2007 年度今井研究室紹介

２００７年６月２９日

今井研究室の研究テーマ

『アルゴリズム』の研究

今井研究室の研究テーマ

未踏域への挑戦 現実社会への応用

今井研究室の研究テーマ

量子 生体認証

未踏域への挑戦 現実社会での応用

暗号理論

組合せ論

計算代数

グラフ理論計算幾何

離散・連続最適化

計算量理論

ゲーム探索

博士論文 (1) 計算幾何

アレンジメント再構成の組合せ論的複雑度評価（青木 保一， 1993 ） リーマン計算幾何：凸包，ボロノイ図とデローネ型三角形分割

（大西 建輔， 1998 ） 特徴多様体上のクラスタリング問題について（稲葉 真理， 1999 ） 整数計画法による三角形分割の最適化（田島 玲， 2000 ） 三角形分割の組合せ論（竹内 史比古， 2001 ） 多面体的複体のシェリング向き付け：

シェラビリティー判定と離散最適化の組合せ構造 （森山園子， 2006 ） 有向マトロイドの実現を与える方法および特徴のある有向マトロイド

（中山　裕貴， 2007 ） 計算代数

単模および Lawrence 型整数計画問題に対する計算代数的解析（石関 隆幸， 2003 ）

量子計算 計算量的観点における量子計算モデルの計算能力（小林 弘忠， 2002 ） 資源制約下における量子計算モデルの計算能力（ルガル フランソワ， 200

6 ） エンタングルメントコストの解析とホレボ容量の計算（下野 寿之， 2006 ） Bell 不等式とカット多面体：量子情報科学と組合せ最適化の結合

（伊藤　剛， 2007 ）

博士論文 (2) ゲームツリー探索

AND/OR 木探索アルゴリズム Df-pn の提案とその応用（長井 歩， 2002 ）

ゲノム・文字列処理 文書検索と圧縮の統合 - 接尾辞ソート、ブロックソート法、接尾辞配

列 -（定兼 邦彦， 2000 ）

部分文字列の性質に基づく計算機援用大規模生物実験設計（土井 晃一郎， 2001 ）

生物配列情報の比較と検索のための高速なアルゴリズムの研究（渋谷 哲朗， 2002 ）

グラフ理論 Tutte 多項式の計算アルゴリズムとその応用（関根 京子， 1997 ） リンクベースの Web 上情報発見手法の新しいフレームワーク

（浅野 泰仁， 2003 ） ネットワーク

ネットワーク通信において通信品質を保証するアルゴリズム（古賀 久志， 2002 ）

最近三年間の修士論文

計算幾何 最小包含球問題から得られる Cube グラフの向きづけ（西鳥羽 二郎， 2007 ）

計算代数 代数幾何学的な多変数多項式の既約証明アルゴリズム及び周辺の問題

（ベック 和穂 エリック， 2006 ） 計算量理論

ASP の NP （ FNP ）以外への拡張（瀬田 剛広， 2005 ） Ｌ対Ｐ問題の折り返し対アクセス問題への関連付けとそれらの組み合わせ構造

（上野 賢哉， 2007 ） 量子計算

デコヒーレンスエラーに対する量子数え上げアルゴリズムの理論的解析（長谷川 淳， 2005 ）

Schrodinger の車：１次元交通流セルオートマトンの量子化（山田 崇， 2005 ） 可解群に対する多項式時間量子アルゴリズム（乾 義文， 2007 ）

交通流解析 車両軌跡データの分析による交通情報の把握とその応用（柴田 輝之， 2006 ）

研究室の活動

セミナー 週１回持ち回りで研究内容を発表

輪講 決まったテーマで論文、本を読む

今井研の活動は内部に留まらない

研究室内に留まらない活動 外部との交流も積極的に

共同研究 カナダ McGill 大学の David Avis 教授 スイス ETH 大学の Komei Fukuda 教授

国際会議、研究会 論文誌への投稿

外部の研究施設 ERATO

日経 BP ムック 「変革する大学 東京大学理学部」

より

研究室環境

研究室 311 号室、 314 号室（図書室の隣）

個人用端末、机 PC を購入予定

計算サーバ プリンタ ( カラー 2台 ) とコピー機 発表用のノート PC とプロジェクタ

314 号室 311 号室図書館前

今井研の方針

研究を独力で行うために 研究の流行盛衰を把握し良いテーマを設定する

外の世界と交流する 研究会に参加したり世界の大学の人と共著を書いたり

発表を行う能力を身につける 自分の研究成果を知ってもらうために

研究について自分で考えること

独りよがりでいいわけではない

研究紹介 ( 離散数学 )

宮田 (M1) 、松本 (M1) 、森山 (助教 )

研究対象の例 ( 有向マトロイド )

　超平面配置、ベクトル配置、有向グラフ、多面体

有向マトロイド

抽象化

線形計画問題の抽象化・最小添字規則 [’77 Bland]

・その他の pivotting規則 　　 [’82 Fukuda], [’85 Todd], etc…線形計画問題の双対性の拡張

実現可能性問題幾何計算のロバスト性

擬超平面配置と超平面配置の本質的な差

Semialgebraic set の解析

有向マトロイド計画

最適化、計算幾何、計算代数

有向マトロイドは最適化、計算幾何、計算代数などさまざまな重要な分野と深いつながりを持つ

有向マトロイドと実現可能性問題

　 P1P2

P3P4

P5

v1v2v3

v4 v5

O

χ(123)=sign(det(v1,v2,v3))= -χ(124)=sign(det(v1,v2,v4))= -χ(125)=sign(det(v1,v2,v5))= 0χ(234)=sign(det(v2,v3,v4))= + ・・・

Chirotope

有向マトロイド点配置

抽象化

？？？

実現可能性問題

与えられた有向マトロイドに対応する点配置が存在するか？

実現可能性問題：

実は NP-hard

実現可能な十分条件で実現可能なものの一部を見つける実現不可能な十分条件で実現不可能なものの一部を見つける

実現可能性問題へのアプローチ

[’01 Finschi] による有向マトロイド列挙アルゴリズムの開発

( 関連研究 )逆探索によるマトロイドの列挙 [’07 Matsumoto, Moriyama, Imai]

計算機を用いた実現可能性問題へのアプローチが可能に

各手法の強さを実際に計算機で検証、比較

それを踏まえた新たな手法の開発[’05 Nakayama, Moriyama, Fukuda, Okamoto]

[’04 Fukuda, Moriyama, Okamoto]

[’07 Nakayama, Moriyama, Fukuda]

[’07 Miyata, Moriyama, Imai]non-HK*

多項式計画の適用

半正定値計画の適用

実現可能性判定：

実現不可能性判定：

実現可能性判定の手法ごとの比較

　 realizable ????

Solvability sequence

168751

多項式計画

+4432

Remaining caseについて実験。　今もまだ実験中のようです。

[’86 Bokowski, Sturmfels] [’07 Nakayama, Moriyama, Fukuda]

要素数 8 、ランク 4 の場合

代数的手法 最適化

実現不可能性判定の各手法の比較

双二次最終多項式

non-Euclideaness

non-HK*

non-realizable ???

半正定値計画440

3968

3462

1382

[’90 Bokowski, Richter]

[’82 Fukuda]

[’04 Fukuda, Moriyama, Okamoto]

[’07 Miyata, Moriyama, Imai]

要素数 8 、ランク 4 の場合

幾何的手法

最適化代数、幾何、最適化などさまざまな方向からのアプローチ

現在自分が取り組んでいること双二次最終多項式： Grassmann-Plucker 関係式の線形計画緩和

半正定値計画→多項式計画へ　　　　　　　　　　 ( より強力に。しかし計算量は増える )

　　　　計算量を減らすため、、、　　　　　・ Grassmann-Plucker Ideal の極小生成集合の計算　　　　　・有向マトロイドの対称性に関する考察

半正定値計画は一般に線形計画より強い

より強い手法が得られる？　→　緩和法が違うため、そうはいかなかった

Grassmann-Plucker 関係式の半正定値計画緩和

有向マトロイドの実現可能性問題を通して、 semialgebraic set の解析など計算代数への貢献も目指す。

今井研・研究室紹介（計算量理論・暗号理論）

上野・高橋・永岡・小島

対話証明系という考え方

計算量理論

量子情報理論暗号理論

今井研で行われている研究の概観

アルゴリズムの可能性と限界の解明

P versus NP

　論理回路のサイズの下限の証明

論理式のサイズの下限の証明

論理回路の深さの下限の証明

Karchmer-Wigderson 通信ゲーム

めちゃくちゃ難しい

緩和（もう少しだけ簡単な問題へ）

実は、並列計算時間

と関係が・・・

Karchmer-Wigderson 通信ゲーム

f(x)=1 となるようなx {0,1}∈ n を受け取る

f(y)=0 となるようなy {0,1}∈ n を受け取る

論理関数 f を表現する論理式のサイズ（または論理回路の深さ）の下限を求めたい

通信ゲームの目的：x と yが異なるインデックスを探す

通信ビット数の下限

Alice Bob

機械論的世界観宇宙は、初期状態が与えられたら物理法則からその時間発展が一意に定まる自然は、時計仕掛けの精密機械である。古典力学は、決定論的な因果関係である。

計算理論 (Theory of Computation) が面白い別の理由

　　単に、コンピュータの中身だけを対象にする学問ではない！

ルネ・デカルト（１５９６－１６５０）

物質科学生物学

脳科学進化学DNA・・・

経済学ゲーム理論

社会科学ネットワーク科学複雑系

背景 あらゆる系の時間発展は計算過程として捉えることができる

対話証明系という考え方

計算量理論

量子情報理論暗号理論

今井研で行われている研究の概観

EPR paradox and Bell inequalitiesEPR paradox and Bell inequalities

• Einstein, Podolsky, Rosen (1935)– quantum entanglement vs. relativity theory

• Bell inequality (1964)– Entanglement/Nonlocalit violation⇒

• CHSH inequality (Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969)– applicable to a bipartite system

• Aspect et al. (1982)– Experimental verification of violation of

CHSH inequality

• Tsirelson (1980): max. violation value

量子情報処理の力の源 ( の 1 つ )!!

entanglement

measure(local)

statechange

instantly

faster than light

EPR paradox and Bell inequalitiesEPR paradox and Bell inequalities

• Einstein, Podolsky, Rosen (1935)– quantum entanglement vs. relativity theory

• Bell inequality (1964)– Entanglement/Nonlocalit violation⇒

• CHSH inequality (Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969)– applicable to a bipartite system

• Aspect et al. (1982)– Experimental verification of violation of

CHSH inequality

• Tsirelson (1980): max. violation value

量子情報処理の力の源 ( の 1 つ )!!

entanglement

measure(local)

statechange

instantly

faster than light

デカルトの時代から約４００年続く

機械論的宇宙観の破壊（アンチテーゼ）

A 2-Prover 1-Round Interactive Proof System[Feige, Lovasz 1992]

Alice Bob

Victor (Verifier)

2 Provers

}1,0{t質問}1,0{s質問

• 事前戦略：回答を協力して練ってよい• 質問開始後：通信不可 (no-signaling)

}1,0{a答 }1,0{b答

事前戦略古典： shared randomness量子： entanglement

2 つの質問の内の1 つをランダムに聞く

計算理論的世界観へ　　コンピュータやネットワークだけじゃなくって、　　世の中のありとあらゆる対象を計算理論の土台・技法によって解析。

そして、基礎理論から応用基盤技術へ・・・

対話証明系という考え方

計算量理論

量子情報理論暗号理論

今井研で行われている研究の概観

ゼロ知識証明 [GMR85]

Verifierが秘密情報に関する知識を得られないように対話証明を行う枠組み様々な暗号理論への応用 : 認証技術

[FS87]

Prover の主張の正当性を

検証

Prover の主張の正当性を

検証秘密情報の保持を主張秘密情報の保持を主張質問と返答

( 対話 )質問と返答

( 対話 )

Verifier Prover

[GMR85] S. Goldwasser, S. Micali, and C. Rackoff. The knowledge complexity of interactive proof systems. SIAM Journal of Computing.

[FS87] A. Fiat and A. Shamir. How to prove yourself : practical solutions to identification and signature problems. In Advances in Crypto ’86.

生体認証パスワードなどの代わりに、指紋や静脈パターンなどの生体情報を利用する認証技術

◎利便性が高い×情報漏洩のリスクが高い

host user

本人認証本人認証

量子計算・量子暗号

長谷川淳（博士 3 年），尾張正樹（特任助教）加藤公一（博士 3 年），浅田益仁（修士 2年）鈴木真吾（修士 2 年），高橋敏明（修士 2年）徳田優（修士 1 年）

量子とは・・・

古典（現在）の世界 量子の世界

1 0 1 1

ビット（ 1か 0 ）

イメージ（電圧）

量子ビット（ 1 と 0 の間も取れる）

イメージ（粒子）

１つの演算で・・・

1 0 0 1

1 つの計算しかできない 同時に計算可能（量子並列性）

ムーアの法則からも・・・

量子効果が出現

量子で何ができるの（計算編）？

Shor のアルゴリズム [‘95]

素因数分解

多項式時間アルゴリズム（古典だと準指数時間）

現代暗号（ RSAなど）が解かれてしまう

多くの問題（ NP完全など）が指数の平方根時間で解ける

入力 : 合成数 c = a×b 出力 : 素数 a, b

Grover のアルゴリズム [‘96]

非ソートデータの検索

指数の平方根時間アルゴリズム（古典だと指数時間）

入力 ： 要素 関数 f

出力 : x s.t. f(x) = 1nxx21 ,,

量子で何ができるの（暗号編）？

古典（現在）の暗号 量子の暗号

暗号の安全性は・・・

計算量に基づく

量子計算で解かれる 無限の計算能力を

もってしても，破れない！

無条件安全（量子力学＋情報理

論）

量子暗号の仕組み

送信者 受信者

秘密鍵配送（共有）プロトコル [BB ’84]（計算量に依らない）

量子通信路（光ファイバ）

盗聴者

盗聴情報を得ると量子状態が変わる

情報の変化の度合いから盗聴情報量を推測できる！

（盗聴検出可能）

盗聴された情報量だけ秘密鍵を減らして安全性確保 !!

ERATO-SORST と NEC による共同研究

秘密鍵配送実験（ 20km伝送）

数年後には数 Mbps に

現実の世界で安全な秘密鍵の伝送に成功（伝送速度 200bps ）

（盗聴情報量が 2-9 ビット以下を保証）

新たな理論＋実験

自分の研究テーマ理想から現実へ（実用化に向けて）

理想の世界 現実の世界

•無限の長さの情報（符号長）が扱える•完全な装置や通信路

•有限の長さの情報•不完全なデバイス•統計揺らぎが含まれる

（安全性の保証が容易）

本当に安全？

より厳密な議論が必要・・・

最近の研究室のテーマ（量子）

隠れ部分群問題量子ウォーク量子回路設計

量子アルゴリズム・量子回路

秘密鍵配送デジタル署名

量子暗号

量子誤り訂正符号ノイズに強い量子回路

量子誤り訂正・雑音

量子通信路容量・量子エントロピー量子情報幾何Bell 不等式の列挙・破れの発見グラフの量子彩色数

量子情報理論

（符号理論）（群論，計算量）

（暗号理論）（情報理論，計算幾何，情報幾何）

量子の分野は，今井研の他の分野とも密接に関係