Upload
fandi-achmad
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 1/6
UJIAN AKHIR SEMESTERPENGETAHUAN DASARKOMPUTER I
Figure 1:
Oleh: Mordekhai Williem LehaNim: 2014220009
Program Studi Pendidikan Matematika
Semester II/Genap
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas DR. SOETOMO, Surabaya
Tahun Ajaran 2014/2015
1
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 2/6
1 1.1.1 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG
MATRIKS
Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwahukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah sahih.
Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka
ArAs = Ar+s (Ar)s = Ars (1)
Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:(a). A−1 dapat dibalik dan (A−1)−1 = A
(b). An dapat dibalik dan (An)−1 = (A−1)n untuk n = 0, 1, 2, 3, ....
(c). Untuk setiap skalar k = 0, maka kA dapat dibalik dan (kA)−1 = 1
kA−1
Bukti:Karena AA−1 = A−1A = I , maka A−1 dapat dibalik (A−1)−1 = A
Jika k adalah sebarang skalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) danhasil (m) memungkinkan kita untuk menuliskan
(kA)( 1k
A−1) = 1k
(kA)A−1 = ( 1k
k)AA−1 = (1)I = I (2)
Demikian juga ( 1
kA−1)(kA) = I
sehingga kA dapat dibalik (kA)−1 = 1
kA−1
Kita simpulkan dengan sebuah teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utamadari operasi transpos.
Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka (a). (At) = A
(b). (A + B)t = At + Bt
(c). (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang skalar (d). (AB)t = B t · At
Walaupun kita tidak dapat membuktikannya, namun bagian (d) dari teoremaini dapat diperluas yang mencakup tiga faktor atau lebih.
2
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 3/6
Contoh:
1. Tinjaulah matriks 2 × 2
A =
a b
c d
Jika ad − bc = 0, maka
A−1 = 1
ad − bc
d −b
−c a
=
d
ad−bc − b
ad−bc
− c
ad−bc
a
ad−bc
Karena AA−1 = I 2 dan A−1A = I 2
→ (Terbukti).
2. Matriks yang diperbesar adalah
1 2 3 b1
2 5 3 b21 0 8 b3
Dengan mereduksi ini terhadap bentuk eselon baris terredukasi akan meng-hasilkan (Buktikan):
1 0 0 −40b1 16b2 +9b3
0 1 0 13b1 −5b2 −3b30 0 1 5b1 −2b2 −b3
Dalam kasus ini tidak ada pembatasan pada b1, b2, dan b3: bahwa sistemyang diberikan oleh AX = B mempunyai pemecahan yang unik
x1 = −40b1 + 16b2 + 9b3, x2 = 13b1 − 5b2 − 3b3, x3 = 5b1 − 2b2 − b3untuk semua B
3
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 4/6
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 5/6
3 1.1.3 BENTUK KUTUB ; TEOREMA DEMOIVRE
Dalam pasal ini kita akan membahas beberapa tambahan sifat dasar daribilangan kompleks.Jika z = x + iy adalah bilangan kompleks taknol, r = |z |, dan θ mengukursudut dari sumbu riil positif ke vektor z .
x = r cos θ
y = r sin θ (3)
sehingga dengan demikian z = x + iy dapat dituliskan sebagai
z = r cos θ + ir sin θ (4)
atauz = r(cos θ + i sin θ) (5)
Sudut θ disebut argumen z dan dinyatakan oleh
θ = arg z (6)
Argumen z tidak ditentukan secara unik karena kita dapat menambahkanatau mengurangkan sembarang kelipatan 2π dari θ untuk menghasilkan nilaiargumen yang lain. Namun demikian, hanya terdapat satu nilaiargumendalam radian yang memenuhi
−π < θ ≤ π (7)
Ini disebut argumen utama z dan dinyatakan oleh
θ = arg z (8)
contoh:
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + √ 3i dalam bentuk kutubdengan memakai argumen-argumen utamanya:
Penyelesaian:
Nilai r adalah
r = |z | =
12 + (
√ 3)2 =
√ 4 = 2
5
7/24/2019 2014220009
http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 6/6
dan karena x = 1 dan y =√
3, menyusul dari (3) bahwa
1 = 2 cos θ√ 3 = 2 sin θ
sehingga cos θ = 1
2 dan sin θ =
3
2. Satu-satunya nilai θ yang
memenuhi hubungan ini dan persyaratan −π < θ ≤ π adalahθ = θ
3 = (600). Jadi bentuk kubus z adalah
z = 2(cos
π
3 + i sin
π
3 )
Figure 2:
SEKIAN DAN TERIMA KASIH
6