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matemática básica
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COLLEGE ALGEBRA I (FIA)
2013_02
NUMEROS REALES
College Algebra I (FIA) Formacin Bsica
MAPA CONCEPTUAL
College Algebra I (FIA) Formacin Bsica
MAPA CONCEPTUAL
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Caractersticas del sistema de los Nmeros Reales
EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES :
I. ES UN CONJUNTO
III. EST DOTADO POR DOS OPERACIONES
ADICIN MULTIPLICACIN
IV. Y UNA RELACIN DE ORDEN
II. EST REPRESENTADO POR LA LETRA R.
ES MENOR QUE (
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AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS
NUMEROS REALES
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Axiomas de los nmeros reales
Nombre del
axioma
OPERACIONES
ADICIN MULTIPLICACIN
Clausura
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Elemento Inverso
Distributiva
a,b R, a + b R ab R
a, b R, a+b = b+a ab = ba
(a+b)+c=a+(b+c) a, b R, (ab)c=a(bc) a, b,c R,
Existe un nico nmero real denotado por 0, a+0=0+a=a
real tal que a+(-a)=(-a)+a=0 a.a-1=a-1.a=1
a, b, c R, a(b+c)=ab+ac
a R, existe un nico nmero aR, existe un nico nmero
Existe un nico nmero real, denotado por 1, tal que 1a=a1=a
real tal que:
a, b R,
a, b R,
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Axiomas de orden
Nombre del
axioma RELACIONES DE ORDEN
Tricotoma
Transitividad
Orden de Adicin
Orden de
Multiplicacin
a, b R,
una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple
a, b, c R, si a < b y b < c entonces a < c
Si a < b, entonces
a < b a = b a > b
c R, a + c < b + c
Si a < b y ac < bc c>0, entonces
Definicin de diferencia (a - b):
Definicin de cociente (a/b):
a b = a + (-b)
a/b = a .(1/b)
Si a < b y c bc
(NO cambia la desigualdad)
(cambia la desigualdad)
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TEOREMAS
Teorema de igualdad para la adicin
a, b, c R, si a = b entonces a + c = b + c
Teorema de igualdad para la multiplicacin
a, b, c R, si a = b entonces a.c = b.c
Teorema de cancelacin para la adicin
a, b, c R, a = b si a + c = b + c entonces
Teorema de cancelacin para la multiplicacin
a, b, c R, a = b si a.c = b.c c 0 entonces
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EJERCICIOS
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Los nmeros reales
Resolucin:
Dada la siguiente ecuacin: (1-r)(x+r) = r-x,
escriba el smbolo del menor conjunto numrico al que
pertenece el valor de x para cada valor asignado de r:
Reemplazaremos los valores de r y luego resolveremos la ecuacin resultante.
Para r= (1- r )( x + r ) = r - x
0 0 : 0 0 operando (1)(x)= -x 2x= 0 x= 0 0
0 N Z
Para r= (1- r )( x + r ) = - x
operando (0)(x+1)= 1-x x= : r 1 1 1 1 1 1
1N N
Para r=3: Resolviendo resulta x= -9 -9
-9 Z Z Q
Para r=5: Resolviendo resulta x= 25
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I
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Los nmeros reales
Para todo a en R se cumple : a.0 = 0 Demostracin: Partimos de
En la siguiente demostracin identifique los axiomas y
definiciones de los nmeros reales que se han utilizado en cada lnea:
Elemento inverso aditivo
Asociativa de la adicin
Elemento neutro multiplicativo
Distributiva
Elemento neutro aditivo
Elemento neutro multiplicativo
Elemento neutro aditivo
Elemento inverso aditivo
a.0 = a.0 + 0
a.0 = a.0 + (a+ (-a))
a.0 = (a.0 + a) + (-a)
a.0 = (a.0 + a.1) + (-a)
a.0 = a.(0 + 1) + (-a)
a.0 = a.1 + (-a)
a.0 = a + (-a)
a.0 = a.0 + 0
a.0 = a.0 + (a+ (-a))
a.0 = (a.0 + a) + (-a)
a.0 = (a.0 + a.1) + (-a)
a.0 = a.(0 + 1) + (-a)
a.0 = a.1 + (-a)
a.0 = a + (-a)
a.0 = 0 a.0 = 0
En la siguiente demostracin identifique los axiomas y
definiciones de los nmeros reales que se han utilizado en cada lnea:
Justifiquemos la demostracin
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Los nmeros reales
Demuestre que si a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1
entonces: 1 a.c + b.d
(a - c)2 0
(b - d)2 0
Sumando (1) y (2) se obtiene:
(1)
(2)
a2 + b2 + c2 + d2 2a.c 2b.d 0
a2 2a.c + c2 0
b2 2b.d + d2 0
Remplazando - 2(a.c + b.d) 0
Reduciendo 2 2(a.c + b.d)
Multiplicando por 1/2
1 (a.c + b.d) Lqqd
Como
1 1 +