23997353-Funcoes-Vetoriais[1]

8/6/2019 23997353-Funcoes-Vetoriais[1]

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Texto 01: Funes Vetoriais

At agora nos cursos de Clculo s tratamos de funes cujas imagens estavam em R. Essas

funes so chamadas de funes com valores reais ou funes escalares. Vamos tratar aseguir das funes cujos valores so vetores do R2 ou R3. Um exemplo de uma funovetorial a velocidade, num instante t, de um objeto que se move no espao.

Uma vez que as trs componentes de r(t) so determinadas univocamente para cada t em Dpodemos escrever r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) k. onde f, g e h so funes escalares de

domnio D e so chamadas defunes componentesde r(t).

Observaes: As mesmas definies valem para r(t) em R2. O domnio da funo r(t) corresponde interseco dos domnios das funes

escalares componentes f, g e h.

Exemplos:

1) O movimento de uma partcula P sobre uma circunferncia de raio 1 pode ser expresso

pela funo vetorial

+= jsentitcos)t(r , onde a varivel t representa o tempo e

P(cost, sent) d a posio da partcula em movimento.Neste caso o domnio da funo vetorial R e as funes escalares componentes sof(t) = cost e g(t) = sent

Alguns valores para r(t)t r(t)0 1 /2 j i

1

Seja D R. Uma funo vetorial r(t) com domnio D uma correspondnciaque associa a cada nmero t em D exatamente um vetorr(t) em R3

Se D R, ento r(t) uma funo com valores vetoriais com domnio D se e somente seexistem funes escalares f, g e h tais que r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) kpara todo t em D


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Os valores acima significam que nos instantes t = 0; t = /2 e t = a particular seencontra nas posies P1(1,0); P2(0,1) e P3( 1, 0)

2) r(t) = cost i 3tj

Neste caso o domnio da funo vetorial R e as imagens so vetores do R2

.As funes componentes so f(t) = cost e g(t) = 3t

Alguns valores para r(t)t r(t) i 3 j0 i /2 3 /2j

3) r(t) = ln( t 1) i + etj + t k

O domnio da funo ]1, + [ e as imagens so vetores do R3;As funes componentes so f(t) = ln(t 1); g(t) = et e h(t) = t

Alguns valores para r(t)t r(t)2 e2j + 2 k3 ln2 i + e3j + 3 k

Grficos de Funes Vetoriais

Dada uma funo vetorial r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k. Para cada valor de t obtemos umvetorr(t). No faremos distino entre o vetorr(t) e seu vetor posio OP, sendo P o pontoterminal de OP.

Dada a funo r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) k, os pontos terminais dos vetores r(t)definemuma curva C no espao (ou no plano se r(t) = f(t) i + g(t)j ).

Ogrfico de C consiste em todos os pontos (f(t), g(t), h(t)) em um sistemacoordenado XYZ.

As equaes x = f(t); y = g(t) e z = h(t) so chamadas de equaes paramtricas deC.

O grfico da funo vetorial portanto o grfico das equaes paramtricas.

2

z

y x

r(t)

O

P

x


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usual escrever as equaes paramtricas como x = x(t); y = y(t) e z = z(t). A orientao da curva C determinada pelos valores crescentes de t

Exemplo: Descreva o grfico das seguintes funes vetoriais

1) r(t) = (1 t) i + 3tj + 2t k

O grfico da funo uma curva no espao cujas equaes paramtricas so

=

=

=

t2)t(z

t3)t(y

t1)t(x

Como j foi visto estas equaes so as equaes paramtricas da reta que passa pelo ponto(1,0,0) e tem a direo do vetor ( 1, 3,2 )

Relembremos da Geometria Analtica que as equaes paramtricas da reta r que passa porPo(xo, yo, zo) e tem a direo do vetor v = ( a, b, c ) so dadas por

+=

+=

+=

c tzz

byy

a txx

0

0

0

O mesmo vale se a reta est no plano XY

+=

+=

byy

axx

0

0

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2) r(t) = cost i + sentj

O grfico da funo uma curva no plano cujas equaes paramtricas so

=

=

ts e)t(y

tc o)t(x

Estas equaes so as equaes paramtricas da circunferncia de centro na origem e raio1.Observemos que elevando ao quadrado e somando as equaes x(t) e y(t) obtemosx2 + y2 = 1.A orientao da curva no sentido anti-horrio que corresponde variao crescente de t.

Como foi visto, esta funo vetorial pode representar o movimento de uma partcula Psobre uma circunferncia de raio 1 e P(cost, sent) d a posio da partcula em movimento.

De uma maneira geral a funo vetorial r(t) = acost i + asentj tem como grfico acircunferncia de centro na origem e raio a.

A funo vetorial r(t) = acost i + bsentj ( a b ) tem como grfico a elipse de

equaes 1b

y

a

x2

2

2

2

=+

3) Seja r(t) = 3t i + ( 1 9t2)j; t R. Esboce a curva C determinada por r(t) e indique aorientao para r(0) e r(1/3)

As equaes paramtricas so

==

2t91)t(y

t3)t(x . Eliminando o parmetro t nas duas equaes

obtemos: t = x/3.; substituindo na 2a equao y = 1 9 (x2/9) .Assim, a curva tem equaes cartesianasy = 1 x2, que uma parbola.

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Alguns exemplos de imagens:r(0) = j r(0) = ( 0,1)r(2/3) = 2i 3j r(2/3) = ( 2, 3)

4) Seja r(t) = acost i + asentj + bt k; para t 0. Trace a curva C determinada porr(t) eindique a sua orientao

As equaes paramtricas de C so

=

=

=

b t)t(z

ts e na)t(y

tc o sa)t(x

Eliminando o parmetro nas duas primeiras equaes obtemos x2 + y2 = a2 que a equaode um cilindro circular. Quando t varia no intervalo [0, 2 ], um ponto P(x,y,z) parte de(a,0,0) e se move para cima, fazendo uma revoluo em torno do cilindro. A curvaresultante chamada de hlice circular.

Clculo de Funes Vetoriais: Limites , Derivadas e Integrais

Seja r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) k,

Temos as seguintes definies:

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k)t(hj)t(gi)t(flim)t(rlimatatatat

+

+

=

desde que f(t), g(t) e h(t) tenham limites quando t tende a a


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Exemplo: Calcule os seguintes limites:

1. ( )

=

2

2,

2

2tsen,tcoslim

4/t

2.

+

+

+

=+=+ jjt

sentlimitlimj

t

sentitlim

0t0t0t

Exemplo: Calcule r(t) nos seguintes casos:

1. r(t) = sent i + 2tj r(t) = cost i+ 2j

2. r(t) = t2i + etj + t k r(t) = 2t i + etj +t2

1k.

Interpretao Geomtrica da Derivada

Consideremos o grfico C de r(t) (com orientao) e os vetores r(t), r(t + h) er(t + h) r(t), com h > 0. O vetorr(t+h) r(t) percorre a reta secante que une os pontosterminais de r(t+h) e r(t).

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r(t) contnua em a se )a(r)t(rlim =

Se f(t), g(t) e h(t) so diferenciveis ento r(t) diferencivel er(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) k.

Se r(t) um funo vetorial, ento a derivada de r(t) pode ser

expressa comoh

)t(r)ht(rlim)t(r

0h

+=

r(t+h)r(t)r(t+h)

r(t)

C


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A representao grfica acima para o caso em que h > 0. Observemos que o vetorr(t+h) r(t) aponta na direo do parmetro t crescente. No caso de h < 0 o vetor apontaria

na direo oposta.Quando h 0, a reta secante aproxima-se da reta tangente no ponto terminal de r(t).

Conclumos ento, que o limiteh

)t(r)ht(rlim)t(r

0h

+=

,se existir e no for nulo,

um vetor que tangente curva C na ponta de r(t) e aponta na direo do parmetrocrescente.

Observao: Representaremos r(t) sempre por um vetor com ponto inicial P sobre acurva C, que o grfico da funo vetorial r(t).

Exemplos:

1) Determine as equaes paramtricas da reta tangente ao grfico de r(t) no ponto to nosseguintes casos:

a} r(t) = t2i + ( 2 lnt)j; to = 1

Soluo: r(t) = 2t i( 1/t)j r(to) = r(1) = 2 ij . Por outro lado r(to) = r(1) = i + 2j

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r(t)

C

r(t)

Seja P um ponto sobre o grfico de uma funo vetorial r(t) e seja r(to) o raio vetorque parte da origem at P. Se r(to) existir e no for nula, ento chamamos de r(to)o vetor tangente ao grfico de r(t) em r(to) e chamamos a reta que passa por P e que

paralela ao vetor tangente de reta tangente ao grfico de r(t) em r(to).A equao da reta tangente tem a forma vetorial r(t) = r(to) + t r(to)


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A equao vetorial da reta tangente portanto r(t) = i + 2j + t(2 ij ). Escrevendo na forma

paramtrica:

=

+=

t2)t(y

t21)t(x

b) r(t) = 2cos t i + 2sen t j + 3t k; to = 1/3

Soluo: r(to) = r(1/3) = kj3i ++ ;r(t) = 2 sen t i + 2 cos tj +3 k r(to) = r(1/3) = k3ji3 ++

A equao vetorial da reta fica r(t) = kj3i ++ = t( k3ji3 ++ ) e suas equaes

paramtricas

+=

+=

=

t31z

t3y

t31x

2) Considere jtit)t(r 33 += ; t > 0.a) Esboce no plano XY a curva determinada porr(t) e indique a orientaob) Encontre r(t) e trace r(1) e r(1).

Soluo:

a) As equaes paramtricas da curva C que grfico de r(t) so

=

=

3

3

t)t(y

t)t(x. t > 0

Eliminando o parmetro obtemosx

1y = que o ramo da hiprbole no 1o quadrante , uma

vez que t > 0. a sua orientao da esquerda para a direita

b) r(t) = 3t2

i 3t4

jr(1) = i + j r(1) = ( 1, 1 )r( 1) = 3i 3j r(1) = ( 3, 3)

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Interpretao Fsica da Derivada

Consideremos uma partcula em movimento no espao. Suponhamos que no tempo t, r(t)

seja o vetor posio da partcula, em relao a um sistema de coordenadas cartesianas. Aovariar t a extremidade livre do vetorr(t) descreve a trajetria C da partcula.Suponhamos que a partcula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t + t. Ento, r = r(t + t) r(t) representa o deslocamento da partcula de P para Q, ocorrido nointervalo de tempo t.

A taxa mdia de variao de r(t) no intervalo de tempo t dada port

)t(r)tt(r

+e

chamada de velocidade mdia da partcula no intervalo t.A velocidade instantnea da partcula no tempo t, denotada porv(t) dada por

)t(rt

)t(r)tt(rlim

0t

=

+

, quando este limite existe.

Analogamente, se v(t) derivvel, a acelerao da partcula dada pora(t) = v(t) = r(t)

Observaes: )t(r o mdulo da velocidade no ponto e corresponde taxa de variao do

comprimento de arco em relao ao tempo e chamada simplesmente velocidade r(t) = v(t) chamada de velocidade vetorial. Representamos r(t) graficamente por um vetor com ponto inicial em P. Na maioria

dos casos r(t) aponta para o lado cncavo de C.

Exemplo: O vetor posio de um ponto P que se move em um plano xy dador(t) = 2 2 cost i + 2 2 sentj; 0 t .

a) Encontre os vetores velocidade e acelerao de P num instante t e o mdulo davelocidade

b) Esboce a trajetria de C, juntamente com r( /4), v( /4) e a( /4)

Soluo:

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a) v(t) = r(t) = 2 2 sent i + 2 2 costj e a(t) = r(t) = 2 2 cost i2 2 sentj

22tsen)22(tcos)22()t(v2222 =+=

b) r( /4) = 2i + 2j; v( /4) = 2i + 2j

e a( /4) = 2i2j

A trajetria C um semi-crculo de raio 2 2 .

Regras de Derivao

As regras de derivao de funes vetoriais so similares s de funes escalares

Vale o seguinte resultado:

Observao: No caso ii) se f(t) uma constante, ento Dt ( f(t) u(t) ) = f(t) u(t)

Exemplo: kji2]ktjtti2[dt)kt3tj2i2( 10321

0

2 +=+= +

Referncias Bibliogrficas:1. O Clculo com Geometria Analtica Swokowski vol 22. Clculo Um novo horizonte Anton vol23. Clculo C Diva Fleming

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Se u(t) e v(t) so funes vetoriais diferenciveis e f(t) uma funo escalar, ento:i) Dt ( u(t) + v(t)) = u(t) + v(t)ii) Dt ( fu(t) ) = f(t)u(t) + f (t)u(t)

iii) Dt ( u(t).v(t)) = u(t).v(t) + u(t).v(t)iv) Dt ( u(t) v(t)) = u(t) v(t) + u(t) v(t)

Seja r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t) k, com f, g e h integrveis em [a,b]. A integral

definida de r de a a b kh(t)dtjg(t)dtidt)t(fdt)t(rb

a

b

a

b

a

b

a++=

Se R(t) = r(t), ento R(t) uma antiderivada de r(t).A integral indefinida de r += C)t(Rdt)t(r

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