2. MODELOS HIPERELASTICOS.pdf

LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS

Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos

Lección 3. Modelos hiperelásticos3.1. Conceptos básicos de la Mecánica de Medios Continuos3.2. Función densidad de energía e hiperelasticidad3.3. Hiperelasticidad isótropa3.4 Tensor elástico tangente3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidad3.6 Hiperelasticidad anisótropa

Bibliografía:

- G.A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics. Wiley, New York 2000- R.W. Ogden. Non-linear Elastic Deformations. Dover, 1996- JC Simo, T.J.R. Hughes Computational inelasticity. Springer Verlag, 1998.- J Oliver, C. Agelet-Saracibar Mecánica de medios continuos para ingenieros. UPC, 2000.



3.1 Conceptos básicos de la MMC

ECS. COMPORTAMIENTO

6 ecuaciones

ECS. EQUILIBRIO

3 ecuaciones

6 incógnitas

Variables internas

ECS. CINEMÁTICAS

6 ecuaciones

6 incógnitas

3 incógnitas

Variables externas



ECS. COMPORTAMIENTO

ECS. EQUILIBRIO ECS. CINEMÁTICAS

VARIABLES ESTÁTICAS

VARIABLES CINEMÁTICAS

Para elasticidad lineal homogénea e isótropa este esquema nos quedaría




Para elasticidad no lineal el esquema se modifica


ECS. CINEMÁTICAS

VARIABLES CINEMÁTICAS

ECS. EQUILIBRIO

VARIABLES ESTÁTICAS

ECS. COMPORTAMIENTO



3.1 Conceptos básicos de la MMC. Deformaciones

Entenderemos como sólido Ω, un subconjunto de cuyos puntos se identifican mediante coordenadas en un sistema de referencia arbitrario, de tal manera que para un punto cualquiera P,

A se la denomina configuración inicial, indeformada o de referencia del sólido.

XI puntos de la configuración indeformada

xi puntos de la configuración deformada



A partir de este momento consideraremos que el sistema de referencia de la configuración deformada e indeformada es el sistema cartesiano.

Definimos el desplazamiento material como un campo vectorial:

Definimos desplazamiento espacial como un campo vectorial:

3.1 Conceptos básicos de la MMC. Deformaciones



Ejemplo: Viga empotrada.

Equilibrio conf. indeformada

Equilibrio conf. deformada

3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones



3.1 Conceptos básicos de la MMC . DeformacionesPara el caso de pequeñas deformaciones y desplazamientos la deformación la definíamos como

es el incremento de longitud por unidad de longitud de un segmento diferencial con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigido según el eje x. Análogamente para

Cada una de las componentes tenía una interpretación física




Ejemplo: Tracción uniforme



3.1 Conceptos básicos de la MMC . DeformacionesCada una de las componentes tenía una interpretación física

Para pequeños desplazamientos, el coseno coincide con el ángulo complementario, por lo que, por ejemplo, la deformación define la mitad del cambio del ángulo que se produce entre dos segmentos diferenciales con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigidos según los ejes x,y (de forma análoga pueden interpretarse las componentes y )




Ejemplo: Cizalladura simple



El concepto de deformación está adscrito a la variación de geometría del entorno de un punto.

Sea un movimiento regular, se define gradiente de deformación al campo tensorial definido sobre la configuración indeformada :

Si es C1-regular, existe la aplicación inversa del gradiente de deformación que corresponde al gradiente de deformación de la función inversa:





Ejemplo: Cizalladura simple




El gradiente de deformación supone una modificación del entorno de un punto: SR+ deformación.Es usual descomponer (descomposición polar) el tensor gradiente de deformación en una composición de tensores que corresponden, a un giro infinitesimal y a una deformación

Rotación seguida de deformación

Deformación seguida de rotación

R - tensor de giro

U, V - tensores alargamiento por la izquierda y derecha, respectivamente.




Otra manera de definir la deformación es estudiar cómo varían la longitud de un segmento diferencial dS0.

Conf. indeformada Conf. deformada




Para cuantificar la diferencia ds2-dS02, es necesario expresar ambas cantidades en el

mismo sistema de referencia.

:Tensor de Green-Saint-Venant o tensor de deformación material

: Tensor de Cauchy-Almansi o tensor de deformación espacial




Es claro que el tensor gradiente de deformación está directamente relacionado con el tensor de Green-Saint-Venant y con el tensor de Cauchy-Almansi, y que estos tensores también nos miden la deformación.

Ejemplo.- Un elemento rectilíneo de longitud l que pasa a tener una longitud 2l. La visión lagrangiana indicaría que ha habido un incremento de longitud unitario igual a 1, mientras que la visión euleriana indicaría un decremento de longitud de ½.




El campo de desplazamientos se puede escribir:

El gradiente de deformación nos queda:

Con lo que los tensores deformación de Green-Saint Venant y de Almansi nos quedan








Si además aplicamos la hipótesis de pequeñas deformaciones que nos permite despreciar infinitésimos de orden superior:

Si además aplicamos la hipótesis de pequeños desplazamientos

tenemos el tensor de deformaciones de Cauchy:




En hiperelasticidad es habitual trabajar con otros tensores de deformación:


Tensor de deformación de Cauchy-Green por la izquierda

Tensor de deformación de Cauchy-Green por la derecha



3.1 Conceptos básicos de la MMC . Tensiones

Existen diferentes tipos de fuerzas que pueden actuar sobre un sólido:

Fuerzas actuando en el contorno: puntuales, distribuciones lineales y distribuciones superficiales

Fuerzas actuando en el interior del sólido: puntuales, distribuciones lineales, superficiales y volumétricas.

En Teoría de Elasticidad se suele trabajar con:

fuerzas superficiales en el contorno:

volumétricas en el interior del sólido

considerándose las demás como particularización de éstas mediante los pasos al límite necesarios:




A estas fuerzas por unidad de superficie que se establecen entre distintas partes del sólido o que se corresponden con fuerzas exteriores sobre el contorno se las denomina vector tensión en un punto t(x,y,z,n), con nel vector unitario de la normal al plano sobre el que actúa la tensión.

Si tenemos un sólido Ω y aislamos un trozo A, en el trozo actúan fuerzas volumétricas y las fuerzas superficiales que hubiera, pero ahora además en la interfase con B hay una fuerza por unidad de superficie que corresponden a las fuerzas que B hace sobre A y que son las que lo mantienen unido.



Cuando trabajábamos en pequeños desplazamientos el equilibrio se realiza en la configuración indeformada

Aplicando el equilibrio de fuerzas en las tres direcciones:

como




El estado de tensiones en un punto queda pues caracterizado completamente por los valores de 3 vectores tensión en 3 planos cualesquiera y depende de forma lineal de la normal al plano de actuación del vector tensión.

Si los planos son los coordenados, la fórmula de Cauchy:

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY: σ




3.1 Conceptos básicos de la MMC . TensionesCuando trabajábamos en grandes desplazamientos el equilibrio lo podemos realizar en la configuración indeformada o en la deformada. Por tanto surgen diferentes definiciones de la tensión

Primer tensor de Piola-Kirchhoff

Segundo tensor de Piola-Kirchhoff

Tensor de Cauchy



3.1 Conceptos básicos de la MMC . TensionesDe tal forma que ahora el lema de Cauchy lo podemos plantear en la configuración indeformada o deformada

Por tanto tienen un significado físico claro.



3.1 Conceptos básicos de la MMC . EquilibrioAhora la ecuación de conservación de momento cinético (equilibrio) lo podemos plantear en la configuración indeformada e indeformada

Y la ecuación de conservación de la energía

La segunda ley de la termodinámica para un proceso puramente mecánico



3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadSe dice que un tensor transforma objetivamente bajo un movimiento como SR si transforma de acuerdo a las reglas de cálculo tensorial

con

A este movimiento se le dice que es de SR porque

Por ejemplo, el gradiente de deformación

Los tensores materiales (referidos respecto de la configuración de referencia) permanecen invariantes a los movimientos como sólido rígido



3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadTodo modelo de material debe verificar el principio de objetividad de material o independencia ante isometrías

El caso más simple de isometría es el de materiales homogéneos

Otro tipo de simetría muy utilizada corresponde a la de materiales isótropos. En este

caso, la simetría básica corresponde a una simetría de rotación arbitraria



3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadSi el modelo de material se definen en función de tensores definidos en la configuración de la indeformada garantizamos siempre la objetividad del material ya que

Cuando definimos el material en función de tensores definidos en la configuración espacial hay que comprobarlo

Una ecuación constitutiva en función de tensores únicamente definidos en la configuración deformada sólo puede ser isótropa



3.2 Función densidad de energía e hiperelasticidadSe dice que un material es hiperelástico si existe una función denominada función densidad de energía de deformación tal que

Aplicando la desigualad de Clasius-Plank

Diferentes formas de expresar la función densidad de energía

Si es isótropo



Condiciones que debe cumplir la función densidad de energía de deformación

Energía nula para deformación nula

Energía infinita para deformación infinita

Tensión nula para deformación nula

Función convexa o policonvexa

3.2 Función densidad de energía e hiperelasticidad

Función no convexa

λl

λ c

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Función convexa

λl

λ c

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6



3.3 Hiperelasticidad isótropaSería posible demostrar que, para materiales hiperelásticos con simetrías, la función densidad de energía de deformación ha de depender solamente de los invariantes

O de los alargamientos principales



3.3 Hiperelasticidad isótropaDe esta forma la tensión se puede calcular fácilmente



3.3 Hiperelasticidad isótropaModelos hiperelásticos isótropos clásicos:

Modelo de Ogden (Ogden R.W., 1984).

Uno de los modelos más completos para la simulación de elastómeros, se trata de un modelo fenomenológicos

Si se hace una comparación con la teoría lineal puede obtenerse una condición de consistencia

donde el parámetro es el módulo de cizalladura lineal



3.3 Hiperelasticidad isótropaModelo de Valanis y Landel (1967)

En este modelo Valanis Landel se suponen que la energía de deformación puede escribirse como la suma de tres funciones separadas que dependen de los alargamientos principales. A esta descomposición aditiva de la energía de deformación se le llama hipótesis de Valanis-Landel.

Para esta hipótesis, la función densidad de energía de Ogden se escribiría como en la ecuación anterior pero con

Modelo de Arruda-Boyce (E.M. Arruda y M.C. Boyce, 1993)

Este modelo es conocido como el modelo de las ocho cadenas, ya que fue desarrollado partiendo de la representación de un volumen elemental con ocho muelles que surgían desde el centro del cubo hacia las esquinas

donde



3.3 Hiperelasticidad isótropaModelo de Mooney-Rivlin (1940)

Este modelo es una particularización del modelo de Ogden y resulta de tomar

con las constantes .

Paralelamente a se tiene que el módulo de cizalladura

Modelo Neo-Hookeano

El modelo Neo-Hookean es probablemente el más sencillo de todos y se obtiene de nuevo de la particularización del modelo de Ogden con

con la constante y el módulo de cizalladura . Esta función densidad de energía de deformación incluye un único parámetro y proporciona un modelo matemático simple para un comportamiento no lineal.



3.3 Hiperelasticidad isótropaDiferentes ensayos de ajuste de parámetros



3.3 Hiperelasticidad isótropa



3.4 Tensor elástico tangenteSi hacemos la derivada temporal de la ecuación tenemos

Se denomina segundo tensor elástico a la derivada del segundo tensor de Piola respecto del tensor de Green

Se trata de un tensor de orden 4 y se tiene que por la simetría del tensor de Green y de Piola, se cumple (simetrías menores)

Si la función densidad de energía de deformación es una función diferencial exacta (si es univaluada y por tanto independiente del camino) entonces se cumple también la simetría mayor



3.4 Tensor elástico tangenteEl segundo tensor elástico en coordenadas espaciales se obtendrá sin más que aplicar el push-forward al tensor elástico en coordenadas materiales

Así para materiales isótropos podemos escribir

En función de los invariantes tenemos



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadDescomposición muliplicativa del gradiente de deformación y del tensor de Cauchy-Green en una parte octaédrica y otra desviadora

Se define la función densidad de energía de deformación en función de los invariantes modificados

donde

son los invariantes del tensor de Cauchy-Green modificado

Definimos un modelo cuasi-incompresible donde es una función de penalización asociada a la compresibilidad



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadEl segundo tensor de Piola-Kirchhoff

con p la presión hidrostática y el tensor ficticio definidos

Si lo definimos en función de los invariantes

El tensor de Cauchy es el empuje



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidad

El tensor elástico en descripción material se define

donde

con



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadEl tensor elástico en la configuración espacial espacial se define

de tal forma que

con



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadQue puede expresarse en función de los invariantes



3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadSi el material es incompresible, el volumen del material no cambia, es decir el jacobiano de la deformación

aparece asociada a un multiplicador de Lagrange p necesario para forzar la restricción de la incompresibilidad y es incógnita del problema.

La función densidad de energía se define mediante

La formulación del problema incompresible es totalmente análoga al compresible sin más que sustituir los términos asociados a por los asociados al multiplicador de Lagrange



3.6 Hiperelasticidad anisótropaLa dirección de las fibras se define con un vector unitario

El vector nos define la deformación de las fibras

El alargamiento de las fibras λ se define

Se define la función densidad de energía de deformación.

donde



3.6 Hiperelasticidad anisótropaDescomposición muliplicativa del gradiente de deformación y del tensor de Cauchy-Green en una parte octaédrica y otra desviadora

Se define la función densidad de energía de deformación en función de los invariantes modificados

donde

son los invariantes del tensor de Cauchy-Green modificado

proporcionan la anisotropía producida por las fibras

Cuando no existe interacción entre la matriz y las fibras



3.6 Hiperelasticidad anisótropaEl segundo tensor de Piola-Kirchhoff

con p la presión hidrostática y el tensor ficticio definidos

Si lo definimos en función de los invariantes

El tensor de Cauchy es el empuje



3.6 Hiperelasticidad anisótropaEl tensor elástico en descripción espacial se define



3.6 Hiperelasticidad anisótropaEnsayos para la caracterización de materiales hiperelásticos cuya solución analítica es conocida:

Tracción uniaxial

Tracción biaxial

Tensión tangencial pura

Función densidad de energía exponencial con parámetros:



3.6 Hiperelasticidad anisótropa



3.6 Hiperelasticidad anisótropa

Documents

2. MODELOS HIPERELASTICOS.pdf