame seguir. Hay unos tres mil millones de mujeres en el mundo, de las cuales aproximadamente un tercio tendrn entre veinte y cincuenta aos (por tu bien y el de ellas. espero que no te interesen las nias ni las ancianas). Es decir, hay unos mil millones de mujeres con las que, en principio, podras relacionarte. Si la incidencia del tipo Nora-Elena es del dos por mil, eso significa que hay unos dos millones de candidatas que se ajustan a tu concepto de mujer ideal. Como vers, es matemticamente absurdo que te obsesiones con una de tan dudosa moralidad y oscuras intenciones como Elena, habiendo otros dos millones esperndote. []1 SolucionarioLI TERATURA Y MATEMTI CASLos jardines cifradosDe la pared del fondo parta un largo pasillo dbilmente iluminado; lo recorr y, al final, me encontr ante una puerta con apertura de combi-nacin: junto a la puerta, bajo una pequea pantalla cuadrada, haba nueve botones numerados, dispuestos en tres filas de tres. Me acord del cuadrado mgico. El enano me haba dicho que el contenido de la cajita me abrira ms de una puerta, y no tena por qu referirse slo a la msica. Saqu el cuadrado de metal [una reproduccin del cuadra-do de nmeros que aparece en el grabado de Durero titulado Melanco-la] y lo examin a la dbil luz del pasillo. Las combinaciones de las puertas solan tener cuatro cifras, y los nmeros ms significativos de aquel cuadrado eran el 15 y el 14 del centro de la ltima fila: 1514 era el ao en que Durero haba realizado su Melancola, y El Bosco haba muerto por esas fechas, tal vez ese mismo ao. Marqu el 1514 y las cifras fueron apareciendo en la pantallita cuadrada: las tres primeras en la fila superior y el 4 debajo del primer 1. Tras unos segundos, las ci-fras desaparecieron sin que ocurriera nada. Entonces pens que tena que llenar la pantalla y marcar, por tanto, nueve cifras. La probabilidad de acertar era remotsima. Marqu las nueve primeras cifras de mi cua-drado mgico, y luego las nueve ltimas. Luego prob con los nmeros del 1 al 9 en el orden en que aparecan en el cuadrado: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Prob varias combinaciones ms, pero sin xito.Entonces, cuando estaba a punto de renunciar, se me ocurri otra posi-bilidad: el cuadrado mgico que tena en la mano poda ser simplemen-te un modelo, un referente. Puesto que tena que llenar una pantalla de tres por tres y haba nueve botones numerados del 1 al 9, tal vez tuviera que componer con ellos un cuadrado mgico de orden tres: disponer los nueve dgitos de forma que todas sus filas, columnas y diagonales sumaran lo mismo. [] Estaba cansado y aturdido, y mi primer impul-so fue intentar resolver el cuadrado mgico por tanteo. Pero mi reduci-da pizarra manual no permita muchos ensayos... De pronto me acord del mtodo de Holmes: descartar lo imposible. Qu pasara si el 1 es-tuviera en la primera casilla?, me pregunt. En ese caso, como todas las filas y las columnas tenan que sumar 15, habra que poner en la prime-ra fila dos nmeros que sumaran 14, y... [...]Marqu los nmeros en ese orden y el cuadrado mgico se form en la pantalla. Con un suave zumbido, la puerta se abri.Carlo Frabettinmeros realesMatricesconstruye el cuadrado mgico que le permiti al protagonista de esta novela abrir la puerta. un cuadrado o un rectngulo de nmeros como el anterior (aunque no cumpla ninguna propiedad especial) se llama matriz. Hay situaciones que se pueden representar mediante una matriz. Descubre alguna.Si el 1 estuviera en la primera casilla hara falta encontrar tres parejas de nmeros cuya suma fuera 14, y esto es imposible. Solo hay dos parejas que suman 14 : 9 + 5 = 8 + 6 = 14.Siguiendo el razonamiento si el 1 estuviera 6 1 87 5 32 9 4 en la segunda casilla el cuadrado que formara es:833276 _ 0030-0079.indd 31 21/7/09 14:03:5632MatricesACTIVIDADES001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2La matriz es: .002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. anota estos datos en forma de matriz.La matriz ser de dimensin 2 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao y los elementos de la matriz, el precio: 003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales. Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 3.x + 1 = 2 x = 1 z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2 x + 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 + 2 = 3Es decir, la solucin es x = 1, y = 2 y z = 3.004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) una matriz fila con cuatro columnas.b) una matriz columna con cuatro filas.c) una matriz cuadrada de orden 4.Respuesta abierta. Por ejemplo:a) A = (1 3 1 0)b) c) ANTES DE COMENZAR RECUERDA001 resuelve estos sistemas. a) xxxyyyzzz2 2332044+++=== b) + = + = =2 12 3 05 7333y zx y zx y za) xxxyyyzzzx2 2332044+++==== = + =y z y z y zy z y z32 3 2 43 3 2 4( ) = = } = =4 7 44 46 0 07y zy zz z 4y z = 4 z = 0 y = 1x + y + 3z = 0 y = 1, z = 0 x = 1La solucin del sistema es x = 1, y = 1 y z = 0.b)22531072 1xxyyyzz z y++=== = 22 3 2 1 05 72 5 35x y yx yx yx y+ = = = =( )7710= xx y yx = = =5 717510z y zy= = = =2 13451395175La solucin del sistema es x = 10, y z = = 175395y . .002 resuelve estos sistemas.a) + =+ = =x yx yx y2 02 52 3 12 b) x yx yx yx y =+ = = = 4402 33 4 12 3a) + =+ ==+ =x yx yx yx y2 02 522 5 2 x yy y y=+ = =24 5 1y = 1 y = 2y x = 22 x 3y = 1 x = 2, y = 1 4 3 = 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.b)+ =+ == = =x yx yx x y02 33 3 1 1 3x 4y = 1 x = 1, y = 1 3 4 = 1x 2y = 3 x = 1, y = 1 1 2 = 3En este caso, la solucin del sistema es vlida.833276 _ 0030-0079.indd 32 21/7/09 14:04:00Matrices331 SolucionarioACTIVIDADES001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensin sea 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2La matriz es: 1 21 22 1 (\)

.002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeos de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. anota estos datos en forma de matriz.La matriz ser de dimensin 2 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamao y los elementos de la matriz, el precio: 0 45 0 750 60 1, ,,(\)

003 Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales. xz x zyy y++ + ++1 3 01 2 12 1 02 3 Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensin y ser iguales todos sus elementos.Las dos matrices son de dimensin 2 3.x 1 = 2 x = 1 z 1 = y 2 z = y 1 z = 33 = y 1 y = 2 x 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 2 = 3Es decir, la solucin es x = 1, y = 2 y z = 3.004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.a) una matriz fila con cuatro columnas.b) una matriz columna con cuatro filas.c) una matriz cuadrada de orden 4.Respuesta abierta. Por ejemplo:a) A = (1 3 1 0)b) B =(\)

1241c) C =(\)

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1

ANTES DE COMENZAR RECUERDA resuelve estos sistemas. a) xxxyyyzzzx2 2332044==='!111+111= = ='!11+11y z y z y zy z y z32 3 2 43 3 2 4( ) = = = =4 7 44 46 0 07y zy zz z 4y z = 4 y = 1x y 3z = 0 x = 1La solucin del sistema es x = 1, y = 1 y z = 0.La solucin del sistema es x = 10, . resuelve estos sistemas. y = 1 x = 22 x 3y = 1 4 3 = 1. En este caso, la solucin del sistema es vlida.3x 4y = 1 3 4 = 1x 2y = 3 1 2 = 3En este caso, la solucin del sistema es vlida.833276 _ 0030-0079.indd 33 21/7/09 14:04:0134Matrices010 realiza las operaciones indicadas con estas matrices. a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C) 3(B + 2C)011 calcula la siguiente operacin con matrices:012 Halla el valor de x en esta igualdad de matrices.013 realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C. A C no se puede multiplicar, ya que la dimensin de A es 2 3 y la de C es 2 2.C B no se puede multiplicar, pues la dimensin de C es 2 2 y la de B es 3 2.005 Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumple que ai i = 7.b) Matriz identidad con tres filas.a) A =7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7 b) B =1 0 00 1 00 0 1006 Escribe matrices que cumplan estas condiciones.a) Diagonal de orden 3.b) Triangular superior con tres columnas, de forma que los elementos distintos de 0 cumplan que aij = i + j.Respuesta abierta. Por ejemplo:a) A = 2 0 00 1 00 0 8 b) B =2 3 40 4 50 0 6007 realiza la siguiente operacin con matrices: + 1 2 10 3 12 2 31 0 11 4 022 2 1 + 1 2 10 3 12 2 31 0 11 4 022 2 10 8 21 1 3 = 008 averigua los elementos que faltan si A + B = C.Aa b= 3 4 55 Bc de=23 1 Cf=7 61 1 03 4 5523 17 61 1 0 a bc def + =+ ++ + =5 4 55 3 17 61c de a bf11 0f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1009 Haz la siguiente operacin con matrices:23 3 11 2 01 5 234 0 41 1 20 2 31 0 22 3 11 1 023 3 11 2 01 5 234 0 41 1 20 2 31 0 22 3 11 1 0= 5 6 121 2 51 15 13833276 _ 0030-0079.indd 34 21/7/09 14:04:05Matrices351 Solucionario010 realiza las operaciones indicadas con estas matrices.A =1 31 2 B = 2 03 1 C = 2 31 2a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C) 3(B + 2C)a) 2 3 21 32 332 31 2( ) A B C + = + = 8 157 0b) ( )( ) ( ) ( ) + = 2 3 2 23 02 43 A C B C = 2 61 50 187 7011 calcula la siguiente operacin con matrices:2 3 1 4 50123 3 1 451 ( ) ( )002 3 1 4 50123 3 1 45 ( ) ( ) = 106 2 80510( ) ( ) 9 3 12510=== + + = + = 6 0 2 5 8 10 9 5 3 1 12 0 10 80 45 3 1122012 Halla el valor de x en esta igualdad de matrices.( ) ( ) 1 111 9310 xx= 0( ) ( ) 1 111 9310 xx = = = = 0 1 3 0 2 4 2 x x x x ( )013 realiza los productos que sean posibles entre las matrices A, B y C. A B = = 1 0 22 1 33 01 22 3= C1 43 2A B B A = = 7 613 113 0 65 2 88 3 13 =B C3 127 011 2 = C A9 4 141 2 0A C no se puede multiplicar, ya que la dimensin de A es 2 3 y la de C es 2 2.C B no se puede multiplicar, pues la dimensin de C es 2 2 y la de B es 3 2. Escribe matrices que cumplan las siguientes condiciones. a) Matriz diagonal de orden 4 que cumple que ai i = 7.b) Matriz identidad con tres filas. Escribe matrices que cumplan estas condiciones.a) Diagonal de orden 3.b) Triangular superior con tres columnas, de forma que los elementos distintos de 0 cumplan que aij = i + j.Respuesta abierta. Por ejemplo: realiza la siguiente operacin con matrices: averigua los elementos que faltan si A + B = C. 3 4 5523 17 61 1 0 a bc def + =+ ++ + =5 4 55 3 17 61c de a bf11 0f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1 Haz la siguiente operacin con matrices:833276 _ 0030-0079.indd 35 21/7/09 14:04:0936Matrices018 realiza esta operacin con matrices:019 completa la siguiente matriz para que sea antisimtrica. es antisimtrica si: a = 0, b = 2, c = 1, d = 3, e = 0.020 Estudia si la matriz A B es simtrica.021 completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes.Para que sus dos filas sean dependientes tienen que ser proporcionales, F2 = F1.022 Determina el rango de las siguientes matrices. 014 Determina la dimensin de la matriz resultante de esta operacin y, despus, comprubalo efectuando las operaciones.22 1 03 0 132 13 04 5 12 1 + 33La dimensin de la matriz resultante es 2 3.22 1 03 0 132 13 04 5 12 1 (\)

(\)

334 2 06 0 236 9 112 15 3(\)

= (\)

((\)

== (\)

22 25 342 45 11015 comprueba si se cumple que A (B + C) = B A + C A, siendo las matrices:A B C = = = 1 12 33 12 13 01 1 Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad.1 12 33 12 13 01 1 (\)

(\)

(\\)

llll =(\)

(\)

1 12 30 11 0

=(\)

1 13 2(\)

(\)

(3 12 11 12 33 01 1\)

(\)

= (\)

1 12 35 04 1

(\)

= (\)

3 33 22 31 1La igualdad correcta es: A B C A B A C = ( )1 12 33 12 11 12 3 (\)

(\)

(\)

(\)

= (\)

3 01 11 012 5

(\)

=(\)

2 19 31 13 2016 realiza la operacin B A + C A, sacando previamente factor comn a la matriz A.A B = = 2 01 30 22 0 41 3 53 1 1=C1 3 22 0 31 1 5Qu propiedad has aplicado al sacar factor comn?Para sacar factor comn aplicamos la propiedad distributiva por la derecha.B A C A B C A = ( )( ) B C A = (\)

2 0 41 3 53 1 11 3 22 0 (\)

llllll 31 1 52 01 300 21 31 258 12(\)

= (\)

017 calcula (A B)t, siendo A y B las siguientes matrices.A B == 1 70 35 44 15 81 70 35 44 15 8(\)

(\)

llllll= (\)

(tt4 15 81 70 35 4\)

= (\)

(\)t4 51 81 0 57 3 4

= (\)

31 15 4057 24 27833276 _ 0030-0079.indd 36 21/7/09 14:04:13Matrices371 Solucionario018 realiza esta operacin con matrices:5 01 93 70 13 42 3 IIIIIII\)1111111 IIIIIII\t))1111111 IIII\)111

.

llllll5 1 78 2 0t5 01 93 70 13 42 3 (\)

(t\)

(\)

llll5 1 78 2 0tlll= (\)

(\)

5 1 30 9 70 13 42 3

(\)

llll5 81 27 0 lll== (\)

(\)

5 1 30 9 75 94 69 3

= (\)

6 6027 33019 completa la siguiente matriz para que sea antisimtrica. a bcd e10 32IIIIIII\)1111111a bcd e10 32(\)

es antisimtrica si: a = 0, b = 2, c = 1, d = 3, e = 0.020 Estudia si la matriz A B es simtrica.A B = IIIIIII\)1111111= 3 4 12 2 13 3 01 4 10 2 13 3 00IIIIIII\)1111111A B = (\)

3 4 12 2 13 3 01 4 10 2 13 33 04 8 22 4 20 6 0(\)

= (\)

no es simtrica.021 completa los elementos que faltan en la matriz para que sus filas sean linealmente dependientes.3 1 29 0IIII\)111ba cPara que sus dos filas sean dependientes tienen que ser proporcionales, F2 = F1. == =='!11111+11111= ===9 302330abcabc'!11111+11111(\)

63 1 29 03 1 0 ba c229 3 0 6 (\)

022 Determina el rango de las siguientes matrices.a)1 1 3 02 1 1 10 3 7 1 IIIIIII\)1111111 b)1 1 32 2 63 3 9IIIIIII\)1111111 Determina la dimensin de la matriz resultante de esta operacin y, despus, comprubalo efectuando las operaciones.La dimensin de la matriz resultante es 2 3.22 1 03 0 132 13 04 5 12 1 (\)

(\)

334 2 06 0 236 9 112 15 3(\)

= (\)

((\)

== (\)

22 25 342 45 11 comprueba si se cumple que A (B C) = B A C A, siendo las matrices:Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad.La igualdad correcta es: realiza la operacin B A C A, sacando previamente factor comn a la matriz A.Qu propiedad has aplicado al sacar factor comn?Para sacar factor comn aplicamos la propiedad distributiva por la derecha. calcula (A B)t, siendo A y B las siguientes matrices.1 70 35 44 15 8(\)

(\)

llllll= (\)

(tt4 15 81 70 35 4\)

= (\)

(\)t4 51 81 0 57 3 4

= (\)

31 15 4057 24 27833276 _ 0030-0079.indd 37 21/7/09 14:04:1638Matrices025 calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definicin. El sistema no tiene solucin, luego no existe matriz inversa.Comprobamos que es la matriz inversa:026 Halla, si es posible, la inversa de esta matriz: Comprobamos que es la matriz inversa: a) Ninguna de las tres filas es proporcional a otra. Comprobamos si alguna fila es combinacin lineal de las otras dos: F F F1 2 31 2130= = = = = '!11111+111 111= = = = '!11111111111+11211231201211111111111== =='!11111111111+12327212111111111111 Como los valores de son diferentes, el sistema no tiene solucin. Ninguna fila es combinacin lineal de las otras dos, entonces las tres filas son linealmente independientes y, por tanto, el rango de la matriz es 3. Rango1 1 3 02 1 1 10 3 7 13 (\)

=b) Como F2 = 2F1 y F3 = 3F1, todas las filas son proporcionales. Luego el nmero de filas linealmente independientes es 1 y, por tanto, el rango de la matriz es 1. Rango1 1 32 2 63 3 91(\)

=023 calcula el rango utilizando el mtodo de Gauss: 3 2 70 1 25 3 03 2 70 1 25 3 03 3 153(\)

= F F F33 2 70 1 20193353(\)

F F F3 3 21933 2 70 1 20 0733= (\)

Rango3 2 70 1 25 3 03 (\)

=024 Halla el rango mediante el mtodo de Gauss: 1 3 5 78 3 2 142 1 4 0 1 3 5 78 3 2 142 1 4 02 (\)

=F FF FF F F2 13 3 1821 3 5 70 21 42 420 7 14 14= (\)

= F F F3 3 2131 3 5 70 21 42 4220 0 0 0(\)

Rango1 3 5 78 3 2 142 1 4 02 (\)

=833276 _ 0030-0079.indd 38 21/7/09 14:04:19Matrices391 Solucionario025 calcula, si es posible, la inversa de estas matrices utilizando la definicin.a)1 22 4 b)3 51 2a)1 22 41 00 1(\)

(\)

= (a bc d\\)

= = = ='!11111+1a cb da cb d2 12 02 4 02 4 111111 = = = ='!11111a cb da cb d2 12 02 2 02 2 1( )( ) ++11111El sistema no tiene solucin, luego no existe matriz inversa.b)3 51 21 00 1(\)

(\)

= (a bc d \)

= = = ='!1113 5 13 5 02 02 1a cb da cb d111+11111 = === '!11111+13 5 13 5 022 1a cb da cb d 11111 = ='!11+11====' 6 5 16 3 5 02513c cd dabcd!!11111+11111Comprobamos que 2 51 3(\)

es la matriz inversa:3 51 22 51 31 00 1(\)

(\)

= (\\)

(\)

(\)

=2 51 33 51 21 000 1(\)

026 Halla, si es posible, la inversa de esta matriz: 2 3 13 1 10 1 02 3 13 1 10 1 0 (\)

(a b cd e fg h i\)

=(\)

1 0 00 1 00 0 122abbcabcdefdefghighidef2333333=========='!111111111111+1111111111111000100012 12 02 33 03 13 1a gb hc ia gb hc i = = = = = = '!111111111+11111111 = = = =2 13 02 03 12a ga gb hb hc = = '!11111111+11111111= == ic iabc33 1114gghi== ='!11111111+111111113211Comprobamos que (\)

1 1 40 0 13 2 11 es la matriz inversa:2 3 13 1 10 1 01 1 40 0 13 2 11(\)

(\)

=(\)

1 0 00 1 00 0 1

(\)

1 1 40 0 13 2 112 3 13 1 10 1 001 0 00 1 00 0 1(\)

=(\)

a) Ninguna de las tres filas es proporcional a otra. Comprobamos si alguna fila es combinacin lineal de las otras dos: Como los valores de son diferentes, el sistema no tiene solucin. Ninguna fila es combinacin lineal de las otras dos, entonces las tres filas son linealmente independientes y, por tanto, el rango de la matriz es 3. b) Como F2 = 2F1 y F3 = 3F1, todas las filas son proporcionales. Luego el nmero de filas linealmente independientes es 1 y, por tanto, el rango de la matriz es 1. calcula el rango utilizando el mtodo de Gauss: Halla el rango mediante el mtodo de Gauss: 1 3 5 78 3 2 142 1 4 02 (\)

=F FF FF F F2 13 3 1821 3 5 70 21 42 420 7 14 14= (\)

= F F F3 3 2131 3 5 70 21 42 4220 0 0 0(\)

833276 _ 0030-0079.indd 39 21/7/09 14:04:2240Matrices029 clasifica las matrices y determina su dimensin.A = (1 2 2) B = C = D = E = F = G = H = J = Matriz fila de dimensin 1 3 Matriz columna de dimensin 3 1 Matriz cuadrada de orden 3 Matriz diagonal de orden 2 Matriz unidad de orden 2 Matriz triangular inferior de orden 3 Matriz rectangular de dimensin 2 3 Matriz triangular superior de orden 3 Matriz triangular inferior de orden 2030 una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C.El lunes salieron 5 autobuses en la lnea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 autobuses en la lnea A, 1 en la B y 4 en la C. El mircoles sali 1 autobs en la lnea A, 3 en la B y 5 en la C. represntalo en forma de matriz.Lo representamos en una matriz de dimensin 3 3. Las filas representan los das de la semana: lunes, martes y mircoles. Las columnas corresponden a las lneas A, B y C, respectivamente. Cada elemento de la matriz es el nmero de autobuses.027 calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices.a)6 212 5 b) 3 72 5a)6 212 51 00 16 20 11 022 2 12 = F F F116 00 15 22 11 1 22= F F F=F F1 1161 00 156262 1b ) = +3 72 51 00 13 702 2 123F F F = +131 02311 1 221F F F33 001315 21231113 =F FFF F12 231 00 15 72 3= 028 Halla, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz:3 0 12 3 10 1 13 0 12 3 10 1 11 0 00 1 00 0 1FF F F2 2 1233 0 10 3530 1 11 0 0231 00 0 1= = F F F3 3 2133 0 10 3530 04911 0 0231 029131= += F F FF F F1 1 32 2 3941543 0 00 3 00 04932 3494329415429131===F FF FF F1 12 23131394331 0 00 1 00 0 1121434123454123494 833276 _ 0030-0079.indd 40 21/7/09 14:04:25Matrices411 Solucionario029 clasifica las matrices y determina su dimensin.A = (1 2 2) B = 017 C = 0 2 34 3 12 0 1D = 2 00 2 E = 1 00 1 F = 3 0 00 1 00 1 1G = 0 1 21 0 3 H = 1 1 10 1 30 0 2 J = 3 04 8 A = ( ) 1 2 2 Matriz fila de dimensin 1 3B =017 Matriz columna de dimensin 3 1C =0 2 34 3 12 0 1 Matriz cuadrada de orden 3D = 2 00 2 Matriz diagonal de orden 2E = 1 00 1 Matriz unidad de orden 2F =3 0 00 1 00 1 1 Matriz triangular inferior de orden 3G =0 1 21 0 3 Matriz rectangular de dimensin 2 3H = 1 1 10 1 30 0 2 Matriz triangular superior de orden 3J =3 04 8 Matriz triangular inferior de orden 2030 una empresa de autobuses tiene tres lneas: A, B y C.El lunes salieron 5 autobuses en la lnea A, 3 en la B y 4 en la C. El martes salieron 2 autobuses en la lnea A, 1 en la B y 4 en la C. El mircoles sali 1 autobs en la lnea A, 3 en la B y 5 en la C. represntalo en forma de matriz.Lo representamos en una matriz de dimensin 3 3. 5 3 42 1 41 3 5 Las filas representan los das de la semana: lunes, martes y mircoles. Las columnas corresponden a las lneas A, B y C, respectivamente. Cada elemento de la matriz es el nmero de autobuses. calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de estas matrices. Halla, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz:833276 _ 0030-0079.indd 41 21/7/09 14:04:3042Matrices034 Halla los valores de a y b para que las matrices sean iguales. 035 considera las matrices:comprueba con esas matrices la propiedad conmutativa de la suma.036 considera las matrices .Qu relacin hay entre A B y B A?A B y B A son matrices opuestas.037 considera las matrices: calcula.a) A + B C c) A B + C e) A (B C)b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B) 031 una fbrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. inicialmente distribua 1.000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibi 600 unidades de X y 300 de Y; la empresa B recibi 400 unidades de X y 800 de Y, y la empresa C recibi 900 unidades de X y 700 de Y. representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribucin de los productos a estas empresas.Las filas corresponden a cada tipo de empresa, A, B y C, y las columnas corresponden al tipo de producto, X e Y. Cada elemento de la matriz es la disminucin porcentual de la produccin.100 100600100040 100 100300100070100 1 = =. .000400100060 100 100800100020100 1009 = = . .000100010 100 100700100030. .= = 032 Son triangulares las siguientes matrices? Por qu?3 2 00 1 40 1 10 4 21 0 033 0 00 1 09 0 13 2 00 1 40 1 1 No, porque ni todos los elementos situados por encima de la diagonal principal, ni todos los situados por debajo, son cero.0 4 21 0 0 No, porque no es cuadrada.3 0 00 1 09 0 1 S, porque todos los elementos situados por encima de la diagonal son cero.033 Pon dos ejemplos de estas matrices: a) Matriz columna c) Matriz diagonal e) Matriz triangular superiorb) Matriz fila d) Matriz cuadrada f ) Matriz triangular inferiorRespuesta abierta. Por ejemplo:a)810 c)2 0 00 5 00 0 7 e)3 2 30 3 10 0 1b) ( ) 3 2 9 d) 4 90 2 f )3 0 02 3 03 1 140 7060 2010 30833276 _ 0030-0079.indd 42 21/7/09 14:04:33Matrices431 Solucionario034 Halla los valores de a y b para que las matrices sean iguales. AbB a == 1 33 1 09 4 11 5 31 1 09 4 11 33 1 09 4 11 5 31 1 09 4 1ba= = = b a 5 2 ,035 considera las matrices:A B = =0 1 61 4 39 1 61 8 9comprueba con esas matrices la propiedad conmutativa de la suma.0 1 61 4 39 1 61 8 99 2 120 + =112 6 9 1 61 8 90 1 61 4 39 2 120 + =112 6 036 considera las matrices A B = = 0 54 11 35 54 22 3y.Qu relacin hay entre A B y B A?A B = 0 54 11 35 54 22 3=5 08 31 0B A = 5 54 22 30 54 11 3= 5 08 31 0A B y B A son matrices opuestas.037 considera las matrices: A B C = = =1 1 40 1 30 1 21 0 32 1 21 4 3calcula.a) A + B C c) A B + C e) A (B C)b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B)a) A B C + = 3 1 40 5 3 d) + + = A B C3 3 02 5 3b) A B C + = 1 1 40 3 3e) A B C A B C = + = ( )1 1 40 3 3c) + = A B C3 1 40 5 3 f ) C A B A B C + = + = ( )3 1 40 5 3 una fbrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. inicialmente distribua 1.000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibi 600 unidades de X y 300 de Y; la empresa B recibi 400 unidades de X y 800 de Y, y la empresa C recibi 900 unidades de X y 700 de Y. representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribucin de los productos a estas empresas.Las filas corresponden a cada tipo de empresa, A, B y C, y las columnas corresponden al tipo de producto, X e Y. Cada elemento de la matriz es la disminucin porcentual de la produccin. Son triangulares las siguientes matrices? Por qu? No, porque ni todos los elementos situados por encima de la diagonal principal, ni todos los situados por debajo, son cero. No, porque no es cuadrada. S, porque todos los elementos situados por encima de la diagonal son cero. Pon dos ejemplos de estas matrices: a) Matriz columna c) Matriz diagonal e) Matriz triangular superiorb) Matriz fila d) Matriz cuadrada f ) Matriz triangular inferiorRespuesta abierta. Por ejemplo: 833276 _ 0030-0079.indd 43 21/7/09 14:04:3844Matrices042 Expresa la condicin que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, qu condicin deben cumplir las matrices?(Galicia. Septiembre 2004. Bloque 1. Pregunta 2) Para que se puedan sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensin. Para que se puedan multiplicar dos matrices el nmero de columnas de la primera debe ser igual al nmero de filas de la segunda.043 con las matrices: calcula, si es posible:a) 2A 3B b) 2A 3B c) A(B + C) d) A 3B 044 con las siguientes matrices: calcula, si es posible:a) ABC b) 2AB c) A(B C) d) B 3Cc) No se puede realizar esta operacin ya que B y C no se pueden restar por no tener la misma dimensin.045 calcula AB y BA, siendo las matrices: A = (1 3 1 2) (La Rioja. Septiembre 2000. Propuesta A. Ejercicio 2)038 Determina una matriz X que verifique: A + X = B, siendo A = 6 1 21 0 4 y B = 0 1 21 9 3.A X B X B A + = = = 0 1 21 9 36 1 21 0 4 =6 0 02 9 1039 considera las matrices:A B C = = =3 04 82 1 11 0 34 1 20 5 31 0 2realiza, si es posible, los siguientes productos.a) AB b) BA c) AC d) BCa) AB = = 3 04 82 1 11 0 36 3 330 4 20 b) No se pueden multiplicar B y A, ya que la dimensin de B es 2 3 y la de A es 2 2.c) No se pueden multiplicar A y C, ya que la dimensin de A es 2 2 y la de C es 3 3.d) B C = 2 1 11 0 34 1 20 5 30 0 2= 7 3 31 1 8040 comprueba que, en general, el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa multiplicando estas matrices:A B == 2 0 21 5 32 0 21 2 15 1 30 0 2 AB BA == 2 4 226 7 202 4 66 10 65 5 194 0 4041 comprueba que se cumple la propiedad distributiva del producto de matrices con respecto de la suma utilizando estas matrices.A B C = = = 3 04 83 10 22 11 0A B C ( ) + = =3 04 81 21 23 612 8AB AC + =+ 3 04 83 10 23 04 8 ==2 11 09 312 12+ =6 30 43 612 8833276 _ 0030-0079.indd 44 21/7/09 14:04:42Matrices451 Solucionario042 Expresa la condicin que tienen que cumplir dos matrices M y N para que pueda realizarse su suma. Y, si lo que pretendemos es multiplicarlas, qu condicin deben cumplir las matrices?(Galicia. Septiembre 2004. Bloque 1. Pregunta 2) Para que se puedan sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensin. Para que se puedan multiplicar dos matrices el nmero de columnas de la primera debe ser igual al nmero de filas de la segunda.043 con las matrices: A B C === 1 13 22 01 41 0, y4 1, calcula, si es posible:a) 2A 3B b) 2A 3B c) A(B + C) d) A 3Ba) 2 34 23 16A B = c) A B C ( ) + = 4 59 10b ) 2 36 2424 48A B = d) A B = 35 10 14044 con las siguientes matrices: A B ==1 1 00 2 31 20 53 8,=y C0 12 6, calcula, si es posible:a) ABC b) 2AB c) A(B C) d) B 3Ca) ABC AB C = = ( )1 39 140 12 6 = 6 1728 75b) 22 2 00 4 61 20 53 8AB = = 2 618 28c) No se puede realizar esta operacin ya que B y C no se pueden restar por no tener la misma dimensin.d) B C = 31 20 53 80 36 18 =12 3930 9048 135045 calcula AB y BA, siendo las matrices: A = (1 3 1 2) B =3102(La Rioja. Septiembre 2000. Propuesta A. Ejercicio 2)AB = = ( ) 1 3 1 2310244BA = =31021 3 1 23( ) 9 3 61 3 1 20 0 0 02 6 2 4 Determina una matriz X que verifique: A + X = B, siendo y . considera las matrices:realiza, si es posible, los siguientes productos.a) AB b) BA c) AC d) BCb) No se pueden multiplicar B y A, ya que la dimensin de B es 2 3 y la de A es 2 2.c) No se pueden multiplicar A y C, ya que la dimensin de A es 2 2 y la de C es 3 3. comprueba que, en general, el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa multiplicando estas matrices: comprueba que se cumple la propiedad distributiva del producto de matrices con respecto de la suma utilizando estas matrices.833276 _ 0030-0079.indd 45 21/7/09 14:04:4646MatricesComo el producto de matrices no es conmutativo, el clculo correcto sera:Lo comprobamos calculando de nuevo el segundo miembro:049 Se consideran las matrices: Se pide:a) Hallar (A I )2.b) calcular A4 haciendo uso del apartado anterior. (Madrid. Ao 2006. Modelo. Opcin B. Ejercicio 4)050 Sean y N = M + I, donde