2 Texto Mate Parte 2 Ceam 2012

C E A M MATEMATICADISEÑO DE MODA Prof. WALDO VALER

2012 Página 73

III. MOVIMIENTOS Y SIMETRIAS

El concepto de simetría es de gran importancia, no solo en arte y en matemáticas sino en muchas otras ciencias. Así simetría aparece en física, química, biología, geología,..etc. En matemáticas es esencial en la aparición y en el desarrollo de muchas ideas fundamentales. Por supuesto es de gran importancia en geometría pero también es central en algebra donde se halla en la base de la teoría de grupos. Por dar un ejemplo, la teoría de Galois está basada en la simetría y se aplica desde, para determinar que polígonos regulares se pueden construir con regla y compás hasta para saber que ecuaciones algebraicas se pueden resolver mediante expresiones con radicales.

En arte el término simetría es sinónimo de armónico, bello, bien proporcionado, pero también se aplica a la simetría geométrica que puede presentar un objeto.Como ocurre habitualmente en matemáticas es necesario en principio abstraer el concepto de simetría a su máxima generalidad. Esto permitirá estudiar la simetría en muy distintos contextos. Para ello nos hemos de situar en un universo dotado de cierto tipo de transformaciones naturales. Una simetría de un objeto de tal universo será una transformación que deja invariante tal objeto. El paradigma y origen de la simetría se da en el estudio de las figuras del plano o del espacio. El universo es el plano, el espacio tridimensional o n-dimensional y las transformaciones son los movimientos.

La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades, sino también los movimientos de esas figuras. El deslizarse en una patineta o en una pista de hielo, trasladarse en una escalera mecánica, girar en un auto o en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesante en estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se voltea no cambia de forma ni tamaño. Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. Traslación, rotación, reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría. La geometría describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.


2012 Página 74

Cada imagen es la transformada de una figura. Observa en las imágenes de abajo cómo a cada punto de la figura original (A) le corresponde un solo punto de la imagen (A’) y a cada punto de la imagen le corresponde un solo punto de la figura original.

Estas transformaciones tienen algo adicional: no cambian el tamaño ni la forma de la figura, sólo cambian su posición. Estas transformaciones se llaman isometrías. La palabra isometría (iso: igual, metría: medida), describe muy bien estos movimientos. Las traslaciones, rotaciones y reflexiones son isometrías. Veremos como estos movimientos son utilizados en los diseños de papel tapiz, diseños de cerámicas y en el arte en general.

SIMETRÍA AXIAL O REFLEXIÓN RESPECTO DE UNA RECTA (BILATERAL)

En la naturaleza, en el arte, en las cerámicas, papeles de decoración de las paredes (ornamentación geométrica) y otros, se encuentran simetrías bilaterales (reflexiones respecto de rectas o ejes).


2012 Página 75

SIMETRÍAS DE TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y AXIAL

Las isometrías (movimientos rígidos o congruencias) de un plano, diferentes de la identidad, se clasifican según la cantidad de puntos fijos que tienen.


2012 Página 76

Hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos de isometrías, entre las que mencionamos las reflexiones con deslizamiento: es una reflexión seguida de una traslación paralela al eje de reflexión (o en el orden contrario). Ese tipo de isometría se manifiesta en las huellas que dejan los pies al caminar sobre la arena de playa y en la disposición de hojas de helechos, entre otros.

Las simetrías han sido utilizadas desde la antigüedad por diversas civilizaciones. Los sumerios fueron particularmente aficionados a la simetría bilateral, de esto hay gran variedad de ejemplos. La simetría, independientemente de la amplitud con que se defina su significado, es una idea por medio de la cual el hombre, a través de los tiempos, ha intentado comprender y crear orden, belleza y perfección. También las poblaciones indígenas se valen de la simetría para la decoración de diversos objetos..

.

En el arte primitivo existen muchos ejemplos del uso de las simetrías


2012 Página 77

SIMETRÍA Y DECORACIÓN

Utilizando un motivo (una figura) y por repetición del mismo, mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se pueden realizar ornamentaciones (decoraciones). Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una faja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas) y si se recubre una parte del plano, sin dejar “huecos” ni superponerse (bien acoplados), se obtienen mosaicos o Teselaciones

También hay diseños denominados grupos puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci) que son figuras con centro (un punto fijo: rotaciones con un centro en ese punto y reflexiones respecto de ejes que pasan por ese punto).


2012 Página 78


2012 Página 79


2012 Página 80


2012 Página 81

Otros grupos de simetrías más complejos son los cristalográficos planos que son los grupos de simetrías de arabescos infinitos. Estos grupos contienen traslaciones en dos direcciones distintas. El arabesco que aparece en la Figura ha sido creado recientemente usando un programa de diseño (Taprats).

Los grupos de simetría de figuras no sólo son interesantes para analizar una figura o una obra de arte sino que también poseen una potencia generadora.

Algo parecido a lo que ocurre cuando situamos algo dentro de un caleidoscopio. El resultado es la repetición simétrica de la figura original, dando lugar a diseños con distintos tipos de grupos de simetrías dependiendo de la forma de construcción del caleidoscopio.

Actualmente existen programas que emulan caleidoscopios para cualquier grupo cristalográfico (sin espejos pues el grupo puede no contener reflexiones) y que originan cualquier grupo cristalográfico.


2012 Página 82

COMPOSICIÓN EN EL DISEÑO Y LA SIMETRÍA

En una composición se puede conseguir el equilibrio a través del uso de líneas y formas. Todos los pesos deberán estar compensados para obtener el equilibrio ideal.

Como medición del peso de las formas y líneas que utilizamos en una composición, se observa la importancia que tienen los objetos dentro del diseño o creación que queremos representar, intentando equilibrar los elementos de mayor importancia con los de menor importancia, y los de mayor peso con los de menor.

Clasificamos el equilibrio en dos tipos: simétrico y asimétricoEl equilibro simétrico: Se produce cuando al dividir una composición en dos partes iguales, existe igualdad de peso en ambos lados. No se encuentran elementos que sobresalgan más que el resto en importancia y peso.

Un ejemplo más inmediato de simetría en el mundo orgánico es la mariposa, cuyas alas poseen simetría axial bilateral, en la que el eje es el cuerpo del insecto. Sus dibujos están dispuestos simétricamente respecto al eje. Esta regularidad constituye, a nivel de percepción, un factor estético de armonía. La creación de un diseño simétrico nos transmite una sensación de orden.

El equilibrio asimétrico: Un equilibrio es asimétrico cuando al dividir una composición en dos partes iguales, no existen las mismas dimensiones en tamaño, color, peso etc, pero existe un equilibrio entre dos elementos.

En el equilibrio asimétrico, al ser desiguales los pesos a un lado y otro del eje, el efecto es variado.

La asimetría nos transmite agitación, tensión, dinamismo, alegría y vitalidad; en este tipo de equilibrio una masa grande cerca del centro se equilibra por otra pequeña alejada del aquel.


2012 Página 83

IV. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

A menudo dentro de la carrera profesional del Diseñador de Moda, es necesario tener algunas pautas de la geometría elemental, de manera que le sea más sencillo el desarrollar su creatividad por ello mencionaremos algunas de las construcciones geométricas más comunes.

1. SEGMENTOS EN EL PLANO

1.1. Segmentos: operaciones

Tanto matemáticamente como gráficamente podemos realizar una serie de operaciones con los segmentos. Podemos sumar un segmento (o varios) con otro y también podemos restar un segmento menor de otro mayor. En cambio, no es posible multiplicar un segmento por otro, aunque sí se puede multiplicar, y también dividir, un segmento por un número cualquiera.

1.1.1. Sumar los segmentos AB, CD y EFSumar segmentos es llevarlos uno a continuación de otro sobre una recta cualquiera.

.1.1.2. Restar al segmento AB, el segmento CDRestar segmentos es llevarlos uno a continuación de otro sobre una recta cualquiera, pero en sentido contrario.

1.1.3. Multiplicar el segmento AB por 4Multiplicar un segmento por un número, es sumarlo tantas veces como indica el número, esto es, llevarlo a continuación tantas veces como el número a multiplicar.

.

1.1.4. Dividir el segmento AB en dos partes iguales. MEDIATRIZLa MEDIATRIZ es la recta que divide al segmento en dos partes iguales. Esta característica hace que el trazado de la Mediatriz sea muy importante a la hora de buscar soluciones gráficas.Según esto, podremos dividir un segmento entre 2, 4, 8, etc. Para poder dividir un segmento en un número distinto, por ejemplo 5 habrá que utilizar otro método, descrito en el siguiente punto.


2012 Página 84

OPERACIONES:1. Se traza una recta r cualquiera, y a partir del punto (O), se

coloca el segmento AB.2. Con una abertura cualquiera del compás, algo mayor a la

mitad del segmento, se traza un arco desde A.3. Con la misma medida del compás, se traza otro arco desde el

punto B.4. Los dos arcos se cortan en los puntos 1 y 2. Uniendo estos dos

puntos obtenemos la MEDIATRIZ. Donde la Mediatriz corta al segmento, se encuentra el punto medio del segmento.

.1.1.5. Dividir un segmento en un número de partes iguales.Esta operación es muy importante ya que permite poder dividir un segmento en un número de partes que se desee. Vamos a ver, como ejemplo, la división del segmento AB en 5 partes iguales.

OPERACIONES:1. Desde un extremo del segmento AB, por ejemplo el A, se

traza una recta cualquiera, por ejemplo la s.2. Con una abertura cualquiera en el compás, se lleva 5 veces la

misma medida sobre la recta s.3. El último punto que se obtiene (en nuestro caso el 5) se une

con el otro extremo del segmento, el B.4. Por el resto de las divisiones, se trazan paralelas a la última

línea trazada (la formada entre los puntos 5 y B) y todos los cortes en el segmento AB serán las divisiones del segmento.

1.2. Paralelas/perpendicularesEl concepto de paralelismo y perpendicularidad es básico para un sin fin de operaciones en dibujo. Por este motivo nos detendremos en conocer bien sus características y la forma de construcción.

1.2.1. ParalelasSon rectas paralelas aquellas que están separadas por una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se tocan nunca.La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son paralelas entre sí.

1.2.2. PerpendicularesSe trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto (ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes iguales, formando 4 ángulos de 90º.

La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º.Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro.


2012 Página 85

1.2.3. Trazar una recta perpendicular en el extremo de una semirectaPara realizar este trabajo bastaría utilizar adecuadamente la escuadra y el cartabón. En este caso veremos cómo se puede hacer este trazado con el uso de una regla y un compás.OPERACIONES1. Desde el punto O de la semirecta Or, utilizando el compás,

se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirecta Or en el punto 1.

2. Desde el punto 1, con la misma abertura del compás, se traza un arco, obteniendo el punto 2. De igual manera obtengo el punto 3.

3. Utilizando los puntos 2 y 3, realizo otro arco con la misma abertura del compás, obteniendo el punto 4.

4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la recta perpendicular a la semirecta Or en el extremo de la semirecta.

1.2.4. Trazar una recta perpendicular a otra que pase por un punto exterior a la rectaEn este caso tenemos un punto externo a una recta y tenemos que trazar una recta que pase por el punto y sea perpendicular a la recta dada. Nuevamente este ejercicio se puede realizar sencillamente con el uso adecuado de la escuadra y cartabón. En este caso veremos como se resuelve mediante una regla y un compás.OPERACIONES:1. Desde el punto P dado, con una abertura del compás cualquiera,

se traza un arco que corte a la recta r dada. Se obtienen los puntos 1 y 2.

2. Desde los puntos 1 y 2 se trazan dos arcos con una abertura del compás algo mayor a la mitad. Se podría utilizar la misma medida utilizada en la operación 1. Se obtiene el punto 3.

3. Se unen los puntos 3 y P, y obtenemos la recta que es perpendicular a r y a su vez pasa por el punto 3.

1.2.5. Trazar una recta paralela a otra recta que pase por un puntoEn este caso nos dan un punto P, exterior a una recta r. Nos piden que hagamos una recta que pase por el punto P y que sea paralela a la recta r, utilizando únicamente una regla y un compás.Igual que en los casos anteriores, este ejercicio se puede realizar sencillamente con el uso adecuado de la escuadra y cartabón. En este caso veremos como se resuelve mediante una regla y un compás.OPERACIONES:1. Desde el punto P y con una abertura del compás

cualquiera, se traza un arco que corte a la recta r. Obtengo el punto 1.

2. Desde el punto 1 y con la misma abertura del compás, se traza otro arco que tendrá que pasar por el punto P y cortar a la recta r. Se obtiene el punto 2.

3. Con la ayuda del compás, se toma la distancia que hay entre el punto 2 y el punto P. Se lleva a partir del punto 1. Se obtiene el punto 3.

4. Se unen los puntos P y 3 y obtengo la recta que pasa por P y es paralela a la recta r.

1.3. Características de la escuadra y el cartabónLas escuadras son dos reglas, o mejor, dos plantillas con unas características especiales. La principal es que en ambos casos forman un triángulo rectángulo, es decir, uno de los ángulos es recto, esto es, de 90º. Esto hace que los lados que forman el ángulo recto, sean perpendiculares entre sí.


2012 Página 86

Juego de escuadras Está compuesto por una escuadra y un

cartabón. En ambos casos son reglas que forman un

triángulo rectángulo, es decir, uno de los ángulos es recto.

La escuadra está formada por en triángulo isósceles. Uno de los ángulos es 90º (ángulo recto) y los otros dos son de 45º. Según esto, dos lados de la escuadra son iguales y el tercero es distinto.

El cartabón tiene un ángulo de 90º (ángulo recto) otro ángulo de 60º y el tercero de 30º. Los tres lados son distintos.

1.3.1. Manejo de la escuadra y el cartabónEs muy importante saber utilizar correctamente la escuadra y el cartabón. Son dos reglas que por sus características harán posible que el dibujo sea más exacto y lo pueda finalizar más rápido.

En el caso de que quisiéramos construir paralelas, deberíamos utilizar el cartabón como apoyo. El cartabón quedará fijado en un sitio y no se moverá.

La escuadra, apoyada por uno de sus tramos cortos (cateto a o cateto b) sobre el cartabón, se deslizará sobre el tramo largo del cartabón (hipotenusa), que en el dibujo anterior hemos llamado: lado c. El tramo largo de la escuadra se utilizará para trazar las paralelas.

Para construir perpendiculares a las rectas anteriormente trazadas, habrá que girar la escuadra y volverla a apoyar sobre el cartabón. Nuevamente apoyamos el tramo corte de la escuadra (cateto) y utilizamos el tramo largo (hipotenusa) para trazar las líneas perpendiculares.

2. ÁNGULOS

2.1. Ángulos: operacionesLos ángulos, como ya se ha vistos, son porciones de espacio encerradas entre dos líneas (lados del ángulo) que se cortan en un punto llamado vértice. Los ángulos permiten que se hagan una serie de operaciones con ellos.

2.1.1. Trasladar o transportar un ángulo.Las operaciones con ángulos se basan en poder trasladar un ángulo de un lugar a otro. Por este motivo, la operación de transportar un ángulo es muy importante.En este apartado veremos cómo trasladar un ángulo de un sitio a otro. Existen varias formas de hacer esta operación, incluso utilizando un transportador de ángulo. Con el transportador de ángulos, tendríamos que medir el ángulo y construir el mismo ángulo en el sitio que nos pidan.En este caso, veremos cómo se resuelve gráficamente este problema, es decir, utilizando una regla y un compás.


2012 Página 87

OPERACIONES1. Nos dan cómo dato el ángulo A y nos piden que

traslademos el ángulo sobre la recta r y a partir del punto A’.

2. Cogiendo un compás, pinchamos sobre el vértice A y abrimos el compás con una medida cualquiera. Trazamos un arco que corte los dos lados del ángulo. Obtenemos los puntos 1 y 2.

3. Con la misma abertura del compás utilizada para la operación anterior, se traza otro arco en el punto A’. El arco trazado corta a la recta r en el punto 1′.

4. Utilizando el compás, cogemos la distancia que hay entre 1 y 2. Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta medida del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco sobre el arco que teníamos. Obtenemos el punto 2′.

5. Unimos el vértice A’ y el punto 2′ y tendremos el ángulo transportado..2.1.2. Suma de ángulos.Conociendo bien la operación anterior, las siguientes son muy sencillas. Para sumar ángulos, tan solo habrá que trasladar los ángulos uno a continuación de otro..2.1.3. Restar al ángulo A, el ángulo B.Se trata de la misma forma que la suma, pero en vez de llevar el ángulo a “continuación”, se lleva “hacia atrás”. Las operaciones, por tanto, son similares a las de la suma. Habrá que tener en cuenta que el segundo ángulo habrá que llevarlo hacia atrás, hacia el inicio.

2.1.4. Multiplicar un ángulo por un número.De la misma forma que pasaba con los segmentos, no podemos multiplicar un ángulo por otro ángulo. Pero SÍ que se puede multiplicar un ángulo por un número cualquiera. La solución es sencilla, porque se trata de sumar el ángulo tantas veces como nos lo indique el multiplicador.

.

2.1.5. Dividir un ángulo en dos partes iguales. BISECTRIZ.La bisectriz es la línea que divide el ángulo en dos partes iguales. Esta propiedad hace que el trazado de la bisectriz sea muy importante.Nos plantean el siguiente ejercicio: nos dan el ángulo A y nos piden dividirlo en 2 partes iguales, es decir, nos piden trazar la bisectriz del ángulo A


2012 Página 88

OPERACIONES.1. Pinchando con el compás en el vértice

del ángulo A y abriendo el compás la medida que se quiera, se traza un arco que corta a los lados del ángulo en los puntos 1 y 2.

2. Ahora cogemos una abertura del compás, algo superior a la mitad del arco 1-2. La abertura puede ser cualquiera pero tiene que ser algo mayor al citado arco.

3. Con esta abertura se trazar un arco desde 1 y otro desde 2. Se cortan en el punto 3.

4. Uniendo 3 con el vértice del ángulo A, obtenemos la BISECTRIZ.

.2.1.6. Trazado de la bisectriz de un ángulo cuando el vértice queda fuera de los límites del dibujo.A veces se nos plante que tenemos que trazar la bisectriz de un ángulo cuando el vértice queda fuera del plano, fuera de la lámina o fuera de cualquier elemento sobre el que estemos trabajando. Evidentemente, no se resuelve dibujando en la mesa de trabajo ni pegando láminas para ampliar el campo y llegar al vértice.

2.2. Ángulos: construcciónEn muchas ocasiones tenemos la necesidad de construir ángulos y no disponemos de un transportador de ángulos.A continuación veremos cómo se construyen ángulos determinados usando el compás o la escuadra y el cartabón:

A. Utilizando el compás

2.2.1. Construcción de un ángulo de 90º.

OPERACIONES1. Desde el punto O de la semirecta Or, utilizando el compás,

se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirecta Or en el punto 1.

2. Desde el punto 1, con la misma abertura del compás, se traza un arco, obteniendo el punto 2. De igual manera obtengo el punto 3.

3. Utilizando los puntos 2 y 3, realizo otro arco con la misma abertura del compás, obteniendo el punto 4.

4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la recta perpendicular a la semirecta Or en el extremo de la semirecta.


2012 Página 89

.2.2.2. Construcción de un ángulo de 45º.Partiendo del ángulo de 90º construido anteriormente, trazamos la bisectriz del ángulo y obtenemos el ángulo de 45º.

. ..2.2.3. Construcción de un ángulo de 22º 30′.Si nos piden la construcción de un ángulo de 22º 30′, tendremos que fijarnos que esta medida es la mitad del ángulo de 45º. Para construir este ángulo habrá que dividir el ángulo de 45º en dos partes iguales, o lo que es lo mismo, trazar la bisectriz del ángulo de 45º..2.2.4. Construcción de un ángulo de 60º.Partimos del ángulo de 90º.OPERACIONES:1. Con una abertura cualquiera del compás y pinchando en el

vértice del ángulo de 90º (vértice O), trazamos un arco que corta a la recta r en el punto 1.

2. Pinchando con el compás en 1, trazamos un arco CON LA MISMA abertura que habíamos utilizado en el arco anterior. Corta al arco anterior en 2.

3. Unimos 2 con el vértice del ángulo (O) y obtenemos el ángulo de 60º.

.2.2.5. Construcción de un ángulo de 30º.En este caso partimos del ángulo de 60º. Trazamos la bisectriz del ángulo de 60º y obtenemos el ángulo de 30º.

2.2.6. Construcción de un ángulo de 15º.De la misma forma que en el caso anterior, en este caso partimos del ángulo de 30º. Trazamos la bisectriz del ángulo de 30º y obtenemos el ángulo de 15º..B. Utilizando la escuadra y el cartabón

También podemos construir un gran número de ángulos utilizado los ángulos proporcionados por la escuadra y cartabón. Sabiendo que la escuadra tiene un ángulo de 90º y dos de 45º y el cartabón tiene ángulos de 30º, 60º y 90º, algunas de las construcciones que se pueden hacer son:

2.2.7. Construir un ángulo de 22º 30′.Partiendo del ángulo de 45 que tiene una escuadra, podemos utilizar este ángulo para, por medio de la bisectriz, conseguir el ángulo de 22º 30′ . .2.2.8. Construir un ángulo de 75º.Podríamos llegar a este ángulo sabiendo que uno de los ángulos de la escuadra es 45º y uno de los ángulos del cartabón es 30º. Sumando ambos, obtenemos el ángulo de 75º.

2.2.9. Construir un ángulo de 67º 30′.Si sumamos el ángulo de 90 º del cartabón con los 45º de la escuadra tendremos un ángulo de 135º. Al trazar la bisectriz de este ángulo, obtenemos el ángulo de 67º 30′..

http://ibiguri.wordpress.com/2011/12/28/bisectriz/


2012 Página 90

2.2.10. Construir un ángulo de 7º 30′.Al coger el ángulo de 60º del cartabón y quitarle los 45º de la escuadra obtenemos un ángulo de 15º. Al trazar la bisectriz de este ángulo, obtenemos el ángulo que nos piden (7º 30′).

3. PolígonosPolígono es la figura plana y cerrada que está formada por rectas que se cortan dos a dos.

Para que formen una figura plana y cerrada el número mínimo de rectas que se necesitan son tres. A estos polígonos se les llama Triángulos.

Polígonos regulares, son aquellos que tienen sus lados iguales y sus ángulos también.

Dependiendo del número de lados los polígonos son: Triángulos (tres lados), Cuadriláteros (cuatro lados), Pentágonos (cinco lados), etc.

3.1. TriángulosAunque tanto los triángulos como los cuadriláteros son polígonos, dadas las características especiales que tienen, se presentan en sendos capítulos, separados del destinado a polígonos.

3.1.1. Características generales.Un triángulo es una figura plana formada por tres lados que se cortan dos a dos.

Denominación:Ángulos: se utilizan letras mayúsculas (A, B, C, etc).Lados: los lados opuestos a los ángulos, utilizan las mismas letras, pero en minúsculas.

Tipos de Triángulos:

3.1.2. Construcción de un triángulo, conocidos los tres lados.OPERACIONES:1. Se coloca un lado (por ejemplo, el lado a) como base.2. Desde un extremo del lado a (punto C) se traza un arco con una abertura del compás igual al lado b.3. Desde el otro extremo (punto B) se traza un arco con un radio de longitud igual al lado c.


2012 Página 91

4. Unir el punto donde se cortan los dos arcos (punto A) con los extremos del lado a (puntos C y B). Se obtiene el triángulo.

3.1.3. Construcción de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.OPERACIONES:1. Se sitúa el ángulo A en la posición elegida para construir el triángulo.2. A partir del vértice A se traza un arco con la medida del lado b, hasta cortar un lado del ángulo A.3. Desde el vértice A, se traza un arco con el lado c, hasta cortar el otro lado del ángulo A.4. Se unen los puntos de intersección conseguidos y se obtiene el triángulo solicitado.

3.1.4. Construcción de un triángulo a partir de un lado y los dos ángulos adyacentes.Se trata de construir un triángulo, determinado por dos ángulos adyacentes y el lado comprendido.Ángulos adyacentes son aquellos que tienen uno de sus lados sobre una misma recta.OPERACIONES:1. Sobre una recta cualquier r, se coloca el lado b.2. En uno de los extremos del lado b, se construye el ángulo A.3. Sobre el otro extremo, se lleva el ángulo C.4. Uniendo el tercer vértice (ángulo B) con los otros dos vértices, se obtiene el triángulo propuesto.

3.1.5. Construcción de un triángulo rectángulo conocidos los catetos.Se trata de construir un triángulo rectángulo, determinado por sus dos catetos.Habrá que tener en cuenta que estos dos catetos deberán estar sobre los lados de un ángulo recto.OPERACIONES:1. Sobre una recta r cualquiera, se coloca uno de los catetos (p.e. el b).2. Sobre un extremo del cateto construido, se coloca una recta s, perpendicular a la recta r.3. Sobre la recta s, se traslada el segundo cateto c.4. Se unen los tres puntos (los de r y s junto con el de la intersección) y se obtiene el triángulo.

3.1.6. Construcción de un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo adyacente.Se trata de construir un triángulo rectángulo, determinado por uno de sus catetos y el ángulo adyacente.OPERACIONES:1. Sobre una recta r cualquiera, se coloca el cateto b.2. Sobre un extremo del cateto construido, se coloca una recta s perpendicular a la recta r.3. Sobre el otro extremo del cateto se construye el ángulo C y se prolonga su lado.4. Partiendo de los tres puntos, se traza la figura, obteniendo el triángulo solución.

3.1.7. Construcción de un triángulo rectángulo conocido un cateto y la hipotenusa.Se trata de construir un triángulo rectángulo, determinado por su hipotenusa y uno de sus catetos.OPERACIONES:1. Sobre una recta r cualquiera, se coloca la hipotenusa.2. Se halla el punto medio M de la hipotenusa.3. Desde el punto medio M, se traza una semicircunferencia que pase por los extremos de la hipotenusa.4. Sobre uno de los extremos, se lleva la longitud del cateto c, cortando a la circunferencia en un punto.5. Se une este punto con los extremos de la hipotenusa y se obtiene el triángulo solicitado.

3.2. CuadriláterosLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Los tipos de cuadriláteros son variados y dependen de si sus lados son o no paralelos, tienen o no la misma longitud y son o no perpendiculares entre sí.Estas y otras características se deberán tener en cuenta para poder construir los distintos tipos de cuadriláteros.

3.2.1. Características generales.Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la disposición de los lados y los ángulos que forman, se obtienen distintos tipos de cuadriláteros.Tipos de cuadriláteros1. PARALELOGRAMO. Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos.2. TRAPECIO. Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no.3. TRAPEZOIDE. Es un cuadrilátero que no tiene ninguno de sus lados paralelo a otro.


2012 Página 92

CLASES DE PARALELOGRAMOS. El cuadrado tiene todos los lados

iguales y sus vértices forman ángulos rectos (de 90º).

El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos. Sus vértices también forman ángulos rectos.

El rombo tiene todos sus lados iguales pero sus vértices tienen ángulos distintos al ángulo recto e iguales dos a dos.

El romboide tiene los lados iguales dos a dos y sus ángulos iguales dos a dos y distintos del ángulo recto.


2012 Página 93

CLASES DE TRAPECIOS.

El trapecio tiene dos de sus cuatro lados paralelos, los otros dos no.

El trapecio rectángulo se caracteriza porque uno de los ángulos es un ángulo recto.

El trapecio isósceles se caracteriza porque sus dos lados no paralelos tienen el mismo tamaño.

3.2.1. Construir un cuadrado conociendo el lado.OPERACIONES:1. Se coloca el lado a (lado del cuadrado que se da como dato) en la

posición de la base.2. Desde los extremos del lado a, se trazan dos perpendiculares.3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares.4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido.

3.2.2. Construir un cuadrado conociendo su diagonal OPERACIONES:1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre

si: recta r y recta s.2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s.3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal.4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s.5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

3.2.3. Construir un rectángulo conocidos los lados.OPERACIONES:1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectángulo, por

ejemplo el lado a.2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo el punto A) se traza una recta

s perpendicular a este lado y, sobre la perpendicular, se lleva el lado b.3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b.4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al

lado a.Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo

3.2.4. Construir un rectángulo conocidos la diagonal y un lado.OPERACIONES:1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera

r.2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una

circunferencia que pase por sus extremos (puntos A y C).3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a.4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la

diagonal (A y C), y se obtiene el rectángulo.


2012 Página 94

3.2.5. Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos A y C.

2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D.

3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y se obtiene el rombo.

3.2.6. Construir un romboide conocidos los lados y la altura.OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB.2. Se traza una perpendicular al lado AB en uno de sus

extremos (por ejemplo, en B) y se lleva la altura h.3. Por el punto 1 se traza una paralela a lado AB. Desde los

extremos A y B, se trazan dos arcos, de radio BC.4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el romboide.

3.2.7. Construir un trapecio recto conocidos sus lados paralelos y la altura.OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB.2. Se traza una perpendicular a AB en uno de sus extremos

(por ejemplo en A) y se lleva la altura h.3. Por D se traza una paralela a AB y se lleva la base

superior CD.4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el trapecio

recto.

3.3. Polígonos generalesLos polígonos son porciones de espacio limitadas por líneas rectas, es decir se trata de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, están formados por lados que miden lo mismo.En este capítulo se representa la construcción de los polígonos a partir del lado, desde el pentágono (5 lados) hasta el decágono (10 lados).

3.3.1. Características generales.Un polígono es la porción de plano formado por líneas que se cortan dos a dosPOLÍGONO IRREGULAR. Es el que tiene los lados y los ángulos desiguales.POLÍGONO REGULAR. Es el que tiene los lados iguales y los ángulos también. POLÍGONOS INSCRITOS. Tiene sus vértices en una circunferencia. Los lados son cuerdas de la circunferencia.POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS. Los lados son tangentes a una circunferencia.POLÍGONOS ESTRELLADOS. Los polígonos que tengan sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada, se llaman Polígonos Estrellados.


2012 Página 95

Tipos de polígonos

3.3.2. Construir un pentágono regular conociendo el lado

OPERACIONES:1. Se traza la mediatriz del lado AB para determinar su

punto medio M.2. A partir de un extremo, p.e. el B, se traza una

perpendicular y se lleva el lado AB. 3. Con centro en M y radio MN, se traza un arco.4. Con radio AO se trazan arcos desde A y B. Se obtiene

D.5. Desde D, se traza un arco de radio AB. Se obtiene E y

C.6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se obtiene el

pentágono.


2012 Página 96

3.3.3. Construir un hexágono regular conociendo el ladoUn hexágono regular está inscrito en una circunferencia de radio igual al lado.OPERACIONES:1. Desde un punto cualquiera de una recta r, se traza

una circunferencia de radio AB.2. Desde los puntos A y D se trazan arcos con el radio

AB.3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F obteniendo el

hexágono regular.

3.3.4. Otras construcciones.


2012 Página 97

3.4. Polígonos inscritosPodemos crear polígonos a partir de conocer el lado del polígono o bien a partir de la circunferencia donde están inscritos.Conociendo el radio de la circunferencia donde se inscribe un polígono, en este apartado se determinarán las operaciones a realizar para llegar a la construcción del citado polígono.Todos los casos que veremos a continuación, tienen como dato de inicio, el radio de la circunferencia donde están inscritos los polígonos

.

3.4.1. Características generales.Cuando un polígono tiene todos sus vértices en la circunferencia, el polígono recibe el nombre de polígono inscrito en una circunferencia. En el caso de que la circunferencia pase por el punto medio de los lados, es decir, el polígono queda por la parte interna de la circunferencia, los polígonos se llaman circunscritos.

3.4.2. Construir un pentágono inscrito en una circunferenciaEn este y en el resto de los casos que se presentan en este apartado, nos dan como dato el radio de la circunferencia donde se va a construir el polígono correspondiente.OPERACIONES:1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una circunferencia.2. Donde uno de los dos ejes (horizontal) de la circunferencia corta a la propia circunferencia, por ejemplo

el punto A, se traza un arco hasta cortarla, obteniendo los puntos B y C.3. Uniendo los puntos B y C, obtenemos el punto D.4. Con centro en D y radio D1, se traza un arco hasta cortar al eje en el punto E.5. El segmento 1E será el lado del pentágono mientras que el OE es el lado del decágono. Ahora nos

fijaremos en el pentágono.6. Desde el punto 1, se traza un arco con un radio de 1E. Se obtienen los puntos 2 y 5.7. Desde el punto 2 y desde el punto 5, se trazan arcos (con el mismo radio) para obtener los puntos 3 y

4.8. Se juntan todos los puntos y se obtiene el pentágono inscrito en la circunferencia de radio AB.


2012 Página 98

.

.

.3.4.3. Construir un hexágono inscrito en una circunferenciaEl caso del hexágono, es un caso singular. La longitud de la circunferencia es 2Πr. Adoptando el valor de Π como 3 en vez de 3,14; tenemos que 2×3=6, es decir, podemos utilizar el radio r, para dividir la longitud de la circunferencia en 6 partes.Evidentemente, esta división no será regular, las partes no serán iguales por lo que se producirá un error debido a la utilización redondeada del valor de Π.OPERACIONES:1. Se traza una circunferencia con el radio conocido (segmento AB). Deberemos dividirla en 6 partes

iguales.2. Donde uno de los ejes, por ejemplo el eje horizontal, corta a la circunferencia (punto 0), y con el

mismo arco que hemos utilizado para hacer la circunferencia, trazamos un arco que la corta en los puntos 1 y 5.

3. Desde el otro extremo del eje (punto 3), se hace la misma operación obteniendo los puntos restantes 2 y 4. El punto 0 y 6 coinciden, son el mismo punto.

4. Se unen los 6 puntos obteniendo el hexágono inscrito en la circunferencia.

.NOTAHaciendo este tipo de trazado, primero desde un lado del eje y luego desde el otro, estaremos repartiendo el error producido. Esta solución es la más apropiada.Si hubiéramos llevado el lado del hexágono (segmento AB) a lo largo de la circunferencia, el último tramo tendría un error mayor.Para otras construcciones visite Fuente: http://ibiguri.wordpress.com/


2012 Página 99

4. CUERPOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS


2012 Página 100

REDES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Las redes de cuerpos geométricos son la plantilla que nos permite armarlos. A continuación te presentamos las redes de algunos cuerpos geométricos.


2012 Página 101

RED PRISMA DE BASE HEXAGONAL

Fuente: http://www.sectormatematica.cl/gifs/redes.html


2012 Página 102

EJERCICIO DE APLICACIÓN

1.- Usando las escuadras trazar el entramado siguiente:

2.- Construya una malla de cuadrados inclinados 45°

3.- Construya un triangulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono, todos ellos regulares en circunferencias de radio 6 cm y en su interior coloque un diseño suyo de manera que los polígonos sirvan como marco

4.- Haciendo uso de las redes construya los solidos geométricos prisma de base triangular y cono de

revolución. El prisma de lado de base 10 cm y altura 20 cm, y el cono de radio de la base 8 cm y altura 15 cm.

5.- Investigue si existe alguna malla para la esfera


2012 Página 103

V. PUNTOS DE ENCUENTRO ENTRE MATEMÁTICA Y DISEÑO

El Arte y la Matemática tienen muchos puntos de encuentro, es por eso que los estudiosos de la matemática buscan relaciones entre ella y las manifestaciones artísticas, prueba de ello son los innumerables escritos al respecto. De los muchos existentes citaremos a la Dra. Vera W. de Spinadel del Centro de Matemática y Diseño MAYDI en la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de la Universidad de Buenos Aires, de la que resumiremos atrevidamente su magistral conferencia sobre “Intersecciones entre Matemática y Arte”.Cabe resaltar que para efectos de la asignatura omitiremos algunas precisiones eminentemente matemáticas de ella, dado que nos orientamos a su aporte en el Diseño de Moda.

Desde las primeras manifestaciones artísticas del hombre, la Matemática ha sido una de las herramientas básicas en la creación y ejecución técnica de numerosas expresiones del Arte, a través de diferentes épocas y estilos.

En Arquitectura, por ejemplo, el diseño de volúmenes ha seguido pautas derivadas de la Geometría Euclidia, mientras que los elementos ornamentales de los edificios y monumentos fueron generados mediante procesos de repetición, homotecia y simetrías.

La Escultura ha usado el número irracional conocido como Número de Oro: φ=1+√5

2=1 ,618 .. .

y sus aproximaciones racionales, cocientes de dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, 0,1,1,2,3,5,8,13,21,… para obtener proporciones más estéticas y armónicas.

La pintura también ha adoptado pautas matemáticas para realzar la composición, comenzando por dar sensación de profundidad mediante la perspectiva, en la que líneas paralelas se cortan en el infinito en un único punto llamado “punto de fuga”.

En la actualidad, los sistemas computacionales usados en ámbitos artísticos (Dibujo y Diseño asistido por ordenador, manipulación y edición de imágenes, etc.), pueden proporcionar realmente nuevas ideas para la creación artística. De ahí el interés en evidenciar el uso creciente de la visualización en la enseñanza de la


2012 Página 104

Matemática, especialmente el rol de la gráfica computarizada al explicar ideas matemáticas que van desde las superficies que forman las pompas de jabón, las estructuras fractales, los nudos y el caos hasta los espacios hiperbólicos y las transformaciones topológicas más generales.

Del espacio bi-dimensional a espacios de dimensión mayor. El hipercubo:

Este pasaje a espacios de dimensión mayor reconoce un antecedente notable en el famoso libro: “Flatland: A Romance of Many Dimensions” , escrito en 1884 por Edwin A. Abbott (1838-1926), un educador de la City of London School en Inglaterra, donde su personaje “el cuadrado”, transita entre las diversas dimensiones.

El ejemplo más notable de aplicación del hipercubo es el famoso cuadro pintado por Salvador Dalí en 1954, llamado La Crucifixión, con el subtítulo Corpus Hypercubicus.

Esta obra es una mezcla de influencias del artista Francisco de Zurbarán y del “Tratado de la figura cúbica”, texto de Geometría cabalística escrito en el siglo XVI por Juan de Herrera, el arquitecto que diseñó El Escorial.

Tomando ventaja del rico simbolismo asociado con la cuarta dimensión, Dalí representa la cruz como un hipercubo desplegado, un inesperado y místico intruso de una dimensión mayor.

Durante muchos años, una copia de esta obra estuvo colgada en la oficina de Thomas F. Banchoff, un matemático de la Brown University en Providence, Rhode Island, USA. Como geómetra fascinado con la visualización de objetos tetra-dimensionales, Banchoff organizó en Octubre de 1984 una exposición, llamada Hypergraphics 1984, para celebrar el centenario de la aparición de Flatland. Ejemplos sumamente interesantes de las obras exhibidas son las obras de Harriet Brisson .

La Great Rhombicuboctahedra and Octagonal Prisms. Está construida en plexiglas, tubos de aluminio y cuerdas de nylon. Es una estructura que muestra una manera de dividir el espacio en mitades. Como la forma y el espacio “fuera” de la forma son geométricamente idénticos, la escultura sugiere la imposibilidad de diferenciar la forma del espacio intermedio.


2012 Página 105

La llamada Truncated 600-Cell y muestra doce tubos fluorescentes en forma de octaedro colocado dentro de un tetraedro para producir el análogo tetra-dimensional del icosaedro regular en el espacio tri-dimensional.

Por reflexión, la escultura pone en evidencia seiscientas celdas tetraedrales regulares, cinco de las cuales encajan alrededor de cada celda individual.

Harriet Brisson fue la curadora de esta muestra expuesta en la Rhode Island School of Design, muestra que fue dedicada a su marido, David W. Brisson (1930-1984), recientemente fallecido. El mismo Banchoff presentó en esta oportunidad su obra Math Horizon.

Math Horizon representa una esfera que es deformada de modo de cortarse a sí misma en un solo punto en el espacio tetra-dimensional (de manera similar a como un ocho representa un círculo deformado con un solo punto de intersección en el plano). Si se observa desde adentro el objeto, se aprecia que las bandas coloreadas corresponden a diferentes círculos de latitudes diferentes sobre la esfera bi-dimensional original.

El término Hypergraphics fue introducido por David W. Brisson y su objetivo era experimentar dimensiones múltiples en forma visual. Para ello inventó el “hiperestereograma” que permite tener vistas estereoscópicas del hipercubo y otras figuras de mayores dimensiones. Otra invención suya, el “hiperanaglif”, combina modelos tri-dimensionales, colores y filtros, conjuntamente con una mesa rotatoria para presentar a los espectadores representaciones dinámicas de tales formas. Tal como decía su esposa, Harriet, la investigación de su marido comenzó con el hipercubo y los hiperestereogramas e hiperanaglifs no eran más que dos ejemplos de su búsqueda continua de mejores métodos para percibir estos conceptos tan complejos que no se los había podido representar hasta entonces más que mediante fórmulas matemáticas sumamente intrincadas

MOSAICOS O TESELACIONES

El arte islámico es muy rico en diseños geométricos. Entre estos, los árabes decoraron sus palacios con una gran variedad de ornamentos construidos a partir de figuras geométricas mediante su repetición y acoplamiento,

Este arte islámico tiene su mayor exponente en la Alhambra de Granada.


2012 Página 106

Dos ejemplos de estos mosaicos son el polihueso y la pajarita.


2012 Página 107

Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher, artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios, inspirado en el embaldosado de La Alhambra en España, aprendió a usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para cambiar la forma de los triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos regulares en figuras como pájaros, peces y reptiles que también sirvieran para embaldosar. En la web puede apreciarse infinidad de links con la maravilla de sus trabajos, podemos citar una de ellas (http://www.uv.es/buso/escher/index.html)

A continuación está una ilustración donde utilizó rotaciones sobre el cambio de forma de un polígono. Observa, abajo, la creación de la figura de un pato a partir del polígono ABCD.


2012 Página 108

Otras obras de Escher consideradas innovadoras fueron: la relatividad, ciclo, cinta de mobelius, cielo e infierno, metamorfosis que se aprecian a continuación:


2012 Página 109

La entrada a la estación de subterráneo Downsview, en Toronto, Canadá, tiene un aspecto asombroso. Un enorme mosaico de baldosas cuadradas se extiende a lo largo de una pared curva, invitando al espectador a deleitarse en la variación de colores y tonalidades del diseño.

Su nombre es Sliding Pi. Pocas de las personas que contemplan este críptico espectro saben que la artista responsable del mosaico en cuestión, basó su notable composición en los dígitos de la expresión decimal del número irracional .

En efecto, la autora es Arlene Stamp que vive en Calgary, Alberta, Canadá y nació en London, Ontario, en 1938. En el punto culminante de su interés por reticulados no periódicos, le intrigaba la posibilidad de usar tales diseños en espacios públicos para cubrir paredes y pisos, que en su mayoría estaban cubiertos con motivos simples y repetitivos.

Su trabajo comenzó considerando el código binario (base 2) que usa dos dígitos: 0 y 1. Esta notación se basa en las potencias sucesivas de la base 2:

Usando cuadrados negros para representar los ceros y blancos para los unos, Stamp llenó una franja de papel de 8 cuadrados de ancho y 256 cuadrados de largo, escribiendo la sucesión de números binarios de 00000000 a 11111111. Para su asombro, el resultado parecía un fractal por la auto-semejanza que se producía con cada sección ramificándose en dedos más y más pequeños. Repentinamente, se dio cuenta


2012 Página 110

de la relación entre estructuras fractales generadas por computadoras y números binarios, que son la base misma del funcionamiento de una computadora...

Con respecto al color, Stamp usó 4 conjuntos de 8 colores para el proyecto. Cada conjunto de colores tenía un tono diferente: verde amarillento, verde azulado, azul rojizo y rojo azulado. Eligió los colores considerando la primera capa como la más liviana, con los colores profundizándose a medida que crecía el número de capas de superposición.

Pero uno de los desafíos mayores era encontrar una manera de codificar la información del color para el instalador de una manera realmente eficiente. Con la ayuda de un arquitecto y un sistema de colores codificados numéricamente, logró juntar toda la información y resumirla en una sola hoja de los planos del arquitecto. El instalador simplemente tuvo que seguir las indicaciones para determinar el número de columnas y el número del color a ser usado en cualquier punto.

Al mismo tiempo, Stamp se interesó en la belleza de la posibilidad de expansión dentro de límites restringidos y ello la llevó al estudio de los fractales por su capacidad de transformar estructuras simples mediante operaciones muy sencillas en imágenes sorprendentemente complejas.

Recubrimientos no periódicos. Cuasi-cristales

Los diseñadores de mosaicos saben desde la antigüedad que toda superficie plana se puede recubrir con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. También han descubierto modos de combinar estas formas con otros polígonos, generando esquemas altamente simétricos y perfectamente regulares. Ello no obstante, se ha demostrado matemáticamente que con pentágonos regulares no se puede cubrir regularmente una superficie plana.

Es por ello que el descubrimiento de Dan Shechtman en 1984 de una sustancia con simetría pentagonal en un laboratorio, produjo un revuelo en el ámbito científico internacional. En efecto, trabajando en el National

Institute of Standards and Technology, encontraron que si se toma la aleación Al6 Mn y se la interseca con planos, se obtiene un diseño con simetría pentagonal. A esta sustancia se la llamó cuasi-cristal (“shechtmanite” en honor a su descubridor) y este descubrimiento no solamente llamó la atención de físicos y matemáticos, sino también en el ambiente artístico fueron considerados estos nuevos esquemas geométricos no periódicos.

En particular, el artista con estudio en Manhattan, New York, Tony Robbin, construyó hermosas estructuras arquitectónicas, publicando en 1996 su libro “Engineering a New Architecture”, donde explica como se puede enriquecer la arquitectura con geometrías modernas. Ejemplos notables de su creatividad son:

La cúpula Quasicrystal Dome en la ciudad de New York, que se muestra en la Fig. y el llamado COAST Canopy, terminado en 1994 y emplazado en el Center of Art, Science and Technology en Dinamarca.


2012 Página 111

El COAST Canopy es una escultura arquitectónica tiene 60 pies de largo, 25 pies de ancho y 30 pies de altura. Dos puentes cruzan el atrio, permitiendo que los visitantes pasen por debajo, encima, alrededor e incluso atraviesen la escultura de modo de apreciar sus muchas simetrías. Desde arriba, la simetría pentagonal es evidente pero desde abajo, se tiene una impresión caótica del interior.

La explicación matemática de este nuevo recubrimiento no periódico fue lograda por el físico-matemático Roger Penrose de la Universidad de Oxford, en Inglaterra.

Para ello introdujo sus embaldosados de rombos gordos y finos extraídos del pentágono regular tal como se muestra en la Figura. Con dichos rombos creó las figuras que llamó “cometas” y “dardos” (por sugerencia de John Conway), que poseen las dimensiones siguientes:

Por ejemplo, con dichas figuras se puede obtener el siguiente recubrimiento del plano.

Si se tratara de cubrir todo el plano con estas figuras, el número de cometas sobre el número de dardos necesarios sería exactamente el Número de Oro

φ=1+√52 = 1,618.... ¿Por qué un número irracional? Porque se trata de

recubrimientos no periódicos. Si fueran periódicos, este cociente sería un número racional. Y ¿por qué justo este número irracional? Porque está íntimamente ligado a la simetría pentagonal: si se toma un pentágono regular

de lado 1, sus diagonales tienen por longitud φ=1+√5

2 = 1,618....


2012 Página 112

Pasando al espacio tri-dimensional, es lógico pensar que debe existir en el mismo una división similar al embaldosado de Penrose.

Efectivamente, es factible construir un esquema no repetitivo usando dos tipos de romboedros que se asemejan a cubos oblicuos, tal como puede verse en la Figura de la izquierda. Un modelo de bloque tri-dimensional que puede servir para construir un cuasi-cristal es el triacontaedro, que tiene 30 caras romboidales figura de la derecha

Por supuesto, se pueden crear recubrimientos periódicos del plano, sin necesidad de limitarse a las formas poligonales.

Muchas de las obras del gráfico holandés Maurits C. Escher contienen fascinantes aplicaciones de mosaicos planos utilizando formas de pájaros, peces, reptiles y muchas otras criaturas.

Doris Schattschneider, una matemática del Moravian College en Bethlehem, Pennsylvania, USA, analizó con sumo cuidado en su libro “M. C. Escher – Visions of Symmetry”, publicado en 1990, el sistema matemático propio que inventó Escher para clasificar sus mosaicos y establecer esquemas de color para los recubrimientos resultantes.


2012 Página 113

LA CINTA DE MÖBIUS

Producto de una investigación puramente matemática, esta sorprendente cinta fue descubierta a la edad de 68 años por el astrónomo y matemático August Ferdinand Möbius (1790-1868). Tiene una sola cara y un borde continuo. Se obtiene partiendo de una banda de papel en la cual se efectúa una rotación de 180º antes de cerrarla.

Si se corta una cinta cilíndrica longitudinalmente por la mitad se obtienen otras dos cintas cilíndricas la mitad de anchas; pero si se corta una cinta de Möbius longitudinalmente por la mitad no se obtendrán dos cintas sino una sola cinta con cuatro medias vueltas. Si la cinta obtenida se vuelve a cortar de la misma forma, se obtendrá dos cintas enlazadas que tampoco son de Möbius.

Si se comienza a cortar una cinta cilíndrica a 1/3 del borde, se completará el corte quedando una cinta fina y otra el doble de gruesa. Si se corta una cinta de Möbius a 1/3 del borde, el corte continuará tomando también el 1/3 opuesto y se obtendrán dos cintas entrelazadas, una el doble de larga que la otra.

Se pueden hacer distintos cortes a 3/5, 5/7, etc. del ancho con resultados parecidos.

Finalmente, si se pegan dos cintas, una plana y otra de Möbius formando un ángulo recto y se cortan las dos cintas longitudinalmente por la mitad, se obtendrá un cuadrado.

Siguiendo este modelo se pueden apreciar varias esculturas tales como:

José de Rivera (1904-1985) que diseñó su escultura Infinito en 1967, “Continuum” de Charles O. Perry. Esta obra presenta 7 puntos de ensilladura que representan el continuo del universo y Calligraphic Möbius.hecha en acero pintado de rojo y un hermoso Toro de Möbius estrellado, fabricado en bronce, modelo de tan solo 0,80 cm.

Al igual que cualquier objeto topológico, la cinta de Möbius puede adoptar una infinidad de formas y seguir manteniendo su unilateralidad, lo que la hace única en la familia de superficies topológicas.


2012 Página 114

El símbolo de reciclamiento que se muestra en la Figura en dos versiones, consiste en tres flechas que se persiguen a lo largo de un triángulo. Las flechas del logo de la izquierda están dispuestas de manera tal que si se unieran en una banda continua, formarían una cinta de Möbius clásica formada con una media vuelta. En cambio, la versión alternativa que figura a la derecha en la misma figura, es topológicamente diferente, tal como lo afirmó Cliff Long, profesor de matemática retirado de la Bowling Green State University de Ohio, USA.

En esta versión no hay ninguna cinta de Möbius clásica sino que se trata de una banda unilátera con tres medias vueltas.

El logo ganador de un concurso para crear un símbolo que representara el reciclamiento del papel, fue de Gary Anderson, un estudiante de arte de la Universidad del Sur de California. El diseño ganador usó la cinta de Möbius para simbolizar la continuidad del infinito dentro de una entidad finita. Lo notable es que una forma puramente geométrica proveniente de una investigación matemática pura realizada en el siglo XIX, se haya convertido en un ícono cultural moderno.

El tema de la cinta de Möbius atrajo también la atención de M. C. Escher. En su famoso grabado Cinta de Möbius (455 mm x 207 mm, 1963), animado por 6 himenópteros, pone Escher en evidencia su obsesión por la expresión de la infinitud expresada a través de formas arbitrariamente deformables.

Robert Rathbun Wilson (1914-2000). Una de sus obras es una forma tubular de 8 pies de diámetro, moldeada en acero inoxidable, a la que llamó precisamente Möbius Strip.(fig. de la Izquierda). Wilson usó esta misma forma como base para una escultura de bronce, llamada Topological III, instalada en la entrada del Science Center, en la Universidad de Harvard, Cambridge, Massachusetts, USA.(fig. del centro). John Robinson creó Eternity, escultura moldeada en bronce que se exhibe en Canberra, Australia,(fig de la derecha)


2012 Página 115

Finalmente, cabe mencionar el interesante trabajo de Benigna Chilla, una artista que últimamente se ha dedicado al Diseño Textil.

En 1993, Chilla creó para el Museo de Berkshire en Pittsfield, Massachusetts, USA; Interrupted Möbius, una obra de 3 capas y 6 pies de alto y 24 pies de ancho, que se extiende a lo largo de la pared en que está instalada.

Se trata de líneas ondulantes, igualmente espaciadas, dispuestas en 7 columnas contrastantes. Este esquema se repite en cada una de las tres superficies. Esto es, Chilla toma formas geométricas simples y las une con un nuevo orden por repetición, inversión y superposición de formas para crear una nueva sensación visual dentro de una relación espacial. La interferencia óptica entre los esquemas impresos en las capas, produce un efecto de “moiré”. La referencia metafórica en el título a la cinta de Möbius, enfatiza la cualidad de las fajas ondulantes que producen un efecto tri-dimensional prolongado hasta el infinito.

Asimismo la cinta de Möbius ha inspirado a notables coreógrafos, como es el caso de Gilles Jobim con su obra “The Möbius Strip”, en el Teatro Presidente Alvear de esta Capital. En términos arquitectónicos, la cinta de Möbius inspiró al arquitecto Peter Eisenman para construir la “Max Reinhardt Haus”. También apareció este concepto en la “Möbius House Het Gooi” del Estudio UN. Según Ben Van Berkel (ver http://www.unstudio.com) el modelo matemático de Möbius no fue literalmente transferido al edificio pero resultó conceptualizado en sus ingredientes arquitectónicos, tales como la luz, las escaleras y la manera en que la gente se mueve a través de la casa. Otros arquitectos que se han inspirado en la cinta de Möbius son Zaha Hadid Stephen Perrella y el venezolano Gonzalo Vélez Jahn y más recientemente el ingeniero Helmut Cerovsek y el computador y artista Carlo Sequin (ver http://www.nexusjournal.com/PetRob.html)

Recientemente, el arquitecto Robert J. Krawczyk, conjuntamente con Jolly Thulaseedas, del famoso Illinois Institute of Technology, USA, ha desarrollado distintas aplicaciones de las interesantes propiedades de la cinta de Möbius al diseño arquitectónico.

SUPERFICIES MÍNIMAS

En 1999 se celebró en el centro de esquí Breckenridge en las Rocky Mountains de Colorado, USA, un campeonato internacional de escultura en nieve. Este concurso se celebra anualmente en el mes de Enero y vienen equipos de todas partes del mundo para modelar esculturas, a partir de bloques de nieve de 12 pies de altura y 20 toneladas de peso. Esta nieve ha sido fabricada a máquina, de manera que resulta muy compacta.

En 1999, Helaman Ferguson, nacido en 1940 en un hospital de la ciudad de Salt Lake, USA, tuvo la audacia de presentar en este campeonato una forma puramente matemática, perteneciente a la familia de formas geométricas conocidas como “superficies mínimas”. Una superficie mínima se define matemáticamente como aquella para la cual cualquier distorsión, por pequeña que ésta sea, aumenta su área. Una pompa de jabón es el modelo físico ideal de superficie mínima.

Ferguson eligió para su presentación la porción central de la llamada Superficie de Costa, así denominada porque el matemático brasileño Celso J. Costa fue quién descubrió las ecuaciones de esta superficie en 1983 en su trabajo de tesis. En la misma demostró que puede existir una superficie mínima con un agujero, dotada de una topología no trivial. La superficie de Costa es un toro triplemente perforado.


2012 Página 116

Helaman Ferguson ya había experimentado con otras versiones anteriores de la Superficie de Costa. En 1994, los oficiales del Maryland Science Center de Baltimore, USA, lo invitaron a que creara un modelo matemáticamente exacto de la Superficie de Costa para una exposición sobre matemática moderna. Ferguson se entusiasmó y fabricó un modelo de diez pies de alto, un modelo que los chicos pudieran tocar e incluso deslizarse sobre la misma! Así esculpió Costa II, Costa III, Costa V (en mármol de Carrara), Costa VI (en bronce siliconado) y la versión tallada en la nieve era Costa X. Llamó a la escultura resultante Invisible Handshake y tenía el aspecto que se muestra en la fotografía. El nombre proviene del hecho que es el espacio negativo de dos manos antes que las manos lleguen a entrelazarse...

Hasta la década del ´80, los matemáticos conocían, además del plano, solamente dos superficies mínimas no acotadas que no se cortan a sí mismas:

La catenoide se define matemáticamente como la superficie engendrada por la rotación de una catenaria (curva que se obtiene al colgar una cadena inextensible de dos puntos) en torno a una línea horizontal. (Fig de la izquierda).El helicoide es el lugar geométrico de las rectas que siendo paralelas al plano de la base de una hélice circular, cortan a su eje, esta superficie corresponde a una escalera de caracol inscripta en un cilindro, (fig. de la derecha).

Pero los topólogos sospechaban que estas superficies, además del plano, no eran las únicas superficies mínimas no acotadas que no se cortan a sí mismas. Celso J. Costa, en carácter de estudiante graduado de matemática, se inspiró para sus estudios geométricos en las ondulantes polleras y sombreros usados por los bailarines en el famoso Carnaval de Río de Janeiro, Brasil! En su trabajo de tesis, presentó justamente un conjunto de ecuaciones que representaban superficies mínimas, pero con las cuales no era nada fácil decidir si estas superficies se cortaban a sí mismas o no lo hacían...

En 1983, David Hoffman y Bill Meeks, de la Universidad de Massachusetts, USA, trataron de resolver este problema y tuvieron la suerte de encontrar un estudiante graduado que estaba trabajando en un nuevo programa de computación para generar imágenes gráficas. Le pidieron ayuda y la primera gran sorpresa que tuvieron fue descubrir que la superficie de Costa, que se ve en la Figura, obtenida por computadora, no solamente estaba libre de auto-intersecciones, sino que poseía un alto grado de simetría. La figura poseía la elegancia espléndida de una danzarina con su pollera ondulante. Dos agujeros atravesaban la superficie inferior de la pollera y se unían formando un túnel que se prolongaba hacia arriba. Otro par de agujeros, perpendiculares al primer par, conducían de la parte superior de la pollera hacia abajo en dirección a un segundo túnel...


2012 Página 117

Más aún, descubrieron que esta superficie es tan solo una de un número infinito de superficies con esas características, cada una con un número diferente de túneles penetrando en el interior de la forma y abriéndose en grandes bocas, semejantes a las pantallas de trompetas...

Así, la gráfica computarizada abrió las puertas a matemáticos y artistas para explorar un conjunto de formas geométricas hasta entonces desconocidas. Y permitió poner en evidencia la sorprendente fuerza estructural de la curvatura de Gauss negativa en el modelado de esculturas: dicho de otro modo, la potencia de una superficie mínima, tanto estructural como estética, reside en esta curvatura. Como expresa muy bien el propio Ferguson en su home-page: http://www.helasculp.com/gallery/snowcosta/index.html

Eligió esta forma geométrica de curvatura Gaussiana negativa específicamente por las propiedades de la nieve. La nieve, con su alta intensidad de compresión y su pobre intensidad de tensión, es una caricatura de la piedra. Pero la curvatura Gaussiana negativa, aun en la nieve, presenta una verdadera fábrica de puntos de ensilladura en todas partes. Cada punto de la superficie es la llave para un par de arcos principales. En el concurso de Breckenridge se completaron 14 esculturas en la nieve. Una semana después, la temperatura llegó a los 45 grados y todas se derritieron.... La única que quedó en pie fue la de Ferguson, reteniendo su forma estructural, sublimada, adelgazada, grácil...

GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

La obra fundamental de Euclides, sus “Elementos”, fue durante mucho, mucho tiempo, el único modelo disponible para toda la Geometría. Este modelo se establecía mediante cinco postulados, siendo el quinto el famoso “postulado de las paralelas” que establece:

Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una paralela a dicha recta..

En 1829, Lobachevsky publicó su segundo trabajo sobre geometrías no euclidianas (el primer manuscrito, que databa de 1826, se perdió), negando la validez del quinto postulado.

Se puede reemplazar este postulado afirmando que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela y esta geometría es la llamada “geometría elíptica”, que es equivalente a la geometría sobre la esfera, donde todas las rectas son secantes.

Otra posibilidad es afirmar que por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas e infinitas no secantes. Esta geometría es la llamada “geometría hiperbólica”. Ambas son geometrías no euclidianas y existen numerosos libros dedicados a estos temas. Entre los muchos modelos de geometría hiperbólica elegiremos, por razones de simplicidad, el llamado “modelo de Poincaré”. Este modelo consiste en transformar el semi-plano superior complejo H en el interior del disco unitario de Poincaré D (aquí nuevamente me he permitido omitir la base matemática debido al publico lector de este manual).

Las líneas rectas son semi-circunferencias cuyos centros están sobre el eje de las x, y en el límite, pueden ser líneas rectas normales al eje de las x. Estas líneas se transforman sobre D en arcos de circunferencias normales al contorno. Nótese que el eje de las x no pertenece al conjunto H por lo que las rectas son ilimitadas. Asimismo se puede probar que el eje x representa el infinito del plano, puesto que todo punto está a distancia infinita del mismo.

Entre las interesantes propiedades de la geometría hiperbólica, mencionaremos la que establece que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor que 180º. Ello implica que si consideramos


2012 Página 118

una teselación cualquiera del universo hiperbólico, encontraremos muchas más en este universo que en el espacio euclidiano. Obviamente, en el espacio euclidiano podemos teselar con triángulos, cuadrados o hexágonos regulares. En cambio, en el espacio hiperbólico, podemos hacer que en un vértice incidan por ejemplo, tantos hexágonos como queramos...

Sin lugar a dudas, el primer artista que se deslumbró con las infinitas posibilidades del teselado hiperbólico fue Escher. H. S. M. Coxeter, el famoso matemático especialista en simetría, embaldosados y objetos de mayor número de dimensiones llamados “polítopos”, conoció a Escher en 1954, en el Congreso Mundial de Matemáticos donde exhibían obras de Escher. Y este fue el comienzo de un fructífero intercambio, que recién tuvo fin cuando Escher murió en 1972. Coxeter le mandó a Escher su artículo sobre simetría como agradecimiento por haberle permitido reproducir varios de sus dibujos periódicos como ilustraciones. Este trabajo le inspiró a Escher 4 maravillosas obras de arte, que constituyen su serie de Circle Limit I, II, III, IV

Esta serie de teselados hiperbólicos facilitó la enseñanza de la Geometría Hiperbólica en las aulas, que no era un tema usual en esa época, tal como lo remarca Douglas J. Dunham del Departamento de Ciencias de la Computación en la Universidad de Minnesota en Duluth, USA.

Una de las primeras aplicaciones que efectuó Dunham lo constituyó el estudio de dibujos islámicos y su transformación en esquemas hiperbólicos, tal como muestra la Figura.


2012 Página 119

Dunham desarrolló un programa de computación que puede transformar un diseño de embaldosado hiperbólico en otro. Más recientemente, Dunham presentó sus “espirales hiperbólicas” como se parecía en a figura.

Y tal como lo anunciara hace muy poco, Dunham seguirá construyendo versiones hiperbólicas de las conocidas “espirolaterales” de Robert Krawczyk, del Illinois Institute of Technology en Chicago, USA. Estas curvas son espirales cuadradas construidas a partir de segmentos de recta de longitud creciente. Krawczyk las transforma en curvas sumamente originales.

También es interesante mencionar que Caroline Series, una brillante matemática del Mathematical Institute de la Universidad de Warwick, en Coventry, Inglaterra, presentó los ejemplos de teselados no euclidianos que se pueden ver en la Figura y que han servido como base para estudios profundos sobre las características fractales de las fronteras del caos.

Saliendo del campo de la matemática, nos encontramos con la artista e historiadora de arte Irene Rousseau, que también ha trabajado en esculturas hiperbólicas usando la división de superficies y la geometría hiperbólica. Un hermoso ejemplo se muestra en las figuras siguientes, que si bien puede ser analizada matemáticamente, como objeto de arte visual tiene su propio mérito y puede ser apreciado por audiencias generales.


2012 Página 120

ARTE FRACTAL

La mayoría de los artistas fractales se ha ocupado de la creación de nuevas fórmulas desde la irrupción de la Geometría fractal a principios de los 80. La palabra “fractal” fue introducida por el matemático polaco Benoit B. Mandelbrot que nació en 1924 en Varsovia, Polonia. Proviene del latín fractus, que significa irregular o interrumpido. Un objeto se llama “fractal” en relación con su configuración geométrica, esto es, cuando su borde, su superficie o su estructura interna muestran una constitución que se mantiene invariante, a pesar de las magnificaciones que se le efectúen. Esta propiedad de invariancia ante los cambios de escala se llama de auto-semejanza.

Tras una primera época de producción creativa y próspera, las nuevas fórmulas apenas producían otros conjuntos que fueran de especial relevancia por sus propiedades matemáticas o estéticas. Es entonces cuando un grupo de nuevos matemáticos programadores comenzó a estudiar la posibilidad de avanzar en una nueva dirección: la creación de nuevas formas de interpretar las fórmulas convencionales mediante algoritmos de color.

Las primeras imágenes fractales difícilmente podían clasificarse como obras de arte. La imagen producida por una fórmula fractal no puede ser alterada o influenciada por el autor de la fórmula, al menos de forma notable. Tampoco puede predecirse como va ser la figura antes de ser generada, dada la complejidad de la formulación. En realidad es como si la imagen apareciera espontáneamente, faltando la transmisión de sentimientos, emociones y personalidad que se supone debe existir en una obra de arte. Es cierto que en una imagen fractal puede resultar determinante la elección de la región, el encuadre y la paleta de color, pero muy difícilmente con estos elementos pueda caracterizarse y diferenciarse la obra de dos autores distintos. Sin embargo, el uso de los algoritmos de color permite introducir distorsiones, formas y diseños que determinan de forma clara el resultado final. Además, estos algoritmos pueden superponerse en capas formando imágenes de gran sofisticación y personalidad.

Los resultados son tan asombrosos que bien constituyen un nuevo tipo de arte denominado Arte Fractal.


2012 Página 121

Las Figuras anteriores son representaciones de conjuntos de Julia y dibujados con una técnica especial para obtener figuras en blanco y negro. Las trampas en los algoritmos varían desde zonas comprendidas entre dos parábolas hasta espirales, cardioides, séxtica de Cayley, etc., habiéndose usado en algunos casos el conferir a la figura plana un cierto espesar para convertirla en una superficie.


2012 Página 122

La Figura anterior es uno de los típicos bulbos del conjunto de Mandelbrot, convertido en tríptico usando tres algoritmos de color diferentes. A la izquierda, la trampa es una circunferencia de diámetro 1 centrada en el origen a la que se dotó de una pequeña tolerancia. En el centro se aplicó una matriz de trampas coincidente con los enteros gaussianos. A la derecha se usó como trampa una de las formas más vistosas: una estrella de cinco puntas.

La siguiente figura muestra los filamentos de uno de los bulbos del conjunto de Mandelbrot en el que se utiliza un astroide como trampa.

Los siguientes fractales corresponden a la misma fórmula de un conjunto de Julia. Las tres figuras comparten los mismos valores numéricos pero se ha modificado el número y la geometría de las trampas empleadas en cada una de las figuras. En realidad, se han generado varias capas superpuestas en las que aparecen como trampas astroides, diamantes, hipérbolas, elipses y los ejes coordenados. La ubicación de estas trampas se hizo siguiendo únicamente criterios estéticos.


2012 Página 123

En resumen podemos observar que en los fractales dos características son las más relevantes: - La auto semejanza- La dimensión

Existen varios procedimientos para construir fractales a partir de una figura geométrica, entre los que mencionamos:

a) Fractales por remoción o eliminación de partes o piezas de la figura (el conjunto de Cantor, el fractal de Sierpinski, las curvas de Peano y Koch)


2012 Página 124

b) Los árboles

c) Fractales tipo Durero en honor del grabador y artista alemán A. Durero

d) Fractales construidos a partir de otros fractales. Hay los fractales deterministas (generados por leyes deterministas) como los de Mandelbrot y otros mencionados anteriormente y los fractales estocásticos (generados por leyes no deterministas).:

A la Izquierda el Fractal de recurrencia de Mandelbrot y a la derecha El sagrado corazón, de Pedro Morales, creado en computadora y con la técnica de fractales


2012 Página 125

Las estructuras fractales aparecen en la naturaleza en diversas escalas. Estos fractales difieren de los que son construidos matemáticamente, en que su auto-semejanza no es exacta sino aproximada, como es el caso de las líneas de las costas marítimas, la estructura de las montañas, ríos, nubes y grietas, entre otros.

Diversas plantas presentan estructuras fractales, como el colifor y el brócoli. Igualmente tienen características fractales los esquemas de circulación de la sangre en el cuerpo humano, de los pulmones y los riñones.

A continuación algunas direcciones de internet donde se puede experimentar con programas para emular las características mencionadas en esta unidad.

El programa KALI: http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/kali.html Frisos: http://www.licm.com/noFr.f/BordNF.html Caleidoscopio: http://www.permadi.com/java/spaint/spaint.html Teselaciones: http://shodor.org/interactivate/activities/tessellate/index.html Taprats: http://www.cs.washington.edu/homes/csk/taprats/ https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico Mosaicos y teselaciones:

http://personal.telefonica.terra.es/web/emiliomartin2002/mosaicos_y_teselaciones.htm http://webs.advance.com.ar/simetriadelespacio/capitulo4.htm. Intriguing Tessellations: http://tessellations.home.comcast.net/ Math Forum: Tessellation Tutorials by Suzanne Alejandre:

http://mathforum.org/sum95/suzanne/tess.intro.html http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo1/3/carmelo.pdf Area Fractal: http://www.arrakis.es/%7Esysifus/intro.html


2012 Página 126

ORIGAMI, KIRIGAMI, MAQUIGAMI, FUROSHIKI

El origami (折り紙?) es el arte de origen japonés del plegado de papel, para obtener figuras de formas variadas. En español también se conoce como 'papiroflexia'.En el origami no se utilizan tijeras ni pegamento o grapas, tan sólo el papel y las manos. Por lo tanto, con sólo algunas hojas de papel pueden obtenerse distintos cuerpos geométricos (incluso a veces, poliedros) o figuras parecida a la realidad. Las distintas figuras obtenidas a partir de una hoja de papel pueden presentar diferentes áreas (según la porción de papel que queda debajo de otra) y varios volúmenes.

Además del origami, también hay un método parecido que se conoce como: Papercraft

Origen del términoEl origen de la palabra procede de los vocablos japoneses "oru" (plegar) y "kami" que designa al papel (Origami = 折り紙). Pero éste no ha sido su único significado, ya que a través del tiempo este arte ha tenido cambios en el nombre que lo identifica. En los primeros siglos de su existencia, se le llamaba Kami por el significado que se había creado para papel, que en realidad es homónimo de la palabra que usan para los espíritus de los dioses. Pasaron los siglos y tomó el nombre de Orikata, que significa en español "ejercicios de doblado". No fue hasta 1880 que se desarrolló la palabra Origami a partir de las raíces "Oru" y "Kami", antes mencionadas. Uno de los centros importantes en el género del origami es España, en donde asignaron el vocablo papiroflexia al arte geométrico de hacer plegados para figuras en papel.

Una grulla sobre hojas de papel del mismo tamaño que la usada para hacerla.

Origami en la actualidadSegún la filosofía oriental, el origami aporta calma y paciencia a quien lo practica, rasgo común de bastantes terapias basadas en el ejercicio manual.

El origami es definido como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresión artística e intelectual. También lo exponen como la esencia que se esconde tras los dedos de quienes pliegan papeles para dar nacimiento a innumerables figuras.La particularidad de esta técnica es la transformación del papel en formas de distintos tamaños y simbología, partiendo de una base inicial cuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. Los sujetos preferidos para modelar son animales y otros elementos de la naturaleza como flores, árboles entre otros motivos.

Otra forma de arte con papel son el kirigami y el maquigami, totalmente distintos al origami.

El kirigami es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las tijeras. Se diferencia de los "recortables" en que estos necesitan de un trazo o dibujo previo, y en el kirigami al hacerse las figuras directamente con las tijeras, lo convierten en una técnica muy creativa. Su término deriva de las palabras japonesas kiru, que significa cortar, y gami, papel. El kirigami tiene muchas variantes. El kirigami milenario practicado en oriente desarrolla modelos decorativos y muy artísticos. Hay un kirigami arquitectónico que usando cuchillas desarrolla modelos muy elaborados. Y tenemos la variante educativa del kirigami, desarrollada especialmente en sudamérica, en la cual se usa como técnica y material educativo. Para lo cual se han creado dinámicas, juegos y aplicaciones didácticas del recorte del papel.


2012 Página 127

El maquigami es el arte y técnica de trabajar el papel para rasgar, unir, doblar y arrugar, únicamente con las manos. Podemos entenderla como "kirigami con las manos". Se origina del término quechua maqui, que designa a las manos. Estas técnicas permiten y promueven el trabajo en conjunto, el desarrollo de la creatividad, la integración de áreas y tiene una fuerte influencia en el desarrollo de la inteligencia emocional de los niños al influir en su autoestima positiva. Se tiene que aclarar que, tanto en el origami como en el kirigami y el maquigami, sus beneficios y sus metas concuerdan, pero la técnica es la que se debe diferenciar, aunque en el origami también esta permitido el uso de pinzas y tijeras especialmente para darle la forma deseada para generar la figura, antes de comenzar a plegar la hoja de papel con que se trabajaron.

Matemáticas en el OrigamiYa desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento.El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

Personajes del mundo de la papiroflexia que han demostrado teoremas que llevan su nombre son: Humiaki Huzita, Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki, Robert Lang, Shuzu Fujimoto, Chris Palmer, entre otros.

En el campo de la informática, el Dr. Robert Lang, en Física aplicada en Caltech, ha desarrollado el origami computacional, que es una serie de algoritmos para el doblado de las figuras. Actualmente el Dr. Robert Lang trabaja desarrollando proyectos que vinculan al origami con problemas de ingeniería.


2012 Página 128

NUEVA FÓRMULA: MODA+ORIGAMI

Escrito por Florencia Parma: “Hace tan solo unos días me reí de lo que es en concurso de vestidos de novia realizados en papel higiénico, y ahora parecería que esto del papel hasta se ha vuelto una tendencia entre los grandes diseñadores de moda. Increíble”.

¿Qué tiene que ver una simple pajarita de papel con un vestido de novia? Pues bien, los diseñadores más aplaudidos muestran ahora su maestría en el arte de crear formas utilizando la milenaria técnica del Origami.

El objetivo: concebir vestidos repletos de frunces, detalles y plegados artísticos. La palabra japonesa consiste en el arte de doblar papel que surgió hace muchos años cuando los enamorados se mandaban cartas y adornaban el papel dándole diferentes formas.

John Galliano, por ejemplo, incorpora para Dior plegados al estilo pajarita en diseños de un blanco impoluto que se inspiran en las grandes divas de Hollywood de los años cuarenta.

Giambattista Valli, sin embargo, prefiere centrar todo el juego de volumen en el escote de su vestido acariciando un efecto a base de delicadas capas de tejido culminadas en un maxicinturón negro que se ajusta a la cintura.

Hussein Chalayan se decanta con vestido corto con capucha, donde propone una innovadora alternativa al velo de novia. Devota & Lomba incorpora un escote con una lazada a modo de pajarita, que hace que el vestido realmente parezca de papel. Por otro lado, Agatha Ruis de la Prada opta por aplicaciones de flores en un escote palabra de honor, con un estilo divertido y original para una novia joven.


2012 Página 129

Diseño de Calvin KleinLos diseñadores de moda beben de todas las fuentes creativas a su alcance, sobre todo del arte en todas sus vertientes, y es fácil identificar dentro de las tendencias de temporada la paleta característica de un pintor determinado, las formas empleadas por un escultor célebre, o la reinterpretación de las modas de la época reproducida en los lienzos de un artista.En esta ocasión, para primavera/verano 2009 son vientos asiáticos los que soplan, ya que el origami (papiroflexia) es el arte que se ha subido a las pasarelas internacionales.

Otras alternativas de la creatividad basada en el Origami podemos citar con el Bolso de Chanel o Lucia da Costa Brasileña diseñadora de objetos y utilería basados en Origami

Kai Kühne. Es un jóven diseñador que presentó Myself es el nombre de su línea de indumentaria femenina, que creó luego de un largo camino que lo llevó de estudiante de economía en Alemania, pasando por modelo de la agencia Ford, hasta la actualidad como joven promesa de la moda en la gran manzana. Fue una de las figuras de Olympus Fashion Week.

Si se fijan bien, los pliegues no se hacen con cortes ni costuras, sino con una técnica que él bautizó “Origami Alemán” motivada por la idea de simplicidad-intricada, con el plegado del origami como influencia. Así pudo lograr desde faldas lápiz, chaquetas con mangas oversize, cuellos con solapas anchas y puntiagudas, y vestidos de noche con nudos


2012 Página 130

En el Perú también hemos podido observar interesantes proyectos donde la técnica de plegado, doblado o cortado ha sido fuente de inspiración de diseños de moda, un ejemplo de ello se dio el año 2011 en una interesante propuesta presentada por el prestigioso diseñador nacional Ricardo Dávila y los alumnos del primer ciclo del Instituto CEAM, esta exposición se dio en Larco Mar – Lima Peru en diciembre del 2011 y se denominó “Origami hecho Moda”

Puedes observar un video al respecto en la entrevista del programa “Metrópolis” en el siguiente link:http://www.youtube.com/watch?v=IgzHclUfF7w&feature=youtu.be


2012 Página 131

El FUROSHIKI

El furoshiki es una tela cuadrangular tradicional de Japón, que es utilizada para envolver y transportar todo tipo de objetos, desde ropa y regalos hasta botellas de vidrio.

Se comenzó a emplear a mediados de la Era Nara, en los baños tradicionales japoneses (Ofuro), para no confundir o mezclar la ropa, así utilizaban el furoshiki y dejaban su vestimenta encima de ella. Eventualmente su uso se difundió y comenzó a ser utilizada por comerciantes para proteger sus mercancías o sus regalos.

Actualmente el furoshiki está hecho de diferentes telas, incluyendo seda, algodón, rayón y nylon. Y aunque este arte se sigue ocupando en Japón, su uso ha ido decayendo, debido a la gran demanda de bolsas de plástico que existe hoy en día.

En los últimos años el ministerio de medio ambiente japonés ha hecho algunas campañas para promover el uso de furoshiki en la actualidad, para lograr proteger y cuidar el medio ambiente en Japón y en el mundo.

Existe el Grupo de Investigadores del Furoshiki y sus Técnicas (GIFT) que tiene por objetivo la promoción del furoshiki en Argentina y Latinoamérica. Realizan cursos abiertos al público y en diferentes instituciones, habiendo capacitado hasta el momento a más de 500 personas.

En el diseño de prendas de vestir también existen diversas adaptaciones de la técnica, como puede observarse en las imágenes siguientes

Un manual acerca de la técnica puedes observarlo en:issuu.com/juanjosegaleano/docs/furoshiki

Un video promocional de artículos confeccionados con esta técnica lo puedes encontrar en:www.youtube.com/watch?v=NC7MH3EzBWM


2012 Página 132

A lo largo del tiempo también se ha podido observar el uso de las formas tanto geométricas tradicionales y no tradicionales, en los estampados textiles y en la confección de prendas de vestir y accesorios.

Un caso emblemático de ello fue la denominada moda psicodélica, que es punto obligado de estudio para un diseñador de la moda. Esta tendencia de los años 60 y 70 basada en las líneas, formas geométricas, haciendo uso de abstracciones redondeadas, asimetrías, formas repetidas, autosemejanza (fractales), estilizando las teselaciones, combinando los colores de manera insólita, algunos haciendo uso de mezclas entre lo folclórico y lo vanguardista (los diseños árabes, persas y otros adaptados).

Muchos cultores de esta tendencia como Custo, Pucci, Cardin, Coorreges, Rabanne, Dior y muchos más, incluso año a año retoman los fundamentos básicos de esa tendencia creando nuevos diseños con reminiscencias psicodélicas adaptadas al tiempo actual.

Custo Dior

Pucci


2012 Página 133


2012 Página 134

Otros encuentros entre diseño de moda y matemática, esta vez solo como fuente de inspiración de manera muy singular, las podemos observar en las imágenes siguientes:

Un collar con los dígitos del número Pi, creado a propósito de su día internacional

Fashion Math Pro es un juego interactivo para diseñar y calcular costos en la confección de prendas

Math Models otro programa que enseña en forma lúdica el diseño de moda


2012 Página 135

Relación entre Moda y matemática mediante la relación costo vs uso

Una forma creativa de interpretar el diseño haciendo la alegoría a las operaciones entre conceptos

Estas y muchas aplicaciones más, podemos encontrar en la vida cotidiana de un diseñador de moda en las que notamos que la presencia de la Matemática mediante la geometría formal, la geometría aplicada al diseño o siendo fuente de inspiración, cada vez tiene mayores puntos de encuentro, se espera que las nuevas generaciones de diseñadores en todos los campos continúen el uso de la matemática como el inicio de sus intelectos creativos en el diseño.

Documents

2 Texto Mate Parte 2 Ceam 2012