Vettori.Vettori.Un vettore è individuato (nello spazio o nel piano) assegnando tre grandezze:

•Lunghezza o Modulo o Intensità : definita da un numero reale non negativo•Direzione (inclinazione di una retta rispetto agli assi cartesiani)•Verso

Può rappresentato da segmenti orientati (frecce) sebbene un vettore sia un “insieme” di segmenti orientati (precisamente una classe di equipollenza)

La relazione di equipollenza afferma che due segmenti orientati sono equivalenti se hanno le tre grandezze (modulo, direzione e verso) uguali.Evidentemente la relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza ed il

1

Evidentemente la relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza ed il vettore è la classe di equivalenza di segmenti orientati.

Convenzione

Il vettore di modulo 0 é indicato con 0

Definizione

Un vettore di modulo 1 é chiamato versore

Vettore Somma Vettore Somma Regola del Parallelogramma Proprietà della somma

c)(bacba ++=++ )(abba +=+

AssociativaCommutativa

aa00a =+=+ Elemento neutro

Elemento opposto: dato un vettore a il vettore opposto, che indicheremo con –a, è un vettore avente stessa direzione e modulo del vettore a ma verso opposto.

0aa)(a)(a =+−=−+ Elemento Simmetrico

Interna

2

In base alle proprietà sopra elencate l’insieme dei vettori (del piano o dello spazio), rispetto all’operazione indicata di somma, costituisce un “gruppo abeliano ”.

Modulo del Vettore SommaModulo del Vettore Somma

ϑ

ϑa

b

c( )ϑπ −⋅⋅⋅−+= cos2

222babac

( )ϑcos2222 ⋅⋅⋅++= babac

Teorema del coseno o di Carnot

3

Il modulo del vettore somma di due vettori a e b dipende dall’angolo che essi formano: è massimo quando tale angolo è zero ed è minimo quando tale angolo è un angolo piatto (180°, π radianti).

bac +=⇒= 0ϑ222

2bac +=⇒= πϑ

bac −=⇒= πϑ

Moltiplicazione vettore per uno scalare (1)Moltiplicazione vettore per uno scalare (1)Def.Con scalare si intende un numero reale.

Sia v un vettore e k uno scalare vettore kv è così definito:

Modulo:

Direzione: quella di v

Verso: se k>0 quello di v

vv ⋅= kk

4

Verso: se k>0 quello di vse k<0 quello opposto a quello di v

Proprietà del prodotto scalare per vettore

vv =⋅1

vv ⋅=⋅⋅ )()( stts

vuvu ⋅+⋅=+⋅ ttt )(vvv ⋅+⋅=⋅+ tsts )(

Moltiplicazione per uno scalare (2)Moltiplicazione per uno scalare (2)Le proprietà precedentemente enunciate discendono tutte la proprietà geometriche (algebriche). Ad esempio la terza proprietà discende dal teorema di Talete:

u u⋅t)( vu +

)( vu +⋅t

5

u

v

u⋅t

v⋅t

I Vettori come “variazione di coordinate”I Vettori come “variazione di coordinate”Segmento orientato : 2 punti , verso ( 4 numeri, 1 bit).

Vettore (nel piano): 2 numeri.

x∆

y∆ar B

A x∆

y∆ar

ϑ

6

∆∆

=y

xar

Modulo:

Direzione:

Verso: dal quadrante di appartenenza o dal segno delle componenti

( ) ( )22 yxa ∆+∆=r

∆∆=⇒

∆∆=

x

y

x

yarctan)tan( ϑϑ

Vettori nel piano: componenti cartesiane (1)Vettori nel piano: componenti cartesiane (1)

ϑ

j versore asse y

i versore asse x

( ))();cos( ϑϑ senC cc≡

)cos(ϑcicx ≡)(ϑsencjcy ≡

Versori fondamentali

7

y

)()cos( ϑϑ sencjciccc yx +=+=

Definiamo:

=

=

)(

)cos(

ϑϑ

senc

c

y

x

c

c Componenti cartesiane del vettore c (sono sottointesi i versori canonici i e j)

Spesso si scrive semplicemente: );( yxy

xcc

c

c=

=c

Vettori nel piano: componenti cartesiane (2)Vettori nel piano: componenti cartesiane (2)

ϑ( ) ( )22

yx cc +=cModulo:

=

y

x

c

cc

Calcolo analitico delle caratteristiche del vettore:

Direzione:

=⇒= yy

c

c

c

carctan)tan( ϑϑ

8

Direzione:

=⇒=xx cc

arctan)tan( ϑϑ

Verso: dal quadrante di appartenenza o dal segno delle componenti

)0;1(0

1=

=iVersori canonici )1;0(

1

0=

=j

Vettori nello spazioVettori nello spazio

);;( zyx

z

y

x

aaa

a

a

a

=

=a

1 0 0

zyx aaa kjia ++=

9

Versori canonici

=0

0

1

i

=0

1

0

j

=1

0

0

k

222 )()()( zyx aaa ++=aModulo:

Def. Versore di direzioneaa

a^

=

Operazione tra vettori e componenti Operazione tra vettori e componenti cartesiane: sommacartesiane: somma

a

Nel Piano:

Nello Spazio:

b += bacc

=

y

x

a

aa

=

y

x

b

bb

+=+=

=+=

yyy

xxx

y

x

bac

bac

c

ccon bac

10

=

z

y

x

a

a

a

a

=

z

y

x

b

b

b

b

+=

+=+=

=+=

zzz

yyy

xxx

z

y

x

bac

bac

bac

c

c

c

con bac

Si dimostrano tutte dalla forma algebrica che utilizza i versori canonici e dalle proprietà algebriche delle operazioni stesse. P. Es.:

( ) ( ) ( ) ( )jijijiba yyxxyxyx bababbaa +++=+++=+

Somma di vettori e regola ParallelogrammaSomma di vettori e regola Parallelogramma

=

y

x

a

aa

=

y

x

b

bb

+=+=

=+=

yyy

xxx

y

x

bac

bac

c

ccon bac

ar

r

A

B

C ( )yx aaA ;≡ ( )yx bbB ;≡

( )yyxx babaC ++≡ ;

11

br

O

Coefficiente Angolare Retta OA: Coefficiente Angolare Retta OB:

Coefficiente Angolare Retta AC:

Coefficiente Angolare Retta BC:

x

yOA a

am =

x

yOB b

bm =

x

y

xxx

yyyAC b

b

aba

abam =

−+−+

=)(

)(

x

y

xxx

yyyBC a

a

bba

bbam =

−+−+

=)(

)(OAm=

OBm=

Versori e Coseni direttoriVersori e Coseni direttori

=

y

x

a

aa

( )yx aaA ;≡ )cos(ϑa=xa

)cos(2

)( ααπϑ aaa =

−== sensena y

ar

A

α

xa=)cos(ϑ ya=)cos(α

Coseni Direttori

12

=

==)cos(

)cos(

αϑ

a

a

aa

uy

x

a a

a

O

ϑ a=)cos(ϑ

a=)cos(α

Operazione tra vettori e componenti Operazione tra vettori e componenti cartesiane: Prodotto per uno scalarecartesiane: Prodotto per uno scalare

xa

Nel Piano:

=

y

x

a

aa

=

y

x

ka

kaka

xka

13

=

z

y

x

a

a

a

aNello Spazio:

=

z

y

x

ka

ka

ka

ka

Si dimostrano tutte dalla forma algebrica che utilizza i versori canonici e dalle proprietà algebriche delle operazioni stesse.

Prodotto scalare tra vettori (1)Prodotto scalare tra vettori (1)Def. Prodotto scalare tra due vettori: )cos(ϑ⋅⋅=⋅ baba

Proprietà :

2) Distributiva

1) Commutativa abba ⋅=⋅( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

2aaa =⋅

0=⋅⇔⊥ baba

baba ⋅=⋅ )()( kk3)

4)

5)

14

0=⋅⇔⊥ baba

Proprietà versori canonici :

1=⋅=⋅=⋅ kkjjii

1=⋅=⋅ jjii

0=⋅=⋅=⋅ ikkjji

0=⋅ jiyyxx baba +=⋅ba

zzyyxx bababa ++=⋅ba

Nel Piano

Nello Spazio

5)

Prodotto scalare tra vettori (2)Prodotto scalare tra vettori (2)ES. Angolo tra vettori

=

2

1a

−=

2

1b 341 −=−=⋅ba

5

3

55

3cos −=

⋅−=

⋅⋅=

babaϑ °≈

−= 87,1265

3arccosϑ

ES. Prodotto scalare per componenti

= x

a

aa

= x

b

bb

15

=ya

a

=yb

b

( ) ( )=+⋅+=⋅ jijiba yxyx bbaa

( )jjijjiii ⋅+⋅+⋅+⋅ yyxyyxxx babababa ( )=⋅+⋅= jjii yyxx baba

yyxx baba +=

Prodotto vettoriale tra vettoriProdotto vettoriale tra vettoriDef. Prodotto vettoriale tra due vettori: bac ∧= E’ definito da:

Modulo : )(ϑsen⋅⋅= bac

Direzione : perpendicolare al piano formato da a e b

Verso : a, b e c nell’ordine formano una terna destrorsa

16

terna sinistrorsa

Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (1)Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (1)

abba ∧−=∧2) Distributivo:

1) Anticommutativo :

cabac)(ba ∧+∧=+∧

3) )()( baba ∧=∧ tt

4) 0aa =∧

5) a è parallelo a b se e solo se: 0ba =∧

17

Per i versori: 0kkjjii =∧=∧=∧

kji =∧ ikj =∧ jik =∧

kjiba )()()( xyyxzxxzyzzy babababababa −+−+−=∧

Proprietà Prodotto vettoriale tra vettoriProprietà Prodotto vettoriale tra vettori

Dal punto di vista dell’algebra delle matrici (cfr. argomento) il prodotto vettoriale di due vettori può essere visto come il determinante della seguente matrice quadrata di ordine 3:

=

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

18

=−+−+−= kji )()()( xyyxzxxzyzzy babababababa

−−−

=

xyyx

zxxz

yzzy

baba

baba

baba

Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (2)Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (2)kjiba )()()( xyyxzxxzyzzy babababababa −+−+−=∧

Si utilizza spesso la notazione matriciale per esprimere il prodotto vettoriale:

=∧

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba det

19

Triplo prodotto misto:

( )

=∧⋅

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

ccc

detbac

Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (3)Proprietà Prodotto vettoriale tra vettori (3)kjiba )()()( xyyxzxxzyzzy babababababa −+−+−=∧

Sia:

−=2

1

3

a

=2

3

1

b

− yzzy baba +− 62 4

20

=

−−−

=∧

xyyx

zxxz

yzzy

baba

baba

baba

ba =

+−+−

19

62

62

−10

4

4

Vettori in RVettori in R nn

Abbiamo visto che nel piano o nello spazio i vettori possono essere identificati con coppie o triplette ordinate di numeri reali e che su di essi possono essere definite le due operazioni di somma di vettori e prodotto per uno scalare.

Lo spazio R n.Consideriamo l’insieme di tutte le n-uple ordinate di numeri reali: 43421

volten

n xRRxRxR−

= ....

Siano x,y degli elementi di Rn. Scriveremo:

x y

21

( )n

n

xxx

x

x

x

,...,,... 21

2

1

=

=x ( )n

n

yyy

y

y

y

,...,,... 21

2

1

=

=y

Definiamo in Rn le seguenti operazioni:

Operazioni in ROperazioni in R n n : somma: somma

Somma Definizione opposto :

+

++

=+

nn yx

yx

yx

...: 22

11

yx

−

−−

=−

nx

x

x

...: 2

1

x

Definizione vettore 0 :

=...

0

0

:0

22

Rispetto a tale operazione Rn risulta un gruppo abeliano. Cioè la somma ha le seguenti proprietà:

0

S1) Interna

S2) Associativa

S3) Elemento Neutro

S5) Commutativa

S4) Elemento simmetrico (opposto)

zy)(xz)(yx ++=++

xyyx +=+

xx0 =+

0x)(x =−+

Operazioni in ROperazioni in R n n : prodotto per uno scalare: prodotto per uno scalare

Prodotto vettore per scalare:

=

nkx

kx

kx

k...

: 2

1

x

Rispetto a tale operazione Rn presenta le seguenti proprietà:

P1) xx =⋅1

23

P1)

P2)

P3)

P4)

xx =⋅1

xx ⋅=⋅⋅ )()( kttk

yxyx ⋅+⋅=+⋅ kkk )(

xxx ⋅+⋅=⋅+ hkhk )()(

Nota . Si distinguano nelle precedenti proprietà le operazioni nel campo degli scalari da quelle tra vettori o tra vettori e scalari.

Spazi Spazi Vettoriali AstrattiVettoriali Astratti

Es.•R2 con le usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare costituisce uno spazio vettoriale (insieme dei vettori del piano).•R3 con le usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare costituisce uno spazio vettoriale (insieme dei vettori dello spazio).

Def.Si dice spazio vettoriale su un campo (R o C) di scalari un insieme V di elementi detti vettori per i quali sono definite due operazioni:• un’operazione di somma tra vettori rispetto a cui V è un Gruppo Abeliano (proprietà S1)…S5) )•Un’operazione di prodotto tra scalare e vettore che soddisfi alle proprietà P1)..P4).

24

vettoriale (insieme dei vettori dello spazio).