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画像処理工学
２値画像とその解析方法
画像の２値化
• ２値画像
– １画素あたり１ｂｉｔ（０か１）の情報を持つ画像
– 表示のために０（黒）か２５５（白）とする
• ２値画像の利用
– 文字認識や形状認識で利用される
– 画像を線図形化して解析処理を行う
• ２値画像処理の利点
– 画像のデータ量が少なくてすむ（画素数×１ｂｉｔ）
– データ量が少ないので，処理の高速化が図れる
2
画像の２値化
• 多値画像から２値画像へ（画像の２値化）
– 花の部分だけを抽出する
多値画像 ２値画像
こちらの画像の白い部分についてのみ解析処理を行う（形，大きさ，etc...）
3
画像の２値化
• 画像の２値化処理
– しきい値（閾値；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ）を基準に，各画素の濃度値を０か１に変換する
• 固定しきい値処理
– ある濃度値をしきい値 t として
とする
– 実際には，ヒストグラムを見ながら試行錯誤的に t の値を決定する
( )( )
1 [ ][ ][ ][ ]
0 [ ][ ]f i j t
g i jf i j t
≥= < t f [i][j]
g [i][j]
zm0
1
4
画像の２値化
5
• 固定しきい値処理による画像の２値化
固定しきい値処理
1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:11:12:13:14:15:
入力画像：img[N][M]結果画像：res_img[N][M]
入力画像img[][]の入力
for(y = 0; y < N; y++){for(x = 0; x < M; x++){
img[y][x]がしきい値t以上であればres_img[y][x]に255を代入そうでなければres_img[y][x]に0を代入
}}
結果画像res_img[][]の出力
画像の２値化
• 判別分析法
– しきい値を t– グループ（クラス）１ ： ０ ～ t －１ の濃度値を持つ画素
– グループ（クラス）２ ： t ～ ２５５ の濃度値を持つ画素
– それぞれのグループの濃度値の分散を求める
fn
( )1 2
102
11
t
ff
n f f
nσ
−
=
−=∑
( )255 2
22
22
ff t
n f f
nσ =
−=∑
グループ１の濃度値の分散
グループ２の濃度値の分散
： グループ i の画素数
： 濃度値 f の画素数
： グループ i の濃度値の平均値
： グループ i の濃度値の分散
2iσ
if
in
6
画像の２値化
• 判別分析法（続き）
– クラス内分散
• グループ内の値（データ）がどのくらいばらついているか
– クラス間分散
• グループ間がどのくらい離れているか
( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
2 2 21 1 2 2 1 2
2 221 1 2 2 1 2
W
B F F
n n n n
n f f n f f n n
σ σ σ
σ
= + +
= − + − +
2
2B
W
σσ が最大となるときの t をしきい値とする
クラス内分散
クラス間分散
Ff ： 全画素の濃度値の平均値
クラス内分散が小さく（平均値に近い値に集中している），クラス間分散が大きく（クラス間が離れている）なるようにしきい値を決める 7
画像における連結性
• ４近傍および４連結
– ある画素を中心とし，その上下左右の画素を４近傍という
– ４近傍中に中央の画素と同じ色（値）の画素が存在する場合，それらの画素を４連結しているという
： ４近傍画素 ４連結の例
8
画像における連結性
• ８近傍および８連結
– ある画素を中心とし，その周りの画素を８近傍という
– ８近傍中に中央の画素と同じ色（値）の画素が存在する場合，それらの画素を８連結しているという
： ８近傍画素
８連結の例 9
画像における連結性
• 連結成分
– たがいに連結している同じ値を持つ画素の集まり
• 図形成分
– ２値画像における連結成分
– 連結性の違い（４連結か８連結か）により，成分の数が異なってくる
４連結で見た場合の図形成分数 ： ３８連結で見た場合の図形成分数 ： １
10
画像における連結性
• 孔
– ある連結成分が他の色の連結成分を内部に含む
孔
背景（白の画素）を８連結で考えると，孔が外部とつながっていることになり矛盾が生じる
図形を８連結で考えたら背景は４連結で考える
11
２値画像における幾何学的性質
• オイラー数
– 連結成分の個数から孔の個数を引いた数
１
V ： １の画素の総数
E ：
D ：
１１
１
１
１
１
１
T ：
１
１
１
１
１ １
１
１ １
１
１ １
F ： １
１ １
１
の配置の総数
の配置の総数の配置の総数
の配置の総数
４連結の場合のオイラー数 ( )4G V E F= − +
８連結の場合のオイラー数 ( )8G V E D T F= − − + −12
２値画像における幾何学的性質
• 距離
– 画素間の遠近の程度を表す尺度
• ユークリッド距離
• ４近傍距離（市街地距離）
– 縦または横のみ移動できる条件での距離
• ８近傍距離（チェス盤距離）
– ８方向に移動できる条件での距離
( ) ( )2 2i k j l− + −
i k j l− + −
( )max , i k j l− −
A[i][j]，B[k][l] 間の直線距離
13
２値画像における幾何学的性質
• 各距離の違い
– 中心画素からの距離を３つの距離で求める
4 3 2 3 4 3 2 1 2 32 1 0 1 23 2 1 2 34 3 2 3 4
8 5 2 5 8
5 2 1 2 52 1 0 1 2
5 2 1 2 5
8 5 2 5 8
2 2 2 2 2 2 1 1 1 22 1 0 1 22 1 1 1 22 2 2 2 2
ユークリッド距離 ４近傍距離 ８近傍距離
14
B
ラベリング
• ラベリング
– ２値画像上に点在している図形成分（連結成分）のそれぞれに名前をつける処理
– 図形成分の区別をしておけば，図形成分の個数やそれぞれの特徴（面積など）を計算できる
B B B B BB B B BB
CC
B BBB
DDB
BBB
D D DBD D
BCC
B
B
B
B
D
BBB
BB BB
BB
BB
A
BB
B
AA
B
A
BBB
AAA
B
AA
B B
15
ラベリング
• ラベリングのアルゴリズムの例
– ８連結で考え，２回の走査を行う
– 左上の画素から走査しながら，１の画素を見つける
– その画素 f [i][j] に隣接する画素のうちf [iｰ1][jｰ1] ， f [iｰ1][j] ，f [iｰ1][j+1]， f [i][jｰ1]
の値とラベルを調べる
f [i][jｰ1]
f [iｰ1][jｰ1] f [iｰ1][j] f [iｰ1][j+1]
f [i][j]
16
ラベリング
• ラベリングのアルゴリズムの例（続き）
– ４つの画素すべてが０のとき，f [i][j]に新しいラベルをつけて，次の画素を走査する
すべて ０
ラベル ２ をつける17
ラベリング
• ラベリングのアルゴリズムの例（続き）
– ４つの画素のうち，値が０のもの以外に１種類のラベルがついている場合は，f [i][j]に同じラベルをつけて，次の画素を走査する
２
２
値が０でなく，ラベル２がついている
ラベル ２ をつける18
２
ラベリング
• ラベリングのアルゴリズムの例（続き）
– ４つの画素のうち，値が０のもの以外に２種類以上のラベルがついている場合は，その中で最も小さいラベル番号をf [i][j]につけるとともに，それらが同じ連結成分であることを記憶しておき，次の画素を
走査する
３
２ ２
２ ２
２ ２
２
３３
３
３
３
２
３
値が０でなく，ラベル２と３がついている
３ ２ ２
３ ２
ラベル連結関係
テーブルに記憶
ラベル ２ をつける
19
ラベリング
• ラベリングのアルゴリズムの例（続き）
– 最後まで走査が終わったら，左上から２回目の走査を行い，ひとつの連結成分に対して同じラベルがつくように，ラベルをつけなおす
３
２ ２
２ ２
２ ２
２
２
２
２
２
３
３
３
３
３
３
３
３
３テーブルを見ると
ラベル ３ は ラベル ２ と同じ連結成分である
３
ラベル ２ につけなおす
２ ２
３ ２
ラベル連結関係
20
• 膨張
– 図形を外側に１画素分広げる処理
– 拡張，伝播とも呼ばれる
• 収縮
– 図形を１画素分細くする処理
– 侵食とも呼ばれる
– ２値画像において，ノイズを除去する目的などに用いられる
– 処理を何回行うかで結果が変わってくる
（埋めてはいけない孔を埋めてしまうことがある）
膨張・収縮処理
21
• 膨張処理
– ある画素とその８近傍（または４近傍）のいずれかに少なくともひとつの図形画素（１）がある場合，出力画素を１とする
膨張・収縮処理
1 : [ ][ ][ ][ ]
0 :
f i jg i j
=
あるいはその８近傍（または４近傍）
のいずれかが１のとき
膨張処理１回
その他のとき
22
• 収縮処理
– ある画素とその８近傍（または４近傍）のいずれかに少なくともひとつの背景画素（０）がある場合，出力画素を０とする
膨張・収縮処理
0 : [ ][ ][ ][ ]
1 :
f i jg i j
=
あるいはその８近傍（または４近傍）
のいずれかが０のとき
収縮処理１回
その他のとき
23
• 膨張処理と収縮処理の組み合わせ
– 膨張→収縮処理
• 連結成分の小さな孔や幅の狭いくぼみの部分（亀裂や分裂など）を埋める効果をもつ
– 収縮→膨張処理
• ２値画像の小成分や幅の狭い部分（ひげなどのノイズ）を取り除く効果をもつ
膨張・収縮処理
24
• 境界（輪郭線）追跡
– 広がりのある塊状図形の境界画素を抽出する
– 図形の形状を解析するのに利用
– 単に境界画素の集合を抽出するだけでなく，順序付けられた画素の系列として抽出することができる
境界追跡
A BA B BA B BA B BA A
AAAAA
AA A A A A A A
A A A A A A A ８連結で考えた場合の境界追跡結果
25
• 境界追跡のアルゴリズム（８連結）の例
– 左上の画素から走査し，左側に０の画素が隣接する１の画素を見つけ，それを最初の境界画素とする
– すでに境界画素として認識されていたものであれば無視する
境界追跡
26
• 境界追跡のアルゴリズム（８連結）の例（続き）
– 最初の境界画素を中心とする８近傍を，反時計回りに調べ，１の画素をみつける
– その画素を次の境界画素とする（下図の例では⑥の画素）
境界追跡
Ａ
③ ② ①
④
⑤
A
⑥
27
• 境界追跡のアルゴリズム（８連結）の例（続き）
– 次の境界画素を見つけるときには，前の境界画素の（反時計回りに）隣りの画素から探索すればよい
境界追跡
AＡ
① A
②
③
A
④
② ① A
③
④
A
⑤
AA
AＡ
④ を次の境界画素とする
⑤ を次の境界画素とする
28
• 境界追跡のアルゴリズム（８連結）の例（続き）
– 次の境界画素が，最初に認識された境界画素と一致したときには追跡処理をやめて，次の走査を行う
– 走査を行う上で，すでに境界画素とされているものは無視していく
境界追跡
AAAAA A
AAAAA
AA A A A A A A
A A A A A A A
③ ② ①
A
A
A A
最初に境界画素として認識された
次の走査を行う
29
• 境界追跡のアルゴリズム（８連結）の例（続き）
– 外側の境界は，図形に対して反時計回りに追跡される
– 孔の部分の境界は，図形に対して時計回りに追跡される
境界追跡
AA BAAA A
AAAAA
AA A A A A A A
A A A A A A A
孔の部分の境界（Ｂ）は時計回りに追跡される
30
直線の検出
• 直線の検出
– ノイズや対象物の重なりなどの影響で散在した点（画素）から，本来抽出したい直線を導き出す
点線の直線式を導き出したい
31
• ハフ（Ｈｏｕｇｈ）変換を用いた直線の検出
– ある１点（x1，y1）が与えられたとき，これを通る直線は，傾き a と切片 b のパラメータを用いて
y = ax + bと表される
– 原点から直線に下ろした垂線の長さρと，垂線がx 軸となす角度θのパラメータを用いると，直線式は
とも表すことができる
直線の検出
cos sinx yρ θ θ= +
32
• ハフ（Hough）変換を用いた直線の検出
– 点（x1，y1）を通るすべての直線をパラメータ（θ，ρ）で表したとき，θの変化に対するρの変化をグラフ化すると下図のようになる
直線の検出
2ρ
1ρ
3ρ
（x1，y1）
x
y
1θ2θ
3θ
33
• ハフ（Hough）変換を用いた直線の検出
– 与えられたすべての点についても，同様に曲線を求めると，下図のようになる
直線の検出
34
• ハフ（Hough）変換を用いた直線の検出
– 曲線が最も多く交わる点（θ1，ρ1）を見つければ１本の直線を検出することができる
直線の検出
1θ
1ρ
1 1 1cos sinx yρ θ θ= +
1 1
1 1
cossin sin
y xθ ρθ θ
= − +
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• ハフ変換の利点
– 同時に複数の直線を検出することができる
– ノイズを含む２値画像からも直線を検出できる
• ハフ変換の欠点
– 計算時間がかかる
– 短い線分を多数含む図形には不向き
直線の検出
36
