Upload
stoyan-bordjukov
View
272
Download
11
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Â
Citation preview
11 25
5 5⋅ −
31. でöÜúÖÜïööí Öí ó£ëí£í ñ ëíçÖí Öí:
23
5−
125
5
229
5ん) ゐ) 21 ゑ) ゎ)
1
32. ぜ ë¡íöí Öí ÑíÑñÖ éÇé¿ ñ Üö ½ ë¡íöí Öí ÖñÇÜçó ïéïñÑñÖ éÇé¿. ぜ ë¡íöí Öí ÑíÑñÖó
éÇé¿ ñ: ん) ゐ) ゑ) ゎ)
045 060 075 090
3. 50 % Üö 30 ïí ëíçÖó Öí: ん) 5 ゐ) 15 ゑ) 20 ゎ) 50
B
C
M N
ん
4. ゑéëêÜ ßñÑëíöí んで ó ゑで Öí ëíçÖÜßñÑëñÖó
öëóéÇé¿Öó¡ んゑで ïí ç£ñöó ïéÜöçñöÖÜ öÜô¡ó ぜ ó N öí¡í,
ôñ CM . とÜñ ñ çóÖíÇó ç ëÖÜ? CN<
ん) ゐ) AM CM= AM BN=
ゑ) AM B> N ゎ) AM BN<
5. ん¡Ü ½ñë¡óöñ Öí éÇ¿óöñ Öí ñÑóÖ öëóéÇé¿Öó¡ ïñ ÜöÖíï ö ¡í¡öÜ 3: , öÜ ñ ç ëÖÜ, ôñ: 7 :8
ん) öëóéÇé¿Öó¡éö ñ ÜïöëÜéÇé¿ñÖ
ゐ) öëóéÇé¿Öó¡éö ñ äëíçÜéÇé¿ñÖ
ゑ) öëóéÇé¿Öó¡éö ñ öéäÜéÇé¿ñÖ
ゎ) Öñ ½Ü¢ñ Ñí ïñ ÜäëñÑñ¿ó çóÑéö Öí öëóéÇé¿Öó¡í ïäÜëñÑ éÇ¿óöñ
6. がçñ Üö ïöëíÖóöñ Öí ëíçÖÜßñÑëñÖ öëóéÇé¿Öó¡ ïí 15 ï½ ó 34 ï½. ぞí½ñëñöñ Üßó¡Ü¿¡íöí Öí öëóéÇé¿Öó¡í ç ïíÖöó½ñöëó.
ん) 64 ゐ) 78 ゑ) 83 ゎ) 91
0,2ê = −27. でöÜúÖÜïööí Öí ó£ëí£í 5ê ê− äëó ñ ëíçÖí Öí:
ん) 0,4 ゐ) 2,2 ゑ) 0 ゎ) 1,8
M AB8. どÜô¡óöñ
1
ó ëí£Ññ¿ ö ïöëíÖíöí N ABCΔ Öí Öí öëó ëíçÖó ôíïöó. ん¡Ü ¿óîñöÜ Öí ABCΔ MNCΔ ñ 12 ¡ç. ï½, öÜ ¿óîñöÜ Öí ç ¡çíÑëíöÖó ïíÖöó½ñöëó ñ ëíçÖÜ Öí:
ん) 4 ゐ) 3 ゑ) 6 ゎ) 8
M
C
B A N
9. でöÜúÖÜïööí Öí ¡ÜñâóîóñÖöí äëñÑ x ç ÖÜë½í¿Öó çóÑ Öí ½ÖÜÇÜô¿ñÖí ñ ëíçÖí Öí: 2 ( 3) (2 1)( 2)x x x x− − − +
ん) 2 ゐ) ゑ) 9 ゎ) 3− 9−
10. がíÑñÖ ñ . ん¡Ü çéÖüÖóöñ éÇ¿ó ABCΔ
1300
1050
C
B A
äëó çéëêÜçñöñ ん ó で ïí ïéÜöçñöÖÜ 130 ó 105 0 , öÜ 0
ABC∠ ñ ëíçñÖ Öí:
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 025 055 065 075
11. とÜ¿¡Ü ¡çíÑëíöÖó ïíÖöó½ñöëí ñ ¿óîñöÜ Öí
ôñöóëóéÇé¿Öó¡í Üö ôñëöñ¢í, í¡Ü Ñé¿¢óÖíöí Öí
ïöëíÖíöí Öí ñÑóÖóôÖÜöÜ ¡çíÑëíöôñ Üö ½ëñ¢íöí ñ ëíçÖí Öí
3 ï½?
A B
CD
ABCD
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
.
12. ぢëÜó£çñÑñÖóñöÜ ñ ëíçÖÜ Öí: 25 .252
b
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 125 65 220 85
13. ん¡Ü a ó , öÜ ½ ë¡íöí Öí c dE
2
⊥ α ñ:
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 030 045 060 075
α
3α
a
b
c
d
A B
C
L
540
BL14. ん¡Ü L AC∈ ABCΔ ( ) ñ éÇ¿ÜäÜ¿Üç àí ç ,
BL B= C ó , öÜ ñ ëíçñÖ
Öí: 054BAC∠ = ACB∠
ん) 36 ゐ) 64 ゑ) 68 ゎ) 0 0 0 078
15. ぞí äéëçíöí âóÇÜëí Ñóí½ñöéëéö Öí ¡ëéÇí ñ ëíçñÖ Öí 4 ï½, ¡Ü¿¡ÜöÜ ñ ó Ñé¿¢óÖíöí Öí ïöëíÖíöí Öí ¡çíÑëíöí.
ぱóÇ. 1 ぱóÇ. 2
ぞí çöÜëíöí âóÇÜëí Ñé¿¢óÖíöí Öí ïöëíÖíöí Öí ¡çíÑëíöí ñ ïéàÜ 4 ï½, í ¡ëéÇÜçñöñ ïí ôñöóëó ó
çïñ¡ó Üö ö ê ñ ï Ñóí½ñöéë 2 ï½. ん¡Ü ó ïí ¿óîíöí Öí £íàëóêÜçíÖóöñ ôíïöó ïéÜöçñöÖÜ
Öí ぱóÇ. 1 ó Öí ぱóÇ. 2, öÜ ñ ç ëÖÜ, ôñ: 1S 2S
3
2S 2 2 1 2
2
3S S=ん) ゐ) ゑ) 1S < 1S S> 1S S= ゎ)
16. がíÑñÖí ñ ôñöóëóéÇé¿Öí äóëí½óÑí. ん¡Ü ñ ßëÜ ö Öí çéëêÜçñöñ, fv ñ ßëÜ ö Öí Ü¡Ü¿Öóöñ
ïöñÖó, í ñ ßëÜ ö Öí ëéßÜçñöñ Öí äóëí½óÑíöí, öÜ ïöÜúÖÜïööí Öí ó£ëí£í ñ ëíçÖí
Öí: v f e+ −e
ん) 0 ゐ) 1 ゑ) 2 ゎ) 4
A B
C D
M
17. ゑéç çéöëñüÖÜïööí Öí ¡çíÑëíö ABCD
M e ç£ñöí öÜô¡íöí öí¡í, ôñ . がí ïñ
Öí½ñëó ½ ë¡íöí Öí : : 1:MAD MBA MCD∠ ∠ ∠ = 2 : 5
BMC∠ .
ん) 52 ゐ) 60 ゑ) 74 ゎ) 105 030 ' 30 '0 0 0
18. ぞíú-½í¿¡íöí ïöÜúÖÜïö Öí ó£ëí£í 3 9ê 2+ − ïñ äÜ¿Üôíçí äëó:
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 2x = 0x = 2x = − 3x = −
( ) ( )( )3 22 1 1 3 2x a x x x ax+ − + − + +19. ぞÜë½í¿Öó ö çóÑ Öí ½ÖÜÇÜô¿ñÖí ñ Üö çöÜëí ïöñäñÖ äÜ
ÜöÖÜüñÖóñ Öí x , í¡Ü äíëí½ñöéëéö ñ ëíçñÖ Öí: a
ん) ゐ) 3 ゑ) 1 ゎ) 0 2−
2007 2008 20092 2 2ん = + +20. とÜñ ñ Öíú-ÇÜ¿ ½ÜöÜ äëÜïöÜ ôóï¿Ü, Öí ¡ÜñöÜ ïñ Ññ¿ó ôóï¿ÜöÜ ?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
21. ずñ¿ öí Öí ぜíëöóÖ £íßñ¿ £í¿í, ôñ ¡íöÜ ëí£½ñÖó îóâëóöñ Öí ÇÜÑóÖóöñ ïó, ïñ äÜ¿Üôíçíö ÇÜÑóÖóöñ Öí ぜíëöóÖ. とÜñ Üö äÜïÜôñÖóöñ ôóï¿í ½Ü¢ñ Ñí ñ ëíçÖÜ Öí ëí£¿ó¡íöí Üö ¡çíÑëíöóöñ
Öí ÇÜÑóÖóöñ Öí Ñçí½íöí?
ん) 10 ゐ) 1103 ゑ) 1485 ゎ) 2037
1 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 1
3 4 5 6 19 20
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛− + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
22. でöÜúÖÜïööí Öí äëÜó£çñÑñÖóñöÜ ñ ëíçÖí
Öí: 20
21ん) 1 ゐ) ゑ) 0,7 ゎ) 0,15
ん ゑ
で
ぜ
D =
=
240
240
23. どëóéÇé¿Öó¡éö んゑで Üö
ôñëöñ¢í ñ ëíçÖÜïöëíÖñÖ.
ん¡Ü
ó , Ñí ïñ Öí½ñëó
½ ë¡íöí Öí
024んでぜ BCD∠ =∠ =
CD CM=
MDB∠ ç
ÇëíÑÜïó.
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
24. ぢÜï¿ñÑÖíöí îóâëí Öí ïöÜúÖÜïööí Öí ó£ëí£í ñ: 10 1023 35+
ん) 1 ゐ) 2 ゑ) 3 ゎ) 4
25. ぞí ôñëöñ¢í ïó½ñöëí¿óöñ Öí ïöëíÖóöñ んで ó ゑで Öí
öëóéÇé¿Öó¡í んゑで ïñ äëñïóôíö ç öÜô¡í だ. ん¡Ü
, öÜ ñ ëíçñÖ Öí:
200
だ
ゑ ん
で
020ゑんだ∠ = んでゑ∠
ん) 70 ゐ) 140 0 0
ゑ) ゎ) 040 060
4
26. ん¡Ü 14
, öÜ ïöÜúÖÜïööí Öí ó£ëí£í 227
3
í b−= b21 33a − ñ ëíçÖí Öí:
ん) 10 ゐ) 14 ゑ) 21 ゎ) 31,5 ,5
( )1a x x27. ぢëó ¡Ü ïöÜúÖÜïö Öí äíëí½ñöéëí í ÜëíçÖñÖóñöÜ 1+ = − Ö ½í ëñüñÖóñ?
ん) Ö ½í öí¡íçí ïöÜúÖÜïö ゐ) ゑ) 0a = 1a = − ゎ)
1a =
0( 9ACB∠ =28. ゑ äëíçÜéÇé¿ñÖ ABCΔ 0 )
B B
: 7
ï ( ) ó ( ) ïí Ü£ÖíôñÖó
ïéÜöçñöÖÜ çóïÜôóÖíöí ó éÇ¿ÜäÜ¿Üç àíöí
Üö çéëêí . がí ïñ Öí½ñëó ½ ë¡íöí Öí
, í¡Ü .
C
Lぞ BA
H A∈ L A∈CH CL
C
HCL∠ : 2ABC BAC∠ ∠ =
ん) 15 ゐ) ゑ) ゎ) 10 0 025 020 0
29. でßÜëéö Üö ¡ÜëñÖóöñ Öí ÜëíçÖñÖóñöÜ 6 5 7 2ê − − = − ñ ëíçñÖ Öí:
5
3
11
7ん) ゐ) 11 ゑ) 0 ゎ)
30. げí 30 ïñ¡ÜÖÑó ñÑóÖ ôÜçñ¡ ïñ ïäÜï¡í ï ñï¡í¿íöÜë, ¡íöÜ ñÑÖÜçëñ½ñÖÖÜ ï¿ó£í äÜ ïöéäí¿íöí
Öí Ñçó¢ñàó ïñ ñï¡í¿íöÜë ï äÜïöÜ ÖÖí ï¡ÜëÜïö. ん¡Ü ôÜçñ¡éö Üçñ¿óôó ï¡ÜëÜïööí ïó öëó
äéöó, öÜú àñ ïñ ïäÜïÖñ £í 20 ïñ¡ÜÖÑó. げí ¡Ü¿¡Ü ïñ¡ÜÖÑó àñ ïñ ïäÜïÖñ ôÜçñ¡éö ï ñï¡í¿íöÜëí,
í¡Ü ïöÜó ÖñäÜÑçó¢ÖÜ çéëêÜ ÖñÇÜ?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
31. でöëÜóöñ¿Öí âóë½í ½Ü¢ñ Ñí äÜïöëÜó ñÑÖí ¢ó¿óàÖí ïÇëíÑí £í 25 ïñѽóîó, í ÑëÜÇí âóë½í ½Ü¢ñ Ñí ïçéëüó ïéàíöí ëíßÜöí £í 20 ïñѽóîó. げí ¡Ü¿¡Ü ïñѽóîó Ñçñöñ âóë½ó
£íñÑÖÜ ½ÜÇíö Ñí äÜïöëÜ ö 45% Üö ¢ó¿óàÖíöí ïÇëíÑí?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
32. がíÑñÖ ñ öëóéÇé¿Öó¡ ABC ï éÇ¿ó
ó . どÜô¡íöí
150
C
B A
M
150
045BAC∠ = 030ABC∠ = M
ñ Üö çéöëñüÖÜïööí Öí öëóéÇé¿Öó¡í öí¡í,
ôñ . がí ïñ Öí½ñëó
½ ë¡íöí Öí
015MAB MBA∠ = ∠ =
BMC∠ ç ÇëíÑÜïó.
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
0m
n<33. ん¡Ü , k ó , öÜ çóÖíÇó ñ ç ëÖÜ, ôñ: 0n >0<
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 0m > m n> mn km< m k n< <
2 1 3 7 33 2
x x− +< −34. づñüñÖó öí Öí ÖñëíçñÖïöçÜöÜ ïí:
( )14 ;5
x∈ − +∞( )14;5
x∈ −∞ −
5
ん) ゐ) ( ; 1x∈ −∞ − ) ゑ) ゎ) x∈ − ( )1;+∞
3 13 4
12 3
2
x
x
+ ≥
− > −35. でßÜëéö Üö îñ¿óöñ ôóï¿í, ¡ÜóöÜ ïí ëñüñÖó Öí ïóïöñ½íöí , ñ ëíçñÖ Öí:
ん) 2 ゐ) 9 ゑ) 11 ゎ) 13
36. ぞí ôñëöñ¢í でぞ ( ) ñ
çóïÜôóÖí ç äëíçÜéÇé¿Öó
. ゑéëêÜ äëíçíöí
ñ ç£ñöí öÜô¡í
H AB∈
.
B ん
で
ぞ ぜ
ABCΔ
( )090で∠ = AB
M B öí¡í, ôñ ñ
½ñ¢ÑÜ öÜô¡óöñ A ó M . ん¡Ü
, でB ñ
éÇ¿ÜäÜ¿Üç àí Öí ó ï½, Ñí ïñ Öí½ñëó Ñé¿¢óÖíöí Öí Üöïñô¡íöí んぞ ç
ïíÖöó½ñöëó.
060ぞでぜ∠ =
12ゑぜ =ぞでぜ∠
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
37. づñüñÖó öí Öí ÖñëíçñÖïöçÜöÜ 3 2 5x− ≥ ïí:
( ] [ ); 1 4;x∈ −∞ − ∪ +∞ ( ] ( ); 1 5;x∈ −∞ − ∪ +∞ [ )4;x∈ +∞ ( ]; 1x∈ −∞ −ん) ゐ) ゑ) ゎ)
38. ゑéëêÜ ïöëíÖíöí BC ABC Öí öëóéÇé¿Öó¡ ñ ç£ñöí
öÜô¡íöí
A B
C
M 1
3CM CB=M öí¡í, ôñ . がí ïñ Öí½ñëó
, í¡Ü ó . 060AMC∠ = 0120BAC∠ =ABC∠
ん) ゐ) ゑ) ゎ) 010 012 015 018
39. げí ¡Ü Öíú-ÇÜ¿ ½í ïöÜúÖÜïö Öí äíëí½ñöéëí ¡ÜëñÖéö Öí ÜëíçÖñÖóñöÜ a
5 4
2 3
x xa
+ −+ = +
1
2 ぞぎ ñ äÜ-ÇÜ¿ ½ Üö ? 2−
1
2−ん) 2 ゐ) 0 ゑ) ゎ) 1−
6
だ
ぜ
H
づ
ん
B
i
.
L
i
40. ぞí ôñëöñ¢í ¿éôéö ñ éÇ¿ÜäÜ¿Üç àí Öí OL→ んだゑ∠ ó
( H O ). げí öÜô¡óöñ ぜ ó づ Üö ëí½ñÖñöñ Öí
éÇé¿í ñ ó£äé¿ÖñÖÜ, ôñ . ん¡Ü
LH OB⊥ B∈
AML LPO∠ = ∠ 6だぜ = ï½
ó だづ ѽ, Ñí ïñ Öí½ñëó Ñé¿¢óÖíöí Öí Üöïñô¡íöí ぞづ ç
ïíÖöó½ñöëó.
1=
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
41. ぎÑóÖ Üö öëó½íöí ßëíö ん¿ñ¡Ü, ゐÜëó¿ ó ゑñ¿óÖ Üßó¿ ¿í½ öí. ぞí çéäëÜïí Öí ßíàí ó½ ¡Üú
ñ ïöÜëó¿ öÜçí, öñ ÜöÇÜçÜëó¿ó:
ん¿ñ¡Ü: „ゑñ¿óÖ Üßó ¿í½ öí.”
ゐÜëó¿: „ん¿ñ¡Ü Üßó ¿í½ öí.”
ゑñ¿óÖ: „ん£ Üßóê ¿í½ öí.”
とÜú ç Ññúïöçóöñ¿ÖÜïö ñ Üßó¿ ¿í½ öí, í¡Ü ñÑóÖ Üö öëó½íöí ßëíö ¡í£í¿ óïöóÖíöí, í ÑëÜÇóöñ Ñçí½í ßëíö ó£¿éÇí¿ó?
ん) ん¿ñ¡Ü ゐ) ゐÜëó¿ ゑ) ゑñ¿óÖ ゎ) Öñ ñ ç飽ܢÖÜ Ñí ïñ ÜäëñÑñ¿ó
42. ん¡Ü ïßÜëéö Öí öëóÖíúïñö ëí£¿óôÖó ñïöñïöçñÖó ôóï¿í ñ ëíçñÖ Öí 92, öÜ ïßÜëéö Öí Öíú-
½í¿¡ÜöÜ ó Öí Öíú-ÇÜ¿ ½ÜöÜ Üö ö ê ñ ëíçñÖ Öí:
ん) 15 ゐ) 18 ゑ) 21 ゎ) 26
43. ぢëñ£ ½ñïñî ÖÜíëó ç ñÑÖí ÇÜÑóÖí ó½í¿Ü öÜôÖÜ ôñöóëó çöÜëÖó¡í ó öÜôÖÜ ôñöóëó ïéßÜöó.
とí¡éç ÑñÖ Üö ïñѽóîíöí ñ ßó¿ 1 ÖÜíëó?
ん) äÜÖñÑñ¿Öó¡ ゐ) çöÜëÖó¡ ゑ) ïë Ñí ゎ) ôñöçéëöé¡
44. ぢëó ï½ñïçíÖñ Öí 16 % ïäóëöñÖ ëí£öçÜë ï 64 % ïäóëöñÖ ëí£öçÜë ïí äÜ¿ÜôñÖó 30 ¿óöëí 32 %
ïäóëöñÖ ëí£öçÜë. とÜ¿¡Ü ¿óöëí 64 % ëí£öçÜë ïí ó£äÜ¿£çíÖó?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
ん ゑ
でぜD
45. ゑéëêÜ ÑóíÇÜÖí¿í ï½ Öí ÜïäÜëñÑÖó¡í
ñ ç£ñöí öÜô¡í
12AC =
7
ABCD M öí¡í, ôñ . がí ïñ
Öí½ñëó Ñé¿¢óÖíöí Öí ÑëÜÇó ÑóíÇÜÖí¿ ç ïíÖöó½ñöëó,
í¡Ü ï½.
090Dぜゑ∠ =
2CM =
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
M
で
ゑ ん
D N
O
8
46. がíÑñÖ ñ äëíçÜéÇé¿Öó¡ ABCD , ç ¡ÜúöÜ .
ぢëíçí äëñ£ äëñïñôÖíöí öÜô¡í Öí ÑóíÇÜÖí¿óöñ ñ
äñëäñÖÑó¡Ü¿ ëÖí Öí
030BDC∠ =
O
BD ó äëñïóôí ïöëíÖóöñ ó
ïéÜöçñöÖÜ ç öÜô¡ó
AB CD
M ó . がí ïñ Öí½ñëó äñëó½ñöéëéö
Öí
N
MBNΔ ç ïíÖöó½ñöëó, í¡Ü ï½. 3OM =
ん) 12 ゐ) 18 ゑ) 19 ゎ) 21
47. ぞí ¡ÜÖ¡Üëï äÜ ½íöñ½íöó¡í ñ ÑíÑñÖ öñïö Üö 30 £íÑíôó, ¡íöÜ £í äëíçó¿ñÖ ÜöÇÜçÜë Öí çï ¡í
£íÑíôí ïñ äëóïé¢Ñíö 4 öÜô¡ó, £í ÇëñüñÖ ÜöÇÜçÜë ïñ ÜöÖñ½í 1 öÜô¡í, í £í £íÑíôí ßñ£ äÜïÜôñÖ
ÜöÇÜçÜë ïñ äëóïé¢Ñíö 0 öÜô¡ó. ぢëó ¡í¡éç Öíú-½í¿é¡ ßëÜú ÜôíïöÖóîó ç ¡ÜÖ¡Üëïí äÜÖñ Ñçí½í Üö ö ê àñ ßéÑíö ÜîñÖñÖó ï ëíçñÖ ßëÜú öÜô¡ó?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
で D
Q
300
P ゑ ん
48. ゑ ëÜ½ß んゑでD ï ¿óîñ 32 ï½2 ïí
äÜïöëÜñÖó çóïÜôóÖóöñ DP ó DQ Üö çéëêí ,
ïéÜöçñöÖÜ ¡é½ ó
D
AB BC . がí ïñ Öí½ñëó
ëí£ïöÜ ÖóñöÜ ç ïíÖöó½ñöëó Üö öÜô¡íöí づ ÑÜ
äëíçíöí DQ, í¡Ü .
030んゑで∠ =
ん) 1,5 ゐ) 2 ゑ) 2,5 ゎ) 3
49. がíÑñÖ ñ ôñöóëóéÇé¿Öó¡ ABCD 9AB = ïéï ïöëíÖó ï½ ó ï½. ぞí ¡Ü¿¡Ü
ïíÖöó½ñöëí ñ ëíçñÖ äñëó½ñöéëéö Öí ôñöóëóéÇé¿Öó¡í, í¡Ü
7BC =
ABC ADC∠ = ∠ ó äëñïñôÖíöí
öÜô¡í Öí ÑóíÇÜÖí¿óöñ ½Ü ëí£äÜ¿Üç çí ÑóíÇÜÖí¿í AC ?
(だöÇÜçÜëí £íäóüñöñ ç ¿óïöí £í ÜöÇÜçÜëó.)
50. ぞí ôñëÖíöí Ñéï¡í ïí ÖíäóïíÖó ôóï¿íöí 16, 4, 9, 6, 8, 12, 11, 1 ó 3. ぞíú-ÖíäëñÑ ゎñÜëÇó
ó£öëóçí ñÑÖÜ Üö ôóï¿íöí, ï¿ñÑ öÜçí でó½ñÜÖ ó£öëóçí çöÜëÜ ôóï¿Ü, Öí ïçÜú ëñÑ ゎñÜëÇó
ó£öëóçí öëñöÜ ôóï¿Ü, äÜï¿ñ ÜöÖÜçÜ でó½ñÜÖ ó£öëóçí ñÑÖÜ ôóï¿Ü ó öí¡í Öíöíöé¡, ÑÜ¡íöÜ Öí Ñéï¡íöí ÜïöíÖñ ïí½Ü ñÑÖÜ ôóï¿Ü. とÜñ ñ öÜçí ôóï¿Ü, í¡Ü ïßÜëéö Öí ó£öëóöóöñ Üö ゎñÜëÇó
ôóï¿í ñ 3 äéöó äÜ-ÇÜ¿ ½ Üö ïßÜëí Öí ó£öëóöóöñ Üö でó½ñÜÖ ôóï¿í?
ん) 3 ゐ) 6 ゑ) 9 ゎ) 12
!"#!$ #% &'$(&'$!)' – 26 *+, 2008 -.
).*/ 0 123+,42 54-5153,
!"#$%& ' !($() %*+%,%$ -%./0
1. ! 1
2. " 1
3. # 1
4. $ 1
5. " 1
6. $ 1
7. " 1
8. " 1
9. ! 1
10. # 1
11. 12 162 1
12. " 1
13. # 1
14. ! 1
15. $ 1
16. # 2
17. " 2
18. ! 2
19. $ 2
20. 12 7 2
21. $ 2
22. $ 2
23. 12 !
36 2
24. ! 2
25. " 2
26. ! 2
27. ! 2
28. # 2
29. " 2
30. 12 40 2
31. 12 5 2
32. 12 !
135 2
33. $ 2
34. ! 2
35. # 2
36. 12 18 3
37. " 3
38. $ 3
39. $ 3
40. 12 2 3
41. " 3
42. " 3
43. $ 3
44. 12 10 3
45. 12 8 3
46. # 3
47. 12 146 3
48. # 3
49. 12 32 3
50. # 3
��������, ������ ���� � ��������
1. � 11. 162 21. � 31. 5 41. �
2. � 12. � 22. � 32. 1350 42. �
3. � 13. � 23. 360
33. � 43. �
4. � 14. � 24. � 34. � 44. 10
5. � 15. � 25. � 35. � 45. 8
6. � 16. � 26. �
36. 18 46. �
7. � 17. � 27. � 37. �
47. 146
8. � 18. � 28. � 38. � 48. �
9. � 19. � 29. � 39. � 49. 32
10. � 20. 7 30. 40 40. 2 50. �
������ 6.
� ���� ���� � �� �� � �� �������� ������������� �� �����������, �.�.������ ������,
� ������ �� �� �� �������� � ����������� � ��-����� �� ������� ������. ����� �����,
� �������� �� ����������� � 15 ��.
������ 14.
��� ABL x∠ = , �� 0
54ACB BLC BAC ABL x∠ = ∠ = ∠ + ∠ = + . ������, ���� ����������,
� ������ �� ������ � ABC∆ � 0180 , ��������� 0 0 0
54 2 54 180x x+ + + = . ����� 0
24x =
� ����������� 0 0 0
54 24 78ACB∠ = + = .
������ 17.
��� MAD α∠ = , �� 2MBA α∠ = � 5MCD α∠ = . ������ 090BAM BMA α∠ = ∠ = − �
����������� BAM∆ � ���������� ( AB MB= ). ����� ����������, � BMC∆ � ����
���������� ( MB BC= ). ������ 0 0
0180 (90 2 )45
2BMC BCM
αα
− −∠ = ∠ = = + � ����:
0 0 090 45 5 7,5BCD BCM MCD α α α∠ = = ∠ + ∠ = + + � = .
����������� 0 0 0 0
45 7,5 52,5 52 30 'BMC∠ = + = = .
������ 18.
����������� ��� ���� � ��-������ ��� ����� �� ����, ������� �����, � �� -�������
��� ���� �� ������ �� ������� � �����, ������ ����������� ��� ���� �� �������, �.�.
��� 3x = − .
B A
C D
M
������ 21.
��� ������� �� ������ �� ��������� 10a b+ � 10b a+ , ��:
2 2
(10 ) (10 ) (10 10 )(10 10 ) 9.11( )( )a b b a a b b a a b b a a b a b+ − + = + + + + − − = + − .
!�������� ���� �� ��� �� 9 � �� 11. �� ��������� �������� ���� ������
����� ��� ���� ��� ����. ���������� ������, �� �� ��������� �����"����: #����� �
�� 14 �����, � ������ � �� 41 �����.
������ 22.
1 1 5 41 1 1
4 5 4 5
� �� �+ − = ⋅ =� �� �
� �� �;
1 1 7 61 1 1
6 7 6 7
� �� �+ − = ⋅ =� �� �
� �� �; …
1 1 19 181 1 1
18 19 18 19
� �� �+ − = ⋅ =� �� �
� �� � �
����������� ��� ������ �� ������������� � ����� 1 1 2.21 7
1 1 0,73 20 3.20 10
� �� �− + = = =� �� �
� �� �.
������ 23.
$��������� �� ���������"��� AMC � BDC ��������� ����������� �� BDC∠ .
%���� 0 0 0 0180 (60 24 ) 96BDC AMC∠ = ∠ == − + = . �� ���� MDC∆ � ������������, ��
0 060 36BDM BDC∠ = ∠ − = .
������ 25.
���������"��� ABO , BOC � AOC �� �����������. ��� ACO x∠ = � BCO y∠ = , �� 0
2 2 2 180x y BAO+ + ∠ = . ����� �������� 070x y+ = � ����������, � ACB x y∠ = + .
������ 28.
!������������ �������� 020ABC∠ = ,
045LCB∠ = (���������� �� ������ ����) �
065ALC∠ = (���&�� ���� �� LBC∆ ). �����
0 0 090 65 25HCL∠ = − = .
������ 30.
'� ��������� ������� � ������, � ���� – � �����. (��� ��������� �� ���������� � x , �
���� �� ����� (��� ������� �����"��) � y . ������ 1 1
( ) ( 3 )2 3
x y x y+ ⋅ = + ⋅ . ����� 3
xy =
� ���� � ����� � 2
x y+, �� ��������� ����� �
23
2 2 3
xx
x y
x x
++
= = ������ = 40 ������.
������ 32.
��� ����������� �� �������� AB ������ �������� BC � ���� N , �� 0
60 MNB MNA ANC= ∠ = ∠ = ∠ . ����� ���� 030BAN∠ = � � ������� �� ��������� ��
������ ����������, � MAN CAN∠ = ∠ . ������ ���������"��� AMN � ACN ��
������, ������� MN CN= . � ������������ CMN∆ �����, � 0120MNC∠ = �
����������� 0
30MCB∠ = . (� -������ 0 0 0
180 (30 ) 135BMC MBC∠ = − + ∠ = .
������ 38.
(��� MC x= . ������ 2BM x= . )� �������� ������������ BK �� ������ B ���
( )AM K AM∈ . �� ������������ ���������� MBK , �� �� � � ����� ���� 30° ,
��������� 1
2MK BM x= = . ����� �����, � MKC∆ � ����������. �� ����
����������
��������, � 30 120MKC BKC∠ = °� ∠ = ° � CBK∆ � ���������� � ���� BK CK= .
��� ������� ����, � KA KB KC< = , �� �� AKC∆ �����
75CAK ACK CAK∠ > ∠ � ∠ > ° . �� ���� ������, �� ABK∆ �����
45BAK ABK BAK∠ > ∠ � ∠ > ° . (� ������ �� �����, � 120BAC CAK BAK∠ = ∠ + ∠ > ° ,
����� ���������� �� ��������� �� ������. ��������� �� � � �� ��� �, � �� �
����� �� KA KB KC> = . ����������� KA KB KC= = � ���� ���������� ������ ��
ABK∆ , �������� 15ABC∠ = ° .
������ 40.
��� LK AO⊥ ( K AO∈ ), �� �� ��� ������ �� �������������� �����, � LH LK= .
������ ���������"��� LKM � LHP �� ������. $����� �� � ���������"��� KLO �
HLO . �����������, ��� HP KM x= = , �� OM x OP x+ = − � ����� �������� 2x = ��.
������ 41.
���������� �� ���� �� ������� (����� � �����) �� *�������� ��� � ����.
����������� �� �� ��� ����������� �����, ��� ����������� �������. ����
�������, � ����� � ����� ��� ����������� ������ ��������, ��� �����������
�� ��. �� ��������� �� ������ �����, � ����� � ����� �� ��. ���� ����� �����
�������� � ����������� ����� � ���� ������.
������ 42.
������ �� ������� 13 ���������� ���� � ����� �� 91, ����� � � ����"� ��-����� �� 92.
����������� ����������� ����� ���� � ��������� ���� 13 � �� ������ ���
��������� 14. %���� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 92+ + + + + + + + + + + + = , �������
1 14 15+ = .
������ 43.
��� ��� �� �� ����"��� ���� ����" ������ (����� � �� ����� ��� ����" � 31 ��) �
�� ��� 1, 2 ��� 3, �� ���� �� �� ����� ���� 5 ����. ���� � ����, ������
1 4.7 29 31+ = < , 2 4.7 30 31+ = < � 3 4.7 31+ = . ���� � ���� , � ���� �� � �� ��� 4,
5, 6 ��� 7, �� �� ����� ���� 4 ���� � ����"� (���� 4.7 31a + > �� 4, 5, 6a = ��� 7). ��
���� ������ �� ������� � ������ ��� ��� ���� �� � ����������� �� � ����� ��
������� � � �� ��� 4, � ������ � � �� ��� 7. (� �� ������ � ������� ��� �� ����
�� � ����������� ����������� ����� ���� � ������ � �� ���� �� ��� 4, � �������
– ��������� �� ��� 7. ���� ����� �� ����������, � 1 ������ � � ����.
M
A B
C
K
������ 46.
���������"��� AMO � CNO �� ������ �� ����� �������. ����������� MO NO= .
������ MBN∆ � ����������, ������ BO � ����������� ������� � ������ � ����.
����� ���� 0 0 0 090 90 30 60BMN ABD∠ = − ∠ = − = . !� ���� ���� ����������, �
MBN∆ � ������������ � ����������� �� � ����� �� 6 ���� �� ����� �� OM , �.�. ��
18 ��.
������ 47.
#��������� ����� ���� �������� � 30.4 120= . !��� � 29.4 116= , �� ����� ��������,
�� �� � ��-����� �� 116, �� � � �� �������� � 30 ����� ��&��� ����. ����� �����,
� ����������� 119, 118 � 117 �� ����� � �� ���������� (���� ����, ����� � ���
�"����� � 1− ). �� ���� ������ 28.4 112= . ������ ����� ��������, �� �� � ��-����� ��
112 � � ��-����� �� 116, �� � � �� �������� � 29 ����� ��&��� ����. ���� ��� ���
����, ����� �� � � ��� �"����� � 1− . ����� �����, � �������� 115 � ���������, ��
��������� 114 � 113 �� ��. !� ������ ���� ����������, � �� �� � � �� ��������� �
�������� 109. ����������� ����� ���� ��������� �� 1 � 120 ���������� �� ����
120 (3 2 1) 114− + + = . ����� �� �� ���� ����� ��������� �� 30− � 0 ���������� (��
�� ���� 31). !�������� 114 31 145+ = � ������ ������"��� ������ � �� �� -�����
146, �� � � �������, � ���� ���� �� ��+ �� ���� �"����� � ����� ��� ����.
������ 48.
��� �������� �� ����� � x , �� �� PAD∆ (����������� ���������� � ���� 0
30 ) �����,
� ��������� �� ����� � 2
x. ������ ��"��� �� ����� �
.32
2
x x= , ������� 8x = ��.
(��� PH DQ⊥ ( H ������� � �� ������� DQ ). ���������� HPD � ����������� �
���� 0
30 . ����������� ��������� ���������� � 1
2 �� ��������� �� �����, �.�. 2 ��.
������ 49.
,�������������� �� ��������� �� ������ � ���������. )� ���� ���� �� � � ��
������ �� ������ ����. (��� O � ��������� ���� �� ����������. ������ �
�������� �� ���������� ����������, � BO OD= , ������ ��� ���� �� � ����, ��
���+� BD �� � � �� ������ ���� M ����, � BO OM= . (� ������ ABCM �
��������� (���������� � ���� ������� �� ������������) � �����������
ABC AMC∠ = ∠ . -���������, � AMC ADC∠ = ∠ , ����� ����� �� �� �, � �
������� �� (���� ����������, � ���&���� ���� � ����������� � ������ ��-����� ��
�� � � �������� ���� �����&�� ����). ��� ���� �������������� ABCD �
���������, ����������� �� � ����� �� 2( ) 32AB BC+ = ��.
������ 50.
������ �� ����� ���� � 70. �� ��������� �����, � ������ �� ��������� ���� ��
��� �� 4. !��� � 70 �� ��� �� 2, �� � ���������� (����, ����� �� � �������) ����
������ � �� ��� �� 2. �� ���� ������ ���� 70 �� �� ��� 4 � ���� ���������� ����
���� �� ������ � �� ��� �� 4. $���������� ���� ���� � ����������, ����� �� ���
�� 2, �� �� �� ��� �� 4, � 6. ����������� ��������� �� ������ � 6. ����� ������ ��
�������"�� � ���������: ������ ������� ������ 1, 3, 4 � 8, � ������ – ��������� 9, 11,
12 � 16.