2.3 Möglichkeiten der Behandlung

natürlicher Zahlen im Unterricht

Zahlraumerweiterungen

• Zahlen bis 100 (1./2. Schuljahr)– Zahlen bis 20 (1. Schuljahr)– Zahlen bis 100 (2. Schuljahr)

• Zahlen bis 1 000 000 (3./4. Schuljahr)– Zahlen bis 1 000 (3. Schuljahr)– Zahlen bis 1 000 000 (4. Schuljahr)

• Weitere Erweiterungen (Sekundarstufe)– größere natürliche Zahlen (5. Schuljahr)– Bruchzahlen, negative, rationale, irrationale und imaginäre

Zahlen

Gestuftes oder ganzheitliches Vorgehen

• traditionell (bis Anfang der 90 er Jahre): gestuftes Vorgehen• Erarbeitung des jeweiligen Zahlenraums in Stufen

• neuer Ansatz: stärker ganzheitlich ausgerichteter Unterricht• es dürfen auch Zahlen verwendet werden, die noch nicht

eingeführt wurden• Berücksichtigung der Untersuchungen zu Vorkenntnissen der

Kinder

Gestufte Behandlung der Zahlen bis 20

• Die Zahlen bis 5 (oder 6)– Die Zahlen 1 bis 5 (oder 6)– Die Zahl 0

• Die Zahlen bis 10– Die Zahlen 6 bis 10– Alle Zahlen von 0 bis 10

• Die Zahlen bis 20– Die Zahlen von 11 bis 20– Alle Zahlen von 0 bis 20

Ganzheitliche Behandlung der Zahlen bis 20

• Argumente für eine ganzheitliche Behandlung:• Anknüpfen an die Erwartungshaltungshaltung der

Schulanfänger• Aufgreifen der relativ großen und aspektreichen

Vorkenntnisse der Schulanfänger• Bessere Möglichkeiten zum aktiv-entdeckenden Lernen• Bessere Möglichkeiten für eine differenziertere Gestaltung

des Mathematikunterrichts von Anfang an• Förderung gerade auch schwächerer Schulanfänger• (vgl. Padberg 2005, S. 30)

Ganzheitliche Behandlung der Zahlen bis 20

• Orientierung im Zwanzigerraum – spielerisch– Mengen, Anzahlen– Zahlenreihe bis 20 – Einführungsspiel– Zahlzerlegungen mit Plättchen– Geldbeträge

• Vertiefung des Zahlbegriffs – didaktisches Material– Zahlen in der Umwelt, Wendekarten– Zwanzigerreihe– Zahlzerlegungen– Geldbeträge– Ordnungszahlen

Phasen der Auseinandersetzung

• Sammeln und Mitteilen konkreter Grunderfahrungen (enaktive Ebene)

• Übergang von der konkreten Situation zur Arbeit mit abstraktem Material: Legen und Zeichnen (ikonische Ebene)

• Symbolische Notation der Zahleigenschaften und Zahlbeziehungen (symbolische Ebene)

Konkrete GrunderfahrungenBericht im Morgenkreis

Sven hat einen Hamster bekommen: Wie alt ist er? Was frisst er?...

Geschichte der LehrerinBremer Stadtmusikanten: erzählen, nachspielen, erste mathematische Zerlegungen

Situationen im RollenspielEinkaufen im Kaufmannsladen oder auf dem Flohmarkt

Bild als Erzählanlass

Arbeit mit abstraktem MaterialUnstrukturierte Materialien

Wendeplättchen, Muggelsteine, Holzwürfelchen, Steckwürfel

Strukturierte und teilstrukturierte MaterialienSpielmünzen, Cuisenairestäbe, Rechenrahmen, Rechenschiffe

Schematische Zeichnungen

Symbolische Notation

• Ziffernschreibkurse

• Zahlvergleiche• größer als• kleiner als• gleich

• Zahlzerlegungen

Repräsentation von Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen

• Vorgabe der Zahlen:• konkret durch Mengen von Objekten, • bildlich durch Darstellung von Objekten, • symbolisch durch Zahlzeichen oder Zahlwörter• von den Kindern wahrgenommen:• haptisch, auditiv, visuell• Wiedergabe:• konkret durch Handlungen• zeichnerisch durch Bilder• symbolisch

Arbeitsmittel im Anfangsunterricht

Typen von Arbeitsmitteln• Unstrukturierte Materialien

Materialien, mit denen sich Zahlen als eine entsprechende Anzahl an einzelnen Objekten darstellen lassen, z. B. Kastanien, Knöpfe, ...

• Strukturierte MaterialienMaterialien, mit denen sich Zahlen als Ganzheiten (aus zusammengefassten Einzelelementen) darstellen lassen, z. B. Stäbe entsprechender Länge

• MischformenMaterialien, die eine klare 5er- und 10er-Gliederung aufweisen, deren Elemente jedoch auch einzeln genutzt werden können, z. B. die eigenen Finger

Arbeitsmittel im Anfangsunterricht

• Wendeplättchen

• Steckwürfel/Steckwürfelketten

• Perlenketten

• Zwanziger-Rechenrahmen

Die Zahl NullRepräsentant der leeren Menge

Fortführen einer Reihe

Differenz gleicher Zahlen5 - 5 = 0 4 - 4 = 0 3 - 3 = 0

Zahlen bis 100

• Hauptanliegen der Thematisierung:• Größenvorstellungen entwickeln• Einsicht in das dezimale Stellenwertsystem

• Charakteristika von Stellenwertsystemen:• Bündelung • Stellenwert

Zahlen bis 100

• Zahlen als Anzahlen: Verständnis für Bündelung und Stellenwert

• Zahlen als Elemente einer Reihenfolge: Orientierung im Zahlenraum

• Zahlen als Maßzahlen: Geld, Längen, Zeitspannen

• Zahlen als Rechenzahlen: Rechnen im neuen Zahlenraum

Gestufte Behandlung der Zahlen bis 100

• Erarbeitung der Zehnerzahlen bis 100 als Ankerpunkte– Vereinigen von Zehnermengen (Geld, Steckwürfelstangen,

Briefmarkenstreifen)– Schrittweise Addition von 10– Analogie zu den einstelligen Zahlen

• Auffüllen zwischen den Zehnerzahlen– Bündeln und Entbündeln von Einzelelementen– Addition von Zehnerzahl und Einerzahl– Analogieprinzip (in Zehnerschritten zählen)– Stellentafel

Ganzheitliche Behandlung der Zahlen bis 100

• Beobachten, Erkunden, Untersuchen

• Schätzen, Zählen, strukturiertes Zählen

• Bündelung und Stellenwert

• Zentrale Arbeitsmittel– Hunderterrahmen und Hunderterfeld– Hundertertafel – Vorder- und Rückseite– Zahlenband, Rechenstrich und Zahlenstrahl

Bündelung und Stellenwert

Bündelungsaktivitäten• Tischtennisbälle in Eierkartons:

– Verpacken– Versprachlichen und Notieren– Schätzwert und Ergebnis vergleichen, Bild zum Schätzwert

zeichnen• Zahlenausstellung:

– Immer 10 (Büroklammern aneinander ketten, Kastanien in eine Tüte packen, Zahnstocher mit einem Gummi zusammenbinden, ...)

– Ausstellungsstücke betrachten, vergleichen und ordnen: Welche Zahlen haben wir mehrfach? Welche noch gar nicht?

– Ausstellung vervollständigen: Wer erstellt ein Stück zur 48, wer zur ...?

Verschiedene Beschreibungen einer Zahl

• Beispiel: 23• Schreibweise mit Zehnern und Einern• 2 Zehner 3 Einer (2Z 3E)• Stellenwerttafel• Summenschreibweise• 20 + 3• Zahlwortschreibweise• dreiundzwanzig• Ziffernschreibweise• 23

Arbeitsmittel

• Rechenrahmen

• Hunderterfeld

• Hundertertafel

• Zahlenstrahl

Hundertertafel – Vorderseite

Welche Plätze sind frei, welche Plätze wurden abgedeckt?Muster in der Hundertertafel nachgehen, finden, beschreibenAusschnitte betrachten und zusammenfügen, z. B. „Hundertertafel-Puzzle“Wege auf der Hundertertafel und Pfeilbilder

Zahlen im 3. und 4. Schuljahr

• Anliegen:

• Verständnis für fortgesetztes Bündeln entwickeln

• Gewinnen anschaulicher Größenvorstellungen

Zahlen im 3. und 4. Schuljahr

• Zahlbildungsprinzipien verstehen– Zahlwortbildung– Darstellung in Ziffern

• Zahl- und Größenvorstellungen ausbauen– Vergleichsgrößen nutzen– Darstellungen finden – Schätzen, Überschlagen und Runden

Große Zahlen

• Lesen Sie die folgenden Zahlen laut vor:– 3700468593716900047– 50 007 349 000 685 207 386 473

• Berlin hat etwa 3,5 Millionen Einwohner. Angenommen,jeder Berliner schenkt Ihnen einen Euro in Form eines 1 €-Stückes. – Können Sie das Geld in Ihrem PKW transportieren,

brauchen Sie einen LKW oder gar mehrere?– Reicht der PKW aus, wenn Sie das Geld in Scheine

wechseln dürfen?

Doppelte Systematik der Zahlwortbildung und Stellentafel:Fortwährende ZehnerbündelungGruppierung von drei Bündelungseinheiten zu einer Namensgruppe

•Multiplikative und additive Zahlbildung

Glatte Tausender, Zehntausender, ... als Vielfache der jeweiligen Zehnerpotenzen, z.B. 4 ⋅ 1 000 = 4 000

Beliebige Zahlen zusammengesetzt aus Vielfachen der jeweiligen Zehnerpotenzen und einem kleineren Rest, z.B. 5 ⋅ 10 000 + 6 534 = 56 534

Zahlbildungsprinzip

Analogieprinzip• Mehrsystemblöcke / Dienesblöcke

– Einer – Würfelchen– Zehner – Würfelchenstange– Hunderter – Würfelchenplatte– Tausender – Würfel– Zehntausender – Würfelstange– Hunderttausender – Würfelplatte– ...?

• Zahlenstrahl

Große Zahlen

• Veranschaulichen durch Vergleichsgrößen:• Zerlegung in vorstellbare Teilmengen

• Darstellung von großen Zahlen• Direkte Darstellung:• z. B. mit Hilfe von Millimeterpapier• Indirekte Darstellung:• z. B. Zahlenangaben in Tabellen