· 2 Predgovor Često se događa da studenti pitaju: “Što ćete nas pitati na kolokviju/ispitu?” i “Po čemu ćemo mi učiti?” Na oba ta pitanja u priličnoj se mjeri može

Udžbenici Sveučilišta u Rijeci

Manualia Universitatis studiorum Fluminensis

Svjetlan Feretić

Matematička analiza 1

Zbirka riješenih zadataka s kolokvija i ispita

Rijeka, 2011.

2

Predgovor Često se događa da studenti pitaju: “Što ćete nas pitati na kolokviju/ispitu?” i “Po čemu ćemo mi učiti?” Na oba ta pitanja u priličnoj se mjeri može odgovoriti objavljivanjem zbirke riješenih ispitnih zadataka. To je najbitniji razlog zašto je ova elektronska zbirka nastala. Zbirka je u prvom redu namijenjena studentima koji pohađaju prvu godinu preddiplomskog studija na Građevinskom fakultetu Sveučilišta u Rijeci te se pripremaju za kolokvije i ispit iz predmeta Matematička analiza 1. Tijekom posljednje četiri akademske godine (2006./2007., 2007./2008., 2008./2009. i 2009./2010.), na kolokvijima i ispitima iz Matematičke analize 1 bilo je zadano ukupno 120 zadataka. Svih tih 120 zadataka u ovoj je zbirci detaljno riješeno. Zbirka se sastoji od deset poglavlja. Prvo poglavlje čine zadaci u kojima se određuje domenu funkcije, drugo poglavlje čine zadaci u kojima se računa limes, a ne upotrebljava se L’Hôpitalovo pravilo,…, deseto poglavlje čine zadaci o Taylorovim redovima. Svako poglavlje počinje kratkim uvodom, u kojem je pobliže definirano što se i kako u tom poglavlju radi. Nakon desetog poglavlja slijedi spisak svih provjera znanja (kolokvija/ispita) koje ova zbirka obuhvaća. Tih provjera znanja ima ukupno 37 i za svaku od njih je u rečenom spisku navedeno od kojih se zadataka sastojala. Zbirka završava popisom literature. Ova bi se zbirka s vremenom trebala nadopunjavati. Naime, moj plan je da ću (ako na Mat. analizi 1 i dalje budem držao i predavanja i vježbe) tijekom akademskih godina 2010./2011., 2011./2012.,… zbirci dodavati zadatke s kolokvija i ispita koji će se tada održavati. Kod pisanja zbirke, posebno sam pazio na to da pišem jasno i da ne pravim greške. Po završetku pisanja, zbirka je išla na recenziranje. Recenzenti su bili dr. sc. Tomislav Došlić, izvanredni profesor matematike na Građevinskom fakultetu u Zagrebu, i dr. sc. Cvetan Jardas, (od početka ove akademske godine umirovljeni) redoviti profesor matematike na Ekonomskom fakultetu u Rijeci. Od recenzenata sam dobio korisne primjedbe, na kojima im se zahvaljujem. Zahvaljujem se i lektorici, profesorici Marti Mihičić, čije su primjedbe unaprijedile zbirku u jezičnom pogledu. Ipak, moguće je da u zbirci ima grešaka koje su promakle i meni, i recenzentima i lektorici. Svakome tko mi ukaže na neku grešku ili propust, bit ću zahvalan.

Svjetlan Feretić

u Rijeci, 6. siječnja 2011.

3

Sadržaj 1. Određivanje domene funkcije …………… 4 2. Računanje limesa bez upotrebe L’Hôpitalovog pravila …………… 15 3. Računanje limesa uz upotrebu L’Hôpitalovog pravila …………… 23 4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija …………… 30 5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija …………… 38 6. Primjena derivacija …………… 50 7. Integriranje algebarskih funkcija …………… 76 8. Integriranje transcendentnih funkcija …………… 93 9. Računanje površina i volumena …………… 106 10. Taylorovi redovi …………… 115 Na tom i tom kolokviju/ispitu, trebalo je riješiti te i te zadatke …………… 132 Literatura …………… 134

4

1. Određivanje domene funkcije Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa A pridružuje jedan i samo jedan element skupa B . (Skup A se zove domena funkcije, a skup B se zove kodomena funkcije.) Dakle, kod zadavanja funkcije trebalo bi reći što je skup A , što je skup B i kako glasi pravilo pridruživanja. Ipak, funkcije se često “zadaju” tako da se ne napiše ništa drugo osim pravila pridruživanja. U takvim slučajevima podrazumijeva se da je B skup svih realnih brojeva te da je A skup onih realnih brojeva kod kojih je primjena pravila pridruživanja moguća i kao rezultat daje realan broj. Kod ovog načina zadavanja funkcije, određivanje skupa A je (katkad lakši, a katkad teži) matematički zadatak. U zadacima koji slijede, tema je upravo određivanje skupa A . Težina zadataka je umjerena.

Zadatak 1. Odredite domenu funkcije 22

91236

2232)(

xx

xxxxf .

Rješenje: Kao prvo, razlomak 1236

xx se može skratiti: 3

12)12(3

1236

xx

xx .

(Istini za volju, kada je 21

x , razlomak 1236

xx nije definiran pa prema tome nije jednak

broju 3 . Međutim, ta “začkoljica” u nastavku zadatka neće biti bitna.) I tako, ispod drugog korijena imamo

)22)(22()22(9)22)(22(3)22)(32(

2293

2232

xxxxxxx

xxx

44

12121220444

1818)44(366442

22

2

22

xxxx

xxxxxx

)1)(1(454

154

442016

2

2

2

2

xx

xx

xxx

xxx .

Nultočke brojnika su 0 i 45

, a nultočke nazivnika su 1 i 1. Kada ih se napiše od manjih

prema većima, nultočke su 0 ,1 ,45

i 1. Sada pišemo tablicu s predznacima.

5

45 , 1 ,

45

0 ,1 1 ,0

,1

x

45

x

1x 1x

)1)(1(454

xx

xx

Iz formule )1)(1(

454

)(

xx

xxxf vidimo da brojevi

45

i 0 leže u domeni. Naime,

045

f i 0)0( f . Međutim, brojevi 1 i 1 ne leže u domeni. I tako, domena funkcije

)(xf je ,10 ,1

45 , .

Zadatak 2. Odredite domenu funkcije xexx

xxf

2ln32

513

1)( .

Rješenje: Za početak, sređujemo izraz ispod korijena:

232

513

1232

513

1)ln(32

513

1 2xx

xxx

xexx

x x

2

31168172

3296515322

)32)(13()13(5)32(1

22 xxx

xxxxx

xxxx

31162512

311662212817

3116)3116(2817

2

2

2

2

2

2

xxxx

xxxxx

xxxxx .

Da bi broj x ležao u domeni, mora vrijediti 031162512

2

2

xxxx .

02512 2 xx za 32 &

41

2416 &

246

24115

241215

2496255

x .

03116 2 xx za 23 &

31

1218 &

124

12711

124911

127212111

x .

Sada možemo napisati tablicu.

6

41 ,

31 ,

41

32 ,

31

23 ,

32 ,

23

2512 2 xx + – – + + 3116 2 xx + + – – +

31162512

2

2

xxxx

+ – + – +

Zaključak: Domena funkcije )(xf je

,23

32 ,

31

41 , .

Zadatak 3. Odredite domenu funkcije )263ln(166

1214

2349)( 2

222

xxx

xx

xxxf .

Rješenje: Ispod drugog korijena imamo

1)1(6

1214

23)23)(23(

166

1214

2349

2

22

2

222

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

12

14)12)(83(1214836

121423

222

xxxx

xxx

xxx

1291910

121481636 222

xxx

xxxxx .

Tražimo nultočke brojnika: 091910 2 xx ,

1 & 109

2020 &

2018

20119

2036036119

x .

Tražimo nultočke nazivnika: 012 x , 12 x , 21

x .

21 ,

109 ,

21 1 ,

109 ,1

91910 2 xx 12 x

1291910 2

xxx

7

Domena funkcije 12

91910 2

xxx je

,1109 ,

21 .

Sada ćemo se pozabaviti funkcijom )263ln( x .

063 x , 63 x , 2x . Za 2x vrijedi 063 x , pa je )43ln()263ln()263ln( xxx .

043 x , 043 x , 43 x , 34

x .

Jedan dio domene funkcije )263ln( x je interval 34 , .

Za 2x vrijedi 063 x , pa je )83ln()263ln()263ln( xxx .

083 x , 83 x , 38

x .

Drugi dio domene funkcije )263ln( x je interval ,38 .

Čitava domena funkcije )263ln( x je ,38

34 , .

Domena funkcije )263ln(12

91910)(2

x

xxxxf je

,38

34 ,1

109 ,

21 ,

38

34 , ,1

109 ,

21 .

Zadatak 4. Odredite domenu funkcije xxxf 561)( 2 .

Rješenje: 056 2 xx za 65 & 0

1255

120255

x .

a) Koji brojevi iz skupa ,650 , leže u domeni funkcije )(xf ?

Za takve brojeve vrijedi 156)56(1)( 22 xxxxxf .

0156 2 xx vrijedi za 1 & 61

1212 &

122

1275

1224255

x .

8

0156 2 xx vrijedi za

1 ,

61x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz skupa

1 ,

650 ,

61 .

b) Koji brojevi iz intervala 65 ,0 leže u domeni funkcije )(xf ?

Za takve brojeve vrijedi 156561)56(1)( 222 xxxxxxxf .

0156 2 xx vrijedi za 21 &

31

126 &

124

1215

1224255

x .


,21

31 ,x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz

skupa

65 ,

21

31 ,0 .

Domena funkcije )(xf je skup

1 ,

21

31 ,

611 ,

65

65 ,

21

31 ,00 ,

61 .

Zadatak 5. Odredite domenu funkcije

x

xxxxf 213123)( .

Rješenje: Za početak, primijetimo da bismo za 0x morali podijeliti 13 s nulom, a s nulom se ne može dijeliti. Dakle, nula nije u domeni funkcije )(xf . a) Koji brojevi iz intervala 0 , leže u domeni funkcije )(xf ? Za takve brojeve vrijedi

10122213123213123)( 22

xxxxx

xxxxf .

010122 2 xx , to jest 0562 xx , vrijedi za

1 & 52

462

20366

x .

010122 2 xx vrijedi za 1 ,5 x .

Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz intervala 1 ,5 .

9

b) Koji brojevi iz intervala ,0 leže u domeni funkcije )(xf ? Za takve brojeve vrijedi

16122213123213123)( 22

xxxxx

xxxxf .

016122 2 xx , to jest 0862 xx , vrijedi za

4 & 22

262

32366

x .

016122 2 xx vrijedi za ,42 ,x .

Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa ,42 ,0 . Domena funkcije )(xf je skup ,42 ,01 ,5 .


x

xxxxf 411164)( .

Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 5., a rezultat je

,

25

23 ,0

21 ,

27 .


xxxxxf 165)( .

Rješenje: a) Koji brojevi iz intervala 0 , leže u domeni funkcije )(xf ? Za takve brojeve vrijedi

15616516516)(5)( 22

xxxx

xxxx

xxxxxf .

0156 2 xx za 31 &

21

124 &

126

1215

1224255

x .

10


,31

21 ,x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz

skupa 0 ,31

21 ,

.

b) Koji brojevi iz intervala ,0 leže u domeni funkcije )(xf ? Za takve brojeve vrijedi

156165165)( 22

xxxx

xxxxxf .

0156 2 xx za 21 &

31

126 &

124

1215

1224255

x .


21 ,

31x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa

21 ,

31 .

Domena funkcije )(xf je skup

21 ,

310 ,

31

21 , .


xxxxxf 132111)( .


4 ,230 ,2

27 , .

Zadatak 9. Odredite domenu funkcije )1810()( 2 xxxxxf . Rješenje: Kao prvo, naći ćemo one ikseve koji leže u domeni i manji su od nule. Za takve ikseve vrijedi

)189()1810()( 22 xxxxxxxxf . Nadalje, za takve (negativne) ikseve, broj )189( 2 xxx je veći od nule onda kada je broj

1892 xx manji od nule.

01892 xx za 3 & 62

392

72819

x .

11

Dakle, traženi iksevi tvore interval 3 ,6 . Kao drugo, naći ćemo one ikseve koji leže u domeni i veći su od nule. Za takve ikseve vrijedi

)1811()1810()( 22 xxxxxxxxf . Nadalje, za pozitivne ikseve, broj )1811( 2 xxx je veći od nule onda kada je broj

18112 xx veći od nule.

018112 xx za 9 & 22

7112

7212111

x .

Traženi iksevi tvore skup ,92 ,0 . Primjećujemo da je funkcija )(xf definirana i za 0x . Sve skupa, domena funkcije )(xf je ,92 ,03 ,6 ,92 ,003 ,6 . Zadatak 10. Odredite domenu funkcije )12103()( 2 xxxxxf . Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 9., a rezultat je ,43 ,01 ,12 .

Zadatak 11. Odredite domenu funkcije 23

)352ln()(2

x

xxxf .

Rješenje: 0352 2 xx za 1 & 23

44 &

46

415

424255

x .

Dakle, funkcija )352ln( 2 xx je definirana za ,123 ,x .

0)352ln( 2 xx vrijedi onda kada je 1352 2 xx , 0252 2 xx ,

21 & 2

42 &

48

435

416255

x .

023 x vrijedi onda kada je 23 x , 32

x .

12

2 ,

23 ,2

1 ,23

32 ,1

21 ,

32

,21

)352ln( 2 xx Nije definirano. 23 x

23)352ln( 2

xxx

Nije definirano.

U točkama 2 i 21

vrijedi 0)352ln( 2 xx . Funkcija 23

)352ln()(2

x

xxxf je u

tim točkama definirana. Međutim, u točkama 23

, 1 i 32

funkcija )(xf nije definirana.

I tako, domena funkcije )(xf je

,

21

32 ,1

23 ,2 .

Zadatak 12. Odredite domenu funkcije )ln()157107()( 22 xxxxxf . Rješenje: Iksevi iz intervala 0 , ne leže u domeni zato što za njih nije definiran )ln(x . a) Koji iksevi iz intervala 1 ,0 leže u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi 0)ln( x , tako da iks leži u domeni onda kada vrijedi

0157107 22 xxx ,

0)1(57107 22 xxx , 0557107 22 xxx ,

021012 2 xx , 0156 2 xx .

0156 2 xx za 21 &

31

1215

1224255

x .

Skup traženih ikseva je interval

21 ,

31 .

b) Koji iksevi iz intervala ,1 leže u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi

0)ln( x , tako da iks leži u domeni onda kada vrijedi

0157107 22 xxx ,

13

0)1(57107 22 xxx , 0557107 22 xxx ,

012102 2 xx , 0652 xx .

0652 xx za 3 & 22

152

24255

x .

Skup traženih ikseva je ,32 ,1 .

Domena funkcije )(xf je

,32 ,1

21 ,

31 ,32 ,11

21 ,

31 .

Zadatak 13. Odredite domenu funkcije )ln()19111311()( 22 xxxxxf .


,4

25 ,1

52 ,

41 .


1214109arcsin

92966)(

22

22

xxxx

xxxxxxf .

Rješenje: 9565

9266

92966

92966 222

22

xxxxxxxx

xxxxx .

09

5652 xx za 38 &

37

23

16

& 23

14

2315

2915

29

224255

x .

Dakle, funkcija x

xxxx9

29662

2 je definirana za sve ikseve, osim za 0x i za

38 ,

37

x .

Arkus sinus djeluje na izraz 1214109

22

xxxx koji se može napisati i na jednostavniji

način:

1171210912

)12)(12(1091214109 222

22

xxxxxx

xxxxxxxx .

14

Arkus sinus od 1172 xx je definiran onda kada vrijedi 11171 2 xx .

11172 xx , 01272 xx , 4 & 32

172

48497

x .

11172 xx , 01072 xx , 5 & 22

372

40497

x .

Slika 1. Točke u kojima funkcija 1172 xxx poprima vrijednosti 1 i 1.

Uz pomoć Slike 1. vidimo da je funkcija

1214109arcsin

22

xxxx definirana za

5 ,43 ,2 x . Međutim, na intervalu 38 ,

37 nije definirana funkcija

xxxxx

92966

22 . I tako naša funkcija

1214109arcsin

92966)(

22

22

xxxx

xxxxxxf

ima domenu 5 ,43 ,38

37 ,2

.

15

2. Računanje limesa bez upotrebe L’Hôpitalovog pravila Neka je )(xff funkcija iz u te neka su a i L realni brojevi. Pretpostavimo da za svaki 0 postoji 0 takav da iz aaaax , , slijedi da je Lxf )( . Tada se kaže da funkcija f u točki a ima limes. Limes funkcije f u točki a je broj L . To se zapisuje ovako: Lxf

ax

)( lim .

Neformalno govoreći, ako funkcija f u točki a ima limes, onda je taj limes onaj broj kojemu se vrijednosti funkcije f sve više približavaju onda kada se x sve više približava broju a (ali ipak ostaje različit od broja a ). U ovom poglavlju, kod računanja limesa, koristimo svojstva

)( lim )( lim )()( lim xgxfxgxfaxaxax

,

)( lim )( lim )()( lim xgxfxgxfaxaxax

,

)( lim )( lim )()(lim xgxfxgxfaxaxax

,

)( lim

)( lim

)()( lim

xg

xf

xgxf

ax

axax

,

)( lim)( lim xfxfaxax

i

)( lim)( )( lim )( lim xgax

xg

axaxxfxf

.

Također koristimo i formule

01 lim xx

, xx

1 lim0

,

ex

x

x

11 lim , ex xx

1

0)1( lim ,

1)(sin lim0

x

xx

i 1)sin(

lim0

x

xx

,

koje smo upoznali na predavanjima.

Zadatak 15. Izračunajte limes 243

)4sin()3sin( lim20

x

xxx

.

16

Rješenje:

)243)(243(

)243()4sin()3sin( lim00

2200

243)4sin()3sin( lim

22

2

020 xxxxx

xxx

xx

)22(3

)4sin()3sin( lim 243 lim 443

)4sin()3sin( lim 202

020 xxxx

xxx

xxx

164411444

)4sin(3

)3sin( lim0

xx

xx

x.


)5(cos1 lim22

4

0

xx

xx

.

Rješenje:

0

0224

11 42169

)5(cos1 lim22

4

0 xxx

x

4216942169

42169)5(cos1 lim

22

22

22

4

0 xxxx

xxx

x

42169

)4(4169)5(cos1 lim 2222

4

0xx

xxx

x

2

4

022

4

0 5)5(cos1 lim8)224(

164169)5(cos1 lim

xx

xxx

xx

2

2

02

22

0 5)5(sin lim)11(8

5)5(cos1)5(cos1 lim8

xx

xxx

xx

8011805

)5sin(5

)5sin( lim8025

)5(sin lim52802

2

0

xx

xx

xx

xx.

Zadatak 17. Izračunajte limes )3(cos1

916925 lim 422

0 xxx

x

.

Rješenje:

0

01133

)3(cos1916925 lim 4

22

0 xxx

x

916925916925

)3(cos1916925 lim

22

22

4

22

0

xx

xxx

xxx

17

916925

1)3(cos1

)916()925( lim224

22

0

xxx

xxx

)3(cos1

9 lim 33

199

1)3(cos1

9 lim 42

04

2

0 xx

xx

xx

11

1)3(cos1

9 lim61

)3(cos11

)3(cos19 lim

61

2

2

022

2

0 xx

xxx

xx

12111

121

)3sin(3

)3sin(3 lim

121

)3(sin9 lim

21

61

02

2

0

xx

xx

xx

xx.

Zadatak 18. Izračunajte limes

xx e

xx

xxxx

3

2

0

)2sin()4cos(

)cos()6sin(

93 lim .

Rješenje:

xx e

xx

xxxx

3

2

0

)2sin()4cos(

)cos()6sin(

93 lim

02

22

0

)0sin()0cos()0cos(

9393

)6sin(93 lim

exxxx

xxx

x

10

11

931

)6sin()9()3( lim

2

22

0 xxxxx

x

01

931

)6sin(996 lim

22

0 xxxx

x

6711

611

)6sin(6 lim

331

0

xx

x.

Zadatak 19. Izračunajte limes x

x xx

3

328 lim .

Rješenje:

x

x

x

x xxx

xx 3

3212

32128 lim3

328 lim

x

x

x

x

x

x xxxxx

32121 lim3

32124 lim3

3212

32)32(4 lim

18

60212 32

12 lim

3212 lim

3212

1232

32121 lim eeeex

xxx

xxx

x

xx

.


43cos32cos22

1256 lim

xxxx x

x.

Rješenje:

43cos32cos22

1256 lim

xxxx x

x

43cos32cos2lim 21256 lim

xxxx

x

x

x

40cos30cos2 312561 lim

x

x xx

x

x

x

x xxxx

1281 lim9432

1236561 lim

402812

8 lim

128 lim

128

812

333312

81 lim3 eeeex

xxx

xxx

x

x

x

.


1

2

0 )(sin)cos(2 lim

x

xxx

.

Rješenje: Za početak ćemo upotrijebiti formulu

2sin2)cos(1 2 tt . (Uzgred budi rečeno,

do te se formule dolazi ovako:

2sin

2cos

2cos

2sin)cos(1 2222 ttttt

2sin2

2sin

2cos

2cos

2sin 22222 ttttt .) Imamo

2221

22

0

1

2

0

1

2

0 )(sin

2sin21 lim )(sin)cos(11 lim )(sin)cos(2 lim

x

x

x

x

x

xxxxxxx

19

2

22

22

)(sin2

sin2

)(sin2

sin2

1

22

0 )(sin

2sin21 lim

x

xx

xx

xxx

.

Izraz u vitičastim zagradama teži prema broju e . Nadalje,

2

2

2

2

02

22

0

)(sin2sin4

21 lim

)(sin2

sin2 lim

xx

x

x

x

xx

xx

x

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

xx

)sin()sin(

2

2sin

2

2sin

21 lim)(sin

4

2sin

21 lim

02

2

2

2

0

211

211111

21

.

Dakle, rezultat zadatka je 606530659.021

e .


1

0 )2cos()cos(3 lim

x

xxx

.

Rješenje: Za početak ćemo upotrijebiti formulu

2sin2)cos(1 2 tt . Tako dobivamo

221

0

1

0 )2cos(1)cos(11 lim )2cos()cos(3 lim

x

x

x

xxxxx

21

22

0 )(sin2

2sin21 lim

x

xxx

2

22

22

)(sin22

sin2

)(sin22

sin2

1

22

0 )(sin2

2sin21 lim

x

xx

xx

xxx

.

20


2

2

2

2

02

22

0

)(sin22sin4

21 lim

)(sin22

sin2 lim

xx

x

x

x

xx

xx

x

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

xx

)sin()sin(2

2

2sin

2

2sin

21 lim)(sin2

4

2sin

21 lim

02

2

2

2

0

252

2111211

21

.

Rezultat zadatka je 18249396.1225

e .

Zadatak 23. Izračunajte limes )2sin(

1

0 )3(tg19 lim

xx

x x

.

Rješenje:

)2sin(

121

0

)2sin(2

21

0

)2sin(1

)2sin(

0

)2sin(1

0 )3(tg1 lim

9 lim

)3(tg1

9 lim)3(tg1

9 limx

x

xx

x

x

xx

x

xx

x xxx

)2sin(2)3(tg lim

)2sin(21)3(tg

)3(tg1

0

121

0

3

)3(tg1 lim

9

xx

xx

xx

xex

.

Vrijedi

)2sin(

)3sin( lim)3cos(2

1 lim)2sin()3cos(2

)3sin( lim)2sin(2

)3cos()3sin(

lim)2sin(2

)3(tg lim00000 x

xxxx

xx

xx

xx

xxxxx

43

2311

21

23

)2sin(2

3)3sin( lim

121

0

xx

xx

xx

x.

Dakle, rezultat zadatka je 417099658.133 43

43

e

e.

21


2 )3(sin

0)2cos(

31)cos(

34 lim

xx

xxx

.

Rješenje: Vrijedi

)2cos(31)cos(

34)2cos(

31)cos(

34 xxxx

)(sin2

31

2sin2

341

31)2cos(1

31

34)cos(1

34 22 xxxx

)(sin32

2sin

381 22 xx

.

I tako

6

2

6

2 )3(sin

22

0

)3(sin

0)(sin

32

2sin

381 lim)2cos(

31)cos(

34 lim

x

x

x

x

x

xxxxx

6

222

)(2sin32

22sin

38

1)3(sin)(sin

32

2sin

38

22

0 )(sin

32

2sin

381 lim

x

xxx

x

xx

xx

6

222

0

)3(sin)(sin32

2sin

38 lim

x

xxxxe

. Nadalje,

2

2

422

06

222

0 9)3(sin9)(sin

32

2sin

38 lim)3(sin)(sin

32

2sin

38 lim

xx

xxx

xxxx

xx

xx

xx

xxx

xxx 3)3sin( lim

3)3sin( lim3)(sin2

2sin8 lim

00422

0

4

22

0422

0

)(sin2

sin4 lim6116)(sin

2sin4 lim

x

xx

xxx

xx

22

4

222

04

22

0

2cos

2sin4

24sin

lim62cos

2sin2

24sin

lim6x

xxx

x

xxx

xx

4

22

04

222

0

2cos1

2sin

lim242cos

2sin

2sin

lim24x

xx

x

xxx

xx

16

2sin

lim16242

sin lim242

sin2

sin lim24 4

4

04

4

04

22

0 x

x

x

x

x

xx

xxx

231111

23

2

2sin

2

2sin

2

2sin

2

2sin

lim23

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x.


e .

23

3. Računanje limesa uz upotrebu L’Hôpitalovog pravila Osim rezultata koje smo koristili u prethodnom poglavlju, u ovom poglavlju kod računanja

limesa koristimo još i L’Hôpitalovo pravilo. To pravilo kaže da, ako limes )()( lim

xgxf

ax ima

oblik 00 ili

, a

)()( lim

xgxf

ax

postoji i ima vrijednost L , onda limes

)()( lim

xgxf

ax također postoji i

ima vrijednost L . Drugim riječima,

Lxgxf

xgxf

axax

)(

)( lim ili 00

)()( lim .

Zadatak 25. Izračunajte limes )2arccos()2cos(

))2ln(cos( lim 20 xxxx

x .

Rješenje:

00

0)1ln())2ln(cos( lim

)0arccos()0cos(1

)2arccos()2cos())2ln(cos( lim 2020 x

xxxx

xxx

)2cos(2

)2sin(2 lim22

)2cos()2sin(2

lim

21

1 ' 00 xx

xx

xx

praviloHopitalovoL

emoprimjenjuj

xx

273239545.14142

)2sin( lim)0cos(

40

x

xx

.


53arcsin)23(

1)ln( lim3

)ln(

1xx

xe xx

.

Rješenje:

23

1)ln( lim

53arcsin

1

53arcsin)23(

1)ln( lim 313

)ln(

1 xxxx

xx

xex

x

x

00

3311

331 lim

53arcsin

1 ' 00

231101

2

1

1 xx

praviloHopitalovoL

emoprimjenjuj

x

24

258999812.0

53arcsin6

161

53arcsin

16

lim

53arcsin

1 ' 2

1

xx

praviloHopitalovoL

emoprimjenjuj

x.

Zadatak 27. Izračunajte limes )5ln()5ln(

)3cos()2cos( lim )ln(3)ln(21

xxx eexxx

.

Rješenje:

)5ln()5ln(

)3cos()2cos( lim)5ln()5ln(

)3cos()2cos( lim)ln()ln(1 )ln(3)ln(21

32 xxxxxx eexxx

eexxx

.'

00

)5ln()115ln(11

)5ln(15ln

)3cos()2cos( lim3

21 HL

xxx

xxx

4

1

412

1 325

)3sin(3)2sin(2 lim

11511

03255

1)3sin(3)2sin(2 lim

3 xx

xx

xx

xx

xxx

x

x

5

22

1 122

)3cos(9)2cos(4 lim5 .' 00

32500

x

xxHLx

674011.2425

25

1055

122)1(9145 2

2222

.

Zadatak 28. Izračunajte limes )3sin()sin(

)12ln(214ln lim)ln(2)ln(

21 xx

eex xx

x

.

Rješenje:

)3sin()sin(

)12ln(1214ln lim

)3sin()sin()12ln(214ln lim

2

21

)ln()ln(

21

2

xxx

xx

xxeex

x

xx

x

.' 00

11)12ln()48ln(

)3sin()sin(

)12ln(116ln lim

2

21

HLxx

xx

x

)3cos(3)cos(

216 lim

481

)3cos(3)cos(

0216116

1

lim3

21

3

2

21 xx

xxx

xx

x

xx

25

)3sin(9)sin(

6

lim121 .'

00

008216

22

4

21 xx

xHLx

101321183.0196

96896

121

9166

121

22222

.

Zadatak 29. Izračunajte limes )395(

)2(tg2 lim 20

xxxx

x.

Rješenje:

)395()395()395()2(tg2 lim

)395()2(tg2 lim 2020 xxx

xxxxx

xxxx

30200 5)2(tg2 lim)33(

)995()2(tg2 lim)395( lim

xxx

xxxxx

xxx

2

2

030 3)2(cos

22 lim

56 .'

00

000)2(tg2 lim

56

xxHL

xxx

xx

2

2

02

2

02

2

0

1)2(cos

1

lim54)2(cos

11 lim

54)2(cos

11 lim

1512

xx

xx

xx

xxx

2

2

02

2

0222

2

0 4)2(sin lim

516)2(sin lim

)0(cos54

)2(cos)2(cos1 lim

54

xx

xx

xxx

xxx

2.35

16115

162

)2sin(2

)2sin( lim5

160

xx

xx

x.

Zadatak 30. Izračunajte limes )2ln()ln(

)3ln(ln(2) lim22

3

1 xxxxxx

x

.

Rješenje:

)2ln(

)3ln(ln(2) lim)1ln(1

1)2ln()ln(

)3ln(ln(2) lim 23

1222

3

1 xxxx

xxxxxx

xx

)22)(3()33)(2( lim 1

222

3330

lim)01(

1 .' 00

)1ln()2ln()2ln(

3

22

1

2

3

2

12 xxxxxx

xxx

xxx

HLxx

26

)1( lim 43

1)1)(1( lim

43

11 lim

23

21

2233 lim

1312

11

2

1

2

1x

xxx

xx

xx

xxxx

232

43

.


xx

xxx

x

21

2ln

21

2ln3

lim2

2

1.

Rješenje:

22ln

22ln

lim2

21

2ln

21

2ln

lim31

21

2ln

21

2ln3

lim 1

22

1

2

2

1

2

2

1 xx

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx

221

22

1

)(

22

1

lim2 .' 00

)1ln()1ln(

21

21ln

21

21ln

2

1

322

1 xxx

xxxx

HLx

2

3

1

1

121

3

1221 1 lim1

1 lim

21

21

12)1(1

lim

22

1 lim2xxx

xxx

xx

xxxx xxxx

8241

1141 lim4)1(

)1)(1( lim2121 lim

111112

2

12

22

13

4

1

x

xxx

xxxx

xxxx

.


)2ln(2 8ln)8ln(

2cos1

limxx e

x

x

.

Rješenje:

xx

x

ex

x

xxx 28ln)8ln(2

cos1 lim

8ln)8ln(

2cos1

lim 12)2ln(2

27

)28(

281

22sin

lim .' 00

)8ln()8ln(11

4218ln)8ln(

)cos(12

1

2 xxx

xHL

x

28

2sin

lim428

2sin

lim

812

282

sin lim

4218

12

222222 x

x

x

x

x

x

xxx

8116

2)cos(

416

22cos

lim4 .' 00

2418

)sin(32

x

xHL

x

2

44

224

.


231

)3ln()12ln(

ln(9) limxxxx

.

Rješenje:

231231

)3ln()12ln(

ln(3)2 lim)3ln()12ln(

ln(9) limxxxxxx xx

)12ln()(

)12ln(22 lim)3ln(1)12ln(

2 lim)3ln( 2323

1231 xxxxxx

xxx xx

122)()12ln()23(

12246

lim)3ln( .' 00

0)11(022

232

2

1

xxxxxx

xxx

HLx

.' 00

1220)23(

1246

1222)12ln()23(

12246

lim)3ln( 232

2

1HL

xxxxxx

xxx

x

28

2

2322

2

1

)12(2)22()12()46(

122)23()12ln()26(

)12(22412

lim)3ln(

xxxxxx

xxxxx

xx

x

10220

4412)3ln(

12)22(1)46(

12)23(0)26(

14412

)3ln(

295836866.3)27ln()3ln()3ln(34

12)3ln(220

12)3ln( 3

.


)14ln(

212

1 lim21 xxx

.

Rješenje:

)14ln()12(

24)14ln( lim)14ln(

212

1 lim21

21 xx

xxxx xx

144)12()14ln(2

414

4

lim .' 00

)12ln()11(22)12ln(

21

xxx

xHLx

2

2

21

)14(44)12(

1442

1442

0)14(

44

lim .' 00

124)11()12ln(2

412

4

xx

xx

xHLx

11616

08816

)12(16)11(

128

128

)12(16

2

2

.

Zadatak 35. Izračunajte limes )(ctg

0

2

)cos( lim xx

x

.

Rješenje: Iz formule

2sin2)cos(1 2 tt , koju smo izveli u zadatku 21., slijedi da je

2sin21)cos( 2 tt . Koristeći taj identitet, dobivamo

29

)(ctg

2sin2

2sin2

1 2

0

)(ctg 2

0

)(ctg

0

22

2

2

2

2sin21 lim

2sin21 lim)cos( lim

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

.


)sin(2

sin lim)0cos(2

)sin()cos(

2sin lim2)(ctg

2sin2 lim 2

2

02

22

0

22

0 x

x

xxxxx

xxx

x

x

xx

xx

HLxx

2sin

lim)0cos(2

)0cos(22)cos(

21

2cos

2sin2

lim12 .' 00

020

211

21

2

2sin

lim212

sin lim

00

x

x

x

x

xx.


e .

30

4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija Kada se kaže da je funkcija )(xyy implicitno zadana jednadžbom 0),( yxF , pod time se misli da za svaki x iz domene funkcije )(xy vrijedi 0))( ,( xyxF . Drugim riječima, graf funkcije )(xy je podskup skupa svih točaka ) ,( yx u kojima vrijedi 0),( yxF . Iz jednadžbe kojom je funkcija )(xyy zadana implicitno, ponekad je moguće za dotičnu funkciju dobiti i eksplicitnu formulu. (Pod eksplicitnom formulom podrazumijevamo formulu koja počinje s “ y ”, a nastavlja se izrazom koji je ili konstanta, ili ovisi samo o varijabli x , a ne i o varijabli y .) U zadacima koji slijede (osim možda u zadatku 37.), eksplicitnu formulu nije moguće dobiti, ali je ipak u nekim točkama moguće odrediti vrijednost implicitno zadane funkcije te vrijednosti njezine prve i druge derivacije. Zadatak 36. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadžbu

xeyyx 38)cos( . (1)

Izračunajte )0(y , )0(y i )0(y . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo

1)0(8 03 ey , 81)0( 3 y ,

21)0( y .

Derivacija jednadžbe (1) je

xeyyyyxy 224)sin()cos( . (2) U jednadžbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo

,)0(4124)0(

2sin0

2cos 0eyy

1)0(600 y , 1)0(6 y , 61)0( y .


yyxyyyxyyyy )sin()cos()sin()sin( xeyyyyy 22448 . (3)

U jednadžbi (3) stavljamo 0x i na taj način dobivamo

31

1)0(4124

361

214800

62sin

62sin

y ,

1)0(67248

66 y , 1)0(6

32

3 y ,

31

31

3)0(6 y ,

181)0( y .

Zadatak 37. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadžbu

8)2cos(

33

xexyyx

. (1)

Izračunajte )0(y , )0(y i )0(y . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo

8)0cos()0(

)0(0 03 ey

y ,

81)0(3 y ,

21)0( y .


xexyxyyy

yxy 3322 38

1)2sin(2)2cos(31 ,

xexyxyy

yyxy 332

2 83)2sin(2)2cos(3

. (2)

U jednadžbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo

18301)0()0(3

)0()0( 2

2 yyyy ,

83)0()0(3

)0(1 2 yy

y,

83)0(

432 y , 3)0(616 y , 13)0(6 y , ...166.2

613)0( y .


)2cos(3)2cos()(62)()( 224

2

xyyxyyy

yyyxyyyxyy

xexyxyyxyy 3322892)2cos(2)2sin(6)2sin(23 . (3)


32

89)0(400)0()0(31)0()0(6

)0()0()0(2)0( 322

4 yyyyy

yyyy ,

89)0(4)0()0(3)0()0(6

)0()0(2 322

2 yyyyy

yy ,

89

814)0(

43

361693

413

13

y , 8

13)0(43

12169

352

y .

Množeći s 24 , odavde dobivamo

39)0(18338416 y , 715)0(18 y , ...7222.3918715)0( y .


)cos(13)3(tg3 3

yxyx

. (1)

Izračunajte )0(y i )0(y . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo

01

3)0(03 3

y , 313)0( y .


2 2

232 3

)cos(1)sin()cos(33

)3(cos3)3(tg

31

yxyyxyyy

xyx

. (2)

U jednadžbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo

2

22

32

3

)01(0)3cos(3)0(33

13)30(

31

y ,

)3cos(3)0(273331 2 y , )1(3)0(273

271

y ,

3)0(91

y , 926

913)0( y .

33


)2sin()2arcsin(2)2cos(

92

2

xyxy . (1)

Izračunajte

4y i

4y .

Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo 4

x . Tako dobivamo

2sin

42arcsin2

2cos

49

2 2

yy ,

42arcsin2

9

2 y , 34

2arcsin2

y ,

642arcsin

y ,

21

6sin

42

y , 41

4

y .


)2cos(9

2

)2sin()2()2cos(20

22

2

xy

xyxyy

)2(sin

)2cos(2)2arcsin(2)2sin(41

22

2

2

x

xyxy

y

. (2)

Stavljajući 4

x , iz jednadžbe (2) dobivamo

22 1

0221arcsin21

16141

42

2

0161

92

1)2(1610

4412

y

y ,

34

434

4

32

81

y,

316

1

234

4

y

,

163

34

8

y

,

01292177.0128

334

y .


2)23()ln(

123 3

xxyxexyy . (1)


122)0()ln()0(

1

yey , 1)0(2 y , 21)0( y .

Na desnoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz 12)23( xx . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:

)23ln()12(23ln 12 xxx x ,

23

3)12()23ln(2)23(

)23(

12

12

xxx

xx

x

x

,

2336)23ln(2)23(

)23( 1212

xxxxx xx .

Derivacija cijele jednadžbe (1) je

)31()(

31)ln( 23

23 yyyx

exyyxyyexyy

2336)23ln(2)23(

21 12

xxxx x . (2)


35

23)2ln(22

21)0(

431

21

312

1

211)0(

2

ye

y ,

23)2ln(2)0(

431

34

41)0(

y

ey ,

23)2ln(2)0(

34

41)0( ye

y , e

y41

689)2ln(2)0(2 ,

730495583.081

121)2ln()0(

ey .


6)62(84)ln(

233 3

xxyxeexyy . (1)


666)0(2)ln()0(

2

yey , 6)0(3 y , 2)0( y .

Na desnoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz 23)62( xx . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:

)62ln()23(62ln 23 xxx x ,

62

2)23()62ln(3)62(

)62(

23

23

xxx

xx

x

x

,

323)62ln(3)62(

)62( 2323

xxxxx xx .


)244()84(

31)ln( 23

23 yyyx

eexyyexeyyeexyy

323)62ln(3)62(

61 23

xxxx x . (2)

36

Stavljajući 0x , iz jednadžbe (2) dobivamo

32)6ln(336

61)0(964

441

31221)0( y

eey ,

32)6ln(36)0(964

4814)0( yy ,

4)6ln(18)0(21214)0( yy ,

121)6ln(18)0(3 y ,

72277904.10361)6ln(6)0( y .


664arcsin28)2( 3 33

y

yxyx x . (1)


66)0(

4arcsin)0(8)0(2 3 3 3

y

yy ,

66)0(4arcsin)0(8)0(8

y

yy , 66)0(

4arcsin

y

,

21

6sin

6)0(4

y, 3)0(

214 y , 1)0(

21

y , 2)0( y .

Na lijevoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz 3)2( xx . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:

)2ln()3(2ln 3 xxx x ,

2

1)3()2ln(1)2(

)2(

3

3

xxx

xx

x

x

,

23)2ln()2(

)2( 33

xxxxx xx .

37


)32()2(

318)2(

23)2ln()2( 23

2333 yyyxyxy

xxxx xx

0)6(

4

641

122

y

y

y

. (2)

Stavljajući 0x , iz jednadžbe (2) dobivamo

)0(432)2(

38)0(22

23)2ln(2 3

2333 yy

0)0()62(

4

6241

122

y ,

0)0(64

4

411

1)0(12241

38)0(8

23)2ln(16

yyy ,

0)0(161

43

1)0(12232)0(824)2ln(16

yyy ,

0)0(161

23

1)0(834)0(824)2ln(16 yyy ,

0)0(316

23

68)2ln(16 y ,

)16ln(

3174)2ln(4

3174)2ln(16

368)0(

381 y ,

7510116.467)16ln(3

17332)0(

y .

38

5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija Neka je I interval u skupu i neka su )(txx i )(tyy neprekidne funkcije s I u . Tada je skup IttytxK :))( ),(( krivulja u ravnini. Moguće je da za neki 1x na krivulji K postoji više točaka s apscisom 1x . Drugim riječima, moguće je da krivulja K nije graf nikakve funkcije )(xff . No također je moguće i to da krivulja K jest graf neke funkcije

)(xff . U ovom drugom slučaju, kaže se da je funkcija f jednadžbama )(txx i )(tyy ( It ) zadana na parametarski način. Ako je funkcija f zadana na parametarski

način, onda za svaki It vrijedi

)())(( tytxf . (1) Uz pretpostavku da funkcije )(tx i )(ty imaju derivaciju, može se pokazati da funkcija

)(xff ima derivaciju u svim točkama za čiji parametar t vrijedi 0)( tx . Deriviranjem jednadžbe (1) nalazimo da u rečenim točkama vrijedi )()())(( tytxtxf pa stoga i

)()())((

txtytxf

. (2)

U zadacima koji slijede, funkcija je zadana na parametarski način, a mi koristimo formule (1) i (2) kako bismo toj funkciji i njezinoj derivaciji odredili vrijednost u zadanoj točki. Zadatak 43. Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadžbe

1136arcsin

132arcsin)(

tt

tttx , 32

23

)1()1()(

ttty .

Izračunajte )0(f i )0(f . Rješenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?

01136arcsin

132arcsin

tt

tt ,

1136arcsin

132arcsin

tt

tt ,

1136

132

tt

tt , )13()6()113()2( tttt ,

6183226113 22 tttttt , 619225 tt , 2814 t , 2t .

32781

)14()18()2())2(()0( 3

2

yxff .

39

2222 )113(3)6()113(1

11361

1)13(

3)2()13(1

1321

1)(

t

tt

ttt

tt

tt

tx ,

2222 53451

541

1)5(

3)4()5(1

541

1)2(x

1514

157

157

257

531

257

531

257

259

1257

259

1

.

62

22233223

)1(2)1(3)1()1(3)1(2)(

t

ttttttty ,

41281

34183

34383

)4(9381343)9(2)2( 676

6

3

y .

730

7152

14154

15144

)2()2())2(()0(

xyxff .

Zadatak 44. Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadžbe

263 arccos

8123 arccos)(

tt

tttx , 22

32

)5()7()(

ttty .


0263 arccos

8123 arccos

tt

tt ,

263 arccos

8123 arccos

tt

tt ,

263

8123

tt

tt , )8()63()2()123( tttt ,

486243241263 22 tttttt , 4830246 tt , 7224 t , 3t .

21

168

)59()79()3())3(()0( 2

3

yxff .

40

2222 )2(1)63()2(3

2631

1)8(

1)123()8(3

81231

1)(

t

tt

ttt

tt

tt

tx ,

25

353

531

125

)3()5(3

531

1)3(22

x

56

2024

2012

2012

2512

541

2512

541

2512

25161

2512

25161

.

42

2322222

)5(2)5(2)7()5(2)7(3)(

t

ttttttty ,

31648

162472

161624161672

4642816643)3( 4

y .

25

653

563

)3()3())3(()0(

xyxff .


33

3

3581)(

ttttx ,

2arccos

3cos)( ttty .

Izračunajte

21f i

21f .

Rješenje: Za koji t vrijedi 21)( tx ?

21

35813

3

3

tt

t , 81

3581

3

3

tt

t , 358)1(8 33 ttt ,

88358 33 ttt , 55 t , 1t .

6321

21arccos

3cos)1())1((

21

yxff .

41

23

233232

3

3

)358()524()1()358(3

3581

31)(

ttttttt

ttttx ,

25610

21

31

2565848

81

31

16292163

162

31)1(

232

2

32

x

965

325

31

12854

31

.

21

21

13

cos2

arccos33

sin)(2

ttttty ,

21

431

21

3323

21

411

13

cos21arccos

33sin)1( y

18

333323

183

321

183

2232

118

3 2222

18332

.

333

516

1833

596

965

1833

)1()1(

21 22

2

xyf

77686261.2315

)3(316 2

.

Zadatak 46. Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadžbe

2312arcsin

)(

tt

tx , 3 4

12)(

ttty .


42

6

2312arcsin

tt

, 6123

12arcsin

tt

, 623

12arcsin

tt ,

21

6sin

2312

tt , 2

1223

tt , 2423 tt , 4 t , 4t .

23

89)4())4(()6(

3 yxff .

2

22

2312arcsin

)23(3)12()23(2

23121

1

)(

tt

ttt

tt

tx

,

36

281

23

1

6

14147

411

1

147arcsin

1437142

1471

1

)4( 222

22

x

371837

18314

36

36

1431

22 .

2 332

321

4

)4(31124)12(

22

)(

t

ttttty ,

485

4125

412

38

441

32

441

3132

31

8

831989

)4( 2 3

32

321

y .

220427006.0864

3351837

485

3718

485

)4()4())4(()6(

xyxff .


43

)13ln()749ln()(

2

t

tttx , 32)13()( ttty .


213ln)749ln( 2

ttt , )13ln(2)749ln( 2 ttt , 22 )13(ln)749ln( ttt ,

22 )13(749 ttt , 169749 22 tttt , 62 t , 3t .

100010)19()3())3((2 336 yxff .

2 2

2

)13ln(13

3)749ln()13ln(749

418

)(

t

tttt

ttt

tx ,

2 2 )10ln(

)100ln(103)10ln(

10058

)10ln(103)71281ln()10ln(

71281454

)3(x

)10ln(501

)10ln(50

1

)10ln(50

3029

)10ln(106

5029

)10ln(

)10ln(2103)10ln(

5029

2

.

)13ln()32())(ln( ttty ,

133)32()13ln(2

)()(

t

tttyty ,

133)32()13ln(2)13(

133)32()13ln(2)()( 32

tttt

ttttyty t .

9)10ln(20100109)10ln(21000

1033)10ln(210)3( 3

y .

9)10ln(20100)10ln(50

)10ln(501

9)10ln(20100)3()3())3((2

xyxff

1403.6338069)10ln(20)10ln(5000 .

44


)234ln()12ln()( 2

ttttx , 432 )9()( ttty .

Izračunajte

21f i

21f .

Rješenje: Za koji t vrijedi 21)( tx ?

21

)234ln()12ln(

2 tt

t , )234ln()12ln(2 2 ttt , )234ln()12(ln 22 ttt ,

234)12( 22 ttt , 234144 22 tttt , 1t .

10110)91()1())1((

21 143

yxff .

2 22

2

)234ln(234

38)12ln()234ln(12

2

)(

tttt

ttttttx ,

)3ln(361

)3ln(491

)3ln(49

1112

)3ln(49

1134

)3ln(2)3ln(2

)3ln(911)3ln(2

32

)9ln(9

11)3ln()9ln(32

)1( 2

x .

)9ln()43())(ln( 2 ttty ,

92)43()9ln(3

)()(

22

t

ttttyty ,

92)43()9ln(3)9(

92)43()9ln(3)()( 2

24322

2

ttttt

tttttyty t .

50

1)10ln(15100

2)10ln(302)10ln(3010102)10ln(310)1( 21

y .

501)10ln(15)3ln(36

)3ln(361

501)10ln(15

)1()1())1((

21

xyxff

45

52920057.261)10ln(15)3ln(2518

.


2562)( 3

tttx ,

54 arccos)82()( 72

tttty t .

Izračunajte )0(f . Rješenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?

02562

3

tt , 062 t , 62 t , 3t .

23

23

)25(3)62()25(2)(

t

ttttx ,

144

)2(930)2(2)3( 2

x .

U formuli za )(ty primjećujemo izraz 72)82( tt . Taj izraz deriviramo na logaritamski način: )82ln()72()82(ln 72 ttt t ,

82

)72(2)82ln(282

2)72()82ln(2)82(

)82(72

72

ttt

ttt

tt

t

t

,

82

)72(2)82ln(2)82()82( 72 72

ttttt tt .

54 arccos)82()( 72

tttty t

2272

)5(1)4()5(1

541

182

)72(2)82ln(2)82(t

tt

ttt

ttt t

22

72

)5(1

541

182

)72(2)82ln(2)82(

t

ttt

ttt t .

46

41

43

11)2ln(2221

211

12

12)2ln(22)3( 221y

632)2ln(4

3232)2ln(4

3212)2ln(4

41

23

12)2ln(4

.

632)2ln(4

1632)2ln(4

)3()3())3(()0(

xyxff

483913588.4)2ln(4263

.


863arcsin)( 3 ttttx , ttty t 8)1()( 1 .

Izračunajte

6f i

6 f .

Rješenje: Za koji t vrijedi 6

)( tx ?

6863arcsin 3

ttt ,

21

6sin

863

3

ttt , 1

866

3 ttt ,

866 3 ttt , 80 3 t , 83 t , 2t .

1243163)2())2((6

1

yxff .

86

3

8631

1)( 323

ttt

ttt

tx

47

23

23

2

3

)86()63(3)86(3

8631

1

tt

tttt

ttt

,

2222 12186123

211

1)8128(

)612(6)8128(3

812861

1)2(x

31

21

32

14472

23

1144

10836

43

1

.

Funkciju )(ty deriviramo na logaritamski način:

)8ln(21)1ln()1(8ln)1(ln))(ln( 1 tttttty t ,

tttt

tttt

tyty

21

11)1ln(8

81

21

11)1ln(1

)()(

,

tt

tttttt

tttyty t21

11)1ln(8)1(

21

11)1ln()()( 1 .

7)3ln(1234)3ln(12123

124)3ln(12

41

31)3ln(163)2( 1

y .

95858328.3437)3ln(123

17)3ln(12

)2()2())2((

6

xyxff .


11024)( 2

3 32

t

tttx , )1ln()43()1()( 22 tttty t .


41

10242

3 32

t

tt , 441024 23 32 ttt , 41023 3 t ,

64102 3 t , 542 3 t , 273 t , 3t .

48

30258509.12)10ln(10)10ln(52)3())3(()4( 1 yxff .

22

3 322232

3

)1(

2)1024()1(6)102(318

)(

t

ttttttttx ,

1006)436(10)41824(

10

6)6436(1054643124

)3(2

2

332

x

809

1089

100

1089

100

2401089240

100

64010161824

.

Na desnoj strani formule za )(ty primjećujemo izraz )43()1( 2 tt t . Taj izraz deriviramo na logaritamski način: )43ln()1ln()2()43()1(ln 2 ttttt t ,

43

312)1ln(

433

11)2()1ln(1

)43()1(

)43()1(

2

2

tttt

tttt

tttt

t

t

,

43

312)1ln()43()1(

)43()1( 22

tttttttt tt .

)1ln( )43()1()( 22 tttty t

12

433

12)1ln()43()1( 2

2

t

ttt

tttt t ,

53

53

21)2ln(10

106

53

21)2ln(52)3( 1y

558)2ln(10

5365)2ln(10 .

911658)2ln(800

980

558)2ln(10

809

558)2ln(10

)3()3()4(

xyf

49

7241938.1649

928)2ln(800

.

50

6. Primjena derivacija Neka je )(xff funkcija iz u . Neka je 0x jedna od točaka domene funkcije f . Ako postoji otvoreni interval I , takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , onda kažemo da funkcija f u točki 0x ima lokalni maksimum. Slično tome, ako postoji otvoreni interval I , takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , onda kažemo da funkcija f u točki 0x ima lokalni minimum. Ako funkcija f u točki 0x ima lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da funkcija f u točki 0x ima lokalni ekstrem. Ako funkcija f u točki 0x ima lokalni ekstrem, a 0x je točka u kojoj derivacija funkcije f postoji, onda vrijedi 0)( 0 xf . Točke u kojima je derivacija funkcije f jednaka nuli zovu se stacionarne točke funkcije f . Kada nađemo stacionarnu točku funkcije f , onda tu točku ispitujemo tako da pobliže promatramo funkciju f , ili tako da pobliže promatramo funkciju f . Naime, ako su zadovoljena sljedeća tri uvjeta: 1) vrijedi 0)( 0 xf , 2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i 3) postoji broj 2x (koji je veći od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf , onda funkcija f u točki 0x ima lokalni maksimum. Slično tome, ako su zadovoljena sljedeća tri uvjeta: 1) vrijedi 0)( 0 xf , 2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i

3) postoji broj 2x (koji je veći od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf , onda funkcija f u točki 0x ima lokalni minimum. Ako vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u točki 0x ima lokalni maksimum. Ako pak vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u točki 0x ima lokalni minimum. U zadacima koji slijede, traži se točku ekstrema funkcije, ali funkcija nije zadana na eksplicitan način. Dakle, najprije treba pažljivo pročitati tekst zadatka i/ili pogledati sliku pa onda napisati formulu za funkciju. Tek nakon toga se funkciju derivira te se određuju i ispituju stacionarne točke.

51

Zadatak 52. Ana ima 5 metara žice. Ona će tu žicu prerezati na dva dijela. Jedan dio će biti dugačak x metara, a drugi dio će biti dugačak x5 metara. Od dijela dugačkog x metara, Ana će savijanjem napraviti krug. Od dijela dugačkog x5 metara, Ana će savijanjem napraviti kvadrat. (Dakle, opseg kruga će biti x metara, a opseg kvadrata će biti x5 metara.)

Neka je )(xf oznaka za sumu površine kruga i površine kvadrata. Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rješenje: Opseg kruga je x . Dakle, xr 2 , 2xr . Površina kruga je

44

2

2

22 xxr .

Opseg kvadrata je x5 . Dakle, duljina stranice kvadrata je 4

5 x . Površina kvadrata je

.16

)5(16

)5( 22

xx

I tako,

222222

)5(416

116

)5(416

)5(4

)( xxxxxxxf

.

)54(81)5(4

81)5(28

161)(

xxxxxxxf

5)4(81

x .

05)4( 0)( xxf , 5)4( x , 199504232.245

x .

Za

45 ,0x vrijedi 0)( xf , a za 5 ,

45

x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf

poprima lokalno (a i globalno) najmanju vrijednost onda kada je

45x .

Zadatak 53. Opseg pravokutnika 1P je x metara. Širina pravokutnika 1P je dva puta veća nego visina pravokutnika 1P . Opseg pravokutnika 2P je x27 metara. Širina pravokutnika

2P je tri puta veća nego visina pravokutnika 2P . Vidi Sliku 2.

52

Slika 2. Pravokutnici 1P i 2P .

Neka je ) () ()( 21 PkapravokutnipovršinaPkapravokutnipovršinaxf . Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost. Rješenje: Neka je a oznaka za duljinu kraće stranice pravokutnika 1P . Opseg pravokutnika

1P je aaaaa 622 . Dakle, xa 6 , 6xa . Površina pravokutnika 1P je

18362

2xxxaa .

Neka je b oznaka za duljinu kraće stranice pravokutnika 2P . Opseg pravokutnika 2P je

bbbbb 833 . Dakle, xb 278 , 827 xb . Površina pravokutnika 2P je

64)27(3

8)27(3

8273

2xxxbb .

I tako, 64

)27(318

)(22 xxxf .

144

)27(271616

)27(39

)2()27(26432

181)( xxxxxxxf

14472770

1445472716

xxx .

Vidimo da je 0)( xf onda kada je

53

072770 x , 02710 x , 2710 x , 1027

x .

Za 1027 ,0x vrijedi 0)( xf , a za

27 ,

1027

x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima

minimalnu vrijednost onda kada je 7.21027

x .

Zadatak 54. Broj a leži u intervalu 20 ,0 . Opseg kruga K je a20 . Najdonja točka kruga K ima ordinatu a . Neka je G krajnje lijeva točka kruga K i neka je H krajnje desna točka kruga K . Neka je L lik kojega: s lijeva omeđuje pravac koji prolazi kroz točku G i paralelan je s ipsilon osi, s desna omeđuje pravac koji prolazi kroz točku H i paralelan je s ipsilon osi, odozdo omeđuje iks os, te odozgo omeđuje donji rub kruga K . Vidi Sliku 3.

Slika 3. Krug K i lik L .

54

Neka je )(af oznaka za površinu lika L . Nađite broj a za kojega funkcija )(af poprima maksimalnu vrijednost. Napomena: Točke IHG , , i J su vrhovi pravokutnika. Ne samo da se sa Slike 3. stječe takav dojam, nego je i stvarno tako.

Rješenje: Opseg kruga K je a20 . Dakle, ar 202 , )20(21 ar

. Radijus kruga

K je )20(21 a

.

Duljina vodoravne stranice pravokutnika GHIJ je )20(12 ar

. Duljina okomite stranice

pravokutnika GHIJ je )20(21) kruga tockenajdonje ordinata( aararK

.

Površina pravokutnika GHIJ je

)20(

21)20(1 aaa

.

Površina kruga K je 2222 )20(

41)20(

41 aar

.

) kruga površina(21) kapravokutni površina()( KGHIJaf

2)20(81)20(

21)20(1 aaaa

.

)1()20(2

81)1(

211)20(1)20(

21)1(1)( aaaaaf

)1()20(2

81)1(

211)20()20(

21)1(1 aaaa

)20(

41)20(

21)20()20(

211 aaaaa

)20(1

49251

41520)20(11 aaaaaa

.

0)20(14925 0)( aaaf

, 0)20(49100 aa ,

04809100 aa , aa 4980100 , 80100)49( a ,

64637244.94980100

a .

55

Za 4980100 ,0

a vrijedi 0)( af , a za 20 ,

4980100

a vrijedi 0)( af . Funkcija

)(af poprima najveću vrijednost onda kada je 4980100

a .

Zadatak 55. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 6 kuna. Krešimir ima 75 kuna i potrošit će ih ovako: na zlatnu sajlu će potrošiti x kuna, a na srebrnu sajlu će potrošiti x75 kuna. Zatim će Krešimir savijati sajle i tako će napraviti dva kruga: od zlatne sajle će napraviti krug 1K , a od srebrne sajle će napraviti krug 2K . (Točnije rečeno, Krešimir će od npr. zlatne sajle napraviti kružnicu i ta kružnica je rub kruga 1K .)

Neka je )(xf oznaka za sumu površine kruga 1K i površine kruga 2K . Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.

Rješenje: Krešimir će kupiti 8x metara zlatne sajle i

675 x metara srebrne sajle. Dakle,

opseg kruga 1K će biti 8x metara, a opseg kruga 2K će biti 6

75 x metara.

Kod svakog kruga vrijedi da je

r2opseg , 2

opsegr , 22

22 )opseg(

41

4opseg)(površina

r .

I tako, površina kruga 1K iznosit će 2

841

x

kvadratnih metara, a površina kruga 2K

iznosit će 2

675

41

x

kvadratnih metara. To znači da je

36)75(

6441

675

41

841)(

2222 xxxxxf

.

1875

3241

36)75(2

642

41)( xxxxxf

.

018

7532

0)( xxxf , 0)75(3218 xx , 024003218 xx ,

240050 x , 4800100 x , 48x .

56

Za 48 ,0x vrijedi 0)( xf , a za 75 ,48x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost za 48x . Drugim riječima, zbroj površina krugova je najmanji onda kada Krešimir potroši 48 kuna na zlatnu sajlu i 274875 kuna na srebrnu sajlu. Zadatak 56. Jedan metar zlatne sajle košta 4 kune. Jedan metar srebrne sajle košta 2 kune. Matea ima 88 kuna. Matea će u intervalu 22 ,0 izabrati broj x . Zatim će Matea kupiti x metara zlatne sajle, a novce, koji joj nakon toga ostanu, potrošit će na srebrnu sajlu. Od zlatne sajle, Matea će napraviti pravokutnik kojemu je širina dva puta veća nego visina. (Pravokutnik će izgledati otprilike ovako: .) Označimo taj pravokutnik slovom P . Od srebrne sajle, Matea će napraviti kvadrat. Označimo taj kvadrat slovom K . Neka je ) () ()( KkvadratapovršinaPkapravokutnipovršinaxf . Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost. Rješenje: Označimo duljinu kraće stranice pravokutnika P slovom a . Opseg pravokutnika P je aaaaa 622 . No u zadatku piše da pravokutnik P ima opseg x . Dakle,

xa 6 , te je 6xa . Površina pravokutnika P je

18362

2xxxaa .

Matea će na zlatnu sajlu potrošiti x4 kuna pa će joj za srebrnu sajlu ostati x488 kuna.

Dakle, Matea će kupiti xx 2442

488

metara srebrne sajle. Opseg kvadrata K bit će

x244 . Duljina stranice kvadrata K bit će 2

114

244 xx

. Površina kvadrata K bit će

22

1122

11

xx .

I tako

12111

369

36212111

41811

218)( 2

2222

xxxxxxxxf

121113611 2 xx .

11811111

181111

3622)( xxxxf .

57

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 01181

x , 1181

x , 18x . Pri tome za

18 ,0x vrijedi 0)( xf , a za 22 ,18x vrijedi 0)( xf . Dakle, za 18x funkcija )(xf poprima lokalno (pa i globalno) najmanju vrijednost. Traženi x je 18 .

Zadatak 57. Dean kod sebe ima 150 kuna. Dean ide u dućan u kojem jedan metar zlatne sajle košta 9 kuna, jedan metar srebrne sajle košta 6 kuna, a jedan metar plave sajle košta 3 kune.

Kada dođe u dućan, Dean će u intervalu 9 ,29 izabrati broj x . Zatim će Dean kupiti x

metara zlatne sajle i 4

3

x

x metara srebrne sajle. Sve novce, koji mu nakon toga ostanu,

Dean će potrošiti na plavu sajlu. Neka je )(xf oznaka za sumu (duljina Deanove zlatne sajle) + (duljina Deanove srebrne sajle) + (duljina Deanove plave sajle). Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost. Rješenje: Dean će na zlatnu sajlu potrošiti x9 kuna, a na srebrnu sajlu će potrošiti

4186

436

xx

xx kuna. Za plavu sajlu, Deanu će ostati

41869150

xxx

41815150

x

x kuna. To znači da će Dean kupiti 4

655031

41815150

xx

xx

metara plave sajle. I tako

43350

46550

43)(

xx

xx

xxxxf .

Nadalje,

22 )4(33

)4(33)(

xx

xf .

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je

0)4(

33 2

x, 3

)4(3

2 x, 1

)4(1

2 x, 1)4( 2 x , 14 x ,

5 ili 314 x .

58

U tekstu zadatka piše da je funkcija )(xf definirana na intervalu 9 ,29 . U tom intervalu,

jedina stacionarna točka funkcije )(xf je točka 5x .

33

)4(6)4()2(3)(

x

xxf , 061

6)5( 3

f .

Funkcija )(xf u točki 5x ima lokalni maksimum. Zbroj duljina Deanovih sajli je najveći onda kada Dean izabere broj 5x . Zadatak 58. Jedan metar srebrne sajle košta 7 kuna. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Mišo je kupio )ln( xe metara srebrne sajle i xe 23 metara zlatne sajle. (Broj x je veći od nule.) Koristeći svu kupljenu sajlu, Mišo je na podu napravio pravokutnik. Jedan par paralelnih stranica Mišinog pravokutnika je od srebrne sajle, a drugi par paralelnih stranica je od zlatne sajle. Neka je )(xf oznaka za površinu Mišinog pravokutnika. Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.

Rješenje: Kod Mišinog pravokutnika, svaka srebrna stranica ima duljinu xex 21)ln(

21 , a

svaka zlatna stranica ima duljinu xe 2321 . Dakle, xx exexxf 2323

41

21

21)( .

xxx exexexf 232323 )21(

41)2(

411

41)( .

Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 021 x , 12 x , 21

x .

Za 21 ,0x vrijedi 0)( xf , a za ,

21x vrijedi 0)( xf . Dakle, u točki

21

x ,

funkcija )(xf ima lokalni (pa i globalni) maksimum. Primijetimo da su podaci o cijenama sajli u ovom zadatku zapravo suvišni. Kod rješavanja zadatka, mi te podatke nismo koristili. (Dakle, cijene sajli su zamka kojom se provjerava matematičku zrelost studenata.) Zadatak 59. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 7 kuna.

Goran će u intervalu 1 , 31 izabrati broj x . Zatim će Goran u dućanu kupiti

xx 19 metara

zlatne sajle i x

x 35 metara srebrne sajle. Nakon toga će Goran napraviti pravokutnik kojemu

59

je jedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Označimo površinu toga pravokutnika s )(xf . Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.

Napomena. Za 1 , 31

x vrijedi 01935 x

xx

x . Dakle, sigurno je da će Goran kupiti

više metara srebrne sajle nego metara zlatne sajle. Također je sigurno da će Goran kupiti više od nula metara zlatne sajle.

Rješenje: Pravokutnik će imati jednu zlatnu stranicu duljine x

x 19 metara i jednu srebrnu

stranicu duljine x

x 19 metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica bit će x

x 35

xxx

xx

x 444419

metara. Svaka od tih dviju stranica bit će duga x

x22

metara. Površina pravokutnika bit će

22

22 220182218182219

xx

xxx

xxx

kvadratnih metara.

Drugim riječima, 22 22018)(

xxxf . Odatle slijedi da je 3

436)(x

xxf . Jednakost

0)( xf vrijedi onda kada je

0436 3 xx , 3

436x

x , 436 4 x , 914 x ,

312 x ,

577350269.033

31

x .

41236)(x

xf , 014410836

91

12363

1

f .

Površina pravokutnika poprima maksimalnu vrijednost onda kada je 3

1x .

Primjećujemo da su podaci o cijenama sajli i u ovom zadatku bili suvišni. Zadatak 60. Jedan metar zlatne žice košta 4 kune. Jedan metar srebrne žice košta 2 kune.

Ana ima 44 kune. Ana će u intervalu 89 ,0 izabrati broj x . Zatim će Ana kupiti x8 metara

zlatne žice, a novce, koji joj nakon toga ostanu, potrošit će na srebrnu žicu.

60

Od zlatne žice, Ana će napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu x . Od srebrne žice, Ana će napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu 2x . (Riječima: duljina okomite stranice srebrnog pravokutnika bit će iks na drugu.) Vidi Sliku 4.

Slika 4. Anini pravokutnici. Neka je ) () ()( kapravokutnisrebrnogpovršinakapravokutnizlatnogpovršinaxf . Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost. Koristeći drugu derivaciju, ustanovite o kakvoj se ekstremnoj vrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ili maksimalna vrijednost? Rješenje: Opseg zlatnog pravokutnika je x8 , a zbroj duljina okomitih stranica je x2 . Dakle, zbroj duljina vodoravnih stranica je x6 , a duljina jedne vodoravne stranice je x3 . Površina zlatnog pravokutnika je 233 xxx . Ana će na zlatnu žicu potrošiti xx 3248 kuna pa će joj za srebrnu žicu ostati x3244 kuna. To znači da će Ana kupiti x1622 metara srebrne žice. Opseg srebrnog pravokutnika bit će x1622 , a zbroj duljina okomitih stranica bit će 22x . Dakle, zbroj duljina vodoravnih stranica bit će 221622 xx , a duljina jedne vodoravne stranice bit će 2811 xx . Površina srebrnog pravokutnika bit će 23443222 118811)811( xxxxxxxxx . I tako, 2342342 148)118(3)( xxxxxxxxf .

)76(428244)( 223 xxxxxxxf . Jednakost 0)76(4 2 xxx vrijedi onda kada je 0x , kao i onda kada je

61

0762 xx , 1 & 72

862

6462

28366

x .

U tekstu zadatka piše da je domena funkcije )(xf interval 89 ,0 . Brojevi 0 i 7 ne leže u

domeni pa nas jedino zanima što se s funkcijom )(xf događa za 1x .

284812)( 2 xxxf , 032284812)1( f . Funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost za 1x . Radi se o maksimalnoj vrijednosti.

Niti za jedan x iz intervala 89 ,0 , funkcija )(xf ne poprima tako veliku vrijednost kao za

1x . Zadatak 61. Jedan metar zlatne sajle košta 6 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 3 kune. Petra je imala 120 kuna. Petra je u intervalu 7 ,0 izabrala broj x i zatim je kupila x metara zlatne sajle. Osim toga, Petra je 2x kuna dala prosjaku. (Riječima: Petra je prosjaku dala iks na drugu kuna.) Novce, koje nije potrošila niti na zlatnu sajlu niti na prosjaka, Petra je potrošila na srebrnu sajlu. Kada se vratila kući, Petra je napravila pravokutnik kojemu je jedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Neka je )(xf oznaka za površinu toga pravokutnika. Nađite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost. Rješenje: Petra je za zlatnu sajlu dala x6 kuna, a prosjaku je dala 2x kuna. Dakle, za srebrnu sajlu joj je ostalo 26120 xx kuna. Za te novce, Petra je dobila

3240)6120(

31 22 xxxx metara srebrne sajle.

Petrin pravokutnik ima jednu zlatnu stranicu dugu x metara i jednu srebrnu stranicu dugu x

metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica je 3

3403

24022 xxxxx

metara. Svaka od tih dviju stranica je duga 62

3203

34021 22 xxxx

metara. I tako,

površina pravokutnika je 62

32062

3203

22 xxxxxx

kvadratnih metara. Drugim

riječima,

xxxxxxxf 2023

662320)( 2

332 .

62

Odatle slijedi da je 2032120

26

63)( 22 xxxxxf .

Jednakost 020321 2 xx vrijedi onda kada je

04062 xx , 4 & 1028 &

Documents

· 2 Predgovor Često se događa da studenti pitaju: “Što ćete nas pitati na kolokviju/ispitu?” i “Po čemu ćemo mi učiti?” Na oba ta pitanja u priličnoj se mjeri može