2.4.3. ToistokoeSama koe toistuu monta kertaa. Kokeet ovat toisistaan riippumattomia.

Toistokokeen todennäköisyyksien laskeminen:Sama koe toistuu n kertaa. Ilmiö tapahtuu kokeessa todennäköisyydellä p

P(kaikki n koetta antavat suotuisan tuloksen) = pn.

E.2. Noppaa heitetään 4 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan a) aina muu kuin 6 b) ainakin yksi 6?

k =”saadaan kuutonen” p(k) = 1/6 n = 4

k = ”saadaan muu kuin kuutonen” p(k) = 5/6

a) P(saadaan aina muu kuin kuutonen) = P(k, k, k, k) = (5/6)4 0,48

b) P(saadaan ainakin 1 kuutonen) = 1 – P(0 kuutosta) 1 – 0,48 = 0,52

E.3. Monestiko on heitettävä noppaa, jotta saataisiin tulos ”ainakin yksi 6” todennäköisyydellä 0,8?

P(saadaan ainakin yksi kuutonen) = 1 – P(0 kuutosta) = 1 – (5/6)n

1 – (5/6)n 0,8

2,0)6

5( n

)65

lg(

2,0lgn

n 8,8274...

V: 9

E.4. Björn Borg voittaa erän tenniksessä todennäköisyydellä 0,7. Hän johtaa erin 2 - 1, kun alkaa sade. Miten 100 000 dollarin voitto on jaettava, jos peliä ei voi jatkaa ja voittoon tarvitaan 3 erävoittoa?

P(X voittaa) = 0,3 0,3 = 0,09

P(BB voittaa) = 1 – P(X voittaa) = 1 – 0,09 = 0,91 V: BB:lle 91 000 $, vastustajalle 9000 $

2.5. Binomitodennäköisyys

n-kertainen toistokoeSama koe toistuu n kertaa. Todennäköisyydet ovat joka kerralla täysin samat.Yleensä tällöin halutaan tietää millä todennäköisyydellä näistä n kerrasta on k kpl suotuisia.

Todennäköisyyden laskeminen n-kertaisessa toistokokeessa

P(n:ssä toistossa on k suotuisaa) = · pk · (1 - p)n-k

missä n on toistojen määrä, k on suotuisten tapausten määrä, p on suotuisan tapahtuman todennäköisyys.

nk

E.1. Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan kolme a) kuutosta b) samaa?

353 )6

11()

6

1(

3

5

P(3 kuutosta) =

k = kuutonen

p(k) = 1/6

n = 5

k = 3

a)

0,032

b)

P(kolme samaa) = 6 · 0,03215 0,192

E.2. Rahaa heitetään 7 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan 4 kruunaa?

p(kruuna) = ½

n = 7

k = 4

474 )2

11()

2

1(

4

7

P(4 kruunaa) =

= 0,27

E.3. Pakasta otetaan kortti, joka laitetaan takaisin. Millä todennäköisyydellä 5. kerralla saadaan kolmas pata?

242 )52

131()

52

13(

2

4

P(viidennellä nostolla 3. pata)

52

13

= 0,05