2. TIPOS DE INESTABILIDAD ANALIZADOSbibing.us.es/proyectos/abreproy/4783/fichero/Vol+I.+CAPÍTULOS%2F2.+Tipos+de...Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 11

2. TIPOS DE INESTABILIDAD ANALIZADOS

En este capítulo se analizan en detalle los aspectos teóricos relacionados con los

fenómenos de inestabilidad estructural que con mayor frecuencia pueden manifestarse

en las estructuras metálicas convencionales, tales como pandeo de Euler, pandeo

lateral y abolladura de placas, así como las expresiones propuestas por la normativa

de aplicación (Código Técnico y Eurocódigo) para el estudio de los mismos.

2.1. PANDEO POR FLEXIÓN O DE EULER

El pandeo por flexión ha sido descrito brevemente en el Apartado 1.1. y puede

definirse como un fenómeno de inestabilidad elástica que suele darse en elementos

comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de importantes despla-

zamientos transversales a la dirección principal de compresión. Los desplazamientos

descritos se traducen en la aparición de una flexión adicional en el elemento.

La aparición de flexión de pandeo limita severamente la resistencia en

compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. A partir de cierto valor de la

carga axial de compresión, anteriormente denominado carga crítica de pandeo (Pcr),

puede producirse una situación de inestabilidad elástica, en la cual la deformación

aumentará sin necesidad de incrementar la carga, produciendo tensiones adicionales

que superarán la tensión de rotura, provocando el colapso del elemento estructural.

2.1.1. REVISIÓN TEÓRICA DEL FENÓMENO

2.1.1.1. PROBLEMA PATRÓN. ELEMENTO ARTICULADO-ARTICULADO

Como se vio en el apartado 1.1. el problema

planteado por Euler venía definido por la expresión:

0)x(yPM ; EI

M''y ; 0y

EI

P''y (2.1)

dicha ecuación se cumple para una geometría

senoidal de la deformada, de ecuación:

)kx(senAy siendo A una cte. y EI

Pk

con condiciones de contorno:

x=0 → y=0 x=L → y=0

Figura 2.1. Pandeo de Euler

10 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados

La 1ª condición de contorno se cumple en cualquier caso.

Para la 2ª condición de contorno tenemos )kL(senA0 , que es un típico

problema de autovalores con 2 posibles soluciones:

• A=0. Es decir, que no puede existir otra deformada que la recta (y=0 sea cual

sea el valor de la carga P).

• sen(kL)=0 cualquiera que sea el valor de la constante A, y por tanto de la

amplitud de la deformada senoidal.

Esta última condición se cumple siempre que kL=n∙π, esto es, para valores de la

carga crítica

2

22

crL

EInP

π (2.2)

siendo n el número de ondas de la geometría senoidal del soporte comprimido.

Para n=1, tendremos la carga crítica de Euler 2

2

1crL

EIP

π

Para otros valores de n, tendremos Pcr2, Pcr3, etc.

Figura 1.2. Modos de pandeo en soporte biarticulado

En síntesis, por tanto, la solución de la ecuación diferencial que representa el

comportamiento de la pieza comprimida de Euler, tiene dos soluciones posibles:

I. Una en la que la pieza comprimida permanece recta, cualquiera que sea el

valor P de la carga aplicada;

II. otra, en la que cuando la carga alcanza su valor crítico, Pcr, la barra pandea

con una deformada senoidal quedando indeterminado el valor de su

desplazamiento transversal máximo ymax=A.

Como ya se comentó, al valor de la carga crítica dado por la expresión de Euler

se llega partiendo de unas hipótesis que difícilmente pueden ajustarse a la realidad, y

que a continuación recordamos:

• Inicialmente la pieza que va a ser comprimida tiene una geometría

perfectamente recta;

Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 11

• Carga P perfectamente centrada y alineada con la directriz recta de la pieza;

• Material perfecto e indefinidamente elástico manteniendo sus características,

cualquiera que sea el nivel de carga;

• Pieza totalmente distensionada y sin tensiones residuales autoequilibradas que

puedan influir en su comportamiento.

Por otra parte, la solución de Euler se ha obtenido para unas condiciones muy

concretas de sustentación, en este caso, las de un elemento articulado en sus 2

extremos.

Pasaremos a continuación a resolver el problema de Euler para diferentes tipos

de condiciones de sustentación, obteniendo en cada caso el valor de Pcr, analizándose

más adelante el efecto que el no cumplimiento de las hipótesis ideales tendrá sobre el

valor de Pcr.

2.1.1.2. ELEMENTO EMPOTRADO-EMPOTRADO

En la figura puede observarse la situación analizada.

Este caso difiere del anteriormente analizado por la

aparición de sendos momentos de valor M0 en cada uno de

los extremos del elemento, por lo que la nueva ecuación de

equilibrio a satisfacer será:

0M)x(M)x(yP 0 ; EI

My

EI

P''y 0 (2.3)

La solución de la ec. diferencial mostrada tendrá la forma:

P

Mx

EI

PcosCx

EI

PsenCy 0

21

(2.4)


x=0 → y=y‟=0 x=L → y=y‟=0

De la primera de ellas se obtiene:

P

MC

P

MC0 0

2

0

2

y de la segunda: 0CEI

PC0'y 11

quedando la solución como:

x

EI

Pcos1

P

My 0

(2.5)

Figura 2.2. Soporte

empotrado-empotrado


Esta solución aún no tiene por qué cumplir las condiciones de contorno en x=L,

ya que la curva „y‟ indicada cumplirá con la condición y=y‟=0 para distintos valores de x

en función del valor de P; así que para hacer coincidir el punto x=L con el primer punto

y=y‟=0 (1er modo de pandeo) de la curva debemos imponer la siguiente condición:

n2LEI

P1L

EI

Pcos π

resultando el siguiente valor de Pcr para n=1:

2

2

2

2

cr)2/L(

EI

L

EI4P

ππ (2.6)

Expresión esta última que nos indica que la carga de

pandeo para un elemento biempotrado es igual a la de un

elemento biarticulado de igual „EI‟ y longitud „L/2‟.

Este resultado es lógico, pues como puede

observarse en la figura existen puntos de inflexión en la

deformada „y‟ a una distancia L/4 de los apoyos, y por

tanto, la parte central se comporta como un elemento

biarticulado de longitud L/2 cuya carga crítica de pandeo

coincide con la anteriormente definida:

2

2

cr)2/L(

EIP

π

2.1.1.3. ELEMENTO EMPOTRADO-LIBRE

Procediendo del mismo modo que en el caso anterior, con la

misma condición de contorno en x=0:

x

EI

Pcos1

P

My 0

(2.7)

En este caso, en el extremo x=L deberemos cumplir y‟‟=0:

π

2

1nL

EI

P0L

EI

Pcos

EI

P

P

M''y 0

Así, la carga crítica para n=1 será:

2

2

2

2

cr)L2(

EI

L

EI2

Pπ

π

(2.8)

Figura 2.3. Longitud de

pandeo en soporte

empotrado-empotrado

Figura 2.4. Soporte

empotrado-libre


Expresión esta última que equivale a afirmar que la carga de pandeo para un

elemento empotrado-libre es igual a la de un elemento biarticulado de igual „EI‟ y

longitud „2L‟ como se refleja Figura 2.5.

Figura 2.5. Longitud de pandeo en soporte empotrado-libre

2.1.1.4. ELEMENTO EMPOTRADO-EMPOTRADO CON APOYO DESLIZANTE

El problema es totalmente análogo a los anteriores, obteniéndose la carga crítica de

pandeo de imponer la condición y‟=y‟‟‟=0

Así, se obtiene que πnLEI

P , y por tanto,

para n=1:

2

2

crL

EIP

π (2.9)

Esta carga coincide con la del elemento

biarticulado, lo cual es lógico por otra parte, como

puede deducirse comparando la Figura 2.6 con la

expuesta para el caso biempotrado (Figura 2.3).

2.1.1.5. ELEMENTO EMPOTRADO-ARTICULADO

Este caso difiere de los anteriores, ya que, como puede observarse en la Figura 2.7, al

producirse la deformación aparecen en los apoyos unos esfuerzos en dirección „y‟.

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio que debe satisfacerse en este caso tendrá la

siguiente forma:

0MxL

MyPM 0

0 (2.10)

que se transforma en:

)L

x1(

EI

My

EI

P''y 0 (2.11)

Figura 2.6. Soporte empotrado-

empotrado (deslizante)


La solución para la ecuación diferencial formulada tendrá la forma:

)L

x1(

P

Mx

EI

PcosCx

EI

PsenCy 0

21

(2.12)

En el extremo x=L, tenemos que y=y‟‟=0, y por

tanto tendremos:

L

EI

Pcosx

EI

Psen

EIPL

1

P

My 0

(2.13)

Aplicando las ya conocidas condiciones de

contorno en el extremo x=0 se obtiene:

P

MCy0 0

20 P

MC 0

2

LP

M

EI

PC'y0 0

10 EIPLP

MC 0

1

con lo cual:

L

x1x

EI

Pcosx

EI

Psen

EIPL

1

P

My 0 (2.14)

La solución distinta de la trivial será:

LEI

PL

EI

Ptg 49.4n2L

EI

P π y para n=1 tendremos:

2

2

2

2

cr)L7.0(

EI

L

EI)49.4(P

π (2.15)

Es decir, la carga crítica coincide con la de un elemento biarticulado de longitud

0.7∙L y con igual „EI‟; lo cual quiere decir que en la figura anterior tendremos un punto

de inflexión a una longitud 0.3∙L del extremo empotrado, y el resto del elemento se

comporta como biarticulado.

2.1.1.6. LONGITUD DE PANDEO Y CURVA DE EULER

Del estudio de los casos anteriores (correspondientes al pandeo por flexión bajo

diversas condiciones de sustentación) se desprende que en cualquiera de ellos la

carga crítica de pandeo puede expresarse en la forma:

2

k

2

crL

EIP

π (2.16)

Figura 2.7. Esfuerzos en

pilar empotrado-articulado


Siendo Lk la longitud de pandeo, que suele expresarse como Lk=β∙L, donde β es

un coeficiente que depende de las condiciones de contorno y que indica qué tanto por

ciento de la longitud total de la barra se ve afectada por el pandeo.

Lk=L Lk=0.5∙L Lk=2∙L Lk=L Lk=0.7∙L

Figura 2.9. Longitudes de pandeo

En la figura anterior y de izquierda a derecha el coeficiente β toma los siguientes

valores:

β=1 (articulado-articulado),

β=0.7 (empotrado articulado)

β=0.5 (empotrado-empotrado)

β=2 (empotrado-libre)

La expresión de la cargas crítica puede modificarse haciendo uso de la ecuación

I=A∙i2, donde „A‟ es el área de la sección e „i‟ es el radio de giro según el momento

flector. Procediendo de este modo se obtiene:

2

k

2cr

cr)i/L(

E

A

P πζ (2.17)

El factor Lk/i se denomina habitualmente esbeltez y permite expresar la tensión

crítica de pandeo de un modo unívoco sean cuales sean las condiciones de apoyo:

2

2

cr

E

λ

πζ (2.18)

En la siguiente figura se representa la tensión ζcr en función de la esbeltez,

obtenida a partir de la ecuación anterior con E=2.1∙106 Kg/cm2. Esta curva, conocida

como curva de pandeo o curva de Euler, es suficiente para obtener la tensión crítica

de un elemento de acero (o de cualquier otro material sin más que cambiar el valor de

E) cualesquiera que sean sus condiciones de apoyo, y como veremos más adelante,

la normativa actual la emplea como base para el diseño “seguro” frente a

pandeo de estructuras metálicas.


Figura 2.10. Curva de Euler

Se muestra también a continuación una imagen real de barras de acero que han

sido sometidas a compresiones mayores o iguales a la crítica correspondiente a sus

condiciones de sustentación.

De izquierda a derecha pueden observarse las compresiones realizadas a un

elemento biarticulado (2.1.1.1), biempotrado (2.1.1.2), empotrado articulado (2.1.1.5) y

empotrado libre (2.1.1.3)

Figura 2.8. Pandeo de barras con diferentes condiciones de contorno

2.1.1.7. LIMITACIONES A LA TEORÍA DE EULER. PANDEO “REAL”

Como vimos anteriormente Euler partió de unas hipótesis muy claras (pág. 10-11) que

simplificaban y hacían posible el análisis de la pieza comprimida. Estas hipótesis, en

base a la observación y el estudio empírico, presentan claras incoherencias con el

comportamiento real.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Buckledmodel.JPG


La causa de las incoherencias entre comportamiento real y teórico de la pieza

comprimida se encuentra en las mencionadas hipótesis de las que Euler,

conscientemente, partió para establecer la ecuación diferencial.

Ninguna de las “perfecciones” supuestas son atributos de la pieza real. Euler

modelizó una pieza ideal, sin imperfecciones. La “pieza real”, en contra de lo ocurrido

con la “pieza perfecta o ideal” de Euler, se caracterizará por los siguientes rasgos:

• Su directriz no será nunca perfectamente recta. Es inevitable una deformación

inicial de geometría impredecible.

• La carga no estará nunca perfectamente centrada. Es inevitable una cierta

excentricidad de las cargas aplicadas.

• El material de la pieza no tiene un comportamiento indefinidamente lineal y

elástico, por lo que no es indiferente el nivel de cargas y deformaciones a las que

estará sometido.

• Los procesos de fabricación y manipulación de las piezas y los efectos de las

condiciones ambientales (gradientes de temperatura, por ejemplo), generan

inevitables tensiones residuales que se autoequilibran pero que afectan al

comportamiento de la pieza real.

Figura 2.11. “Imperfecciones” de la pieza real

Pasamos a continuación a analizar la influencia que estos factores,

anteriormente obviados, tienen sobre la validez de la teoría desarrollada hasta ahora:

2.1.1.7.1. Tensión Crítica de Euler. Limitación de la Teoría de Euler

En el apartado 2.1.1.6. obtuvimos la expresión de la tensión crítica de Euler en

función de la longitud característica y el radio de giro de la sección, resultando:

2

k

2cr

cr)i/L(

E

A

P πζ

2

2

cr

E

λ

πζ

λ: esbeltez de la pieza


La esbeltez de la pieza, definida como la relación entre la longitud de pandeo y

el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza, es un parámetro

sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más

esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo. Esto puede deducirse sin más

que observar la expresión de la tensión crítica de Euler, que depende inversamente de

la esbeltez.

Podemos representar la función ζcr=f(λ) y al hacerlo vemos que cuando λ tiende

a cero, la tensión crítica de Euler tiende a infinito.

La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la

Ley de Hooke por lo tanto la misma solamente es válida si ζcr< ζp (límite de

proporcionalidad):

La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será:

p2

2

cr

Eζ

λ

πζ

p

p

E

ζπλ (2.19)

Para el acero λp=103.9 y 2

2

cr

E

λ

πζ para cualquier λp 103.9

Figura 2.12. Curva “real” de pandeo

Como se observa en la figura anterior, en la

zona comprendida entre esbeltez cero y λp, la

fórmula de Euler debe ser reemplazada por otra

ley que contemple el comportamiento elasto-

plástico del material (región ζcrk), aunque habi-

tualmente se acepta el uso de la curva de Euler

hasta alcanzar σcr=fy, como pudo apreciarse en

la curva mostrada en la Figura 2.10.


2.1.1.7.2. Pandeo Anelástico

Como se ha mencionado anteriormente, para

esbelteces menores que λp no es válida la Teoría de

Euler. Engesser estudió el comportamiento teórico de

piezas comprimidas de acero bajo tensiones

superiores al límite de proporcionalidad; partió de

iguales hipótesis que las establecidas por Euler para

la deducción de ζcr, excepto la constancia del módulo

de elasticidad E. En este sentido, en diferentes años,

propuso dos hipótesis distintas para su determinación:

a) teoría basada en el módulo tangente;

b) teoría del doble módulo.

En la práctica no existen diferencias apreciables por el uso de una u otra teoría.

En la figura anterior, el punto A representa el estado correspondiente a la tensión

conocida como límite de proporcionalidad ζp. Para valores superiores de tensión, por

ejemplo el punto B, la rigidez del material ya no depende del módulo inicial E.

Engesser inicialmente (1889) presentó una teoría tomando en cuenta sólo el

módulo tangente Et. Si para un cierto valor de carga el estado tensional se representa

con un punto como el B en el diagrama de tenso-deformación, y a través de un

incremento ΔP la carga llega a su valor crítico, la rigidez del material en ese momento

está dada instantáneamente por la tangente a la gráfica, Et. En función de ello

propuso la expresión siguiente:

2

t

2

k

E

λ

πζ (2.20)

Como las tensiones correspondientes a los módulos referidos a la tangente se

pueden obtener a partir del diagrama σ-ε, la relación λ = Lk / i a la cual pandeará la

columna, se puede calcular a partir de la ecuación anterior.

Con posterioridad, en 1895, Engesser propone una expresión similar pero con

un módulo de elasticidad diferente. Con ello estableció la llamada teoría del doble

módulo o teoría del módulo reducido, algunos de cuyos aspectos se estudian a

continuación. La teoría se basa en las siguientes hipótesis:

a) se considera un elemento recto biarticulado y con carga centrada.

b) se admite que las deformaciones son suficientemente pequeñas como para

aproximar las curvaturas por y‟‟.

c) se supone que la relación σ-ε es la del ensayo de tracción.

d) se admite la hipótesis de que las secciones son planas antes de la

deformación, y que se mantienen planas durante ella.

Figura 2.13. Curva σ-ε real


De acuerdo a la suposición d), la ecuación de la elástica será la misma que para

los materiales que siguen la Ley de Hooke, con la salvedad de que el módulo de

elasticidad E se reemplaza por un módulo de elasticidad reducido T que depende la

tensión ζk (ζcr) originada por la carga Pk.

Suponiendo que el diagrama tenso–

deformación del acero fuese el del esquema de la

Figura 2.14, y que se somete a la pieza a una

compresión que origina la tensión ζk, si se descarga

la pieza hasta cero, el módulo de elasticidad en

descarga queda representado por la recta BO‟ casi

paralela a OA. La carga Pk origina la tensión de

compresión ζk uniformemente repartida mientras la

pieza permanezca recta, pero en cuanto el eje pasa

a la posición curva, el momento flector origina

compresiones ζ2 que se suman a las ζk y tensiones

de tracción ζ1 en el lado convexo que se restan a

las tensiones ζk.

La carga crítica Pk es aquella capaz de mantener a la pieza en la posición curva

del esquema (b) de la Figura 2.15, alejada de la vertical un cierto “y” que se supone

infinitésimos, es decir, la carga que hace posible el equilibrio indiferente.

Figura 2.15. Soporte en equilibrio indiferente

Si consideramos una tajada de la barra como la indicada en la Figura 2.15, de

longitud unitaria, se producen acortamientos suplementarios ε2 en el lado derecho y

alargamientos ε1 en el lado izquierdo.

Admitiendo la hipótesis de Navier–Bernoulli para las secciones planas podemos

establecer:

R

1

hh 1

1

2

2 εε

(2.21)

Figura 2.14. Curva σ-ε real.

Teoría del doble módulo


Como las deformaciones ε2 son infinitésimas, las tensiones ζ2 son poco

superiores a la que corresponde al punto B en el diagrama ζ - ε de la Figura 2.14,

pudiendo calcularse como:

ζ2=E2∙ε2 donde E2=tgβ

Mientras que para ζ1 es válida la aplicación de la Ley de Hooke:

ζ1=E∙ε1 donde E=tgα ≈ E1

se tiene por tanto R

hE 1

1

ζ

R

hE 22

2

ζ (2.22)

Supongamos ahora que la sección transversal es rectangular y de ancho “b”. Al

igualar la resultante de tracción con la de compresión tenemos:

21 h

0

2

h

0

1 dybdyb ζζ

R2

hE

R2

hEh

2

1h

2

12

22

2

1

1111

ζζ

2

22

2

1 hEhE (2.23)

Siendo h = h1+h2 se obtiene:

2

2

1

EE

Ehh

2

2

EE

Ehh

El momento flector M de las fuerzas exteriores debe ser igual al de las interiores,

luego:

22

2

2

2

23

11

EE

EE4

R

I

EE

EE4

R12

hbh

3

2

2

hb

R

hEM

(2.24)

definiendo

22

2

r

EE

EE4E

la ec. de la elástica en la zona elastoplástica resulta:

y‟‟+ζ2∙y=0 donde ζ=P/T∙I (2.25)

Integrando la ecuación se llega a:

2

r

2

k2k

E

L

TIP

λ

πζ

π (2.26)

Con lo que la expresión de la tensión crítica para la teoría del doble módulo

coincide con la que obtuvimos según la teoría del módulo tangente, siendo Er:

I

IEIEE 221

r

(2.27)


Donde I1 es el momento de inercia de la zona traccionada, I2 es el momento de

inercia de la zona comprimida e I es el momento de inercia de la sección total, todos

ellos calculado respecto del eje neutro. Si se comparan los valores de Er para distintas

formas de sección se concluye que Er es poco sensible a los cambios de sección.

2.1.1.7.3. Excentricidad de la Carga

Consideremos el caso de la barra de la

Figura 2.16 sometida a flexión compuesta. La

excentricidad “e” debe interpretarse como una

excentricidad no prevista pero inevitable,

consecuente con lo expresado en el primer

párrafo.

Por tratarse de una barra esbelta, el

momento flector debe calcularse sobre la

configuración deformada.

E∙I∙y‟‟+P∙y=P∙(δ+e)

)e(EI

Py

EI

P''y δ (2.28)

La solución general de esta ecuación diferencial es:

δ

ex

EI

PcosCx

EI

PsenCy 21 (2.29)

Con condiciones de contorno:

y(x=0)=0 → C2+e+δ=0 → C2= - (δ+e)

y‟(x=0)=0 → C1=0

x

EI

Pcos1)e(y δ (2.30)

Por otra parte y(x=L)=δ

L

EI

Pcos1)e(yL δ

LEI

Pcos

LEI

Pcos1e

δ (2.31)

Figura 2.16. Soporte empotrado-

libre con carga excéntrica


LEI

Pcos

xEI

Pcos1e

y (2.32)

Vemos que a diferencia de lo que ocurre con el pandeo ideal, desde el

comienzo, es decir desde P = 0, se tiene una configuración curvada de la barra, no

apareciendo el fenómeno de bifurcación del equilibrio.

Por lo tanto vemos que en la barra real no se produce una “bifurcación del

equilibrio”, sino una “divergencia del equilibrio”.

Otra observación importante es que la flecha no resulta directamente

proporcional a la carga P. Esto es debido a que la condición final de equilibrio fue

planteada sobre la configuración deformada de la pieza que depende de P.

Como consecuencia de lo anteriormente mencionado resulta que NO ES

APLICABLE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

La flecha aumenta más rápidamente que la carga y este efecto se acentúa en la

medida que LEI

P se aproxima al valor π / 2. Para L

EI

P = π /2 δ→∞.

En este caso: EI

P

L4 2

2

π

cr2

2

P)L2(

EIP

π (2.33)

Se observa que la expresión de la carga crítica no varía respecto a la definida

para el caso ideal, no así su significado, que ahora puede expresarse como el valor

de la carga que provoca un valor infinito de la deflexión.

Haciendo uso de la expresión: ]1

PP2

cos

1[

L

e

Lcr

π

δ podemos

representar la relación P/Pcr frente a δ / L para distintas relaciones e / L.

En el diagrama de la Figura 2.17 podemos apreciar que las curvas se aproximan

tanto más al eje vertical a medida que la excentricidad relativa disminuye. En el límite,

cuando e = 0 tendríamos la curva quebrada punteada, con lo que el pandeo ideal de

Euler resulta ser un caso particular del pandeo real.

Se observa además que las flechas aumentan muy rápidamente cuando la carga

P se aproxima a su valor crítico, y todas las curvas tienen por asíntota la línea

horizontal P/Pcr = 1 independientemente de “e”.


Figura 2.17. Relación entre la máxima deflexión y la carga

Una aclaración importante que debemos realizar es que las curvas anteriores no

son totalmente exactas ya que cuando la flecha d toma valores muy grandes, la

ecuación diferencial planteada pierde validez porque y’’ ya no representa a la

curvatura. No obstante podemos considerar que para el caso de barras de cierta

rigidez tales como las usuales en la construcción de estructuras las aproximaciones

realizadas se cumplirán con bastante exactitud.

2.1.1.7.4. Efecto de la Deformación Previa

Sea un elemento biarticulado que antes de recibir

cualquier carga, no es rectilíneo, y presenta una deformación

inicial dada por:

e0=a

L

xsen

π

esta hipótesis es en muchos casos bastante próxima a la

realidad para las pequeñas deformaciones que se manejan

habitualmente, debidas a defectos de fabricación; además en

cualquier caso la deformada previa se podrá desarrollar en

serie de senos y serán válidas las consideraciones

cualitativas

que aquí se utilizan.

Se admite en lo que sigue que la carga es centrada, el

material perfectamente elástico y las deformaciones pequeñas. El equilibrio implica

que:

0)ey(PM 0 ; 0)ey(EI

P''y 0 ;

L

xsena

EI

Py

EI

P''y

π (2.34)

esta ecuación diferencial tienen una solución particular de la forma:

L

xsenAy p

π, donde A se obtiene de sustituir yp en la ecuación diferencial:

Figura 2.18. Deformación previa


L

xsena

EI

P

L

xsenA

EI

P

L

xsenA

2

2ππππ

1P

P

a

1PL

EI

a

EI

P

L

EI/aPA

cr

2

2

2

2

ππ (2.35)

La solución general de la ecuación:

1P

P

L/xsenax

EI

PcosCx

EI

PsenCy

cr

21

π (2.36)


y (x=0)=0 → C2=0

y(x=L)=0 → C1

L

EI

Psen =0 → C1=0

Existiendo otra posibilidad para satisfacer la última condición, que sería la de que

P tomase el valor 2

2

L

EInPπ

, pero ésta solo puede darse para ciertos valores de

P, y está englobada en la solución C1=0, que es válida para cualquier P.

La solución de la ecuación será pues:

L/xsena

1P

P

1y

cr

π

(2.37)

siendo la deflexión total: L/xsena

1P

P

P/Py

cr

cr

T π

(2.38)

En vista de los resultados obtenidos, la deflexión previa, por la acción de P, se

ve amplificada con factor PP

P

cr

cr

, dándose la máxima flecha en el punto medio:

aPP

P

cr

cr

ε (2.39)

Representando ε frente a P/Pcr obtenemos unas curvas con la misma forma que

las obtenidas para el caso de carga excéntrica, que ya se recogieron en la Figura 2.17.


Se observa de nuevo como para P=Pcr ε→∞.

Para valores pequeños de „a‟ como los que

suelen darse en la realidad debida a defectos

de fabricación, la deflexión no toma valores de

consideración hasta que la carga no se

encuentra próxima a Pcr.

De nuevo la asíntota horizontal es común a

todas las curvas independientemente de „a‟.

2.1.1.7.5. Conclusiones

De los problemas de carga excéntrica (2.1.7.3.) y deformación previa (2.1.7.4.)

se pueden extraer algunas conclusiones:

1. Los 2 procesos de deformación son muy parecidos y el efecto de una

imperfección, ya sea de un tipo o de otro, es muy similar. Es por tanto

razonable, englobar ambos tipos en un modelo que considere una sola de

ellas, ya sea carga excéntrica o deformación previa.

2. Los elementos con pequeñas imperfecciones tienen deflexiones de valor

despreciable hasta cargas próximas a la carga crítica de Euler. En las

proximidades de ésta, la deflexión aumenta con gran rapidez.

Como consecuencia de lo anterior, se puede concluir que la carga de Euler puede

ser una buena referencia para el diseño siempre que las imperfecciones sean

pequeñas.

2.1.2. NORMATIVA DE APLICACIÓN

Revisaremos ahora el tratamiento que se da al fenómeno analizado (pandeo de Euler)

en las normativas de aplicación españolas relativas a estructuras de acero: Código

Técnico de la Edificación (CTE). SE-A y Eurocódigo 3.

Los criterios aplicados para asignar una cierta capacidad resistente a las

secciones, así como los criterios de plastificación aceptados para establecer los

límites últimos resistentes se recogen para cada caso en los ANEXOS I y II al final de

este documento. Se incluye también en estos anexos la clasificación relativa a los

tipos de sección contemplados, y los artículos, tablas y figuras necesarios para la

obtención de algunos coeficientes empleados en las expresiones que se recogen en

este apartado.

Nos centraremos aquí en las expresiones de aplicación para la comprobación de

barras en prevención de la aparición del tipo de inestabilidad analizado en este

apartado 2.1. (Pandeo de Euler).

Figura 2.19. Relación entre la

máxima deflexión y la carga

Pandeo por flexión o de Euler Normativa de aplicación 27

2.1.2.1. TRATAMIENTO SEGÚN EL CÓDIGO TÉCNICO. SE-A

El documento de Seguridad Estructural para Acero (SE-A) del CTE es un Documento

Básico destinado a verificar la seguridad estructural de los elementos metálicos

realizados con acero en edificación.

Como ya hemos comentado se incluyen a continuación las expresiones a aplicar

para la comprobación de elementos rectos de sección y axil constantes, emplazando

al apartado de anexos las aclaraciones referentes a la obtención de alguno de los

componentes de dichas expresiones.

Así, el CTE SE-A admite que la capacidad a pandeo por flexión para el caso que

nos ocupa puede tomarse como

Nb,Rd=χ∙A∙fyd (2.40)

donde A, fyd y el coeficiente de pandeo χ se calculan de acuerdo a lo establecido en los

artículos 6.3.2 y 6.3.2.1 recogidos en el Anexo I.

En estos artículos se puede observar como la Norma aplica la expresión de la

carga crítica de Euler para la determinación de la esbeltez reducida.

cr

y

N

fA λ con EI

LN

2

kcr

π

2.1.2.2. TRATAMIENTO SEGÚN EL EUROCÓDIGO 3

El Eurocódigo 3 se aplica al proyecto de edificios y trabajos de ingeniería civil de

acero, refiriéndose únicamente a los requisitos de resistencia, servicio y durabilidad de

las estructuras que en ellos se proyectan.

La expresión propuesta para la determinación de la capacidad a pandeo por

flexión tiene en este caso la siguiente forma

Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd (2.41)

muy similar a la anterior, salvo por la inclusión de un nuevo coeficiente βA cuyo valor

es función del tipo de sección del elemento analizado.

De nuevo las referencias, tablas y figuras se recogen al final de este documento,

en el Anexo II.

Al igual que el CTE, el Eurocódigo hará uso de la expresión de Euler para el axil

crítico de pandeo durante el proceso de determinación del coeficiente de pandeo.

cr

y

AN

fA βλ


2.2. PANDEO LATERAL

El pandeo lateral es un fenómeno de inestabilidad que aparece en vigas sometidas

a flexión, para determinadas geometrías de la sección de la viga y bajo ciertas

condiciones de aplicación de la carga.

Imaginemos pues una viga sometida a un momento flector uniforme (Figura

2.20); en cada sección habrá una zona comprimida y otra traccionada (Figura 2.21),

de modo que a lo largo de la viga existe un cordón sometido a compresión.

Figura 2.20. Viga flexionada

Figura 2.21. Distribución de tensiones en la sección

Consecuentemente, si la compresión de este

cordón alcanza un determinado valor, éste tenderá

a pandear (como se vio en el apartado 2.1). No

obstante, el cordón comprimido “no está solo”, el

resto de la viga tiende a impedir el pandeo, y solo

cuando M alcanza un valor suficientemente grande

(de modo que la tendencia al pandeo pueda más

que la rigidez lateral de la viga) se producirá la

inestabilidad.

Esta inestabilidad se traduce en una flexión

lateral de la viga acompañada de un giro de

torsión (Figura 2.22).

Figura 2.22. Pandeo lateral

Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 29

La existencia de un momento flector no es condición suficiente para la aparición

del pandeo lateral, sino que además deberán cumplirse ciertas condiciones en la

sección así como en el modo de aplicación de la carga:

- Módulo de torsión muy bajo y/o inercia mucho mayor en una de las 2

direcciones de la sección (Ii>>>Ij, donde i,j = y,z)

- Momento aplicado según el eje fuerte.


Consideremos la viga de la Figura 2.23 con 2 planos de simetría y sometida a cargas

en el plano (y-z). Supongamos, como en el caso del pandeo de Euler, que es posible

una situación de equilibrio con una cierta flexión lateral y torsión.

En la figura se definen unos ejes x, y, z para toda la viga, y unos ejes ξ, η, ζ para

cada sección, siendo ξ y η los ejes de simetría, y ζ el perpendicular.

La posición de una sección se define por el movimiento según x e y de su

centro, con desplazamientos denominados u y v, y por el ángulo φ girado en torno a z.

Figura 2.23. Pandeo lateral. Definición de ejes y coordenadas

Para pequeñas deformaciones los cosenos directores de los ejes ξ, η, ζ son:

dz

dun

m

1l

1

1

1

θξ

dz

dvn

1m

l

2

2

2 θ

ε

1n

dz

dvm

dz

dul

3

3

3

δ


Para pequeñas deformaciones el ángulo υ girado es pequeño, y se puede

suponer que las curvaturas en los planos x - z y ξ – ζ son iguales, y que las curvaturas

en y- z y η – ξ también lo son:

2

2

zy

2

2

zx

dz

yd

dz

ud

ξε

δξ

(2.42)

con lo que las 2 ecuaciones de flexión de una rebanada resultan:

ξξ Mdz

vdIE

2

2

(2.43)

εε Mdz

udIE

2

2

(2.44)

donde Iξ e Iη son los momentos de inercia de la sección respecto de ξ y η.

Mξ y Mη son los momentos flectores en torno a estos ejes, con sentido positivo según

la Figura 2.24.

Figura 2.24. Criterio de signos

De la ecuación de torsión para el caso general con torsión no uniforme en

perfiles abiertos obtenemos una 3ª ecuación:

δω

θθM

dz

dEI

dz

dGJ

3

3

(2.45)

Podemos referir las 3 ecuaciones anteriores al momento M, sin más que tener en

cuenta que:

αθθ δεξ MsenM,MsenM,cosMM

y dado que υ es pequeño, senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx;

Desarrollaremos inicialmente estas y otras ideas para el problema patrón que

nos servirá de base para el resto de casos.


2.2.1.1. PROBLEMA PATRÓN. VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA: Mcr

Imaginemos una sección doble T sometida a un momento flector uniforme M0 (Figura

2.25)

Figura 2.25. Viga sometida a flector uniforme M0

En cada sección la resultante de esfuerzos no es más que un momento M0.

Si se considera el trozo de viga a la izquierda de m-n, el momento sobre esta

sección, referido a ejes x,y,z, será:

Mx=-M0 ; My=0 ; Mz=0

Hemos llamado Mx, My y Mz a los momentos según los ejes con sentido positivo

dado por la regla del sacacorchos.

Como consecuencia del giro de ejes podemos referir las ecuaciones (2.43 - 2.45)

al momento M, sin más que tener en cuenta que:

αθθ δεξ senMM,senMM,cosMM 000

y dado que υ es pequeño, senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx

1dz

du

dz

dudz

dv1

dz

du1

M

M

M

θ

θ

δ

ε

ξ

0

0

0

Mdz

du

M

M

0

0

M

θ

δ

ε

ξ

M

M

M

(2.46)

con lo que Mξ=M0 Mζ=υ∙M0 Mη= 0Mdz

du

Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales (2.43 - 2.45) se obtiene:

0Mdz

vdIE 02

2

x (2.47)

0Mdz

udIE 02

2

y θ (2.48)

0Mdz

du

dz

dEI

dz

dGJ 03

3

θθ

ω (2.49)


Este es el sistema de ecuaciones que debemos resolver.

Derivando (2.49) respecto de z y sustituyendo la expresión de 2

2

dz

ud obtenida de (2.48):

0EI

M

dz

dGJ

dz

dEI

y

20

2

2

4

4

θθθ

ω (2.50)

Por simplicidad, convertiremos la ecuación anterior en:

0dz

d2

dz

d

2

2

4

4

θβθ

αθ

(2.51)

siendo ω

αEI2

GJ

y

ω

βEIEI

M

y

20

La solución a esta ecuación es del tipo:

zn4

zn321 eAeA)zmcos(A)zm(senA θ

(2.52)

donde βαα 2m y βαα 2n

siendo m y n cantidades reales positivas.

Las constantes A1, A2, A3 y A4 deben ser determinadas mediante las

condiciones en los extremos. Para ello, supondremos que estos no rotan en torno al

eje z, pero que están libres en cuanto al alabeo:

así 0dz

d

2

2

θ

θ para z=0 y z=1, ya que la tensión debida al alabeo es:

0dz

dEE

2

2

zz θ

ωεζ , siendo ω el área sectorial principal

De las condiciones en z=0 se obtiene:

A2=0 y A3=-A4 con lo cual υ=A1sen(m∙z)-2∙A4senh(n∙z)

De las condiciones en z=1 tenemos:

A1sen(m∙L) -2∙A4senh(n∙L)=0

A1∙m2∙sen(m∙L) -2∙A4∙n

2∙senh(n∙L)=0

La solución no trivial se obtiene igualando a cero el determinante:

sen(m∙L)∙( n2∙senh(n∙L)+ m2∙sen(n∙L)) =0


resultando que sen(m∙L)=0 y A4=0

La solución queda pues de la forma:

)zm(senA1 θ con L

mπ

con lo cual:

2

22

L

πβαα (2.53)

Sustituyendo α y β y despejando M0 , se obtiene el valor del momento crítico,

que es valor del momento que hace que se manifieste la inestabilidad:

2

2

ycr0LGJ

EI1GJIE

LM

ππ ω (2.54)

El caso más simple en el sentido de la expresión del Mcr, es el de la viga con

sección rectangular y pared delgada. En este caso, la rigidez a torsión es nula (Iω=0), y

por tanto el término entre paréntesis (amplificador) toma valor 1, resultando:

GJIEL

M ycr0 π

(2.55)

Se ha calculado aquí el momento que produciría el pandeo lateral de un

elemento biarticulado sometido a flexión pura. Para el elemento sometido a otro tipo

de carga o con diferentes condiciones de apoyo procederíamos de un modo similar

siendo la integración de las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada caso mucho

más complicada que en el caso simple analizado. En la obra de Timoshenko y Gere

“Theory of Elastic Stability” [11] pueden encontrarse las soluciones para varios casos

de carga y apoyo, escapando estos desarrollos a los objetivos de este documento.

Sí nos detendremos sin embargo en el análisis del problema de pandeo lateral

para viga en voladizo con carga concentrada en el extremo libre (con perfil

doblemente simétrico y de pared delgada) de acuerdo al esquema mostrado en la

siguiente figura, por tratarse de uno de los problemas que intentaremos modelar y

resolver durante la realización de este proyecto.

Figura 2.26. Viga en voladizo con carga en su extremo libre

Antes de obtener una solución al problema planteado resolveremos un caso más

simple de viga en voladizo con sección rectangular, por ser un problema ampliamente

tratado en la literatura disponible, a diferencia del caso que nos ocupa.


2.2.1.2. VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL EN EL EXTREMO LIBRE

2.2.1.2.1. Sección Rectangular y Carga aplicada en el Centro de Esfuerzos

Cortantes

Como se ha comentado

anteriormente, se considera a

continuación el caso de una viga en

voladizo solicitada por una carga

concentrada actuando en el extremo

libre. La viga analizada presenta una

sección rectangular por simplicidad, y

la carga se supondrá aplicada en el

centro de esfuerzos cortantes (CEC)

de la sección transversal. Del mismo

modo se establece la hipótesis de que

la carga permanece vertical incluso

después de producirse la deformación.

Para obtener la carga crítica (Pcr)

en este caso deberemos integrar las

ecuaciones diferenciales planteadas

en el apartado anterior. Para ello se

utilizará el método de las diferencias

finitas.

Los sistemas de coordenadas empleados, así como la definición de los sentidos

positivos asignados a momentos flectores y torsores se muestran en la Figura 2.27.

Se definen unos momentos torsores debido a que, como resultado del pandeo y

analizando en el instante inicial del mismo (para la posición deformada), el extremo

libre de la viga se desplaza una cierta cantidad δ en dirección „x‟. Este hecho, induce la

aparición de un momento torsor alrededor de „z‟ de valor Mz=P∙δ en el extremo

empotrado, junto con una reacción vertical de valor P y un momento flector en

dirección „x‟ de valor Mx= - P∙L endicho extremo.

Del equilibrio en una sección genérica situada a una distancia z del borde

empotrado obtenemos los siguientes valores del momento:

)zL(PzPLPMx

0M y (2.56)

)u(PuPPMx δδ

Puesto que es conveniente representar las ecuaciones anteriores en términos de

los ejes ξ, η, ζ necesitamos obtener la expresión de los momentos anteriores

proyectados sobre dichos ejes. En la Figura 2.28 se muestran los ángulos existentes

Figura 2.27. Pandeo lateral. Viga en voladizo


entre los ejes iniciales y los ejes ligados a la sección, así como la proyección de los

momentos anteriormente definidos sobre dichos ejes.

Figura 2.28. Sistemas de referencia y signos

Realizando de nuevo la aproximación para pequeños ángulos vista en el

apartado 2.2.1.1. (senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx), se tiene que:

dz

du)u(P)zL(P

dz

duMMM zx δξ (2.57)

dz

dv)u(P)zL(P

dz

dvMMM zx δθθε (2.58)

)u(Pdz

du)zL(PM

dz

duMM zx δδ (2.59)

Despreciando los términos de orden mayor que la unidad (términos dz

duδ ), resulta

)zL(PM ξ (2.60)


θε )zL(PM (2.61)

)u(Pdz

du)zL(PM

dz

duMM zx δδ (2.62)

Para los sentidos positivos de desplazamientos y momentos supuestos en la

Figura 2.27, las ecuaciones de momentos flectores y torsores referidas a los ejes

solidarios a la sección son las ya conocidas (ver Apartado 2.2.1.):

ξMdz

vdIE

2

2

x

εMdz

udIE

2

2

y

z3

3

MMdz

dEI

dz

dGJ δω

θθ con Iω=0 en este caso (sección rectangular)

Sustituyendo las expresiones de los momentos (2.60 - 2.62) en las ecuaciones

diferenciales anteriores obtenemos las ecuaciones a resolver:

0)zL(Pdz

vdIE

2

2

x (2.63)

0)zL(Pdz

udIE

2

2

y θ (2.64)

0)u(Pdz

du)zL(P

dz

dGJ δ

θ (2.65)

Puede observarse como las ecuaciones (2.64) y (2.65), que gobiernan los

desplazamientos tras el pandeo („u‟ y „υ’), son independientes de la ecuación (2.63),

que define el desplazamiento vertical que tiene lugar en la viga antes de alcanzarse la

inestabilidad.

Antes de intentar resolver las ecuaciones (2.64) y (2.65), es conveniente eliminar

la variable u derivando (2.65), y sustituir la expresión de d2u/dz

2 despejándola de

(2.64), como ya hicimos en el caso general. Procediendo de este modo resulta:

0EI

)zL(P

dz

dGJ

y

22

2

2

θθ

0L

z1

dz

d2

2

2

2

θλ

θ (2.66)

En la ecuación anterior se ha definido por comodidad el parámetro

y

222

EIGJ

LP

λ


La ecuación (2.66) es lineal, pero sus coeficientes no son constantes; por esta

razón, su resolución es considerablemente más complicada que la llevada a cabo para

el caso del apartado anterior.

Realizando varios cambios de variable, la ecuación (2.66) puede transformarse

en una ecuación tipo Bessel cuya solución es conocida; este procedimiento puede ser

consultado en la obra de Timoshenko y Gere [11] anteriormente referenciada.

En lugar de ello, utilizaremos el método de las diferencias finitas para obtener

una solución aproximada. Este método permite aproximar la derivada de una función

en un punto en términos del valor de la función en dicho punto, y su valor en 1 ó más

puntos próximos a éste. Así:

h

fff

dx

df ihii

ix

(i)

2

hiihi

hiiihi

2/hi2/hiii

2

h

ff2f

h

h

ff

h

ff

h

)ff()f(f

(ii)

Para obtener la formulación del problema en el sentido de las diferencias finitas

dividimos la viga en 2 segmentos iguales de longitud h=L/2 (Figura 2.29). Los

extremos de los segmentos así formados se denotan por i=0, 1, 2. El punto i=0

corresponde al extremo empotrado, y el i=2 se refiere al extremo libre del elemento.

Se incluye además un segmento adicional que se extiende desde i=2 hasta i=3,

correspondiendo a la prolongación del eje del elemento hasta una distancia L/2 del

extremo libre.

Figura 2.29. Discretización de la viga en

voladizo

En la figura aparece también la prolongación imaginaria de la deformada del

elemento hasta el punto i=3, ya que como veremos, para el desarrollo del método es

necesario evaluar el valor de υ a ambos lados del punto i=2.

La ecuación diferencial en cualquier punto z=i se obtiene sin más que sustituir en

la ecuación (d) la expresión de la derivada 2ª dada por el método de las diferencias

finitas, recogida en la ecuación (ii), resultando:

0L

z1

h

2i

2i2

2

hiihi

θλθθθ

(2.67)


Particularizando en i=1 (z=L/2) se tiene que

04

L

2

112 1

222

012

θλθθθ

y para i=2 (z=L) resulta

04

L112 2

222

123 θλθθθ

Operando se llega finalmente a las ecuaciones buscadas:

0216

L1

22

02

θ

λθθ (2.68)

02 123 θθθ (2.69)

En el extremo empotrado (z=0) del elemento el giro de torsión es υ0 =0

La 2ª condición de contorno se obtiene de imponer que el momento de torsión se

anule en el extremo libre del elemento. Así

0M

dz

dGJ z

θ en z=L

o lo que es lo mismo 0dz

d

θ en z=L

Esta última condición implica que υ3=υ1, con lo que (2.68-69) quedan como sigue:

0216

L1

22

2

θ

λθ (2.70)

022 21 θθ (2.71)

Para obtener una solución distinta de la trivial para el sistema de ecuaciones

anterior ((v) y (vi)) y obtener así el valor de la carga crítica debemos igualar a cero el

determinante; así

0

22

1216

L22

λ

02216

L2

22

λ

Quedándonos con la solución positiva de la ecuación anterior

y

22cr

EIGJ

LP

L

4

λ y2cr GJEI

L

4P (2.72)


(El valor exacto de la carga crítica calculado por Timoshenko y Gere [11] es de

y2cr GJEIL

013.4P , muy próximo al aquí establecido).

Conviene recordar que la expresión de la carga crítica se ha obtenido en este

caso bajo el supuesto de sección rectangular de pared delgada con la carga aplicada

en el centro de esfuerzos cortantes de la sección transversal.

2.2.1.2.2. Secciones Doblemente Simétricas y Carga Aplicada en el Borde

Superior

Aún hoy existe poca claridad respecto al tratamiento teórico de otros casos de

carga y tipo de sección como el que intentaremos modelar en este documento,

correspondiente a un perfil doblemente simétrico de pared delgada con carga aplicada

en el extremo libre (Figura 2.30), a una distancia ‘a’ del centro de esfuerzos cortantes,

alternándose en este sentido expresiones “poco fiables” con métodos más exactos

pero de difícil aplicación.

Figura 2.30. Viga en voladizo con carga sobre el extremo libre

En este documento se hará uso de la expresión empírica, para la determinación

de la carga crítica bajo los supuestos anteriores, desarrollada por Lei Zhang y Geng

Shu Tong [15] en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Zhejiang

(China), en base a multiples cálculos numéricos llevados a cabo mediante la aplicación

de programas de elementos finitos (EF) desarrollados a tal efecto.

A partir de estos “análisis por elementos finitos” (AEF) se desprende que la carga

crítica en ménsulas con doble simetría, con carga vertical aplicada en el CEC y

actuando de manera uniformemente repartida o concentrada sobre el extremo libre

del voladizo, puede calcularse como:

ω

ω

π

π

EI

)L2(GJ1

I

I

)L2(

EICM

2

2

y2

y2

1cr (2.73)


donde 2

1

K4

)K1(9.4C

para el caso de carga en el extremo libre, y K es un

parámetro de torsión que tiene en cuenta la longitud eficaz 2

w2

GJL

EIK

π .

Debe considerarse igualmente el efecto de un cambio de posición de la carga a

lo largo del eje vertical de la sección, dado que con el giro de la sección, una carga

aplicada fuera del CEC induce un momento adicional sobre el elemento,

reduciéndose considerablemente el valor de la carga admisible (carga crítica)

estimada para la aparición de la inestabilidad. El efecto mencionado puede apreciarse

claramente en la Figura 2.31.

Figura 2.31. Efecto sobre Mcr del punto de aplicación de la carga

Para el caso de carga colocada a una distancia „ a‟ del CEC sobre el eje

vertical de la sección (con a positivo en el borde superior), la determinación de la carga

crítica puede realizarse sin más que modificar la expresión del caso centrado,

resultando:

ω

ω

π

π

EI

)L2(GJ1

I

I)aC(aC

)L2(

EICM

2

2

y

2222

y2

1cr (2.74)

El coeficiente C1 para el caso que nos ocupa es el mismo que el definido

anteriormente, mientras que C2 tomará valores en función del punto de aplicación de la

carga (en función de „a‟).

Definimos en primer lugar el parámetro m=2a/h, siendo h la distancia entre el

CEC y los 2 bordes. Así:

para 0a )20( m : 22 )4.2K(28.0165.2C

para 0a )0m2( : mK1

6.0K69.0C2

Pandeo lateral Normativa de aplicación 41

Esta expresión arroja resultados con un alto grado de exactitud para el rango

habitual de K (K=0.1÷2.5) al ser comparados con los resultados obtenidos

experimentales y con los obtenidos mediante métodos numéricos (MEF), como puede

apreciarse en las figuras 2.32 a) y b).

Figura 2.32. a) y b) Ajuste de los resultados a los valores experimentales y numéricos

En la Figura 2.32. a) se comparan los resultados derivados de la aplicación de la

expresión aquí desarrollada con los derivados del AEF, y con los reportados por

Nethercot en “The effective lengths of cantilevers as governed by lateral buckling” [9],

por Guo YJ. en “Stability of cantilevers, theory and aplications” [6] y por Wang y

Kitipornchai en “”The stability of mono-symmetric cantilevers” [14].

En la Figura 2.32. b) la comparación tiene lugar de nuevo con el AEF y con los

resultados reportados por Trahair en “Flexural-torsional buckling of structures” [12].

Queda demostrada en sendas gráficas la más que aceptable validez de la

expresión utilizada para el rango de valores de K anteriormente mencionado.



El Código Técnico establece la obligatoriedad de la comprobación frente a pandeo

lateral para los casos en los que exista flexión dentro del plano del elemento con un

arriostramiento lateral insuficiente

En los casos en que se haga necesaria esta comprobación, se sugiere un valor

para la resistencia frente a pandeo lateral dado por la expresión:

1M

yd

yRd,b

fWM

LT γχ (2.75)

La obtención del coeficiente de pandeo lateral (χLT) se lleva a cabo a partir de la

esbeltez lateral (𝜆LT)


cr

ypl,yLT

M

fWλ

en cuya expresión se hace uso del momento crítico, que es el dato que nos interesa a

efectos de este proyecto y cuya obtención mediante el CTE pasa por la aplicación de

la siguiente ecuación:

2

LTW

2

LTVcr MMM con

2

2,f12

C

2

y,elLTW

zT

C

1LTV

iCL

EWM

EIGIL

CM

π

π

(2.76)

Los términos y parámetros desconocidos en las fórmulas mostradas se

encuentran claramente definidos en el Anexo I de este documento.


El Eurocódigo 3, en su Apartado 5.1.5, establece que las piezas sometidas a flexión

deberán ser sometidas a comprobación frente a pandeo lateral (entre otras) de

acuerdo a lo establecido en su Artículo 5.5.2.

En dicho artículo se establece la siguiente fórmula de cálculo para la resistencia

al pandeo lateral de elementos flectados no arriostrados lateralmente:

Rd,bM χLT

1M

y

y,plw

fW

γβ (2.77)

En la expresión anterior, el coeficiente de reducción correspondiente al pandeo

lateral (χLT) se determina (al igual que en el caso del CTE) en función de la esbeltez

reducida

crit

yy,plwLT

M

fWβλ

que de nuevo vuelve a ser función del momento crítico, siendo este el valor a calcular

en nuestro caso para su posterior comparación con los resultados obtenidos por

métodos alternativos, y que será calculado de acuerdo a la siguiente expresión

recogida en el Anexo F de la Norma

j3g2

21

2

j3g2

z2

t2

z

w

2

w2

z2

1cr zCzCzCzCEI

GI)kL(

I

I

k

k

)kL(

EICM

π

π (2.78)

y que se simplifica para el caso que nos ocupa (sección con doble simetría y carga en

el extremo (k=2)) según lo establecido en dicho Anexo, resultando:

t2

w2

tz1zz2

wz22

1crIGL

IE2π1IIGE

kL

πCGIEI

L

IIE2

kLCM

(2.79)

Pandeo de placas: abolladura 43

Los artículos citados anteriormente, así como el

mencionado Anexo F se encuentran íntegramente recogidos

en el Anexo II del presente proyecto, y en ellos se definen

todos y cada uno de los parámetros necesarios para la

resolución de las ecuaciones propuestas. Las expresiones

recogidas en ambas normativas se encuentran referidas a un

sistema de ejes como el mostrado en la figura adyacente.

Podemos observar cómo tanto en la expresión propuesta

por el CTE como en la ecuación planteada por el Eurocódigo

3 para el cálculo del Mcr, se hace uso de la formulación

obtenida para Mcr en el problema patrón recogido en el

Apartado 2.2.1.1.

En ambos casos se incluyen además nuevos términos o coeficientes que tienen

en cuenta las posibles variaciones respecto de las condiciones de contorno y cargas

aplicadas definidas en dicho problema patrón, así como la influencia de los puntos de

aplicación de estas últimas sobre el valor final del Mcr.

2.3. PANDEO DE PLACAS: ABOLLADURA

En los apartados anteriores a esta sección hemos tratado el pandeo de elementos

“monodimensionales”. Estos análisis han resultado relativamente simples dado que en

ellos podía asumirse que la flexión tenía lugar únicamente en 1 plano. En este

apartado trataremos el pandeo de placas, el cual implica la aparición de momentos

flectores en 2 planos, dando lugar por tanto a un análisis más complejo.

El sentido de estudiar el fenómeno del pandeo en placas reside en la

aplicabilidad de las expresiones resultantes al campo del pandeo de los elementos que

componen un perfil laminado (o armado) como puede apreciarse en la Figura 2.34.

Figura 2.34. Abolladura del alma de una viga

Figura 2.33. Ejes de

referencia de la

sección


En piezas sometidas a flexión, el alma se encuentra sometida a unas tensiones

normales y tangenciales que hacen que, en general, pueda haber zonas sometidas a

una tensión principal (o las dos) de compresión. Si estas tensiones de compresión son

lo suficientemente grandes, puede aparecer una bifurcación del equilibrio, siendo

posibles estados de equilibrio con deformaciones tranversales del alma. Es decir, es

posible que se produzca el pandeo o abolladura del alma.

Nos centraremos en primer lugar en la obtención de las ecuaciones diferenciales

que gobiernan el comportamiento con pandeo de la placa.


Cuando una placa delgada es sometida a fuerzas de compresión en su plano, puede

sufrir deformaciones transversales si los valores de la carga se encuentran por encima

de ciertos límites, esto es, puede producirse el pandeo de la placa.

El pandeo de placas difiere del de barras en 2 aspectos fundamentales:

1. Desde el punto de vista matemático, funciones como la de deflexión,

momento, etc. serán funciones de 2 variables, y por tanto, como

comentamos anteriormente, el comportamiento vendrá definido por

ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

2. Desde el punto de vista resistente hay una diferencia muy importante. En el

caso de barras, la aparición del pandeo implica que el elemento no sea

capaz de resistir más carga, y que por tanto colapse. Esto no ocurre así en

placas, ya que estás, una vez que han sufrido abolladura pueden seguir

soportando aumentos de carga, llegándose alcanzar cargas muy superiores

a la de aparición de la “primera abolladura” antes del fallo de la pieza.

Consideremos una placa de espesor uniforme h como la mostrada en la Figura 2.35.

Figura 2.35. Coordenadas y tensiones de la placa

En desarrollos posteriores se atenderá a las referencias aquí mostradas.

Además, denominaremos superficie media al plano xy situado a una distancia h/2 de

las 2 caras de la placa. En la figura se muestra también un elemento diferencial de

volumen que nos permite observar las tensiones que pueden aparecer en cada plano,

con carácter general una normal y dos tangenciales.

Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 45

La obtención de las ecuaciones teóricas que rigen el comportamiento a pandeo

de la placa de Kirchhoff vendrá basada en las siguientes hipótesis:

a) Deformaciones tangenciales γxz y γyz despreciables, y por tanto las normales

a la superficie media permanecen rectas y normales tras la deformación.

b) Tensión normal σz y su correspondiente deformación εz despreciables, y por

ello, los giros de la superficie media son representativos de los giros en

cualquier punto de la placa.

c) Efectos de membrana provocados por la flexión despreciables frente a los de

la propia flexión.

d) Material homogéneo, isótropo y comportamiento de acuerdo a la Ley de

Hooke.

Como consecuencia de las 2 primeras hipótesis, podremos tratar el problema

como uno de tensión plana.

En base a las hipótesis c) y d), podremos modelar el comportamiento de la placa

mediante ecuaciones diferenciales lineales y de coeficientes constantes.

2.3.1.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL PANDEO DE PLACAS EN TEORÍA LINEAL

Buscaremos en este apartado obtener la ecuación que rige el equilibrio en la posición

deformada, en la cual existirá una influencia de los esfuerzos coplanarios (Figura 2.36)

sobre la flexión. A partir de dicha ecuación podremos desarrollar los casos particulares

que supondrán la base para la elaboración de modelos que nos permitan reproducir y

analizar el fenómeno más adelante.

Esta ecuación será deducida a partir del análisis de la superficie media sometida

a un estado de cargas constante como el mostrado en la figura, en la que las fuerzas

serán consideradas positivas cuando actúan en las direcciones indicadas. Por otra

parte, las fuerzas referidas son fuerzas por unidad de longitud.

Figura 2.36. Fuerzas sobre la superficie media. Sentidos positivos

El equilibrio de los esfuerzos coplanarios provocados por el sistema de fuerzas

definido debe ser establecido en la posición deformada sobre un elemento diferencial

de volumen como el representado en la Figura 2.37. de lados dx y dy y espesor igual

al de la placa (h).


Figura 2.37. Esfuerzos coplanarios en la posición deformada

Dado que las deformaciones en la superficie media debidas al flector son

despreciables, los esfuerzos coplanarios se deben únicamente al efecto de las cargas

coplanarias y no varían con x o y. Sin embargo, el ángulo girado por la superficie sí

varía con x y con y, dando lugar a las pendientes y curvaturas indicadas en la figura.

Realizando la aproximación ya presentada en apartados anteriores para

pequeños ángulos, la suma de momentos en dirección x y en dirección y, y la suma de

fuerzas sobre dichos ejes son ambas nulas. La suma de las proyecciones de las

fuerzas Nx sobre el eje z resulta

dyx

wNdydx

x

w

x

wN x2

2

x

(2.80)

o de otro modo

0dxdyw

wN

2

2

x

(2.81)

La proyección y posterior suma del resto de esfuerzos actuantes sobre el

elemento diferencial en dirección z resulta

dxdyyx

wN

yx

wN

y

wN

2

yx

2

xy2

2

y

(2.82)

Para determinar las componentes según z de los esfuerzos cortantes se han

despreciado las curvaturas de los lados en los que actúan, lo cual es posible dado que

los términos que resultarían al considerar dichas curvaturas son de un orden superior

a los términos que se han retenido.


Aplicando la igualdad Nxy=Nyx a la expresión del equilibrio de momentos según z

y adicionando los términos (2.81) y (2.82) obtenemos la resultante de fuerzas en la

superficie media según z:

dxdyyx

wN2

y

wN

x

wN

2

xy2

2

y2

2

x

(2.83)

Además de las fuerzas coplanarias presentadas en la Figura 2.37. sobre el

elemento diferencial de la placa flectada actuarán los momentos y cortantes mostrados

en la Figura 2.38. en la cual se definen los sentidos positivos para los mismos.

Figura 2.38. Cortantes y Momentos flectores y torsores

Las componentes de los esfuerzos cortantes en las direcciones x e y son

despreciables. En dirección z la suma de esfuerzos debidos al cortante resulta

dxdyy

Q

x

Q zx

(2.84)

Este término, unido a los ya obtenidos en la ecuación (2.83) nos da la ecuación

de equilibrio en dirección z:

0yx

wN2

y

wN

x

wN

y

Q

x

Q 2

xy2

2

y2

2

xyx

(2.85)

Considerando ahora el sumatorio de momentos según x igual a cero obtenemos:

0dxdydyy

QdxdyQ

2

dxdydy

x

Qdxdy

x

Mdydx

y

M yy

xxyy

(2.86)


Reteniendo únicamente los términos de orden inferior resulta:

0Qx

M

y

My

xyy

(2.87)

Procediendo ahora del mismo modo para el equilibrio de momentos según y se tiene:

0Qy

M

x

Mx

yxx

(2.88)

Las ecuaciones (2.85), (2.87) y (2.88) representan las 3 ecuaciones de equilibrio

considerando el pandeo de la misma. A menudo, estas ecuaciones pueden

simplificarse combinándose para “eliminar” algunas de las variables. Así, derivando

respecto de y en (2.87) y haciendo lo propio respecto de x en (2.88) tenemos:

yx

M

y

M

y

Q xy2

2

y2

y

(2.89)

xy

M

x

M

x

Q yx2

2

x2

x

(2.90)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2.89) y (2.90) en la Ecuación (2.85)

obtenemos una única ecuación de equilibrio en la que no aparecen los esfuerzos

debidos al cortante:

0yx

wN2

y

wN

x

wN

y

M

yx

M2

x

M 2

xy2

2

y2

2

x2

y2

xy2

2

x2

(2.91)

El siguiente paso consistiría en obtener la relación existente entre momentos y

desplazamientos, relacionando para ello los momentos con las tensiones, las

tensiones con las deformaciones y las deformaciones con los desplazamientos. Este

proceso, por extenso, no se llevará a cabo en este documento tomándose

directamente las relaciones del libro de Alexander Chajes “Principles of Structural

Stability Theory” [4]. Dichas relaciones vienen dadas por:

2

2

2

2

xy

w

x

wDM μ

2

2

2

2

yx

w

y

wDM μ

yx

w)1(DM

2

xy

μ (2.92)

siendo 2

3

112

EhD

μ


La variable D representa la rigidez a flexión por unidad de ancho de la placa,

resultando equivalente al término EI utilizado en barras. Por otra parte, las relaciones

momento-curvatura dadas anteriormente para la placa son análogas a las que

teníamos en el Apartado 2.2 para el caso de la barra (M=-EI(d2y/dx2)).

Comparando las relaciones obtenidas para ambos casos se observa que la

relación para el caso de la placa coincide con la de la barra, afectada por un factor

1/(1-μ2). Esta diferencia se debe a que la barra tiene permitida la deformación lateral,

mientras que en la placa dicha deformación se encuentra restringida por el material

adyacente.

Sustituyendo las relaciones (2.92) en la Ecuación (2.91) se obtiene finalmente la

ecuación diferencial a integrar para resolver el problema de pandeo de placas:

yx

wN2

y

wN

x

wN

y

w

yx

w2

x

wD

2

xy2

2

y2

2

x4

4

22

4

4

4

(2.93)

Ya estamos pues en disposición de particularizar esta expresión para los casos

de interés en lo que respecta a este documento que en concreto serán el de

abolladura por compresión uniaxial y el de abolladura por cortante, desarrollados

respectivamente en los próximos apartados.

2.3.1.2. CARGA CRÍTICA PARA PLACA UNIFORMEMENTE COMPRIMIDA EN UNA

DIRECCIÓN

Consideraremos una placa rectangular simplemente apoyada de lados a y b y espesor

h solicitada por una fuerza de compresión uniforme por unidad de longitud de valor Nx

tal y como se indica en la Figura 2.39

Figura 2.39. Placa simplemente apoyada y uniformemente comprimida según x

Observando que la carga aplicada es negativa respecto de los signos definidos

en la Figura 2.37, y que para el caso analizado Ny=Nxy=0, la ecuación diferencial de la

placa flexionada (2.93) queda de la forma:

0x

wN

y

w

yx

w2

x

wD

2

2

x4

4

22

4

4

4

(2.94)


Dado que los 4 bordes se encuentran simplemente apoyados las condiciones de

contorno vienen dadas por la anulación de los momentos y de la deflexión lateral en

dichos bordes. Así:

0y

w

x

ww

2

2

2

2

μ en x=0 y en x=a (i)

0x

w

y

ww

2

2

2

2

μ en y=0 y en y=b (ii)

0y

w

2

2

en x=0 y en x=a (iii)

0x

w2

2

en y=0 y en y=b (iv)

Sustituyendo las 2 últimas condiciones en las 2 primeras se tiene:

0x

ww

2

2

en x=0 y en x=a (v)

0y

ww

2

2

en y=0 y en y=b (vi)

De acuerdo a los procesos ya conocidos de resolución el siguiente paso para la

obtención de la carga crítica se corresponde con la determinación de la solución no

trivial de la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno considerado. En este caso

la ecuación diferencial viene expresada en derivadas parciales, por lo que resulta

conveniente realizar ciertas consideraciones previas.

La principal diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria y otra en

derivadas parciales reside en que mientras para el primer caso puede la ecuación

puede ser satisfecha por una única función, para el segundo pueden existir numerosas

funciones que cumplan la expresión. Es por ello que la solución general en derivadas

parciales es mucho más difícil de obtener, ya que mientras que la solución general de

la ecuación ordinaria nos da una expresión de la variable en función de 1 ó varias

constantes, la solución obtenida para una ecuación diferencial en derivadas parciales

solo describe el comportamiento de la variable dependiente en términos generales.

A consecuencia de lo anterior, no merece la pena la obtención de la solución

general a la Ecuación (2.94), en lugar de ello, se acostumbra a obtener una expresión

del comportamiento de la variable utilizando una solución en forma de serie de Fourier:

1m 1n

mn yb

nsenx

a

msenAw

ππ (2.95)


La expresión mostrada cumple todas las condiciones de contorno (i-iv), y en ella

m y n son el número de semiondas de la placa abollada en direcciones x e y

respectivamente.

Para imponer también el cumplimiento de la ecuación diferencial basta derivar la

expresión anterior y sustituirla en la Ecuación (2.94), resultando:

1m 1n2

22x

4

44

22

422

4

44

mn yb

nsenx

a

msen

a

m

D

N

b

m

ba

nm2

a

mAw

(2.96)

El primer término de la expresión anterior consiste en un número infinito de

sumandos de funciones independientes. La única forma de que dicha suma valga cero

es que todos y cada uno de los coeficientes de los sumandos valgan cero. Así:

0a

m

D

N

b

m

ba

nm2

a

mA

2

22x

4

44

22

422

4

44

mn

ππππ

o de otra forma 0a

m

D

N

b

n

a

mA

2

22x

2

2

2

2

24

mn

ππ

La solución trivial implica Amn=0, que marca el equilibrio sin pandeo. Las posibles

bifurcaciones del equilibrio con aparición de la flexión vienen dadas por implican la

anulación del término contenido en el corchete. Despejando el valor de la carga en

dicho término tenemos:

2

2

2

2

2

2

22

xb

n

a

m

m

DaN

π ó

22

2

2

xmb

an

a

mb

b

DN

π

si llamamos rb

a resulta finalmente

22

2

2

xm

rn

r

m

b

DN

π (2.97)

De acuerdo con la expresión obtenida el valor crítico de la carga de compresión

está relacionado con las características geométricas de la placa, y con el número de

ondas generados en cada dirección.

Como en el caso de los fenómenos anteriormente analizados, estaremos

interesados en determinar el valor más bajo de la carga para el que se produce el

pandeo. Dicha solución se dará siempre con un valor de n=1 (1 sola semionda en

dirección y), dado que n se encuentra únicamente en el numerador.

Para n=1, y expresando (2.97) como kb

DN

2

2

x π

, con

2

m

r

r

mk

el

mínimo valor de la carga se dará para kmín. Así, derivando k respecto de m se tiene:


0m

r

r

1

m

r

r

m

b

D2

dm

)N(d

22

2x

π

0m

r

r

1

2 m=r k=4 (2.98)

resultando

2

2

xcrítb

D4N

π (2.99)

Conforme a los resultados obtenidos, al ir aumentando la carga se alcanzará un

cierto valor de Nx para el cual se producirá la abolladura. En este primer instante de

aparición de la abolladura se generará una semionda en dirección y, y un número de

semiondas en dirección x que dependerá de la relación entre los lados de la placa a/b,

y que según (2.98) será igual a m.

Hay que notar en este punto, que m siempre será un número entero y que

r=a/b no tiene porque serlo, por lo que la ecuación anterior se cumplirá estrictamente

únicamente en el caso en que r sea un número entero. En el caso general, para un r

dado, no entero, el pandeo se producirá con un número de ondas m próximo al valor

de r, pero no igual (típicamente, el nº de ondas m será igual a la parte entera de r o a

la parte entera de r+1).

Representando las evoluciones de k en función de r para un m fijo, observamos

que para cada valor de r existen varios valores de k posibles, cada uno

correspondiente a un mi dado (ver Figura 2.40). Nos interesaremos así, para cada r,

por el valor mínimo de k(mi,r) kmin(mi,r), que nos indicará que el pandeo para dicha

relación de aspecto de la placa r=a/b se producirá para un cierta carga

)r,m(kb

DN imín2

2

xcrít π

, y con un número de semiondas mi en dirección x.

Figura 2.40. Coeficiente crítico de carga k(mi,r) para placa con compresión uniaxial


En la gráfica se observa que el 1er modo de pandeo presentará 1 única

semionda en dirección x para r< 2 , mientras que se manifestará mediante 2

semiondas para 2 <r< 6 ,... a modo de ejemplo se desarrolla la obtención del

primero de estos puntos de cambio del comportamiento a pandeo.

Se observa en la curva que en el primer tramo la curva con menor k es la de

m=1, mientras que a partir de cierto valor de r la curva de m=2 se encuentra por

debajo de la de m=1. Deberemos buscar por tanto el punto de corte de las 2 curvas,

presentándose un modo de pandeo diferente a uno y otro lado de dicho punto.

4

r2

r

4)2m(k

r2r

1)1m(k

2

2

2

2

igualando resulta 4

r

r

4r

r

1 2

2

2

2

)14(r

1)4/11(r

2

2 3)4/3(r 4 4r 4

2r

Del mismo modo se obtendría el resto de puntos; sin embargo a partir de m=4 la

curva es muy aplanada y se acepta que para r>4 (a>4b), podemos tomar kmin=4.

2.3.1.3. CARGA CRÍTICA PARA PLACA SOMETIDA A CORTANTE

El fenómeno de pandeo de placas no es exclusivo de elementos sometidos a

compresión axial, sino que puede manifestarse en placas sometidas a un esfuerzo

cortante puro, ya quela única condición necesaria para la aparición de la abolladura

es la existencia de tensiones de compresión en alguna zona del elemento. En el caso

mencionado, la compresión aparece en planos que forman 45º con los bordes sobre

los que se encuentra aplicada la carga, tal y como puede observarse en la siguiente

figura, provocando la parición de abolladuras que siguen la dirección de estas

tensiones como se aprecia en la imagen de la Figura 2.42.

Figura 2.41. Tensiones en un elemento diferencial del alma


Figura 2.42. Abolladura a 45º en alma a cortante

Consideremos en lo que sigue la

placa simplemente apoyada mostrada

en la Figura 2.43 cargada por un

cortante uniforme Nxy aplicado sobre los

4 bordes. Para la determinación de la

carga crítica en el caso que nos ocupa

haremos uso del método de Galerkin

mostrado en el Apartado 2.8 del libro de

Alexander Chajes [4] consultado para la

realización de estos desarrollos.

Necesitaremos en primer lugar una expresión que modele el comportamiento de

la placa deformada para las condiciones de contorno dadas. En nuestro caso:

a

y2sen

a

x2senA

a

ysen

a

xsenAw 21

(2.100)

Para una placa a cortante puro cuya deformada venga dada mediante la

Ecuación (2.100), la ecuación de Galerkin toma la forma:

a

0

a

0

i dxdy)x(g)w(Q i=1,2 (2.101)

donde yx

wN2

y

w

yx

w2

x

w)w(Q

2

xy4

4

22

4

4

4

(2.102)

g1(x)= a

ysen

a

xsen

(2.103)

g2(x)= a

y2sen

a

x2sen

(2.104)

obteniéndose una ecuación diferente para cada término gi(x). Sustituiremos pues las

expresiones de Q(w) y gi(x) en (2.101) y procederemos a la integración de las 2

ecuaciones resultantes. El proceso detallado de integración puede consultarse en las

referencias citadas anteriormente (Chajes [4], Pág.261). Finalmente, las ecuaciones ya

integradas adoptan la siguiente forma:

Figura 2.43. Placa simplemente apoyada y

sometida a cortante puro


0AD9

N32A

a2

xy

12

4

(2.105)

0AD9

N32A

a

161

xy

22

4

(2.106)

Para establecer el valor de la carga crítica basta con igualar a cero el

determinante de las 2 ecuaciones anteriores:

2

4xy

xy

2

4

a

16

D9

N32D9

N32

a

=0 (2.107)

resultando un valor para la carga crítica

Nxycr=11.12

2

a

D (2.108)

Otros análisis más precisos que el aquí desarrollado, como el de Stein y Neff [9],

ofrecen expresiones alternativas para esta carga crítica. En concreto, las fuentes

citadas sugieren el siguiente valor de la carga crítica lineal de cortante:

Nxycr=9.342

2

a

D (2.109)

2.3.1.4. FCR PARA VARIOS CASOS. COEFICIENTE DE PANDEO DE PLACAS

A la vista de los resultados aquí presentados y de otros muchos casos reportados en

las referencias consultadas se puede observar que la expresión de la carga crítica de

abolladura presenta una estructura común sean cuales sean las condiciones de

contorno y tipo de carga para el elemento analizado. Así, cualquiera de los valores

obtenidos para la carga crítica puede ser escrito de la forma

2

2

2

crb

t

)1(12

EkF

(2.110)

donde Fcr es la tensión crítica normal o tangencial, y la única diferencia entre los

distintos casos posibles la representa el coeficiente k, que depende de las condiciones

de contorno, de la geometría de la placa y del tipo de carga aplicada.

En la siguiente tabla se recoge el valor del coeficiente k para los posibles casos

de interés en los posteriores estudios a realizar. Estos valores han sido extraídos

nuevamente del libro de Alexander Chajes [4]


Condiciones de carga Condiciones de contorno en los bordes Coeficiente de

pandeo k

Compresión uniaxial

a/b>4

- Los 2 bordes cargados se encuentran

simplemente apoyados

- Bordes descargados:

1. Los 2 simplemente apoyados

2. Uno empotrado y el otro simplemente

apoyado

3. Los 2 empotrados

4. Uno simplemente apoyado y el otro libre

5. Uno empotrado y el otro libre

4.0

5.42

6.97

0.425

1.28

Cortante puro

a/b>1

1. Todos los bordes simplemente apoyados

2. Todos los bordes empotrados

5.34+2ba

4

)/(

8.98+2ba

65

)/(

.

Tabla 2.1. Coeficientes de pandeo de placas para varios casos de interés


Para el caso de la abolladura, ambas normativas hacen una distinción clara en el

tratamiento de las comprobaciones en función del tipo de cargas/esfuerzos que actúen

sobre el elemento, pudiendo distinguirse 2 situaciones:

1. Abolladura por cortante: correspondiente al caso estudiado en el Apartado

2.3.1.3. Ante este estado de esfuerzos se intentará evitar la aparición de

abolladuras del tipo mostrado en la Figura 2.42.

2. Abolladura frente a cargas puntuales: este tipo de abolladura, de

producirse, se asemejaría más al estudiado en (2.3.1.2). Así, la carga

transversal aplicada sobre el ala puede dar lugar a 3 fenómenos diferentes:

- Aplastamiento del ala en la zona bajo la carga

- Abolladura local en la zona del alma adyacente al punto de aplicación

de la carga con deformación plástica del ala

- Abolladura global del alma a lo largo del canto

Pandeo de placas: abolladura Normativa de aplicación 57


2.3.2.1.1. Abolladura a cortante

El Código Técnico de la Edificación establece que no será necesario comprobar

la abolladura por cortante para elementos tipo barra que posean almas de

dimensiones d (altura) y t (espesor) tales que su esbeltez (d/t) cumpla:

ε 70t

d

ni en aquellos en los que disponiendo de rigidizadores tranversales, se cumpla que:

ηε k30t

d

La resistencia del alma frente a abolladura por cortante vendrá dada por la

siguiente expresión:

1M

bRd,b

tdV

γ

η (2.111)

De nuevo, kτ, τb y ε se encuentran definidos en el Anexo I de este documento, al

igual que otros parámetros y coeficientes necesarios para la determinación de éstos.

2.3.2.1.2. Abolladura ante cargas puntuales

Se establece la no necesidad de comprobación ante este tipo de cargas en caso

de disponerse de rigidizadores calculados de acuerdo al Artículo 6.3.3.4 en la zona de

aplicación, o en el caso de elementos no rigidizados cuyas almas sean capaces de

resistir el esfuerzo de compresión provocado por la carga puntual, es decir, para

elementos en los que se cumpla:

1F

F

Rd,b

Ed

FEd valor de cálculo de la carga concentrada

Fb,Rd resistencia de cálculo del alma frente a cargas concentradas

La resistencia de cálculo del alma frente a cargas concentradas viene dado por:

1M

efyw

Rd.b

LftF

(2.112)

donde Lef es un coeficiente de minoración obtenido a partir del valor que la norma

aplica para la carga crítica de abolladura (Fcr), que viene dada por

d

tEk9.0F

3

Fcr (2.113)


Los apartados necesarios para la determinación de los coeficientes necesarios

para cerrar el problema se encuentran recogidos en el Anexo I.


2.3.2.2.1. Abolladura a cortante

Aplicando el Eurocódigo 3 no será necesario comprobar la posible abolladura del

alma por cortante para relaciones de esbeltez similares a las utilizadas por el CTE:

69t

d si no hay rigidizadores transversales y ηε k30

t

d si los hay

En caso de requerirse una comprobación a causa de las características

geométricas del elemento, el Eurocódigo propone 2 métodos alternativos, debiendo

emplearse un único método para cada comprobación.

En el caso que nos ocupa se mencionará únicamente el método post-crítico

definido en el Artículo 5.6.3 de la Norma, ya que será éste el empleado en los

apartados de resolución de los problemas planteados en este proyecto, por ser

análogo al utilizado por el CTE. En cualquier caso, tanto el método post-crítico como el

segundo método propuesto por el Eurocódigo 3 (método del campo diagonal de

tracciones, se encuentran íntegramente incluidos en el Anexo II para cualquier tipo de

consulta, limitándonos en este apartado a introducir las fórmulas de cálculo

principales.

La resistencia a la abolladura vendrá dada, para el método post-crítico, por la fórmula:

1M

bawRd,b

tdV

(2.114)

Al igual que ocurría en apartados anteriores, los extractos de la Norma

necesarios para el cálculo de Vb,rd, τba, etc., por aplicación del Eurocódigo 3 se recogen

en el Anexo II.

2.3.2.2.2. Abolladura ante cargas puntuales

Ante la aplicación de cargas puntuales transversales al ala, el elemento metálico

será susceptible de presentar cualquiera de los 3 fenómenos comentados en la

introducción de este apartado. La aparición de uno u otro dependerá del modo en el

que las cargas puntuales son resistidas por el elemento (cargas resistidas mediante

cortante en el alma o cargas transmitidas de un ala a la otra) y de los valores de carga

crítica para cada uno de los fenómenos, manifestándose en primer lugar el que

presente un valor menor de dicha carga, viniendo éstos definidos en cada caso por las

siguientes expresiones:

a) Resistencia al aplastamiento:

Ry,Rd=(sy+ss)twfyw/γM1 (2.115)

Pandeo de placas: abolladura Normativa de aplicación 59

b) Resistencia a la abolladura localizada:

Ra,Rd=0.5tw2(Efyw)1/2[(tf/tw)1/2+3(tw/tf)(ss/d)]γM1 (2.116)

c) Resistencia a la abolladura:

Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd, (2.117)

que es la resistencia de cálculo para el pandeo de una pieza virtual de alto d y de

ancho beff=[b2+s2]1/2 de acuerdo a lo establecido en el Apartado 5.7.5 de la Norma,

incluido en el Anexo II.

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2. TIPOS DE INESTABILIDAD ANALIZADOSbibing.us.es/proyectos/abreproy/4783/fichero/Vol+I.+CAPÍTULOS%2F2.+Tipos+de...Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 11