§23. Сферы

23.1. Сферы в евклидовом пространстве. Напомню, что сферой радиуса > с центром вточке евклидова аффинного пространства𝔸 = 𝔸( ) называется квадрика ( , ) ⊂ 𝔸 , зада-ваемая аффинным уравнением

( − , − ) − = , (23-1)

где ( ∗ , ∗ ) обозначает евклидово скалярное произведение на подлежащем евклидовом вектор-ном пространстве ≃ ℝ . Мы будем называть уравнение (23-1) приведённым аффинным урав-нением сферы ( , ) и обозначать неоднородный квадратичный многочлен, стоящий в его ле-вой части, через

, ( ) ≝ ( − , − ) − . (23-2)

Геометрически, уравнение (23-1) означает, что сфера ( , ) является ГМТ , удалённых от цен-тра сферы на расстояние . Каждая проходящая через прямая с вектором скорости ∈ еди-ничной длины пересекает сферу по точкам ± . Отрезок с концами в таких точках называетсядиаметром сферы. Уравнение (23-1) равносильно тому, что ( − + , − − ) = . Такимобразом, сфера представляет собою ГМТ, из которых её диаметр виден под прямым углом.

Пример 23.1 (описанная сфера симплекса)

Если точки , , … , ∈ 𝔸 не лежат в одной гиперплоскости, то через них проходит един-ственная сфера. Она называется описанной сферой симплекса [ , , … , ]. Действительно,ГМТ, равноудалённых от двух точек и , описывается уравнением1

( − , − ) = ( − , − ) ,

которое эквивалентно линейному неоднородному уравнению

( , − ) = ( , ) − ( , ) . (23-3)

Задаваемая этим уравнением гиперплоскость проходит через точку ( + ) ∕ перпендику-лярно вектору − и называется срединным перпендикуляром к отрезку [ , ]. ГМТ, рав-ноудалённых от всех точек , , … , , является пересечением срединных перпендикуляровк отрезкам [ , ], где ⩽ ⩽ . Так как векторы − линейно независимы, система излинейных уравнений (23-3) имеет единственное решение . Это центр описанной сферы.

23.1.1. Пересечение сферы с аффинным подпространством. Если аффинное подпростран-ство ⊂ 𝔸 находится на расстоянии от центра сферы ( , ), то при > пересечение

∩ ( , ) пусто, а при < представляет собою лежащую в сферу радиуса √ − с цен-тром в ортогональной проекции точки на подпространство . Чтобы убедиться в этом, по-ложим в уравнении (23-1) переменную точку равной + , где вектор = − пробегаетнаправляющее векторное пространство аффинного подпространства . Так как ( , − ) = ,а ( − , − ) = , мы получаем на уравнение ( , ) = − .

При = сфера ∩ ( , ) вырождается в одну точку = . Следовательно, в этом случаеподпространство содержится в касательном пространстве к сфере в точке ∈ ( , ). Таким

1Ср. с прим. 11.2 на стр. 134.

286

23.1. Сферы в евклидовом пространстве 287

образом, в каждой точке ∈ касательное пространство ( , ) представляет собою гипер-плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору − , и задаётся линейнымнеоднородным уравнением

( − , − ) = . (23-4)

Упражнение 23.1. Убедитесь, что это согласуется с описанием касательного пространства кпроизвольной проективной квадрике, данным в n∘ 17.3.1 на стр. 209.

23.1.2. Степень точки относительно сферы. Значение , ( ) = ( − , − ) − квад-ратичного полинома (23-2) на произвольно взятой точке ∈ 𝔸 называется степенью точкиотносительно сферы ( , ). Степень обращается в нуль в точности на точках сферы ( , ) иотрицательна внутри ограничиваемого сферой шара, достигая своего минимума − в един-ственной точке — центре сферы. Каждая внешняя по отношению к шару точка имеет поло-жительную степень | − | − = | − | , равную квадрату длины любого касательногоотрезка [ , ], опущенного из на сферу, см. рис. 23⋄1.

𝑐

𝑝

𝑞𝑟

𝑐

𝑝𝑑𝑞 𝑞

𝑟 𝑟

Рис. 23⋄1. , ( ) = | − | . Рис. 23⋄2. , ( ) = ( − , − ).

Вообще, если проходящая через точку прямая пересекает сферу ( , ) в точках , иликасается её в точке = , то центр = ( + )∕ отрезка [ , ] является ортогональнойпроекцией центра сферы на эту прямую1 (см. рис. 23⋄2). Дважды применяя теорему Пифагора:

, ( ) = | − | − = | − | + | − | − = | − | − | − | == ( � − + ( − ), − − ( − )) � = ( − , − ) ,

получаем равенство

, ( ) = ( − , − ) , (23-5)известное как теорема о степени точки относительно сферы.

Пример 23.2 (радикальная гиперплоскость)

ГМТ, имеющих равные степени относительно сфер ( , ) и ( , ), описывается уравнени-ем ( − , − ) − = ( − , − ) − , которое эквивалентно линейному уравнению

( � −+ , − )� =

−(23-6)

1См. n∘ 23.1.1 на стр. 286.

288 §23 Сферы

задающему гиперплоскость, перпендикулярную вектору − и удалённую от середины отрез-ка [ , ] на расстояние | − |∕ | − | в направлении центра сферы меньшего радиуса. Этагиперплоскость называется радикальной гиперплоскостью сфер ( , ) и ( , ). Когда сфе-ры пересекаются, т. е. при − ⩽ | − | ⩽ + , где ⩾ , радикальная гиперплоскостьпересекает каждую из сфер в точности по сфере ( , ) ∩ ( , ).

23.2. Сферы как комплексные проективные квадрики. Отождествим евклидово координат-ное векторное пространство = ℝ с множеством вещественных точек комплексного про-странства ℂ = ℂ с координатами ( , … , ) и комплексно билинейной формой

( ∗ , ∗ )∶ ℂ × ℂ → ℂ

( �( , … , ) , ( , … , ))� = + ⋯ + ∈ ℂ ,(23-7)

которая продолжает евклидово скалярное произведение наℝ . Вложимℂ в качестве стандарт-ной аффинной карты = в комплексное проективное пространство ℙ = ℙ( ) с однород-ными координатами ( ∶ ∶ … ∶ ), которое является проективизацией векторного про-странства = ℂ ⊕ ℂ. Тогда проективное замыкание сферы ( , ) ⊂ 𝔸( ℂ) с аффиннымуравнением ( , ) − ( , ) + ( , ) − = задаётся в ℙ однородным уравнением

( , ) − ( , ) + ( �( , ) − ) � = , (23-8)

где через = ( , … , ) и = ( , … , ) по-прежнему обозначаются последние координат.Все сферы (23-8) пересекают бесконечно удалённую гиперплоскость = по абсолютнойквадрике

≝ { ∈ ℙ( ℂ) | ( , ) = } , (23-9)

состоящей из комплексных изотропных векторов евклидова скалярного произведения (23-7).

Упражнение 23.2. Пусть две проективные квадрики имеют общее гиперплоское сечение. По-кажите, что у них есть и второе общее гиперплоское сечение1.

Применительно к сферам (23-8) утверждение из упр. 23.2 очевидно: однородные уравнения

( , ) − ( � ( , ) + ( , ) − ) � =( , ) − ( � ( , ) + ( , ) − ) � =

при любых , ∈ ℂ и , ∈ ℂ совпадают друг с другом как при = , так и на гипер-плоскости, вдоль которой совпадают друг с другом линейные множители, на которые умножа-ется . Второе гиперплоское сечение описывается уравнением

( , ) + ( , ) − = ( , ) + ( , ) − ,

которое преобразуется к тому же самому виду, что и уравнение (23-6) выше:

(� −+ , − )� =

− . (23-10)

1Возможно, совпадающее с первым.

23.2. Сферы как комплексные проективные квадрики 289

При ≠ и = оно задаёт радикальную гиперплоскость (23-6), а при = — беско-нечно удалённую гиперплоскость = . Таким образом, радикальной гиперплоскостью двухконцентрических сфер разумно считать бесконечно удалённую гиперплоскость.

Упражнение 23.3. Покажите, что все квадрики (23-8) с центром в данной точке ∈ ℂ и произ-вольными ∈ ℂ образуют пучок комплексных проективных квадрик, натянутый на двой-ную бесконечно удалённую гиперплоскость = и простой конус ( − , − ) = свершиной над абсолютной квадрикой (23-9), причём все остальные квадрики пучка, заисключением этих двух, являются гладкими.

23.2.1. Пространство псевдосфер. Все квадратичные формы (23-8) с вещественными цен-трами ∈ ≃ ℝ и > лежат в вещественном векторном подпространстве ⊂ ∗размерности + , состоящем из всех однородных вещественных квадратичных форм вида

= ⋅ ( , ) − ( , ) + ⋅ , где , ∈ ℝ , ∈ . (23-11)

Проективизация 𝕊 ≝ ℙ( ) называется пространством ( − )-мерных псевдосфер в ℝ . Такимобразом, 𝕊 ≃ ℙ + (ℝ) представляет собою вещественное проективное пространство размерно-сти + . Стандартная аффинная карта ⊂ 𝕊 состоит из псевдосфер, которые можно записатьприведённым уравнением

( − ∕ , − ∕ ) − ( �( , ) − ) �∕ = . (23-12)

При ( , )− > эта квадрика является настоящей вещественной сферой с квадратом радиуса

= ( �( , ) − ) �∕ ,

при ( , ) − = — простым конусом с вершиной над абсолютной квадрикой (23-9), кото-рый виден вℝ как двойная точка , а при ( , )− < псевдосфера (23-12) является гладкойпроективной квадрикой без вещественных точек, которую мы будем называть мнимой сферой.На векторном пространстве имеется каноническая квадратичная форма

( ) ≝ ( , ) − , (23-13)

пропорциональная квадрату радиуса сферы и имеющая сигнатуру ( + , ). Задаваемая этойформой проективная квадрика = ( ) выглядит в аффинной карте как сферический па-раболоид ( , ) = , состоящий из сфер нулевого радиуса. Внутренность ( , ) < этого па-раболоида состоит из мнимых сфер, а внешность ( , ) > — из настоящих сфер радиуса

= √( , ) − . Бесконечно удалённая гиперплоскость ∞ = ℙ(Ann ) карты состоит изпсевдосфер (23-11), имеющих = и распадающихся в объединение бесконечно удалённойгиперплоскости = и гиперплоскости ( , ) = , которая совпадает с бесконечно уда-лённой гиперплоскостью если и только если = . Псевдосфера = , в которой бесконечноудалённая гиперплоскость ∞ касается параболоида , обозначается ∞ ∈ 𝕊.

Упражнение 23.4. Явно вычислите определитель Грама квадратичной формы (23-11) в стан-дартном ортонормальном базисе пространства ℝ и ещё раз убедитесь, что форма (23-11)особа если и только если она лежит на бесконечной гиперплоскости = пространства 𝕊или на параболоиде ( , ) = .

290 §23 Сферы

23.2.2. Пучки сфер. Из скзанного в предыдущем разделе n∘ 23.2.1 вытекает, что все веще-ственные квадрики из пучка комплексных проективных квадрик, порождённого двумя настоя-щими сферами ( , ) и ( , ) в ℝ , образуют прямую ℓ в пространстве псевдосфер 𝕊. Этапрямая пересекает бесконечно удалённую гиперплоскость ∞ ⊂ 𝕊 ровно в одной точке вида

, где ∈ ∗ — однородная вещественная линейная форма от ( , , … , ). Если = ,точка ℓ∩ ∞ = ∞ = ∩ ∞ является бесконечной точкой параболоида , и прямая ℓ пересекаетпараболоид ещё ровно в одной, отличной от ∞ точке, как на рис. 23⋄4 ниже. Вторая точкапересечения отвечает псевдосфере ( , ) с уравнением ( − , − ) = , видимой в ℝ какдвойная точка . Согласно упр. 23.3, такой пучок ℓ является пучком концентрических сфер сцентром в , см. рис. 23⋄3.

𝑐

∞

𝑆(0, 𝑐)𝑅

𝛼 = 0

ℓРис. 23⋄3. Пучок концентрических сфер. Рис. 23⋄4. Соответствующая прямая в 𝕊.

Если ℓ ∩ ∞ ≠ ∞, то в пучке ℓ содержится ровно одна распавшаяся квадрика — объединениебесконечно удалённой гиперплоскости = и гиперплоскости = Ann , которая являетсявторым, отличным от бесконечно удалённого, общим гиперплоским сечением всех сфер пучкаи, тем самым, видна в аффинном пространстве 𝔸 = 𝔸( ) как радикальная гиперплоскостьлюбой пары сфер в пучке ℓ. При этом пучок ℓ может содержать либо ни одного, либо один,либо два простых конуса, отвечающих точкам пересечения прямой ℓ с параболоидом , как нарис. 23⋄5, рис. 23⋄9 и рис. 23⋄6 соответственно.

∞𝜉𝑥

𝑅

𝛼 = 0

ℓ

∞

𝑆(0, 𝑎)

𝑆(0, 𝑏)

𝜉𝑥

𝑅

𝛼 = 0

ℓ

Рис. 23⋄5. Пучок без простых конусов. Рис. 23⋄6. Пучок с двумя простымиконусами.

В первом случае прямая ℓ не пересекает и состоит из всех сфер, пересекающих радикальнуюось = Ann порождающих пучок сфер ( , ) и ( , ) по фиксированной ( − )-мерной

23.2. Сферы как комплексные проективные квадрики 291

сфере ( , ) ∩ ( , ). Такой пучок называется пучком пересекающихся сфер. Сферы ( , )и ( , ) порождают пучок пересекающихся сфер если и только если

− < | − | < + , где ⩾ .

Базисное множество пучка пересекающихся сфер является объединением абсолютной квадри-ки и вещественной сферы ( , ) ∩ ( , ).

𝛱 = Ann 𝜉

Рис. 23⋄7. Пучок пересекающихся сфер.

Второй случай является вырождением первого: при | − | = + или | − | = − , где> , базисная сфера пучка ℓ вырождается в одну точку = ∩( ). Все сферы такого пучка

касаются друг друга в этой точке , имеют центры на прямой ( ) и при → ∞ стремятся к ги-перплоскости , которая проходит через точку перпендикулярно прямой ( ), см. рис. 23⋄8.Отвечающая этому пучку прямая ℓ касается параболоида в псевдосфере ( , ), видимой вℝкак двойная точка , см. рис. 23⋄9. Такой пучок ℓ называется пучком соприкасающихся сфер.

𝑐

𝛱 = Ann 𝜉 ∞

𝑆(0, 𝑐)

𝜉𝑥

𝑅

𝛼 = 0

ℓ

Рис. 23⋄8. Пучок соприкасающихся сфер. Рис. 23⋄9. Соответствующая прямая в 𝕊.

Третий случай имеет место когда + < | − | или | − | < − , где > , и отвечаетпрямой ℓ, которая пересекает параболоид в двух различных точках ( , ), ( , ), видимыхв ℝ как две различные двойные точки , ∈ ( , ), см. рис. 23⋄6. Такой пучок называетсяпучком непересекающихся сфер: никакие две сферы пучка не пересекаются1, но при этом любые

1Вернее, пересекаются по двум мнимым сферам: абсолютной сфере из форм. (23-9) на стр. 288 ирадикальному гиперплоскому сечению ∩ ( , ) = ∩ ( , ) = ( , ) ∩ ( , ).

292 §23 Сферы

две сферы имеют одну и ту же радикальную ось , к которой все сферы пучка стремятся при→ ∞, см. рис. 23⋄10 ниже. При подходе к точкам пересечения прямой ℓ с параболоидом

радиусы сфер стремятся к нулю, а сами сферы вырождаются в двойные точки и . Если двигатьпрямую ℓ в пространстве ℙ( ) так, чтобы две точки её пересечения с параболоидом слилисьв одну точку касания, двойные точки и сольются в одну точку , и мы вновь получим пучоксоприкасающихся сфер.

𝑎 𝑏

𝛱 = Ann 𝜉

Рис. 23⋄10. Пучок непересекающихся сфер.

23.3. Инверсии. Так как поляризация однородной квадратичной формы (23-8) имеет вид

̃( , ) = ( − , − ) − ,

полярное преобразование1 относительно сферы ( , ) ⊂ ℝ переводит центр в бесконечноудалённую гиперплоскость = , а каждую отличную от центра точку ∈ ℝ — в полярнуюей аффинную гиперплоскость

= { ∈ ℝ | ( − , − ) = } , (23-14)

перпендикулярную прямой ( ) и находящуюся на расстоянии ∕| − | от центра сферы поту же сторону, что и точка . Сопряжённая точке на прямой ( ) точка ′ = ( ) ∩ обо-значается , ( ) и называется инверсной точке относительно сферы ( , ). Она однозначнохарактеризуется тем, что ( ′ − , − ) = , и явно выражается через по формуле

, ( ) = +( − )

( − , − ) . (23-15)

Инверсия задаёт на каждой проходящей через проективной прямой инволюцию с неподвиж-ными точками ℓ ∩ ( , ). Эта инволюция переставляет центр сферы с бесконечностью и есте-ственно продолжается на одноточечную компактификацию ℝ̂ = ℝ ⊔ ∞ евклидова простран-ства ℝ до инволютивного гомеоморфизма , ∶ ℝ̂ ⥲ ℝ̂ , который переставляет друг с дру-гом сопряжённые относительно сферы точки на каждой проходящей через центр сферы прямой,в частности, оставляет каждую точку сферы на месте и переставляет точки и ∞. Таким обра-зом, любая проходящая через центр сферы прямая переводится инверсией в себя с сохранением

1См. n∘ 19.1 на стр. 233.

23.3. Инверсии 293

двойного отношения, и две точки такой прямой инверсны друг другу если и только если они гар-моничны точкам пересечения этой прямой со сферой1. В частности, каждое проходящее черезцентр сферы аффинное подпространство переводится инверсией , в себя, и ограничениеинверсии на такое подпространство является в нём инверсией относительно сферы ∩ ( , ).

Предложение 23.1

Инверсия , переводит каждую не проходящую через гиперплоскость в сферу с диамет-ром [ , ], где — полюс гиперплоскости относительно сферы ( , ), а каждую проходящуючерез сферу — в гиперплоскость, полярную второму концу выпущенного из диаметра сфе-ры .

Доказательство. В силу того, что инверсия обратна самой себе, достаточно доказать только пер-вое утверждение. Поскольку поляра любой точки ∈ проходит через полюс гипер-плоскости , отрезок [ , ] виден из инверсной к точки ′ = ( ) ∩ под прямым углом,см. рис. 23⋄11. �

Упражнение 23.5. Проверьте прямым вычислением, что отображение (23-15) переводит ги-перплоскость ( − , − ) = и сферу ( − , − ) = друг в друга.

𝑐𝑝 𝑝

𝑥

𝑥 𝛱

𝛱

𝑥 𝑥

𝑥′

𝑥′𝑐

𝑆(𝑟, 𝑐)

𝑄

𝑄′ = 𝜎 , 𝑄

Рис. 23⋄11. Инверсные сфера игиперплоскость.

Рис. 23⋄12. Инверсные сферы.

Предложение 23.2

Каждая не проходящая через центр инверсии сфера = ( , ) переводится инверсией , всферу ′, гомотетичную сфере относительно центра инверсии с коэффициентом ∕ , ( ),где , ( ) = ( − , − ) − означает степень2 центра инверсии относительно сферы ,см. рис. 23⋄12. В частности, сфера переводится инверсией в себя если и только если она пер-пендикулярна сфере ( , ).

Доказательство. По теореме о степени точки относительно сферы3 на каждой проходящей че-рез прямой, пересекающей сферу в точках , , выполняется равенство

( − , − ) = , ( ) .1См. предл. 19.1 на стр. 234.2См. n∘ 23.1.2 на стр. 287.3См. формулу (23-5) на стр. 287.

294 §23 Сферы

Поэтому для гомотетичных точкам , относительно с коэффициентом ∕ , ( ) точек ′ ,′ справедливы равенства ( − , ′ − ) = = ( ′ − , − ), означающие, что , ( ) = ′ ,

а , ( ) = ′ . Это доказывает первое утверждение. Равенство , = равносильно тому,что коэффициент гомотетии ∕ , ( ) = , что можно переписать как ( − , − ) = + .Последнее означает, что расстояние между центрами сфер равно сумме квадратов их радиусов,т. е. что отрезок [ , ] виден из каждой точки пересечения сфер под прямым углом. �

Предостережение 23.1. Центр сферы не обязан переходить при инверсии , в центр сферы′ = , ( ). Например, если сфера = ( , ) перпендикулярна сфере = ( , ), то её центр

перейдёт в точку пересечения радикальной гиперплоскости с линией центров.

Упражнение 23.6. Убедитесь в этом и докажите, что прообразом центра сферы ′ = , ( )является точка ′, инверсная точке относительно сферы .

𝑎

𝑏

𝑐𝐶

Рис. 23⋄13. Отражение в сфере.

Следствие 23.1

Две различные точки тогда и только тогда инверсны относительно сферы (соотв. симметрич-ны относительно гиперплоскости ), когда все проходящие через них сферы и гиперплоскостиперпендикулярны сфере (соотв. гиперплоскости ), см. рис. 23⋄13 (соотв. рис. 23⋄14).

Доказательство сл. 23.1. Если точки и инверсны относительно сферы, то любая проходя-щая через них сфера пересекает сферу по некоторой ( − )-мерной сфере, которая непо-движна относительно инверсии. Поэтому инверсная сфера ′ пересекает по той же сфере

∩ ′ = ∩ и, стало быть, лежит в пучке пересекающихся сфер1 ( ), откуда = ′, так какв любом пучке есть ровно одна квадрика, проходящая через заданную не базисную точку. Попредл. 23.2 сферы и перпендикулярны. Поскольку каждая проходящая через и гипер-плоскость походит и через лежащий на прямой ( ) центр сферы, она тоже перпендикулярнасфере. Для доказательства обратной импликации заметим, что каждое двухточечное множе-ство { , } является пересечением всех проходящих через него сфер и гиперплоскостей, так какдля любой точки ≠ , существует сфера или гиперплоскость, проходящая через и , но не

1См. n∘ 23.2.2 на стр. 290.

23.3. Инверсии 295

проходящая через . Поэтому если каждая проходящая через и сфера или гиперплоскостьпереводится инверсией в себя, то и множество { , } переходит в себя. �

Упражнение 23.7. Докажите сл. 23.1 для отражения в гиперплоскости, см. рис. 23⋄14.

Соглашение 23.1. Имея в виду сл. 23.1 мы, допуская известную вольность, будем иногда назы-вать инверсии относительно сферы отражениями в сфере .

𝑎

𝑏

ℓ

Рис. 23⋄14. Отражение в гиперплоскости.

23.3.1. Конформность. Будем называть касательным векторным пространством к аф-

𝑎𝑏𝑐

𝐶 ℓ

ℓ

Рис. 23⋄15. Сохранение углов.

финной гиперплоскости ⊂ ℝ в точке ∈ направляющее векторное подпространство этойгиперплоскости, а касательным векторным пространством к сфере = ( , ) ⊂ ℝ в точке

∈ — векторное подпространство ( − )⊥ ⊂ ℝ ,ассоциированное с аффинной касательной гипер-плоскостью = + ( − )⊥. Под углом междупересекающимися фигурами и , каждая из кото-рых является сферой или гиперплоскостью, мы по-нимаем евклидов угол между касательными вектор-ными пространствами к этим фигурам в любой точ-ке ∈ ∩ , т. е. наименьший из двух смежных уг-лов между перпендикулярными этим касательнымпространствам одномерными векторными подпро-странствами в ℝ .

Упражнение 23.8. Убедитесь, что этот угол не за-висит от выбора точки ∈ ∩ .

Предложение 23.3

Каждое отражение в сфере или гиперплоскости сохраняет углы между сферами и гиперплоско-стями.

Доказательство. Отражение в гиперплоскости является ортогональным линейным преобразо-ванием и сохраняет углы. Покажем, что каждая инверсия , тоже сохраняет углы.

296 §23 Сферы

Пусть точка ≠ не лежит на сфере ( , ), и = , ( ). Сферы, касающиеся заданнойгиперплоскости в точке образуют пучок ℓ соприкасающихся сфер и пересекают любуюпроходящую через сферу или гиперплоскость под одним и тем же углом. Инверсия переводитпучок ℓ в пучок соприкасающихся сфер, касающихся касательной гиперплоскости , ( )фигуры1 , ( ) в точке и также образующих одинаковые углы с каждой проходящей черезсферой или гиперплоскостью. В пучке ℓ существует единственная сфера , проходящая черезточки и . Как мы видели в доказательстве сл. 23.1, эта сфера переводится в себя инверси-ей , , а также отражением в срединном перпендикуляре к отрезку [ , ]. Поэтому две прохо-дящие через и сферы с касательными гиперплоскостями = и = имеютв точке касательные гиперплоскости = ′ и = ′ , симметричные гиперплоско-стям и относительно срединного перпендикуляра к отрезку [ , ] и, стало быть, пересе-кающиеся под тем же углом.

Если точка ∈ ( , ), то углы между сферами и плоскостями, проходящими через сохра-няются при инверсии , , поскольку последняя является композицией инверсии / , относи-тельно не проходящей через сферы ( ∕ , ) и гомотетии с центром и коэффициентом .

Упражнение 23.9. Убедитесь в этом.

Если = совпадает с центром инверсии, то угол между любыми двумя проходящими че-рез сферами и равен углу между инверсными этим сферам гиперплоскостями, посколь-ку последние параллельны касательным пространствам и . �

Следствие 23.2

Пусть каждая из двух фигур , ∈ ℝ является сферой или гиперплоскостью. Обозначим че-рез , ∶ ℝ̂ ⥲ ℝ̂ соответствующие отражения или инверсии. Тогда − = ( ),т. е. любые две симметричные относительно точки переводятся отражением в две точки,симметричные относительно ( ).

Доказательство. Согласно сл. 23.1 на стр. 294 симметричность точек и относительноозначает, что все проходящие через и сферы и гиперплоскости перпендикулярны . Сохра-няющее углы отражение биективно отображает множество таких сфер и гиперплоскостейв множество перпендикулярных ( ) сфер и гиперплоскостей, проходящих через точки ( )и ( ). �

Определение 23.1 (конформные отображения)

Непрерывно дифференцируемое отображение ∶ → между двумя открытыми подмноже-ствами , евклидова пространства ℝ называется конформным, если в каждой точке ∈производное линейное отображение ∶ → ( ) является композицией скалярногорастяжения2 и ортогонального линейного отображения, сохраняющего евклидово скалярноепроизведение на касательных пространствах ≃ ( ) ≃ ℝ .

Упражнение 23.10. Убедитесь, что инверсия , ∶ ℝ ∖ → ℝ ∖ является конформным отоб-ражением, причём её производное отображение в произвольной точке ≠ является ком-позицией отражения в гиперплоскости ( − )⊥ и скалярного растяжения с коэффициентом

∕( − , − ).

1Согласно предыдущему, эта фигура является сферой или гиперплоскостью.2Коэффициент которого может зависеть от точки ∈ .

23.4. Стереографическая проекция и инверсии на сфере 297

23.4. Стереографическая проекция и инверсии на сфере. Стереографическая проекция сфе-ры = ( , ) из лежащей на ней точки на проходящую через центр сферы перпендикулярновектору − экваториальную гиперплоскость = { | ( − , − ) = }

∶ ( , ) ∖ → (23-16)

является ограничением на сферу инверсии относительно перпендикулярной сферу по её

экватору ∩ сферы радиуса √ с центром в точке , см. рис. 23⋄16.

𝑝 𝑐

𝑆(𝑟, 𝑐)

𝑆 (𝑟√2,𝑝)𝐸

𝑔

𝑐

𝑝

𝑎

𝑏

𝑞𝑎 𝑏 𝐸

𝛤

Рис. 23⋄16. Стереографическая проекция. Рис. 23⋄17. Соответственные сферы.

Таким образом, стереографическая проекция переводит каждую лежащую на сферу ′ = ∩ ,

𝑑

𝑑

𝑞 𝑝

𝑆(𝑝, 𝑟)𝑆(𝑞,𝑑)

𝛱

𝛱Рис. 23⋄18. Инвер-

сия ∶ ( , ) → ( , ).

высекаемую из какой-либо гиперплоскостью , в лежащую в гиперплоскости гиперплос-кость или сферу, высекаемую из образом ( ) гиперплоскости при инверсии , которыйявляется гиперплоскостью или сферой: первое происходитесли гиперплоскость проходит через точку , а второе —если не проходит, и во втором случае полюс гиперплос-кости относительно сферы спроектируется из точки вцентр сферы ( ′) = ( ) ∩ .

Упражнение 23.11. Убедитесь в этом (см. рис. 23⋄17).Наоборот, каждая гиперплоскость ′ ⊂ является сте-

реографической проекцией сферы, высекаемой из гипер-плоскостью , проходящей через ′ и , а каждая сфера ″ =

( , ) ⊂ , пересекающая прямую ( ) в точках ′ = ( )и ′ = ( ), как на рис. 23⋄17, является стереографическойпроекцией сферы ′ = ∩ с диаметром [ , ], высекаемойиз гиперплоскостью , полюс которой проектируется източки в центр сферы ′ и которая является прообразомсферы с диаметром [ ′, ′] при инверсии . При этом углымежду лежащими на сферами равны углам между их обра-зами в гиперплоскости и наоборот.

Каждая точка , лежащая снаружи от ограничиваемого сферой = ( , ) шара, задаёт насфере инволюцию ∶ → , переставляющую между собою точки пересечения сферы

298 §23 Сферы

с проходящими через прямыми1. Эта инволюция тождественно действует на сфере ∩ ,высекаемой из сферы полярной гиперплоскостью точки , и совпадает с ограничениемна сферу инверсии относительно сферы = ( , ), которая перпендикулярно пересекаетсферу по неподвижной относительно сфере ∩ , имеет центр в точке и квадрат радиуса

= , ( ) = | − | − , равный степени точки относительно сферы , см. рис. 23⋄18.Инволюция называется инверсией сферы , а точка — центром инверсии .

Дополним стереографическую проекцию (23-16) до гомеоморфизма

∶ ( , ) ⥲ ̂ , ↦ ∞ , ↦ ( ) ∩ при ≠ , (23-17)

где ̂ = ⊔ ∞ — одноточечная компактификация экваториальной гиперплоскости , ибудем рассматривать отражения в лежащих внутри гиперплоскостях как оставляющие наместе точку ∞ инволюции пространства ̂ .

Предложение 23.4

Пополненная стереографическая проекция (23-17) устанавливает биекцию между инверсиями

сферы = ( , ) и отражениями пополненного евклидова пространства ̂ в лежащих в нёмсферах и гиперплоскостях, переводя каждую инверсию ∶ ⥲ в композицию

− ∶ ̂ ⥲ ̂ , (23-18)

которая является отражением в стереографическом образе лежащей на сферы ∩ , высе-каемой полярной гиперплоскостью точки относительно сферы .

Доказательство. Композиция (23-18) оставляет на месте каждую точку фигуры = ( ∩ )и действует на точки экваториальной гиперплоскости как композиция инверсий

√ , ,−

√ , = ,

которая по сл. 23.2 на стр. 296 представляет собою отражение в фигуре = √ , ( ), где == ( , ) — сфера с центром и квадратом радиуса = , ( ), как на рис. 23⋄18 выше. Фигу-ра является сферой, если ∈ , или гиперплоскостью, если ∉ , и ∩ = . Посколькуинверсия переводит гиперплоскость в себя, сфера или гиперплоскость автоматическиперпендикулярна гиперплоскости , и отражение действует на как отражение . �

Упражнение 23.12. Убедитесь напрямую, что инверсия √ , переводит сферу в перпен-дикулярную гиперплоскости гиперплоскость, если ∈ , или в сферу с центром нагиперплоскости , если ∉ .

23.5. Группы Мёбиуса. Вложим евклидово пространство = ℝ − в евклидово простран-ство = ℝ с координатами ( , … , ) в качестве гиперплоскости = и обозначим через

= ( , ) ⊂ ℝ единичную сферу с центром в нуле. Рассмотрим пространство = ℝ какаффинную карту = в проективном пространстве ℙ = ℙ(ℝ + ) с однородными координа-тами ( ∶ ∶ … ∶ ) и обозначим через

( ) = − + + ⋯ + (23-19)1Ср. с прим. 18.5 на стр. 230.

23.5. Группы Мёбиуса 299

однородную квадратичную форму сигнатуры ( , ) на пространстве = ℝ + , задающую про-ективное замыкание = ( ) ⊂ ℙ сферы , которое совпадает с , так как у сферы нет веще-ственных точек на бесконечности. Инволюция ∶ ⥲ действует на проективной квадри-ке как отражение гиперплоскости ⊥ ⊂ , ортогональной относительно формы анизотроп-ному вектору с положительным скалярным квадратом ( ) > .

Упражнение 23.13. Убедитесь, что такие отражения порождают группу O( , ) ⊂ GL + (ℝ)линейных преобразований ⥲ , сохраняющих квадратичную форму (23-19).

Поскольку сфера содержит + точки, никакие + из которых не лежат в одной гипер-плоскости, каждый линейный проективный автоморфизм пространстваℙ однозначно задаёт-ся своим действием на сферу. Мы заключаем, что порождённая отражениями группа преоб-разований проективной квадрики изоморфна проективизации PO( , ) ортогональной груп-пы квадратичной формы (23-19). Эта группа называется сферической мёбиусовой группой ( − )-мерной сферы и обозначается M( − ).

Согласно предл. 23.4, сферическая мёбиусова группа M( − ) изоморфна группе преобра-зований пополненного евклидова пространства ℝ̂ − , порождённой отражениями в сферах игиперплоскостях. Эта группа называется несобственной мёбиусовой группой евклидова простран-стваℝ − и обозначается M(ℝ − ) или просто M − . Её подгруппа SM − ⊂ M − , состоящая извсех преобразований, сохраняющих ориентацию пространства ℝ − , называется собственноймёбиусовой группой или просто группой Мёбиуса пространства ℝ − .

Упражнение 23.14. Убедитесь, что композиция , ∘ , отражений в двух концентрическихсферах является гомотетией с центром и коэффициентом ∕ .

Так как параллельные переносы и повороты являются композициями отражений в гиперплос-костях, мы заключаем, что мёдиусова группа евклидова пространстваℝ содержит все дви-жения и подобия.

Ответы и указания к некоторым упражнениям

Упр. 23.2. Пусть квадрики = ( ) и = ( ) пересекают гиперплоскость = ℙ(Ann ) поодной и той же квадрике = ( ) = ∩ = ∩ . Поскольку при = обе квадратичныеформы , превращаются в квадратичную форму , они имеют вид = + , = + длянекоторых линейных форм , . Но тогда ограничения форм , на гиперплоскость Ann( −

), на которой = , тоже совпадают друг с другом.Упр. 23.3. Первое утверждение очевидно из 23-8 на стр. 288, второе вытекает из лем. 20.1 на

стр. 247: простой конус и двойная плоскость имеют в любом пучке кратности ⩾ и ⩾ со-ответственно, поэтому никаких других особых квадрик в рассматриваемом пучке больше нет.

Упр. 23.4. Ответ: det = − ( �( , ) − ) �.Упр. 23.6. Первое проверяется прямым вычислением, второе вытекает из сл. 23.2 на стр. 296: ин-

версия относительно переводит инверсные относительно точки и ′ в точки ∞ и ( ′)инверсные относительно ′.

Упр. 23.8. Группа движений пространства ℝ , переводящих каждую из фигур , в себя, тран-зитивно действует на пересечении ∩ и переводит касательные пространства в касательныепространства, сохраняя углы.

Упр. 23.10. По правилу дифференцирования дробей, производная от отображения (23-15)

↦ + ( − )( − , − )

действует на касательный вектор ∈ ℝ по правилу

↦ ( − , − ) (� ( − , − ) − ( − , ) ( − )) � =

= ( − , − ) (� − ( − , )( − , − ) ( − ))

�

(ср. с упр. 12.6 на стр. 152 и n∘ 15.2 на стр. 181).

Упр. 23.11. На рис. 23⋄17 на стр. 297) проекция прямой ( ) на прямую ( ′ ′) из точки сохраня-ет двойные отношения. Обозначим через и точки пересечения прямой ( ) соответствен-но с прямой ( ) и с касательной гиперплоскостью к сфере в точке . Тогда [∞, , ′, ′] =[ , , , ] = − , поскольку точки и сопряжены относительно сферы ( , ). Таким образом,точка спроектируется из в середину отрезка [ , ].

Упр. 23.13. Достаточно убедиться, что для любой пары анизотропных векторов , ∈ ℝ + с( ) = ( ) ≠ существует отражение нужного вида, переводящее либо в , либо в − ,

после чего повторить доказательство теор. 15.2 на стр. 181. Для этого, как и в доказательствелем. 15.1 на стр. 181, надо заметить, что векторы + = + и − = − ортогональныдруг другу. Их скалярные квадраты ( ±) не могут быть оба нулевыми, поскольку ограничениеформы на двумерную линейную оболочку этих векторов ненулевое, и не могут быть обаотрицательными, поскольку в этом случае ℝ + = ⊕ ⊥ и, тем самым, сигнатура ( , ) фор-мы должна иметь ⩾ . Если один из векторов, скажем −, имеет ( −) = , то ( +) ≠ иℝ + = ℝ + ⊕ ⊥+, причём ограничение формы на ⊥+ невырождено. Поскольку подпростран-ство ⊥+ содержит изотропный вектор −, оно содержит гиперболическую плоскость и, стало

300

Ответы и указания к упражнениям 301

быть, сигнатура ( ′, ′) ограничения формы на ⊥+ имеет ′ ⩾ , откуда ( +) > . Такимобразом, как минимум один из скалярных квадратов ( ±) положителен, и отражение в ортого-нале к соответствующему вектору ± переводит либо в , либо в − (ср. с доказательствомлем. 15.1 на стр. 181).

СферыСферы в евклидовом пространствеСферы как комплексные проективные квадрикиИнверсииСтереографическая проекция и инверсии на сфереГруппы Мёбиуса

Ответы и указания к некоторым упражнениям