UNIVERSIDAD NACIONAL

MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, Decana De América)

CURSO : LABORATORIO DE FISICA I

TEMA : TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

PROFESOR : VITTOR FRANCISCO GARCIA

ALUMNOS :

Castro Romaní ,Froilán Otoniel………(E.A.P. Mecánica de Fluidos)

Vergara Calderón Eva Cecilia…… . ...(E.A.P .Mecánica de Fluidos)

Gómez Cusi , Luigi…………………... ..(E.A.P. Mecánica de Fluidos)

TURNO :Lunes 2 - 4 pm.

Ciudad Universitaria, Mayo del 2015

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Movimiento Pendular

I. EQUIPOS Y MATERIALES:

-Soporte universal-Prensas-Varillas de 20cm-Clamps-Cuerda-Juego de pesas-Cronometro-Regla métrica-Transportador circular-Hojas de papel milimetrado-Hoja de papel logarítmico

II. INFORMACION TEORICA:

Se denomina péndulo simple a un punto material suspendido de un hilo inextensible y sin peso, que puede oscilar en torno a una posición de equilibrio. La distancia del punto pesado al punto de suspensión se denomina longitud del péndulo simple. Nótese que un péndulo matemático no tiene existencia real, ya que los puntos materiales y los hilos sin masa son entes abstractos. En la práctica se considera un péndulo simple un cuerpo de reducidas dimensiones suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable comparada con la del cuerpo. En el laboratorio empleamos como péndulo simple un sólido metálico colgado de un fino hilo.

El péndulo matemático describe un movimiento armónico simple en torno a su posición de equilibrio, y su periodo de oscilación alrededor de dicha posición está dado por la ecuación siguiente:

T =2π √ LgDonde L representa la longitud medida desde el punto de suspensión hasta la masa puntual y g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se ha instalado el péndulo.

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Movimiento Pendular

ELEMENTOS Y CARACTERISTICAS DE UN PENDULO SIMPLE.

1. Cuerpo de masa m tipo plomada (en relojes normalmente tiene forma de lenteja).2. Cuerda inextensible de longitud L, de masa despreciable.3. Amplitud es el ánguloθ formado entre posiciones de dirección vertical del

péndulo y la dirección determinada por la cuerda en una posición de desplazamiento pequeño de la masa pendular.

4. Oscilación completa, es el movimiento del péndulo que partiendo de una posición extrema (un ángulo pequeño θ=12 ),llega a la otra y vuelve a la posición inicial.

5. El péndulo T es el tiempo que demora el péndulo en realizar una oscilación completa.

TRATAMIENTO DE MOVIMIENTO DEL PENDULO IMPLE

1. Se aleja el péndulo de su posición de equilibrio, considerando una amplitud angular no mayor a 12°. Se observa que el péndulo oscila bajo la acción de su peso que no se equilibra con la tensión de la cuerda; resultando oscilaciones isócronas.

2. Se analiza la combinación de la energía potencial y la energíacinética para est movimiento oscilatorio. En el siguiente espacio dibuje identificando en qué lugar del movimiento, el péndulo almacena energía potencial y en qué lugar se manifiesta la energía cinética.

III. OBJETIVOS

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Movimiento Pendular

Establecer las relaciones entre las variables que son determinantes en el periodo de un

péndulo simple.

Determinar las variables que inciden en el movimiento periódico del péndulo simple.

Aplicar procedimientos matemáticos y gráficos para hallar las expresiones que relacionen

las variables del péndulo simple.

Establecer una relación cuantitativa entre el volumen y la masa de los cuerpos.

IV. PROCEDIMIENTO

PRMERA PARTE

1. Observe el cronómetro y analice sus características. Aprenda su manejo. ¿Cuál

es el valor mínimo es la escala? ¿Cuál es el error instrumental a considerar?

Se debe tener en consideración que el valor mínimo en la escala del cronómetro

es 0.001 segy su error instrumental a considerar es 0.0005 s.

2. Disponga un péndulo de masa m = 100 g y de longitud L = 100 cm.

3. Aleje ligeramente la masa a una posición cerca de la posición de equilibrio

formando un ángulo θ, (θ < 12°).

4. Suelte la masa y mida con el cronómetro el tiempo t que se tarda en realizar 10

oscilaciones completas.

5. Cuando el péndulo se mueve con una L igual a 100 cm, que por efecto de ser

desplazado a una amplitud de 12° de la posición de equilibrio, inicia un

movimiento de vaivén hacia el otro extremo equidistante de esta posición, y

continua este movimiento oscilatorio de 20 segundos que corresponden

aproximadamente a 10 oscilaciones completas; número y tiempo óptimo para

medir el tiempo T de una oscilación completa.

6. Determine el periodo T de una oscilación completa experimental de acuerdo a la

siguiente relación: T = t/ N, donde N es en número de oscilaciones completas.

7. A continuación revisar la medida "L" del péndulo que hizo oscilar. Observe si la

cuerda tiene el comportamiento de cuerda inextensible o hay una variación en su

medida? Coloque la nueva medida como L final en la Tabla Nº 1.

8. Hacer mediciones para 10 oscilaciones completas para cada medida de L,

revisando las L, como el paso 7); colocar los Ti, medidos en la Tabla N°1 así

como los nuevos valores Li.

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Movimiento Pendular

TABLA N° 1

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

f(x) = 0.200260939531577 x^0.492658241030546R² = 0.993090972845594

T vs L'

LONGITUD FINAL (L')

PERI

ODO

(T)

Longitud antes (cm) Longitud Final (cm)

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Movimiento Pendular

a) ¿Qué gráfica obtiene? ¿Cuál es más fácil de reconocer, según sus estudios?

Se obtienen dos gráficas, una tiene la forma de una función exponencial (T vs L’) si

la

otra tiene la forma de una función poli nómica de grado 2 (L’ vs T). La más fácil de

reconocer seria la exponencial, ya que conocemos sus fórmulas para hallar sus

ecuaciones.

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

L' vs T

PERIODO (T)

LON

GITU

D FI

NAL

(L')

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Movimiento Pendular

b) ¿Qué tipo de gráfica obtiene usted ahora?

Es de la forma lineal donde la pendiente está dada por 0.04.

c) ¿Se establece una proporcionalidad directa entre T2 y L’? Use la pendiente para expresar la fórmula experimental.

La fórmula experimental es:

T2 = 0.040L' + 0.019

Y su coeficiente de correlación es:R² = 0.998

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

T2 vs L'

LONGITUD FINAL (L')

PERI

ODO

T2

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Movimiento Pendular

SEGUNDA PARTE

1. Realice mediciones para péndulos de 60 cm de longitud y diferentes valores de

masa. Considere una amplitud angular de 10°. Compete la tabla N°2.

TABLA N° 2

m(g) 50 60 70 80 90t(s) 16.5 16.7 17.2 17 16.5T(s) 1.65 1.67 1.72 1.7 1.65

50 60 70 80 90 1001.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

T vs G

MASA (g)

PERI

ODO

(T)

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Movimiento Pendular

2. Realice mediciones en un péndulo de 60 cm de longitud y la masa de 50 g para

diferentes amplitudes angulares.

TABLA N° 3

Θ (°) 2° 4° 6° 8° 12° 30° 45°t (s) 14.3 14.29 14.13 14.22 14.45 14.47 14.64T (s) 1.43 1.429 1.413 1.422 1.445 1.447 1.464

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501.38

1.39

1.4

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45

1.46

1.47T vs Θ°

AMPLITUD ANGULAR (Θ °)

PERI

ODO

(T)

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Movimiento Pendular

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Movimiento Pendular

VI. CUESTIONARIO

1. De la tabla Nº 1 grafique usted T2 (s 2) vs. L’(cm) . a partir del grafico determinar el valor experimental de la aceleración de la gravedad en el laboratorio .calcule el error porcentual con respecto al valor g=

9.78m

s2 (aceleración de la gravedad en lima).

g =9.78m

s2=¿978

cm

s2

T2 L’ T2L’ (T2)2

3.24 80 259.2 10.492.68 70 178.6 7.182.46 60 147.6 6.051.76 50 88.0 3.091.48 40 59.2 2.191.12 30 33.6 1.120.73 20 14.6 0.530.39 10 3.9 0.15

∑ T2 =13.86 ∑ L’=360 ∑ T2L’=784.7 ∑(T2)2=30.8

m=8∗784.7−13.86∗360

8∗30.8−13.862

¿¿ =23.71

b=30.8∗360−13.86∗784.7

8∗30.8−13.862

¿¿ = 3.907

→L’ = 23.71*T2+3.097 (ecuación de la recta)

- Cálculo del valor experimental de la aceleración de la gravedad en el laboratorio.

Como: ®T=2π √ L'gex →gex=4 π2L 'T 2

®m= L'T 2 = 24.713

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Movimiento Pendular

→ gex=4 π2∗m = 4 π 2∗24.713= 975.63 cm

s2

- Calculo del error experimental porcentual con respecto al valor g=978cm

s2

®Eex %=g−gexg

*100=978−975.63

978*100 = 0.242 %

2. Explique cómo se ha minimizado uno de los errores sistemáticos con los pasos del procedimiento 7 y 8 .

Al realizar las mediciones para las 10 oscilaciones se tiene que al final de cada experimento la longitud de la cuerda que sostiene a una masa m puede variar su longitud aumentando su medida.

Para esto se mide la longitud final para saber si se ha afectado el resultado del periodo con este resultado se puede conocer que tanto se puede afectar el periodo.

Otras veces es posible eliminar la causa que origina este error, no por un tratamiento matemático sino mediante un artificio que logre que esta perturbación sé "auto elimine" y por lo tanto no quede incluida en el resultado final de la medición.

Se considera que este procedimiento es más adecuado que la eliminación del error mediante la "corrección" antes mencionada.

Finalmente puede existir una causa de origen sistemático que el observador por su poca experiencia, estudio u otra circunstancia, no lo descubra en el análisis previo a la medición y por lo tanto el mismo quedará incluido en el resultado final.

3. Indique otros errores sistemáticos que operan en este experimento para cada una de las tres tablas.

En la primera tabla el mayor error sistemático fue el de la variación que sufría la cuerda ya que después de la medición del periodo en algunas ocasiones se observaba que la longitud final de la cuerda aumentaba algunos milímetros.

En la Segunda tabla sucede lo mismo el error del cálculo en la obtención del periodo es acerca de la longitud de la cuerda al final del experimento por otra

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Movimiento Pendular

parte también está en la precisión de la persona en calcular el ángulo además del encargado de tomar el tiempo de las oscilaciones.

En la Tercera tabla el único mayor problema es el factor externo que afecta mucho el cual es el aire ya que cuanto menor sea el ángulo para medir el periodo del péndulo el aire intervendrá mucho más.

4. Exprese los errores aleatorios con los datos de la tabla N|1.

Error aleatorio de L’

®L' =80+70+60+50+40+30+20+10

8 = 45

®σ =√ (45−80)2+(45−70)2+(45−60)2+(45−50)2+(45−40)2+(45−30)2+(45−20)2+(45−10)2

8

=22.91

→ Ea =3σ

√8−1 =

3∗22.91

√8−1=25.97

Error aleatorio de T

®T =1.8+1.64+1.57+1.33+1.22+1.06+0.86+0.62

8 =1.26

®σ=

√ (1.26−1.8)2+(1.26−1.64 )2+(1.26−1.57)2+(1.26−1.33)2+(1.26−1.22)2+(1.26−1.06)2+(1.26−0.86)2+(1.26−0.62)2

8=0.378

→ Ea =3σ

√8−1 =

3∗0.378

√8−1 = 0.42

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Movimiento Pendular

5. Halle la formula experimental cuando se linealiza la grafica en el papel log de T vs L’.

Sabemos que: Y=mX+B (ecuación de la recta en un logarítmico)

L T Log L’ Log T Log L*log T (Log L)280 1.8 1.90 0.25 0.47 3.6170 1.64 1.84 0.21 0.38 3.3860 1.57 1.77 0.19 0.33 3.1350 1.33 1.69 0.12 0.20 2.8540 1.22 1.60 0.008 0.012 2.5630 1.06 1.47 0.002 0.00294 2.1620 0.86 1.30 -0.006 -0.0078 1.6910 0.62 1.00 -0.207 -0.207 1

∑L’=12.57 ∑ T=0.565 ∑logL*logT=1.177 ∑(logL)2=20.38

m=8 (1.177 )−(12.57 ) (0.565 )

8 (20.38 )−12.572 =1.40

b=(20.38 ) (0.565 )−(12.57 )(1.177)

8(20.38)−(12.57)2 =-0.82

B=antilog(b)

Y=1.40X+0.21

6. Con los datos de la tabla nº2, grafique T(s) vs.(g) en papel milimetrado . ¿A quéconclusión llega observando la grafica

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Movimiento Pendular

Se verifica que el período de un péndulo simple no depende de la masa, pues a masas diferentes, mientras la longitud de la cuerda sea la misma, el período no varía.

7. Grafique T(s) vs. θ(grados) en papel milimetrado. Determine los pares ordenados de la tabla N°3. ¿Existe alguna dependencia entre el periodo T con respecto a la amplitud angular θ? Si este fuere así, ¿cómo sería esta dependencia?

Al graficar T(s) VS (grados) observamos puntos dispersos o sin una tendencia propiamente dicha. No existe dependencia entre el periodo y el ángulo. Además como información adicional podemos señalar que el periodo no guarda relación alguna tampoco con la masa y es sólo dependiente de la longitud y de la gravedad del sistema empleado.

8. ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones

de un péndulo simple?

El valor que toma el período para que cumpla las condiciones de un péndulo

simple es aproximadamente 15°, con esta cantidad se alcanza precisiones en

un 99%.

Como 15° la longitud de arco tomaría la forma de línea recta y cumple

con las ecuaciones de un MAS.

Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta

afirmación. Consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del

seno del ángulo:

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Movimiento Pendular

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es

función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un

M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo

de movimientos, que vemos a continuaci

, con la ecuación obtenida anteriormente

Vemos que la pulsación es: ,y teniendo en cuenta que

Donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa,

llegamos a:

9. ¿Comprobó la dependencia de T vs L? ¿Cómo explica la construcción de los relojes de péndulo de distintos tamaños?

Si llegamos a la conclusión q el periodo no depende de la masa (g) ni de la amplitud (Θ°).El tamaño no en esta caso no va importar solo va importar la longitud de la cuerda y cuanto se tome el valor de la gravedad

10. .Cuando la longitud del Pendulo de un reloj se expande por efecto del calor. ¿Gana o Pierde Tiempo?

Sabemos que la longitud se encuentra de cierta manera proporcional al periodo de un péndulo por tanto si es que la longitud del péndulo aumentase entonces se tendría que el periodo también aumentaría en consecuencia esto provocaría que el número de oscilaciones por unidad de tiempo aumente lo cual causaría que el reloj se adelantara es decir que ganaría tiempo

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Movimiento Pendular

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Movimiento Pendular

11. . Explique el significado de la afirmación “Péndulo que bate el

segundo”

Explicación:

De la expresión:

(Tiempo de oscilación simple) resulta que el tiempo de oscilación depende de la

longitud y de la aceleración de la gravedad.

Si en determinado lugar (g: conocida) deseamos construir un péndulo cuyo tiempo

de oscilación sea un segundo, tendremos que modificar su longitud.

Ello se logra aplicando la expresión:

Luego:

De este modo para t=1 seg se logra un péndulo que “bate el segundo”. Por ello

decimos:

Péndulo que bate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un

segundo.

Para el lugar cuya aceleración de la gravedad es normal (g=9,806) la longitud del

péndulo que bate el segundo es 0,9936 m, mientras que para el que cumple una

oscilación doble en un segundo será l= 24,84 cm.

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Movimiento Pendular

12.¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada

longitud es siempre menor que un décimo de la longitud usada?

Es necesario que la amplitud sea menor que un décimo de la longitud usada

debido a que si la amplitud es más pequeña (<=10°) no influirá en el periodo de

oscilación de péndulo.

13.¿En qué puntos de su oscilación, el péndulo tiene la mayor velocidad

y la mayor aceleración?

El movimiento de un péndulo corresponde al tipo de movimiento llamado M. A.

S., o sea, Movimiento vibratorio Armónico Simple.

Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos

iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración,

etc.), toman el mismo valor.

El movimiento de un péndulo es periódico, pues sus variables se repiten de

forma constante tras un cierto tiempo. A este tiempo, le llamamos PERÍODO del

péndulo. Vemos la variación de la velocidad del péndulo en su movimiento.

Observa que adopta posiciones máximas en el centro y mínimas en los

extremos.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la

velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la

expresión de la velocidad. La posición del móvil que describe un M.A.S. en

función del tiempo viene dada por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

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Movimiento Pendular

De esta manera decimos que la máxima velocidad se da en el punto de

equilibrio. Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración

del móvil

De esta manera decimos que la máxima aceleración se da en los extremos

VII. CONCLUSIONES

El periodo de oscilación de un péndulo simple no depende de la masa que esté

oscilando, sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad 

Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que

todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos

iguales.

A mayor longitud de cuerda mayor período.

El ángulo de lanzamiento del péndulo presenta una pequeña relación con el periodo

del péndulo. Por esto se aconseja utilizar valores pequeños para el ángulo.

El periodo de oscilación del péndulo simple es directamente proporcional a la

longitud del mismo.