2 Περιεχόμενα

ISBN 978-960-456-300-5

copy Copyright Οκτώβριος 2011 Δ Καραγιαννάκης Eκδόσεις Zήτη

18ο χλμ Θεσσαλονίκης - ΠεραίαςTΘ 4171 bull Περαία Θεσσαλονίκης bull TK 570 19Tηλ 2392072222 - Fax 2392072229 bull e-mail infozitigr

Π ZHTH amp Σια OEΦωτοστοιχειοθεσίαEκτύπωση

Βιβλιοδεσία

wwwzitigr

BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣHAρμενοπούλου 27 - 546 35 Θεσσαλονίκη bull Tηλ 2310-203720 bull Fax 2310-211305e-mail saleszitigr

BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣΣτοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) - 105 64 AΘHNA bull Tηλ-Fax 210-3211097

AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKHAσκληπιού 60 - Eξάρχεια 114 71 Aθήνα bull Tηλ-Fax 210-3816650 bull e-mail athinazitigr

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ wwwzitigr

Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N21211993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας Aπαγορεύε-ται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή εκμίσθωση ή δανεισμός μετάφραση διασκευή αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδή-ποτε μορφή (ηλεκτρονική μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου

Ανάλυση Σήματος 5

Αντί Προλόγου

Θέλω να καταγράψω εδώ μία ακαδημαϊκή εξομολόγηση όχι όμως πολύ hellip de pro-fundis προς διδάσκοντες και φοιτητές ή και προς τους απλά επαγγελματίες laquoπλη-ροφορικάριουςraquo ή laquoηλεκτρονικούςraquo που έχουν επιστημονικές ανησυχίες (υπάρχουν και αυτοί και είναι πολλοί περισσότεροι από όσους φανταζόμαστε) Κάθε γραμμή του παρόντος βιβλίου (ή συγγράμματος ή εγχειριδίου ή όπως αλλιώς θα το βαπτί-σει ο αναγνώστης) ήταν για μένα βάδισμα ισορροπίας σε τεντωμένο σκοινί Από τη μία μεριά οι τεχνικές και εκπαιδευτικές ανάγκες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήμα-τος (ή ΨΕΣ όπως επεκράτησε πλέον ο όρος αν και προσωπικά θα τον ήθελα με την λέξη laquoΑνάλυσηraquo στη θέση τoυ laquoΕπεξεργασίαraquo) Από την άλλη η ανάγκη να ανα-δειχθούν οι πανέμορφες μαθηματικές ιδέες που σε θαυμαστή ώσμωση με τα όπλα της τεχνολογικής εξέλιξης οδηγούν στα εντυπωσιακά αποτελέσματα και εφαρμο-γές της ΨΕΣ σχεδόν σε όλους τους θετικούς (και όχι μόνο) επιστημονικούς κλά-δους

Ελπίζω να πέτυχα να περάσω απέναντι χωρίς πτώση

Δεν μπορώ όμως να αποφύγω τον πειρασμό να παραθέσω ως επίμετρο μία φράση του μεγάλου καλλιτέχνη και μηχανικού Leonardo da Vinci η μετάφραση (από τα αγγλικά) της οποίας βαραίνει εξ ολοκλήρου εμένα Όποιος αντιπαθεί την υψηλή σοφία των μαθηματικών τρέφεται με ψευδαισθήσεις Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 μΧ Δημήτρης Καραγιαννάκης

Ανάλυση Σήματος 7

Περιεχόμενα

Εισαγωγή 9 Κεφ 0 Σύμβολα ορολογία θεμελιώδεις έννοιες και τύποι

01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων 13 02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού 14 03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι 16 Κεφ 1 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

11 Εισαγωγικές έννοιες 19 Ασκήσεις sect11 22 12 Διανυσματικοί χώροι και εσωτερικό γινόμενο 23 Ασκήσεις sect12 26 13 Η έννοια της στάθμης 27 Ασκήσεις sect13 30 14 Ορθογώνια και ορθοκανονικά Συστήματα 33 Ασκήσεις sect14 35 15 Ορθογώνια προβολή και προσέγγιση συνάρτησης 37 Ασκήσεις sect15 42 16 Μη πεπερασμένα ορθοκανονικά συστήματα 43 Ασκήσεις sect16 49 Κεφ 2 Ο Μετασχηματισμός Fourier και η Ψηφιακή Ανάλυση Σήματος

11 Η μαθηματική προσέγγιση της έννοιας του σήματος με έμφαση στο ψηφιακό σήμα 55

Ασκήσεις sect21 61 Επαναληπτικές Ασκήσεις sect21 67 22 Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) 68 23 Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) 72 Ασκήσεις sect22 amp sect23 76 24 Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Fourier (FT) 79 Ασκήσεις sect24 92

8 Περιεχόμενα

25 Η συνέλιξη 96 Ασκήσεις sect25 109 26 Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων 114 Ασκήσεις sect26 117 27 Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon 122 Ασκήσεις sect27 125 Kεφ 3 Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος Η συνάρτηση παραθύρου

31 Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος 127 Ασκήσεις sect31 131 32 Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών

πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος 134 Ασκήσεις sect32 139 Κεφ 4 Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος

41 Χρόνος συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος 147 42 Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της sect41 153 Ασκήσεις 4ου κεφαλαίου 161

Παράρτημα 4ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica 6 175 Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier 191

Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace 203

Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος

(Από τον Fourier στον Haar στον Meyer) 211 Ειδική Βιβλιογραφία 227

Γενική Βιβλιογραφία 229

Ευρετήριο Όρων 231

Ανάλυση Σήματος 9

Εισαγωγή

Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ήκαι επιστημονικού περιεχομένου ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά Υπrsquo αυτή την έννοια ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκο-λία Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή ακόμη χειρότερα να μην μπερδέψει ndashμακρηγορώνταςndash αυτούς στους οποίους απευθύνεται Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγι-κές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2 όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας

Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι Κατrsquo αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι ndashδείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογοndash παρά τη laquoλογοτεχνική διατίμησηraquo που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα πόνημα εγχειρίδιο κλπ (παρόλο που δεν θα τον laquoχάλαγεraquo και ο όρος βοήθημα) Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ) Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων τουλά-χιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι Βέβαια ο συγγραφέας έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του laquoνεοελληνικού προβλήματοςraquo με τα Μαθηματικά φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως Το βιβλίο όμως απευ-θύνεται και στους διδάσκοντες Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα ndashαυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερι-κές φορές και με τις απαντήσεις τουςndash αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλο-γος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ήκαι δύσκολων προβλημάτων

Τέλος αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών απευθύνεται στους

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Ανάλυση Σήματος 5

Αντί Προλόγου

Θέλω να καταγράψω εδώ μία ακαδημαϊκή εξομολόγηση όχι όμως πολύ hellip de pro-fundis προς διδάσκοντες και φοιτητές ή και προς τους απλά επαγγελματίες laquoπλη-ροφορικάριουςraquo ή laquoηλεκτρονικούςraquo που έχουν επιστημονικές ανησυχίες (υπάρχουν και αυτοί και είναι πολλοί περισσότεροι από όσους φανταζόμαστε) Κάθε γραμμή του παρόντος βιβλίου (ή συγγράμματος ή εγχειριδίου ή όπως αλλιώς θα το βαπτί-σει ο αναγνώστης) ήταν για μένα βάδισμα ισορροπίας σε τεντωμένο σκοινί Από τη μία μεριά οι τεχνικές και εκπαιδευτικές ανάγκες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήμα-τος (ή ΨΕΣ όπως επεκράτησε πλέον ο όρος αν και προσωπικά θα τον ήθελα με την λέξη laquoΑνάλυσηraquo στη θέση τoυ laquoΕπεξεργασίαraquo) Από την άλλη η ανάγκη να ανα-δειχθούν οι πανέμορφες μαθηματικές ιδέες που σε θαυμαστή ώσμωση με τα όπλα της τεχνολογικής εξέλιξης οδηγούν στα εντυπωσιακά αποτελέσματα και εφαρμο-γές της ΨΕΣ σχεδόν σε όλους τους θετικούς (και όχι μόνο) επιστημονικούς κλά-δους

Ελπίζω να πέτυχα να περάσω απέναντι χωρίς πτώση

Δεν μπορώ όμως να αποφύγω τον πειρασμό να παραθέσω ως επίμετρο μία φράση του μεγάλου καλλιτέχνη και μηχανικού Leonardo da Vinci η μετάφραση (από τα αγγλικά) της οποίας βαραίνει εξ ολοκλήρου εμένα Όποιος αντιπαθεί την υψηλή σοφία των μαθηματικών τρέφεται με ψευδαισθήσεις Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 μΧ Δημήτρης Καραγιαννάκης

Ανάλυση Σήματος 7

Περιεχόμενα

Εισαγωγή 9 Κεφ 0 Σύμβολα ορολογία θεμελιώδεις έννοιες και τύποι

01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων 13 02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού 14 03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι 16 Κεφ 1 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

11 Εισαγωγικές έννοιες 19 Ασκήσεις sect11 22 12 Διανυσματικοί χώροι και εσωτερικό γινόμενο 23 Ασκήσεις sect12 26 13 Η έννοια της στάθμης 27 Ασκήσεις sect13 30 14 Ορθογώνια και ορθοκανονικά Συστήματα 33 Ασκήσεις sect14 35 15 Ορθογώνια προβολή και προσέγγιση συνάρτησης 37 Ασκήσεις sect15 42 16 Μη πεπερασμένα ορθοκανονικά συστήματα 43 Ασκήσεις sect16 49 Κεφ 2 Ο Μετασχηματισμός Fourier και η Ψηφιακή Ανάλυση Σήματος

11 Η μαθηματική προσέγγιση της έννοιας του σήματος με έμφαση στο ψηφιακό σήμα 55

Ασκήσεις sect21 61 Επαναληπτικές Ασκήσεις sect21 67 22 Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) 68 23 Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) 72 Ασκήσεις sect22 amp sect23 76 24 Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Fourier (FT) 79 Ασκήσεις sect24 92

8 Περιεχόμενα

25 Η συνέλιξη 96 Ασκήσεις sect25 109 26 Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων 114 Ασκήσεις sect26 117 27 Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon 122 Ασκήσεις sect27 125 Kεφ 3 Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος Η συνάρτηση παραθύρου

31 Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος 127 Ασκήσεις sect31 131 32 Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών

πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος 134 Ασκήσεις sect32 139 Κεφ 4 Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος

41 Χρόνος συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος 147 42 Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της sect41 153 Ασκήσεις 4ου κεφαλαίου 161

Παράρτημα 4ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica 6 175 Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier 191

Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace 203

Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος

(Από τον Fourier στον Haar στον Meyer) 211 Ειδική Βιβλιογραφία 227

Γενική Βιβλιογραφία 229

Ευρετήριο Όρων 231

Ανάλυση Σήματος 9

Εισαγωγή

Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ήκαι επιστημονικού περιεχομένου ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά Υπrsquo αυτή την έννοια ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκο-λία Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή ακόμη χειρότερα να μην μπερδέψει ndashμακρηγορώνταςndash αυτούς στους οποίους απευθύνεται Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγι-κές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2 όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας

Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι Κατrsquo αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι ndashδείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογοndash παρά τη laquoλογοτεχνική διατίμησηraquo που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα πόνημα εγχειρίδιο κλπ (παρόλο που δεν θα τον laquoχάλαγεraquo και ο όρος βοήθημα) Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ) Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων τουλά-χιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι Βέβαια ο συγγραφέας έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του laquoνεοελληνικού προβλήματοςraquo με τα Μαθηματικά φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως Το βιβλίο όμως απευ-θύνεται και στους διδάσκοντες Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα ndashαυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερι-κές φορές και με τις απαντήσεις τουςndash αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλο-γος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ήκαι δύσκολων προβλημάτων

Τέλος αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών απευθύνεται στους

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Ανάλυση Σήματος 7

Περιεχόμενα

Εισαγωγή 9 Κεφ 0 Σύμβολα ορολογία θεμελιώδεις έννοιες και τύποι

01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων 13 02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού 14 03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι 16 Κεφ 1 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

11 Εισαγωγικές έννοιες 19 Ασκήσεις sect11 22 12 Διανυσματικοί χώροι και εσωτερικό γινόμενο 23 Ασκήσεις sect12 26 13 Η έννοια της στάθμης 27 Ασκήσεις sect13 30 14 Ορθογώνια και ορθοκανονικά Συστήματα 33 Ασκήσεις sect14 35 15 Ορθογώνια προβολή και προσέγγιση συνάρτησης 37 Ασκήσεις sect15 42 16 Μη πεπερασμένα ορθοκανονικά συστήματα 43 Ασκήσεις sect16 49 Κεφ 2 Ο Μετασχηματισμός Fourier και η Ψηφιακή Ανάλυση Σήματος

11 Η μαθηματική προσέγγιση της έννοιας του σήματος με έμφαση στο ψηφιακό σήμα 55

Ασκήσεις sect21 61 Επαναληπτικές Ασκήσεις sect21 67 22 Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) 68 23 Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) 72 Ασκήσεις sect22 amp sect23 76 24 Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Fourier (FT) 79 Ασκήσεις sect24 92

8 Περιεχόμενα

25 Η συνέλιξη 96 Ασκήσεις sect25 109 26 Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων 114 Ασκήσεις sect26 117 27 Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon 122 Ασκήσεις sect27 125 Kεφ 3 Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος Η συνάρτηση παραθύρου

31 Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος 127 Ασκήσεις sect31 131 32 Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών

πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος 134 Ασκήσεις sect32 139 Κεφ 4 Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος

41 Χρόνος συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος 147 42 Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της sect41 153 Ασκήσεις 4ου κεφαλαίου 161

Παράρτημα 4ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica 6 175 Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier 191

Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace 203

Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος

(Από τον Fourier στον Haar στον Meyer) 211 Ειδική Βιβλιογραφία 227

Γενική Βιβλιογραφία 229

Ευρετήριο Όρων 231

Ανάλυση Σήματος 9

Εισαγωγή

Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ήκαι επιστημονικού περιεχομένου ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά Υπrsquo αυτή την έννοια ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκο-λία Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή ακόμη χειρότερα να μην μπερδέψει ndashμακρηγορώνταςndash αυτούς στους οποίους απευθύνεται Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγι-κές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2 όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας

Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι Κατrsquo αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι ndashδείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογοndash παρά τη laquoλογοτεχνική διατίμησηraquo που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα πόνημα εγχειρίδιο κλπ (παρόλο που δεν θα τον laquoχάλαγεraquo και ο όρος βοήθημα) Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ) Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων τουλά-χιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι Βέβαια ο συγγραφέας έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του laquoνεοελληνικού προβλήματοςraquo με τα Μαθηματικά φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως Το βιβλίο όμως απευ-θύνεται και στους διδάσκοντες Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα ndashαυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερι-κές φορές και με τις απαντήσεις τουςndash αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλο-γος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ήκαι δύσκολων προβλημάτων

Τέλος αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών απευθύνεται στους

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

8 Περιεχόμενα

25 Η συνέλιξη 96 Ασκήσεις sect25 109 26 Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων 114 Ασκήσεις sect26 117 27 Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon 122 Ασκήσεις sect27 125 Kεφ 3 Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος Η συνάρτηση παραθύρου

31 Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος 127 Ασκήσεις sect31 131 32 Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών

πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος 134 Ασκήσεις sect32 139 Κεφ 4 Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος

41 Χρόνος συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος 147 42 Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της sect41 153 Ασκήσεις 4ου κεφαλαίου 161

Παράρτημα 4ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica 6 175 Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier 191

Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace 203

Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος

(Από τον Fourier στον Haar στον Meyer) 211 Ειδική Βιβλιογραφία 227

Γενική Βιβλιογραφία 229

Ευρετήριο Όρων 231

Ανάλυση Σήματος 9

Εισαγωγή

Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ήκαι επιστημονικού περιεχομένου ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά Υπrsquo αυτή την έννοια ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκο-λία Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή ακόμη χειρότερα να μην μπερδέψει ndashμακρηγορώνταςndash αυτούς στους οποίους απευθύνεται Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγι-κές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2 όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας

Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι Κατrsquo αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι ndashδείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογοndash παρά τη laquoλογοτεχνική διατίμησηraquo που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα πόνημα εγχειρίδιο κλπ (παρόλο που δεν θα τον laquoχάλαγεraquo και ο όρος βοήθημα) Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ) Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων τουλά-χιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι Βέβαια ο συγγραφέας έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του laquoνεοελληνικού προβλήματοςraquo με τα Μαθηματικά φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως Το βιβλίο όμως απευ-θύνεται και στους διδάσκοντες Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα ndashαυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερι-κές φορές και με τις απαντήσεις τουςndash αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλο-γος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ήκαι δύσκολων προβλημάτων

Τέλος αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών απευθύνεται στους

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Ανάλυση Σήματος 9

Εισαγωγή

Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ήκαι επιστημονικού περιεχομένου ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά Υπrsquo αυτή την έννοια ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκο-λία Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή ακόμη χειρότερα να μην μπερδέψει ndashμακρηγορώνταςndash αυτούς στους οποίους απευθύνεται Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγι-κές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2 όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας

Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι Κατrsquo αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι ndashδείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογοndash παρά τη laquoλογοτεχνική διατίμησηraquo που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα πόνημα εγχειρίδιο κλπ (παρόλο που δεν θα τον laquoχάλαγεraquo και ο όρος βοήθημα) Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ) Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων τουλά-χιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι Βέβαια ο συγγραφέας έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του laquoνεοελληνικού προβλήματοςraquo με τα Μαθηματικά φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως Το βιβλίο όμως απευ-θύνεται και στους διδάσκοντες Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα ndashαυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερι-κές φορές και με τις απαντήσεις τουςndash αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλο-γος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ήκαι δύσκολων προβλημάτων

Τέλος αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών απευθύνεται στους

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

10 Εισαγωγή

λεγόμενους laquoεραστές της πληροφορικήςraquo οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντι-κείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου

Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη laquoοδηγίεςraquo για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους) Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας Αν δεν το εντοπίσετε συμβουλευτείτε το ευρετήριο Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έν-νοιες και ο σκελετός του βιβλίου Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτά-ξετε ανεξάρτητα αν τη λύσετε Αν μέσα στις υποδείξεις ήκαι απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά laquoπροφανής laquoεύκοληraquo κλπ laquoπαλέψτεraquo την επί τόπου Αν δεν την καταφέρετε μην πανικοβληθείτε αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκει-μενισμός του συγγραφέα Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει Επίσης ndashκαι με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλέςndash όταν ο συγγραφέας επικαλείται ήκαι παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως laquoσερφάρισμαraquo στον ωκεανό του διαδικτύου

Με κίνδυνο να κουράσει άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τηhellip μαθηματική μας Σκόπιμα λοιπόν αλλά αραιά και πού γίνεται laquoεπιστράτευσηraquo του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο αν όχι παιδαγωγικό τουλάχιστον και διδακτι-κό

Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα laquoαπό καρδιάςraquo (αν τα έγραφε laquoεκ καρδίαςraquo αναρωτιέται αν και πό-σους αναγνώστες θα ενοχλούσε) Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθ-μό των laquoδόσεωνraquo όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλί-ου Αλλά και τονhellip άμισθο laquoβοηθόraquo τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ Γεώργιο Κασαγιάννη ο ο-ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Ανάλυση Σήματος 11

λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση

ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ Ηράκλειο Κρήτης Αύγουστος 2011 Δρ Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13

Κεφάλαιο0ο

Σύμβολα ΟρολογίαΣύμβολα ΟρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και ΤύποιΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Σύμβολα OρολογίαΘεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι

Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή τουhellip) αλλά επειδή -δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών παραθέ-τουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρι-κά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης) πρωτογε-νώς ή σε hellip τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση ( )f t του χρόνου t αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρεια-ζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής όπως θα φανεί στην πορεία)

sect01 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων

Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε Œα A ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε œα A Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) =A x φ x όπου x είναι τα

στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το ( )φ x ndashμε την προφανή κατά-χρηση στον συμβολισμόndash θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση ανισότητα διάταξη κλπ) Για παράδειγμα το 4 1= πA x x εκφράζει το 1 A x x ι= π plusmn plusmn δηλαδή εδώ

είχαμε για ( )φ x το 4 1πx Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το ( )φ x

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

14 Κεφάλαιο 0

να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι 2 0 1 2 = = plusmn plusmnA κ κ μπορούμε να

γράψουμε άρτιος ακέραιος=A κ κ

sect02 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού

Ως γνωστόν το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί

123 4=

Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους 3 2 1 0 1 2 3 = - - - Ειδικά αν θέλουμε το να το ldquoενισχύσουμεrdquo με το μηδέν γράφουμε

0123+=

Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με

και ακέραιοι και πρέπει 0Iuml cedil= πIgrave ˝Oacute ˛

mm n n

n

Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως

όπου είναι πραγματικός αριθμός= x x

Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = + Œx iy x y

Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή +x y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re =z x και φανταστικό Im =z y (που πάλι είναι πραγματικός) Ο μιγαδικός -x y ονομάζεται συζυγής

του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός 2 2+x y ονομάζεται απόλυτη

τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z Αν το ότι 2=z zz δεν σας είναι

προφανές μετά από λίγη σκέψη παραμείνατε στο sect02 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων Γράφουμε για ανοικτό διάστημα

( ) = lt ltα β x α x β για κλειστό διάστημα [ ] = pound poundα β x α x β και για ημιανοι-

κτά ήκαι ημίκλειστα διαστήματα αντίστοιχα τα [ ) = pound ltα β x α x β και

( ] = lt poundα β x α x β

Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμέ-νο μήκος )= -L β α Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15

αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτόημικλειστό αριστεράδεξιά κλπ δηλαδή τα

( ) bull = ltα x α x

[ ) bull = poundα x α x

( ) -bull = ltα x x α

( ] -bull = poundα x x α

Το ( )-bull bull ldquoταυτίζεταιrdquo βέβαια με το (παρrsquo όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα ldquoλιτόrdquo απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -bull bull είναι σύμβολα και όχι αριθμοί Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις [ ] AEligf α β μπορούμε να γράφουμε = +f u i

όπου οι u είναι συναρτήσεις [ ] AEligα β και ονομάζονται όπως πριν με τον μιγαδικό z Re =f u το πραγματικό μέρος της f και Im =f v το φανταστικό μέρος της Αν μία συνάρτηση [ ] AEligf α β είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συ-

ναρτησιακού συνόλου [ ]C α β και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπε-ρασμένα θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κτσ) και το αντί-στοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται [ ]0 C α β Προφανώς όταν οι u είναι

στο αντίστοιχο [ ]0 C α β και θα είναι η = +f u iv είναι και αντιστρόφως Μπορού-με να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμ-βολισμό κατrsquo αναλογία Σχόλια για τις κτσ συναρτήσεις α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυ-

νεχειών να είναι αριθμήσιμο Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε ndashμε μαθηματικό τρόποndash ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό που θα είναι ldquoαπαριθ-μήσιμοrdquo όπως κάνουμε με τους ακεραίους

β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο [ ]0 C α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέ-χειάς της Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

16 Κεφάλαιο 0

βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας)

γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα το [ ]0 C α β και το γνήσιο υποσύνολο

του [ ]C α β χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή Αργότερα θα δούμε και μερι-κά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα Με την κα-τάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματι-κούς χώρους έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος

sect03 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι

Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε i Το ν-βάθμιο πολυώνυμο Œν ( ) 1

0 1 1-

-

= + + + +

ν νν ν νP x α x α x α x α Προ-

φανώς όταν 0=ν παίρνουμε ( )0 0 σταθερά= =P x α

ii Τις συναρτήσεις ημιτόνου συνημιτόνου εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin cos tan και cotx x x x

iii Την εκθετική συνάρτηση exp x ή xe και την γενίκευσή της xα (με 0gtα και κυρίως όταν 2=α )

iv Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου συμβολιζόμενες αντί-στοιχα ως ln x και log x

v Την συνάρτηση απόλυτη τιμή x

vi Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ-περβαίνει τον x Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της sect02 η [ ]x ανήκει στην

( )0 -bull +bullC αλλά προφανώς αν και η [ ]x ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της δηλαδή το οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες Παραμείνατε στο sect03 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό

vii Την συνάρτηση sin

sin =

xcx

x (προσοχή το c δεν είναι σταθεράhellip αλλά

γράμμα- μέρος του συμβολισμού) Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην sect24

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Σύμβολα Ορολογία Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17

viii Την συνάρτηση Heaviside ( )cu t με 0gec

( )001

pound ltIuml= Igrave

poundOacutec

t cu t

c t

Προφανώς όταν σε τετριμένη εκδοχή 0=c η ( ) 1=cu t για κάθε 0get

Επομένως για 0gtc έχουν ότι η ( )cu t ανήκει στο [ )0 0bullC Βλέπε και Παράρ-τημα Β

ix Την ldquoσυνάρτησηrdquo δέλτα του Dirac ως προς το α αδ Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαί-ου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξου-με στα Παραρτήματα Β και Γ Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιά-σουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα hellip μόνιμο εγκλει-σμό του αναγνώστη εντός του Κεφ 0

x ( )sin 0 cos 1 για κάθε = = - Œ

nnπ nπ n

xi ( ) ( )3 31 1sin 3sin sin3 cos 3cos cos3

4 4= - = +α α α α α α

xii ( ) ( )4 41 1sin 3 4cos2 cos 4 cos 3 4cos2 cos 4

8 8= - + = + +α α α α α α

xiii cos cos= +

αe α α (τύπος του Euler) για κάθε Œα (και όχι μόνοhellip)

xiv ( ) ( )1 1

cos sin2 2

- -

= + = -

i i i iα α α αα e e α e ei

Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια

κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii Κάντε το ως προπόνηση

xv Αν 21 τότε 01 1= Œ = = = -

κπ nnκz n z z e κ n

i και αντιστρόφως (Οι αριθμοί κz καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας)

Και κλείνουμε το Κεφ 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθ-μια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ De Moivre διασημότερο του Euler αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii

xvi ( )cos sin cos sin για + = + Œnα i α nα i nα n (και όχι μόνοhellip)

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19

Κεφάλαιο1ο

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού ΓινομένουΤα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου

Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (πχ ανισότητα Bessel το Λήμμα των Riemann amp Lebesgue και άλλα) Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται

sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δχ) Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δχ μπορεί να είναι το ή το (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες ldquoλεπτομέρειεςrdquo) Τα στοιχεία ενός δχ θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμ-μένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει) Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δχ πάνω στο αριθμοσύ-νολο ( )= ή F F αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις + loz και 1 Πρόσθεση διανυσμάτων αν Œu v V ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα +u v πάλι

στον V 2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό για κάθε Œu V και Œα F ορίζεται ένα διάνυσμα

loz Œ α u V

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

20 Κεφάλαιο 1

Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής

1 ( ) ( )+ + = +u v w u v w για κάθε Œ u v w V

2 Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμηδενικό διάνυσμαrdquo

0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα + = + =

0 0v v v για κάθε Œ v V

3 Για κάθε Œv V υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο ldquoμείον vrdquo -v με την ιδιό-τητα ( )+ - =

0v v 4 + = +u v v u για κάθε Œ v u V 5 Για κάθε Œα F και Œ v u V ( )loz + = loz + loz α u v α u α v

6 Για κάθε Œα b F και Œ u V ( )+ loz = loz + lozα b u α u b u και ( ) ( )loz loz = loz α b u αb u 7 Για κάθε Œ v V loz =1 v v Σχόλιο Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του

συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι ( ) ( )+ - = - = loz = - loz

1 1 1 0 0u u u u u

και επειδή ( )- loz = - = fi loz =

0 1 0 0 0u u u u u

άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το ( )-1 u το ήδη εξασφαλισμένοhellip Και άλλες παρόμοιες ldquoπερικοπέςrdquo θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δχ V αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ότι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου

Ανάλογα με το αν = F ή = F καλούμε τον δχ V πραγματικό ή μιγαδικό δχ και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύ-σματα Ένα OtildeW V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δυ) του V αν στο W οι ίδιες + και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δχ Αν θέλουμε να ελέγξουμε ldquoγρήγοραrdquo κατά πόσο το W είναι δυ έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου

Για π ∆W έχουμε δυ αν για κάθε Œu v W και κάθε Œ fi + Œ α b F αu bv W Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21

Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων

Αν 1 nv v διανύσματα ενός δχ V το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυα-σμός (γσ) των 1 nv v αν = + +1 1 n nu v α v α για κάποιους αριθμούς

Œ1 nα α F

Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων

Τα 1 2 nv v v ενός δχ V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γα) αν η εξί-

σωση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v με Œ1 nα α F ικανοποιείται μόνο αν = =1 2α α = = = 0nα Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γε)

Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος

Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των 1 nv v καθώς τα

1 nα α μεταβάλλονται ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των 1 nv v και συμ-βολίζεται με 1 nspan v v

Ορισμός Βάσης ενός ΔΧ

Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων 1 nv v ενός δχ V θα ονομάζεται βάση του V αν είναι γα και = 1 nV span v v Ο αριθμός αυτών n μάλιστα ονο-μάζεται διάσταση του δχ V και γράφουμε = dim n V

Σχόλια

α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα 1 nv v είναι γα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γσ των υ-πολοίπων -1n διανυσμάτων

β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δχ (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος = 0V έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης

γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δχ πεπερασμέ-νης διάστασης Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

22 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect11 Εισαγωγικές Έννοιες

1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ υπόχωρων ενός

δχ είναι και αυτός δυ Ελέγξτε το Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους Γιατί

(Υπόδειξη Αν Œ raquo1 2u v W W όπου 1 2W W δύο δυ ενός δχ ισχύει το κριτήριo

Œ fi + Œ raquo1 2 α b F αu bv W W Γιατί) 2) Aν V ένας δχ ως προς F και Œu V τότε το σύνολο Œαu α F είναι δυ του

V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δυ που περιέχει το u

3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο =1( )L

bull

-bull

AElig lt bull

Iuml cedilOcirc OcircIgrave ˝Ocirc OcircOacute ˛

Uacute ( )f f f x dx

καθίσταται πραγματικός δχ με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf (Υπόδειξη Ιδιότητες ολοκλήρωσης) 4) Ορίζουμε ως [ ]=

1 V C α β τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους

στο [ ] α β Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δχ και επομέ-

νως θα είναι και δυ του δχ [ ] C α β 5) Έστω το σύνολο όλων των ntimesn πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το

F Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολσμό αριθμού

επί πίνακα Τότε παίρνουμε ένα δχ που τον συμβολίζουμε ( )nM F (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο) Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το

0 του εν λόγω δχ 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα laquoεξωτικούraquo δχ που όμως είναι πολύ

χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσι-κής

Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δχ Ορί-ζουμε το σύνολο ΩV όλων των AEligf Ω V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf Τότε έχουμε έναν νέο δχ Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθ-μός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον ΩV είναι αυτή με εικόνα το ουδέ-

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23

τερο στοιχείο του V Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση

0(z) = 0

με το ίδιο το

0 Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορι-

σθούμε στο υποδιάστημα [0 bull ) και με V=3 έχουμε την περιγραφή των δια-

νυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός

δχ είναι γε τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων

Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση + + + =

1 1 2 2 0n nα v α v α v αν υποθέσουμε πχ ότι 1α π 0 τότε έχουμε = - - -1 2 1 2 1( ) ( )n nv α α v α α v κοκ

Συμπερασματικά εδώ έχουμε Œ1 2 nv span v v κοκ

sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δχ δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (εγ) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δχ προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περι-βάλλον για την μελέτη των σημάτων Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δχ δεν έχουν ldquoαυτομάτωςrdquo και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Έστω V ένας δχ με = ή F Για Œu v V ορίζουμε ως εγ των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε u v Η πράξη έχει τις ιδιότητες

1 Για κάθε Œ v V ge 0v v

2 Για κάθε Œ u V 0 0u u u= curren =

3 Για κάθε Œ u v w V και Œ + = + α b F αu bu w α u w b u w

4 Για κάθε Œ u v V = u v v u

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

24 Κεφάλαιο 1

Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου

Ο δχ V με ένα εγ ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χεγ) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός εγ στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυ-σκολίας) α) Για κάθε Œ u v w V και Œα b F ισχύει ότι + = + u αv bw α u v b u w

β) Για κάθε Œv V και κάθε Œ =2 α F αv αv α v v

γ) Για κάθε Œ = 0 0v V v

δ) Στον φυσικό χώρο 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για =

1 1 1 1( )u α β γ και =

2 2 2 2( )u α β γ το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης loz = loz + loz + loz

1 2 1 2 1 2 1 2u u α α β β γ γ (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική loz =

1 2 1 2 cos u u u u θ με θ την γωνία μεταξύ των

1 2 )u u Επαληθεύστε

ότι το = loz

1 2 1 2u u u u έχει τις ιδιότητες του εγ που δώσαμε για τον αφηρημέ-νο δχ V

ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός εγ και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F

Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κά-ναμε πλαγίως στο δ) για χεγ

Παράδειγμα 1

Παίρνουμε για = nV (n-άδες γραμμές ή στήλες με μιγαδικές συντεταγμένες)

και = F Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δχ Ορίζουμε για gt1 0nr r την εξής πράξη μετα-

ξύ δύο ( )= κz z και ( )= pound pound 1 κw w κ n με Œ z wi i =

=Acirc1

n

k k kk

z w r z w

Τότε ο ( ) n είναι χεγ Οι αριθμοί 1 nr r ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του

( ) n Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση = = = =1 2 1nr r r

Παράδειγμα 2

Έστω [ ]= V α β όπως ορίστηκε στην sect02 και που όπως είδαμε ήδη στην sect11 με

τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων [ ]AElig f α β και του πολ-λαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δχ Ορίζουμε τώρα

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25

την εξής πράξη μεταξύ Œ f g V ( ) ( )= Uacuteα

βf g f x g x dx (Ο Απειροστικός Λο-

γισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή) Δοκιμάστε τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα εγ

Παράδειγμα 3

Έστω bull=1n nz μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε

bull

=

lt bullAcirc 2

1

nn

z (Για παράδειγμα όταν =

12n nz

i έχουμε =

2 14n nz και η

bull

=

Iuml cedilIgrave ˝Oacute ˛ 1

14n

n

είναι μία κλασσική ldquoφθίνουσα γεωμετρική πρόοδοςrdquo με πρώτον όρο το 14

και ldquoλό-

γοrdquo το 14

και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή bull

=

= =

-

Acirc1

11 14

1 34 14

nn

Το σύνολο όλων των bull=1n nz με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε 2 Η πρόσθεση

των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλα-σιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον 2 δχ είναι οι συνηθισμένες επε-κτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο

Παράδειγμα 1) Προσοχή όμως δεν είναι εντελώς προφανές ότι bull=

= 1n nz z και

bull=

= Œ2

1n nw w τότε η bull=

Œ2

1 n n nz w Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις Αν ορίσουμε (σαν

γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη bull

=

= loz = lozAcirc1

n nn

z w z w z w δεν είναι

δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός εγ Αυτό που ίσως σας δυ-σκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει ή σε απλουστευμένη διατύπωση

ότι το απειροάθροισμα bull

=

lozAcirc1

n nn

z w είναι κάποιος αριθμός στο όπως θα το βρείτε

στις ασκήσεις του sect13 με επαρκή υπόδειξη

Παράδειγμα 4

Ο χεγ ( )-bull +bull

2 L Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώ-σεις χεγ ή αν ανυπομονείτε πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

26 Κεφάλαιο 1

Ασκήσεις sect12 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο

1) Στον γνωστό μας δχ [ ]-1 1C ορίζουμε την σχέση

-

= +Uacute1

1 ( ) ( )f g f x g x dx

Έχουμε ορίσει τώρα ένα εγ στον εν λόγω χώρο

(Υπόδειξη 2x 0 = 23 (γιατί) π 0 Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί)

2) Στον δχ [ ]=

1 V C α β (δείτε την Άσκ 4 της sect11) ας πάρουμε [ ] α β = = [ndash1 1] Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση

-

= + cent centUacute1

1 (0) (0) ( ) ( )f g f g f x g x dx

Eίναι το ένα εγ επί του V

(Yπόδειξη Πάρτε f (x) = x και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δχ

[ ]1 C α β ) Τότε όμως = 0f g ενώ π

( ) 0g x Άρα)

3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δχ C(α β) έχουμε το γνω-στό εγ του Παραδ 2 της sect12 Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα εγ επί του δ υπέρχωρου 0 ( )C α β

(Yπόδειξη Πάρτε f(γ) = 1 για αltγltβ και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστη-

μα Tότε f f = 0 αλλά f(x) π

0 )

4) Έστω V ο δχ που ορίσαμε στην Άσκ 6 της sect12 Ορίζουμε για Α ΒŒ ( )nM

την εξής σχέση A B = tr[A ( )TB ] Εδώ με ( )TB συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πί-νακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνα-κα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του) Ελέγξτε ότι το ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V

(Yπόδειξη Aν Α = ( )ijα και Β = ( )ijb τότε A B == =

AcircAcirc1 1

n n

ij jiι j

bα )

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 175

Παράρτημα4ου Κεφ

Χρήση του Μathematica 6

Ακολουθήστε τα interactive (και εις διπλούν) παραδείγματα που σας δίνονται εδώ βάζοντας τις δικές σας μικρές παραλλαγές των παραμέτρων και διασταυρώ-στε τα αποτελέσματά σας με τα ήδη λυμένα Βρείτε την κατάλληλη διασύνδεση με όσα είδατε στην θεωρία της ΨΕΣ και στις διάφορες Ασκήσεις του CD Μερικά σχήματα αφορούν θεωρία Παραρτημάτων και μπορείτε σε αυτή την φάση να τα παραλείψετε προσωρινά Ίσως χρειαστεί να κάνετε επαναληπτικές συγκρί-σειςδιασταυρώσεις και με τα αντίστοιχα σχήματα της διάσπαρτα προτεινόμενης online βιβλιογραφίας τα οποία θα αναζητήσετε στις αγγλικές λέξεις-κλειδιά που έχουμε παραθέσει Συμβουλευθείτε εν ανάγκη και το ευρετήριο αφού πολλοί όροι δίνονται με μεταφραστικές παραλλαγές Παράδειγμα Πρώτο της Interactive Mathematica Για τους τύπους των συναρτήσεων παραθύρου που σας δίνονται θα αναγνωρίσατε στα

(α) το Τριγωνικό Παράθυρο (ή Παράθυρο Barlett βλ Άσκ 9(β) της sect32)

(β) το Παράθυρο Hanning βλ Άσκ 10 της sect32) και στα

(γ) και (δ) αντίστοιχα τα γνωστά μας Παράθυρα Ηamming και Βlackman από το Παράδειγμα 3 στην θεωρία της Ενότητας 32

Υπενθυμίζουμε ότι θέλουμε το Μ άρτιο αριθμό (αν και δεν είναι προς θανάτου να μην είναι οπότε κάνουμε τις γνωστές απλές τροποποιήσεις που ήδη σας έχουμε αναπτύξει ndashπούndash σε θεωρία και ασκήσεις)

Εδώ παίρνετε μια γεύση για το πώς σχεδιάζονται αυτές οι συναρτήσεις ειδικά στις περιπτώσεις του (μικρού) Μ = 10 και του (μεγάλου) Μ = 100

Μετά εσείς μπορείτε να laquoπαίξετεraquo με το εύρος του Μ από το 2 (μάλλον άχρηστο) ως hellip1 εκατομμύριο (μάλλον αχρείαστο) μιμούμενοι την επίλυσή μας

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

176 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(α) [ ]

2 0

22

2 2

Iumlpound poundOcircOcirc

= IgraveOcirc - pound poundOcircOacute

κ Μκ

Μw κκ Μ

κ MΜ

2 4 6 8 10k

02

04

06

08

10w[k]

Εικόνα 1 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 2 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 177

(β) [ ]1 2

1 cos 02Egrave ˘Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Iacute ˙Euml macrIcirc ˚

πκw κ κ Μ

Μ

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 3 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 4 Μ = 100

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

178 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(γ) [ ]2

054 046cos 0πκ

w κ κ ΜΜ

Ecirc ˆ= - pound poundAacute ˜Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 5 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 6 Μ = 100

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 179

(δ) [ ]2 4

042 05cos 008cos 0πκ πκ

w κ κ ΜΜ Μ

Ecirc ˆ Ecirc ˆ= - + pound poundAacute ˜ Aacute ˜Euml macr Euml macr

02

04

06

08

10w[k]

2 4 6 8 10k

Εικόνα 7 Μ = 10

02

04

06

08

10w[k]

20 40 60 80 100k

Εικόνα 8 Μ = 100

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

180 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Παράδειγμα Δεύτερο Πιο Σύνθετα Παράθυρα (i) Το Παράθυρο Blackman-Harris είναι στην πραγματικότητα μία οικογένεια από παράθυρα με 3 (ή ακόμα και 4 όρους) και παίζοντας με του συντελεστές έχου-με ένα laquoδώσε και πάρεraquo για να ισορροπήσουμε το πλάτος του κυρίως λοβού με το μέγεθος των πλευρικών λοβών Ψάξτε να δείτε πού ακριβώς εισήχθησαν αυτές οι έννοιες Η Βρετανική online εγκυκλοπαίδεια με την εντυπωσιακή ονομασία diracdeltacouk (για επιστήμονες και μηχανικούς) μας λέει ότι oι αντίστοιχες συ-ναρτήσεις παραθύρου (α) και (β) που σας δίνονται δίνουν για την συγκεκριμένη επιλογή των συντελεστών αντίστοιχα πλευρικούς λοβούς 67 dB και 61 dB και υπηρετούν τον στόχο να μειώσουν την laquoφασματική διαρροήraquo (leakage) του FT στο Πεδίο του Χρόνου Προφανώς δεν θα σας ζητήσουμε να τα ελέγξετε αυτά αλλά θα σας πούμε πώς να τα σχεδιάζετε Εδώ το N είναι το μήκος του παραθύρου και θα πάρουμε N = 10 και N = 20 αντίστοιχα με βηματισμό Δt = 1 για την (α) και Δt = 05 για την (β) Εσείς μετά μιμηθείτε την λύση μας και πάλι με την Mathe-matica βρείτε τι γίνεται για μεγάλο N (όχι όμως παράλογα μεγάλο)

(α) ( )2 4

042323 049755cos 007922cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

(β) ( )2 4

044959 049364 cos 005677 cosπt πt

w tN N

Egrave ˘ Egrave ˘= - +Iacute ˙ Iacute ˙Icirc ˚ Icirc ˚

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

w[t]

Εικόνα 9 (α) με Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 181

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 10 (β) με Ν = 10

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 11 (α) με Ν = 20

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

182 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

w[t]

5 10 15 20t

02

04

06

08

10

Εικόνα 12 (β) με Ν = 20

Σχόλιο του Συγγραφέα Ο Γ Κασαγιάννης πολύ εύστοχα μου υπέδειξε την πιθανότητα

να αγνοηθεί ο βηματισμός και να σχεδιαστεί η καμπύλη κατά συνεχή τρόπο αφού αφορά αναλογικά κυκλώματα Τότε σε αυτή την περίπτωση προσέφερε ως ldquobonusrdquo και τα δύο τελευταία σχήματα

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 13 Ν = 10

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 183

w[t]

2 4 6 8 10t

02

04

06

08

10

Εικόνα 14 Ν = 10

Παράδειγμα Τρίτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Ο JO Smith III στο online σύγγραμμά του ldquoSpectral Audio Signal Processingrdquo αναφέρεται και στην λεγομένη Οικογένεια Παραθύρων Blackman που περιγράφε-ται για διάφορες μηδενικές και μη τιμές των τριών συντελεστών μέσω του τύπου

[ ] [ ] ( ) ( )0 1 2cos cos 2= + +Egrave ˘Icirc ˚B R Μ Μw N w N α α Ω N α Ω Ν

όπου 2 =ΜΩ π Μ και [ ]Rw N το γνωστό μας ορθογώνιο Παράθυρο συμμετρικό ως προς το Ο δηλαδή = 1 για ( ) ( )[ ]1 2 1 2Œ - - -N M M και = 0 εκτός του κλειστού αυτού διαστήματος Προφανώς και αυτό εξυπηρετεί τις ίδιες ανάγκες με το (i) αλλά για τον DTFT και δεν πρόκειται να σας ζητήσουμε να πάρετε ούτε καν τον FT (δηλαδή τον FFT αφού πάτε στην εγγύτερη προς το Μ δύναμη του 2 με μηδενικές τιμές για όσα δείγματα θα έλειπαν (κάπου τα ξανασυζητήσαμε αυτά πού) Bέβαια χωρίς να θέλουμε να δώσουμε μοχθηρές ιδέες σε διδάσκοντες όλα αυτά θα μπορούσατε να τα αναλά-βετε ως projects εργαστηρίου και να τα δείτε να λειτουργούν στην πράξη Εμείς laquoχάριν παιδιάςraquo αφού θα ήταν αφελές να νομίσουμε ότι θα ελέγχαμε την roll-off ή τους λοβούς με απλούς αριθμούς αντί να πάρουμε τους συντελεστές με τις κλασσικές τους τιμές που είναι οι 0 042α = 1 05α = και 2 008α = θα πάρουμε αντίστοιχα (α) 05 05 και 01 με Μ=21

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

184 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

(β) 05 ndash05 και 01 με Μ=51 (γ) 04 ndash04 και 005 με Μ=101 Εσείς μιμηθείτε τον τρόπο μας και με Mathematica σχεδιάστε τα με τους ίδιους συντελεστές αλλά με τα Μ των άλλων δύο κάθε φορά (6 συνολικά καμπύλες έχετε να σχεδιάσετε)

ndash10 ndash5 5 10N

02

04

06

08

10

wB[N]

Εικόνα 15 Μ = 21

wB[N]

ndash20 ndash10 10 20N

02

04

06

08

10

Εικόνα 16 Μ = 51

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 185

wB[N]

ndash40 ndash20 20 40N

02

04

06

08

Εικόνα 17 Μ = 101

Παράδειγμα Τέταρτο Πιο Σύνθετα Παράθυρα Παρουσιάζοντας τα παραδείγματα αυτά των πιο laquoαπαιτητικώνraquo Παραθύρων (όχι μόνο από μαθηματικής άποψης όταν είναι να εφαρμοστεί ο FT αλλά και από τε-χνικής εφαρμογής τους) αμφιταλαντευτήκαμε ανάμεσα στην παρουσίαση του πολύ σημαντικού Παραθύρου του J Kaiser και του παραθύρου Nuttall To πρώτο τα τελευταία 10 χρόνια τουλάχιστον έχει δοκιμαστεί στην πράξη και οι ειδικοί μας λένε ότι είναι σχεδόν βέλτιστο παράθυρο γύρω από το ω = 0 όσον αφορά τις κορυφές (peaks) Δυστυχώς η παρουσία της συνάρτησης Bessel αν και είναι θεμε-λιώδης στα προχωρημένα φυσικομαθηματικά προβλήματα μας αποθάρρυνε To δεύτερο είναι αντιπρόσωπος μιας ευρύτερης κατηγορίας παραθύρων με κάπως μεν χαμηλή διακριτική ικανότητα αλλά είναι στα λεγόμενα dynamical range παράθυρα και είναι καλή επιλογή για τα FIR φίλτρα με βάση την εξής θεωρητική παρατήρηση που η μαθηματικής της απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους μας

Παράθυρα της μορφής [ ]0

2cos

1=

Ecirc ˆ= Aacute ˜Euml macr-AcircΚ

κκ

πκnw n α

N έχουν μόνο 2K+1 μη μηδενικούς

συντελεστές μετά από την εφαρμογή του DFT Ο A H Nuttall ήταν ο πρώτος που σε σχετική δημοσίευσή του στο IEEE (Transaction on acoustics speech and signal processing) το 1981 έδωσε εφτά τετράδες laquoιδανικέςraquo για διάφορες εφαρμογές του εν λόγω παραθύρου Σημειώστε ότι εμείς μέχρι τώρα είδαμε παράθυρα μέχρι το

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

186 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Κ=2 (οπότε τα projects που υπαινιχθήκαμε δεν είναι τελικά τόσο οδυνηρά) Ας δούμε λοιπόν και ένα τέτοιο παράθυρο όταν Κ=3 με τυχαία (Random) τετράδα συντελεστών με τρία δεκαδικά ψηφία το οποίο θα σχεδιάσουμε για Ν=51 και εσείς θα το κάνετε για Ν=101 (με δικούς σας Random αριθμούς)

w[N]

N

ndash05

05

10 20 30 40 50

Εικόνα 18 Οι επιμέρους συναρτήσεις του αθροίσματος

w[N]

10 20 30 40 50N

ndash15

ndash10

ndash05

05

Εικόνα 19 Το άθροισμα των συναρτήσεων

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 187

Παράδειγμα Πέμπτο Τα μη κανονικοποιημένα πολυώνυμα Chebyshev Αφού είναι hellip πολυώνυμα ποιος είναι άραγε ο λόγος να τα ξεχωρίσουμε (και να τα σχεδιάσουμε) ανάμεσα από τόσες θεμελιώδεις ειδικές συναρτήσεις (πχ όπως είναι μία Gaussian) Η απάντηση είναι ότι ήδη χρησιμοποιούνται στα αναλογικά φίλτρα αλλά επίσης και επειδή είναι laquoμασκαρεμένοςraquo ο πολυωνυμικός τους χαρακτήρας Ένας ακόμα λόγος θα μπορούσε να είναι ότι ίσως ακόμα να εκκρεμεί για σας μια παλαιά μας άσκηση πάνω σε αυτά που όμως την αποφύγατε (ποια)

Θέτοντας t στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής στα αντίστοιχα ( ) nT x στην μορφή που σας δώσαμε στο Παράδ 2 της sect16 ( ) ( )cos arccos =nT t n t θα σχεδιά-σουμε τα πολυώνυμα για n = 2 3 και 4 στο διάστημα 0letle1 με Δt = 01 Eσείς καλείστε να βρείτε το 5( )Τ t με βήμα Δt = 005

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash10

ndash05

05

10

Εικόνα 20 n = 2

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

188 Κεφάλαιο 4 ndash Παράρτημα

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 21 n = 3

Tn[t]

02 04 06 08 10t

ndash 10

ndash 05

05

10

Εικόνα 22 n = 4

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις

Χρήση του Mathematica 6 189

Επίλογος για το CD των Ασκήσεων

Σκόπιμα έχουμε παραλείψει είτε πολύ δύσκολα παράθυρα είτε υπολογισμούς αλλά ακόμα και προχωρημένες μαθηματικές έννοιες τις οποίες από απόψεως βιβλιογρα-φίας μπορείτε να δείτε στα [6] και [7] της Γενικής Βιβλιογραφίας και online στα [2] και [4] του κεφαλαίου 3

Οι Ασκήσεις που θα συνόδευαν τα παραρτήματα Α και Β έχουν ενσωματωθεί υπό μορφή παραδειγμάτων εντός της θεωρίας τους Αλλά και εκεί έχουμε laquoπαραλείψειraquo λεπτομέρειες και πράξεις που καλείστε να αντιμετωπίσετε ως γνήσιες ασκήσεις