1

Termodinamika je dio fizike koja prou�ava toplinska stanja materije i energetske transformacije prilikom raznih fizikalnih i kemijskih procesa. Kao takvu možemo je opisati kao nauku o energiji i njezinoj pretvorbi. Tehni�ka termodinamika uklju�uje još i ure�aje kojima se ta pretvorba vrši kao i prora�un njihovih konstrukcijskih karakteristika te procjenu njihove u�inkovitosti. Za prou�avanje materije termodinamika koristi dvojak pristup: : mikroskopski i makroskopski. Mikroskopski pristup polazi od gra�e materije tj. od atoma i molekula kao najmanjih nedjeljivih dijelova materije i nastavlja se prou�avanjem promjena stanja materije kroz prizmu promjena u njenoj mikrostrukturi. Najve�e poteško�e pri tome proizlaze iz �injenice da je mikrostuktura materije nevidljiva i o njoj možemo saznavati samo posredno. Posljedica toga je da se materija opisuje pomo�u teorija koje se u praksi pri odre�enim uvjetima pokazuju kao više ili manje korektne. Makroskopski pristup uzima za osnovu dio materije kao velik broj elementarnih �estica. Termodinami�ko stanje materije opisuje se preko odre�enih termodinami�kih parametara ili veli�ina stanja koje predstavljaju statisti�ki prosjek termodinami�kih parametara elementarnih �estica. Za primjer razlika izme�u mikroskopskog i makroskopskog pristupa uzeti �emo primjer tlaka koji ispoljava plin u zatvorenoj posudi. Neka se plin sastoji od velikog broja istovrsnih molekula i neka u svakom kubnom centimetru ima 1020 molekula. Za svaku je karakteristi�no da ima odre�enu masu, položaj u prostoru i vremenu, brzinu i koli�inu gibanja. Pritisak plina na stijenku posude u odre�enoj to�ki i odre�enom vremenu zavisiti �e o ponašanju molekula koje se nalaze u neposrednoj blizini te to�ke. Ovaj �e tlak biti promjenljiv s vremenom i ovisiti �e o kaoti�nom kretanju molekula. Me�utim ako se uzme statisti�ki prosjek koji �e pokazati srednje ponašanje svih molekula tlak �e postati mjerljiva fizikalna veli�ina i dobiti �e makroskopsko zna�enje. Objekti prou�avanja termodinamike su pored elementarne materije, uglavnom sustavi koji predstavljaju skup razli�itih materija. Svakom sustavu potrebno je odrediti granice koje nužno ne predstavljaju fizi�ke granice (npr. stijenke). Termodinami�ko stanje sustava opisuju se nizom termodinami�kih veli�ina. One su me�usobno ovisne pa je cilj termodinami�ke analize spoznati tu njihovu ovisnost i matemati�ki je opisati Rezultat toga je da se na osnovu mjerenja nekoliko lako mjerljivih parametara može opisati kompletno termodinami�ko stanje sustava, kako u stanju ravnoteže tako i prilikom procesa koji predstavljaju kontinuiranu promjenu termodinami�kih svojstava. Procese �emo kao takve uglavnom opisivati kao kontinuirani slijed razli�itih ravnotežnih stanja. Ravnoteža sistema Da bismo opisali ravnotežu navesti �emo dva postulata ravnoteže koja su nastala kao rezultat iskustava ste�enih u nama dostupnim sustavima:

1. „Svaki sustav prirodnih tijela, prepušten sam sebi, teži ravnotežnom stanju, a kad ga postigne, sustav više nije sposoban mjerljivo se promijeniti sam od sebe, bez vanjskog utjecaja.“ Postoji li u nekom sustavu bilo kakva neravnoteža, pojavljuju se, kao njezina posljedica, neke

2

spontane promjene, kojima se neravnoteža sve više smanjuje i traju tako dugo, dok se ne postigne potpuna ravnoteža. Nakon toga, sustav se makroskopski ponaša kao da je mrtav. To ne zna�i da u uravnoteženom sustavu ne postoji više ni bilo kakvo gibanje njegovih najsitnijih sastavnih dijelova. Molekule i atomi i nadalje se vrlo živo kre�u, titraju,sudaraju, no njihovo makroskopsko djelovanje, kao što je npr. Tlak i temperatura sustava, ne pokazuje više nikakve promjene. Možemo dakle konstatirati: ako u nekom izoliranom sistemu primje�ujemo promjene, on je sigurno u neravnoteži, a ako tih promjena nema,sustav je uravnotežen.

Slika 1.1.

Potkrijepimo to jednim primjerom!

Na slici 1.1. Nalazi se toplinski potpuno izolirana posuda koja je �vrstom pregradom, toplinski neizoliranom, podijeljena na dva dijela. Jedan dio napunimo plinom 1 temperature T1 i do tlaka p1, a drugi dio plinom 2, temperature T2 i do tlaka p2. Pretpostavimo da je T1 < T2 i p1 < p2. Ako sada promatramo stanje, pomo�u manometra i termometra, u pojedinim dijelovima posude, primijetit �emo da �e temperatura T1 po�eti rasti a temperatura T2 padati. Istodobno �e i tlak p1 po�eti rasti a tlak p2 padati. Sve �e se to dešavati do trenutka dok se temperature ne izjedna�e i postignu temperaturu T3 , s tim da �e biti: T1 < T3 < T2 . Tlak p3 biti �e ve�i od p1 , a tlak p4 < p2 ali tlakovi p3 i p4 ne�e biti jednaki. Od sada pa nadalje nište se vidljivo na manometrima i termometrima ne�e dešavati, pa zaklju�ujemo da je sistem postigao toplinsku ravnotežu. Ako sada maknemo pregradu koja posudu dijeli na 2 dijela, primje�ujemo da su se tlakovi izjedna�ili i da oba manometra pokazuju stanje tlaka p5 . Dakle sustav je postigao i mehani�ku ravnotežu i kao takav je sam za sebe mrtav tj. nesposoban da prouzrokuje bilo kakvu daljnju promjenu.

2. Ako je tijelo A u toplinskoj ravnoteži s tijelom B, i istodobno u toplinskoj ravnoteži s tijelom C, tada su prema iskustvu, i tijela B i C u me�usobnoj toplinskoj ravnoteži.

Ovaj drugi postulat ravnoteže još se naziva i nultim zakonom termodinamike a formulirao ga je Fowler 1931. godine. Naziva se nultim zbog toga što su u to vrijeme ve� bili formulirani 1 i 2 stavak termodinamike.

3

Veli�ine stanja Kao što smo rekli veli�ine stanja su termodinami�ka svojstva tijela koja se mogu posredno ili neposredno izmjeriti i kvantitativno izraziti. Dijelimo ih na intenzivne i ekstenzivne. Intenzivne veli�ine stanja ne ovise o veli�ini uzorka na kojem se mjere. To su npr. temperatura, pritisak, sastav mješavine. Ekstenzivne veli�ine stanja direktno ovise o masi ili koli�ini tvari na kojoj se mjere. To su npr. unutarnja energija, volumen, entropija i entalpija. Svaka takva veli�ina može se svesti na jedinicu mase ili koli�inu tvari i u tom slu�aju postaje intenzivna veli�ina. Temperatura Iz nultog zakona termodinamike direktno slijedi definicija temperature kao veli�ine stanja a glasi: dva tijela koja su u toplinskoj ravnoteži imaju istu temperaturu. Temperatura je indikator unutarnje energije tijela. Jedinica za mjerenje temperature je 1 K (Kelvin). �esto je upotrebi i jedinica ºC. Do jedinice od jednog ºC Anders Celsius (1701. – 1744., švedski astronom) došao je na na�in da je temperaturni interval izme�u ledišta i vrelišta vode, kod atmosferskog pritiska od 101325 Pa podijelio na 100 jedinica. Ledište vode ozna�io je kao 0ºC a vrelište sa 100ºC. Temperaturu izraženu u ºC ozna�avati �emo gr�kim slovom ��(teta) a temperaturu izraženu u K slovom T i nazivati �emo je apsolutnom temperaturom. Relacija izme�u njih je: T = � + 273.15 (1.1.)� Ako sada izrazimo temperaturnu promjenu kao razliku po�etne i krajnje temperature prilikom nekog procesa, vidjet �emo da vrijedi relacija: T2 – T1 = �2 - �1 (1.2.)� Što �e re�i da je temperaturna razlika od 1K i 1ºC jednaka, tako da �e kod prora�una kod kojih se uvrštava razlika temperatura biti svejedno kojim �emo jedinicama izražavati temperaturu. Kao što �emo vidjeti poslije, postoje relacije gdje je vrlo bitno kojim �emo jedinicama izraziti temperaturu. U Anglosaksonskim zemljama i njihovoj literaturi, iako zakonom zabranjena, još se uvijek �esto koristi jedinica 1ºF (Fahrenheit). Gabriel Daniel Fahrenheit (1686.-1736. , njema�ki fizi�ar) je temperaturni raspon izme�u ledišta i vrelišta vode podijelio na 180 dijelova s tim da je ledištu dodijelio vrijednost od 32ºF a vrelištu 212ºF. Tako �e relacije izme�u temperature u ºC i temperature u ºF biti: �(ºC) =5/9 (�(ºF) - 32) (1.3.)� �(ºF) =9/5 �(ºF) + 32 (1.4.)

4

Tlak Tlak (apsolutni tlak) ili pritisak je intenzivna veli�ina stanja. Definira se kao sila kojom teku�ina ili plin djeluju okomito na jedinicu površine stjenke s kojom su u dodiru. Jedinica za mjerenje tlaka je 1 Pa (Pascal) a definirana je kao sila od 1 N (Newtona) koja djeluje na površini od 1 m2. Kako je Pa, u podru�ju tehnike, vrlo mala jedinica nerijetko ju zamjenjujemo ve�om jedinicom 1 bar što je jednako 105 Pa. U miruju�oj teku�ini gusto�e �, tlak raste razmjerno dubini, tako da je: �p = - �g �H (1.5.) gdje – na lijevoj strani jednadžbe ozna�ava da s porastom visine (manja dubina) tlak opada, a g=9,80665 m/s2 gravitacijsko ubrzanje. Atmosferski tlak je tlak koji vlada u okolini a rezultat je težine zraka tj. sile kojom masa zraka (Zemljina atmosfera) vrši pritisak. Ozna�avamo ga sa po Atmosferski pritisak se ne može direktno izra�unati prema relaciji (5) ali slijedi zakonitost da opada s porastom geografske visine. Tako �e najve�i atmosferski pritisak biti pri površini zemlje a u planinama �e ve� biti znatno niži. Atmosferski pritisak se mjeri barometrom. Apsolutni tlak može biti ve�i ili manji od atmosferskog. U slu�aju da je apsolutni tlak ve�i od atmosferskog, njihovu razliku nazivamo pretlak. Razlika atmosferskog i apsolutnog tlak u slu�aju kad je apsolutni manji, nazivamo podtlak. Sprave za mjerenje pretlaka nazivamo manometrima, a za mjerenje podtlaka vakuumetrima. Obratimo pažnju da pretlak i podtlak nisu veli�ine stanja i da se prilikom baratanje podacima izmjerenim manometrima i vakuummetrima obavezno treba uzeti u obzir i atmosferski tlak da bismo dobili apsolutni tlak. Ako apsolutni tlak ozna�imo s pabs , pretlak s pm , a podtlak s pv , vrijede relacije:

pabs = po + pm (1.6.)

pabs = po - pv (1.7.) Slika 1.2. prikazuje grafi�ki navedene relacije. ��

Slika 1.2.

5

Podtlak ili vakuum možemo izraziti i u postocima. U tom slu�aju vrijedi: % vakuuma = pv / po *100 (1.8.) ili

% vakuuma =( po – pabs )/ po *100 (1.9.) U slu�aju da je vrijednost pabs jednaka 0 vladati �e stanje 100% vakuuma. Normalno stanje Kao što je to ve� bilo spomenuto razli�ite su fizikalne veli�ine ovisne o toplinskom stanju tijela. Dogovorom je usvojeno, da se kao normalno stanje smatra ono, kod kojeg je temperatura jednaka 0 ºC a atmosferski pritisak od 101325 Pa Volumen Svako tijelo zauzima u prostoru odre�eni volumen koji ovisi o termodinami�kom stanju tijela i o njegovoj masi ili koli�ini. Ozna�avamo ga s V i ima dimenziju m3. Volumen je dakle ekstenzivna veli�ina, me�utim ako ga svedemo na jedinicu mase dobiti �emo intenzivnu veli�inu koju nazivamo specifi�ni volumen. Ozna�avati �emo ga sa v a njegova jedinica �e biti m3/kg. v = V/m (m3/kg) (1.10.) Ako pak napravimo inverznu jednadžbu tj. ako masu svedemo na jedinicu volumena dobiti �emo svojstvo tvari koje nazivamo gusto�om i ozna�avamo s �.

� = 1/v = m/V (kg/m3) (1.11.) Volumen tako�er možemo svesti na jedinicu koli�ine tvari (kilomol) ali �emo o tome govoriti u daljnjim poglavljima. Ovdje smo sada naveli neke najosnovnije veli�ine stanja koje koristimo u termodinamici. Ostale veli�ine �emo uvoditi i objašnjavati postepeno s proširivanjem znanja o termodinamici. Agregatna stanja materije Prema agregatnom stanju razlikujemo tvari kao:

• krute - oblik i volumen su postojani; malo se mijenjaju i pri djelovanju zna�ajnih sila, • kapljevite (spadaju u teku�ine ili fluide) - lako mijenjaju oblik, a volumen je postojan, • plinovite (spadaju u teku�ine ili fluide) - lako mijenjaju i oblik i volumen, • (plazma, tj. ionizirani plin, smatra se tako�er oblikom agregatnog stanja).

6

Molekularno-kineti�ka teorija topline i agregatna stanja Jedna te ista tvar (istog kemijskog sastava) može poprimiti, uz odre�ene uvjete, svako od navedenih agregatnih stanja. Tako bi, na primjer, vodik, koji pri atmosferskom tlaku ima vrelište na temperaturi od –253oC, pod tlakom od približno 400 000 bar poprimio svojstva kovina. Kruto tijelo ima pri odre�enom tlaku i temperaturi svoj odre�eni volumen i oblik. U nekom krutom tijelu molekule nisu neposredno jedna do druge. One su me�usobno udaljene, u nekom su razmaku. No taj razmak nije stalan jer molekule titraju oko svoga srednjeg položaja, me�usobno se sudaraju i odbijaju. Stalan je, me�utim, razmak me�u tim srednjim položajima koji tijelu daju njegov odre�eni volumen i oblik. Kako je razmak me�u molekulama razmjerno malen, privla�ne su sile me�u njima znatne. Zbog toga se kruto tijelo znatnim silama (silama kohezije) opire mehani�koj promjeni volumena i oblika (�vrsto�a tijela). Molekule imaju, dakle, u odre�enim uvjetima, odre�enu kineti�ku energiju. Istodobno djeluju jedna na drugu molekularnim (kohezijskim) silama. Odvodimo li takvu tijelu toplinu (hla�enje), ono gubi na sadržanoj energiji. Hla�enjem se u stvari molekulama oduzima kineti�ka energija. Kako je kineti�ka energija funkcija mase molekula (nepromjenljive koli�ine za neku tvar) i njihove brzine, to je rezultat hla�enja usporavanje molekula. Osim toga, smanjenjem kineti�ke energije molekularne sile «nadvladavaju», i molekule bivaju jedna drugoj privu�ene na manje udaljenosti srednjih položaja titranja. Time tijelo gubi na obujmu, ali oblik ostaje nepromijenjen, jer se djelovanjem kohezijskih sila raspored molekule ne mijenja. Time je pomo�u molekularno-kineti�ke teorije objašnjena pojava toplinskog stezanja, odnosno rastezanja krutih tijela. Nastavimo li hla�enjem tijela, brzina, a time i kineti�ka energija molekula, neprekidno �e padati, dok �e se razmak me�u njima smanjivati. Jasno je da se takvo hla�enje ne može nastaviti unedogled. U jednom trenutku brzina �e postati jednaka nuli, a kohezijske �e sile privu�i molekule na najmanji mogu�i razmak. Molekule �e se, dakle, dodirivati. Dalje hla�enje nije više nikakvim na�inom mogu�e jer hla�enje je oduzimanje kineti�ke energije od molekula. Kako ta energija više ne postoji, ona se i ne može oduzimati. Teoretska razmatranja pokazuju (Drugi glavni stavak) da je i takvo stanje nedostižno. Dovodimo li krutom tijelu toplinu (grijanje), ta �e se energija predavati molekulama u obliku kineti�ke energije. Posljedica �e biti ubrzavanje molekula. Zbog toga se razmak me�u molekulama pove�ava, a intenzitet kohezijskih sila pada s kvadratom njihovih udaljenosti. Kako volumen tijela sa�injava zbroj me�usobnih razmaka molekula, to se i on pove�ava. Daljim grijanjem kohezijske sile znatno slabe, a razmaci me�u molekulama i njihova kineti�ka energija (s brzinom) pove�avaju se. U trenutku kada kohezijske sile oslabe toliko da nisu u stanju održati pravilnost titranja molekula, tijelo po�inje gubiti svoj oblik i postepeno poprima oblik posude u kojoj se nalazi. Takvo se stanje naziva talište. Da je dovo�enje toplinske energije uvjetuje promjenu agregatnog stanja. Tvar poprima svojstva kapljevine. Molekule se gibaju pravocrtno, ali bez reda. Neprekidnim me�usobnim srazovima one neprekidno mijenjaju i svoj smjer kretanja. Molekularne su sile, me�utim, još dovoljno velike da drže molekule na okupu i time održavaju približno nepromijenjen volumen kapljevine,ali preslabe da održe stalnim i

7

njen oblik. One molekule koje se na�u blizu slobodne površine i na svom putu, postigavši veliku kineti�ku energiju, ne nai�u na otpor, odletjet �e u prostor iznad teku�ine. Ta se pojava naziva ishlapljivanje. Dovodimo li toplinsku energiju i dalje, broj «odbjeglih» molekula s površine neprekidno �e rasti. Odatle molekule u unutrašnjosti mase teku�ine dobivaju sve ve�u kineti�ku energiju, dok me�usobni razmak me�u njima raste, a time u ukupni volumen teku�ine. Dotle molekularne sile slabe sve o�itije. U trenutku kad sile više nisu u stanju da održe molekule na okupu, prve se molekule (obi�no s dna posude) potpuno osloba�aju njihova djelovanja. One tada odlije�u u prostor iznad slobodne površine kapljevine. Ta je pojava po�etak procesa isparivanja, a to se stanje naziva vrelište. Kad isparivanjem i posljednja �estica prije�e u parno stanje, tvar poprima svojstva pare. Para neke tvari po�etak je njenoga plinovitog agregatnog stanja. Kineti�ka energija toliko nadvlada molekularne sile da tvar gubi i vlastiti volumen, a poprima volumen posude u kojoj se nalazi. Dovo�enjem toplinske energije pari kineti�ka energija molekula i dalje raste. Time se mijenjaju i toplinske veli�ine stanja. Kad je tvar svojim stanjem dovoljno daleko od vrelišta, njeno stanje nazivamo plinom. Molekule �e se plina u otvorenom prostoru razbje�i i time neograni�eno pove�ati volumen plina. U probleme idu�eg stupnja promjene agregatnih stanja, plinske plazme, ovdje ne�emo ulaziti jer prelazi okvire razmatranja klasi�ne termodinamike. �itav taj proces promjena agregatnih stanja vrijedi i u obrnutom pravcu. Sli�nim bismo razmatranjima ohla�ivanjem plinova mogli do�i do svojstva tvari krutih tijela. Pri takvu razmatranju nužno je napomenuti da takve promjene agregatnih stanja nisu mogu�e bez istodobne promjene tlaka. Tako se, na primjer, neki plin može ohla�ivanjem dovesti do krutog stanja samo pod visokim tlakom. Granica sustava može se postaviti tako da obuhva�a sve sudionike procesa (slika 1a), ili tako da obuhva�aju samo onu materiju za �ije smo promjene stanja posebno zainteresirani (slika 1b). Nije nužno poznavati identitet i svojstva materije izvan sustava, ako su nam poznati efekti njene energijske interakcije, npr. toplinske ili mehani�ke, sa sustavom. �esto se materija izvan sustava smatra okolišem (okolinom), koja nije nužno u interakciji sa sustavom. Granice sustava mogu za masu (odnosno tok mase) biti nepropusne (zatvorene) ili propusne (otvorene), a za energijsku interakciju izolirane ili neizolirane. Pored toga, one mogu obuhva�ati stalni ili promjenljivi volumen.

8

Slika 1.3. Potpuno izoliran zatvoreni sustav Slika 1.4. Neizoliran zatvoreni sustav Zatvoreni sustav podrazumijeva skup materijalnih sudionika uvijek istog identiteta, tj. kroz granice sustava nema protoka mase, ms = konst.,(kg). Sva ostala svojstva, uklju�uju�i i volumen, mogu se mijenjati tijekom procesa. Za nastanak procesa nužna su najmanje dva materijalna sudionika razli�itog energetskog stanja, npr. sustav i okolina, koji izmjenjuju toplinu Q (J) i mehani�ki rad W (J). Ovakav tip sustava koristi se u klasi�noj termodinamici.

Slika 1.5. Zatvoreni sustav Slika 1.6. Otvoreni sustav Otvoreni sustav. Kontinuirani tehni�ki procesi odvijaju se u uvjetima stalne neravnoteže izme�u sudionika sustava, ili sustava i okoline. Otvoreni sustav se definira kao fiksni dio prostora, kontrolni volumen Vs= konst., kroz koji postoji protok mase m� (kg/s) radne tvari koja mijenja stanje pod utjecajem okoliša u obliku toplinskog toka � (J/s) i/ili mehani�ke snage P (J/s=W). Ovakav tip sustava uobi�ajen je u tehni�koj termodinamici kada se promatra promjena stanja radnog medija koji struji kroz neki tehni�ki ure�aj. Potpuno izolirani sustav. Kroz granice sustava nema nikakve energijske interakcije s okolišem: Q = 0 i W = 0 kod zatvorenog, ili � = 0 i P = 0 kod otvorenog sustava. Izmjena topline i/ili

9

rada odvija se izme�u sudionika sustava, pa sustav ne može imati manje od dva sudionika. Djelomi�no izolirani sustavi su: toplinski izoliran sustav (Q = 0 ili � = 0) i mehani�ki izoliran sustav (W = 0 ili P = 0).

I GLAVNI STAVAK TERMODINAMIKE

Toplina je jedan poseban oblik energije, kao što je to npr. kineti�ka ili potencijalna energija. Izmjena topline izme�u dva tijela se javlja kao posljedica razli�itosti njihovih temperature ili „temperaturnog potencijala“. Kako je toplina samo jedan od mnogobrojnih oblika energije, to za nju vrijedi op�i zakon o održanju energije koji glasi: „U sustavu koji nije u vezi s okolinom zbroj se svih koli�ina energije vremenom ne mijenja“. Joule je 1850. izvršio pokus koji je prikazan na sl. 1.3. On je u jednu, toplinski izoliranu posudu-kalorimetar, stavio vodu i lopatice koje je preko koloturnika i utega mase m pokretao. Uteg je svojim spuštanjem izvršio odre�eni rad koji je preko lopatica predan vodi u kalorimetru. Po zakonu o održanju energije taj rad nije mogao nestati, ve� se je samo mogao pretvoriti u neki drugi oblik energije. Jedina promjena koja se kod vode mogla primijetiti bila je porast njezine temperature. Nastala je promjena neke energije usko vezane s unutarnjim stanjem vode, s njenim toplinskim stanjem. Taj se oblik energije naziva „unutarnja energija“. Iz izvedenog pokusa jasno se može zaklju�iti da viša razina unutarnje energije o�ituje kroz višu temperaturu. To nije slu�aj samo za vodu iz ovog pokusa, ve� i za sve druge tvari.

Slika 1.7. Unutarnja energija ovisi samo o toplinskom stanju tijela, ona nije nikako vezana za stanje okoline tog tijela. Prema tome je i unutarnja energija jedna veli�ina stanja, isto onako kao što je to i pritisak ili temperatura, samo što se ona ne može neposredno mjeriti. Unutarnju energiju proizvoljne mase tvari m ozna�avati �emo s U [J] a unutarnju energiju svedenu na masu od 1 kg, ozna�avati �emo s u [J/kg], s tim da �e veza izme�u ove dvije veli�ine biti: U = m * u (1.12.)

10

Sva materijalna tijela u prirodi gra�ena su iz elementarnih �estica: molekula odnosno atoma. Te �estice nikad ne miruju, one se gibaju, sudaraju, rotiraju što daje kao rezultat odre�enu kineti�ku i potencijalnu energiju. Suma tih sitnih koli�ina energija daje za rezultat unutarnju energiju kao makroskopsku veli�inu. Kod termodinami�ke analize razli�itih sustava, usredoto�iti �emo se na dva oblika energije: mehani�ki rad i toplinu. Oni se mogu dovoditi ili odvoditi iz sustava pa treba usvojiti odre�eni dogovor oko predznaka energije. Tako je uobi�ajeno da manje vrijedna toplinska energija, kada se dovodi nekom sustavu, ozna�ava kao pozitivna veli�ina (+) kao što se i više vrijedni odvedeni rad ozna�ava tako�er kao pozitivna veli�ina (+). Obrnuto kada se mehani�ki rad dovodi sistemu da bi se iz sistema odvodila toplina, onda se kod takvih termodinami�kih promjena i dovedeni rad i odvedena toplina ozna�avaju negativnim predznacima (-). Kasnije �emo vidjeti da se termodinami�ki procesi mogu voditi na na�in da se iz nekog sustava mogu istovremeno odvoditi (dovoditi) i rad i toplina, ali �e oni zadržati predznake prema prijašnjem dogovoru:

• Dovedeni rad (-) • Odvedeni rad (+) • Dovedena toplina (+) • Odvedena toplina (-)

Slika 1.8. Unutarnja energija �e se dakle pove�ati ako se sustavu dovede neka energija ( npr. toplina ili mehani�ki rad) ili smanjiti ako se energija odvede. Ako se u cilindru sa stapom nalazi plin �ija je unutarnja energija U1. Slika 1.9.

11

Ako na stap djeluje sila F �ijim se djelovanjem stap pomakne za udaljenost s, onda sila F djeluju�i na tome putu izvrši mehani�ki rad koji je jednak:

W= �s

Fds0

[ ]J (1.13.)

A taj se rad utrošio na pove�anje unutarnje energije plina U1 na U'. Budu�i da se unutarnja energija prema zakonu održanja energije morala pove�ati upravo za iznos dovedenog mehani�kog rada, to mora biti: - W = U' – U1 (1.14.) Neka sada stap ostane nepomi�an, a cilindar zagrijavamo plamenikom dovode�i mu toplinu Q. Jasno je da �e temperatura plina u cilindru rasti, što �e za posljedicu imati pove�anje unutarnje energije plina: Q = U2 – U' (1.15.) Izvršimo sada u mislima pokus koji �e sadržavati istovremenu kompresiju i grijanje plina u cilindru. Matemati�ki opis takvog procesa dobit �emo ako zbrojimo jednadžbe (1.14.) i (1.15.): Q – W = U2 – U1 (1.16.) Q = U2 – U1 + W (1.17.) Katkada �e se na ra�un dovedene topline promijeniti i drugi oblici energije sustava (potencijalna energija, kineti�ka energija i sl.) pa �e izraz (1.17.) poprimiti oblik: Q = U2 – U1 + W + �∆+∆+∆ iKP EEE (1.18.) Izrazi (1.17.) i (1.18.) predstavljaju matemati�ku formulaciju zakon o održanju energije koje se u termodinamici još naziva I glavni stavak termodinamike. Pojednostavljeni oblik I gl. stavka (jednadžba 1.17.) može se pisati i u diferencijalnom obliku: dQ = dU + dW (1.19.) Rad Ako se u cilindru sa stapom nalazi plin pod odre�enim pritiskom p, onda se djelovanje pritiska može zamijeni silom: F = p * A (1.20.)

12

Ako se stap pod djelovanjem tlaka pomakne za infinitezimalno mali pomak ds onda je pri tome izvršeni rad plina jednak: dW = F * ds = p * A * ds = p * dV (1.21.) Slika 1.10. Ukupni rad koji �e stap izvršiti na putu s (od to�ke 1 do neke to�ke 2) dobijemo integracijom jednadžbe (1.21.):

( )dVVpW �=2

1

(1.22.)

Najve�i problem ovdje ostaje, nalaženje funkcijske veze p = p(V). Najjednostavniji slu�aj je onaj gdje je pritisak p konstantan. U tom �e slu�aju biti:

W = p * (V2 – V1) (1.23.)

Bitna pretpostavka koju smo ovdje koristili je da je tlak po cijelom volumenu cilindra konstantan odnosno, da se radni medij u svakom trenutku nalazi u unutarnjoj mehani�koj ravnoteži. Kasnije �emo vidjeti da se plin u cilindru mora nalaziti i u stanju unutarnje toplinske ravnoteže. Iz jednadžbe (1.22.) vidljivo je da neki sustava može davati ili primati mehani�ki rad samo onda, ako mu se mijenja volumen tj. kada je 0≠dV . Kako je pritisak uvijek pozitivna veli�ina iz jednadžbe (1.22.) slijedi da predznak rada korespondira predznaku promjene volumena. Ako je promjena volumena pozitivna (volumen raste - ekspanzija), onda je i predznak rada pozitivan, tj. takav sustav daje rad. Suprotno, ako je predznak volumena negativan (volumen se smanjuje – kompresija), onda je i predznak rada negativan što zna�i da takvom sustavu treba dovoditi rad. pV-dijagram Izraz (1.22.) nam pokazuje da bi se rad vrlo zorno mogao prikazati u dijagramu �ije bi osi trebale biti pritisak p i volumen V. Ako se u taj dijagram ucrtaju to�ke koje dobijemo o�itanjem pritiska p na manometru a zavisno od položaja klipa odnosno volumena. Svaka od ovih to�aka predstavlja jedno toplinski ravnotežno stanje. Liniju koja spaja sve ove to�ke nazivamo linijom promjene stanja. Površina ispod linije promjene stanja predstavlja prema jednadžbi (1.22.) rad. Ako je tok linije promjene stanja od lijeva prema desno, onda je rad pozitivan. Suprotno, ako je tok linije promjene stanja od desna prema lijevo, onda je rad negativan.

13

Slika 1.11.

1

IDEALNI PLINOVI Idealni plin kao pojam uvodi se u termodinamici radi pojednostavljenja proračuna. Greške nastale takvim proračunima moraju biti u prihvatljivim granicama. Prema pretpostavci idealni plin je onaj plin čije molekule imaju masu ali su zanemarivog volumena. Druga je pretpostavka da između molekula plina nema nikakvih interakcija Mnogo realnih plinova (zrak, kisik, dušik, ugljični dioksid, argon, amonijak, acetilen itd.) u području niskih tlakova i visokih temperatura (dakle u području visokopregrijanih para) ponaša se u skladu s pretpostavkama idealnog plina. Jednadžba stanja idealnih plinova Toplinsko stanje materije određuje se preko veličina stanja. Ako se uzmu osnovne veličine stanja: temperatura, pritisak i specifični volumen (ili gustoća kao njegova inverzna vrijednost), postavlja se pitanja da li postoji neka funkcionalna zavisnost koja bi nam na osnovu 2 zadane veličine definirala treću. Dakle tražimo: p = p (ϑ , v) v = v (p, ϑ ) ϑ = ϑ (p, v) Pretpostavka koju pri tome uvodimo je da je plin ili mješavina plinova homogena tj. sastavom ista po cijelom svom volumenu. Druga pretpostavka je da se plin nalazi u potpunoj toplinskoj i mehaničkoj ravnoteži (veličine stanje konstantne po cijelom volumenu). Gay Lussacov zakon Gay Lussac (1778-1850 Fransuski fizičar i kemičar), vršio je pokuse sa idealnim plinovima na način da je prilikom jednog pokusa tlak plina držao konstantnim a mijenjao temperaturu. Rezultate pokusa formulirao je jednadžbom:

v =15.273

ov (273.15 + ϑ ) za p = const. (2.1)

Ako ovu funkciju prikažemo u ϑ -v dijagramu (slika 2.1.) njezina će slika biti pravac. Taj pravac vrijedi za određeni konstantni pritisak p1. Ako napravimo sliku za drugu vrijednost tlaka dobiti ćemo kao rezultat drugi pravac. Karakteristično za sve te pravce je da se sijeku u točki vrijednosti temperature ϑ = -273,15 ºC. U toj točki vrijednost specifičnog volumena jednaka je 0 što znači bi značilo da plin kod te temperature ne zauzima nikakav volumen što je samo po sebi nemoguće (zbog toga je na dijagramu nacrtana isprekidana linija). Ako sada pomaknemo koordinatni sustav na način da ishodište bude u točki ϑ = -273,15 ºC i vrijednost temperature označimo s T vrijedi relacija: TpfTkv ⋅=⋅= )( (2.2)

2

Pri tome se vrijednost temperature T naziva «apsolutna temperature» i iznosi

T (K) = ϑ (ºC) + 273,15 (2.3.)

a njena jedinica je 1 K (Kelvin). Vrijednost od 0 K naziva se «apsolutnom nulom» i u praksi nije dostižna. p3<p2

p2<p1 v0 p1 ϑ Slika 2.1. Boyle- Mariottov zakon I dok je Gay Lussac provodio pokuse s idealnim plinom kod konstantnog tlaka, Robert Boyle (engleski kemičar 1627-1691) i Edme Mariotte (francuski fizičar) su nezavisno jedan od drugog vršili pokuse s plinovima pri konstantnoj temperaturi. Pri tome su zaključili da se kod konstantne temperature vrijednosti tlaka mijenjaju inverzno s volumenom tj. višoj vrijednosti tlaka odgovara niža vrijednost specifičnog volumena. Ili matematički: .constvp =⋅ (2.4.) Kako za svaku temperaturu vrijedi druga konstanta to je: )(Tfvp =⋅ (2.5.) Ako takvu funkciju prikažemo u p – v dijagramu dobit ćemo istostranu hiperbolu T2>T1 T1 Slika 2.2.

3

Da bismo spojili Gay Lussacov i Boyle-Mariottov zakon jednadžbu (2.2.) pomnožimo s p p v = p f(p) T (2.6.) Produkt p f(p) daje samo novu funkciju pritiska, po pišemo p v = f (p) T (2.7) Usporedbom jednadžbi (2.5.) i (2.7.) dobivamo: f(T) = f(p) T Kako je lijeva strana jednadžbe funkcija temperature, desna strana ne može biti još i funkcija pritiska već može biti jedino konstanta tj. f(p) = const. = R (2.8) Konstanta R se naziva individualna plinska konstanta i ne ovisi o toplinskom stanju plina već samo o njegovom kemijskom sastavu. Sada jednadžba (2.6.) poprima oblik

p v = R T (za 1 kg plina) (2.9.) p V = m R T (za m kg plina) (2.10.)

Avogadrov stavak « U jednakim obujmima pri istim temperaturama i istim pritiscima, sadrže svi plinovi isti broj molekula». Ovo možemo reći i drugim riječima. Isti broj molekula plina, pri istim pritiscima i istim temperaturama zauzima uvijek jednaki volumen. Kako se plinovi razlikuju po svojem kemijskom sastavu tako se razlikuju i po svojoj molekularnoj masi. Za mjerenje mase molekula i atoma kao osnovna jedinica uzeta je masa 1/12 mase atoma ugljikovog izotopa 12C koja iznosi 1.6605*10-27 [kg] i označava se s a. Molekularna masa je usporedna (bezdimenzijska) veličina koja nam kazuje koliko je puta masa čestice veća od osnovne jedinice a. Ako u nekom prostoru imamo N molekula neke tvari onda ukupna masa te tvari iznosi: aMNm ⋅⋅= (2.11.) Sada ćemo uvesti pojam količine tvari za koju se kao jedinicu koristi 1 kilomol. Jedan kilomol neke tvari ne onoliko kilograma te tvari, kolika je njena molekularna masa tj. 1 kilomol = M kg (2.12.) Sada izračunajmo koliko iznosi masa jednog kilomola tvari! LNaMM ⋅⋅= (2.13.)

4

u jedinicama: −⋅⋅−= kgkg (2.14.) Oznaka M na lijevoj strani jednadžbe označava „molnu“ masu u [kg] a oznaka M na desnoj strani jednadžbe označava molekularnu masu (bez dimenzije). Kako su njihove brojčane vrijednosti identične to će vrijediti: 1=⋅ LNa (2.15.) ili

NL = a1 = 6.022* 1026 [molekula/kilomolu]

i naziva se Loschmidtov broj. Primijenimo Avogadrov stavak na idealni plin. To će reći: ako jedan kilomol idealnog plina sadrži isti broj molekula, a sadrži, onda on pri istom tlaku i istoj temperaturi zauzima jednaki volumen vm [m3/kmol]. Kako je molna masa M puta veća od jednog kilograma, mora i volumen jednog kilomola vm biti M puta veći od volumena jednog kilograma v [m3/kg]. vm = M v m3/kmol (2.16.) Primijenimo sada jednadžbu stanja idealnog plina na jedan kilomol bilo kojeg plina p vm = M R T (2.17)

M R =T

pvm 2.18.)

Kako različiti idealni plinovi pod istim pritiskom i istom temperaturom zauzimaju isti volumen to će produkt M R na lijevoj strani jednadžbe (2.18) biti uvijek jedan te isti broj: M1 R1 = M2 R2 = …= ℜ (2.19) Karakteristika ℜ predstavlja opću plinsku konstantu. Ona je neovisna o toplinskom stanju i vrsti plina i iznosi: ℜ = 8314 J/kmol K (2.20) To će reći da se vrijednost individualne plinske konstante dobiva: R = ℜ / M (2.21.)

5

Uvrstimo sada jednadžbu (2.19) u (2.17.) i dobivamo: p vm = ℜ T (za 1 kilomol) (2.22) Ili za količinu plina N: N p vm = N ℜ T (za N kilomola) (2.23) Pošto je produkt: N vm = V (2.24) Slijedi:

pV = N ℜ T (za N kilomola) (2.25) Izračunajmo sad koliko iznosi volumen 1 kilomola idealnog plina kod normalnog stanja (temperatura 0ºC i pritisak 101325 Pa):

vm = 41.22101325

15.2738314=

⋅=

ℜpT m3/kmol (2.26.)

Normni kubni metar Normni kubni metar, mn

3 , se koristi kao jedinica količine tvari i predstavlja onu količinu tvari koja kod normalnih uvjeta zauzima volumen od 1 m3. 1 mn

3 = 1/22.41 kmol = M/ 22.41 kg (2.27.) Specifična toplina Specifična toplina je ona količina topline, koju treba dovesti jedinici količine tvari da bi se njena temperatura podigla za 1 K ili 1 ºC. Odabrana količina tvari može biti 1 kg, 1 kmol, ili 1 mn

3 . Specifičnu toplinu svedenu na 1 kg označavati ćemo slovom c, na 1 kmol s C, a onu svedenu na 1 mn

3 s C'. S obzirom na definiciju specifične topline vrijedi: ϑdcdq ⋅= J/kg (2.28.) Specifična toplina je općenito ovisna o temperaturi i prema jednadžbi (2.28.) ona za pojedinu temperaturu iznosi:

c = ϑd

dq (2.29.)

No, ako se radi o maloj razlici temperatura onda možemo specifičnu toplinu smatrati konstantnom pa pišemo:

6

ϑΔ⋅= cq J/kg (2.30.)

ϑΔ=

qc (2.31.)

Navedene relacije jednoznačno vrijede za krute i kapljevite tvari koje pri zagrijavanju zanemarivo mijenjaju svoj volumen. To isto se ne bi moglo reći za plinove koji pri zagrijavanju, mijenjaju volumen znatno. Razmotrimo sada uz jedan pokus što se događa s plinovima! U zatvorenu čvrstu posudu zatvorimo 1 kg idealnog plina. U posudu ugradimo termometar i grijalicu kojom plin zagrijemo od temperature ϑ 1 na temperaturu ϑ 2. Kako je volumen konstantan to će početni pritisak 1p porasti na pritisak 2p . Pri tome ćemo utrošiti topline: ( )12 ϑϑϑ −⋅=Δ⋅= vvv ccq (2.32.) Ako sada primijenimo I glavni stavak termodinamike: ( ) wuucq vv +−=−⋅= 1212 ϑϑ (2.33.) Kako je tijekom zagrijavanja volumen konstantan ( 0=dv ) , 0=w pa slijedi: ( ) 1212 uucq vv −=−⋅= ϑϑ (2.34.) Izvršimo sada drugi pokus! U glatki cilindar s pomičnim stapom zatvorimo 1 kg idealnog plina. Stap opteretimo utegom mase m što će plinu u cilindru osigurati konstantan pritisak: Slika 2.3.

A

mgp = Pa (2.35.)

Plin zagrijavamo od početne temperature ϑ 1 do konačne ϑ 2 koje su identične temperaturama iz prvog pokusa. Kako je pritisak konstantan da bi jednadžba stanja bila zadovoljena plin će povećati svoj volumen. Dovedena toplina je tada: ( ) wuucq pp +−=−⋅= '' 1212 ϑϑ (2.36.)

7

Da bi utvrdili odnos unutarnjih energija kod 1. i 2. pokusa razmotrimo treći pokus koji je izveo Gay Lussac. Slika 2.4. On je u kalorimetar stavio dvije posude međusobno spojene s cijevi na kojoj je bio zatvoreni pipac. Jedna posuda je bila ispunjena plinom a druga potpuno evakuirana. Temperaturu u kalorimetru je mjerio preciznim termometrom. Nakon stavljanja spojenih posuda u kalorimetar pričekao je da se u kalorimetru uspostavi potpuna mehanička i toplinska ravnoteža. Nakon toga je otvorio pipac i omogućio na taj način da se tlakovi u objema posudama izjednače. Pratio je temperaturu na termometru, ali nikakve promjene nije bilo. Prilikom pokusa nije bilo nikakve izmjene topline s okolinom a i ukupni volumen obiju posuda se nije mijenjao što znači da je rad plina bio jednak 0. Ako sada napišemo I glavni stavak za ovaj pokus: Q =U2 – U1 + W A pošto je Q = 0 i W = 0, slijedi da je U2 = U1, što znači da se unutarnja energija kompletnog sistema nije promijenila. A kako se prilikom pokusa pritisak mijenjao a temperatura ne slijedi zaključak da unutarnja energija ne ovisi o tlaku već ovisi samo o temperaturi. Vratimo se sada na dva prethodna pokusa! Kako su se oba pokusa izvodila od istih početnih (ϑ 1)do istih krajnjih temperatura (ϑ 2), slijedi da je razlika unutarnjih energija u2 - u1 jednaka razlici u2 '- u1' pa jednadžba (2.36.) poprima oblik: ( ) wuucq pp +−=−⋅= 1212 ϑϑ (2.37.) A kako je pritisak konstantan tijekom procesa slijedi: ( ) ( )121212 vvpuucq pp −⋅+−=−⋅= ϑϑ (2.38.) Iz jednadžbe stanja volumene možemo izraziti:

p

RTv 11 = (2.39.)

8

p

RTv 2

2 = (2.40.)

Uvrštavanjem jednadžbi (2.39.) i (2.40.) u jednadžbu (2.38.) dobivamo:

( ) ( ) ( )121212 TTRcc vp −⋅+−⋅=−⋅ ϑϑϑϑ (2.41.) pa slijedi da je:

Rcc vp += (2.42.) Odavde individualna plinska konstanta R dobiva svoj fizikalni smisao. Dakle R[J/kg K] je količina rada koji 1 kg nekog idealnog plina preda okolini prilikom zagrijavanja za 1 K uz konstantni tlak. Relacija (2.42.) nam također kazuje da se pokus može s istim rezultatom voditi na način da se prvo plina zagrije za 1 K kod konstantnog volumena, a da se zatim ekspandira dok pritisak ne padne na početni nivo. Ako bismo isti pokus provodili na količini plina od 1 kmol došli bi do sličnih rezultata ali kako se radi o M kg plina slijedi:

RMcMcM vp ⋅+⋅=⋅ (2.43.)

ℜ+= vp CC (2.44.) Za količinu plina od 1 mn

3 vijedi:

41.22'' ℜ+= vp CC (2.45.)

Ovdje ćemo uvesti novu karakteristiku κ (kapa) koja je karakteristična za

pojedini idealni plin i predstavlja omjer specifičnih toplina pc i vc .

''

v

p

v

p

v

p

CC

CC

cc

===κ (2.46.)

Iz jednadžbe (2.44.) i (2.46.) slijedi:

1−=κκMRC p =

1−ℜ

κκ J/kmol K (2.47.)

1−=κMRCv =

1−ℜ

κ J/kmol K (2.48.)

9

Iz ovih relacija mogu se mjerenjem brzine zvuka (određivanjem karakteristike ) u određenom plinu bez kalorimetričkih mjerenja odrediti specifične topline. Treba napomenuti da je karakteristika ovisna o temperaturi. Srednja specifična toplina Kada se radi o zagrijavanju neke tvari za osjetniju temperaturnu razliku potrebno je uzeti u obzir promjenjivost specifičnih toplina o temperaturi. Najbolje je u tom slučaju računati s srednjim specifičnim toplinama. Slika prikazuje kvalitativnu promjenu specifične topline s obzirom na temperaturu. Površina c * d ϑ prema definiciji predstavlja infinitezimalnu količinu topline dq. Ukupna količina topline koju treba dovesti za zagrijavanje od ϑ 1 do ϑ 2 predstavlja površina ispod krivulje. Matematički izraženo:

q = ∫2

1

c d ϑ (2.49.)

Kao što vidimo na slici, površinu ispod krivulje možemo zamijeniti pravokutnikom jednake površine. Baza pravokutnika je razlika temperature ϑ 2 - ϑ 1 , a visina mu je jednaka srednjoj specifičnoj toplini između ϑ1 i ϑ2 koju označavamo [ ] 2

1

ϑϑc . Iz zahtjeva

jednakosti površina slijedi:

[ ] 2

1

ϑϑc (ϑ1- ϑ2 ) = ∫

2

1

c d ϑ (2.50.)

Toplina Q12 koju treba dovesti za zagrijavanje od temperature ϑ1 do temperature ϑ2 jednaka je toplini Q02 koju treba dovesti za zagrijevanje od 0ºC do ϑ2 umanjenoj za toplinu koju treba dovesti za zagrijavanje od 0ºC do ϑ1. Ili matematički:

10

∫2

1

c d ϑ = ∫2

0

c d ϑ - ∫1

0

c d ϑ (2.51.)

Uz upotrebu jednadžbe (2.50.), te ako integrale na desnoj strani izrazimo također preko srednjih specifičnih toplina između 0ºC i ϑ1 te između 0ºC do ϑ2, dobivamo: [ ] 2

1

ϑϑc (ϑ1- ϑ2 ) = [ ] 2

0ϑc ϑ2 - [ ] 1

0ϑc ϑ1 (2.52.)

Odavde slijedi izraz za računanje srednje specifične topline:

[ ] 2

1

ϑϑc = [ ] [ ]

12

10212

ϑϑϑϑ ϑϑ

−− cc o (2.53.)

Za slučajeve kad je temperature ϑ1 mnogo manje od ϑ2 pokazalo se da se uz neznatne greške može računati: [ ] 2

1

ϑϑc = [ ] 12

0ϑϑ +c (2.54.)

Jednadžba (2.53.) vrijedi za sve vrste specifičnih toplina (cp, cv, Cp, Cv). Kako za prave, tako i za srednje specifične topline vrijede relacije: [ ] 2

1

ϑϑpc = [ ] 2

1

ϑϑvc + R (2.55.)

[ ] 2

1

ϑ

ϑpC = [ ] 2

1

ϑϑvC + ℜ (2.56.)

[ ] 2

1

ϑϑκ =

[ ][ ]

=2

1

2

1

ϑϑ

ϑ

ϑ

v

p

c

c [ ][ ] 2

1

2

1

ϑϑ

ϑ

ϑ

v

p

C

C (2.57.)

Računanje unutarnje energije Unutarnja energija, kao jedna od veličina stanja, funkcija je toplinskog stanja tijela, dakle i funkcija drugih veličina stanja. U općem slučaju možemo pisati da je u = f (T, v). Ova funkcija se naziva kalorička jednadžba stanja. Njezin je totalni diferencijal:

du = v

u⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ϑ

* dϑ + ϑ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂vu * dv (2.58.)

Indeksi v i ϑ označavaju da se parcijalne derivacije vrše kod konstantnog volumena v, odnosno konstantne temperature ϑ. Spomenuli smo da su pokusi pokazali, da je unutarnja energija idealnih plinova ovisna samo o temperaturi. Kod njih je dakle,

11

zbog konstantnosti temperature, član ϑ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂vu * dv = 0. Pošto je prema

v

u⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ϑ

= cv, za

idealne plinove možemo pisati: du = cv dϑ odnosno

u = ∫1

0

ϑ

ϑ

ϑdcv + u0 (2.59.)

gdje je u0 integraciona konstanta jednaka unutarnjoj energiji kod temperature ϑ0 . Ako je specifična toplina cv neovisna o temperaturi, možemo pisati: u = cv (ϑ1 - ϑ0) + u0 (2.60.) Ako pak uzimamo u obzir promjenljivost specifične topline s temperaturom onda možemo pisati: u = [ ] 1

0

ϑϑvc (ϑ1 - ϑ0) + u0 (2.61.)

Kako će nas uglavnom zanimati promjena unutarnje energije za vrijeme promjene temperature od ϑ1 na ϑ2 to nećemo morati računati vrijednost integracione konstante već ćemo dobiti izraze: u2 – u1 = cv (ϑ2 - ϑ1) (2.62.) u2 – u1 = [ ] 2

1

ϑϑvc (ϑ2 - ϑ1) (2.63.)

Dosta često se uzima u tablicama da je vrijednost unutarnje energije kod temperature 0ºC jednaka 0 pa se izraz za računanje unutarnje energije kod neke temperature ϑ pojednostavnjuje i glasi: u = cv ϑ (2.64.) Za tvari gdje se promjena volumena s obzirom na temperaturu može smatrati zanemarivom (dv~0) računa se samo s jednom vrijednosti specifične topline: cp = cv = c.

12

Mješavine idealnih plinova Često se u praksi sreću mješavine plinova (zrak je primjerice mješavina uglavnom kisika i dušika), pa se postavlja pitanje na koji način opisati njihovo termodinamičko stanje. U tu svrhu napravimo eksperiment kao što je prikazano na slici 2.6. . Na početku se masa m1 idealnog plina (molekularne mase M1) nalazi u volumenu V1 a masa m2 idealnog plina (molekularne mase M2) u volumenu V2. Pritisak p i temperatura T su na početku pokusa identični i za jedan i za drugi plin. Ako sada otvorimo pregradu što ih dijeli plinovi će se međusobno pomiješati. Temperatura i pritisak neće se pritom nimalo promijeniti. Ako bi sada uzeli bilo koji proizvoljni dio volumena V vidjeli bismo da se u svakom nalazi određeni i svuda isti omjer dvaju plinova što znači da je svaki od plinova ispunio cjelokupni volumen. Pravilo je generalno i vrijedilo bi za bilo koji broj plinova-sudionika u miješanju. Slika 2.6. Proces je opisao Dalton zaključkom koji nazivamo Daltonovim zakonom: U mješavini idealnih plinova svaki plin ispunjava cjelokupni raspoloživi prostor i pri tome se ponaša, kao da ostalih plinova uopće ne postoji. Svaki plin stoji pod svojim parcijalnim pritiskom, koji mu odgovara po datim uvjetima, (volumenu V i temperaturi T), a sveukupni pritisak mješavine jednak je zbroju tih parcijalnih pritisaka. Ako s p1, p2, …., pn označimo parcijalne pritiska pojedinih plinova sudionika u mješavini onda je sveukupni pritisak određen jednadžbom:

p = p1 + p2 + ….+ pn =∑=

n

i 1 pi (2.65.)

Za svaki pojedini sudionik vrijedi jednadžba stanja kako prije miješanja: p V1 = m1 R1 T (2.66.) Tako i poslije miješanja: p1 V = m1 R1 T (2.67.) Gdje je ukupni volumen V ustvari zbroj volumena sadržanih plinova prije miješanja:

13

V = V1 + V2 + ….+ Vn =∑=

n

i 1Vi (2.68.)

Iz jednadžbi slijedi p V1 = p1 V A omjer

r1= VV

pp 11 = (2.69.)

Nazivamo volumenski udio plina 1. Kada bi od ukupnog volumena izdvojili 1 m3 plina onda bi plin 1 zauzima upravo r m3. Analogno vrijedi za bilo koji sudionik mješavine:

rn= VV

pp nn = (2.70.)

Što će rezultirati jednadžbom:

r1 + r2 + ….+ rn =∑=

n

i 1ri = 1 (2.71.)

No sastav mješavine može se definirati i masenim udjelima:

g1= mm1 (2.72.)

gdje je m1 [kg] masa plina 1, a m [kg] ukupna masa mješavine. Analogno vrijede i jednadžbe:

gn= mmn (2.73.)

g1 + g2 + ….+ gn =∑=

n

i 1gi = 1 (2.74.)

Da bismo došli do relacija za preračunavanje volumenskih udjela u masene i obrnuto napišimo jednadžbu stanja za pojedini plin prije miješanja:

pV1= m1 R1 T =1

1

MTm ℜ

14

pV2= m2 R2 T =2

2

MTm ℜ

Ako podijelimo lijeve i desne strane ovih jednadžbi međusobno dobivamo:

22

11

2

1

MVMV

mm

=

Podijelimo li brojnika i nazivnik lijeve strane s ukupnom masom mješavine m, a brojnik i nazivnik desne strane s volumenom mješavine V, to s(2.70.) i (2.73.) dobivamo:

22

11

2

1

MrMr

gg

=

Analogno možemo pisati:

nnn Mr

Mrgg 111 =

Odavde slijedi:

g2 = g1 11

22

MrMr g3 = g1

11

33

MrMr gn = g1

11MrMr nn (2.75.)

(2.75) u (2.74.)

11

1

Mrg (r1 M1 + r2 M2 + … + rn Mn ) = 1

odnosno:

g1 = =+++ nnMrMrMr

Mr...2211

11 ∑=

n

iii Mr

Mr

1

11 (2.76.)

Za svaki pojedini i-ti sudionik u mješavini analogno vrijedi:

gi = ∑=

n

iii

ii

Mr

Mr

1

(2.77.)

Napišimo sada ponovno jednadžbe stanja za pojedine sudionike mješavine:

15

p1V= m1 R1 T p2V= m2 R2 T ………………. pnV= mn Rn T Sada zbrojimo međusobno te jednadžbe: V (p1 + p2 + … + pn) = T (m1 R1 + m2 R2 + … + mn Rn) (2.78.) Desnu stranu jednadžbe pomnožimo i podijelimo s m p V = m (g1 R1 + g2 R2 + … + gn Rn) T (2.79.) Iz ovako napisane jednadžbe vidljivo je da izraz

(g1 R1 + g2 R2 + … + gn Rn) = ∑=

n

i 1gi Ri (2.80.)

Predstavlja individualnu plinsku konstantu mješavine. Ako nisu poznati maseni udjeli plinova, već volumenski onda je plinsku konstantu zgodnije izračunati na drugi način. Iz jednadžbi ispada:

R = ∑=

n

iii Mr

Mr

1

11 * 1M

ℜ + ∑=

n

iii Mr

Mr

1

22 * 2M

ℜ + … + ∑=

n

iii

nn

Mr

Mr

1

* nM

ℜ =

= ∑=

ℜn

iii Mr

1

(r1 + r2 + … + rn )

R = ∑=

ℜn

iii Mr

1

(2.81.)

Gdje je M = Σ ri Mi tzv. «prividna molekularna masa». S njom možemo računati kao s pravom molekularnom masom ali on u biti stvarno ne postoji jer nema molekule plina koja ima masu takve vrijednosti. Kako su plinovi samo izmiješani a ne i kemijski spojeni, ona ustvari predstavlja prosječnu molekularnu masu te mješavine. Nadalje možemo pisati: p V = N ℜ T gdje je N= N1+ N2 + … +Nn ukupna količina tvari mješavine izražena u [kmol]

16

Jednadžba za n-tog sudionika mješavine glasi: p Vn = Nn ℜ T (2.82.) pa slijedi:

rn= VVn =

NNn (2.83.)

Dakle, volumenski udio nam osim prije spomenutih podataka daje još i odnos broja kilomola nekog sudionika Nn prema ukupnom broju kilomola mješavine N. Napišemo li jednadžbu stanja plina jedan prije miješanja: pV1= m1 R1 T i jednadžbu stanja mješavine: PV= m R T Njihovim međusobnim dijeljenjem dobivamo:

VV1 =

mRRm 11

Koristeći izraze slijedi:

r1= g1 RR1 = g1

∑=

ℜ

n

iii Rg

M

1

1 = g1 ∑=

ℜ

ℜ

n

i ii M

g

M

1

1 = ∑=

n

i i

i

Mg

M

g

11

1

ili za n-ti plin:

rn= ∑=

n

i i

in

n

Mg

M

g

1

(2.84.)

Specifična toplina mješavine, prava ili srednja, može se odrediti iz činjenice, da se toplinom dovedenom mješavini moraju, za istu temperaturnu razliku, ugrijati svi sudionici, koji je sačinjavaju. Ako se zagrijavanje vrši npr. kod konstantnog volumena, mora biti: Q = m cv (ϑ2 - ϑ1) = m1 cv1 (ϑ2 - ϑ1) + m2 cv2 (ϑ2 - ϑ1) + … + mn cvn (ϑ2 - ϑ1)

17

Odavde nakon dijeljenja lijeve i desne strane s m (ϑ2 - ϑ1) i sa jednadžbama, slijedi specifična toplina mješavine:

cv = g1 cv1 + g2 cv2 + … + gn cvn = ∑=

n

iviicg

1 [ J/kg K] (2.85.)

Analogno slijedi:

cp = ∑=

n

ipiicg

1 [ J/kg K] (2.86.)

Za računanje molnih specifičnih toplina mješavine postupak je sličan: Q = NCv (ϑ2 - ϑ1) = N1 Cv1 (ϑ2 - ϑ1) + N2 Cv2 (ϑ2 - ϑ1) + … + Nn Cvn (ϑ2 - ϑ1) Dijeljenjem jednadžbe s N (ϑ2 - ϑ1) dobiva se:

Cv = r1Cv1 + r2 Cv2 + … + rn Cvn = ∑=

n

iviiCr

1 [ J/kg K] (2.87.)

Analogno tome:

Cp = ∑=

n

ipiiCr

1 [ J/kg K] (2.88.)

1

POVRATIVE PROMJENE STANJA IDEALNIH PLINOVA U raznim strojevima i napravama u kojima kao radni medij služi plin, neprekidno se mijenja stanje toga plina. �itav niz uzastopnih stanja kroz koja plin prolazi nazivamo promjenom stanja. Potrebno je da prou�imo neke naro�ite promjene stanja, koje su naj�eš�e. Pri tom �e nas zanimati odnosi izme�u pritisaka, temperatura i volumena radnog plina, jer su to veli�ine koje utje�u na dimenzioniranje strojeva, kako u pogledu �vrsto�e, tako i u pogledu kapaciteta. Osim toga bit �e interesantno da saznamo, koliko mehani�kog rada neki proces daje ili troši, te kolike su potrebne izmijenjene topline. Kod prou�avanja slijede�ih promjena stanja u�init �emo neke bitne pretpostavke, koje uvijek moraju biti zadovoljene da bi vrijedile izvedene relacije. Prva je pretpostavka, da se na plin u svakom trenutku njegove promjene stanja može primijeniti jednadžbu stanja idealnog plina. To �e biti dozvoljeno samo onda, ako se plin stalno nalazi u unutarnjoj mehani�koj i toplinskoj ravnoteži. Druga je pretpostavka, da se izvršeni mehani�ki rad može ra�unati po 2

izrazu W = � pdV, (u tom je slu�aju mehani�ki rad prikazan površinom u pV-dijagramu), a to 1

zahtijeva da se radni medij, plin, stalno nalazi u mehani�koj ravnoteži sa svojom okolinom. Samo uz ispunjenje ovih uvjeta možemo promjene stanja smatrati povrativim (o tome više kasnije kod II glavnog stavka termodinamike) i na to moramo stalno misliti kada razmatramo bilo kakve procese. Promjena stanja kod V = konst (izohora) Slika 3.1. Dovodimo li plinu zatvorenom u posudi nepromjenljivog volumena toplinu, porast �e mu pritisak i temperatura. Taj je proces u pV-dijagramu prikazan na slici 3.1.. Ako je plin na po�etku imao stanje 1 pritiska p1 i temperature T1, a na kraju zagrijavanja stanje 2 (p2, T2) onda jednadžbe stanja, za po�etno i kona�no stanje glase: p1V = m R T1

p2V = m R T2

A odovud slijedi odnos

2

1

2

1

TT

pp

= (3.1.)

2

Dakle višem pritisku odgovara i viša temperatura. Budu�i da je kod ove promjene stanja volumen konstantan to je dV = 0, onda je i izvršeni rad W = 0. Izraz za dovedenu toplinu, potrebnu da se plin zagrije od po�etne temperature �1 na kona�nu temperaturu �2, izveli smo ve� prilikom diskusije o specifi�noj toplini kod konstantnog volumena:

Q = U2 – U1 = m cv (�2 – � 1) = m cv (T2 – T1) (3.2.) ili izraženo pomo�u molnih specifi�nih toplina Q = N Cv (� 2 – � 1) = N Cv (T2 – T1) (3.3.) Po potrebi se u (3.2.) i (3.3.) može ra�unati i sa srednjim specifi�nim toplinama. Ako proces te�e onako kako je prikazan na sl. 3.1., tj. od nižeg pritiska prema višem pritisku, p2 > p1, onda temperatura plina raste, T2 > T1, a po (118) toplina Q > 0, što zna�i, da toplinu moramo dovoditi. Proces bi se mogao voditi i obrnuto, od stanja 2 do stanja 1, no u tom bi slu�aju morali, po apsolutnom iznosu istu, koli�inu topline Q odvoditi. Promjena stanja kod P = konst (izobara) Slika 3.2. Nalazi li se plin zatvoren u nekom cilindru na �iji stap djeluje konstantna sila F, onda �e se plin nalaziti za �itavo vrijeme pod konstantnim pritiskom p = F/A, gdje je A površina stapa. O takvoj smo promjeni stanja ve� govorili kada smo diskutirali specifi�nu toplinu kod konstantnog pritiska. Tom smo prilikom izveli i izraze po kojima možemo ra�unati toplinu potrebnu za zagrijavanje od po�etne temperature �1 na kona�nu temperaturu �2:

Q = m*cp (�2 – �1) = m*cp (T2 – T1) (3.4.) ili izraženo pomo�u molnih specifi�nih toplina

Q = N*Cp (� 2 – � 1) = N*Cp (T2 – T1) (3.5.)

3

I izraz koji nam kaže koliko rada dobivamo prilikom ekspanzije plina od 1 do 2:

W = �2

1

pdV = p (V2 – V1) = p m (v2 – v1) (3.6.)

tako�er smo ve� prije izveli. Iz jednadžbi stanja plina za stanje 1 i 2 : PV1 = mRT1

PV2 = mRT2 slijedi odnos 2

1

2

1

TT

VV

= (3.7.)

Zna�i da ve�em volumenu odgovara viša temperatura. Izobara prikazana u pV-dijagramu predo�ena je na sl. 3.2. Rad W predo�en je površinom ispod linije promjene stanja. Ako se toplina Q dovodi plinu, njegova temperatura raste, a po (3.7.) raste mu i volumen; proces te�e u pV-dijagramu od 1 do 2, od lijeva na desno, kao što je na slici 3.2. ucrtano i rad W je dobiven rad, W > 0. Kada bi promjena stanja tekla od 2 prema 1, morali bi odvesti istu koli�inu topline Qi dovesti isti rad W (izvršiti kompresiju pod djelovanjem sile F), W < 0. Promjena stanja kod ���� = const. (izoterma) Slika 3.3. Neka se plin nalazi u toplinski neizoliranom cilindru, koji je okružen medijem konstantne temperature, npr. okolišnjim uzduhom. Ako plin u cilindru vrlo polagano ekspandira, onda �e iz okoline kroz stjenku cilindra prelaziti na plin toliko topline, da �e se temperatura plina održavati konstantnom. Radi li se o kompresiji plina, onda �e proces te�i obrnuto: toplina �e sa plina prelaziti na okolinu, ali �e temperatura plina opet ostati konstantna. Jednadžbe stanja napisane za po�etno i kona�no stanje kod takve izotermne promjene stanja glasit �e:

p1V1 = m R T p2V2 = m R T

4

a zbog me�usobne jednakosti njihovih desnih strana, slijedi odovud p1V1 = p2V2 = p V = mRT = const. (3.8.) kao jednadžba izoterme. Ovdje smo sa p i V ozna�ili bilo koji pritisak i pripadaju�i mu volumen za vrijeme promjene stanja. U pV-dijagramu to je istostrana hiperbola (sl. 17). Njen je položaj u dijagramu to viši, što je viša temperatura kojoj ona pripada. Rad dobiven kod izotermne ekspanzije od stanja 1 (p1, V1) do stanja 2 (p2, V2) odredit �emo :

W= =�2

1

pdV �� =2

1

2

1 VdV

mRTdVV

mRT

gdje smo p = V

mRTnapisali na osnovu jednadžbe izoterme. Slijedi:

W = mRT * 1n1

2

VV

= mRT * 1n2

1

pp

= pV * 1n 1

2

VV

— = pV * 1n2

1

pp

(3.9.)

Kojim �emo se od ovih izraza poslužiti, to ovisi o tome, koje su nam veli�ine poznate. Da bi odredili koli�inu topline Q, koju treba dovesti kod ekspanzije od 1 do 2, poslužimo se I glavnim stavkom termodinamike:

Q = U2 – U1 + W = m * cv (�2 – � 1) + W Kako je kod izoterme �2 = �1 = � = konst, unutarnja se energija kod te promjene stanja ne mijenja, U2 = U1, pa je

Q = W (3.10.)

Gdje se rad W može izra�unati po (3.9.). Iz (3.10.) se vidi da Q i W imaju uvijek isti predznak: da bi se dobio rad W treba dovesti toplinu Q (ekspanzija 1 – 2), a ako se rad troši, onda se toplina mora odvoditi (kompresija (2 – 1). Kod izotermne se promjene stanja dobiva isto toliko rada, kolika je dovedena toplina (ako je Q > 0 i W > 0), odnosno troši toliko rada, koliko se odvodi topline ( ako je Q < 0 i W < 0). Promjena stanja pri Q = 0 (adijabata) Takva �e se promjena stanja odvijati ako se na neki na�in pobrinemo, da potpuno sprije�imo bilo kakvu izmjenu topline sa radnim plinom. Toplina mu se ne smije niti dovoditi, niti odvoditi. To se, barem u mislima, može posti�i savršenom toplinskom izolacijom cilindra u kome se nalazi promatrani plin, ili pak tako, da promjena stanja te�e tako brzo, da ne bude vremena za izmjenu topline. Ta brzina ipak ne smije biti tolika, da se poremeti toplinska i mehani�ka ravnoteža, jer u tom slu�aju ne bi više mogli primijeniti niti jednadžbu stanja idealnih plinova na �itav plin, a niti poznati nam izraz za izra�unavanje rada.

5

O nazivu «adijabata» spomenimo slijede�e. Adijabatskim se procesom u Termodinamici naziva zapravo svaki proces, kod kojega nema izmjene topline izme�u promatranog sustava i njegove okoline, bez obzira na to, da li se sam proces odvija u unutarnjoj ravnoteži ili ne. Mi �emo kasnije upoznati i neke takve neravnotežne adijabatske promjene, kao što je npr. prigušivanje. Ako se neki proces odvija adijabatski, dakle bez izmjene topline s okolinom, ali i u trajnoj unutarnjoj ravnoteži, onda se takav proces zove izentropni (po veli�ini stanja nazvanoj entropija, v. II glavni stavak termodinamike). Kako mi sada prou�avamo samo potpuno ravnotežne promjene stanja, bilo bi ispravnije, kada bi ovu promjenu stanja uz Q = 0 nazvali izentropa, umjesto adijabata. No budu�i da se naziv adijabata udoma�io, mi �emo ga i zadržati, ali ipak ne�emo smetnuti s uma, da se zapravo radi o izentropi, tj. o povrativoj adijabati. Do jednadžbe adijabate, (Q = 0, dQ = 0), dolazimo na slijede�i na�in: Prvi glavni stavak pisan u diferencijalnom obliku za 1 kg tvari primijenjen na adijabatsku promjenu glasi: dQ = du + dW = 0 Iz izraza za izra�unavanje unutarnje energije idealnog plina u = cv*ϑ slijedi: du = cv * dT, a za ravnotežne je promjene dW = pdv. Uvrštenjem u I glavni stavak dobiva se cv * dT + pdv = 0 (3.11.) Deriviranjem jednadžbe stanja idealnog plina pv = RT dobiva se pdv + vdp = RdT odnosno

dT = R1

(pdv + vdp)

pa kada to uvrstimo u (3.11.) slijedi

Rcv (pdv + vdp) + pdv = 0

odnosno

pdv (Rcv + 1) +

Rcv vdp = 0

pdv R

Rcv + +

Rcv vdp = 0

a kako je cv + R = cp slijedi

R

c p pdv + Rcv vdp = 0 /*

vcR

6

v

p

c

c pdv + vdp = 0

v

p

c

c= κ , što uvršteno u gornji izraz daje

κ pdv + vdp = 0/: (p*v)

0=+p

dpvdvκ (3.12.)

Ovo je diferencijalni oblik jednadžbe adijabate. Njen integralni oblik glasi: κ 1n v + 1n p= const. odnosno P * væ = const. (Q = 0) (3.13.) Ovo je jednadžba adijabate. Ova se jednadžba može pisati i u obliku p1v1

æ = p2v2æ = pvæ = const. (3.14.)

ili za m [kg] p1V1

æ = p2V2æ = pVæ = const. (3.15.)

Iz jednadžbi (3.14) odn. (3.15.) i jednadžbe stanja idealnih plinova dobivaju se za adijabatu slijede�e veze izme�u pojedinih veli�ina stanja:

κκ 1

2

1

2

1

−

���

����

�=

pp

TT

1

1

2

−

���

����

�=

κ

VV

1

1

2

−

���

����

�=

κ

vv

; κ

���

����

�=

1

2

2

1

VV

pp

κ

���

����

�=

1

2

vv

Kako se kod adijabatske promjene stanja toplina niti ne dovodi, niti odvodi, to iz I glavnog stavka termodinamike slijedi: W = U1 – U2 (3.16.)

Kod adijabatske se dakle promjene stanja rad dobiva isklju�ivo na ra�un unutarnje energije plina. To zna�i da �e se plin hladiti, ako rad dobivamo, a grijati ako rad dovodimo. Jednadžbu (3.16.) možemo pisati u obliku:

W = mcv (T1 – T2) = mcvT1 ���

����

�−

1

21TT

= mcvT1

���

���

�

���

����

�−

−κ

κ 1

1

21pp

(3.17.)

7

Ili, ako uvrstimo cv = 1−κ

R

W=

���

���

�

���

����

�−

−

−κ

κ

κ

1

1

21 11**

ppTRm

=

���

���

�

���

����

�−

−

−κ

κ

κ

1

1

211 11

*ppVp

(3.18.)

Adijabata je u pV-dijagramu predo�ena hiperbolom, koja je strmija od istostrane hiperbole (izoterme), sl. 3.4.. Slika 3.4. Politrope Uvjeti pod kojima se odvijaju stvarni procesi u strojevima redovito su takvi, da se promjena stanja ne odvija potpuno strogo niti po izotermi, niti po adijabati. Tok stvarne promjene stanja može se odrediti indiciranjem stroja pomo�u tzv. indikatora. Na taj na�in dobivamo linije promjene stanja prikazane grafi�ki u jednoj vrsti pV-dijagrama, u indikatorskom dijagramu. Matemati�ka analiza velikog broja tako dobivenih linija promjena stanja pokazala je, da se one mogu vrlo dobro prikazati op�om jednadžbom. p1v1

n = p2v2n = pvn = const (3.19.)

ili p1V1

n = p2V2n = pVn = const. (3.20.)

Ovakve promjene stanja nazivamo politropama, što bi u prijevodu zna�ilo: mnogovrsne, jer �emo za svaki eksponent n dobiti neku drugu liniju u pV-dijagramu. Eksponent n može poprimiti sve vrijednosti od - � do + � . Jednadžba je politrope po obliku jednaka jednadžbi adijabate, pa analogno kao i tamo dobivamo veze izme�u pojedinih veli�ina stanja:

nn

pp

TT

1

2

1

2

1

−

���

����

�=

1

1

2

−

���

����

�=

n

VV

1

1

2

−

���

����

�=

n

vv

; n

VV

pp

���

����

�=

1

2

2

1

n

vv���

����

�=

1

2 (3.21.)

Po kojoj �e se politropi vršiti promjena stanja, dakle i eksponent n, ovisi o tome, da li se za vrijeme promjene toplina dovodi ili odvodi i koliko. Upravljanjem izmjene topline jedino i možemo posti�i, da plin obavlja upravo onakvu promjenu stanja, kakvu želimo.

8

Deriviranjem jednadžbe politrope (3.20.) dobivamo: n p Vn-1 dV + Vndp = 0/:Vn-1 n p dV + V dp = 0 (3.22.) a derivacija jednadžbe stanja daje: p dV + V dp = mR dT (3.23.) Odbijemo li (3.23.) od (3.22.) dobivamo: (n – 1) p dV = - m R dT Odnosno

p dV = 1−n

mRdT (3.24.)

Uvrstivši (3.24.) u I glavni stavak dobivamo:

dQ = dU + p dV = m cv dT -1−n

mRdT=

= m dT ��

���

�

−−

1nR

cv = m dT ���

����

�

−−

−1n

ccc vp

v

= m cv dTn

��

���

�

−−−

11

1κ

(3.25.)

odnosno

dQ = m cv 1−

−nn κ

dT (3.26.)

Iz (3.26.) vidimo da izraz

cn = cv 1−

−nn κ

(3.27.)

možemo shvatiti kao specifi�nu toplinu kod politropske promjene stanja sa eksponentom n: kao politropsku specifi�nu toplinu cn [ J/kg K ]. Pomo�u nje možemo (3.26.) pisati kao dQ = m cn dT (3.28.)

9

Ako je eksponent politrope n takav, da je 1<n<æ, onda po (143) specifi�na toplina cn postaje negativna, a iz (144) slijedi, da u tom slu�aju kod dovo�enja topline (dQ>0) temperatura opada (dT<0) i obrnuto. Takav �e slu�aj u strojevima biti naj�eš�i. U tom slu�aju kod ekspanzije dovodimo doduše toplinu, ali odvodimo više rada, nego li što smo doveli topline, pa se jedan dio dobivenog rada mora namiriti iz unutarnje energije plina, te mu temperatura opada. Obrnuto je kod kompresije: dovedeni je rad ve�i nego li odvedena toplina, pa temperatura plina raste. Na dijagramu slika 3.5.. prikazano je kako se mijenja politropska specifi�na toplina cn u ovisnosti o eksponentu politrope n. Iz (3.27.) slijedi da je za: n = - � cn = cv

n = 0 cn = cp n = 1 cn = + � n = æ cn = 0 n = + � cn = cv Slika 3.5. Iz dijagrama je vidljivo da je cn uvijek pozitivan osim u podru�ju 1 < n < æ. Iz (3.28.) dobivamo, ako je cn konstantan, a to prema (3.27.) zna�i, ako su cv, n i æ konstantni: Q = G cn ( T2 – T1 ) (3.29.) Po potrebi može se iz srednjih vrijednosti specifi�ne topline cv i veli�ine æ za temperaturni interval od 1ϑ do 2ϑ izra�unati po (3.27.) i srednju specifi�nu toplinu [ ] 2

1

ϑϑnc pa onda u (3.29.)

ra�unati s njom. Pomo�i I glavnog stavka i izraza (3.28.) dobivamo da je

dW = dQ – dU = m cn dT – m cv dT = - m cv 11

−−

nκ dT

a odovud slijedi rad dobiven kod politropske promjene stanja od stanja 1 do stanja 2

W = m cv T1 ���

����

�−

1

21TT

(3.30.)

ili, budu�i da je cv (æ- 1) = R:

W=

���

���

�

���

����

�−

−

−n

n

pp

nVp

1

1

211 11

=

���

���

�

���

����

�−

−

−n

n

pp

nmRT

1

1

21 11

(3.31.)

10

Jednadžba politrope pVn = konst obuhva�a i sve ostale, ve� prije spomenute, promjene stanja kao specijalne, po ne�em karakteristi�ne slu�ajeve. Njihove jednadžbe dobivamo iz jednadžbe politrope pogodnim odabiranjem eksponenta n. Tako dobivamo za n = 0 izobaru n = 1 izotermu n = æ adijabatu n = ± ∞ izohoru Da bi se vidjelo da nam n = � daje jednadžbu izohore V = konst, najzgodnije je jednadžbu politrope napisati u obliku p1/n * V = p1

1/n *V1, koji dobijemo ako jednadžbu politrope (3.20.) potenciramo s eksponentom (1/n). Na slici 3.6. prikazane su u pV-dijagramu sve te posebne promjene stanja, kao i ostale politrope. Ako promjene stanja teku od to�ke 1 u smjeru ozna�enom strelicama (ekspanzija), onda za sve promjene stanja, koje kroz to�ku 1 prolaze položitije negoli adijabata, treba dovoditi toplinu, a za sve ostale promjene stanja treba je odvoditi. Adijabata je granica koja dijeli ta dva podru�ja, jer kod nje nema izmjene topline. Kod obrnutog smjera promjene stanja (kompresija), mijenja se predznak toplina. Slika 3.6. Spomenuto je, da indiciranjem možemo dobiti stvarne linije promjene stanja predo�ene grafi�ki na indikatorskom dijagramu. Iz takvog dijagrama (pV-dijagrama) nije mogu�e odmah vidjeti koliki je eksponent politrope n, a niti da li je on, i od kuda do kuda, konstantan. Tek matemati�ka analiza tog dijagrama može nam dati odgovor na ta pitanja. Mnogo je zgodnije, da onaj dio krivulje iz indikatorskog dijagrama koji nas zanima, ili �itav indikatorski dijagram, precrtamo u log p, log V-dijagram, dakle na papir sa dvostrukim logaritmi�kim mjerilom, sl. 21. Iz jednadžbe politrope dobivamo naime logaritmiranjem. log p1 + n log V1 = log p2 + n log V2 odnosno

n = 12

21

loglogloglog

VVpp

−−

(3.32.)

11

U koliko se dakle neka linija promjene stanja precrtava u log p, log V-dijagram kao pravac, onda je ta promjena stanja politropa s konstantnim eksponentom n, koji je jednak tangensu kuta nagiba �. U koliko se preslikavanjem ne dobije od 1 do 2 pravac nego krivulja, onda n nije konstantan, a njegova se aproksimativna srednja vrijednost može lako odrediti zamjenjuju�i tu krivulju najpogodnijim pravcem. Slika 3.7.

KRUŽNI PROCESI Neka nam je postavljen zadatak, da pomo�u nekog stroja proizvodimo mehani�ki rad! U tu svrhu mogli bi se poslužiti npr. jednim cilindrom u kome bi ekspandirao plin, te nam na taj na�in dobavljao željeni rad. Sama ekspanzija može pri tome te�i po bilo kakvoj politropi, osim izohore, kod koje se ne vrši nikakav rad. Neka je ta promjena stanja tekla onako, kao što je to u PV-dijagramu prikazano na sl. 3.8. Ekspanzijom plina od stanja 1 do stanja 2 dobiven je rad W predo�en površinom ispod linije promjene stanja. Taj bi rad mogli upotrijebiti za bilo koju svrhu. Želimo li, me�utim, da trajno dobivamo rad, onda taj proces moramo trajno ponavljati, a to zna�i da se iz stanja 2 moramo opet vratiti u stanje 1, ponovo ekspandirati plin do stanja 2 itd. Mi bi iz stanja 2 mogli vratiti u stanje 1 po istoj politropi po kojoj smo prije izvršili ekspanziju. Pri tome bi, me�utim, morali utrošiti za kompresiju plina od 2 do 1 isti onoliki rad –W, koliki smo dobili prije kod ekspanzije od 1 do 2. Stroj, koji bi radio na takav na�in, potrošio bi u drugom dijelu radnog procesa sav rad, koji se proizveo u njegovom prvom dijelu. Iz takvog procesa ne bi se dobivao nikakav raspoloživi višak mehani�kog rada. Prema tome se iz stanja 2 moramo vratiti u stanje 1 nekim drugim putem i to tako, da pri tome trošimo manje rada, nego li što ga dobijemo kod ekspanzije od 1 do 2. To zna�i, da u Pv-dijagramu linija promjene stanja od 2 do 1 mora ležati ispod linije promjene stanja od 1 do 2. Slika 3.8.

12

Razmotrimo, kao na primjer, proces prikazan na slici 3.9. Krajnje to�ke, izme�u kojih se giba stap, 1 i 2, nazivaju se obratišta ili mrtve to�ke. Za vrijeme gibanja stapa od 1 do 2 volumen se plina pove�ava, dV > 0, a prema (29) rad je pozitivan. Obrnuto je za vrijeme gibanja stapa od 2 do 1, tj. dV < 0, pa se rad troši, W < 0. Promjena stanja od 1 do 2 te�e po liniji a, a pri tome dobiveni rad Wa predo�en je površinom ispod linije a. Prilikom vra�anja stapa od 2 do 1 promjena se stanja plina vrši po liniji b. Pri tome se troši rad Wb predo�en površinom ispod linije b. kako linija b leži ispod linije a, to nam nakon vra�anja plina u po�etno stanje I preostaje raspoloživi višak rada

W = Wa - Wb (3.33.) Slika 3.9. Sva stanja, kroz koja je plin prošao za to vrijeme, predo�ena su u pV-dijagramu jednom zatvorenom linijom. Takav se proces naziva zatvorenim ili kružnim procesom. Rad W po (3.33.), koji dobivamo iz jednog ciklusa kružnog procesa, predo�en je u pV-dijagramu površinom obuhva�enom kružnim procesom (sl.3.9.). Budu�i da se plin vratio u svoje po�etno stanje, može se taj proces ponavljati koliko god puta to želimo, tako da stalno dobivamo rad. Proces kod kojega promjene stanja teku onako, kako je to prikazano na slici 3.9., tj. u smislu gibanja kazaljke na satu, naziva se desnokretni proces. Kod njega se rad W dobiva. Isti taj proces mogao bi se odvijati i u obrnutom smislu: od 1 ekspanzija bi po liniji b tekla do stanja 2, a kompresija od 2 do 1 po liniji a. U tom bi slu�aju dobiveni rad Wb bio manji od utrošenog rada Wa tako, da bi za provo�enje takvog procesa morali stroju odnekle dovoditi rad W = Wa – Wb. (Budu�i da je Wa < 0, a Wb >0, dok je po apsolutnoj vrijednosti | Wa | > | Wb | , to je W < 0 ). Ovakav nam lijevokretni proces ne može dakle služiti za dobivanje rada, ali se i on u tehnici vrlo �esto primjenjuje. Svaki kružni proces sastavljen je iz ve�eg ili manjeg broja razli�itih promjena stanja. Od svih promjena stanja jedino kod adijabate ne treba niti dovoditi, niti odvoditi toplinu, a kako nije mogu�e izvesti neki kružni proces, koji bi se sastojao samo iz adijabata, to �e se kod svakog kružnog procesa morati izmjenjivati toplina. Razmotrimo opet jedan kružni proces proizvoljnog oblika, sl.3.10.

13

Slika 3.10. Proces neka je desnokretni! Ucrtajmo i nekoliko adijabata! Vidimo da dvije dijabate diraju liniju kružnog procesa u to�kama A i B, (ove se dvije to�ke nikako ne poklapaju sa obratištima 1 i 2, v. Sliku 3.9.), dok sve ostale adijabate tu liniju sijeku pod nekim kutem. U diralištima A i B poklapa se linija kružnog procesa s adijabatom, a to zna�i, da se u tim to�kama kružnom procesu niti ne dovodi, niti ne odvodi toplina. U svim ostalim to�kama kružnog procesa, gdje se on ne poklapa sa adijabatom, mora se vršiti izmjena topline. Kroz to�ku C, linija kružnog procesa prolazi položitije od adijabate, a kako se ovdje radi o ekspanziji plina, moramo u to�ki C dovoditi toplinu, Qc > 0. Budu�i da se u svim to�kama procesa, osim u A i B , vrši izmjena topline, i kako na putu a od A do B ne može biti više ni jedne to�ke u kojoj bi izmijenjena toplina bila jednaka nuli to se na �itavom putu a od A do B mora dovoditi toplina u ukupnom iznosu Q�. Promotrimo sada dio procesa od B do A po putu b! Kroz to�ku D, sl. 24, koja se nalazi na tom dijelu b kružnog procesa, prolazi linija kružnog procesa tako�er položitije od adijabate, ali kako se ovdje radi o kompresiji, to toplinu treba odvoditi, QD < 0,. Kako i opet, na �itavom putu b od B do A nema više niti jedne to�ke bez izmjene topline, , mora se na tom �itavom putu b odvoditi toplina u ukupnom iznosu Qb. Važno je uo�iti da je za izvo�enje proizvoljnog kružnog procesa bilo potrebno toplinu i dovoditi i odvoditi. Kada bi taj isti proces izvodili lijevokretno morali bi, po apsolutnom iznosu, istu koli�inu topline Qb dovesti procesu, a Qa odvesti. Po prvom glavnom stavku mora postojati uska veza izme�u dovedene topline i dobivenog rada, jer se dobiveni rad, kao prijelazni oblik energije, može dobiti samo na ra�un neke druge vrste energije. Da bi tu vezu pronašli primijenimo prvi glavni stavak Q = U2 – U1 + W Na jedan ciklus nekog kružnog procesa, npr. prema sl. 3.10.. Neka je plin u po�etku imao stanje A! Tokom kružnog procesa plin stalno mijenja svoje stanje, kao što je to predo�eno linijom kružnog procesa, ali po završetku jednog ciklusa, on je opet poprimio stanje A, dakle isti pritisak, volumen i temperaturu, koje je imao i na po�etku ciklusa. Budu�i da je unutarnja energija plina U tako�er veli�ina stanja, to unutarnja energija plina stanja A po završenom ciklusu mora biti jednaka unutarnjoj energiji plina stanja A na

14

po�etku ciklusa. Prema tome je promjena unutarnje energije plina za vrijeme jednog ciklusa U2 – U1 = UA – UA = 0, pa iz I glavnog stavka termodinamike slijedi: Q = W Za provo�enje jednog ciklusa mi smo, prema prijašnjim razmatranjima, morali dovesti toplinu Qa, ali smo tako�er morali i odvesti toplinu Qb. Prema tome, mi smo u smislu prvog glavnog stavka, doveli procesu toplinu Q = Qa – Qb, tj. onu toplinu, koja je u tom kružnom procesu stvarno i utrošena. Na osnovu svega izloženog možemo prvi glavni stavak termodinamike primijenjen na kružne procese pisati u obliku: Qa – Qb = W (3.34.) Došli smo do vrlo važnog zaklju�ka, a to je, da je za bilo koji kružni proces, izveden sa bilo kojim radnim medijem, dobiveni rad jednak razlici dovedene i odvedene topline. Mi �emo u budu�e toplinu dovedenu nekom kružnom procesu ozna�avati sa Q (Q=Qa), a odvedenu sa Qo (Qo=Qb), pa sa tim oznakama izraz (3.34.) glasi: W = Q - Qo (3.35.) Izraz (3.35.) vrijedi naravno i za lijevokretni proces. Kod njega je Qo > 0, a Q < 0, ali po apsolutnoj vrijednosti Q > Qo, tako da je W < 0, rad se troši. Svi kružni procesi ne moraju biti jednako dobri. Od dva kružna procesa bit �e bolji onaj, koji uz utrošak manje koli�ine topline Q, dobavlja više rada W. Da bi kružne procese mogli u tom smislu me�usobno uspore�ivati služimo se termi�kim stupnjem djelovanja �, koji je definiran izrazom

==QWη =

−Q

QQ o

QQo−1 < 1 (3.35.)

�im je termi�ki stupanj djelovanja nekog kružnog procesa ve�i, to je taj proces, u smislu re�enog, bolji. Postoji beskona�no veliki broj mogu�ih kružnih procesa od kojih se u praksi primjenjuju samo neki. Spomenut �emo i opisati neke najvažnije.

15

Carnotov proces Slika 3.11. Ovaj je kružni proces sastavljen iz dvije izoterme i dvije adijabate, kao što je to prikazano na slici 3.11. Od stanja 1 do stanja 2 vrši se izotermna ekspanzija plina kod temperature ϑ . U tu svrhu moramo plinu dovoditi toplinu Q iz nekog ogrjevnog spremnika OS temperature ϑ g. Da bi toplina prelazila s ogrjevnog spremnika na radni plin, mora temperatura ogrjevnog spremnika biti viša od temperature plina, ϑ g > ϑ . Kod postignutog stanja 2 prekidamo dovo�enje topline i nastavljamo adijabatskom ekspanzijom do stanja 3. Prilikom adijabatske ekspanzije snizila se temperatura plina od ϑ u stanju 2, na ϑ o u stanju 3. sada nastavljamo kružni proces izotermnom kompresijom, ϑ o = const, do stanja 4. Za vrijeme te kompresije moramo plin hladiti, a odvedenu toplinu Qo predajemo nekom rashladnom spremniku RS temperature ϑ h, koja mora biti niža od temperature plina ϑ o, ϑ h < ϑ o, da bi toplina prelazila u željenom smjeru. Od stanja 4 nastavlja se adijabatska kompresija kojom se plin vra�a u po�etno stanje 1. Time je završen jedan ciklus ovog kružnog procesa. Onako, kako smo ga ovdje prikazali, on je desnokretan, te nam dobavlja rad. Isti se taj proces može odvijati i lijevokretno: od 1 do 4 adijabatska ekspanzija, od 4 do 3 izotermna ekspanzija uz dovo�enje topline Qo iz rashladnog spremnika RS, od 3 do 2 adijabatska kompresija i od 2 do 1 izotermna kompresija uz dovo�enje topline Q u ogrjevni spremnik OS. Na taj na�in toplina prelazi sa hladnijeg rashladnog spremnika na topliji ogrjevni spremnik (dizalica topline), ali u tu svrhu moramo utrošiti rad –W. Da bi toplina mogla prelaziti s rashladnog spremnika na plin, mora biti ϑ h > ϑ o, a za prijelaz topline sa plina na ogrjevni spremnik, mora biti ϑ > ϑ g, dakle obrnuto nego li što je to bilo kod desnokretnog procesa. Obratimo pažnju na jednu važnu �injenicu! Za izvo�enje kružnog procesa morali smo raspolagati radnim medijem, koji je u cilindru stroja prolazio kroz razli�ita, procesom propisana, stanja, da bi se na kraju ciklusa vratio u svoje po�etno stanje. Ali sam radni medij još nije bio dovoljan za vršenje kružnog procesa: osim njega morali smo raspolagati i sa dva toplinska spremnika razli�ite temperature. Niti bez radnog medija, niti bez dva toplinska spremnika, koji su za vrijeme procesa izmjenjivali toplinu s radnim medijem, ne bi mogli izvršiti kružni proces, pa dakle niti dobiti rad. No, pitamo li se, tko je zapravo dobavio taj rad, onda vidimo, da to nije bio radni medij, nego da smo rad dobili tek na ra�un izmijenjenih

16

toplina. Radni je medij odigrao pri tome samo ulogu posrednika, a izvor rada bila je izmjena topline. Izvanrednu važnost toplinskih spremnika vidimo i iz slijede�eg: Kazali smo ve� da je, kod desnokretnog procesa, potrebno da temperatura ogrjevnog spremnika ϑ g bude viša od temperature plina ϑ , ϑ g > ϑ , jer toplina, prema iskustvu, prelazi samo sa toplijeg na hladnije tijelo. Što je ve�a razlika temperatura ϑ g – ϑ , to je izmjena topline intenzivnija, brža. No, u principu, ta razlika može postati i po volji mala, toplina �e prelaziti¸sa spremnika na plin, samo sve sporije i sporije. U ekstremnom slu�aju može ta temperaturna razlika i iš�eznuti, ϑ g – ϑ = 0, tj. ϑ g = ϑ , kad se izjedna�i temperatura ogrjevnog spremnika i plina. Neka nas ne smeta što bi vrijeme potrebno za izmjenu topline Q postalo u tom slu�aju beskona�no veliko! U tom bi se slu�aju, v.sl.3.11., poklopila izoterma ϑ sa izotermom ϑ g, to�ka 1 bi prešla u 1', a to�ka 2 u 2' i mi bi dobili za površinu 1' – 2' – 2 – 1 više rada. No to je i krajnje mogu�e pove�anje dobivenog rada, jer nikad ne može biti ϑ > ϑ g , budu�i da toplina ne može prelaziti s hladnijeg ogrjevnog spremnika na topliji plin. Dakle je temperaturom ogrjevnog spremnika ϑ g prema gore ograni�en mogu�i Carnotov proces. Posve analogno razmatranje vrijedi i za izmjenu topline izme�u plina temperature ϑ o i rashladnog spremnika temperature ϑ h. Da bi toplina prelazila s plina na spremnik mora uvijek biti ϑ o – ϑ h > 0 ili, u krajnjem slu�aju, ϑ o – ϑ h = 0, tj. ϑ o = ϑ h, a nikada ne može biti ϑ o – ϑ h < 0. U tom bi se krajnjem slu�aju poklopile izoterme ϑ o i ϑ h, to�ka 3 bi prešla u 3' i 4 u 4'. Dobili bi više rada za iznos površine 4-3-3'-4'. Izotermama ogrjevnog i rashladnog spremnika ϑ g i ϑ h zadan je odmah i najbolji mogu�i Carnotov proces 1'-2'-3'-4' i nema nikakvog na�ina da se uz te temperature toplinskih spremnika izvede neki još bolji Carnotov proces.

17

Joule-ov proces Slika 3.12. Ovaj se proces odvija izme�u dviju izobara i dviju adijabata, sl. 3.12. Radni medij pod pritiskom p, stanja 1, ulazi u izmjenjiva� topline, gdje mu se kod konstantnog pritiska p dovodi toplina Q iz ogrjevnog spremnika OS temperature ϑ g, dok se ne zagrije do stanja 2. S tim stanjem ulazi on u ekspanzioni cilindar EC, gdje adijabatski ekspandira do nižeg pritiska po do stanja 4. Za to vrijeme oduzeta je radnom mediju toplina Qo, koju preuzima rashladni spremnik RS temperature ϑ h. Ohla�eni radni medij stanja 4 ulazi u kompresioni cilindar KC, gdje se adijabatski komprimira na po�etno stanje 1, �ime je ciklus završen. I ovdje smo trebali dva toplinska spremnika razli�itih temperatura, koje ujedno odre�uju i krajnje temperature radnog medija u kružnom procesu: najviša temperatura medija u procesu, koja se postizava u stanju 2, ne može biti viša od temperature ogrjevnog spremnika ϑ 2 � ϑ g, dok najniža temperatura medija ϑ 4 ne može biti niža od temperature rashladnog spremnika, ϑ 4 � ϑ h. Da smo proces vodili tako da bude ϑ 2 = ϑ g i ϑ 4 = ϑ h, dobili bi najbolji mogu�i Joule-ov proces za zadane temperature toplinskih spremnika ϑ g i ϑ h, tj. proces 1' – 2' – 3' – 4' na sl. 3.12. Naravno da se i ovaj Joule-ov proces može izvoditi lijevokretno. U tom je slu�aju Qo > 0, Q < 0, W < 0, ϑ 3 � ϑ h i ϑ 1 ϑ g.

18

Diesel-ov proces Ovaj se proces primjenjuje kod motora s unutarnjim izgaranjem (eksplozioni motori). Mi �emo taj proces prikazati samo jako shematiziran, pojednostavnjen, jer nas detalji i posve to�na slika u ovim razmatranjima ne zanimaju. Ovako pojadnostavnjen proces prikazan je na sl. 3.13. Cilindar stroja napuni se uzduhom stanja 1, pa se onda taj uzduh adijabatski komprimira na visoki pritisak p do stanja 2. Kod te kompresije jako poraste temperatura uzduha. U to�ki 2 stap je došao do lijeve mrtve to�ke. Ovdje se zapo�inje ubrizgavati fino raspršeno gorivo, koje se upali u zagrijanom uzduhu, te svojim izgaranjem daje potrebnu toplinu Q, da bi za vrijeme pomaka stapa u desno pritisak ostao konstantan. Do postignutog stanja 3 �itavo je uštrcano gorivo izgorjelo. Daljnja ekspanzija u cilindru odvija se adijabatski sve do stanja 4. Ovdje je stap stigao u desnu mrtvu to�ku, ispušni se ventil otvori i plinovi iz cilindra iza�u u okolinu, gdje se ohlade na okolišnju temperaturu, a cilindar se ponovno puni svježim uzduhom. Kako nam istrošeni plinovi stanja 4 prilikom izlaska kroz ventil u okolinu više ne dobavljaju nikakav rad, to ovaj proces u našem dijagramu nadomještamo izohornom promjenom stanja od 4 do 1, za koju se plinovima mora mora odvesti toplina Qo koju preuzima okolina, koja u ovom slu�aju igra ulogu rashladnog spremnika RS. Kao ogrjevni spremnik služilo nam je u ovom procesu gorivo, koje je svojim izgaranjem kod visoke temperature dobavilo potrebnu toplinu za promjenu stanja od 2 do 3. I kod ovog su nam dakle procesa bezuvjetno potrebna dva toplinska spremnika razli�itih temperatura. Slika 3.13.

19

Otto-proces I ovaj se proces primjenjuje kod motora s unutarnjim izgaranjem, a shematski je prikazan na sl.3.14. Uzduh prije ulaska u cilindar stroja prolazi kroz rasplinja�, gdje se miješa sa fino raspršenim gorivom, tako da se cilindar puni gorivom smjesom uzduha i benzinskih para koja ima stanje 1. Ta se smjesa u cilindru adijabatski komprimira do stanja 2, tj. do lijeve mrtve to�ke stapa. Ovdje se elektri�nom iskrom smjesa upali i izgara kod konstantnog volumena te se postizava stanje 3. Nadovezana adijabatska ekspanzija dovodi plinove do stanja 4, kod desne mrtve to�ke. Ovdje se otvori ispušni ventil, te proces dalje te�e kao i kod Diesel-ovog procesa. I ovdje je ogrjevni spremnik nadomjestio gorivo, koje je svojim izgaranjem dobavilo toplinu Q potrebnu za promjenu stanja od 2 do 3, a kao rashladni spremnik poslužila je okolina, koja je preuzela toplinu Qo kod promjene stanja od 4 do 1. I ovdje smo trebali dva toplinska spremnika. Mogli bi nabrojiti još �itav niz kružnih procesa, no uvijek bi došli do istog rezultata: za bilo koji kružni proces, dakle za trajno dobivanje mehani�kog rada iz topline, potrebna su dva toplinska spremnika razli�itih temperatura. No ako, nasuprot tome, želimo mehani�ki rad trajno pretvarati u toplinu, npr. trenjem, dovoljan nam je samo jedan toplinski spremnik, koji �e tu toplinu preuzimati. Postavljamo si pitanje: zar zaista nije mogu�e trajno dobivati mehani�ki rad iz nekog kružnog procesa uz pomo� samo jednog toplinskog spremnika, isto onako kao što je u obrnutom procesu, trajnom pretvaranju mehani�kog rada u toplinu, dovoljan samo jedan toplinski spremnik? Takav stroj, koji bi zahtijevao samo jedan toplinski spremnik, mogao bi u tu svrhu koristiti našu okolinu, uzimati iz nje besplatnu toplinu, i dobavljati nam neograni�ene koli�ine mehani�kog rada.

Slika 3.14.

1

II GLAVNI STAVAK TERMODINAMIKE Drugi glavni stavak termodinamike izražava se na više načina. Prema Thomsonu on glasi: «Nije moguće izraditi periodički stroj, koji bi nam trajno dobavljao mehanički rad uz upotrebu jednog jedinog toplinskog spremnika». Prema Clausiusu on glasi: «Toplina ne može sama od sebe prijeći od hladnijeg na toplije tijelo, i to niti posredno, niti neposredno». U Clausiusovoj tvrdnji valja naglasiti ono «samo od sebe». Postoje u tehnici sistemi gdje se pomoću lijevokretnog Carnotovo-g procesa (tehničko hlađenje), toplina oduzima od tijela niže temperature i predaje najčešće na okolinu više temperature, ali se pri tome neizbježno trošiti mehanički rad. Iz iskustva znamo da kad stavimo u kontakt dva tijela različitih temperatura, nikad toplina neće prijeći, sama od sebe, s tijela niže temperature na tijelo više temperature. Kad bi se to dogodilo, temperatura hladnijeg tijela bi postajala još niža, a na račun povećanja temperature toplijeg tijela. Povratni i nepovratni procesi Da bi objasnili povratan i nepovratan proces razmotrimo za primjer kotrljanje kuglice po krivini! Kuglica se nalazi u početnom položaju na geodetskoj visini h. Njezina će potencijalna energija biti m*g*h. Ako sada pustimo kuglicu da se kotrlja! Kada kuglica dosegne najnižu točku sva će se njena potencijalna energija pretvoriti u kinetičku mv2/2. Ako pretpostavimo da se proces odvija bez trenja tj. bez ikakvih energetskih gubitaka, kinetička energija u najnižoj točki će biti dostatna da kuglica dosegne ponovno visinu h. Takav proces bi se mogao ponoviti bezbroj puta, a da promatrač koji nije promatrao proces, ne može na osnovu mjerenja spoznati da su se događale bilo kakve promjene. Takav proces se zove povratan ili reverzibilan proces. Međutim iz iskustva znamo da kuglica kada krene iz položaja A neće moći dosegnuti visinu h, već će se uslijed trenja, dio energije pretvoriti u toplinu koju će preuzeti okolina. Promatrač koji nije vidio sam proces kretanja kuglice, moći će na osnovu mjerenje visine zaključiti da se je prilikom njegovog izbivanja dogodio neki proces koji za trajnu posljedicu ima promjenu visine a samim tim i smanjenje potencijalne energije kuglice. Kuglica se više nikad neće, bez vanjskih utjecaja vratiti u početni položaj što znači da je proces nepovratan. U termodinamici postoje i povratni i nepovratni procesi. Uzmimo npr. adijabatsku ekspanziju od stanja 1 do stanja 2. Kod te ekspanzije dobijemo rad W, koji možemo upotrijebiti npr. za dizanje nekog utega. Spuštanjem tog utega na njegovu prvobitnu visinu dobivamo taj akumulirani rad natrag, te ga možemo upotrijebiti da plin opet adijabatski komprimiramo od stanja 2 do stanja 1. Nikakvim se mjerenjima ne bi moglo naknadno ustanoviti da se ikakav proces uopće zbio, dakle proces je bio potpuno povratan. Dakako prilikom ovog razmatranja zanemarili smo bilo kakvo trenje. Razmotrimo sada isti eksperiment koji ćemo izvesti uz izotermnu promjenu stanja. Za vrijeme ekspanzije od stanja 1 do 2 morali bi plinu temperature ϑ dovesti određenu količinu topline, koristeći neki topli spremnik temperature ϑg . Da bi se uopće mogao ostvariti prijelaz topline mora biti ϑg> ϑ. Kod izotermne kompresije od 2 do 1, kojom se želimo vratiti u početno stanje, utrošili bi čitav prije dobiveni rad, a plinu bi morali odvesti jednaku količinu topline Q, koju smo prije kod ekspanzije doveli. Ovu bi toplinu predali nekom toplinskom spremniku temperature ϑh. Zbog prelaza topline mora biti ϑ> ϑh. Sada analizirajmo krajnje stanje! Plin se vratio u početno stanje 1, također i uteg koji je služio kao privremeni akumulator rada W. No, toplinski

2

spremnici nemaju više onakvo stanje kao što su imali prije početka pokusa. Toplom spremniku manjka toplina Q, a ta ista toplina predana je hladnom spremniku. Kako se ta toplina, zbog ϑh< ϑg nikad više, sama od sebe ne može vratiti toplom spremniku, proces je nepovratan. Da bi proces postao povratan morali bi ga voditi na način da se kod kompresije sva toplina preda natrag toplom spremniku. Zbog toga bi temperature ϑg i ϑ morale biti jednake. Naravno da bi takav proces, bez temperaturnih razlika, trajao beskonačno dugo. Razmotrimo sada Carnot-ov proces koji ćemo voditi tako da bude potpuno povratan. Da bi čitav proces bio povratan, moraju sve promjene stanja, koje ga sačinjavaju , biti povratne, a to, prema onom što je rečeno kod povratne izotermne promjene stanja, znači, da temperatura ogrjevnog spremnika mora biti jednaka temperaturi plina kod izoterme više temperatrue, ϑg = ϑ , a temperatura rashladnog spremnika jednaka temperaturi plina kod izoterme niže temperature, ϑh = ϑ. Ovakav desnokretni Carnot-ov proces uzimao bi iz ogrjevnog spremnika toplinu Q, a rashladnom bi spremniku predavao toplinu Q0 i proizvodio rad W. Pomoću ovog rada mogli bi tjerati jednaki lijevokretni Carnot-ov proces, pri čemu bi potrošili sav prije dobiveni rad W, ali bi iz rashladnog spremnika oduzeli opet toplinu Q0 i ogrjevnom spremniku predali količinu topline Q. Po završenom jednom ciklusu vratili bi se u svoje početno stanje i plin i oba spremnika, nigdje ne bi ostalo nikakvog traga od tog procesa: takav bi proces bio potpuno povratan. Slika 4.1.

3

Pretpostavimo sada da su sve promjene stanja u Carnot-ovom procesu, osim jedne, povratne. Tvrdimo da je onda čitav proces nepovratan. Neka se proces odvija kao što je prikazano na sl.. 4.2 tj. neka je izotermna kompresija od 3 do 4 nepovratna, ϑo>ϑh. Slika 4.2. U tom slučaju toplina Qo u desnokretnom procesu, prelazi sama od sebe s plina na rashladni spremnik, ali kod lijevokretnog procesa ne može prijeći sama od sebe d hladnijeg spremnika na topliji plin. Da tu toplinu dovedemo plinu morali bi npr. između rashladnog spremnika i plina uključiti neki novi lijevokretni Carnot-ov proces 4-6-5-3, za čiji bi pak pogon morali odnekud dovesti rad ΔW, a rashladnom spremniku bi oduzimali toplinu Qo – ΔW. Time bi nastala trajna promjena u prirodi. Za prosuđivanje povratnosti ili nepovratnost nekog procesa potrebno je promatrati sve sudionike u procesu. Kao što smo vidjeli po stanju plina proces je izgledao povratan, ali kad smo uzeli u razmatranje toplinske spremnike vidjeli smo da je kompletni proces ustvari nepovratan. Povratni procesi u realnosti ne postoje. Svuda će postojati neko trenje ili npr. temperaturne razlike koje će omogućiti prijelaz topline. Povratni se procesi tako razmatraju samo kao granični slučajevi tj. idealni procesi i služe samo za usporedbu realnih procesa tj. daju mjeru koliko koji proces odstupa od idealnog.

4

Nepovratnost i dobivanje rada Zamislimo da imamo dva toplinska spremnika različitih temperatura, koje možemo koristiti za izvođenje kružnog procesa! Koristeći te spremnike izvest ćemo 2 potpuno povratna kružna procesa, koji se međusobno razlikuju o promjenama stanja iz kojih su sastavljeni, ali su takvi, da nam po jednom ciklusu dobavljaju isti rad. Jedan od njih neka bude desnokretni, a drugi lijevokretni. Slika 4.3. Po pretpostavci da je rW = 'rW gdje r označava da se radi o reverzibilnom procesu. Neka desnokretni proces uzima iz ogrjevnog spremnika toplinu Q, a rashladnom spremniku predaje toplinu Qo te daje rad Wr koji je jednak: Wr = Q – Q0 (4.1.) Sav taj rad utroši se za pogon drugog procesa, koji vodimo kao lijevokretni, pri čemu se za taj proces iz rashladnog spremnika odvede toplina Qo'. Slijedi da je: Wr' = Qo' – Q' (4.2.) Radovi Wr i Wr' su po apsolutnoj vrijednosti jednaki samo se razlikuju po predznaku: oQQ − = '' QQo − = '' oQQ − (4.3.) Izraz (4.3.) izveden je na osnovu prvog glavnog stavka termodinamike. On nam samo kaže, da su kod ova dva procesa razlike dovedenih i odvedenih toplina međusobno jednake, ali nam ništa ne kaže o tome, da li su i same te topline međusobno jednake, ili nisu. Kad bi, međutim, pretpostavili, da je npr. Q < 'Q , onda bi se to protivilo drugom glavnom stavku. Mi bi, naime takvom kombinacijom lijevokretnog i desnokretnog procesa postigli, da toplina u iznosu 'Q - Q bez nekih vanjskih trajnih promjena, prelazi s hladnijeg na topliji toplinski spremnik. I pretpostavka Q > 'Q protivi se drugom glavnom stavku: u tom bi slučaju drugi

proces mogli voditi kao desnokretni, a prvi kao lijevokretni, pa bi opet toplina Q -

5

'Q prelazila s niže na višu temperaturu sama od sebe. Prema tome, da bi se

zadovoljio drugi glavni stavak mora biti Q = 'Q a po (4.3.) oQ = '0Q Odavde slijedi da je stupanj djelovanja:

''

''''

ηη =−

===−

=QQQ

QW

QW

QQQ orro (4.4)

Kod čitavog ovog razmatranja uopće nije bilo riječ o kojem se radnom mediju radi pa slijedi zaključak; «Kružni procesi bilo koje vrste, izvedeni s bilo kakvim sredstvom, ako su potpuno povratni i ako se izvode između istog ogrjevnog i istog rashladnog spremnika uz utrošak iste ogrjevne topline dobavljaju iste radove». To možemo reći i drugim riječima: «Svi potpuno povratni kružni procesi, s bilo kojim radnim medijem, uz iste toplinske spremnike jednako su dobri (imaju isti termički stupanj djelovanja). Za zadane toplinske spremnike nema boljih i gorih povratnih kružnih procesa. Analitička formulacija drugog glavnog stavka Razmatrajući drugi glavni stavak odmah smo se pozabaviti s pojmom povratnog i nepovratnog procesa, a u vezi s time i s pogoršanjima procesa, koja prouzrokuje nepovratnost. Sigurno je, da je pitanje gubitaka, koji se pojavljuju kao posljedica raznih nepovratnih procesa - a kazali smo, da su svi procesi u prirodi normalno nepovratni – od izvanredne važnosti i potrebno je da smo ih stanju odrediti za svaki pojedini slučaj. Da bi to mogli učiniti moramo drugi glavni stavak prikazati u analitičkom obliku. Izvest ćemo analitičku formulaciju II glavnog stavka uz bitnu pretpostavku, da se tvar, na koju ga primjenjujemo, nalazi u potpunoj unutarnjoj ravnoteži, mehaničkoj, toplinskoj itd., jer se samo u tom slučaju može unutarnja energija te tvari prikazati kao funkcija drugih veličina stanja, npr. u obliku u = f (p,v). Osim toga pretpostavljamo da se sve promjene obavljaju u trajnoj vanjskoj mehaničkoj ravnoteži, kada za izvršeni rad možemo pisati da je dW = p dV. Uz te pretpostavke može se I glavni stavak termodinamike dq = du +dw pisati u obliku: dq = df (p,v) + p dv (4.5.) U ovom je izrazu jedino unutarnja energija prava veličina stanja, jer je jedino ona ovisna samo o postojećem toplinskom stanju tvari, a ne i o načinu kako se u to stanje

došlo. To više ne vrijedi za izvršeni rad w= ∫2

1

pdv i izmijenjenu toplinu q. Dođemo li iz

stanja 1 u stanje 2 linijom promjene stanja a odnosno b, dobivamo različite radove wa odnosno wb, a kako je u oba slučaja razlika unutarnjih energija u2 – u1 ista, moraju se razlikovati i izmijenjene topline qa i qb: qa = u2 – u1 + wa

6

qb = u2 – u1 + wb

Diferencijali, čiji integral između iste donje i gornje integracione granice ovisi o putu, nazivaju se nepotpuni diferencijali. Prema tome je u (4.5.) dQ nepotpuni diferencijal. To možemo naznačiti tako da (4.5.) pišemo u obliku: ( ) pdvvpdfq +=∂ , (4.6.) Uvest ćemo dvije, za sad još nepoznate, nove funkcije: y = y (p,v) i x = x (p,v) (4.7.) za koje zahtijevamo da budu takve, da se pomoću njih jednadžba (4.6.) može pisati u obliku: ( ) pdvvpdfq +=∂ , = y (p,v) * dx (p,v) (4.8.) odnosno: q∂ = y dx (4.9.) Nove uvedene veličine y i x ovise samo o veličinama stanja p i v, pa su prema tome i one same nekakve veličine stanja. Podijelimo li dakle (4.9.) s y:

dxyq=

∂ (4.10.)

Prešao je nepotpuni diferencijal ∂q, ovisan o liniji promjene stanja, u potpuni diferencijal, jer promjena bilo koje veličine stanja ovisi samo o početnom i konačnom stanju. Tako nam integracija jednadžbe (4.10.) daje:

1

2

12

2

1

xxdxyq

−==∂

∫∫ (4.11.)

Ova se vrijednost može odrediti čak i onda, kada niti ne znamo, kako se je iz stanja 1 došlo u stanje 2. Iako nam veličine stanja x i y još nisu poznate, nacrtajmo xy-dijagram, sl.4.4. Pretpostavit ćemo da je neka promjena stanja u tom dijagramu prikazana linijom promjene stanja 1-2. Kako je veličina elementarne površine ispod te linije promjene

stanja sve do apscisne osi jednaka ydx, to je čitava promjena stanja jednaka ∫2

1

ydx a

prema (4.9.) to je jednako izmijenjenoj toplini za vrijeme te promjene stanja:

q= ∫2

1

ydx (4.12.)

7

Slika 4.4. Kao što je površina u pv-dijagramu prikazivala rad, tako površina u xy-dijagramu prikazuje izmijenjenu toplinu kod neke promjene stanja, što je vrlo zgodno za analizu pojedinih procesa. Kako je y = y (p,v) prava veličina stanja, ona mora imati pozitivnu vrijednost. Prema tome je u (4.9.) predznak q∂ jednak predznaku od dx. Ako promjena stanja teče od manjih vrijednosti x prema većim, u xy-dijagramu od lijeva u desno, onda je dx>0, pa je onda i q∂ >0, što znači da se u procesu toplina mora dovoditi. U suprotnom toplinu treba odvoditi. Iz navedenog razmatranja nameće se zaključak da iako još ne poznajemo funkcije x i y, već znamo kako će izgledati adijabata u xy-dijagramu. Kako je kod adijabatskih promjena izmijenjena toplina jednaka nuli to će adijabatu u xy-dijagramu predstavljati vertikalni pravac (dakle nema nikakve površine ispod njega). Pokušajmo sada prikazati Carnot-ov proces u xy-dijagramu. Iako ne znamo kako će izgledati izoterma pretpostaviti ćemo da izgleda kao na slici 4.5. Površina unutar krivulje prikazuje izmijenjenu toplinu a kako je na osnovu I glavnog stavka w= q-qo, i kako znamo da je kod desnokretnih procesa w>0, to će slijediti da q>qo i da gornja krivulja u dijagramu predstavlja temperaturu ϑ a donja temperaturu okoline ϑ0. Obratimo pozornost da će desnokretni proces iz pv-dijagrama ostati desnokretni i u xy-dijagramu. Slika 4.5.

8

Poslužimo se sada zaključkom iz II glavnog stavka: „Svi potpuno povratni kružni procesi, s bilo kojim radnim medijem, uz iste toplinske spremnike imaju isti termički stupanj djelovanja.“ Neka je ucrtani Carnoto-ov proces 1-2-3-4, sl. 4.5., potpuno povratan, tj. neka je ϑ = ϑg (temperatura ogrjevnog spremnika) i ϑ0 = ϑh (temperatura rashladnog spremnika)! Između tih temperatura (istih toplinskih spremnika) možemo izvoditi i druge potpuno povratne Carnotove procese, kao što je npr.. proces 1'-2'-3'-4' ili beskonačno uzak proces prikazan šrafirnim površinama, kod kojeg je doveden toplina dq = yodx. No, svi ti procesi moraju imati isti termički stupanj djelovanja tj.

.111 constyy

ydxdxy

qq

qqq

qw oooo =−=−=−=

−==η (4.13.)

Kako položaj beskonačno uskog Carnot-ovog procesa nije fiksiran na neku određenu vrijednost x, to za bilo kjoji x mora odnos ordinate jedne izoterme prema ordinati druge izoterme biti jednak:

a

yyo =

(4.14.)

Veličina a nikako ne ovisi o radnom mediju (jer ni stupanj djelovanja ne ovisi). Neka nam je tok izoterme ϑ0 u xy-dijagramu poznat i predočen funkcijom

yo = f(x) = a * f(x) (4.15.) Vrijednost veličine a je konstantna za jednu određenu temperaturu, ali se mijenja s temperaturom. Veličina a je dakle nekakva čista funkcija temperature:

y = ξ(ϑ) *f(x) (4.16.) Uvrstivši to u (4.9.) slijedi: q∂ = y dx = ξ(ϑ) *f(x) dx = ξ(ϑ) d ∫ f(x) dx (4.17.) Kako je x=x(p,v) to je i integral u (4.17.) također neka funkcija dviju veličina stanja p i v, dakle neka nova veličina stanja, koju ćemo označiti sa slovom s: ∫ f(x) dx = s = s(p,v) (4.18.) Tako jednadžba (4.17.) poprima oblik: q∂ = ξ(ϑ) ds (4.19.) Dok oblik funkcije s= s(p,v) ovisi o vrsti tvari, pa će se tu funkciju za svaku tvar trebati posebno odrediti, funkcija ξ(ϑ) („ksi“) univerzalna je temperaturna funkcija, ista za bilo koju tvar. Dovoljno je da je za bilo koju tvar odredimo, pa da ona vrijedi i za

9

svaku drugu tvar. Najjednostavnije ju je odrediti uz pretpostavku da je dotična tvar idealni plin. U tom slučaju možemo pisati: q∂ = du + p dv = cv dT + p dv (4.20.) Iz jednadžbe stanja idealnog plina pv = RT slijedi nakon logaritimiranja i deriviranja:

TdT

vdv

pdp

=+

Odnosno:

dT = T* ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

vdv

pdp

Što uvršteno u jednadžbu (4.20.) daje:

q∂ = cv T* ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

vdv

pdp + dv

vRT = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

vdvR

vdvc

pdpcT vv =

= T ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

vdvc

pdpc pv

Ako izraz u zagradi istovremeno deriviramo i integriramo dobivamo: q∂ = T d (cv lnp + cp lnv + const) (4.21.) Usporedbom ovog izraza sa jednadžbom (4.19.) proizlazi da je univerzalna temperaturna funkcija ξ(ϑ)= T (4.22.) Pa se jednadžba (4.19.) može pisati u obliku: q∂ = T ds (4.23.) Zbog jednostavnosti pisanja, pamtit ćemo da je q∂ nepotpuni diferencijal, ali ćemo izraz (4.23.) pisati u obliku: dq = T ds (4.24.) Izraz (4.24.) je analitička formulacija II glavnog stavka, jer smo pri njegovom izvođenju koristili zaključke do kojih smo došli na osnovu tog stavka. Mijenja li se stanje tvari u konačnom iznosu glasi II glavni stavak:

q = ∫2

1

Tds [J/kg] (4.25.)

10

Izrazi (4.24.) i (4.25.) vrijede samo ako su ispunjeni ravnotežni uvjeti spomenuti na početku ovog izlaganja. I za neravnotežne promjene vrijedio bi naravno II glavni stavak, samo bi u tom slučaju (4.24.) i (4.25.) glasili: dq < T ds (4.24a)

q < ∫2

1

Tds [J/kg] (4.25a)

Povezujući I i II glavni stavak zajedno dobivamo: dq = du + dw ≤ T ds [J/kg] (4.26.)

q = u2 –u1 + w ≤ ∫2

1

T ds [J/kg] (4.27.)

gdje znak jednakosti vrijedi za ravnotežne, a nejednakosti za neravnotežne promjene. Da bi izraz (4.25.) mogli integrirati moramo poznavati zakon po kome se vrši promjena stanja, odnosno kako se mijenja T u ovisnosti o s: T = T(s). Taj je integral najlakše riješiti ako se radi o izotermnoj promjeni, kada je dakle T = const. q = T (s2 - s1) [J/kg] za T = const. (4.28.) Nova veličina stanja, koju smo označili slovom s, naziva se entropija. Njena je dimenzija [J/kgK]. Entropiju proizvoljne mase tvari m označit ćemo s S, a dimenzija joj je [J/K]. Veza između njih je S = m * s . Rekli smo već da funkcionalna veza s = s(p,v) ovisi o vrsti tvari. Za idealne plinove mi smo tu vezu i našli u jednadžbi (4.21.) odakle slijede slijedeći izrazi, koji vrijede samo za idealne plinove konstantne specifične topline:

s2 - s1 = cv ln1

2

pp + cp ln

1

2

vv (4.29.)

s2 - s1 = cv ln1

2

TT + R ln

1

2

vv ( za idealne plinove) (4.30.)

s2 - s1 = cp ln1

2

TT - R ln

1

2

pp (4.31.)

Za bilo koju tvar vrijede izrazi:

ds = dvTpdT

Tc

v

v *⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+ (4.32.)

11

ds = dpTvdT

Tc

p

p *⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+ (4.33.)

gdje indeksi v i p naznačuju da se parcijalna derivacija vrši kod konstantnog volumena v odnosno pritiska p. Ako se promjena volumena s temperaturom može zanemariti, kao npr. pri zagrijavanju kapljevine ili čvrste tvari za ne prevelike temperaturne razlike, onda je u

(4.33.) 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

vTv , pa slijedi:

ds = dTTcp ( za v = const.) (4.34.)

odnosno, budući da je za kapljevine i čvrste tvari cp = cv = c:

s2 - s1 = c ln1

2

TT (za kapljevine i čvrste tvari) (4.35.)

Iz jednadžbi (4.29.) , (4.30.) i (4.31.) možemo izračunati promjenu entropije za vrijeme toplinske promjene tvari od stanja 1 do stanja 2, a to će nas (kao i kod unutarnje energije) uglavnom i zanimati. Kako je apsolutna temperatura T uvijek pozitivna veličina, to će promjena entropije imati uvijek isti predznak kao i toplina dQ. Tako će se dovođenjem topline entropija povećavati, a odvođenjem smanjivati. Kod promjena gdje se ne vrši nikakva izmjena topline, entropija se neće mijenjati. Ts –dijagram Analogno kako smo nacrtali x-y dijagram, možemo nacrtati T-s dijagram. Površina ispod linije koja predstavlja promjenu stanja od 1 do 2 predstavljat će izmijenjenu toplinu. Ako linija promjene ide od lijeva prema desno, ds >0 što znači da je izmijenjena toplina q>0 što znači da se toplina dovodi sistemu. Suprotno ako linija promjene stanja ide od desno prema lijevo, ds<0, izmijenjena toplina q<0 što znači da se toplina odvodi. Slika 4.6.

12

Tok izoterme u Ts dijagramu je jednostavan. Temperatura je konstantna i predstavlja je horizontalni pravac, to viši u dijagramu, što je viša temperatura kod koje se proces odvija. Adijabata je također jednostavna. Kako nema nikakve izmjene topline Q=0, to će i promjena entropije biti jednaka nuli, pa će adijabatu predstavljati vertikalni pravac. Da bi odredili liniju konstantnog volumena poslužimo se izrazom (4.30.). Kako je za izohoru v1 = v2 , ln 1 = 0 pa će biti:

s2 - s1 = cv ln1

2

TT

Slijedi da je izohora logaritmička funkcija temperature, jednaka za svaki volumen, tako da se jedna od druge razlikuje samo za neku aditivnu konstantu tj. izohore su paralelno pomaknute u smjeru apscise i to tako da izohora za veći specifični volumen leži desno od izohore manjeg specifičnog volumena. Napišemo li gornju jednadžbu u diferencijalnom obliku:

T vv

cTs

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.36.)

Prema sl. je vT

s⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ koeficijent nagiba tangente na izohoru ili tg α tako, da je cv

subtangenta izohore. Slika 4.7. Analogno, kao za izohoru dobili bi i za izobaru:

s2 - s1 = cp ln1

2

TT

što je jednadžba izobare u Ts-dijagramu. U diferencijalnom obliku:

T pp

cTs

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.37.)

13

I izobara je logaritmička funkcija temperature, te su sve izobare međusobno jednake linije i samo su paralelno pomaknute u smjeru apscise. Izobara višeg pritiska leži u Ts-dijagramu iznad izobare nižeg pritiska. Subtangenta izobare jednaka je specifičnoj toplini cp. Kako je cp uvijek veće od cv to izobara prolazi kroz neku točku u Ts-dijagramu položitije od izohore kao što se to vidi na sl. 4.8. Za politropsku promjenu stanja možemo pisati: dq = cn dT = Tds (4.38.) odnosno

T nn

cTs

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.39.)

Integracijom jednadžbe od početnog stanja 1 (s1,T1) do stanja 2 (s2,T2)dobivamo jednadžbu politrope u Ts-dijagramu:

s2 – s1 = cn ln 1

2

TT

= 1−

−nncv

κ * ln 1

2

TT

(4.40.)

To je opet logaritmička krivulja, čija je subtangenta jednaka politropskoj specifičnoj toplini cn. Na sl prikazane su i četiri politrope i to s eksponentima 0<n<1, 1<n< ,

<n<∞, i -∞<n<0. Za 1<n< je politropska specifična točina cn negativna: kod dovođenja topline (u Ts-dijagramu promjena stanja teče od lijeva u desno) temperatura opada. Slika 4.8.

14

KRUŽNI PROCESI U TS-DIJAGRAMU

Carnot-ov proces Sastoji se od dvije izoterme i dvije adijabate pa ga je naročito jednostavno prikazati u Ts-dijagramu sl. . Neka proces bude desnokretni! Kod izotermne ekspanzije pri temperaturi T, od stanja 1 do stanja 2, dovodi se toplina q predočena površinom ispod izoterme T. Toplina qo, koju odvodimo kod izotermne kompresije pri temperaturi To od 3 do 4, predočena je površinom ispod izoterme To, Budući da je za svaki kružni proces dobiveni rad jednak razlici doveden i odvedene topline, w= q –qo, to nam površina koja je u u Ts-dijagramu obuhvaćena kružnim procesom prikazuje onaj dio dovedene topline, koji se je pretvorio u mehanički rad. Slika 4.9. Za Carnot-ov proces možemo na osnovu Ts-dijagrama izvesti i drugi izraz za termički stupanj djelovanja η = w/q. Po Ts-dijagramu, dovedena je toplina q jednaka površini pravokutnika baze s2 –s1= =s3 –s4, a visine jednake temperaturi T. Dakle je: q = T (s2 – s1) (4.41.) Isto je tako odvedena toplina qo jednaka površini pravokutnika iste baze s2 –s1 i visine To, dakle: qo = To (s2 – s1) (4.42.) Kako je w = q - qo slijedi: w = T (s2 – s1) - To (s2 – s1) = (T - To) (s2 – s1) (4.43.) Pa je termički stupanj djelovanja Carnot-ovog procesa jednak

TT

TTT

qqq

qw ooo

c −=−

=−

== 1η (4.44.)

15

Govoreći prije o povratnom i nepovratnom Carnot-ovom procesu kazali smo, da će on biti povratan, ako sve promjene stanja budu povratne, tj. ako plin ekspandira kod temperature T jednake temperaturi ogrjevnog spremnika Tg, a komprimira se kod temperature To jednake temperaturi rashladnog spremnika Th. Termički stupanj djelovanja takvog povratnog Carnotovog procesa 1' – 2' – 3' – 4' (slika 4.9.) bio bi prema

g

hpovc T

T−= 1,η (4.45.)

Kako svi povratni kružni procesi, izvedeni s bilo kojom radnom tvari, kod istih toplinskih spremnika imaju jednaki termički stupanj djelovanja, to nam daje vrijednost termičkog stupnja djelovanja i za bilo koji drugi povratni kružni proces izveden između ogrjevnog spremnika temperature Tg i rashladnog spremnika temperature Th. Po (4.45.) izgleda, da bi termički stupanj djelovanja mogao poprimiti sve vrijednosti između 0 i 1. No, ako je cη = 0 , onda se ne dobiva nikakav rad iz dovedene topline. Taj bi slučaj nastupio, kad bi temperature ogrjevnog i rashladnog spremnika bile međusobno jednake: T = Tg = To = Th. No, u tom slučaju ne bi imali dva, nego samo jedan toplinski spremnik, a iz njega, po II glavnom stavku, ne možemo u cikličkom procesu dobivati rad. Dakle, cη = 0 odgovara jednoj od spomenutih formulacija II glavnog stavka (Thomson). Da bi pak termički stupanj djelovanja postao jedak jedinici, moralo bi po (4.45.) biti ili temperatura rashladnog spremnika Th jednaka nuli, ili pak temperatura ogrjevnog spremnika Tg biti beskonačno visoka. Nije moguće ispuniti niti jednu niti drugu alternativu. Gornja granica temperature ogrjevnog spremnika diktirana je svojstvima materijala iz kojih gradimo strojeve, a praktički dostižne i upotrebljive temperature daleko su od beskonačno visokih. Kao rashladni spremnik služi nam pak naša okolina, čija je temperatura prilično nepromjenljiva, a svakako mnogo viša od apsolutne nule. Njena će se vrijednost kretati približno oko 300K. Iz navedenog zaključujemo da će dostižni termički stupanj djelovanja, čak i kod povratnog kružnog procesa, imati vrijednost znatno manju od 1. Nepovratnosti, koje se u praksi nužno pojavljuju, smanjit će još i dalje taj termički stupanj djelovanja. Uzmimo kao primjer Carnot-ov proces koji se izvodi nepovratno, kod kojeg je dakle T < Tg i To> Th ! Iz odnosa tih temperatura slijedi da je To/T> Th/ Tg pa je:

gh

o

povc

c

TTTT

/1/1

, −−

=ηη < 1

16

Sl. 4.10. predočava nam Joule-ov proces, Dieselo-ov proces i Otto-proces u Ts-dijagramu. Svi su prikazani kao desnokretni procesi. Dovedene i odvedene topline, kao i dio topline pretvoren u mehanički rad w. Slika 4.10. Entropija i nepovratnost Pored pogodnosti da pomoću nje lako izračunavamo izmijenjenu toplinu u Ts-dijagramu, entropija nam omogućava da matematički odredimo utjecaj nepovratnosti na valjanost toplinskih procesa. Izmjena topline uz konačne temperaturne razlike Dva tijela (sl.4.11.) od kojih prvo ima temperaturu T1, a drugo nižu temperaturu T2, čine jedan od okoline potpuno izolirani sustav. Stavimo li ta dva tijela u međusobni kontakt, toplina će prelaziti s tijela više na tijelo niže temperature.

17

Slika 4.11. Uslijed odvođenja beskonačno male količine topline dQ od prvog tijela promijenit će se entropija tog tijela za iznos:

1

1 TdQ

dS −= (4.46.)

Istodobno se zbog dovođenja topline povećava entropija drugog tijela za iznos:

2

2 TdQ

dS = (4.47.)

Promjena entropije čitavog sistema će biti jednak zbroju pojedinačnih promjena entropije:

12

21 TdQ

TdQ

dSdSdS −=+= = 21

21

TTTTdQ − (4.48.)

Pošto je T1 > T2 ukupni će prirast entropije dS > 0. Slijedi zaključak: Kod izmjene topline između dva tijela različitih temperatura entropija čitavog sistema poraste! Iz izraza () vidimo da se entropija ne bi promijenila jedino u slučaju da su temperature T1 =T2. Dakle kod izmjene topline između dva tijela jednake temperature entropija se čitavog sustava ne mijenja! Napomenimo posebno da se entropija pojedinog tijela može smanjiti ali promjena entropije čitavog sistema može biti samo pozitivna. Svaka nepovratnost u sistemu rezultirati će povećanjem entropije ali i određeni gubitak rada. Pokušajmo odrediti gubitak rada u slučaju da s nekog tijela konstantne temperature T1 prijeđe toplina Q na neko drugo tijelo konstantne temperature T2 , što je nepovratan proces. Izmjenu topline ćemo predočiti u Ts-dijagramu (sl.4.12.). Toplina Q, koja prijeđe s tijela temperature T1, predočena je u tom dijagramu površinom 1-2-3-4, a kako tu istu toplinu primi tijelo temperature T2, to površina 5-6-7-3, koja predočava tu primljenu toplinu, mora biti jednaka površini 1-2-3-4. Količina topline ostala je pri tom nepovratnom prijelazu topline ista, samo što je toplina kod više temperature T1 vrednija od topline kod niže temperature T2. Da to uvidimo pomislimo na to, da smo uz upotrebu topline Q, koju dovodimo kod temperature T1, mogli vršiti desnokretni Carnot-ov proces, pri čemu nam je kao rashladni spremnik mogla poslužiti okolina temperature To. Ovakav bi nam proces dobavljao rad W1, jednak površini 1-2-8-9, a okolina bi pri tome preuzimala toplinu jednaku površini 9-8-4-3.

Iz jednadžbe (4.44.) TT

TTT

QQQ

QW ooo

c −=−

=−

== 1η slijedi relacija za dobiveni rad:

W1

1

TTT

Q o−= (4.49.)

18

No, mi nismo vršili opisani Carnot-ov proces, nego smo tu toplinu Q predali tijelu niže temperature T2. Tom toplinom mogli bi pak tjerati Carnot-ov proces, koji bi nam davao rad W2 predočen površinom 5-6-10-9, a okolini bi se predavala toplina predočena površinom 9-10-7-3. Taj je rad jednak:

W2 = Q 2

2

TTT o− (4.50.)

Iz topline Q kod temperature T1 mogli smo dobiti rad W1, a iz iste topline kod temperature T2 rad W2.. Razlika tih radova predočava onaj gubitak rada ΔW, koji je nastao zbog nepovratnog prijelaza topline od tijela temperature T1 na tijelo temperature T2 . Matematički opisano:

ΔW = W1 - W2 = Q ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

2

2

1

1

TTT

TTT oo = To ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

12 TQ

TQ

(4.51.)

Kako je promjena entropije tijela konstantne temperature T1 kojem oduzimamo toplinu Q:

1

1 TQS −=Δ (4.52.)

A istovremeno je promjena entropije tijela konstantne temperature T2 kojem tu istu toplinu predamo jednaka:

2

2 TQS =Δ (4.53.)

To je ukupna promjena entropije sistema jednaka:

ΔS = ΔS2 + ΔS1 = 12 T

QTQ

− (4.54.)

Usporedbom izraza (4.51.) i (4.54.) dobivamo konačni izraz za izgubljeni rad:

19

ΔW = To ΔS (4.55.) On je dakle jednak produktu temperature okoline To i ukupnog prirasta entropije ΔS. U Ts-dijagramu, na sl. izgubljeni rad je predočen površinom 8-10-7-4. Ovo nas je razmatranje dovelo do jedne važne spoznaje, a to je, da toplinska energija dobiva svoju vrijednost tek u vezi s temperaturom, kod koje nam ona stoji na raspolaganju. Ista količina topline kod više temperature ima posve drugu vrijednost, nego li kod neke niže temperature. Čim je ta temperatura viša, to je toplina vrjednija. Ogromna količina toplinske energije, sadržane kao unutarnja energija u našoj okolini kod okolišnje temperature To, nema uopće nikakve vrijednosti za dobivanje rada, to je degradirana energija. Trenje Trenje je jedna nepovratna pojava s kojom se neizbježno susrećemo u svakodnevnoj strojarskoj praksi. Razmotrimo je na slijedećem primjeru slika (4.13.):

Slika 4.13. Uteg m1 spojen je preko koloturnika s utegom m2. Spusti li se uteg m2 na položaj m2', on će izvršiti neki rad, koji će se utrošiti za pomicanje utega m1 na položaj m1'. Budući da se promjenom položaja utega m1 nije promijenila niti njegova kinetička, a niti potencijalna energija, to se je, po prvom glavnom stavku, čitav dovedeni rad W, trenjem utega m1 o podlogu, pretvorio u toplinu Q. Ovom će se toplinom zagrijati uteg m1 i podloga. Nakon nekog vremena oni će se ponovno ohladiti na okolišnju temperaturu To predavajući tu toplinu na okolišnji uzduh. Razmotrimo sada promjenu entropije čitavog sistema! Izolirani sistem čine oba utega i njihov spoj, podloga i okolišnji uzduh. Opisanim promjenama promijenila se samo entropija okolišnjeg uzduha. Ostali sudionici sistema zadržali su svoja početna toplinska stanja pa im se stoga entropija nije promijenila. Promjena entropije uzduha iznosi:

ΔS = oo T

WTQ

= (4.56.)

20

Kako je to ujedno i promjena entropije čitavog sistema, vidimo da se entropija sistema povećala, što ukazuje na nepovratnost procesa. Prigušivanje Prigušivanje je nepovratni proces koji nastupa prilikom strujanja plina ili kapljevine kroz neki cjevovod, ako se njegov presjek naglo smanji ( poluotvoreni ventil, mjerni zaslon i sl.), što rezultira padom tlaka. Ovakve prepreke strujanju rezultiraju stvaranjem vrtloga u mediju koji struji, što ima za posljedicu pretvaranje jednog dijela energije u toplinu. Procesom prigušivanja dakle, opada pritisak medija a da se pri tome ne vrši nikakav koristan rad. Zbog prilika koje vladaju u prigušilištu, svaki će djelić tekućine imati neko drugo toplinsko stanje, tako da ovdje ne možemo primijeniti jednadžbu stanja. Nju možemo primijeniti na tekućinu dovoljno daleko ispred i iza prigušilišta, gdje možemo pretpostaviti, da u čitavom promatranom presjeku strujanja vladaju iste prilike. Slika 4.14. Na sl.4.14. pretpostavljeno je, da je prigušivanje izazvano mjernim zaslonom. Neka tekućina, koja struji, ima dovoljno daleko ispred prigušilišta, u presjeku 1, pritisak p1, temperaturu T1 i specifični volumen v1, a dovoljno daleko iza prigušilišta, u presjeku 2, pritisak p2, temperaturu T2, i specifični volumen v2! Brzina strujanja tekućine neka je u oba presjeka približno ista, tako da praktički ne postoji razlika kinetičkih energija. Kako se samo prigušivanje obično odvija brzo, to možemo pretpostaviti, da za to vrijeme nema nikakve izmjene topline između okoline i tekućine, kao da je cijev toplinski izolirana. Kroz oba presjeka 1 i 2 struji stalno tekućina. Taj proces strujanja možemo zamisliti tako, kao da se u oba ta presjeka nalaze neki stapovi, koji se kreću istom brzinom kojom struji tekućina. Da bi se gibao stap 1, površine A1 moramo izvana djelovati nekom silom F1= A1 p1. U stvari tom silom djeluje na zamišljeni stap ona tekućina, koja izvana dotječe presjeku 1, te na taj način pred sobom tjera tekućinu, koja je već prošla kroz taj presjek. Kako se u određenoj jedinici vremena zamišljeni stap pomakne za dužinu s1, to je izvršeni rad za utiskivanje tekućine: W1 = - F1 s1 = - p1A1s1 = - p1V1 (4.57.)

21

Rad je negativan, jer ga vrši tekućina, koja dotječe presjeku 1, dakle je doveden izvana. U presjeku 2 stap 2, površine A2, pomakne se u isto vrijeme za s2 kod pritiska p2, te tako potiskuje masu tekućine, koja je već prošla kroz presjek 2. Na taj se način vrši rad istiskivanja: W2 = F2 s2 = p2A2s2 = p2V2 (4.58.) Suma tih radova iznosi: W = W1 + W2 = p2V2 - p1V1 (4.59.) Primjenom I gl. Stavka dobivamo: Q = U2 – U1 + W = 0 Ili ako uvrstimo jednadžbu (4.59.): U1 + p1V1 = U2 + p2V2 (4.60.) Ova suma ostaje dakle kod prigušivanja konstantna. Nju nazivamo entalpijom i označujemo je s H [J], ako se odnosi na m kg neke tvari, odnosno sa h [J/kg] ako se odnosi na 1 kg tvari, tako da je H = m * h. Prema tome je: H = U + pV [J] (4.61.) h = u + pv (4.62.) Kako je entalpija funkcija samo drugih veličina stanja, to je i ona sama jedna veličina stanja. Za prigušivanje je dakle karakteristično da entalpija ostaje nepromijenjena: h1 = h2 (4.63.) To vrijedi za bilo koju tekućinu, jer kod izvoda, u tom pogledu, nismo postavili nikakva ograničenja, ali ipak uz uvjet, da se brzine strujanja ispred i iza prigušilišta bitno ne razlikuju i da nema izmjene topline između tekućine i okoline. Kod prigušivanja pritisak opada, a temperatura ostaje konstantna, dobivamo iz (4.31.) da je promjena entropije:

Δs = s2 - s1 = cp ln1

2

TT - R ln

1

2

pp

Δs = - R ln1

2

pp > 0 (4.64.)

22

Kako u procesu prigušivanja sudjeluje samo tekućina koja struji, to je (4.64.) ujedno i ukupna promjena entropije izoliranog sistema. Kao što smo i očekivali, ona je, zbog nepovratnog procesa prigušivanja, porasla. To vrijedi za bilo koju tekućinu, a ne samo za idealni plin. Entalpija Pomoću entalpije možemo izraziti i oba glavna stavka termodinamike. Diferenciranjem jednadžbe (4.62.) dobijemo: dh = du + p dv + v dp Ili du + p dv = dh – v dp (4.65.) Usporedbom I glavnog stavka s jednadžbom (4.65.): dq = dh – v dp (4.66.) Integracijom jednadžbe (4.66.) dobiva se:

q = h2 – h1 - ∫2

1

vdp (4.67.)

Iz analitičkog izraza II glavnog stavka, dQ = T ds slijedi nadalje: T ds = dh– v dp (4.68.) odnosno

∫∫ −−=2

112

2

1

vdphhTds (4.69.)

Entalpija je naročito pogodna za računanje izmijenjenih toplina kod takvih procesa, koji se odvijaju kod konstantnog pritiska, što je vrlo čest slučaj u tehnici. Ako je p= const., onda je dp= 0 , pa je po (4.66.) dq = dh ili

qp= 12

2

1

hhdh −=∫ (4.70.)

Kako je izmijenjena toplina kod konstantnog pritiska dqp= cp * dϑ slijedi:

23

dh = cp * dϑ (4.71.) odnosno

cp = pp

hq⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

ϑϑ (4.72.)

Kako je entalpija h = f (p, ϑ ) to je njen totalni diferencijal sa (4.72.)

dh = dpphdcdp

phdh

pp ϑϑ

ϑϑϑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.73.)

Za idealne plinove je zbog pv=RT : h = u + pv = u + RT (4.74.) tako, da entalpija kod idealnih plinova ne ovisi o pritisku, pa je ( ) 0/ =∂∂ ϑph te iz (4.73.) slijedi:

h = op hdco

+∫ ϑϑ

ϑ

(4.75.)

Kako će nas uvijek zanimati razlika entalpija to nam integraciona konstanta ho neće biti interesantna i možemo proglasiti da je za temperaturu ϑ = 0ºC ho= 0. Ako je još k tome specifična toplina cp= const., onda je za idealne plinove: h = cp ϑ (4.76.) Ako se promjenljivost specifične topline s temperaturom ne može zanemariti, onda možemo računati sa srednjim specifičnim toplinama: h = [ ] ϑϑ *

opc (4.77.) I za druge tvari, ako se dovoljno točno može pretpostaviti da im volumen ostaje konstantan, a za njih je onda i cp= cv= c, možemo računati po približnom izrazu: h = c ( ) oo h+−ϑϑ (4.78.) odnosno ako odredimo da je za ϑ = 0ºC ho= 0: h = c ϑ (4.79.)

24

MIJEŠANJE PLINOVA To je svakako nepovratan proces, jer se plinovi sami od sebe jako dobro izmiješaju, ali se nikad neće sami od sebe razdvojiti. Stanje mješavine ovisi, kako o količinama i početnim stanjima pojedinih sudionika prije miješanja, tako i o uvjetima pod kojima se miješanje vrši. Mi ćemo razmotriti dva slučaja i pri tome pretpostaviti, da se za vrijeme miješanja ne izmjenjuje toplina s okolinom. Ako bi se ona ipak izmjenjivala, onda to možemo uzeti u obzir tako, kao da se ta izmjena vrši tek nakon što je proces miješanja završen. Miješanje pri konstantnom volumenu Neka se u posudi, pregrađenoj na manje dijelove, (sl.4.15. ) nalaze različiti plinovi različitih pritisaka p1, p2, … pn, temperatura T1, T2, … Tn, volumena V1, V2, … Vn, količina N1= m1/M1, N2= m2/M2,… Pn=mn/Mn i unutarnjih energija U1, U2, … ,Un. Slika 4.15. Nakon podizanja pregrada plinovi će se difuzijom izmiješati i nakon nekog vremena, mješavina će posvuda imati jednaki pritisak p i temperaturu T. Količina mješavine je: N = N1 + N2 + … + Nn (4.80.) i zauzima ukupni volumen : V = V1 + V2 + … + Vn (4.81.) Primjenimo I glavni stavak! Rad W=0 zbog toga što je ukupni volumen prije i poslije miješanja jednak. Kako smo pretpostavili da se za vrijeme miješanja nema nikakve izmjene topline, to je i Q = 0. Slijedi da su unutarnje energije prije i poslije miješanja jednake: U1 + U2 + … + Un = U (4.82.) N1Cv1T1+ N2Cv2T2+ …+ NnCvnTn = (N1Cv1+ N2Cv2+ …+ NnCvn) * T iz čega slijedi:

25

∑∑=

ivi

ivii

CNTCN

T (4.83.)

Ako svi plinovi, koji se miješaju, imaju istu vrijednost κ onda ime je svima ista i specifična toplina Cvi pa izraz (4.83.) poprima oblik::

iii

ii TrN

TNT ∑∑

∑ == (4.84.)

gdje ri predstavlja volumenski udio pojedinog sudionika mješavine. Pritisak mješavine možemo odrediti prema Daltonovom zakonu: p = p1' + p2' + …+ pn' (4.85.) Pojedine parcijalne pritiske možemo odrediti iz činjenice, da se plinovi u mješavini ponašaju kao da drugih plinova nema. Iz jednadžbe stanja slijedi onda parcijalni pritisak bilo kojeg plina:

V

TNp ℜ= 1

1 ' ; V

TNp n

nℜ

=' (4.86.)

Ako (4.86.) uvrstimo u (4.85.):

p = +ℜV

TN1 +ℜV

TN 2 … +V

TNnℜ = (N1+ N2+ … +Nn) VTℜ

odnosno

V

TNp ℜ= (4.87.)

Uz poznati pritisak mješavine p, prema (4.87.), mogu se parcijalni pritisci pojedinih plinova izračunati i jednostvnije :

pi' = ri p = pNNi (4.88.)

Promjena entropije za pojedini i-ti plin za 1 kmol plina biti će:

S1' – S1 = N1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℜ−

1

1

11

'ln*ln*PP

TTCp

S2' – S2 = N2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℜ−

2

2

22

'ln*ln*pp

TTCp

26

Sn' – Sn= Nn ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℜ−

n

n

npn p

pTTC 'ln*ln* (4.89.)

Odovud slijedi ukupan prirast entropije:

ΔS = ( )i

i

ipiiii p

pTTCNSS 'ln*ln*' ℜ−=− ∑∑ (4.90.)

Iako se iz ovog izraza teško može vidjeti da je ΔS uvijek veći od 0, tj. da entropija raste, svaki će numerički proračun to potvrditi. Pretpostavimo li da su svi sudionici prije miješanja imali isti pritisak p, kao i nastala mješavina, i istu temperaturu, kao što bi je prema (4.84.) imala i nastala mješavina, bio bi prema (4.90.) ukupni prirast entropije:

ΔS = ppN

TTCN i

ipii'ln*ln* ∑∑ ℜ−

A kako je ln (T/T) = ln 1 = 0, a ii r

pp

=' , slijedi sa

NN

r ii =

ΔS = i

iii rrNrN 1lnln* ∑∑ ℜ=ℜ− (4.91.)

Pošto je ri < 1, to je ir

1 >1 i ln ir

1 >0, slijedi da je ΔS>0, što pokazuje rast entropije

izoliranog sistema zbog nepovratnog procesa miješanja plinova. Miješanje plinskih struja Plinove se može miješati i na način (sl. 4.16.) da se pojedini plinovi dovode pojedinim cijevima do mješališta a dobivena mješavina odvodi drugom cijevi. Slika 4.16.

27

Neka plinovi različitih pritisaka p1, p2, … pn, temperatura T1, T2, … Tn, volumena V1,

V2, … Vn, količina po jedinici vremena .

1N = .

m 1/M1, .

2N = .

m 2/M2,… .

nN = .

m n/Mn i unutarnjih energija U1, U2, … ,Un dostrujavaju u mješalište, a nastala smjesa plinova

ima pritisak p, temperaturu T, volumen .

V [m3/s], količinu:

N = N1 + N2 + … + Nn [kmol/s], (4.92.) i unutarnju energiju U [J/s]. Za utiskivanje plinova u mješalište zamislimo da postoje neki stapovi, pomoću kojih vršimo rad utiskivanja, koji je jednak p1V1, p2V2, …, pnVn, a mješavina, s druge strane, potiskuje zamišljeni stap i vrši rad istiskivanja pV. Kako pretpostavljamo, da se ne vrši nikakva izmjena topline, to po I gl. stavku mora suma svih dovedenih energija (unutarnjih energija i dovedenog mehaničkog rada) biti jednaka odvedenim energijama, tj. : U1 + p1V1 + U2 + p2V2 + … + Un + pnVn = U + pV (4.93.) Kako je U + pV = H, možemo pisati: H1 + H1 + … + Hn = H (4.94.) odnosno: N1 CP1 T1 + N2 CP2 T2 + …+ Nn CPn Tn =

= (N1 CP1 + N2 CP2 + …+ Nn CPn )T (4.95.) Odakle se izračunava temperatura mješavine:

T = ∑∑

Pii

iPii

CNTCN

(4.96.)

A ako brojnik i nazivnik podijelimo s N slijedi:

T = ∑∑

Pii

iPii

CrTCr

(4.97.)

Gdje NNr i

i = predstavlja volumenski udio i-tog plina u mješavini.

Ako svi plinovi imaju istu vrijednost , odnosno iste specifične topline onda slijedi da je temperatura mješavine:

T = iii

ii TrrTr

∑∑∑ = (4.98.)

28

Volumen nastale mješavine slijedi iz jednadžbe stanja:

V = p

TNℜ (4.99.)

Parcijalni pritisci pojedinih plinova u mješavini određeni su relacijom:

pi' = ri p= pNNi (4.100.)

Promjena entropije i-tog sudionika, koji je prije miješanja imao pritisak pi i temperaturu Ti , a nakon miješanja parcijalni pritisak pi' i temperaturu T iznosi:

Si' – Si = Ni (CPi lni

i

i pp

TT '

ln*ℜ− ) (4.101.)

a ukupna promjena entropije za svih n plinova:

ΔS = ( ) =−∑ ii SS ' ∑ Ni CPi lni

i

i pp

TT '

ln*ℜ− (4.102.)

Da su svi sudionici prije miješanja imali isti pritisak p kao i nastala mješavina i istu temperaturu T, kao što bi je imala i nastala mješavina, bio bi ukupni prirast entropije:

ΔS = ∑ Ni CPi lnpp

TT i'ln*ℜ−

a kako je ln =TT ln 1 = 0 a i

i rpp

=' slijedi sa (4.100.):

ΔS = -i

iii rrNrN 1lnln* ∑∑ ℜ=ℜ (4.103.)

Napomena: Ovaj je izraz identičan izrazu (4.91.) Kako je ri uvijek <1, to je 1/ ri >1 i ln (1/ ri) > 0, pa je prema (4.103.) ΔS uvijek > 0 što pokazuje da je proces miješanja plinskih struja nepovratan.

1

Gubici uslijed nepovratnosti Entropija nam pruža i izvanredno sredstvo pomoću kojeg možemo uvijek odrediti, da li su se u nekom izoliranom sistemu pojavile nepovratnosti ili nisu. Ukoliko se entropija sistema nije promijenila, onda je sigurno da su svi procesi bili povratni, a to znači, najbolji mogući. Čim se entropija sistema više mijenja, to je bilo više nepovratnosti, dakle su izvedeni procesi bili i tim lošiji jer je, prema prijašnjim razmatranjima, svaka nepovratnost vezana na gubitke. Ali, entropija nam omogućuje ne samo konstataciju da je bilo nepovratnih procesa i da ih je bilo više ili manje, nego i to, da na vrlo jednostavan način izračunamo i koliki su gubici izazvani nepovratnim procesima. Da bi došli do izraza koji nam to izračunavanje omogućuje, podijelit ćemo sve sudionike, koji bilo kako sudjeluju u nekom procesu, na dvije skupine. U prvu skupinu neka uđe ono što nazivamo okolinom: okolišnji zrak, rashladna voda itd., a u drugu skupinu sve ostalo što nam služi za izvođenje nekog procesa, a što ćemo nazvati «radni sustav». Budući da, osim radnog sustava i okoline, ništa više ne sudjeluje u provođenju procesa, to oni zajedno sačinjavaju izolirani sustav. Prilikom izvođenja radnog procesa prelazi radni sustav iz početnog stanja 1 u konačno stanje 2. Time se entropija radnog sustava mijenja od S1 na S2, a unutarnja energija od U1 na U2. Budući da su entropija i unutarnja energija veličine stanja, te ovise samo o početnom stanju radnog sustava 1 i konačnom njegovom stanju 2, a ne o tome, kako se iz 1 došlo u 2, ne ovise dakle niti o tome, da li je promjena radnog sustava od stanja 1 do 2 tekla povratno ili nepovratno. No, kod promjene radnog sustava od stanja 1 do stanja 2 sudjeluje i okolina, pa se i njena entropija mijenjala, a promjena entropije okoline ovisit će o tome, kolika je izmijenjena toplina između nje i radnog sustava za vrijeme promatranog procesa, pa dakle i o tome da li je promjena stanja radnog sustava tekla povratno ili nepovratno. (da se podsjetimo:

dQ = T*ds je nepotpuni diferencijal, integral ∫2

1

Tds ovisi o načinu prijelaza od 1 do 2).

Neka je promjena entropije okoline kod povratne (reverzibilne) promjene radnog sustava jednaka ∆Sr, a kod nepovratne (ireverzibilne) promjene radnog sustava ∆Si . Ako je promjena stanja tekla povratno, onda se entropija čitavog izoliranog sistema neće promijeniti, tako da suma promjene entropije radnog sustava S2 – S1 i okoline ∆Sr mora biti: S2 – S1 + ∆Sr = 0 (5.1.) Ako je pak promjena radnog sustava tekla nepovratno, onda je entropija čitavog izoliranog sistema morala porasti za ∆S, tj. za ∆S = S2 – S1 + ∆Si > 0 (5.2.) Iz (5.1.) i (5.2.) slijedi promjena entropije čitavog izoliranog sistema: ∆S = ∆Si - ∆Sr (5.3.) Ovu promjenu entropije možemo izračunati sumiranjem promjena entropija svih sudionika, dakle sumiranjem promjena entropije radnog sustava i okoline. Promjenu entropije okoline možemo izračunati iz količine topline koju okolina preuzima, onako kao što je to učinjeno npr. kod razmatranja trenja. Pri tome treba naročitu pažnju obratiti na predznake pojedinih promjena entropije.

2

Kod mijenjanja stanja radnog sustava od 1 do 2 izmjenjivat će on možda s okolinom toplinu, a moguće će okolini predavati i neki rad. Označimo toplinu, koju radni sustav predaje okolini kod povratne promjene stanja sa Qr, a rad predan okolini sa Wr.. Kod nepovratne promjene stanja radnog sustava od 1 do 2 predavat će on okolini neku toplinu Qi i drugi rad Wi. Topline što ih prima okolina od radnog sustava u jednom i drugom slučaju možemo izraziti i kao:

Qr = To ∆Sr i Qi = To ∆Si (5.4.)

gdje je To konstantna temperatura okoline. Razlika jedne i druge topline, predane okolini od radnog sustava, iznosi sa (5.4.):

∆Q = Qi – Qr = To (∆Si - ∆Sr) = To ∆S (5.5.)

Primijenimo li prvi glavni stavak na radni sustav, dobivamo za oba slučaja (kod toga smo pretpostavili da od radnog sustava odvodimo i toplinu i rad):

- Qr = U2 – U1 + Wr

- Qi = U2 – U1 + Wi (5.6.)

a odbijanjem druge jednadžbe od prve slijedi ∆Q = Qi – Qr = Wr - Wi (5.7.) Budući da je rad Wr dobiven primjenom potpuno povratnih promjena stanja, to je on najveći mogući dostižni rad kod promjene radnog sustava od stanja 1 do stanja 2, a kako je rad Wi stvarno dobiveni rad kod nepovratnog prijelaza radnog sustava od stanja 1 do stanja 2, to nam razlika obih radova po (5.7.) prikazuje gubitak na radu ∆W izazvan nepovratnostima. Iz (5.5.) i (5.7.) slijedi važni izraz:

∆ W = To ∆ S (5.8.) kojim vrlo jednostavno možemo izračunati, za svaki pojedini slučaj, gubitke na radu ∆W izazvane nepovratnim procesima. Iz (5.7.) vidimo, osim toga, da se izgubljeni rad ∆W , izazvan nepovratnošću procesa, predaje okolini u obliku topline kod okolišnje temperature To. Time se doduše povećava unutarnja energija okoline, ali je ona potpuno bezvrijedna za dobivanje rada; ona je praktički izgubljena. Nepovratnost potpuno degradira energiju ∆W. Izraz (5.8.), koji smo ovdje izveli posve općenito, dobili smo već i prije, kao specijalni slučaj za nepovratni prijelaz topline i trenje .

3

Maksimalni rad Ako raspolažemo s nekim energetskim spremnikom (npr. komprimirani plin u boci), možemo iz njega dobivati rad. No, kako svaki spremnik, pa ma kako on bio ogroman, ipak sadrži samo ograničene količine energije, to će se iz njega moći dobiti i samo jedna ograničena količina mehaničkog rada. O načinu, kako ćemo pri tome postupati, ovisi, da li ćemo dobiti više ili manje rada. Postavljamo pitanje: koliko najviše rada možemo dobiti iz nekog zadanog energetskog spremnika i kako moramo postupati da bi taj maksimalni rad doista i dobili? Da u prvom redu odgovorimo na jedno drugo pitanje: kada je neki energetski spremnik , nazovimo ga «davalac rada» sposoban za dobavljanje mehaničkog rada? On će to biti samo onda, ako se ne nalazi u ravnoteži sa svojom okolinom. Ne može nam npr. poslužiti kao davalac rada uzduh zatvoren u nekom cilindru sa stapom, ako su pritisak i temperatura tog uzduha jednaki pritisku i temperaturi okolišnjeg uzduha. Pritisak, kojim uzduh u cilindru tlači na stap s njegove jedne strane, bio bi, u tom slučaju, jednak pritisku s kojim okolišnji uzduh tlači na stap s njegove druge strane, tako da bi se te dvije sile međusobno poništavale, pa bi stap mirovao i mi ne bi dobili nikakav rad. No, kad bi plin imao isti pritisak s okolinom, ali bi bio npr. hladniji od okoline, toplina bi s okoline prelazila na plin, on bi se, uz konstantan pritisak, počeo širiti i tako bi dobavljao određeni mehanički rad. Okolina, tj. uzduh, riječna ili morska voda, tlo itd., posjeduju neko toplinsko stanje, pritisak po, temperaturu To, koji su praktički neovisni o nama i približno konstantni. Davalac rada, koji nije u ravnoteži s okolinom, mijenja svoje stanje u tom smislu, da sve više i više smanjuje tu ravnotežu i na račun tih promjena iz njega dobivamo mehanički rad. Onog časa, kad se stanja radnog sustava i okoline međusobno uravnoteže, prestat će mogućnost daljnjeg dobivana rada iz tog davaoca rada. Možemo dakle reći, da nam neki davalac rada može dobavljati rad tako dugo, dok ne poprimi temperaturu okoline To i pritisak okoline po, tj. dok ne dođe u mehaničku i toplinsku ravnotežu s okolinom. No, to postizavanje ravnoteže može davalac rada izvršiti na razne načine, a o tome će ovisiti i količina dobivenog rada. Budući, da je svaki nepovratni proces vezan s gubicima, to nužno slijedi, da davalac rada mora iz svog početnog stanja doći u ravnotežu s okolinom povratnim načinom, ako želimo da dobijemo najviše rada. Ovim općim razmatranjima odredili smo put kojim moramo krenuti, da bi dobili maksimalni rad iz nekog davaoca rada: Da bi se dobio maksimalni rad mora se davalac rada potpuno povratnim načinom dovesti u mehaničku i toplinsku ravnotežu s okolinom, dakle na pritisak i temperaturu okoline. Izrazimo to matematički! Zadan nam je davalac rada početnog stanja 1, dakle temperature T1, pritiska p1, volumena V1, unutarnje energije U1, entropije S1. Stanje je okoline zadano temperaturom To, pritiskom po, unutarnjom energijom Uo1 i entropijom So1. Budući da, osim davaoca rada i okoline ništa više ne sudjeluje u procesu dobivanja rada, to oni zajedno sačinjavaju jedan izolirani sistem, kome se izvana niti dovodi niti odvodi toplina, nego mu se samo oduzima dobiveni rad W. Davalac rada mijenja svoje stanje tako dugo, dok ne dođe u ravnotežu s okolinom, tj. dok mu temperatura ne postane jednaka To, a pritisak po. Pri tome se njegov volumen promijeni na V2, unutarnja energija na U2 i entropija na S2.

4

Slika 5.1. Neka se je stanje davaoca rada mijenjalo onako, kako je to na sl 5.1. prikazano linijom

promjene stanja od 1 do 2. Rad ∫2

1

pdV , što ga pri tome izvrši davalac rada, nije jednak

onomu radu koji bi mogli koristiti za obavljanje nekog zadatka, npr. za dizanje tereta. Jedan dio tog rada mora se utrošiti na potiskivanje okoline, koja se svojim pritiskom po odupire pomicanju stapa u desno. Taj rad potiskivanja okoline u iznosu Wo = po (V2 - V1) predaje se okolini, a slobodna količina rada koja nam preostaje je: 2 W = ∫ p dV - Wo 1 Kod promjene stanja od 1 do 2 davalac rada moguće predaje okolini i toplinu Qo. Zbog toga se nije promijenila temperatura okoline To niti njen pritisak po, ali se promijenila njena unutarnja energija Uo2 i entropija So2 . Primijenimo prvi glavni stavak na čitav izolirani sistem (davalac rada i okolina)! Unutarnja je energija tog sistema na početku bila U', a na kraju je U''. Kako nije bilo izmjene topline, to je Q = 0. Prema tome je: Q = U'' – U' + W = 0 Gdje je W onaj rad, koji smo dobili iz promatranog sistema.

5

Iz tog slijedi da je dobiveni rad: W = U' – U'' (5.9.) Unutarnja energija sistema na početku U' jednaka je sumi unutarnjih energija davaoca rada i okoline: U' = U1 + Uo1 (5.10.) i analogno tome, na kraju: U'' = U2 + Uo2 (5.11.) tako, da (5.9.) možemo pisati: W = U1 + Uo1 – U2 – Uo2 = U1 – U2 + Uo1 – Uo2 (5.12.) Primijenimo sada prvi glavni stavak samo na okolinu! Ona je od davaoca rada primila rad Wo i toplinu Qo, pa je: Qo = Uo2 – Uo1 - Wo odnosno

Uo1 – Uo2 = -Qo - Wo (5.13.) Budući da se temperatura okoline To nije promijenila, to toplinu Qo možemo izraziti po drugom glavnom stavku pomoću temperature To i promjene entropije okoline: Qo = To (So2 – So1) (5.14.) Kao što smo već pokazali, davalac rada je promjenom svog volumena od V1 na V2 izvršio rad potiskivanja atmosfere (pritisak okoline po = konst) Wo, koji je jednak Wo = po (V2 – V1) (5.15.) Uvrstimo li (5.14.) i (5.15.) u (5.13.), te zatim u (5.12.), dobivamo: W = U1 – U2 – To (So2 – So1) – po (V2 – V1) (5.16.) Entropija se čitavog sistema promijenila za iznos:

So2 – So1 + S2 – S1 ≥ 0 (5.17.) Odnosno So2 – So1 ≥ S1 – S2 (5.18.) Ako su sve promjene u sustavu tekle povratno, onda u (5.18.) vrijedi znak jednakosti, a ako je bilo i nepovratnih promjena stanja, onda vrijedi znak nejednakosti. Maksimalni ćemo rad dobiti ako u procesu nije došlo do nikakvih gubitaka, tj. ako je sve teklo povratno odnosno, kada u (5.18) vrijedi znak jednakosti.

6

Uvrstivši (5.18.) u (5.16.) dobivamo: Wmax = U1 – U2 – To (S1 – S2) + po (V1 – V2) ≥ W (5.19.) Ovdje smo sa Wmax označili maksimalni mogući rad, a sa W rad koji dobivamo, ako sve promjene nisu tekle povratno ili ako na kraju procesa nismo postigli ravnotežu s okolinom. U ovoj je jednadžbi To temperatura okoline, a po njen pritisak, dok se sve ostale veličine odnose na davaoca rada. Indeks 1 označuje njegovo početno stanje, a indeks 2 konačno stanje. U stanju 2 mora davalac rada biti u ravnoteži s okolinom, dakle mora imati pritisak po i temperaturu To okoline. Jednadžba (5.19.) omogućuje nam, da izračunamo maksimalni rad i za one slučajeve, za koje nam uopće nije poznat povratan proces. Razmotrimo na jednostavnom primjeru dobivanje maksimalnog rada! Neka raspolažemo plinom višeg pritiska od okolišnjeg, p1 > po, i temperature više od okolišnje, T1 > To, stanje 1 na sl. 52. Sva raspoloživa količina plina smještena je u cilindar i zauzima volumen V1. Stanje okoline predočeno je na toj slici točkom 2 i odgovara mu pritisak po i temperatura ϑ o. Da bi dobili maksimalni rad plin mora na kraju postići to stanje, ali, osim toga, mora promjena stanja od 1 do 2 teći potpuno povratno. Jedini toplinski spremnik, koji nam stoji na raspolaganju, je okolina čija je temperatura ϑ o. Proces ćemo voditi kao što je prikazano na sl. 5.3. Slika 5.3. Ekspandirajmo najprije plin od stanja 1 adijabatski, sve dok mu temperatura ne postane jednaka temperaturi okoline ϑ o, točka 3. Ta je promjena stanja svakako povratna, jer uz utrošak rada dobivenog kod ekspanzije, možemo plin vratiti u početno stanje 1 bez ikakvih trajnih promjena. Od 3 do 2 ekspandirajmo plin izotermno kod temperature okoline ϑ o, a toplinu, koja je potrebna za tu ekspanziju, dovodimo plinu iz okoline. I ova je promjena stanja povratna, jer kod vraćanja plina od 2 do 3 izotermi ϑ o, opet utrošimo sav prije dobiveni rad, a i svu, prije primljenu toplinu, predajemo natrag okolini. Ako su pak promjene stanja od 1 do 3 i od 3 do 2 povratne, onda je i čitav proces povratan, a kako smo došli i u ravnotežu s okolinom, to nam on mora dati maksimalni rad. Rad dobiven kod adijabatske ekspanzije od 1 do 3 predočen je površinom ispod te linije, a rad dobiven kod ekspanzije od 3 do 2 ispod izoterme ϑ o. Čitav taj rad ne stoji nam pak na raspolaganju, jer smo prilikom ekspanzije plina od volumena V1 do volumena V2 potiskivali atmosferu i utrošili u tu svrhu rad po (V2 – V1). Dakle je maksimalni rad Wmax predočen na sl. 5.3. površinom 1-3-2-4.

7

Na sličan bi način mogli u pv dijagramu predočiti maksimalni rad i za druge slučajeve, za drukčija početna stanja plina u odnosu na okolišno stanje (početni pritisak veći ili manji od okolišnog pritiska, početna temperatura viša ili niža od okolišne). Uvijek konačno stanje mora biti u ravnoteži s okolinom, a sve promjene stanja moraju biti povratne, a isto tako treba uvijek uzeti u obzir i rad potiskivanja okoline, koji može biti pozitivan ili negativan, već prema prilikama. Katkada se postavlja pitanje minimalnog rada, npr. koliko je minimalno rada potrebno da se određena količina plina, čije je stanje u ravnoteži s okolinom (stanje 2 na sl.5.3.), dovede u stanje 1. Računski je postupak potpuno isti kao i kod maksimalnog rada; i u tom slučaju vrijedi (5.19.), pa su i minimalni i maksimalni rad, po apsolutnim vrijednostima, međusobno jednaki, samo što je minimalni rad utrošen, pa je negativan. Jednadžba (5.19.) vrijedi i u onom slučaju, kad promjena stanja davaoca rada ne teče do ravnoteže s okolinom, kad je dakle p2 ≠ p0 i T2 ≠ T0. Budući da je (5.19) izvedeno uz pretpostavku da se ukupna entropija nije promijenila, ∆S = 0, ona vrijedi za sve povratne promjene stanja, a one su najbolje moguće i daju najveći rad. U takvom slučaju, kada je p2 ≠ p0 i T2 ≠ T0, treba samo u (5.19.) uvrstiti odgovarajuće vrijednosti U2 = U2(p2,T2), S2 = S2(p2,T2), V2 = V2 (p2, T2), a T0 i p0 su temperatura i pritisak okoline. Jedan je takav proces prikazan na slici 5.4. Radni medij stanja 1 treba prijeći u stanje 2 i pri tome dati najveći mogući rad. Stanje je okoline zadano sa ϑ o i p0. Znači, da svi procesu moraju biti posve povratni! Povratna bi promjena tekla tako, da radni medij adijabatski ekspandira od stanja 1 do temperature okoline, stanje 1', zatim ekspandira izotermno do stanja 2' uzimajući pri tome potrebnu toplinu iz okoline temperature ϑ o, iste kao što je i temperatura radnog medija, a nakon toga dolazi, adijabatskom kompresijom, u stanje 2. Slika 5.4.

8

Tehnički rad (stalnotlačni proces) U tehnici se vrlo često primjenjuje proces kod kojeg se cilindar stroja, uz konstantni pritisak, puni do stanovite mjere nekim plinom, a nakon izvršene ekspanzije (ili kompresije) prazni, također kod konstantnog pritiska. Jedan takav proces prikazan je u pV-dijagramu na sl.5.5. Slika 5.5. Iz nekog spremnika, u kome se održava konstantan pritisak p1, dovodi se komprimirani plin u cilindar stroja. Usisni je ventil na cilindru otvoren, komprimirani plin potiskuje stap, te puni cilindar, do stanja 1. Sada se usisni ventil zatvori, a plin a dalje ekspandira po nekoj politropi do stanja 2. Tu je stap došao u desnu mrtvu točku, otvara se ispušni ventil, a stap, koji se pod djelovanjem neke vanjske sile kreće u lijevo, istiskuje istrošeni plin stanja 2, uz konstantni pritisak p2, u okolinu pritiska p0. Kad je sav plin istisnut, stap je stigao u lijevu mrtvu točku, zatvara se ispušni, a otvara usisni ventil, pritisak u cilindru trenutačno poraste na p1 i proces se ponavlja. Budući da se takav proces, kod kojeg se punjenje i pražnjenje cilindra vrši kod konstantnog pritiska vrlo često susreće u tehnici, nazivamo rad, dobiven po jednom ciklusu takvog procesa, tehnički rad, dok se proces naziva stalnotlačni proces. Iako se proces punjenja cilindra od 4 do 1 i pražnjenje cilindra od 2 do 3 u pV-dijagramu prikazuje kao horizontalni pravac, ipak to nisu izobarne promjene stanja. Toplina se niti dovodi, niti odvodi, a toplinsko stanje plina (p,ϑ ,v), ostaje nepromijenjeno. Ukupni volumen plina V = m*v povećava se, ili smanjuje, samo stoga što se mijenja količina plina u cilindru. Tehnički rad možemo izračunati, npr. tako, da sumiramo sve radove kod pojedinih promjena stanja. Pozitivni je rad kod punjenja cilindra od 4 do 1: površina 4-1-b-a i kod politropske ekspanzije od 1 do 2: površina 1-2-c-b, dok je negativan rad onaj, što ga utrošimo za pražnjenje cilindra od 2 do 3: površina 3-2-c-a. Dakle je tehnički rad predočen šrafiranom površinom 1-2-3-4.

9

Tehnički se rad, po slici 5.6., može izračunati i na drugi način. Vidimo da je 2 Wteh = - ∫ V * dp (5.20.) 1 Slika 5.6. Ovdje smo morali staviti negativni predznak da bi integracija kod ekspanzije plina dala pozitivan rad, a kod kompresije od 2 do 1 negativan rad, u skladu s dogovorom o predznaku radova. Neka je ekspanzija plina u cilindru tekla po nekoj politropi p Vn = konst Deriviranjem dobivamo:

n p Vn-1 dv + Vn dp = 0 /: Vn-1

n p dV + V dp = 0 Ovo se može integrirati pa, budući da je za jednu politropu n = konst, slijedi

∫−2

1

Vdp = ∫2

1

pdVn

Lijeva je strana ove jednadžbe prema (5.20.) jednaka tehničkom radu Wteh, a integral na desnoj strani odgovara radu, što ga dobivamo kod politropske ekspanzije bez punjenja i pražnjenja cilindra Wn (vidi sl.5.6.). Tako možemo pisati da je tehnički rad: Wteh = n * Wn (5.21.) Tehnički je rad dakle n-puta veći od politropskog. Izraz (5.21.) vrijedi naravno i za specijalne politrope uz odgovarajući n. Tako je za: Izobaru, (n = 0), Wteh = 0

10

Izotermu, (n = 1), Wteh = Wt = pV * 1n 2

1

pp

Adijabatu, (n = æ ), Wteh = æ Wad =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⋅

−κκ

κκ

1

1

211 11 p

pVp

izohoru, ( n = ∞ ), Wteh = V (p1 – p2) (5.22.) Do izraza Wteh kod izohorne promjene stanja najlakše se dolazi , ako se taj proces prikaže u PV-dijagramu. Za opću politropu slijedi iz (5.22.):

Wteh = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−n

n

ppVp

nn

1

1

211 1

1 (5.23.)

Tehnički se rad može jednostavno izračunati i primjenom entalpije:

q = h2 – h1 - ∫2

1

v dp i (5.20.), slijedi naime:

q = h2 – h1 + wteh Odnosno wteh = h1 – h2 + q (5.24.) Gdje je h1 entalpija plina stanja 1, a h2 entalpija plina stanja 2, dok je q toplina izmijenjena za vrijeme politropske promjene stanja od 1 do 2. Za specijalni slučaj, kad je promjena stanja od 1 do 2 tekla adijabatski, q = 0, slijedi iz (5.24.):

wteh = h1 – h2 (J/kg) (q = 0) (5.25.) Stalnotlačni proces prikazan na sl. 5.5. i sl. 5.6. tekao je desnokretno, te nam je dobavljao rad. Ovako radi npr. pneumatski alat, parni stroj, parna turbina, plinska turbina. No taj se proces može upotrijebiti i kao lijevokretni proces, pa će za njegov pogon trebati dovoditi rad. Tako rade npr. stapni kompresori i turbokompresori. Sve formule, koje vrijede za jedan, vrijede i za drugi proces.

11

Tehnička radna sposobnost (eksergija) Neka nam je stavljen na raspolaganje izvor iz kojeg možemo stalno crpsti plin nepromjenjivog početnog stanja 1, pomoću kojeg možemo izvoditi stalnotlačni proces! Postavljamo pitanje: kako moramo voditi taj proces, da bi dobili najveći mogući tehnički rad? Primijenit ćemo ovdje saznanja do kojih smo došli prilikom razmatranja uvjeta za dobivanje maksimalnog rada, pa odmah možemo reći: najveći mogući tehnički rad dobivat ćemo onda, kad proces ekspanzije vodimo do potpune ravnoteže s okolinom i kada sve promjene stanja teku potpuno povratno. To znači, da u konačnom stanju 2 moramo postići pritisak okoline p0 i temperaturu okoline ϑ 0, a od 1 do 2 moramo stići povratnim putem. Ovako dobiveni, najveći mogući tehnički rad, nazivamo tehnička radna sposobnost ili eksergija e (J/kg). Na sl. 5.7. a i sl. 5.7. b, prikazana je u pV i Ts-dijagramu jedna mogućnost za dobivanje tehničke radne sposobnosti. Zadano je početno stanje plina, točka 1, s početnim pritiskom p1 i temperaturom ϑ 1. Stanje okoline, točka 2, zadano je pritiskom p0 i temperaturom ϑ o. Pri tome je odabrano da bude p1 > p0 i T1 > T0, što ne mora uvijek biti. Kao što je to već bilo prikazano kod maksimalnog rada, iz stanja 1 možemo povratnim načinom doći u stanje 2, tako da adijabatskom ekspanzijom od 1 do 3 ohladimo plin do temperature okoline ϑ o, a zatim izotermnom ekspanzijom od 3 do 2 postignemo još i pritisak okoline. Toplinu Q potrebnu za izotermnu ekspanziju, oduzimamo od same okoline, pri čemu su temperature plina i okoline međusobno jednake.

Slika 5.7.a Slika 5.7.b Kako je po sl. 5.7. a i jednadžbi (5.20.):

e = ∫−2

1

vdp

pri čemu bi kod integriranja, zbog različitih promjena stanja, ovaj integral trebalo podijeliti u dva djela:

∫2

1

vdp = ∫3

1

vdp + ∫2

3

vdp

12

a po sl 5.7.b, dovedena toplina:

q = T0 (s2 – s1) To iz jednadžbe (2.19):

q = h2 – h1 - ∫2

1

vdp

slijedi: T0 (s2 – s1) = h2 – h1 + e ili e = h1 – h2 – T0 (s1 – s2) (5.26.) kao izraz, po kome možemo izračunati tehničku radnu sposobnost. Da bi se podsjetili, da u stanju 2 moramo postići ravnotežu s okolinom, dakle postići pritisak okoline p0 i temperaturu okoline ϑ o, to ćemo u jednadžbu (5.26.) uvrstiti h2 ≡ h0, te s2 ≡ s0, a indekse 1 ćemo zbog jednostavnosti ispustiti. Onda (5.26.) glasi: e = h – h0 – T0 (s – s0) (J/kg) (5.27.) Entropija s i entalpija i odnose se na početno stanje radnog medija, a entropija s0 = s0 (p0, ϑ o) i entalpija h0 = h0 (p0, ϑ o) na radni medij u ravnoteži s okolinom, dok je temperatura T0 apsolutna temperatura okoline. Izraz (5.27.) vrijedi i za lijevokretni proces, pri čemu je rad e negativan. Kako smo sa e (J/kg) označili eksergiju jednog kilograma tvari, bit će eksergija E (J) za m (kg) tvari: E = m e. Spomenimo još na kraju slijedeće: Razlika između maksimalnog rada i tehničke radne sposobnosti je u tome, što je kod maksimalnog rada zadana jedna ograničena količina radnog medija, čije se sveukupno stanje počinje mijenjati, čim iz tog medija započnemo crpsti rad, dok nam kod tehničke radne sposobnosti stoji na raspolaganju izvor koji nam stalno dobavlja nove količine radnog medija istog početnog stanja. Usporedimo li međusobno sl. 5.2 i sl. 5.7. a, vidimo da se Wmax i e razlikuju za iznos površine 1-4-a-b, tj. za radove utiskivanja i istiskivanja medija. Da li se radi o maksimalnom radu ili o tehničkoj radnoj sposobnosti (eksergiji) često se može jednostavno zaključiti iz dimenzije u kojoj je zadana radna tvar. Ako je njena količina zadana u ograničenom iznosu sa m (kg), onda je to problem maksimalnog rada. Ako ona dotječe

stalno s istim toplinskim stanjem u količini od .

m (kg/s), onda se iz nje može dobiti njena tehnička radna sposobnost.

1

Isparivanje i ukapljivanje

Isparivanje je fizikalni proces kod kojeg se, na račun dovedene topline, vrši promjena agregatnog stanja iz kapljevitog u parno. Ukapljivanje je obrnuti proces, s tim da se kod njega toplina treba odvoditi. Za oba procesa je karakteristično da su kod njih prisutna obadva agregatna stanja tvari: kapljevito i plinovito. Da bi pronašli zakonitosti koje vrijede za proces isparivanja, napravimo pokus s cilindrom zatvorenim klipom opterećenim masom m koja će osiguravati konstantni tlak (sl. 6.1.). U cilindar zatvorimo neku kapljevinu i pomoću termometra pratimo njenu temperaturu, za vrijeme dok kapljevinu zagrijavamo. Slika 6.1. Zapaziti ćemo da zagrijavanjem raste temperatura kapljevine i neznatno volumen koji ta kapljevina zauzima. Takav će proces trajati sve do trenutka dok se stvori prvi parni mjehurić. U tom je trenutku temperatura postigla neku vrijednost ϑ ' i nakon toga neće rasti, usprkos tome, što se toplina i dalje dovodi. Primjećujemo jedino da se stvara sve više i više pare, koja se skuplja iznad kapljevine i da se volumen naglo povećava, stap se diže. I ne samo da pri tome temperatura kapljevine ostaje konstantna, nego i stvorena para posjeduje istu tu temperaturu ϑ '. Ne igra nikakvu ulogu, da li pri tome dovodimo više ili manje topline, o tome će jedino ovisiti brzina kojom se stvara para. Sve dok postoji i zadnja kapljica kapljevine u neposrednom dodiru s parom temperatura kapljevine i pare je jednaka. Tek kada i posljednja kapljica ispari, para se ponaša kao i svaki drugi plin: kod daljnjeg dovođenja topline, uz konstantni pritisak, raste joj i volumen i temperatura. Koliko god puta ponavljali ovaj pokus uvijek će kod tog istog pritiska, kapljevina isparivati na istoj temperaturi ϑ ' koju nazivamo temperatura zasićenja. No, promijenimo li pritisak, promjenom utega na stapu, promijeniti će se i temperatura zasićenja ϑ '. Kod višeg će pritiska temperatura zasićenja ϑ ' biti veća, i obrnuto, kod nižeg pritiska temperatura zasićenja će biti niža. Svakom pritisku odgovara, za jednu određenu tvar, samo jedna točno određena temperatura zasićenja. Tako npr. voda kod normalnog pritiska (101325 Pa) vrije na točno 100ºC, dok kod pritiska od 10 000 Pa (0.1 bar) vrije kod temperature 45.84 ºC. Uobičajeno je da se temperatura zasićenja koja odgovara pritisku zasićenja od 101 325 Pa naziva i temperatura vrenja ili normalno vrelište. Za vodu je to dakle 100ºC. Isti bi se pokus mogao provesti i obrnutim redoslijedom: pari određenog stanja možemo odvoditi toplinu pri čemu, kod konstantnog pritiska, njena temperatura opada do temperature zasićenja ϑ ' , kada će se na stjenci posude pojaviti prve kapljice stvorene kapljevine (rosa). Ovakvu kapljevinu, nastalu hlađenjem pare,

2

zovemo kondenzat. Sve vrijeme dok koegzistiraju kapljevita i parna faza, temperatura ϑ ' se ne mijenja. Tek kad i posljednji parni mjehurić kondenzira, daljnjim odvođenjem topline počinje padati temperature kondenzata. Rezultate pokusa možemo prikazati u ϑ v-dijagramu, (sl. 6.2.). Slika 6.2. Budući da je pokus vršen kod konstantnog pritiska, to nam linija a-b-c-d-e predočava izobaru onog pritiska, kod kojeg je vršen pokus. Točka a predočava kapljevinu, koja još nije zagrijana do temperature zasićenja ϑ ' tj. kapljevinu koja još nije počela isparivati. Ovakva se kapljevina naziva „pothlađena“. U točki b, ova je kapljevina uslijed zagrijavanja dosegla temperaturu zasićenja, te je počela isparivati. Kapljevina takvog stanja se naziva „vrela“ kapljevina. Točka c predočava stanje gdje koegzistiraju para i vrela kapljevina i imaju jednaku temperaturu zasićenjaϑ '. Ovakva mješavina naziva se „vlažna“, „mokra“ ili „zasićena“ para. Što više kapljevine ispari, to je volumen mokre pare vc veći i točka c leži više desno. U točki d upravo je ispario i posljednji dio kapljevine, te tu egzistira samo para temperature zasićenja ϑ '. Takva se para zove „suhozasićena“ para. Točka e predstavlja paru čija je temperature veća od temperature zasićenja i takva se para naziva „pregrijanom“. Slika 6.3. Na slici 6.2. prikazana je izobara samo jednog pritiska. Ako bi u istom dijagramu nacrtali izobare različitih pritisaka dobili bi sliku 6.3. Na toj su slici spojene linijom g' sve točke koje predočavaju stanja vrele kapljevine (vrelišta), a linijom g'' točke koje

3

predočavaju suhozasićenu paru (rosišta). Linija g' naziva se lijeva ili donja granična linija, a linija g'' desna ili gornja granična linija. Bilo koje stanje mokre pare nalazi se između donje i gornje granična linije, lijevo od donje granična linije je pothlađena kapljevina, a desno od gornje granične linije pregrijana para. Donja i gornja granična linija sastaju se u točki K, koja se naziva kritičnom točkom. U toj se točki ne razlikuje vrela kapljevina od suhozasićene pare niti po gustoći, a niti po bilo kojoj drugoj fizikalnoj osobini. Ova je točka karakteristična za svaku tvar. Pritisak, koji odgovara kritičnoj točki, naziva se kritični pritisak pk, a temperatura kritična temperatura ϑ k. Sve izobare. Za pritiske koji su niži od kritičnog, lome se na donjoj i gornjoj liniji, dok izobara kritičnog pritiska ima u kritičnoj točki samo točku infleksije s horizontalnom tangentom. Izobare pritiska višeg od kritičnog nemaju više niti tu horizontalnu tangentu. U tom području je prijelaz iz kapljevitog u plinovito (parno) stanje i obrnuto potpuno neprimjetan, pa se ne može odrediti gdje on nastupa. Želimo li paru pretvoriti hlađenjem u kapljevinu (kondenzirati), onda je moramo hladiti pri tlaku manjem od kritičnog na temperaturu koja je jednaka temperaturi zasićenja za taj pritisak pa, kad je ona postignuta, i dalje odvoditi toplinu. Budući da je svaka para zapravo plin, i obrnuto, svaki plin para, to na ovaj način možemo ukapljiti bilo koji plin izborom odgovarajuće temperature i pritiska. Ne postoje tzv. permanentni plinovi, tj. takvi, koji se ne bi mogli ukapljiti. Kod prijelaza tvari iz tekućeg u kruto agregatno stanje i obrnuto iz krutog u tekuće, kao i kod direktnog prijelaza iz krutog u plinovito agregatno stanje (sublimacija) dešavaju se analogne pojave. I kod ovih procesa temperatura zasićenja ostaje konstantna sve dok su prisutne obje faze (agregatna stanja). Napomenimo samo da to vrijedi u slučajevima kad se radi o kemijski čistoj tvari (npr. voda, alkohol i sl.) ali ne i u slučajevima kad se radi o mješavini tvari (npr. alkoholu pomiješanim s vodom). Vezu između pritiska zasićenja i temperature zasićenja p' = p' (ϑ ' ) ili ϑ '=ϑ ' (p'), možemo za svaku tvar posebno prikazati u pϑ -dijagramu. Na sl. 6.4. prikazan je takav dijagram za vodu.

Slika 6.4.

4

Ucrtane krivulje, koje nam prikazuju vezu između pritiska zasićenja i temperature zasićenja, nazivaju se „krivulje napetosti“. Postoje tri krivulje napetosti: za prijelaz od leda u kapljevinu, za prijelaz od kapljevine u paru i prijelaz od leda u paru. Krivulja napetosti kapljevina-para završava u kritičnoj točki K. Sve se tri krivulje napetosti sastaju u točki T. To je jedino stanje u kome voda može istovremeno egzistirati u sva tri agregatna stanja u međusobnoj ravnoteži. Stoga se točka T naziva „trojna točka“. Za vodu je pritisak, koji odgovara trojnoj točki, pTr= 610,7 Pa, a temperatura trojne točke je uϑ Tr= 0,0098 ~ 0,01 ºC, čemu odgovara apsolutna temperatura TTr= 273,16 K. Ako led čija je temperatura niže od 0ºC i tlak normalan (101325 Pa), grijemo, njegova će temperatura rasti sve dok ne dosegne temperaturu zasićenja za taj tlak, a to je 0ºC. Nakon toga se sva dovedena toplina troši na topljenje leda pri konstantnoj temperaturi zasićenja. Tek kad se sav led pretvori u kapljevitu vodu, daljnjim dovođenjem topline, temperatura vode raste. Da se je pothlađeni led nalazio pod pritiskom manjim od pTr (točka 1' u dijagramu sl. 6.4.), grijanjem leda uz konstantni pritisak rasla bi njegova temperatura sve do temperature zasićenja određene krivuljom napetosti led-para ( točka 2'). Tu bi došlo do sublimacije tj. direktnog pretvaranja leda u paru uz konstantnu temperaturu, a kad se sav led ispari, temperatura bi opet počela rasti, pa bi dobili pregrijanu paru (točka 3') Prikažemo li rezultate naših pokusa isparivanja u Pv-dijagramu, dobivamo sl. 6.5. Spajanjem svih vrelišta (stanja vrele kapljevine) i svih rosišta (stanja suhozasićene pare) dobivamo gornju i donju graničnu liniju g' i g''. Kako je volumen kapljevine mnogostruko manji od volumena pare (za vodu je npr. kod pritiska od 1 bar volumen jednog kg vrele kapljevine v'= 1,0436 dm3, a pare v''=1694 dm3) to će za crtanje pv-dijagrama u mjerilu, donja granična linija g' praktički pasti u ordinatnu os. U području pregrijane pare izoterme su slične hiperbolama (kod idealnih plinova bile bi to istostrane hiperbole), u području mokre pare, koje se još naziva i zasićeno područje, izoterme su horizontalni pravci jer je u tom području zbog ϑ '= const. i p= const., a u području kapljevine izoterme su vrlo strme krivulje, jer kod kapljevine, koja je praktički nestlačiva, malom smanjenju volumena odgovara veliko povećanje pritiska. Kritična temperatura ima u kritičnoj točki točku infleksije s horizontalnom tangentom, a nadkritične izoterme nemaju više niti to. Slika 6.5.

5

Kako se stanje vrele kapljevine, koja sva leže na donjoj graničnoj liniji g', i stanja suhozasićene pare, predočena gornjom graničnom linijom g'', posebno ističu, to ćemo ubuduće sve veličine stanja koje se odnose na vrelu kapljevinu označiti sa ' a veličine stanja suhozasićene pare sa ''. Razmjena topline kod isparivanja Toplinu koju treba dovesti da bi se kapljevina zagrijala do vrenja, isparila i zatim para pregrijala, najpodesnije je predočiti u Ts-dijagramu (sl. 6.6.) Za zagrijavanje pothlađene kapljevine, čija je specifična toplina cf, od stanja a (sl. 6.1.) potrebno je dovesti količinu topline:

dTcqb

aff ∫= (6.1.)

Zagrijavanje teče uz konstantni pritisak. Ako je specifična toplina cf u promatranom temperaturnom intervalu konstantna, onda je: qf = cf * (Tb – Ta) (6.2.) dqf = cf dT = T ds (6.3.) odnosno:

ds = TdTc f (6.4.)

o

T

Tf s

TdTcs

o

+= ∫ (6.5.)

Odnosno ako pretpostavimo da je cf= const.

oo

f sTTcs += ln* (6.6.)

U tom je slučaju izobara kapljevine, u Ts-dijagramu, logaritmička krivulja, a ako je cf=const., onda je to krivulja slična logaritmičkoj. U blizini kritične točke nije cf niti približno konstantno, pa izobara više ne liči logaritmičkoj krivulji. Integraciona konstanta s0 u prethodnim jednadžbama predstavlja vrijednost entropije kod temperature To. Dogovorom je usvojeno da je so= 0 za temperaturu To=273,15 K i pritisak Po= 610,76 Pa tj. za vodu od 0ºC. Ovo je moguće učiniti, jer će nas uvijek zanimati samo razlika entropija, pri čemu se integraciona konstanta ukida. U Ts-dijagramu, toplina qf je predočena površinom ispod izobare od stanja a do stanja b. (sl.6.6.)

6

Da bi se jedan kg vrele kapljevine stanja b potpuno ispario u suhozasićenu paru stanja d, potrebno je dovesti količinu topline r [kJ/kg], koju nazivamo toplina isparivanja. Kako je za čitavo vrijeme isparivanja kod konstantnog pritiska i temperatura zasićenja T' konstantna, to iz II gl. Stavka slijedi toplina isparivanja:

r = ∫d

b

Tds = T' (s'' – s') (6.7.)

gdje smo, prema prijašnjem dogovoru, sa s'' označili entropiju suhozasićene pare, a sa s' entropiju vrele kapljevine. Toplina se isparivanja u Ts-dijagramu prikazuje kao površina pravokutnika ispod izobare (a ujedno i izoterme) od b do d. Pregrijavanje pare se vrši od d do e kod konstantnog pritiska uz dovođenje topline qpr. Budući da je dqpr= cp dT= T ds, to je:

s = '''

sTdTc

T

Tp +∫ (6.8.)

gdje je cp specifična toplina pare kod konstantnog pritiska. Ako možemo pretpostaviti da je cp= const. , onda je

s = cp ln '''

sTT+ (6.9.)

pa je izobara pregrijane pare logaritmička krivulja u Ts-dijagramu. U blizini kritične točke neće to biti niti približno dozvoljeno. Toplina pregrijanja qpr prikazana je površinom ispod izobare od d do e. Kod kondenzacije pregrijane pare treba te iste količine topline odvesti. Slika 6.6. Slika 6.7.

7

Nacrtamo li u Ts-dijagramu niz izobara i spojimo sva stanja vrele kapljevine donjom graničnom linijom g', a sva stanja suhozasićene pare gornjom graničnom linijom g'', dobivamo sl. 6.7. Iz te slike vidimo, da toplina isparivanja r postaje sve manja, što je pritisak isparivanja viši. Kod kritičnog pritiska pk toplina je isparivanja jednaka nuli. Toplina isparivanja Pri grijanju ili hlađenju kod konstantnog tlaka mogu se izmijenjene topline računati pomoću razlika entalpija, q = h2 – h1. Ako se isparivanje vrši kod konstantnog pritiska, onda je prema tome toplina isparivanja: r = h'' – h' [J/kg] (6.10.) Kako je po definiciji h = u + pv slijedi: h' = u' + pv' (6.11.) h'' = u'' + pv'' (6.12.) r = u'' + pv'' - u' - pv' = (u'' – u') + p (v'' – v') (6.13.) Pogledamo li malo bolje u jednadžbu (6.13.) uočiti ćemo I glavni stavak primijenjen konkretno za proces isparivanja: dovedena toplina isparivanja r troši se djelomice na povećanje unutarnje energije (u'' – u') a djelomice na vršenje rada p (v'' – v'). Rad se vrši protiv konstantnog vanjskog pritiska p prilikom povećavanja volumena. ρ = (u'' – u') zove se još i unutarnja (latentna) toplina isparivanja, a ψ = p (v'' – v') vanjska toplina isparivanja. Unutarnja je toplina isparivanja znatno veća od vanjske. Tako je npr. za vodu kod 100 ºC toplina isparivanja r = 2255,5 kJ/kg, vanjska toplina isparivanja ψ = 169,4 kJ/kg, a unutarnja je ρ = 2086,1 kJ/kg. Clapeyron – Celsiusova jednadžba Toplina isparivanja r može se odrediti direktno kalorimetričkim mjerenjima, ali ju je moguće odrediti i bez toga, mjerenjem pritisaka, temperatura i volumena. Da bi došli do veze između tih veličina, zamislimo da izvodimo slijedeći proces: Vrela kapljevita voda stanja 1 (sl. 6.8.a i b), grije se kod konstantne temperature T + dT, odnosno kod pritiska zasićenja p + dp, koji odgovara toj temperaturi, dok potpuno ne ispari u suhozasićenu paru stanja 2. Suhozasićena para ekspandira po desnoj graničnoj krivulji do temperature T, odnosno odgovarajućeg pritiska zasićenja p, stanja 3, a nakon toga joj odvodimo toplinu, dok se sva ne kondenzira u vrelu kapljevinu stanja 4. Kompresijom te kapljevine, koja neka teče po donjoj graničnoj krivulji, vraća se kapljevina u početno stanje 1.

8

Količine izmijenjenih toplina u tom procesu, q i qo, konačne su veličine, ali je njihova razlika beskonačno mala: q – qo = dq. Slika 6.8. Ta količina topline, koja se u promatranom procesu pretvorila u rad dW, prikazana je u Ts-dijagramu, (sl. 6.8.a) šrafiranom površinom i jednaka je: dw = (s'' – s') dT (6.14.) Isti taj rad prikazan je šrafiranom površinom u pv-dijagramu gdje je: dw = (v'' – v') dp (6.15.) Što s jednadžbom (6.14.) daje:

s'' – s' = (v'' – v') dTdp (6.16.)

Za temperaturu T, kod koje se proces odvijao, je prema (6.7.):

s'' – s' = Tr (6.17.)

što s jednadžbom (6.16.) daje:

r = T (v'' – v') dTdp (6.18.)

što se naziva Clapeyron – Celsiusova jednadžba.

9

U ovoj jednadžbi je dTdp promjena pritiska zasićenja s temperaturom, a možemo je

odrediti, ako na krivulji napetosti (sl. 6.4.) nađemo točku koja odgovara temperaturi T, pa kroz tu točku povučemo tangentu na krivulju napetosti. Koeficijent nagiba te

tangente je traženi dTdp kod temperature T.

Jednadžba (6.18.) ne vrijedi samo za isparivanje, nago i za druge promjene agregatnog stanja pri p = const i T = const., tj. i za kopnjenje i za sublimaciju.

Prema slici 6.4., bio bi za prijelaz iz leda u kapljevinu dTdp < 0, a kako se za otapanje

leda mora dovoditi toplina kopnjenja q (umjesto topline isparivanja r u (6.18.)), a T je uvijek pozitivno, to iz (6.18.) slijedi, da je promjena volumena kod kopnjenja vodenog leda negativna tj. volumen kapljevite vode manji je od volumena leda. Kod drugih tvari to ne mora biti tako, pa je onda i tok krivulje napetosti drukčije nego kod vode. Sadržaj pare i sadržaj vlage Iz prijašnjih izlaganja o idealnim plinovima poznato nam je, da je za potpuno definiranje toplinskog stanja bilo dovoljno, da navedemo samo podatke o pritisku i temperaturi. Isto to vrijedi i za pothlađenu kapljevinu, a i za pregrijanu paru, ili općenito za svaku homogenu, jednostavnu tvar, ali ne vrijedi za mokru paru. U zasićenom području (područje mokre pare) ne možemo zadati neovisno temperaturu i pritisak, jer su te dvije veličine stanja određene jedna drugom po krivulji napetosti za dotičnu tvar. Ako dakle, odredimo temperaturu zasićenja, odmah smo time odredili i pritisak zasićenja i obrnuto. No time nije jednoznačno određeno stanje mokre pare, jer za taj isti pritisak i temperaturu zasićenja, ima beskonačno mnogo različitih stanja mokre pare. Potrebno je stoga uvesti još jednu veličinu stanja, da bi jednoznačno odredili stanje mokre pare. U tu svrhu mogli bi upotrijebiti i specifični volumen mokre pare, ali se je kao zgodnija veličina pokazao tzv. sadržaj pare, koji označavamo s x. Mokra je para mješavina vrele kapljevine i suhozasićene pare, a sadržaj pare x nam kaže, koliko kg suhozasićene pare sadrži jedan kg mokre pare. Ako mokra para sadrži m' kg vrele kapljevine i m'' kg suhozasićene pare, onda je masa mokre pare m = m' + m'' , a sadržaj pare:

x = mm '' [kg/kg] (6.19.)

Umjesto sadržaja pare x može se upotrijebiti i sadržaj vlage y = 1 – x, koji nam kaže, koliko kg vrele kapljevine sadrži jedan kg mokre pare. Ipak se veličina x puno češće koristi. Mokra para može biti dobro izmiješana vrela kapljevina i suhozasićena para tako, da u suhozasićenoj pari lebde mikroskopski sitne kapljice vrele kapljevine (magla), ali katkada će obje faze biti vidljivo odijeljene jedna od druge, kao što je to npr. u kotlu ili cijevima gdje se na stjenkama stvorio kondenzat. No i u tom slučaju možemo govoriti

10

o mokroj pari i definirati njen sadržaj pare x po (6.19.) i dalje s njim računati isto onako, kao da su kapljevina i para potpuno izmiješane. Prema (6.19.) za vrelu je kapljevinu x = 0, a za suhozasićenu paru x = 1. Što je više kapljevine isparilo, to je x veći. Volumen mokre pare Volumen mokre pare možemo izračunati tako da sumiramo volumen sadržane vrele kapljevine i volumen sadržane suhozasićene pare. Neka se u posudi nalazi upravo 1 kg mokre pare koja sadrži x kg suhozasićene pare specifičnog volumena v'' i (1-x) kg vrele kapljevine specifičnog volumena v'! Tada je specifični volumen mokre pare: v = (1 – x) v' + x v'' = v' + x (v'' – v') [m3/kg] (6.20.) Sadržaj pare x mora na neki način biti poznat, a specifične volumene v' i v'' može se očitati iz parnih tabela dobivenih na osnovu mjerenja. Entalpija mokre pare Za isparivanje 1 kg vrele kapljevine treba dovesti r = h'' – h' [J/kg]. Kako 1 kg mokre pare sadrži x kg suhozasićene pare, to je za isparivanje te količine trebalo dovesti q = x r [J/kg] q = h – h' = x r = x ( h'' – h') (6.21.) Odatle slijedi entalpija mokre pare: h = h' + x (h'' – h') = h' + x r [J/kg] (6.22.) Numeričke vrijednosti entalpije, slično kao što je to bilo kod entropije, ovise o tome kojem se stanju tvari pridijeli vrijednost entalpije ho = 0. Dogovorno je, za vodu, usvojeno da je ho= 0 za temperaturu ϑ o= 0ºC (273,15 K) i pritisak po= 610,76 Pa. Ako bi se kao nulta vrijednost entalpije (ho= 0) smatralo stanje stabilnog kristala leda do T = 0 K, onda bi vrijednost entalpije „trojne točke“ bila htr= 633,00 kJ/kg. Unutarnja energija mokre pare Iz općeg izraza u = h – pv slijedi sa (6.20.) i (6.22.) u = h' + x (h'' – h') – p [ v' + x (v'' – v')]

11

Odnosno u = h' – pv' + x [ (h''-pv'') - (h' – pv')] = u' + x (u'' – u') (6.23.) Entropija mokre pare Da bi dobili mokru paru sa sadržajem pare x (sl. 6.9.) treba dovesti toplinu Q jednaku površini šrafiranog pravokutnika baze (s – s') i visine T, dakle: q = T (s – s') (6.24.) S druge strane, ta ista količina topline je jednaka q = x r, što s jednadžbom (6.7.) daje: s = s' + x (s'' – s') (6.25.) Podaci za s'' i s' nalaze se u toplinskim tablicama. Slika 6.9. Linije konstantnog sadržaje pare x Ako je poznat sadržaj pare x, onda je stanje mokre pare lako ucrtati, kako u p-v tako i u Ts-dijagramu, ako po (6.20.) izračunamo njen volumen odnosno po (6.25.) entropiju. No u pv i u Ts-dijagramu može se odmah ucrtati i linije konstantnog sadržaja pare x. Iz (6.20.) slijedi:

x = ''''

vvvv−− (6.26.)

a to znači, da točka, koja u pv-dijagramu prikazuje stanje mokre pare sa sadržajem pare x (sl. 6.10.) dijeli dužinu izobare (izoterme) između graničnih linija u omjeru x : 1 = (v – v') : (v'' – v'). Prema tome, točku B nađemo tako, da dužinu AC pomnožimo sa x i nanesemo taj produkt kao dužinu AB. Dakle je AB = x * AC. Učini li se ista stvar za nekoliko izobara može kroz dobiveni niz točaka povući linija koja predstavlja liniju konstantnog sadržaja pare x.

12

Slika 6.10. Potpuno analogno vrijedi i za Ts-dijagram gdje je:

x = ''''

ssss−− (6.27.)

tako, da se točke mokre pare sadržaja pare x pronalazi u Ts-dijagramu tako, (sl. 6.11.) da se dužina AC pomnožena sa x nanese kao dužina AB. Dakle AB = x * AC. Spajanjem točaka istog x dobivamo i ovdje linije konstantnog sadržaja pare x . Slika 6.11.

13

NAROČITE PROMJENE STANJA MOKRE PARE Izobara p = const., izoterma ϑ = const. Dovodi li se mokroj pari stanja 1 (sl. 6.12.) toplina, ispariti će jedan dio vode, te će se postići stanje 2. Pri tome se kod konstantnog pritiska volumen pare povećao od v1 na v2, pa je tako izvršeni rad: w = p (v2 – v1) = p [v' + x2 (v'' – v') – v' – x1 (v'' – v')] w = p (x2 – x1) (v'' – v') (6.28.) Potrebna toplina može se na osnovu sl. 6.12. izraziti kao: q = T (s2 – s1) = T [s' + x2 (s'' – s') – s' – x1(s'' – s')] q = T (x2 – x1) ( s'' – s') (6.29.) Slika 6.12. Izohora, v = const. Kotao se, normalno, ne ispunjava potpuno vodom, da bi se izbjeglo nedopušteno povišenje pritiska, koje bi moglo dovesti i do eksplozije kotla, a s druge strane, da bi se pari omogućilo odjeljivanje od kapljica vode, koje je eventualno, prilikom vrenja povukla sa sobom. Ako se kotao grije, a da se pri tome ne oduzima para, onda se u njemu odvija izohorna promjena stanja mokre pare. U vlagu pare uračunavamo sveukupnu vodu u kotlu, bez obzira na to, da li je ona vidljivo odijeljena od pare ili dobro pomiješana s njom. Takva je promjena stanja prikazana na sl. 6.13.. Ako se početno stanje pare nalazi blizu donje granične linije, stanje 1a, x2a < x1a. Dovodi li se toplina i dalje, može se dogoditi, da para uopće nestane, pa ostane samo vrela kapljevina, stanje 3a. Ako je početni specifični volumen veći od kritičnog, npr. v1b > vK, onda se kod dovođenja topline sve više vode isparuje, x2b > x1b, da bi na kraju sva voda isparila. Dolazi se na gornju graničnu liniju, točka 3b.

14

Slika 6.13. Budući da je volumen konstantan, ne vrši se nikakav rad, pa je po I gl. stavku: q = u2 – u1 [J/kg] (6.30.) Gdje se unutarnje energije u1 i u2 proračunavaju prema (6.23.). U tu svrhu treba poznavati sadržaje pare x1 i x2. Ako je zadano početno stanje 1, onda se x2 može izračunati iz uvjeta v1 = v2 tj. v1 = v2 = v2' + x2 (v2'' – v2 ') odnosno

x2 = ''''

22

21

vvvv−− (6.31.)

Tok izohore u Ts-dijagramu nalazimo tako, da je preslikamo točku po točku iz pv-dijagrama. Za jedan određeni pritisak odredimo točku po točku iz pv-dijagrama. Za jedan određeni pritisak odredimo prema pv-dijagrama pripadajući x, po krivulji napetosti odredimo koja temperatura odgovara tom pritisku i zatim na toj izotermi, u Ts-dijagramu odredimo gdje leži točka s tim sadržajem pare x. To je jedna točka izohore, a na isti način odredimo i ostale, onoliki broj koliki nam je potreban, da bi izohoru mogli nacrtati. Adijabata, q = 0 Kod adijabate je entropija s = const., pa se ona u Ts-dijagramu predočava kao vertikalni pravac, sl. 6.14..

15

Slika 6.14. Zbog Q = 0 biti će rad izvršen kod adijabatske ekspanzije: w = u1 – u2 [J/kg] (6.32.) Da bi adijabatu ucrtali u pv-dijagram, moramo u njega preslikati iz Ts-dijagrama točku po točku, slično kao što smo prije činili kod preslikavanja izohore u Ts-dijagram. Iz poznatog početnog stanja 1 može se izračunati bilo koje stanje 2 na adijabati iz uvjeta s1 = s2, odnosno: s1' + x1(s1'' – s1') = s2' + x2(s2'' – s2') odakle slijedi sadržaj pare u točki 2:

x2 = ( )'''

''''

'''''

22

21

22

11121

ssss

ssssxss

−−

=−

−+− (6.33.)

Nizom numeričkih proračuna pokazalo se, da se i za mokru paru, sa dovoljno točnosti, može primijeniti jednadžba adijabate idealnog plina ℵpv = const. (6.34.) Za adijabatske ekspanzije u blizini gornje granične linije, koje ne ulaze suviše duboko u zasićeno područje, i za pritiske do 25 bara vrijednost eksponenta = 1,135. Ovaj eksponent ne vrijedi za pregrijanu paru. Osim toga je posve empirička veličina i nema značenja koje smo mu prije dali ( =cp/cv). Za mokru paru je naime specifična toplina cv konačna veličina, jer se pri dovođenju topline mokroj pari uz v = const. njena temperatura mijenja, ali je cp beskonačno velik, jer se dovođenjem topline mokroj pari uz konstantan pritisak temperatura ne mijenja, pa je

∞=∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=0QQc

PP ϑ

(6.35.)

16

Iz čega bi za mokru paru slijedilo:

= ∞=V

P

cc (6.36.)

Pregrijana para Pregrijana se para ponaša samo kod vrlo niskih pritisaka ili visokih temperatura kao idealni plin, a inače se ne pokorava jednadžbi stanja idealnih plinova, pa se ta jednadžba na nju ne smije primjenjivati. Postoje jednadžbe, teoretske i empiričke, po kojima se mogu računati pojedine veličine stanja za pregrijanu paru, ali su one za praktičku upotrebu suviše komplicirane. Stoga se pri računanju koristimo tabelama za pregrijanu paru i dijagramima, a naročito sa hs-dijagramom, s kojim ćemo se još upoznati. Ipak se i za pregrijanu paru sa često dovoljnom točnosti može računati po jednadžbi adijabate idealnih plinova. ℵpv = const. Ako se stavi = 1,3. Kako se ovaj eksponent razlikuje od onog za mokru paru ( = 1,135) , to se adijabata na graničnoj liniji u pv-dijagramu lomi: ona je kod pregrijane pare strmija, a kod mokre pare položitija. PROCESI PARNOG STROJA Kod procesa gdje para kao medij služi za dobivanje mehaničkog rada vrlo je jednostavno realizirati Carnotov proces, dok s idealnim plinovima to nije slučaj. Kod Carnotovog se procesa toplina odvodi kod konstantne temperature, a tehnički izmjenjivači topline konstruirani su normalno tako, da se kod njih izmjena topline vrši kod konstantnog pritiska, Kako je u zasićenom području (područje mokre pare) izobara ujedno i izoterma, to je ovdje lako spojiti oba zahtjeva, teoretski i praktički. S druge je strane toplinski kapacitet pare znatno veći nego li kod plinova, pa za istu snagu, strojevi tjerani parom zahtijevaju znatno manje dimenzije. Carnotov proces U parnom kotlu (sl.6.16.) proizvodi se suhozasićena para pritiska p i temperature T, stanja 1, koju oduzimamo iz tzv. parnog doma. To je oveći prostor u kome se para smiruje, tako da bi se iz nje mogle odvojiti kapljice, koje je para eventualno povukla sa sobom. Suhozasićena para vodi se do parnog stroja (ekspanzioni cilindar EC). Taj stroj može biti stapni, ali to može biti i parna turbina. Za naša je razmatranja svejedno koje je on vrste. U tom stroju para ekspandira adijabatski do nekog nižeg pritiska po i temperature, koja tom pritisku odgovara prema krivulji napetosti, stanje 2. istrošena para stanja 2 vodi se u kondenzator. U kondenzatoru se pari odvodi toplina, tako da se ona kondenzira do stanja 3, koje odredimo tako da se ona kondenzira do stanja 3, koje odredimo tako, da bi ta mokra para nakon adijabatske kompresije u kompresionom cilindru KC postigla stanje 4, tj. da bi postala vrela kapljevina kod kotlovskog pritiska p. Ta se vrela kapljevina ubacuje ponovo u kotao, gdje se uz

17

dovođenje topline, pretvara u suhozasićenu paru stanja 1 i zatim se čitav proces ponavlja. Slika 6.15. Za takav proces potrebno je po jednom kg vode (pare) dovesti toplinu u iznosu: q = h1 – h4 [J/kg] (6.37.) i u kondenzatoru odvesti toplinu: qo = h2 – h3 [J/kg] (6.38.) Dobiveni rad je:

w = q – qo = (h1 – h4) - (h2 – h3) [J/kg] (6.39.) A termički stupanj djelovanja:

T

TThhhh

qw o−

=−−

−==41

321η (6.40.)

Slika 6.16. Pojednostavnjeni proces (Clausius-Rankinov proces)

18

Iako je opisani proces teoretski najpovoljniji, on se u praksi ne primjenjuje. Da bi se nakon adijabatske kompresije postiglo stanje 4, potrebno je da kompresor usisava upravo smjesu stanja 3, a to je praktički teško ostvarivo. Pa čak i uz taj ispunjeni uvjet, nakon kompresije ne bi dobili stanje 4, jer bi se kod kompresije mokre pare stanja 3 sadržana suhozasićena para zagrijala na temperaturu T, pa čak i pregrijala, dok bi sadržana kapljevina (1 – x3) ostala hladna, tako da bi na kraku kompresije umjesto stanja 4 dobili mješavinu pregrijane pare i pothlađene kapljevine. Tek nakon nekog vremena bi se pregrijana para ohladila, a hladna kapljevina ugrijala, postigla bi se toplinska ravnoteža, pa bi se postiglo stanje 4. Uzrok takvom ponašanju mokre pare kod kompresije leži u tome, što je prijelaz topline od pare na kapljevinu, koju ona sadrži, relativno loš, a s druge strane se kapljevini prilikom kompresije od kondenzatorskog pritiska po na kotlovski pritisak p, zbog praktičke nestišljivosti kapljevine, volumen vrlo malo promijeni, dakle je rad utrošen za njenu kompresiju neznatan, a onda je promjena njene unutarnje energije, koja je kod adijabatske kompresije jednaka dovedenom radu, također neznatna. Uslijed toga ostaje pri kompresiji kapljevine njena temperatura praktički konstantna. Radi toga se u praksi para stanja 2 u kondenzatoru potpuno ukaplji sve do stanja 3 (sl.6.18.), a jedna pojna pumpa siše taj kondenzat i komprimira ga adijabatski na kotlovski pritisak p, stanje 4. Kod kompresije kapljevine stanja 3 na stanje 4 njena se temperatura vrlo malo mijenja. Stoga se izobara kotlovskog pritiska u Ts-dijagramu praktički poklapa s donjom graničnom linijom, a točke 3 i 4 padaju u Ts-dijagramu, u granicama točnosti crtanja, zajedno. Razlika se može uočiti tek kod vrlo visokih kotlovskih pritisaka. U kotao, dakle, iz pojne pumpe ulazi voda temperature 34 ϑϑ ≈ , koja je znatno niža od temperature zasićenja ϑ ' (pothlađena kapljevina), pa se voda tek u kotlu mora zagrijati na tu temperaturu. Ovakav se proces naziva Clausius-Rankinov proces. On je tehnički jednostavniji, ali je teoretski lošiji (manji termički stupanj djelovanja) od Carnotovog, jer je srednja temperatura dovođenja topline niža od temperature zasićenja. Slika 6.17. U pv-dijagramu, sl.6.18., prikazan je i rad pojne pumpe wpp. Zbog toga što je volumen kapljevine praktički konstantan, vrijedi, usprkos tome što se kompresija u pojnoj pumpi odvija adijabatski, izraz: wpp= v3 (p4 – p3), odnosno wpp= v3 (p – po). Ako

19

uzmemo u obzir da se, kod crtanja pv-dijagrama u mjerilu, donja granična linija praktički poklapa s ordinatnom osi, onda vidimo, da je taj rad vrlo malen. Slika 6.18. Toplina, koju u kotlu treba dovesti, da bi se 1 kg vode stanja 4 ispario u suhozasićenu paru stanja 1 iznosi (zbog 34 ϑϑ ≈ je i 34 hh ≈ ): q = h1 – h4 ≈ h1 – h3 [J/kg] (6.41.) a u kondenzatoru treba odvesti toplinu: qo = h2 – h3 [J/kg] (6.42.) Dobiveni rad je:

w= q – qo = h1 – h3 - h2 + h3 = h1 – h2 [J/kg] (6.43.) A termički stupanj djelovanja:

31

21

hhhh

qw

−−

==η (6.44.)

Proces s pregrijanom parom Da bi se poboljšao termički stupanj djelovanja potrebno je prema (6.46.) ili sniziti temperaturu u kondenzatoru To ili povisiti temperaturu u kotlu T. Temperatura To je diktirana stanjem okoline kojom hladimo kondenzator (temperatura uzduha, temperatura rashladne vode), te se na nju, uglavnom , ne može utjecati. Temperatura T ograničena je pak svojstvima materijala iz kojega gradimo kotlove i strojeve. Negativni utjecaj povišenja temperature T na čvrstoću materijala potencira i činjenica da višoj temperaturi odgovara i viši pritisak zasićenja. Viša se temperatura pare uz isti pritisak može postići samo primjenom pregrijane pare. To je jedan razlog da se ona primjenjuje. Drugi, i još važniji razlog je taj, što kod primjene suhozasićene pare ekspanzija pare vodi duboko u zasićeno područje, tako da na kraju ekspanzije

20

para sadrži već mnogo kapljevine, što vrlo nepovoljno djeluje na stroj, a naročito ako se radi o parnoj turbini gdje para struji ogromnim brzinama, pa kapljice vode koje ona sadrži vrlo brzo dovode do uništenje lopatica. Slika 6.19. Proces sa pregrijanom parom prikazan je na sl.6.19., Suhozasićena para stanja 1' oduzima se iz parnog kotla i vodi u pregrijač pare, gdje se pregrije uz konstantan pritisak do stanja 1. U parnom stroju ekspandira ona adijabatski do stanja 2 i odlazi u kondenzator, gdje se potpuno ukaplji, stanje 3. Pojna pumpa PP siše kondenzat stanja 3 i komprimira ga na kotlovski pritisak, stanje4. Točka 3 i 4 praktički se poklapaju u Ts-dijagramu. S tim stanjem ulazi voda u kotao, gdje se zagrije na temperaturu zasićenja i ispari. Slika 6.20. Ukupno dovedena toplina tijekom procesa iznosi: q = h1 – h4 ≈ h1 – h3 [J/kg] (6.45.) a u kondenzatoru treba odvesti toplinu: qo = h2 – h3 [J/kg] (6.46.)

21

Dobiveni rad je:

w = q – qo = h1 – h3 - h2 + h3 = h1 – h2 [J/kg] (6.47.) A termički stupanj djelovanja:

31

21

hhhh

qw

−−

==η (6.48.)

Kod sva tri opisana parna procesa pretpostavili smo da se para iza parnog stroja vodi u kondenzator. Ovakav se proces naziva kondenzacioni. Temperatura kondenzacije ovisi o temperaturi rashladnog sredstva kojim se kondenzator hladi, tako da para, u najpovoljnijem slučaju, može kondenzirati kod temperature jednake temperaturi rashladnog sredstva. O toj temperaturi ovisi onda, prema krivulji napetosti, pritisak u kondenzatoru. Jasno je da ćemo, uz iste početno stanje pare, dobiti to više rada, što dublje ekspandira para, tj. što je pritisak u kondenzatoru niži, a to znači, što je i temperatura rashladnog sredstva niža. Ako para kondenzira kod temperature okoline od 20ºC pritisak u kondenzatoru iznosi oko 0,02 bara. Svrha je primjene kondenzatora zapravo dvojaka: štedi se na vodi, jer se ista voda opet vraća u kotao, ali se njegovom pomoću može para i ekspandirati do pritisaka nižih od okolišnjih i tako dobiti više rada. Kako su kondenzatori vrlo skupe i glomazne naprave, to ih se katkad odbacuje, pa se para iza parnog stroja jednostavno otpušta u okolinu. Ovako rade ispušni parni strojevi. Pri tome ekspanzija u parnom stroju može teći samo do okolišnjeg pritiska bez obzira na to, kolika je temperatura okoline. Takav će proces, uz isto početno stanje pare, davati manje rada nego li kondenzacioni. Ima slučajeva u industriji kad se za razne pogone, grijalice itd. zahtijeva para određenog pritiska, koji je niži od pritiska pare u kotlu. U tom se slučaju može svježa kotlovska para iskoristiti za dobivanje rada u parnom stroju, tako da ona u njemu ekspandira do tog zahtijevanog pritiska, a zatim se odvodi u grijalicu ili sl. ovakav se proces naziva protutlačni. Ako je zadana temperatura koju mora imati grijalica grijana tom parom, onda je to, u najpovoljnijem slučaju, i temperatura kod koje će para u grijalici kondenzirati i odavati toplinu grijanja. Time je određen i pritisak zasićenja kod kojeg se obavlja kondenzacija, a to je ujedno i pritisak do kojeg mora ekspandirati svježa para u stroju to bez obzira na to, da li stanje pare nakon ekspanzije (izlaz iz stroja, ulaz u grijalicu) pada u područje mokre pare ili u područje pregrijane pare, gdje će para imati vidu temperaturu, nego li što je ona, koju mora imati grijalica.

22

Snaga parnog stroja Ako nam je poznato stanje pare 1, s kojim ona ulazi u parni stroj, i stanje 2 nakon adijabatske ekspanzije u stroju, onda možemo izračunati snagu tog stroja čim nam je još poznato koliko kilograma pare na sat on troši. Prema (6.53.) 1 kg pare nam daje rad: w = h1 – h2 [J/kg]

A ako stroj troši '.

m [kg/h] pare, odnosno

.

m = 3600

'.

m [kg/s]

onda je rad izveden u sekundi tj. snaga stroja P:

P = .

m (h1 – h2) [J/s = W] (6.55.) Mollier-ov hs-dijagram Uz upotrebu Mollier-ovog hs-dijagrama mogu se vrlo jednostavno izvršiti svi proračuni u vezi s parnim procesima, Iako nam Ts-dijagram omogućava, da sve izmijenjene topline predočimo kao površine, ipak on nije pogodan za njihovo kvantitativno određivanje.

Slika 6.21. Tok izobare u ovom dijagramu možemo odrediti iz II glavnog stavka izraženog pomoću entalpije: T ds = dh – v dp

23

Za izobaru (p = const.) se dobiva:

T = Ps

h⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (6.50.)

Psh⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ je koeficijent nagiba tangente na izobaru u bilo kojoj njenoj točki i on je ,

prema (6.56.), jednak apsolutnoj temperaturi stanja prikazanog tom točkom. U zasićenom je području za p=const i T = const., pa su u tom području i izoterme i izobare prikazane pravcima, kojima je koeficijent nagiba jednak dotičnoj apsolutnoj temperaturi T (za p = const. To je njena pripadajuća temperatura zasićenja T'). Izobare mokre pare izlaze tangencijalno iz donje granične krivulje. U pregrijanom području su izobare približno logaritmičke krivulje. Izobare prelaze na graničnoj krivulji iz zasićenog područja u pregrijano područje bez loma, jer se temperatura samo postepeno mijenja, a prema tome i koeficijent nagiba tangente na izobaru. Izobare pothlađene kapljevine se, kod vode pri niskim pritiscima, praktički poklapaju s donjom graničnom krivuljom. Razlog je u tome što se pri adijabatskoj kompresiji kapljevine njena temperatura i entalpija jedva mijenjaju. Izoterme, koje su u području mokre pare pravci, imaju na gornjoj graničnoj krivulji oštar lom i što idemo dalje u pregrijano područje sve se više poklapaju s linijama h= const., jer se tu para ponaša sve sličnije idealnom plinu. Kritična točka K u hs-dijagramu nije više najviša točka na graničnim krivuljama, nego leži lijevo od nje. Stanje mokre pare sa sadržajem pare x predočeno je u tom dijagramu točkom B, koja leži na odgovarajućoj izobari (izotermi) tako, da je AB = x * AC, sl.6.21. Adijabate su i u ovom dijagramu, zbog q = T ds = 0, vertikalni pravci. Prikaz parnih procesa u hs-dijagramu Na sl. 6.22. prikazan je u hs-dijagramu Carnotov proces. Dovedena toplina q = h1– h4 kao i odvedena toplina qo = h2 – h3, predočene su ovdje kao dužine, te se mogu direktno izmjeriti, a zatim iz njih izračunati rad W i termički stupanj djelovanja η. Na slici 6.23. predočen je pojednostavnjen proces s pojnom pumpom umjesto kompresora, a na sl. 6.24. proces s pregrijanom parom. I ovdje oznake odgovaraju prijašnjima. Stanja kondenzata ispred pojne pumpe (pritisak po) i iza nje (pritisak p) i u hs-dijagramu se praktički poklapaju. Stanje pare nakon adijabatske ekspanzije lako je odrediti iz početnog stanja 1 i uvjeta s1 = s2. U hs-dijagramu obično su ucrtane i linije v = const. Kao i x = const., pa se svi potrebni podaci mogu iz njega i neposredno očitati.

24

Slika 6.22. Slika 6.23. Slika 6.24. NAČINI POBOLJŠANJA STUPNJA DJELOVANJA PROCESA U PARNIM POSTROJENJIMA Teorijski kružni proces u parnim postrojenjima je poznati Clusius-Rankinov proces čiji je stupanj djelovanja to viši što je veći toplinski pad u parnom stroju. Toplinski pad je to veći što su tlak i temperatura pregrijane pare na ulazu u stroj veći a temperatura i pritisak na izlazu iz stroja niži. Povećanje pritiska pregrijane pare Povećanje pritiska pregrijane pare kod konstantne temperature uz isti kondenzacijski pritisak (sl.6.25.) dovodi do povećanja toplinskog pada (Δh2>Δh1) pa time i do povećanja termičkog stupnja djelovanja. Međutim, to će imati za posljedicu da je sadržaj pare (x2<x1) na izlazu iz turbine niži tj. da je veća količina kapljevite vode što negativno utječe na trošenje lopatica turbine.

25

Slika 6.25. Povećanje temperature pregrijanoj pari Povećanje temperature pregrijanoj pari dovedenoj u stroj kod konstantnog tlaka kod istog tlaka kondenzacije (sl.6.26.) rezultira također povećanjem toplinskog pada (Δh2>Δh1) a time i termičkog stupnja djelovanja, ali u manjoj mjeri nego u prethodnom slučaju. Druga pozitivna strana ovog procesa je ta što se sadržaj pare (x2>x1) na izlazu povećava, što je prednost u odnosu na prethodni proces.

Slika 6.26. Sniženje tlaka izlazne vlažne pare Sniženje tlaka izlazne vlažne pare za dano početno stanje (sl.6.28.) uzrokuje također povećanje toplinskog pada u stroju (Δh2>Δh1) odnosno povećanje stupnja djelovanja, ali i istovremeno smanjenje sadržaja pare (x2<x1). Prema tome, da bismo postigli povećanje stupnja djelovanja u parnim postrojenjima nužno je istovremeno povećati i tlak i temperaturu ulazne pare u stroj, odnosno radni tlak u parnom kotlu i temperaturu pregrijanja u pregrijaču pare. Potrebno je i dovoljno sniziti tlak izlazne pare iz stroja, odnosno osigurati potreban vakuum u kondenzatoru, ako je postojenje s kondenzacijom, tj. ako se para ne ispušta u atmosferu niti se iskorištava u termičke svrhe (u industriji ili za zagrijavanje). U suvremenim parnim postrojenjima tlak pregrijane pare ide i preko 100 bar, a temperatura i preko 550 ºC dok se tlak izlazne pare u parnim turbinama spušta do

26

0.04 bar (vakuum do 96%), a u parnim strojevima do 0.1 bar (90% vakuuma). Povećanjem tlak pregrijane pare od 20 do 100 bar, kod temperature od 400 ºC i za tlak u kondenzatoru od 0.04 bar, termički stupanj djelovanja se povećava od oko 35% na oko 40% tj. za oko 5% dok za tlak pregrijane pare 25 bar, a izlazne pare od 0.04 bar, povećanjem temperature pregrijane pare od 300 na 550 ºC, termički stupanj iskorištenja povećava se od oko 35% na oko 38% tj. za oko 3%. Iako na prvi pogled nije tako izrazito povećanje, to osigurava velike uštede u energiji, naročito kod suvremenih postrojenja velikih snaga. Slika 6.27. Ponovno pregrijavanje pare Ponovno pregrijavanje pare nakon njene djelomične ekspanzije u stroju (sl.6.28.) predstavlja mjeru koja dovodi do povećanja termičkog stupnja djelovanja (zbog povećanja korisnog toplinskog pada u stroju Δh2>Δh1) i povećanja sadržaja pare (x2>x1). Slika 6.28.

27

Regenerativno zagrijavanje vode Regenerativno zagrijavanje (predgrijavanje) vode (kondenzata) za napajanje kotlova oduzimanjem pare tijekom njene ekspanzije u parnoj turbini poznato je kao mjera koja dovodi do smanjivanja nepovrativosti u parnom postrojenju, tj. do približavanja procesa Carnotovom. Na slici 6.29. prikazano je shematski jedno postrojenje s 2 stupnja oduzimanja pare za regenerativno zagrijavanje.

Slika 6.29. Poznato je da je osnovni nedostatak Clausius-Rankinovog procesa za vodenu paru u tome što kod njega postoji nepovrativo zagrijavanje vode, odnosno kondenzata dovedenog u parni kotao, uzrokovano znatnom razlikom temperature napojne vode od temperature dimnih plinova u parnom kotlu. Sl. 6.30. prikazuje u Ts-dijagramu, kako se regenerativnim zagrijavanjem (predgrijavanjem) Clausius-Rankinov kružni proces dijeli na više približno Carnotovih kružnih procesa. Toplina koja se dovodi od pare u jednom predgrijaču (zagrijaču) dovodi se kondenzatu za njegovo zagrijavanje, u istom predgrijaču. Što je veći broj stupnjeva, odnosno predgrijača, to će biti manje temperaraturne razlike za prijelaz topline u pojedinim predgrijačima pa prema tome i manji gubici te je kružni proces bliži Carnotovom, tako da se u graničnom slučaju, tj. uz beskonačan broj stupnjeva, u potpunosti i ostvaruje. Crta ekspanzije pare (AB) u tom slučaju ekvidistantna je donjoj graničnoj krivulji, odnosno crti zagrijavanja dovedenog kondenzata u parni kotao. U tome je i veliki termodinamički značaj regenerativnog zagrijavanja napojne kotlovske vode (kondenzata), odnosno „karnotiziranja“ procesa i pored toga što se oduzimanjem pare smanjuje toplinski pad u stroju. U pogonu parnih turbina vrlo bi se nepovoljno očitovalo zalaženje ekspanzijom duboko u zasićeno područje jer mnoštvo kapljica pri velikim brzinama strujanja razara mehanički i najotporniji lopatični čelik. Zato se regenerativno predgrijavanje u praksi modificira tako da se kroz predgrijače ne provodi čitava radna para, već se iza svakog stupnja odvaja samo onoliki dio pare koji će pri svojoj potpunoj kondenzaciji upravo namiriti potrebu topline dotičnih predgrijača. Ovako nastali kondenzati odvode se s glavnim kondenzatom u skupni vod napojne crpke i vraćaju u kotao. Na taj se način vlaga pare ne vodi kroz turbine. Ako je para još i pregrijana, može se postići da pri ekspanziji u turbinama ostaje izvan područja zasićenja pare. Katkada se uključuje i međupredgrijanje pare iza drugog i trećeg stupnja turbine.

1

Prijenos topline

Temperatura je skalarna veličina koja je odraz određenog energetskog (toplinskog) potencijala materije. Imamo li materiju različitih temperatura (različitih energetskih potencijala) stvoriti će se preduvjeti za prijenos topline. Prijenos topline unutar i između dva sustava odvija se na dva načina:

- posredstvom materije, kada su sustavi u neposrednom dodiru. Pri tome se, u ovisnosti o agregatnom stanju sustava, energija (toplina) prenosi kroz sustave ili provođenjem (kruta tijela), ili konvekcijom (fluidi), prema ili od dodirne plohe dvaju sustava.

- elektromagnetskim valovima, kada se sustavi ne dodiruju. Ovaj efekt se naziva toplinsko zračenje ili radijacija, a o njemu će biti govora u kasnijim razmatranjima.

Temperaturno polje Temperatura je, kao i druge veličine stanja, skalarna veličina koja se opisuje samo s numeričkom vrijednošću i pripadnom dimenzijom temperaturne skale. Za razliku od modela klasične termodinamike koji pretpostavlja materiju u unutarnjoj toplinskoj ravnoteži, teorija prijelaza topline polazi od činjenice da pri izmjeni topline s okolišem čestice materije nemaju jednaku temperaturu. U materiji postoji trodimenzijsko skalarno temperaturno polje koje se tijekom izmjene topline vremenom mijenja. Takvo temperaturno polje u pravokutnom koordinatnom sustavu označava se kao:

),,,( tzyxϑϑ = (9.1.)

Takvo se polje koje se s vremenom mijenja naziva nestacionarnim. Ako se polje s vremenom ne mijenja onda će ono ovisiti samo o prostornim koordinatama pa ga možemo izraziti:

),,( zyxϑϑ = ; 0=∂∂tϑ (9.2.)

i nazivamo ga stacionarnim temperaturnim poljem. Često ćemo radi pojednostavljenja proračuna uzimati u obzir samo koordinate prema kojima se temperatura značajnije mijenja a ostale zanemarivati, pa će kao rezultat toga biti dvodimenzionalna ili čak jednodimenzionalna polja: ),( yxϑϑ = ili )(xϑϑ = (9.3.) Fourieov stavak Kao što smo već rekli preduvjet bilo kakvom provođenju topline je nejednolika temperaturna distribucija u promatranom tijelu. Spojimo li sve točka tijela istih temperature rezultat će biti temperaturne plohe. Kako određena točka tijela ne može

2

istovremeno imati dvije različite temperature to će značiti da se temperaturne plohe nikako ne mogu sijeći. Presiječemo li nekom tijelo nekom zamišljenom ravninom kao rezultat ćemo dobiti familiju izotermi u toj ravnini. Slika 9.1. prikazuje jednu takvu familiju izotermi. Slika 9.1. Primjećujemo da se u različitim pravcima temperatura mijenja različitom brzinom ali je za sve točke izoterme ϑ svojstveno da ćemo temperaturu ϑϑ Δ+ najbrže dosegnuti krenemo li iz bilo koje točke u pravcu normale. Takva promjena temperature u pravcu normale naziva se temperaturni gradijent i matematički definira kao:

nngrad no Δ

Δ= →Δ

ϑϑ 0limn

no ∂∂

=ϑ (9.4.)

gdje on predstavlja jedinični vektor u smjeru normale a

n∂∂ϑ predstavlja brzinu

promjene temperature u smjeru normale. Kao što vidimo iz definicije gradijent je vektor (dakle ima smjer vektora normale) čija je numerička vrijednost jednaka brzini promjene temperature (pošto je skalarna vrijednost jediničnog vektora jednaka 1). Najveća vrijednost gradijenta bit će na mjestu gdje je najveća brzina promjene temperature a to su mjesta gdje su izoterme ϑ i ϑϑ Δ+ , geometrijski gledano, najbliže. Fourier je na osnovu iskustva formulirao stavak kojim je opisao proces provođenja:

dAdtn

dQ∂∂

−=ϑλ (9.5.)

Riječima izraženo: Toplina koja se prenese kondukcijom proporcionalna je vremenu u kojem se taj proces odvija, površini kroz koju se provodi, brzini promjene temperature ili temperaturnom gradijentu i koeficijentu λ koji je ovisan o materijalu i koji se naziva koeficijent toplinske vodljivosti. Predznak – u prethodnoj jednadžbi označava da se proces kondukcije odvija u smjeru suprotnom od smjer temperaturnog gradijenta (temperaturni gradijent je pozitivan kad temperatura raste a proces kondukcije se odvije od više ka nižoj temperaturi)

3

Kad je riječ o kondukciji često se koristimo izrazom gustoća toplinskog toka koji se definira kao količina topline koja prođe kroz određenu površinu u određenom vremenu:

==dAdtQq =

∂∂

−n

noϑλ ϑλgrad− (9.6.)

čija je skalarna vrijednost:

=qn∂

∂−

ϑλ (9.7.)

Integracijom gustoće toplinskog toka po površini dobivamo toplinski tok:

dAn

dAAqA A∫ ∫ ∂

∂−==Φ

ϑλ)( (9.8.)

Pošto je gustoća toplinskog toka q vektorska veličina ona se može u pravokutnom koordinatnom sustavu izraziti preko projekcija na pojedine koordinatne osi: q = iqx + jq y + kqz (9.9) Gdje komponente qx, qy i qz predstavljaju gustoće toplinskog toka u smjeru pojedine osi i kao takve su definirane:

x

qx ∂∂

−=ϑλ ;

yqy ∂

∂−=

ϑλ ; z

qz ∂∂

−=ϑλ (9.10.)

Koeficijent vodljivosti topline λ Koeficijent vodljivosti topline je fizikalno svojstvo materijala koje se određuje eksperimentalno i izražava u [W/mK]. Materijali visokog koeficijenta vodljivosti nazivamo toplinskim vodičima a materijale niskog koeficijenta vodljivosti – toplinskim izolatorima. I jedni i drugi su pronašli široku primjenu u tehničkoj praksi. Općenito uzevši koeficijent vodljivosti topline je ovisan o temperaturi. Za mnoge materijale se može s dovoljnom točnošću uzeti da je ta ovisnost linearna. Analitički se takav linearni odnos može izraziti: ( )( )oo b ϑϑλλ −+= 1 (9.11.) S tim da se za referentnu temperaturu na kojoj se izražava oλ obično uzima 0ºC.

4

Diferencijalna jednadžba kondukcije kroz krutinu Kao početne pretpostavke za ovu analizu uzet ćemo:

• Da je promatrano kruto tijelo homogeno i izotropno • Fizikalna svojstva tijela su konstantna i temperaturno neovisna • Deformacija zbog varijacije temperature je zanemariva • Nema nikakvih toplinskih izvora niti ponora unutar promatranog volumena

Za polazite ćemo uzeti I gl. stavak (stavak o održanju energije). Kako se radi o krutini to neće biti nikakve promjene volumena pa je rad (pdV) jednak 0. Pa će I gl. stavak izgledati: dQprov = dU (9.12.) Što će reći da se razlika toplina provođenja na ulazu i izlazu troši na promjenu unutarnje energije. U smjeru osi x toplina provođenja će iznositi:

( )xxxxxprovx qqQδ

δ+

−= dydzdt= dxdx

xx xxx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛∂∂

−∂∂

+

ϑϑ

λ δ dydzdt= 2

2

x∂∂ ϑλ dVdt (9.13.)

Analogne za preostale osi:

=provyQδ 2

2

y∂∂ ϑλ dVdt (9.14.)

=provzQδ 2

2

z∂∂ ϑλ dVdt (9.15.)

A iznos promjene unutarnje energije (za krutinu) iznosi:

dU= dm c ϑd = dtdVt

c∂∂ϑρ (9.16.)

Sada jednadžba (9.12.) izgleda:

=∂∂t

c ϑρ λ ( 2

2

x∂∂ ϑ + 2

2

y∂∂ ϑ + 2

2

z∂∂ ϑ ) (9.17.)

Ako koeficijent c

aρλ

= definiramo kao koeficijent temperaturne vodljivosti krutine

dolazimo do konačne jednadžbe koja u tzv. operatorskom zapisu izgleda:

5

ϑϑ 2∇=∂∂ at

(9.18.)

Gdje je 2∇ “nabla kvadrat“, Laplaceov operator, koji u Kartezijevim koordinatama ima oblik (za temperaturu):

+∂∂

=∇ 2

22

xϑϑ +

∂∂

2

2

yϑ

2

2

z∂∂ ϑ (9.19.)

U cilindričnom koordinatnom sustavu zr ,,ϕ ( ,cosϕrx = ϕsinry = ) diferencijalna jednadžba nestacionarnog provođenja izgleda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

22

2 11zrrrr

at

ϑϕϑϑϑϑ (9.20.)

Koeficijent toplinske vodljivosti a naziva se i koeficijent toplinske difuzivnosti. Za slučaj nestacionarnog provođenja topline on pokazuje brzinu promjene temperature. Ako koeficijent vodljivosti topline λ predstavlja sposobnost provođenja topline, tada koeficijent temperaturne vodljivosti predstavlja mjeru toplinske inercije. Veća vrijednost koeficijenta a znači da će prije doći do izjednačavanja temperature po volumenu krutine. A pošto koeficijent toplinske vodljivost a proporcionalno ovisi o koeficijentu vodljivosti topline λ , to znači da će tvari koje posjeduju veći λ imati prije izjednačenu temperaturu po volumenu nego one s manjim λ .

Ako se radi o stacionarnom provođenju tj. 0=∂∂tϑ tada jednadžba (9.18.) poprima

oblik:

+∂∂

2

2

xϑ

+∂∂

2

2

yϑ

2

2

z∂∂ ϑ = 0 (9.21.)

Stacionarno provođenje topline kroz jednoslojnu ravnu stjenku Problem se svodi na rješavanje dif. jednadžbe:

2

2

x∂∂ ϑ = 0 (9.22.)

Nakon 1. integracije:

x∂

∂ϑ = C1

a nakon 2. integracije:

6

( ) 21 CxCx +=ϑ (9.23.) Slika 6.2. Rubni uvjeti:

x = x1 ⇒ 1sϑϑ = (9.24.) x = x2 ⇒ 2sϑϑ =

Uvrstivši rubne uvjete u opće rješenje (9.23.) 2111 CxCs +=ϑ 2212 CxCs +=ϑ Uz δ=− 12 xx :

δϑϑ 12

1ssC

−=

112

12 xC sss δ

ϑϑϑ

−−=

Ako zbog pojednostavljenja stavimo da je x1=0 a x2=δ proizlazi: 12 sC ϑ=

( ) xx sss δ

ϑϑϑϑ 21

1−

−= (9.25.)

7

Gustoću toplinskog toka dobivamo iz Fourierovog zakona:

=q ( )xx

∂∂

−ϑλ = ( )21 ss ϑϑ

δλ

− (9.26.)

A toplinski tok, uvaživši činjenicu da je površina A (B*H) okomita na vektor gustoće toplinskog toka i neovisna o koordinati x:

∫ ==ΦA

AdAAq )( ( )21 ss ϑϑδλ

− (9.27.)

Jednadžbu (9.27.) možemo preurediti na način:

λδϑϑ

A

ss 21 −=Φ (9.28.)

gdje brojnik ( 21 ss ϑϑ − ) predstavlja raspoloživu razliku temperatura (temperaturni potencijal), a nazivnik:

A

Rλδ

= (9.29)

predstavlja toplinski otpor izražen u K/W. Vidimo da će veća debljina stijenke δ značiti i veći toplinski otpor tj. smanjenje toplinskog toka, dok će povećanje površine ili koeficijenta vodljivosti topline λ utjecati na smanjenje toplinskog otpora a time i na povećanje toplinskog toka Φ . Toplinski otpor može biti izražen po jedinici površine (Km2/W) pa je u tom slučaju:

tρ = λδ (9.30.)

Ako bolje pogledamo jednadžbu (9.29.) uočiti ćemo analogiju s Ohm-ovim zakonom u elektrotehnici gdje je struja proporcionalna naponu i obrnuto proporcionalna otporu. Jednadžba (9.29.) pak govori da je toplinski tok (struja) proporcionalna raspoloživoj razlici temperatura (toplinski potencijal, napon) i obrnuto proporcionalna toplinskom otporu. Ako jednadžbu (9.26.) izrazimo u obliku:

δϑϑ

λ21 ssq −

= (9.31.)

I uvrstimo u jednadžbu (9.25.) dobivamo:

( ) xqx s λϑϑ −= 1 (9.32.)

8

Vidimo da je uz zadana vrijednosti λδ , i 1sϑ temperaturni pad kroz stjenku to veći, što je nametnuta veća gustoća toplinskog toka q. Za zadane vrijednosti q, δ i 1sϑ , temperaturni pad a time i nagib pravca ovise o koeficijentu vodljivosti topline λ . Što je λ veći, biti će manji temperaturni pad kroz stjenku a pravac će biti položitiji. Ekstremno ako ∞⇒λ (idealni vodič topline), pravac će biti horizontalni i neće biti razlike temperatura na obje strane stjenke. Suprotno, smanjenje koeficijenta vodljivosti λ će pravac činiti strmijim i povećavati će temperaturni pad kroz stjenku. Ekstremno ako 0⇒λ (idealni toplinski izolator) pravac bi bio okomit. Provođenje topline kroz višeslojnu ravnu stjenku Za slučaj kada imamo više stjenki u idealnom dodiru (stjenke su u dodiru cijelom površinom bez ikakvih zazora), polazišna tvrdnja će biti da je kroz svaku od njih gustoća toplinskog toka konstantna i jednaka. Za primjer smo uzeli 3 stjenke u dodiru s različitim debljinama 1δ , 2δ , 3δ i različitim koeficijentima toplinske vodljivosti 1λ ,

2λ , 3λ . Slika 9.3.

( ) ( )211

1ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =1

1

λδq ( )21 ss ϑϑ −

( ) ( )322

2ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =2

2

λδq ( )32 ss ϑϑ − (9.33.)

( ) ( )433

3ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =3

3

λδq ( )43 ss ϑϑ −

9

Ako su temperature vanjskih izotermnih ploha ( )41 , ss ϑϑ poznate sustav jednadžbi se lako rješava zbrajanjem prethodnih jednadžbi:

+1

1

λδq

+2

2

λδq

=3

3

λδq

41 ss ϑϑ −

3

3

2

2

1

1

41

λδ

λδ

λδ

ϑϑ

++

−= ssq (9.34.)

A toplinski tok je jednak:

A=Φ

3

3

2

2

1

1

41

λδ

λδ

λδ

ϑϑ

++

− ss =

3

3

2

2

1

1

41

λδ

λδ

λδ

ϑϑ

AAA

ss

++

− (9.35.)

Opet nam se nameće analogija s Ohovim zakonom za serijski spojene otpornike: Toplinski tok (struja) jednak je kvocijentu raspoloživog toplinskog pada (napon, električni potencijal) i sveukupnog zbroja pojedinih toplinskih otpora. Općenito sada možemo napisati izraze za gustoću toplinskog toka i toplinski tok za n stjenki spojenih serijski:

∑=

+−= n

i i

i

nssq

1

1,1

λδϑϑ

(9.36.)

AAq ==Φ

∑=

+−n

i i

i

nss

1

1,1

λδϑϑ

(9.37.)

Prolaz topline kroz jednoslojnu ravnu stjenku Ako imamo jednoslojnu ravnu stjenku debljine δ i toplinske vodljivosti λ , s jedne strane okruženu fluidom temperature aϑ a s druge strane fluidom temperature bϑ . Od strane fluida a postoji otpor prijelazu topline u graničnom sloju, izražen preko koeficijenta aα a od strane fluida b koeficijent bα koji su konstantni uzduž površine stjenke (B*H).

10

Slika 6.4. Ponovno polazimo od pretpostavke konstantne gustoće toplinskog toka:

( ) ( )1saaxq ϑϑα −= ⇒ =a

qα

( )1sa ϑϑ −

( ) ( )21 ssxq ϑϑδλ

−= ⇒ =λδq ( )21 ss ϑϑ − (9.38.)

( ) ( )bsbxq ϑϑα −= 2 ⇒ =b

qα

( )bs ϑϑ −2

Zbrajanjem jednadžbi dobivamo:

ba

baq

αλδ

α

ϑϑ11

++

−= (9.39.)

Primjećujemo da pribrojnici u nazivniku predstavljaju pojedine otpore. Tako

aα/1 predstavlja otpor prijelaza topline kroz granični sloj a, λδ / predstavlja otpor prolazu topline kroz stjenku, a bα/1 , otpor prijelazu topline kroz granični sloj b. Toplinski tok dobivamo:

A=Φ =++

−=

ba

baAq

αλδ

α

ϑϑ11

ba

ba

AAA αλδ

α

ϑϑ11

++

− (9.40.)

Jednadžbu (9.40.) možemo izraziti i kao: =Φ ( )bakA ϑϑ − (9.41.)

11

gdje je koeficijent k definiran kao:

ba

k

αλδ

α11

1

++= (9.42.)

I predstavlja koeficijent prolaza topline izražen u W/m2K. Koeficijent prolaza topline jednak je recipročnoj vrijednosti sume nametnutih specifičnih toplinskih otpora. Vidimo nadalje iz jed. (9.42.) da je koeficijent prolaza topline uvijek manji od najmanje vrijednosti koeficijenta prijelaza topline, odnosno manji od veličine δλ / . To znači da se za zadanu krutu stjenku mora povećanje koeficijenta prolaza topline tražiti kroz povećanje najmanjeg koeficijenta prijelaza topline. Prolaz topline kroz višeslojnu ravnu stjenku Kao primjer ovdje ćemo razmotriti prolaz topline kroz troslojnu stjenku ( 1δ , 2δ , 3δ ) s vrijednostima toplinske vodljivosti 1λ , 2λ , 3λ , prijelazima topline kroz granične slojeve a i b s koeficijentima prijelaza topline ba αα , . Slika 9.5. Opet ćemo kao polazište uzeti konstantnu gustoću toplinskog toka:

( ) ( )1saaxq ϑϑα −= ⇒ =a

qα

( )1sa ϑϑ −

( ) ( )211

1ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =1

1

λδq ( )21 ss ϑϑ −

12

( ) ( )322

2ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =2

2

λδq ( )32 ss ϑϑ − (9.43.)

( ) ( )433

3ssxq ϑϑ

δλ

−= ⇒ =3

3

λδq ( )43 ss ϑϑ −

( ) ( )bsbxq ϑϑα −= 4 ⇒ =b

qα

( )bs ϑϑ −4

Zbrajanjem prethodnih jednadžbi dobivamo:

ba

baq

αλδ

λδ

λδ

α

ϑϑ11

3

3

2

2

1

1 ++++

−= (9.44.)

==Φ Aq

ba

baA

αλδ

λδ

λδ

α

ϑϑ11

3

3

2

2

1

1 ++++

− (9.45.)

ba

k

αλδ

λδ

λδ

α11

1

3

3

2

2

1

1 ++++= (9.46.)

Analogno možemo napisati jednadžbe prolaza topline kroz n-slojnu ravnu stijenku.

b

n

i i

i

a

baq

αλδ

α

ϑϑ11

1∑=

++

−= (9.47.)

==Φ Aq

b

n

i i

i

a

baA

αλδ

α

ϑϑ11

1∑=

++

− (9.48.)

b

n

i i

i

a

k

αλδ

α11

1

1∑=

++= (9.49.)

13

Provođenje topline kroz jednoslojnu cilindričnu stjenku (cijev) Polazište neka bude jednadžba (9.20.) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

22

2 11zrrrr

at

ϑϕϑϑϑϑ

jer je mnogo jednostavnije izražavati navedeni problem u cilindričnim koordinatama. Kako se radi o stacionarnom procesu gdje razmatramo provođenje topline samo u smjeru radijusa r iščezavaju neki članovi:

0=∂∂tϑ (stacionarno strujanje)

0=∂∂zϑ ⇒ 02

2

=∂∂zϑ

(proizlazi zbog provođenja u smjeru r)

0=∂∂ϕϑ ⇒ 02

2

=∂∂ϕϑ

Uvrstivši navedena pojednostavljenja u jednadžbu (9.20.) ona poprima oblik:

012

2

=+drdrdr

d ϑϑ (9.50.)

Uvedimo u razmatranje novu varijablu drdm /ϑ= :

0=+rm

drdm

Separacijom varijabli slijedi:

0=+rdr

mdm

Integracijom dobivamo: ln m+ ln r = C1' Odnosno: mr= C1

1Crdrd

=ϑ

14

Nakon separacije varijabli i integracije dobivamo opće rješenje temperaturnog polja pri stacionarnom provođenju topline kroz cilindričnu stjenku: ( ) 21 ln CrCr +=ϑ (9.51.) Vidimo da temperaturno polje slijedi zakonitost logaritamske funkcije s obzirom na polumjer r. Objašnjenje za to leži u činjenici da je kod ravne stjenke površina kroz koju je toplina prolazila uvijek bila konstantna (B*H) dok se kod cijevi, povećanjem polumjera r, i ona povećava (A= 2rπ L) Pomoću Fourierov-a stavka izrazimo sada gustoću toplinskog toka:

rCrq 1)( λ−= (9.52.)

Vidimo da za razliku od gustoće toplinskog toka kod ravne stjenke (gdje je bila konstantna, neovisna o koordinati x), ovdje gustoća toplinskog toka ovisi o polumjeru na kojem se mjeri, i to na način da povećanjem polumjera r, ona opada. .Φ Toplinski tok je izražen relacijom:

qA=Φ = ( )dAAqA∫ = =− ∫

=

dLrrCL

L

πλ 20

112 LCπλ− (9.53.)

Kao što vidimo, kod prolaza topline kroz cilindričnu stjenku imamo konstantni toplinski tok (neovisan o polumjeru r). Slika 9.6. Rubni uvjeti za određivanje konstanti C1 i C2: Kod izotemnih rubnih uvjeta zadane su temperature na unutrašnjem i vanjskom polumjeru cijevi: r = R1 1sϑϑ = (9.54.) r = R2 2sϑϑ =

15

Zbog širenja topline samo u smjeru polumjera cijevi r, navedeni rubni uvjeti odnose se na cjelokupnu unutrašnju izotermnu plohu površine A1=2R Lπ , odnosno na cjelokupnu vanjsku izotermnu plohu površine LRA π22 2= . Uvrstivši rubne uvjete (9.54.) u jednadžbu (9.51.) dobivamo: 2111 ln CRCş +=ϑ 2212 ln CRCs +=ϑ Iz čega dobivamo integracijske konstante:

2

1

211

lnRR

C ss ϑϑ −=

(9.55.)

( )

2

1

12112

ln

ln

RRRC sss ϑϑϑ −−=

Ako sada uvrstimo dobivene konstante u jednadžbu (9.51.) dobivamo:

( ) 1sr ϑϑ = ( )

1

2

121

ln

ln

RRRr

ss ϑϑ −− (9.56.)

Za slučaj da je temperatura stjenke cijevi 1sϑ > 2sϑ toplinski tok je usmjeren iznutra prema van sl. Pri kvalitativnom crtanju temperaturnih polja treba voditi računa o činjenici da je temperaturni gradijent:

rC

drd 1=ϑ (9.57.)

Veći na manjem polumjeru. To znači da je najmanji temperaturni gradijent (tangens kuta) na vanjskom polumjeru cijevi odnosno najveći na unutrašnjem polumjeru cijevi, bez obzira na smjer širenja toplinskog toka. Gustoću toplinskog toka svedenu na unutrašnju površinu cijevi dobije se uvrštavanjem konstante C1 iz jednadžbe (9.55.) i polumjer r=R1 u jednadžbu (9.52.)

( ) ( )

1

21

21

1

11

lnRRRR

CRq ss ϑϑλλ

−=−= (9.58.)

Analogno dobivamo gustoću toplinskog toka svedenu na vanjsku površinu cijevi:

16

( ) ( )

1

22

21

2

12

lnRRRR

CRq ss ϑϑλλ

−=−= (9.59.)

Pošto je R2>R1, slijedi kao što je već prije rečeno da je ( )2Rq < ( )1Rq Toplinski tok se dobije uvrštavanjem konstante C1 iz (9.55.) u jednadžbu (9.53.):

( )

1

2

21

ln

2

RR

L ss ϑϑλπ −=Φ (9.60.)

Dakako da bi se jednadžba toplinskog toka mogla dobiti i kao produkt gustoće toplinskog toka i pripadajuće površine: ( ) ==Φ LRRq 11 2π ( ) LRRq 22 2π (9.61.) Jednadžbu (9.60.) možemo izraziti i na drugi način:

1

2

21

ln2

1RR

L

ss

λπ

ϑϑ −=Φ (9.62.)

Gdje brojnik označava temperaturni potencijal a nazivnik toplinski otpor izražen u K/W (analogija Ohmovom zakonu). Toplinski tok se često izražava sveden na jediničnu dužinu:

( )

1

2

21

ln

2

RRL

ssL

ϑϑπλ −=

Φ=Φ (9.63.)

17

Provođenje topline kroz višeslojnu stjenku cijevi Slika 9.7. Polazište za analizu provođenja topline kroz višeslojnu stjenku cijevi (za primjer uzeta troslojna) je da je toplinski tok konstantan i jednak kroz svaku cijev. Zato možemo napisati jednadžbu (9.62.) za svaku stjenku:

1

2

1

21

ln2

1RR

L

ss

λπ

ϑϑ −=Φ ⇒ 21

1

1

2

2

ln

ssLRR

ϑϑλπ

−=Φ

2

3

2

32

ln2

1RR

L

ss

λπ

ϑϑ −=Φ ⇒ 32

3

3

3

2

ln

ssLRR

ϑϑλπ

−=Φ

(9.64.)

3

4

3

43

ln2

1RR

L

ss

λπ

ϑϑ −=Φ ⇒ 43

3

3

4

2

ln

ssLRR

ϑϑλπ

−=Φ

Zbrajanjem navedenih jednadžbi dobivamo izraz:

3

4

32

3

21

2

1

41

ln2

1ln2

1ln2

1RR

LRR

LRR

L

ss

λπλπλπ

ϑϑ

++

−=Φ (9.65.)

Brojnik predstavlja temperaturni potencijal a pribrojnici u nazivniku predstavljaju serijski spojene, toplinske otpore pojedinačnih cijevnih stjenki (analogija serijski spojenim otpornicima kod Ohmovog zakona). Općenito se može pisati:

18

( )

∑=

+

−=Φ n

i i

i

i

ss

RR

L

1

1

41

ln12

λ

ϑϑπ (9.66.)

Prolaz topline kroz jednoslojnu stjenku cijevi Uzmimo u razmatranje cijev čiju unutrašnjost ispunjava fluid u mirovanju ili gibanju. Temperatura fluida neka je aϑ , konstantna po duljini (visini) cijevi. Prijelaz topline s unutrašnjeg fluida na stjenku cijevi neka je opisan jedinstvenim koeficijentom prijelaza topline aα također konstantnim po radijusu i po visini. Koeficijent vodljivosti topline kroz stjenku cijevi neka je λ , a prijelaz topline sa stjenke na vanjski fluid, temperature bϑ neka je opisan jedinstvenim koeficijentom prijelaza topline bα . Slika 9.8. Za polazište ćemo opet uzeti konstantni toplinski tok:

( )1saa A ϑϑα −=Φ = ( )112 saa LR ϑϑπα − ⇒ 112 sa

aLRϑϑ

απ−=

Φ

( )

1

2

21

ln

2

RR

L ss ϑϑλπ −=Φ ⇒ 21

1

2

2

ln

ssLRR

ϑϑλπ

−=Φ

(9.67.)

( )bsb A ϑϑα −=Φ 2 = ( )bsa LR ϑϑπα −222 ⇒ bsbLR

ϑϑαπ

−=Φ

222

Međusobnim zbrajanjem jednadžbi (9.67.) dobivamo izraz za toplinski tok:

( )

ba

ba

RRR

R

L

αλα

ϑϑπ

21

2

1

1ln112

++

−=Φ (9.68.)

19

kojeg možemo pisati i u obliku:

ba

ba

LRRR

LLR απλπαπ

ϑϑ

21

2

1 21ln

21

21

++

−=Φ (9.69.)

Opet primjećujemo analogiju s Ohmovim zakonom za serijski spojene otpore. Nazivnik naime predstavlja zbroj toplinskih otpora koji se serijski suprotstavljaju prolazu topline. Toplinski tok možemo izraziti i pojednostavljenim izrazom: ( )bakA ϑϑ −=Φ (9.70.) gdje koeficijent k predstavlja koeficijent prolaza topline izražen u W/m2K. Ako sada iz jednadžbe (9.70.) izrazimo k slijedi:

( )baAk

ϑϑ −Φ

= (9.71.)

Pošto je koeficijent prolaza topline k ovisan o površini A, koja se s obzirom na promjenjivost radijusa r mijenja, on se također mijenja i ovisan o radijusu, pa treba voditi računa na koju se površinu tj. radijus svodi. Ako je npr. sveden na unutrašnju površinu cijevi LRA π11 2= , onda koeficijent prolaza topline k1 dobijemo ako izraz (9.68.) uvrstimo u izraz (9.71.):

ba RR

RRR

k

αλα 2

1

1

211

ln11

++= (9.72.)

dok vrijednost koeficijenta prolaza topline k2 na vanjskoj strani cijevi iznosi (analogni postupak kao za k1):

ba RRR

RR

k

αλα1ln

1

1

22

1

22

++= (9.73.)

Jasno je da je toplinski tok neovisan o površini na koju je sveden pa iz jednadžbe (9.70.) (s obzirom da je i temperaturna razlika konstantna) slijedi: k1A1 = k2A2 = kiAi = const. (9.74.) Proizlazi da je za cijevnu stjenku omjer koeficijenata prolaza topline:

1

2

2

1

RR

kk

= (9.75.)

20

Prolaz topline kroz n-slojnu cijevnu stjenku: Slika 9.9. Stekavši iskustvo u prijašnjim razmatranjima lako možemo zaključiti da za n-slojnu cijevnu stjenku vrijedi izraz za toplinski tok:

( )

bn

n

i i

i

ia

ba

RRR

R

L

αλα

ϑϑπ

11

1

1

1ln112

+=

+ ++

−=Φ

∑ (9.76.)

dok vrijednost koeficijent prolaza topline k1 svedenog na unutrašnji promjer cijevi iznosi:

bn

n

i

i

ia RR

RR

Rk

αλα 1

1

1 1

11

1

ln111

+=

+ ++=

∑ (9.77.)

Kritična debljina izolacije jednoslojno izolirane cijevi Izoliranje cijevi se u načelu provodi radi smanjenja toplinskog toka kroz stjenku cijevi, što za mnoge slučajeve predstavlja smanjenje toplinskih gubitaka. Međutim stavljanje izolacije na cijevi manjih promjer ne mora uvijek značiti smanjenje toplinskog toka. Da bi to dokazali napišimo izraz za toplinski tok izolirane cijevi, sveden na 1 m duljine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=Φ

bia

baL

rRr

RR

R αλλαπ

ϑϑ1ln1ln11

21

21

2

1

(9.78.)

iz čega proizlazi da je ukupni toplinski otpor prolazu topline, po metru duljine cijevi jednak:

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

biaL rR

rRR

RR

αλλαπ1ln1ln11

21

21

2

1

(9.79.)

U jednadžbi (9.79.) postoji samo jedna varijable (r, ostalo su konstantne vrijednosti).

Ona se javlja u dva pribrojnika: 2

ln1Rr

iλ gdje svojim povećanjem utječe na povećanje

toplinskog otpora i brα

1 gdje svojim povećanjem utječe na smanjenje sveukupnog

toplinskog otpora. Nameće se ideja da mora postojati kritični polumjer r gdje je sveukupni toplinski otpor minimalan, a dobiti ćemo ga ako derivaciju jednadžbe (9.79.) izjednačimo s nulom (lokalni ekstrem).

( )01ln1ln11

21

21

2

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

bia

L

rRr

RR

Rdrd

drRd

αλλαπ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

bi rr αλπ 2

111121 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

bi rr αλπ11

21 =0 (9.80.)

b

ikritr α

λ= (9.81.)

Vrijednost kritične debljine izolacije dobivamo: 2Rrkritkrit −=δ (9.82.) Deriviranjem jednadžbe (9.79.) dokazali smo da postoji lokalni ekstrem. Da bismo dokazali da je lokalni ekstrem minimum, moramo napraviti još jednu derivaciju. Ako je rezultat druge derivacije za rkrit pozitivan (>0) to će biti dokaz o postojanju minimuma:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ibbi

L

rrrrdrRd

λαπαλπ12

2112111

21

2322

2

(9.83.)

Ako uvrstimo da je =rb

ikritr α

λ= dobivamo:

( )3

2

2

2

i

b

r

L

kritdrRd

λα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>0 (9.84.)

Pošto smo dokazali da postoji lokalni ekstrem, vrijednost radijusa gdje je toplinski otpor minimalan, to će automatski značiti, prema izrazu (9.78.) da će za taj radijus vrijednost toplinskog toka biti maksimalna. Ako polumjer izolacije r<rkrit, tada s njegovim povećanjem opada ukupni toplinski otpor, odnosno raste toplinski tok. To znači da je u tom rasponu polumjera veći

22

utjecaj povećavanja vanjske površine izolacije (koji utječe na rast toplinskog toka), nego što je utjecaj povećanja debljine izolacije (koja utječe na smanjenje toplinskog toka). Za slučaj kada je r dosegne vrijednost rkrit, vrijednost toplinskog toka će dosegnuti svoj maksimum. Daljnjim povećavanjem debljine izolacije postaje r>rkrit, utjecaj povećanja površine izolacije postaje manji u odnosu na utjecaj porasta debljine izolacije, i kao rezultat toga, smanjuje se toplinski tok. Maksimalnu vrijednost toplinskog toka dobivamo ako u (9.78.) uvrstimo vrijednost rkrit umjesto r:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=Φ

1ln1ln1121

21

2

1

max

RRR

R b

i

ia

baL

αλ

λλαπ

ϑϑ (9.85.)

Na osnovu napravljene analize možemo zaključiti da ako je vanjski polumjer cijevi R2> rkrit = bi αλ / , tada dodavanjem izolacije odmah dolazi do smanjenja toplinskog toka. Ako je pak vanjski polumjer cijevi R2 < rkrit = bi αλ / , tada povećavanjem debljine izolacije, prvo dolazi do povećavanja toplinskog toka, a zatim, kad R2 postane veći od rkrit, do njegova smanjenja.

1

KONVEKCIJA (PRIJELAZ TOPLINE)

Konvekcija predstavlja proces izmjene topline izme�u fluida (plinova i teku�ina) i površine �vrstih tijela, uzrokovan nejednolikom temperaturnom raspodjelom. Kod procesa konvekcije neminovno dolazi do premještanja i sudaranja makro�estica fluida (vrtloga) koji pospješuje izmjenu topline. Kondukcija, koja predstavlja mikroskopski transport topline, sudaranjem molekula, tako�er je neizostavna pojava kod procesa konvektivnog prijelaza topline. U najve�em broju slu�ajeva brzina kretanja vrtloga, koji sadrži velik broj molekula, je znatno ve�a od brzine kretanja molekula, pa je zbog toga udio konvektivnog prijenosa topline u odnosu na konduktivni, znatno ve�i. U prora�unima vezanim za prijelaz topline (konvekciju) koristi se Newton-ov zakon, po kome je toplinski tok proporcionalan površini i temperaturnoj razlici izme�u �vrste stijenke i fluida: ( )dAd s ∞−=Φ ϑϑα (10.1.) Gdje veli�ina α predstavlja koeficijent prijelaza topline. Fizikalno, koeficijent prijelaza topline predstavlja onu toplinu koja se izmjeni u jednoj sekundi, na jedini�noj površini od 1 m2 pri temperaturnoj razlici (izme�u stjenke i fluida) od 1 ºC (1K).

( ) =−

Φ=∞ dA

d

s ϑϑα ��

���

�

− ∞ KmWdq

s2ϑϑ

(10.2.)

Navedena relacija vrijedi za lokalne vrijednost α tj. za slu�ajeve kada koeficijenti prijelaza topline α poprima razli�ite vrijednosti za razli�ite to�ke površine. Ako je α konstantan po površini, Newton-ov zakon poprima oblik: ( )As ∞−=Φ ϑϑα (10.3.)

( )∞−=Φ= ϑϑα sAq (10.4.)

Priroda strujanja fluida

Strujanje fluida duž stjenke može biti prisilno i prirodno. Prisilno strujanje nastaje uslijed djelovanja vanjskih sila koje proizvode kompresori, pumpe, ventilatori i sl. Prirodno strujanje fluida nastaje kao rezultat nehomogenog temperaturnog polja koje uzrokuje neravnomjernu distribuciju mase u prostoru, a time i nehomogeno polje gusto�e. Pod djelovanjem lokalno homogenog gravitacijskog polja svakoj je masi pridruženo gravitacijsko ubrzanje, g m/s2, pa nehomogena distribucija mase u prostoru ujedno zna�i nehomogeno polje sila u smjeru gravitacije. Unutar fluida se uspostavlja makroskopsko gibanje �estica, koje imaju razli�ite brzine. Oblik prostora u kojem se nalazi fluid obi�no je barem djelomice ogra�en

2

krutim stijenkama, koje spre�avaju gibanje �estica fluida prema zemlji i na �ijim se plohama nehomogeno polje sila transformira u nehomogeno polje tlaka. �estice mijenjaju smjer kretanja prema podru�ju nižeg tlaka, a njihovo daljnje gibanje ovisi o obliku ogra�enog prostora.

Polje stati�kog tlakaAxF

xp)(

)( =

Polje sila VgxgxmxF )()()( ρ==

Polje temperature T(x)

Nejednolika razdiobamase u prostoru.

Homogeno gravitacijskopolje: g= konst.

Jedini�na površina, A

A A A

Polje gusto�e ρ(x)= m(x)/V

xm(x)V

S obzirom na prirodu strujanja fluida razlikujemo prirodnu (slobodnu) i prisilnu konvekciju. Obi�no je prirodna konvekcija prate�a pojava kod prijenosa topline prisilnom konvekcijom, samo što pove�anjem brzine fluida njen utjecaj rapidno pada pa se za inženjerske prora�une može zanemariti. Režimi strujanja fluida Toplina koja se konvekcijom izmjenjuje izme�u površine �vrstog tijela i fluida odre�ena je koli�inom materije koja se premješta okomito k površini (ili od površine), a ta koli�ina materije ovisi o režimu strujanja fluida. Postoje dva režima stujanja fluida: laminarni i turbulentni.

3

Kod laminarnog režima strujanja sve se �estice kre�u po trajektorijama (putanjama) koje su me�usobno paralelne i �iji se smjer poklapa sa smjerom ukupnog toka. Fluid struji mirno, bez pulzacija s raspodjelom brzina koji je paraboli�nog oblika. Maksimalna brzina �estica fluida ostvaruje se u osi cijevi, a srednja brzina

max5,0 wwsr = . Kod laminarnog režima strujanja, prijenos topline je okomit na pravac strujanja fluida, i odre�en je samo procesom molekularnog prijenosa materije koji zavisi od koeficijenta provo�enja topline fluida (kondukcija). Kod turbulentnog režima neprekidno se ostvaruje miješanje svih slojeva fluida, pri �emu se �estice kre�u kaoti�no po složenim putanjama �iji se smjer ne poklapa sa smjerom toka. Takvo strujanje je pra�eno pojavom pulzacija i vrtloga; ukoliko su vrtlozi intenzivniji i turbulentnost toka je ve�a. Profila brzina ima oblik odsje�ene parabole, a uz samu stjenku cijevi formira se grani�ni sloj gdje se odvija laminarno strujanje. Prijenos topline je uslovljen popre�nim gibanjem mikro i makro �estica, odnosno vrloga. Ukoliko je brzina strujanja ve�a, uz ostale nepromijenjene uvjete, ve�i je intenzitet kretanja nosioca topline, okomito na smjer strujanja, što daje ve�i zna�aj konvektivnom prijelazu topline, a smanjuje utjecaj molekularnog prijenosa topline (kondukcija). Kod strujanja fluida kroz cijev, prijelaz iz laminarnog u turbulentni režim može se odrediti pomo�u bezdimenzionalnog Reynolds-ovog broja:

νwd=Re (10.5.)

ν - kinemati�ka viskoznost [ ]sm /2 w-srednja brzina strujanja d- promjer cijevi Za kanale proizvoljnog popre�nog presjeka koristi se ekvivalentni promjer:

OS

d ekv

4= (10.6.)

S- površina popre�nog presjeka kanala [ ]2m O- opseg kanala (koji je u dodiru s fluidom) Kod 2300Re ≤ strujanje u cijevima je laminarno, za 10000Re ≥ strujanje je turbulentno, dok strujanje s 10000Re2300 �� predstavlja prelazni režim strujanja. Fizikalna svojstva fluida U tehnici se za prijenos topline koriste razne fluidi: voda, zrak, freoni, ulje, razni plinovi itd. Na proces izmjene topline utje�u neka fizikalna svojstva po �emu se razni fluidi razlikuju: koeficijent vodljivosti topline λ , specifi�ni toplinski kapacitet cp, gusto�a ρ , koeficijent dinami�ke viskoznosti µ i koeficijent toplinske vodljivosti a (koeficijent toplinske difuzivnosti).

4

Izme�u �estica ili slojeva fluida koji se kre�u razli�itim brzinama javljaju se sile unutrašnjeg trenja koje se opiru kretanju.

dndw

F µ= (10.7.)

gdje �lan dndw

predstavlja promjenu brzine u smjeru normale, a koeficijent

proporcionalnosti µ , koji zavisi od vrste fluida i njegove temperature, predstavlja dinami�ki viskozitet [ ]Pas . Viskoznost teku�ina se smanjuje s pove�anjem temperature i ne ovisi o tlaku. Kod plinova se viskoznost pove�ava s pove�anjem pritiska i temperature. Veza izme�u kinemati�ke i dinami�ke viskoznosti je:

ρµν = (10.8.)

Kinemati�ka viskoznost teku�ina se smanjuje s pove�anjem temperature u istoj mjeri kao i dinami�ka viskoznost (zbog male promjene gusto�e), dok za plinove, pove�anjem temperature, kinemati�ka viskoznost, zbog znatnog smanjenja gusto�e, rapidno raste. Režim strujanja u grani�nom sloju: Kod strujanja realnog fluida preko ravne plo�e dolazi do formiranja tzv. dinami�kog i toplinskog grani�nog sloja. Karakteristika dinami�kog grani�nog sloja je laminarno strujanje i velika promjena brzine od 0 na površini plo�e (�estice fluida su prilijepljene) do neke kona�ne brzine na kraju grani�nog sloja. Toplinski grani�ni sloj karakterizira velik gradijent temperature. Op�enito se toplinski i dinami�ki grani�ni sloj ne poklapaju ve� se njihove debljine odnose:

3

3Pr

11 ==

ad

t

νδδ

(10.9.)

gdje Pr predstavlja Prandtl-ov broj . Kod vrlo viskoznih teku�ina s niskim koeficijentom toplinske provodljivosti (na primjer ulja), Pr >1, pa je debljina dinami�kog grani�nog sloja ve�a od debljine toplinskog grani�nog sloja. Kod plinova je 1Pr ≈ pa su oba sloja približno jednaka; dok kod teku�ih metala Pr<1 pa toplinski grani�ni sloj prodire u turbulentni tok.

5

Za kvalitativnu analizu možemo uzeti da se gusto�a toplinskog toka q ne mijenja po debljini grani�nog sloja. Ovakvi uvjeti odgovaraju provo�enju topline kroz ravnu plo�u gdje je tδ debljina a sϑ i ∞ϑ temperature stjenke i fluida u turbulentnom toku (temperatre na granicama grani�nog sloja) pa je

q ~ ( )∞−ϑϑδλ

st

(10.10.)

Usporedbom jednadžbi (10.10.) i (10.4.) dobije se:

α ~tδ

λ (10.11.)

U prijelaznom, a pogotovo u turbulentnom režimu strujanja, osnovni termi�ki otpor je koncentriran u tankom laminarnom podsloju, s pove�anjem debljine toplinskog grani�nog sloja duž površine plo�e intenzitet prijelaza topline pada. U preobražajnoj zoni ukupna debljina grani�nog sloja i dalje raste, ali se pri tome vrijednost lokalnog koeficijenta prijelaza topline pove�ava, pošto se debljina laminarnog sloja smanjuje. U nastalom turbulentnom sloju toplina se prenosi ne samo provo�enjem topline (kroz laminarni podloj) ve� i konvekcijom s masom koja se intenzivnije miješa. Kao rezultat se dobiva da ovaj zbirni toplinski otpor prijelazu topline postaje manji. Poslije stabiliziranja debljine laminarnog podsloja u zoni razvijenog turbulentnog miješanja, koeficijent prijelaza topline opet opada, uslijed porasta op�e debljine grani�nog sloja. Pove�anjem brzine fluida u vanjskom toku pove�ava se turbulencija i smanjuje debljina laminarnog podsloja, što dovodi do pove�anja koeficijenta prijelaza topline. Pove�anje viskoznosti fluida, pak, dovodi do porasta debljine laminarnog podsloja. Iz (10.11.) proizlazi da �e koeficijent prijelaza topline kod plinova koji imaju mali koeficijent toplinske provodljivosti biti niži nego kod teku�ina a viši nego kod teku�ih metala. Npr. α zraka koji miruje se mijenja u granicama 5-20 [W/m2K], a kod turbulentnog strujanja brzinom od desetak metara u sekundi je 50-100 [W/m2K]. Teku�ine, posebno voda, �iji je koeficijent vodljivosti topline znatno ve�i od zraka, imaju znatno ve�i koeficijent prijelaza topline (oko 1000 [W/m2K]).

6

Kod strujanja fluida u cijevi debljina grani�nog sloja raste simetri�no po cijelom opsegu kao i kod ravne plo�e sve dok se slojevi ne sastanu u osi cijevi. Daljnje je kretanje stabilizirano i hidrodinami�ki grani�ni sloj (analogno i toplinski) ispunjava cijeli popre�ni presjek. U zavisnosti od konkretnih uvjeta, grani�ni sloj na po�etnom dijelu može prije�i u turbulentan a i ne mora. Zbog toga �e i stabilizirani režim strujanja biti ili turbulentan s laminarnim podslojem oko unutrašnje stjenke cijevi ili samo laminaran po cijelom presjeku. Teorija sli�nosti i njezina primjena kod prijelaza topline Na osnovu pretpostavki o održanju mase, koli�ine gibanja i energije mogu se napisati diferencijalne jednadžbe kojima se opisuje prijelaz topline. To su naj�eš�e složene relacije koje se mogu analiti�ki riješiti samo za jedan uzak broj specijalnih slu�ajeva. U novije vrijeme se takvi problemi do odre�ene to�nosti mogu rješavati numeri�kim metodama uz pomo� elektroni�kih ra�unala. Ovakav na�in rješavanja problema prijelaza topline predstavlja teorijski pristup inženjerske potrebe razvijene su empiri�ke formule koje opisuju grupe sli�nih pojava na osnovu bezdimenzionalne analize. Pored teorijskog pristupa postoji i eksperimentalni pristup. Eksperimentalno ispitivanje procesa daje vrlo precizne rezultate koji vjerno opisuju odre�enu pojavu i mogu biti usmjereni k takvim fenomenima koji su od posebnog zna�enja za inženjersku praksu. Nedostatak eksperimenta je u tome što rezultati obavljenih istraživanja ne mogu biti primijenjeni na druge pojave koje se u detaljima razlikuju od prou�avanih. Objedinjavanjem teorijskih i eksperimentalih metoda daje najefikasniji pristup rješavanju problema. Takva se metoda naziva Teorija sli�nosti. Teorija sli�nosti ukazuje na to kako je potrebno organizirati eksperiment, na koji na�in obraditi rezultate, da bi se uvo�enjem manjeg broja eksperimenta stvorili uvjeti za uop�avanje podataka preko jedinstvene jednadžbe koja �e opisivati i sve složene pojave. Sli�ne pojave karakteriziraju geometrijska sli�nost kao i sli�nost svih ostalih parametara koji opisuju te pojave. To zna�i da se vrijednosti svih veli�ina koje

7

karakteriziraju pojavu na objektu (npr. brzina, temperatura i sl.) mogu dobiti jednostavnim množenjem istih veli�ina na ispitivanom modelu s konstantnim bezdimenzionalnim brojem. Da bi pojave bile sli�ne, nužni je uvjet, da se mogu opisati istim diferencijalnim jednadžbama. Kod fizikalno sli�nih pojava u datom trenutku vremena i u odre�enoj to�ki neka fizikalna veli�ina b' prvog slu�aja mora biti proporcionalna odgovaraju�oj veli�ini b'' druge sli�ne pojave, tj. mora vrijediti: b' = k*b'' (10.12.) gdje k predstavlja koeficijent proporcionalnosti ili konstantu sli�nosti. Sli�ne pojave imaju razli�ite vrijednosti konstante sli�nosti za razli�ite fizikalne veli�ine. Me�utim, kod odre�ene fizikalne veli�ine konstanta sli�nosti mora biti jednaka za sve geometrijski sli�ne to�ke i u odnosnom trenutku vremena. Geometrijski sli�ni sustavi imaju sli�ne pojave. Karakteriziraju ih jednaki bezdimenzionalni brojevi (kriteriji) dobiveni odnosom parametara koji utje�u na datu pojavu. Konstante sli�nosti odre�uju se iz diferencijalnih jednadžbi kojima se matemati�ki opisuje odre�ena pojava.

8

FORMULE ZA ODRE�IVANJE KOEFICIJENTA PRIJELAZA TOPLINE

Empirijske formule izražavaju Nusseltov broj, Nu, kao funkciju karakteristi�nih bezdimenzijskih zna�ajki: Reynoldsa (Re), Grashofa (Gr), Prandtla (Pr), Pecleta (Pe), Rayleigha (Ra) i dr. Ponekad se uzimaju u obzir neki posebni efekti, kao što su npr. oblikovanje profila brzine ili utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida. Bezdimenzijske zna�ajke definirane su na slijede�i na�in:

Nu = �L/λ, zna�ajka prijelaza topline; služi za dobivanje �. Re = wL/ν, zna�ajka oblika prisilnog strujanja

( )2

30

ss

s gLGr

νρρ−ρ=

, zna�ajka slobodnog gibanja Pr = µcp/λ = ν/a, zna�ajka fizikalnih svojstava fluida Pe = RePr = wL/a Ra = Gr Pr

Sve veli�ine u gornjim zna�ajkama odnose se na fluid (kapljevinu ili plin), uklju�uju�i i veli�ine prostora u kome se fluid nalazi. Pojedina�no zna�enje je:

• �, prosje�ni koeficijent prijelaza topline, W/(m2K), • w proto�na brzina, m/s, • L op�a oznaka za karakteristi�nu linearnu veli�inu, m, • λ koeficijent vodljivosti topline, W/(mK), • ρ gusto�a, kg/m3, • µ dinami�ka viskoznost, Ns/m2, • cp specifi�ni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, J/(kgK), • ν = µ/ρ kinemati�ka viskoznost, m2/s, • a = λ/ρcp koeficijent temperaturne vodljivosti, m2/s.

Navedene bezdimenzijske zna�ajke predstavljaju karakteristi�ne konstante fizikalnog modela. Osim Nu broja, sve ostale zna�ajke moraju biti poznate, tj. moraju biti zadani ili dostupni ra�unu svi podaci koji su potrebni za njihovo odre�ivanje. Ve�ina tih podataka slijedi iz opisa promatranog fizikalnog modela. Fizikalna svojstva fluida smatraju se konstantnima, a njihove se vrijednosti odre�uju prema referentnoj temperaturi. Ukoliko nije posebno naglašeno druk�ije, sva fizikalna svojstva fluida treba uzeti prema prosje�noj temperaturi fluida, ϑm, koja se definira kao aritmeti�ka srednja vrijednost ulazne, ϑ1, i izlazne, ϑ2, temperature:

221 ϑ+ϑ=ϑm

. (1)

9

U inženjerskim prora�unima koriste se formule za odre�ivanje prosje�ne vrijednosti Nu broja na cjelokupnoj površini, A, prijelaza topline. Zatim se prosje�ni koeficijent prijelaza topline, �, odre�uje iz relacije:

Nu

Lλ=α

. (2) Izbor karakteristi�ne linearne veli�ine, L, ovisi o promatranom modelu i geometriji strujanja. Fizikalni modeli koji su navedeni u nastavku spadaju u jednostavne i �este prakti�ke slu�ajeve. Podijeljeni su u dvije osnovne skupine, prema uzroku makroskopskog gibanja fluida: na prisilnu i slobodnu konvekciju, te prema obliku strujanja: na laminarno i turbulentno strujanje. U praksi se javljaju i kombinacije tih slu�ajeva koje ne �emo razmatrati. Kriterijske jednadžbe Op�a kriterijska jednadžba u kojoj se samo navode utjecajne zna�ajke može se napisati u obliku relacije:

���

�

�=

i

i

ba

Pr,...,,GrRe,NuNu, (3)

gdje je ai/bi formalna bezdimenzijska oznaka posebnih efekata, koji se u nekom slu�aju moraju posebno uzeti u obzir, a nisu obuhva�eni klasi�nim zna�ajkama. Slu�ajevi mješovite konvekcije za koje bi vrijedio op�i oblik kriterijske jednadžbe (3) nisu razmatrani. Slobodna konvekcija. Javlja se u svim slu�ajevima prijelaza topline, jer pojava temperaturnog polja unutar fluida dovodi do nejednolike razdiobe mase u prostoru, tj. polja gusto�e. Pod utjecajem gravitacijskog polja uspostavlja se relativno gibanje �estica fluida (uzgon). Kako nema vanjskog uzroka gibanja govori se o miruju�em fluidu. Taj simboli�ki opis zna�i da ne postoji pojam proto�ne brzine, tj. w = 0, pa Reynoldsov broj nema smisla, Re = 0. Za opis gibanja, koje naravno postoji u takvom miruju�em fluidu, koristiti se zna�ajka uzgona, Grashofov broj, Gr. U tim slu�ajevima kriterijska jednadžba (3) poprima oblik:

���

�

�=

i

i

ba

Pr,...,,GrNuNu. (4)

Prisilna konvekcija. Strujanje fluida izazvano je prisilno, djelovanjem nekog tehni�kog ure�aja (pumpe, ventilatora). Efekt slobodne konvekcije koji uvijek postoji biva potisnut i obi�no se može (ra�unski) sasvim zanemariti. Time se gubi utjecaj Grashofovog broja, a oblik strujanja se procjenjuje prema Reynoldsovom broju, Re. Op�a jednadžba (3) pojednostavljuje se u oblik:

���

�

�=

i

i

ba

Pr,...,Re,NuNu. (5)

10

Izbor formule Op�i postupak odabira prikladne formule može se razložiti na nekoliko karakteristi�nih koraka.

1. Iz opisa fizikalnog modela procjenjuje se uzrok gibanja fluida, na osnovu �ega se problem razvrstava ili u prisilnu ili u slobodnu konvekciju.

2. Izbor prikladne formule vrši se u skladu sa zadanim geometrijskim oblikom fizikalnog modela: a) Da bi se odredio oblik strujanja (laminaran ili turbulentan) najprije se prema propisanoj referentnoj temperaturi uzimaju fizikalna svojstva fluida iz toplinskih tablica. b) Izra�una se Pr broj. c) U skladu s uzrokom strujanja izra�una se:

- Re broj, ako se radi o prisilnoj konvekciji, ili - Gr broj, ako se radi slobodnoj konvekciji.

d) Zatim se procjenjuje oblik strujanja prema propisanom kriteriju : − za prisilno strujanje: Re < Rek laminarno, ili Re > Rek turbulentno. − za slobodnu konvekciju: GrPr < (GrPr)k laminarna, ili GrPr > (GrPr)k

turbulentna . U op�em slu�aju taj postupak ne dovode do jednozna�nog izbora formule, ve� je potrebno provjeriti daljnje kriterije koji su navedeni uz takav model, odnosno pripadnu formulu.

I. PRISILNA KONVEKCIJA

A. ZATVORENA STRUJANJA A1. Strujanje u cijevi kružnog presjeka Kriterij strujanja Za prora�un prijelaza topline usvojen je pojednostavljen kriterij strujanja u obliku Rek = 3000. S ovim kriterijem treba usporediti vrijednost Reynoldsovog broja, koja je izra�unata na osnovu zadanog problema, Re = wd/ν, gdje je w (m/s) proto�na brzina, d (m) unutarnji promjer cijevi, a ν (m2/s) kinemati�ki viskozitet. Ako je Re < Rek, tada je strujanje laminarno. Ako je Re > Rek, tada je strujanje turbulentno. A1.1 Laminarno strujanje u cijevi U tehni�kim uvjetima uspostavlja se ovakav oblik naj�eš�e pri strujanju kapljevina, kod kojih je potrebna zamjetna ulazna dužina termi�kog oblikovanja, Lt, da bi svi slojevi kapljevine u nekom presjeku sudjelovali u izmjeni topline. Zato se u praksi naj�eš�e koristi formula koju su preporu�ili Sieder i Tate, a koja vrijedi za

kratke cijevi: 14031

861,

s

/

Ld

Pe,d

Nu ���

�

�

µµ

��

�

�=λ

α=

(Sieder i Tate) (6)

11

Uvjeti za upotrebu formule:

- konstantna temperatura cijevi: ϑs = konst., - fluidi: 0,48 < Pr < 16700, - kratke cijevi: Pe(d/L) > 10, - referentna temperatura: ϑm = 0,5(ϑ1 + ϑ2), za sva svojstva fluida osim za µs koji se

uzima prema temperaturi stijenke, ϑs. - smjer toplinskog toka: 0,004 < (µ/µs)0,14 < 9,75.

Napomena: podru�je vrijednosti korekcijskog faktora za smjer toplinskog toga sprije�ava uporabu formule na one slu�ajeve kod kojih se, zbog velike razlike temparatura fluida i stijenke, mora uzeti u obzir i utjecaj slobodne konvekcije. Takvi slu�ejevi se ne pojavljuju u zadacima. U slu�ajevima kada dužina cijevi L nije unaprijed poznata ve� slijedi na kraju ra�una, mora se L pretpostaviti (procijeniti), a kasnije provjeriti. Ra�un se ponavlja sve dok su po�etna pretpostavka za L i kona�ni rezultat za L zamjetno razli�iti (iterativni ra�un). Premda je formula Siedera i Tatea (6) vezana uz uvjet ϑs = konst. ona se smije upotrijebiti i za rješavanje zadataka u kojima taj uvjet nije ispunjen. Duge cijevi. Treba koristiti poluempirijsku formulu od Hausena:

( )( )[ ] 32401

06680663 /PeL/d,

PeL/d,,Nu

++=

(Hausen) (7)

Za L → � slijedi Nu→ 3,66 što odgovara teorijskom rješenju za termi�ki oblikovano laminarno strujanje i ϑs = konst. Fizikalna svojstava treba uzeti za ϑm= 0,5(ϑ1 + ϑ2). ...................................................................................................................................................... A1.2 Turbulentno strujanje u cijevi U praksi se pretežno susre�emo s turbulentnim strujanjem fluida, posebno pri strujanju plinova. Turbulentne oscilacije poja�avaju prijelaz topline, pa su i vrijednosti Nu broja ve�e nego kod laminarnog strujanja. I u ovom slu�aju treba voditi ra�una o dužini cijevi L, jer je na ulaznom dijelu cijevi koeficijent prijelaza topline bitno ve�i. To je podru�je termi�ki neoblikovanog strujanja, kada svi slojevi nisu zahva�eni izmjenom topline. Obi�no je dovoljna relativno mala dužina cijevi da bi izmjena topline zahvatila cijeli presjek strujanja. Kada je temperatura stijenke konstantna (ϑs = konst.) ili je to gusto�a toplinskog toka (qs= konst.) tada nastaje termi�ki oblikovano strujanje kod kojeg je koeficijent prijelaza topline konstantan (� = konst.). Jednadžbe za odre�ivanje Nu broja, koje �emo koristiti pri rješavanju problema, po�ivaju jednom od ta dva uvjeta na stijenci. Dužina termi�kog oblikovanja, Lt, iznosi od 10 do 50 promjera cijevi. Radi jednostavnosti, pri rješavanju �emo se koristiti jednozna�nim kriterijem da je Lt = 40 d, gdje je d unutarnji promjer cijevi.

12

Kriterij oblikovanosti strujanja usporedba zadane dužine cijevi L s dužinom termi�kog oblikovanja, Lt: - kratka cijev: ako je L < Lt = 40d, strujanje je termi�ki neoblikovano, - duga cijev: ako je L > Lt = 40d, strujanje je termi�ki oblikovano;

(utjecaj ulaznih efekata je zanemariv).

Kratke cijevi:

18131800360

//,

Ld

PrRe,Nu ��

�

�=

(Nusselt) (8)

Duge cijevi:

( )1PrRe74,11RePr0398,0125,0

75,0

−+= −Nu (Petukhov) (9)

. A2. Strujanja kroz nekružne presjeke - ekvivalentni promjer Prethodne formule primjenjuju se i kod strujanja kroz presjeke strujanja koji nisu kružni. Kako u tim slu�ajevima ne postoji unutarnji promjer d potrebno je stvarno strujanje aproksimirati sa sli�nim strujanjem kroz fiktivnu cijev ekvivalentnog promjera, dekv. Prora�un za fiktivnu cijev provodi se samo radi odre�ivanja Nu broja, odnosno �. Za daljni prora�un izmjene topline kroz površinu izme�u fluida i stijenke vrijedi stvarna geometrija strujanja. Ekvivalentni promjer definiran je s relacijom:

OA

d ekv

4=,

(10) gdje je A (m2), površina presjeka strujanja, a O (m), je opseg tog presjeka.

13

A = a2 A = a ⋅ b

α

α

a

a

a

b

KVADRATNI PRAVOKUTNI

PRSTENASTI

O =2 (a +b)

baab

dekv += 2adekv =

O = 4a

( )22

4dDA −π=

( )dDO +π=

dDdekv −=d

Dα

A

Slika 1. Ekvivalentni promjeri

B. OTVORENA STRUJANJA B1. Popre�no nastrujane cijevi Strujanje oko cilindra vrlo je kompleksno i zbog toga teško predvidivo. Na naletnom dijelu oblikuje se laminarni oblik strujanja, dok je na stražnjem dijelu stujanje turbulentno. Zbog toga se ovdje ne koristi kriterij strujanja u obliku Reynoldsovog Rek. Iz istih razloga teorijsko rješavanje prijelaza topline je vrlo otežano, pa se prora�uni oslanjaju na empirijske formule. Reynoldsov broj se definira s vanjskim promjerom cijevi, d, i brzinom fluida, wo, ispred cijevi (neometano strujanje).

ν= dw

Re 0

. (11) Fizikalna svojstva treba uzeti prema prosje�noj temperaturi, ϑm = 0,5( ϑs + ϑo), gdje je ϑs temperatura cijevi, a ϑo temperatura fluida ispred cijevi.

14

B1.1 Popre�no strujanje na jednu cijev Formula od Žukauskasa:

41 /

s

onm

PrPr

PrReCd

Nu ���

�

�=

λα=

, (12) koja vrijedi za ove uvjete: 0,7 < Pr <500 , (Prs za ϑs, Pro za ϑo), n = 0,37 (za Pr < 10) , ili n = 0,36 (za Pr > 10), 1 < Re < 106

wo

ϑo

ϑs

α

d

Slika 2. Strujanje popreko cijevi

TEBELA I - Vrijednosti konstante C i eksponenta m u jednadžbi (12)

Podru�je Re broja C m

1 – 40 0,75 0,4

40 – 1000 0,51 0,5

103 - 2·105 0,26 0,6

2·105 - 106 0,076 0,7

B1.2 Popre�no strujanje na snop cijevi Snopovi cijevi koriste se u mnogim izmjenjiva�ima topline, a razmještaj cijevi može biti paralelan ili naizmjeni�an (šahovski), to bitno utje�e na brzinu strujanja. Zato se u ovim slu�ajevima Re broj odre�uje prema prosje�noj maksimalnoj brzini fluida, koja se javlja na mjestu minimalne slobodne površine unutar snopa. Reynoldsov broj se odre�uje prema brzini wm, koja ovisi i o rasporedu cijevi:

ν= dw

Re m

. (13) Za paralelni raspored cijevi u snopu vrijedi:

dSS

wwT

Tm −

= 0, (14)

15

ϑo

wo SL

ST

d

wo

ϑs

α

Slika 3. Paralelan raspored cijevi

ϑo

wo

SL

SD

d

wo

ϑs

ST

α

Slika 4. Naizmjeni�an raspored cijevi

Za naizmjeni�an raspored važna je dijagonalna udaljenost, SD:

( )[ ]222 2/SSS TLD += (15) Postoje dva slu�aja:

Ako je: 2(SD − d) > (ST − d), tada vrijedi jednadžba: dS

Sww

T

Tm −

= 0

, (14)

Ako je: 2(SD − d) < (ST − d), treba ra�unati wm iz jednadžbe: ( )dS

Sww

D

Tm −

=20

, (16) Žukauskas je za takve slu�ajeve predložio novu formulu (17), umjesto jednadžbe (12):

41

031

/

s

/m

PrPr

PrReCd

Nu ���

�

�=

λα=

, (17)

vrijedi uz ove uvjete: 0,7 < Pr <500, 1 < Re < 106 (Re i Pr za ϑm, Prs za ϑs, Pr0 za ϑ0 )

16

TABELA II - Vrijednosti konstante C i eksponenta m PARALELAN IZMJENI�AN

Podru�je Re C m C m

1 - 40 0,8 0,40 0,40

40 - 1000 Primijeniti prora�un za jednu cijev - jednadžba (12)

(ST/SL< 0,7) → izbjegavati (za ST/SL< 0,2) : C = 0,35(ST/SL)1/5 0,60

103 - 2·105 (za ST/SL> 0,7): C = 0,27 0,63 (za ST/SL> 0,2) : C = 0,40 0,60

2·105 - 106 0,021 0,84 0,84

B2. Ravna vertikalna stijenka Za prisilno strujanje pored ravne vertikalne stijenke dužine L obi�no se uzima kriterijski Reynoldsov broj Rek = 500 000. Temperatura stijenke je ϑs = konst., a dovoljno daleko od stijenke (neometano strujanje) temperatura je ϑo i brzina fluida w. Fizikalna svojstva treba uzeti za prosje�nu temperaturu ϑm = 0,5(ϑs+ϑo). B2.1 Laminarno strujanje:

31216640 // PrRe,

LNu =

να=

, (18) Re = wL/ν < Rek = 500 000

. B2.2 Turbulentno strujanje:

318003250 /, PrRe,

LNu =

να=

, (19) Re = wL/ν > Rek = 500 000

17

II. SLOBODNA (PRIRODNA) KONVEKCIJA

Pri slobodnoj konvekciji nema prisilne brzine fluida, w, ve� se gibanje fluida ostvaruje prirodno, zbog razlike gusto�e. U tim slu�ajevima važan je utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida, pa se kriterij forme strujanja definira u obliku produkta Grashofovog i Prandtlovog broja, tj. Rayleighovog broja, Ra = GrPr. (Vidi definicije Gr, Pr i Ra u uvodu). Grashofova zna�ajka: - za kapljevine:

2

30

ss

s gHGr

νρρ−ρ=

, (20) - za plinove:

2

3

0

0

s

s gHT

TTGr

ν−=

, (21)

Fizikalna svojstva treba uzeti u skladu s indeksom: - indeks "s" , prema temperaturi

stijenke ϑs, - indeks "o" , prema temperaturi fluida

ϑo. Fizikalna svojstva, koja se javljaju u Nu i Pr broju treba uzeti za prosje�nu temperaturu, ϑm= 0,5(ϑs+ϑo).

C. Vertikalna ravna stijenka Vertikalna stijenka visine H i konstantne temperature ϑs u dodiru je s miruju�im fluidom (kapljevinom ili plinom) temperature ϑo. C1.1 Laminarno strujanje: ako je Ra = GrPr < 108 :

( ) 41520 /PrGr,

HNu =

λα=

, (22) C1.2 Turbulentno strujanje: ako je Ra = GrPr > 108

( ) 31170 /PrGr,

HNu =

λα=

. (23)

H

ϑs, ρs

ϑo, ρo

"miruju�i fluid"

GRIJANJE FLUIDAϑs > ϑo

α

Slika 5. Slobodna konvekcija

C2. Horizontalna cijev Za slobodnu konvekciju fluida temperature ϑo, oko horizontalne cijevi vanjskog promjera d i temperature stijenke ϑs, vrijedi za podru�je Ra = GrPr > 103 slijede�a formula :

18

( ) 41410 /PrGr,H

Nu =λ

α=. (24)

d

ϑs

ϑo

"miruju�i fluid"α

Grijanje fluidaϑs > ϑo

Slika 6. Slobodna konvekcija na horizontalnoj cijevi

D. KONDENZACIJA Kondenzacija nastupa kada je temperatura stijenke, ϑs, manja od temperature zasi�enja, ϑ ,́ pare s obzirom na tlak p pod kojim se para nalazi. Prema na�inu oblikovanja kondenzata razlikujemo dva tipa kondenzacije: filmsku i kaplji�astu. Ovdje se navode samo slu�ajevi filmske kondenzacije. D1. Filmska kondenzacija Kada na stijenci nastaje kontinuirani sloj kondenzata, koji pod utjecajem gravitacije otje�e niz stijenku, govorimo o filmskoj kondenzaciji. Rije� film ukazuje na malu debljinu sloja kondenzata, a ta je �injenica omogu�ila Nusseltu da, uz neka pojednostavljenja, dobije analiti�ko rješenje prijelaza topline pri kondenzaciji.

19

D1.1 Kondenzacija na vertikalnoj stijenci

K

Ts

1

s

1'

s

pH

x

wx

ϑ

y

�

g

ϑ s

T´ 1''Tp

T

( ) hhssTq ′′−′=′′−′=

qpot ≈ 0 hhqpreg ′′−= 1

w∞= 0

pregrijana paraρp , ϑp , p

kondenzat

stvarni profilbrzine wx

s 1' 1''

ϑ p

1

ααhλ s

ϑ ′

ϑ h

rashladno sredstvo

As = bH

qs

d

( ) ( )ϑ′−ϑα=ϑ′−ϑ= shs kq

Slika 7. Filmska kondenzacija na vertikalnoj stijenci

Prosje�ni Nusseltov broj, za stijenku visine H i temperature ϑs, na kojoj kondenzira pregrijana para entalpije h, ili suhozasi�ena para entalpije h˝, može se izra�unati prema formuli:

4

3

)(434

H g h

=�

H =Nu

sϑ−ϑ′νλρ∆α

, (25) odnosno, za prosje�ni koeficijent prijelaza vrijedi kona�na formula:

H g h

=s

4

3

)(434

ϑ−ϑ′νλρ∆α

, W/(m2 K), (26) gdje je za pregrijanu paru �h = h − h ,́ a za suhozasi�enu paru �h = h˝ − h .́ Temperatura zasi�enja ϑ' odre�ena je tlakom pare, p. Fizikalna svojstva kondenzata: ρ, λ, � i ν = �/ρ, uzimaju se za srednju temperaturu kondenzata: ϑm = 0,5(ϑ′ + ϑs). Temperaturu stijenke ϑs treba pretpostaviti za prora�un. Zbog te pretpostavke jednadžba (26) ne daje to�nu vrijednost koeficijenta �, pa tako ni vrijednost gusto�e toplinskog toka predanog stijenci:

( )ϑ′−ϑα= ssq , W/m2, (27) koji još dodatno ovisi o pretpostavci temperature ϑ′. Rješenje se mora tražiti iterativno, tj. ponavljanjem prora�una uz promjenu pretpostavke. Ra�un se kontrolira pomo�u jednadžbe za gusto�u toplinskog toka:

20

( )ϑ′−ϑ= hs kq , W/m2, (28) gdje je k koeficijent prolaza topline:

111

−

���

�

�

α+

λ+

α=

sh

dk

, W/(m2 K). (29)

Ovdje je �h koeficijent prijelaza topline na strani rashladnog sredstva, d debljina stijenke, a λs koeficijent vodljivosti topline stijenke.

U jednadžbi (28) je utjecaj pretpostavljene temperature ϑ′ uklju�en samo preko koeficijenta k, a ne neposredno u razlici temperatura. Zato �e iz te jednadžbe izra�unata vrijednost za qs biti mnogo to�nija od one prema jednadžbi (27). Rezultat za qs iz (28) treba uvrstiti u jednadžbu (27) koja sada omogu�ava dobivanje to�nijeg podatka za ϑ′ (kontrolni rezultat). S tom se temperaturom, kao novom pretpostavkom, ra�un ponavlja sve dok razlika izme�u pretpostavke i kontrolnog rezultata za ϑ′ ne bude zanemariva. Jednadžba (26) može se koristiti i za odre�ivanje � pri kondenzaciji na vertikalnim cijevima, ili unutar cijevi ako unutarnji promjer cijevi, du, nije malen. D1.2 Kondenzacija na horizontalnoj cijevi Za horizontalnu cijev vanjskog promjera dv i dužine L može se prosje�ni koeficijent prijelaza topline izra�unati prama jednadžbi:

T T d g h

=sv

4

3

)(4 −′νλρ∆α

, W/(m2 K). (30)

1

Prijenos topline toplinskim zračenjem Sva tijela permanentno emitiraju energiju procesom elektromagnetskog zračenja. Intenzitet takvog zračenja ovisi o temperaturi tijela i stanju njegove površine. Za primjer uzmimo sjedenje pored otvorene vatre. Najviše će se topline do nas prenijeti zračenjem. Zračenje izaziva smeđu boju tosta u električnom tosteru, i grije nas prilikom šetnje na suncu. Primjeri otvorenog frižidera i težeg podnošenja vrućine kad se nakon nekoliko dana zagriju zidovi. Napravimo eksperiment s jednim zatvorenim sustavom koji čine tijelo potpuno zatvoreno od strane drugog tijela sl. 11.1. a između njih je osiguran zrakoprazni prostor (vakuum). Ako je temperatura tijela 1 veća od temperature tijela 2, postoji potencijal za prijelaz topline s tijela 1 na tijelo 2. Međutim kako je između tijela 1 i tijela 2 vakuum, na osnovu dosadašnjih znanja o prijelazu topline (kondukcija, konvekcija), mogli bismo zaključiti da ne postoje dovoljni uvjeti da se prijelaz topline i ostvari. Naime kondukcija zahtijeva određenu materiju kako bi se toplina prenosila s jedne čestice na drugu, dok konvekcija također treba fluid posrednik, čije će čestice prenijeti toplinu s jednog tijela na drugo. Pa ipak kad bi promatrali takav zatvoreni sustav primijetili bi da se nakon određenog vremena temperature tijela 1 i 2 izjednačile, što bi bio dokaz da se između ta dva tijela dogodio prijelaz topline. Slika 11.1. Kao što smo već rekli svako tijelo emitira određene elektromagnetske valove koji nastaju kao rezultat titranja elektrona oko jezgre atoma. Kao što smo već prije rekli svako tijelo ima svoj toplinski potencijal, koji je rezultat brzine titranja elektrona oko atomske jezgre a koji se makroskopski manifestira kroz temperaturu. Svako tijelo prima ili odaje energiju u nedjeljivim dijelovima energije koji se zovu fotoni ili kvanti. Pošto su to vrlo male energijske veličine prijenos topline zračenjem možemo smatrati kao kontinuirani spektar elektromagnetskih valova. Za njihovo širenje nije potreban nikakav posrednik, pa se oni mogu širiti i u vakuumu. Kozmičke zrake <0,3 pm γ zrake 0,3-10 pm X zrake 0,01-3 nm Ultraljubičaste zrake 3-400 nm Vidljive zrake 0,4-0,7 μ m

2

Infracrvene zrake 0,7-100 μ m Mikrovalovi 0,1-300 mm Kratki radio i TV valovi 300 mm – 100 m Dugi radio valovi 100 m – 30 km Elektromagnetski spektar Toplinsko zrake se javljaju u dijelu elektromagnetskog spektra čije su valne duljine aproksimativno od 0,1 do 100 μ m te se poklapaju s dijelom ultraljubičastog, cjelokupnim vidljivim i infracrvenim zračenjem. Kao takve one pokazuju sva svojstva valova kao i ostale zrake tj. imaju svoju brzinu c, valnu duljinu λ i frekvenciju ν s tim da vrijedi relacija: λν=c (11.1.) Frekvencija vala ν ostaje konstantnom, dok se brzina, a s njom i valna duljina λ , mijenjaju zavisno od tvari kroz koju val prolazi. Najveća brzina biti će u vakuumu i iznosi c~3*108 m/s. Treba napomenuti da elektromagnetski spektar uključuje veliki broj valova koji prenose energiju, od kojih su oni toplinski samo jedan mali dio. Sveukupno zračenje koje dolazi s površine nekog tijela zove se svjetloća površine. Ona se sastoji od vlastitog emitiranog zračenja, reflektiranog zračenja i propuštenog zračenja. Vlastito emitirano zračenje ima izvor u promatranom tijelu, a reflektirano i propušteno zračenje imaju izvor u drugom tijelu koje je s promatranim u interakciji. Vlastito emitirano zračenje krutih i kapljevitih tijela uglavnom se, uz neke iznimke (prozirna tijela od stakla kristalnih soli i sl.), tretira kao površinski fenomen, i to zbog toga što zračenja pojedinih atoma u unutrašnjosti tijela bivaju odmah apsorbirana od strane drugih atoma koji su veoma blizu. Tek atomi koji se nalaze na površini, zrače slobodnu energiju koja se može zračenjem prenositi na druga tijela. Jednoatomni i dvoatomni plinovi su potpuno prozračni, tj. oni propuštaju svo zračenje i nemaju mogućnost apsorpcije i sami ne zrače. Kod višeatomnih plinova (H2O, CO2 i sl.) to nije slučaj. Oni apsorbiraju, i u nekim dijelovima spektra, sami emitiraju, što se naziva selektivnim zračenjem. Kod njih se zbog manje gustoće atoma (u odnosu na kapljevine i krutine), zračenje tretira kao volumenski fenomen. To znači da kod zračenja sudjeluju ne samo atomi na površini već i oni u dubini. Sličan je slučaj i s prozirnim krutim tijelima (staklo). Kao što smo već rekli postoje razne vrste zračenja, no mi ćemo se usredotočiti na zračenje koje je jednoznačno određeno temperaturom tijela i svojstvima i stanjem njegove površine. Takvo zračenje nazivamo temperaturnim zračenjem. S obzirom na način na koji se ponašaju s obzirom na temperaturno zračenje razlikujemo nekoliko osnovnih vrsta površina (sl. 11.2.):

3

Slika 11.2.

a. Glatka površina – ponaša se tako da se dio zračenja reflektira, pod istim kutom α u odnosu na normalu kao što je kut upadne zrake, a preostali dio zračenja prodire u unutrašnjost pod drugim kutom α '.

b. Hrapava površina – dio prispjelog zračenja difuzno reflektira, a preostali dio difuzno apsorbira

c. Zrcalna površina (sjajna) – cjelokupno prispjelo zračenje reflektira pod istim kutom α u odnosu na normalu kao što je kut upadne zrake

d. Bijela površina – cjelokupno pristiglo zračenje difuzno reflektira e. Crna površina – cjelokupno pristiglo zračenje difuzno apsorbira f. Površina koja bi cjelokupno prispjelo zračenje apsorbirala na način kao na slici

f – ne postoji Ako razmotrimo bilancu energije koja pristigne na neko tijelo, toplinskim tokom Φ , onda općenito možemo reći, da se ona razdijeli na dio koji se reflektira (koeficijent refleksije r), dio koji tijelo apsorbira (koeficijent apsorpcije a), i dio koji tijelo propusti (koeficijent dijatermije d). Slika 11.3. Φ+Φ+Φ=Φ dar (11.2.) Relacija (11.2.) nakon skraćivanja prelazi u oblik: dar ++=1 (11.3.) Za veliku većinu materijala u inženjerskoj praksi vrijedi pravilo da ne propuštaju toplinske zrake tj. da je d=0 pa relacija (11.3.) prelazi u oblik: ar +=1 (11.4.)

4

Iz relacije (11.4.) se jasno vidi da će koeficijenti r i a poprimiti vrijednosti između 0 i 1. Vrijednost koeficijenta refleksije r za realna tijela ovisiti će o vrsti tijela, svojstvima njegove površine ali i o vrsti medija s kojim ta površina graniči. Koeficijent apsorpcije a će pak ovisiti o prirodi stjenke, njezinoj temperaturi, valnoj duljini λ pristiglog zračenja, ali neće ovisiti o intenzitetu pristiglog zračenja. Idealizirano, ako je koeficijent r=1 tada će koeficijent a biti jednak 0, što će reći da se radi o tijelu koje cjelokupno pristiglo zračenje reflektira, i takvo se tijelo naziva bijelim tijelom. Suprotno, ako se radi o tijelu kojemu je koeficijent r=0 tj. a=1, onda takvo tijelo apsorbira cjelokupno pristiglo zračenje i naziva se crnim tijelom. Crno tijelo može predstavljati jedna idealizirana izotermna šupljina (sl. 11.4.) koja potpuno apsorbira pristiglo zračenje (na osnovu velikog broja refleksija upadne zrake), i to bez obzira radi li se o visokoreflektirajućoj ili visokoapsorbirajućoj površini unutar šupljine. U prirodi se, najbliže svojstvima crnog tijela ponaša crni ugljik i inje. Inje apsorbira veliku većinu energije pristigle zračenjem, ali samo do trenutka dok se ne pretvori u tekuću vodu. Osim što je idealni apsorber, crno tijelo je i idealni emiter, tj. ne postoji tvar u prirodi čija površina može, za zadanu temperaturu i valnu duljinu, emitirati više zračenja od površine crnog tijela. Slika 11.4. Intenzitet vlastitog emitiranog zračenja crnog tijela (spektralna raspodjela) cI ,λ

izraženog u W/m3 odnosno u mmW μ2/ opisao je Max Planck relacijom:

( )[ ]1/exp2

05

20

, −=

kThchc

I c λλλ (11.5.)

Gdje je h=6,6256*10-34 Js Planckova konstanta, k=1,3805*10-23 J/K Boltzmannova konstanta, c0=2,998*108 m/s brzina svjetlosti u vakuumu, a T termodinamička (apsolutna) temperatura izražena u K. Kako je zračenje crnog tijela difuzno, integriranjem intenziteta zračenja po poluprostoru (polukugla) dobivamo raspodjelu energije zračenja crnog tijela ovisnu o temperaturi i valnoj duljini, ili tzv. Planckovu raspodjelu:

( ) ccc IIddTE ,,

2

0

2/

0, cossin, λλ

π π

λ πϕϕϕλ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ= ∫ ∫ ( )[ ]1/exp

2

05

20

−=

kThchcλλ

π (11.6.)

5

Slika 11.5. Slika 11.5. prikazuje Planckovu raspodjelu prema jednadžbi (11.6.). Vidljivo je nekoliko činjenica:

• Emitirano se zračenje, kao funkcija valne duljine, kontinuirano mijenja • Za svaku valnu duljinu, vrijednost emitiranog zračenja raste s porastom

temperature • Spektralno područje unutar kojeg je koncetriran dominantni iznos

emitiranog zračenja ovisi o temperaturi crnog tijela, pa se njezinim porastom dominantni dio zračenja javlja u području spektra kraćih valnih duljina.

• Značajni dio emitiranog zračenja od Sunca, kojeg se može aproksimirati crnim tijelom temperature T~5800K, javlja se unutar vidljivog spektra. Suprotno tome kako padaju temperature crnog tijela, sve dominantniji dio emitiranog zračenja pada u infracrveno, za oko nevidljivo područje spektra zračenja.

Na osnovi relacije (11.6.) i postojanja ekstrema Wilhelm Wien je (uzevši

0, =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

T

c

ddEλλ ) utvrdio da za vrijednosti valnih duljina gdje je max. emitirano zračenje

crnog tijela vrijedi relacija:

[ ]mTm μλ 8,2897

= (11.7)

što se naziva Wienovim zakonom pomaka. On nam pokazuje, da s porastom temperature, maksimum spektralne emisije pada u područje manjih valnih duljina. Kao što smo već rekli, crno tijelo emitira zračenje na svim valnim duljinama. To znači da ako integriramo jednadžbu (11.7.) po svim valnim duljinama dobit ćemo jednadžbu vlastitog emitiranog zračenja crnog tijela:

6

4

0, TdEE cc σλ

λ

λλ == ∫

∞→

=

(11.8.)

Jednadžba (11.8.) predstavlja Stefan-Boltzmannov zakon gdje je konstanta

428 /10*67,5 KmW−=σ . Jednadžba (11.7.) pokazuje da vlastito emitirano zračenje ovisi samo o temperaturi crnog tijela. Napomenimo da vlastito emitirano zračenje realnih tijela pored temperature ovisi i o osobinama površine. Često je jednadžbu (11.8.) pisati u obliku:

4

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TCE cc (11.9.)

Gdje je

( )424 100/67,5100 KmWCc == σ Za zračenje crnog tijela vrijedi Lambertov kosinusni zakon: ϕϕ cos,, ncc EE = (11.10.) gdje je ϕ kut otklona pravca od normale na površinu. Jednadžba (11.10.) implicitno kaže da je zračenje crnog tijela najjače izraženo u smjeru normale na njegovu površinu. Zračenje realnih površina (necrnih tijela) Kako smo po definiciji rekli da je crno tijelo idealni emiter, to znači da ne postoji realno tijelo čija će površina emitirati više zračenja nego što ga emitira crno tijelo. Stoga uvodimo pojam emisijskog koeficijenta ε koji predstavlja omjer između vlastitog emitiranog zračenja realne površine i vlastitog emitiranog zračenja crnog tijela pri istoj temperaturi. Emisijski koeficijent ε možemo shvatiti i kao pokazatelj koliko se realni proces vlastite emisije približio teoretski mogućem. Njegova vrijednost praktički proizlazi iz definicije i kreće se između 0 i 1. U načelu se spektralno zračenje realne površine razlikuje od Planckove distribucije. Slika 11.6. prikazuje jednu raspodjelu spektralnog zračenja ( )TE ,λλ realne površine i crnog tijela ( )TE c ,, λλ za istu temperaturu. Slika 11.7. pak pokazuje odnos spektralne raspodjele intenziteta zračenja realnog površine i crnog tijela a s obzirom na kut .ϕ

7

Slika 11.6. Slika 11.7. Dok je zračenje crnog tijela difuzno i ne ovisi o kutu, dotle zračenje realne površine jako varira ovisno o kutu .ϕ Zbog toga se praktičnim pokazalo izražavati prosječni emisijski koeficijent ε za cijelu površinu. On obuhvaća emisijske koeficijent na svim valnim duljinama i svim smjerovima i definira se kao:

( ) ( )( )TETET

c

=ε (11.11.)

Za teoretsko bi izračunavanje emisijskog koeficijenta ε bilo potrebno poznavati funkcijske zavisnosti ( )T,λελ i ( )TE ,λλ za realnu površinu. Kako je to vrlo delikatno, obično se prosječni emisijski faktori za pojedine površine određuju eksperimentalno pa se pomoću njih može izračunati vlastito emitirano zračenje necrne površine:

( ) ( ) ( )TETTE cε= ( )4

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TCT cε (11.12.)

Kirchhoffov stavak Slika 11.8. prikazuje dvije međusobno suprotne stjenke iste površinske temperature T. Jedna od njih je crno tijelo (a=1) a druga je realna površina (a<1). Stjenke su međusobno spojene dvjema idealnim zrcalima (r=1) i čine s njima adijabatski sustav. Slika 11.8.

8

Svjetloću površine crne stjenke čini samo njeno vlastito emitirano zračenje Ec(T), dok svjetloću realne površine čine vlastito emitirano zračenje E(T) i reflektirano zračenje rEc(T), a pošto je r = 1-a slijedi da je reflektirano zračenje ustvari (1 – a) Ec(T). Kako zbog iste temperature T obje površine moraju biti u toplinskoj ravnoteži mora biti zadovoljen uvjet da svaka površina apsorbira upravo ono zračenje koje i emitira pa vrijedi: E(T) = a (T,T) Ec(T) (11.13.) Ako iz jednadžbe (11.13.) izrazimo a(T,T):

( ) ( )( )TETETTa

c

=, (11.14.)

Usporedbom jednadžbi (11.14.) i (11.11.) dolazimo do zaključka: ( ) ( )TTTa ε=, (11.15.) Što će reći da za svako tijelo vrijedi da mu je emisijski faktor jednak apsorpcijskom kod iste temperature. Za realne površine bit će a=ε <1, dok će za crne površine vrijediti a=ε =1. Izmijenjeni toplinski tok zračenjem između dviju bliskih stjenki Slika 11.9. Vlastito emitirano zračenje iznosi:

4

111 100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= s

cT

CE ε odnosno 4

222 100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= s

cT

CE ε (11.16.)

Svaka stjenka emitira svoju cjelokupnu svjetloću površine, odnosno pored vlastito emitiranog, emitira drugoj i reflektirano zračenje. Tako će biti: 2111 KrEK += (11.17.)

9

1222 KrEK += (11.18.) Uvrstivši (11.18.) u (11.17.) dobivamo:

111 rEK += ( )122 KrE +

21

2111 1 rr

ErEK−+

= (11.19.)

Uvodeći činjenicu da je za svaku površinu r = 1 – a = 1 - ε

( )( )( )21

2111 111

1εε

ε−−−

−+=

EEK ( )2121

211 1εεεε

ε−+−+

=EE (11.20.)

Analognom analizom dobivamo:

( )1212

1222

1εεεε

ε−+−+

=EEK (11.21.)

Ako pretpostavimo da je Ts1>Ts2 , onda će toplinski tok biti od površine 1 prema površini 2. Postavljanjem I gl. stavka bilo za stjenku 1 bilo za stjenku 2 dobivamo izraz za toplinski tok: 21112 AKaAE −=Φ (11.22.) U jednadžbi je uzeta pretpostavka da cjelokupna svjetloća površine K2 pogađa stjenku 1. Uz 11 ε=a i uključivanjem (11.21.) u (11.22) dobivamo:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

−=Φ1212

1221112

1εεεε

εε

EEEA =

2121

2112

εεεεεε−+− EEA (11.23.)

Dijeljenjem brojnika i nazivnika s 21εε dobivamo:

111

21

2

2

1

1

12

−+

−=Φ

εε

εεEE

A (11.24.)

Iz jednadžbe (11.16) možemo izraziti:

4

1

1

1

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= s

cT

CEε

odnosno 4

2

2

2

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= s

cT

CEε

(11.25.)

10

Ako to uvrstimo u jednadžbu (11.24.) dobivamo:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=Φ

42

41

21

12 100100111ssc TTAC

εε

(11.26.)

Izmijenjena gustoća toplinskog toka zračenjem dobije se dijeljenjem toplinskog toka s površinom:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

Φ=

42

41

21

1212 100100111

ssc TTCA

q

εε

(11.27.)

Jednadžbe (11.26.) i (11.27.) možemo izraziti i u obliku:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

42

41

1212 100100ss TT

AC (11.28.)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

42

41

1212 100100ss TT

Cq (11.29.)

Veličina C12 predstavlja konstantu zračenja kombinacije ovih stjenki i definira se kao:

111

21

12

−+=

εε

cCC

cCCC111

1

21

−+= (11.30.)

Jednadžba (11.30.) pokazuje da je konstanta zračenja C12 kombinacije ovih stjenki manja nego svaka od konstanti cCC 11 ε= odnosno cCC 22 ε= Analizom jednadžbi (11.28.) i (11.29.) vidimo da se izmijenjeni toplinski tok može smanjiti smanjenjem emisijskog faktora bilo jedne bilo druge površine. Ako bi jedan od emisijskih faktora težio 0, što bi značilo da je pripadajuća površina izrazito „reflektirajuća“, cjelokupni toplinski tok bi također težio nuli. Zaključak je da „reflektirajuća“ površina predstavlja pri izmjeni topline zračenjem, izrazito veliki toplinski otpor. Ako je jedna od stjenki, crna površina, tada izmijenjeni toplinski tok značajno ovisi o emisijskom koeficijentu necrne stjenke. Za slučaj da je stjenka 1 crno tijelo ( )11 =ε :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=Φ

42

41

2

12 1001001111

ssc TTAC

ε⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

42

41

2 100100ss

cTT

CAε (11.31.)

11

iz čega se vidi da je bi konstanta zračenja za takvu kombinaciju stjenki bila: cCC 212 ε= (11.32.) što znači da je ona ovisna isključivo o emisionom koeficijentu necrne površine. Za slučaj da su obje stjenke crna tijela slijedi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

42

41

12 100100ss

cTT

AC =A(Ec1-Ec2) (11.33.)

pa je konstanta zračenje kod takve kombinacije: cCC =12 (11.34.) Bliske stjenke s međustjenkom (zaslonom, zastorom) Slika 11.10. Ako je potrebno smanjiti izmijenjeni toplinski tok zračenjem, a nije moguće smanjiti vrijednosti emisijskih koeficijenata stjenki, onda to možemo postići umetanjem međustjenke. Pri tome ona mora zadovoljiti slijedeće zahtjeve:

• Mora biti nepropusna za zračenje tj d'=0 što se postiže njezinom dovoljnom debljinom δ '.

• Ne postoji (zanemaruje se) gradijent temperature po debljini stjenke • Prostor između stjenki i međustjenke je evakuiran (vakuum) što osigurava da

ne postoji konvektivna izmjena topline • Emisijski koeficijent ε ' međustjenke je jednak na njene obje površine

Problem rješavanja stacionarnog toplinskog toka zračenjem započeti ćemo uvjetom da je toplinski tok od stjenke 1 na međustjenku jednak toplinskom toku od međustjenke na stjenku 2: q1' = q'2 = q' (11.35.)

12

Koristeći jednadžbu (11.27.) možemo pisati:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

441

1

100'

1001'

11' TTC

q sc

εε

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

42

4

2

100100'

11'

1sc TTC

εε

(11.36.)

Odakle slijedi izraz za temperaturu T':

( )

11'

11

1'

111

11'

11'

11

'

21

2

42

1

41

4

−++

−+

−++

−+=

εεεε

εεεε

ss TT

T (11.37.)

Uvrštavanjem (11.37.) u (11.36.) dobiva se izraz za gustoću toplinskog toka:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+

=4

24

1

21

1001001'

2111' ssc TTC

q

εεε

(11.38.)

Usporedbom (11.27.) i (11.38.) vidimo da se otpor toplinskom toku zračenjem

razlikuje za pribrojnik ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

'2ε

. Kako se međustjenka uvodi da bi se povećao toplinski

otpor zračenju, odnosno smanji toplinski tok, emisijski koeficijent međustjenke 'ε treba biti što manji. Obično se za takve među stjenke uzima tanka Al-folija koja ima

062,0≈ε . Iz prethodne analize vidljivo je da se nigdje ne spominje nikakva prostorna koordinata koja bi se odnosila na položaj međustjenke, što znači da je njezin položaj irelevantan. Bitno je jedino da on nije u fizičkom kontaktu s bilo kojom od stjenki jer bi se na taj način omogućila kondukcija. Konstanta zračenja za bliske stjenke s međustjenkom iznosi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+

=1

'2111

21

12

εεε

cCC (11.39)

Ako bi se između dvije stjenke postavilo n međustjenki tada bi analognom analizom došli do slijedećeg izraza za gustoću toplinskog toka:

( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+

=4

24

1

'21

'

10010012...1''

21'

2111ss

n

cn TTCq

εεεεε

(11.40.)

13

gdje pribrojnici ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

'2ε

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

''2ε

,…, ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −12

'nε predstavljaju doprinose pojedinih stjenki

ukupnom toplinskom otporu. Da bi kvalitativno vidjeli koliko je stjenki svrsishodno upotrijebiti za povećanje toplinskog otpora, pretpostavimo da svaka od njih ima jednaki emisijski koeficijent ε , a takav isti emisijski koeficijent imaju i stijenke 1 i 2. U tom slučaju vrijedi jednakost:

( )12

'

11 q

nq n

+= (11.41.)

Čiji bezdimenzijski oblik izgleda:

( )

11

12

'

+=

nqq n

(11.42.)

n ( )12

' / qq n 0 1 1 0,5 2 0,33 3 0,25 4 0,20

Tablica jasno pokazuje da svaka daljnja međustjenka (u datim uvjetima) ima relativno sve manji utjecaj na povećanje toplinskog otpora, pa se kao zaključak jasno nameće da nema smisla povećavati broj međustjenki u nedogled. Izmijenjeni toplinski tok kod modela obuhvaćenog tijela Slika 11.11.

14

Zbog lakše analize uzmimo neke pretpostavke:

• Tijela 1 i 2 su adijatermna (d1=d2=0) • S bilo kojeg elementa površine tijela 1 sveukupna svjetloća površine mora

pogađati površinu tijela 2, tj. površina tijela 1 mora biti ispupčena ili ravna tj. ne smije imati udubljenja

• S bilo kojeg elementa površine tijla 2 mora se vidjeti cjelokupni obris (kontura) tijela 1, tj. površina tijela 2 na sebi ne smije imati primjetne izbočine ili udubljenja, kako je to prikazano slikom. Ovaj zahtjev ne traži da površina A2 bude svugdje konkavna, jer se njezina eventualna mala ispupčenja ili udubljenja ne protive navedenom zahtjevu.

Vidljivo je iz slike da cjelokupna svjetloća tijela 1 pogađa tijelo 2, ali samo jedan dio (ω ) svjetloće tijela 2 pogađa tijelo 1, dok preostalim dijelom ( ω−1 ) pogađa samu sebe. Koeficijent ω naziva se vidni faktor i on isključivo ovisi o geometrijama tijela 1 i 2, dok se njegova vrijednost kreće u granicama 0<ω <1. Svjetloća tijela 1 se sastoji od vlastitog emitiranog zračenja i od reflektiranog zračenja nadolazeće svjetloće od tijela 2. 2211111 KArEAKA ω+= (11.43.) Svjetloća tijela 2 se sastoji od vlastitog emitiranog zračenja, reflektiranog zračenja cjelokupne svjetloće tijela 1 i od reflektiranog zračenja svjetloće tijela 2 koja pogađa samu sebe: ( ) 2221122222 1 KArKArEAKA ω−++= (11.44.) Uvodeći činjenicu da je za svaku površinu r = 1 – a = 1 - ε ( ) 2211111 1 KAEAKA ωε−+= (11.45.) ( ) ( )( ) 2221122222 111 KAKAEAKA ωεε −−+−+= (11.46.) Primjenom I gl. stavka na tijelo 1 dobiti ćemo: 2211112 KAaEA ω−=Φ 22111 KAEA ωε−= (11.47.) Uvodeći (11.45.) u (11.46.) dobijemo izraz za K2:

( )

( )212

2212

1

2 1

1

εωεε

ε

−+

+−=

EEAA

K (11.48.)

15

Uvodeći (11.48.) u (11.47.) dobivamo:

12Φ 2111 AEA ωε−=( )

( )212

2212

1

1

1

εωεε

ε

−+

+− EEAA

(11.49.)

Pretpostavimo nakratko da su tijela 1 i 2 crna tijela istih temperatura! Toplinski tok između njih će biti jednak 0, emisijski koeficijenti 121 == εε , a cEEE == 21 . Uz sve te pretpostavke, jednadžba (11.46.) sada izgleda: K2 = E2 (11.50.) A jednadžba (11.47.) daje nam izraz za geometrijski koeficijent ω :

2

1

22

11

AA

KAEA

==ω (11.51.)

Sada se natrag vratimo na početne pretpostavke (različite temperature, različiti emisijski koeficijenti, realne površine tijela) i uvedimo izraz (11.51.) u (11.49.)

12Φ 2111 AEA ωε−=( )

( )212

2212

1

1

1

εωεε

ε

−+

+− EEAA

2111 AEA ωε−=( )

( ) =−++−

212

221

11

εωεεεω EE

1111 AEA ε−=( )

( ) =−++−

212

221

11

εωεεεω EE ( )

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

−212

221111 1

1εωεε

εωε

EEEA

= ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−+−−+

212

222111121111211 1 εωεε

εεωεωεεωεωεε EEEEEEA

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

212

22211 1 εωεε

εε EEA (11.52.)

Dijeljenjem brojnika i nazivnika s 21εε dobiva se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=Φ

111

21

2

2

1

1

112

εω

ε

εεEE

A (11.53.)

Uvažavajući jednadžbu (11.16.) dobivamo:

16

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=Φ4

24

1

21

112 100100111

ssc TTCA

εω

ε

(11.54.)

Iz jednadžbe (11.54.) vidimo da konstanta zračenja za model obuhvaćenog tijela iznosi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=111

21

12

εω

ε

cCC (11.55.)

Analiza jednadžbe (11.55.):

• ↓Φ↑⇒ 12ω ? Ovdje moramo biti oprezni. Porast koeficijenta ω može značiti ili da raste površina A1 ili da se smanjuje površina A2. Ako je porast ω uzrokovan smanjenjem površine A2 onda je zaključak o smanjenju toplinskog toka 12Φ točan (jer je nazivnik veći). Ako je pak uzrok povećanja ω , povećanje površine A1 onda se i brojnik i nazivnik povećavaju ali toplinski tok 12Φ raste.

• A1<<A2 ⇒ ⇒→ 0ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

42

41

1112 100100ss

cTT

CA ε ; cCC 112 ε=

• A1= A2 ⇒ ⇒= 1ω ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=Φ=Φ

42

41

21

1min12 100100111

ssc TTCA

εε

(bliske stjenke)

• 12 =ε (crno tijelo) ⇒ ω nebitan ⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

42

41

1112 100100ss

cTT

CA ε ; cCC 112 ε=

Izmijenjeni toplinski tok obuhvaćenog tijela s umetnutom međustjenkom Slika 11.12. Za međustjenku trebaju vrijediti sve pretpostavke kao kod slučaja bliskih stjenki.

17

Polazimo od preduvjeta da je toplinski tok, k međustjenki i od nje, jednak: '21 Φ=Φ=Φ mm (11.56.) Sukladno jednadžbi (11.54.) možemo pisati:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

441

11

1 100'

1001'

11TTC

A s

m

c

εω

ε

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

42

4

22

100100'

11'

1' s

m

c TTCA

εω

ε

(11.57.) Gdje su koeficijenti površina m1ω i 2mω definirani kao:

'

11 A

Am =ω (11.58)

2

1'

AA

m =ω (11.59.)

Iz jednadžbe (11.57) slijedi izraz za T':

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

11''

11'

1'

1

11''

11'

1'

1

'

22

2

1

1

1

22

422

1

1

411

4

εεεε

εεεε

AA

A

AA

AAA

TA

AA

TA

T

ss

(11.60.)

čijim se uvrštavanjem u izraz za toplinski tok dobiva:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=Φ4

24

1

1

22

1

1

1

1001001

'2

'111

' ssc TT

AA

AA

CA

εεε

(11.61.)

Komparacijom (11.61.) i (11.54.) vidimo da je doprinos međustjenke ukupnom toplinskom otporu, sadržan u članu:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

'2

'1

εAA

Uočavamo da ovdje, za razliku od međustjenke kod bliskih stjenki, smještaj međustjenke ima značajan utjecaj (ako je međustjenka bliže tijelu 2 njena je površina A' veća). Što je stjenka bliže stjenci 2, smanjuje se toplinski otpor. Smanjenjem

18

emisijskog koeficijenta ε ', raste toplinski otpor. Ako je AAAA =≈≈ 21 ' jednadžba (11.61.) prelazi u oblik:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+

=Φ4

24

1

21

1

1001001'

2111' ssc TTCA

εεε

što odgovara jednadžbi za toplinski tok za bliske stjenke s međustjenkom.

1

IZMJENJIVA�I TOPLINE

Izmjenjiva�i topline su toplinski aparati, gra�eni sa svrhom izmjene topline izme�u dvije struje teku�ina (fluida). Postoje dvije osnovne grupe izmjenjiva�a:

– Rekuperatori: izmjena topline izme�u dva fluida vrši se kroz stijenku koja ih razdvaja.

– Regeneratori: koriste se za plinovite fluide, a toplina se izmjenjuje posredstvom porozne akumulacijske mase koja se naizmjeni�no grije i hladi.

Ponekad se izmjena topline vrši i neposrednim miješanjem fluida, ali se takvi slu�ajevi rješavaju na sasvim druga�ijoj osnovi od prethodnih. U nastavku �e se razmatrati samo princip prora�una rekuperatora.

REKUPERATORI

Prora�un rekuperatora po�iva na uvažavanju �injenice da se temperature struja fluida bitno mijenjaju uzduh izmjenjiva�ke površine, Ao. Pretpostavlja se, da u izmjeni topline sudjeluju samo promatrane struje fluida, tj. da nema gubitaka topline. Uobi�ajeno je da se struje ozna�avaju s indeksima 1 i 2. Ulazna stanja ozna�avaju se kao 1´ i 2´, a izlazna stanja kao 1″ i 2″.

ulaz 1′α1

α2

izlaz 2″

1″ izlaz

slabija struja

Q�stijenka (λs)

površinaizmjenjiva�a (Ao)

ja�a struja

1C�

2C�2′ ulaz

Slika 1. Princip ozna�avanja veli�ina duž površine izmjenjiva�a topline

Osnovni pojmovi i njhov na�in ozna�avanja prikazani su na slici 1. bez naznake rasporeda temperatura duž površine izmjenjiva�a, pa smjer toplinskog toka, Φ , nije jednozna�no definiran.

2

Ulazne temperature, ϑ1' i ϑ2', kao i izlazne temperature, ϑ1'' i ϑ2'' , zamišljene su kao prosje�ne temperature u presjeku strujanja. U istom smislu, koeficijenti prijelaza topline, �1 i �2 , uzimaju se kao prosje�ne vrijednosti duž površine izmjenjiva�a, a ne kao lokalne vrijednosti - kako bi to, strogo uzevši, trebalo.

Proto�ne mase fliuda, 1m� i 2m� u kg/s, povezane su s prosje�nom brzinom protjecanja, w1 i w2, kroz površine presjeka, A1, odnosno A2, relacijama:

1111

.

Awm ρ= (12.1.)

2222

.

Awm ρ= (12.2.)

Ako napišemo op�i oblik jednadžbe održanja energije (I. zakon termodinamike) za otvorene sustave:

�+++=−Φi

ipk EdEdEdHddPd....

. (12. 3.)

U toplinskom prora�unu izmjenjiva�a ne uzima se u obzir promjena tlaka fluida od ulaza do izlaza, koja nastupa zbog trenja. Za struje fluida vrijedi: p1 = konst. i p2 = konst., pa je entalpija funkcija samo temperature: H = H(ϑ) = mcp(ϑ – ϑo) + Ho . Obi�no se uzima da je za ϑo = 0 oC, Ho = 0, J/K. Stoga za sustav s protokom mase

možemo pisati: ϑ= pcmH ��

, odnosno, ϑ= dcmHd p��

.

Nadalje, u bilancnom prostoru nema posebnog tehni�kog ure�aja koji bi unosio ili crpio energiju od fluida, pa je tzv. tehni�ki rad (snaga) jednaka nuli, pa je i dP = 0. Tako�er, razlike brzina i geodetskih visina od ulaza do izlaza iz izmjenjiva�a (ako

postoje) nisu zna�ajne u energijskom smislu, tako da se uzima da je 0=kEd � i

0=pEd �

. Druge energijske efekte (npr. kemijske reakcije) ne �emo uzimati u obzir, pa

je 0=�

iiEd �

.

Bilanca energije za promatranu struju fluida svodi se na jednostavni oblik koji povezuje toplinski tok s promjenom entalpije fluida,

ϑϑ CddcmHdd p ===Φ..

, (12.4.)

a u integralnom obliku,

3

ϑϑ ∆=∆==Φ CcmH p

..

. (12.5)

Kod kapljevitih fluida, zbog pretpostavke o nestla�ivosti, javlja samo jedan pojam specifi�nog toplinskog kapaciteta, pa umjesto cp treba staviti c, J/(kg K).

Toplinski kapaciteti fluida definirani su kao produkt proto�ne mase, m� , i specifi�nog toplinskog kapaciteta, cp, odnosno :

11

.

1 pcmC = (12.6.)

21

.

2 pcmC = (12.7.)

s dimenzijom W/K. Op�enito je 21 CC ≠ .

Po dogovoru se struja fluida s manjim toplinskom kapacitetom ozna�ava s indeksom 1!

To zna�i da je po dogovoru: C1, a vrijednost omjera kre�e se u rasponu: 1/0 21 ≤≤ CC .

Toplinski tok

Izmjenjeni toplinski tok, Φ (W), može se izraziti s tri relacije. Dvije se temelje na promjeni temperatura struje 1, odnosno struje 2, od ulaza do izlaza iz izmjenjiva�a:

za struju 1: ( )''' 1111

.

1 ϑϑ −=Φ pcm 11 ϑ∆= C , (12.8.)

za struju 2:

( )''' 2222

.

2 ϑϑ −=Φ pcm 22 ϑ∆= C . (12.9.)

4

Zanemaruju�i gubitke topline na druge sudionike (stijenka, okolina) vrijedi da je:

21 Φ−=Φ . (12.10.)

Na osnovi toga slijedi da je

2211 ϑϑ ∆=∆ CC . (12.11.)

Kako je usvojena pretpostavka da je 21 CC ≤ 21 ϑϑ ∆≥∆�

To zna�i, da se na temelju usporedbi apsolutnih veli�ina promjena temperatura fluida može zaklju�iti koja je ja�a, ili slabija, struja! To je bitno stoga, što dijagrami za prora�un izmjenjiva�a po�ivaju na dogovoru da je 21 CC ≤ . Slabiju struju moramo ozna�iti s indeksom 1!

Iz prethodnog se može zaklju�iti, da najmanja razlika temperatura izme�u dvije struje

fluida, minϑ∆ , nastupiti na izlazu slabije struje. Kod istosmjernog izmjenjiva�a fluida bit

�e 21 ϑ′′−ϑ ′′=ϑ∆ min , a kod protusmjernog 21 ϑ′−ϑ ′′=ϑ∆ min . S druge strane, najve�a

razlika temperatura je odre�ena s ulaznim temperaturama struja: 21 ϑ′−ϑ′=ϑ∆ max .

Prethodne jednadžbe (12.10.) i (12.11.) izražavaju toplinski tok pomo�u temperaturne razlike jedne, odnosno druge, struje od ulaza do izlaza iz izmjenjiva�a. Taj isti toplinski tok izmjenjuje se izme�u tih struja (zanemaruju�i gubitke). Njega, me�utim, ne možemo izra�unati iz jednadžbe:

( )Ak 21 ϑϑ −=Φ , (ne vrijedi za ukupnu površinu Ao izmjenjiva�a!)

jer rezlika temperatura (ϑ1 – ϑ2) tih struja nije konstantna duž površine izmjenjiva�a, Ao! Ipak, takvim oblikom jednadžbe možemo izraziti lokalni toplinski tok kroz proizvoljno malu površinu izmjenjiva�a, dA, uslijed razlike lokalnih temperatura ϑ1 i ϑ2 dviju struja. Pri prora�unu izmjenjiva�a, pretpostavljamo da je koeficijent prolaza topline, k, W/(m2 K), konstantan po cijeloj površini (dužini) izmjenjiva�a, Ao, a odre�uje se na uobi�ajen na�in s vrijednostima srednjih koeficijenata prijelaza topline, �1 i �2.

Za diferencijalni (lokalni) toplinski tok izme�u dvije struje vrijedi:

( )dAkd 21 ϑϑ −=Φ , (12.12.)

5

Ukupni toplinski tok dobije se integracijom po cijeloj izmjenjiva�koj površini:

( ) ( )( )dAAAkAA

A�=

→

−=Φ0

021 ϑϑ (12.13.)

Osnovni problem koji se javlja prilikom integracije je što naj�eš�e ne poznajemo funkcijsku ovisnost temperatura 1ϑ i 2ϑ , odnosno njihove razlike 1ϑ - 2ϑ , o površini A.

Diferencijalni toplinski tok, Φd , pra�en je diferencijalnim promjenama temperatura obih struja, dϑ1, odnosno dϑ2, duž površine dA.

1ϑ′ϑ

( )A1ϑ

( )A2ϑ2ϑ′

maxϑ∆minϑ∆

1C�

2C�

1ϑd1ϑ ′′

2ϑ ′′2ϑd

sλ1α

2α

Qd �

dA

A0=A 0AA =

Slika 2. Diferencijalni toplinski tok Qd �

Stoga za svaku struju vrijedi:

11111

.

1 ϑϑ dCdcmd p ==Φ (12.14.)

22222

.

2 ϑϑ dCdcmd p ==Φ (12.15.)

6

Kako se temperature fluida, kao uzrok toplinskog toka, mijenjaju duž površine izmjenjiva�a, Ao, mora se krenuti od matemati�kog oblika toplinskog toka koji vrijedi lokalno, tj. na diferencijalnoj površini dA.

Za svaku struju fluida vrijede po dvije jednadžbe toplinskog toka: za struju 1 su to jednadžbe (12.12.) i (12.14.), a za struju 2 jednadžbe (12.12.) i (12.15.). Njihovim izjedna�avanjem dobiva se sustav od dvije obi�ne diferencijalne jednadžbe:

( ) 1121 ϑϑϑ dCdAk −=− (12.16)

( ) 2221 ϑϑϑ dCdAk =− (12.17.) Ovaj sustav treba riješiti (integrirati) za ukupnu površinu izmjenjiva�a. Oblik rješenje ovisi o rubnim uvjetima, tj. o rasporedu smjera strujanja fluida - ukratko, o izvedbi izmjenjiva�a.

Prora�un izmjenjiva�a topline

Prora�un izmjenjiva�a topline sa svrhom odre�ivanja potrebne površine izmjenjiva�a, Ao, vrši se djelomice ra�unski, a djelomice pomo�u dijagrama, koji predstavljaju grafi�ko rješenje prethodno opisanog sustava diferencijalnih jednadžbi za odgovaraju�i tip izvedbe izmjenjiva�a. Ovdje �emo se ograni�iti samo na izvedbe izmjenjiva�a u obliku snopa cijevi u plaštu (tzv. shell&tube), u kojem jedna struja fluida protje�e kroz cijevi, a druga u prostoru izme�u cijevi i cilindri�nog plašta oko njih.

Karakteristi�e veli�ine u opisu izmjenjiva�a su: 21 ,CC 2211 ϑ ′′ϑ′ϑ ′′ϑ′ ,,, , k i Ao. Prema usvojenoj pretpostavci su 21 ,CC i k konstantni na cijeloj površini izmjenjiva�a, Ao.

Vrijednosti prosje�nog koeficijenta prolaza topline, k, za cijevnu stijenku izra�unavaju se iz jedne od ovih dvaju relacija:

22

1

1

21

1

ln1

11

αλα rr

rrr

k

c

r

++= [ ]KmW 2/ (12.18.)

21

22

11

2 1ln

12

αλα++

=

rrr

rr

k

c

r [ ]KmW 2/ (12.19.)

7

Produkt kAo = konst., odnosno: )( = )(21 oo rr AkAk . Površina izmjenjiva�a, Ao, je

odre�ena radijusom na koji je izra�unat k, a dužina izmjenjiva�a je u oba slu�aja ista: (Ao)r1 = 2r1�L , (Ao)r2 = 2r2�L! Površina promatranog tipa izmjenjiva�a ostvaruje se u obliku snopa sastavljenog od nc cijevi, pa je dužina tog snopa Lc = L/nc .

Same temperature nisu bitne za proces izmjene topline, ve� su to temperaturne razlike. Stoga se umjesto �etiri temperature uvode dvije razlike tamperatura:

111 ϑ′−ϑ ′′=ϑ∆ i 222 ϑ′−ϑ′′=ϑ∆ . Broj utjecajnih, karakteristi�nih, veli�ina može se smanjiti njihovim grupiranjem u bezdimenzijske zna�ajke. Na osnovi teorema sli�nosti dobivaju se slijede�e zna�ajke:

'''''

21

111 ϑϑ

ϑϑπ−−

= , 1

02 C

kA=π ,

2

13 C

C=π (12.20.)

Podru�je vrijednosti ovih zna�ajki je:

0 ≤ π1 ≤ 1 , 0 ≤ π2 ≤ � , 0 ≤ π3 ≤ 1 (12.21.)

Odnosi izme�u ovih zna�ajki ovise o vrsti izmjenjiva�a topline i prikazuju se grafi�ki, tj. u obliku dijagrama.

Na slici 4. prikazan je primjer pogonskog stanja (to�ka PS) koje je jednozna�no odre�eno s bilo kojim parom π- zna�ajki. Zna�i da rješenje ima oblik: π1 = π1(π2, π3), ili π2 = π2(π1, π3), ili π3 = π3(π1, π2).

Krivulja π3 = 0 nalazi se na istom mjestu u odnosu na osi π1 i π2, bez obzira na tip izmjenjiva�a topline. Za druge vrijednosti je položaj krivulja π3 = konst. ovisan o tipu izmjenjiva�a. Najviše leže krivulje π3 kod protusmjernog, a blisko ispod njih križnog izmjenjiva�a. Najniže leže krivulje π3 kod istosmjernog izmjenjiva�a topline. Na slici 4. nazna�en je primjer samo za krivulju π3 = 1.

8

0 0,5 1,0 2,0 3,0

0,5

0

1,0

protusmjernikrižni

istosmjerni

)731( 2 ,=π

)60( 1 ,=π )40( 3 ,=πPS

02

13 ==π

CC�

�

12

13 ==π

CC�

�

502

13 ,

CC

==π�

�

21

111 ϑ′−ϑ′

ϑ′′−ϑ′=π

1

02 C

kA�

=π

Slika 4. Karakteristi�ni dijagram izmenjiva�a topline

ISTOSMJERNI IZMJENJIVA�I TOPLINE

Polazište za prora�un su jednadžbe (12.16) i (12.17.)

( ) 1121 ϑϑϑ dCdAk −=− (12.16.)

( ) 2221 ϑϑϑ dCdAk =− (12.17.)

Na osnovi toga slijedi sustav jednadžbi za istosmjerni izmjenjiva�:

( )211

1 ϑϑϑ−−=

Ck

dAd

(12.22)

( )212

2 ϑϑϑ−=

Ck

dAd

(12.23.)

Temperature ϑ1 i ϑ2 predstavljaju lokalne vrijednosti temperatura slabije i ja�e struje na bilo kojem presjeku izmjenjiva�a. Tok temperatura ϑ1(A) i ϑ2(A) duž cijele površine ovisi ne samo o vrsti izmjenjiva�a topline, tj. polaznom sustavu jednadžbi, ve� i o vrijednostima temperatura na ulazu i izlazu iz izmjenjiva�a topline, tzv. rubnim

9

uvjetima:

za A = 0: 2211 ϑ′=ϑϑ′=ϑ , , (ulaz u izmjenjiva�),

za A = Ao: 2211 ϑ ′′=ϑϑ ′′=ϑ , , (izlaz iz izmjenjiva�a).

Ja�a struja

Razdjelna stijenka

Slabija struja 1C�

2C�

1ϑ′

2ϑ′

1ϑ ′′

2ϑ ′′

11 ϑ′′−ϑ′

22 ϑ′−ϑ′′

21 ϑ−ϑ=ϑ∆

1ϑ

2ϑ

dAv

dAu

AA=A0A = 0

cλ

1α

2α

2ϑ′′

1ϑ′′1ϑ′

2ϑ′

ϑ

21 ϑ′−ϑ′

Slika 5. Istosmjerni izmjenjiva� topline

Rješenje se dobiva u obliku bezdimenzijske temperaturne zna�ajke π1:

)(

11

323

)(1

1

23

ππ=π+

−=πππ+−

,fe

(istosmjerni izmjenjiva� topline). (12.24.)

10

Grafi�kom interpretacijom ovog rješenja dobiva se dijagram istosmjernog izmjenjiva�a topline, sli�an onom kakav je prikazan na slici 4. Bezdimenzijske zna�ajke: π1, π2 i π3 definirane su relacijama (12.20.). Za svaki konkretan slu�aj postoji samo jedno rješenje, kojem u dijagramu izmjenjiva�a odgovara to�ka pod imenom pogonsko stanje (PS). Potrebno je zapaziti da se to stanje nalazi uvijek u podru�ju 0 ≤ π3 ≤ 1, tj. u podru�ju koje je u dijagramu izmjenjiva�a ome�eno s krivuljama π3 = 0 i π3 = 1.

U slu�ajevima kada se ne može unaprijed znati koja je struja fluida slabija, a koja ja�a, tada se to mora pretpostaviti. Ako prora�un rezultira s pogonskim stanjem izvan podru�ja 0 ≤ π3 ≤ 1, to je znak pogrešne pretpostavke. Ra�un treba ponoviti s ispravnom pretpostavkom.

PROTUSMJERNI IZMJENJIVA� TOPLINE

Kod protustrujnog izmjenjiva�a topline struje ulaze na razli�itim krajevima izmjenjiva�a.

A = Ao

dAu

Ja�a struja

dAv

A

Razdjelna stijenka

Slabija struja

A = 0

�s�2

�1

Av

Au

1ϑ

1ϑ′

1ϑ ′′

2ϑ ′′

2ϑ′

2ϑ′

21 ϑ′−ϑ′′

22 ϑ′−ϑ′′

11 ϑ′′−ϑ′

21 ϑ−ϑ=ϑ∆

2ϑ

ϑ

1C�

2C�

2ϑ ′′

1ϑ ′′ 1ϑ′

Slika 6. Protusmjerni izmjenjiva� topline

11

Za protusmjerne izmjenjiva�e vrijedi sustav jednadžbi:

( )211

1 ϑϑϑ−=

Ck

dAd

(12.25.)

( )212

2 ϑϑϑ−=

Ck

dAd

(12.26.)

i rubni uvjeti:

za A = 0: 2211 ϑ′=ϑϑ′′=ϑ , , (po�etni presjek izmjenjiva�a),

za A = Ao: 2211 ϑ ′′=ϑϑ′=ϑ , , (kona�ni presjek izmjenjiva�a).

Rješenje je

)(

11

32)(13

)(1

1 23

23

ππ=π−−=π ππ−

ππ−

,fe

e-

-

(protusmjerni izmjenjiva� topline) (12.27.)

U posebnom slu�aju, kada je �3 = 1, rješenje poprima jednostavniji oblik:

2

1 11

1

π+

=π

, (za �3 = 1) (12.28.)

KRIŽNI IZMJENJIVA�I TOPLINE

Kod ovog tipa izmjenjiva�a je smjer slabije i ja�e struje me�usobno okomit. Prakti�an primjer je strujanje plinova popreko na snop cijevi kroz koje struji voda. U tom slu�aju postoje dva smjera promjene temperatura struja, kako je to prikazano na slici 7.

12

yrazdjelna ploha

1ϑ′

ϑ1C�

2C�

2ϑ prosje�na

1ϑ prosje�na

2ϑ′2ϑ′

1ϑ′

ja�a struja

slabija struja

y = 0

x = 0

x

x = X

y = Y

Slika 7. Temperaturna polja kod križnog izmjenjiva�a topline

Zbog toga se matemati�ki model križnog izmjenjiva�a sastoji od parcijalnih diferencijalnih jednadžbi za svaku struju. Toplinska bilanca na malom elementu

izmjenjiva�ke površine dxdydA = dovodi do jednadžbi:

( )2111 ϑϑϑ

−=∂

∂−=Φ kdxdy

xBC

d , (za struju 1), (12.29.)

( )2122 ϑϑϑ

−=∂

∂=Φ kdxdy

yBC

d , (za struju 2), (12.30.)

uz rubne uvjete:

1111 ;i;;0 ϑ ′′=ϑ=ϑ′=ϑ= Lxx , kao prosje�na izlazna temperatura. 2222 ;i;;0 ϑ′′=ϑ=ϑ′=ϑ= Byy , kao prosje�na izlazna temperatura.

13

razdjelna ploha

dA1C�

1C�

2C�

2C�

1ϑ ′′ prosje�na

2ϑ ′′ prosje�na

2ϑ′

1ϑ′

y = 0

x = 0x + dx x = Lx

y + dyy

y = B

y

x

Slika 8. Diferencijalna površina razdjelne stijenke

Matemati�ki postupak rješavanja je kompliciran, ali se rezultati u obliku π1 = π1(π2, π3) mogu prikazati dijagramski, kao i u slu�aju istosmjernih i protusmjernih izmjenjiva�a topline.

POSEBNI SLU�AJEVI

1. Struje jednakih toplinskih kapaciteta: 1/ 21 =CC . Promjene tamperatura struja bit �e me�usobno jednake zbog jednakih toplinskih kapaciteta.

A = AoAA = 0 A = Ao

AA = 0

1C� 1C�

2C�2C�

Istosmjerni izmjenjiva� Protusmjerni izmjenjiva�

ϑ

1ϑ ′′

2ϑ ′′

1ϑ′

2ϑ′

ϑ

1ϑ ′′

2ϑ′

2ϑ ′′

1ϑ′

.konst=ϑ−ϑ=ϑ∆ 21

Slika 9. Promjene temperatura struja jednakih toplinskih kapaciteta

14

2. Isparivanje ili kondenzacija: 0/ 21 =CC

Pri promjeni agregatnog stanja, tj. isparivanju ili kondenzaciji jednog fluida, ne mijenja se temperatura, 0=ϑd , iako se fluidu dovodi ili odvodi toplina.

Na temelju diferencijalne jednadžbe ϑϑ Cddcmd p ==Φ.

slijedi da zbog 0=ϑd mora

biti ∞== pcmC.

da bi izmjenjena toplina imala kona�an, diferencijalno mali iznos. Kako proto�na masa ne može biti beskona�no velika, to zna�i da je pri promjeni agregatnog stanja specifi�ni toplinski kapacitet cp = �.

A = AoAA = 0

1C�

Isparivanje struje 2

A = AoAA = 0

1C�

∞=2C�

Kondenzacija struje 2

∞=2C�

ϑ1ϑ′

2ϑ′2ϑ ′′

1ϑ ′′1ϑ ′′

2ϑ ′′

1ϑ′

2ϑ′ 22 ϑ′′=ϑ′

22 ϑ′′=ϑ′

ϑ

Slika 10. Promjene temperatura struja kada je ∞=2C

ISKORISTIVOST TOPLINE

Maksimalni toplinski tok, maxΦ , koju mogu izmijeniti dvije struje s toplinskim kapacitetima C1 i C2 ovisi, osim o koeficijentu prolaza topline, k, i površini izmjenjiva�a, Ao, još samo o njihovim ulaznim temperaturama: ϑ�1 i ϑ�2. On se definira kao toplinski tok koji je potreban da se slabija struja dovede na ulaznu temperaturu ja�e struje:

( )'' 211max ϑϑ −=Φ C , (maksimalna toplinski tok). (12.31.)

Realno izmjenjena toplina koju slabija struja izmjenjuje u nekom izmjenjiva�u je:

15

( )''' 111 ϑϑ −=Φ C , (realno izmjenjeni toplinski tok). (12.32.)

Iskoristivost topline, , definira se kao omjer tih toplinskih tokova:

121

11

max

1

''''' π

ϑϑϑϑε =

−−

=ΦΦ

= (12.33.)

iz �ega slijedi da je iskoristivost topline jednaka bezdimenzijskoj temperaturnoj zna�ajki, = π1. Naglasimo još jednom da ne ovisi o tipu izmjenjiva�a topline!

STUPANJ DJELOVANJA IZMJENJIVA�A TOPLINE

U teorijskom slu�aju, kada bi površina izmjenjiva�a bila beskona�no velika, slabija struja bi izmjenila toplinski tok ∞Φ koja bitno ovisi o tipu izmjenjiva�a topline. U izmjenjiva�u s kona�nom površinom Ao slabija struja bi izmijenila toplinski tok, 1Φ , prema jednadžbi (12.32.).

Stupanj djelovanja izmjenjiva�a je omjer tih toplinskih tokova:

∞Φ

Φ= 1η , (stupanj djelovanja izmjenjiva�a). (12.34.)

Protusmjerni i križni izmjenjiva�i

Kod protusmjernog i križnog izmjenjiva�a, kada površina Ao �, izlazna temperatura slabije struje teži ulaznoj temperaturi ja�e struje, ϑ1� ϑ2�. U tom teorijskom slu�aju je:

( )'' 211 ϑϑ −=Φ∞ C , (izmjenjena toplina za Ao �) . (12.35.)

Za te tipove izmjenjiva�a je maxΦ=Φ∞ , pa vrijedi:

16

21

111 ϑ′−ϑ′

ϑ ′′−ϑ′=π=η=ε

, (za protusmjerne i križne izmjenjiva�e). (12.36.)

Kod ovih tipova izmjenjiva�a postoji teorijska mogu�nost (za Ao �) da se postigne , ϑ�1 = ϑ�2, tj. da se postigne maxΦ . Zato sve krivulje π3 teže asimptotskoj vrijednosti 1.

Istosmjerni izmjenjiva� topline

A = AoA

A = 0

1C�

2C�

A → ∞

ϑ1ϑ′

2ϑ′ 2ϑ ′′

1ϑ ′′

ϑ′′

ϑ′′−ϑ′1maxϑ∆

Slika 11. Izlazna temperatura struja u istosmjernom izmjenjiva�u kada A �

Kod istosmjernog izmjenjiva�a bi u teorijskom slu�aju za Ao = � obje struje na izlazu imale istu temperaturu ϑ′′ , kako je to prikazano na slici 11. Izjedna�avanjem toplina koju izmjenjuju struje 1 i 2 pri Ao = � dobiva se:

( ) ( )'''''' 2211 ϑϑϑϑ −=− CC , (12.37.)

iz �ega se može izraziti temperatura ϑ'':

21

2211 ''''

CCCC

++

=ϑϑϑ (12.38.)

17

Uvažavanjem definicije stupnja djelovanja (12.34) i jednadžbe (12.37.) i (12.38.) dobiva se:

( ) 131

111 1'''''' ππ

ϑϑϑϑη +=

−−

=ΦΦ

=∞

i , (za istosmjerni izmjenjiva�). (12.39.)

Kod ovog tipa izmjenjiva�a svaka krivulja π3 = konst. ima svoju asimptotu, �ija je vrijednost

3321 1

1)(

π+=π∞→π=π ,f

, (istosmjerni, za A → ∞). (12.40.)

Minimalna temperaturna razlika

Najmanja razlika temperature, �ϑmin, izme�u dviju struja javlja se uvijek na izlazu slabije struje!

Kod istosmjernog izmjenjiva�a je:

21min ϑ′′−ϑ ′′=ϑ∆ , (istosmjerni izmjenjiva�), (12.41.)

pa vrijedi relacija:

3

21

min

1 1

1

π+ϑ′−ϑ′

ϑ∆−

=π , (istosmjerni izmjenjiva�). (12.42.)

Kod protusmjernog izmjenjiva�a topline je:

21min ϑ′−ϑ ′′=ϑ∆ , (protusmjerni izmjenjiva�), (12.43.)

pa vrijedi relacija:

18

21

min1 1

ϑ′−ϑ′ϑ∆

−=π (protusmjerni izmjenjiva�). (12.44.)

Budu�i da razlike temperatura mogu biti ili pozitivne ili negativne, nužno je uzeti apsolutne vrijednosti kako bi zna�ajka �1 bila pozitivna!

Op�e jednadžbe izmjenjiva�a topline

Grafi�kom interpretacijom rješenja sustava diferencijalnih jednadžbi, koje su svojstvene istosmjernim, protusmjernim ili križnim izmjenjiva�ima topline dobivaju se tzv. dijagrami izmjenjiva�a topline doti�nog tipa. Primjer takvog dijagrama dan je na slici 4. Me�usobne razlike izmjenjiva�a o�ituju se u razli�itom položaju krivulja π3 = konst., osim za kruvulju π3 = 0 koja se kod svih tipova izmjenjiva�a nalazi na istom mjestu u odnosu na osi π1 i π2.

Iz dijagrama izmjenjiva�a može se odrediti (o�itati) vrijednost jedne od triju bezdimenzijskih zna�ajki π, ukoliko su preostale dvije prethodno poznate ili izra�unate iz zadanih podataka.

Za sve tipove izmjenjiva�a vrijede slijede�e jednadžbe:

- za toplinski tok

( ) ( )'''''' 222111 ϑϑϑϑ −=−=Φ CC , (12.45.)

( ) ( ) ( ) ( )1

1211

3

12112111 1

''''11

''''''π

πϑϑπ

πϑϑϑϑπ−

−=+−

−=−=Φ CCC (12.46.)

- za odnose ulaznih i izlaznih temperatura

1

21

11 π=ϑ′−ϑ′ϑ ′′−ϑ′

(12.47.)

31

21

22 ππ=ϑ′−ϑ′ϑ′−ϑ ′′

(12.48.)

19

13

21

21 )(11 ππ+−=ϑ′−ϑ′ϑ ′′−ϑ ′′

(12.49.)

1

21

21 1 π−=ϑ′−ϑ′ϑ′−ϑ′′

(12.50.)

31

21

21 1 ππ−=ϑ′−ϑ′ϑ ′′−ϑ′

(12.51.)

0 0,5 1,0 2,0 3,0

0,5

0

1,0

21

111 ϑ′−ϑ′

ϑ′′−ϑ′=π

1

o2 C

Ak=π

protusmjerni

križni istosmjerni

(π2)i

(π2)k

(π2)p

π1= konst.

012

13 >==π> .konst

CC�

�

Slika 12. Vrijednosti zna�ajke π2 razli�itih tipova izmjenjiva�a za π1= konst. i 1 > π3= konst.> 0

Složeni tipovi rekuperatora

U praksi se �esto susre�u izvedbe izmjenjiva�a topline koje se ne mogu razvrstati u jedan od elementarnih tipova, opisanih u prethodnim razmatranjima. Sustav diferencijalnih jednadžbi i rubni uvjeti takvih izmjenjiva�a zahtijevaju mnogo kompleksniju proceduru rješavanja, ali se i njihovo rješenje može na�elno prikazati u obliku funkcije π1 = f(π2, π3), koja se tako�er može prikazati u formi dijagrama, kakav je onaj za tri osnovna tipa izmjenjiva�a.