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2.3 行列式的性质. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 一、行列式的性质. 记. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等即,. 证明. 证毕. 说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质 2 如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式为零. 性质 3 如果行列式中某一行(列)元素是两组数的和,那么这个行列式就等于两个新行列式的和,而这两个行列式除这一行(列)外全与原行列式对应的行(列)相同,即. 例如. 则 D 等于下列两个行列式之和:. - PowerPoint PPT Presentation
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2.3 行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
三、小节、思考题
一、行列式的性质
性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等即,行列式 称为行列式 的转置行列式 . TA A
记
TA
nna
a
a
22
11
2
121
n
n
a
aa
nn aa
a
21
12A
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn aa
a ,
.AAT
证明
TA
nna
a
a
22
11
2
121
n
n
a
aa
nn aa
a
21
12
纳法证明,对行列式的阶数进行归
然有对一阶行列式而言,显 成立;1111 aa T
行展开,有
,按第一时结论成立,则对现假设对阶数为 TAn 1
1121211111 nn AaAaAa
,按第一列展开,有而对 A
n
ii
ii Ma
11
11 )1(
A
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn aa
aT
nnTT AaAaAa 1121211111
.
1),,2,1(
11
式阶行列,且它们均为转置余子式
对应的中的余子式表示与行列式其中,
nni
MAM iTT
i
于是,由归纳假设,知),,2,1(11 niMM i
Ti
进而,得.AAT 证毕
n
i
Ti
ii Ma
11
11 )1(
说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .
性质 2 如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式为零 .
法,还可证得类似地,利用数学归纳
性质 3 如果行列式中某一行(列)元素是两组数的和,那么这个行列式就等于两个新行列式的和,而这两个行列式除这一行(列)外全与原行列式对应的行(列)相同,即
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D 等于下列两个行列式之和:
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111
例如
nii ,,,,, 21
ni ,,,,, 21 ni ,,,,, 21
n
ii
1
n
i
1
n
i
1
或(对列),有
.(列)展开即可行边的行列式都按第事实上,只要对等号两 i
为记成分块矩阵形式,即
性质性质 44 (行列式的“初等变换”)若将初等行(列)变换用于 n 阶行列式:
(( 11 )) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式 .
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
.行展开即得按第事实上,等号两端同时 i
( 2 ) 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去,行列式的值不变.
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kc
)(
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如
从等号右端看,利用性
质 3 、性质 4的( 1 )及性质 2 即得等号
左端。
(( 33 )) 互换行列式的两行(列) , 行列式变号 .证明证明 设行列式写成分块形式,则
njiA ,,,,,1
njji
c ji
,,,,,1
)1(
niji
cij
,,,,,1
)1(
nij
c ji
,,,,,1
)1(
Bnij ,,,,,1
,
571571
266853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266853
例如,有
推论推论 11 某一行(列)元素全为零的行列式等于零.
推论推论 22 若有两行(列)元素对应成比例,则行列式等于零,即
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0
推论推论 33 对 n 阶行列式及数 k, 有 .AkkA n
计算行列式常用方法:利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
)(krij
例 1 计算 4 阶行列式
3351
1102
4315
2113
D
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
对解
于是工作量相对较小化为零的,所以将该行其它元素行有考虑到第
,
03
231 c
)1(34cD
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
50
28
.40
)1(12r
.解毕
性质 5 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开,有按第把行列式 jA
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时所以当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同
关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ki
kiAAa
n
jkjij 当
当
1
, ,
0 , ;
n
ij iki
A j ka A
j k
当
当
阶行列式已知例 52
mB
57010
33555
68012
22444
12111
.4544 AA 试求代数余子式之和行展开,得按行列式的第解 4
)1(33555 4544434241 mAAAAA
,即得式作乘积之和,由性质行对应元素的代数余子行与第再用行列式的第
5
42
)2(022444 4544434241 AAAAA
两式,、联立 )2()1(
)1(33555 4544434241 mAAAAA
)2(022444 4544434241 AAAAA
x4
y2
024
35
yx
myx即
解得.
112
4544 myAA
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
ccaa
aa
D
1
111
1
111
1
111
0
设
,
1
111
1
kkk
k
aa
aa
D
,
1
111
2
nnn
n
bb
bb
D
.21DDD 证明
证明
;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D 设为
化为下三角形行列式,可把作运算对 11 )( DkrD ij
化为下三角形行列式可把作运算对 22 ),( DkcD ij
.
0
11
1
11
2 nn
nnn
pq
q
D 设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
q
cc
ccpp
p
D
化为下三角形行列式把
列作运算,再对后行作运算的前对
Dkc
nkrkD
ij
ij
),(
)(
nnkk qqppD 1111 故 .21DD
由此即得性质 6 设 L 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵:
pp
nn
BC
OAL
则有BAL
是方阵时,当然也成立,当由性质 BA,1
BABO
CAU
pp
nn
推论 是同阶方阵,则有若 BA,BAAB
矩阵乘积的行列式等于行列式的
乘积!
再回顾初等矩阵的行列式
阶行列式计算含字母例 44
1
1
1
1
baaccb
bac
acb
cba
A
解
1000
2
1
1)1(
)1(
23
34
baaccb
acb
cba
Ar
r
按第 4 行展开
二、应用举例
1000
2
1
1)1(
)1(
23
34
acaccb
acb
cba
Ar
r
baaccb
acb
cba
baaccba
accba
cbcbac
c
)(2
)1(
)1(
21
31
baaccba
accba
cbcbac
c
)(2
)1(
)1(
21
31
cbabac
cabc
cbcbar
r
220
0)1(
)2(
12
13
cbabac
cabccba
22)(
abccba 3333
按第 1 列展开
.解毕
.5 的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵例
证明:
知,,再由性质知,,又由性质得
是奇数,则由阶反对称矩阵,是设
31
,
AAAA
AAnnATT
T
即得,)1( AA n
AA n)1(
是奇数,故必有而n
AA
即.0A
例 6
2101044
614753
12402
59733
13211
D求
计算行列式常用方法:对具体的行列式,利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
)(krij
2101044
614753
12402
59733
13211
D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
)3(12
r
2101044
614753
14020
20100
13211
2
3
)2(12 r
4
2101044
614753
12402
20100
13211
2101044
614753
14020
20100
13211
3
4
22200
35120
14020
20100
13211
)4(15 r
)3(14 r
24r
22200
20100
14020
35120
13211
22200
35120
14020
20100
13211
2
千万要注意“行列式交换两行,符号要改变 . ”
62000
20100
21100
35120
13211
)1(23r
22200
20100
14020
35120
13211
2
)2(45r
62000
01000
21100
35120
13211
612 )1(34r .12
62000
20100
21100
35120
13211
2
0
上三角行列式
( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法: (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.
三、小结
行列式的 6 个性质
行列式的性质
. ,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1) T
乘此行列式等于用数一数
中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零
则此行列式完全相同列如果行列式有两行
行列式变号列互换行列式的两行
即式相等行列式与它的转置行列
kk
.||||,)9
., )(
, )( )8
.
, )( )7
.
, )( )6
.
)( )5
AkkAAn n有阶行列式特别注意:对
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列
然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列
式之和此行列式等于两个行列
则的元素都是两数之和行若行列式的某一列
式为零
则此行列元素成比例列行列式中如果有两行
提到行列式符号的外面
以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
思考题 1
阶行列式设n
n
n
Dn
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA
思考题解答解 由
知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n
001
0301
0021
1111
n
n
Dn
001
0301
0021
321
nAAA 11211
n
001
0301
0021
1111
.1
1!2
n
j jn
)1
(
),,3,2(
1 ic
ni
i
n
jn
j
000
0300
0020
111112