∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

1

ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ3 ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) Θεωρούµε την παράσταση Α(x) = (1 + x + x2 + x3

+ …. )n. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;

1. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών n ίδιων αντικειµένων σε k διακεκριµένες υποδοχές.

2. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών k ίδιων αντικειµένων σε n

διακεκριµένες υποδοχές. 3. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n που

περιέχουν k µηδενικά. 4. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n+k–1

που σχηµατίζονται από k άσσους και n – 1 µηδενικά.

(2) Ο αριθµός των διαφορετικών 11άδων που µπορούµε να σχηµατίσουµε από 18 παίκτες ποδοσφαίρου, εφόσον έχει σηµασία η θέση όπου αγωνίζεται κάθε παίκτης, είναι ίσος µε:

1. Τον συντελεστή του x11 στην παράσταση (1 + x )

18. 2. Τον συντελεστή του x11/11! στην παράσταση e18x.

3. Τον συντελεστή του x11/11! στην παράσταση (1 + x )

18. 4. 18!/11!

(3) Ο συντελεστής του στην 1 ⋯ είναι ίσος µε:

1. To συντελεστή του στην 1 .

2. To συντελεστή του στην 1 .

3. Τους τρόπους να διατάξουµε άσσους και 1 µηδενικά.

4. Τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης ⋯ όπου ∈ , 1 για 1,2, … ,

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

2

(4) Έστω φ, ψ ικανοποιήσιµοι προτασιακοί τύποι που δεν είναι ταυτολογίες. Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι;

1. ψ ∧ ¬ψ |= φ

2. φ |= ψ ∧ ¬ψ

3. ψ → (φ → ψ) |= φ

4. φ |= ψ → (φ → ψ)

(5) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κορυφών v1,v2,v3 και σύνολο ακµών (v1,v1),(v1,v2),(v2,v1),(v3,v3) ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην b. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν σε αυτήν την ερµηνεία;

1. ∃∀,

2. ∃∀,

3. ∀∃,

4. ∀∃,

(6) Ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 10 κορυφές:

1. Αν είναι πλήρες έχει 36 ακµές.

2. Αν είναι 3-κανονικό έχει 30 ακµές.

3. Αν είναι δένδρο έχει 9 ακµές.

4. Αν είναι επίπεδο έχει το πολύ 24 ακµές.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

3

(7) Θεωρούµε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;

1. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα µε άρτιο πλήθος ακµών έχει κύκλο Euler

2. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα που δεν έχει κύκλο Euler, έχει τουλάχιστον µία γέφυρα.

3. Το Kn,n έχει κύκλο Euler για κάθε n≥2

4. Το Kn,n έχει κύκλο Hamilton για κάθε n≥2

(8) Ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα G µε n κορυφές είναι δένδρο αν και µόνο αν

1. Είναι άκυκλο και έχει n-1 ακµές.

2. Είναι συνδεόµενο, αλλά η αφαίρεση έστω µιας ακµής θα χωρίσει το γράφηµα σε δύο συνεκτικές συνιστώσες.

3. Είναι απλό και δεν έχει κύκλο µήκους ≥3.

4. Είναι συνδεόµενο και έχει n-1 ακµές. (9) ∆ίνεται το γράφηµα Kn,m µε σύνολα ανεξαρτησίας Α και Β µε βάρη 1 σε όλες τις ακµές (Θεωρούµε n<m).

1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει δένδρο ύψους n+m

2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ύψους 2.

3. Το βάρος του ελάχιστου συνδετικού δένδρου είναι n+m-1

4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ίσου βάρους µε το συνδετικό δένδρο που παράγει

ο αλγόριθµος του Prim. (10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;

1. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Hamilton έχει και κύκλο Euler

2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Euler έχει και κύκλο Hamilton

3. Εάν ένα γράφηµα έχει κύκλο Euler, τότε και το συµπλήρωµα του έχει κύκλο Euler.

4. Η προσθήκη 2 ακµών σε ένα συνεκτικό γράφηµα µε n κορυφές (n≥4) τέσσερις εκ των οποίων έχουν

περιττό βαθµό αρκεί για να δηµιουργηθεί στο γράφηµα ένας κύκλος Euler.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)

Άσκηση 1 (Μονάδες 25)

(Για τα παρακάτω χρησιµοποιήστε γεννήτριες συναρτήσεις)

Στο ποδοσφαιρικό πρωτάθληµα µια οµάδα παίρνει τρεις βαθµούς για την νίκη, ένα για την ισοπαλία και µηδέν για την ήττα.

1. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36 αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει 5 εώς 8 νίκες και έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων

2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί µια οµάδα να συγκεντρώσει 40 βαθµούς αν δεν έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων;

3. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36 αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει περισσότερες νίκες από ισοπαλίες, και τουλάχιστον τόσες ισοπαλίες όσες οι ήττες, χωρίς να έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

5

Άσκηση 2 (Μονάδες 35) (Ερώτηµα 1) ∆εδοµένου ότι το σύνολο τύπων T = φ, χ, ψ είναι αντιφατικό, κατασκευάστε όλα τα τυπικά θεωρήµατα που εµπλέκουν τους τύπους φ, χ και ψ, χρησιµοποιώντας (ίσως και περισσότερες από µια φορές) τα θεωρήµατα Απαγωγής και Απαγωγής σε Άτοπο

(Ερώτηµα 2) Να βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ ∧ (Ερώτηµα 3) Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∀, → ∃, είναι λογικά έγκυρος (Ερώτηµα 4) 1. Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα

αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγόρηµα Q(x,y) ερµηνεύεται ως «Υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην κορυφή y» A. ∆ίνεται η πρόταση ! ∃∃∃∃"#, ∧ #, ∧ #, $. Να εξηγήσετε (στην φυσική γλώσσα)

ποια γραφήµατα επαληθεύουν την !. Να δώσετε µια δοµή µε τουλάχιστον 4 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση !. Να δώσετε µια δοµή µε το πολύ 2 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση !.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

6

Άσκηση 3 (Μονάδες 20)

1. Αν ένα απλό συνδεδεµένο διµερές γράφηµα έχει τουλάχιστον έναν κύκλο, είναι επίπεδο και έχει m ακµές, δείξτε ότι % & 2' ( 2, όπου ', ( είναι ο αριθµός των κόµβων στα δύο µέρη του γραφήµατος.

2. ∆είξτε ότι δεν υπάρχει διµερές συνδεδεµένο γράφηµα που να είναι επίπεδο και 4-κανονικό.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3

7

Άσκηση 4 (Μονάδες 20) Έστω Τ ένα δένδρο στο οποίο ο αριθµός των κορυφών που έχουν βαθµό i, για i=1,…,∆ (όπου ∆ ο µέγιστος βαθµός κορυφής στο Τ) είναι pi. Να αποδείξετε ότι:

' ') 2'* 3', ⋯ Δ 2'. 2