Inžinjerska matematika II Zadaća I

Napomena: Zadaća se mora predati do 16.04.2012. do 14:00h. Ova zadaća nosi najviše 2 poena i neće se bodovati u slučaju prekoračenja roka za predaju zadaće. Zadaću predati na uvezanim listovima formata A4 uključujući i ovaj list na kojem ćete unijeti tražene podatke! Prezime i Ime:_______________________ Zaokružiti: Građevinarstvo - Grupa 1 - Grupa 2 - Grupa 3 Geodezija - Grupa 4

1. Izračunati površinu ograničenu krivim 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 i odsječkom [0, 𝜋𝜋2

] x-ose.

2. Izračunati površinu ograničenu lukom parabole 𝑦𝑦2 = 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑥𝑥), lukom kružnice 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4𝑎𝑎2 i tangentom kružnice u tački (2a, 0).

3. Naći površinu lika koji je omeđen krivom = 11+𝑥𝑥2 , pravom x=1 i x-osom.

4. Naći zapreminu tijela koje nastaje rotacijom površine ograničene krivim: a) 𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−2𝑥𝑥 i njenom asimptotom, oko asimptote; b) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 , 4𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 = 5, oko x-ose.

5. Izračunati zapreminu tijela koje nastaje rotacijom oko x-ose manje površine koja je omeđena linijama 𝑎𝑎

2𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2, 𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 > 0.

6. Naći dužinu luka jednog svoda cikloide 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝑡𝑡 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡),𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(1 − cos 𝑡𝑡). 7. Naći dužinu luka krive 𝑦𝑦 = ln(sin(𝑥𝑥 − 1)) izmeđi tačaka sa apscisama 𝑥𝑥 = 1 + 𝜋𝜋

3 i

𝑥𝑥 = 1 + 2𝜋𝜋3

. 8. Izračunati površinu omotača površi koja nastaje rotacijom krive:

a) 𝑦𝑦=3ch 𝑥𝑥3 oko x-ose;

b) 𝑥𝑥2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 (torus), 0< a <b, oko x-ose; c) 𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1 (a > b) oko y-ose. 9. Izračunati integrale:

a) ʃʃ𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je D oblast ograničena krivim 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 52 ;

b) ʃʃ𝐷𝐷 �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je D dio kruga 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2,𝑦𝑦 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 = √3𝑥𝑥; c) ʃʃ𝐷𝐷 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je D prsten 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝜋𝜋2, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4𝜋𝜋2;

d) ʃʃ𝐷𝐷 �4 − �𝑥𝑥𝑎𝑎�

2− �𝑦𝑦

𝑏𝑏�

2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je D oblast ograničena krivim 𝑥𝑥

2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1,𝑥𝑥2

(2𝑎𝑎)2 + 𝑦𝑦2

(2𝑏𝑏)2 = 1 u prvom kvadrantu. 10. Koristeći dvostruki integral, izračunati površinu:

a) između hiperbole 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 i kružnice 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 11;

b) između lemniskate (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)2 = 2𝑎𝑎2(𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2) i vanjskog dijela kružnice 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2.

11. Koristeći dvostruki integral, izračunati zapreminu tijela omeđenog površima: a) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0, (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)2 = 𝑎𝑎2(𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2), 𝑎𝑎 = 0 (𝑎𝑎 > 0) ; b) 𝑥𝑥2

4+ 𝑦𝑦2

16= 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎.

12. Izračunati integrale:

a) ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫ 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∫ 𝑎𝑎�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎0

√2𝑥𝑥−𝑥𝑥2

02

0 ;b) ʃʃʃ𝑉𝑉 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎 , gdje je

𝑉𝑉 = {(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑎𝑎)| 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎2 ≤ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎2 ≤ 𝑅𝑅2}.

13. Koristeći trostruki integral, izračunati zapreminu tijela koje je ograničeno površima 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎2 = 𝑅𝑅2, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑅𝑅(𝑅𝑅 − 2𝑎𝑎) (𝑎𝑎 ≥ 0).

14. Izračunati integrale: a) ʃ𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑, gdje je 𝐶𝐶 = �(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)| 𝑥𝑥

2

25+ 𝑦𝑦2

9= 1 ˄ 𝑥𝑥 ≥ 0 ˄ 𝑦𝑦 ≤ 0�;

b) ʃ𝐶𝐶 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎2) 𝑑𝑑𝑑𝑑, gdje je C dio zavojnice 𝑥𝑥 = acos 𝑡𝑡 ,𝑦𝑦 = asin 𝑡𝑡 , 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑡𝑡, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋;

c) ʃ𝐶𝐶 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦1+𝑥𝑥

dx, duž linije 𝑦𝑦 = 2√𝑥𝑥 − 𝑥𝑥, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4; d) ʃ𝐶𝐶 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2)dy, gdje je C |𝑥𝑥 − 1| + |𝑦𝑦 − 1| = 1; e) ʃ𝐶𝐶 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 dy, duž krive 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡),𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), od tačke (0,0)

do (4 𝜋𝜋, 0); f) ʃ𝐶𝐶 (𝑦𝑦 − 𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑎𝑎, gdje je C presjek ravni

𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝑦𝑦𝑏𝑏

+ 𝑎𝑎𝑐𝑐

= 1 s koordinatnim ravnima x=0, y=0, z=0; g) ʃ𝐶𝐶 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑎𝑎, gdje je C presjek površi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑟𝑟2, 𝑥𝑥2 = 𝑟𝑟𝑎𝑎.

15. Koristeći Grinovu formulu, izračunati integrale:

a) ʃ𝐶𝐶 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je C elipsa 𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1;

b) ʃ𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 −𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 , gdje je C kružnica 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 1 = 0;

c) ʃ𝐶𝐶 (𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦, gdje je C kružnica 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎𝑥𝑥.

Inžinjerska matematika II Zadaća II

Napomena: Zadora se more predati do 11.06.2012. do 14:00h. Ova zadaća nosi najviše 3 poena i neće se bodovati u slučaju prekoračenja roka za predaju zadaće. Zadaću predati na uvezanim listovima formata A4 uključujući i ovaj list na kojem ćete unijeti tražene podatke! Prezime i Ime:_______________________ Zaokružiti: Građevinarstvo - Grupa 1 - Grupa 2 - Grupa 3 Geodezija - Grupa 4 1. Izračunati integrale:

a) ʃʃ𝑆𝑆 (3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 3𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑆𝑆, gdje je S dio ravni x+2y+3z=6 u prvom oktantu; b) ʃʃ𝑆𝑆 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑆𝑆, gdje je S površ x2 + y2 + z2 = a2; c) ʃʃ𝑆𝑆 (𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑆𝑆, gdje je S dio površi 𝑎𝑎 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 , koji je izrezan valjkom

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎𝑥𝑥; d) ʃʃ𝑆𝑆 𝑦𝑦2𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥, gdje je S vanjska strana površi

𝑆𝑆1⋃𝑆𝑆2 , 𝑆𝑆1: 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2, 𝑆𝑆2: 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 > 0; e) ʃʃ𝑆𝑆 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎, gdje je S vanjski dio elipsoida

4𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 4𝑎𝑎2 = 4 u prvom oktantu. 2. Izračunati površinu:

a) dijela površi 𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 2𝑎𝑎 koji je izrezan valjkom 𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2 = 1; b) tijela koje je omeđeno površima 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎2 = 3𝑎𝑎2, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ≥ 0.

3. Koristeći Stoksovu formulu, izračunati integrale: a) ʃ𝐶𝐶 𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝑎𝑎, gdje je C presjek površi 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 i 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑏𝑏2; b) ʃ𝐶𝐶 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎, gdje je C trougao ABC, A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c); c) ʃ𝐶𝐶 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)

32 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑎𝑎3 𝑑𝑑𝑎𝑎 , gdje je C presjek površi 𝑎𝑎 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2,

𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 2, 𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 = 1. 4. Koristeći formulu Ostrogradrskog-Gausa, izračunati integrale: a) ʃʃ𝑆𝑆 𝑥𝑥3 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝑎𝑎3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 , gdje je S vanjski dio sfere 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎2 = 𝑅𝑅2; b) ʃʃ𝑆𝑆 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 , gdje je S vanjski dio površi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2 , 0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ ℎ. 5. Riješiti diferencijalne jednačine: a) (𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (1 − 𝑥𝑥𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0; b) (2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦3

3)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0;

c) (2𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0; d) 𝑦𝑦′ + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3𝑦𝑦3; e) 𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥; f) 𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦

𝑥𝑥+1+ 𝑦𝑦2 = 0;

g) (1 − 𝑥𝑥2)𝑦𝑦′′ − 𝑥𝑥𝑦𝑦′ − 2 = 0; h) 𝑥𝑥𝑦𝑦′′ = 𝑦𝑦′ + 𝑥𝑥2;

i) 𝑦𝑦′′ − 𝑦𝑦 = 11+𝑒𝑒2𝑥𝑥 ;

j) 𝑦𝑦′′ + 4𝑦𝑦 = 2𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥; k) 𝑦𝑦′′ + 2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 2; l) 𝑦𝑦′′ − 5𝑦𝑦′ + 6𝑦𝑦 = 𝑥𝑥; m) 𝑦𝑦′′ − 3𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦 = 𝑒𝑒3𝑥𝑥 ; o) 𝑦𝑦′′ − 2𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑥𝑥

𝑥𝑥;

p) 𝑦𝑦′′ − 2𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦 = 4𝑒𝑒𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥.