1

2準位原子とレーザー光との

相互作用（2012年夏学期原子物理学I講義スライドからの抜粋）

2013年5月29日 ランチミーティング

担当：鳥井

J.J.サクライ「現代の量子力学（下）」ｐ448（時間に依存する2準位問題）

9～11件

J.J.サクライ氏の死後（1982年以降）・原子時計に対してラムゼー（1989）、イオントラップに対してデーメルト、ポール（1989）・レーザー冷却に対してチュー、フィリップス、コーエン・タノージ（1997）・ボース凝縮に対してコーネル、ワイマン、ケタレー（2001）・光コム（超短パルスレーザー）の開発に対してヘンシュ、ホール（2005）・個々の原子・イオン・光子の量子操作に対してアローシュ、ワインランド（2012）

・レーザー分光学の発展に対してブレーンバーゲン、ショーロウ（1981）←入れ忘れ？

2

J. J. Sakurai「現代の量子力学」序文 by ジョン S. ベル

• 相互作用表示とは（なぜ導入するのか）？• 回転波近似とは？（成り立つ条件は何か？）• 密度行列を導入する必然性（アンサンブル平均の意味）• 原子分極と複素電気感受率の定義• 密度行列と複素電気感受率の関係

（なぜ密度行列の非対角項をコヒーレンスと呼ぶのか）• ラビ振動とは？• フェルミの黄金則の意味と利用法• 光ブロッホ方程式とは？• ブロッホベクトルの定義とその直感的意味• ラムゼー干渉計の原理（何が有利なのか？）• 断熱追従（adiabatic rapid passage）の原理

(STIRAP: stimuated Raman adiabatic passageとの類似点は)• スピノールとは何か（ベクトルとの違いは？）• 量子論を用いた自然放出レートの導出• 自然放出がある場合の光ブロッホ方程式• 飽和強度と飽和パラメータの定義• パワー（飽和）広がりとは何か？• 原子の吸収断面積の定義、光学密度の定義

3

様々な２準位（結合した振動子）

2つの振動子をcouple（結合）させているものは何か？

（復習）原子の双極子振動

1

2

120 EE −=ω

で振動

12

+ ＝2

10ω

で振動

原子双極子は、バネ振子のように固有周波数を持つ

=

mk

0ω

0ωm

k

質量

バネ定数

4

原子に周期的な摂動を加えると？

1

2

0ω

で振動？0ω

0ω固有振動数

周波数ωの摂動

周波数ωの摂動

ヒント（ばね振子の強制振動）

ω で振動？

で振動？0ωω で振動？

数学的準備（１）相互作用表示

周波数ωの摂動を加えれば、原子双極子は周波数ωで振動する（固有周波数では振動しない）

>+>=>Ψ − 2|)(1|)()(| 21StietCtCt ω

最初から原子双極子は周波数ωで振動するものとして、その時間依存性をあらかじめ確率振幅に忍ばせておく

)cos()()(2

])()(Re[2)(||)()(

21

21SS

αω

ω

+=

=>Ψ−Ψ<=∗

−∗

ttCtdC

etCtdCtexttP ti

ゆっくり変化 ωで変化

[ ]

≡

>−<≡∗ )()(2arg

2||1

21

SS

tCtdCexd

α振幅（ゆっくり変化） ωで変化

原子双極子

摂動に対する位相

5

相互作用表示（つづき）

>+>=>Ψ=>Ψ + 2|)(1|)()(|)(| 21SI tCtCtUt

−≡ t

HiU 0exp |22|, 0 ><≡ ωH

III )(|)(| >Ψ∂∂

=>Ψ tt

itH

tVUUUHHUH ωδ cos|22|)( 0SI++ +><−=−=

>+>=>Ψ − 2|)(1|)()(| 21StietCtCt ω

tVH ωω cos|22|0S +><=シュレーディンガー表示におけるハミルトニアンと状態ベクトル

とおいて相互作用表示に移る

SSS )(|)(| >Ψ∂∂

=>Ψ tt

itH

ゆっくり変化

ωで変化

数学的準備（２）回転波近似

−+−+−

=

−

)()(

2)1()1(0

21

)()(

2

12

0

20

2

1

tCtC

edEedE

tCtC

dtdi ti

ti

δω

ω

02211 == dd

>−>=<−≡< 1||22||1 rr eed

（原子は永久電気双極子モーメントを持たない）

tetV ωω cos)(cos 0Er ⋅−−=電気双極子相互作用を考える

←電気双極子近似（原子のサイズ << レーザーの波長）

電気双極子d

←正の実数とする（ように波動関数の位相を選ぶことができる）

シュレーディンガー方程式 III )(|)(| >Ψ∂∂

=>Ψ tt

itH より

無視

無視

ハミルトニアン（行列）から時間依存性が消える→解析的に解ける！

6

数学的準備（３）密度行列

|)()(|)( ttt Ψ><Ψ≡ρ密度行列の定義

∑ Ψ<>Ψ≡i

iii ttPt |)()(|)(ρ

一個の原子（純粋状態）

アンサンブル平均

原子が状態|Ψ(t)>i にある確率

密度行列の行列要素

∗

∗

=>==<

=>==<

>==<

>==<

21*1221

21*2112

*2222

*1111

)()(1||2

)()(2||1

)()(2||2

)()(1||1

ρρρ

ρρρ

ρρ

ρρ

tCtC

tCtC

tCtC

tCtC 基底状態の存在確率

励起状態の存在確率

原子分極の振幅と位相の情報

純粋状態とアンサンブル平均

H. J. Metcalf and P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping(1999) p15

原子1個

原子10個

原子100個

自然放出

自然放出

7

原子1個の分極と複素電気感受率

tieEtP ωωχε −= 0A0 )()(

)sin]Im[cos]Re[2(]2Re[

)()()()(

)(||)()(

2121

21

1221

SS

ttded

etCtdCetCtdC

texttP

ti

titi

ωρωρρ ω

ωω

+==

+=

>Ψ−Ψ<=

−

+∗−∗

複素電気感受率の定義

原子一個の電気双極子モーメント

210000

A2)()( ρεε

ωχ ω Ed

eEtP

ti == −

の複素表示

密度行列の対角成分（ρ21）が分かれば、原子分極のすべてがわかる！

原子系の時間発展

解くべき方程式（相互作用表示+回転波近似）は

0dE≡Ω

−−−

=

)()(

20

21

)()(

2

1

0

0

2

1

tCtC

dEdE

tCtC

dtdi

δ

（共鳴）ラビ周波数を定義する（相互作用のエネルギーを周波数で表現したもの）

Ω

Ω=

)()(

20

2)()(

2

1

2

1

tCtCi

tCtC

dtd

δ

8

シュレーディンガー方程式の解

Ω

Ω−=

)()(

2)()(

2

1

2

1

tCtCi

tCtC

dtd

δδ

Ω′Ω′

+Ω′Ω′

Ω′Ω

Ω′Ω′ΩΩ′

Ω′−

Ω′

=

)0()0(

2sin

2cos

2sin

2sin

2sin

2cos

)()(

2

1

2

1

CC

titti

titit

tCtC

δ

δ

解きやすいように、エネルギーの基準をずらそう（対角項からδを引こう）C1C2は以前と同じではなくなる（共通の位相回転因子がつく）が、表記は

あえて変えない。（注）エネルギーの基準を変えても物理は変わらない（密度行列に変化はない）

22','2

δλ +Ω≡ΩΩ=±i

：一般化ラビ周波数この行列の固有値：

ラビ振動

0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ρ 22

Ωt

δ = 0 δ = Ω δ = 3Ω

とすると、

2'cos1

2'sin)( 22

22

22

2

222

2tttC Ω−

+ΩΩ

=Ω

+ΩΩ

==δδ

ρ

Ω′Ω′Ω

Ω′Ω′

−Ω′

=

2sin

2sin

2cos

)()(

2

1

ti

tit

tCtC

δ

=

01

)0()0(

2

1

CC

励起状態の存在確率

9

フェルミの黄金則|C2(t)|

Ω2t2 /4

0 2π / t 4π / t-4π / t -2π / tδ

( )

t

ttC

)(2

2/sin)(

02

2

222

2

ωωδπδδ

−Ω≅

Ω=

0→Ω の極限では、

遷移レート（単位時間当たりの遷移確率）

)(2

1||22

)(2

/)(

0

20

2

022

2

ωωδπ

ωωδπ

−>−<

=

−Ω=

dE

ttC

フェルミの黄金則

（調和摂動版）回転波近似による因子

相互作用ハミルトニアン

光ブロッホ方程式（緩和なし）

)(2

)(2

)(2

)(2

11222121

11221212

122122

122111

ρρδρρ

ρρδρρ

ρρρ

ρρρ

−Ω

−+=

−Ω

+−=

−Ω

−=

−Ω

=

iidt

d

iidt

d

idt

d

idt

d

10

ブロッホベクトル

1122

212112

212112

)Im(2)()Re(2

ρρχρρρ

χρρρ

−≡

′′∝=−≡

′∝=+≡

WiV

U

Ω−+=

−=

Ω+=

WUdtdV

Vdt

dU

Vdt

dW

δ

δ

Ω′=+Ω=Ω

Ω≡Ω

=

×Ω=

22

),0,(

),,(

δ

δ

ρ

ρρ

WVUdtd

11

ブロッホ球

χ′∝U

1122 ρρ −=W

χ ′′∝V0>′′χ

吸収領域誘導放出領域

0<′′χ

0<′χ

0>′χ屈折率正領域

屈折率負領域

ブロッホ球上の運動

ρ

0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ρ 22

Ωt

δ = 0 δ = Ω δ = 3Ω

W

VΩ

Uρ

W

V

ΩU

ρ

W

V

Ω

ρρ×Ω=

dtd

U

(a)δ=0 (b)δ=Ω (c)δ=3Ω

(a)

(b)

(c)

ρ

12

1st π/2パルス 2ndπ/2パルス

1st π/2パルス 2nd π/2パルス

W

U

V

W

U

V

W

U

V

Free flight (for T)

),0,( δΩ=Ω

),0,0( δ=Ω

),0,( δΩ=Ω

ラムゼーフリンジの幅が1/2Tとなることのブロッホ球による説明

Free flight

原子泉方式セシウム原子時計

http://www.aist.go.jp/aist_j/press_release/pr2003/pr20030609/pr20030609.html

13

原子泉を用いたラムゼーフリンジ

http://physics.nist.gov/TechAct.Archive/TechAct.98/Div847/div847h.html

Adiabatic Rapid Passage

Uρ

W

V

),0,( δΩ=Ω

U

W

VΩ

U

W

V

Ω

E

0δ

>ng,|

>−1,| ne

>ng,|

>−1,| ne Ω

ρ

ρ

断熱変化

14

2成分スピノール

ΩΩ

ΩΩ

=

)0()0(

2cos

2sin

2sin

2cos

)()(

2

1

2

1

CC

tti

tit

tCtC

3π 4π2πππ/20Ωt

1001

1

12

1i

i

0

0i

i

−

−10

01

−

−0

0i

i

1001

δ= 0 のとき

W

ΩU

V

π/2パルス

W

ΩU

V

πパルス

W

ΩU

V

2πパルス

ΩΩ

ΩΩ

2cos

2sin

2sin

2cos

tti

tit

４π回転を調べる中性子干渉計

H. Rauch et al. Phys. Lett. 54A, 425(1975)

360度回転すると符号が反転する

720度回転すると、元に戻る

(cf. J. J. Sakurai 「現代の量子力学（上）」p.218)

15

古典的振動子もスピノール？

（脱線）自然放出レートの導出

16

（問題１）電荷qが振幅d、角周波数ωで振動している。点Pにおける電場を求めよ

−≅ ′rdt

dc

q eE 2

2

20

14πεrad

Pr′e

rθ

半径が単位長さの球

振動する電荷（もしくは電気双極子）

z

tddt

zdta

tztz

ωω

ω

cos)(

cos)(

22

20

−==

=

radE

)/(cos4

sin)( 20

20

rad crtrc

qztE −= ωπε

θω

電荷がz軸上を振幅dで振動すると、er’の先端は

球面上を（時間r/cだけ遅れて）振幅

rz θsin0

で振動する。従って、点Pにおける電場の大きさは

光の強度I は電場の振幅の2乗に比例するので、

θω 22

42

sinr

pI ∝

レイリー散乱の波長依存性（∝1/λ4）の起源

距離の2乗に反比例

双極子輻射パターン

（問題2）角周波数ωで振動している電気

双極子のエネルギーが指数関数的に減少することを示し、減衰レートΓを求めよ

（ただしΓ<<ωとする）

電荷の位置

電荷 -e、質量 m

時間

30

22

6 mceπεω

=Γ答え：

1μmの輻射の場合、2π×3.53MHz

te γ−∝

tt ee Γ−− =∝ γ2エネルギー

Γ= /1τ輻射寿命

17

半古典的な自然放出レートの導出

30

42

12 cpdSPπεω

∫ =Ω=

)cos()()(2

)(||)()(

21

SS

αω +=

>Ψ−Ψ<=∗ ttCtdC

texttp

放射パワー

原子の電気双極子モーメント

原子のエネルギー

原子のエネルギー緩和レート

2222 ωρω == ∗CCU

)1(3 223

0

32

ρπεω

−=≡Γc

dUP

で振動ω

電磁場の量子化量子化された電磁場の電場

( ))exp(ˆ)exp(ˆ2

)(ˆ2,1 0

rkrkerE kkk

k ⋅+⋅−= +

=∑∑ iaia

Vk

λλλ

λ εω

シングルモードの電磁場の電場

( ))exp(ˆ)exp(ˆ2

)(ˆ0

rkrkerE kkkk ⋅+⋅−= + iaiaVk

λλλλ εω

特定の位置（r = 0）におけるシングルモードの電磁波の電場

( )

=+= +

VEaaE k

00,,0,, 2

ˆˆ)0(ˆεω

λλλλ kkkk eE

偏光の向きを表す単位ベクトル（自由度２）

18

電磁場のエネルギー（調和振動子のエネルギー）

( )( )aannVE

aaaaVE

dV

dVE

V

V

ˆˆˆ)21ˆ(2

ˆˆˆˆ

)(ˆ

)(ˆ)(ˆ21

200

200

20

210

20

+

++

−

≡+=

+=

=

+=

∫

∫

ε

ε

ε

µε

rE

rBrE

)21ˆ(

ˆ21

2ˆ 22

2

+=

+=

n

qmm

pE

ω

ω

＜シングルモードの電磁場＞ ＜一次元調和振動子＞

≡

+≡

−≡

+

+

+

aanaamqaamip

ˆˆˆ)ˆˆ()2/(ˆ)ˆˆ()2/(ˆ

2/1

2/1

ω

ω

両者のエネルギーは等しく表現されるはずなので、

VEVE

00

200 2

2εωωε =→=

電磁波のモード密度

( ))exp(ˆ)exp(ˆ2

)(ˆ2,1 0

rkrkerE kkk

k ⋅+⋅−= +

=∑∑ iaia

Vk

λλλ

λ εω

和をとる際の波数ベクトルkの条件（周期的境界条件）

,2,1,0,,2,2

,2),,( ±±=

== zyx

zyxzyx nnn

Ln

Ln

Lnkkk πππk

単位角周波数あたりの電磁場のモード密度（各偏光成分ごと）

ωπωωω dc

VdD 32

2

2)( =

zyxzyx dkdkdkL

dkdkdkkD32)(−

=π

k空間におけるモード密度：

19

量子論的な自然放出レートの導出

∑ −><=≡Γf

ifI iHf )(|ˆ|2/12

2sp ωωδπτ

Fermi’s Golden Rule

)ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆ0I

+−+ +⋅+=⋅−= aagH σσEd

電場の偏光方向と、電気双極子モーメントの向きが平行であると仮定すると

=−≡=>−≡<

VddEg

VEgxeed

0

20

00

0 2,

2,|ˆ|

εω

εω

∑ ∑∑ ∑∫= =

≅=

−=−>>=>>=

f

Aif

Dd

gfei

2,1 2,1

,,

)(

,1,||,0,||

λ λ

λλ

ωω

ωωωω

k

kk

つづき

ωωωδωπ

λλλ dDeHg AI∑∫

=

−><=Γ2,1

2

,,2 )()(0,|ˆ|1,2kk

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(ˆ0I

+−−

+++ +++= aaaagH σσσσ

回転波近似に対応

Photon emissionPhoton absorption

∑∑==

==Γ2,1

30

32

2,1

20 2

)(2λλ πε

ωωπc

dDg A

θkd

2,ke1,ke

偏光に関する平均を考えると、

30

32

3 cdπεω

=Γ

==

=⋅)2(0

)1(sin, λ

λθλ

dked

20

（ここで元に戻る）

：自然放出レート

緩和（自然放出）のある場合

)(2

)(2

)(21

2 tCitCidt

tdC

−+

Ω= γδ

)Im(

)(2

2

)()()()(

2122

122122

*2

2*2

222

ρρ

ρργρ

ρ

Ω+Γ−=

−Ω

−−=

+=

i

dttdCtCtC

dttdC

dtd

)(2

)(

)()()()(

112212

*2

1*2

112

ρρργδ

ρ

−Ω

+−−=

+=

ii

dttdCtCtC

dttdC

dtd

γ2≡Γ

21

このままでは確率保存しない！

．)Im()1(

)(2

2111

12212211

ρρ

ρρρρ

Ω−−Γ=

−Ω

+Γ= idt

d

12211 ≠+ ρρ

)(2

)()()()(

1221

111

111

ρρ

ρ

−Ω

=

+=∗

∗

i

dttdCtCtC

dttdC

dtd

つづき

光ブロッホ方程式（緩和あり）

Ω−+−=

−−=

Ω++Γ−=

WUVdtdV

VUdt

dU

VWdt

dW

δγ

δγ

)1(

)(2

)(

)(2

)(

)(2

)(2

11222121

11221212

12212222

12212211

ρρργδρ

ρρργδρ

ρρρρ

ρρρρ

−Ω

−−+=

−Ω

+−−=

−Ω

−Γ−=

−Ω

+Γ=

iidt

d

iidt

d

idt

d

idt

d W = ‐1へ緩和（縦緩和）

W 軸へ緩和（横緩和）

核磁気共鳴（NMR）では、縦緩和時間をT1、横緩和時間をT2と呼ぶ。

緩和が自然放出によるものだけなら、

12 2/2/1 TT =Γ== γ

22

Damped Rabi Oscillation

量子モンテカルロ法による計算光ブロッホ方程式（密度行列）による計算

原子1個

原子10個

原子100個

自然放出自然放出

定常状態の解

)(11,

)(1)(2,

)(1)(2

δδδγ

δδδ

sW

ssV

ssU

+−=

+Ω=

+Ω−=

+

≡Ω

≡≡ 22

2

2

2

00 )(,2

),()(γδ

γδγ

δδ LsLss

)()(1

)(22

0

2st21

00

γδδδ

γερ

εχ i

sLd

Ed

+−+

⋅==

（共鳴）飽和パラメータ

Ω−

⋅+

=+=+

=γδ

δδρ

δδρ i

ssiVU

ss

)(1)()(

21,

)(1)(

21 st

21st22

23

自然放出レートと双極子モーメントとの関係

302

0

32

30

32 633

2k

dkdc

d γπεπεπε

ωγ =→==≡Γ

ウィグナー・ワイスコップの自然放出の理論（1930)より

γγδ

δδπχ is

L +−⋅

+=

)(1)(6 3

≡

πλ

2

sII

ccEEds =⋅==

Ω≡

γπε

γγ

320022

20

2

2

2

06

21

22

≡ 36π

γcI s

飽和強度

したがって、

（Is=1.6mW/cm2 for Rb D2line）

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

χ"/χ

max

δ /γ

s0= 0 s

0= 1

２準位原子の複素電気感受率

32

32

6116

1

xx

x

χ π

χ π

′ = − + ′′ = +

3

20

3

20

611

6 11 1

xxs

s x

πχ

πχ

′′ = − ′++

′′ = ′+ +

古典的調和振動子量子論的２準位原子

飽和（パワー）広がり（power broadening）

γ01 s+

γγ sIIs /11 0 +=+

自然幅(natural linewidth）γ

/x δ γ≡

0

/

1

x

s

δ γ

γ γ

′ ′≡

′ ≡ +

24

原子の吸収断面積

)(δσχα nnk =′′=密度nの原子気体の吸収係数

znz eIeIzI )(00)( δσα −− ==

原子数密度

：吸収断面積

OD：光学密度(optical density)

20

2

2

0 )1()(

γδγσδσ

s++≡

：共鳴吸収断面積2

0 6πσ ≡