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TOPOGRAFÍA

Telmo Palancar

I

ÍNDICE

TOPOGRAFÍA-DEFINICIÓN 1

Vinculación de la topografía con otras ciencias 1

Ciencias Básicas que utiliza la Topografía 1

Ciencias que aplican los conocimientos obtenidos con la Topografía 2

UNIDADES 3

Múltiplos y submúltiplos del metro 3

Medidas Inglesas 4

Unidades de superficie 4

Unidades angulares 4

Relación entre sistema natural y sexagesimal 5

Relación entre sistema natural y centesimal 5

Relación entre sistema centesimal y sexagesimal 5

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 6

Teorema del coseno 7

Teorema del seno 8

Problema de los triángulos obtusángulos 8

Determinación de la superficie por Herón 10

TEORÍA DE ERRORES 12

Introducción 12

Causas de los errores 12

a)Humanos 12

b)Ambientales 12

c)Instrumentales 13

Equivocaciones o errores groseros 13

Errores propiamente dichos 13

a)Errores sistemáticos 13

b)Errores accidentales 14

Media aritmética y desvíos 14

a)El valor más probable: La media 14

b)Errores aparentes, desvíos o residuos 14

Postulados de Gauss 16

Medidas de dispersión 16

a)Error probable 17

b)Error medio aritmético 17

c)Error medio cuadrático de una observación o desvío estándar 17

d)Varianza o Error medio del promedio 19

Propagación de errores 23

a)Error de una suma 23

b)Error de una serie 24

c)Error de un producto 25

Error máximo admisible ó Tolerancia 26

ESCALAS 28

Definición e importancia 28

Relación de superficies 29

II

Escalas gráficas 29

VACILACIÓN PLANIMÉTRICA 30

Poder resolutivo del ojo humano 30

Vacilación planimétrica 31

ALINEACIONES 33

a)Alineación desde el extremo 34

a1)Relleno 34

a2)Prolongación 34

b)Alineación desde el centro 35

MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS 36

Métodos expeditivos 36

Medición a pasos 36

Odómetro 36

Método regular 37

Medición con cinta 37

Cinta ruleta 37

Cinta de agrimensor o de tambor 37

Procedimiento a seguir al utilizar la cinta de agrimensor 38

FUNDAMENTOS GENERALES DE LA MEDICIÓN

ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS 41

Introducción 41

Principio matemático 41

Clasificación de los IEMD 42

Telurómetro 42

Geodímetro de luz visible o Telémetro Electroóptico 43

Rayos IR 45

Estación Total 46

MEDICIÓN ANGULAR EXPEDITIVA 48

Goniómetros de ángulo fijo 48

Escuadras ópticas 48

Utilización de las escuadras ópticas en el levantamiento de puntos

por coordenadas rectangulares 48

Brújula Forestal 49

Declinación Magnética 54

EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE EN

PLANIMETRÍA 58

MÉTODOS PLANIMÉTRICOS 60

Triangulación y trilateración 61

Triángulación 61

Intersección directa o hacia adelante 61

Intersección lateral 67

Intersección inversa, hacia atrás o Pothenot 68

Hansen 69

Trilateración 69

Poligonación 73

III

Poligonal cerrada 73

Poligonal abierta 74

Radiación y Detalles 78

Radiación 78

Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares 80

Red de triangulación fundamental Argentina 81

MÉTODOS DE CÁLCULO DE ÁREAS 84

Métodos numéricos 84

Descomposición en triángulos y uso de la ecuación de Herón 84

Radiación o polar 85

Normales a una alineación interna 87

Polígono exterior 89

Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios) 90

Métodos gráficos 90

Método de la cuadrícula 90

Fajas paralelas 91

Fórmula de Bezout o método de los trapecios 91

Fórmula de Simpson 93

Fórmula de Poncelet 96

Método mecánico. Uso del planímetro polar 98

Determinación de áreas mediante programas de computadora 104

PLANILLA DE CÁLCULO DE COORDENADAS Y

SUPERFICIE 106

Verificación del cierre angular 106

Cálculo de los acimutes 107

Cálculo de las proyecciones 108

Reglas de redondeo 109

Cálculo del error 111

Compensación del error 113

Compensación a partir de la magnitud de los lados 113

Compensación a partir de la magnitud de las proyecciones 115

Proyecciones corregidas 117

Cálculo de coordenadas 118

Cálculo de superficies 119

Comprobación: Proyección de los lados sobre el eje Y 122

Expresión de la superficie en unidades agrarias 123

ALTIMETRÍA 125

Efecto de la curvatura terrestre en altimetría 125

Efecto de la curvatura y refracción atmosférica 127

NIVELACIÓN 129

Nivelación Barométrica 129

Nivelación Trigonométrica 131

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 135

Fundamento o principio 135

Pendiente 136

Instrumental utilizado 137

IV

Nivel de anteojo o equialtímetro 137

Principio de funcionamiento 137

Nivel esférico 137

Nivel tubular 139

Precisión de los niveles 141

Tornillos de enfoque 141

Limbo horizontal 142

Miras 143

Miras de visual inversa 145

Estadimetría 145

Lecturas de mira 146

Error de colimación 147

Definición 147

Compensación 148

Comprobación 149

Corrección 151

Nivelación simple 152

Nivelación compuesta 153

Transporte de cota 153

Nivelación por rodeo 154

Error de la nivelación. Tolerancia 155

Limitaciones de la nivelación geométrica 156

Planilla de campo 157

PERFILES 162

Forma de representar los perfiles 164

Aplicaciones de los perfiles 167

NIVELACIÓN AREAL 171

Nivelación areal por cuadrícula 171

Marcación de la cuadrícula 171

Nivelación 172

Construcción del plano de curvas de nivel 175

a)Localización del punto más alto y más bajo 175

b)Elección de equidistancia 175

c)Determinación de las curvas a trazar 175

d)Interpolación 176

Nivelación areal por radiación o taquimetría con nivel 178

Distancia máxima instrumento mira 187

Número mínimo de estaciones a efectuar para nivelar una

determinada área 188

CARTOGRAFÍA 193

Formas de la Tierra 193

Superficies desarrollables 194

Propiedades de las proyecciones cartográficas 195

Tipos de proyecciones 195

Proyección Cilíndrica 196

Proyección cónica 196

V

Proyección acimutal 196

Coordenadas Geográficas 197

Proyección utilizada por la Cartografía Argentina 198

Coordenadas Gauss-Krüger 199

Agrandamiento relativo 202

Nomenclatura de las cartas IGM 203

Interpretación de la carta 206

a.-Escala 206

b.-Croquis de situación de la hoja 207

c.-Nómina de puntos trigonométricos y auxiliares 207

d.-Convergencia de meridianos y declinación magnética 209

Salto de cuadrícula 209

e.-Símbolos cartográficos 210

f.-Curvas de nivel 211

Clases de curvas 211

Carta Imagen 212

SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES 217

Ecuaciones de Rotación 217

Ecuaciones de Traslación 218

FORMAS DE RELIEVE 223

Hoya 223

Cerro, mamelón o mogote 224

Línea de máxima pendiente 224

Bajo, valle, desfiladero, quebrada o cañón 224

Dorsal 225

Punto de silla, punto de paso, puerto o portezuelo 225

Obtención de perfiles a partir de curvas de nivel 226

Marcación de una cuenca topográfica 227

REPLANTEO 228

Replanteo planimétrico 228

Replanteo de puntos 228

Replanteo de líneas con obstáculos 228

Replanteo de un círculo de centro inaccesible 229

Replanteo de curvas 230

Tablas de Gaunin 231

Replanteo altimétrico 234

Replanteo de una curva de nivel o de una curva de cota constante 234

Replanteo de una curva con gradiente constante 235

FOTOGRAFÍA AÉREA 238

Visión estereoscópica 239

Superposición entre distintas fotografías y entre distintas corridas 239

Rectificación 241

Estereoscopio de bolsillo o de refracción 241

Estereoscopio de espejos o de reflexión 242

Fotointerpretación 243

SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) 244

VI

Introducción 244

Fundamentos 244

Cálculo de la distancia Satélite-Receptor GPS 246

Sincronización del tiempo 247

Componentes del sistema GPS 248

Errores 249

Errores en los satélites 249

Errores en la trayectoria de la señal 250

Geometría satelital 250

Receptores 250

Corrección diferencial 250

UTILIZACIÓN DE NAVEGADORES SATELITALES (GPS) EN

APLICACIONES AGRÍCOLAS Y FORESTALES 251

Introducción 251

Descripción del GPS 251

Páginas de información 253

Página de satélites 254

Página de mapa 255

Opciones para los campos seleccionables 257

Página de Navegación 258

Página de Altímetro 260

Página de Trayecto 262

Página de Menú Principal 263

Marcar Waypoint 263

Buscar 265

Rutas 266

Tracks (Recorridos) 268

Configuración 269

Accesorios 270

APLICACIONES DE LA TECNOLOGÍA GPS EN LA

AGRICULTURA 272

Introducción 272

Aplicaciones generales fuera del campo agronómico 272

Aplicaciones agrícolas 272

Ubicación de puntos 272

Determinación de áreas 273

Guiado de maquinaria agrícola 273

Banderillero satelital 273

Autoguiado 275

Monitoreo de rendimiento de cosecha 275

Mapas de rendimiento 277

Mapas de calidad (proteína y aceite) 279

Análisis, administración y almacenamiento de la información 279

Muestreo dirigido de suelos 281

Tecnología de dosis variable 282

Siembra y fertilización de base variable 283

VII

Monitoreo de siembra 283

Fertilización variable usando NDVI 285

El círculo de la agricultura de precisión 286

Otras aplicaciones 287

Control de velocidad de cosecha y siembra 287

Registro y seguimiento de las tareas desarrolladas 287

Monitoreo del grano cosechado 287

BIBLIOGRAFÍA 288

1

TOPOGRAFÍA - DEFINICIÓN

La palabra Topografía deriva de dos vocablos griegos: Topos (lugar) y grafía

(descripción). La Topografía es la Ciencia que estudia el conjunto de procedimientos

utilizados para determinar las posiciones de distintos puntos sobre la superficie de la

Tierra para poder así representarla en un plano y de esa forma “describir un lugar”.

También constituye objeto de estudio de la Topografía el instrumental y los métodos

utilizados en las mediciones así como los errores que se cometen con los mismos. La

Topografía es una Ciencia medidora, en la que se efectúan mediciones de longitudes y

ángulos y con estos valores se calculan otros como las superficies.

Puede dividirse a la Topografía en dos grandes ramas:

-Planimetría: Incluye el estudio de los métodos para la determinación y

representación planimétrica de los detalles terrestres, sin importar su cota o altura.

-Altimetría: Incluye el estudio de los métodos para la determinación y

representación de la cota o altura de los distintos puntos de la superficie terrestre,

vinculados a su ubicación plana.

Vinculación de la Topografía con otras ciencias

Ciencias Básicas que utiliza la Topografía

En la Topografía se utilizan conocimientos básicos que se estudian en otras

Ciencias. Algunas de las Ciencias Básicas de las que la Topografía toma conocimientos

son:

Matemáticas: Se acude frecuentemente a los conceptos de Trigonometría y

Geometría para el cálculo de superficies de parcelas que forman distintos polígonos

(triángulos, trapecios, rectángulos, paralelogramos, otros polígonos) o segmentos que

representen distancias horizontales o verticales.

Estadística: el estudio de los errores cometidos en las distintas mediciones es

abordado desde la Teoría de la distribución de los errores accidentales del Cálculo

Estadístico.

Física: Frecuentemente se emplean al realizar mediciones, instrumentos que

constan de anteojos astronómicos, por lo que resulta necesario el conocimiento de los

Principios de la Óptica Geométrica. Asimismo, la medición moderna de distancias a

partir de distanciómetros utiliza como principio de funcionamiento las ondas

electromagnéticas. También las señales del sistema de posicionamiento Global (GPS) y

las imágenes satélites se transmiten a partir de ondas electromagnéticas. El estudio de la

transmisión de este tipo de ondas es abordado en el ámbito de la Física.

Cartografía: la Cartografía constituye una Ciencia per se en la que se estudian

las distintas formas de representar la Tierra en un plano. La Cartografía es una Ciencia

auxiliar de la Topografía ya que brinda información de partida de distinto tipo (suelos,

hidrografía, curvas de nivel, catastro) que permite describir de antemano un determinado

predio o parcela sin necesidad de realizar mediciones a campo. La correcta

interpretación de la información cartográfica también es objeto de estudio de la

Topografía.

Teledetección-Fotointerpretación: Con la puesta en órbita de los satélites

artificiales y a partir de la obtención de imágenes de la superficie terrestre tomadas por

sensores que se encuentran sobre los mismos, se ha logrado ampliar la información

2

existente relacionada al uso de la tierra, predicción de rendimientos, afectación por

plagas, sequías, incendios, inundaciones y la evolución de estos parámetros en el tiempo.

Con el paso del tiempo y el progreso tecnológico van apareciendo sensores que brindan

imágenes cada vez de mayor resolución y que permiten obtener información de los

distintos parámetros de interés en diferentes bandas del espectro electromagnético. De

ciertos lugares existen también fotografías aéreas de mayor nivel de detalle y escala que

brindan un mayor nivel de detalle que las imágenes satelitales.

Ciencias que aplican los conocimientos obtenidos en Topografía

Los estudios y mediciones efectuados en el marco de la Topografía brindan

información a numerosas Ciencias que, a partir de estos datos, pueden tomar decisiones

a nivel proyectual. Algunas de las Ciencias que utilizan los conocimientos vertidos por

la Topografía son:

Riego y Drenaje: A partir de las nivelaciones realizadas y de la determinación

del relieve del terreno se deciden por dónde y a qué altura se deben construir canales de

riego y drenaje. Las nivelaciones de áreas permiten también calcular las pendientes

medias para efectuar a posteriori trabajos de sistematización del terreno con vistas al

riego por inundación (riego por melgas). Todos los trabajos relacionados con el

movimiento de agua deberían implicar necesariamente un trabajo topográfico de

nivelación previo.

Manejo y Conservación de Suelos: El estudio del relieve para la determinación

de las pendientes erosivas y la posible construcción de terrazas implica asimismo el

estudio del relieve a partir de nivelaciones y construcción de planos de curvas de nivel.

Manejo de Cuencas Hídricas: La determinación de cuencas de aporte de agua

requiere del conocimiento de las diferentes Formas de Relieve y de la interpretación de

los planos de curvas de nivel.

Fruticultura, Silvicultura: Cuando se efectúan plantaciones de especies frutales

y forestales las mismas se hacen siguiendo un determinado patrón de ordenamiento. La

correcta ubicación de los distintos ejemplares se logra a partir de mediciones lineales y

alineaciones estudiadas en Topografía.

Construcciones Rurales: Cuando se desee llevar adelante un determinado

proyecto de construcción a nivel de predio será necesario el relevamiento previo de las

mejoras existentes. Para ubicar la obra a construir serán necesarias tareas de replanteo

que implicarán mediciones topográficas.

Mecanización Agraria: Con el advenimiento de la tecnología GPS, el trabajo de

muchas máquinas agrícolas y diferentes datos recolectados por las mismas son

vinculados a su posición geográfica y georeferenciados. Esta tecnología, denominada

globalmente como Agricultura de Precisión permite recolectar información

georeferenciada y guardarla y administrarla en los denominados “Sistemas de

información geográfica” (SIG en español ó GIS en inglés). Con los mismos se logran

obtener y administrar los denominados “Mapas de rendimiento”, “Mapas de siembra”,

etc. El estudio del sistema GPS, sus alcances y limitaciones así como la utilización de

los SIG es abordado por la Topografía.

3

UNIDADES

En las operaciones topográficas se realizan mediciones de distancias, ángulos y

desniveles. En las mediciones se compara la distancia, ángulo o desnivel que se desea

medir con la unidad de medida empleada, sea el metro, grado sexagesimal u otra. A lo

largo de la historia, el hombre se ha visto en la necesidad de medir y ha utilizado

distintas unidades. Así los egipcios utilizaron como unidades el largo del brazo (vara), el

largo del pie, el ancho del pulgar (pulgada), la longitud del paso, etc. A medida que el

tiempo fue pasando cada pueblo fue creando sus propias unidades de medida y éstas

diferían de un lugar a otro, dificultando y entorpeciendo el intercambio comercial.

Debido a esto, en Francia a fines del siglo XVIII se reconoció la necesidad y

conveniencia de crear una unidad de medida única internacional. La Academia de

Ciencias de París fue la encargada de establecer esta unidad que fue denominada

“metro” (del griego medir) y a la que se asignó una longitud igual a la diez millonésima

parte de un cuarto de meridiano terrestre. Para materializar dicha medida se construyó

una barra de platino rectangular cuyos extremos distaban en la nueva unidad de medida

(1m).

Con el tiempo se observó que la unidad elegida tenía ciertos inconvenientes y

defectos por lo que fue sufriendo diversas redefiniciones. La última definición del metro

es “la distancia que recorre la luz (que posee velocidad constante) en 1/299792458

segundos”

Múltiplos y submúltiplos del metro

De acuerdo a las longitudes medidas es conveniente en ciertas ocasiones recurrir

a los múltiplos y submúltiplos del metro. Los mismos son volcados en la Tabla 1.

Múltiplos

Nombre Símbología Valor

Kilómetro Km 1000m

Hectómetro Hm 100m

Decámetro Dm 10m

Submúltiplos

Nombre Símbología Valor

Decímetro dm 0,1m

Centímetro cm 0,01m

Milímetro mm 0,001m

Micrón 0,000001m

Tabla 1: Múltiplos y submúltiplos del metro

Como puede observarse en la Tabla 1 para pasar de una unidad lineal a la

siguiente inferior o superior es suficiente con multiplicar o dividir por diez

respectivamente (lo que equivale a correr la coma un lugar a la derecha o izquierda).

Existen medidas antiguas (ya en desuso) que es necesario conocer pues han sido

muy usadas y aún suelen utilizarse.

Vara = 0,866m

Cuadra = 150 varas = 150 . 0,866m = 129,9m

4

Legua = 40 cuadras = 40 . 129,9m = 5196m

El valor de 0,866m de la vara fue el más utilizado pero existieron numerosos valores de vara que

se usaron en distintos lugares (vara rosarina = 0,848m, vara de Bustinza = 0,836m) y de allí proviene el

dicho “Hay que medir siempre con la misma vara”.

Medidas Inglesas

Aún es frecuente la utilización de medidas inglesas en determinadas aplicaciones.

Las más comúnmente utilizadas son

Yarda = 3 pies ingleses = 36 pulgadas = 0,914m

Nombre Valor

Milla inglesa 1609,33m

Yarda 0,914m

Pie inglés 0,305m

Pulgada 2,54cm

Tabla 2: Algunas unidades inglesas

Unidades de superficie

En la medición de superficies suelen utilizarse las unidades lineales elevadas al

cuadrado (m2, cm

2, km

2). Obsérvese que para pasar de una unidad a la siguiente superior

o inferior se debe dividir o multiplicar por 100 respectivamente (correr la coma de a dos

lugares). Así para pasar 1200m2 a dm

2 se multiplica por 100 y se obtienen 120000dm

2.

Es muy común la utilización de las llamadas unidades agrarias de superficie. Ellas son la

hectárea (ha), el área (a) y la centiárea (ca). La hectárea equivale a la superficie de un

cuadrado de 100m de lado y posee por lo tanto una superficie de 10000m2. El área se

corresponde con la superficie de un cuadrado de 10m de lado (100m2). Finalmente la

centiárea es igual al m2. Una unidad de superficie muy usada es el acre que equivale a

una superficie de 4046,8m2.

Unidades angulares

Son tres los sistemas más frecuentemente utilizados en la medición de ángulos.

Ellos son el sistema natural (que tiene por unidad al radián), el sistema sexagesimal (con

el grado sexagesimal como unidad) y el sistema centesimal (cuya unidad es el grado

centesimal).

En la Tabla 3 puede verse la correspondencia entre los tres sistemas.

Sistema Unidad Un giro vale Un recto vale

Natural 1 rad 2 rad / 2 rad

Sexagesimal 1° 00’ 00’’ 360° 00’ 00’’ 90° 00’ 00’’

Centesimal 1g

00m

00s

400g 00

m 00

s 100

g 00

m 00

s

Tabla 3: Sistemas de unidades angulares

En el sistema sexagesimal el grado(°) surge de dividir al ángulo recto en 90

partes. A su vez el grado se divide en 60 partes y cada una de estas partes constituye un

5

minuto (1’). También cada minuto se divide en 60 partes y cada una de éstas constituye

un segundo (1’’).

En el sistema centesimal el grado(g) surge de dividir al ángulo recto en 100

partes. A su vez cada grado se divide en 100 partes y cada una de estas partes constituye

un minuto (1m

). Cada minuto se divide en 100 partes y cada una de éstas constituye un

segundo (1s).

En el sistema natural el radián (que es la unidad) se define como el ángulo

inscripto en una circunferencia de manera tal que su arco es igual al radio de la misma.

Así una circunferencia de un metro de radio tendrá un perímetro igual a 2 . . r = 6,28m

y tendrá un arco de un metro (igual al radio) cuando el ángulo formado sea de 1 radián.

Las relaciones existentes entre las unidades de los distintos sistemas son:

Relación entre sistema natural y sexagesimal

2 . rad ---------------360° 00’ 00’’

1 rad------------------ x = 1 rad . 360° 00’ 00’’ / 2 . rad = 57°17’44,8’’

1 rad = 57°17’44,8’’

1° = 0,0174 rad

Relación entre sistema natural y centesimal

2 . rad ---------------400g 00

m 00

s

1 rad------------------ x = 1 rad . 400g 00

m 00

s / 2 . rad = 63

g 66

m 20

s

1 rad = 63g 66

m 20

s

1g = 0,0157rad

Relación entre sistema centesimal y sexagesimal

400g 00

m 00

s---------------360° 00’ 00’’

1g----------------------------1

g . 360° 00’ 00’’ / 400

g 00

m 00

s = 0° 54’00’’

1g = 0° 54’00’’

1° = 1g 11

m 11

s

Problemas

Se midió un polígono de 4 lados. Las medidas de sus lados fueron: AB=

223,78m; BC= 0,21578km; CD= 1,76097cuadras y DA= 236,31yardas. Calcular el

perímetro y expresarlo en leguas. Rta: 884,30m = 0,1702leguas.

Un lote de forma rectangular tiene uno de los lados con una longitud igual a

234,5m. El otro lado es 2,7 veces más grande. Calcular la superficie y expresarla en

unidades agrarias y acres. Rta: 14ha 84a 74ca = 36,69acres.

¿Cuántos grados centesimales suman los ángulos internos de un polígono de 8

lados? Rta: 1200g 00

m 00

s

Se midió un ángulo que resultó ser /4 radianes menor a la suma de los ángulos

internos de un cuadrilátero. Expresar el valor del ángulo en grados sexagesimales. Rta:

315° 00’ 00’’.

6

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

En Topografía es frecuente la necesidad de resolver triángulos. Esta operación

consiste en determinar la magnitud de los lados y ángulos de un triángulo a partir de

algunos datos conocidos del mismo. El número mínimo de elementos necesarios para

resolver un triángulo es tres. Así, puede resolverse un triángulo si se conoce la longitud

de sus tres lados, o la longitud de dos lados y un ángulo, o la de un lado y dos ángulos.

Sin embargo, no se puede llegar a resolver dicha figura si se cuenta sólo con los tres

valores angulares, ya que existirían infinitas soluciones (triángulos semejantes). Ver

Figura 1.

B

M

A N C

Figura 1: Triangulos semejantes ABC y AMN. El ángulo en M es igual al ángulo en B y

el ángulo en N es igual al ángulo en C. A es compartido por ambos triángulos.

En los triángulos rectángulos (que poseen un ángulo recto o de 90º) puede

utilizarse la trigonometría para la resolución de los mismos.

P

sen tg

O A

R = 1

cos

Figura 2: Triángulo rectángulo OAP inscripto en una circunferencia de radio = 1

En la Figura 2 se observa el triángulo rectángulo OAP (recto en el vértice A). En

el mismo se cumplen las siguientes igualdades.

sin 𝛼 =𝑃𝐴

𝑂𝑃=

𝐶𝑂

𝑅

siendo CO = cateto opuesto a y R = radio vector = 1

7

cos =AO

OP=

CA

R

siendo CA = cateto adyacente al ángulo

Por semejanza de triángulos puede decirse que

tan

𝑅=

𝑃𝐴

𝐴𝑂=

𝐶𝑂

𝐶𝐴= tan

Existe una regla nemotécnica para recordar estas propiedades trigonométricas

que es la palabra SORCARTOA donde

SOR = Sin = Opuesto/Radio vector (ó hipotenusa)

CAR = Cos = Adyacente/Radio vector (ó hipotenusa)

TOA = Tan = Opuesto / Adyacente

Otra propiedad que se puede aplicar en el triángulo rectángulo es el teorema de

Pitágoras CO2 + CA

2 = R

2 PA

2 + OA

2 = OP

2 sin

2 + cos

2 = 1

2 = 1

Estas propiedades son válidas sólo para triángulos rectángulos, y si bien se han

demostrado utilizando una circunferencia de radio 1, son aplicables también a triángulos

rectángulos inscriptos en circunferencias de radio distinto de 1. El hecho de que los triángulos rectángulos cumpliesen con todas las funciones trigonométricas

que no cumplían el resto de los triángulos los volvía “mágicos” para los antiguos griegos. De allí

proviene la creencia de que pasar por debajo de una escalera trae mala suerte ya que una escalera

apoyada en una pared vertical forma un triángulo rectángulo.

Figura 3: Una escalera apoyada en un muro vertical forma un triángulo rectángulo

Existen propiedades que permiten resolver todo tipo de triángulos, aún los que no

son rectángulos. Ellas son el teorema del coseno y el teorema del seno.

Teorema del coseno

Con el teorema del coseno puede obtenerse el valor de uno de los ángulos de un

triángulo conociendo la medida de sus 3 lados.

a

b

c

Figura 4: Triángulo del que se conocen sus lados a, b y c

𝛿

8

A partir del triángulo de la Figura 4 se enuncia el teorema del coseno

a2 = b

2 + c

2 - 2 . b . c . cos

Se puede despejar

𝛼 = cos−1b2 + c2 − a2

2 . b . c

Debe recordarse que el ángulo es el opuesto al lado a

Teorema del seno

El teorema del seno sostiene que en los triángulos se mantiene constante la

relación existente entre el seno de sus ángulos y sus lados opuestos.

Así en el triángulo de la (Figura 4) se puede afirmar que

sin 𝛼

𝑎=

sin 𝛽

𝑏=

sin 𝛿

𝑐

Por lo tanto, a partir de un triángulo del que se conocen 3 de sus elementos (salvo

sus 3 ángulos) pueden conocerse los elementos restantes a partir de estos teoremas. Debe

señalarse que siempre deben calcularse los ángulos internos por el teorema del coseno y

del seno y finalmente sumarlos y verificar que el resultado sea igual a 180º. De esta

forma puede verificarse que los cálculos han sido bien realizados. Si en cambio, el

último ángulo se calculase por diferencia con 180º no existiría la posibilidad de verificar

si se cometió un error en los cálculos.

La suma de los ángulos internos de un polígono debe ser 180º . (n-2) siendo n el

número de lados del polígono (Triángulo 180º . (3-2) = 180º; cuadrilátero 180 . (4-2) =

360º).

Problema con los triángulos obtusángulos

Cuando el triángulo que se resuelve tiene un ángulo mayor a 90º debe tenerse

cierta precaución en los cálculos para evitar cometer errores.

Supóngase que debe resolverse un triángulo del cual se conoce la longitud de sus

lados. Así AB = 30,23m ; BC = 12,18m y CA = 19,72m (Figura 5)

A

B

C

Figura 5: Triángulo obtusángulo en C

Debe determinarse inicialmente por el teorema del coseno el ángulo (vértice A)

9

BC2 = AB

2 + CA

2 – 2 . AB . CA . cos

𝛼 = cos−1AB2 + CA2 − BC2

2 . AB . CA

= 14º 29’ 1,7’’

Luego se determina (vértice B) y (vértice C) por el teorema del seno

𝐵𝐶

𝑠𝑖𝑛𝛼=

𝐶𝐴

𝑠𝑖𝑛𝛽

𝛽 = sin−1𝐶𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝐵𝐶

= 23º 53’ 13,2’’

𝐵𝐶

𝑠𝑖𝑛𝛼=

𝐴𝐵

𝑠𝑖𝑛

= sin−1𝐴𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝐵𝐶

= 38º 22’ 14,9’’

Por ultimo debe verificarse que la suma de los ángulos internos sea igual a 180º.

+ + = 14º 29’ 1,7’’ + 23º 53’ 13,2’’ + 38º 22’ 14, 9’’ = 76º 44’ 29,8’’ 180º

Se visualiza que la sumatoria no coincide con 180º. Sin embargo no se ha

cometido ningún error en los cálculos. El problema radica en que uno de los ángulos es

mayor a 90º y cuando se realiza la operación inversa seno la calculadora reduce el valor

a un ángulo del primer cuadrante. Puede verse en la Figura 6 que el valor del seno de un

ángulo de 45º es el mismo que el valor del seno de 135º (su complemento con 180º).

También un ángulo de 405º (360º + 45 º) ó de 495º (360º + 135º) tienen el mismo valor

de seno = 0,70711. Por lo tanto si se realiza la operación inversa seno de 0,70711 podría

ser resultado de tal operación 45º ó 135º ó 405º, etc. Existen infinitos valores angulares

cuyo seno produce un valor de 0,70711. La calculadora va a dar siempre el valor angular

mínimo que va a estar reducido en este caso al primer cuadrante (0 a 90º).

135º

45º

Figura 6: El seno de 45° y de 135° arroja el mismo valor

10

Debe entonces determinarse cuál de los ángulos es mayor a 90º. Si existe en el

triángulo un ángulo mayor a 90º evidentemente será el ángulo opuesto al lado mayor. En

el ejemplo citado, se trata evidentemente del ángulo , opuesto al lado AB que es el más

largo (ver Figura 5). El ángulo no es 38º 22’ 14,9’’ sino su diferencia con 180º =

180º - 38º 22’ 14,9’’ = 141º 37’ 45,1’’. Puede verificarse que el seno de 38º 22’ 14,9’’ es

igual al seno de 141º 37’ 45,1’’ = 0,620748.

Si se realiza nuevamente la suma de los tres ángulos se obtendrá:

+ + = 14º 29’ 1,7’’ + 23º 53’ 13,2’’ + 141º 37’ 45,1’’ = 180º

verificando así el cálculo correcto de los tres ángulos.

Determinación de la superficie por Herón

Puede ser necesario determinar la superficie de un triángulo. Podría aplicarse la

ecuación b . h / 2 (base por altura sobre 2) pero puede ser que no se conozca la altura del

triángulo. Así en el triángulo de la Figura 5, se conocen la longitud de los lados (que

podrían ser tomados como bases) pero se ignora cualquiera de las alturas. Ver Figura 7.

a

h =?

b

c

Figura 7: Cálculo de la superficie del triángulo

Si se conocen los tres lados del triángulo puede determinarse la superficie

aplicando el teorema de Herón que se enuncia de la siguiente manera

𝑆 = 𝑝. 𝑝 − 𝑎 . 𝑝 − 𝑏 . (𝑝 − 𝑐)

donde p = semiperímetro del triángulo

𝑝 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

siendo a, b y c la longitud de los lados del triángulo

De esta manera puede calcularse el área de un polígono midiendo los lados y las

diagonales para dividir al polígono en distintos triángulos. Luego, utilizando la

expresión de Herón, podrá determinarse la superficie de cada uno de los triángulos.

Problema

Se midieron los lados del pentágono ABCDE y sus diagonales (ver Figura 8 y

Tabla 4).

11

A B

E C

D

Figura 8: Pentágono del que se conocen sus lados y diagonales

Lado Longitud

AB 40,55m

BC 35,73m

CD 45,76m

DE 34,29m

EA 39,77m

Diag AC 55,62m

Diag AD 57,93m

Tabla 4: Planilla de medición de lados del pentágono ABCDE

Determinar los ángulos en cada vértice y la superficie total del polígono

Rta:

A 122º38’14’’ Triángulo Superficie

B 93º 24’ 57’’ ABC 723,14m2

C 115º 36’ 32’’ ACD 1187,34m2

D 105º 39’ 49’’ ADE 665,24m2

E 102º 40’ 28’’ Total 2575,72m2

Sumatoria 540 0ha 25a 76ca

Tabla 5 y Tabla 6: Ángulos y superficie resultante del polígono ABCDE

12

TEORÍA DE ERRORES

Introducción

La Topografía es una Ciencia en la que se efectúan mediciones

permanentemente. Todas las mediciones se encuentran afectadas por errores y el valor

exacto de una magnitud (distancia, ángulo, desnivel) nunca podrá ser hallado, dadas las

limitaciones sensoriales humanas (principalmente poder resolutivo del ojo) y de los

instrumentos que se utilizan para efectuar dichas mediciones. No obstante, aunque el

valor verdadero de una magnitud no pueda ser hallado, y los valores determinados con

las mediciones sean siempre aproximados, en las mediciones rara vez se busca llegar al

valor verdadero, sino que se acepta en las mismas pequeñas discrepancias o errores de

acuerdo a la finalidad de la medición. Así por ejemplo, si las mediciones que se realizan

de un determinado lote tienen como finalidad calcular su superficie para la compra de

insumos (semillas, fertilizante) que serán empleados en la implantación de un cultivo, el

error que se podrá cometer será mucho mayor que si el objetivo final de la medición

fuese el alquiler o la venta de dicha parcela. De esta manera, un determinado error puede

resultar aceptable para determinados objetivos e inaceptable para otros. Asimismo, la

aceptabilidad puede variar con la dimensión de la magnitud determinada. Por ejemplo,

un error de 10cm puede resultar inaceptable al medir una distancia de 130m con cinta de

agrimensor pero resulta totalmente aceptable si la distancia que se está cuantificando es

de 15000m. Lógicamente la tolerancia varía con el método e instrumental empleado en

la medición. Un error de 1m en 100m de distancia es una diferencia aceptable si se está

determinando dicha distancia a pasos, pero es inaceptable si se utiliza la cinta de

agrimensor. Para poder determinar cuando un error es considerado aceptable y cuando

no, es necesario el estudio de la teoría de errores.

Causas de los errores

El origen de los errores puede resultar de algunos de estos factores y/o de la

combinación de los mismos.

a) Humanos:

La capacidad de lectura de un operario sobre cualquier instrumento se encuentra

limitada por la resolución del ojo, por lo que lecturas inferiores a determinadas

magnitudes se vuelven irrealizables. Por ejemplo, mediciones en un plano de valores

inferiores a 0,2mm, apreciaciones inferiores al mm en una mira o de fracciones de grado

en el limbo graduado de una brújula.

b) Ambientales:

Las variaciones en la temperatura, humedad, refracción atmosférica, magnetismo

y otras condiciones ambientales pueden generar problemas durante la medición. Por

ejemplo, una cinta de agrimensor de 50m pudo haberse contrastado a 20ºC (es decir que

presenta los 50m de longitud a dicha temperatura) pero si durante una medición las

temperaturas son mayores o menores a 20ºC la cinta, por ser metálica, se dilatará o

contraerá con lo cual se acumularán errores por defecto o exceso respectivamente.

Asimismo, las condiciones de limpieza o enmalezado que presente el terreno a medir

facilitarán en menor o mayor medida la posibilidad de que la cinta sufra desviaciones

laterales o verticales con respecto a la verdadera línea de medición.

13

c) Instrumentales:

Los instrumentos que se utilizan tienen limitaciones en su graduación y también

pueden tener fallas constructivas que deriven en errores de medición. Por ejemplo, en

una cinta de agrimensor de 50m la menor graduación se corresponde con los 20cm, por

lo que para apreciar valores menores debe recurrirse a instrumental accesorio o a

estimaciones. Además, en algún momento la cinta puede haberse cortado y al repararla

puede haber quedado más corta o larga que los 50m originales, por lo que en cada

cintada se incurrirá en un error por exceso o defecto respectivamente.

Equivocaciones o errores groseros

Si bien vulgarmente se les puede llamar errores, en el ámbito de la Topografía no

se los considera como tal. Los operarios que realizan las mediciones por ser humanos

son falibles, se pueden equivocar. Las equivocaciones cometidas pueden estar dadas por

negligencia (distracciones) y/o cansancio luego de extensas jornadas de medición. Una

equivocación frecuente consiste en la transposición de números, por ejemplo en vez de

anotar el valor 567,95m, apuntar 576,95m. Otra equivocación frecuente surge de leer el

valor incorrecto en la cinta de agrimensor (en la cinta de agrimensor aparece la distancia

a ambos extremos de manija por lo que solo una de ambas es la válida en una medición

efectuada en un determinado sentido), así en lugar de leer 28m, puede leerse

incorrectamente 22m que es el valor en el lado opuesto de la cinta. Otra causa de

equivocación puede ser la incorrecta utilización del número de fichas del zaguero o

delantero en el cálculo de la medición del último tramo medido, que derivarán en

equivocaciones de 50m o más. Todas estas equivocaciones generan desvíos de tal

magnitud que invalidan las mediciones por lo que las mismas deben repetirse.

Precisamente, para asegurar la ausencia de equivocaciones en una medición se recurre a

repetir la misma una o más veces y realizar el contraste entre ellas.

Errores propiamente dichos

Son los considerados errores en el ámbito topográfico. Se clasifican en:

a) Errores sistemáticos:

Son debidos a alguna causa física cuantificable y siguen una ley físico-

matemática por lo que se pueden calcular y corregir. Mientras las condiciones del

sistema se mantengan constantes, los mismos se mantendrán constantes y se acumularán

por lo que se suelen denominar “acumulativos” (por poseer el mismo signo y valor). En

otras ocasiones pueden compensarse parcialmente. Una cinta de 50m a la que le faltan

2cm luego de haber sido empalmada ejemplificaría un error sistemático acumulativo, ya

que en cada cintada se sobreestimará la medición en 2cm. En este caso podría calcularse

la corrección sencillamente multiplicando dicho error sistemático por el número de

cintadas empleado en una medición. Un ejemplo de error sistemático variable es el del

error por dilatación en la cinta de agrimensor. Puede suceder que al determinar una

distancia se comience el trabajo a 15ºC y al finalizarlo la temperatura haya alcanzado los

25ºC. Los efectos de contracción y dilatación de la cinta habrán causado errores

sistemáticos en primera instancia por exceso y finalmente por defecto con lo cual los

errores sistemáticos se habrán compensado al menos parcialmente. Para la corrección de

14

este error sistemático debería conocerse la temperatura durante el período de medición y

el coeficiente de dilatación de la cinta utilizada.

b) Errores accidentales:

Son debidos al azar por lo que también se los llama aleatorios. Son los únicos

que son inevitables, ya que los sistemáticos pueden calcularse (debido a que responden a

leyes físicas) y compensarse. Pueden ser tanto positivos como negativos con lo que se

compensan parcialmente por lo que suelen llamarse también errores compensatorios. Un

ejemplo de estos errores es la estimación de la lectura del mm en una mira graduada al

cm. En determinadas ocasiones el operario estimará por exceso, y en otras por defecto.

Se distribuyen siguiendo las leyes de las probabilidades, con una distribución normal. Se

los suele clasificar en verdaderos y aparentes. Si se pudiese conocer el valor exacto (X)

de una determinada magnitud, su diferencia con una medición efectuada (xi) indicaría el

error verdadero de dicha medición

𝑒𝑖 = 𝑋 − 𝑥𝑖

Como el valor exacto de una magnitud no se puede conocer, tampoco pueden

determinarse los errores verdaderos y se recurre a la determinación del valor más

probable que resulta del cálculo de la media aritmética o promedio de una serie de

mediciones.

Media aritmética y desvíos

a) El valor más probable: La media

La expresión de cálculo de la media aritmética es

𝑋 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛=

∑𝑥1

𝑛

donde x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn representan los valores medidos en cada repetición y n es el

número de observaciones efectuadas.

b) Errores aparentes, desvíos o residuos

Recibe el nombre de residuo o también desvío (vi) la diferencia existente entre

cada una de las mediciones realizadas y el promedio calculado con las mismas. Su

expresión es:

𝑣𝑖 = 𝑋 − 𝑥𝑖

La media aritmética o promedio cumple con dos propiedades con respecto a los

desvíos:

a) anula la sumatoria de los desvíos: vi = 0 lo que puede comprobarse de la

siguiente manera

Si la media es

15

𝑋 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

y el valor de cada desvío es

𝑣1 = 𝑋 − 𝑥1

𝑣2 = 𝑋 − 𝑥2

𝑣𝑛 = 𝑋 − 𝑥𝑛

sumando las desvíos se obtiene que

𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛

𝑛− 𝑥1 +

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛

𝑛− 𝑥2 + ⋯ +

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛

𝑛− 𝑥𝑛

La fracción del término que se encuentra entre paréntesis (la media) se repetirá n

veces (tantas como observaciones se hayan realizado) resultando

𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛

𝑛 . 𝑛 − 𝑥1 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥𝑛

𝑣1 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 − 𝑥1 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥𝑛

demostrándose por lo tanto que vi = 0

b) minimiza la sumatoria de los cuadrados de los desvíos vi2 = mínimo

Si se graficasen los desvíos de una serie de mediciones en una diagrama de

distribución donde en el eje de abscisas se coloque la frecuencia de aparición () y en el

de ordenadas la magnitud del residuo (v) con su respectivo signo resultaría en una curva

de distribución normal o campana de Gauss como la que se observa en la Figura 9.

Figura 9: Curva de distribución normal de los residuos de una medición

Punto de

inflexión

16

Postulados de Gauss

Observando el diagrama de distribución normal de los desvíos, Gauss enunció

algunos postulados generales sobre la probabilidad de ocurrencia de errores.

a)el valor más probable corresponde a la media aritmética (el error más probable

es “0”)

b)la probabilidad de ocurrencia de un error es inversamente proporcional a su

magnitud (es más probable cometer errores de pequeña magnitud que errores de gran

magnitud)

c)los errores positivos y negativos de la misma magnitud tienen igual

probabilidad de aparición (obsérvese la simetría de la curva) con lo que se deduce que el

valor más probable es la media.

d)la probabilidad de que un error esté comprendido entre + y - es 1 (todos los

errores que se pueden cometer se encuentran comprendidos debajo de la curva ya que la

curva es asintótica al eje de las ordenadas).

Estos postulados fueron enunciados por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Este

brillante matemático estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la

probabilidad, llamada también por eso curva o campana de Gauss. También realizó

importantes aportes en la astronomía, la física (se lo considera uno de los padres de la

astrofísica), geodesia e invención (telégrafo eléctrico, magnetómetro). Durante su vida,

se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en

las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas

muy complicados de las ciencias físicas y naturales. Ha sido reconocido por los

alemanes como uno de los genios más brillantes de su historia a tal punto de que en el

billete de diez marcos aparecía su rostro acompañado con la famosa curva de

distribución normal (Ver Figura 10).

Figura 10: Billete de diez marcos con la imagen de Gauss

(obsérvese a la izquierda el detalle de la campana)

Medidas de dispersión

La dispersión de los errores cometidos en una serie de mediciones puede dar una

indicación acerca de la precisión relativa de estas medidas. Una de ellas es la dispersión

total, es decir la diferencia entre el máximo valor medido y el mínimo. Otras medidas de

17

dispersión son el error probable, el error medio aritmético, el error medio cuadrático

(desvío estándar) y el error medio del promedio (varianza).

a) Error probable

Es el que en se encuentra en el centro de una serie ordenada de errores cometidos

(sin considerar el signo), es decir que existen igual cantidad de errores mayores y

menores que el error probable. Esto implica que hay un 50% de probabilidades de que

el error cometido en una medición se encuentre entre -ep y +ep.

b) Error medio aritmético

Es el error promedio realizado en una serie de mediciones calculándose como

𝑒𝑎 =∑ 𝑣𝑖

𝑛

No se lo utiliza con tanta frecuencia como el error medio cuadrático.

c) Error medio cuadrático de una observación o desvío estándar

Se lo simboliza con la letra griega sigma () o con la letra “m”. Indica la

dispersión de un conjunto de observaciones representando un índice de la precisión de

una medición por lo que suele denominárselo “índice de precisión”. Se lo llama “de una

observación” pues refiere a cualquiera de las observaciones efectuadas ya que todas

merecen igual grado de fe. Su expresión de cálculo es

𝜎 = ∑𝑣𝑖

2

𝑛 − 1

En la Figura 9 puede verse que el valor corresponde con la abscisa del punto de

inflexión de la curva de distribución normal. Un conjunto de observaciones con un

desvío estándar pequeño representa una medición con una mayor precisión que otra serie

con un desvío estándar mayor, ya que los errores de la primera se encuentran menos

dispersos. Observando la Figura 11 puede verse el menor valor de de la curva superior

y la consecuente mayor concentración de los errores cercanos al valor “0”. Cabe aclarar

que una medición puede ser precisa y tener una exactitud baja. La exactitud representa la

aproximación de los valores medidos con los reales. Por ejemplo, si en una medición

lineal se utiliza una cinta con 49,97m y no se consideran los 3cm que le faltan para los

50m puede ocurrir que al medir una distancia se podría llegar a los valores 466,75m y

466,77m. Dichos valores son precisos pues la diferencia entre ellos, es decir la

dispersión, es pequeña, pero poco exactos por no considerar el error sistemático de

0,03m * 9 cintadas = 0,27m producto de utilizar una cinta más corta en la medición. La

precisión se podría calcular como 0,02/466,76 = 1/23338. La exactitud se calcularía

como 0,27/466,76 = 1/1729. Puede verse que si bien la precisión es elevada la exactitud

es baja. Por lo tanto en toda medición debe prestarse especial a ambos parámetros:

precisión y exactitud.

18

Figura 11: Distribuciones normales con distinta desviación estándar e igual media

En la Figura 12 se encuentra representado el % de área bajo la curva de

distribución normal entre errores de igual valor pero de signo contrario. Así, existe un

50% de probabilidad de que un error sea igual o inferior a 0,6745 (a este error se lo

denomina error probable y existe igual posibilidad de superarlo o no en una medición).

Un error equivalente o inferior al error cuadrático medio () tiene una probabilidad de

ocurrencia del 68,27%, uno equivalente o inferior a 2 una probabilidad del 95% y uno

de 3 un 99,7% de probabilidades. En la Figura 11 puede verse en sombreado el área

representando la probabilidad de ocurrencia de un error entre - y +, representando en

todas ellas un 68,27% del área total. El valor 3 es el más utilizado en Topografía como

criterio para rechazar mediciones individuales que superen dicho error. Expresado en

otros términos, el error 3 implica que en un conjunto de 1000 mediciones, sólo 3

superarían el error 3 (997 no lo superarían). Esto quiere significar que es muy poco

Punto de

inflexión

Punto de

inflexión

19

probable superar un error 3 si la medición ha sido correctamente realizada. En caso de

superarlo es muy probable que se esté en la presencia de una equivocación.

Error

Figura 12: Relación entre error y % debajo de la curva de distribución normal

d) Varianza o Error medio del promedio

Se lo designa con la letra “M”. Representa la precisión con que queda

determinada la media. Es el cuadrado del desvío estándar aunque generalmente se lo

calcula mediante la expresión

𝑀 =𝜎

𝑛

Puede verse que el error de la media varía en razón inversa de la raíz cuadrada

del número de repeticiones, por lo que para duplicar la exactitud (reducir el error a la

mitad) deben hacerse cuatro veces más repeticiones.

Ejemplo

Supóngase la realización de 2 series de 10 mediciones efectuadas por dos

comisiones de trabajo sobre una misma longitud. Los datos son volcados en la Tabla 7 y

en la misma se han calculado la media, los desvíos, el cuadrado de los desvíos y la suma

de los cuadrados.

20

Serie 1 Serie 2

Longitud (m) Residuo (v) v2 Longitud (m) Residuo (v) v

2

537,58 -0,10 0,01 537,75 0,01 0,0001

537,68 0,00 0,00 537,66 -0,08 0,0064

537,61 -0,07 0,0049 537,70 -0,04 0,0016

537,76 0,08 0,0064 537,74 0,00 0,0000

537,66 -0,02 0,0004 537,75 0,01 0,0001

537,68 0,00 0,0000 537,72 -0,02 0,0004

537,70 0,02 0,0004 537,92 0,18 0,0324

537,77 0,09 0,0081 537,73 -0,01 0,0001

537,64 -0,04 0,0016 537,71 -0,03 0,0009

537,72 0,04 0,0016 537,72 -0,02 0,0004

𝑋1 = 537,68

vi = 0

vi =0,46 v

2 = 0,0334 𝑋2

= 537,74 vi = 0

vi =0,40 v

2 = 0,0424

Tabla 7: Serie de 10 mediciones de una longitud realizada por 2 grupos de trabajo

La dispersión total puede calcularse como

vmáx1 - vmín1 = 0,09 – (-0,10) = 0,19 para la serie 1 y

vmáx2 - vmín2 =0,18 – (-0,08) = 0,26 para la serie 2

El error medio aritmético es

ea1 = vi / n = 0,46 / 10 = 0,046 para la serie 1 y

ea2 = 0,40 / 10 = 0,040 para la serie 2

En primera instancia pareciera ser que la serie 2 es más precisa pues el error

medio aritmético es menor pero como se ha expresado precedentemente el mejor índice

de precisión es el del error medio cuadrático.

El error medio cuadrático se calculará como

𝜎1 = 𝑣𝑖2

𝑛 − 1=

0,0334

9= 0,06𝑚 para la serie 1 y

𝜎2 = 0,0424

9= 0,07𝑚para la serie 2

21

Puede verse que es la serie 1 la que tiene mayor precisión ya que posee un menor

desvío estándar. Para verificar que todas las mediciones estén en el rango de error

aceptable debería calcularse el triple del error medio cuadrático resultando

máx1 = 31 = 3 . 0,06m = 0,18m para la serie 1 y

máx2 = 32 = 3 . 0,07m = 0,21m para la serie 2

Pueden compararse los valores de los desvíos obtenidos en cada una de las series

con estos desvíos máximos admitidos y se verifica que ninguno de los dos es superado.

No obstante puede advertirse el notable acercamiento al error máximo admitido (máx)

por parte de la séptima observación de la segunda serie (537,92 m) que discrepa en

0,18m de la media. La utilización de 3 como criterio para aceptar o no un error

cometido en una medición es válida cuando se realiza un gran número de observaciones.

En Topografía habitualmente se reiteran entre 2 y 4 veces las mediciones y

excepcionalmente 10 veces con lo que n resulta ser relativamente chico lo que sumado a

un desvío importante de la media (gran vi) elevado al cuadrado resultará en un

importante con lo que el valor 3 puede resultar muy permisivo. Por lo tanto, para poder

eliminar la observación 7 de la serie 2 debería recurrirse a aumentar el número de

observaciones de manera de aumentar n y disminuir lo que resultaría en un incremento

de los costos operativos. Suele recurrirse entonces a la utilización de alguno de los

siguientes criterios de eliminación

a)Criterio de la “exclusión provisoria”

Como su nombre lo indica consiste en eliminar provisoriamente la observación

que supuestamente contiene el error grosero y realizar los cálculos con los valores

restantes determinando promedio (𝑋 ), desvío estándar () y error máximo admisible

(3). Finalmente se compara el desvío de la observación supuestamente errónea con 3

debiendo ser inferior a dicho valor para considerársela aceptable.

En el ejemplo de la segunda serie se excluiría la séptima observación resultando

𝑋′2 =4839,48m

9= 537,72𝑚

’2 = 0,0064

8= 0,028𝑚 ≅ 3𝑐𝑚

Error máximo admisible = ’máx2 = 3 = 3 . 3 cm = 9 cm

Por lo tanto, al ser el desvío de la séptima observación (18cm) mayor que el error

máximo admisible (9cm), esta observación es excluida ya que se considera que se ha

cometido un error grosero en su determinación.

Si se procediera a excluir el primer valor de la serie 1 que es el que posee el

mayor desvío (10cm), se obtendría una media de 537,69m, un ’2 de 0,05m y un 3’2 de

22

0,15m lo que implicaría que ninguno de los valores observados (tampoco el primero)

deben ser excluidos de la serie.

El criterio de la exclusión provisoria si bien es eficaz puede resultar objetable ya

que puede incidir la impresión subjetiva del calculista al presumir que una observación

puede ser equivocada.

b)Criterio de Chauvenet

No requiere ninguna exclusión previa con lo que se elimina la impresión

subjetiva del calculista. Consiste en eliminar las observaciones cuyos desvíos tengan una

probabilidad de aparición inferior a 1/2n (donde “n” es el número de observaciones).

El error por lo tanto en cualquiera de las dos series debería tener una

probabilidad de aparecer de 1 −1

2𝑥10 = 0,95 = 95% que como se aprecia en la Figura 12

corresponde a 2. Por lo tanto el error máximo admisible será 2 . 0,06m = 12cm para la

serie 1 y para la serie 2 será de 2 . 0,07m = 14cm. En la serie 1 no hay ningún valor que

supere el error máximo admisible pero en la serie 2, la séptima observación supera dicho

valor con lo cual debe ser descartada.

Luego de descartar la observación 7 de la segunda serie, el nuevo desvío estándar

ha resultado ser ’2 = 3cm que comparado con el desvío estándar de la primer serie 1 =

6cm indica que la segunda es la de mayor precisión. El criterio de exclusión de la

séptima observación de la segunda serie ha variado el concepto original que sostenía que

la primer serie era la más precisa.

Por último la varianza o error medio del promedio será

𝐌𝟏 = 𝝈

𝒏=

𝟎, 𝟎𝟔𝒎

𝟏𝟎= 𝟎,𝟎𝟐𝒎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐞 𝟏 𝐲

M2 = 𝜎

𝑛=

0,03𝑚

9= 0,01𝑚 para la serie 2

Por lo que el resultado final podrá ser expresado como:

L1 = 537,68m +/- 2cm

L2 = 537,74m +/- 1cm

Para calcular la precisión o error relativo (Er) de la medición se relaciona el error

del promedio de la medición (varianza M) con la medida realizada (L).

Er1 = 𝑀

𝐿=

0,02𝑚

537,68𝑚≅

1

27000≅ 0,0037%

Er2 = 𝑀

𝐿=

0,01𝑚

537,74𝑚≅

1

54000≅ 0,0019%

23

Si posteriormente se realizase la medición de la longitud en cuestión con un

método mucho más preciso, que permitiese determinar la distancia en el orden del

milímetro y se encontrase que la longitud es 537,732 +/- 1mm. Si bien sigue sin

conocerse el valor exacto, este valor puede ser asumido como tal para las dos series de

mediciones realizadas anteriormente debido a que su precisión es muy superior. Con

estos datos puede calcularse entonces la exactitud de cada serie de mediciones de

acuerdo a la ecuación

Ex1 =537,68m – 537,732m

537,732m=

−0,052m

537,732m≅ −

1

10000

Ex2 = 537,74m – 537,732m

537,732m=

−0,008m

537,732m≅ −

1

67000

Puede observarse que la serie 2 es más exacta además de ser más precisa. En

general, cuanto mayor es la precisión, mayor es la exactitud (salvo que no se tengan en

cuenta errores sistemáticos que podrían desplazar al promedio del valor verdadero). Una

elevada exactitud en cambio, siempre es sinónimo de una gran precisión.

Propagación de errores

Habitualmente con las mediciones realizadas se efectúan cálculos. Así, con la

longitud de los lados de un polígono se puede calcular su perímetro, o su superficie si se

han determinado también los ángulos internos. Como cada una de las mediciones

efectuadas no es exacta y contiene errores, es esperable que las magnitudes calculadas

también los posean. La propagación de errores consiste en la determinación del error

cometido en un cálculo de una magnitud a partir de valores medidos que contienen

errores.

a) Error de una suma

Refiere al error que tendrá un valor calculado a partir de la suma de magnitudes

medidas, cada una de las cuales posee un error determinado.

En esta situación se verifica que cada una de las longitudes poseerá un error (s)

equivalente a la suma de los errores cometidos durante la misma (a, b, c).

s1 = a1 + b1 + c1 +....

s2 = a2 + b2 + c2 +....

sn = an + bn + cn +....

Elevando al cuadrado cada miembro quedará

s12 = a1

2 + b1

2 + c1

2 + .... + 2 . a1 . b1 + 2 . a1 . c1 + 2 . b1 . c1 + …

s22 = a2

2 + b2

2 + c2

2 + .... + 2 . a2 . b2 + 2 . a2 . c2 + 2 . b2 . c2 + …

sn2 = an

2 + bn

2 + cn

2 + .... + 2 . an . bn + 2 . an . cn + 2 . bn . cn + …

Si se suma miembro a miembro y se divide por el número de sumandos n para

pasar a errores medios se obtiene

24

𝑠2

𝑛=𝑎2

𝑛+𝑏2

𝑛+𝑐2

𝑛+ ⋯ + 2.

productos binarios

𝑛

De acuerdo al tercer postulado de Gauss a cada error positivo se opone otro igual

negativo. Debido a esto, al agruparse de a dos de todas las maneras posibles, la suma de

los productos binarios tiende a anularse. Llamando c, ac, bc y cc a los errores medios

cuadráticos de la suma y de los sumandos queda

c2

= ac2 + bc

2 + cc

2 + …

Resultando el error medio cuadrático (desvío estándar) de la suma igual a

𝜎𝑐 = 𝑎𝑐2 + 𝑏𝑐

2 + 𝑐𝑐2 + ⋯

Un ejemplo sería el cálculo del perímetro de un polígono en el que se emplea la

longitud de cada lado en la determinación del mismo.

Ejemplo: Debe calcularse el perímetro de un triángulo a partir de la medición de

sus lados a (722,66m +/- 0,10m), b (539,21m +/-0,15m) y c (611,44m +/- 0,13m) y

también el desvío estándar esperado en la misma.

L = a + b + c = 722,66m + 539,21m + 611,44m = 1873,31m

Esum = +/- 0,102 + 0,152 + 0,132 = +/- 0,22m

L = 1873,31m +/- 0,22m

b) Error de una serie

Es un caso semejante al de la suma, solo que cada una de las magnitudes

utilizadas posee un error semejante. Por lo tanto, la ecuación utilizada para el cálculo del

error de la serie es

Eserie = +/− Ea2 + Eb2 + Ec2 + . . . + En2

Como Ea = Eb = Ec = .... = En

Eserie = ± n . E2 = ±E 𝑛

Este concepto es utilizado en el cálculo del error de la media (varianza) de un

conjunto de mediciones ya que para el mismo se utiliza un mismo método y el error de

cada observación se presume que es el mismo e igual a .

𝐸𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =Eserie

𝑛=

𝑛. 𝜎2

𝑛=

𝜎. 𝑛

𝑛= 𝜎 𝑛

12−1 = 𝜎 𝑛 −

12 =

𝜎

𝑛

25

𝐸𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑀 =𝜎

𝑛

También es utilizado en el cálculo de la tolerancia de cierre angular, pues en la

determinación de los ángulos de una poligonal los errores que se cometen en la medición

de cada ángulo se consideran semejantes.

Ejemplo: Al medir una distancia de 100m con el método del paso regular se

comete un error de aproximadamente 1m. Debe determinarse cual será el error al medir

una distancia de 2500m con este método.

𝐸𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 = ±𝐸 𝑛 = ±1𝑚 25 = ±5𝑚

c) Error de un producto

Al multiplicar dos magnitudes medidas a y b, cada una de ellas con su respectivo

error ea y eb, para el cálculo de una tercer variable, se propagará el error de acuerdo a la

ecuación

Eprod = ± 𝑎2. 𝑒𝑎2 + 𝑏2 . 𝑒𝑏

2

Ejemplo: para el cálculo de la superficie de una parcela rectangular se han

medido sus lados con sus respectivos errores resultando a = 195,62m +/- 0,06m y b =

428,33m +/- 0,04m. Debe calcularse la superficie y el error esperado en el área. En la

Figura 13 puede verse un esquema de lo expresado, las barras verticales representan el

error en b (la izquierda el error negativo y la derecha el positivo), mientras que las

horizontales el error en a (la superior el negativo y la inferior el positivo).

b

a

Figura 13: Propagación del error en el cálculo de una superficie

Por ser un rectángulo para calcular el área se utiliza

S = a . b = 195,62m . 428,33m = 83790m2

Para calcular el error

26

Eprod = ± 𝑎2. 𝑒𝑎2 + 𝑏2. 𝑒𝑏

2 = 195,622. 0,062 + 428,332 . 0,042

Eprod = +/- 20,76m2

Por lo tanto la superficie se puede expresar como

S = 83790 +/- 20,76m2

o bien

S = 83769m2 a 83811m

2

Error máximo admisible ó Tolerancia

Los errores que se cometen en las mediciones son comparados con la tolerancia

que es el máximo error admitido en una medición con un instrumental dado y en

determinadas condiciones de medición. Cuando el error que se comete en una

determinada medición supera el valor de la tolerancia, se considera que en la medición

se han efectuado errores groseros o equivocaciones, por lo que la medición debe ser

repetida. Por esto, se vuelve muy importante el cálculo del error y de la Tolerancia a

campo, antes de regresar de una tarea de levantamiento, pues de detectarse el error en

gabinete se incurriría en gastos extra de tiempo y dinero para retornar al lugar de

medición y realizarla nuevamente. En caso de que el error cometido sea inferior a la

Tolerancia la medición se considerará aceptable y el error se podrá compensar de

acuerdo a reglas específicas para cada tipo de operación. Las expresiones de tolerancia

correspondientes a cada tipo de medición serán analizadas en las secciones vinculadas a

cada una de ellas.

Problema

De dos series de medición realizadas con cinta de agrimensor debe calcularse

para cada una de ellas el valor más probable, el error medio aritmético, el error medio

cuadrático (desvío estándar) y el error de la media (varianza). Asimismo debe

determinarse cual de las dos series es más precisa y si existen valores que deben ser

eliminados de acuerdo al criterio de Chauvenet. Si así ocurriese, deberían recalcularse

todos los parámetros para poder comparar las series.

Serie 1 Serie 2

Longitud (m) Residuo (v) v2 Longitud (m) Residuo (v) v

2

1286,55 1286,60

1286,53 1286,52

1286,49 1286,49

1286,45 1286,62

1286,49 1286,58

1286,57 1286,46

1286,53 1286,54

1286,55 1286,51

27

1286,46 1286,61

1286,57 1286,35

X1 = vi = 0

vi = v

2 = X2 =

vi =

vi = v

2 =

Tabla 8: Problema propuesto de errores

1 = 2 =

M1 = M2 =

28

ESCALAS

Definición e importancia

Uno de los objetivos de la Topografía es representar una porción de terreno con

todos sus detalles. Para poder hacerlo en un plano de dimensiones considerablemente

menores a las del terreno que se desea representar es necesario recurrir a la utilización de

escalas. La escala es una relación de magnitud lineal entre las medidas del plano y las

del terreno. La escala en un plano se indica con la letra E y se expresa generalmente

mediante una fracción o cociente en el cual el numerador (generalmente igual a 1)

representa la magnitud del plano y el denominador (generalmente un numero entero y

múltiplo de 10) indica el valor que corresponde al terreno. Por ejemplo:

𝐸 =1

𝐷=

1

2000= 1: 2000

(D = Denominador de la escala)

Esta escala 1:2000 está indicando que las magnitudes lineales en el terreno son

2000 veces más grandes que en el plano. Obsérvese que la escala es adimensional (la

unidad del numerador es la misma que la del denominador y por lo tanto el cociente es

adimensional). Para la escala en cuestión puede decirse que 1cm del plano representa

2000cm en el terreno. También es válido decir que 1m del plano son 2000m del terreno

y la relación de magnitudes se mantiene.

Generalmente se efectúan dos operaciones al trabajar con escalas:

-interpretar un plano que está construido a una cierta escala

-construir un plano a una determinada escala

Cuando se quiera conocer cual es la magnitud en el terreno que representa una

distancia medida en un plano será suficiente con multiplicar la distancia medida por el

denominador de la escala. Así, una distancia de 15,6cm medida en un plano a escala

1:1000 representa una distancia en el terreno de 15,6cm . 1000 = 15600cm = 156 m.

Si se está construyendo un plano a una determinada escala y se desea conocer

que distancia en el plano deberá representarla será suficiente con dividir la distancia del

terreno por el denominador de la escala. Si se debe representar un lado AB de longitud

124,48m en un plano a escala 1:500 la distancia en el plano será igual a 124,48m / 500 =

0,249m = 24,9cm.

Se considera que cuando mayor es el denominador de la escala menor es la

misma y por lo tanto mayor es la reducción con respecto al tamaño original. Así, una

escala 1:1000 es mayor que una escala 1:5000. Una misma distancia del terreno se verá

5 veces más reducida en un plano construido a escala 1:5000 que en un plano a escala

1:1000.

Problema

¿Cuántos cm medirá el perímetro de un polígono de 5 lados en un plano a escala

1:2000 si las medidas de sus lados en el terreno son las siguientes: AB = 254,78m; BC =

138,89m; CD = 155,93m; DE = 97,26m; EA = 68,66m? Rta: 35,8cm

29

Relación de superficies

Al definir escala se dijo que era una relación de magnitud lineal. Esto implica

que relaciona distancias. Si se pretende relacionar superficies del terreno y del plano

debe tenerse en cuenta cierta salvedad. Suponiendo que se tiene un plano a escala

1:5000, 1cm en ese plano representa 5000cm del terreno y 1cm2 (que sería un cuadrado

de 1cm x 1cm) representará 5000cm x 5000cm = 25000000cm2 = 2500m

2 en el terreno.

Puede advertirse que la relación entre las superficies del plano y del terreno están dadas

por el cuadrado de la escala.

𝑠

𝑆= 𝐸2 =

12

50002=

1

25000000

donde s = superficie en el plano y S = superficie en el terreno

Problema

Se determinó la superficie de una laguna en una carta a escala 1:50000 con un

planímetro polar arrojando un valor de 23,45cm2. ¿Cuántas hectáreas ocupa la laguna?

Si la misma se encuentra en un campo de forma rectangular cuyos lados miden sobre la

carta 8,3cm por 7,5cm ¿qué porcentaje de dicho predio ocupa la laguna? Rta: Sup

laguna: 586ha 25a Sup campo: 1556ha 25a Porcentaje del campo ocupado por la

laguna: 37,7%

Escalas gráficas

Para evitar realizar cálculos permanentemente al leer cartas o mapas construidos

a escala suelen incorporarse en los mismos escalas gráficas (Figura 14). El modo de

proceder es el siguiente: se hace coincidir la longitud de la distancia incógnita con la

abertura de los brazos de un compás, luego se coloca una de las puntas del compás en

una unidad entera de la escala gráfica (por ejemplo 100, 200 ó 300) de manera que el

otro extremo se encuentre en el sector izquierdo de la escala (donde se encuentran las

divisiones pequeñas). Así, si uno de los extremos se encuentra en el valor 200 y el otro

extremo está entre la tercera y cuarta división de la graduación pequeña, el valor de la

distancia será aproximadamente de 230-240m estimándose el valor del metro según se

encuentre más cerca de una u otra división. Si no se posee un compás puede utilizarse un

papel donde se marcará la distancia incógnita comparándola luego con la escala gráfica

de modo similar al compás.

100 0 100 200 300

Figura 14: Escala gráfica

30

VACILACIÓN PLANIMÉTRICA

Cuando se interpreta un plano y se realizan mediciones en el mismo con el objeto

de conocer las dimensiones de lo que está representado se cometen errores de lectura

debidas a las limitaciones propias del sistema óptico. Para conocer el valor de esos

errores o indeterminaciones se estudiará brevemente cómo está formado el ojo humano y

cual es su poder resolutivo.

Poder resolutivo del ojo humano

En la Figura 15 pueden verse algunos de los componentes esenciales del ojo.

Retina Cristalino

Conos x

d = 1,5cm D = 30cm

Figura 15: Capacidad de un ojo para distinguir dos puntos cercanos

El ojo posee una “lente” denominada cristalino que recibe la imagen y la

proyecta sobre una “pantalla” denominada retina que está formada por células sensibles

denominadas conos y bastones. Los conos ocupan la parte central de la retina y son los

responsables de percibir las imágenes mientras que los bastones ocupan la parte

periférica y son responsables de percibir la tonalidad y la intensidad de la luz. Para que

dos puntos que se encuentren en un plano puedan ser distinguidos por el ojo como

puntos distintos es necesario que el cristalino proyecte las imágenes de ambos puntos

sobre conos diferentes. Si dos puntos están tan cerca que el cristalino los proyecta sobre

un mismo cono esos dos puntos no serán percibidos como tal sino como un solo punto.

Conociendo la distancia que separa el cristalino de la retina (1,5cm) y conociendo la

distancia entre dos conos vecinos (4μ = 0,004mm) puede calcularse cual es el menor

ángulo que puede resolver el ojo humano.

tan 𝛼 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑛𝑎 − 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑜

𝛼 = tan−10,0004𝑐𝑚

1,5𝑐𝑚

= 0º00’55’’ 1’

Sabiendo ahora cual es el ángulo que puede resolver el ojo humano y conociendo

la distancia óptima de visión distinta (distancia a la cual el ojo consigue la mejor

31

resolución y enfoque) puede calcularse cual es la distancia mínima que puede percibir el

ojo.

tan 𝛼 =𝑥

𝐷

tan 𝛼. 𝐷 = 𝑥

x = tg 1’ . 30 cm

x = 0,0087 cm 0,01 cm = 0,1 mm

Como las distancias que se han mencionado pueden variar de acuerdo a la

anatomía del ojo de cada individuo se toma como poder resolutivo general el valor de

0,2mm. Puede considerarse por lo tanto que dos puntos que estén a una distancia menor

a 0,2mm el ojo no los podrá ver como puntos diferentes debido a que las imágenes de

ambos puntos serán proyectadas en un mismo cono en la retina, mientras que sí lo hará

cuando la distancia sea mayor a 0,2mm (los puntos serán proyectados en conos

diferentes).

Vacilación planimétrica

La vacilación planimétrica resulta de relacionar el poder resolutivo del ojo con la

escala del plano de la siguiente manera:

s = 0,2mm . D

donde s es la vacilación planimétrica y D el denominador de la escala.

La vacilación planimétrica será en consecuencia la indeterminación de la

distancia en el terreno debida a una indeterminación en la distancia en el plano como

consecuencia de la resolución del ojo. Para un plano a escala 1:1000 la vacilación

planimétrica será s = 0,2mm . 1000 = 200mm = 20cm. Una distancia del terreno

calculada a partir de la medición en un plano a escala 1:1000 puede variar en +/- 20cm

de la distancia real. Quiere decir también que si se va a construir un plano a escala

1:1000 puede cometerse un error en la medición de una distancia de hasta 20cm en el

terreno que cuando se vaya a representar en el plano, ese error va a reducirse tanto que el

ojo no lo va a poder apreciar.

Ejercicio

Determinar la máxima distancia a la cual se pueden levantar puntos con una

escuadra de prismas de vacilación angular de 15’ (Figura 16) si se va a construir un

plano a E 1:2000

La vacilación planimétrica para construir el plano a escala 1:2000 será

s = 0,2mm . 2000 = 400mm = 40cm

Por lo tanto el error que podrá cometerse en el campo será de 40cm.

32

B

c’

E c

D c’

A

Figura 16: Variación en la posición de un punto producto de la vacilación angular

Obsérvese que cuanto más alejados se encuentren los puntos del pie de la

perpendicular (ubicado en E) mayor será el error cometido debido a la vacilación

angular de 15’ del pentaprisma. Dicho error se encuentra representado en el esquema

como el segmento c-c’. Este segmento constituye el error que no puede superar los 40cm

ya que se va a representar a escala 1:2000.

Aplicando la función tangente puede determinarse la distancia máxima a la que

pueden levantarse perpendiculares.

tan 15′ =𝑐𝑐′

𝐷𝑚á𝑥

𝐷𝑚á𝑥 =𝑐𝑐′

tan 15′

𝐷𝑚á𝑥 =40𝑐𝑚

tan 15′

𝐷𝑚á𝑥 = 9167,26𝑐𝑚 = 91,7𝑚

Problema

Se desea levantar perpendiculares a una distancia máxima de 50m de un

determinado eje que más tarde se va a representar en un plano a escala 1:1000. ¿Cuál

será la vacilación angular máxima que podrá tener la escuadra a utilizar?. Rta: 13’45’’

33

ALINEACIONES

Las alineación es el procedimiento mediante el cual se materializa una recta o

dirección sobre el terreno.

Para efectuar esta operación se emplean jalones. Los jalones son señales que

pueden ser de madera (de sección octogonal) o metálicos (de sección cilíndrica). Los

jalones de madera poseen una punta metálica denominada regatón que permite hincar al

mismo en el suelo. En lugares donde los mismos no pueden clavarse en el suelo porque

éste es muy duro se utilizan dispositivos especiales que los sostienen (Figura 18). La

principal función de estas señales es precisamente que se puedan visualizar desde lejos

para lo cual vienen pintados alternativamente con colores llamativos (rojo y blanco o

negro y blanco) que puedan contrastar contra un fondo claro u oscuro. Las franjas de

colores poseen un ancho de 25-50cm y el largo total de estas señales es de 2 a 3m. Estas

franjas cada 25cm permiten también medir aproximadamente una distancia corta. El

grosor de los jalones oscila entre los 2 y 3,5cm por lo que se visualizan fácilmente hasta

aproximadamente 200m dependiendo de las condiciones de visibilidad. Para facilitar su

visualización desde distancias mayores suele atársele en el extremo superior una

banderita.

Figura 17: Jalón pintado con colores

alternativos, dividido en tramos

Figura 18: Elemento de sostén para

suelos duros

Las alineaciones son necesarias en el momento de construir un alambrado o una

línea de monte frutal o forestal. En estas situaciones se busca que las mismas queden

formando rectas.

Las alineaciones se clasifican en:

a)Alineación desde el extremo

a1)Relleno

a2)Prolongación

b)Alineación desde el centro

34

a)Alineación desde el extremo

a1)Relleno

Sean dos puntos A y B materializados en el terreno por dos jalones colocados

verticalmente sobre los mismos se desea colocar entre ambos un tercer jalón sobre la

línea que los contiene. Para conseguirlo un operador se coloca con un jalón

aproximadamente en la mitad del lado AB (punto 1 de la Figura 20) y observa las

indicaciones de otro operador (alineador) que se encuentra observando desde el jalón

ubicado en A. El alineador puede ver cual es la dirección que contiene a los jalones A y

B y le señalará claramente con indicaciones manuales al operador que está con el jalón

en el medio si debe desplazarse hacia izquierda o derecha (puntos 2, 3, 4 y 5 de la Figura

20) para finalmente conseguir colocar el jalón sobre la línea AB. Una vez hallado ese

punto le indicará que clave el jalón y por último le señalará que lo verticalize en caso de

que éste hubiese quedado inclinado.

A B

Figura 19: Relleno (vista en corte)

1

3

5

A B

4

2

Figura 20: Relleno (vista en planta)

a2)Prolongación

Sean dos puntos A y B materializados en el terreno por dos jalones colocados

verticalmente sobre los mismos, se desea prolongar la línea que forman estos puntos

colocando un tercer jalón sobre la misma. Esta operación la puede efectuar un solo

operario (autoalineación) ya que puede visualizar los jalones en A y B al mismo tiempo

y colocar el tercer jalón sobre dicha línea (punto 1 de la Figura 21).

A B 1

Figura 21: Prolongación de la línea AB colocando un jalón en 1 (planta)

35

b)Alineación desde el centro Este tipo de alineación se emplea cuando no es posible ubicarse detrás de los

puntos A y B porque existen obstáculos como construcciones (Figura 22) o bien en el

centro existe un obstáculo (duna, médano) que imposibilita la intervisibilidad de A y B

(Figura 23). Para poder efectuar la alineación se trabaja entre dos operarios que van

alineándose mutuamente (Figura 24). El operador que está inicialmente en D1 alineará al

que está inicialmente en C1 con respecto al jalón en A y este último alineará al que está

en D1 con respecto al jalón en B. Comienza el que está en D1 y le indica al que está en

C1 que se desplace hasta ubicarse en la línea formada por A, C2 y D1. A continuación el

que está en C2 le indica al que está en D1 que se desplace hasta encontrarse en la línea

que contiene a C2, D2 y B. Nuevamente le corresponde alinear al que está en D2 y al que

está en C2 le corresponde ser alineado. Con este procedimiento de alineaciones sucesivas

los operadores se van aproximando a la línea AB. Llega un momento en que uno de los

operadores (el que fue alineado en último término) va a alinear a su compañero y

advierte que el mismo está sobre la línea. Esto ocurre cuando se ha alcanzado la

alineación definitiva y los jalones en C4 y D4 se encuentran en la línea que contiene a A

y B. La alineación ha finalizado.

A B

Figura 22: Imposibilidad de la alineación desde el extremo (planta)

C

D

A B

Figura 23: Alineación desde el centro (vista en corte)

C1 D1

C2

D2

C3 D3

A C4 D4 B

Figura 24: Alineación desde el centro (vista en planta)

36

MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS

Dentro de las operaciones de medición que se pueden realizar en trabajos

topográficos se tienen la medición de ángulos (Angulometría), la medición de alturas o

desniveles (Altimetría) y la medición de distancias (Longimetría).

Los métodos de medición de distancias se clasifican en dos grupos:

-Métodos de medición directa

-Métodos de medición indirecta

Los métodos de medición directa son aquellos en los que debe recorrerse la

distancia a medir y compararla con la medida patrón utilizada para efectuar la medición.

En los métodos de medición indirecta no es necesario recorrer la distancia incógnita.

La medición directa de distancias puede ser expeditiva (medición a pasos y

odómetro) o regular (medición con cinta).

Métodos expeditivos

Se caracterizan por tener una precisión limitada y por lo tanto solo podrán ser

utilizados cuando no se requiera demasiada precisión en la determinación de la distancia.

Medición a pasos

La medición de una distancia a pasos consiste en recorrer la distancia incógnita

contando los pasos empleados en hacerlo ya sea mentalmente o con la ayuda de un

contador. Previamente se deberá haber calibrado el paso (determinar la longitud de cada

paso) contando el número de pasos necesarios para recorrer una distancia conocida.

Normalmente una persona recorre su estatura con dos pasos. Tanto al calibrar el paso

como al recorrer la distancia incógnita se debe caminar normalmente, sin forzar el paso

para que éste sea más largo o corto. El error de este método es aproximadamente del 1%,

es decir que en 100m puede existir un error de aproximadamente +/-1m.

Problema

Una persona calibró su paso recorriendo dos veces una distancia de 50m. En la

ida empleó 65 pasos y en la vuelta 64,5. Luego recorrió la distancia que deseaba conocer

empleando 459 pasos en la ida y 461 en la vuelta. ¿Cuál es la distancia incógnita? Rta:

355m.

Odómetro

Consiste en una rueda que se hace girar por la distancia a medir y que tiene un

contador de vueltas (tacómetro) que señala el número de vueltas empleado o bien

directamente el valor de la distancia recorrida. Si el valor señalado es el del número de

vueltas, sabiendo que una rueda al dar una vuelta recorre su perímetro igual a 2 . . r ó

bien . d (siendo “r” el radio y “d” el diámetro de la rueda) la distancia total recorrida

será igual a:

𝐷 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝑛

siendo n el número de vueltas empleado

37

Problema

Calcular la distancia que resultó de emplear un odómetro con diámetro de rueda

igual a 30cm si el número de vueltas empleadas fueron 497,6. Rta: 469m

Figura 25: Odómetro con su totalizador Figura 26: Utilización de un odómetro

Método regular

Se caracteriza por tener una precisión mucho mayor que la de los expeditivos.

Medición con cinta Las cintas de medición consisten en flejes con graduaciones múltiplo y

submúltiplo del metro. Existen dos tipos de cintas

Cinta ruleta

Es una cinta pequeña, que puede tener de 25 a 30m y se utiliza para determinar

distancias cortas. Puede ser metálica o de material plástico, se encuentra graduada al mm

y se aloja dentro de una caja circular.

Figura 27: Cintas ruleta

Cinta de agrimensor o de tambor

Consiste en un fleje de acero de generalmente 50m (las hay también de 100m).

Se encuentra dentro de un tambor metálico circular (de allí su nombre) del cual se extrae

totalmente cuando va a ser utilizada (Figura 30). Presenta 3 tipos de graduaciones: a)

cada 2 metros remaches elípticos de bronce que marcan los metros pares y en los que

38

figuran la distancia a ambos extremos de la cinta (de uno y otro lado de la cinta), b) en

los metros impares remaches circulares (sin valores) y c)cada 20 cm remaches circulares

más pequeños que las de los metros impares (Figura 28). Por lo tanto la menor

graduación de esta cinta son los 20cm pudiéndose determinar la fracción menor por

estimación o mediante la utilización de una cinta ruleta.

36 38

20 cm

Figura 28: Esquema de la cinta de agrimensor

La cinta posee en cada extremo una manija, siendo la distancia total la existente

entre la cara interna de una manija y la externa de la otra (Figura 29).

50 m

Figura 29: Distancia total de la cinta (entre caras interna y externa de manijas)

Las cintas más modernas son de fibra de vidrio, se encuentran graduadas al mm y

no se extraen totalmente del arnés que las contiene (Figura 31).

Figura 30: Cinta de agrimensor metálica Figura 31: Cinta de agrimensor de fibra de

vidrio

Procedimiento a seguir al utilizar la cinta de agrimensor

Antes de efectuar la medición se deben colocar jalones en los extremos de la

distancia a medir como también jalones intermedios si es que la distancia fuese tan larga

que dificultase la visibilidad de los jalones extremos. La colocación de los jalones tiene

por objeto marcar la línea por la cual se debe realizar la medición sin desplazarse a uno u

39

otro lado de la misma para evitar el error por falta de alineación. Si se incurriese en este

error se cometería un error por exceso (la distancia medida sería mayor a la verdadera).

Figura 32: Marcación con jalones de una distancia AB a medir con cinta

La operación de medición se realiza mediante dos operadores llamados delantero

y zaguero. Estos operarios cuentan (además de la cinta totalmente extraída del tambor)

con un juego de dos aros con once fichas. Al iniciar la operación el zaguero se queda

con uno de los aros y una ficha y el delantero con el otro aro con las diez fichas

restantes. El zaguero clava su única ficha en uno de los extremos de la distancia a medir,

coloca dentro de la ficha una de las manijas de la cinta y la pisa. El delantero se dirige

con la otra manija al otro extremo de la distancia a medir guiándose por los jalones

colocados. Cuando haya recorrido la distancia que tiene la cinta, la tensará y la alineará

ayudándose por señas que le haga oportunamente el zaguero. Una vez tensada y alineada

la cinta colocará una de sus diez fichas en el borde externo de la manija, le hará señas al

zaguero quien levantará la única ficha que tenía, la colocará en su aro y se dirigirá al

lugar en que el delantero dejó la primer ficha. Allí colocará la manija de la cinta dentro

de la ficha que dejó el delantero y se repetirá la operación. De esta manera el zaguero irá

juntando las fichas que va dejando el delantero y las irá colocando en su aro. Cuando el

delantero coloque su décima ficha, se habrá quedado sin fichas en su aro y en ese punto

se habrán recorrido 10 fichas . 50m = 500m. El zaguero en cambio habrá ido juntando

las fichas que dejó el delantero y tendrá 10 en su aro. En ese lugar, delantero y zaguero

intercambian los aros, y nuevamente el delantero se lleva el aro con 10 fichas y el

zaguero se queda con el aro vacío y con la ficha que quedo clavada en los 500 m. Esta

operación se repite hasta que se llega al otro extremo de la distancia a medir. Finalmente

la distancia total medida resulta igual a:

𝐷 = 𝑁. 500𝑚 + 𝑛 − 1 . 50𝑚 + 𝑓

Donde N = número de veces que intercambiaron los aros los operadores (“tiros”)

n = número de fichas en el aro del zaguero al concluir la medición

f = fracción de la última cintada hasta llegar al extremo de la distancia (0 –50m)

40

Nótese que al número de fichas que tiene el aro del zaguero al concluir la

medición se le resta una debido a que al comenzar la misma el zaguero poseía una ficha

en su aro.

La medición se efectúa de ida y de vuelta con el fin de eliminar errores groseros.

(como contar una ficha de menos).

La diferencia entre la medición de ida y de vuelta será el error cometido y el

mismo no deberá superar el error máximo admisible o tolerancia para este tipo de

medición que se calcula mediante la expresión

𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3𝐿 + 0,0005𝐿2

Siendo L la longitud medida (media de la medición de ida y la de vuelta)

expresada en m. Si la diferencia entre la medición de ida y la de vuelta (error) no supera

la tolerancia se considerará que no se cometieron errores groseros y que la medición por

lo tanto es válida. En caso contrario (error mayor a la tolerancia) se habrán cometido

errores groseros y deberá efectuarse nuevamente la medición.

Problema Se midió una distancia AB con cinta de agrimensor. En la medición de ida los

operadores intercambiaron 4 veces los aros y al zaguero le quedaron 7 fichas en su aro.

La fracción de la última cintada fue de 24,85m. En la medición de vuelta el resultado fue

semejante solo que la última cintada fue de 24,22m. ¿Cuál es la distancia AB? ¿Cuál es

el error cometido? ¿Cuál es la tolerancia? ¿La medición fue bien hecha? ¿Se debe medir

nuevamente? Rta: AB: 2324,54m. Error: 0,63m. Tolerancia: 0,87m. La medición fue

bien hecha. No se debe medir nuevamente.

41

FUNDAMENTOS GENERALES DE LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE

DISTANCIAS

Introducción

Existen métodos que permiten obtener el valor de una distancia midiendo el

tiempo que tarda en recorrerla un tren de ondas electromagnéticas. Para ello se utilizan

instrumentos denominados distanciómetros, habitualmente designados con la sigla

IEMD (Instrumentos Electrónicos para la Medición de Distancias). El principio de

funcionamiento de los distanciómetros es el siguiente: emiten una radiación de longitud

de onda y velocidad de propagación conocidas que se refleja en el otro extremo de la

línea a medir; la onda reflejada es recibida nuevamente en el aparato emisor donde se

determina el desfase entre ondas emitidas y recibidas que será proporcional al tiempo

empleado por la luz en recorrer esa distancia.

Estos métodos permiten medir distancias sin la necesidad de recorrerlas (métodos

de medición indirecta), obviando los obstáculos que pudieran presentarse en el recorrido.

Se pueden medir distancias relativamente grandes (10-20km) en escasos segundos.

Principio matemático

Dada la ecuación:

D = v x t donde: D = distancia a medir

v = velocidad de la radiación en el medio

t = tiempo

Figura 33: Utilización de un distanciómetro para la determinación de la distancia AB

Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz en el vacío es una constante

conocida igual a 300000km/s se puede aproximar la velocidad de propagación en el

medio a ésta. Así, el distanciómetro cumpliría la función de reloj, midiendo el tiempo

desde que la onda sale hasta que regresa.

Haz de luz modulado Retro-reflector Distanciómetro

Receptor

Transmisor

Haz de luz reflejado

B A

42

Considerando dos puntos A y B, ubicados en los extremos de la línea a medir, se

ubica en A al emisor y desde éste se emite la radiación que se refleja en B y finalmente

se recibe en A. Como se observa en la Figura 33 la onda recorre dos veces la distancia a

medir (camino de ida y de vuelta) por lo que la ecuación para la determinación de la

distancia será:

2D= c x t

c: velocidad de propagación de la luz en el vacío

Debido a que los tiempos que emplea la luz en recorrer las distancias a medir son

muy pequeños (1/100000s) se emplea el desfasaje entre la onda emitida y la recibida

para calcular la distancia.

Los primeros distanciómetros se instalaban sobre los teodolitos y se debía

cumplir la condición de que los ejes ópticos de ambos instrumentos fuesen paralelos

(Figura 34).

Figura 34: Paralelismo entre el eje del distanciómetro y el del teodolito

Clasificación de los IEMD

Los distanciómetros se clasifican en

Electromagnéticos: emplean ondas de radio, también llamadas microondas

(Telurómetros)

Electroópticos: emplean ondas del visible (Geodímetro) o del infrarrojo

próximo (Rayos IR)

Telurómetro

Este distanciómetro es totalmente electrónico y la onda portadora es una onda

radioeléctrica de la gama de las microondas en el orden de 10GHz. Su uso es

prácticamente indiferente sea de día o de noche y puede operar con tiempo brumoso o

condiciones climáticas aún más desfavorables. Presenta la desventaja de requerir dos

43

operadores igualmente entrenados, por estar compuesto de dos estaciones, llamadas

Maestro y Remota según emitan o reflejen el haz de luz. En algunos modelos son

idénticas y reversibles. Por lo tanto el reflector es activo a diferencia de los prismas que

utilizan los distanciómetros electroópticos (que son pasivos). La distancia se lee en la

estación Maestro. No es necesario que los puntos sean intervisibles, sintonizándose los

aparatos como un radio receptor.

El alcance es de aproximadamente 40km dependiendo de la altura de las

estaciones.

El error es de: +/- 3cm +/- D/300.000 y en malas condiciones: +/- 5cm +/-

D/50.000.

Para obtener la mejor precisión se debe corregir el índice de refracción medio,

siendo la humedad, presión y temperatura atmosférica los parámetros que tienen

influencia decisiva en esta gama de frecuencias.

Geodímetro de luz visible o Telémetro Electroóptico

Es un instrumento del tipo opto-electrónico, pues utiliza como onda portadora luz

común. La fuente luminosa consiste en una lámpara de tungsteno o de mercurio.

Consta de una unidad transmisora-receptora que envía un tren de ondas

luminosas conocido y constante hasta el punto que se desea conocer la distancia. Allí, el

tren de ondas es reflejado por un elemento reflector, retornando al instrumento donde se

realiza la medición del desfasaje relativo.

Como elemento reflector se puede emplear un espejo plano o cóncavo o

reflectores prismáticos. Los prismáticos son sistemas de prismas triedros rectángulos

cuya propiedad óptico-geométrica es la de reflejar en dirección rigurosamente contraria

cualquier rayo de luz incidente. El rayo reflejado llegará al instrumento con una pérdida

de luz relativamente pequeña. Para distancias de 1200m hay instrumentos que usan un

solo prisma adosado a un jalón o trípode. Para distancias de 6000m o más se usan de 8 a

12 prismas.

Figura 35: Prisma con fondo para facilitar

su ubicación Figura 36: Prisma con soporte para 360°

El alcance del geodímetro varía con la fuente de emisión que puede estar

constituida por una lámpara de tungsteno, de mercurio o de un láser y con el momento

de medición y es aproximadamente:

44

Lámpara de tungsteno: Día: 2km Noche: 15km

Lámpara de mercurio: Día: 5km Noche: 25km

Láser: Día: 60km

En el alcance de todos los instrumentos influye el nº de prismas y las condiciones

ambientales (Figura 37).

Figura 37: Alcance del distanciómetro en función del número de prismas y de la

visibilidad

El error de estos instrumentos va desde +/- 1 cm +/- D/500.000 a +/- 1 cm +/-

D/200.000

Para obtener el error más pequeño, es necesario determinar el índice de

refracción del medio (n), que en esta gama de frecuencias es afectado principalmente por

la temperatura y presión atmosférica, corrigiéndose con él la velocidad de propagación

mediante:

𝑣 =𝑐

𝑛

donde “c” es la velocidad de la luz en el vacío y “n” es el índice de refracción del

medio.

Al ser en el geodímetro la modulación de la luz independiente de la fuente

luminosa es posible emplear sistemas LÁSER, lo que brinda una serie de ventajas como

a)el haz LÁSER es muy dirigido y poco perturbado por los medios refringentes, b)el

hecho de ser coherente hace que no pierda potencia por interferencia permitiendo

mayores alcances que con luz común, c)como la luz es monocromática permite utilizar

filtros de ancho de bandas muy angostas, no siendo por esto tan notable la diferencia de

alcance entre el día y la noche, d)la velocidad de propagación de la luz en la atmósfera

terrestre es v = c / n, donde n es el índice de refracción del medio cuyo valor depende de

la frecuencia portadora empleada. La monocromaticidad implica una longitud de onda

Alc

ance

(km

)

Nú

mer

o d

e p

rism

as

60 km 50 40 30 20 10

Excepcional-mente claro

Muy claro Claro

Standard Claro Niebla

14

12

10

8

6

4

2

16

8

6

4

3

2

1

45

perfectamente definida, por lo que el índice de refracción y por ende la velocidad de

propagación estarán perfectamente definidos, lo que otorgará mayor precisión a las

mediciones efectuadas con rayo LÁSER que con luz blanca, pues en las últimas se debe

determinar la velocidad de grupo.

Rayos IR

Son los más usados en la actualidad. Pueden utilizar como fuente portadora

Arseniuro de Galio (alcance de 3 a 5km) o Láser (alcance 20km). El mecanismo de

selección de la frecuencia de precisión y de las de aproximación se efectúa

automáticamente, es decir, el operador dispara el instrumento, éste hace varias lecturas

en la frecuencia de precisión, las promedia y las almacena para pasar automáticamente a

las frecuencias de aproximación donde realiza varias lecturas de cada una de ellas,

promediándolas separadamente y almacenándolas. Finalmente compone los promedios y

realiza las operaciones matemáticas (en forma automática) para luego exhibir en la

pantalla la distancia en unidades métricas. La velocidad de propagación de la radiación

IR depende del índice de refracción del medio que, a estas frecuencias, depende

fundamentalmente de la presión y de la temperatura atmosférica. Es una característica

distintiva de los distanciómetros de rayos IR, que conociendo en forma aproximada los

parámetros atmosféricos y previa introducción de los mismos en el instrumento, muestre

la distancia corregida.

Las primeras generaciones de estos instrumentos tenían un alcance que no

superaba los 1500m. Un constante avance tecnológico permitió que en la actualidad se

fabriquen distanciómetros de este tipo cuyo alcance es de aproximadamente 7000m sin

haber sufrido merma en la precisión.

El error medio que cometen estos telémetros es de aproximadamente 5-10nm +/-

1/2000000 D.

Los errores de los distanciómetros suelen expresarse en ppm (partes por millón).

Un error de 5ppm implica que en 1000000 de partes (sean cm, m ó km) hay un error de

5 partes (cm, m ó km). En el caso del telurómetro que tiene un error de 10mm +/- 1/

2000000 D, si se efectúa una medición de 5000m el error será 10mm +/- 1/ 2000000 .

5000000mm = 10mm +/- 10mm = 0 - 20mm.

Con una regla de tres: 5000000mm-----------------------20mm

1000000mm-----------------------4mm = 4ppm

Características Electromagnéticos Electroópticos

TELURÓMETRO GEODÍMETRO RAYOS IR

Longitud de onda 3cm 633nm 800-1000nm

Alcance 40km 10km hasta 7km

Precisión +/-3cm + 3,3ppm .D +/-5mm + 1ppm . D +/- 5mm + 5ppm . D

Condiciones de

medición

Condiciones

desfavorables -25C a + 45C -20C a + 50C

Campos de

aplicación Geodesia

Levantamientos

topográficos

Levantamientos

topográficos

Tabla 9: Cuadro comparativo de los distintos distanciómetros

46

Figura 38: Distanciómetro laser

de mano de 30m de alcance

Figura 39: Distanciómetro laser de montante fijo de

500m de alcance

Desde la aparición de las estaciones totales el uso de distanciómetros de gran

alcance (Figura 39) ha caído en desuso. Los de corto alcance (Figura 38) son utilizados

frecuentemente para determinar distancias en interiores (como obras de construcción) y

pequeñas distancias exteriores. No necesitan de prisma reflector y calculan

automáticamente áreas, volúmenes y alturas a partir del proceso de las longitudes

medidas. Una señal luminosa que emiten permite hacer puntería en el punto objetivo.

Algunos poseen interfaz Bluetooth lo que permite transferir datos sin cables de por

medio.

Estación Total

La aparición de los distanciómetros posibilitó la medición de distancias de forma

muy exacta y rápida. Hasta entonces la medición lineal solo se realizaba mediante cintas

pero se cometían numerosos errores sistemáticos que se debían calcular y corregir. La

medición angular precisa era en cambio un problema resuelto ya desde antiguo ya que

con el teodolito se lograban valores angulares muy precisos. Cuando aparecieron los

primeros distanciómetros se acoplaron a los teodolitos logrando un instrumento que

podía medir en forma precisa ángulos (mediante el teodolito óptico convencional) y

distancias (mediante IEMD). Este representa el primer antecedente de un equipo integral

de medición de distancias y ángulos. A estos equipos se los denominó Semi Estaciones

Totales.

Más tarde, los fabricantes de instrumentos unificaron teodolito y distanciómetro

en un solo equipo compacto denominado Estación Total que realiza electrónicamente no

solo la medición de distancias sino también la de ángulos. Además, estos instrumentos

están dotados de un teclado que permite el ingreso de datos y comandos al aparato. Los

valores angulares ya no se deben leer e interpretar de acuerdo a los diferentes sistemas

de lectura de los teodolitos convencionales sino que se muestran directamente en una

pantalla de cristal líquido. Además, las estaciones totales vienen provistas de una

colectora de datos que permite almacenar los ángulos y distancias determinados para los

distintos puntos levantados para luego poder procesarlos en una computadora previa

transferencia de datos. Esta serie de automatismos no solo facilita y agiliza el trabajo del

operador que ya no debe leer y anotar todos los valores en una libreta sino que elimina

los errores de lectura, escritura, interpretación y transcripción de los datos. Previamente

47

se debían leer los ángulos de acuerdo a los diferentes sistemas de lectura utilizados por

los teodolitos, copiándose los datos en una libreta de campo para posteriormente en

gabinete transferirlos a una computadora. En cualquiera de las 3 instancias podían

cometerse errores y el operador debía ser muy cuidadoso y prolijo en la lectura, escritura

e interpretación de los datos tomados.

Las estaciones totales también traen incorporadas funciones trigonométricas lo

que permite calcular y mostrar en pantalla distancias reducidas al horizonte (si las

distancias medidas son inclinadas), desniveles y utilizar sistemas de coordenadas

cartesianas o polares de acuerdo a la preferencia del usuario. Para el cálculo de los

desniveles deben ingresarse los datos de altura de la estación sobre el punto estación y

altura del prisma ya que el tipo de nivelación empleada es la trigonométrica. Para el

cálculo del desnivel traen incorporadas las constantes que permiten el cálculo

automático de la corrección por curvatura terrestre y refracción. Para mejorar la

precisión en las distancias medidas pueden incorporarse mediante el teclado los valores

de temperatura y presión atmosférica. También se puede calcular áreas encerradas por

los puntos levantados y seleccionar el sistema de unidades.

Las estaciones totales más modernas y completas son robóticas, con búsqueda

automática del prisma. Esto permite a un único operador posicionarse con el prisma en

los puntos que desea levantar ya que la estación total rastrea el prisma y captura los

datos de distancia y ángulo automáticamente. Con esto se evita que el operador de la

estación total (que es habitualmente el que dirige el levantamiento y conoce qué puntos

se deben levantar) tenga que comunicar permanentemente al ayudante que sostiene el

prisma cuales son los puntos de interés y cuando la captura de datos por parte del

instrumento ha concluido, lo que suele verse dificultado por la excesiva distancia

instrumento-prisma.

Figura 40: Estación Total FOIF RTS-635 Figura 41: Estación Total Topcon GTS-

229

48

MEDICIÓN ANGULAR EXPEDITIVA

Una de las operaciones de medición en Topografía la constituye la medición de

ángulos (angulometría). Para la medición de ángulos se utilizan instrumentos

denominados goniómetros (medidores de ángulos).

Los goniómetros se clasifican en:

-Goniómetros de ángulo fijo: son aquellos que permiten determinar un ángulo

específico como 45°, 90° o 180° (escuadras ópticas)

-Goniómetros de ángulo variable: permiten determinar ángulos que pueden variar

de 0 a 360° (brújula forestal, sextante, teodolito, nivel taquímetro).

Se hará referencia a los goniómetros de ángulo fijo y a la brújula forestal que son

goniómetros expeditivos, es decir permiten determinar ángulos con una precisión

limitada pero suficiente en muchos casos que no se necesite una resolución geométrica

rigurosa.

Goniómetros de ángulo fijo

Escuadras ópticas

Son instrumentos sencillos que utilizando los principios de reflexión y refracción

de la luz son usados principalmente para levantar y bajar perpendiculares a una

determinada dirección. Existen tres tipos principales.

-Escuadra de agrimensor: es un tubo de sección cilíndrica u octogonal que se

apoya en un soporte y permite determinar ángulos de 45° y 90° con una precisión

máxima de 15’.

-Escuadra de espejos: se fundamenta en la reflexión de la luz en dos espejos

permitiendo levantar y bajar perpendiculares (90°). No requiere soporte (se sostiene a

mano alzada y posee una plomada que indica la dirección vertical) siendo su error de

aproximadamente 10’

-Escuadra de prismas: se fundamenta en la refracción de la luz al pasar por

prismas. Son las más precisas (1-2’) y las del tipo pentaprisma doble permiten alinearse

(determinar ángulos llanos) y levantar o bajar perpendiculares.

Utilización de las escuadras ópticas en el levantamiento de puntos por

coordenadas rectangulares

Existen básicamente tres tipos de tareas topográficas. Ellas son:

-Levantamiento: También llamada captura de datos. Consiste en recopilar

información del terreno para después llevarla al plano. Es llevar del terreno al plano.

-Proyecto: Una vez hecho el levantamiento se analiza la información y en

función de un determinado objetivo se formula un proyecto.

-Replanteo: Es volcar el proyecto en el terreno. Es la operación inversa del

levantamiento, es decir, llevar del plano al terreno.

Definidas las tareas topográficas se analizará en que consiste el levantamiento de

puntos por coordenadas rectangulares. Dado un determinado lado que se toma como eje

de levantamiento se determinan las distancias que existen desde los distintos puntos o

detalles que se desean levantar al lado en cuestión. Como distancias desde un punto a

una recta hay infinitas, la distancia que se toma es la menor que por geometría es la

distancia tomada sobre la perpendicular al eje que pasa por el punto. Esa distancia es

49

llamada distancia al eje. La distancia puede ser a la derecha o izquierda del lado,

cuestión que queda clarificada con un croquis del levantamiento. Para terminar de

definir la ubicación de un punto en cuestión, conocida su distancia al eje, queda definir

la distancia que existe entre el pie de la perpendicular (punto intersección entre el eje de

levantamiento y la perpendicular que pasa por el punto) y el origen de la progresiva. A

esta distancia se la denomina progresiva del punto. La utilización principal de los

goniómetros de ángulo fijo es la de determinar los puntos que constituyen pies de

perpendicular.

N B (progresiva 127,35m)

Pies de perpendicular

Progresiva Distancia al eje

A (progresiva 0,00m)

Figura 42: Levantamiento por coordenadas rectangulares

Brújula Forestal

Es un goniómetro que posee un limbo (círculo graduado) horizontal dividido en

360 partes por lo que cada división corresponde a un grado sexagesimal. Sobre el limbo

horizontal se encuentra una pequeña aguja imantada que al oscilar libremente se

posiciona en la dirección Norte Magnético – Sur Magnético (Figura 45). Existe una

pequeña palanca accionada con un tornillo en la base del limbo que permite inmovilizar

la aguja imantada contra el vidrio del mismo para que dicho elemento sensible no sufra

golpes durante el transporte del instrumento (Figura 44 y Figura 45). El limbo horizontal

es solidario con el anteojo por lo que al girar el anteojo se gira también al limbo. Este

último está graduado en sentido antihorario y esto permite que al girar el anteojo (y el

limbo horizontal) en sentido horario, el valor angular indicado por la aguja (que oscila

libremente y por lo tanto permanece quieta en la dirección Norte-Sur) en dicho limbo se

incremente (Figura 45). El limbo horizontal presenta también un tornillo de disposición

radial que permite frenarlo luego de haber hecho puntería “gruesa” con un sistema de

alza-mira presente sobre el anteojo. Luego de accionar el tornillo de freno queda

habilitado el tornillo de pequeños movimientos horizontales que, con disposición

tangencial al limbo, permite hacer puntería “fina” rotando levemente al limbo mientras

se observa por el anteojo (Figura 44).

50

Figura 43: Brújula Forestal montada en su trípode

Figura 44: Elementos y tornillos de regulación de la Brújula Forestal

El instrumento va montado sobre un trípode (Figura 43) y para garantizar la

horizontalidad del círculo graduado horizontal presenta sobre el mismo dos niveles

tubulares que se encuentran a 90° uno de otro. Dichos niveles se encuentran

parcialmente llenos de líquido por lo poseen una pequeña burbuja de aire. Para

horizontalizar el limbo se deben llevar ambas burbujas de aire a una marca central que

presentan cada uno de los niveles (Figura 45).

La brújula posee un limbo vertical graduado en grados sexagesimales (no todo el

círculo está graduado). Para mover el anteojo verticalmente posee una pequeña rueda

que engrana con la superficie exterior del limbo vertical. El anteojo es solidario al limbo

Limbo

vertical

Limbo

horizontal

Tornillo

de freno

Tornillo de

pequeños mov.

horizontales

Tornillo de

sujeción de

aguja al limbo

Alza

51

vertical (al girar el anteojo el limbo lo acompaña en su movimiento) y una marca

triangular indica el ángulo vertical a leer sobre la graduación (Figura 46). Dicho ángulo

se denomina ángulo de elevación (o de depresión), presenta el valor 0 en la dirección

horizontal (al dirigir una visual horizontal la lectura es 0°) y crece hacia arriba y hacia

abajo.

Figura 45: Limbo horizontal graduado en sentido antihorario

El anteojo presenta dos tornillos. El más próximo al objetivo es el tornillo de

foco que se utiliza para aclarar la imagen y el más próximo al ocular es el tornillo de

aclaración de hilos del retículo (Figura 46). El retículo está representado por un hilo

vertical y tres horizontales que permiten hacer puntería y calcular las distancias en forma

indirecta mediante un método denominado estadimetría (explicado en “Nivelación

geométrica”). El anteojo presenta en su parte superior un sistema de alza y mira (a modo

de fusil) que permite hacer puntería grosera observando por fuera del anteojo.

Figura 46: Anteojo astronómico y limbo vertical de la Brújula

Tornillo de

movimiento

vertical

Limbo vertical

graduado y

dentado

Indicador de

lectura vertical

Tornillo de

hilos del

retículo

Tornillo

de foco

Aguja

imantada

Nivel

tubular

Palanca de

sujeción al

limbo

52

La lectura sobre el limbo vertical permite conocer el “ángulo de elevación” o

“ángulo de depresión” de una determinada visual. Midiendo este ángulo y la distancia

que separa a la brújula de un determinado objeto puede determinarse por trigonometría

la altura del objeto. Esta utilidad es utilizada por los Ingenieros Forestales para cubicar

recursos forestales (estimar los m3 de madera que puede brindar un bosque, monte o

plantación forestal). Conociendo la altura de los ejemplares, su diámetro y el número de

individuos por hectárea se pueden estimar los m3/ha de madera que puede brindar el

recurso. Debido a esto al instrumento se lo denomina “Brújula Forestal”

Problema: Con la ayuda de una brújula forestal se midió el ángulo de elevación

( = 39°30’) y de depresión ( = 4°30’) para obtener la altura de un Pinus sp. (Figura

47). La distancia desde el instrumento al árbol fue medida con cinta obteniendo un valor

de 20m. Determinar cual es la altura del árbol. Rta: H1= 1,57m; H2=16,49m; H=18,06m.

Figura 47: Determinación de la altura de un árbol con la Brújula Forestal

La lectura sobre el limbo horizontal de la brújula permite conocer el ángulo que

forma una determinada dirección con la dirección del Norte magnético medido en

sentido horario. A dicho ángulo se lo denomina Azimut o Acimut y se lo simboliza con

las letras Az. El Azimut de una dirección permite conocer la orientación de un lado de

un determinado lote o polígono con respecto al Norte.

Nmg

Nmg

B AzB→A

AzA→B

A

Figura 48: Acimutes de las direcciones AB y BA

AzA→B debe leerse como “Acimut de A hacia B”. En la Figura 48 se han

representado los acimutes de las direcciones AB y BA. Se ha prolongado el lado AB

más allá del punto B y puede observarse que el AzB→A es igual al AzA→B + 180º. El

AzB→A es el inverso del AzA→B. El AzA→B medido desde A se denomina directo. Debe

existir una diferencia entre acimut directo e inverso de 180º. Si la diferencia fuese mayor

o menor constituiría un error que debería ser comparado con la expresión de tolerancia

correspondiente.

H1

H2

53

𝑇 = 3. 𝑎. 𝑛

siendo a = apreciación y n el número de visuales efectuadas desde cada punto (en este

caso 2, ver Figura 49)

Con la medición de los acimutes de los lados de un polígono pueden deducirse

sus ángulos internos.

N

A

D B

C

Figura 49: Cuadrilátero en el que se han graficado los acimutes de sus lados

Puede verse en la Figura 49 que al medirse todos los acimutes pueden obtenerse

por diferencia los correspondientes ángulos internos. Así, el ángulo interno

(correspondiente al vértice A) puede deducirse como = AzAD - AzAB. Lo mismo

sucede con los ángulos internos y (correspondientes a los vértices B y D

respectivamente)

= AzBA – AzBC

= AzDC – AzDA

Para determinar el ángulo interno (correspondiente al vértice C) al hacer la

diferencia se obtiene el ángulo externo

= AzCD – AzCB

obteniendo finalmente al ángulo interno como

= 360º -

Con los datos obtenidos de la medición de acimutes se confecciona una planilla

modelo con la que se obtienen a continuación los ángulos internos. En la Tabla 10 se

detalla un modelo de planilla utilizado a campo para el registro de los datos con brújula.

Los valores correspondientes a acimutes directos son los valores efectivamente

medidos. Los valores de acimutes inversos son copiados de los correspondientes

directos. Así, para el inverso del AB se copió el valor del directo BA (305º30’). La

apreciación resulta igual a 30’ (ya que en las lecturas realizadas se observa que los

valores angulares terminan en 00’ ó 30’) y el número de visuales desde cada punto (n) es

igual a 2 por lo que la tolerancia que se determina es de 2°07’.

54

Punto

Estación

Punto

Visado Lado

Acimut

directo

Acimut

inverso

Difer.

(+/-

180)

Toler. Acimut

corregido

Ángulo

Poligonal

A B AB 125º00’ 305º30’ -0º30’

𝑇 =

3.𝑎

. 𝑛

= 2

º07’ 125º15’

84º15’ D AD 209º00’ 30º00’ -1º00’ 209º30’

B C BC 212º30’ 32º00’ +0º30’ 212º15’

93º00’ A BA 305º30’ 125º00’ +0º30’ 305º15’

C B CB 32º00’ 212º30’ -0º30’ 32º15’

90º15’ D CD 302º30’ 121º30’ +1º00’ 302º00’

D A DA 30º00’ 209º00’ +1º00’ 29º30’

92º30’ C DC 121º30’ 302º30’ -1º00’ 122º00’

Tabla 10: Planilla de registro a campo para medición con brújula = 360º00’

La brújula forestal posee una aguja imantada que presenta, como todo imán; dos

polos (un polo sur y un polo norte). Dicha aguja es atraída por los polos Norte y Sur

Magnéticos del planeta (que se comporta como un gran imán) y orientará su polo sur al

polo Norte Magnético y su polo norte al Polo Sur Magnético (polos opuestos se atraen). La brújula fue inventada en China en el siglo IX. Hasta entonces la navegación en mar abierto se

apoyaba en la posición de los cuerpos celestes por lo que la navegación disminuía con climas neblinosos

o tormentosos en que se dificultaba la observación de los astros. En el Mediterráneo, la introducción de

la brújula, generó un incremento en la navegación durante los meses de invierno. Hasta entonces se

evitaba realizar viajes marítimos entre octubre y abril, debido en parte a la falta de cielos despejados. La

prolongación de las temporadas de navegación resultó en un gradual pero sostenido incremento del

tráfico marino. Esos meses adicionales eran de considerable importancia económica y permitieron a las

flotas venecianas hacer dos viajes anuales al levante, en vez de uno sólo. Los árabes, que generalmente

contaban con cielos despejados al navegar el Golfo Pérsico y el Océano Índico tardaron más en adoptar

este instrumento.

Declinación Magnética

Los Polos Norte y Sur Magnéticos del planeta no coinciden con los polos Norte y

Sur Geográficos (que son los polos definidos por el eje a través del cual la Tierra realiza

su movimiento de rotación). Además los polos magnéticos varían su posición a lo largo

del tiempo. Al ángulo que se forma entre el Polo Norte Geográfico y el Polo Norte

Magnético en un determinado lugar se lo denomina declinación magnética del lugar y se

lo representa con la letra griega δ. La declinación magnética se considera occidental y

con signo negativo si el Norte Magnético se ubica al oeste (a la izquierda) del Norte

Geográfico y oriental y de signo positivo en caso contrario.

Nmg. Ngeog. Ngeog. Nmag.

δ- δ+

Figura 50: Declinación magnética

occidental o negativa

Figura 51: Declinación magnética oriental

o positiva

55

El valor de la declinación magnética varía con el tiempo (recuérdese que los

polos norte y sur magnéticos se está desplazando constantemente) y también varía en el

espacio para un mismo momento. En la Figura 52 y en la Figura 53 se han representado

los polos geográficos y magnéticos en el planeta para un momento dado. Se observa en

la Figura 52 que la declinación magnética de dos puntos ubicados sobre un mismo

meridiano terrestre varía con la latitud. El punto ubicado más al Norte (A) presenta una

declinación mayor (el ángulo comprendido entre las direcciones del Norte Magnético y

Geográfico es mayor). En la Figura 53 puede verse que la declinación magnética de dos

puntos ubicados sobre un mismo paralelo varía con la longitud. El punto ubicado más al

Oeste (A) presenta una declinación mayor. Las declinaciones que presenten estos puntos

en dicho momento no se mantendrán en el tiempo ya que como se dijo previamente los

polos magnéticos se van desplazando y por lo tanto el ángulo entre N Geog y N Magn

variará (variará la declinación δ).

PN Geog PN Geog

PN Mag PN Mag

A

A B

B

PS Mag PS Mag

PS Geog PS Geog

Figura 52

Figura 53

La declinación magnética varía a lo largo del tiempo siguiendo parámetros

seculares, anuales, mensuales y diarios. La variación secular se debería a una rotación

continua y uniforme del eje magnético alrededor del geográfico que demanda un período

de 740 años siguiendo una ley sinusoidal. Las variaciones anuales tendrían relación con

el número de manchas solares. La variación diaria no es constante siendo mayor en

verano que en invierno.

También existen variaciones locales debidas a la presencia de yacimientos

ferromagnéticos en las proximidades o elementos metálicos como construcciones de

hierro, torres de alta tensión, columnas de alumbrado eléctrico e inclusive elementos

metálicos pequeños que puede portar el operador como anillos y llaves.

Para conocer la declinación magnética de un lugar y debido a que los polos

magnéticos están constantemente en movimiento se elaboran periódicamente (cada 5

años, en los años terminados en 0 y 5) cartas que unen con isolíneas puntos que poseen

la misma declinación magnética. A dichas líneas se las denomina isógonas y se las

representa con trazo continuo. En dichas cartas se superponen líneas que unen puntos de

igual variación anual de la declinación llamadas líneas isóporas representadas con trazo

56

discontinuo. Con la ayuda de estas cartas es posible determinar la declinación magnética

en un determinado lugar y para una determinada fecha. Dichas cartas son llamadas

cartas magnéticas.

-9’

La Plata

-8’

-3º -7’

-2º

-1º

Figura 54: Carta magnética para el 1 de enero de 2000 para la ciudad de La Plata

A continuación se analizará como puede determinarse la declinación magnética

de un determinado lugar para una determinada fecha. Deben realizarse mediciones con

brújula el 15 de abril de 2004 en la ciudad de La Plata. Se desea conocer la declinación

magnética de dicho lugar para esa fecha y se recurre a la carta magnética de la Figura

54. En dicha carta pueden verse las líneas isógonas cuyos valores indican qué

declinación magnética existía el 1 de enero de 2000 (fecha en que fue confeccionada la

carta). Se observa que en la ciudad de La Plata la declinación magnética en esa fecha era

de entre –2º y –3º (declinación occidental o negativa es decir el norte magnético a la

izquierda del geográfico). El valor exacto de declinación magnética debe ser calculado

por interpolación. Uniendo con una línea perpendicular (que pase por La Plata) a ambas

isógonas se determina la distancia que las separa, supóngase 5cm. Se determina a

continuación la distancia desde la isógona más cercana (-2º) a La Plata, supóngase 1cm.

A continuación se realiza la interpolación:

si en 5cm la declinación varía --------------- 1º

en 1cm variará---------------------------------- 𝑥 =1𝑐𝑚 . 1°

5𝑐𝑚= 0,2° = 12′

Por lo tanto la declinación magnética en La Plata el 1 de enero de 2000 fue de –

2º 12’. Si se observa la carta puede verse que la ciudad de La Plata se encuentra más

cerca de la isógona –2º que de la de –3º por lo tanto resulta lógico que su valor sea más

parecido al valor de la primera.

Se ha determinado la declinación magnética de La Plata para el 01/01/2000 pero

interesa conocer la declinación magnética para el 15/04/2004. Debe recurrirse a la

información suministrada por las líneas isóporas. De manera similar se observa que para

La Plata la variación anual de la declinación magnética es entre –8’ y –9’. El valor

exacto de variación anual de la declinación debe ser calculado también por

interpolación. Uniendo con una línea perpendicular (que pase por La plata) a ambas

57

isóporas se determina la distancia que las separa, supóngase 6cm. Se determina a

continuación la distancia desde la isópora más cercana (-8’) a La Plata, supóngase

1,3cm. A continuación se realiza la interpolación:

Si en 6cm la variación anual de la declinación es ------ 1’

En 1,3cm será------------------------------------------------- 𝑥 =1𝑐𝑚 . 1′

6𝑐𝑚= 0,216′ = 13

′′

𝑎ñ𝑜

Por lo tanto la variación anual de la declinación magnética para La Plata es de

–8’13’’. Si se observa la carta puede verse que la ciudad de La Plata se encuentra más

cerca de la isópora –8’ que de la de –9’ por lo que resulta lógico que su valor sea más

parecido al valor de la primera. Se ha obtenido la variación anual de la declinación, es

decir cuánto varió la declinación por año desde enero de 2000. Para conocer la variación

total acumulada es necesario multiplicar la variación anual por el número de años

transcurridos. Al 15/04/2004 desde el 01/01/2000 han transcurrido 4 años, 3 meses y 14

días que transformándolos en fracciones de año son 4 + 3/12 + 14/365 = 4,288 años. La

variación acumulada por lo tanto será de –8’13’’/año . 4,288 años = -0º35’14’’.

Finalmente a la declinación magnética del 01/01/2000 se le suma la variación acumulada

(con su respectivo signo) y se determina la declinación magnética de La Plata para el

15/04/2004.

δ = -2º12’ + (-0º35’14’’) = -2º47’14’’

58

EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE EN PLANIMETRÍA

Supóngase que se realiza la medición de una distancia AB con un instrumento

electrónico de medición de distancias (IEMD). En este tipo de mediciones se coloca el

distanciómetro en uno de los puntos (A) y en el otro (B) se coloca un prisma reflector en

forma vertical. Como consecuencia de la curvatura de la Tierra existen diferencias entre

la distancia medida y la distancia real. La distancia medida será AB’ siendo la distancia

real que debería haberse medido AB.

A S s B’

tangente a la Tierra en A

S

B

R superficie terrestre

R

C

Figura 55: Efecto de la curvatura terrestre en planimetría

A la distancia AB verdadera se la denomina S. Esa misma distancia puede

trasladarse al plano tangente en A y observarse que la distancia verdadera es menor a la

medida AB’. La diferencia entre estas dos distancias constituye el error cometido debido

al efecto de la curvatura en planimetría denominado s.

Por trigonometría

tan 𝛼 =𝑆 + ∆𝑠

𝑅 (1)

Como el ángulo es muy pequeño (el gráfico se ha exagerado con el fin de una

mejor visualización) se cumple que

𝛼𝑟𝑎𝑑 = tan 𝛼 = sin 𝛼 =𝑆

𝑅 (2)

Por desarrollo de Taylor se tiene que

tan 𝛼 = 𝛼 +𝛼3

3+

𝛼5

5+ ⋯ +

𝛼𝑛

𝑛 (3)

Los términos que siguen a 3 / 3 pueden despreciarse por ser sus valores muy

pequeños por lo que:

59

tan 𝛼 = 𝛼 +𝛼3

3 (4)

Reemplazando a por S/R según la ecuación 2 queda:

tan 𝛼 =𝑆

𝑅+

𝑆3

3𝑅3 (5)

Igualando 1 y 5 se obtiene:

𝑆 + ∆𝑠

𝑅=

𝑆

𝑅+

𝑆3

3𝑅3 (6)

𝑆

𝑅+

∆𝑠

𝑅=

𝑆

𝑅+

𝑆3

3𝑅3

∆𝑠

𝑅=

𝑆3

3𝑅3

∆𝑠 =𝑆3

3𝑅2

En la Tabla 11 se visualiza cual es el error en planimetría debido a la curvatura

para distintas distancias S considerando el radio medio de la Tierra como 6370km.

S (km) s

100 8,21m

10 0,82cm

1 0,0085mm

Tabla 11: Error por curvatura en planimetría

El error cometido en planimetría en una distancia de 1km es menor a 1mm y

resulta sensiblemente inferior a la Tolerancia que se tendría al medir ese lado igual a

𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3.1000𝑚 + 0,0005(1000𝑚)2 = 0,42𝑚

Para 10km se tiene que T = 3,45m y s = 0,82cm

Para 100km se tiene que T = 33,64m y s = 8,21m

Puede verse que aún en distancias importantes el error por curvatura en

planimetría es despreciable y no supera la tolerancia en la medición de la distancia en

cuestión.

60

MÉTODOS PLANIMÉTRICOS

Los métodos planimétricos son los métodos que permiten obtener las

coordenadas de un punto a partir de las coordenadas conocidas de otros puntos y de

mediciones de distancias o ángulos entre los puntos incógnita y los puntos dato.

Un punto en el plano puede ser definido mediante dos tipos de coordenadas:

cartesianas ortogonales y polares.

X=N

XP P

M

XM

XQ Q

0

YM YQ YP

Y=E

Figura 56: Ubicación de puntos por coordenadas rectangulares y polares

En la Figura 56 pueden verse los puntos M, P y Q que se han ubicado en el plano

por los dos sistemas de coordenadas mencionados. Los resultados de dicha ubicación se

han volcado en la Tabla 12.

Coordenadas rectangulares Coordenadas polares

Punto X Y Azimut Distancia

Q 50 100 63º26’06’’ 111,80m

M 100 50 26º33’54’’ 111,80m

P 150 150 45º00’00’’ 212,13m

Tabla 12: Coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de los puntos El creador del sistema de coordenadas rectangulares fue el francés René Descartes (Figura 57).

Se dice que Descartes se encontraba en su estudio cuando observó una mosca volando cerca de un ángulo

de su habitación y pensó que conociendo la distancia de la mosca a cada una de las paredes podía definir

su posición en cada instante. Antiguamente los nombres eran traducidos y el de Descartes fue latinizado

como Renatus Cartesius (también al italiano se lo tradujo como Cartesio). De allí tomó el nombre el

sistema de coordenadas por él propuesto.

Figura 57: René Descartes (o Renatus Cartesius)

61

Los métodos planimétricos pueden clasificarse en tres grandes grupos

-Triangulación y trilateración

-Poligonación

-Radiación y Detalles

Triangulación y trilateración

Estos métodos son utilizados para darle coordenadas con mucha precisión a

puntos que más tarde se emplearán como puntos de arranque para las operaciones de

poligonación y radiación. Consisten en resolver los elementos de un triángulo a partir de

conocer los restantes.

Triángulación

Se fundamentan en la resolución de triángulos a partir de la medición de sus

ángulos.

Intersección directa o hacia adelante

Dado un triángulo ABP, donde se conocen las coordenadas planas X e Y de los

puntos A y B, se desea conocer las coordenadas del punto P. Se miden los ángulos y

desde los puntos A y B respectivamente (Figura 58).

P

A

B

Figura 58: Intersección directa

Por lo tanto

Datos: XA, YA, XB, YB

Mediciones: ,

Incógnitas (a calcular): XP, YP

Ejemplo

Se conocen las coordenadas de dos puntos A y B

X Y

A 15000,00 15000,00

B 11238,00 25337,00

Tabla 13: Datos de una Intersección directa

62

Se midieron los ángulos (en A) : 48°10’13’’ y (en B) : 68°55’30’’

Se desea conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda del

lado (yendo de A hacia B).

Inicialmente se realiza un croquis que permita identificar la posición aproximada

del punto P (Figura 59).

Figura 59: Croquis de la Intersección directa

Nótese la importancia de la aclaración del problema que indica que el punto P se

encuentra a la izquierda del lado (yendo de A hacia B). Si no se tuviese ese dato

adicional, con las coordenadas de A y B y con las mediciones de y existen dos

soluciones posibles para la posición del punto P que se observan en la Figura 60 como

puntos P y P’. Yendo de A hacia B el punto P’ queda a la derecha y no a la izquierda.

Figura 60: Croquis de la Intersección: dos posibles soluciones para la ubicación de P

El primer paso consiste en calcular la distancia entre A y B por Pitágoras (Figura

59).

𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵

2 = 11000,28m

El segundo paso consiste en determinar el Azimut de A hacia B también con las

coordenadas de los puntos. Para ello se esboza un croquis con la ayuda de las

coordenadas de A y B que permite estimar en que valores oscilará el Acimut. Puede

verse que el azimut adoptará un valor comprendido entre 90 y 180º ya que la coordenada

XA es mayor que la XB y la YA es menor que la YB. Se puede calcular el ángulo

(Figura 61) y luego por diferencia con 180º determinar el AzAB.

tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

XA

XB B

A

YA YB

∆XAB

∆YAB

P

XA

XB B

A

YA YB

P

P’

’ ’

63

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

= 70º 00’ 06’’

AzAB = 180º - = 180°-70º 00’ 06’’

AzAB = 109°59’54’’

Figura 61: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el segundo cuadrante

Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el primer cuadrante (acimut

de 0 a 90°) la expresión de cálculo del acimut será (Figura 62):

tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

AzAB = 𝛼

Figura 62: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el primer cuadrante

Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el tercer cuadrante la

expresión de cálculo del acimut será (Figura 63):

tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

= AzAB

YAB

AzAB = 180 -

XA

XB B

A

YA YB

∆XAB

∆YAB

XA

XB

A

B

YA YB

∆XAB

64

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

AzAB = 180 + 𝛼

Figura 63: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el tercer cuadrante

Si por coordenadas el acimut queda comprendido en el cuarto cuadrante la

expresión de cálculo del acimut será (Figura 64):

tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

AzAB = 360 − 𝛼

Figura 64: Cálculo del acimut cuando queda comprendido en el cuarto cuadrante

Volviendo a la resolución de la intersección directa, el tercer paso consiste en

calcular el acimut de A hacia P (AzAP).

Conocido el AzAB puede calcularse el AzAP como (Figura 65)

AzAP = AzAB -

AzAP = 109°59’54’’- 48°10’13’’= 61°49’41’’

AzAB = 180 + YAB

AzAB = 360 -

XA

XB

A

B

YA YB

∆XAB

∆YAB

XA

XB

A

B

YA YB

∆XAB

65

Figura 65: Cálculo del AzAP

El cuarto paso consiste en calcular la distancia AP para lo cual debe determinarse

el ángulo comprendido en P por diferencia con 180°.

= 180° − α − β

= 180° − 48°10’13’’ − 68°55’30’’ = 62°54′17′′

Aplicando el teorema del seno puede establecerse que:

sin

𝐴𝐵=

sin 𝛽

𝐴𝑃AP =

sin β. AB

sin =

𝑠𝑖𝑛68°55′30′′ . 11000,28𝑚

𝑠𝑖𝑛62°54′17′′= 11529,88𝑚

El quinto y sexto paso consiste en calcular las proyecciones XAP y YAP a partir

del AzAP y la distancia que separa ambos puntos.

XAP = AP . cos AzAP y YAP = AP . seno AzAP

XAP = 11529,88m . cos 61°49’41’’ y YAP = 11529,88m.seno 61°49’41’’

XAP = 5443,49m y YAP = 10163,98m

Los pasos séptimo y octavo consisten en determinar las coordenadas XP e YP a

partir de las coordenadas de A y las proyecciones calculadas.

XP = XA + XAP e YP = YA + YAP

XP = 15000m + 5443,49m e YP = 15000m + 10163,98m

XP = 20443,49m e YP = 25163,98m

Comprobación de los resultados

Como en la resolución de las coordenadas de P se realizan numerosos pasos

matemáticos es aconsejable realizar la comprobación de que no se han cometido

equivocaciones en los mismos. Para ello se calculan las coordenadas de P a partir del

punto B que es el otro punto de coordenadas conocidas. Los pasos a realizar son los

mismos.

El primer paso consistiría en calcular la distancia entre A y B (con el mismo

procedimiento).

XA

XB B

A

YA YB

∆XAB

∆YAB

P

AzA→P

66

𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵

2 = 11000,28m

El segundo paso consiste en determinar el Azimut de B hacia A que queda

comprendido en el cuarto cuadrante.

tan 𝛼 =∆𝑌𝐵𝐴

∆𝑋𝐵𝐴

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐵𝐴

∆𝑋𝐵𝐴

= 70º 00’ 06’’

AzBA = 360º - = 360°-70º 00’ 06’’

AzBA = 289°59’54’’

Figura 66: Comprobación. Cálculo del AzBA

Puede verse que el AzBA difiere en 180° del AzAB.

El tercer paso de la comprobación consiste en calcular el acimut de B hacia P

(AzBP).

Conocido el AzBA puede calcularse el AzBP como (Figura 67)

AzBP = AzBA +

AzAP = 289°59’54’’ + 68°55’30’’ = 358°55’24’’

Figura 67: Cálculo del AzBP

AzBA = 360 -

XA

XB B

A

YA YB

∆XBA

∆YBA

XA

XB B

A

YA YB

AzB→P

P

67

El cuarto paso consiste en calcular la distancia BP conociendo el ángulo

comprendido en P. Aplicando el teorema del seno puede establecerse que:

sin

𝐴𝐵=

sin 𝛼

𝐵𝑃BP =

sin α. AB

sin =

𝑠𝑖𝑛 48°10′13′′ . 11000,28𝑚

𝑠𝑖𝑛 62°54′17′′= 9207,12𝑚

El quinto y sexto paso consiste en calcular las proyecciones XBP y YBP a partir

del AzBP y la distancia que separa ambos puntos.

XBP = BP . cos AzBP y YBP = BP . seno AzBP

XBP = 9207,12m . cos 358°55’24’’ y YBP = 9207,12m . seno 358°55’24’’

XBP = 9205,49m y YBP = -173,00m

Los pasos séptimo y octavo consisten en determinar las coordenadas XP e YP a

partir de las coordenadas de B y las proyecciones calculadas.

XP = XB + XBP e YP = YB + YBP

XP = 11238,00m + 9205,49m e YP = 25337,00m + (-173,00m)

XP = 20443,49m e YP = 25164,00m

Las coordenadas XP e YP calculadas desde el punto B resultan iguales a las

obtenidas a partir del punto A lo que confirma que no se han cometido equivocaciones

en los cálculos. Existe una diferencia de 2cm en el cálculo de la coordenada YP debida a

errores de redondeo.

Problema

Se efectuó una intersección hacia adelante a partir de los puntos A y B que

poseen las coordenadas que se muestran en Tabla 14.

X Y

A 1000,00 1000,00

B 1500,00 500,00

Tabla 14: Datos de una Intersección directa

Se midieron los ángulos (en A) : 55°13’12’’ y (en B) : 38°42’27’’

Se desea conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda del

lado (yendo de A hacia B).

Rta: XP: 921,36m YP: 563,81m

Intersección lateral

Dado un triángulo ABP, donde se conocen las coordenadas planas X e Y de los

puntos A y B y se desean conocer las coordenadas del punto P, se miden los ángulos y

desde los puntos A y P respectivamente. Por ser B un punto inaccesible (ej. torre de un

68

molino, cruz de una iglesia) no es posible estacionar un instrumento en dicho punto para

medir por lo tanto se mide desde P y se consiguen los tres elementos mínimos del

triángulo necesarios para poder resolverlo (Figura 68).

P

A

B

Figura 68: Intersección lateral

El modo de proceder para hallar las coordenadas de P es similar al de

intersección directa

Problema

Se efectuó una intersección lateral a partir de los puntos A y B

X Y

A 10000,00 10000,00

B 4746,71 26167,96

Tabla 15: Datos de una Intersección lateral

Se midieron los ángulos (en A) : 29°00’00’’ y (en P) : 115°20’00’’

Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda

del lado (yendo de A hacia B)

Rta: XP: 12092,56m YP: 20765,31m

Intersección inversa, hacia atrás o Pothenot

Conociendo las coordenadas X e Y de tres puntos A, B y C se determinan las

coordenadas incógnitas de un punto P midiendo sobre dicho punto los ángulos entre A y

B y entre B y C (Figura 69).

Por lo tanto

Datos: XA, YA, XB, YB, XC, YC

Mediciones: ,

Incógnitas (a calcular): XP, YP

69

B

C

A

P

Figura 69: Intersección inversa o Pothenot

Su resolución analítica es larga y compleja por lo que no se analizará.

Hansen Conocidas las coordenadas de dos puntos A y B se desea averiguar las

coordenadas de dos puntos Q y R para lo cual se miden dos ángulos desde cada punto

incógnita según muestra la Figura 70.

A

B

R

Q

Figura 70: Hansen

Por lo tanto

Datos: XA, YA, XB, YB

Mediciones: , , ,

Incógnitas (a calcular): XQ, YQ, XR, YR

Su resolución analítica es larga y compleja por lo que no se analizará.

Trilateración

Se fundamenta en la resolución de triángulos a partir de la medición de sus lados.

Este método ha ido relegando a los métodos de triangulación desde el advenimiento de

los Instrumentos Electrónicos de Medición de Distancias (IEMD) de gran precisión en la

determinación de distancias. Antiguamente la precisión en la medición angular superaba

a la precisión en la medición de distancias (que se realizaba con cinta). Cuando

70

aparecieron los IEMD se revirtió esta situación recurriéndose a partir de entonces a la

medición de distancias.

P

B

A

Figura 71: Trilateración

Datos: XA, YA, XB, YB

Mediciones: AP, BP

Incógnitas (a calcular): XP, YP

Ejemplo

Se conocen las coordenadas de dos puntos A y B

X Y

A 8938,37 27209,57

B 13500,00 17200,00

Tabla 16: Datos de una trilateración

Se midieron los lados AP: 7600m y BP: 7000m

Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la derecha del

lado (yendo de A hacia B).

Inicialmente se realiza un croquis del problema planteado. El punto A está por

debajo de B (en función de las coordenadas X de ambos puntos) y más a la derecha (en

función de las coordenadas Y de ambos puntos). El acimut de B hacia A quedará

comprendido en el segundo cuadrante. El punto P por estar a la derecha del lado AB

(yendo de A hacia B) quedará en el sector opuesto al origen de coordenadas.

Figura 72: Croquis de la trilateración

XA

XB

A

B

YA YB

∆XAB

∆YAB

P

71

El primer paso consiste en calcular la distancia entre A y B por Pitágoras (Figura

72).

𝐴𝐵 = ∆𝑋𝐴𝐵2 + ∆𝑌𝐴𝐵

2 = 11000,00m

En el segundo paso se calcula el Azimut de B hacia A con la ayuda de la Figura

73 en el que puede verse que el AzBA adoptará un valor entre 90 y 180º. Se puede

calcular el ángulo y luego por diferencia con 180° el AzBA.

tan 𝛼 =∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

𝛼 = tan−1∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵

= 65º 30’ 00’’

AzBA = 180º - 114°30’00’’

AzBA = 114°30’00’’

Figura 73: Cálculo del Az BA

El tercer paso consiste en determinar el ángulo (ángulo en el vértice B). Dicho

ángulo puede determinarse con el teorema del coseno (Figura 74) ya que se trata de un

triángulo del que se conocen los tres lados y ningún ángulo.

𝑃𝐴2 = 𝐵𝑃2 + 𝐵𝐴2 + 2. 𝐵𝑃. 𝐵𝐴. cos 𝛽

𝛽 = cos−1𝐵𝑃2 + 𝐵𝐴2 − 𝑃𝐴2

2. 𝐵𝑃. 𝐵𝐴

= 43°12’42’’

XA

XB

A

B

YA YB

AzBA

72

Figura 74: Cálculo de y del AzBP

El cuarto paso consiste en determinar el AzBP para poder calcular las

proyecciones (XBP y YBP). Para determinar el AzBP se le debe restar al AzBA el

ángulo (Figura 74).

AzBP = AzBA -

AzBP = 71° 17’19’’

Conociendo el AzBP y conociendo la distancia entre ambos puntos pueden

calcularse las proyecciones X y Y

XBP = BP . cos AzBP y YBP = BP . seno AzBP

XBP = 7000m . cos 71°17’19’’ y YBP = 7000m . seno 71°17’19’’

XBP = 2245,61m y YBP = 6630,03m

Finalmente las coordenadas X e Y de P serán:

XP = XB + XBP e YP = YB + YBP

XP = 13500m + 2245,61m e YP = 17200m + 6630,03m

XP = 15745,61m e YP = 23830,03m

Finalmente, debería realizarse la comprobación de los cálculos efectuados. Para

ello se debería calcular las coordenadas de P a partir de las coordenadas de A. Debería

hallarse inicialmente el AzAB (que resultará 180° superior al AzBA, es decir 294°30’).

A continuación se debe hallar el ángulo en el vértice A por medio del teorema del

coseno (39°05’50’’). Para hallar el AzAP al AzAB se le debe adicionar el ángulo

(333°35°50’’). Finalmente, a partir del AzAP y de la distancia AP pueden calcularse las

proyecciones XAP (6807,25) y YAP (-3379,56) que sumadas a las coordenadas del

punto A darán las coordenadas del punto P.

Problema

Se efectuó una trilateración a partir de los puntos A y B

XA

XB

A

B

YA YB

∆XAB

∆YAB

P

AzBP

73

X Y

A 2500,00 2500,00

B 2000,00 2200,00

Tabla 17: Datos de una trilateración

Se midieron las distancias AP : 455,03m y BP: 515,78m

Se desean conocer las coordenadas del punto P que se encuentra a la izquierda

del lado (yendo de B hacia A)

Rta: XP: 2491,95m YP: 2045,04m

Poligonación

Consiste en determinar las coordenadas de varios puntos que pertenecen a un

polígono a partir de uno o más puntos con coordenadas conocidas y medición simultánea

de ángulos y lados. Generalmente se toman como puntos de partida de coordenadas

conocidas a aquellos a los que se les ha asignado coordenadas por triangulación.

La poligonal puede ser cerrada o abierta geométricamente.

Poligonal cerrada

Se parte de un punto de coordenadas conocidas (A), se miden distancias(AB, BC,

CD, DA) y ángulos(, , , ) entre los puntos de la poligonal así también como un

azimut de partida (AzAB). Se determinan las proyecciones y las coordenadas de los

puntos y puede determinarse también la superficie del polígono. Nótese que al partir de

un punto de coordenadas conocidas y llegar nuevamente a ese punto (mediante la

medición de lados y ángulos) puede determinarse el error cometido que será igual a

𝑒𝑇 = 𝑒𝑋2 + 𝑒𝑌2. El método de poligonal cerrada se encuentra desarrollado en el

capítulo “Planilla de cálculo de coordenadas y superficie”.

Problema

De un polígono de 4 lados, se conocen las coordenadas del punto A (XA

1000,00; YA 1000,00) y se midieron los lados y ángulos que se detallan en las Tablas

18.

Lado Medida Ángulo Valor

AB 105,90 (vértice A) 78°7’48’’

BC 71,84 (vértice B) 74°59’30’’

CD 71,20 (vértice C) 118°01’44’’

DA 87,26 (vértice D) 88°50’58’’

Tablas 18: Lados y ángulos medidos en la poligonal cerrada ABCD

El AzAB fue medido con una brújula arrojando un valor de 204°30

Calcular las coordenadas de los puntos B, C y D y determinar la superficie del

polígono.

74

Rta:

B C D

X 903,63 949,32 1019,10

Y 956,09 900,67 914,84

Tabla 19: Coordenadas de B, C y D resultantes

Superficie: 6779,5959m2

Poligonal abierta El procedimiento es similar al de poligonal cerrada con la diferencia que no se

vuelve al punto de partida sino que se llega a otro punto que puede o no tener

coordenadas conocidas. Si el punto de llegada tiene coordenadas conocidas la poligonal

será abierta geométricamente y cerrada en cuanto a su error de cierre ya que permite

calcular el mismo y determinar si supera el error máximo aceptable (tolerancia). Si el

punto de llegada no tiene coordenadas conocidas la poligonal será abierta

geométricamente y abierta en cuanto a su error de cierre ya que no se puede calcular y

comparar con la tolerancia.

Ejemplo

Dados dos puntos de coordenadas conocidas A y B y tomando el lado AB como

base de partida, se efectuó una poligonal abierta formada por 4 puntos más (C a F). Se

midieron los lados y ángulos necesarios para resolverla (Figura 75)

A F

C

E

B D

Figura 75: Poligonal abierta

X Y

A 1000,00 1000,00

B 500,00 1000,00

Tabla 20: Datos de la Poligonal abierta

75

BC CD DE EF

372m 457m 158m 172m

Tabla 21: Medición de lados en la poligonal abierta

45° 260° 85° 160°

Tabla 22: Medición angular en la poligonal abierta

De la Figura 75 y de los valores angulares y de distancias medidos se puede

apreciar que el ángulo de 45° es el AzBC ya que el lado BA está en la dirección del

Norte por poseer A y B idéntica coordenada Y.

Los azimutes siguientes pueden ser calculados utilizando la siguiente regla

(Figura 76):

Az siguiente = Az anterior + ángulo - 180

C Az CD

Az BC

360º -

B D

Figura 76: Cálculo del Az CD

AzCD = AzBC + 180 – (360º - )

AzCD = AzBC + - 180

AzCD = 45º + 260º - 180º

AzCD = 125º

AzDE = AzCD + - 180

AzCD = 125º + 85º - 180º

AzCD = 30º

AzEF = AzDE + - 180

AzEF = 30º + 160º - 180º

AzEF = 10º

76

Obtenidos los azimutes de todos los lados y las distancias de los mismos pueden

calcularse las proyecciones X y Y.

Para el lado BC el cálculo es:

XBC = cos Az BC . AB

XBC = cos 45º . 372m

XBC = cos 45º . 372m

XBC = 263,04m

YBC = seno Az BC . AB

YBC = seno 45º . 372m

YBC = seno 45º . 372m

YBC = 263,04m

Y las coordenadas de C serán:

XC = XB + XBC

XC = 500m + 263,04m

XC = 763,04m

YC = YB + YBC

YC = 1000m + 263,04m

YC = 1263,04m

Teniendo las coordenadas de C y todos los azimutes y distancias restantes es

posible hallar las coordenadas de los otros puntos con una metodología análoga (Tabla

23).

Rta:

D E F

X 500,92 637,75 807,14

Y 1637,39 1716,39 1746,26

Tabla 23: Coordenadas resultantes de los puntos D, E y F

Se han obtenido las coordenadas de F, último punto de la poligonal, pero al no

ser un punto de coordenadas conocidas no puede calcularse cual ha sido el error al

efectuar las mediciones. Se trata por lo tanto de una poligonal abierta en cuanto a su

error de cierre.

Si en cambio el punto F hubiese tenido coordenadas conocidas, por ejemplo XF:

807,29m e YF: 1746,10m, podría calcularse el error y se trataría de una poligonal abierta

geométricamente pero cerrada en cuanto a su error de cierre ya que es posible calcular el

mismo.

El eX será

eX = XFverdadero – XFcalculado = 807,29m – 807,14m = 0,15m

77

y el eY

eY = YFverdadero – YFcalculado = 1746,26m – 1746,10m = 0,16m

El error total puede calcularse por el teorema de Pitágoras

𝒆𝑻 = ∆𝑿𝟐 + ∆𝒀𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟐𝒎

El error total debe compararse con el error máximo admisible que se puede

cometer (tolerancia):

𝑻 𝒎 = ±𝟎, 𝟎𝟏𝟓. 𝟎, 𝟑𝑳 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝑳𝟐

Siendo L la distancia total recorrida L = BC + CD + DE +EF = 1159m

Entonces T = 0,48m

Como el error total cometido es menor al error máximo admisible (tolerancia) las

mediciones se toman como válidas y pueden corregirse las coordenadas calculadas.

Problema

Se efectuó una poligonal abierta partiendo de un punto A de coordenadas

conocidas midiendo lados, ángulos y un azimut de arranque (Az AB) y llegando a un

punto E de coordenadas conocidas. Se anexan los datos en la Tabla 24

Lado Ángulo

AB 268,73 (B) 90

BC 189,65 (C) 260

CD 227,49 (D) 97

DE 189,68

Tabla 24: Medición lineal y angular en la poligonal abierta

XA: 2500,00m YA: 3000,00m Az AB: 95º

Calcular las coordenadas de los puntos B, C, D y E. Si las coordenadas del punto

E fuesen conocidas e iguales a XE: 2874,63 e YE: 3517,32 calcular el error total y

determinar si entra en tolerancia.

Rta:

B C D E

X 2476,58 2665,51 2685,33 2874,90

Y 3267,71 3284,24 3510,86 3517,48

Tabla 25: Coordenadas resultantes de los puntos B, C, D y E

eT: 0,31m T: 0,38 (entra en tolerancia, deberían corregirse las coordenadas de

B, C y D)

78

Radiación y Detalles

En estos métodos planimétricos se toman como puntos de partida de coordenadas

conocidas aquellos puntos que se han obtenido por triangulación o poligonación.

Radiación

Consiste en medir distancias y ángulos hacia puntos de coordenadas incógnita

con respecto a un punto E (estación) de coordenadas conocidas. El ángulo que se mide

es el azimut por lo que se tienen azimutes y distancias desde un punto de coordenadas

conocidas a varios puntos de coordenadas incógnita. Debido a esto pueden calcularse las

proyecciones X y Y entre punto dato (punto estación) y punto incógnita.

Datos: XE, YE

Mediciones: Distancias: EA, EB, EC, ED, EF y Acimutes: AzEA, AzEB,

AzEC, AzED, AzEF

Incógnitas (a calcular): -XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD, XF, YF

-Ángulos internos, , , , ,

-Superficie del polígono

N

F

D

A

E

C

B

Figura 77: Radiación

Teniendo las coordenadas del punto E, las distancias hacia los puntos y los

azimutes correspondientes pueden calcularse las proyecciones y luego las coordenadas

de los puntos. Suponiendo (Figura 77) que se conocen las coordenadas del punto E (XE:

1000,00 YE: 1500,00), y con la medición de la distancia EA: 200m y el acimut AzEA:

45º.

XEA = cos 45º . 200m = 141,42m y

XA = XE + XEA = 1000,00 + 141,42 = 1141,42m

YEA = seno 45º . 200m = 141,42m e

79

YA = YE + YEA = 1000,00 + 141,42 = 1141,42m

De forma análoga pueden determinarse las coordenadas X, Y del resto de los

puntos.

Obtenidas las coordenadas del resto de los puntos, el polígono ha quedado

dividido en varios triángulos de los cuales pueden calcularse los ángulos internos

utilizando el teorema del coseno o del seno (se puede obtener por diferencia de acimutes

un ángulo de cada triángulo que es el ángulo en E). De utilizarse el teorema del coseno

de cada triángulo se poseen dos lados que fueron medidos (para el triángulo EAB se

midió EA y EB) y el tercer lado (AB) puede determinarse por el teorema de Pitágoras ya

que se determinaron previamente las coordenadas X e Y de cada punto.

Por último la superficie del polígono puede determinarse por el método de los

trapecios (ver “Cálculo de superficies”) o por el teorema de Herón calculando la

superficie de cada uno de los triángulos y luego sumándolas.

𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑝. 𝑝 − 𝐴𝐵 . 𝑝 − 𝐵𝐶 . (𝑝 − 𝐶𝐴)

donde p = semiperímetro del triángulo

𝑝 =𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴

2

Problema

Se efectuó una radiación haciendo estación en un punto E de coordenadas

conocidas (XE: 1030,64m, YE: 1025,71m). Se midieron los lados y acimutes arrojando

los valores que se muestran en la Tabla 26.

Acimutes Distancias

EA 40 EA 30

EB 120 EB 40

EC 170 EC 35

ED 220 ED 27

EF 330 EF 33

Tabla 26: Acimutes y distancias medidos en la radiación

Calcular las coordenadas de los puntos, y la superficie del polígono

Rta:

X Y

A 1053,62 1044,99

B 1010,64 1060,35

C 996,17 1031,79

D 1009,96 1008,35

F 1059,22 1009,21

Tabla 27: Coordenadas resultantes de los puntos A, B, C, D y F

Superficie: 2372,85m2

80

Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares

Consiste en determinar las distancias de puntos de coordenadas desconocidas con

respecto a un lado AB que se toma como eje de levantamiento.

B (Progresiva 75,25m)

N 72,38

66,56

55,73

55,56

Distancia al eje

Progresiva 22,03

A (Progresiva 0,00m)

Figura 78: Levantamiento de detalles por coordenadas rectangulares

Como se visualiza en la

Figura 78 se han tomado tres detalles cercanos al lado AB. A la derecha del lado se tomó

un árbol y una edificación y a la izquierda un árbol. Existen dos distancias desde cada

detalle al eje de levantamiento: la progresiva, que es la distancia desde el punto de

partida o progresiva 0 (punto A) al pie de la perpendicular del detalle en cuestión y la

distancia al eje que es la distancia desde el pie de la perpendicular al detalle. Mediante

el croquis aproximado que acompaña al levantamiento de detalles se puede identificar si

el detalle está a la izquierda o derecha del eje considerado así como la orientación del eje

de levantamiento con respecto al Norte.

La Intersección Directa en la guerra

Los métodos planimétricos fueron utilizados frecuentemente con fines bélicos. Napoleón

Bonaparte contaba en su ejército con topógrafos que determinaban (con ayuda de goniómetros) ángulos

que permitían calcular las distancias que separaban a sus tropas de las enemigas (Figura 79). Los

operadores medían los ángulos y desde los lugares que eran dominados por las tropas napoleónicas y

se determinaba la distancia NN’ a pasos. Con estos tres datos (, y NN’) se podían hallar las distancias

NE y N’E que resultaban fundamentales para dirigir los cañones de manera de acertar en el objetivo.

81

Figura 79: Napoleón Bonaparte utilizó la intersección directa en sus batallas. Midiendo

los ángulos y desde las posiciones de tropas Napoleónicas (N y N’) se determinaba

la distancia que los separaba del enemigo (E)

Red de Triangulación Fundamental Argentina

El IGM (Instituto Geográfico Militar) fue el organismo a cargo de la realización

de la malla fundamental de puntos con coordenadas conocidas de Argentina.

Figura 80: Red de Triangulación Fundamental Argentina

N

N’

E

82

Para ello se llevaron adelante tareas de triangulación de primer orden siguiendo

la dirección de paralelos y meridianos. Se realizó una gran malla formada por triángulos

con bases de 20 a 50km que iban de Norte a Sur (cadenas meridianas) siguiendo los

meridianos pares (62°, 64°, 66°, etc.) y de Este a Oeste (cadenas paralelas) siguiendo los

paralelos pares (24°, 26°, 28°, etc.). Las cadenas meridianas y paralelas pueden verse en

el mapa de Figura 80 marcadas con líneas intensas.

Las extensas superficies encerradas por estas cadenas meridianas y paralelas

fueron luego rellenadas por triangulaciones de primer orden llamadas mallas (Figura

81).

Figura 81: Cadenas de triangulación meridianas y paralelas(en línea contínua) y mallas

de relleno (en línea discontinua)

Con la triangulación de primer orden se obtuvieron las coordenadas de puntos

(puntos P1, Figura 82).

Figura 82: Densificación de la Red Fundamental

36°S

62°O

34°S

64°O

P2 P3

P3 P3 P3

P3 P3 P3

P3 P3

P3

P4 P1 P1

P3 P4

P3 P2

P2 P2 P2

P2

P2 P4

P1

P1

83

Posteriormente se la densificó mediante triángulos de segundo orden con algunos

de sus vértices comunes con los de primer orden y con lados de 10 a 20km (puntos P2).

A su vez, los triángulos de segundo orden son densificados con triángulos de tercer

orden (puntos P3) y puntos de cuarto orden mediante intersección inversa o Pothenot

(puntos P4) de manera de tener puntos no más distantes de 5km entre sí.

Finalmente, a partir de cada uno de estos triángulos de tercer y cuarto orden y

mediante métodos planimétricos como Poligonal abierta y cerrada y Radiación y

Detalles se determinan las coordenadas de puntos vecinos. En el triángulo de

Figura 83 a partir de dos puntos de coordenadas conocidas mediante triangulación de

tercer orden (P3) y un punto obtenido por intersección inversa (P4) se ha realizado una

poligonal cerrada (obteniendo las coordenadas de B, C y D), una poligonal abierta

(obteniendo F, G, E, H, I), una radiación en el punto E (obteniendo 1 a 11) y un

levantamiento por coordenadas rectangulares utilizando el lado HI (obteniendo 12 a 16).

Figura 83: Densificación de una triangulación de tercer y cuarto orden mediante una

poligonal cerrada, una poligonal abierta, una radiación y un levantamiento por

coordenadas rectangulares

I

P3

16 13 12

15 C

14 1 2 H

11 3 D

E 10 4 B

9 5 G P3 8 7

6

F

P4

84

MÉTODOS DE CÁLCULO DE ÁREAS

Los métodos para calcular áreas de polígonos permiten determinar la superficie

de distintos lotes a partir de mediciones de longitudes y ángulos que se hagan en el

campo o directamente sobre el plano.

Los métodos de cálculo se clasifican en numéricos, gráficos y mecánicos.

Triángulos (Herón)

Radiación (Polares)

Numéricos Normales a una alineación interior

Polígono exterior

Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios)

Cuadrícula

Métodos de Fajas paralelas

cálculo de áreas Gráficos Bezout

Simpson

Poncelet

Mecánico Planímetro polar

(o digital)

Métodos numéricos

El cálculo se efectúa directamente a campo o en gabinete a partir de las

mediciones realizadas en el campo, pero no se trabaja con el plano y la escala. Se

analizarán detalladamente los distintos métodos.

Descomposición en triángulos y uso de la ecuación de Herón

Para utilizar este método, se determinan a campo todas las distancias (lados y

diagonales) que permitan descomponer el lote que se desea calcular en distintos

triángulos para luego aplicar la ecuación de Herón para el cálculo de la superficie de un

triángulo.

𝑆 = 𝑝 . 𝑝 − 𝑎 . 𝑝 − 𝑏 . 𝑝 − 𝑐

donde a, b y c son los lados del triángulo y p el semiperímetro, es decir la mitad

del perímetro

𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

Problema: se midieron los lados y diagonales de un pentágono arrojando los

siguientes valores

AB = 108,36m BC = 119,59m CD = 147,96m

DE = 109,41m EA = 68,48m AC = 185,17m

AD = 161,52m

85

Calcule la superficie

Figura 84: Descomposición en triángulos

Rta: Sup ABC = 6142,84m2 Sup ACD = 11448,41m

2

Sup ADE = 2911,66m2 Sup ABCDE = 20502,91m

2 = 2ha 05a 03ca

Si no se pudiesen medir las diagonales AC y AD por la existencia de

obstáculos a campo se podrían determinar otras diagonales como las BD y BE.

Radiación o polar

Este método consiste en determinar distancias y ángulos que se forman entre un

polo o estación (que se ubica aproximadamente en el centro del lote) y los distintos

vértices del polígono. De esta manera pueden obtenerse los elementos necesarios para

resolver los triángulos que forman el polígono y finalmente calcular la superficie.

Figura 85: Método de radiación o polar

A

B

C

E

D

A

B

G

F

D

C

E

γ δ

ε

λ

86

Del hexágono ABCDFG de Figura 85 se determinaron todas las distancias entre

el punto estación E y cada uno de los vértices. Asimismo, se midieron los ángulos , ,

γ, δ, ε y λ arrojando los siguientes valores

Distancias: EA = 90,66m EB = 91,99m EC = 89,51m ED = 103,48m

EF = 93,36m EG = 100,11m

Ángulos: = 67,399° = 72,703° γ = 57,568° δ = 63,874°

ε = 45,493° λ = 52,964°

Se debe calcular la superficie del polígono.

Una posibilidad es calcular el lado restante para aplicar la ecuación de Herón.

Así, en el triángulo EAB, se cuenta con las distancias EA y EB, faltando la distancia AB

para poder encontrar la superficie de dicho triángulo por Herón. Como se tienen dos

lados (EA y EB) y un ángulo se puede aplicar el teorema del coseno para hallar el lado

AB.

𝐴𝐵2 = 𝐸𝐴2 + 𝐸𝐵2 − 2 . 𝐸𝐴 . 𝐸𝐵 . cos

𝐴𝐵 = 𝐸𝐴2 + 𝐸𝐵2 − 2 . 𝐸𝐴 . 𝐸𝐵 . cos

AB = 101,34m

Teniendo AB, EA y EB se puede calcular el área del triángulo EAB por Herón

Sup EAB = 3849,59m2

Para realizar el mismo cálculo con el resto de los triángulos se deberían calcular

el resto de los lados del polígono por el teorema del coseno obteniendo los siguientes

valores:

BC = 107,60m CD = 93,73m DF = 104,48m

FG = 75,06m GA = 85,48m

Utilizando Herón se obtiene la superficie de los 5 triángulos restantes

EBC = 3930,78m2 ECD = 3908,83m

2 EDF = 4336,84m

2

EFG = 3332,64m2 EGA = 3622,40m

2

Finalmente, mediante la suma de la superficie de los 6 triángulos se obtiene la

superficie del polígono

Superficie hexágono ABCDFG = 22981,08m2

= 2ha 29a 81ca

Un método de cálculo más sencillo consiste en, con los mismos datos de partida,

calcular la superficie de cada triángulo como base x altura / 2, donde la base es una de

las distancias vértice-estación y la altura la otra distancia vértice estación afectada por el

seno del ángulo formado. Para el triángulo EAB sería:

87

Figura 86: Área de un triángulo a partir de dos lados y un ángulo

EB constituye la base del triángulo y EA multiplicado por el seno de es la

altura del triángulo, por lo tanto la superficie del triángulo EAB será:

𝑆𝑢𝑝𝐸𝐴𝐵 =𝐸𝐵. 𝐸𝐴. sin 𝛼

2=

91,99𝑚. 90,66𝑚. sin 67,398

2

Sup EAB = 3849,59m2

De la misma manera se procede con el resto de los triángulos obteniendo las

superficies parciales para luego realizar la suma de las mismas y obtener la superficie

del polígono.

Normales a una alineación interna

Consiste en jalonar una de las diagonales del polígono como eje de

levantamiento y determinar mediante progresivas y distancias al eje las dimensiones de

las figuras elementales que quedan formadas (triángulos y trapecios).

Figura 87: Cálculo del área utilizando normales a una alineación interna

A

E B

h

A

B C

D

E

F

W X Y Z

88

Del hexágono ABCDEF se ha utilizado como eje de levantamiento la diagonal

AD habiéndose formado cuatro triángulos y dos trapecios, siendo las progresivas las

alturas de los triángulos y trapecios formados y las distancias al eje del levantamiento las

bases de los mismos. A partir de estas figuras elementales y conociendo las expresiones

de sus superficies se procede a calcular el área del polígono. En el trabajo de campo se

usan jalones para marcar el eje de levantamiento y cada uno de los vértices a levantar,

escuadra de agrimensor para determinar cada pie de perpendicular sobre la diagonal AD

y cintas para medir las distancias (tanto progresivas como distancias al eje).

Del levantamiento del hexágono ABCDEF se obtuvo la Tabla 28

Progresiva Punto Distancias al eje

0 A

44,55 B -79,66

79,73 F +66,19

165,32 C -91,38

202,25 E +83,18

233,32 D

Tabla 28: levantamiento por normales a una alineación interna

El signo + y – de las distancias al eje refleja que el punto que se está levantando

está a la derecha o izquierda del eje de levantamiento respectivamente. Las proyecciones

de los lados AB, CD, DE y FA sobre el eje de levantamiento AD forman 4 triángulos

mientras que las proyecciones de los lados BC y EF forman dos trapecios.

Para calcular la superficie de cada triángulo basta con utilizar la expresión de

superficie del mismo (base . altura / 2).

Para el triángulo que se forma con la proyección del lado AB sobre el lado AD la

expresión será:

𝑆𝑢𝑝𝐴𝐵𝑊 =𝐴𝑊. 𝑊𝐵

2=

44,55𝑚. 79.66𝑚

2= 1774,43𝑚2

De la misma manera se calculan los tres triángulos restantes:

CDY = 3106,92m2 DEZ = 1292,20m

2 FAX = 2638,66m

2

Para calcular la superficie de los dos trapecios se utiliza la expresión:

𝑆𝑢𝑝. 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 .𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2

Para el trapecio BCYW queda

𝑆𝑢𝑝. 𝐵𝐶𝑌𝑊 = 79,66𝑚 + 91,38𝑚 . (165,32𝑚 − 44,55𝑚)

2= 10328,25𝑚2

y para el EFXZ

89

𝑆𝑢𝑝. 𝐸𝐹𝑋𝑍 = 83,18𝑚 + 66,19𝑚 . (202,25𝑚 − 79,73𝑚)

2= 9150,41𝑚2

Sup. ABCDEF = 28290,87m2 = 2ha 82a 91ca

Polígono exterior

Consiste en utilizar un cuadrado o rectángulo que incluya completamente al

polígono para luego calcular su superficie y restarle la de los elementos sobrantes que no

forman parte del polígono.

Figura 88: Utilización de un polígono exterior

Se debe calcular la superficie del lote hexagonal ABCDEF (Figura 88). Se

utilizará para realizar el cálculo un rectángulo. Se hace coincidir uno de los lados del

rectángulo con uno de los lados del polígono, en este caso el AB. Por medio de jalones,

se prolonga la línea AB hacia ambos lados, hasta encontrar mediante una escuadra los

pies de perpendiculares que pasan por los puntos extremos del lote (F y C). Hallados de

esta manera los puntos O y S, ya se posee una de las dimensiones del rectángulo. Se

miden las distancias OA, AB y BS. Desde los puntos O y S se extienden perpendiculares

que pasen por los puntos F y C hasta hallar los pies de perpendiculares que pasen por el

punto extremo E. De esta manera, se obtienen los puntos P y R y la medida restante del

rectángulo OSRP que incluye al polígono. Se miden las distancias OF, FP, SC y CR.

Finalmente se extiende una cinta desde P hacia R determinando las distancias PE, EO

(pie de la perpendicular que pasa por el punto D) y ER para luego hallar OD.

Luego de realizar el procedimiento de campo se obtiene una planilla de datos

como la de la Tabla 29.

E

C

D

B A

F

O

P Q R

S

90

OA = 83,27m AB =143,09m BS = 93,83m

OF = 95,51m FP = 119,53m SC = 118,36m

CR = 96,68m PE = 143,09m EO = 110,25m

OR = 66,85m OD = 29,88m

Tabla 29: Levantamiento mediante el método del polígono exterior

La superficie del rectángulo que incluye al polígono se obtiene como

Sup OSRP = (OA + AB + BS) . (SC + CR)

Sup OSRP = 68853,66m2

A esta superficie se le debe restar la superficie de los triángulos OAF, FEP, EDO,

BCS y la del trapecio CDOR para obtener la superficie del polígono ABCDEF.

Los cálculos arrojan los siguientes valores

AFO = 3976,56m2 FEP = 8551,77m

2 EDO = 1647,14m

2

BCS = 5552,86m2 CDOR = 4230,27m

2

Finalmente

ABCDEF = OSRP – AFO – FEP – EDO – BCS – CDOR

ABCDEF = 68853,66m2 – 23958,60m

2 = 44895,06m

2 = 4ha 48a 95ca

Abscisas y ordenadas (Método de los trapecios)

Se encuentra desarrollado en el capítulo “Planilla de cálculo de coordenadas y

superficie”

Métodos gráficos

A partir de un plano, carta o cualquier otro tipo de representación plana de una

porción de terreno puede obtenerse el área verdadera de un sector del mismo utilizando

distintos métodos dependiendo si la figura a determinar es un polígono de lados rectos o

no. Si es un polígono de lados rectos pueden utilizarse cualquiera de los métodos

numéricos tomando las medidas de distancias y ángulos en el plano y afectándolas por el

factor Escala. Si es un polígono irregular (lados curvos) pueden utilizarse alguno de los

métodos gráficos o el planímetro polar. En todos ellos es necesario conocer la escala con

la que está construido el plano o carta.

Método de la cuadrícula

Consiste en calcar el perímetro del polígono irregular en un papel vegetal

(transparente) para luego superponerlo sobre un papel milimetrado. Este tipo de papel

posee una malla de 1mm x 1mm de manera tal que cada cuadrado formado por el

entramado de líneas horizontales y verticales equivale a 1mm2. Además, el papel

milimetrado, trae remarcadas con colores más fuertes las líneas cada 5 y 10mm,

facilitando el cálculo de los grandes espacios ya que se forman cuadrados mayores de

5mm x 5mm = 25mm2 y de 10mm x 10mm = 100mm

2 = 1cm

2. Primeramente se realiza

91

el conteo de los grandes cuadrados de 1cm2 que quedan comprendidos dentro del

polígono, luego se contabilizan los cuadrados de 25mm2 para finalmente contabilizar los

cuadrados de 1mm2. Por último, se realiza la estimación de los pequeños cuadrados de

1mm2 que se encuentran cortados por la línea del polígono tratando de compensar las

fracciones de mm2 que le faltan a unos con las de otros, agrupándolos de manera de ir

formando unidades.

Figura 89: Utilización de un papel milimetrado para determinar la superficie de un área

irregular. Pueden observarse los trazos resaltados cada 5 y 10mm

Fajas paralelas

Es similar al método de la cuadrícula.

Figura 90: Método de las fajas paralelas. El ancho de faja es constante

Consiste en calcar inicialmente la figura que se desea calcular la superficie en un

papel vegetal y luego superponer el mismo sobre un papel dividido en líneas paralelas de

ancho fijo (0,2 a 1cm). Se determina la longitud media de cada faja con una regla y

luego de sumar dichas longitudes se multiplica por el ancho fijo de faja.

Fórmula de Bezout o método de los trapecios

Consiste en utilizar una base por debajo de la superficie irregular a determinar

dividiendo a la misma en un número determinado de segmentos iguales. Los segmentos

92

que parten de la base intersectan a la superficie curva. Se asume que la superficie total

está formada por un conjunto de trapecios y dos triángulos que se encuentran en los

extremos. Se utiliza habitualmente un sistema de ejes coordenados X e Y. Para el

cálculo de la superficie de los trapecios se determinan las bases de los mismos (altura de

los segmentos = Y) y se multiplica a la semisuma de ambos por la altura (distancia entre

segmentos = X) siendo este último, un valor constante. Para el cálculo de los triángulos

se miden sus bases y alturas.

Figura 91: Utilización del método de Bezout

La superficie debajo de la curva se calcula mediante la expresión

𝑆 =𝑋1. 𝑌1

2+ ∆𝑋 .

𝑌1 + 𝑌2

2+ ∆𝑋 .

𝑌2 + 𝑌3

2+ … . + ∆𝑋 .

𝑌𝑛−1 + 𝑌𝑛2

+ 𝑋𝑛 . 𝑌𝑛

2

Las bases que van desde Y2 hasta Yn-1, forman parte de dos trapecios por lo tanto

X multiplica dos veces a la mitad de sus valores lo que equivale a multiplicar una vez

el valor entero. Simplificando queda:

𝑆 =𝑋1.𝑌1 + 𝑋𝑛 . 𝑌𝑛

2+ ∆𝑋 .

𝑌1 + 𝑌𝑛2

+ 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + … + 𝑌𝑛−1

Donde el primer término representa la superficie de los dos triángulos y el

segundo la superficie de los trapecios.

La fórmula de Bezout considera rectos a los segmentos del borde de la superficie

por lo que tendrá errores por defecto cuando la superficie es cóncava hacia abajo (como

en la Figura 91) y por exceso cuando presenta la concavidad hacia arriba.

A partir de los valores de coordenadas X e Y obtenidos al trazar un par de ejes

coordenados calcule la superficie debajo de la curva en cm2. La distancia entre

segmentos utilizada fue de 2cm.

X (cm) Y (cm)

0 0

1 1,5

3 4,2

5 5,6

X X

Y

Y1 Yn-1

Yn

X1 Xn

93

7 6,8

9 7,5

11 6,6

13 5,4

15 3,2

17 1,4

18,2 0

Tabla 30: Coordenadas X e Y de puntos de la curva

Rta: 83,09cm2

Fórmula de Simpson

Se conoce como la “Fórmula del 1/3” y asume que la línea que une tres

ordenadas consecutivas es un polinomio de segundo grado. La expresión de Simpson

permite compensar parcialmente el error que se comete con la fórmula de Bezout al

considerar rectos los límites de la figura (cuando en realidad son curvos). Para utilizar

esta expresión la curva que delimita el área debe ser totalmente cóncava o convexa hacia

la recta utilizada como base por lo que inicialmente deben reconocerse los puntos de

inflexión o cambio de curvatura.

Figura 92: Utilización del método de Simpson para el cálculo del área

Inicialmente se divide a la recta base en un número par de segmentos iguales y se

proyectan los extremos de dichos segmentos en forma perpendicular a la recta base hasta

que intersectan la curva. Se unen los puntos de intersección de la curva con las

proyecciones mediante segmentos rectos (cuerdas) de manera similar que con la fórmula

de Bezout. La suma del área de cada uno de estos trapecios da el área por defecto en el

caso de figuras con la concavidad hacia abajo (trapecios inscritos, como en la Figura 92)

y por exceso en las curvas con la concavidad hacia arriba. Esta superficie será

denominada “s”. Además, se trazan segmentos tangentes a la curva en los extremos de

las ordenadas pares y éstos son limitados por las prolongaciones de las ordenadas

impares contiguas. El área de estos últimos trapecios sobreestima a la real en las curvas

con la concavidad hacia abajo (trapecios circunscritos). A esta área se la denominará

y1 y2 y3 y4 y5 y2n y2n+1

h

94

“S”. El área real será un valor menor que “S” y mayor que “s”. Simpson considera que el

valor más cercano al área verdadera proviene de agregarle 1/3 de S-s al valor de s

𝐴 = 𝑠 +𝑆 − 𝑠

3

Figura 93: Detalle de las tangentes a las ordenadas pares y de las cuerdas utilizadas en la

expresión de Simpson

El valor de S, por tratarse de trapecios puede calcularse como el producto de la

altura (2h) por el valor medio de la base (y) y se calcula mediante

𝑆 = 2 . 𝑕 . 𝑦2 + 2 . 𝑕 . 𝑦4 + 2 . 𝑕 . 𝑦6 + ⋯ + 2 . 𝑕 . 𝑦2𝑛

𝑆 = 2 . 𝑕 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + 𝑦2𝑛

Si a la sumatoria de las ordenadas pares se las denomina con la letra P queda

𝑆 = 2 . 𝑕. 𝑃

El valor de s, al tratarse de trapecios se calcula como la altura h por el valor

medio de las bases quedando

𝑠 = 𝑕 .𝑦1 + 𝑦2

2+ 𝑕 .

𝑦2 + 𝑦3

2+ 𝑕 .

𝑦3 + 𝑦4

2+ ⋯ + 𝑕 .

𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1

2

Todas las ordenadas “y” son multiplicadas dos veces por h/2 (ya que forman

parte de dos trapecios) salvo las ordenadas extremas que solo aparecen una vez.

y1 y2 y3 y4 y5

h

95

𝑠 = 𝑕 𝑦1 + 𝑦2𝑛+1

2+ 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + ⋯ + 𝑦2𝑛

Si se denomina con P a las ordenadas pares, I a las impares y E a las extremas la

ecuación queda

𝑠 = 𝑕 𝐸

2+ 𝑃 + 𝐼

Volviendo a la fórmula de Simpson

𝐴 = 𝑠 +𝑆 − 𝑠

3

La misma puede expresarse como

𝐴 = 𝑕 𝐸

2+ 𝑃 + 𝐼 +

2 . 𝑕. 𝑃 − 𝑕 𝐸2 + 𝑃 + 𝐼

3

Tomando factor común h

𝐴 = 𝑕 𝐸

2+ 𝑃 + 𝐼 +

2 𝑃 − 𝐸2 + 𝑃 + 𝐼

3

𝐴 = 𝑕 𝐸

2+ 𝑃 + 𝐼 +

4 𝑃 − 𝐸 − 2𝑃 − 2𝐼

6

𝐴 =𝑕

3

3𝐸

2+ 3𝑃 + 3𝐼 + 2 𝑃 −

𝐸

2− 𝑃 − 𝐼

𝐴 =𝑕

3 𝐸 + 4𝑃 + 2𝐼

El área de acuerdo a la expresión de Simpson será el producto de un tercio de la

distancia entre ordenadas multiplicado por la suma de las ordenadas extremas

aumentadas en el doble de las impares y en el cuádruplo de las pares.

Si la curva fuera convexa (cóncava hacia arriba) el valor de s sería por exceso y S

por defecto calculándose el área según

𝐴 = 𝑠 −𝑠 − 𝑆

3= 𝑠 +

𝑆 + 𝑠

3

utilizándose en consecuencia la misma expresión de cálculo

Utilizando los valores de la Tabla 30 calcule el área mediante la fórmula de

Simpson. Considere como ordenada 1 el valor de 1,5cm y como último (noveno) el de

1,4cm.

Rta: s = 81,5cm2; S = 83,2cm

2; A = 82,07cm

2

96

Fórmula de Poncelet

Con este método se calcula el área debajo de la curva con un razonamiento

semejante al de Simpson. Se utiliza también una base de proyección la que es dividida

en un número par de segmentos. Existirá una superficie S, calculada por exceso,

formada por trapecios circunscritos cada uno de los cuales se obtiene por tangentes a las

ordenadas pares y limitados por las prolongaciones de las ordenadas impares adyacentes

(igual que en el método de Simpson). A esta superficie también se la denomina “S”. La

superficie por defecto (trapecios inscritos) se obtiene como la cuerda que une la

intersección de la curva con las ordenadas adyacentes (para el primer y último trapecio)

y por la cuerda que une las intersecciones de las pares para el resto de la superficie. A

esta superficie se la denomina “s”.

Figura 94: Utilización del método de Poncelet para el cálculo del área

Figura 95: Detalle de las tangentes a las ordenadas pares y de las cuerdas utilizadas en la

expresión de Poncelet

y1 y2 y3 y4 y5 y2n y2n+1

h

y1 y2 y3 y4 y5

h

97

Para Poncelet, el valor del área bajo la curva se calcula como la media entre las

dos superficies

𝐴 =𝑆 + 𝑠

2

S se calcula igual que en la fórmula de Simpson

𝑆 = 2. 𝑕. 𝑃

Mientras que para “s” habrá dos tipos de trapecios, los de los extremos y los del

centro

𝑠𝑒𝑥 = 𝑕 .(𝑦1 + 𝑦2)

2+ 𝑕 .

(𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1)

2

𝑠𝑐𝑒𝑛 = 2 . 𝑕 . 𝑦2 + 𝑦4

2+ 2 . 𝑕 .

𝑦4 + 𝑦6

2+ ⋯ + 2 . 𝑕 .

𝑦2𝑛−4 + 𝑦2𝑛−2

2

𝑠𝑐𝑒𝑛 = 𝑕 . 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑕 . 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + 𝑕 . 𝑦2𝑛−4 + 𝑦2𝑛−2

s se puede expresar como

𝑠 = 𝑕 .(𝑦1 + 𝑦2)

2+ 𝑕 . 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑕 . 𝑦4 + 𝑦6 + ⋯ + 𝑕 .

(𝑦2𝑛 + 𝑦2𝑛+1)

2

Puede advertirse que las ordenadas extremas (y1; y2n+1) son multiplicadas por h/2;

las ordenadas adyacentes a las extremas (y2; y2n) son multiplicadas por 3/2 de h/2 y las

restantes por 2h quedando

𝑠 = 𝑕 .(𝑦1 + 𝑦2𝑛+1)

2+ 3. 𝑕 .

(𝑦2 + 𝑦2𝑛)

2+ 2. 𝑕 . 𝑦4 + 𝑦6 + 𝑦8 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2

Puede simplificarse aún más esta expresión sumando al segundo término ½(y2 +

y2n) y restándolo a la expresión general

𝑠 = 𝑕 .(𝑦1 + 𝑦2𝑛+1)

2− 𝑕 .

(𝑦2 + 𝑦2𝑛)

2+ 2. 𝑕 . 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦6 + 𝑦8 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2 + 𝑦2𝑛

Llamando E a las ordenadas extremas, A a las adyacentes a las mismas y P a las

pares la expresión queda

𝑠 = 𝑕 .𝐸

2− 𝑕 .

𝐴

2+ 2. 𝑕 . 𝑃

𝑠 = 𝑕 . 𝐸 − 𝐴

2+ 2𝑃

La expresión de Poncelet quedará como

98

𝐴 =𝑆 + 𝑠

2=

2. 𝑕. 𝑃 + 𝑕 . 𝐸 − 𝐴

2 + 2𝑃

2=

𝑕 4𝑃 +𝐸 − 𝐴

2

2= 𝑕 2𝑃 +

𝐸 − 𝐴

4

La expresión de Poncelet solo utiliza las ordenadas pares (no usa las impares)

con lo que se reduce el trabajo de medición a la mitad.

Utilizando los valores de la Tabla 30 calcule el área mediante la fórmula de

Poncelet. Considere como ordenadas extremas las de 1,5cm y la de 1,4cm y como

adyacentes las de 4,2cm y 3,2cm. Téngase presente que estos dos últimos valores

(ordenadas adyacentes a las extremas) deben también tenerse en cuenta para el cálculo

de las ordenadas pares ya que lo son.

Rta: s = 78,7cm2; S = 83,2cm

2; A = 80,95cm

2

Método mecánico. Uso del planímetro polar

El planímetro polar permite la medición directa de superficies en el plano. Es un

integrador mecánico de áreas ya que desplazando un punzón (o punto en el centro de una

lupa) que posee en uno de sus brazos por el perímetro de la superficie a determinar,

arroja un valor en un sistema contador que permite calcular dicha superficie.

Figura 96: Uso de un planímetro polar para determinar la superficie de una cuenca

Este instrumento consta de dos brazos articulados entre sí. Uno de los brazos se

denomina brazo polar y vincula a un punto llamado polo (que permanece fijo durante la

medición por su propio peso o por pinches que presenta en su base) con el otro brazo

Polo

Brazo

polar

Brazo trazador

Punta

trazadora

Rueda calibrada y

sistema de lectura

99

denominado brazo trazador. Los brazos pueden pivotar sobre su punto de unión. El

brazo trazador posee, en un extremo, la punta trazadora y en el otro, una caja con una

rueda que gira durante la operación de medición y un sistema que cuenta las vueltas que

da dicha rueda. La distancia entre la punta trazadora y el punto de articulación puede

cambiarse variando así la constante del planímetro. Para medir exactamente esta

distancia el brazo trazador está graduado al milímetro y posee un nonio de coincidencia

(o vernier) dividido en 10 partes por lo que se puede determinar la distancia con una

precisión de la décima de mm.

El planímetro se apoya en el plano en tres lugares: en el polo (que permanece fijo

durante la medición), en la punta trazadora (que es desplazada por el perímetro de la

figura a medir) y en la rueda calibrada.

El fundamento de este instrumento es que la rueda da más vueltas cuando más

superficie recorre la punta trazadora. Posee integrado a la rueda un sistema de lectura

que permite leer las vueltas y fracciones de vuelta (hasta la milésima de vuelta) que da la

misma durante la medición. El sistema de lectura está compuesto por un contador de

vueltas enteras, un tambor dividido en cien partes que brinda la décima y centésima de

vuelta y un nonio de coincidencia que brinda la milésima de vuelta. El sistema de lectura

se puede llevar a cero antes de comenzar a utilizar el instrumento para facilitar los

cálculos posteriores. En caso de no llevar a 0, antes de empezar a recorrer el perímetro

debe anotarse el valor de lectura inicial para descontarlo a la lectura final que se

obtenga.

En la Figura 97 puede verse un sistema de lectura como el descripto.

Figura 97: Detalle de la rueda, sistema de lectura y brazo trazador del planímetro polar

Contador de

vueltas enteras Tambor graduado

en 100 partes Nonio

Rueda

Nonio del

brazo trazador

100

El contador de vueltas enteras está entre 1 y 2 por lo que el número de vueltas es

mayor a 1 y menor a 2 (lectura 1). La marca 0 del nonio está entre 83 y 84 del tambor

graduado por lo que la lectura en este último es de 83. Por último solo una línea del

nonio coincide con otra del tambor graduado, en este caso es la 7 (coincide con la línea

de 90 del tambor). La lectura en consecuencia es 1,837. La distancia entre la punta

trazadora y el punto de articulación se puede leer mediante el nonio del brazo trazador.

El 0 del nonio está entre el 33,0 y el 33,1 (prácticamente en la mitad) por lo que la

lectura es 33,0 y puede verse que la raya del nonio que coincide con una raya del brazo

trazador es la 5 (que coincide con la de 33,5 del brazo trazador). Por lo tanto la lectura es

33,05cm. Los planímetros vienen acompañados de una tabla que contiene para distintas

escalas, diferentes longitudes punta trazadora-punto de articulación aconsejadas. Esto

permite regular esta distancia para obtener en planos a distintas escalas constantes

convenientes que faciliten los cálculos. Por ejemplo, si una vuelta de rueda equivale a

1000ha, al realizar una lectura de 0,315 se determina directamente que la superficie real

es 315ha y se obvian un conjunto de cálculos que llevan a ese resultado.

Para realizar una medición inicialmente se debe marcar un punto del perímetro

de la superficie a medir que se tomará como punto de arranque para posteriormente

recorrer el perímetro de la figura y llegar al punto de partida. En el recorrido puede

ocurrir que la punta trazadora se desvíe hacia uno u otro lado de la línea a recorrer

introduciendo errores en la operación. Estos desvíos tienden a compensarse, es decir, la

suma de los desvíos hacia uno y otro lado da lo mismo. Es aconsejable repetir la

operación de medición varias veces, promediando las lecturas que se obtengan en los

distintos recorridos y verificando que las diferencias entre las mismas sean aceptables

para evitar errores groseros. Si no se llevó a 0 el planímetro antes de empezar a medir y

se partió con un valor de lectura inicial, al valor de lectura final debe restársele el valor

inicial. Debe tratarse que durante la medición, el ángulo que formen los brazos entre si

no sea menor a 45°. Si la superficie es demasiado grande y esto no puede evitarse, es

conveniente dividirla en varias partes e ir determinando superficies parciales para luego

sumarlas. Asimismo, la medición debe hacerse en sentido horario, ya que al hacerlo en

sentido contrario se van descontando vueltas. El sentido antihorario se utiliza cuando se

desea descontar una subárea a una figura a la que se le está calculando el área (se dice

que la figura presenta islas o huecos).

Figura 98: Recorrido realizado con la punta trazadora para hallar la superficie principal

(S) descontando la superficie de una isla (I) con los perímetros unidos por una línea

S

I

PP

101

Se une el perímetro de la figura principal y el de la subárea que se desea

descontar por medio de una línea. Se recorre el perímetro de la figura principal en

sentido horario y al pasar por la línea se la toma hasta llegar al perímetro interno del

hueco o isla. Se recorre el perímetro del hueco en sentido antihorario y al llegar

nuevamente a la línea de la figura principal se la continúa recorriendo en sentido horario

hasta llegar al punto de partida (PP). En la Figura 98 puede verse un esquema del

procedimiento. Si no se desea emplear este método o no se quiere rayar el papel, pueden

calcularse el área de ambas figuras en forma separada (recorriéndolas ambas en sentido

horario) y realizar posteriormente la sustracción.

Otras precauciones que se deben tener al usar el instrumento son: a)fijar

adecuadamente el polo para evitar moverlo durante la medición ya que de hacerlo se

invalida la misma; b)guiar la punta trazadora siempre a mano y no ayudarse con una

regla u otro elemento (cuando existen bordes rectos) ya que se producen desvíos

sistemáticos que no ocurren cuando se lo desplaza a pulso ya que en este caso los

desvíos en uno u otro sentido son semejantes y se compensan; c)evitar que la rueda

tropiece con los bordes del papel, ya que se originan errores en las lecturas. Si la

superficie a determinar está en un papel muy pequeño (lo que dificultaría evitar el borde

de la misma con la ruedita) es preferible calcarla y realizar la medición en el papel

vegetal tratando de que todo el planímetro esté sobre el mismo, incluido el polo; d)evitar

medir sobre papel con rugosidades y tratar de que el mismo esté bien estirado sobre una

superficie plana y sin obstáculos; e)hacer correr la punta trazadora suavemente sobre el

papel evitando que la misma rasgue o directamente no toque el papel ya que se producen

movimientos que invalidan las lecturas; f)hacer un recorrido de prueba con la punta

trazadora verificando que el ángulo entre los brazos trazador y polar no sea muy abierto

o cerrado, caso contrario desplazar el polo y volver a probar o dividir a la figura para

realizar la medición por sectores. Para encontrar la posición del polo rápidamente lo más

conveniente es primero apoyar el brazo trazador con la punta trazadora en el centro de la

figura y a continuación colocar el brazo polar a 90° del mismo g)evitar girar o mover el

papel sobre el que se encuentra el planímetro, sobretodo si el polo a quedado fuera del

papel.

Para relacionar el valor de lectura que se obtiene con el planímetro con los

valores reales de área se debe calibrar previamente el instrumento recorriendo una

superficie conocida y anotando el valor de lectura. Es recomendable realizar la

operación de calibración cada vez que se va a usar el planímetro y de ser posible en el

mismo papel en que se va a determinar la superficie irregular ya que la rueda integradora

adquiere diferentes tipos de reacción en función de las diferentes texturas superficiales

de los papeles de planos, cartas o mapas que se utilicen. Con la calibración se obtiene la

constante “k” del planímetro que indica cuantos cm2 de superficie implica una vuelta de

la rueda integradora por lo que las unidades de k son cm2/vuelta. Luego de obtener la

constante, solo restará conocer la lectura, es decir el número de vueltas que da la rueda

integradora, cuando se recorre una superficie irregular para afectarla por la constante y

hallar la superficie. La lectura obtenida, denominada L, son las vueltas que dio la rueda

integradora al recorrer el área por lo que su unidad es “vueltas” (si se partió de un valor

inicial al valor final se le debe restar dicho valor inicial). La superficie se obtiene

mediante la ecuación:

102

𝑆 𝑐𝑚2 = 𝑘 𝑐𝑚2

𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 . 𝐿 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

La vacilación o error que se comete al determinar la superficie con el planímetro

se puede calcular mediante la expresión

∆𝑆 = 0,02𝑐𝑚 𝑆 𝑐𝑚2

donde 0,02cm representa el poder resolutivo del ojo humano y S representa a la

superficie medida en el plano. En líneas generales se puede afirmar que tiene un error

aproximado del 1%.

La superficie obtenida es superficie en el plano. Si se quiere obtener la superficie

en el terreno debe tenerse presente el factor de escala y que la relación de superficies

entre terreno y plano se hace con el cuadrado de la escala.

𝐸2 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜

Ejemplo

Para determinar la superficie de una laguna presente en una carta a escala

1:50000 se utilizó un planímetro polar mecánico. No se realizó el ajuste de la longitud

punta trazadora-punto de articulación de acuerdo a la tabla que acompañaba el

planímetro para la escala de la carta. Por lo tanto, previamente se calibró el mismo para

obtener la constante, recorriendo un cuadrado de 4cm de lado. Al hacerlo se obtuvo una

lectura de 1,225. Luego se llevó a 0 el contador y se recorrió 3 veces el perímetro de la

laguna, obteniendo una lectura de 2,736. Debe calcularse la superficie de la laguna.

Para obtener la constante del planímetro se relaciona la superficie conocida

recorrida con la lectura obtenida.

𝑘 =𝑆

𝐿=

16𝑐𝑚2

1,225𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠= 13,06

𝑐𝑚2

𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

Luego, la incógnita pasa a ser la Superficie del plano, por lo que se relaciona la

Lectura con la constante obtenida. Debe tenerse presente que la lectura obtenida

corresponde al triple de la superficie ya que proviene de recorrer 3 veces el perímetro de

la laguna.

3𝑆 = 𝑘 . 𝐿 = 13,06𝑐𝑚2

𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑥 2,736 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 36,73𝑐𝑚2

𝑆 =36,73𝑐𝑚2

3= 11,91𝑐𝑚2

Obtenida la superficie de la laguna en el plano, queda conocer la superficie real

de la misma en el terreno por lo que se la relaciona con la escala.

103

𝐸2 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 =𝑆𝑢𝑝. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝐸2=

11,91𝑐𝑚2

1

50000

2 =11,91𝑐𝑚2

12500000000

= 11,91𝑐𝑚2 .2500000000

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 = 29779591837𝑐𝑚2 = 2977959,2𝑚2 = 297𝑕𝑎 79𝑎 59𝑐𝑎

El error cometido en la medición será

∆𝑆 = 0,02𝑐𝑚 11,91𝑐𝑚2 = 0,02𝑐𝑚 𝑥 3,45𝑐𝑚 = 0,069𝑐𝑚2

Ese error cometido en el plano, transformado por la escala a superficie en el

terreno representa 1,72ha y el resultado final podrá expresarse como

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 = 297,8 ± 1,7𝑕𝑎

Los planímetros modernos son digitales, brindando la lectura directamente en

una pantalla de cristal líquido. Además puede seleccionarse la unidad en que muestran la

superficie (cm2, pulgadas

2) y como se puede introducir la escala del plano también

calculan y muestran en pantalla la superficie real en el terreno en distintas unidades que

el operador puede seleccionar (m2, ha, km

2, acres).

Dentro de este tipo de planímetros se encuentran los de punto fijo (que son

similares a los mecánicos) y los de carro móvil en los que no existe un punto fijo y en

los que se reemplaza el “brazo polar” por un brazo con dos rodillos que se pueden

desplazar. Al no estar limitados por un polo no presentan restricciones en cuanto al

tamaño de la superficie a medir. Los de polo fijo se encuentran limitados en este sentido

ya que no se pueden alejar demasiado del polo (por quedar los brazos muy abiertos) ni

pueden disminuir por debajo de 45° el ángulo entre los brazos para un correcto

funcionamiento, debiendo dividirse en subáreas a las figuras demasiado grandes para

poder medirlas.

Figura 99: Planímetro digital de punto fijo Figura 100: Planímetro digital de carro

móvil

104

Determinación de áreas mediante programas de computadora

Existen numerosos programas que permiten calcular el área de un polígono, sea

éste de lados rectos o curvos. La condición para el cálculo es que el mismo sea cerrado.

En general, todos los programas de SIG (Sistemas de Información Geográfica) y CAD

(Dibujo asistido por computadora) poseen esta interesante herramienta. Si se usan

imágenes escaneadas debe tenerse la precaución de dibujar en el mismo papel que

presenta la figura a escanear un polígono de lados rectos de longitud conocida para

poder verificar que no se produzcan aumentos o reducciones durante el escaneo y en

caso de que existan poder corregir dicho efecto. Luego de abrir o importar el archivo de

la imagen se procede a realizar una polilínea que coincida con el perímetro de la figura.

Al cerrarla el programa ya está en condiciones de calcular la superficie. Si se tiene

certeza de la escala se la puede cargar y el programa calcula directamente la superficie

real en el terreno.

Figura 101: Posibilidad de consultar el área de un polígono cerrado en AutoCad

Estos programas también brindan el dato de perímetro del polígono, que resulta

especialmente interesante cuando parte del mismo es curvo. Para medir perímetros de

polígonos irregulares directamente en el plano se utiliza un instrumento llamado

curvímetro que, a la manera de un odómetro, consta de una rueda que se hace girar sobre

el perímetro de la figura y un sistema analógico o digital muestra la distancia recorrida

en cm o pulgadas.

Problema

Para determinar la superficie de un lago que en el centro presenta una isla se

utilizó un planímetro mecánico. Al comenzar la medición el contador de vueltas enteras

no llegaba a 1, el 0 del nonio se encontraba entre el 32 y el 33 del tambor y la séptima

raya del nonio era la que coincidía con una raya del mismo. Luego de recorrer el

perímetro del lago dos veces se obtuvo una lectura de 0,957. Luego se recorrió 3 veces

el perímetro de la isla partiendo de un valor de 0,968 y llegando a un valor final de

1,104. Previamente se calibró el planímetro recorriendo una vez el perímetro de un

cuadrado de 4cm de lado partiendo de 0 y llegando a un valor final de 1,160. Determine

105

la constante del planímetro, la superficie del lago y de la isla con sus respectivos errores

teniendo en cuenta que se trata de una carta a escala 1:100000.

Rta: k = 100cm2/vuelta Slago = 3150 11,2ha Sisla = 453 4,3ha

106

PLANILLA DE CÁLCULO DE COORDENADAS Y SUPERFICIE

En el método planimétrico denominado Poligonal Cerrada el levantamiento se

origina en un punto de coordenadas conocidas. Se miden las distancias de los distintos

lados y los ángulos en cada uno de los vértices. A partir de un acimut de arranque

medido se pueden determinar los restantes acimutes y calcular las coordenadas de los

restantes puntos. Con las coordenadas de todos los vértices puede a su vez calcularse la

superficie encerrada por el polígono. Como en el cálculo se deben realizar numerosas

operaciones matemáticas para evitar la equivocación en los cálculos y en el seguimiento

de la resolución del problema es conveniente sistematizar la información en una planilla

tipo. A su vez esta planilla puede efectuarse y programarse para ser resuelta en una Hoja

de Cálculo tipo Excel que evitará realizar los cálculos en forma manual (con la

consiguiente disminución en la probabilidad de cometer equivocaciones) y agilizará el

proceso de resolución.

Para explicar el modo de resolución de la planilla se llevará adelante la

resolución de un ejemplo puntual. Se ha efectuado la medición de un polígono de 5

vértices (denominados A, B, C, D y E). Para medir los lados se ha empleado una cinta de

agrimensor efectuando la medición al centímetro. Para medir los ángulos se ha utilizado

un teodolito, efectuando la medición al segundo. El acimut de arranque medido en el

vértice A es de 342°. En la Tabla 31 se muestran los datos relevados. Se ha asignado al

vértice A la coordenada arbitraria 1000m (X) y 1000m (Y) como coordenada de

arranque.

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00

1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06

C CD 152,58 119 00 10

D DE 182,41 119 03 37

E EA 244,83 74 36 59

Tabla 31: Planilla de coordenadas con las coordenadas de A y las mediciones lineales,

angulares y de un acimut

Verificación del cierre angular

El primer paso para resolver la planilla y determinar las coordenadas de los

puntos restantes será verificar el cierre angular, es decir que la suma de los ángulos

internos del polígono resulte igual a ∑αi = 180° . (n – 2), siendo n el número de vértices

del polígono. En este caso por ser un pentágono

∑αi = 180° . (n – 2)

∑αi = 180° . (5 – 2)

∑αi = 180° . 3 = 540°

Si se suma la columna de los grados se obtiene 539°, si se suman los minutos se

obtiene 58’ y si se suman los segundos se obtiene 120’’. Los 120 segundos representan 2

minutos que sumados a los 58’ dan un grado. Es el grado que le falta a 539° para llegar a

540°. Por lo tanto la suma de los ángulos internos da 540° y no es necesaria ninguna

107

compensación. Si la sumatoria fuese distinta de 540° debería compensarse la diferencia

entre los distintos ángulos medidos de manera homogénea. Así por ejemplo, si la

sumatoria diera 539°30’ debería sumársele a cada valor angular 6’ (30’/5) para que la

nueva sumatoria arroje los 540°. En el ejemplo no es necesario efectuar ninguna

compensación porque no hay error angular (o el mismo ha sido compensado

previamente).

Cálculo de los acimutes

Con los valores angulares compensados y con el acimut de arranque del lado AB

(AzA→B) pueden calcularse los restantes acimutes.

X

Y

Figura 102: Obtención de los acimutes a partir de un acimut de arranque (AzA→B) y los

ángulos internos del polígono

Para determinar los acimutes a partir del acimut del lado anterior y del ángulo

interno se utilizará la siguiente regla. El acimut a determinar es el acimut del lado

anterior sumado a 180° y restado el ángulo interno. Para el caso del acimut de B hacia C

queda

AzB→C = AzA→B + 180 – β

AzB→C = 342° +180° - 108° 18’ 6’’

AzB→C = 413° 41’ 54’’

Como supera 360° se le restan 360° quedando

AzB→C = 53° 41’ 54’’

A

B

C

D

E

β

108

Obsérvese que en la Figura 102 se ha prolongado (con línea punteada) el lado

AB. Sobre el punto B se ha señalado el Norte y desde allí se ha trazado el AzA→B (acimut

del lado anterior), se le han añadido 180° (un llano) y finalmente se le ha sustraído el

ángulo interno β quedando el AzB→C marcado con una línea de mayor grosor. Para hallar

el acimut AzC→D, se prolonga el lado BC y al acimut anterior (AzB→C) se le suman 180°

y se le resta el ángulo interno quedando el AzC→D marcado con una línea de mayor

grosor. Los cálculos para este acimut quedarían

AzC→D = AzB→C + 180 –

AzC→D = 53° 41’ 54’’ +180° - 119° 0’ 10’’ = 114° 41’ 44’’

Mientras que los cálculos para el acimut AzD→E

AzD→E = AzC→D + 180 –

AzD→E = 114° 41’ 44’’ +180° - 119° 3’ 37’’ = 175° 38’ 7’’

Finalmente el acimut AzE→A

AzE→A = AzD→E + 180 –

AzE→A = 175° 38’ 7’’ + 180° - 74° 36’ 59’’ = 281° 1’ 8’’

Para verificar que los cálculos han sido bien realizados y no se han cometido

errores se recalcula el acimut AzA→>B a partir del acimut AzE→A y el ángulo interno en

A (α)

AzA→B = AzE→A + 180 – α

AzAE→B = 281° 1’ 8’’ + 180° - 119° 1’ 8’’ = 342°

Como coincide con el acimut de partida se confirma que los cálculos han sido

bien realizados y se continúa completando la planilla.

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00

1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06 53 41 54

C CD 152,58 119 00 10 114 41 44

D DE 182,41 119 03 37 175 38 07

E EA 244,83 74 36 59 281 01 08

Tabla 32: Planilla de coordenadas con los acimutes resueltos

Cálculo de las proyecciones

A continuación corresponde calcular las proyecciones de cada uno de los lados

sobre los ejes X (∆X) e Y (∆Y). Para realizar esto se multiplica la longitud del lado por

el coseno y seno del acimut respectivamente.

∆XAB = cos AzA→B . AB

∆XAB = cos 342° . 113,95m = +108,37289m

∆YAB = seno AzA→B . AB

∆YAB = seno 342° . 113,95m = -35,212487m

109

Obsérvese que por ser el acimut AzA→B = 342° (mayor a 270° y menor a 360°) la

coordenada XB debe ser mayor a XA y la coordenada YB debe ser menor aYA. Es por ello

que la proyección ∆XAB ha dado +108,37289m (signo positivo) y la ∆YAB -35,212487m

(signo negativo). Al ir de A hacia B se crece en la coordenada X y se decrece en la

coordenada Y.

X

Y

Figura 103: Obtención del ∆X y ∆Y a partir del acimut y longitud del lado

Reglas de redondeo

Obsérvese que los valores de ∆XAB y ∆YAB han sido colocados con varios

decimales de acuerdo al cálculo efectuado ∆XAB = +108,37289m y ∆YAB = -

35,212487m. No obstante ello debe considerarse aquí la validez de colocar tantos

valores luego de la coma. Como la medición ha sido efectuada al centímetro (dos lugares

después de la coma) es lógico que los valores de las proyecciones calculadas sean

redondeados al cm quedando ∆XAB = +108,37m y ∆YAB = -35,21m.

Se utilizará la regla de redondeo denominada “redondeo al par”. Esta regla

consiste en aumentar en uno o dejar como está al último dígito al que se desea redondear

de acuerdo al valor que le sigue. Se ejemplificará con una serie de valores que se desean

redondear al cm. Por ejemplo 108,372 se redondearía a 108,37. Lo mismo se haría si en

lugar del 2 hubiese un valor que fuese de 0 a 4 (108,370; 108,371; 108,372; 108,373 y

108,374) . Si el valor a redondear fuese 108,378 se aumentaría en uno el último dígito

quedando 108,38. Lo mismo se haría si en lugar del 8 hubiese un valor que vaya de 6 a 9

(108,376; 108,377; 108,378 y 108,379). ¿Que debería hacerse si el valor fuese 108,375

que es exactamente la mitad entre 108,37 y 108,38? En esta situación se decide

aumentar o dejar como está al último dígito en función de si éste es par o no. Si es par se

deja como está. Si es impar (como en este caso) se le suma uno. Por lo tanto al

redondear 108,375 al cm queda 108,38 porque el número que le antecede (7) es impar.

Si el valor a redondear hubiese sido 108,365 por ser el valor anterior un 6 (par) queda

como está (108,36). Es frecuente que aparezca esta situación cuando se mide con cinta y

la diferencia entre la ida y vuelta es un número impar de cm. Por ejemplo, en la ida el

valor es de 135,35m y en la vuelta 135,38m. El valor medio es de 135,365m pero sería

incorrecto considerar este como valor final ya que no se midió al milímetro por lo que es

necesario el redondeo. Teniendo en cuenta la regla enunciada como el valor que

antecede es par (6), queda como está resultando el valor final redondeado 135,36m.

A

B

∆XA

B

∆YA

B

110

Nótese que si es par queda como está, y si es impar se le suma uno, resultando siempre

en un número par. Debido a ello a esta regla se la conoce como “redondeo al par”. Otra

regla es la denominada “redondeo al impar” que consiste en sumar uno si el número que

antecede es par y dejarlo como está si es impar. De esta manera siempre resultaría el

valor final en un número impar.

Es válido usar la regla de “redondeo al par” cuando el último número es un 5 y

no se conoce cuales son los valores que le siguen, pero si luego del 5 hay otros valores

no corresponde utilizarla. Supóngase que el cálculo del ∆XAB hubiese resultado en

108,365035m. Si se redondease de atrás hacia adelante siguiendo la regla de “redondeo

al par” al 3 se le sumaría uno debido a que le sigue un 5 y por ser impar quedaría en

108,36504m. Luego el 0 quedaría como está por ser el número que le sigue un 4

quedando 108,3650m. Por ser un 0 el valor que le sigue, el 5 queda como está, 108,365.

Finalmente, por ser el número previo al 5 par queda como está 108,36. No obstante ello,

piénsese que 108,365035m está más cerca de 108,37m que de 108,36m ya que está a

(108,37-108,365035) 0,004965m de 108,37m y a (108,36m-108,365035m) -0,005035m

de 108,36m. Por lo tanto, solo se podrá usar esta regla de redondeo cuando no se tenga

certeza de los valores que sigan al 5.

Continuando con la resolución de la planilla se calculan el resto de las

proyecciones:

∆XBC = cos AzB→C . BC

∆XBC = cos 53° 41’ 54’’ . 152,39m = +90,22046m = +90,22m

∆YBC = seno AzB→C . BC

∆YBC = seno 53° 41’ 54’’ . 152,39m = +122,81279m = +122,81m

Al ser el acimut AzB→C un valor entre 0° y 90° tanto el ∆XBC como el ∆YBC son

positivos.

∆XCD = cos AzC→D . CD

∆XCD = cos 114° 41’ 44’’ . 152,58m = -63,74741m = -63,75m

∆YCD = seno AzC→D . CD

∆YCD = seno 114° 41’ 44’’ . 152,58m = +138,62512m = +138,63m

Al ser el acimut AzC→D un valor entre 90° y 180° el ∆XCD es negativo y el ∆YCD

es positivo.

∆XDE = cos AzD→E . DE

∆XDE = cos 175° 38’ 7’’ . 182,41m = -181,88097m = -181,88m

∆YDE = seno AzD→E . DE

∆YDE = seno 175° 38’ 7’’ . 182,41m = + 13,88233m = +13,88m

Al ser el acimut AzD→E un valor entre 90° y 180° el ∆XDE es negativo y el ∆YDE

es positivo.

∆XEA = cos AzE→A . EA

∆XEA = cos 281° 1’ 8’’ . 244,83m = +46,79499m = +46,79m

∆YEA = seno AzE→A . EA

∆YEA = seno 281° 1’ 8’’ . 244,83m = -240,31637m = -240,32m

111

Al ser el acimut AzE→A un valor entre 270° y 360° el ∆XDE es positivo y el ∆YDE

es negativo.

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37

-35,21 1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22

122,81

C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75

138,63

D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88

13,88

E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79

-240,32

Tabla 33: Planilla de coordenadas con las proyecciones calculadas resueltas

Cálculo del error

Obsérvese en la Figura 104 que al calcular las proyecciones (∆X y ∆Y) se parte

de un punto de coordenadas conocidas (XA e YA) y se vuelve al mismo, por lo que la

sumatoria de los ∆X y ∆Y debería dar 0. En los ∆X al ir de A hacia B se incrementa el

valor en X (∆XAB). También se incrementa el valor al ir de B hacia C (∆XBC). Al ir de C

hacia D y de D hacia E el valor de X disminuye (∆XCD y ∆XDE). Finalmente al ir de E

hacia A el valor de X crece (∆XEA). Si no se hubiese cometido ningún error la suma de

las proyecciones debería dar 0 ya que se parte de un punto (A) y se vuelve al mismo. Se

calcula el error en X sumando los ∆X.

eX = ∑∆X

eX = ∆XAB + ∆XBC + ∆XCD + ∆XDE + ∆XEA

eX = +108,37 + 90,22 - 63,75 -181,88 + 46,79

eX = -0,25m

X

Y

Figura 104: Proyecciones de los lados sobre los ejes X (∆X) e Y (∆Y)

A

B

C

E

D

∆XDE

∆XCD ∆XBC

∆XAB

∆XEA

∆YAB ∆YBC ∆YCD ∆YDE

∆YEA

112

Para los ∆Y se recurre al mismo razonamiento. Al ir de A hacia B disminuye el

valor en Y (∆YAB). Se incrementa el valor al ir de B hacia C (∆YBC), de C hacia D

(∆YCD) y de D hacia E (∆YDE). Finalmente al ir de E hacia A el valor de Y disminuye

(∆YEA). La suma de las proyecciones debería dar 0 ya que se parte de un punto (A) y se

vuelve al mismo. Se calcula el error en Y sumando los ∆Y.

eY = ∑∆Y

eY = ∆YAB + ∆YBC + ∆YCD + ∆YDE + ∆YEA

eY = -35,21 + 122,81 + 138,63 + 13,88 - 240,32

eY = -0,21m

Con estos resultados se puede concluir que se parte de un punto A con

coordenadas 1000,00 y 1000,00 y no se llega al mismo punto sino a un punto A’ que

está a un ∆X de -0,25m y a un ∆Y de -0,21m de A.

Figura 105: Expresión gráfica del error en X (eX), error en Y (eY) y del error Total (eT)

El Error Total puede calcularse por Pitágoras

𝑒𝑇 = 𝑒𝑋2 + 𝑒𝑌

2

𝑒𝑇 = (−0,25𝑚)2 + (−0,21𝑚)2

eT = 0,326497 = +0,33m

Este error es un error lineal y debe ser comparado con la expresión de Tolerancia

correspondiente (Tolerancia lineal de medición con cinta).

𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3𝐿 + 0,0005𝐿2

donde L es el perímetro o suma de los lados del polígono

L = AB + BC + CD + DE + EA

∆YAA’ = eY

∆XAA’ = eA AA’ = eT

A

A’

113

L = 113,95m + 152,39m + 152,58m + 182,41m + 244,83m

L = 846,16m

𝑇 𝑚 = ±0,015. 0,3 . 846,16𝑚 + 0,0005 . (846,16𝑚)2

T = 0,37103m = 0,37m

Al ser la tolerancia (error máximo admisible) mayor que el error cometido la

medición se considera bien efectuada y no debe repetirse. Si el error hubiese sido mayor

que la tolerancia se debería repetir la medición y la planilla no se terminaría de

completar (ya que el error no se puede compensar).

Compensación del error

Por haber entrado el error en tolerancia corresponde a continuación distribuir el

error entre las distintas proyecciones. Para la distribución del error entre las distintas

proyecciones se explicarán dos posibles metodologías. La compensación teniendo en

cuenta la magnitud de los lados, y la compensación a partir de la magnitud de las

proyecciones.

Compensación a partir de la magnitud de los lados

En este tipo de compensación se considera que los errores son proporcionales a

las distancias medidas, es decir que en los lados de mayor longitud se han cometido los

mayores errores. Por lo tanto, se compensan en mayor medida las proyecciones

correspondientes a los lados más largos.

Para el cálculo de la corrección se recurre a una regla de tres simple

contemplando que si para todo el perímetro se debe aplicar la corrección total (de signo

contrario al error), para el lado en particular que se está considerando la corrección será

proporcional.

Si para L -eX

Para AB 𝐴𝐵 .(−𝑒𝑋 )

𝐿

De esta manera la corrección en X para el lado AB (cXAB) será

𝑐𝑋𝐴𝐵 =−𝑒𝑋 . 𝐴𝐵

𝐿

𝑐𝑋𝐴𝐵 =− −0,25𝑚 . 113,95𝑚

846,16𝑚= +0,03𝑚

Y para los restantes lados

𝑐𝑋𝐵𝐶 =−𝑒𝑋 .𝐵𝐶

𝐿

114

𝑐𝑋𝐵𝐶 =− −0,25𝑚 . 152,39𝑚

846,16𝑚= +0,05𝑚

𝑐𝑋𝐶𝐷 =−𝑒𝑋 .𝐶𝐷

𝐿

𝑐𝑋𝐶𝐷 =− −0,25𝑚 . 152,58𝑚

846,16𝑚= +0,05𝑚

𝑐𝑋𝐷𝐸 =−𝑒𝑋 . 𝐷𝐸

𝐿

𝑐𝑋𝐷𝐸 =− −0,25𝑚 . 182,41𝑚

846,16𝑚= +0,05𝑚

𝑐𝑋𝐸𝐴 =−𝑒𝑋 .𝐸𝐴

𝐿

𝑐𝑋𝐸𝐴 =− −0,25𝑚 . 244,83𝑚

846,16𝑚= +0,07𝑚

Con un razonamiento análogo se calculan y distribuyen las correcciones en Y

(cY)

𝑐𝑌𝐴𝐵 =−𝑒𝑌 .𝐴𝐵

𝐿

𝑐𝑌𝐴𝐵 =− −0,21𝑚 . 113,95𝑚

846,16𝑚= +0,03𝑚

𝑐𝑌𝐵𝐶 =−𝑒𝑌 . 𝐵𝐶

𝐿

𝑐𝑌𝐵𝐶 =− −0,21𝑚 . 152,39𝑚

846,16𝑚= +0,04𝑚

𝑐𝑌𝐶𝐷 =−𝑒𝑌 .𝐶𝐷

𝐿

𝑐𝑌𝐶𝐷 =− −0,21𝑚 . 152,58𝑚

846,16𝑚= +0,04𝑚

115

𝑐𝑌𝐷𝐸 =−𝑒𝑌 .𝐷𝐸

𝐿

𝑐𝑌𝐷𝐸 =− −0,21𝑚 . 182,41𝑚

846,16𝑚= +0,04𝑚

𝑐𝑌𝐸𝐴 =−𝑒𝑌 .𝐸𝐴

𝐿

𝑐𝑌𝐷𝐸 =− −0,21𝑚 . 244,83𝑚

846,16𝑚= +0,06𝑚

Puede verse que con este método de compensación las mayores correcciones

(tanto en X como en Y) las reciben los lados más largos (EA) y las menores los más

cortos (AB) pues se considera que los mayores errores se cometen al medir distancias

mayores.

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04

C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04

D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04

E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06

∑ 846,16

∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21

Tabla 34: Planilla de coordenadas con las correcciones calculadas

Compensación a partir de la magnitud de las proyecciones

En este tipo de compensación se considera que los errores son proporcionales a

las proyecciones efectuadas, es decir que en los lados que posean mayor proyección (en

X o en Y) se han cometido los mayores errores. Por lo tanto, se compensa en mayor

medida a las proyecciones mayores. Obsérvese en la Figura 104 que la mayor

proyección en X es la del lado DE y la menor la del lado EA (que en el otro método de

compensación recibía la mayor corrección por ser el más largo). La mayor proyección

en Y la presenta el lado EA y la menor el lado DE (que está prácticamente vertical y por

lo tanto su proyección en Y es pequeña).

Inicialmente se debe calcular la suma de las proyecciones con valor absoluto ya

que eso representa el desplazamiento que hay en cada eje al ir de un punto hacia el otro.

Para el eje X

∑∆X= ∆XAB + ∆XBC + ∆XCD + ∆XDE + ∆XEA

∑∆X= ++108,37 + +90,22 + -63,75+ -181,88+ +46,79

∑∆X= +108,37 + 90,22 + 63,75 + 181,88 + 46,79

116

∑∆X= 491,01m

Para el eje Y

∑∆Y= ∆YAB + ∆YBC + ∆YCD + ∆YDE + ∆YEA

∑∆Y= + -35,21 + +122,81 + +138,63+ +13,88+ -240,32

∑∆Y= + 35,21 + 122,81 + 138,63 + 13,88 + 240,32

∑∆Y= 550,85m

Para el cálculo de la corrección también se recurre a una regla de tres simple

contemplando que si para todo el recorrido en la proyección se debe aplicar la

corrección total (de signo contrario al error), para la proyección en particular que se está

considerando la corrección será proporcional.

Si para ∑∆X------------- -eX

Para ∆XAB ------------- ∆XAB . (-eX) / ∑∆X

De esta manera la corrección en X para el lado AB (cXAB) será

cXAB = -eX . ∆XAB / ∑∆X

cXAB = -(-0,25m) . 108,37m / 491,01m = +0,06m

Para el resto de los lados

cXBC = -eX . ∆XBC / ∑∆X

cXBC = -(-0,25m) . 90,22m / 491,01m = +0,05m

cXCD = -eX . ∆XCD / ∑∆X

cXCD = -(-0,25m) . 63,75m / 491,01m = +0,03m

cXDE = -eX . ∆XDE / ∑∆X

cXDE = -(-0,25m) . 181,88m / 491,01m = +0,09m

cXEA = -eX . ∆XEA / ∑∆X

cXEA = -(-0,25m) . 46,79m / 491,01m = +0,02m

De la misma forma se calculan y distribuyen las correcciones en Y (cY)

cYAB = -ey . ∆YAB / ∑∆Y

cYAB = -(-0,21m) . 35,21m / 550,85m = +0,01m

cYBC = -ey . ∆YBC / ∑∆Y

cYBC = -(-0,21m) . 122,81m / 550,85m = +0,05m

117

cYCD = -ey . ∆YCD / ∑∆Y

cYCD = -(-0,21m) . 138,63m / 550,85m = +0,05m

cYDE = -ey . ∆YDE / ∑∆Y

cYDE = -(-0,21m) . 13,88m / 550,85m = +0,01m

cYEA = -ey . ∆YEA / ∑∆Y

cYEA = -(-0,21m) . 240,32m / 550,85m = +0,09m

Obsérvese que la mayor corrección en X la recibe el lado DE que es el de mayor

proyección en X, mientras que la menor corrección la recibe el lado EA que es el de

menor proyección. En el eje Y la mayor corrección la recibe el lado EA que es el de

mayor ∆Y mientras que la menor corrección la reciben los lados AB y DE que tienen las

menores proyecciones.

Proyecciones corregidas

Para obtener las proyecciones corregidas, a las proyecciones calculadas se les

debe sumar la corrección con su respectivo signo. Se utilizarán las correcciones

calculadas a partir de la compensación efectuada con la magnitud de los lados.

∆XABcorr = ∆XABcalc + cXAB

∆XABcorr = + 108,37 + 0,03 = +108,40

∆XBCcorr = ∆XBCcalc + cXBC

∆XBCcorr = + 90,22 + 0,05 = +90,27

∆XCDcorr = ∆XCDcalc + cXCD

∆XCDcorr = -63,75 + 0,05 = -63,70

∆XDEcorr = ∆XDEcalc + cXDE

∆XDEcorr = -181,88 + 0,05 = -181,83

∆XEAcorr = ∆XEAcalc + cXEA

∆XEAcorr = +46,79 + 0,07 = +46,86

La sumatoria de las proyecciones en X corregidas debería dar 0. Se procede a su

suma para verificar que los cálculos han sido correctamente realizados

∑∆Xcorr = ∆XABcorr + ∆XBCcorr + ∆XCDcorr + ∆XDEcorr + ∆XEAcorr

∑∆Xcorr = + 108,40 + 90,27 - 63,70 - 181,83 + 46,86 = 0,00

De manera similar se procede para determinar las proyecciones corregidas en Y

∆YABcorr = ∆YABcalc + cYAB

∆YABcorr = -35,21 + 0,03 = -35,18

118

∆YBCcorr = ∆YBCcalc + cYBC

∆YBCcorr = +122,81 + 0,04 = +122,85

∆YCDcorr = ∆YCDcalc + cYCD

∆YCDcorr = +138,63 + 0,04 = +138,67

∆YDEcorr = ∆YDEcalc + cYDE

∆YDEcorr = +13,88 + 0,04 = +13,92

∆YEAcorr = ∆YEAcalc + cYEA

∆YEAcorr = -240,32 + 0,06 = -240,26

La sumatoria de las proyecciones corregidas en Y debería dar 0. En

consecuencia, se suman para verificar que los cálculos son correctos

∑∆Ycorr = ∆YABcorr + ∆YBCcorr + ∆YCDcorr + ∆YDEcorr + ∆YEAcorr

∑∆Ycorr = - 35,18 + 122,85 + 138,67 + 13,92 - 240,26 = 0

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 108,40 -35,18 1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04 90,27 122,85

C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04 -63,7 138,67

D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04 -181,83 13,92

E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06 46,86 -240,26

∑ 846,16

∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21 ∑=0,00 ∑=0,00

Tabla 35: Planilla de coordenadas con el cálculo de las proyecciones corregidas

Cálculo de coordenadas

A partir de las coordenadas del punto de partida (XA, YA) y con las proyecciones

corregidas pueden determinarse las coordenadas del resto de los puntos.

XB = XA + ∆XABcorr

XB = 1000,00 + 108,40 = 1108,40

XC = XC + ∆XBCcorr

XC = 1108,40 + 90,27 = 1198,67

XD = XC + ∆XCDcorr

XD = 1198,67 + (- 63,70) = 1134,97

XE = XD + ∆XDEcorr

XE = 1134,97 + (-181,83) = 953,14

119

Se recalculan las coordenadas del punto A para verificar que coinciden con las

coordenadas de partida y en consecuencia se ha compensado el error de cierre.

XA = XE + ∆XEAcorr

XA = 953,14 + 46,86 = 1000,00

La coordenada XA calculada coincide con la de partida por lo que los cálculos

han sido efectuados correctamente.

Lo mismo se realiza para el cálculo de las coordenadas Y

YB = YA + ∆YABcorr

YB = 1000,00 + (-35,18) = 964,82

YC = YB + ∆YBCcorr

YC = 964,82 + 122,85 = 1087,67

YD = YC + ∆YCDcorr

YD = 1087,67 + 138,67 = 1226,34

YE = YD + ∆YDEcorr

YB = 1226,34 + 13,92 = 1240,26

Se recalculan las coordenadas del punto A y se verifica que coincidan las

coordenadas de partida y calculadas del punto.

YA = YE + ∆YEAcorr

YA = 1240,26 + (-240,26) = 1000,00

Al coincidir la coordenada YA calculada con la de partida se verifica que los

cálculos han sido efectuados correctamente quedando finalizada la planilla.

Ángulo Acimut Proyecciones Calculadas Proy. Corregidas

Vértice Lado Longitud ° ' '' ° ' '' ∆X cX ∆Y cY ∆X ∆Y X Y

A AB 113,95 119 01 08 342 00 00 108,37 0,03 -35,21 0,03 108,40 -35,18 1000,00 1000,00

B BC 152,39 108 18 06 53 41 54 90,22 0,05 122,81 0,04 90,27 122,85 1108,40 964,82

C CD 152,58 119 00 10 114 41 44 -63,75 0,05 138,63 0,04 -63,7 138,67 1198,67 1087,67

D DE 182,41 119 03 37 175 38 07 -181,88 0,05 13,88 0,04 -181,83 13,92 1134,97 1226,34

E EA 244,83 74 36 59 281 01 08 46,79 0,07 -240,32 0,06 46,86 -240,26 953,14 1240,26

∑ 846,16

∑ -0,25 0,25 ∑ -0,21 0,21 ∑=0,00 ∑=0,00

Tabla 36: Planilla de coordenadas finalizada

Cálculo de superficies

A partir de las coordenadas de los puntos de un polígono puede obtenerse su

superficie por el denominado método de los trapecios. Obsérvese en la Figura 106 que la

proyección de cada uno de los lados del polígono sobre el eje X forma trapecios.

120

X

Y

Figura 106: Cálculo de la superficie por medio de la proyección de los lados sobre el eje

X

Observando la Figura 106 puede verse que si a la superficie que presentan los

trapecios que forman las proyecciones de los lados CD y DE sobre el eje X se le resta la

superficie de los trapecios que forman las proyecciones de los lados restantes (AB, BC y

EA) sobre el mismo eje se obtiene la superficie del polígono ABCDE.

El área de cada trapecio individual puede calcularse de acuerdo a la expresión:

𝑆 = 𝐵𝑀 + 𝑏𝑚 .𝑕

2

Donde BM es la base mayor del trapecio, bm la base menor y h la altura

Figura 107: Superficie de un trapecio

En la Figura 107 se ha colocado la base menor a continuación de la Base Mayor

(la bm está simbolizada con línea punteada). Puede advertirse que sumando a la Base

mayor la base menor y multiplicando dicho valor por la altura queda un rectángulo que

tiene el doble de superficie que la del trapecio en cuestión.

A

B

C

E

D

∆XDE

∆XCD ∆XBC

∆XAB

∆XEA

YB YA YC YD YE

Trapecio lado AB

Trapecio lado BC

Trapecio lado CD

Trapecio lado DE

Trapecio lado EA

BM

bm

h

121

La proyección de cada uno de los lados sobre el eje X forma trapecios. Las bases

están representadas por las coordenadas Y de cada uno de los extremos del lado. La

altura es el ∆X entre ambos puntos. En el caso del lado AB la base mayor es YA, la base

menor YB y la altura el ∆XAB. La superficie del trapecio formado por la proyección del

lado AB sobre el eje X es:

𝑆𝐴𝐵 = 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 . ∆𝑋𝐴𝐵

2

Y la de los restantes lados

𝑆𝐵𝐶 = 𝑌𝐵 + 𝑌𝐶 .∆𝑋𝐵𝐶

2

𝑆𝐶𝐷 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝐷 . ∆𝑋𝐶𝐷

2

𝑆𝐷𝐸 = 𝑌𝐷 + 𝑌𝐸 . ∆𝑋𝐷𝐸

2

𝑆𝐸𝐴 = 𝑌𝐸 + 𝑌𝐴 . ∆𝑋𝐸𝐴

2

Obsérvese que para calcular la superficie de cada lado siempre se suman las

coordenadas Y de los puntos y se multiplica dicho valor por el ∆X entre los mismos.

Para realizar los cálculos de manera sistemática se emplea una planilla en la que

se colocan en la primera columna las alturas de los trapecios (∆X), en la segunda la

suma de las bases mayor y menor (∑Y) y en la tercera los productos entre ambas

(correspondientes al doble de la superficie de cada trapecio).

Lado ∆X ∑Y Productos

AB 108,4 1964,82 212986,4880

BC 90,27 2052,49 185278,2723

CD -63,7 2314,01 -147402,4370

DE -181,83 2466,6 -448501,8780

EA 46,86 2240,26 104978,5836

∑ = 2S = -92660,9711

S = 46330,4856

Tabla 37: Planilla de cálculo de superficies mediante proyecciones sobre el eje X

Obsérvese que la columna de ∆X se copia textualmente de la planilla de cálculo

de coordenadas (corregidas). Los lados que presentan ∆X negativos (CD y DE) tienen

productos negativos y los que presentan ∆X positivos (AB, BC y EA) tienen productos

positivos. Los productos se expresan con 4 decimales luego de la coma debido a que las

distancias han sido medidas al cm y para expresar la superficie con detalle hasta el cm2

se deben expresar los primeros 4 decimales (al tratarse de superficies se pasa de una

unidad a la siguiente de a dos lugares). La suma algebraica de estos productos dará el

doble de la superficie del polígono ya que se han multiplicado las alturas (∆X) por la

122

sumatoria de las bases (∑Y) sin dividir por dos en ningún caso. Por esto a la sumatoria

de los productos se la divide por dos para obtener la superficie del polígono. La

sumatoria da negativo porque el ∆X de los trapecios mayores (de los lados CD y DE)

son negativos, pero lógicamente no existen superficies negativas y debe considerarse el

valor absoluto de dicha sumatoria.

Comprobación: Proyección de los lados sobre el eje Y

Para comprobar que los cálculos realizados son correctos se emplea el mismo

método sobre el eje Y ya que la proyección de los lados sobre dicho eje también forma

trapecios.

X

Y

Figura 108: Cálculo de la superficie por medio de la proyección de los lados sobre el eje

Y

En la Figura 108 puede verse que si a la superficie que presentan las

proyecciones de los lados BC, CD y DE sobre el eje Y se le resta la superficie de las

proyecciones de los lados restantes (AB y EA) sobre el mismo eje se obtiene la

superficie del polígono ABCDE.

La proyección de cada uno de los lados sobre el eje Y forma trapecios. Las bases

están representadas por las coordenadas X de cada uno de los extremos del lado. La

altura es el ∆Y entre ambos puntos. En el caso del lado AB la base mayor es XB, la base

menor XA y la altura el ∆YAB. La superficie del trapecio formado por la proyección del

lado AB sobre el eje Y es:

𝑆𝐴𝐵 = 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 .∆𝑌𝐴𝐵

2

A

B

C

E

D

XC

XD

∆YAB ∆YBC ∆YCD ∆YDE

∆YEA

XB

XA

XE

Trapecio lado AB

Trapecio lado BC

Trapecio lado CD

Trapecio lado DE

Trapecio lado EA

123

Y la de los restantes lados

𝑆𝐵𝐶 = 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 .∆𝑌𝐵𝐶

2

𝑆𝐶𝐷 = 𝑋𝐶 + 𝑋𝐷 .∆𝑌𝐶𝐷

2

𝑆𝐷𝐸 = 𝑋𝐷 + 𝑋𝐸 .∆𝑌𝐷𝐸

2

𝑆𝐸𝐴 = 𝑋𝐸 + 𝑋𝐴 .∆𝑌𝐸𝐴

2

Para calcular la superficie de cada lado siempre se suman las coordenadas X de

los puntos y se multiplica dicho valor por el ∆Y entre los mismos.

Se emplea la misma planilla en la que se colocan en la primera columna las

alturas de los trapecios (∆Y), en la segunda la suma de las bases mayor y menor (∑X) y

en la tercera los productos entre ambas (correspondientes al doble de la superficie de

cada trapecio). La columna de ∆Y se copia textualmente de la planilla de cálculo de

coordenadas (corregidas). Los lados que presentan ∆Y negativos (AB y EA) tienen

productos negativos y los que presentan ∆Y positivos (BC, CD y DE) tienen productos

positivos. A la sumatoria de los productos se la divide por dos para obtener la superficie

que debe ser exactamente igual a la calculada en base a las proyecciones sobre el eje X

solo que de signo contrario.

Lado ∆X ∑Y Productos ∆Y ∑X Productos

AB 108,4 1964,82 212986,4880 -35,18 2108,4 -74173,5120

BC 90,27 2052,49 185278,2723 122,85 2307,07 283423,5495

CD -63,7 2314,01 -147402,4370 138,67 2333,64 323605,8588

DE -181,83 2466,6 -448501,8780 13,92 2088,11 29066,4912

EA 46,86 2240,26 104978,5836 -240,26 1953,14 -469261,4164

∑ = 2S = -92660,9711 ∑ = 2S = 92660,9711

S = -46330,4856 S = 46330,4856

Tabla 38: Planilla de cálculo de superficies finalizada con la comprobación del resultado

mediante proyecciones sobre el eje Y

Expresión de la superficie en unidades agrarias

La superficie obtenida en la Tabla 38 mediante la planilla de cálculo de

superficies expresa la superficie en unidades métricas. Lo más habitual es expresar la

superficie de los lotes en unidades agrarias: hectáreas y sus submúltiplos (áreas y

centiáreas).

Una hectárea equivale a 10000m2 y es la superficie de un cuadrado de 100m de

lado. Por lo tanto a la superficie obtenida en m2 se la debe dividir por 10000 para

obtener el valor en hectáreas.

124

46330,4856m2

10000m2

ha

= 4, 63304856ha

Los dos primeros decimales (63) corresponden a las áreas (a) y el tercero y

cuarto (30) a las centiáreas (Ca). El área equivale a 100m2 y es la superficie de un

cuadrado de 10m de lado. La centiárea equivale a 1m2. Finalmente, los valores de

fracción de metro cuadrado restantes (4856) se redondean al metro cuadrado. En este

caso por no llegar a 5000 queda en 30 el valor de las centiáreas (Ca). Si hubiese

superado 5000 se hubiese redondeado a 31.

El valor final de la superficie expresado en unidades agrarias es:

4ha 63a 30Ca

125

ALTIMETRÍA

La altimetría es la parte de la Topografía que tiene por objeto determinar la altura

del terreno o de puntos físicos, con relación a una superficie de comparación adoptada.

La distancia vertical entre dicha superficie de referencia y un punto considerado se

denomina Altitud, Altura absoluta o Cota. A la superficie de referencia le corresponde la

cota cero.

En la República Argentina se adoptaron diversas superficies de comparación a

través del tiempo o de las necesidades específicas. Actualmente las cotas publicadas por

el Instituto Geográfico Militar están referidas al nivel medio del Océano Atlántico,

frente a Mar del Plata, determinado por las observaciones mareográficas del Ministerio

de Obras Públicas de la Nación. A causa de atracciones conjuntas del Soy y la Luna, las

aguas del mar suben y bajan periódicamente, originando las mareas baja (bajamar o

máximo descenso) y alta (pleamar o máximo ascenso). El nivel medio de las aguas del

mar fue obtenido a través de numerosas observaciones a través de los años realizadas

con un mareógrafo en Mar del Plata.

Mediante nivelaciones de alta precisión se le proporcionó cota al punto de

nivelación principal o fundamental del país, que se encuentra en el Parque

Independencia de la Ciudad de Tandil (Provincia de Buenos Aires). A este punto se lo

denomina con la sigla PARN (Punto Altimétrico de Referencia Normal).

A las cotas referidas al nivel medio de las aguas del mar se las denomina también

cotas IGM (Instituto Geográfico Militar).

Dadas las distancias en las que normalmente se desarrollan los trabajos

topográficos, puede considerarse a la superficie de referencia como un Plano de

Comparación.

En ciertos trabajos suelen adoptarse cotas arbitrarias referidas a algún hecho

físico local (puentes, vías férreas, etc). No obstante, luego se podrán referir al IGM.

Cota M (IGM) = Cota M (arbitraria) + H

siendo H el desnivel entre el plano de comparación arbitrario y el nivel medio de las

aguas del mar.

Efecto de la curvatura terrestre en altimetría

Se analizará el error que ocasiona el efecto de la curvatura terrestre en la

determinación del desnivel entre dos puntos.

Supónganse dos puntos A y B que se encuentran distanciados y que se

encuentran al nivel del mar (cota 0). Si con un instrumento se dirige una visual

horizontal para determinar el desnivel entre los mismos, la visual que se realiza no

seguiría la curvatura terrestre sino que sería una tangente a A y esto originaría un error

que en el gráfico se representa con el segmento BB’(x). Al efectuar la operación

parecería que el punto B está deprimido o más bajo que el A. A continuación se

calculará cual es el error cometido debido a la curvatura terrestre.

126

A d B’

tangente a la Tierra en A

c

B

R superficie terrestre

R

C

Figura 109: Efecto de la curvatura terrestre en altimetría

Aplicando el teorema de Pitágoras

(BC+BB’)2 = AC

2 + AB’

2

BC y AC son el radio terrestre (R 6370km), BB’ es el error altimétrico

cometido (c) y AB’ la distancia entre los puntos (d)

Reemplazando

(R + c)2 = R

2 + d

2

R2 + 2Rc + c

2 = R

2 + d

2

2Rc + c2 = d

2

Dividiendo miembro a miembro por 2R y despreciando c2/2R debido a que el

error c es pequeño (mucho menor a 1) y al estar al cuadrado y dividido por 2R se vuelve

ínfimo

Finalmente

𝑐 =𝑑2

2𝑅

Al valor “c” se lo denomina efecto de la curvatura terrestre, curvatura terrestre

o depresión del horizonte.

Se analizarán cuáles son los valores que adquiere dicho error de acuerdo a las

distancias empleadas en las nivelaciones.

Para d = 100m (0,1km) queda 𝑐 =(0,1𝑘𝑚 )2

2.6370𝑘𝑚= 7,8. 10−7𝑘𝑚 = 0,78𝑚𝑚

Para d = 200m (0,2km) queda 𝑐 =(0,2𝑘𝑚 )2

2.6370𝑘𝑚= 3,1. 10−6𝑘𝑚 = 3,12𝑚𝑚

127

Nótese que la distancia entre los puntos está al cuadrado y el error no aumenta

linealmente con la misma sino que para el doble de distancia el error se cuadruplica.

Para d = 1000m (1km) queda 𝑐 =(1𝑘𝑚 )2

2.6370𝑘𝑚= 7,8. 10−5𝑘𝑚 = 7,8𝑐𝑚

Este error debe sumarse al desnivel encontrado entre los puntos. Así, si el punto

A estuviese a la misma cota que el punto B y se encontrasen distanciados 1000m (1km)

cuando se realiza la nivelación se encontraría que B tiene 7,8cm menos pero esto es

debido a la curvatura y no a la diferencia de cota per se.

HAB = H registrado + c

HAB = -7,8cm + 7,8cm = 0

Efecto de la curvatura y refracción atmosférica

El efecto de la curvatura causaría un error por defecto en la nivelación entre dos

puntos. Esto ocurriría si la visual que se hubiese realizado fuese perfectamente

horizontal y tangente a la Tierra en A. Pero cuando se dirige una visual con un

instrumento óptico, la misma va atravesando capas de la atmósfera de distinta densidad

que por refracción la curvan y consecuentemente la visual verdadera deja de ser una

recta tangente a la Tierra para transformarse en una curva.

A d B’

tangente a la Tierra en A

B’’ Visual verdadera

B

R superficie terrestre

R

C

C’

Figura 110: Efecto combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica

Nótese que el efecto de la refracción atmosférica, compensa parcialmente el error

por curvatura. Si no hubiese refracción, el error sería solo de curvatura y en el caso

analizado estaría representado por el segmento BB’. Si se considera el efecto de la

refracción el error pasa a ser BB’’ que es un segmento menor a BB’.

La refracción no es un valor constante y varía a lo largo del día. La visual

verdadera esta inscrita en un círculo de radio mayor al terrestre. El valor de este Radio

varía entre 25000km al amanecer y atardecer (siendo la refracción en estos períodos

máxima) y 75000km al mediodía (refracción mínima) siendo su valor medio 50000km.

La relación entre los radios terrestre y el de curvatura de la luz por efecto de la

refracción es una constante igual a: k = R/R’ = 6370km/50000km = 1 / 7,8 = 0,13

128

El error debido solo a la refracción (representado por el segmento B’B’’)

constituye el apartamiento de la visual verdadera con respecto a la horizontal(AB’) y

puede calcularse empleando nuevamente Pitágoras con el triángulo C’AB’ del siguiente

modo

(B’B’’ + B’’C’)2 = (AC’)

2 + (AB’)

2

(r + R’)2 = R’

2 + d

2

R’2 + 2 . r . R’ + r

2 = R’

2 + d

2

siendo r2 despreciable queda

𝑟 =𝑑2

2𝑅′

Puede verse que el efecto de la refracción (r) compensa parcialmente el error

producido por la curvatura (c)

Quiere decir que el error por curvatura y refracción (“cr”) en el caso analizado

será:

cr = BB’’ = BB’ – B’B’’ = c – r

𝑐𝑟 =𝑑2

2𝑅−

𝑑2

2𝑅′=

𝑑2

2𝑅−

𝑑2

2𝑅 . 7,8=

𝑑2

2𝑅−

0,13𝑑2

2𝑅

𝑐𝑟 =(1 − 0,13)𝑑2

2𝑅=

0,87𝑑2

2𝑅=

0,87

2.6370 𝑑2 =

0,00007

𝑘𝑚 . 𝑑 𝑘𝑚 2

El efecto de curvatura y refracción se reduce a 7.10-5

. d2 (y el resultado quedaría

expresado en km). Si se desea que el resultado quede directamente expresado en metros

puede usarse la ecuación

𝑐𝑟 𝑚 =0,07𝑚

𝑘𝑚2. 𝑑 𝑘𝑚 2

Para una distancia de 1km el efecto de la curvatura es de 7,8cm, pero

considerando la refracción dicho valor disminuye a 6,8cm.

Problema

Una persona que tiene los ojos a una altura de 1,6m del suelo ¿a qué distancia ve

el horizonte en la pampa deprimida considerando que la diferencia de relieve es

despreciable (relieve llano)? ¿Y si se sube a un molino de 10m de altura? Rta 1: 4,52km

Rta 2: 12,18km

129

NIVELACIÓN

Los desniveles entre puntos se obtienen por procedimientos llamados

Nivelaciones. Existen diversos tipos de nivelaciones de acuerdo al instrumental y

método utilizados. En orden creciente de precisión son: 1)nivelación barométrica,

2)nivelación trigonométrica y 3)nivelación geométrica.

En la Tabla 39 se detalla el instrumental utilizado y la precisión alcanzada por

cada tipo de nivelación así como el relieve del terreno en el que mejor se adapta cada

una de ellas.

Instrumental Precisión Relieve

Barométrica Barómetro metro Muy quebrado

Trigonométrica Teodolito y miras cm Quebrado

Geométrica Nivel y miras milímetro Llano

Tabla 39: Instrumental, precisión y relieve en el que se usa cada tipo de nivelación

Nivelación Barométrica

Mediante la utilización de barómetros puede determinarse el desnivel entre dos

puntos basándose en la diferencia de presión entre los mismos. Si bien es el método de

menor precisión puede resultar útil para reconocimientos iniciales en lugares

montañosos.

El fundamento de esta nivelación es que el aire de la atmósfera terrestre posee un

peso y dicho peso recae sobre la superficie terrestre generando una presión llamada

presión atmosférica. Cuando se asciende una elevación, la columna de atmósfera se va

reduciendo, originando una disminución de la presión atmosférica. Quiere decir que

midiendo la diferencia de presión atmosférica se puede determinar la diferencia de

elevación y que puntos con igual presión atmosférica estarán a la misma altura. Esto

constituye el principio de la nivelación barométrica.

Deben añadirse ciertas salvedades. Las variaciones de temperatura ocasionan

variaciones en la densidad del aire de la atmósfera. A medida que se asciende la

temperatura desciende y este hecho hace aumentar la presión. Es decir que no es

suficiente con medir solo la presión, ya que dos puntos con igual presión atmosférica

pueden estar a distinta altura, el más elevado tendría menos columna de atmósfera pero

al tener más densidad el aire (por estar más frío) tendría finalmente la misma presión y

no podría determinarse el desnivel. Debido a esto es que en la nivelación barométrica se

determina presión atmosférica y temperatura simultáneamente.

La temperatura (que influye sobre la presión atmosférica) no es constante a lo

largo del día. Esto ocasiona que si se desea conocer el desnivel entre dos puntos se

deberá realizar simultáneamente la determinación de temperatura y presión en ambos

puntos. El modo de operar consiste en realizar dos estaciones: una fija en un punto de

control de cota conocida en el que se van tomando a intervalos de tiempo fijo la

temperatura y presión y otra itinerante en que dichos valores son tomados en puntos

cuya cota se desea conocer en los mismos intervalos de tiempo. El instrumental utilizado

para medir la presión atmosférica es un barómetro (del griego baros = peso y metron =

medida) metálico particular denominado aneroide (del griego a = sin y neros = húmedo)

130

ya que no contiene líquido. La determinación de la temperatura se realiza por medio de

un termómetro.

Numerosos matemáticos establecieron ecuaciones barométricas, entre ellos

Laplace y Jordan siendo las de este último las más aceptadas por su exactitud y

sencillez. Además de la diferencia de temperatura y presión entre los puntos que se

desea determinar el desnivel, sus ecuaciones tienen en cuenta la latitud geográfica del

lugar, debido a que la gravedad no es la misma en todo el planeta (siendo máxima en los

Polos y mínima en el Ecuador). Esto afecta la atracción de los cuerpos, entre ellos la

atmósfera.

Con la ecuación de Jordan se elaboraron tablas que indican la altura que tendría

un punto con una temperatura y presión determinada.

Presión .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 mm Hg m m m m m m m m m m

745 190,9 189,7 188,6 187,5 186,3 185,2 184,1 182,9 181,8 180,6

746 179,5 178,4 177,2 176,1 175,0 173,8 172,7 171,6 170,5 169,3

747 168,2 167,1 165,9 164,8 163,6 162,5 161,4 160,3 159,1 158,0

748 156,9 155,7 154,6 153,5 152,3 151,2 150,1 149,0 147,8 146,7

749 145,6 144,5 143,3 142,2 141,1 139,9 138,8 137,7 136,5 135,4

750 134,3 133,2 132,0 130,9 129,8 128,6 127,5 126,4 125,3 124,1

751 123,0 121,9 120,8 119,6 118,5 117,4 116,3 115,1 114,1 112,9

752 111,8 110,6 109,5 108,4 107,6 106,1 105,0 103,9 102,8 101,6

753 100,5 99,4 98,2 97,1 96,0 94,9 93,8 92,7 91,5 90,4

754 89,3 88,2 87,0 85,9 84,8 83,7 82,6 81,4 80,3 79,2

755 78,1 77,0 75,8 74,7 73,6 72,5 71,4 70,2 69,1 68,0

756 66,9 65,8 64,6 63,5 62,4 61,3 60,2 59,1 57,9 56,8

757 55,7 54,6 53,5 52,3 51,2 50,1 49,0 47,9 46,8 45,6

758 44,5 43,4 42,3 41,3 40,1 38,9 37,8 36,7 35,6 34,5

759 33,4 32,3 31,1 30,0 28,9 27,8 26,7 25,6 24,5 23,3

760 22,2 21,1 20,0 18,9 17,8 16,7 15,6 14,5 13,3 12,2

761 11,1 10,0 8,9 7,8 6,7 5,6 4,4 3,3 2,2 1,1

762 0,0 -1,1 -2,2 -3,3 -4,4 -5,5 -6,7 -7,8 -8,9 -10,0

Tabla 40: Tabla de Jordan (para t = 15°C y considerando 762 mm Hg la presión

atmosférica al nivel del mar)

Puede observarse que en el nivel del mar (0,0m) existe una presión atmosférica

de 762,0 mm de Hg. Presiones menores (siempre considerando una temperatura de 15°)

implican alturas mayores. Presiones mayores a 762,0 mm Hg implicarían depresiones

absolutas (cotas menores al nivel medio del mar) indicadas con valores negativos en la

Tabla 40.

¿Como medir un edificio con un barómetro?

En un examen de Física a un estudiante se le preguntó como medir un edificio con un barómetro.

El alumno respondió que se le ocurrían muchas formas: a) atar el barómetro a una soga y descolgarlo

desde la azotea del edificio, llegar hasta el suelo con el barómetro y hacer una marca en la soga para

luego medirla en una superficie horizontal; b) utilizar el barómetro como unidad de medida e ir haciendo

marcas en las paredes de la escaleras a medida que se sube el edificio, contar las marcas al bajar y

multiplicar dicho número por la altura del barómetro; c) en un día de sol colocar verticalmente el

barómetro y medir su sombra, medir la longitud de la sombra del edificio y por semejanza de triángulos

determinar la altura del mismo ya que la altura del barómetro es a su sombra como la del edificio a la

propia (Figura 111, arriba); d)utilizando semejanza de triángulos acercarse o alejarse del edificio

131

sosteniendo el barómetro con el brazo alargado hasta que la visual del operador pase al mismo tiempo

por el extremo del barómetro y el del edificio, el largo del brazo será a la altura del barómetro como la

distancia que separa al operador del edificio lo es al alto del edificio(Figura 111, abajo); e)ofrecerle al

portero del edificio el barómetro a cambio de que informe la altura del edificio. El profesor no estaba

satisfecho con las respuestas ya que si bien eran correctas ninguna de ellas demostraba que el alumno

sabía Física. Decidió darle una nueva oportunidad aclarándole que debía demostrar en su respuesta que

dominaba la asignatura. La respuesta del alumno fue f)subir a la azotea con el barómetro y un

cronómetro, soltar el barómetro y con el cronómetro medir el tiempo que tarda el barómetro en

estrellarse en el suelo. Con el tiempo y aplicando la ecuación 𝑒 =1

2𝑎. 𝑡2 puede calcularse el espacio

recorrido por el barómetro que es la altura del edificio. El Profesor debió aprobar al alumno que años

más tarde (en 1922) recibiría el Premio Nóbel de Física por sus trabajos sobre la estructura del átomo.

Se trataba del danés Niels Bohr.

Figura 111: El danés Niels Bohr discutiendo con Albert Einstein la teoría cuántica y dos

de sus ingeniosos métodos para hallar la altura de un edificio con un barómetro

Nivelación Trigonométrica

El principio de esta nivelación es determinar el desnivel entre dos puntos

midiendo un ángulo vertical (ángulo de altura o distancia cenital), la altura del

instrumento de medición y la altura de la señal. El instrumento utilizado puede ser un

teodolito o brújula forestal, que permiten medir un ángulo vertical llamado ángulo

cenital pues el origen ó 0 de dicho ángulo se considera en la vertical del lugar también

denominada cenit. Observar que el ángulo cenital que mide el teodolito es el

complemento (diferencia con 90°) del ángulo o ángulo de elevación que es el ángulo

medido a partir de la horizontal.

El cálculo del desnivel se determina de la manera indicada en la Figura 112.

𝑕

𝑑=

𝐻

𝐷

𝑠

𝑕=

𝑆

𝐻

s S

H

h

d

D

H h

132

Cenit

sñ

P

i

ZP

AP

ZA

Figura 112: Cálculo del desnivel mediante nivelación trigonométrica

Datos: zA(cota del punto A), distancia AP

Medidas: (ángulo cenital ó en su defecto ángulo de elevación), i (altura del

instrumento), sñ (altura de la señal o mira)

Incógnita: zP

Resolución:

∆𝐻𝐴𝑃 =𝐴𝑃

tan 𝛽+ 𝑖 − 𝑠ñ + 𝑐𝑟

Donde: 𝐴𝑃 = distancia AP (determinada previamente)

cr = corrección por la influencia de la curvatura y refracción

Nótese que para la determinación del desnivel se hace uso de la función

trigonométrica tangente, de allí proviene el nombre de nivelación trigonométrica.

Para evaluar la cr se puede usar la siguiente ecuación aproximada:

𝑐𝑟(𝑚) =0,07𝑚

𝑘𝑚2 𝐴𝑃 (𝑘𝑚) 2

Finalmente se puede calcular la zP mediante: zP = zA + HAP

Si se contara con el dato de la cota de otro punto B, se podría efectuar el mismo

proceso para la distancia BP y obtener la zP a partir de zB, promediando luego el

resultado con los valores obtenidos a partir de zA.

A

133

Ejemplo

Sean 2 puntos A y B con coordenadas locales conocidas, en los cuales se hace

estación con un teodolito para determinar las coordenadas de un tercer punto P

(incógnita).

P

A B

Figura 113: Nivelación trigonométrica de P desde el punto A

Datos:

XA = 100 XB = 100 ZA = 10

YA = 100 YB = 150 ZB = ---

Mediciones:

Ángulos horizontales = 59º19’45’’ = 60º00’10’’

Ángulo cenital medido haciendo estación en A y bisectando señal posicionada

sobre P = 89º42’40’’

Altura del teodolito: i = 1,61m

Altura de la señal en punto P: sñ = 2,5m

Se trata del método planimétrico de intersección directa. Se conoce la base AB y

se desea determinar las coordenadas de un tercer punto P.

1)Se determinan las coordenadas planas XP eYP

La distancia AB surge por Pitágoras

𝐴𝐵 = ∆𝑋2 + ∆𝑌2 = 02 + 502 = 50𝑚

El AzAB = 90° y el AzAP = AzAB - = 90° - 59º19’45’’ = 30°40’15’’

La distancia AP puede ser calculada mediante el teorema del seno

sin

𝐴𝐵=

sin

𝐴𝑃

sabiendo que = 180° - - = 60°40’05’’

𝐴𝑃 =sin . AB

sin = 49,67𝑚

134

XAP = AP . cosAzAP = 49,67m . cos30°40’15’’ = 42,72m XP = XA + XAP =

142,72m

YAP = AP . senAzAP = 49,67m . sen30°40’15’’ = 25,34m YP = YA + YAP =

125,34m

Queda por resolver la coordenada ZP

Se determina el HAP

cr(m) = 0,07 . AP2

(km) = 0,07 . 0,049672 = 0,00017m despreciable

∆𝐻𝐴𝑃 =𝐴𝑃

tan+ 𝑖 − 𝑠ñ + 𝑐𝑟

∆𝐻𝐴𝑃 =49,67𝑚

tan 89º42’40’’+ 1,61𝑚 − 2,5𝑚 = −0,64𝑚

ZP = ZA + HAP = 10 + (– 0,64) = 9,36m

Problema

Se realizó una intersección lateral para obtener las coordenadas X, Y, Z de un

punto M, donde se proyecta instalar un molino.

Datos:

XA = 122,53 XB = 118,32 ZA = 77,83

YA = 177,89 YB = 147,39 ZB = ---

Mediciones

Ángulos horizontales (en A) = 39º19’45’’ (en M) = 75º07’47’’

Ángulo cenital medido haciendo estación en A y bisectando señal posicionada

sobre M = 80º50’27’’

Altura del teodolito: i = 1,5m

Altura de la señal en punto M: sñ = 1,33m

Incógnita:

Determinar las coordenadas del punto M. (el punto M se encuentra a la derecha

del lado AB yendo de A hacia B)

135

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

Fundamento o principio

La nivelación geométrica se basa en dirigir visuales horizontales sobre reglas

graduadas o “miras” que se colocan verticales sobre los puntos que se desean nivelar o

determinar su cota.

Figura 114: Principio de la nivelación geométrica: visuales horizontales sobre miras

verticales

En la Figura 114 puede observarse que entre los puntos A y B se ha localizado un

trípode y sobre el mismo un nivel de anteojo, con el cual se realiza una visual horizontal

sobre las reglas graduadas o miras, ubicadas en A y B. En las miras se leen las distancias

existentes entre el suelo y la visual (el cero de la mira siempre se apoya en el suelo), por

lo tanto en los puntos más bajos (como A en el ejemplo) las lecturas de mira son

mayores. La diferencia de cota o desnivel entre los puntos se obtiene por diferencia de

lecturas (simbolizadas como hmA y hmB). En el ejemplo el desnivel de A hacia B es de

∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑕𝑚𝐴 − 𝑕𝑚𝐵

∆𝐻𝐴𝐵 = 1,45𝑚 − 1,25𝑚

∆𝐻𝐴𝐵 = +0,2𝑚 = +20𝑐𝑚

Obsérvese que el desnivel tiene un signo (+) y un sentido (de A hacia B) y en el

sentido contrario (de B hacia A) es de signo opuesto.

∆𝐻𝐵𝐴 = 𝑕𝑚𝐵 − 𝑕𝑚𝐴

∆𝐻𝐵𝐴 = 1,25𝑚 − 1,45𝑚

∆𝐻𝐵𝐴 = −0,2𝑚 = −20𝑐𝑚

En definitiva, al ir de A hacia B se ascienden 20cm y al hacer lo contrario se

deben descender 20cm. Por lo tanto al expresar un desnivel el mismo tiene un sentido

(∆𝐻𝐴𝐵 ó ∆𝐻𝐵𝐴) y un signo (+ ó -) y ambos deben ser claramente expresados para evitar

confusiones.

A

B

hmA = 1,45

hmB = 1,25

∆HAB=0,2

136

El desnivel (∆𝐻𝐴𝐵) suele expresarse como lectura espalda menos lectura frente o

también como lectura atrás menos lectura adelante.

∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑙𝑑𝑎 − 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 (1)

∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑡𝑟á𝑠 − 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 (2)

∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑕𝑚𝐴 − 𝑕𝑚𝐵

Avanzando desde A hacia B, la expresión (1) hace referencia a que el operador

tendrá a su espalda el punto A y delante de su frente el punto B. La expresión (2) tiene

un razonamiento análogo (lo que queda atrás y lo que queda adelante teniendo en cuenta

el sentido de avance).

Pendiente

La pendiente entre dos puntos relaciona el desnivel existente entre dichos puntos

con la distancia horizontal que los separa siendo en consecuencia una magnitud

adimensional. Es común expresar el valor de pendiente en porcentaje (%). Cuando se

trata de relieves muy llanos (como la Depresión del Salado), en que las pendientes son

muy pequeñas, suele utilizarse la expresión “por mil” (‰). La pendiente en porcentaje

indica cuantos metros sube (o baja) el terreno cuando se avanza 100m en una

determinada dirección. La expresión “por mil” indica cuanto sube o baja en mil metros

de distancia.

𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 % = ∆𝐻𝐴𝐵

𝐴𝐵 × 100

𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 ‰ = ∆𝐻𝐴𝐵

𝐴𝐵 × 1000

En el ejemplo mostrado en la Figura 114 y suponiendo que la distancia que

separa los puntos A y B es 40m la pendiente entre ambos puntos será

𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 % = +0,20𝑚

40𝑚 × 100 = +0,5%

𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵 ‰ = +0,20𝑚

40𝑚 × 1000 = +5‰

Quiere decir que yendo de A hacia B se ascienden 0,5m cada 100m de distancia,

o se ascienden 5m cada 1000m de distancia.

También al expresar la pendiente debe explicitarse el sentido de avance y el

signo para evitar equivocaciones. Obsérvese que la pendiente de B hacia A tiene igual

módulo pero signo contrario a la pendiente de A hacia B.

𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐵𝐴 % = ∆𝐻𝐵𝐴

𝐵𝐴=

−0,20𝑚

40𝑚 × 100 = −0,5%

137

Debe tenerse presente que la distancia que se considera para el cálculo de la

pendiente es la distancia horizontal o distancia topográfica (distancia reducida al

horizonte) y no la distancia inclinada o natural.

Figura 115: Distancia horizontal, distancia natural, desnivel y ángulo de elevación ()

Existe una relación entre la pendiente y el ángulo de elevación. La pendiente es

la tangente del ángulo de elevación ().

𝑡𝑔 = ∆𝐻𝐴𝐵

𝐴𝐵= 𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐴𝐵

Hasta pendientes del 3% (ángulos de elevación de 1°45’) pueden considerarse

despreciables las diferencias entre distancia natural y distancia topográfica.

Instrumental utilizado

En la nivelación geométrica se utilizan como instrumentos el nivel de anteojo o

equialtímetro y las miras.

Nivel de anteojo o equialtímetro

Principio de funcionamiento

El nivel de anteojo consta de un anteojo por el cual se realizan las visuales. Para

que las mismas sean horizontales (principio de la nivelación geométrica) se adosa al

anteojo un nivel tubular que por construcción tiene su eje paralelo al eje del anteojo. De

esta manera, cuando se horizontaliza el nivel tubular mediante la operación de calado se

horizontaliza simultáneamente el anteojo.

Figura 116: Paralelismo entre el eje del nivel y el del anteojo

Nivel esférico

El nivel de anteojo presenta asimismo un nivel esférico adosado a la base de su

plataforma. Con el nivel esférico se efectúa un “calaje grueso” es decir una

horizontalización aproximada de la base del aparato necesaria para, a posteriori, realizar

el “calaje fino” u horizontalización definitiva mediante el nivel tubular (que es el

Eje del nivel

Eje del anteojo

A

B

∆HAB

AB horizontal

AB natural

138

paralelo al anteojo). El nivel esférico tiene una menor precisión que el tubular. Los

niveles son más precisos cuando mayor es su radio de curvatura. El nivel esférico es un

casquete esférico parcialmente lleno con un líquido que posee un círculo en su parte

superior en el que debe ubicarse mediante las operaciones de calado a la burbuja de aire

que contiene en su interior.

Figura 117: Calado del esférico.

Desplazamiento de la burbuja hacia A

Figura 118: Calado del esférico.

Desplazamiento de la burbuja hacia B

Figura 119: Calado del esférico.

Desplazamiento de la burbuja hacia C

Figura 120: Calado del esférico.

Desplazamiento de la burbuja en sentido

contrario a C

El calado del nivel esférico se fundamenta en el hecho de que la posición de tres

puntos definen un plano. Si a los tres puntos definidos por el plano en que se encuentra

alojado el nivel esférico se les puede variar la altura, puede lograrse que tengan todos la

misma y en consecuencia el plano sea horizontal y el nivel esférico quede calado (que su

burbuja de aire se encuentre en el círculo delimitado en la parte superior del nivel). El

calado del nivel esférico se realiza siguiendo los siguientes pasos. Se coloca el nivel

esférico entre dos de los tres tornillos calantes (en la Figura 117 se ha colocado entre los

tornillos A y B). Se giran los tornillos calantes en sentido contrario (en la Figura 117 el

A se gira en sentido horario y el B en sentido antihorario) logrando con ello aumentar la

altura de A y disminuir la de B (nótese que la burbuja en 3a ocupa un lugar más cercano

a B lo que indica que dicho punto está más alto). La burbuja se desplazará gradualmente

hacia la izquierda (hacia el tornillo A) debiendo lograr con el calado que se ubique en el

centro de la distancia AB. Si esta operación persiste puede ser que se acerque a A más

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

139

de lo necesario. En este caso deberá hacerse la operación contraria: el A se gira en

sentido antihorario y el B en sentido horario, logrando con ello aumentar la altura de B y

disminuir la de A (Figura 118). Ubicada la burbuja en el centro de la distancia AB resta

moverla en sentido perpendicular a dicha dirección. Para poder hacerlo se gira el tornillo

C en sentido horario, logrando así aumentar la altura de C (la burbuja esta más cerca del

eje AB que de C, lo que implica que C está más bajo). Haciendo esto, la burbuja se

desplazará hacia C debiendo llegar a ocupar la parte central del retículo del nivel

esférico (Figura 119). En caso de haberse acercado más de lo necesario (y haber

sobrepasado el retículo) se puede realizar la operación contraria (se gira el tornillo C en

sentido antihorario, logrando así disminuir la altura de C) para que la burbuja se aleje de

C y se ubique en el retículo (Figura 120).

El nivel esférico permite una horizontalización parcial y aproximada de la base

del instrumento. El calado del nivel esférico se realiza una vez por estación. Al

estacionar el nivel y fijar el trípode al suelo es lo primero que se efectúa. Mientras el

aparato no se mueva de ese lugar no se vuelven a tocar los tres tornillos calantes. No

obstante, es conveniente visualizar periódicamente que la burbuja del nivel esférico

ocupe aproximadamente la ubicación central del retículo ya que en caso contrario,

podría significar que por algún movimiento involuntario (p.ej: tropezar con el trípode),

pudo modificarse la altura de alguno de los tres puntos de calado. En este caso debería

reiniciarse la operación para evitar errores groseros. Es importante por ello que en el

momento de trabajar con el nivel (y con todo instrumento que se sostenga por medio de

un trípode y requiera ausencia de movimiento) el operador tenga especial cuidado en los

movimientos que realiza evitando mover o golpear las patas con sus pies o con su

mochila en caso de que la llevase. Es recomendable que no tenga consigo más que la

libreta de anotaciones, papel y lápiz.

Figura 121: Nivel de anteojo. Vista del nivel

esférico (retícula y burbuja de aire)

Figura 122: Nivel de anteojo. Tornillos

calantes y nivel tubular con burbuja

descentrada

Nivel tubular

El nivel tubular es un tubo de vidrio de forma tórica que se encuentra

parcialmente lleno con un líquido de baja densidad (agua o alcohol) que deja una

burbuja de aire que siempre ocupará la parte superior de dicho nivel. El eje del nivel se

define como la recta tangente al mismo en su parte central. La parte central del nivel está

delimitada por una serie de marcas en las que debe ubicarse la burbuja de aire mediante

la operación de calado.

Nivel esférico

Burbuja de aire

Tornillos

calantes

Nivel

tubular

Burbuja

descentrada

140

El calado del nivel tubular se realiza mediante un tornillo especial (que no es

ninguno de los tres tornillos utilizados para el calaje del esférico) denominado “tornillo

de elevación”. Girando el tornillo de elevación en alguno de los dos sentidos (horario u

antihorario) se logra desplazar la burbuja del nivel tubular de manera que la misma

ocupe la parte central del mismo. Algunos niveles permiten ver la burbuja de aire a

través de un anteojo de manera tal que se observan dos mitades de burbuja

correspondientes a los extremos de la misma y mediante el tornillo de elevación se

mueven dichas mitades de manera de hacerlas coincidir, lo que implica que la operación

de calado del nivel tubular ha concluido.

Figura 123: Burbuja partida. Calado

antihorario

Figura 124: Burbuja partida. Calado

horario

Figura 125: Nivel tubular con burbuja partida. Calado finalizado

Existen niveles denominados automáticos que no presentan nivel tubular y en

consecuencia tampoco tienen tornillo de elevación. Sólo tienen un nivel esférico que se

cala de la misma manera que la detallada anteriormente. Estos niveles presentan un

sistema interno de espejos que pendulan y que garantizan de esta manera que la visual

sea siempre horizontal. Con el nivel esférico de los niveles automáticos se consigue una

horizontalidad mínima que evite que el péndulo esté tocando alguna pared interna del

nivel y en consecuencia se encuentra limitada su posibilidad de pendular.

141

Figura 126: Nivel de anteojo. Eje del anteojo y nivel

tubular con burbuja centrada

Precisión de los niveles

Como se explicitó previamente los niveles son más precisos cuando mayor sea su

radio de curvatura. Que media burbuja de aire se encuentre fuera de las marcas del nivel

implica una desviación angular mayor en un nivel de menor radio de curvatura. Un

mismo ángulo de desviación en la horizontalización implicará un desplazamiento de la

burbuja mucho mayor en una esfera de radio mayor.

Figura 127: Nivel con mayor radio de curvatura (izquierda) y menor radio (derecha)

Tornillos de enfoque

El anteojo del nivel presenta sobre su eje dos tornillos. Uno de ellos ubicado en

la mitad del anteojo o cercano al ocular (lugar del anteojo donde se apoya el ojo para

observar) permite enfocar la imagen, es decir ver claramente imágenes más cercanas o

alejadas al nivel. Girándolo en uno u otro sentido se enfocan objetos que están más o

menos alejados del aparato.

Existe sobre el ocular otro tornillo que permite aclarar la imagen de los hilos del

retículo. Cuando se observa por el nivel de anteojo se podrá observar una línea vertical

que cubre toda la imagen denominada “hilo vertical” y tres líneas horizontales. De las

tres líneas horizontales solo la central cubre todo la imagen y se denomina “hilo medio”.

Las dos restantes cubren solo parte de la imagen denominándose “hilo superior” a la que

se observa por encima del hilo medio e “hilo inferior” a la que se ve por debajo del

mismo (Figura 128). A los hilos superior e inferior se los denomina hilos estadimétricos

Eje del

anteojo

Burbuja

centrada

142

ya que permiten por un método indirecto denominado estadimetría determinar la

distancia entre el instrumento y la mira.

Figura 128: Hilos del retículo

Figura 129: Nivel de anteojo. Tornillos de enfoque, tornillo

de elevación y rosca para fijación a trípode

Limbo horizontal

Los niveles vienen provistos de un círculo graduado horizontal (llamado limbo

horizontal) que permite determinar junto con los hilos estadimétricos, la ubicación

planimétrica de los puntos levantados mediante un método denominado “taquimetría con

nivel” o “nivelación areal por radiación”.

Algunos instrumentos permiten la visualización directa del valor angular

denominado “dirección horizontal”, valor que oscila entre 0 y 360°. En otros, se realiza

la lectura a partir de un anteojo que por medio de espejos y lentes logra la visión

aumentada del círculo graduado. Muchos niveles por medio de un tornillo permiten

modificar la posición de la dirección horizontal 0°, es decir, permiten mover el círculo

horizontal en sentido horario o antihorario logrando de esta manera preestablecer la

dirección de origen de acuerdo a la conveniencia del levantamiento que se realice.

Muchos niveles presentan un tornillo tangencial al círculo horizontal denominado

“tornillo de pequeños movimientos horizontales” que permite como su nombre lo indica

Hilo inferior

Hilo superior

Hilo medio

Hilo vertical

Tornillo de

hilos del

retículo

Tornillo de

enfoque

Tornillo de

elevación

Rosca para

fijación a

trípode

143

realizar movimientos horizontales leves y es utilizado para hacer puntería sobre la mira.

En algunos niveles dicho tornillo solo funciona cuando el círculo horizontal está frenado

mediante un “tornillo de freno” que tiene una ubicación radial respecto del círculo

horizontal.

Figura 130: Nivel de anteojo. Movimiento y lectura del limbo

horizontal

Miras

Con el nivel se realizan las lecturas sobre las miras que son reglas graduadas al

centímetro en las que se puede apreciar o estimar el milímetro.

Figura 131: Mira de visual directa con

nivel esférico

Figura 132: Mira de visual inversa

telescópica

La longitud de las miras varía entre 3 y 4 metros. Pueden ser pleglabes (o a

charnela) o telescópicas (introduciéndose los tramos superiores dentro de los inferiores).

Nivel

esférico

Tornillo de

pequeños

movimientos

horizontales

Anteojo para

lectura de círculo

graduado

Tornillo de giro

del limbo

horizontal

144

Se les puede adosar un nivel esférico (como el que posee el nivel) para que el “mirero”

(ayudante que sostiene la mira) pueda verificar la verticalidad de la misma cuando la

sostiene sobre los puntos de interés.

Las miras están graduadas en unidades métricas y siempre presentan el cero en la

base que apoya en el suelo. En las miras se utilizan distintas graduaciones. Los metros

enteros pueden ir expresados en números arábigos pero lo más común es que estén

expresados con números romanos. Para cada metro se utilizan colores diferentes

alternados siendo los más usuales el rojo y el negro. Los decímetros se expresan con

números arábigos. Por último, los centímetros están representados con letras E. Puede

verse en la Figura 131, Figura 132 y Figura 133 que cada letra E tiene tres patas y dos

espacios, cada uno de ellos de 1cm totalizando cada E 5cm. Asimismo se alternan letras

E negras y blancas (o rojas y blancas). Los cm no se encuentran numerados y deben

contarse las “patas” y espacios de las E. Es habitual asimismo, en nivelaciones de mayor

precisión, estimar el mm.

A la derecha puede observarse un tramo de una

mira de visual directa. Esto puede comprobarse

debido a que los valores crecen hacia arriba. Los

metros enteros se expresan con números romanos

mientras que los decímetros con números arábigos.

Obsérvese que en cada decímetro hay una E

roja y una E blanca (o una E negra y una blanca).

Cada segmento de la E representa 1cm por lo que

toda una E representa 5 cm.

Se han señalado distintos lugares de la mira

con flechas y se indica cual debería ser la lectura en

cada uno de ellos.

En la lectura superior se ha estimado el

milímetro. Obsérvese que la lectura al centímetro

debería ser entre 1,17 y 1,18m. Por aproximación

debería ser 1,17. Los milímetros se estiman a ojo.

Figura 133: Mira de visual directa

y lecturas correspondientes

08

09

I

11

0,9

0,97

1

1,12

1,174

145

Miras de visual inversa

Los niveles modernos brindan imágenes derechas (la imagen se ve al derecho).

Para este tipo de niveles se utilizan “miras de visual directa” como la mostrada en la

Figura 131 y en la Figura 133. En estas miras los valores se encuentran al derecho ya

que serán observadas por niveles que permitan visuales derechas. Algunos niveles (sobre

todo los antiguos) brindan una imagen invertida de lo observado. Para este tipo de

niveles se utilizan “miras de visual inversa” que son similares a las anteriores solo que

tienen los valores escritos en forma invertida de manera que cuando los mismos sean

observados a través de un nivel de anteojo de visual inversa se lean al derecho. No

obstante ello debe tenerse presente que el sentido creciente de la lectura es hacia abajo

(el valor crece hacia la parte inferior de la imagen) ya que con la parte inferior en

realidad se ve la parte superior (por ser la visual invertida). Obsérvese que las miras de

visual inversa solo difieren de las de visual directa en que tienen los números invertidos

pero el cero sigue permaneciendo en la base de la mira y el valor también es creciente

hacia arriba (observándolas a ojo desnudo).

Figura 134: Mira de visual inversa observada a

ojo desnudo. Números invertidos

Figura 135: Mira de visual inversa

observada a través del nivel. Los

números se ven al derecho. La lectura

crece hacia abajo

Estadimetría

La estadimetría es un método indirecto para determinar distancias. Su

fundamento consiste en que cuando la mira está más alejada del nivel mayor es el tramo

de mira abarcado entre hilo superior e inferior. Cuando se observa por el anteojo del

nivel mirando hacia el hilo medio se dirige una visual horizontal, y por lo tanto este es el

hilo utilizado para determinar los desniveles. Si se dirige la visual por el hilo superior se

realiza una visual ligeramente inclinada hacia arriba y lo contrario si se dirige la visual

por el hilo inferior (se realiza una visual ligeramente inclinada hacia abajo). Esto sucede

en los niveles de visual directa. Por lo tanto las lecturas de hilo superior en estos niveles

siempre son mayores que las del hilo medio y a su vez éstas mayores que las del hilo

146

inferior. El promedio entre hilo superior e inferior debería dar aproximadamente el hilo

medio (puede haber pequeñas diferencias debidas a los errores accidentales en la

apreciación del milímetro). En los aparatos de visual inversa se utiliza el mismo

principio, cuanto mayor es la diferencia entre hilo superior e inferior, mayor es la

distancia instrumento-mira, sólo que estos aparatos el hilo superior tiene menor valor

que el medio y éste a su vez menor valor que el inferior. Esto es debido a que al tener

visual inversa se observa en la parte superior de la imagen el tramo de mira más cercano

al suelo y en la parte inferior el tramo superior de la mira. Observar en la Figura 135 que

en la parte superior se ve el pasto donde está apoyada la mira. No obstante el principio

es el mismo, a mayor diferencia de lectura entre hilo superior e inferior, mayor es la

distancia instrumento-mira. Para obtener la distancia finalmente se multiplica la

diferencia de lecturas de hilo por una constante denominada “constante estadimétrica”

(k).

𝐷 = 𝑕𝑠 − 𝑕𝑖 . 𝑘

Siendo D = distancia instrumento mira y k = constante estadimétrica (es habitual el valor

100).

Obsérvese que lo que importa de la diferencia de hilos es el valor absoluto (o

segmento abarcado de mira por ambos hilos). Se expresa en valor absoluto para evitar

los valores negativos que tendría esta diferencia si se tratase de instrumentos de visual

inversa (en los que el valor de hilo superior es menor que el de hilo inferior).

Figura 136: Principio de la estadimetría. Cuanto mayor es la distancia instrumento-mira

mayor es el segmento |hs-hi|. Nivel de visual directa (hshi)

Lecturas de mira

A continuación se muestran distintos tramos de mira observados a través del

anteojo de un nivel de visual directa (los valores crecen hacia la parte superior de la

imagen). Aparecen debajo de cada imagen las lecturas que se realizarían de los distintos

hilos si se estimase el milímetro y la distancia instrumento-mira calculada a partir de la

constante estadimétrica k = 100. Las miras se ven más o menos grandes de acuerdo a la

distancia al instrumento. En las más alejadas resulta más dificultosa la estimación del

milímetro.

hi

hs

hm

147

hs = 0,853 hm = 0,754 hi = 0,656

D =|hs – hi| x 100 = |0,853 – 0,656| x 100

=19,7m

hs = 1,007 hm = 0,957 hi = 0,907

D = 10m

hs = 1,754 hm = 1,682 hi = 1,606

D = 14,8m

hs = 2,568 hm = 2,445 hi = 2,318

D = 25m

Figura 137: Miras observadas por el anteojo de nivel con las lecturas efectuadas

Error de colimación

Definición

El “error de colimación” es el principal error de los niveles de anteojo. El mismo

consiste en la falta de paralelismo entre el eje del nivel y el eje del anteojo. Cuando se

utiliza el nivel se asume que el eje del anteojo es paralelo al eje del nivel. Teniendo esto

en cuenta se cala el eje del nivel y finalizada esta operación se asume que el anteojo es

paralelo al eje del nivel y en consecuencia también se encuentra en posición horizontal.

Puede ser que por defecto de construcción o por algún golpe recibido, el eje del nivel se

haya desplazado con respecto al que debiera tener y no sea paralelo al anteojo. Esto

constituye el error de colimación: “es la falta de paralelismo entre el eje del nivel y el eje

del anteojo”.

148

Figura 138: Error de colimación: Falta de paralelismo entre el eje del nivel y el del

anteojo

En la Figura 138 puede observarse que el nivel ha sido calado (la burbuja se

encuentra centrada dentro de la retícula) y su eje se encuentra horizontal pero al no ser

paralelos los ejes del nivel y del anteojo, este último no se encuentra horizontal y en

consecuencia no serán horizontales las visuales que se realicen con el mismo.

Compensación

El error de colimación se puede compensar realizando la “nivelación desde el

medio”. La misma consiste en colocar la estación de nivel equidistante de los puntos a

nivelar. Esto no implica que la estación esté sobre el lado que forman los puntos a

nivelar. Puede estar apartada del mismo pero debe estar equidistante de ambos puntos.

Figura 139: Posible ubicación de la estación de nivel respecto del lado AB. E1 se

encuentra sobre el lado mientras que E2 y E3 se encuentran a ambos lados. Todas son

equidistantes de A y B

La determinación de la ubicación de la estación para garantizar la equidistancia

puede hacerse con cinta o a pasos.

Figura 140: Error de colimación. Compensación realizando nivelación desde el medio

Eje del anteojo

Eje del nivel

A B

E2

E1

E3

A

B

hmA = 1,45 hmB = 1,25

∆HAB=0,2

hm’A = 1,50 hm’B = 1,30

eA eB

149

Una vez ubicada la estación en un punto equidistante de los puntos a nivelar se

realizan las visuales a los mismos y se determina el desnivel como diferencia de lecturas.

Las lecturas que se realizan son hm’A = 1,50 y hm’B = 1,30. Obsérvese que

dichas lecturas son realizando la visual inclinada debido a que se está trabajando con el

aparato con error de colimación. Las lecturas correctas habrían sido aquéllas obtenidas

dirigiendo una visual horizontal (hmA = 1,45 y hmB = 1,25). No obstante se obtendrá el

mismo desnivel o ∆H.

∆HAB = hm’A − hm’B

hm’A e hm’B pueden escribirse como

hm’A = hmA + eA

hm’B = hmB + eB

Reemplazando en ∆H

∆HAB = hmA + eA − hmB + eB

Quitando paréntesis

∆HAB = hmA + eA − hmB − eB

Los errores eA y eB son iguales ya que el ángulo de inclinación de la visual es

idéntico en todas las direcciones y la distancia entre la estación y los puntos es la misma

(por estar equidistante) y debido a esto en la ecuación de ∆H se compensan.

Como

𝑒𝐴 = 𝑒𝐵

∆HAB = hmA − hmB

Con esto se comprueba que realizando la nivelación desde el medio se compensa

el error de colimación y se llega al desnivel verdadero. Nótese que el error está presente

pero al tener la misma magnitud en ambos puntos (por realizar la nivelación desde el

medio) con la resta de lecturas que se hace para obtener el ∆H se compensa y el desnivel

hallado es el verdadero.

Comprobación

En algunas aplicaciones de la nivelación geométrica resulta interesante conocer

la presencia y magnitud del error de colimación.

Para comprobar la existencia de este error se efectúa la nivelación de dos puntos,

primero desde el medio y a continuación desde un lugar muy próximo a uno de los dos

150

puntos. Si no existe error de colimación el desnivel obtenido desde ambas estaciones

debería ser el mismo.

Supóngase que se trata de los puntos A y B y que se hizo previamente la

nivelación desde el medio de la manera mostrada en la Figura 140, encontrando un

desnivel de 0,2m. Como el desnivel hallado se hizo a partir de una nivelación desde el

medio debe considerárselo como válido, pues aunque exista error de colimación se ha

visto que se compensa con esta forma de realizar la medición. A continuación se ubica la

estación muy próxima a A (podría ser también próxima a B) y se realizan las lecturas

nuevamente desde esta segunda estación obteniendo el desnivel desde el extremo.

Figura 141: Error de colimación. Compensación realizando nivelación desde el medio

Si el nivel no tuviese error de colimación la visual sería horizontal y las lecturas

serían hmA = 1,37 y hmB = 1,17, con lo que el desnivel resultaría

∆HAB = hmA − hmB

∆HAB = 1,37 – 1,17 = +0,2m

De esta manera se confirmaría que el aparato no tiene error de colimación.

Obsérvese que las lecturas en A y en B son 8cm inferiores a las realizadas desde el

centro (Figura 140). Esto se debe a que al colocar el aparato más cerca de A, la estación

de nivel se coloca en un punto más bajo que cuando se coloca en el medio de los puntos.

En consecuencia se leen valores más bajos.

Si existiese error de colimación la visual no sería horizontal y tendría una ligera

inclinación (en el caso presentado, hacia arriba). La lectura en el punto alejado (B)

tendría un error pero la lectura en el punto cercano (A) no tiene error ya que la estación

se encuentra muy cerca de dicho punto. En consecuencia el error de colimación no se

compensa como cuando se realiza la nivelación desde el medio y el desnivel obtenido es

distinto a aquel obtenido desde el centro. En el caso presentado el desnivel hallado desde

el extremo contemplando que el instrumento tenga error de colimación sería:

∆H′AB = hm’A − hm’B

A

B

hmA = 1,37 hmB = 1,17

∆HAB=0,2

hm’A = 1,37

hm’B = 1,40

eA = 0 eB

151

∆H′AB = 1,37 − 1,40

∆H′AB = −0,03m

Al obtener un desnivel desde el extremo (∆H’AB=-0,03m) distinto del obtenido

desde el centro (∆HAB=+0,20m) se comprueba que existe error de colimación.

Corrección

Para corregir el error de colimación primeramente se determina cual debería ser

el valor que debería leerse en la mira en el punto lejano (hmB) para que el desnivel fuese

el mismo al calculado en la nivelación desde el centro (en la que el error de colimación

se compensa). La lectura en el punto cercano (hm’A) se considera correcta ya que el

instrumento está muy próximo a dicho punto y aunque exista error de colimación el

mismo es despreciable por la escasa distancia que separa nivel y mira.

∆H𝐴𝐵 = hm′A − hm′B

− ∆H𝐴𝐵 + hm′A = hm′B

hm′B = −0,20m + 1,37m = 1,17m

Una vez calculado este valor, se gira el tornillo de elevación (con el que se cala el

nivel tubular) hasta hacer que la lectura de hilo medio sea la que debería tener en dicho

punto (hm’B = 1,17m). Con esto se está logrando que la visual sea horizontal ya que el

desnivel que se obtiene de esta manera es el mismo al obtenido desde el medio (donde el

error es compensado). La visual no es inclinada sino horizontal

Figura 142: Corrección del error de colimación horizontalizando la visual

No obstante debe tenerse presente que al girar el tornillo de elevación se ha

modificado no solo la posición del eje del anteojo, sino también la posición del eje del

nivel quedando este último inclinado (con la burbuja descentrada).

A

B

hmA = 1,37 hmB = 1,17

∆HAB=0,2

eA = 0

152

Figura 143: Corrección del Error de colimación. Al horizontalizar el anteojo se mueve

también el eje del nivel y la burbuja se desplaza moviéndose fuera de la graduación

Finalmente para corregir el error de colimación se debe horizontalizar el eje del

nivel (moviéndolo hasta que la burbuja quede centrada) sin mover el eje del anteojo (que

ha quedado horizontalizado de acuerdo a las lecturas logradas a partir de los cálculos).

Para hacer esto se opera sobre un tornillo específico utilizado para corregir el error de

colimación. Dicho tornillo permite el desplazamiento del eje del nivel respecto del eje

del anteojo (se mueve el eje del nivel sin mover el del anteojo).

Figura 144: Corrección del Error de colimación. Movimiento del eje del nivel

independiente al eje del anteojo mediante el tornillo de corrección.

Luego de realizar el centrado de la burbuja mediante el tornillo de corrección

puede afirmarse que ambos ejes son horizontales (el del nivel por tener la burbuja

centrada y el del anteojo porque las lecturas realizadas en las miras dan el mismo

desnivel que el calculado desde el centro) y por lo tanto paralelos. En consecuencia el

instrumento ya no tiene error de colimación pues éste ha sido corregido.

Nivelación simple

Consiste en la nivelación de dos puntos que por su cercanía no demandan de la

realización de más de una estación.

Figura 145: Nivelación simple

Eje del anteojo

Eje del nivel

Eje del anteojo

Eje del nivel

A

B

hmA hmB

∆HAB

153

Nivelación compuesta

Consiste en una sucesión de nivelaciones simples por medio de las cuales se

nivelan puntos que se encuentran distantes. En este tipo de nivelaciones se suelen

determinar la cota de puntos intermedios, llamados puntos de paso.

Figura 146: Nivelación geométrica compuesta entre los puntos A y B utilizando 4

estaciones y 3 puntos de paso.

Transporte de cota

Se denomina transporte de cota a la nivelación geométrica compuesta consistente

en calcular la cota de determinados puntos a partir de la cota de otros puntos de cota

conocida utilizados como puntos de arranque en la nivelación. Si la nivelación

concluyese en un punto del cual no se conoce la cota, no se podría saber si se ha

cometido algún error en la misma. Si se termina la nivelación en otro punto de cota

conocida puede calcularse el error, ya que la diferencia entre la cota conocida de este

punto y la cota calculada del mismo a partir de la nivelación constituye el error.

Figura 147: Transporte de cota en planta. Se realizan estaciones entre los puntos a

nivelar. No es necesario que las mismas se ubiquen sobre el lado.

En el ejemplo planteado (Figura 148) el punto B tiene una cota 11cm mayor que

A de acuerdo al desnivel calculado, por lo que su cota será

𝑍𝐵 = 𝑍𝐴 + ∆𝐻𝐴𝐵

𝑍𝐵 = 10,00𝑚 + 0,11𝑚 = 10,11𝑚

A

B

PP1

PP2 PP3

EI

EII EIII

EIV

EII

EI

A

B

C

154

Figura 148: Transporte de cota en corte transversal. Si el punto C tiene cota conocida se

puede calcular el error de la nivelación.

La cota de C se calculará a partir de la cota de B y el desnivel medido entre B y

C

𝑍𝐶 = 𝑍𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶

𝑍𝐶 = 10,11𝑚 + (−0,61𝑚) = 9,50𝑚

Finalmente si el punto C es de cota conocida puede calcularse el error cometido

en la nivelación. Si ZC fuese por ejemplo 9,52m puede afirmarse que el error cometido

en la nivelación es de

𝑒 = 𝑍𝐶𝑐𝑎𝑙 − 𝑍𝐶 = 9,50𝑚 − 9,52𝑚 = −0,02𝑚 = −2𝑐𝑚

Se ha determinado la cota de C con un error por defecto de 2cm. Este error debe

compararse con la Tolerancia y de ser menor que la misma debe compensarse.

Nivelación por rodeo

A veces se parte de un punto de cota conocida y se realizan estaciones entre los

puntos que se quieren nivelar, volviendo al punto de partida y recalculando la cota del

mismo. A este tipo de nivelación, en la que el punto de partida coincide con el de llegada

se la denomina “nivelación por rodeo”.

Figura 149: Nivelación por rodeo en planta

EII

EI

EIII A

B

C

C

A B

EI

EII

∆HAB = hmA – hmB

∆HAB = 1,36 – 1,25

∆HAB = +0,11m ∆HBC = hmB – hmC

∆HBC = 0,34 – 0,95

∆HBC = -0,61m

ZA= 10,00m

155

Figura 150: Nivelación por rodeo en corte transversal. Se parte de un punto A y se

vuelve al mismo por lo que la suma de los niveles debería dar 0

En el ejemplo dado se había determinado la cota de C. Finalmente se realiza una

última estación entre el punto C y se determina el desnivel AC para con la cota de C

recalcular la cota de A.

𝑍𝐴 = 𝑍𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐴

𝑍𝐴 = 9,50𝑚 + 0,52𝑚 = 10,02𝑚

La cota de A calculada a partir de los desniveles medidos es 10,02m, 2cm

superior a la cota que tiene (10,00m). Por lo tanto el error cometido en la nivelación es

de +2cm y debe ser comparado con la tolerancia. De ser menor que la misma, debe ser

compensado.

Otra manera de determinar el error cometido en una nivelación por rodeo es

sumar los desniveles (∆H). Obsérvese que al ir de A a B se ascienden 11cm y al ir de B

hacia C se descienden 61cm. Finalmente al ir de C hacia A se ascienden 52cm. Estos

valores de acuerdo a lo medido. No obstante téngase presente que si se parte de un punto

y se retorna al mismo punto todo lo subido en algún momento se deberá bajar y

viceversa (lo bajado se deberá subir). Por lo tanto la suma de los desniveles entre los

puntos debe ser 0, y de existir una diferencia con 0, la misma será el error. En el ejemplo

citado la suma de los desniveles es

∑∆𝐻 = ∆𝐻𝐴𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐴

∑∆𝐻 = +0,11 − 0,61 + 0,52

∑∆𝐻 = +0,02𝑚 = 휀

Error de la nivelación. Tolerancia

En una nivelación por rodeo la cota recalculada del punto de arranque debería dar

igual a la cota de partida (conocida) de dicho punto. En caso contrario la diferencia entre

la cota de partida del punto y la cota recalculada del mismo constituye el error de la

nivelación. Como todo error debe ser comparado con la tolerancia máxima admitida. Si

A A B

C

EI

EII EIII

∆HAB = hmA – hmB

∆HAB = 1,36 – 1,25

∆HAB = +0,11m ∆HBC = hmB – hmC

∆HBC = 0,34 – 0,95

∆HBC = -0,61m

∆HCA = hmC – hmA

∆HCA = 0,75 – 0,23

∆HAB = +0,52m

156

el error es inferior a la tolerancia (ℰT) la medición se considera válida y el error se

debe compensar, corrigiendo las cotas calculadas de los distintos puntos incluidos en la

nivelación. Si el error es mayor que la tolerancia (ℰT) se considera que en la

nivelación se han cometido errores groseros, por lo tanto no se considera válida la

medición. La nivelación debe efectuarse nuevamente y el error no debe compensarse.

La expresión de Tolerancia que se adopta en nivelación geométrica es:

𝑇(𝑐𝑚) = 1,5𝑐𝑚 𝑎 4,5𝑐𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)

Donde L es la distancia total recorrida en la nivelación.

Obsérvese que el valor que antecede a la raíz puede variar de 1,5cm a 4,5cm, es

decir, en las nivelaciones más rigurosas se adoptará el límite inferior (1,5cm) y en las

que no se necesite tanta precisión será como máximo 4,5cm.

La misma ecuación suele expresarse en milímetros o en metros quedando:

𝑇(𝑚𝑚) = 15𝑚𝑚 𝑎 45𝑚𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)

𝑇(𝑚) = 0,015𝑚 𝑎 0,045𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)

El valor de la distancia total recorrida siempre va expresado en kilómetros.

Recuérdese que:

Error Tolerancia Nivelación mal efectuada, se debe efectuar nuevamente, no

se compensa el error

Error Tolerancia Nivelación bien efectuada, no se debe medir de nuevo, se

debe compensar el error.

Limitaciones de la nivelación geométrica

La nivelación geométrica no puede utilizarse en relieves quebrados debido a que

en este tipo de topografía las visuales se ven limitadas por el suelo o por la longitud de

las miras. Esto implicaría que deberían realizarse numerosas estaciones (las diferentes

estaciones deberían estar más próximas) para efectuar la nivelación, lo que la transforma

en poco práctica en estas situaciones.

Figura 151: Visual limitada por el relieve y restricción dada por el largo de mira

157

Planilla de campo

A continuación se brinda una planilla tipo de una nivelación por rodeo efectuada

entre 4 puntos. En negrita se señala la cota del punto de partida (A) que es un dato

previo a comenzar la nivelación. En cursiva se colocan los valores medidos

(representados por los hilos medio, superior e inferior leídos en cada punto). El resto de

los valores surgen de cálculos.

Valores registrados en el campo

Estación Punto Distancia Lectura Atrás Lectura Adelante

∆H Cota

Provisoria

Corrección

Parcial

Corrección

Acumulada

Cota

Definitiva

hm hs hi hm hs hi

I A 50,5 0,927 1,180 0,675 -1,538

16,800 16,800 B 55,6 2,465 2,743 2,188

15,262 +0,001 +0,001 15,263

II B 39,5 1,263 1,461 1,066 +0,965

C 43,5 0,298 0,515 0,081

16,227 +0,001 +0,002 16,229

III C 83,0 0,838 1,253 0,423 -1,347

D 74,7 2,185 2,558 1,811

14,880 +0,002 +0,004 14,884

IV D 31,4 2,760 2,917 2,603

+1,915

A 34,5 0,845 1,018 0,673 16,795 +0,001 +0,005 16,800

D= 412,5 = H = -0,005

𝑇 𝑐𝑚 = 1,5𝑐𝑚 . 𝐿 𝑘𝑚 = 0,960

Tabla 41: Planilla de campo de nivelación por rodeo

Se han realizado 4 estaciones: la primera entre el punto de cota conocida (A) y B,

la segunda entre B y C, la tercera entre C y D y la última entre D y el punto de arranque

(A). Las estaciones se han nombrado con números romanos (del I al IV) y se encuentran

explicitadas en la primera columna de la planilla (Tabla 41). En la segunda columna se

colocan los puntos sobre los que se han realizado lecturas de mira. Así, en la primera

estación se realizan lecturas de mira en A y en B, en la segunda en B y en C y así

sucesivamente. En la tercer columna de la planilla (Tabla 41) se colocan las distancias

instrumento-mira calculadas a partir de los hilos estadimétricos (hs e hi) y la constante

estadimétrica (en este caso k = 100). En la primer celda de dicha columna se ha colocado

la distancia entre la estación (I) y el punto visado (A) calculada como

𝐷𝐼−𝐴 = 𝑕𝑠 − 𝑕𝑖 . 100 = 1,180 − 0,675 . 100 = 0,505 .100 = 50,5𝑚

Lo mismo se realiza con el resto de las distancias entre las estaciones y los

puntos visados. Al final de la columna se coloca la distancia total recorrida por las

visuales totalizando en este caso 412,5m. Esta distancia es utilizada para compensar el

error que se cometa en la nivelación.

Las columnas 4 a 9 representan las lecturas de hilo medio, superior e inferior en

los puntos visados. Obsérvese que las lecturas de hilo superior representan siempre los

mayores valores, por lo tanto se trata de un nivel de visual directa. La media de hilo

superior e hilo inferior da aproximadamente el hilo medio, pudiendo haber pequeñas

diferencias debidas a errores en la apreciación del milímetro. Las lecturas se dividen en

dos series de datos (columnas 4 a 6 y columnas 7 a 9) dependiendo si son atrás (espalda)

o adelante (frente). En ambas series en la primera de las tres columnas se coloca el hilo

158

medio, luego del cual va el superior y por último el inferior. Por la precisión requerida

en este tipo de nivelaciones las lecturas se realizan al centímetro y se estima el milímetro

(obsérvese que existen 3 lugares después de la coma). En ambas series siempre existe

una fila sin llenar. Por ejemplo, en la Estación I cuando se visualiza hacia A se colocan

los datos en la serie de columnas de Lectura Atrás quedando en blanco los casilleros de

Lectura Adelante ocurriendo lo contrario al visualizar a B (los datos se colocan en las

columnas de Lectura Adelante quedando sin completar los casilleros de Lectura Atrás).

En la columna 10 se calculan los desniveles como

∆𝐻 = 𝑕𝑚𝑎𝑡𝑟 á𝑠 − 𝑕𝑚𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒

En el caso del desnivel entre A y B (de las dos primeras filas)

∆𝐻𝐴𝐵 = 𝑕𝑚𝐴 − 𝑕𝑚𝐵 = 0,927 − 2,465 = −1,538𝑚

El punto B se encuentra 1,538m más bajo que A (obsérvese que la lectura de hilo

medio en B es mayor que la de A).

Obtenidos todos los desniveles deben sumarse los mismos, debiendo dar esta

suma 0 en caso de que no existiese error. Si la suma de los ∆H fuera distinta de 0, el

valor resultante constituiría el error de la nivelación que debería ser comparado con la

tolerancia. En el ejemplo planteado la suma de los ∆H es -0,005m (5mm) y este valor

debe ser comparado con la tolerancia calculada a partir de la expresión:

𝑇(𝑚𝑚) = 15𝑚𝑚 𝑥 𝐿 (𝑘𝑚)

Donde L es la distancia total recorrida por las visuales (∑D = 412,5m) que debe

expresarse en kilómetros.

𝑇 𝑚𝑚 = 15𝑚𝑚 𝑥 0,4125 𝑘𝑚 = 10𝑚𝑚

También puede calcularse el error sustrayendo a la suma de las lecturas de hilo

medio atrás la suma de lecturas de hilo medio adelante (Ver sumatoria en última celda

de columnas 4 y 7.

𝑒 = ∑𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑕𝑚 𝑎𝑡𝑟á𝑠 − ∑𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑕𝑚 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 = 5,788 − 5,793 = −0,005𝑚

Dado que el error (5mm) no supera la tolerancia (10mm) la nivelación se

considera válida y se debe proceder a compensar el error repartiéndolo entre los distintos

puntos que forman parte de la nivelación. Si el error hubiese sido mayor que la

tolerancia, la nivelación se consideraría errónea y debería realizarse nuevamente (el

error no se compensa y no se termina de completar la planilla).

En la columna 11 de Cota Provisoria se colocan las cotas calculadas a partir de

los desniveles determinados. En el caso del punto A (que es el punto de arranque de cota

conocida) se copia el valor de la columna Cota definitiva. Para calcular la cota de B, a la

cota de A se le debe sumar el desnivel entre A y B

159

𝑍𝐵 = 𝑍𝐴 + ∆𝐻𝐴𝐵 = 16,800 + −1,538 = 15,262

Lo mismo se hace para calcular la cota de los puntos C y D

𝑍𝐶 = 𝑍𝐵 + ∆𝐻𝐵𝐶 = 15,262 + 0,965 = 16,227

𝑍𝐷 = 𝑍𝐶 + ∆𝐻𝐶𝐷 = 16,227 − 1,347 = 14,880

Por último con la cota de D y el desnivel entre D y A se calcula la cota de A (que

es conocida)

𝑍𝐴 = 𝑍𝐷 + ∆𝐻𝐷𝐴 = 14,880 + 1,915 = 16,795

La cota de A calculada es 5mm inferior a la cota de dicho punto. Lógicamente

este error debe ser compensado de manera tal que la cota definitiva del punto de llegada

sea igual a la cota de partida de dicho punto (ya que se trata del mismo punto).

Para compensar el error se considera que el mismo es proporcional a la distancia

recorrida, por lo tanto a mayor distancia recorrida se cometerá mayor error.

Para obtener la corrección parcial se utiliza la siguiente expresión:

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐. = −ℰ × 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

Esta expresión de Corrección Parcial surge de una regla de tres simple que

considera que si en la Distancia Total se cometió todo el error, en la Distancia Parcial se

habrá cometido un error proporcionalmente menor. Obsérvese que la corrección siempre

tendrá signo contrario al error.

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 −𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 −𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙

La cota provisoria de A no recibe corrección ya que es la cota de arranque del

punto.

En el caso del punto B la corrección parcial se calcula como

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐵 = − −0,005 . (50,5𝑚 + 55,6𝑚)

412,5𝑚= 0,00128m = 0,001m = 1mm

Al ir de B hacia C se habrán avanzado otros 83m correspondiendo como

corrección

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐶 = − −0,005 . (39,5𝑚 + 43,5𝑚)

412,5𝑚= 0,00106m = 0,001m = 1mm

Al ir de C hacia D se avanzaron 157,7m siendo la corrección

160

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = − −0,005 . (83𝑚 + 74,7𝑚)

412,5𝑚= 0,00191m = 0,002m = 2mm

Finalmente al ir de D hacia A la corrección será

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = − −0,005 . (31,4𝑚 + 34,5𝑚)

412,5𝑚= 0,00080m = 0,001m = 1mm

Puede verse que las correcciones mayores se aplican a los puntos en que se han

realizado visuales de mayor distancia (D) y las menores a aquellos puntos en que las

distancias de las visuales han sido menores (A).

Para calcular la Corrección Acumulada se le suma a la Corrección Parcial la

Corrección Acumulada hasta ese punto.

Para la Corrección Acumulada de B no se tiene aún Corrección Acumulada de A

ya que a la Cota Provisoria del punto de partida A (16,800) no se le aplica corrección y

por lo tanto la Corrección Acumulada de B coincide con su Corrección Parcial.

Para la Corrección Acumulada de C a la Corrección Acumulada de B se le suma

la Corrección Parcial de C.

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐶 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐵+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐶 = +0,001 + 0,001 = +0,002𝑚= 2𝑚𝑚

Algo semejante se realiza para calcular la Corrección Acumulada de D y de A.

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐷 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐶+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐷 = +0,002 + 0,002 = +0,004𝑚= 4𝑚𝑚

𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐴 = 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐷+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝑃𝑎𝑟𝑐.𝐴 = +0,004 + 0,001 = +0,005𝑚= 5𝑚𝑚

Para determinar la Cota Definitiva a la Cota Provisoria de cada punto se le suma

la Corrección Acumulada

Para el punto B

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐷𝑒𝑓.𝐵 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑣.𝐵+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐵 = 15,262𝑚 + 0,001𝑚 = 15,263𝑚

Puede verse que finalmente luego del rodeo a la Cota Provisoria calculada del

punto A se la corrige en la magnitud del error cometido quedando

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐷𝑒𝑓.𝐴 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑣.𝐴+ 𝐶𝑜𝑟𝑟. 𝐴𝑐𝑢𝑚.𝐴 = 16,795𝑚 + 0,005𝑚 = 16,800𝑚

161

Nótese que los valores de corrección son siempre positivos, de signo contrario

al error, de manera que al sumar estos valores los errores se compensan.

Obsérvese que a partir de la columna de Cota Provisoria la división de la Tabla

41 en el sentido de las filas difiere de la de la columna de los ∆H. La columna de los ∆H

se comparte entre los puntos que se está determinando el desnivel (la primer celda entre

A y B, la segunda entre B y C, etc.). A partir de la columna de Cota Provisoria las celdas

se dividen entre los distintos puntos considerados en la nivelación (la primer celda

corresponde al punto A, la segunda al B, etc.)

Problema

Resuelva la siguiente planilla resultante de una nivelación geométrica por rodeo

Valores registrados en el campo

Estación Punto Distancia Lectura Atrás Lectura Adelante

∆H Cota

Provisoria

Corrección

Parcial

Corrección

Acumulada

Cota

Definitiva

hm hs hi hm hs hi

I A 0,992 1,245 0,74

21,523

B 2,592 2,87 2,315

II B 1,248 1,446 1,051

C 0,405 0,622 0,188

III C 0,753 1,168 0,338

D 2,262 2,635 1,888

IV D 3,505 3,662 3,348

E 1,808 1,981 1,636

V E 1,075 1,232 0,918

A 0,496 0,653 0,339

D= = H =

𝑇 𝑐𝑚 = 1,5𝑐𝑚 . 𝐿 𝑘𝑚 =

Tabla 42: Planilla de nivelación por rodeo para resolver

162

PERFILES

Dentro de nivelación geométrica se pueden realizar tres tipos de actividades:

Nivelación de puntos = Transporte de cota

Nivelación geométrica Nivelación de líneas = Perfiles

Por cuadrícula

Nivelación de áreas = Nivelación areal

Por radiación

(Taquimetría)

Mientras que en el transporte de cota el objetivo es asignarle cota a determinados

puntos del terreno, el objetivo de los perfiles es conocer el relieve a lo largo de toda una

línea AB. El perfil es la intersección de un plano vertical con la superficie del suelo.

También puede definirse como la unión de puntos obtenidos al trasladar a escala

reducida, las distancias horizontales como diferencias de abcisas y los desniveles como

ordenadas. Para conocer el relieve se realiza la nivelación a lo largo de la línea AB

(perfil longitudinal) y dado que también es necesario conocer el relieve de las

adyacencias se realizan perfiles transversales (perpendiculares al perfil longitudinal)

(Figura 152).

B

Perfiles Transversales

Perfil Longitudinal

Progresiva 0 A

Figura 152: Perfil Longitudinal y Perfiles Transversales a la línea AB (vista en planta)

Para realizar el perfil longitudinal se jalona el lado AB, se extiende la cinta de

agrimensor sobre el mismo, tomando como inicio el punto A (progresiva 0) y se

determinan las cotas de los puntos donde cambia la pendiente. El mirero es el encargado

de visualizar esos puntos sobre el lado AB y allí es donde va colocando la mira. El

163

hecho de tomar estos puntos donde cambia la pendiente y no puntos al azar o cada una

distancia fija permite obtener una representación mas fidedigna del verdadero relieve del

terreno (Figura 153). Al mismo tiempo, el mirero va comunicándole al operador del

nivel la distancia leída en la cinta (progresiva). El operador del nivel realiza lecturas de

hilo medio y anota dichos valores y las progresivas correspondientes en una planilla

(Ver Tabla 43). Previo a realizar la nivelación debe determinarse la Cota del Plano

Visual (CPV). La Cota del Plano Visual es la altura del plano que se genera al rotar el

anteojo del nivel, estando éste horizontalizado. Esta cota se obtiene realizando lectura de

hm sobre un punto de cota conocida (punto fijo). La CPV resultará de sumarle a la cota

del punto fijo el hilo medio leído en dicho punto. CPV = ZPF + hmPF = 11,28 m + 1,45 m

= 12,73 m. Las cotas de los puntos del perfil se calcularán restándole a la CPV las

lecturas de hm en cada punto. Así para la progresiva 25,38 m Z25,38 = CPV – hm25,38 =

12,73 m – 1,35 m = 11,38 m.

Progresiva (m) Hm CPV Cota

Punto Fijo 1,45

12,73

11,28

0 1,65 11,08

12,55 1,56 11,17

25,38 1,35 11,38

37,69 1,28 11,45

Tabla 43: Planilla tipo de levantamiento de perfil longitudinal (la cota del PF es dato)

Figura 153: El mismo perfil levantado con miras ubicadas en puntos donde cambia la

pendiente (arriba) y en puntos cada una distancia fija (abajo). En línea punteada la

representación del perfil. Nótese la mayor correspondencia con la realidad del superior

siendo que el número de puntos levantados es el mismo ( 7 )

164

Representación de los perfiles

Es habitual al construir los perfiles en el plano, usar escalas diferentes para

representar las distancias (en abcisas) y los desniveles (en ordenadas). Habitualmente se

utilizan escalas mayores para los desniveles que para las distancias. Esto se debe a que

los desniveles a representar son mucho más pequeños en magnitud que las distancias y si

se utilizara la misma escala no podrían percibirse. Asimismo en el eje de ordenadas

suele utilizarse un Plano de Comparación (PC) de cota inferior a todos los puntos que

deben ser representados y cercano al valor de cota del punto más bajo. Utilizando el

plano de comparación solo deberá representarse la diferencia de cota de los puntos con

dicho plano de comparación y no la cota del punto. Si por ejemplo, se tienen varios

puntos con cotas que oscilan entre 30,05m y 32,37m, eligiendo un plano de comparación

de 30m, para representar el punto más alto (de cota 32,37m) en escala 1:20 lo que se

representará será 32,37m – 30,00m = 2,37m que en escala 1:20 equivale a 2,37m / 20 =

0,1185m = 11,85cm. Si no se hubiera tomado un plano de comparación y se debiera

representar los 32,37m en escala 1:20 se necesitaría 32,37m / 20 = 1,61m de plano.

Ejemplo Se realizó un perfil longitudinal a lo largo de un lado AB sobre el que se proyecta

construir un canal. Se comenzó en el punto A que se consideró el punto de arranque

(progresiva 0) y se realizaron tres perfiles transversales en las progresivas 10, 150 y 270

m (la distancia AB es 295,8 m). Se efectuaron dos estaciones de nivel, una en la

progresiva 70 m y otra en la progresiva 200m. En la estación hecha en la progresiva 70m

se hizo lectura de hilo medio en un Punto Fijo cercano de cota conocida 11,75m

obteniendo la CPV = ZPF + hmPF = 11,75m + 1,35m = 13,10m. Este plano visual se

utilizó para determinar las cotas de los puntos comprendidos entre las progresivas 0 y

150m (incluidos los perfiles transversales en las progresivas 10 y 150m). La cota del

plano visual de la segunda estación fue calculada haciendo lectura de hilo medio en la

progresiva 150m, a la que se le había dado cota desde la estación I. Con la estación II se

determinaron las cotas de los puntos comprendidos entre las progresivas 150 y 295,83m

incluido el perfil transversal en la progresiva 270m. Finalizado el levantamiento se

obtuvieron las planillas que se muestran a continuación.

Estación Progresiva (m) Hm CPV Cota

I

Punto Fijo 1,35

13,10

11,75

0,0 1,85 11,25

10,0 1,80 11,30

35,3 1,70 11,40

57,7 1,62 11,48

89,7 1,51 11,59

122,9 1,44 11,66

150,0 1,42 11,68

150,0 1,95 11,68

II

162,7 1,83

13,63

11,80

179,6 1,76 11,87

193,6 1,72 11,91

165

215,7 1,68 11,95

239,0 1,55 12,08

258,7 1,43 12,20

270,0 1,36 12,27

295,8 1,25 12,38

Tabla 44: Planilla del perfil longitudinal AB. En campo se relevaron las progresivas e

hilos medios. En gabinete se calcularon las cotas (la cota del Punto Fijo fue dato)

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,80

13,10

11,3

4,3 1,76 11,34

6,9 1,70 11,40

10,5 1,75 11,35

-3,2 1,83 11,27

-6,9 1,85 11,25

-9,1 1,80 11,30

Tabla 45: Planilla del perfil transversal en la progresiva 10m. En campo se relevaron los

datos Distancia al eje e hilo medio. En gabinete se calcularon las Cotas (la cota del Plano

Visual es la de la Estación I). Los valores positivos indican distancias a la derecha del

eje AB (yendo de A hacia B) y los negativos distancias a la izquierda.

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,42

13,10

11,68

2,5 1,46 11,64

7,3 1,47 11,63

12,0 1,50 11,60

-4,2 1,46 11,64

-6,5 1,40 11,70

-10,3 1,35 11,75

Tabla 46: Planilla del perfil transversal en la progresiva 150m. Las mismas

consideraciones que para Tabla 45

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,36

13,63

12,27

3,7 1,38 12,25

5,6 1,42 12,21

9,5 1,45 12,18

-2,2 1,34 12,29

-6,3 1,38 12,25

-9,0 1,41 12,22

Tabla 47: Planilla del perfil transversal en la progresiva 270m. Las mismas

consideraciones que para Tabla 45

166

Una vez resueltas las planillas de nivelación y calculadas las cotas de los puntos

se construyen los perfiles. Para el perfil longitudinal se utilizó una escala horizontal EH:

1/2000 y una escala vertical EV: 1/20. Para los transversales se utilizó EH: 1/200

(debido a que la distancia a representar es menor) y EV: 1/20. En el perfil longitudinal,

para representar 10m de distancia (entre la progresiva 0 y 10m) se utilizó un segmento

de 10m / 2000 = 0,005m = 0,5cm. El mismo criterio se utilizó para determinar las

distancias que debían separar el resto de los puntos en el plano. Para representar las

cotas se utilizó un plano de comparación de 11,00m. Por lo tanto para el punto de

progresiva 0m (cota 11,25m) la dimensión a representar fue Z0 - ZPC = 11,25m – 11,00m

= 0,25m que en escala 1/20 se representan con 0,25m / 20 = 0,0125m = 1,25cm. De la

misma manera se representó la cota del resto de los puntos. Una vez calculados y

representados todos los puntos se los unió con una línea recta. En la Figura 154 puede

verse como queda representado el perfil. El perfil debe ir acompañado de las escalas

horizontal y vertical, el plano de comparación y los valores de cotas, progresivas y

distancia entre puntos.

EH: 1/2000

EV: 1/20

PC: 11,00

11,25 11,4 11,48 11,59 11,66 11,68 11,87 11,95 12,08 12,2 12,38

0 10 35,3 57,7 89,7 122,9 150,0 179,6 215,7 239,0 258,7 295,8

10 25,3 22,4 32,0 33,2 27,1 16,9 14,0 22,1 23,3 19,7 25,8

Figura 154: Perfil Longitudinal. En la primera fila figuran las cotas, en la segunda las

progresivas y en la tercera las distancias entre puntos consecutivos (Por motivos de

espacio se han omitido algunos valores de cotas, progresivas y distancias entre puntos)

EH: 1/200

EV: 1/20

PC: 11,00

Cota 11,30 11,25 11,27 11,30 11,34 11,40 11,35

Distancia 9,1 6,9 3,2 0,0 4,3 6,9 10,5

al eje

Figura 155: Perfil Transversal en la Progresiva 10m

167

EH: 1/200

EV: 1/20

PC: 11,50

Cota 11,75 11,70 11,64 11,68 11,64 11,63 11,60

Distancia 10,3 6,5 4,2 0,0 2,5 7,3 12,0

al eje

Figura 156: Perfil Transversal en la Progresiva 150m

EH: 1/200

EV: 1/20

PC: 12,00

Cota 12,22 12,25 12,29 12,27 12,25 12,21 12,18

Distancia 9,0 6,3 2,2 0,0 3,7 5,6 9,5

al eje

Figura 157: Perfil Transversal en la Progresiva 270m

Aplicaciones de los perfiles

El objetivo de los perfiles es conocer el relieve a lo largo de una línea o franja del

terreno. Dicha información es de gran utilidad cuando sobre dicha línea se desea

construir un canal de riego o drenaje o un camino interno. En este tipo de obras se deben

realizar excavaciones y rellenos de acuerdo al objetivo y al relieve que presente el

terreno. Conociendo previamente el relieve del terreno se puede lograr minimizar el

movimiento de tierras, es decir igualar los volúmenes de tierra de corte (desmonte o

excavación) y relleno (o terraplén).

Eje

Ancho máximo

Banquina Banquina

Rasante Revancha

Tirante

Subrasante

Base de fondo

Figura 158: Elementos constitutivos de un canal (corte transversal)

168

Relleno

Corte

Figura 159: Corte transversal con el relieve del terreno (en línea gruesa) y proyecto del

canal

Eje Relleno

Corte Corte

Figura 160: Corte transversal con el relieve del terreno y el proyecto de un camino

Problema

Se efectuó la nivelación a lo largo de una línea donde se proyecta construir un

canal. Se realizaron tres estaciones de nivel con las que se levantó el perfil longitudinal y

tres perfiles transversales al mismo en las progresivas 15m, 160m y 285m. A

continuación se detallan las planillas de nivelación obtenidas para los 4 perfiles.

Estación Progresiva (m) Hm CPV Cota

I

Punto Fijo 1,53

10,00

0,0 1,43

15,0 1,35

32,1 1,30

50,3 1,21

68,7 1,10

85,9 1,05

101,8 1,01

101,8 1,71

II

112,7 1,66

125,6 1,68

136,6 1,62

160,0 1,56

169,0 1,55

189,0 1,32

205,3 1,22

205,3 1,68

169

III

218,2 1,65

230,3 1,60

252,6 1,60

270,7 1,55

285,0 1,46

300,0 1,33

Tabla 48: Planilla del perfil longitudinal. La cota del Punto Fijo es dato

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,35

3,3 1,36

6,0 1,39

9,2 1,43

-3,0 1,33

-5,9 1,29

-9,6 1,32

Tabla 49: Planilla del perfil transversal en la progresiva 15m. Los valores positivos

indican distancias a la derecha del eje AB (yendo de A hacia B) y los negativos

distancias a la izquierda.

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,56

3,5 1,58

6,8 1,55

11,1 1,50

-3,2 1,53

-6,8 1,50

-11,1 1,48

Tabla 50: Planilla del perfil transversal en la progresiva 160m. Las mismas

consideraciones que para Tabla 49

Distancia al eje

(m) hm CPV Cota

0,0 1,46

3,2 1,49

5,2 1,45

10,4 1,42

-3,0 1,42

-5,9 1,38

-8,9 1,35

Tabla 51: Planilla del perfil transversal en la progresiva 285m. Las mismas

consideraciones que para Tabla 49

170

Calcular las cotas y resolver la Tabla 48, Tabla 49, Tabla 50 y Tabla 51.

Representar el perfil longitudinal en una hoja oficio apaisada utilizando una

escala horizontal EH = 1:1000, una escala vertical EV = 1:20 y un plano de comparación

PC de 10m.

Representar los perfiles transversales utilizando una escala horizontal EH =

1:200, una escala vertical EV = 1:20 y un plano de comparación PC de 10m.

171

NIVELACIÓN AREAL

Para poder conocer como es el relieve de una determinada superficie se recurre a

la nivelación areal. Dentro de la nivelación geométrica (consistente en dirigir visuales

horizontales sobre miras verticales) existen dos formas de realizar la nivelación de áreas:

Nivelación Areal por Cuadrícula y Nivelación Areal por Radiación (también llamada

taquimetría con nivel).

Nivelación areal por cuadrícula

La nivelación areal por cuadrícula consiste en determinar la cota de puntos

uniformemente distribuidos en el terreno por medio de un reticulado, malla o cuadrícula.

El tamaño del reticulado puede variar entre 10m y 50m de acuerdo a la precisión

buscada y al relieve del terreno siendo menor cuando se desee mayor precisión y cuando

más quebrado sea el relieve. Previo a realizar la nivelación se efectúa la marcación de la

cuadricula sobre el terreno.

Eje de arranque (Columna)

A1 A8

Punto de inicio

Fila

20 m

G1 G8

20 m

Figura 161: Cuadrícula de 20m x 20m donde se efectuará una nivelación areal (vista en

planta)

Marcación de la cuadrícula

Los elementos empleados para realizar la marcación de la cuadrícula son cinta de

agrimensor (para medir las distancias), escuadras (para determinar perpendiculares) o

puede utilizarse también el limbo horizontal del nivel (para determinar los 90 º) y estacas

o fichas (para marcar los puntos sobre el terreno). Elegida la distancia entre puntos se

toma un eje de partida o arranque que es jalonado y un punto de arranque. A partir de

172

este punto se marcan puntos cada una determinada distancia (distancia que se ha tomado

como tamaño de retícula, p. ej. 20m) y se dejan marcados sobre el suelo con estacas o

fichas. A partir de este eje de arranque y empleando escuadras ópticas se determinan las

perpendiculares al mismo en las estacas colocadas cada 20m. Obtenidas las

perpendiculares y materializadas con jalones se colocan sobre estas direcciones estacas

cada 20m a partir del eje de arranque. Queda finalmente marcado sobre el terreno un

reticulado de columnas (verticales) y filas (horizontales) que cubren totalmente el área

de la que se desea conocer el relieve. Las filas habitualmente se denominan con letras

mayúsculas y las columnas con números arábigos. En la Figura 161 la fila superior lleva

la letra A y la inferior la G y la columna de más a la izquierda el número 1 mientras que

la de más a la derecha el número 8.

Nivelación de la cuadrícula

El operador del nivel hará estación en el centro de la cuadrícula demarcada (si

ésta fuese de un tamaño relativamente pequeño que le permitiese abarcar toda el área

con una sola estación) y hará lectura de hilo medio (hm) en un punto fijo o punto de cota

conocida. De esta manera determinará la Cota del Plano Visual (CPV) que es la cota o

altura del plano que contiene al eje de colimación (eje del anteojo). La cota de dicho

plano será igual a la cota del punto fijo más la lectura de hm que se haga en ese punto. A

continuación se realizarán lecturas de hm en las miras colocadas verticalmente sobre los

puntos marcados previamente. No se realizarán lecturas de hilo superior (hs), hilo

inferior (hi) ni dirección horizontal ya que se conoce la ubicación de los puntos en el

terreno y los mismos quedan materializados con estacas. El operador del nivel va

realizando lecturas de hm y va anotando los datos en una planilla semejante a la de la

Tabla 52.

Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto

Punto Fijo 2,22

55,44

53,22

A1 2,18 53,26

A2 2,29 53,15

A3 2,4 53,04

.... ..... ......

Tabla 52: Planilla de levantamiento de una nivelación areal por cuadrícula

Las cotas de los puntos surgen de restarle al plano visual la lectura de hilo medio

en cada punto. Así la cota de A1 surge de: CPV – hmA1 = 55,44m – 2,18m = 53,26m. De

modo semejante se calculan las cotas de los restantes puntos A2, A3, etc.

Si el tamaño de la cuadrícula fuese demasiado grande y aumentaran demasiado

las distancias instrumento-mira debería realizarse más de una estación debiendo

recalcular la cota del plano visual de la segunda estación a partir del punto fijo ó, si éste

quedase muy alejado, a partir de alguno de los puntos que fueron nivelados

anteriormente y que por lo tanto pasan a ser puntos de cota conocida.

El objetivo que se persigue con la nivelación areal por cuadrícula es determinar

el relieve del terreno para proceder luego a las tareas de sistematización consistentes en

llevar la superficie del terreno a una pendiente constante. Con la sistematización se

173

eliminan los microrelieves que presenta el terreno natural mediante el pasaje de una pala

niveladora. Esto permite eficientizar el riego gravitacional.

Ejemplo de cuadrícula

Se realizó una nivelación de un predio de 1ha que se piensa sistematizar para

riego, utilizando el método de nivelación areal por cuadrícula con un reticulado de 20m

x 20m. Se realizaron 6 filas (A a F) y 6 columnas (1 a 6). La orientación de la columnas

de la cuadrícula es de Norte a Sur siendo la fila de las A la más septentrional (la de más

al Norte) y la de las F la más meridional (la de más al Sur) y la columna de los 1 la más

occidental y la de los 6 la más oriental.

Se realizó la vinculación altimétrica a un punto fijo cercano de cota 53,22m,

donde se leyó un valor de hm de 2,22m obteniendo una CPV de 55,44m según:

CPV = ZPF + hmPF

CPV = 53,22m + 2,22m

CPV = 55,44m

A continuación se realizaron lecturas de hm en los 36 puntos que formaban la

cuadrícula y se determinó la cota de cada uno de ellos de acuerdo a:

Zi = CPV – hmi

Así para el punto A1

ZA1 = CPV – hmA1

ZA1 = 55,44m – 2,18m

ZA1 = 53,26m

Finalmente se completó la planilla mostrada en la Tabla 53

Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto

Punto Fijo 2,22

53,22

A1 2,18 53,26

A2 2,29 53,15

A3 2,4 53,04

A4 2,45 52,99

A5 2,62 52,82

A6 2,65 52,79

B1 2,09 53,35

B2 2,17 53,27

B3 2,27 53,17

B4 2,39 53,05

B5 2,47 52,97

B6 2,59 52,85

C1 2,02 53,42

C2 2,04 53,4

174

C3 2,15

55,44

53,29

C4 2,26 53,18

C5 2,38 53,06

C6 2,42 53,02

D1 1,89 53,55

D2 1,97 53,47

D3 2,02 53,42

D4 2,15 53,29

D5 2,24 53,2

D6 2,38 53,06

E1 1,73 53,71

E2 1,86 53,58

E3 1,91 53,53

E4 2 53,44

E5 2,1 53,34

E6 2,22 53,22

F1 1,66 53,78

F2 1,7 53,74

F3 1,83 53,61

F4 1,85 53,59

F5 1,99 53,45

F6 2 53,44

Tabla 53: Planilla resultante de la Nivelación Areal por Cuadrícula Nota: en negrita se colocaron los datos que fueron relevados a campo, el resto de los datos fueron

calculados en gabinete a excepción de la cota del PF que fue dato. La CPV es única ya que se realizó 1

sola estación

Figura 162: Plano de puntos acotado para la cuadrícula ejemplo

53.26 53.15 53.04 52.99 52.82 52.79

53.35 53.27 53.17 53.05 52.97 52.85

53.42 53.40 53.29 53.18 53.06 53.02

53.55 53.47 53.42 53.29 53.20 53.06

53.71 53.58 53.53 53.44 53.34 53.22

53.78 53.74 53.61 53.59 53.45 53.44

175

Conocidas las cotas de los puntos se construyó el plano de puntos acotados, es

decir el plano que contiene representados los puntos que se levantaron con sus

correspondientes cotas calculadas (Figura 162). El plano se construyó en escala E:

1:1000. Por lo tanto la distancia entre estacas en el plano será 1000 veces menor que en

el terreno.

20𝑚

1000= 0,02𝑚 = 2𝑐𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

Construcción del plano de curvas de nivel

Las curvas de nivel son líneas que unen puntos de igual cota o altitud y son

múltiplos de la equidistancia. Así como las isotermas son líneas que unen puntos de

igual temperatura y las isóbaras líneas que unen puntos de igual presión, las curvas de

nivel son isolíneas de cota, es decir todos los puntos que unen tienen igual cota o altitud.

La equidistancia es la distancia vertical que separa dos curvas de nivel consecutivas.

Para la construcción de curvas de nivel deben seguirse una serie de pasos que se

detallarán a continuación.

a)Localización del punto más alto y más bajo

Para saber cuántas y cuáles son las curvas de nivel que deberán representarse,

debe inicialmente localizarse en el plano de puntos acotados el punto de cota mayor y el

de cota menor. Así en la cuadrícula ejemplo puede verse que el punto más bajo es el A6

con cota 52,79m y el más alto el F1 con cota 53,78m.

b)Elección de equidistancia

La equidistancia o distancia entre curvas de nivel sucesivas se fija en función del

relieve del terreno y la escala del plano. Con ello se busca que en el plano de curvas de

nivel haya una concentración de curvas adecuada que permita una correcta

interpretación del relieve, es decir que no haya tan poca cantidad de curvas que dificulte

interpretar el relieve del terreno (por elección de una equidistancia muy grande) ni que

haya tantas y tan concentradas que ocasionaría que las curvas se amontonen unas con

otras (por elección de una equidistancia muy pequeña). La equidistancia aumenta con las

irregularidades del terreno y disminuye cuando aumenta la escala. Para terrenos más

irregulares se elegirán equidistancias mayores que para terrenos más llanos y para

escalas más grandes (que representarán menores superficies de terreno y por ende

menores posibilidades de irregularidades) equidistancias más chicas. Las equidistancias

son en general múltiplos y submúltiplos del metro. Así las equidistancias menores al

metro más empleadas son 0,05m; 0,1m; 0,2m; 0,25m y 0,5m. Estas equidistancias son

las más comúnmente empleadas en la construcción de planos de curvas de nivel. Las

equidistancias múltiplos del metro más empleadas son 1,25m; 2,5m; 5m; 10m; 20m;

25m; 50m; 100m y 250m. Estos valores son los más usuales en las Cartas IGM. Para la

cuadrícula ejemplo se tomará una equidistancia de 10cm = 0,10m.

c)Determinación de las curvas a trazar

Ahora bien ¿Cuáles serán las curvas que deberán trazarse? Para saberlo reuérdese

que las cotas a representar se encuentran entre 52,79m y 53,78m, es decir que las curvas

deberán encontrarse en ese rango de valores. Para poder interpolar una curva siempre se

176

debe contar con un punto de cota más baja y uno de cota más alta que la curva que se

desea interpolar ¿Cuál será la curva de cota más baja en el ejemplo? La cota más baja es

52,79m. Si se divide dicho valor por la equidistancia (0,1m), el resultado es 527,9 que

no es un número entero. Es decir 52,79m no es múltiplo de la equidistancia, por lo que

no podrá ser una curva de nivel (recordar que curva de nivel “es la curva que une puntos

de igual cota y es múltiplo de la equidistancia”). El primer valor que será múltiplo de

0,1m es 52,8m (52,8m/0,1m = 528 = número entero). Esa será la primer curva a

interpolar. La siguiente deberá ser 10cm superior, es decir 52,9m. Observar que 52,9m

también es múltiplo de la equidistancia. Las siguientes curvas a trazar serán siempre

10cm más altas que la anterior. Las siguientes curvas a trazar serán 53,0m; 53,1m;

53,2m; 53,3m; 53,4m; 53,5m; 53,6m y 53,7m. Nótese que la curva de 53,8m ya no se

encontrará en el plano de curvas de nivel ya que si bien existen valores de cota inferior a

53,8m no existe ningún valor de cota superior lo que imposibilita realizar la

interpolación.

Si se hubiese elegido una equidistancia de 0,25m el valor más bajo múltiplo de

0,25m habría sido 53,00m (53,00m / 0,25m = 212 = valor entero). Las siguientes curvas

serían 53,25m; 53,50m y 53,75m. La curva de 54,00m no se podría trazar porque no hay

ningún valor mayor a 54,00m y por lo tanto no se podría interpolar. Otra forma de

comprobar que las curvas son múltiplos de la equidistancia es que deben pasar por los

metros enteros. Con ambas equidistancias (0,10m y 0,25m) las curvas pasan por 53m

(que es un valor entero).

d)Interpolación

Luego de seleccionarse la equidistancia y de determinar las curvas de nivel a

trazar puede comenzarse la interpolación. La interpolación que se utilizará es la lineal.

En esta interpolación se supone que entre dos puntos cuyas cotas se conocen la

pendiente es constante y, por lo tanto, la variación de la cota es uniforme, es decir que

ambos puntos estarían unidos por una línea recta, de ahí el nombre de lineal. En la

cuadrícula ejemplo puede observarse que el punto A1 tiene cota 53,26m y el A2, 53,15m

A1

A2

x

20 m

Figura 163: Interpolación lineal

Puede verse que el punto A1 es más alto que el A2 y un punto que se encontrase

en la mitad de la distancia A1-A2 tendría una cota igual a la semisuma de las cotas de

A1 y A2, es decir 53,205m. De las curvas de nivel que se pretenden trazar, sólo pasará

177

entre estos dos puntos la de 53,20m ya que es la única comprendida entre los valores

53,15m y 53,26m. Puede verse que 53,20m se aproxima más a 53,15m que a 53,26m

pero no se sabe exactamente por que lugar entre esos dos puntos pasará. Observar que

para esa distancia de 20m en el terreno (que se corresponde con 2cm en el plano) existe

un desnivel o diferencia de cota de 53,26m – 53,15m = 0,11m. Puede plantearse que la

curva que se desea ubicar pasa 5cm por encima de 53,15m y resolver la distancia

incógnita mediante una regla de tres:

0,11m H ------------- 2cm distancia

0,05m H---------------x = 0,91cm distancia

Quiere decir que la curva de nivel 53,2m deberá trazarse a 0,91cm del punto A2.

Si se plantea desde el punto A1, puede decirse que dicho punto se encuentra 6cm

por encima de 53,20m. El planteo será

0,11m H ------------- 2cm distancia

0,06m H-------------- x = 1,09cm distancia

La curva de nivel 53,2m pasará entre los puntos A1 y A2 a 0,91cm de A2 y a

1,09cm de A1. Esto confirma que la curva pasará más cerca del punto A2. Nótese que la

suma de ambas distancias calculadas es 2cm.

La curva de 53,2m debe continuar trazándose en el resto del plano de curvas de

nivel. La curva 53,2m “entró” al plano de curvas de nivel pasando entre los puntos A1 y

A2. Los lugares por los que puede continuar son 3. Los segmentos A1-B1, B1-B2, ó A2-

B2. Las cotas de A1 y B1 son 53,26m y 53,35m respectivamente, ambas mayores que la

cota de la curva que se desea trazar (53,2m) por lo que dicha curva no pasará entre

dichos puntos. Con los puntos B1 y B2 sucede lo mismo (cotas 53,35m y 53,27m

respectivamente). La curva pasará entre los puntos A2 y B2, ya que el primero tiene cota

53,15m (inferior a 53,2m) y el segundo cota 53,27m (superior a 53,2m). Nuevamente

debe hacerse el planteo para averiguar a que distancia pasará de cada punto. El H es

ahora 53,27m – 53,15m = 0,12m y la distancia entre puntos sigue siendo 2cm (en el

plano)

0,12m H ------------- 2cm distancia

0,05m H-------------- x = 0,8cm distancia

Pasará a 0,8cm del punto A2 y a 1,2cm del punto B2 (0,05m es la diferencia de

53,2m que es la cota de la curva con 53,15m que es la cota del punto A2).

A continuación se analizará entre que puntos seguirá pasando la curva de 53,2m

sin realizar el cálculo de la interpolación. Para la curva de 53,2m que pasó entre A2 y B2

existen tres lugares por los que puede continuar: entre A2 y A3 (ambos son más bajos),

entre A3 y B3 (ambos son más bajos) y entre B2 y B3 (B2 es más alto y B3 más bajo)

que es el lugar por donde pasa. Son tres los lugares por donde podrá continuar: entre B2

y C2 (ambos son más altos), entre C2 y C3 (ambos son más altos) y entre B3 y C3 (B3

más bajo y C3 más alto) que es por donde pasará, más cerca de B3 ya que la diferencia

de cota es menor. Los siguientes lugares por los que pasará serán: entre C3 y C4, entre

178

C4 y D4, exactamente por el punto D5 que tiene cota 53,20m (la curva de nivel lo

contiene) y finalmente “saldrá” del plano pasando entre los puntos D6 y E6.

Con el mismo procedimiento deben trazarse el resto de las curvas.

El plano de curvas de nivel queda como se muestra en la Figura 164 superpuesto

sobre el plano de puntos acotados.

Figura 164: Plano de curvas de nivel superpuesto sobre el plano de puntos acotados para

la cuadrícula ejemplo

Nivelación areal por radiación o taquimetría con nivel

Otro método que permite conocer el relieve de un área determinada es la

nivelación areal por radiación o taquimetría. Con este método se puede determinar

rápidamente (taqui = rápido, metro = medición; medición rápida) la posición plana de

los puntos del terreno (coordenadas X e Y) como su coordenada Z (o altura). El

principio de determinación de la coordenada Z o altura es el de la nivelación geométrica

en general (dirigir visuales horizontales sobre miras verticales), mientras que para

determinar las coordenadas planas X e Y se recurre a determinar previamente

coordenadas polares y convertirlas posteriormente en coordenadas rectangulares.

Para determinar la posición de puntos en el terreno se puede recurrir a un sistema

de coordenadas rectangulares X e Y o bien puede utilizarse un sistema de coordenadas

polares conociendo la distancia a un polo (radio vector R) y un ángulo con respecto a

una dirección tomada como 0 (Argumento o Azimut Az0P). En nivelación areal por

179

radiación se toma como polo el punto donde se hace estación con el nivel, determinando

las distancias desde los puntos del terreno que se están levantando hasta el polo

(distancias entre mira y nivel respectivamente) por medio de estadimetría sabiendo que

la distancia instrumento mira es igual a D = K . hs – hi , donde K es la constante

estadimétrica del aparato (generalmente igual a 100) y hs y hi son las lecturas realizadas

en los hilos estadimétricos superior e inferior respectivamente. Nótese que el valor que

se toma es el valor absoluto de la diferencia entre ambos hilos ya que el hilo superior

puede ser de mayor o menor valor que el inferior si el instrumento es de visual directa o

inversa respectivamente.

Conociendo la distancia instrumento mira por estadimetría falta conocer el

argumento o azimut. El nivel taquímetro posee un limbo horizontal graduado de 0 a

360°. Dicho limbo no determina un ángulo con respecto a una dirección determinada

como lo hace la brújula, que indica el ángulo que forma una determinada dirección con

respecto a la dirección del Norte magnético. De acuerdo a como se coloque el aparato el

0 de la dirección horizontal del limbo del nivel puede quedar ubicado en distintas

direcciones. Para determinar la correspondencia que existe entre la dirección del limbo y

la del Norte puede recurrirse a dos soluciones:

a)En el lugar donde se va a hacer estación de nivel se determina con una brújula

cual es la dirección del Norte (azimut 0), y en esa dirección se coloca un jalón para

dejarla materializada. Se quita la brújula, se coloca el nivel en el mismo lugar y se hace

coincidir la dirección 0 del limbo con la dirección establecida por el jalón (dirección del

Norte magnético). De esta manera las direcciones horizontales que se leen en el limbo

del nivel se corresponderán con los azimutes. Esto solo se puede realizar en caso de que

se cuente con una brújula y también con un nivel que permita rotar el limbo con el

tornillo que posee para tal fin.

b)Conocidas las coordenadas del punto estación se hace lectura de dirección

horizontal en otro punto vecino de coordenadas conocidas. Como desde un punto de

coordenadas conocidas se dirige la visual a otro punto cuyas coordenadas también se

conocen se puede determinar cual es el azimut que se corresponde con dicha dirección.

A esa dirección de azimut conocido le corresponderá una dirección horizontal leída en el

limbo del nivel. Existirá en consecuencia una diferencia de valor angular entre el azimut

y la dirección horizontal leída en el nivel que se mantendrá constante en todas las

direcciones de esa estación: Az – Dir. Horiz. = K . Quiere decir que conociendo dicha

diferencia y leyendo las direcciones horizontales a otros puntos puede determinarse el

azimut desde el punto estación a dichos puntos mediante Az = K + Dir. Horizontal

Conociendo la distancia (por estadimetría) y el azimut entre el punto estación y

los puntos levantados puede determinarse el X y el Y entre los mismos y sabiendo las

coordenadas del punto estación es suficiente con sumarle el valor de las proyecciones

(∆X y ∆Y) para determinar las coordenadas planas X e Y de los puntos levantados. De

esta manera se habrá pasado de un sistema de coordenadas polares a un sistema de

coordenadas rectangulares.

En la nivelación areal por radiación no se deben marcar los puntos que se van a

nivelar en el terreno como se hace en la nivelación areal por cuadrícula por lo que se

elimina la tarea de marcación. El único instrumental utilizado en la misma será el

altímetro o nivel y la mira. No obstante se deben leer además del hilo medio, el hilo

180

superior, el hilo inferior y la dirección horizontal (para poder determinar la posición de

los puntos levantados) lo que aumenta el tiempo de lecturas.

Para lograr una distribución uniforme de los puntos levantados en el terreno se

dirigen visuales o radios (de allí el nombre de radiación) cada un determinado valor

angular de dirección (por ejemplo, cada 30°). De esta manera se consigue uniformar la

distribución de los puntos en la superficie. Con el mismo objetivo se toman puntos

alejados de la estación en todos los radios y puntos cercanos a la estación radio por

medio. De esta manera se evita una acumulación excesiva de puntos cercanos al punto

estación.

E

Figura 165: Vista en planta de una nivelación areal por radiación. En E se ubica el punto

estación y los pequeños puntos negros señalan los lugares donde se colocó el mirero.

Dentro de los radios el mirero puede alejarse o acercarse a la estación buscando

ubicarse en los puntos de cambio de pendiente. El hecho de ubicarse en esos puntos

donde la pendiente cambia de valor es muy importante debido a que permitirá tener una

aproximación más cercana a la realidad del relieve del terreno que la que se tendría si se

tomaran ubicaciones aleatorias. Comparando con la cuadrícula donde los puntos a

levantar están estrictamente fijados por el reticulado, la radiación permite una mayor

flexibilidad en los puntos a levantar que redundará en una mayor aproximación al

verdadero relieve del terreno. No obstante ambas nivelaciones son válidas y utilizadas

ampliamente y persiguen distintos fines. En la nivelación areal por radiación el objetivo

es la realización del plano con curvas de nivel no pudiendo con dicha actividad

planificar una sistematización como en la nivelación areal por cuadrícula.

Ejemplo de Radiación

Se realizó la nivelación geométrica de un predio de 90m x 70m, mediante el

método de nivelación areal por radiación. Se efectuó previamente un transporte de cota a

uno de los puntos de la parcela (punto 1) cuyas coordenadas X e Y se consideran

181

arbitrariamente como X = 100 e Y = 101. Luego del transporte de cota se determinó que

el punto 1 tiene una cota de 12,25m. Con una brújula forestal se determinó el acimut

desde el punto 1 hasta el punto central de la parcela donde se haría estación de nivel

(punto E) y se leyó el valor de 51°30’. Se hizo estación de nivel en E y se realizó lectura

de hilo medio, superior e inferior en el punto 1 y también se hizo lectura de dirección

horizontal. A continuación se realizaron lecturas de hm, hs, hi y dirección horizontal en

otros 46 puntos de la parcela, totalizando los puntos levantados 47. Una vez realizadas

estas mediciones se procedió en gabinete a completar la planilla que se muestra en la

Tabla 54.

La cota del plano visual se determinó realizando lectura de hm en 1 y sumándole

su cota

CPV = Z1 + hm1

CPV = 12,25m + 1,31m

CPV = 13,56m

Dicho valor de CPV fue válido para toda la nivelación ya que no se hizo cambio

de estación de nivel.

La cota (Z) de los restantes puntos se calculó restándole a la CPV las

correspondientes lecturas de hm. Por ejemplo, para 2:

Z2 = CPV – hm2

Z2 = 13,56m – 2,19m

Z2 = 11,38m

La distancia entre el punto estación y el punto visado (distancia instrumento-

mira) se calculó por estadimetría como:

D = m . k

Donde k es la constante estadimétrica que para el nivel usado es 100 y m es la

diferencia entre los hilos estadimétricos inferior y superior.

Para el punto 1 la distancia se calculó como:

DE-1 = (1,59m – 1,03m) . 100

DE-1 = 0,56m . 100

DE-1 = 56m

El acimut fue necesario calcularlo para saber cómo está orientada la parcela y

poder determinar las coordenadas planas X e Y de todos los puntos. El acimut medido

fue el de 1 hacia E (Az 1E = 51°30’). Si se desea saber el azimut de E hacia 1 es

suficiente con sumar 180° ya que es el inverso.

Az E1 = Az 1E + 180°

Az E1 = 51°30’+ 180°

Az E1 = 231° 30’

182

Nótese que en la dirección E-1 (que le corresponde un azimut de 231°30’) se

colocó el limbo horizontal como dirección de arranque (0°00’) por lo que entre dirección

y acimut se mantendrá esa diferencia constante e igual a:

Diferencia = Azimut – Dirección horizontal = 231°30’ = Kte.

Por lo tanto pueden obtenerse los azimutes desde la estación a los distintos

puntos como

Acimut = Dirección horizontal + Diferencia

Así para el punto 2 en el que se ha leído su dirección horizontal se puede obtener

el acimut de E hacia 2 como:

Az E2 = Dir. horiz.. + Dif.

Az E2 = 4°00’ + 231°30’

Az E2 = 235°30’

En el caso que el acimut adopte valores mayores a 360° será suficiente con restar

a dicho valor 360°.

Para el punto 29:

Az E29 = Dir. horiz.. + Dif.

Az E29 = 200°04’ + 231°30’

Az E29 = 431°34’ Az E29 = 431°34’ –360° = 71°34’

Queda aún por determinar las coordenadas X e Y de los puntos que se han

levantado. Se parte de las coordenadas conocidas del punto 1: X1 = 100 e Y1 = 101.

Inicialmente se le da coordenadas al punto E y luego con las coordenadas de E y los

acimutes y las distancias de E al resto de los puntos se calculan las coordenadas de los

mismos.

X = N

Y

XE E

X Az1E

X1

1

Y1 YE Y

Figura 166: Transformación de coordenadas polares del punto E en coordenadas

rectangulares

183

El X entre 1 y E puede calcularse como:

X1-E = cos Az1E . D1E

X1-E = cos 51°30’ . 56m

X1-E = 35m

y el Y como:

Y1-E = sen Az1E . D1E

Y1-E = sen 51°30’ . 56m

Y1-E = 44m

Luego las coordenadas X e Y de E serán:

XE = X1 + X1-E

XE = 100m + 35m

XE = 135m

YE = Y1 + Y1-E

YE = 101m + 44m

YE = 145m

Con las coordenadas X e Y de E y los acimutes y las distancias de E al resto de

los puntos pueden calcularse las coordenadas de todos los puntos.

Para el punto 12:

XE-12 = cos AzE12 . DE12

XE-12 = cos 317°34’ . 48m

XE-12 = 35m

y el Y:

YE-12 = sen AzE12 . DE12

YE-12 = sen 317°34’ . 48m

YE-12 = -32m

Luego las coordenadas X e Y de 12 serán:

X12 = XE + XE-12

X12 = 135 m + 35m

X12 = 170m

Y12 = YE + YE-12

Y12 = 145m + (-32m)

184

Y12 = 113m

Punto hm hs hi Direc. Horiz. CPV z Distancia Acimut dy dx y x

E 1,20 ° ´ 13,56 12,36 0 ° ´ 145 135

1 1,31 1,03 1,59 0 0 13,56 12,25 56 231 30 -44 -35 101 100

2 2,19 2,09 2,28 4 0 13,56 11,38 19 235 29 -16 -11 129 124

3 1,81 1,66 1,96 9 27 13,56 11,75 30 240 57 -26 -15 119 120

4 0,94 0,70 1,17 21 13 13,56 12,63 47 252 43 -45 -14 100 121

5 2,06 1,96 2,16 41 22 13,56 11,50 20 272 52 -20 1 125 136

6 1,31 1,08 1,54 46 6 13,56 12,25 46 277 36 -46 6 99 141

7 1,56 1,35 1,77 59 32 13,56 12,00 42 291 2 -39 15 106 150

8 1,91 1,78 2,04 62 0 13,56 11,65 26 293 30 -24 10 121 145

9 1,69 1,51 1,86 75 22 13,56 11,88 35 306 52 -28 21 117 156

10 1,81 1,52 2,10 76 23 13,56 11,75 58 307 52 -46 36 99 171

11 2,06 1,85 2,27 85 25 13,56 11,50 42 316 55 -29 31 116 166

12 2,26 2,02 2,50 86 4 13,56 11,30 48 317 34 -32 35 113 170

13 1,69 1,54 1,83 97 32 13,56 11,88 29 329 2 -15 25 130 160

14 1,69 1,63 1,74 101 56 13,56 11,88 11 333 26 -5 10 140 145

15 1,69 1,49 1,88 103 56 13,56 11,88 39 335 26 -16 35 129 170

16 1,81 1,73 1,89 121 23 13,56 11,75 16 352 53 -2 16 143 151

17 2,06 1,93 2,19 126 13 13,56 11,50 26 357 43 -1 26 144 161

18 2,31 2,14 2,49 128 30 13,56 11,25 35 0 0 0 35 145 170

19 1,56 1,53 1,60 128 30 13,56 12,00 7 0 0 0 7 145 142

20 1,61 1,51 1,71 152 28 13,56 11,95 20 23 58 8 18 153 153

21 1,74 1,68 1,79 155 4 13,56 11,83 11 26 34 5 10 150 145

22 1,69 1,48 1,89 158 15 13,56 11,88 41 29 45 20 36 165 171

23 1,36 1,23 1,49 162 47 13,56 12,20 26 34 17 15 21 160 156

24 1,19 1,18 1,19 173 30 13,56 12,38 1 45 0 1 1 146 136

25 1,01 0,85 1,17 177 19 13,56 12,55 32 48 49 24 21 169 156

26 2,44 2,15 2,72 180 38 13,56 11,13 57 52 8 45 35 190 170

27 1,79 1,67 1,90 182 40 13,56 11,78 23 54 10 19 13 164 148

28 0,96 0,81 1,11 188 31 13,56 12,60 30 60 1 26 15 171 150

29 1,96 1,88 2,04 200 4 13,56 11,60 16 71 34 15 5 160 140

30 2,19 1,95 2,42 200 39 13,56 11,38 47 71 34 45 15 190 150

31 1,31 1,19 1,44 218 30 13,56 12,25 25 90 0 25 0 170 135

32 2,36 2,13 2,59 224 50 13,56 11,20 46 96 20 46 -5 191 130

33 1,56 1,43 1,69 236 56 13,56 12,00 26 108 26 25 -8 170 127

34 2,06 1,99 2,13 238 9 13,56 11,50 14 109 39 13 -5 158 130

35 1,81 1,67 1,95 252 11 13,56 11,75 28 123 41 23 -16 168 119

36 2,94 2,65 3,22 256 23 13,56 10,63 57 127 52 45 -35 190 100

37 2,21 2,10 2,32 263 30 13,56 11,35 22 135 0 16 -16 161 119

38 2,06 1,87 2,25 267 44 13,56 11,50 38 139 14 25 -29 170 106

39 2,19 1,97 2,40 272 58 13,56 11,38 43 144 28 25 -35 170 100

40 2,29 2,14 2,43 277 32 13,56 11,28 29 149 2 15 -25 160 110

41 2,56 2,37 2,75 282 36 13,56 11,00 38 154 6 17 -34 162 101

42 1,94 1,76 2,11 301 59 13,56 11,63 35 173 29 4 -35 149 100

185

Punto hm hs hi Direc. Horiz. CPV z Distancia Acimut ‘ dy dx y x

43 1,91 1,78 2,04 303 56 13,56 11,65 26 175 26 2 -26 147 109

44 1,81 1,71 1,91 305 29 13,56 11,75 20 176 59 1 -20 146 115

45 1,56 1,51 1,61 308 30 13,56 12,00 10 180 0 0 -10 145 125

46 2,44 2,25 2,62 324 27 13,56 11,13 37 195 57 -10 -36 135 99

47 2,31 2,17 2,45 336 57 13,56 11,25 28 208 27 -13 -25 132 110

Tabla 54: Planilla resultante de la Nivelación Areal por Radiación Nota: en negrita se colocaron los datos que fueron relevados a campo. El resto de los datos fueron

calculados en gabinete a excepción de la cota y coordenadas de 1 que fueron dato. La CPV es única ya

que se realizó 1 sola estación

La modalidad para efectuar la construcción de las curvas es semejante a la de

cuadrícula. Ubicados los puntos de cota más alta y baja y decidida la equidistancia se

determinan las curvas a trazar y se comienza con la interpolación. En la nivelación por

cuadrícula los puntos se encuentran distribuidos uniformemente y equidistantes de sus

vecinos. En la radiación no ocurre lo mismo y deben unirse los puntos vecinos entre los

que se hará la interpolación con una malla triangular con el objeto de facilitar los

cálculos. En la Figura 167 se observa en la parte superior izquierda el reticulado

triangular que se ha efectuado para realizar la interpolación.

Figura 167: Plano de puntos acotados para la taquimetría con nivel. Con líneas

punteadas se ven los triángulos empleados para realizar la interpolación de las curvas de

nivel

12.36

12.25

11.38

11.7512.63

11.50

12.25

12.00

11.65

11.88

11.75

11.50

11.30

11.88

11.88

11.88

11.75

11.50

11.25

12.00

11.95

11.83

11.88

12.20

12.38

12.55

11.13

11.7812.60

11.60

11.38

12.25

11.20

12.00

11.50

11.75

10.63

11.35

11.50

11.38

11.28

11.0011.63

11.65

11.75

12.00

11.13

11.25

100.00 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 190.00100.00

110.00

120.00

130.00

140.00

150.00

160.00

170.00

186

Se ha decidido trazar las curvas con una equidistancia de 0,25m por lo que entre

los puntos que se han marcado los triángulos, puede verse que pasará entre otras, la

curva de 11,50m. Dicha curva “entrará” al plano pasando entre los puntos de cota

11,30m y 11,88m , luego pasará por un punto que tiene 11,50m para finalmente “salir”

del plano pasando entre los puntos de cota 11,75m y 11,30m. El lugar exacto por el que

pasará se determina, a igual que en cuadrícula, por interpolación lineal, es decir

considerando que entre dos puntos de cota conocida la pendiente es constante. Entre

11,30m y 11,75m pasará más cerca del punto de cota 11,30m ya que lo separan 20cm de

la cota de ese punto mientras que de 11,75m lo separan 25cm.

Figura 168: Plano de curvas de nivel superpuesto sobre el de puntos acotados

para la taquimetría con nivel

Existen programas informáticos que permiten realizar la interpolación numérica

de los valores de cota y a partir de un conjunto de valores X, Y, Z ubican

planimétricamente a cada punto (con las coordenadas X e Y) y determinan los lugares

por donde pasan las curvas de nivel (a partir de las coordenadas Z). Estos programas

permiten interpolar todo tipo de parámetros numéricos por lo que se pueden obtener

numerosas y variadas aplicaciones que contemplen trazados de isolíneas (isotermas,

isobaras, isoietas). Una de las aplicaciones más utilizadas en la actualidad son los

denominados “mapas de rendimiento” que unen con líneas lugares del lote que han

alcanzado un mismo rendimiento. Muchos de estos programas permiten también

obtener Modelos de Elevación Digital conocidos con la sigla en inglés DEM (Digital

187

Elevation Model) que permiten obtener una representación tridimensional del relieve del

terreno.

Figura 169: Esquema tridimensional elaborado con un programa específico donde se

representa el relieve del terreno nivelado por taquimetría

Distancia máxima instrumento mira

Tanto en nivelación areal por cuadrícula como en taquimetría con nivel existe

una distancia máxima que la mira puede separarse del instrumento. Esta distancia está

dada por la resolución del ojo humano, el aumento del anteojo del nivel y la menor

división que se quiera apreciar.

Se deducirá la distancia máxima que se puede distanciar la mira del nivel si se

quisiera apreciar el milímetro.

1’ 1mm

D

Figura 170: Cálculo de la distancia a la que se aprecia el milímetro

Sabiendo que el menor ángulo que puede resolver el ojo humano es de un minuto

sexagesimal (1’) y utilizando la función tangente se obtiene que:

tan 1′ =1𝑚𝑚

𝐷

188

𝐷 =1𝑚𝑚

tan 1′= 3437,7𝑚𝑚 = 3,44𝑚

Es decir que para apreciar un milímetro a ojo desnudo no hay que alejarse más de

3,44m de la mira. Si en cambio la observación se hace a través de un anteojo con un

determinado aumento será suficiente multiplicar los 3m (se toma el valor entero y

aproximado de 3m) por el aumento del anteojo para conocer la distancia máxima a la

cual se podrá apreciar el mm en la mira.

Dmáx instrumento- mira = 3m . A

donde A = aumento del anteojo del nivel

Para un aumento de 25 (valor habitual en los anteojos de nivel)

D = 3m . 25

D = 75m

Número mínimo de estaciones a efectuar para nivelar una determinada área

Al realizar una nivelación existe una distancia máxima entre el instrumento y la

mira que no debe superarse. Si el área que desea nivelarse es lo suficientemente grande

que no puede abarcarse con una sola estación de nivel ya que se superaría la distancia

máxima, deberían efectuarse más estaciones para poder nivelarla en su totalidad. Se

analizará cual es la distancia que debe separar los puntos en los que se hará estación.

En la Figura 171 puede observarse que dada una distancia máxima instrumento-

mira y haciendo estación en un punto determinado con una estación de nivel se puede

abarcar una superficie igual a . D2, siendo D la Distancia máxima instrumento-mira y

no el diámetro del círculo. Con el anteojo de 25 aumentos, con el que se logra una

distancia máxima de 75m, podría abarcarse un área de . 752 m

2 = 17671,5m

2 = 1,77ha.

D

E

Figura 171: Área abarcada por una estación E de nivel

Si se dispusiesen las estaciones en el terreno de manera que la distancia que

separase estaciones vecinas fuese el doble de la distancia máxima instrumento mira (2 .

Dmáx) existirían en la superficie a nivelar sectores sin nivelar por superar dicha distancia

máxima (áreas sin nivelar) por lo que esta separación entre estaciones se considera

excesiva. Los círculos de las áreas abarcadas por las estaciones vecinas hacia arriba,

abajo y hacia los costados serían tangentes (Figura 172).

189

D

D D Áreas sin nivelar

D

D

Figura 172: Nivelación con estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados separadas

por 2 . D

Si los círculos son tangentes para las estaciones vecinas en diagonal (Figura 173)

no quedan zonas sin nivelar y existen áreas superpuestas entre estaciones vecinas hacia

arriba, abajo y hacia los costados (áreas que se nivelan desde ambas estaciones). Estas

áreas son utilizadas como áreas de control, ya que la cota de los puntos de las mismas

deben arrojar los mismos resultados desde ambas estaciones. Obsérvese que la distancia

entre estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados es:

2. 𝐷. cos 45° = 2 . 𝐷 = 1,4142 . 𝐷

D

D

Áreas de

superposición

Figura 173: Nivelación con estaciones vecinas hacia arriba, abajo y costados separadas

por 1,41 . D

El área que efectivamente será nivelada por cada estación (descontando la mitad

de la superposición) será igual a (1,4142 . D)2. En el caso de que la distancia máxima

fuera de 75m la superficie será (1,4142 . 75m)2 = 11250m

2 1 ha. Es decir que se

necesitaría aproximadamente una estación de nivel por ha para efectuar la nivelación.

190

Figura 174: Área efectiva nivelada por estación

Problema de cuadrícula

Se efectuó una nivelación areal por cuadrícula de un lote de 120m x 90m. Se

empleó una cuadrícula de 20m de lado consistente en 7 filas (letras) por 6 columnas

(números). Se efectuó una sola estación de nivel en el centro del lote y se realizó lectura

de hm en un punto fijo de cota 15,95m obteniendo un valor de 1,35m. Luego se

realizaron lecturas de hm en los puntos de la cuadrícula obteniendo los valores volcados

en la Tabla 55. La fila de las A está expuesta al Norte.

Estaca Lectura de hm CPV Cota Punto

Punto Fijo 1,35

15,95

A1 1,93

A2 1,90

A3 1,85

A4 1,80

A5 1,84

A6 1,92

A7 1,96

B1 1,87

B2 1,83

B3 1,82

B4 1,73

B5 1,76

B6 1,88

B7 1,92

C1 1,85

C2 1,78

C3 1,78

C4 1,70

C5 1,73

C6 1,81

C7 1,88

D1 1,76

191

D2 1,75

D3 1,67

D4 1,63

D5 1,66

D6 1,78

D7 1,81

E1 1,70

E2 1,69

E3 1,64

E4 1,57

E5 1,62

E6 1,71

E7 1,73

F1 1,66

F2 1,61

F3 1,57

F4 1,51

F5 1,56

F6 1,65

F7 1,68

Tabla 55: Planilla de nivelación areal por cuadrícula a resolver

a) Resolver la Tabla 55 y calcular las cotas de los 42 puntos

b) Dibujar el plano de puntos acotados en escala 1:500

c) Dibujar en papel calco sobre el plano de puntos acotados las curvas de nivel con

equidistancia 0,1m.

Problema de radiación

Se efectuó una taquimetría con nivel desde un punto estación de cota 10,53m, la

altura del instrumento fue de 1,65m. El punto estación tiene como coordenadas X =

1100m e Y = 1200m. Se bisectó inicialmente un punto F de coordenadas conocidas X =

1500m e Y = 1000m obteniendo en esa dirección una lectura de dirección horizontal de

15º 35’. A continuación se efectuó la nivelación del lote de aproximadamente 1ha

obteniendo los datos que se vuelcan en la planilla de la Tabla 56.

Punto hm hs hi Direc. Horiz. z

E 1,65 ° ´ 10,53

1 1,95 1,60 2,30 0 0

2 1,75 1,65 1,85 0 45

3 1,85 1,52 2,13 31 0

4 1,84 1,50 2,18 60 0

5 1,68 1,57 1,79 60 0

6 1,63 1,32 1,94 90 32

7 1,49 1,19 1,79 120 16

8 1,57 1,47 1,67 120 16

192

9 1,47 1,15 1,78 151 22

10 1,45 1,14 1,77 180 23

11 1,55 1,46 1,64 180 25

12 1,50 1,15 1,85 210 4

13 1,55 1,30 1,80 241 32

14 1,54 1,44 1,64 241 56

15 1,60 1,30 1,90 269 56

16 1,73 1,43 2,03 300 23

17 1,67 1,57 1,78 300 13

18 1,92 1,61 2,23 330 30

Tabla 56: Planilla de taquimetría con nivel a resolver

a) Resolver la Tabla 56 y calcular las coordenadas X, Y, Z de los 18 puntos

b) Dibujar el plano de puntos acotados en escala 1:500

c) Dibujar en papel calco sobre el plano de puntos acotados las curvas de nivel con

equidistancia 0,1m.

193

CARTOGRAFÍA

La Cartografía es la Ciencia que estudia los diversos métodos y sistemas para

poder representar en un plano una parte o la totalidad de la superficie terrestre. Se la

suele definir también como el arte de trazar cartas geográficas. Una carta o mapa es una

representación geométrica, plana, simplificada y convencional de una parte o de la

totalidad de la superficie terrestre con una relación de similitud denominada escala.

Formas de la Tierra

Previo al estudio de las formas de representar a la Tierra se analizarán cuales son

las formas que se adoptan más comúnmente para el estudio de la misma.

La aproximación más cercana a la verdadera forma de la Tierra es el Geoide. El

geoide se define como la superficie de los mares en calma prolongada por debajo de los

continentes y libre de la acción de vientos y mareas. Es una superficie equipotencial e

irregular por lo que no tiene una aproximación matemática (o al menos la misma no es

sencilla).

Forma real

Geoide

Figura 175: Geoide

La segunda aproximación a la verdadera forma de la Tierra es el Elipsoide (o

esferoide) que considera a la Tierra una figura geométrica simple e igual a una elipse de

revolución con dos semiejes que reflejan el achatamiento polar: un semieje menor (polar

= b) de 6357km y un semieje mayor (ecuatorial = a) de 6378km. El Elipsoide responde a

una ecuación matemática sencilla.

b

a

Figura 176: Elipsoide

Tanto el Geoide como el Elipsoide son utilizados por la Geodesia como

superficies de referencia. La Geodesia es la disciplina encargada de estudiar la verdadera

forma y dimensiones de la Tierra y constituye una ciencia afín a la Topografía

brindándole a la misma puntos de apoyo que son tomados como puntos de arranque para

los levantamientos plani-altimétricos.

194

Una tercera aproximación a la verdadera forma de la Tierra la constituye la

Esfera de Radio Medio de 6370km. Dicha esfera también responde a una ecuación

matemática sencilla. Esta aproximación es utilizada por la Topografía.

R

R

Figura 177: Esfera de Radio Medio

La cuarta aproximación la constituye el plano tangente a la esfera de radio medio

que también es utilizado por la Topografía.

Figura 178: Plano Tangente a la Esfera de Radio medio

Superficies desarrollables

Debido a la esfericidad de la Tierra resulta complejo representarla en un plano

sin que se produzcan deformaciones y diferencias entre las magnitudes reales y las

representadas a escala. Suponiendo a la superficie terrestre semejante a la cáscara de una

naranja se percibirá la dificultad de achatar a la misma hasta llevarla a un plano.

Ocurrirá seguramente que se deberá resquebrajar la cáscara en numerosos sectores para

poder lograrlo. Esto se debe a que la superficie esférica no es desarrollable. Las

superficies desarrollables son de acuerdo a Gauss aquéllas en las que el producto de sus

curvaturas es nulo siendo la curvatura el valor inverso del radio

𝐶 =1

𝑅

donde C = Curvatura y R = radio

195

R1 R1

R2 = R2 = R1

R2

Figura 179: Superficies desarrollables (cilindro y cono) y esfera (no desarrollable)

Observar que tanto en el cilindro como en el cono uno de los radios es por lo

que una de las curvaturas es nula y el producto de las curvaturas también lo es siendo las

superficies de ambas figuras desarrollables en un plano. En la esfera en cambio ninguno

de los radios es por lo que ninguna de las curvaturas es nula constituyendo una figura

cuya superficie no es desarrollable en un plano.

Propiedades de las proyecciones cartográficas

Como la esfera no es desarrollable, no existe otra forma que utilizar un globo

terráqueo para representar a la superficie terrestre sin tener deformaciones de ningún

tipo. No obstante ello se puede recurrir a distintas maneras de llevar la superficie de la

esfera a un plano utilizando para ello proyecciones. Por no ser desarrollable se

producirán deformaciones al realizar la proyección. De acuerdo a las deformaciones que

se produzcan por el pasaje de la esfera al plano las proyecciones se pueden clasificar en:

1. Conformes o isogónicas: son aquellas en las que se conserva la forma (se

mantienen los ángulos)

2. Equivalentes o equiáreas: Conservan constante la relación de superficies entre el

terreno y el plano

3. Automecoicas: Conservan constante la relación de longitudes.

4. Afilácticas: Sin ser conformes ni equivalentes reducen al mínimo las

deformaciones.

Tipos de proyecciones

Existen numerosos métodos de llevar la superficie terrestre al plano. Entre otros

se utilizan las Superficies Auxiliares de Proyección (cilindro y cono) que al ser tangentes

a un círculo terrestre, permiten más puntos de contacto. Estas superficies deben poseer la

propiedad de ser desarrollables. Por generalización se utiliza el término proyección para

todos los tipos de representación cartográfica, aún aquellos que no se basan en el método

proyectivo.

En función de la posición que adoptan con relación al eje terrestre se clasifican

en:

Directa: el eje de revolución coincide con el eje terrestre

Transversa: el eje de revolución está contenido en el plano ecuatorial

Oblicua: el eje de revolución en otra posición que las definidas anteriormente

196

Proyección Cilíndrica: Consiste en proyectar la esfera terrestre sobre un cilindro

tangente al globo.

Eje terrestre (N-S)

Ecuador

Transversa

Directa Oblicua

Figura 180: Proyecciones cilíndricas

Proyección cónica: Consiste en proyectar la esfera terrestre sobre un cono

tangente al globo.

Directa Transversa Oblicua

Figura 181: Proyecciones cónicas

Proyección acimutal: también llamadas cenitales o perspectivas, se obtienen

proyectando la superficie del globo sobre un plano tangente al mismo.

Directa Transversa Oblicua

Figura 182: Proyecciones acimutales

197

Coordenadas Geográficas

En un plano se puede definir la ubicación de un punto mediante coordenadas

cartesianas ortogonales X e Y o mediante coordenadas polares y D.

Para determinar la ubicación de un punto en una esfera (figura a la que se

asemeja la Tierra) se utiliza un sistema de coordenadas conocido como geográficas.

Consiste en un juego de círculos alrededor del globo terrestre que corren de oeste a este

(Paralelos al Ecuador) y otra serie de círculos que corren de Norte a Sur

(perpendiculares al Ecuador) y convergen en los polos formando una red de líneas de

referencia mediante la cual se puede localizar cualquier punto en la superficie de la

Tierra.

A la serie de anillos que son paralelos al Ecuador se los conoce con el nombre de

Paralelos y determinan la Latitud de un punto siendo la misma el ángulo hacia el Norte

o Sur que hay desde el Ecuador hasta el paralelo que pasa por el punto.

A los anillos en la otra serie de círculos del globo terrestre que forman ángulos

rectos con las líneas de latitud y pasan por los polos, se los conoce como meridianos de

longitud o sencillamente como Meridianos.

El meridiano que se toma como origen (primer meridiano=0º) pasa por

Greenwich (Gran Bretaña). El ángulo hacia el Este o hacia el Oeste desde el primer

meridiano hasta el meridiano que pasa por un punto dado se conoce como longitud del

punto.

Figura 183: Latitud y Longitud de un punto

Las coordenadas geográficas se expresan en unidades angulares sexagesimales.

198

Partiendo del Ecuador los paralelos se numeran de 0º a 90º tanto hacia el Norte

como hacia el Sur. Los extremos son el Polo Norte que tiene una latitud Norte de 90º y

el Polo Sur que tiene una latitud Sur de 90º. Suelen utilizarse valores negativos para las

latitudes Sur y positivos para las latitudes Norte.

Partiendo de 0º en el primer meridiano la Longitud se mide tanto hacia el Este

como hacia el Oeste alrededor del mundo. Las líneas al Este del primer meridiano se

numeran de 0º hasta 180º y se las conoce como Longitud Este. Las líneas al Oeste del

primer meridiano se numeran desde 0º hasta 180º y se las conoce como Longitud Oeste.

Siempre se debe especificar Este u Oeste al dar la dirección. Suelen utilizarse valores

negativos para las longitudes Oeste y positivos para las longitudes Este.

Proyección utilizada por la Cartografía Argentina

En la República Argentina el organismo encargado de confeccionar la

Cartografía Nacional es el IGM (Instituto Geográfico Militar). Este organismo adoptó la

proyección Gauss-Krüger. Esta proyección fue ideada por C. F. Gauss en 1822.

Posteriormente, el matemático L. Krüger tiene el mérito de haber generalizado la

proyección Gauss, haciéndola más práctica con la introducción de fajas meridianas. La

proyección Gauss-Krüger es una proyección cilíndrica, transversa y conforme. El eje del

cilindro sobre el que se proyecta la esfera pasa por el Ecuador y consecuentemente es

tangente a un meridiano, llamado meridiano de tangencia. La propiedad conforme de

esta proyección refiere a que se mantienen las formas (los ángulos) entre la esfera y la

proyección plana de la misma. No obstante las figuras sufren un agrandamiento a

medida que la proyección se aleja del meridiano de tangencia y solo se mantiene

constante la relación de longitudes entre esfera y plano en este meridiano. Krüger redujo

el ancho de las fajas a 3° de longitud (1°30’ a la izquierda y 1°30’ a la derecha del

meridiano central de cada faja) para reducir las deformaciones en el sentido Este-Oeste a

valores insensibles a los usos de la Cartografía. Krüger eligió como meridianos centrales

aquellos múltiplos de 3° y designó con la letra k a la característica de cada faja.

Al proyectar estas fajas de 3º sobre el plano permanecen como líneas rectas el

meridiano central y el Ecuador, siendo los restantes meridianos y paralelos líneas con

curvatura hacia el meridiano central y hacia los polos respectivamente.

PN

Meridiano de tangencia

Ecuador (línea recta)

Meridiano Central (línea recta)

PS

Figura 184: Proyección Gauss-Krüger

(cilíndrica, transversa, conforme)

Figura 185: Faja de 3º proyectada sobre el

plano (salvo Ecuador y meridiano central

son líneas curvas)

199

Coordenadas Gauss-Krüger

Al igual que todos los sistemas de representación cartográficos, busca una

correspondencia biunívoca entre cada punto de la superficie terrestre (caracterizado por

sus coordenadas geográficas latitud y longitud ), y su homólogo en el plano

(caracterizado por sus coordenadas planas cartesianas X e Y).

Figura 186: División del país en fajas meridianas de 3º (Sistema Gauss – Krüger)

200

Argentina queda dividida en siete fajas numeradas del 1 al 7 de Oeste a Este. A

este número se lo denomina característica de la faja = k. Cada faja tiene un meridiano

central. Los meridianos centrales de fajas son de Oeste a Este -72º, -69º, -66º, -63º, -60º,

-57º y -54º (Figura 186).

Cada faja forma un sistema de coordenadas independiente del de las otras fajas.

En cada uno el meridiano central es el eje de las X y a partir de él,

ortogonalmente, se miden las Y.

Existen dos orígenes para las X: el Ecuador para el hemisferio Norte y el Polo

Sur para el hemisferio Sur por lo que en Argentina la coordenada X de un punto es la

distancia desde el Polo Sur a dicho punto.

Las ordenadas Y crecen positivamente hacia el Este, correspondiendo al

meridiano central de cada faja una coordenada Y = k . 106 + 500.000 . La primer faja (-

72º) tiene una ordenada Y = 1 . 106 + 500.000 = 1.500.000. Las coordenadas Gauss-

Krüger tienen unidades del sistema métrico.

Faja Meridiano Central Meridianos límites de faja Característica(K) Ordenada

1 -72º -70º30 -73º30 1 1.500.000

2 -69º -67º30 -70º30 2 2.500.000

3 -66º -64º30 -67º30 3 3.500.000

4 -63º -61º30 -64º30 4 4.500.000

5 -60º -58º30 -61º30 5 5.500.000

6 -57º -55º30 -58º30 6 6.500.000

7 -54º -52º30 -55º30 7 7.500.000

Tabla 57: Fajas que cubren el territorio nacional y sus características

Para un punto “P”, la abcisa Xp expresa la distancia desde el Polo Sur a P.

La ordenada Yp se obtiene sumando a la ordenada del meridiano central la

distancia Yp entre éste y el punto P.

Meridiano Central

Y’P P

Extremo de Faja

XP

PS

Figura 187: Coordenadas planas Gauss-Krüger

201

Las Y son positivas al Este del meridiano central y negativas al Oeste. Si un

punto tiene una coordenada mayor de 500.000 estará a la derecha del meridiano central y

si es menor de 500.000, estará a la izquierda.

Ejemplo: Si un punto “P1” tiene coordenadas

X = 6.401.507m

Y = 5.625.259m

P1 se encuentra en la faja 5 (pues así lo indica el primer dígito de la coordenada Y) y a

625.259 - 500.000 = 125.259m al Este del meridiano central de dicha faja (-60º). La

coordenada X indica que se encuentra 6.401.507m por encima del Polo Sur.

Si las coordenadas de P2 son:

X = 6.401.507m

Y = 5.385.134m

P2 se encuentra en la faja 5 a 6.401.507m del Polo Sur y a 500.000 - 385.134 =

114.866m al Oeste del meridiano central de faja.

Las coordenadas Gauss-Krüger se encuentran representadas en las cartas IGM

por un reticulado de líneas verticales y horizontales distanciadas 4cm entre sí. Cada

línea posee en cada extremo dos números grandes que indican la decena y unidad de km

de la coordenada correspondiente. La línea horizontal más inferior y la línea vertical más

a la izquierda llevan además dos números que indican la centena y unidad de mil de la

coordenada con números pequeños en superíndice. La distancia que representan estos

cuatro centímetros de separación entre líneas variará con la escala de la carta. Para una

carta 1:50000 serán 50000 . 4cm = 200000cm = 2km

63

82 84 86 88 90

98 98

6596 Km desde el PS

96 96

94 94

112km al Oeste del

Meridiano Central

92 92

65

90 65

90 63

82 84 86 88 90

Figura 188: Retícula con coordenadas Gauss-Krüger de una carta a escala 1:50000

202

Figura 189: Extremo SO de la carta 3560-2-4 “Rojas”. Pueden verse las coordenadas

geográficas y Gauss-Krüger

En la Figura 189 pueden verse ambos sistemas de coordenadas (Gauss-Krüger y

geográficas). Figura la latitud (34°20’) y longitud (60°45’) del punto extremo SO de

dicha carta. La coordenada “Y” Gauss-Krügger de la primer línea vertical (54

32) indica

que los puntos unidos por dicha línea se encuentran a 68km del meridiano central

(5500km-5432km) y que la carta pertenece a la faja 5 (pues el primer número de la

coordenada así lo indica). La coordenada “X” Gauss-Krügger de la primer línea

horizontal (62

02) indica que los puntos unidos por dicha línea se encuentran a 6202km

del Polo Sur. Obsérvese que la separación de 4cm entre líneas sucesivas de coordenadas

Gauss-Krüger se corresponde con 2km (de 5432 pasa a 34 en Y y de 6202 pasa a 04 en

X), en coincidencia con la Escala de la carta (1:50000).

Agrandamiento relativo

La proyección Gauss-Krüger es conforme, es decir conserva las formas (los

ángulos) pero las figuras que se representan sufren (producto de la proyección) un

agrandamiento en sus dimensiones. El agrandamiento que sufren las figuras es nulo en el

meridiano central y aumenta con la distancia de las mismas a dicho meridiano. El

módulo de agrandamiento relativo tiene la siguiente expresión:

𝐴𝑟 = 1 +𝑌2

2. 𝑅2

203

donde: Ar = Agrandamiento relativo; Y = Distancia al meridiano central (km) y

R = Radio terrestre (6370km)

Si la distancia al meridiano central es nula, el Ar vale 1, lo que quiere decir que

no hay agrandamientos. En cambio, una distancia medida en el plano a 100km del

meridiano central habrá sufrido un agrandamiento de 1,000123, lo que quiere decir que

lo que mide 1,000123 en el plano en realidad debería medir 1 pero debido al tipo de

proyección ha sufrido un agrandamiento. De todas maneras debido al ancho de faja

limitado a 1°30’ a cada lado del meridiano central, el agrandamiento es imperceptible en

las escalas utilizadas.

Nomenclatura de las cartas IGM

Las cartas del IGM, se publican en hojas denominadas Planchetas ya que han

sido construidas con un instrumento del mismo nombre usando una metodología

denominada taquimetría gráfica. Se publican en las escalas 1:500.000; 1:250.000;

1:100.000; 1:50.000 y 1:25.000. Estas cartas se individualizan con un nombre y un

código numérico. El código indica la posición geográfica.

Escala 1:500.000. Se la denomina carta madre. Abarca todo el ancho de faja, es

decir 3º de amplitud en longitud y 2º en latitud. Su número identificador está compuesto

por cuatro cifras, las dos primeras corresponden al paralelo central de la hoja (son

números impares) y las otras dos al meridiano central. Los 4cm del reticulado Gauss-

Krüger representan 20km (Figura 190).

Carta 3566

Figura 190: Carta Madre a Escala 1:500000

-67°30 -66° -64°30’

2°

3°

-34°

-35°

-36°

204

Escala 1:250.000. Surge de dividir en cuatro partes la carta madre (1:500.000).

Se identifica con los cuatro dígitos seguidos de un número romano (I, II, III, IV). Abarca

1º30 en longitud y 1º en latitud. Los 4cm del reticulado Gauss-Krüger representan 10km

(Figura 191).

Carta 3566-I

I II

III IV

Figura 191: Carta a Escala 1:250000

Escala 1:100.000. Surge de dividir en 36 partes la carta madre (Esc. 1:500.000). Abarca

30 en longitud y 20 en latitud. Su número identificatorio lo constituyen los cuatro

dígitos seguidos de un número arábigo que va del 1 al 36. Los 4cm del reticulado Gauss-

Krüger representan 4km (Figura 192).

Carta 3566-1

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17

18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

Figura 192: Carta a escala 1:100000

-67°30 -66° -64°30’

2°

1°30’

-34°

-35°

-36°

-67°30 -66° -64°30’

30’

-34°

-36°

20’

-35°

36

205

Escala 1:50.000: Es la cuarta parte de la carta en escala 1:100.000. Abarca 15 en

longitud y 10 en latitud. Su número identificatorio está constituido por los mismos de la

carta en escala 1:100.000 seguidos de un número del 1 al 4. Los 4cm del reticulado

Gauss-Krüger representan 2km (Figura 193).

Carta 3566-1-1

1 2 2 3 4 5 6

3 4

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17

18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

Figura 193: Carta a Escala 1:50000

Escala 1:25.000: Es la cuarta parte de la Carta en escala 1:50.000. Abarca 7 30

en longitud y 5 en latitud. Su número identificatorio lo constituyen los mismos de la

carta en escala 1:50.000 seguidos de las letras minúsculas a, b, c y d. Los 4cm del

reticulado Gauss-Krüger representan 1km (Figura 194).

Carta 3566-1-1-a

Figura 194: Carta a Escala 1:25000

Problema: Calcular las coordenadas del extremo NW de la carta 3566-17-2-a.

Rta: 34°40’S; 65°15’O

-67°30 -66° -64°30’

15’

-34°

-36°

10’

-35°

-67°15’ -67°22’30’’ -67°30’

5’

-34°00’

-34°05’

-34°10’

7’30’’

a b

c d

36

206

Figura 195: Desarrollo de las Escalas empleadas para la Cartografía Nacional

Interpretación de la carta

La interpretación de una carta topográfica requiere la identificación,

conocimiento y comprensión de todos los elementos alfabéticos, numéricos y gráficos a

los fines de la formación del modelo del terreno para aplicarlo a un objetivo

determinado.

Entre los elementos componentes de una carta topográfica se tienen:

a.-Escala: es la relación entre magnitudes lineales en el plano y el terreno. E =

1/D ó E = 1:D. Por ejemplo E = 1:100.000 ó E = 1 / 100.000 unidades en el terreno.

Una escala es menor que otra cuando el denominador es más grande: 1:100.000

es menor que 1:50.000.

De acuerdo a la escala puede clasificarse la documentación cartográfica en:

Planos Escalas mayores, hasta 1:10.000 (D más chico)

Cartas topográficas Escalas medias, de 1:25.000 a 1:500.000

Mapas Escalas menores, 1:1.000.000 y menores (D más grande)

El Ingeniero Agrónomo y Forestal utiliza principalmente los planos y las cartas

topográficas.

207

En las cartas IGM la escala se encuentra en la parte inferior de la hoja.

Además se coloca una escala gráfica que permite determinar que distancia

representa una longitud del plano en el terreno sin realizar cálculos.

1000 m 0 1 2 3 Km

Figura 196: Escala Gráfica

Figura 197: Mención de Escala, Escala Gráfica y Equidistancia en una carta IGM

En un papel se marcará la distancia incógnita comparándola luego con la escala

gráfica. Se coloca uno de los extremos del papel en una unidad entera de la escala

gráfica (por ejemplo 1, 2 ó 3) de manera que el otro extremo se encuentre en el sector

izquierdo de la escala (donde se encuentran las divisiones pequeñas) determinando de

esta manera en forma aproximada la distancia.

b.-Croquis de situación de la hoja: Se utiliza para relacionar la plancheta con

sus vecinas. En caso de necesitar hojas vecinas se puede consultar la nomenclatura y

nombre de la hoja.

3560-27-2

25 de Mayo

3560-28-1

Lucas

Monteverde

3560-28-2

Ea. La

Merced

3560-27-4

Pueblitos

3560-28-3

Saladillo

3560-28-4

Del Carril

3560-33-2

Mamaguita

3560-34-1

Est. La

Barrancosa

3560-34-2

La

Campana

Figura 198: Situación de la hoja para la Carta 3560-28-3 “Saladillo”

y de la hoja 3560-8-3 “Junín”

c.-Nómina de puntos trigonométricos y auxiliares: Estos puntos poseen

coordenadas conocidas ya que las mismas se han determinado previamente. Son útiles

para relacionar cualquier trabajo topográfico a la red fundamental del país y se

simbolizan con un pequeño triángulo con un punto al centro. En el borde derecho de la

carta se presenta un listado con los puntos trigonométricos que se encuentran en la

208

misma, así como el número de registro con el que se deben ubicar en el catálogo de

puntos trigonométricos para averiguar sus coordenadas. Cada punto tiene un nombre

relacionado al lugar geográfico en que se encuentra.

PUNTO

NÚMERO NOMBRE

En la carta De registro

1 6G - III – 1027 Cpo. La Julia, con marca para acimut

2 6G - II - 615 Cpo. Dalto, con marca para acimut

3 6G - III – 1053 Chac. Bagnato, con marca para acimut

Tabla 58: Nómina de puntos trigonométricos para la Hoja 3560-28-3 “Saladillo”

Figura 199: Nómina de puntos trigonométricos para la Hoja 3560-2-4 “Rojas”

Figura 200: Punto trigonométrico 9 de la carta 3563-36-1 “Pehuajó” y punto

trigonométrico 6 (en un molino) en la hoja 3563-5-4 “Mones Cazón”

209

d.-Convergencia de meridianos y declinación magnética: (para el punto

central de la carta y fecha fijada. Ej: 1º de Enero de 1963). Aparecen en el margen

izquierdo de la plancheta. La declinación magnética es el ángulo formado entre el Norte

Geográfico (también llamado Norte Verdadero) con el Norte Magnético. Se simboliza

con la letra griega . La convergencia de meridianos es el ángulo formado entre el Norte

Geográfico y el Norte de Cuadrícula. Se simboliza con la letra griega El Norte de

cuadrícula está definido por las líneas verticales del reticulado Gauss-Krüger. La

dirección del Norte Geográfico en la proyección Gauss-Krüger se define como la recta

tangente al meridiano que pasa por el punto. Dicha recta es una línea vertical y paralela

al Norte de cuadrícula en el Ecuador y en el meridiano central (convergencia de

meridianos = 0º). En el resto de los puntos forma un ángulo con el Norte de Cuadrícula.

La convergencia de meridianos es positiva cuando es oriental (Nc al este del Ng) y

negativa cuando es occidental (Nc al oeste del Ng). La expresión matemática de la

convergencia es = . sen siendo la diferencia de longitud entre el punto

considerado y el meridiano central y la latitud del punto en cuestión. Así la

convergencia será nula en el Ecuador donde la latitud es 0º (sen 0º = 0) y en el meridiano

central ya que la es 0. La convergencia será máxima en el extremo de faja donde la

es máxima (vale 1º30’) y en el Polo donde la latitud es 90º (sen 90º = 1). La

convergencia puede ser positiva o negativa por lo que el valor máximo que puede

adoptar va desde –1º30’ a +1º30’.

Nc

Nmg Ng Nc

Ng

Figura 201: Declinación Magnética

y Convergencia de Meridianos

Figura 202: Convergencia de meridianos para

dos puntos en extremo de faja, uno en el

Ecuador (= 0) y otro de Latitud Sur (= -)

Salto de Cuadrícula

Está relacionada con la convergencia de meridianos. Es el ángulo existente entre

las cuadrículas de dos hojas vecinas pertenecientes a distintas fajas. Vale el doble de la

convergencia de meridianos (2En las hojas que pertenecen al extremo de faja se

coloca con líneas punteadas la dirección de las líneas de cuadrícula de la hoja vecina.

210

Faja 5 Faja 6

Figura 203: Dos hojas vecinas de extremo

de faja con sus respectivas cuadrículas

Figura 204: Hoja 3560-12-2 con su

cuadrícula en línea continua y la de la hoja

vecina en línea discontinua

e.-Símbolos cartográficos: fundamentales para la interpretación de la simbología de la

plancheta. No guardan la relación de escala con la realidad. Se detallan algunos de los

signos cartográficos que aparecen en el margen derecho de la carta como así también las

abreviaturas más comúnmente empleadas.

SALADILLO Población de 10.000 a 25.000 habitantes

Las Margaritas Paraje o lugar conocido

Límite de Partido - Cabecera de partido

Límite de Provincia

Alambrado

Camino pavimentado

Camino secundario

Vía férrea de una vía

Molino a viento - Molino a viento con tanque australiano

Punto trigonométrico

121,2 Punto fijo - Punto acotado

A. Alm. Ars. Arroyo – Almacén – Arsenal

Cña. Cda. Cñd. Cabaña – Cañada – Cañadón

Co. Chac. Cnia. Cerro – Chacra – Colonia

Comis. Cu. Dest. Comisaría – Cuartel – Destacamento

Ec. Ea. Estr. Escuela – Estancia – Estrecho

Fca. Gja. H. Fábrica – Granja – Hospital

211

Moj. Pte. Pto. Mojón – Puente – Puesto

P.T. Qta. To. Pto. trigonométrico – Quinta - Tambo

Tabla 59: Algunas de las abreviaturas utilizadas en las Cartas IGM

Figura 205: Signos cartográficos y abreviaturas de la carta 3560-7-4 “Saforcada”

f.-Curvas de nivel: Son líneas que unen puntos de igual cota. Son muy

importantes para poder representar la altimetría del terreno. La equidistancia, que figura

en el margen de la plancheta, es el desnivel que separa dos curvas de nivel consecutivas.

La elección de la equidistancia es función del denominador de la escala de la carta (a

mayor denominador mayor equidistancia) y de las formas del terreno. Un terreno llano

tendrá valores pequeños de equidistancia y un terreno quebrado valores grandes. Si se

eligiese una equidistancia muy chica para un terreno quebrado el exceso de curvas

recargaría el dibujo e impediría la lectura.

Clases de curvas: Sobre las cartas se representan cuatro tipos de curvas de nivel:

-Curvas intermedias o de equidistancia: respetan el valor de la equidistancia

fijada. Se dibujan con línea fina y continua. Son las que más abundan en las cartas.

-Curvas principales o directrices: Son dibujadas con líneas gruesas y continuas

y en ellas se indica el valor de la altura para facilitar la lectura y expresar el relieve. Por

lo general las curvas principales se dibujan cada cuatro o cinco intermedias.

-Curvas auxiliares: Son usadas excepcionalmente para representar un relieve

local de interés. Van acompañadas de su valor altimétrico redondeado al metro. Se

dibujan con líneas finas punteadas.

212

-Curvas figurativas: Indican la forma aproximada del terreno. No resultan de un

levantamiento topográfico. Se dibujan en línea de trazos.

40

Curva principal

Curva secundaria

20

Figura 206: Curvas principales e intermedias

Figura 207: Carta IGM 3560-10-1 “Carmen de Areco”

Carta Imagen

Las cartas que se han descrito son denominadas cartas de línea ya que han sido

construidas con líneas o trazos. En la actualidad se elaboran también las llamadas Carta

Imagen que son cartas elaboradas a partir del procesamiento de imágenes satelitales. Se

denominan Imágenes y no Fotos Satelitales reservándose el término fotografía para

casos en que existe el revelado de un rollo fotográfico como en las Fotos Aéreas (Figura

208).

213

Figura 208: Carta imagen 4363-I “Península Valdés” a Escala 1:250000

En la Figura 208 puede observarse una Carta Imagen. En la misma pueden

observarse en distintas tonalidades diferentes características del lugar relevado. No se

colocan como en la Carta de Línea tradicional una reseña de símbolos cartográficos ya

que dichas cartas adolecen de simbología. Solo se les adiciona texto haciendo referencia

a los accidentes principales (en la Figura 208 se lee “Océano Atlántico” y se mencionan

varios Golfos existentes). La Carta se encuentra atravesada por numerosas líneas

verticales y horizontales separadas 4cm entre sí correspondientes a las coordenadas

Gauss-Krüger como en las cartas de línea. Por ser a Escala 1:250000 la distancia entre

líneas vecinas corresponde a 10km. Se observa a la izquierda de la Figura 208 una

reseña colorimétrica que permite identificar distintas coberturas sobre la Carta

comparando con los colores presentes en la misma. La Carta Imagen presenta la ventaja

de presentar información muy actualizada (las cartas de línea presentan relevamientos

antiguos, de la década del 50, 60 y anteriores) pero adolece de curvas de nivel por lo

cual dichas cartas no reemplazan a las tradicionales cartas de línea sino que las

complementan.

Las imágenes satelitales arriban a la Tierra por medio de señales

electromagnéticas. Las imágenes que se utilizan para elaborar estas cartas en Argentina

provienen de sensores ubicados en dos grupos de satélites distintos: el Landsat

(americano) y el Spot (francés). En dichos satélites van montados los sensores que son

los instrumentos encargados de captar las imágenes. La resolución de estos sensores

viene dada por el tamaño del Píxel (del inglés Picture element = Elemento de imagen)

que es la menor unidad de una imagen. Si se amplia suficientemente una imagen digital

se llegará a ver que está formada por pequeños cuadrados. Cada uno de esos cuadrados

constituye un pixel. El tamaño del pixel determina la resolución de la imagen. La

plataforma Landsat posee dos tipos de sensores: TM (Thematic Mapper = Mapeador

temático) de 30m de pixel y MSS (MultiSpectral Scanner = Barredor multiespectral) de

214

80m de pixel. La plataforma Spot posee un sensor denominado HRV (High-Resolution

Visible = Alta resolución en el visible) que puede trabajar en dos modos: Modo

multiespectral de 20m de pixel y Modo Pancromático de 10m de pixel. Cuando menor es

el tamaño del pixel, mayor es la resolución de una imagen digital. Por ejemplo, el sensor

HRV del Spot en modo pancromático tiene una resolución mayor que el mismo en modo

multiespectral (10m de tamaño de pixel vs 20m de pixel). Un pixel del sensor HRV del

Spot en modo pancromático abarcará una superficie terrestre de 10m . 10m = 100m2

mientras que uno del MSS del Landsat abarcará una superficie de 80m . 80m = 6400m2.

Puede observarse que un área de 6400m2 será abarcada por un solo pixel del MSS

Landsat o por 64 del HRV pancromático. Quiere decir que todo lo que contengan esos

6400m2 será promediado y tendrá un único valor en el sensor MSS y existirán 64 valores

distintos para el HRV pancromático.

80m

Figura 209: un pixel del MSS Landsat o su equivalente en 64 pixeles del HRV

pancromático

En función de la resolución del sensor es que una imagen satelital podrá ser

representada a una mayor o menor escala. El pixel debe reducirse a un tamaño tal que el

ojo no lo perciba de manera que se vea una imagen continua y no formada por cuadrados

diferenciables (Figura 210).

El pixel deberá tener en consecuencia en el plano un tamaño máximo de 0,2mm

para que el ojo no lo pueda distinguir. En consecuencia para los distintos tamaños de

pixel de los distintos sensores existirán distintas escalas posibles de lograr.

Para el HRV pancromático del Spot los 10m de pixel (10000mm) deberán

reducirse a 0,2mm:

0, 2m------------------10000m

1m-------------------- 50000m

215

La máxima escala que se puede lograr con este sensor es por lo tanto 1:50000.

Para el MSS del Landsat en cambio sus 80m de pixel (80000mm) deberán

reducirse a 0,2mm:

0, 2m------------------80000m

1m-------------------- 400000m

La máxima escala que se puede lograr con este sensor es por lo tanto 1:400000

Figura 210: Una porción de imagen digital excesivamente ampliada (Escala muy grande)

en la que se aprecian los pixeles

Puede trabajarse con imágenes satelitales que no necesariamente son Cartas

Imágenes.

En la Figura 211 se puede ver una imagen satelital correspondiente a la zona del

Parque Nacional Iguazú. Puede verse en color Rojo el Río Iguazú, en verde intenso en la

parte inferior se observa el Parque Nacional, en la zona superior con diferentes verdes de

menos intensidad se observan parcelas ocupadas por distintos cultivos y con tonalidades

rosadas en la confluencia de los ríos se encuentran las ciudades de Puerto Iguazú,

Argentina (al Sur del río) y Foz do Iguazú, Brasil (al Norte). Pueden verse asimismo en

la parte inferior izquierda las rutas por las que se llega a Puerto Iguazú. Se observa que

en el sector de selva perteneciente al Parque Nacional no se observan formas regulares o

polígonos como sí se ven en la parte superior de la imagen, donde se encuentran las

parcelas con distintos usos. En la naturaleza no se identifican líneas rectas, círculos o

cualquier otro tipo de forma regular, apareciendo éstas características por

modificaciones antrópicas en el ambiente. Se puede observar en la imagen el avance de

la frontera agrícola hasta el propio límite del Parque Nacional.

Con la ayuda de las imágenes satelitales se puede realizar el seguimiento de

distintos desastres naturales como incendios, inundaciones, sequías.

216

Figura 211: Imagen satelital del Parque Nacional Iguazú y sus adyacencias

Problemas 1.-Se cuenta con la plancheta (carta) IGM 3369-9-1: Tambillos. Indique:

a) ¿A qué faja y a qué meridiano central de faja Gauss-Krüger corresponde?

b) ¿En qué escala se encuentra?

c) Determinar coordenadas geográficas (latitud y longitud) del punto central de la

carta y de los puntos extremos.

d) ¿Cuál es la convergencia de meridianos del punto extremo Noroeste?

e) En la carta se determinó la superficie de una cuenca con planímetro polar

arrojando un valor de 35,7cm2. ¿Cuál es la superficie de la cuenca?

217

SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES

Habitualmente se recurre a dos sistemas de coordenadas para ubicar la posición

de un conjunto de puntos en un plano: a)coordenadas cartesianas ortogonales(XP; YP) y

b)coordenadas polares (AZ0P; Distancia 0P).

En ciertas ocasiones suelen utilizarse como ejes cartesianos X e Y direcciones

que no se corresponden con la dirección del Norte y Este respectivamente, sino que se

utilizan otras direcciones de arranque, ya sea porque implican una mayor facilidad para

el levantamiento posterior a realizar, ó porque en el momento del levantamiento no se

dispone de una brújula que permita referenciar el mismo al N ó porque no exista en la

vecindad puntos con coordenadas conocidas pertenecientes al sistema de coordenadas

general (o se desconozca su existencia). Por ejemplo, puede utilizarse como dirección

del eje X, la dirección de un alambrado perimetral existente y como origen 0 un poste

esquinero de dicho alambrado (Figura 212).

XL

Poste Esquinero

0 YL

Figura 212: Sistema de coordenadas local

Tomando este sistema de referencia se podrá asignarle coordenadas locales

(XLP;YLP) a cualquier punto P que se desee levantar dentro del predio en cuestión.

No obstante, en el futuro, puede resultar de interés llevar las coordenadas de los

puntos levantados en el predio con el sistema local a un sistema más General o Regional

como por ejemplo el Sistema de Coordenadas Gauss-Krüger. Para poder realizar la

transformación de coordenadas deberá acudirse a ecuaciones de rotación y traslación que

permitirán vincular ambos sistemas de coordenadas.

Ecuaciones de Rotación

Conociendo XLP, YLP (coordenadas locales del punto P) y el ángulo de rotación

existente entre los ejes X (ó Y) de ambos sistemas coordenados se procede a la

transformación de las coordenadas del sistema local al sistema General a partir de las

siguientes ecuaciones (Figura 213):

Para obtener la coordenada XGP:

cos =𝑙1

𝑋𝐿𝑃

218

sin =𝑙2

𝑌𝐿𝑃

XGP = l1 + l2

XGP = (cos . XLP) + (sin . YLP)

XG=N

XL

XGP

P YL

l1

XLP

YLP

l2

0 YGP YG =E

m2

m1

Figura 213: Rotación

Para obtener la coordenada YGP:

cos =𝑚2

𝑌𝐿𝑃

sin =𝑚1

𝑋𝐿𝑃

YGP = m2 –m1

YGP = (cos . YLP) – (sin . XLP)

Con estas ecuaciones se logra rotar el punto o puntos en cuestión y se obtienen

coordenadas provisorias de los mismos a las que posteriormente se debe aplicar la

traslación para obtener las coordenadas definitivas

Ecuaciones de traslación

En la Figura 214 se representan los dos sistemas de coordenadas (general y local)

luego de haberse realizado la rotación del sistema local. Se observa el punto P del que se

conocen sus coordenadas locales XLP e YLP corregidas mediante las ecuaciones de

rotación y se pretenden determinar las coordenadas del sistema regional XGP e YGP.

219

XG=N XL

XGP

XLP P

XG0 Y

0

YLP

YL (Sistema Local)

X

XGM

YGM YG0 YGP YG =E (Sistema General o Regional)

Figura 214: Punto P ubicado mediante coordenadas locales rotadas. Traslación

En la Traslación se determinan las coordenadas XG0 e YG0 del origen del

sistema de coordenadas local que se ha empleado, a partir de un punto de coordenadas

conocidas M del sistema de coordenadas General (XGM; YGM) y midiendo azimut

(AzM0) y distancia (M0) desde M a 0 (origen del sistema local). Conociendo acimut y

distancia entre ambos puntos se puede calcular X y Y utilizando las ecuaciones:

XM0 = cos AzM0 . M0

YM0 = sin AzM0 . M0

Para finalmente determinar las coordenadas Generales del punto de origen del

sistema local (XG0; YG0)

XG0 = XGM + XM0

YG0 = YGM + YM0

Obtenidas las coordenadas del origen, dicho valor debe ser adicionado a las

coordenadas provisorias de todos los puntos (calculadas mediante las ecuaciones de

rotación aplicadas a las coordenadas locales originales) para obtener sus coordenadas

definitivas dentro del sistema de coordenadas general.

Problema ejemplo

En la estancia La Armonía del partido de San Antonio de Areco se realizó un

levantamiento planimétrico, utilizando como eje X de levantamiento la dirección de uno

de los alambrados perimetrales del establecimiento y como origen un poste esquinero de

dicho alambrado. Posteriormente se determinó la distancia y acimut desde un punto

cercano con coordenadas Gauss-Krüger conocidas (Punto 10 X10 = 6627200m; Y10 =

5557075m). El punto 10 fue localizado en la Hoja IGM 3560-5-1, Villa Lía, Escala

1:50000 y desde dicho punto se determinó, en el campo, la distancia y azimut al poste

esquinero tomado como origen para el levantamiento por coordenadas locales. Distancia

220

10-Esquinero = 2500m, Az10Esquinero = 36º30’. También con la ayuda de una brújula se

determinó la dirección del alambrado tomado como eje X de levantamiento arrojando un

valor de 325º (considérese declinación magnética nula). Se desea conocer las

coordenadas Gauss-Krüger de los puntos levantados utilizando el sistema de

coordenadas local. Las coordenadas locales de los puntos se enumeran en la Tabla 60.

Punto Detalle XL YL

0 (origen) Esquinero 0 0

1 Esquinero 1900 2050

2 Molino 1250 1400

3 Casa principal 1650 1750

4 Galpón 1670 1750

5 Esquinero 0 2000

6 Molino 2000 850

7 Molino 750 900

8 Esquinero 2050 0

Tabla 60: Coordenadas locales de puntos pertenecientes al Establecimiento La Armonía

Inicialmente se realiza la rotación de los puntos, tomando como punto de

rotación el punto origen de coordenadas local (punto 0) y aplicando las ecuaciones de

rotación. Obsérvese que el ángulo de inclinación del eje X local con respecto al X del

Gauss-Krüger es de 35º en sentido antihorario dado que el azimut del alambrado tomado

como eje de arranque es de 325º. Por lo tanto la ubicación de ambos ejes (XL y XGK)

será semejante a la mostrada en Figura 213.

Para el punto 1:

X Prov1 = (cos . XLP) + (sin . YLP)

XProv1 = (cos 35º . 1900) + (sin 35º . 2050)

XProv1 =2732,22m

Y Prov1 = (cos . YLP) – (sin . XLP)

YProv1 = (cos 35º . 2050) - (sin 35º . 1900)

YProv1 = 589,46m

Para el resto de los puntos las coordenadas provisorias calculadas serán las

mostradas en Tabla 61.

Punto XProv YProv

0 0 0

1 2732,22 589,46

2 1826,95 429,84

3 2355,36 487,11

4 2371,74 475,64

5 1147,15 1638,30

6 2125,84 -450,87

221

7 1130,58 307,05

8 1679,26 -1175,83

Tabla 61: Coordenadas provisorias de los puntos pertenecientes al Establecimiento La

Armonía luego de la rotación y antes de la traslación

A continuación se realiza la traslación. Inicialmente se calcula las coordenadas

GK del punto origen a partir de la distancia y el azimut de 10 a 0.

XGK

X0 0

X

X10

10

Y10 Y0 YGK

X10-0 = cos Az100 . dist10-0

X10-0 = cos 36º30’ . 2500m

X10-0 = 2009,64m

X0 = X10 + X10-0

X0 = 6627200m + 2009,64m

X0 = 6629209,64m

Y10-0 = sin Az100 . dist10-0

Y10-0 = sin 36º30’ . 2500m

Y10-0 = 1487,06m

Y0 = Y10 + Y10-0

Y0 = 5557075m + 1487,06m

Y0 = 5558562,06m

Teniendo las coordenadas Gauss-Krüger del punto 0 tomado como origen se

procede a sumarle dicho valor a las coordenadas provisorias de todos los puntos para

obtener las coordenadas Gauss-Krüger de todos ellos.

Para el punto 1

XGK1 = 2732,22m + 6.629209,64m = 6631941,86m

222

YGK1 = 589,46m + 5.558562,06m = 5559151,53m

Se procede de la misma manera con todos los puntos y se obtiene la Tabla 62.

Punto XGK YGK

0 (origen) 6629209,64 5558562,06

1 6631941,86 5559151,53

2 6631036,59 5558991,90

3 6631565,00 5559049,17

4 6631581,38 5559037,70

5 6630356,79 5560200,36

6 6631335,48 5558111,19

7 6630340,22 5558869,11

8 6630888,90 5557386,23

Tabla 62: Coordenadas GK definitivas de los puntos luego de la traslación

223

FORMAS DE RELIEVE

Mediante el análisis de las curvas de nivel de una carta pueden identificarse las

formas de relieve. Las curvas de nivel surgen de proyectar ortogonalmente sobre un

plano las intersecciones de planos horizontales con la superficie del terreno. Estos planos

se encuentran distanciados entre sí una distancia fija y conocida llamada equidistancia

Figura 215: Curvas de nivel con equidistancia de 10 m

Entre las Formas Topográficas más comunes se encuentran:

Hoya

Cuando las curvas de cota mayor envuelven a las de cota menor. Se denomina

también depresión.

Figura 216: Hoya

224

Cerro, mamelón o mogote

Cuando las curvas de cota menor envuelven a las de cota mayor.

Figura 217: Cerro

Línea de máxima pendiente

Une puntos entre los cuales la pendiente es máxima y son las líneas por las que

escurre el agua. Cortan a las curvas de nivel en forma perpendicular

Figura 218: Líneas de máxima pendiente (señaladas con flechas) cortando curvas de

nivel

Bajo, valle, desfiladero, quebrada o cañón

En estas formaciones las curvas de nivel de mayor cota envuelven a las de menor

cota. En los bajos puede identificarse la vaguada, talweg o cauce (de ríos, arroyos) que

es la línea que une los puntos de menor cota de las sucesivas secciones transversales del

bajo. Los bajos son convergentes, es decir que los bajos más pequeños van aportando su

agua a otros bajos más importantes que a su vez la vuelcan en bajos de mayor tamaño.

Va formándose de esta manera un curso de agua que es más caudaloso a medida que

desciende en altura.

225

Figura 219: Bajo donde se marca la vaguada o talweg y el sentido de escurrimiento del

agua

Dorsal

Según su importancia reciben el nombre de cordillera, sierra, cuchilla o loma. En

estas formaciones las curvas de nivel de menor cota envuelven a las de mayor cota. En

las dorsales puede identificarse la divisoria de aguas, cresta o línea de fe que es la línea

que une los puntos más altos de las sucesivas secciones transversales de una dorsal. Las

divisorias limitan superficialmente una cuenca hídrica. Las dorsales son divergentes, es

decir que de las dorsales principales se van desprendiendo otras de menor importancia.

El agua en su movimiento tiende a alejarse de las dorsales y acercarse a los bajos

Figura 220: Dorsal donde se ha marcado la divisoria de aguas y las líneas de flujo de

agua

Punto de silla, punto de paso, puerto o portezuelo

Es el punto más bajo de un recorrido que permite pasar de un cerro al vecino sin

descender más de lo necesario. También se define como el punto más alto del camino

226

entre dos valles, sin ascender más de lo necesario. En ese punto se corta la dorsal (d-d) y

nacen dos vaguadas, una hacia cada lado de la línea t-t.

Figura 221: Punto de silla

Obtención de perfiles a partir de curvas de nivel El perfil es la intersección del terreno con un plano vertical cualquiera.

Figura 222: Perfil obtenido a partir de las curvas de nivel

El perfil topográfico es un método útil para dar una idea del terreno y visualizar

las formas del relieve. Pueden obtenerse a partir de las curvas de una carta del I.G.M.

227

Para construirlo se coloca una hoja de papel milimetrado sobre la carta, en la línea que

se va a construir (A-B), y se baja cada cota o curva de nivel, que sea cortada por la línea,

hasta encontrar su valor correspondiente en altura sobre una escala vertical (exagerada).

Uniendo tales puntos, se obtiene el perfil.

Marcación de una cuenca topográfica

En la representación de ciertos relieves causados por la erosión hídrica puede

delimitarse la cuenca de alimentación relativa a un Punto P, perteneciente a una vagüada

con o sin curso permanente de agua.

La cuenca topográfica, llamada también cuenca tributaria, en el punto de estudio

P (P es una sección transversal del curso de agua considerado), se define como la

superficie topográfica drenada por ese curso de agua y sus afluentes aguas arriba de esa

sección. Todo el aporte hídrico resultante de los escurrimientos originados en el interior

de esta superficie, deben atravesar la sección transversal considerada (P). La cuenca

tributaria topográfica es la superficie que directa o indirectamente vuelca sobre la

sección transversal P (que define la cuenca), las aguas que escurren superficialmente

sobre ella.

Cada cuenca tributaria está separada de las que la rodean por una línea divisoria

de aguas. La línea divisoria de aguas se traza sobre un plano de curvas de nivel, o carta

IGM, siguiendo las líneas de cresta (o dorsales) que bordean la cuenca y solo podrá

atravesar el curso de agua en la sección P considerada.

Resulta importante la marcación o delimitación de una cuenca topográfica

cuando se desee realizar un proyecto de riego para una región con tajamares (pequeñas

presas construidas con tierra y/o palos), dimensionamiento de alcantarillas, diseño y

construcción de caminos rurales, etc.

Figura 223: Cuenca de alimentación del punto P

228

REPLANTEO

El replanteo es la última de las tres etapas topográficas (las primeras dos son el

levantamiento y el proyecto). El replanteo consiste en llevar al terreno lo proyectado en

el plano. Por lo tanto suele decirse que el replanteo es la operación inversa del

levantamiento (que consiste en llevar al plano los detalles existentes en el terreno).

El replanteo puede clasificarse en planimétrico y altimétrico.

Replanteo planimétrico

Consiste en ubicar en el terreno un objeto que se ha proyectado en el plano. Por

ejemplo, ubicar el lugar donde se construirá un galpón, un invernáculo o donde se

localizará una aguada, molino, cantero, camino, canal, etc.

Replanteo de puntos

Puede utilizarse para tal fin un sistema de coordenadas rectangulares X e Y

tomando como eje Y la dirección dada por un eje (camino o alambrado existente).

A

D

C 0 m 15m 65m 152m B

Figura 224: Croquis del potrero ABCD donde se construirá un invernáculo Nota: El croquis no está a escala

Por ejemplo, en el lote dado por el polígono ABCD (Figura 224) se desea

construir un invernáculo de 50m por 8m. Se proyecta ubicarlo en la parcela paralelo al

lado BC, distanciado a 10m del mismo comenzando a 15m del origen dado por el vértice

C. Para replantear el lugar donde irán los esquineros del invernáculo se extiende una

cinta sobre el lado CB. A los 15m y a los 65m se determinan las perpendiculares a dicho

lado con la ayuda de una escuadra óptica y sobre esas perpendiculares se marcan los

puntos ubicados a 10m y 18m del lado CB.

Replanteo de líneas con obstáculos

Se analizará el caso de que se quiera replantear una línea recta que tiene

obstáculos. Supóngase que se quiere construir un alambrado a lo largo de una línea AB

que se encuentra interrumpida por una edificación (Figura 225).

Se marcará con jalones sobre el terreno una línea accesoria EB angulada con

respecto a la línea AB y se buscará sobre dicha línea con la ayuda de una escuadra de

agrimensor el pie de la perpendicular que pasa por el punto A (punto F). Ubicado F

pueden medirse las distancias FA y FB con cinta de agrimensor. A continuación se

marcarán dos puntos sobre la línea EB, puntos G y H desde los cuales se trazarán

perpendiculares al lado EB también con escuadra. Finalmente habiendo medido las

distancias GB y HB se determinarán por semejanza de triángulos los segmentos GC y

10

m

10

m

8m

229

HD que permitirán ubicar los puntos C y D a cada lado del obstáculo que se unirán

respectivamente con A y B para que finalmente quede replanteada la línea AB.

E

F

G

H

A C D B

Figura 225: Replanteo de una línea con obstáculos

La relación de semejanza de triángulos que se debería hacer es la siguiente:

𝐹𝐴

𝐹𝐵=

𝐺𝐶

𝐺𝐵→ 𝐺𝐶 =

𝐺𝐵. 𝐹𝐴

𝐹𝐵

y 𝐹𝐴

𝐹𝐵=

𝐻𝐷

𝐻𝐵→ 𝐻𝐷 =

𝐻𝐵. 𝐹𝐴

𝐹𝐵

Replanteo de un círculo de centro inaccesible

Supóngase que tuviese que demarcarse un cantero de forma circular. Si el centro

del cantero fuese accesible, sería suficiente con colocar en el mismo un clavo con un

hilo atado de longitud igual al radio del cantero que se desea replantear y girar alrededor

del centro, marcando en el suelo el círculo (como con un gran compás).

90º

90º

Figura 226: Replanteo de un círculo de centro inaccesible

Si en cambio, el centro del cantero lo va a constituir un arbusto o fuente con

agua, de manera tal que el centro es inaccesible, no podrá operarse como se ha

explicado. Sin embargo, sabiendo que todos los ángulos inscriptos en una

230

semicircunferencia son rectángulos puede determinarse con la ayuda de una escuadra de

agrimensor y dos jalones ubicados en los extremos de un diámetro varios puntos de

ambas semicircunferencias del círculo. Obsérvese que si el operador se ubicase por

fuera de la semicircunferencia el ángulo entre ambos jalones sería menor a 90º y si se

ubicase por dentro de la semicircunferencia el ángulo sería mayor. Por lo tanto los

únicos lugares en que se formarían visuales de 90º con ambos jalones serían los puntos

que se encuentren sobre la semicircunferencia.

Replanteo de curvas

Puede requerirse la marcación de curvas en tareas de construcción de canales o

caminos internos. El replanteo de varios de los puntos de dicha curva se puede realizar

por coordenadas rectangulares.

X Z

XP P

R

0

YP Y

Figura 227: Replanteo de curva por coordenadas rectangulares

Considerando una curva de Radio R cuyo punto de inicio es el punto 0 y cuyo

punto de finalización es el punto Z, se tomará como eje de abscisas X el eje del camino

hasta el comienzo de la curva y como eje de ordenadas Y una perpendicular al eje X en

el origen 0. Puede verse que un punto P, perteneciente a la curva tendrá coordenadas:

XP = R . sen e YP = R – R . cos

Así por ejemplo para una curva de radio 100m se tendrán para los distintos

valores tomados por las coordenadas de puntos mostradas en la Tabla 63

XP YP

0º 0,00 0,00

10º 17,36 1,52

20º 34,20 6,03

30º 50,00 13,40

40º 64,28 23,39

50º 76,60 35,72

60º 86,60 50,00

70º 93,97 65,79

80º 98,48 82,63

90º 100,00 100,00

Tabla 63: X e Y de puntos pertenecientes a una curva de radio 100m

231

Prácticamente lo que se realiza es marcar con jalones el eje X, extender la cinta

sobre el mismo (con el origen en el punto 0) y para los distintos ángulos calculados se

marcarán las progresivas (17,36; 34,20; 50,00, etc) a partir de las cuales se determinarán

las perpendiculares mediante escuadra óptica y sobre las mismas se medirán las

distancias Y (1,52; 6,03; 13,40; etc) para finalmente marcar sobre el terreno los puntos

pertenecientes a la curva. El punto de origen (0) de la curva tendrá coordenadas X = 0 e

Y = 0 y el punto donde la curva termina (Z) tendrá coordenadas X = 100 e Y = 100

Tablas de Gaunin

Jules Gaunin, ingeniero de puentes y caminos y Jefe de sección de la Compañía

de Orleans recopiló un conjunto de “Tablas para el trazado de curvas de ferrocarriles,

caminos y canales” con las que se pueden replantear fácilmente varios de los puntos que

se encuentran sobre una curva circular de radio de curvatura conocido. Se citarán

algunas de dichas tablas a modo de ejemplo.

Tabla primera: “Coordenadas sobre la tangente para abscisas enteras de metro

en metro”. En este conjunto de tablas pueden obtenerse las ordenadas (Y) para cada

abscisa (X) de metro en metro para curvas con radio de curvatura entre 100 y 1000m (de

10 en 10m desde 100 a 500m de curvatura y de 50 en 50m para radios de curvatura entre

500 y 1000m). Con un desplazamiento de la coma, puede emplearse para todos los

radios usuales. Para una curva de 16 metros de radio se usará la tabla de radio 160m

corriendo la coma de los valores de la abscisa y ordenada un lugar hacia la izquierda

siendo las ordenadas equidistantes de 0,1m en 0,1m. De igual forma, para una curva de

3000m de radio de curvatura, puede usarse la tabla de radio 300m corriendo la coma un

lugar hacia la derecha resultando las ordenadas equidistantes de 10m en 10m. A

continuación se presenta un extracto de la tabla primera (Tabla 64).

Radios de Curvatura (m)

Abscisas 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0.005 0.0046 0.0042 0.0038 0.0036 0.0033 0.0031 0.0029 0.0028 0.0026

2 0.0200 0.0188 0.0167 0.0154 0.0143 0.0133 0.0125 0.0117 0.0111 0.0105

5 0.1251 0.1337 0.1042 0.0962 0.0893 0.0833 0.0782 0.0735 0.0695 0.0658

10 0.5013 0.4555 0.4174 0.3852 0.3576 0.3337 0.3128 0.2944 0.2780 0.2634

15 1.1314 1.0275 0.9412 0.8683 0.8059 0.7519 0.7047 0.6631 0.6261 0.5930

20 2.0204 1.8335 1.6785 1.5477 1.4359 1.3393 1.2549 1.1806 1.1145 1.1556

45 10.6971 9.6257 8.7570 8.0369 7.4293 6.9091 6.4585 6.0410 5.7158 5.4059

30 4.6061 4.1700 3.8105 3.5089 3.2521 3.0306 2.8376 2.6680 2.5176 2.3834

60 20.0000 17.8046 16.0770 14.6744 13.5082 12.5227 11.6760 10.9403 10.2944 9.7234

90 56.4110 46.7545 40.6275 36.4916 32.7619 30.0000 27.7124 25.7780 24.1154 22.6680

120 120.0000 80.0000 67.8890 60.0000 54.1699 49.5840 45.8359 42.6908

150 150.0000 104.3224 90.0000 80.5013 73.3810

180 180.0000 129.1724

Tabla 64: Tabla primera para el trazado de curvas de Jules Gaunin: “Coordenadas sobre

la tangente para abscisas enteras de metro en metro”. No se han colocado todos los

valores (en la tabla original figuran todos los valores de abscisas de metro en metro).

232

X

60 20.00

45 10.70

30 4.61

15 1.13

R = 100m Y

Figura 228: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura a partir de abscisas y

ordenadas de la Tabla primera de Gaunin

Tabla segunda (Tabla 65): “Coordenadas sobre la tangente, para equidistancias

enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco” Da los puntos de la curva en

abscisas y ordenadas sobre la tangente, pero resultan enteras las longitudes de arco. Ha

sido calculada para todos los radios usuales de 100 a 4000m de radio y para cada radio,

hasta la ordenada de 100m. Por desplazamiento de comas, las tablas sirven para radios

10 ó 100 veces mayores o menores, multiplicando o dividiendo respectivamente por 10

ó 100 la distancia entre dos puntos sucesivos.

Arcos

Abscisas

sobre

tangente

Ordenadas Arcos

Abscisas

sobre

tangente

Ordenadas

1 1.000 0.005 35 34.290 6.063

2 2.000 0.020 40 38.942 7.894

3 3.000 0.045 50 47.943 12.242

4 3.999 0.080 60 56.464 17.467

5 4.998 0.125 70 64.422 23.516

6 5.996 0.180 80 71.736 30.329

7 6.994 0.245 90 78.333 37.839

8 7.992 0.320 100 84.147 45.970

9 8.988 0.405 110 89.121 54.640

10 9.983 0.500 120 93.204 63.764

15 14.944 1.123 130 93.356 73.250

20 19.867 1.993 140 98.545 83.003

25 24.741 3.109 150 99.749 92.926

30 29.552 4.466 157.079 100.000 100.000

Tabla 65: Tabla segunda de Gaunin: “Coordenadas sobre la tangente, para

equidistancias enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco (para radio de 100

m)”. No se han colocado todos los valores (en la tabla original figuran todos los valores

de arco de metro en metro).

233

X

71.736

80

56.464

60

38.942

40

19.867

20

R = 100m Y

Figura 229: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura (mediante arcos de metro

entero) a partir de abscisas y ordenadas de tabla segunda de Gaunin

Tabla tercera (Tabla 66): “Coordenadas sobre la cuerda para equidistancias

enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco” Da, para los arcos de 100, 50,

40, 20 y 10m de desarrollo, en las curvas usuales de 100 a 4000m de radio, las abscisas y

ordenadas sobre la cuerda de los puntos de la curva equidistantes de metro en metro

sobre el arco.

Arco

Abscisas

sobre las

cuerdas

Ordenadas para arcos de

100 m 50 m 40 m 20 m 10 m

0 (Flechas) 12,242 3,109 1,993 0,500 0,125

1 1.000 12.237 3.104 1.988 0.495 0.120

2 2.000 12.222 3.089 1.973 0.480 0.105

3 3.000 12.197 3.064 1.948 0.455 0.080

4 3.999 12.162 3.029 1.913 0.420 0.045

5 4.998 12.117 2.984 1.868 0.375 0.000

10 9.983 11.742 2.609 1.493 0.000

15 14.944 11.119 1.986 0.870

20 19.867 10.249 1.116 0.000

25 24.741 9.133 0.000

30 29.552 7.776

35 34.290 6.179

40 38.942 4.348

45 43.497 2.287

50 47.943 0.000

Tabla 66: Tabla tercera de Gaunin: “Coordenadas sobre la cuerda, para equidistancias

enteras de metro en metro de desarrollo sobre el arco (para radio de 100 m)”. No se

han colocado todos los valores (en la tabla original figuran todos los valores de arco de

metro en metro).

30.3

29

17.4

67

7.8

94

1.9

93

0

10

10

234

47.49 38.94 29.55 19.87 9.98 0 9.98 19.87 29.55 38.94 47.49

Figura 230: Replanteo de curva de 100m de radio de curvatura (mediante arcos de metro

entero) a partir de abscisas y ordenadas sobre la cuerda extraídas de Tabla tercera de

Gaunin

Replanteo altimétrico

Replanteo de una curva de nivel o de una curva de cota constante

Consiste en ubicar en el terreno una curva de nivel (curva con puntos de igual

cota y múltiplo de la equidistancia) o una curva de cota constante (no necesariamente

múltiplo de la equidistancia)

Trabajan un mirero y un operador de nivel. Inicialmente se tomará lectura de hilo

medio en un punto de cota conocida o de cota de referencia. A dicha lectura se le sumará

la cota del punto obteniendo así la Cota del Plano Visual.

CPV = hmPF + ZPF

A continuación el operador de nivel calculará la lectura de hilo medio que debe

realizar en los puntos donde se colocará el mirero para encontrarse sobre la curva. Si la

lectura es mayor el operador hará señas al mirero para que éste busque un punto más

alto, si es menor a la lectura buscada le indicará que se ubique en puntos más bajos.

Cuando la lectura coincida con aquella buscada el operador de nivel le señalará al mirero

que deje marcado dicho punto como punto de la curva. A continuación el mirero se

desplazará unos metros y se repetirá la operación hasta ubicar otro punto con la misma

lectura. La operación se repetirá hasta materializar la totalidad de la curva que pasa por

el terreno en cuestión. En caso de ser necesario un cambio de estación (por alejarse

excesivamente el mirero de la estación de nivel) el mirero permanecerá en el último

punto ubicado de la curva y desde la nueva estación se realizará lectura de hm en dicho

punto buscándose a continuación puntos de igual lectura de hilo medio.

Ejemplo

Conocida la cota de un punto fijo (ZPF = 10,23m) el mirero colocará la mira en

dicho punto a fin de obtener la CPV. Luego de leer el hmPF = 1,45m desde la estación de

nivel ubicada en E1 puede calcularse la CPV = ZPF + hmPF = 10,23m + 1,45m = 11,68m.

Si la curva que desea replantearse es la de 10,00m deberán buscarse puntos que tengan

dicha cota (ZP = 10m) y que por lo tanto tengan lecturas de hmP = CPV – ZP = 11,68m –

10,00m = 1,68m. Por lo tanto todos los puntos que arrojen lectura de hilo medio de

1,68m desde la estación E1 poseerán una cota de 10,00m y pertenecerán a la curva de

nivel de 10,00m que se está replanteando. Luego de ubicar en el terreno varios puntos

pertenecientes a dicha curva desde la estación E1, puede suceder que la distancia

instrumento mira sea excesiva y se considere adecuado cambiar de estación ubicándola

en E2. El mirero permanece en el último punto replanteado desde E1 y desde E2 se

20

20

30

30

40

40

50

50 4.35 4.35

7.78 7.78 10.25 10.25 11.74 11.74

Fle

cha

12

.24

235

realiza la lectura de hm = 1,45m lo que indica que la estación E2 está más baja que E1

(ya que la lectura de hm del mismo punto = 1,45 da un valor más bajo que desde E1 =

1,68). Si E2 estuviese más elevada que E1 daría una lectura de hm mayor desde esta

estación. Para continuar replanteando la curva de 10,00m, desde E2 se buscarán puntos

que tengan el mismo hm (1,45m) hasta terminar de replantear la curva.

hm = 1,68m

hm = 1,45m

E1

P

E2

Figura 231: Estaciones E1 y E2 con sus correspondientes lecturas de mira sobre un

mismo punto P. La estación más elevada (E1) tiene mayor lectura de mira (hm = 1,68m)

hm1=1,68

hm5=1,45 hm4 = 1,45

hm3=1,68 hm2=1,68

hm3=1,45

PF

Z=10,23m

hmPF=1,45

E2 E1

Figura 232: Replanteo de una curva de nivel desde dos estaciones. El punto 3 es leído

desde E1 y E2

Replanteo de una curva con gradiente constante Las curvas con gradiente constante son, curvas que poseen una pendiente

constante en su recorrido. Las curvas de nivel o curvas de cota constante son también

curvas con gradiente, solo que su gradiente es nulo. Las curvas con gradiente constante

se utilizan, entre otras cosas, para realizar canales de drenaje en terrenos con elevada

pendiente. Si se realizase un canal de drenaje en dirección perpendicular a las curvas de

nivel habría una pendiente excesiva que favorecería la erosión hídrica en la zona del

canal durante los períodos de mayor evacuación de agua (precipitaciones). Por lo tanto

los canales de drenaje se realizan cortando en forma sesgada a las curvas de nivel,

evitando, de esta manera, superar pendientes que resulten erosivas (valor variable de

acuerdo a la textura del suelo).

La operación de replanteo en sí es semejante a la vista para curva de cota

constante con la diferencia de que en vez de operar con un solo mirero, se necesitan dos

mireros cuyas miras estén unidas por una soga de longitud conocida. Para dicha longitud

236

de cuerda (longitud existente entre las dos miras) debe existir un desnivel tal que se

corresponda con la pendiente o gradiente buscado.

Ejemplo

Se desea replantear una curva con gradiente constante e igual al 1%. Se dispone

para realizar la nivelación de un operador de nivel y dos ayudantes mireros que tendrán

unidas sus miras por una cuerda de 20 metros de longitud. Inicialmente se calcula cual

es el desnivel que debe existir entre dos puntos distanciados 20m para que exista entre

ambos una pendiente del 1%. Se resuelve con una regla de tres simple

100m de distancia--------------------1m de desnivel (H)

20m de distancia-------------------- x = 0,2m de desnivel (H)

Entre las lecturas de mira distanciadas 20m debe existir un desnivel de 0,2m para

que haya una pendiente del 1%.

Inicialmente el mirero 1 se colocará en el punto donde se iniciará el canal de

drenaje. En ese lugar el operador de nivel realizará la primer lectura de hilo medio,

supóngase hm1 = 1,53.

20 m

1

(hm1 = 1,53)

2

(hm2 = 1,73)

3

(hm3E1 = 1,93)

(hm3E2 = 1,25) 4

E1 (hm4= 1,45)

5

(hm5= 1,65)

E2

Figura 233: Replanteo de una curva con gradiente. Resaltado se observa el canal de

drenaje replanteado con gradiente 1%

237

Mientras el mirero 1 permanece en dicho lugar, el mirero 2 se desplazará en un

radio de 20m del punto donde se encuentra el mirero 1 (las miras se encuentran unidas

por una cuerda de 20m) hasta que el operador de nivel ubique un punto que tenga una

cota 20cm inferior que el punto de arranque del canal. Dicho punto tendrá en

consecuencia una lectura de hilo medio 20cm superior a la primer lectura. Por lo tanto

hm2 = 1,73. A continuación será el mirero 2 el que permanezca quieto y el 1 el que gire

alrededor del 2 hasta encontrar el tercer punto del canal que deberá tener una cota 20cm

inferior al segundo punto y una lectura de hilo medio hm3 = 1,93. De esta manera se

continuará el marcado del canal de drenaje hasta que llegue a desembocar de la parcela o

campo en cuestión. En caso de ser necesario un cambio de estación por encontrarse ésta

muy alejada de la mira el mirero del último punto materializado permanecerá en dicho

lugar y el operador de nivel (una vez cambiado el punto estación) realizará su primer

lectura en dicho punto. En el ejemplo citado, luego de replantearse el punto 3, se realizó

el cambio de estación desde E1 a E2. La primer lectura se hizo en el punto 3 arrojando

un valor de hm3 = 1,25m. A continuación el mirero 2 giró alrededor del punto 3 hasta

que el operador de nivel localizó el punto 4 de cota 20cm inferior a 3, es decir con una

lectura de hm4 = 1,45m. Por último el mirero 1 giró alrededor del punto 4 hasta encontrar

el punto 5 con cota 20cm inferior a 4 e hm5 = 1,65m.

238

FOTOGRAFÍA AÉREA

La Aerofotogrametría es una Ciencia auxiliar de la Topografía. La fotografía

aérea implica el análisis de la superficie terrestre mediante el empleo de máquinas

fotográficas instaladas a bordo de diversos medios aéreos. A partir de vuelos

programados se obtienen fotos de la superficie terrestre con un nivel de detalle mucho

mayor (mayor Escala, mayor resolución) que el de las imágenes satelitales. Encuentra

aplicaciones en el campo de la investigación arqueológica o geológica, en la

urbanización (para la planificación del crecimiento de las ciudades) o en el campo

militar para obtener información sobre objetivos estratégicos, de hecho la fotografía

aérea adquirió gran importancia durante la II Guerra Mundial, gracias al desarrollo de

los aviones, cámaras y películas. En el campo agronómico se utiliza para recabar

información sobre la naturaleza de los terrenos y la extensión de los cultivos, determinar

el crecimiento de los bosques, analizar los efectos de la erosión, etc.

La escala del fotograma puede ser determinada a partir de dos parámetros: la

altura de vuelo y la distancia focal de la cámara utilizada. La distancia focal es la

distancia entre el objetivo de la cámara fotográfica y el negativo que es el lugar donde se

imprime la foto. Se forman dos triángulos semejantes (Figura 234). La relación existente

entre la distancia en la fotografía aérea y la distancia en el terreno es la misma que la

existente entre la distancia focal y la altura de vuelo. Dicha relación es la Escala del

fotograma.

𝐸 =𝑓

𝐻=

𝑑

𝐷

Figura 234: Relación entre la altura de vuelo y la Escala del fotograma

Conociendo la escala del fotograma pueden determinarse distancias en el terreno

a partir de mediciones que se realizan en el mismo al igual que en un plano o carta.

Ejemplo: con una cámara de 120mm de distancia focal se tomaron fotografías

aéreas a 2400m de altura. Determine la escala de los fotogramas. En una de las

fotografías se midió la superficie de un lote rectangular. La superficie medida fue de

12cm2. ¿Cuál es la superficie real del lote? Expresar en unidades agrarias. ¿Cuál es la

longitud de cada lado del lote si uno de los lados es 1,33333 veces mayor que el otro?

H

f

D

d

239

𝐸 =𝑓

𝐻=

120𝑚𝑚

2400000𝑚𝑚=

1

20000

𝐸2 =𝑠

𝑆=

12𝑐𝑚2

𝑆 𝑆 =

12𝑐𝑚2

1

20000 2 = 12𝑐𝑚2. 20000.20000 = 4800000000𝑐𝑚2

= 480000𝑚2 = 48𝑕𝑎

𝑆 = 𝑏. 𝑙 = 𝑏. 1,33333𝑏 = 1,33333𝑏2 𝑏 = 𝑆

1,33333=

480000𝑚2

1,33333= 600𝑚

𝑆 = 𝑏. 𝑙 𝑙 =𝑆

𝑏=

480000𝑚2

600𝑚= 800𝑚

Visión estereoscópica

La posibilidad de percibir en tres dimensiones de la visión humana se

fundamenta en ver una misma imagen desde dos puntos de vista distintos (cada uno de

los ojos es un punto de vista). Con un sentido análogo se programan vuelos

fotogramétricos y se obtienen fotografías de un mismo lugar desde distintos puntos de

vista (Figura 235). De esta manera se obtiene la imagen de un área desde dos puntos de

vista distintos para luego, con la ayuda de instrumental adecuado poder percibir las

diferencias de altura del paisaje capturado.

Figura 235: Obtención de superposición entre distintos fotogramas en un vuelo

Superposición entre distintos fotogramas y entre distintas corridas

Para asegurar la superposición de toda un área de interés con fines de realizar la

posterior visualización estereoscópica se programan vuelos aéreos de manera que exista

entre una corrida (pasada del avión) y la siguiente una superposición del 30-40%

(superposición transversal). A su vez, las fotos de una misma corrida se superponen en

un 60-70% entre sí (superposición longitudinal) (Figura 236). Obsérvese que una

superposición del 60% entre fotos vecinas (de una misma corrida) como la 1 y 2 de la

240

Corrida 1 (Figura 236) implica a su vez una superposición del 10% entre las fotos 1 y 3,

entre la 2 y la 4, etc. Tanto con la superposición transversal como con la longitudinal se

logra el recubrimiento de toda el área con fines estereoscópicos.

Figura 236: Superposición longitudinal y transversal de un vuelo fotogramétrico

Figura 237: Fotografía aérea

Foto 1 Foto 3

Foto 2 Foto 4

Corrida 1

Corrida 2 Sup. Long.

60%

Sup. Trans.

30%

Foto 3 Foto 1

Marca

marginal

Información

marginal

Unidad de

vuelo y fecha Corrida y

fotograma

241

Los fotogramas presentan información marginal (datos que se encuentran en los

márgenes de las fotos) que permiten relacionar la foto con las vecinas y que facilitan la

interpretación. En la Figura 238 se observa como información marginal de la Foto la

altura de vuelo (mediante un altímetro, parámetro importante para determinar la escala

del fotograma), la verticalidad del eje óptico de la cámara (en un retículo circular,

importante para determinar inclinación durante la captura y necesidad de rectificación de

la fotografía), la hora (para interpretar las sombras de los elementos con altura), e

información manuscrita sobre Escala, Provincia (Buenos Aires), etc. También sobre

cada foto se encuentra impresa la unidad de vuelo (U 17), la fecha (14-11-82) y el

número de corrida (332) y de Fotograma (7). Mediante las 4 marcas marginales se puede

ubicar el centro del fotograma por intersección de las líneas que se obtienen al unirlas

(Figura 237).

Altura de vuelo Verticalidad eje óptico Hora Inf. manuscrita

Figura 238: Información marginal de una fotografía aérea

Rectificación de fotogramas

La rectificación de fotogramas es un proceso mediante el cual se puede enderezar

el eje del fotograma corrigiendo los desplazamientos existentes en la imagen fotográfica

original debidos a la inclinación del eje óptico de la cámara durante la captura de la

fotografía. Estos desplazamientos son producto de movimientos de cabeceo (inclinación

en el sentido de avance) o aleteo (inclinación en sentido perpendicular al sentido de

avance) de la aeronave que lleva la cámara fotográfica.

La imagen rectificada presenta las características geométricas de una proyección

ortogonal. Para poder realizar la rectificación el ángulo de inclinación del eje óptico

debe ser pequeño (menor a 3º) y el terreno tiene que ser prácticamente horizontal (llano).

Estereoscopio de bolsillo o de refracción

Es un instrumento óptico a través del cual pueden observarse fotografías aéreas,

pero no como representaciones planas, sino con apariencia sólida y profundidad. Es un

instrumento donde se presentan al mismo tiempo dos fotografías del mismo objeto, una

a cada ojo. Las dos fotografías están tomadas desde ángulos ligeramente diferentes y se

observan a través de dos objetivos con lentes separadas e inclinadas para que coincidan

y se fundan las dos imágenes en una sola tridimensional. Con la ayuda del estereoscopio

de bolsillo se analizan pares estereoscópicos. Un par estereoscópico está formado por

dos fotos de un mismo lugar obtenidas desde distintos lugares. Las sucesivas fotos de

una misma corrida forman pares estereoscópicos (Figura 236). También fotos de

distintas corridas que presenten superposición transversal constituyen pares

estereoscópicos. Con la ayuda del estereoscopio y de los pares estereoscópicos puede

apreciarse el relieve del terreno y todos los elementos que presenten un desarrollo en

altura como árboles, montes, casas, galpones, dunas, médanos, lomas, etc. Debido a la

escasa distancia entre los dos ejes ópticos solo puede analizarse parte de la superposición

entre dos fotogramas contiguos (Figura 239).

242

Figura 239: Estereoscopio de bolsillo sobre un par estereoscópico

Estereoscopio de espejos o de reflexión

A igual que los estereoscopios de bolsillo permiten apreciar el relieve de pares

estereoscópicos. Se fundamentan en la reflexión de la luz en los espejos que posee. No

se encuentran limitados por la base (como los de bolsillo) y por lo tanto permiten

visualizar en tres dimensiones toda el área de superposición de dos fotogramas contiguos

(Figura 240). Presentan un estereomicrómetro o barra de paralaje que permite

determinar diferencia de altura entre puntos.

Figura 240: Estereoscopio de espejos

243

Fotointerpretación

La fotointerpretación es la técnica o arte de examinar fotografías aéreas con el

propósito de identificar los diferentes componentes del paisaje y suministrar información

de interés. La observación de las fotografías aéreas permite determinar el tipo de

cobertura existente (cultivos, agua, suelo desnudo) como así también la calidad del

suelo. Lugares con suelo desnudo pueden deberse a una reciente labranza o a distintas

situaciones que imposibiliten el normal desarrollo de la vegetación como salinidad,

suelos bajos encharcables, médanos y dunas “vivas”, afloraciones rocosas, presencia de

tosca.

Para identificar objetos en las fotografías aéreas se tienen en cuenta distintas

características de los mismos como tamaño, forma, tonalidad, sombras, textura

(distribución de tonalidades) y contraste con el entorno.

Los espejos de agua (mar, lagos, lagunas, ríos, canales) aparecen con una

tonalidad uniforme y diferente de las tierras costeras. Los tonos de las zonas cubiertas

con agua pueden variar en función del ángulo de incidencia de los rayos solares.

Las diferentes cubiertas vegetales se identifican por su tonalidad y forma. En las

plantaciones forestales, montes frutales, bosques y montes naturales puede apreciarse la

altura de los ejemplares por visión estereoscópica. También puede interpretarse la altura

de estos elementos a través de la sombra que proyectan sobre el suelo. Las sombras

pueden orientar sobre las formas del objeto ocultas en una vista aérea. En ciertas

ocasiones, se planifican los vuelos fotogramétricos en las horas de salida y puesta del sol

para que las sombras de los objetos ayuden a la fotointerpretación. Los Ingenieros

Forestales obtienen gran información de las reservas forestales empleando fotografías

aéreas. Se puede obtener especie, tamaño, edad, extensión del bosque, enfermedades que

los afectan, etc. Los lotes sembrados y labrados se aprecian como formas geométricas

regulares (rectángulos, cuadrados, trapecios) variando la tonalidad de la fotografía con la

especie implantada y su estado fenológico y sanitario (cultivos más sanos con tonos más

oscuros). Las diferencias en el estado sanitario pueden deberse al tipo de suelo,

fertilidad, relieve y capacidad de acumulación de agua del perfil. Mientras los cultivos se

observan con una disposición regular, formando mallas o siguiendo las curvas de nivel,

la vegetación natural suele disponerse en forma más irregular con adaptaciones a

distintos factores ambientales. Estos factores ambientales constituyen una información

contextual de gran valor para identificar diferentes tipos de suelo debido a que

condicionan la actividad de la vegetación.

Las vías de comunicación (autopistas, caminos, vías férreas) se distinguen por la

regularidad de su trazado. Las construcciones rurales y ejidos urbanos pueden ser

identificados por sus formas regulares artificiales normalmente ausentes en situaciones

naturales. En las zonas urbanas pueden identificarse las construcciones principales

(edificios gubernamentales, administrativos, fábricas), las avenidas, calles y vías férreas,

las plazas y parques y puede estimarse el valor de las diferentes zonas en función del

tipo de construcción, el tamaño de los lotes, la presencia de piscinas, cantidad de

automóviles.

En la fotointerpretación son muy relevantes la experiencia y conocimientos

previos del fotointérprete ya que los conocimientos teóricos y la experiencia a campo y

en análisis de fotogramas son esenciales para obtener conclusiones fundadas con

rapidez.

244

SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS)

Introducción

Muchas de las mediciones que se realizan en Topografía tienen como objetivo ubicar

la posición de un punto determinado en el terreno para poder representarlo luego en un

plano a una escala conveniente. Muchas de las metodologías estudiadas en los llamados

“Métodos planimétricos” utilizan mediciones de ángulos y distancias desde puntos de

coordenadas conocidas hacia los puntos que se desea determinar la posición (puntos

incógnita). Para efectuar dichas mediciones se emplean goniómetros y distanciómetros

de distintas características, precisiones y valores. Estos métodos constituyen sistemas de

posicionamiento.

En 1980 surgió dentro del Departamento de Defensa de EEUU la idea de crear un

sistema de posicionamiento a escala global que permitiese a cualquier soldado equipado

con un receptor GPS obtener sus coordenadas geográficas (Latitud y Longitud) para

solicitar auxilio o asistencia. Este sistema también facilitaría en gran medida la

navegación aérea y marítima permitiendo realizar un itinerario planificado por el camino

más corto economizando tiempo y dinero. Para poner en funcionamiento el sistema se

colocaron en órbita un conjunto de satélites que transmitirían las coordenadas a los

receptores. El sistema se completó en abril de 1995 y a partir de dicha fecha cualquier

persona con un receptor GPS puede determinar su posición en cualquier parte del globo

terrestre durante las 24 horas del día en forma gratuita. Los sectores civiles rápidamente

encontraron numerosas aplicaciones en el sistema sobre todo en la navegación y en el

caso particular de la Topografía en la determinación de la ubicación de puntos, cálculo

de distancias, ángulos y áreas. El sistema inicialmente se encontraba afectado por un

error denominado Disponibilidad selectiva (Selective Availability S/A) para restringir su

uso al enemigo en tiempos de conflicto. En mayo de 2000 EEUU eliminó la

Disponibilidad Selectiva aumentando de esta manera la precisión del sistema en los usos

civiles.

Fundamentos

Supóngase que se tiene la distancia desde un punto de coordenadas conocidas (A)

hasta un punto (P) que se desea determinar las coordenadas (punto incógnita). Puede

deducirse que existen infinitos puntos P que cumplen la condición de estar a una

distancia de 1,5km de A, tantos como puntos tiene el círculo de centro A y radio 1,5km

(Figura 241).

Figura 241: Círculo de la posible

ubicación de P teniendo como dato la

distancia a un punto A.

Figura 242: La intersección de los dos

círculos señala la posible ubicación de P

teniendo como dato la distancia a 2 puntos

A

1,5 km A

1,5 km

B

2 km

245

Si a la información de que el punto se encuentra a 1,5km de A se le adiciona que se

encuentra a 2km de B la posible ubicación de P se restringirá ahora a dos puntos que son

la intersección del círculo con centro en A y 1,5km de radio y el círculo con centro en B

y 2km de radio (Figura 242).

Si por último se posee la distancia desde P a un tercer punto C el problema quedará

resuelto ya que la intersección de tres círculos dará como resultado un único punto

(Figura 243).

Figura 243: Ubicación de P en un plano a partir de la distancia a 3 puntos

El fundamento de la tecnología GPS es semejante al explicado sólo que el

problema es espacial (no plano) y los puntos de coordenadas conocidas son satélites que

se encuentran orbitando alrededor de la Tierra (no son puntos estáticos).

Al ser un problema espacial (y no plano) la distancia desde el punto de coordenadas

conocidas (satélite) al punto incógnita (donde se encuentra el receptor GPS) ya no puede

ser representada como la distancia desde el centro de un círculo hasta el mismo sino

como la distancia desde el centro de una esfera a la superficie de la misma (Figura 244).

Figura 244: La distancia desde un receptor GPS a un satélite lo ubica en algún punto

sobre la esfera

Si se conoce la distancia a dos satélites de coordenadas conocidas la posible

ubicación del punto se circunscribirá a la intersección de dos esferas que resulta ser un

círculo (Figura 245).

A

1,5 km

B

2 km

C

1 km

Ubicación de P

246

Figura 245: La distancia desde un receptor GPS a dos satélites lo ubica en algún punto

sobre el círculo resultante de la intersección de ambas esferas

Por último, si se conoce la distancia a tres satélites la posibilidad de ubicación del

receptor GPS se reducirá a dos puntos (que son la intersección de las tres esferas con

centro en los satélites) (Figura 246).

Figura 246: La distancia desde un receptor GPS a tres satélites reduce la posibilidad de

ubicación del mismo a dos puntos resultantes de la intersección de las tres esferas

Podría deducirse que la distancia a un cuarto satélite limitaría la posibilidad a un

único punto y el problema se encontraría resuelto. En la práctica con la distancia a 3

satélites es suficiente ya que uno de los dos puntos que resultarían posibles de la

intersección de las tres esferas es absurdo (por no encontrarse en la superficie terrestre) y

los receptores se encuentran programados para discernirlos.

Cálculo de la distancia Satélite-Receptor GPS

Los satélites emiten señales de radio que son captadas por los receptores en la

Tierra. La distancia Satélite-Receptor surge de multiplicar la velocidad de la señal

(velocidad de la luz = c = 300000km/seg) por el tiempo transcurrido entre emisión y

recepción de la señal.

d (km) = c (km/seg) . t (seg)

247

Se vuelve crítico por lo tanto la medición del tiempo en forma precisa para el

correcto cálculo de la distancia. Los satélites se encuentran equipados con relojes

atómicos de gran precisión pero los mismos por su altísimo costo resultan prohibitivos

para su utilización en los receptores. En estos últimos se utilizan relojes electrónicos que

permiten la medición con errores del orden del nanosegundo (1 . 10-9

seg). Para calcular

el tiempo de viaje de la señal, el satélite y el receptor generan códigos sincronizados (el

mismo código en forma simultánea). De esta manera al llegar una onda al receptor éste

determina el tiempo desde que generó el mismo código (Figura 247). La diferencia de

tiempo es lo que tardó la onda en llegar. Tanto el satélite como el receptor generan un

juego de códigos digitales que responden a un criterio binario que recibe el nombre de

pseudo-random (pseudoaleatorios) y están diseñados de forma tal que puedan ser

fácilmente comparados.

Figura 247: Emisión simultánea de satélite y receptor de un mismo código y cálculo del

tiempo

Sincronización del tiempo

Como el cálculo de la distancia se realiza a partir de la sincronización de los

relojes del satélite y del receptor una pequeña diferencia ocasionaría grandes errores.

Una milésima de segundo de atraso o adelanto en el reloj del receptor acarrearía un error

de 30km. No obstante ello, los relojes de los receptores pueden contener un error de esta

magnitud y “advertir” y compensar dicha diferencia. En la Figura 248 se observa la

ubicación de un punto mediante la utilización de tres satélites. En la Figura 249 se

observa que un error en la sincronización del reloj del receptor ocasiona la falta de

solución en la ubicación del punto X (solución correcta) ya que no existe una triple

intersección pero existe un área definida por los arcos1-2; 2-3 y 3-1. Cuando esto ocurre,

los receptores reconocen la presencia de un error y recurren a un sistema de 4 ecuaciones

con 4 incógnitas para encontrar la solución. En la Figura 248 y la Figura 249 se

representa el problema con 3 satélites pero téngase presente que es un problema espacial

por lo que se requieren 4 satélites con sus respectivas señales para solucionar el

problema.

248

Figura 248: Determinación de la posición

del receptor en caso de ausencia de error

Figura 249: Determinación de la posición

del receptor con presencia de error

Componentes del sistema GPS

El sistema GPS se encuentra conformado por 3 segmentos:

a)Segmento espacial: Para garantizar la presencia de al menos 4 satélites en línea

de vista de un receptor durante todo el día en cualquier parte de la esfera terrestre se

determinó que era necesaria una constelación de 24 satélites distribuidos en 6 órbitas (4

satélites por órbita) (Figura 250). A dicha constelación se la denominó NAVSTAR

(NAVigation by Satellite Timing and Ranging). Cada satélite tarda 12 horas en dar la

vuelta a la Tierra (período orbital). Las órbitas se encuentran a 20200km de distancia de

la superficie terrestre. Los satélites emiten señales en 2 bandas L, a dos frecuencias

(1,57GHz y 1,22 GHz) y están equipados con relojes atómicos muy precisos que son los

que permiten determinar la distancia a los mismos con gran precisión.

Paralelamente al proyecto americano de la constelación NAVSTAR la CEI (ex

URSS) creó una constelación denominada GLONASS. Los receptores modernos (como

por ejemplo el GG24) utilizan ambas constelaciones para determinar su posición en la

Tierra alcanzando una precisión del orden de los 7m en modo autónomo (sin corrección

diferencial).

Figura 250: Constelación NAVSTAR

b)Segmento de control: Existen 4 estaciones ubicadas en distintos puntos de la

Tierra que siguen y controlan el funcionamiento de los satélites. Además existe una

1 2

3

249

estación de control principal en Colorado, EEUU. En este segmento se define el tiempo

y se calcula y transmiten las efemérides satelitarias y las correcciones horarias.

c)Segmento usuario: Formado por los receptores GPS que utilizando las señales

provenientes de la constelación NAVSTAR calculan su posición siendo esta

característica utilizada en numerosas aplicaciones. De acuerdo a la precisión de los

receptores variarán los alcances de sus prestaciones (Figura 251 y Figura 252).

Figura 251: Navegador GPS Figura 252: Pantalla del Navegador GPS

indicando coordenadas geográficas y altura

Figura 253: Los tres segmentos del sistema GPS interactuando

Errores

Se enumeran a continuación los principales errores dentro del sistema GPS

Errores en los satélites: Los mismos son debidos a errores en los relojes de los

satélites o en las órbitas de los mismos. Dichos errores son monitoreados y corregidos

desde el segmento de control.

Segmento control

Segmento espacial

Segmento usuario

250

Errores en la trayectoria de la señal: Desde que la señal se emite en los satélites

hasta que llega a los receptores no viaja en el vacío y por lo tanto su velocidad no es

constante. Debe atravesar capas de atmósfera que disminuyen dicha velocidad. Las

capas que más influyen son la ionosfera y la troposfera. Asimismo, la señal puede llegar

al receptor directamente desde el espacio o indirectamente, reflejada en alguna

superficie cercana al receptor (multitrayectoria). En este caso, se producirá un error por

exceso en el cálculo de la distancia.

Geometría satelital: La precisión en la ubicación del receptor será mayor cuanto

mejor distribuidos (más alejados) estén los satélites entre sí en el momento del cálculo

de la posición. La geometría satelital se expresa mediante un parámetro denominado

PDOP (Dilución de la Precisión Posicional). Cuanto más bajo sea el PDOP mejor

distribuidos estarán los satélites y las mediciones serán más precisas.

Receptores: La capacidad de los receptores GPS para aumentar la precisión en la

posición está dada por el número de canales que posee (cada canal recibe la señal de un

satélite). Asimismo, influye su capacidad para disminuir el ruido debido a interferencias

eléctricas y el redondeo efectuado en las operaciones matemáticas internas.

Corrección diferencial

Para limitar el efecto de los errores del sistema se suelen corregir las posiciones

calculadas mediante el sistema denominado DGPS (Sistema de Posicionamiento Global

Diferencial). Para lo mismo se utilizan receptores ubicados en lugares con coordenadas

conocidas y se comparan con las coordenadas recibidas por el receptor GPS. La

diferencia es el error y se denomina distancia de corrección diferencial. Esta corrección

es transmitida por ondas de radio desde estaciones terrenas (Señal Beacon) o vía satélite

(Satélites Geoestacionarios Omnistar y Racal) a los receptores que se encuentren

abonados al sistema de corrección (no es de libre disponibilidad). Con los navegadores

trabajando en modo autónomo (sin corrección) se puede alcanzar un error del orden de

los 5 a 20m. Con la corrección diferencial el error en el cálculo de la posición se

encuentra por debajo del metro.

Figura 254: Corrección Beacon Figura 255: Corrección Omnistar-Racal

251

UTILIZACIÓN DE NAVEGADORES SATELITALES (GPS) EN

APLICACIONES AGRÍCOLAS Y FORESTALES

Introducción

La utilización de navegadores satelitales (GPS) en el ámbito agrícola y forestal

(como en muchos otros ámbitos) es cada vez más frecuente y generalizada. En lo que

refiere a las aplicaciones en el ámbito agropecuario son principalmente utilizados para

determinar las coordenadas de puntos al realizar levantamientos aproximados de

distintos detalles que pretendan ser representados en un plano. Dichas coordenadas

pueden ser utilizadas asimismo para localizar dichos puntos a futuro, también con ayuda

de los navegadores. Son también ampliamente usados para determinar las áreas de

potreros de lados rectos (polígonos) mediante la confección de las llamadas “Rutas”.

Cuando se trata de superficies irregulares (lagunas, montes, bajos, afloraciones rocosas,

sectores afectados por malezas, etc.) brindan la posibilidad de determinar el área

mediante la función “Track” (recorrido) consistente en recorrer el perímetro de dicha

superficie con el navegador. Asimismo, son frecuentemente utilizados para ayudar a la

navegación hacia determinados puntos, siguiendo recorridos o rutas preestablecidas,

brindando numerosos datos relacionados con el tiempo, la distancia y el ángulo hacia el

destino entre otros. Por ser ésta la función con la que originalmente han sido concebidos

(la de ayudar a la navegación) es que reciben el nombre de “navegadores”.

Se hará referencia a navegadores de tipo Garmin (modelos Legend y Vista). No

obstante ello, debe tenerse presente que existen otras firmas (Lowrance, Magellan,

MLR) que en distintos modelos presentan funciones similares con un formato semejante

pero con particularidades visuales que permiten diferenciar unos modelos de otros.

Descripción del GPS

Ambos modelos (Vista y Legend) poseen un total de 6 botones que cumplen

distintas funciones.

Manteniendo el botón inferior del lateral derecho llamado Power (acompañado

por un símbolo de una lámpara encendida) se enciende (y apaga) el navegador.

Pulsándolo brevemente se prende (y apaga) la luz de fondo. El botón superior del lateral

derecho es denominado Page (presenta el símbolo de varias páginas apiladas) y permite

pasar por las distintas “Páginas” de información que brinda el navegador. En algunas

opciones se utiliza como función Escape (salir) para volver hacia atrás.

Los dos botones superiores del lateral izquierdo son de zoom (el inferior para

aumentar el zoom o agrandar y el superior para disminuirlo o achicar) y permiten ver la

página de Mapa con un mayor o menor detalle de acuerdo al zoom seleccionado. Estos

dos botones también permiten aumentar o disminuir el contraste de la imagen cuando

son pulsados en la página de Satélites.

El botón inferior del lateral izquierdo (acompañado de un símbolo de lupa) es

denominado Find (Buscar) y al pulsarlo se activa la función Buscar con todas sus

opciones.

Finalmente el botón frontal se denomina Clik Stick (o cursor). Es un botón de 5

posiciones: arriba, abajo, derecha, izquierda y Enter (entrada). La función de cursor,

dada por las primeras 4 posiciones permite desplazarse entre las distintas opciones

seleccionables que se muestran en pantalla. La función Enter (consistente en oprimir

252

dicho botón brevemente) se utiliza para seleccionar alguna de las opciones (equivale a

hacer click con el mouse para seleccionar algo o apretar la tecla Enter). Si se oprime

durante un par de segundos este botón, el equipo muestra las coordenadas del punto en

que se encuentra permitiendo guardarlas si así se desea.

Figura 256: Botones laterales derechos del navegador y sus funciones

Figura 257: Botones laterales izquierdos y botón frontal del navegador con sus funciones

Botón Page

-Pulsar para pasar las distintas

páginas

-Escape (en algunas pantallas)

Botón Power

-Mantener apretado para prender y

apagar el equipo

-Oprimir brevemente para prender y

apagar la luz de fondo

Botón Zoom In - Zoom out

-Aumentar o disminuir zoom (Pag.

Mapa)

-Mantener pulsada en satélites para

mejorar contraste

Botón Find

-Acceso al menú Buscar

Cursor-Click (Click-Stick)

-Mover arriba-abajo derecha-izquierda

-Seleccionar (oprimiendo brevemente)

-Guardar coordenadas de la ubicación

actual (oprimiendo largamente)

253

Páginas de información

El modelo Vista presenta 6 páginas: Satélites, Mapa, Navegación, Altímetro,

Trayecto y Menú Principal. El Legend presenta las mismas pantallas menos la del

Altímetro. Cuando se enciende el equipo aparece siempre la página de Satélites.

Apretando el botón Page aparecen en el orden mencionado más arriba las restantes

páginas. Luego de Menú Principal el botón Page lleva nuevamente a la página de

Satélites.

Satélites Mapa Navegación Altímetro Trayecto Menú

Principal

Figura 258: Información mostrada por el navegador en las distintas páginas y orden en

que van apareciendo. De la página de Menú Principal se retorna a la Página de Satélites

En cada una de estás páginas siempre aparecen en la parte superior derecha dos

íconos correspondientes el de la izquierda a las opciones propias de la página que se está

visualizando y el de la derecha a las distintas páginas del navegador. Seleccionando la

página deseada con el cursor de esta manera se evita hacer el recorrido obligatorio que

se presenta al pulsar la tecla Page y se pueden saltear páginas yendo, por ejemplo, desde

la página de Satélites a la de Trayecto.

Figura 259: Opciones

propias de la Página de

Mapa

Figura 260: Página de

Mapa

Figura 261: Opciones de

Páginas con Satélites

seleccionada

254

Para desplazarse por las opciones se utiliza el cursor (en este caso arriba-abajo) y

para seleccionar alguna opción se oprime dicho botón. De esta manera el navegador

presenta una interfaz con ventanas que se abren con un formato similar al del sistema

operativo “Windows”.

Página de Satélites

Muestra la posición de los satélites sobre el cielo, la intensidad de señal recibida

por cada uno de ellos, una ventana de estado de la navegación y la posición y altura en

curso. En la Figura 262 puede verse la captación de señal de distintos satélites por parte

del navegador. Se observa que se está recibiendo señal de 8 satélites. De otros dos (08 y

20) no se recibe señal. Existen 2 círculos que representan el horizonte (el externo) y un

ángulo de visión de 45° (el interno). El centro del círculo representa lo que tiene el

receptor sobre su vertical. El satélite 03 se encuentra a un ángulo de 45° en dirección

Este y la intensidad de la señal es importante. El satélite 01 está a un ángulo mayor a

45°, en dirección sur y de acuerdo a la barra de estado tiene buena señal. Los satélites

más cercanos al horizonte (los que se muestren cerca de la anilla exterior) tienen más

probabilidad de ser bloqueados por obstáculos. En la Ventana superior se muestra el

mensaje “Listo para navegar” “Precisión: 16pies ( 5m)” expresando así que el

instrumento se encuentra operativo pudiendo utilizarse las distintas funciones de

navegación. Cuando no reciba señal de un mínimo de 3 satélites (por ejemplo, al

encender el equipo) la ventana de navegación indicará “Espere… Rastreando satélites”.

Cuando demore mucho tiempo en recibir señal debido a la presencia de obstáculos (la

señal no se transmite a través de edificios, montañas, zonas boscosas densas, personas,

agua) se mostrará el mensaje “Pobre recepción de los satélites” pudiendo elegirse entre

las opciones: a)Usar con el GPS desactivado, b)Nueva localización, c)Reiniciar

búsqueda y d)Continuar con la búsqueda. “Usar con el GPS desactivado” no brinda la

localización en curso (no permite la navegación) y economiza energía (pilas). En la

ventana de estado de la navegación se leerá el mensaje “GPS desactivado”. La opción

“Nueva localización” debe utilizarse para acelerar la adquisición cuando el usuario se

haya desplazado una distancia mayor a 1000km del último lugar en que usó el receptor.

“Reiniciar búsqueda” implica iniciar la búsqueda desde cero mientras “Continuar con la

búsqueda” significa mantener los satélites encontrados hasta el momento. En la ventana

inferior se muestra la ubicación en curso siendo las coordenadas obtenidas 38°51,338’

Latitud Norte y 94°47,930’Longitud Oeste, por lo tanto se están expresando las

coordenadas geográficas en grados, minutos y milésimas de minuto. Las opciones de la

página de Satélites son a)Usar con el GPS desactivado b)Norte arriba (o Track arriba) y

c)Nueva localización. La opción “Norte arriba” implica que la anilla de puntos

cardinales siempre se verá con el Norte en la parte superior independientemente de la

posición del receptor (como se muestra en la Figura 262) por lo tanto la anilla exterior

mostrando los puntos cardinales se encontrará fija. Cuando esté seleccionado “Norte

arriba” la opción que se mostrará en el menú de opciones de la página será “Track

arriba”. Al seleccionar esta opción en la parte superior se mostrará el punto cardinal al

que esté apuntando el receptor en ese momento, es decir que si el receptor es rotado la

anilla exterior rotará hasta señalar el punto cardinal al que el usuario se dirige o apunta.

255

Figura 262: Página de Satélites (On)

Figura 263: Página de Satélites (Off)

Figura 264: Opciones Página de

Satélites y Mensaje de GPS desactivado

Página de Mapa

Esta página muestra un mapa de la zona en que se encuentra el equipo. El mapa

visualizado puede ser un mapa general con escaso detalle que viene incluido con el

equipo cuando se lo compra o puede ser un mapa de mayor detalle cargado a posteriori

mediante la interacción con una computadora (p. ej. en Argentina se pueden descargar

desde internet Mapas de distintas zonas del país del proyecto Mapear con distintos

niveles de detalle e información de acuerdo a la región). En la página de mapa se

muestra la posición en que se encuentra el equipo con un ícono en forma de triángulo

que ocupa el centro de la pantalla. Cuando el equipo aún no tiene señal de satélites dicho

ícono aparece con un signo de interrogación (Figura 265). Cuando tiene señal aparece

rodeado por un círculo que indica la precisión de la posición (cuanto más pequeño, más

preciso, Figura 267). En la parte superior de la pantalla se puede ver un mensaje de

estado de navegación y de la precisión. En la parte inferior se pueden mostrar 2 campos

Ventana de

navegación

Anilla de compás con

ubicación de satélites

en el cielo

Intensidad de la señal

de los satélites

Posición en curso

Opciones de Pobre

recepción de satélites

256

con información relativa a la navegación como velocidad, hora, distancia al punto

objetivo, etc.

La ventana de navegación y los campos de datos inferiores se pueden quitar si se

desea ver una mayor porción del mapa en la pantalla. En la parte inferior izquierda del

mapa se observará un segmento que representa una distancia. En la Figura 266 dicho

segmento representa 3millas.

Figura 265: Ventana de

navegación e ícono de

posición (sin señal GPS)

Figura 266: Opciones de

página y 2 campos de datos

inferiores

En esta página, con los botones de aumentar y disminuir el zoom se puede

conseguir ver una menor superficie de mapa con un detalle mayor (si se aumenta el

zoom) o una mayor cantidad de superficie con menor detalle (si se disminuye el zoom).

Si se utilizan unidades métricas el segmento indicará como valor mínimo 5m (cuando se

aumenta el zoom al máximo) utilizándose dicha escala cuando se deseen ver detalles a

nivel de parcela. El valor máximo del segmento es de 800km abarcando el mapa en esta

situación toda Sudamérica. Las opciones de página de la página de Mapa incluyen

“Modo panorámico”, “Detener navegación”, “Mostrar (u ocultar) estado de la

navegación”, “Mostrar (u ocultar) campos de datos”, “Ajustar mapa” y “Restaurar

valores predeterminados” (Figura 266). Al seleccionar la opción “Modo panorámico”

aparece una flecha (llamada puntero de mapa) en lugar del ícono de posición. Con el

cursor puede desplazarse la flecha en los 4 sentidos permitiendo de esta manera

desplazar el mapa hacia los lugares vecinos a la posición para visualizarlo. Oprimiendo

el cursor se selecciona el punto que señala la flecha pudiendo guardar las coordenadas

del mismo. Si se posa la flecha sobre un objeto del mapa (cruce, punto de interés) el

punto aparece seleccionado. “Detener la navegación” permite economizar pilas cuando

no se necesite navegar hacia un punto. “Mostrar (u ocultar) estado de navegación”

permite visualizar en la página la ventana superior con el estado de navegación. Si dicha

ventana se encuentra en pantalla aparecerá la opción “Ocultar estado de la navegación”.

Si se quita dicha ventana se puede ver una mayor porción de mapa. Lo mismo sucede

con la opción “Mostrar (ocultar) campos de datos” respecto de las dos ventanas

257

inferiores. “Ajustar mapa” permite configurar la página de Mapa para personalizar la

manera en que se visualiza dicha página. Alguna de las opciones de ajuste incluyen la

orientación pudiendo ser la misma “Norte arriba” o “Track arriba”. Con la primera

siempre el mapa se muestra con el Norte hacia arriba mientras que con la segunda se

muestra hacia arriba el punto cardinal hacia el que se desplaza el operario con el equipo

(rotando el norte). Se puede seleccionar asimismo que los diferentes detalles levantados

(Rutas, Tracks, Waypoints) se visualicen a las escalas mayores (con mayor detalle) y no

a las menores pudiendo seleccionar la escala límite de visualización. También se

selecciona aquí el tamaño del texto (Figura 270) y pueden tildarse del listado de mapas

cargados en el navegador aquellos que deseen visualizarse (Figura 271). La opción

“Restaurar valores predeterminados” permite ver la página de mapa con la configuración

original de fábrica.

Figura 267: Círculo de

precisión y escala del mapa

Figura 268: Ícono de

posición y flecha de modo

panorámico

Figura 269: Opciones de

datos para los campos

Figura 270: Ajuste del

mapa. Tamaño de texto

Figura 271: Ajuste del

mapa. Mapas a visualizar

Opciones para los campos seleccionables

En los dos campos inferiores de la página de mapa se pueden visualizar distintos

parámetros relacionados con la navegación de acuerdo a la preferencia del operador

(Figura 269). Algunas de las opciones son:

258

Rumbo (Bearing): Dirección desde la localización hacia el destino

Curso (Course): Dirección desde el punto de arranque hasta el destino

Dirección (Heading): Dirección de desplazamiento

Desvío del curso: Desvío hacia la derecha o izquierda del curso original

Hacia el curso: Dirección del compás a seguir para volver al curso

Giro: Ángulo entre el rumbo hacia el destino y la línea de trayecto en curso. L es

giro a la izquierda y R giro hacia la derecha

Puntero: Indica con una flecha la dirección al siguiente destino

Altura: metros por encima del nivel del mar

Destino en curso: Siguiente Waypoint de la ruta

Distancia en curso: Distancia hasta el siguiente Waypoint

ETA en curso: (Estimated Time of Arrival) Hora estimada de llegada al

siguiente Waypoint

ETE en curso: (Estimated Time En route) Tiempo aproximado necesitado para

llegar al siguiente Waypoint

Destino Final: Último Waypoint de la ruta.

Distancia Final: Distancia que queda al destino final

ETA final: Hora estimada a la que se llegará al destino final

ETE final: Tiempo estimado para llegar al destino final

Velocidad/Velocidad corregida: en millas/hora, km/hora, millas náuticas/hora

Salida del sol/Puesta del sol: Hora del día a la que sale/se pone el sol

Hora: hora para la zona horaria seleccionada

Cuentakilómetros de trayecto: Distancia recorrida acumulada

Para visualizar la diferencia entre Rumbo, Curso y Dirección puede observarse la

Figura 272 en la que el punto A es el punto de partida y B el de llegada. La línea AB

constituye el Curso. C es el emplazamiento actual del móvil. La línea CB constituye el

Rumbo. Por último, la línea punteada CD constituye la Dirección en la que se está

desplazando en ese momento el móvil.

Figura 272: Rumbo (CB), Curso (AB) y Dirección (CD)

Página de Navegación

Muestra un círculo graduado (a modo de brújula) con los puntos cardinales

señalados. Algunos modelos (como el Vista) presentan brújula electrónica lo que

implica que la brújula indicará los puntos cardinales en todo momento. Otros (como el

Legend) solo permiten determinar la posición de los puntos cardinales mientras el

operario se desplaza con el navegador ya que al detectar el desplazamiento puede

A

B

C

D

259

determinar la dirección del movimiento y la posición de los puntos cardinales. En

definitiva, los que poseen brújula electrónica, al ser girados en un lugar (sin cambiar la

posición) gira la anilla del compás apuntando siempre el Norte hacia ese punto cardinal

mientras que los que carecen de brújula electrónica no lo hacen. En el caso de estar

navegando hacia un determinado punto el círculo graduado presentará un puntero de

rumbo que indica la dirección a seguir para ir directamente hacia el destino. En la parte

superior de esta pantalla se puede ver el Nombre del punto al que se navega, el tiempo

demandado para llegar al mismo en función de la velocidad de desplazamiento y la

distancia a recorrer (Figura 273).

En la parte inferior aparecen 2 campos de datos seleccionables como los que se

detallaron en la página de mapa (Figura 275).

Figura 273: Navegación

hacia “Kenneth” Faltan 10,1

millas y 30 minutos. Hay

que dirigirse hacia el Este

Figura 274: Opciones de

página de la página de

navegación

Figura 275: Opciones para

los campos de datos

Las opciones de página de esta pantalla incluyen: la función “Sight’N Go”,

Detener la navegación, Puntero de curso, Números grandes, Calibrar el compás y

Restaurar valores (Figura 274). La función “Sight’N Go” (señalar e ir) permite navegar

en una determinada dirección y dirigirse a un punto que se observa pero al que no se

puede acceder en línea recta (por tener que vadear un río, monte, etc.). Consiste en

utilizar las dos marcas que presenta el modelo Vista en su carcaza a modo de alza y mira

para apuntar a un objeto (Figura 277). El puntero indicará la dirección a seguir y en caso

de que aparezca partida la flecha, con una escala de puntos se indicarán los m ó km de

desviación respecto de la dirección de desplazamiento previamente determinada (Figura

278).

La opción “Números Grandes” permite ver los campos numéricos con un tamaño

de texto mayor. En esta opción la anilla de la brújula se vuelve más chica (Figura 276).

La opción “Calibrar el Compás” se utiliza cuando se usa por primera vez el GPS o

260

cuando se cambian las pilas y consiste en realizar dos giros completos lentamente y en

sentido horario.

Figura 276: Opción de

números grandes

Figura 277: Marcas en la

carcaza del navegador a modo

de alza mira para función

Sight’N Go

Figura 278: Opción

“Sight’N Go”

Página de Altímetro

Disponible solo en el modelo Vista. Presenta un baroaltímetro que en función de

la presión atmosférica da una idea aproximada (precisión de 1m) de la altura. Permite

ver en forma gráfica la altura o presión atmosférica (en la ordenada) en función de la

distancia recorrida o del tiempo (en la abscisa) (Figura 279, Figura 280 y Figura 281).

Ambas escalas (ordenada y abscisa) pueden modificarse. La altura presenta un

rango que va de 70m a 1750m, la distancia de 200m a 25km y el tiempo de 2minutos a

2horas (Figura 285). En la parte superior se ve una ventana con datos de altura en curso.

En la parte inferior se muestran dos campos de datos seleccionables relacionados con la

navegación aérea como velocidad de ascenso, descenso, altura máxima alcanzada,

velocidad vertical, etc. (Figura 287). Las opciones de página incluyen: Plotear en el

tiempo (o en la distancia), Visualizar ploteo de altura (o de presión), Escalas de zoom,

Visualizar punto, Resetear, Calibrar altímetro y Restaurar valores (Figura 282). Cuando

se está visualizando la altura (o presión) en el tiempo se encuentra como opción “Plotear

en la distancia” y viceversa (cuando se plotea en la distancia la opción es “Plotear en el

tiempo”). La opción “Visualizar punto” muestra con una flecha sobre el diagrama de

Altura un punto seleccionado y su altura. Con el cursor se puede desplazar esta flecha

hacia derecha o izquierda y visualizar la altura de otros puntos (Figura 283). La opción

“Calibrar altímetro” permite mejorar la precisión de los valores obtenidos si es que se

conoce en forma aproximada la altura en la que el operario se encuentra. Mediante un

teclado numérico se puede ingresar el valor de altura conocida (Figura 284). La opción

“Resetear” permite borrar los datos guardados en memoria. Desde esta opción se pueden

borrar también las Rutas, Tracks y Waypoints guardados (Figura 286).

261

Figura 279: Página de

altímetro. Ventana de

altura y campos de datos

Figura 280: Ploteo de altura en

la distancia

Figura 281: Ploteo de Presión

en el tiempo

Figura 282: Opciones de la

página de altímetro

Figura 283: Opción

Visualizar puntos

Figura 284: Opción Calibrar

altímetro

262

Figura 285: Escalas de zoom Figura 286: Opción Resetear Figura 287: Campos de

datos

Página de Trayecto

Muestra en 8 campos numéricos seleccionables diferentes parámetros

relacionados con la navegación como distancia recorrida, velocidad máxima, velocidad

media, velocidad de movimiento, tiempo en movimiento, tiempo detenido, etc. Las

opciones de esta página incluyen Restaurar valores, Números grandes y Resetear. Con la

opción “Números Grandes” los campos de datos mostrados se reducen a 5 (en lugar de

8). Cualquiera de los 8 (ó 5) campos puede seleccionarse para que muestre el dato más

conveniente a la navegación. La opción “Resetear” es la misma que la mostrada en la

página de Altímetro (Figura 290).

Figura 288: Página de

trayecto

Figura 289: Campos de

datos Figura 290: Opción resetear

263

Página de Menú principal

Desde esta página se accede a las principales funciones del navegador. Incluye

seis opciones simbolizadas con seis íconos: Marcar Waypoint, Buscar, Rutas, Tracks,

Configurar y Accesorios. En la parte inferior de la pantalla se muestra una ventana que

indica la hora y fecha, un nivel del estado de las pilas y una lamparita indicando si la luz

de fondo está encendida o apagada.

Figura 291: Página de Menú Principal

Marcar Waypoint

Esta opción se utiliza cuando se desea guardar la localización en la que se

encuentra el navegador.

Puede ingresarse a esta opción desde el Menú Principal o directamente

manteniendo apretado el Cursor (botón frontal).

Al seleccionar “Marcar Waypoint” aparece una pantalla de un hombre a punto de

clavar una banderilla en el suelo. La bandera tiene un símbolo y un número con el que se

guardará ese punto. En la parte inferior de la pantalla aparecen 4 campos numéricos

indicando el superior la latitud y longitud del punto que se va a guardar. Las opciones

para elegir del campo inferior son Go to (Ir a), Mapa (ver el punto en la página de mapa)

y Ok (para confirmar que se desea guardar ese punto) (Figura 292). El nombre del

Waypoint por default viene configurado para que se guarde con una sucesión creciente

de números pero se puede editar accediendo a un teclado alfanumérico para asignarle el

nombre que se considere más conveniente (Figura 293). También se puede cambiar el

símbolo del Waypoint seleccionando uno de una lista de símbolos que presenta el equipo

(Figura 294).

Puede crearse también un Waypoint desde la página de mapa utilizando la

función de Modo panorámico. Oprimiendo el cursor en el punto seleccionado con la

flecha de pan aparecerá la página de Waypoint con la información del punto pudiéndolo

guardar (Figura 295 y Figura 296). Una vez guardado el punto como Waypoint aparecerá

en el mapa y tocándolo con la flecha de pan puede entre otras opciones desplazárselo por

la página de mapa para relocalizarlo (Figura 297). Otra opción para marcar un Waypoint

es hacerlo introduciendo las coordenadas del mismo si es que éstas ya son conocidas.

Esta opción es interesante cuando las coordenadas han sido levantadas por otro operario

264

con un segundo equipo. Para buscar alguno de los puntos guardados por el colega en su

aparato bastará que el mismo proporcione las coordenadas de los puntos, las que al ser

cargadas en el primer equipo permitirán a continuación utilizando la función “Go To”

(“Ir a”) navegar hacia dichos puntos y encontrarlos. Puede resultar interesante a la hora

de encontrar estacas, celdas trampas de insectos, etc. (Figura 298). Por último se puede

proyectar un Waypoint cargando la distancia y el rumbo desde un determinado punto

(Figura 299).

Figura 292: Página de

Marcar Waypoint

Figura 293: Selección del

nombre

Figura 294: Selección del

ícono

Figura 295: Página de

Mapa. Cruce marcado como

Waypoint

Figura 296: Página de

Mapa. Marcación de un

punto cualquiera

Figura 297: Moviendo un

Waypoint

265

Figura 298: Crear un

Waypoint introduciendo las

coordenadas

Figura 299: Proyectar un

Waypoint introduciendo

distancia y rumbo

Buscar

Esta función permite buscar un punto guardado como Waypoint o una Ciudad,

Punto de interés, Favorito, Dirección, etc.

Puede ingresarse a esta opción desde el Menú Principal o directamente apretando

el botón Buscar (botón inferior del lateral izquierdo identificado con una lupa). Al

ingresar a la opción “Buscar” desde alguna de las dos opciones aparecerá un listado de

las opciones (Figura 300). Al seleccionar una de ellas aparecerán dos opciones de

ordenamiento entre las que se encontrarán Más cercano o Por nombre. “Más cercano”

ordenará los Waypoints, Ciudades, Favoritos, etc. encabezando el listado con los “más

cercanos” al punto en que se encuentra el navegador en ese momento. Por nombre los

ordenará alfabéticamente (Figura 301).

Figura 300: Opción Buscar Figura 301: Opción de Más

cércano-Por Nombre

Figura 302: Distancia y

Rumbo al Waypoint Home

266

En la Figura 302 están ordenados alfabéticamente. Al sombrear alguno de los

Waypoints en la lista aparecerá en la parte inferior la distancia y el rumbo al mismo

(Figura 302). Apretando en alguno de ellos aparecerá información del mismo y tres

opciones: Ir a (Go to), Mapa y Ok (Figura 303). “Ir a” guía desde la Página de

navegación hacia el punto, “Mapa” muestra al punto en la página de Mapa y Ok vuelve a

la pantalla anterior.

Si se selecciona la opción “Ir a” en la página de Navegación aparecerá un

puntero de curso en la anilla de compás que indicará en que dirección debe desplazarse

el operario para acercarse al destino. También aparecerá la distancia remanente a

recorrer y el tiempo remanente para llegar (Figura 304). En la página de mapa se unirá el

ícono de posición con el Waypoint destino mediante una línea punteada (Figura 305)

indicando parámetros similares a los de la página de Navegación en los campos de datos.

En ambas páginas, en la parte inferior, aparecerá el mensaje “Llegando a destino”

cuando el usuario esté arribando al objetivo.

Figura 303: Selección de un

Waypoint

Figura 304: Página de

Navegación Navegando

hacia 001

Figura 305: Página de Mapa

Navegando hacia 001

Rutas

Las Rutas son una secuencia ordenada de Waypoints, es decir un camino con un

Waypoint de partida, uno de llegada y algunos intermedios.

Las rutas se crean desde el Menú Principal. Al seleccionar Ruta el menú

mostrará las rutas existentes, indicará las rutas aún no utilizadas (de acuerdo a la

capacidad de memoria del navegador utilizado) y dará la opción Nueva. En la Figura

306 puede verse que existen 7 rutas guardadas y como la capacidad es de 20 indica que

hay 13 sin usar. Al crear una nueva ruta la misma aparecerá inicialmente vacía, sin

Waypoints. En la pantalla aparecerá una línea punteada y sombreándola y haciendo click

sobre ella se podrá seleccionar del listado de Waypoints guardados los que formarán

parte de la ruta seleccionándolos uno a uno. Las rutas se nombran por default con el

primero y último de los Waypoints que la forman. Obsérvese que las rutas guardadas han

sido nombradas con 2 Waypoints separados por un guión (Figura 306). Al seleccionar

una de ellas (en la Figura 307 es mostrada Monday Route) pueden verse los Waypoints

267

que la constituyen y las opciones que se muestran en la parte inferior son Navegar la ruta

o verla en el Mapa (Figura 307). Las opciones que se presentan dentro de la página de

Ruta son: Remover todo, Invertir Ruta, Copiar Ruta, Borrar, Restaurar Valores y Área

de Ruta (Figura 308). “Remover todo” implica eliminar todos los Waypoints de la Ruta

(dejar la Ruta vacía), “Invertir Ruta” significa que el Waypoint de partida sea el último y

viceversa, “Copiar Ruta” copia una ruta idéntica colocándole un 1 a la ruta copiada

permitiendo modificar esta segunda ruta (agregando o quitándole Waypoints) y

conservando la original (Figura 309).

Figura 306: Rutas existentes

en Página de Rutas

Figura 307: Ruta con sus

Waypoints. La línea permite

agregar puntos

Figura 308: Opciones de

Página de Rutas. Al Final

Área de Ruta

Figura 309: Copiado de ruta

Car-Clare como Car-

Clare1

Figura 310: Mensaje de

confirmación de eliminación

de Ruta

Figura 311: Agregando

Waypoint 005 a Ruta desde

Página de Mapa

Route Area

268

Al seleccionar “Borrar” aparecerá un mensaje de confirmación de la elección

realizada (Figura 310). Finalmente la opción “Área de Ruta” permite calcular el área del

polígono formado por los sucesivos Waypoints que forman la ruta. Esta opción se utiliza

para calcular el área de parcelas de lados rectos tomando como Waypoints los esquineros

de la parcela y armando una ruta con los mismos. Se puede optar por ver una ruta en la

Página de Mapa y allí se permite mover alguno de los Waypoints de la ruta o incorporar

otros al comienzo o final de la misma (Figura 311). “Navegar una ruta” resulta similar a

navegar hacia un Waypoint solo que una ruta es un conjunto de Waypoints por lo que

navegarla implicará que el usuario se deje guiar hacia los sucesivos Waypoints que la

forman. Al llegar hacia los distintos Waypoints, completando parcialmente la ruta,

aparecerá en la pantalla de Navegación el cursor quebrado indicando en que sentido se

debe girar para continuar hacia el siguiente Waypoint.

Tracks (Recorridos)

Los Tracks son recorridos realizados en los que el navegador de manera continua

va guardando las coordenadas de los puntos en los que se encuentra cada un

determinado tiempo o distancia fijas. El intervalo o frecuencia de toma de puntos del

navegador en el Track puede seleccionarse e ingresarse al navegador (Figura 315 y

Figura 316). Así por ejemplo se puede seleccionar que tome un punto cada 5m o cada

3segundos. Al acceder a la pantalla de Tracks se podrán ver los Tracks guardados. El

navegador guarda automáticamente por default un Track denominado Track log. Para

que no registre el Track log debe seleccionarse la opción Apagado (Off). En la misma

pantalla existen las opciones Guardar o Borrar que implican respectivamente grabar o

limpiar el recorrido registrado hasta ese momento (no se borran los Tracks ya

guardados). Existe una barra que con un porcentaje indica la capacidad restante de

grabación de Track. Una vez alcanzado el 100% se empiezan a sobre escribir los datos

borrando automáticamente los más viejos.

Figura 312: Tracks

guardados y Track log

Figura 313: Track Camp

mostrándose en mapa

Figura 314: Opciones de

Navegación del Trackback

269

Se puede leer en la parte inferior de la pantalla la cantidad de Tracks sin usar de

acuerdo a la capacidad del navegador (en el ejemplo se señala que existen 7 no usados)

(Figura 312). El Track por default se guarda con un nombre correspondiente a la fecha

de realización. Si se realiza más de uno en un mismo día se agrega un número al final

del nombre. Cuando se accede a un Track guardado el navegador permite visualizarlo en

el mapa (Figura 313). La opción TrackBack permite navegar el Track pudiendo

reproducir un recorrido previamente guardado. Al acceder al TrackBack el operador

deberá optar por dirigirse hacia el inicio o el final del Track (Figura 314).

Figura 315: Opciones de

Grabación y Resolución del

Track

Figura 316: Opciones de

Intervalo

Configuración

En esta página se pueden seleccionar y configurar varios parámetros del

navegador como la hora (Figura 318), el idioma, el sistema de unidades (Figura 319 y

Figura 320), el datum utilizado, etc. Si se desea referir el levantamiento con datos de

Cartografía Nacional se deberá seleccionar en datum el de Campo Inchauspe. Caso

contrario será conveniente trabajar con el del Sistema Geodésico Mundial de 1984

(WGS84) (Figura 321). En la pantalla de Display se puede seleccionar el tiempo que

permanece encendida la luz de fondo. En la de Dirección se puede seleccionar el Norte

que se utilizará como referencia (Geográfico, Magnético, Cuadrícula) (Figura 322).

270

Figura 317: Opciones de

Configuración

Figura 318: Configuración.

Ajuste de formato de hora

Figura 319: Configuración.

Ajuste de unidades

Figura 320: Opciones de

Configuración

Figura 321: Configuración.

Ajuste de formato de hora

Figura 322: Configuración.

Ajuste de Dirección

Accesorios

Brinda un conjunto de utilidades como Posición del Sol y la Luna, Calendario,

Caza y Pesca y Cálculo de áreas (Figura 323). Esta última permite determinar el área de

formas irregulares como lagos, montes, terrazas, manchones de malezas, etc. Al

seleccionar la opción de Cálculo de áreas dará la opción de Empezar. Se deberá señalar

claramente el punto de partida para que luego de rodear el área y llegar al punto de

partida se seleccione Detener. El navegador muestra el área y el perímetro de la figura y

permite cambiar las unidades de área (ha, m2, acres) asi como guardar el recorrido como

un Track. Resulta importante a los fines de aumentar la precisión en el cálculo del área

271

el no desviarse del trayecto (borde de la laguna, monte, etc.) y mantener al receptor con

buena señal.

Figura 323: Accesorios con opción

de Cálculo de área (por Track)

Area

272

APLICACIONES DE LA TECNOLOGÍA GPS EN LA AGRICULTURA

Introducción

El Sistema de Posicionamiento Global (GPS, Global Positioning System) fue

concebido originalmente en Estados Unidos con fines militares. Su principal objetivo

consistía en guiar a las naves marítimas por el camino más corto hacia el destino,

ahorrando de esta manera tiempo. Asimismo, permitía a los ejércitos que se encontraban

en peligro o perdidos, conocer su posición y de esta forma solicitar ayuda para el rescate

en un lugar preciso. A pesar de su destino original, rápidamente se le encontraron a este

sistema de posicionamiento numerosas aplicaciones civiles, generalizándose su

utilización en áreas muy diversas, incluyendo entre ellas a la agricultura.

Aplicaciones generales fuera del campo agronómico

La tecnología GPS tiene innumerables utilidades y puede ser utilizada siempre

que exista una correcta recepción de la señal. No se puede utilizar en lugares con

cobertura densa que impida la llegada de la señal (edificios, subterráneos, bosques

cerrados, bajo el agua). Una de las primeras aplicaciones civiles que se encontró en el

GPS fue la navegación por lo que a los receptores GPS que ayudaban en la misma dando

en todo momento las coordenadas del punto en que se encontraba el móvil, la velocidad

de avance y la dirección del mismo fueron llamados “navegadores”. Esta herramienta se

utiliza actualmente tanto en navegación terrestre como en aérea y marítima. Es utilizado

para el rastreo y recuperación de vehículos, como ayuda para choferes para determinar la

posición en que se encuentran y escoger el mejor camino para llegar a un determinado

sitio. En el ambiente científico se utilizan para obtener datos muy precisos de posición y

tiempo. Los navegadores son también muy usados en el ambiente deportivo y

recreacional (ciclistas, montañistas, acampantes, caza y pesca) en situaciones en que

necesiten conocer su ubicación, la dirección y velocidad de avance y deban decidir el

mejor camino hacia un destino. Son utilizados como sistemas de emergencia al costado

de rutas donde apretando un botón, la persona a ser socorrida transmite su ubicación a

las unidades de auxilio. Una de las características principales del GPS es su extremada

precisión en lo que se refiere al tiempo. En muchas aplicaciones se usa el GPS como

sistema muy preciso para obtener la hora, como por ejemplo en los ambientes bursátiles

donde las jornadas de operación deben abrir y cerrar en horarios precisos.

Aplicaciones agrícolas

Las ciencias relacionadas con el agro tampoco tardaron en adoptar la tecnología

GPS, encontrándose numerosas aplicaciones.

Ubicación de puntos

Siendo que el sistema GPS permite determinar la posición de un punto en la

Tierra mediante sus coordenadas geográficas latitud y longitud pudiendo posteriormente

transformarlas en coordenadas planas cartesianas (por ejemplo el sistema Gauss-Krüger

empleado en la Argentina) mediante operaciones matemáticas, puede ser utilizado para

realizar los levantamiento de puntos que tradicionalmente se realizaban midiendo

ángulos y distancias con respecto a otros puntos de coordenadas conocidas (Métodos

planimétricos). Asimismo, una vez determinada la posición de los distintos puntos

(posicionamiento de puntos) mediante sus coordenadas, pueden calcularse las distancias

273

entre los mismos mediante 𝐷 = ∆𝑋2 + ∆𝑌2. Los receptores GPS pueden almacenar

coordenadas de puntos llamados “Waypoint” (punto del camino ó punto de paso) y

permiten visualizar directamente las distancias que posee el receptor en cada posición

que se encuentre a los distintos puntos almacenados. Esto constituye un método

indirecto para la determinación de distancias ya que la misma es determinada por cálculo

(ya sea cálculo del operador a partir de las coordenadas planas o cálculo interno del

receptor) y no debe recorrerse la distancia a medir sino que es suficiente con colocarse

en los puntos extremos de medición para obtener sus coordenadas y la distancia en

cuestión.

Determinación de áreas Con la determinación de las coordenadas de los puntos puede calcularse las áreas

de lotes que resulten regulares (de lados rectos) empleando dichas coordenadas y el

método de los trapecios. Asimismo, algunos receptores GPS permiten el cálculo de la

superficie evitándose el cálculo posterior. La determinación de áreas se vuelve una

utilidad particularmente interesante de los receptores GPS cuando se trata de superficies

irregulares y con obstáculos o desperdicios (montes, lagunas, silos, construcciones, áreas

parquizadas) resultando suficiente para la determinación del área útil, recorrer el

perímetro del lote para luego determinar de la misma manera los desperdicios y realizar

la sustracción correspondiente al área total.

Guiado de maquinaria agrícola

Al permitir conocer la posición que tiene un objeto en tiempo real, los receptores

GPS han facilitado el guiado de los móviles, entre ellos las máquinas utilizadas en el

campo agronómico.

a)Banderillero satelital

Las pulverizadoras terrestres y los aviones utilizados en las aplicaciones de

agroquímicos eran guiados tradicionalmente por operarios que se encontraban en los

extremos del lote a tratar. Dichos operarios utilizaban algún elemento fácilmente visible

desde lejos (ciertas veces banderas), por lo que fueron llamados banderilleros. Los

banderilleros indicaban a los operarios de la pulverizadora o avión por donde debían

avanzar para evitar superposiciones o faltantes (vulgarmente denominados “chanchos”)

con la pasada anterior. No obstante, la determinación de la distancia entre una pasada y

la siguiente era realizada a pasos por los banderilleros, con lo cual resultaba poco exacta.

Además, estos operarios se encontraban expuestos al contacto con los productos

aplicados cuando el avión o pulverizadora llegaba al extremo del lote con lo cual para

evitar el peligro de toxicidad se recurría a la utilización de trajes especiales que

resultaban frecuentemente incómodos (sobretodo en épocas calurosas) y por lo tanto se

abandonaba su uso. Otra dificultad de este sistema de guiado era la imposibilidad de

trabajos nocturnos, en tiradas largas o con cultivos altos, factores que dificultaban la

visibilidad de los banderilleros.

Con la aparición del sistema GPS, el guiado de la maquinaria está siendo

reemplazado progresivamente por los denominados “banderilleros satelitales” que

constan básicamente de un receptor GPS, una caja de mandos y un monitor con una guía

de luces y una pantalla de cristal líquido (LCD = Liquid Crystal Display) que indican al

274

operario la dirección que debe seguir en todo momento y algunos datos operativos.

Algunas de las pantallas presentan la tecnología Touch Screen (“pantalla sensible al

tacto”), es decir que el operario elige la función necesaria tocando directamente en la

pantalla. Estos elementos van montados en la cabina de la pulverizadora o del avión. En

algunos sistemas la guía de luces, la pantalla de cristal líquido, la caja de mandos y el

receptor GPS se encuentran integrados en una sola unidad.

Inicialmente se ingresa en el sistema mediante la caja de mandos el ancho de

aplicación y a continuación se recorre con la pulverizadora o avión uno de los lados del

lote a pulverizar marcando el inicio y el final del trayecto. Una vez finalizado el mismo,

el banderillero traza infinitas rectas paralelas a esta dirección inicial. Al girar el equipo

para la pasada siguiente, se visualiza en el monitor los metros faltantes para llegar a la

nueva línea de aplicación. Cuando se toma esta nueva línea, el operario se guía por la

barra de luces. En general las luces centrales de color verde indicarán que se avanza por

la línea correcta. En caso de encenderse las luces rojas más alejadas del centro, estarán

indicando el sentido del desvío o de la corrección que debe hacerse, de acuerdo a como

se haya programado el sistema. Asimismo puede ajustarse la sensibilidad de la barra de

luces de manera que cada luz roja que se encienda indique un mayor o menor desvío de

la línea correcta (cada luz puede indicar un desvío de 0,1m a 1m). De acuerdo al modelo

utilizado en la pantalla pueden visualizarse el número de pasada, la velocidad de

aplicación, la dirección, la dosis de aplicación, el caudal, la presión de trabajo, el desvío

con respecto a la línea de aplicación, el área aplicada, la distancia recorrida, la fecha, la

hora y las coordenadas terrestres entre otras variables.

Figura 324: Banderillero satelital con guía de luces

Asimismo, estos sistemas permiten el guiado en terrenos con curvas como lotes

irregulares, aterrazados o con obstáculos como montes, construcciones, lagunas, etc. y

posibilitan calcular el área efectiva en que se ha realizado la aplicación. Otra de las

opciones presentes en algunos sistemas consiste en la de almacenar en la memoria todos

los datos del tratamiento, posición por posición, pudiendo cotejarse a posteriori en

gabinete, la efectividad del tratamiento y la ausencia de faltantes (chanchos),

visualizando en un “mapa de aplicación” el recorrido efectuado. Existe también la

275

función de pausa-retorno, que permite detener la aplicación en cualquier punto de un

trayecto (por ejemplo para recargar producto) y reubicar dicho punto. La barra de luces

indicará al operario la dirección que debe seguir para encontrar la línea donde se

interrumpió la aplicación y en la pantalla aparecerá a modo de cuenta regresiva, los

metros faltantes para llegar al punto donde se discontinuó la aplicación. Otra de las

utilidades que brindan alguno de estos sistemas es una alarma que indica al operador que

la zona en la que va a aplicar ya ha sido tratada (“alarma de zona ya tratada”).

b)Autoguiado

También llamado Autopilot, consiste en un sistema de control de la dirección (ya

sea mecánica o hidráulica) del móvil (tractor, cosechadora, pulverizadora), que actuando

en conjunto con un banderillero satelital permiten el desplazamiento del vehículo a lo

largo de un trayecto predeterminado aliviando así la tarea de conducción del operario.

Puede ser usado en trayectos de línea recta o curvos. Con esta tecnología (de “manos

libres”) el trabajo principal del operario deja de ser la conducción para pasar a ser el

control en pantalla del trabajo que va realizando.

Figura 325: Dirección equipado con sistema de Autoguiado

Monitoreo de rendimiento en cosecha

Antes del arribo de la tecnología GPS a la agricultura, cuando eran cosechados

los lotes se obtenía como dato el peso total de granos y al dividirlo por la superficie del

lote se calculaba el rendimiento (kg/ha). En función de los valores obtenidos de

rendimiento se clasificaban a los lotes por su potencial productivo (comparación entre

lotes). No obstante, el resultado obtenido representaba el rendimiento medio del lote,

pero dentro de un mismo lote podían existir diferencias de rendimiento debidas

fundamentalmente a causas edáficas (diferente cantidad de nutrientes o limitaciones

como tosca, horizontes endurecidos, sodio, sal) y topográficas (diferencias de relieve

que favorecen la acumulación de agua en lugares bajos en detrimento de las lomas) por

lo que el rendimiento en distintas zonas del lote podía distar en gran medida de la media.

Además, el advenimiento de la siembra directa en Argentina condujo a muchos

productores a quitar alambrados internos de sus campos (que originalmente dividían el

establecimiento de acuerdo a la capacidad productiva de los ambientes) para administrar

parcelas más grandes acordes a las máquinas de mayor ancho de labor. Con esto, los

lotes con distinta capacidad productiva, pasaron a ser manejados uniformemente y se

perdió la diferenciación ambiental previamente delimitada con los alambrados.

Con el advenimiento del GPS se ideó un sistema de monitoreo de rendimiento en

la cosecha que permite determinar el rendimiento en cada sector de un lote y de esta

276

forma reconocer ambientes con diferente capacidad productiva (variabilidad

intraparcelaria), con el objetivo de manejar esos ambientes en forma diferencial a

posteriori.

Un monitor de rendimiento de cosecha consta de una consola o monitor provisto

de una botonera para ingresar información, un receptor GPS que indica a la consola las

coordenadas en cada momento y numerosos sensores montados en distintos lugares de la

cosechadora que miden permanentemente flujo de grano, humedad del grano y

velocidad de avance. Además poseen un sensor de altura de la plataforma de la

cosechadora de manera de comenzar a contabilizar la superficie cosechada y registrar

datos cuando la plataforma se encuentra por debajo de un determinado nivel (debido a

que habitualmente en las cabeceras y cuando no están cosechando, los maquinistas

levantan el cabezal). Todos estos sensores transmiten la información a la consola. Antes

de comenzar a trabajar debe incorporarse al sistema el ancho de corte del cabezal y el

porcentaje de humedad al que se quiere calcular el valor de rendimiento final. Asimismo

debe cargarse el nombre del lote y datos de calibración de los distintos sensores.

Al multiplicar el ancho de corte por la velocidad de avance, el sistema puede

calcular la capacidad operativa (ha/hora) del equipo y asociando a este dato el flujo de

grano cosechado (llevado a un valor de humedad de referencia de acuerdo al valor

determinado por el sensor de humedad del grano) pueden determinarse los kg/ha en cada

sector de la parcela que se está cosechando. Cada uno de estos valores estará

georreferenciado, es decir, cada valor de rendimiento estará asociado a determinadas

coordenadas geográficas brindadas por el receptor GPS.

En la Tabla 67 se analizan los datos ingresados, medidos y calculados.

Posición

Velocidad

de avance

(km/h)

Ancho de

corte

(m)

Flujo de

granos

(kg/hora)

Humedad

del grano

(%)

Rendimiento

seco

(kg/ha)

GPS Sensado Valor

ingresado Sensado Sensado Calculado

Tabla 67: Datos ingresados, medidos y calculados en el monitor de rendimiento

El cálculo que realizaría el sistema para obtener el rendimiento sería:

(entre corchetes se colocan las unidades de cada parámetro utilizado)

𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = =FG

V. A=

kg

hora

m

hora . m

=kg

m2 x 10000

m2

ha=

kg

ha

Siendo

FG = Flujo de granos corregido a un % de humedad determinado de acuerdo a la

humedad sensada y al valor de flujo de grano húmedo

V = velocidad de avance de la cosechadora

A = ancho de corte del cabezal de la cosechadora

Nótese que al final se ha incorporado el factor de conversión 10000 m2/ha para

pasar de kg/m2 a kg/ha.

277

En el monitor se pueden visualizar durante el momento de la cosecha el

rendimiento instantáneo y promedio, las hectáreas cosechadas, la velocidad de avance, la

humedad del grano, la distancia recorrida, los kg totales cosechados, la fecha y la hora.

La información de cosecha es guardada en la memoria interna y/o en una tarjeta de

memoria para luego exportar y analizar los datos obtenidos con programas específicos

en una computadora y volcar el conjunto de datos en una tabla y/o confeccionar el mapa

de rendimiento del lote. Se puede especificar la frecuencia de adquisición de datos, es

decir el intervalo de tiempo entre una toma de datos y la siguiente. Puede calcularse el

área que le corresponde a cada dato individual tomado en función de la velocidad, ancho

del cabezal y frecuencia de adquisición de datos. Adoptando una frecuencia de

3segundos, con una cosechadora de 5,6m de ancho de cabezal (8 hileras de maíz

sembradas a 0,7m) que avanza a 7km/hora (1,94m/s) el área resultará

A . V . T = 5,6m . 1,94m/s . 3s = 35,59m2

Por lo que cada valor registrado representará el rendimiento en una superficie de

casi 36m2. Con esta frecuencia se estarían registrando 277 valores de rendimiento por

hectárea, aumentando significativamente el caudal de información dentro de una parcela.

Figura 326: Monitores de rendimiento

Mapas de rendimiento

Con el análisis posterior de la información obtenida por el monitor de

rendimiento pueden identificarse los distintos ambientes dentro de un lote de acuerdo a

su capacidad productiva elaborando los “mapas de rendimiento”. Los mapas de

rendimiento son representaciones gráficas que con distintas tonalidades o intensidades

278

de color (claro a oscuro) representan diferentes rangos de rendimiento dentro de un lote

cosechado y son el resultado del análisis y procesamiento de los datos adquiridos por un

monitor de rendimiento georreferenciado (equipado con receptor GPS). Los datos

registrados por los monitores de rendimiento tienen un patrón de variación continuo, es

decir no se encuentran discriminados en rangos, por lo que un primer paso será

agruparlos en diferentes intervalos. A veces sencillamente se utilizan rangos

equidistantes (por ej: - de 1000kg; 1000-2000kg; 2000-3000kg; + de 3000kg). En otras

ocasiones se recurre al cálculo del rendimiento relativo, resultado de relacionar el

rendimiento parcial con la media del lote, así una zona de rendimiento relativo de 1,25

implica que dicho sector presenta un 25% más de rinde que la media (por ej: -0,5; 0,5 a

0,75; 0,75 a 1; 1 a 1,25; 1,25 a 1,5; + de 1,5). También suele recurrirse a herramientas

estadísticas como el cálculo del desvío estándar. Nótese que en el primer ejemplo

existen 4 rangos y en el segundo 6. Se aconseja que el número de rangos no sea excesivo

debido a que se dificulta la interpretación de los resultados. Los mapas de rendimiento

suelen constituir el punto de partida para iniciar un manejo diferencial del lote.

Figura 327: Mapa de rendimiento de trigo realizado mediante rangos de 400kg con

escala de colores. Obsérvese como eje de ordenadas la dirección West (oeste) y en

abscisas South (sur). Asimismo se puede ver a la izquierda información adicional

(Nombre del campo, hectáreas, fecha, área cosechada, cultivo = trigo, rendimiento

medio, mínimo y máximo)

279

Figura 328: Mapa de rendimiento de maíz. Obsérvese la amplia variabilidad en el

rendimiento, existiendo sectores de menos de 25 quintales por hectárea a sectores con

más de 75 (debido principalmente a la variabilidad del suelo y relieve)

Mapas de calidad (proteína y aceite)

Las partidas de granos al ser comercializadas suelen ser bonificadas o castigadas

de acuerdo al contenido proteico y de aceite de los granos. Debido a esto, se está

evaluando en la estación experimental del INTA Manfredi, un sensor que montado en la

cosechadora mide en tiempo real estos parámetros. Realizando muestreos previos del

lote a cosechar se pueden reconocer diferentes zonas con diversa calidad para

cosecharlas siguiendo trayectos que permitan una clasificación diferencial del grano para

posteriormente poder comercializarlo de manera más ventajosa. Luego de la cosecha

puede elaborarse un “mapa de calidad”.

Análisis, administración y almacenamiento de la información

Luego de obtenidos los mapas de rendimiento los datos se relacionan con mapas

de rendimiento de diferentes años y diferentes cultivos, así como con imágenes

satelitales, fotos aéreas y datos cartográficos y de relevamiento particular que se hayan

realizado en el establecimiento (planos de curvas de nivel, levantamientos planimétricos,

etc.). Estos datos son habitualmente manejados e interpretados con programas de

computación conocidos por la sigla inglesa “GIS” (Geografic Information System) o su

traducción española “SIG” (Sistemas de Información Geográfica). Un SIG es un

programa que consta de una base de datos específica ideada para almacenar, recuperar,

analizar, procesar y mostrar datos cartográficos georreferenciados. Estos programas

permiten administrar la información georreferenciada en distintas capas (layers) cada

una de las cuales representa información particular: por ej: Capa 1: plano de curvas de

nivel, Capa 2: mapa de rendimiento de soja campaña 2000-2001, Capa 3: imagen

280

satelital Landsat de diciembre de 2001, Capa 4: foto aérea de marzo de 2002, Capa 5:

Carta IGM 3563-28-3, Capa 6: Carta de suelos del INTA, Capa 7: mapa de rendimiento

de maíz campaña 2001-2002, etc. Todos los puntos en las capas se encuentran

georreferenciados, es decir que están identificados por su latitud y longitud. Estos

programas permiten relacionar las capas entre sí y de esta manera analizar las causas de

las diferencias de rendimiento en los lotes, (por ejemplo relacionar el mapa de

rendimiento con el mapa de suelos, o el de curvas de nivel) con el objetivo de definir

diferentes ambientes productivos. Asimismo, permiten comparar los rindes a lo largo del

tiempo para confirmar que los máximos rindes se dan siempre en el mismo lugar (por

ejemplo, lugares con problemas de salinidad siempre tendrán menores rendimientos) o

varían de acuerdo al año climático (por ejemplo en un año seco los mayores rindes

pueden darse en los lugares más bajos, mientras que en años sin limitantes de humedad

pueden aparecer en las lomas). Los SIG brindan asimismo la posibilidad de almacenar y

manejar información relevante de los lotes a lo largo del tiempo que previamente era

registrada manualmente en planillas de campo con la consiguiente posibilidad de

pérdida, desorden, deterioro, etc.

Figura 329: Capas de un Sistema de Información Geográfica

A continuación se desarrolla un ejemplo de una parcela administrada mediante

un SIG presentado por la empresa A&T (Servicios y Negocios Agropecuarios) en el 6to

Curso de Agricultura de Precisión (INTA Manfredi, 2006).

Curvas de nivel

Ríos

Vías de comunicación

Suelos

Geología

Parcelamiento

Datos puntuales

relevados

Imagen satelital

281

Imagen satelital Foto aérea Mapa de rendimiento

maíz 2002-2003

Mapa de ambientes Materia orgánica (%) Fósforo del suelo (ppm)

Figura 330: Distintas capas (layers) de un SIG de una parcela

Muestreo dirigido de suelos

En ciertas ocasiones la información adquirida por los mapas de rendimiento

sumada a la información recabada previamente no es suficiente para definir las zonas de

manejo o determinar las limitantes de cada ambiente por lo que se recurre al muestreo

dirigido de los ambientes, es decir se muestrea cada ambiente en particular y las

muestras son analizadas en forma separada, de manera de evidenciar diferencias en

nutrientes (N, P, K), materia orgánica, pH, salinidad, sodicidad, limitantes físicas, etc. Se

determinan previamente las coordenadas de cada lugar de muestreo y con la ayuda del

receptor GPS se localiza dicho lugar a campo tomándose las respectivas muestras. Con

esta metodología se reemplaza el muestreo aleatorio utilizado durante mucho tiempo.

Una vez analizadas las muestras y detectadas las causas que causan la variación en los

diferentes ambientes, se elaboran en base a conceptos agronómicos las prescripciones

(dosis de semilla y fertilizante) consideradas adecuadas para cada ambiente. Es aquí

282

donde numerosos estudiosos de la temática consideran que comienza efectivamente la

“agricultura de precisión”.

Figura 331: Muestreo dirigido de suelos de acuerdo a los ambientes preestablecidos

Tecnología de dosis variable

La variabilidad intraparcelaria ha existido siempre, solo que hasta el

advenimiento de la tecnología GPS se aceptaba sin posibilidad de conocerla y manejarla.

Uno de los grandes aportes del GPS a la agricultura ha sido la posibilidad de manejar

esta variabilidad. La agricultura de precisión (del vocablo inglés “Precission Farming”)

se define como el conjunto de desarrollos tecnológicos tendientes a posibilitar el manejo

optimizado del sistema agrícola de modo diferencial dentro de la parcela. Quiere decir

que las dosis uniformes de kilos de semilla y fertilizante que se empleaban en la

agricultura tradicional en una parcela pasan a ser variables a manejar de acuerdo a los

ambientes definidos previamente. Es por ello que a esta tecnología se la ha denominado

“Tecnología de dosis variable” (del inglés “Variable Rate Technology”, VRT). En

español también se utiliza la sigla MSE (Manejo de Sitio Específico) debido al manejo

diferencial que reciben los distintos ambientes.

Cuando con diferentes mapas de rendimiento se comprueba que la variabilidad

de un lote es lo suficientemente acotada (o los lugares que difieren sustancialmente del

rendimiento medio ocupan una superficie pequeña) podrá continuarse el tratamiento de

dichos lotes de manera uniforme e incluso podrán utilizarse dichas parcelas

(aprovechando su poca variabilidad) para realizar ensayos comparativos pudiendo

cotejar la respuesta a distintas densidades de siembra, dosis de fertilizantes, épocas de

siembra, variedades, etc., generando de esta forma ensayos locales de gran valor para el

establecimiento.

De acuerdo a las recomendaciones del INTA Manfredi tiene sentido aplicar la

tecnología de manejo de sitio específico cuando las diferencias de rendimiento son

importantes (por ejemplo cuando los sitios se diferencian en más del 20% de la media

del lote) y/o cuando los sitios (no más de 4 por lote) representan un área no menor a

10ha por lo que el lote a trabajar con VRT no es menor a 40ha. Lógicamente estos

valores son orientativos porque dependen del grado de variabilidad de los lotes, la

consistencia de la variabilidad, la posibilidad de manejarla y si el año es húmedo o seco.

Además hay que tener en cuenta que estos valores disminuirán con el tiempo por el

abaratamiento de la tecnología.

283

Figura 332: Mapa de aplicación diferencial de insumos (fosfato diamónico). Obsérvese

la recomendación de mayor aplicación de insumos en las zonas de más potencial

a)Siembra y fertilización de base variable

Para llevar adelante la recomendación diferencial en los distintos ambientes

escogidos debe contarse con una sembradora provista de un sistema de dosificación

variable de semilla y fertilizante. Este sistema está compuesto por una consola que

funciona como controlador, un receptor GPS, y un sistema hidráulico o mecánico de

dosificación variable. En la consola se carga mediante una tarjeta de memoria la

prescripción recomendada luego de analizar los distintos ambientes. En dicha

prescripción a cada punto del lote (representado por sus coordenadas geográficas) le

corresponderá una dosis de fertilizante y de semilla. En el momento de la siembra, la

consola recibirá la posición en que se encuentra por parte del receptor GPS y en función

de la prescripción de semilla y fertilizante para ese lugar, enviará una orden a los

sistemas de dosificación variable (ya sea en forma mecánica o hidráulica) haciéndolos

girar más rápido (para aumentar la dosis de semilla y/o fertilizante) o más despacio (para

disminuir la dosis).

Monitoreo de siembra

Además de permitir la dosificación variable de insumos muchas de las

sembradoras actuales permiten controlar numerosos aspectos relacionados con la

siembra a partir de los denominados “monitores de siembra”. Los monitores de siembra

constan de una consola que ubicada en el tractor recibe la señal de varios sensores

localizados en la sembradora y en el tractor pudiendo ser operados en forma manual o en

forma automática mediante GPS para realizar la aplicación en tasa variable según el

mapa de prescripción de semilla y fertilizante. Permiten visualizar en una pantalla

ubicada en el tractor (y almacenar en una tarjeta de memoria) la posición de la

284

sembradora (a partir de las coordenadas brindadas por el GPS), la velocidad de avance,

la densidad de siembra (semillas por metro, semillas por hectárea, distancia entre

semillas), el área sembrada (totalizador de área), el área restante por sembrar, la dosis de

fertilizante empleada, el consumo de combustible total o por lote, fecha y hora de inicio

y finalización de tareas, horas trabajadas totales y por lote entre otros. Asimismo, cada

línea de siembra es controlada por un sensor que a partir de una señal lumínica y/o

sonora en la pantalla del monitor avisará de la falta de semilla y/o fertilizante, la

obstrucción del tubo de bajada de semilla, la desconexión o suciedad en la óptica de

alguno de los sensores. Esta serie de controles facilita la detección de fallas evitando

revisiones periódicas manuales en los trenes de siembra. Existen sensores lumínicos y

sonoros que alertan por velocidad de siembra inadecuada (exceso o defecto de

velocidad), aviso de recarga de tolva, avisos de mantenimiento periódico del tractor

como cambios de aceite, filtros, correas, etc. Algunas máquinas poseen el control de

cilindros que reemplaza el accionamiento manual del marcador de línea y la

subida/bajada de la sembradora en las cabeceras liberando al tractorista de estas acciones

para concentrarse en las operaciones de giro. Algunos monitores de siembra poseen

integrado el sistema de banderillero satelital y sus prestaciones.

Figura 333: Monitores de siembra

Figura 334: Mapa de aplicación de fertilizante a la siembra

285

b)Fertilización variable usando NDVI

El Índice de Vegetación Normalizado Diferencial ó índice verde (NDVI del

inglés Normal Differential Vegetation Index) es probablemente uno de los índices más

utilizados en aplicaciones de teledetección. El mismo representa una medida de la

cobertura vegetal y su vigorosidad. La vegetación densa y sana presenta valores altos,

mientras que zonas de vegetación pobre y dispersa, o sin vegetación, poseen valores

bajos. Superficies como el agua, hielo o nieve también tienen valores bajos.

La vegetación difiere de otras coberturas del terreno por absorber fuertemente

longitudes de onda correspondientes a la región del rojo y reflejar las del infrarrojo

cercano. El NDVI es una medida de la diferencia normalizada entre las reflectancias del

rojo y del infrarrojo cercano:

𝑁𝐷𝑉𝐼 =𝑖𝑟𝑐 − 𝑟

𝑖𝑟𝑐 + 𝑟

siendo irc el valor de reflectancia en el infrarrojo cercano y r el valor de reflectancia en

el rojo. El rango de valores del NDVI oscila entre –1 y +1.

El NDVI es utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, tales como el

seguimiento de las condiciones de la vegetación para proporcionar alertas rápidas de

sequías y deficiencias nutricionales, localizar zonas de potencial desarrollo de plagas y/o

enfermedades. En el ámbito forestal es utilizado en el seguimiento de plagas y

enfermedades, deforestación, desarrollo forestal, etc.

Utilizando imágenes satelitales o fotografías aéreas pueden determinarse zonas

con diferentes necesidades de fertilizantes (analizando y evaluando los diferentes NDVI

presentes) y a partir de las mismas elaborar mapas de prescripción de fertilización para

realizar la aplicación diferencial de nutrientes en función de las reales necesidades del

cultivo en cada lugar del lote utilizando fertilizadoras adaptadas a sistemas de manejo de

sitio específico. En la actualidad se está evaluando la utilización de sensores que

montados en la parte delantera de los tractores o pulverizadoras efectúan mediciones de

índice verde sobre los cultivos implantados y a partir de los datos recolectados realizan

la prescripción diferencial de aplicación de fertilizantes nitrogenados en tiempo real (en

un rango de dosis mínimo-máximo fijado previamente).

Figura 335: Imagen NDVI de la parcela

286

El círculo de la agricultura de precisión

El conjunto de la tecnología denominada “agricultura de precisión” puede ser

considerado como un círculo en el que se emplean datos georeferenciados (cada dato

está vinculado a una posición de latitud y longitud). Como en cualquier círculo es difícil

definir un inicio y un fin ya que todo es un continuo. Quizás se pueda iniciar el ciclo en

el estudio de la variabilidad espacial del suelo a partir de mapas de rendimiento,

imágenes satelitales, fotos aéreas, mapas de índice verde (NDVI). Diferenciados los

sitios pueden realizarse estudios edáficos que expliquen las diferencias halladas. Luego

de analizar los resultados se puede llegar a una recomendación de siembra y fertilización

variable. Los resultados de la tecnología recomendada podrán ser evaluados con los

nuevos mapas de rendimiento que servirán de insumo para recomenzar el ciclo. Las

diversas etapas del ciclo han sido representadas en la Figura 336.

Figura 336: Ciclo de la agricultura de precisión

El punto crítico del sistema es evidentemente realizar la recomendación adecuada

para permitir la maximización de la relación beneficio-costo. Con la tecnología actual es

posible obtener y almacenar datos con facilidad así como aplicar dosis variable de

insumos pero el interpretar resultados sigue siendo una actividad netamente cualitativa,

sin automatismos. Es decir, no existe computadora ni programa que realice una

prescripción de semilla y fertilizante a partir de imágenes satelitales, mapas de

rendimiento y análisis de suelos. Además, en una agricultura de secano como lo es la

predominante en la pradera pampeana, donde la provisión de agua de lluvia a los

cultivos representa en numerosas ocasiones el insumo limitante, difícilmente pueda

asegurarse el efecto de la densidad de siembra y dosis de fertilizante que maximize el

beneficio. Es por ello que en esta actividad los profesionales del agro deberán recurrir a

Recomendaciones

sitio-específicas

Muestreo de suelo y

cultivo con GPS Cosecha con monitor

de rendimiento y GPS

Mapa de rendimiento

Análisis de datos con

GIS y soft estadísticos

Control de plagas y enfermedades con dosis

variable

Fertilización con

dosis variable

Evaluación a campo

Aplicación de datos

Siembra y fertilización

variable sitio-específica

287

relacionar conocimientos aprendidos en materias de diversa índole. Evidentemente, el

trabajo de recomendación sitio-específica debería ser abordado interdisciplinariamente

por distintos especialistas como genetistas, edafólogos, climatólogos, estadísticos y aún

topógrafos (la determinación de los relieves es fundamental en la acumulación de agua

en distintos sectores de un campo).

Otras aplicaciones

a)Control de velocidad de cosecha y siembra

La eficiencia de las labores de cosecha y siembra es influenciada en gran medida

por la velocidad de avance con que se realicen dichas operaciones. En la cosecha las

pérdidas se incrementan considerablemente si se superan determinados límites. En la

siembra, la precisión conseguida (uniformidad en la distancia entre semillas y la

profundidad de siembra) también varían negativamente si se incrementan las

velocidades por encima de las recomendables. Si los equipos de cosecha y siembra están

provistos con la tecnología GPS pueden registrar (además de los mapas de rendimiento y

siembra), los datos de velocidad de avance del móvil (cosechadora, tractor-sembradora)

a lo largo del lote durante el período de trabajo. De esta manera se puede supervisar que

la labor del operario o contratista se haya efectuado dentro de los límites aceptables. En

caso de detectar una velocidad superior a la recomendable en algún sector del lote se

podría ir a dicho lugar (a partir de las coordenadas geográficas) y verificar si las

irregularidades de velocidad se han traducido en mayores pérdidas de granos o mayor

desuniformidad en la siembra.

b)Registro y seguimiento de las tareas desarrolladas

La maquinaria provista de la tecnología GPS, es susceptible de recibir un

seguimiento continuo de su empleo. Así, puede contabilizarse las horas de uso que

recibe (importante para determinar los eventos de mantenimiento periódico y determinar

las horas de trabajo de los operarios), los kilómetros recorridos, la superficie trabajada,

el tiempo demandado en cada labor para cada lote y muchos otros datos estadísticos que

puedan resultar de relevancia a la hora de administrar el uso de la maquinaria.

c)Monitoreo del grano cosechado

Los monitores de rendimiento permiten determinar los kg totales cosechados, con

lo cual puede tenerse una idea bastante aproximada de la masa total de grano a

comercializar para minimizar la posibilidad de discrepancias en la pesada y en el

transporte del grano (por parte del transportista, acopiador o balanza).

288

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Proyecto Agricultura de Precisión. INTA Manfredi. Desde Figura 244

hasta Figura 249 así como la Figura 326, Figura 327 y Figura 328 han sido

tomadas de este documento www.agriculturadeprecision.org

Tellería, G.; Espina, F.; Artigue, M.; Cavanagh, M. (2006). Agricultura

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Negocios Agropecuarios. 6to Curso de Agricultura de Precisión y 1ra Expo de

Máquinas Precisas. Manfredi, Córdoba, 2006. La Figura 330, Figura 331, Figura

332, Figura 334 y Figura 335 han sido tomadas de esta disertación.

Volante, J.N., Bianchi, A.R. (2003) Índice de vegetación normalizado

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