22818013 Aturan Sinus Dan Kosinus

ATURAN SINUS DAN KOSINUS

A. ATURAN SINUS

Untuk menurunkan aturan sinus pada sebuah segitiga pandnglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah, AP, BQ, CR masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi a, b, dan c.

Pada ∆ ACR Pada ∆ BCR

b

CRSinA =

a

CRSinB =

CR = b Sin A………..….(1) CR = a Sin B…………...(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

B Sin A = a Sin B

SinB

b

SinA

a = ……….…..….(3)

Pada ∆ BAP Pada ∆ CAP

c

APSinB =

b

APSinC =

AP = c Sin B……..……..(4) AP = b Sin C…………….(5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperolehc Sin B = b Sin C

SinC

c

SinB

b = ………..….…..……(6)

Akhirnya dari persamaan (3) dan (6) diperoleh

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

2

C

P

b Q a

A R B c

SinC

c

SinB

b

SinA

a == …………....(7)

pada persamaan (7) inilah yang dinamakan aturan sinus / dalil sinus.

Kesimpulan ;1. Dalam setiap segitiga perbandingan panjang sisi dengan sinus yang

menghadap sisi itu adalah sma untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.

2. Pada setiap segitiga ABC, aturan sinus dapat dituliskan dengan persamaan ;

SinC

c

SinB

b

SinA

a ==

contoh 1

jika diketahui 050=∠A , 070=∠B , 060=∠C dan panjang sisi b = 6 cm.tentukan 2 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal?Penyelesaian :

Diketahui : Segitiga ABC 050=∠A , 070=∠B , 060=∠C , b = 6 cmDitanya : Dua unsure yang lain?

Jawab :

Panjang sisi a Panjang sisi c

SinB

b

SinA

a =SinC

c

SinB

b =

a = SinB

b x Sin A c =

SinB

b x Sin C

= 00

5070

6xSin

Sin = 0

060

70

6xSin

Sin

= 766,09397,0

6x = 866,0

9397,0

6x

a = 4.9 cm c = 5,6 cm

jadi panjang sisi a = 4,9 cm dan panjang sisi c = 5,6 cm


3

C

60

A

70 A c B

Penggunaan aturan sinus.

Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui. Apabila unsur-unsur yang lainya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam segitiga kemungkinan ialah :

1. sisi, sudut, sudut disingkat dengan Ss, Sd, Sd2. sudut, sisi, sudut disingkat dengan Sd, Sd, Sd3. sisi, sisi, sudut disingkat Ss, Ss, Sd

untuk memahami penggunaan aturan sinus marilah kita simak beberapa contoh berikut ini.

Contoh 2

Dari gambar dibawah unsure-unsur yang diketahui pada segitiga ABC ada dalam unsure sisi, sudut, sudut (Ss, Sd, Sd).

Diketahui : Pada gambar disampingDitanya : Unsur-unsur yang

belum diketahui.Jawab :

a. ∠C dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan :∠ C = )(180 0 BA ∠+∠−

= )6438(180 000 +− = 078

b. Panjang sisi a dan panjang sisi c ditentukan dengan aturan sinus :

Panjang sisi a Panjang sisi c

SinB

b

SinA

a = SinC

c

SinB

b =

a = SinB

b x Sin A c =

SinB

b x Sin C

= 00

3864

6xSin

Sin = 0

078

64

6xSin

Sin

= 6157,0899,0

6x = 9781,0

8988,0

6x

a = 3,4 cm c = 5,4 cm

∴panjang sisi a = 3,4 cm dan panjang sisi c = 5,4 cm

B. ATURAN KOSINUS


4

C ?

b=5 a

64 38 A c B

Untuk menentukan aturan sinus pada sebuah segitiga, pandanglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah CD=h adalah garis tinggi pada sisi c

Dengan menerapkan teorema Phytagoras pada ∆ siku-siku BCD diperoleh :

222 )(BDha += …………………...(1)

pada ∆ siku-siku ACD diperoleh :

h = b Sin A………………………...(2)

dan

AD = b Cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A………..…….(3)

Subtitusi persamaan (2) dan (3) kepersamaan (1), diperoleh :

222 )()( bCosAcbSinAa −+== ACosbbcCosAcASinb 22222 2 +−+= bcCosAcACosSinb 2)( 2222 −++ ⇒ 1)( 22 =+ ACosSin

bcCosAcba 2222 −+= ……….………….(4)

a b

Dengan mengggunakan ∆ ABC pada gambar a dan b kita dapatkan hubungan :


5

C

b ah

A c D B

B

a ch

C b D A

A

c bh

B a D C

acCosBcab 2222 −+= …………..…….……(5)abCosCbac 2222 −+= ……………..………(6)

Persamaan (4), (5), dan (6) inilah yang dinamakan aturan kosinus / dalil kosinus

Kesimpulan :Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan.

bcCosAcba 2222 −+=acCosBcab 2222 −+=abCosCbac 2222 −+=

contoh 3.

Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, c = 6 dan 052=∠A , hitunglah panjang sisi a.

Penyelesaian :Pada gambar dibawah unsure-unsur yang diketahui dalam segitiga ABC ada dalam

unsure sisi, sudut, sisi.

Diket : b = 5 c = 6 cm 052=∠A

Ditanya : Panjang Sisi a ?

Jawab :Aturan cosinus pada segitiga ABC

bcCosAcba 2222 −+== 222 52.6.5.2(65 Cos−+= 25 + 36 – 60 . 0,6157= 61 – 36,9= 24,1

a = 1,24

a = 4,91∴Panjang sisi a ialah 4,91 cm

Soal Latihan


6

C

b=5 cm a

52 B A c = 6 cm

1 Diketahui segitiga ABC 047=∠A , 065=∠B dan panjang sisi b = 6 cm. tentukan 3 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal?

a. C∠b Panjang sisi ac Panjang sisi c

2.Suatu hari andi dan bagus ingin mengukur tingginya suatu menara BTS, jarak andi dan bagus ialah 50 m. sudut pandang Andi ke tower BTS 35 0 sedangkan Bagus sudut pandng ketower BTS 62 0 ? Berapakah tinggi Tower BTS tersebut?

3 Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm. hitunglah besar sudut CdanBA ∠∠∠ , ?

4. Dalam Segitiga PGR diketahui panjang sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan 052=∠P . Hitunglah: a.Panjang sisi a

b.Besar B∠c Besar C∠

Kunci Jawaban Soal Latihan


7

1. Diketahui : segitiga ABC 047=∠A 065=∠B

b = 6 cmDitanya : a. C∠ b Panjang sisi a c Panjang sisi cJawab :

a. C∠ = BA ∠−∠−0180 = 000 6547180 −− = 68 0

b. Sin A = b

t t = b Sin A

= 6 Sin 47 0

= 6 x 0,7314 = 4,3884 t = 4,39 Cm

Sin B = b

t a sin B = t

a = SinB

t

= 065

39,4

Sin

= 9063,0

39,4

= 4,8438 a = 4,84 Cm

c. Cos A = b

AP AP = b Cos A

= 6 cos 47 0

= 6 x 0,6820= 4,0920= 4,09 Cm

Cos B = a

BP BP = a Cos B

= 4,84 Cos 65 0

= 4,84 x 0,4226= 2,0454= 2,05 Cm


8

C

b t a

A c P B

Maka c = AP + BP = 4,09 + 2,05 = 6,14 Cm

2. Diketahui : Tower BTS Jarak andi ke Bagus 50 cm Sudut pandang Andi ke Tower BTS 35 0

Sudut pandang Bagus ke Tower BTS 62 0

Ditanya : Tinngi Tower BTS tersebut?

Jawab :Dapat digambarkan Sbb :

)62(180 00 −=∠ABC= 118 0

)35118(180 000 +−=∠ACB= 180 0 - 143 0

= 27 0

00 3527 Sin

BC

Sin

AB = Sin 62 0 = BC

T

BC . Sin 27 0 = AB . Sin 35 0 T = BC. Sin 62 0

BC = 0

0

27

35.

Sin

SinAB = 63,24 x 0,882

= 453,0

573,050 x = 55,8 M

BC = 63,34 M

Jadi tinggi Tower BTC tersebut adalah 55,8 M

3. Diketahui : segitiga ABC a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm.

Ditanya : hitunglah besar sudut CdanBA ∠∠∠ , ?

Jawab :

Cos A = ab

acb

2

222 −+Cos B =

ac

bca

2

222 −+


9

C

T

62 35

B 50 M A

= 9.8.2

798 222 −+ =

9.7.2

897 222 −+

= 144

498164 −+ =

126

818149 −+

Cos A = 144

96Cos B =

126

66

= 0,666 = 0,5238 A = 48,2 0 B = 58,4 0

)(180 0 BAC ∠+∠−=∠ = )4,582,48(180 000 +− = 73,4 0

∴Besarnya 000 4,734,58,2,48 =∠=∠=∠ CdanBA

4. Diketahui : Segitiga PGR sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan 052=∠P .

Ditanya : a. Panjang sisi p b. Besar G∠ c Besar R∠

Jawab :

a. Panjang sisi p0222 52.2 Cosqrrqp −+=

= 022 52.5.7.257 Cos−+= 49 + 25 – 70. 0,615

p 2 = 30,90p = 90,30

p = 5,56

b. Besar G∠

Cos G = pr

qrp

2

222 −+

= pr

qrp

2

222 −+

= 5.56,5.2

7556,5 222 −+

= 6,55

492590,30 −+

= 6,55

690

Cos G = 0,1241B∠ = 82,9 0


10

c. Besar R∠)(180 0 PQR ∠+∠−=∠

= 180 0 - (82,9 0 + 052 ) = 45,1 0

.

DAFTAR PUSTAKA

• Sartono Wirodikromo Drs,1994. Matematika smu ‘aturan sinus dan kosinus’ :

Jakarta : penerbit Erlangga

• Abdurahman Maman Drs,2000.Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Tingkat

I : bandung : CV ARMICO


11

• http://sombronbest.blogspot.com/2009/09/aturan-sinus-dan-cosinus.html


12

STANDAR KOMPETENSI:


13

Standar Kompetensi

Menerapakan perbandingan fungsi persamaan dan identitas trigonometri dalam

pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Menerapkan aturan sinus dan kosinus

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminr Matematika.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga

penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aturan Sinus dan Kosinus” ini

dengan baik.

Makalah ini merupakan salah satu tugas wajib mata kuliah seminar matematika

untuk mahasiswa / mahasiswi STKIP PGRI NGANJUK, serta diharapkan dapat


14

ii

Oleh : AGUNG WIBOWO2006.030.185

meningkatkan motivasi belajar dan pengetahuan mahasiswa dalam mempelajari mata

kuliah matematika..

Makalah ini dapat terselesaikan setelah melalui berbagai tahap kegiatan dan

berkat upaya serta partisipasi berbagai pihak .Oleh karena itu kami mengucapkan terima

kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah mencurahkan segala

perhatian dan bantuannya selama menyusun dan penyempurnaan makalah ini ,khususnya

kepada Ibu Dra.Yatini,M.Si sebagai dosen dan penilai.

Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi fungsinya dalam mendukung

tercapainya tujuan Pendidikan Nasional , khususnya dalam mencapai tujuan mata kuliah

seminar matematika di STKIP PGRI NGANJUK. Makalah ini masih jauh dari sempurna

, untuk itu kami mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi penyempurnaan .

Nganjuk, Desember 2009

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………. i

KATA PENGANTAR………………………………………………………... ii

DAFTAR ISI………………………………………………………………….. iii

Aturan Sinus dan Kosinus………………………………...………………….. 2


15

iii

A. Aturan Sinus .…...…………..……………………………………………... 2

Penggunaan aturan Sinus………………………………………………….. 4

B. Aturan Kosinus …………………….…………………………………….... 5

Soal Latihan …………...…………………………………….……….............. 7

Kunci Jawaban Soal Latihan …………………………………………………. 8

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………. 12


16

Documents

22818013 Aturan Sinus Dan Kosinus