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8/9/2019 2.3 Metodo de Intervalo
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ESPECIALIDAD:ING. PETROLERA
MATERIA:
Análisis Numerico
DOCENTE:Ing. VICTOR MONTERROSAS CAMPOS
INTEGRANTES:
CRUZ MAYA EY!I RU"I.
ESCO"AR GARCIA LAURA CECILIA.GALLAR!O LIRA VIVIANA I.
LLOVERA AZUARA !IEGO ALONSO.
PECERO GONZALEZ LUIS.
PACECO ERNAN!EZ #. ALE#AN!RO.
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2.3 METODOS DE
INTERVALO
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Introducción...
Los siguientes métodos requieren que las funciones sean diferenciales, y por
lo tanto continuas, en un intervalo donde se apliquen aquéllas, por lo tantoestos tipos de métodos son llamados "Métodos de Intervalos". También se
puede intentar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuas en
algunos puntos, pero en este caso el llegar al resultado de pendéra,
aleatoriamente, de que durante la aplicación del método no se toquen esos
puntos.
l problema de obtener las soluciones o ra!ces de una ecuación algebraica o
trascendente de la forma #$%&' se representa frecuentemente dentro el
campo de la ingenier(.
Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a
f(x) = 0.
)si, que un método simple para obtener a la ra!z de la ecuación f#$%&',
consiste en graficar la función y observar donde cruza el e*e $. +or eso estos
tipos de métodos, son llamados "Métodos raficos"
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M$%o&os (s(&os en in%er'(los
Los m$%o&os &e los in%er'(los u%ili)(n un( *ro*ie&(& mu+ im*or%(n%e,consis%en%e en el -ec-o &el c(mio &e signo &e un( /unci0n en
inme&i(ciones &e un( r(1). Se ll(m(n m$%o&os &e los in%er'(los
*or2ue se necesi%(n como m1nimo &os '(lores 2ue /orm(n un in%er'(lo
2ue encierr( l( r(1) En l( grá/ic( 3.4 se oser'( como l( /unci0n
c(mi( &e 5/678 ( 9 /678, cu(n&o *(s( *or l( r(1) c. Es%oocurre *or2ue / 6c8: ; + neces(ri(men%e l( /unci0n *(s( &el cu(&r(n%e
*osi%i'o (l neg(%i'o &e x. En (lgunos c(sos , 2ue se 'erán más
(&el(n%e es%o no ocurre (s1, *or (-or( se (sumirá como se -(
mos%r(&o. Los m$%o&os (ier%os u%ili)(n es%os c(mios &e signo *(r(
*o&er uic(r el l( r(1) 6*un%oc
8,*ero es neces(rio en%onceses%(lecer un in%er'(lo 6como el
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M$%o&o &e isecci0n
Es un m$%o&o &e >s2ue&( incremen%(l &on&e el in%er'(lo se &i'i&esiem*re en 3.Si l( /unci0n c(mi( &e signo sore un in%er'(lo, se e'(l>(
el '(lor &e l( /unci0n &el *un%o me&io. L( *osici0n &e l( r(1) se
&e%ermin( si%uán&ol( en el *un%o me&io &el su9in%er'(lo &en%ro &el cu(l
ocurre un c(mio &en%ro &el cu(l ocurre un c(mio &e signo. El *roceso
se re*i%e -(s%( %ener un( me?or (*ro7im(ci0n. Su*0ng(se 2ue 2ueremosresol'er l( ecu(ci0n / 6 7 8 : ; 6&on&e / es con%inu(8.!(&os &os *un%os
( + %(l 2ue / 6 ( 8 + / 6 8 %eng(n signos &is%in%os, s(emos *or el
Teorem( &e "ol)(no 2ue / &ee %ener, (l menos, un( r(1) en el in%er'(lo
< ( , =. El m$%o&o &e isecci0n &i'i&e el in%er'(lo en &os, us(n&o un
%ercer *un%o c : 6( 5 8 @ 3. En es%e momen%o, e7is%en &os *osiili&(&es
/ 6 ( 8 + / 6 c 8, 0 / 6 c 8 + / 6 8 %ienen &is%in%o signo. El (lgori%mo &e
isecci0n se (*lic( (l su9in%er'(lo &on&e el c(mio &e signo ocurre.
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+asos-
./ li*a valores iniciales inferior $, y superior de $0, que encierren a lara!z, de forma que la función cambien el signo en el intervalo. sto se
verifica comprobando que f#$% f#$0%1'
0./ 2na apro$imación de la ra!z, se determina mediante-
Xr= x1 x! " !
3./ 4ealice las siguiente evaluaciones para determinar en que sub/
intervalo ésta la ra!z-
5i f#$% f#6r%1', entonces la ra!z se encuentra dentro del sub/intervaloinferior o izquierdo. +or tanto, 7aga 60 & 6r y vuelva al paso 0.
5i f#$% f#6r%8', entonces la ra!z se encuentra dentro del sub/intervalo
superior o derec7o. +or tanto, 7aga 6 & 6r y vuelva al paso 0.
5i f#$% f#6r% &', entonces la ra!z se igual a 6r9 y termina el c(lculo.
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#$todo de la %al&a 'o&ición
)un cuando la bisección es una técnica perfectamente v(lida para
determinar ra!ces, su método de apro$imación por "fuerza bruta" esrelativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa
basada en una visualización gr(fica.
2n inconveniente del método de bisección es que al dividir el
intervalo de $ a $u en mitades iguales, no se toman en cuenta lasmagnitudes de f#$% y f#$u%. +or e*emplo, si f#$% est( muc7o m(s
cercana a cero que f#$u%, es lógico que la ra!z se encuentre m(s
cerca de $ que de $u. 2n método alternativo que aprovec7a esta
visualización gr(fica consiste en unir f#$% y f#$u% con una l!nea
recta. La intersección de esta l!nea con el e*e de las $ representa un
me*or apro$imación de la ra!z. l 7ec7o de que se reemplace la
curva por una l!nea recta de una "falsa posición" de la ra!z9 de aqu!
el nombre de método de la falsa posición, o en lat!n, regula falsi.
También se le conoce como método de interpolación lineal.
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EJEMPLO
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2sando tri(ngulos seme*antes, la intersección de la l!nea recta con
el e*e de las $ se estima mediante-
Multiplicando en cruz la ecuación anterior obtenemos-
)grupando términos y reordenando-
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:ividiendo entre
sta es una de las formas del método de la falsa posición. sta puede
ponerse en una forma alternativa al separa los términos-
sumando y restando $u en el lado derec7o-
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)grupando términos se obtiene-
o:
Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xrcalculado con la ecuación reemplazará, después, acualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da unvalor de la función con el mismo signo de f(xr). e estamanera, los valores xl y xu siempre encierran la verdaderara!z. El proceso se repite "asta que la aproximación a lara!z sea adecuada.