20132ICN312S101 Programa Curso

Universidad Técnica Federico Santa María Programa de Curso

ECONOMETRÍA

Sigla: ICN-312 Créditos: 4 Horas cátedra: 6 semanales Horas ayudantía 2 semanales Requisitos: ILN 210; MAT 260 ó MAT 041 Profesor: Pedro Fernández de la Reguera B. OBJETIVOS Al aprobar la asignatura, el estudiante deberá ser capaz de comprender y aplicar métodos econométricos en áreas vinculadas a la economía y negocios, estar capacitado para comprender el significado de resultados de análisis econométricos y manejar las herramientas básicas para la predicción del comportamiento y el análisis de la interrelación de las variables económicas claves en su medio de trabajo. CONTENIDOS

I. Introducción

• Econometría. Econometría y ciclo económicos • Econometría y curva de demanda • Modelos económicos, econométricos y matemáticos • Concepto de correlación simple y múltiple • Coeficiente de correlación lineal de Pearson; coeficiente de

correlación por rangos de Spearman; dócimas.

Econometría / ICN 312 / 2

II. El modelo de regresión lineal

• Nomenclatura econométrica, vectores, matrices • Significado del análisis de regresión • Tipos de modelos: Lineales, linealizables, poblacionales,

econométricos, muestrales, ajustados. • Estimación de los parámetros del modelo por mínimos cuadrados

ordinarios • Estimación de los parámetros del modelo por máxima

verosimilitud bajo normalidad • Teorema de Gauss – Markov

III. Algunos modelos particulares

• Modelos por el origen: Trasladados y forzados; • Modelos logarítmicos; • Modelos polinomiales; • Modelos con variables ficticias; • Transformación de modelos.

IV. Análisis del modelo de regresión lineal

• Análisis de la varianza. • Matriz de covarianzas para el vector de coeficientes • Estimación de la varianza de los residuales • Distribución y propiedades de los estimadores de los parámetros • Dócimas respecto a los parámetros. Dócimas F, global; F, parcial; t

de Student individual y similares. • Contribución de cada variable al modelo. Coeficientes de

determinación y correlación múltiple. • Predicción y evaluación de un modelo. Predicción puntual y por

intervalo de confianza de un valor y de una media


V. Construcción de modelos econométricos

• El proceso de construcción de un modelo. Cómo partir. • Correlación parcial. Revisión de la dócima F parcial • Método de todas las regresiones posibles. Uso de indicadores de

calidad. • Procedimientos paso a paso. Criterios de selección de modelos.

VI. Diagnósticos en la regresión: Caso de observaciones • Validación de un modelo • Residuales, residuales estandarizados y estudentizados • El supuesto de normalidad del error. Detección por gráficos y

dócimas. • Observaciones atípicas • Observaciones influyentes. Distancia de Cook y otras • Comparación de modelos. Dócima de Chow y otras

VII. Diagnósticos en la regresión: Caso de variables

1. El caso de la predictora variable 2. El caso de los residuales heterocedásticos

• Descripción del problema • Consecuencias de aplicar MCO en presencia de varianzas

heterocedásticas • Detección del problema. Dócimas de Bartlett, Goldfeld y Quandt,

White y otras (Ramsey, Glejser, Breush – Pagan) • Soluciones remediales

o Estimación del modelo por MCG o Uso de deflactores y transformaciones

3. El problema de la multicolinealidad • Lo que es y sus consecuencias prácticas • Detección • Medidas remediales


VIII. La autocorrelación

• ¿Qué es la autocorrelación? o Noción de serie temporal o Estimación de parámetros en presencia de autocorrelación

• Modelos AR(r) y, en particular, el AR(1) • Diagnósticos de existencia

o Aleatoriedad entre residuales. Dócima de rachas. o Independencia entre residuales: Dócima Ji-2 o Dócima d de Durbin - Watson

• Medidas remediales o Método de diferencias generalizadas o Método de Cochrane - Orcutt

IX. Modelos de ecuaciones simultáneas

• Modelos de ecuaciones simultáneas • El problema del sesgo en la estimación • El problema de la identificación

o Sub identificación o Identificación exacta o Sobre identificación

• Reglas para la identificación

X. Ecuaciones simultáneas: La estimación

• Modelos recursivos y MCO • Modelos exactamente identificados y MCI • Modelos sobre identificados y MC bi-etápicos

XI. Introducción a las series de tiempo

• Componentes de una serie temporal • Modelos de series cronológicas • Suavizamientos • Métodos de descomposición de series en el tiempo


XII. Econometría de las series temporales

• Procesos estocásticos estacionarios • Correlograma • Dócima τ de Dickey – Fuller para estacionalidad • Procesos estocásticos estacionarios con tendencia • Cointegración

o Dócima de Engle-Granger o Dócima de Durbin-Watson

XIII. Algunos modelos predictivos

• Modelos AR, MA y ARIMA • Metodología de Box y Jenkins • Estimación de modelos ARIMA • Pronósticos

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Gujarati, D.N. (1997) – Econometría. 3ª. Edición. México: McGraw-Hill

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Amara, T. P.; González, P. A. y Pereda, S. A. (1993) – Ejercicios de econometría empresarial. México: McGraw-Hill

Greene, W.H. (1999) – Análisis econométrico. Madrid: Prentice Hall.

Intrilligator, M.D. (1978) – Econometric Models, Techniques and Applications New Jersey: Prentice-Hall Inc.

Maddala, G.S. (1985) – Econometría. México: Prentice Hall

Montgomery, D.C. y Runger, G.C. (1994) – Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill

Novales, A. (1993) – Econometría. Madrid: 2ª. Edición. McGraw-Hill


MATERIALES

• En Biblioteca: Textos de la bibliografía; apuntes parciales; carpetas de ejercicios propuestos y resueltos; reproducción de las transparencias. bases de datos en www.economia.puc.cl

• Los alumnos deberán proveerse de los siguientes materiales:

1. Un texto de estudio, de los recomendados en la bibliografía. 2. Copia de los apuntes del curso. Importante: los apuntes no

necesariamente incluyen toda la materia del programa y se recomienda estudiarlos junto a un texto tradicional de apoyo.

3. Tablas estadísticas de las distribuciones Normal, Ji-cuadrado, F

de Fisher, t de Student. Tablas para las dócimas de rachas, Durbin-Watson y otras que se indiquen. Las tablas deben llevarse a las pruebas, controles y similares claramente identificadas con el nombre del alumno y sin rayas o marcas de especie alguna.

4. Acceso a un programa computacional:

a) Pueden usar una calculadora que permita invertir matrices hasta

3x3. PROHIBIDO EL USO DE CALCULADORAS CON PROGRAMAS ESTILO WORD O EXCEL DURANTE LAS PRUEBAS.

b) Una computadora con el programa Excel o algún paquete

estadístico como MINITAB (www.minitab.com), SAS (www.sas.com), SPSS, STATISTICA (www.statsoft.com), de los cuales hay demo disponibles por 30 días en internet.

c) El Departamento de Industrias posee una copia del programa

SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) para ser usado por los alumnos.


MODALIDAD DE TRABAJO

1. Clases expositivas tradicionales con uso proyector de diapositivas 2. En lo posible, las clases expositivas se complementarán con un ejemplo

que se tratará a lo largo del curso. Salvo por los datos, el ejemplo tipo no estará disponible previamente para los alumnos.

3. Algunas materias, particularmente aquéllas que constituyen variaciones

sobre un mismo tema, se asignarán como lectura / estudio personal. Normalmente, se evaluarán a través de controles.

4. Clases de ejercicios a cargo de un ayudante. Una a dos sesiones

semanales. Estas clases se desarrollarán en un horario a fijar y, según posibilidad, en espacios disponibles los días sábado.

NORMAS DE EVALUACIÓN

1. Calificaciones

a) Tres certámenes, que constituyen la evaluación mínima (25%, 25%, 20%);

b) Un trabajo o conjunto de trabajos o controles (30%); c) Un examen recuperativo.

2. De los controles y trabajos

• Son actividades de evaluación irrecuperables; • Ninguno(a) se elimina; • Inasistencia a un control o no entrega de un informe implica nota

cero (irrecuperable).

3. Del examen recuperativo

• Nótese que la asignatura está definida en la categoría "sin examen". • Pueden rendir el examen recuperativo aquéllos alumnos que tengan

una o más calificaciones mayores a 44 en los certámenes. En este caso, la nota del examen recuperativo reemplaza la nota del peor certamen.


• Deben rendir el examen recuperativo aquellos estudiantes que hayan faltado a un certamen. En este caso, el examen reemplaza sólo una nota faltante.

4. De la aprobación del curso

Para aprobar el curso los estudiantes deben tener al menos un certamen con calificación 55 o superior. Caso contrario reprueban con la nota promedio de los certámenes.

5. De los trabajos

• Objetivos son: a) Lograr que el estudiante adquiera experiencia trabajando con datos reales; b) Lograr que el estudiante sea capaz de producir un escrito, al estilo de los informes gerenciales y desde el punto de vista del consultor, en el que demuestre el dominio de la materia econométrica y de la materia del problema que enfrenta; c) Ser capaz de extraer inferencias y conclusiones, tomar decisiones y proponer actividades útiles para resolver el problema planteado; y, d) Ser capaz de defender públicamente su trabajo

• Estructura del trabajo. Se presentará de acuerdo a los esquemas que se adjuntan a este programa

• Datos. Deben ser obtenidos por los mismos alumnos. Se recomienda consultar la idea al profesor o ayudante para examinar su viabilidad antes de obtener los datos.

6. Generales

a) Un estudiante puede faltar a uno de los certámenes, sin necesidad

de justificativo (aunque se recomienda su presentación), a su propio riesgo.

b) Si un estudiante falta a todos los certámenes reprueba

automáticamente con la calificación final que corresponda. (Naturalmente, casos especiales se tratan con la dirección del programa).


c) Para presentar una solicitud de nota incompleta, el estudiante debe haber rendido al menos un certamen en su fecha correspondiente.

d) Otros temas no contemplados arriba se rigen por el reglamento

interno de la Universidad o del programa de estudios del alumno.


ESQUEMA DE LOS TRABAJOS

De la materia de los trabajos

1. Trabajo principal: Obtener una idea y desarrollarla como un proyecto de investigación aplicado o como un trabajo profesional. El informe debe incluir las definiciones y datos (valores) de variables. Si es posible, los datos NO deben ser correlativos en el tiempo. Base de datos tamaño aproximado de 50 x 10. El informe debe incluir la presentación del problema a resolver, el método que se usará para la solución, la hipótesis del trabajo, y una breve reseña de las variables (relevancia, escala de medida, fuente de los datos). La elaboración de la respuesta incluye análisis de los resultados y conclusiones respecto a la hipótesis planteada. La evaluación de los resultados obtenidos incluye análisis de residuales y proposición de modelos alternos, solución de problemas como heterocedasticidad, multi colinealidad y similares. Proposiciones respecto a la aplicabilidad y cómo se pueden usar los resultados en la empresa o en el país.

2. Talleres: Tres equipos desarrollarán, en vez del trabajo mencionad arriba, talleres. Son dos talleres por equipo. Los talleres incluyen exposición teórica de un tema y un ejemplo de aplicación. La materia de los talleres NO se explicará en clases (la explicación la da el equipo expositor) pero será evaluada como contenido de los certámenes.

De la presentación de los trabajos

1. Portada. La primera página del trabajo debe tener la siguiente información: Referencia del curso y campus; nombre alumnos y profesor; título del trabajo y fecha.

2. Contenidos. Primera página es un índice. Distribuidos en capítulos.

Globalmente, los capítulos son: a) Introducción (origen de los datos, método de muestreo, problema involucrado, hipótesis del trabajo); b) Métodos de análisis (cómo se examinará la información a fin de declarar verdadera o falsa la hipótesis del trabajo o bien de responder a la pregunta de la investigación); c) Resultados y conclusiones respecto al problema planteado; d) Referencias


3. Referencias. Las referencias deben especificar la ficha completa del

texto. En el interior del trabajo se menciona al autor y fecha en formato (Autor, año), pero en el capítulo de referencias se especifica la obra completa según las normas Harvard.

Ejemplo:

El caso de la mezcla de productos industriales mencionada en Hillier y Lieberman (1995) se aplica a … La heterocedasticidad es un serio problema de los modelos estructurales (Hillier y Lieberman, 1995) y debe ser ... Hillier, F.S. y Lieberman, G.J. (1995) – Introducción a la investigación de operaciones. Traducción de la cuarta edición en Inglés por Marcia González. México: McGraw-Hill 998 págs.

4. Longitud de los trabajos. Una habilidad a evaluar en los estudiantes es

su capacidad de síntesis. Naturalmente, la longitud del trabajo dependerá de los datos y análisis que se apliquen, pero unas seis páginas para el primer trabajo y 20 páginas más anexos para el trabajo final son razonables.

5. De la entrega de los trabajos. Un respaldo magnético se entrega a

través del sg de Industrias. Adicionalmente, una copia en papel se entrega en secretaría de Industrias.

NOMBRE: / ICN 312/ 2002-I / 1

Función de Distribución Normal Estándar Acumulada

Valores en cuerpo de la tabla son probabilidades 1 ‒ α = P( Z ≤ Z* )

Z* 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5754 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7258 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7518 0,7549 0,7 0,7580 0,7612 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7996 0,8023 0,8051 0,8079 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9430 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9485 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9700 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9762 0,9767 2 0,9773 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9865 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9980 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9983 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

NOMBRE: / ICN 312 / 2

Función de Distribución Normal Estándar Acumulada

Valores en cuerpo de la tabla son probabilidades 1 ‒ α = P( Z ≤ Z* )

Z* 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4246 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,352 0,3483 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,6 0,2742 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2482 0,2451 -0,7 0,2420 0,2388 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,8 0,2119 0,209 0,2061 0,2033 0,2004 0,1977 0,1949 0,1921 0,1894 0,1867 -0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -1 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 -1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0570 0,0559 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0515 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0300 0,0294 -1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0238 0,0233 -2 0,0227 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 -2,2 0,0139 0,0135 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 -2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 -2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 -2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 -2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 -2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 -3 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010


Valores críticos superiores de la distribución t de Student Esta tabla contiene los valores críticos superiores de la distribución t de Student. Estos valores se calculan usando la función de distribución acumulada hasta un punto. Debido a la simetría de la distribución t, esta tabla se puede usar para dócimas tanto a una cola como a dos colas, usando el valor adecuado de α .

El nivel de significación α se muestra en el gráfico de abajo, que muestra una distribución t con 10 grados de libertad. El nivel de significación más usado es = 0,05. Para una dócima a dos colas calculamos la distribución acumulada hasta un porcentaje 1 - /2 (0,975). Si el valor absoluto del estadígrafo de la dócima es mayor que el valor crítico superior t* = t(ν; 1 - α/2), entonces rechazamos la hipótesis nula. Debido a la simetría de la distribución, la tabla de abajo sólo presenta los valores críticos superiores para un α determinado.

Manera de uso

Dado un valor específico para :

1. Para una dócima a dos colas, encuentre la columna correspondiente a α/2 y rechace la hipótesis nula si el valor absoluto del estadígrafo de dócima es mayor que el valor de tα/2 en la tabla de abajo.

2. Para una dócima uni lateral superior, encuentre la columna correspondiente a y rechace la hipótesis nula si el estadígrafo de dócima es mayor que el valor tabulado.

3. Para una dócima uni lateral inferior, encuentre la columna correspondiente a y rechace la hipótesis nula si el estadígrafo de dócima es menor que el negativo del valor tabulado


Distribución t de Student con ν grados de libertad Valores críticos superiores: Probabilidad α/2 de exceder el valor crítico

α/2 =

0,10 α/2 = 0,05

α/2 = 0,025

α/2 = 0,01

α/2 = 0,001

ν = gl α = 0,20 α = 0,10 α = 0,05 α = 0,02 α = 0,002 1 3.078 6.314 12.706 31.821 318.313 2 1.886 2.920 4.303 6.965 22.327 3 1.638 2.353 3.182 4.541 10.215 4 1.533 2.132 2.776 3.747 7.173 5 1.476 2.015 2.571 3.365 5.893 6 1.440 1.943 2.447 3.143 5.208 7 1.415 1.895 2.365 2.998 4.782 8 1.397 1.860 2.306 2.896 4.499 9 1.383 1.833 2.262 2.821 4.296 10 1.372 1.812 2.228 2.764 4.143 11 1.363 1.796 2.201 2.718 4.024 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.929 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.852 14 1.345 1.761 2.145 2.624 3.787 15 1.341 1.753 2.131 2.602 3.733 16 1.337 1.746 2.120 2.583 3.686 17 1.333 1.740 2.110 2.567 3.646 18 1.330 1.734 2.101 2.552 3.610 19 1.328 1.729 2.093 2.539 3.579 20 1.325 1.725 2.086 2.528 3.552 21 1.323 1.721 2.080 2.518 3.527 22 1.321 1.717 2.074 2.508 3.505 23 1.319 1.714 2.069 2.500 3.485 24 1.318 1.711 2.064 2.492 3.467 25 1.316 1.708 2.060 2.485 3.450 26 1.315 1.706 2.056 2.479 3.435 27 1.314 1.703 2.052 2.473 3.421 28 1.313 1.701 2.048 2.467 3.408 29 1.311 1.699 2.045 2.462 3.396 30 1.310 1.697 2.042 2.457 3.385 40 1.303 1.684 2.021 2.423 3.307 50 1.299 1.676 2.009 2.403 3.261 60 1.296 1.671 2.000 2.390 3.232 70 1.294 1.667 1.994 2.381 3.211 80 1.292 1.664 1.990 2.374 3.195 90 1.291 1.662 1.987 2.368 3.183 100 1.290 1.660 1.984 2.364 3.174

1.282 1.645 1.960 2.326 3.090


Distribución Ji-cuadrado con ν grados de libertad

Valores críticos x* en el cuerpo de la tabla tales que P( X ≤ x* ) = 1 - α

1-α 1-α ν 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 0.90 0.95 0.975 0.99 0.999 1 .016 .004 .001 .000 .000 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2 .211 .103 .051 .020 .002 4.605 5.991 7.378 9.210 13.816 3 .584 .352 .216 .115 .024 6.251 7.815 9.348 11.345 16.266 4 1.064 .711 .484 .297 .091 7.779 9.488 11.143 13.277 18.467 5 1.610 1.145 .831 .554 .210 9.236 11.070 12.833 15.086 20.515 6 2.204 1.635 1.237 .872 .381 10.645 12.592 14.449 16.812 22.458 7 2.833 2.167 1.690 1.239 .598 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322 8 3.490 2.733 2.180 1.646 .857 13.362 15.507 17.535 20.090 26.125 9 4.168 3.325 2.700 2.088 1.152 14.684 16.919 19.023 21.666 27.877 10 4.865 3.940 3.247 2.558 1.479 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588 11 5.578 4.575 3.816 3.053 1.834 17.275 19.675 21.920 24.725 31.264 12 6.304 5.226 4.404 3.571 2.214 18.549 21.026 23.337 26.217 32.910 13 7.042 5.892 5.009 4.107 2.617 19.812 22.362 24.736 27.688 34.528 14 7.790 6.571 5.629 4.660 3.041 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123 15 8.547 7.261 6.262 5.229 3.483 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697 16 9.312 7.962 6.908 5.812 3.942 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252 17 10.085 8.672 7.564 6.408 4.416 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790 18 10.865 9.390 8.231 7.015 4.905 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312 19 11.651 10.117 8.907 7.633 5.407 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820 20 12.443 10.851 9.591 8.260 5.921 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315 21 13.240 11.591 10.283 8.897 6.447 29.615 32.671 35.479 38.932 46.797 22 14.041 12.338 10.982 9.542 6.983 30.813 33.924 36.781 40.289 48.268 23 14.848 13.091 11.689 10.196 7.529 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728 24 15.659 13.848 12.401 10.856 8.085 33.196 36.415 39.364 42.980 51.179 25 16.473 14.611 13.120 11.524 8.649 34.382 37.652 40.646 44.314 52.620 26 17.292 15.379 13.844 12.198 9.222 35.563 38.885 41.923 45.642 54.052 27 18.114 16.151 14.573 12.879 9.803 36.741 40.113 43.195 46.963 55.476 28 18.939 16.928 15.308 13.565 10.391 37.916 41.337 44.461 48.278 56.892 29 19.768 17.708 16.047 14.256 10.986 39.087 42.557 45.722 49.588 58.301 30 20.599 18.493 16.791 14.953 11.588 40.256 43.773 46.979 50.892 59.703 40 29.051 26.509 24.433 22.164 17.916 51.805 55.758 59.342 63.691 73.402 50 37.689 34.764 32.357 29.707 24.674 63.167 67.505 71.420 76.154 86.661 60 46.459 43.188 40.482 37.485 31.738 74.397 79.082 83.298 88.379 99.607 70 55.329 51.739 48.758 45.442 39.036 85.527 90.531 95.023 100.425 112.317 80 64.278 60.391 57.153 53.540 46.520 96.578 101.879 106.629 112.329 124.839 90 73.291 69.126 65.647 61.754 54.155 107.565 113.145 118.136 124.116 137.208 100 82.358 77.929 74.222 70.065 61.918 118.498 124.342 129.561 135.807 149.449


Valores críticos superiores de la distribución F

Manera de uso

Esta tabla contiene los valores críticos superiores de la distribución F. Puede usarse para dócimas F a una cola y niveles críticos α = 0,05; 0,10 y 0,01.

Suponga que se calcula un estadígrafo para docimar con ν1 y ν2 grados de libertad. El resultado se compara con el valor tabulado. A una cola, Ho se rechaza si el estadígrafo calculado excede al percentil tabulado. Esto se demuestra en la figura siguiente para una distribución F con ν1 = 10 y ν2 = 10 g.l. El área sombreada de la figura indica la región de rechazo al nivel crítico α. Puesto que se trata de una dócima unilateral, tenemos una probabilidad α de exceder al valor crítico en la cola superior, y una probabilidad cero en la cola inferior. Como la distribución F no es simétrica, una dócima a dos colas requiere calcular en valor crítico inferior usando la relación

F inf = F( ν1, ν2, 1-α) = 1 / F( ν2, ν1, α)

Contenidos Se incluyen las siguientes tablas, para ν2 = 1, 2, ..., 100 :

1. Una cola, error tipo I α = 5 %, ν1 = 1, 2, 3, ..., 10; página 7 2. Una cola, error tipo I α = 5 %, ν1 = 11, 12, 13, ..., 20; página 8 3. Una cola, error tipo I α = 10 %, ν1 = 1, 2, 3, ..., 10; página 9 4. Una cola, error tipo I α = 10 %, ν1 = 11, 12, 13, ..., 20; página 10 5. Una cola, error tipo I α = 1 %, ν1 = 1, 2, 3, ..., 10; página 11 6. Una cola, error tipo I α = 1 %, ν1 = 11, 12, 13, ..., 20; página 12



ν1 = grados de libertad en el numerador y ν2 = grados de libertad en el denominador Nivel de significación α = 0,05 ó 5 % - F (ν1, ν2, 0,95)

ν2 \ ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.882 240.543 241.882 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 31 4.160 3.305 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 32 4.149 3.295 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 33 4.139 3.285 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 34 4.130 3.276 2.883 2.650 2.494 2.380 2.294 2.225 2.170 2.123 35 4.121 3.267 2.874 2.641 2.485 2.372 2.285 2.217 2.161 2.114 36 4.113 3.259 2.866 2.634 2.477 2.364 2.277 2.209 2.153 2.106 37 4.105 3.252 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 2.145 2.098 38 4.098 3.245 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194 2.138 2.091 39 4.091 3.238 2.845 2.612 2.456 2.342 2.255 2.187 2.131 2.084 40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 41 4.079 3.226 2.833 2.600 2.443 2.330 2.243 2.174 2.118 2.071 42 4.073 3.220 2.827 2.594 2.438 2.324 2.237 2.168 2.112 2.065 43 4.067 3.214 2.822 2.589 2.432 2.318 2.232 2.163 2.106 2.059 44 4.062 3.209 2.816 2.584 2.427 2.313 2.226 2.157 2.101 2.054 45 4.057 3.204 2.812 2.579 2.422 2.308 2.221 2.152 2.096 2.049 46 4.052 3.200 2.807 2.574 2.417 2.304 2.216 2.147 2.091 2.044 47 4.047 3.195 2.802 2.570 2.413 2.299 2.212 2.143 2.086 2.039 48 4.043 3.191 2.798 2.565 2.409 2.295 2.207 2.138 2.082 2.035 49 4.038 3.187 2.794 2.561 2.404 2.290 2.203 2.134 2.077 2.030 50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026 60 4.001 3.150 2.758 2.525 2.368 2.254 2.167 2.097 2.040 1.993 70 3.978 3.128 2.736 2.503 2.346 2.231 2.143 2.074 2.017 1.969 80 3.960 3.111 2.719 2.486 2.329 2.214 2.126 2.056 1.999 1.951 90 3.947 3.098 2.706 2.473 2.316 2.201 2.113 2.043 1.986 1.938 100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032 1.975 1.927




ν2 \ ν1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 242.983 243.906 244.690 245.364 245.950 246.464 246.918 247.323 247.686 248.013 2 19.405 19.413 19.419 19.424 19.429 19.433 19.437 19.440 19.443 19.446 3 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 8.683 8.675 8.667 8.660 4 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5.832 5.821 5.811 5.803 5 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 4.590 4.579 4.568 4.558 6 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 3.908 3.896 3.884 3.874 7 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 3.480 3.467 3.455 3.445 8 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 3.187 3.173 3.161 3.150 9 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 2.974 2.960 2.948 2.936 10 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 2.812 2.798 2.785 2.774 11 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 2.685 2.671 2.658 2.646 12 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 2.583 2.568 2.555 2.544 13 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 2.499 2.484 2.471 2.459 14 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 2.428 2.413 2.400 2.388 15 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 2.368 2.353 2.340 2.328 16 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 2.317 2.302 2.288 2.276 17 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 2.272 2.257 2.243 2.230 18 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 2.233 2.217 2.203 2.191 19 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 2.198 2.182 2.168 2.155 20 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 2.167 2.151 2.137 2.124 21 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 2.139 2.123 2.109 2.096 22 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 2.114 2.098 2.084 2.071 23 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.109 2.091 2.075 2.061 2.048 24 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.088 2.070 2.054 2.040 2.027 25 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.069 2.051 2.035 2.021 2.007 26 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 2.052 2.034 2.018 2.003 1.990 27 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 2.036 2.018 2.002 1.987 1.974 28 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 2.021 2.003 1.987 1.972 1.959 29 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 2.007 1.989 1.973 1.958 1.945 30 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.995 1.976 1.960 1.945 1.932 31 2.114 2.080 2.051 2.026 2.003 1.983 1.965 1.948 1.933 1.920 32 2.103 2.070 2.040 2.015 1.992 1.972 1.953 1.937 1.922 1.908 33 2.093 2.060 2.030 2.004 1.982 1.961 1.943 1.926 1.911 1.898 34 2.084 2.050 2.021 1.995 1.972 1.952 1.933 1.917 1.902 1.888 35 2.075 2.041 2.012 1.986 1.963 1.942 1.924 1.907 1.892 1.878 36 2.067 2.033 2.003 1.977 1.954 1.934 1.915 1.899 1.883 1.870 37 2.059 2.025 1.995 1.969 1.946 1.926 1.907 1.890 1.875 1.861 38 2.051 2.017 1.988 1.962 1.939 1.918 1.899 1.883 1.867 1.853 39 2.044 2.010 1.981 1.954 1.931 1.911 1.892 1.875 1.860 1.846 40 2.038 2.003 1.974 1.948 1.924 1.904 1.885 1.868 1.853 1.839 41 2.031 1.997 1.967 1.941 1.918 1.897 1.879 1.862 1.846 1.832 42 2.025 1.991 1.961 1.935 1.912 1.891 1.872 1.855 1.840 1.826 43 2.020 1.985 1.955 1.929 1.906 1.885 1.866 1.849 1.834 1.820 44 2.014 1.980 1.950 1.924 1.900 1.879 1.861 1.844 1.828 1.814 45 2.009 1.974 1.945 1.918 1.895 1.874 1.855 1.838 1.823 1.808 46 2.004 1.969 1.940 1.913 1.890 1.869 1.850 1.833 1.817 1.803 47 1.999 1.965 1.935 1.908 1.885 1.864 1.845 1.828 1.812 1.798 48 1.995 1.960 1.930 1.904 1.880 1.859 1.840 1.823 1.807 1.793 49 1.990 1.956 1.926 1.899 1.876 1.855 1.836 1.819 1.803 1.789 50 1.986 1.952 1.921 1.895 1.871 1.850 1.831 1.814 1.798 1.784 60 1.952 1.917 1.887 1.860 1.836 1.815 1.796 1.778 1.763 1.748 70 1.928 1.893 1.863 1.836 1.812 1.790 1.771 1.753 1.737 1.722 80 1.910 1.875 1.845 1.817 1.793 1.772 1.752 1.734 1.718 1.703 90 1.897 1.861 1.830 1.803 1.779 1.757 1.737 1.720 1.703 1.688 100 1.886 1.850 1.819 1.792 1.768 1.746 1.726 1.708 1.691 1.676




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20132ICN312S101 Programa Curso