-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
1/7
Maret 2008 Teori [email protected]
1
INDUKSI MATEMATIKA
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
2/7
Maret 2008 Teori [email protected]
2
INDUKSI MATEMATIKA
Prinsip Terurut Baik
Setiap himpunan bilangan bulat tak negatif S, yang tak kosong
selalu
memuat unsur terkecil; yaitu a S a b b S.
Teorema 1.1 (Sifat Archimedes)
Jika a,b Z+, maka n Z+ na b.
Bukti:
Andaikan teorema tidak benar, maka untuk suatu a dan b, na <
b, n
Z+. S = {b-na|n Z+} memuat semua bilangan positif.
Dari Prinsip Terurut Baik S mempunyai unsur terkecil, namakan
b-ma.
S memuat semua bilangan bulat berbentuk seperti ini b-(m+1)a
S.
b-(m+1)a = (b-ma)-a
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
3/7
Maret 2008 Teori [email protected]
3
Teorema 1.2 (Prinsip Induksi Hingga)
Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat positif yang
memenuhi
(i) 1 S
(ii) k S k+1 S
Maka S himpunan semua bilangan positif
Bukti:
Misalkan T himpunan semua bilangan positif yang tidak termuat di
S
dan T tidak kosong.
T memuat unsur terkecil, namakan a.
1 S a > 1 0 < a-1 < a a-1 T a-1 S (a-1)+1=a
Skontradiksi dengan a T
T haruslah kosong S memuat semua bilangan bulat positif.
Kondisi (i) disebut basis induksi, kondisi (ii) disebut tahap
induksi.
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
4/7
Maret 2008 Teori [email protected]
4
Contoh:
Buktikan untuk n = 1, 2,
Bukti:
Untuk n = 1, berlaku
Artinya 1 S.
Asumsikan k S
6
)1)(12(...21 222
nn
nn
1
6
)11)(12(112
6
)1)(12(...21 222
kk
kk
22222)1(
6
)1)(12()1(...21
kkkk
kk
6
672)1(
6
)1(6)12()1(
2kk
kkkk
k
6
)2)(32)(1( kkk
Artinya k+1
S, jika k
S. Jadi S memuat semua bilangan bulat positif. Artinya rumus
berlaku
untuk n = 1, 2,
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
5/7
Maret 2008 Teori [email protected]
5
Contoh:
Buktikan 1 + 2 + 22 + + 2n-1 = 2n 1, n Z+.
Bukti:
Untuk n=1 berlaku 1 = 21 1.
Artinya 1 S.
Asumsikan k S, maka 1 + 2 + 22 + + 2k-1 = 2k 1.
1 + 2 + 22 + + 2k-1 + 2k = 2k 1+ 2k = 2.2k 1= 2k+1 -1.
Artinya k+1 S, jika k
S
Jadi S memuat semua bilangan bulat positif. Artinya rumus
berlaku untuk
semua bilangan bulat positif.
Tahap induksi (ii) dari Prinsip Induksi hingga ekivalen
dengan
(ii) Jika k Z+ 1, 2, , k S, maka k+1 S.
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
6/7
Maret 2008 Teori [email protected]
6
Latihan
1. Buktikan
(a)
(b) 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n2, n1.
(c)
2. Jika r 1, buktikan
1,2
)1(.. .321
nnn
n
Znr
raararara
n
n ,1
)1(...
12
1,2
)1(...21
2
333
nnn
n
-
7/25/2019 23_HandOutTeoriBilangan1
7/7
Maret 2008 Teori [email protected]
7
Soal
1. Gunakan Prinsip Induksi Hingga Kedua untuk membuktikan
an 1 = (a-1)(an-1 + an-2 + + a +1), n 1.
(Petunjuk: an+1 1 = (a+1)(an 1) a(an-1 1).)
2. Buktikan pangkat tiga dari setiap bilangan bulat dapat
dituliskan
sebagai selisih dari dua bilangan kuadrat.
(Petunjuk: n3 = (13 + 23 + + n3) (13 + 23 + + (n-1)3.)
3. Benar atau salah? m,n Z+, (mn)! = m!n! dan (m+n)! = m! +
n!.
4. Buktikan:
(a) n! > n2, n 4(b) n! > n3, n 6.
5. Buktikan 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + + n(n!) = (n+1)!-1, n 1.
