2. Introducción al Modelado Medioambiental.pdf

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Introduccin al ModeladoMedioambientalMSC Germn Fernndez Garca

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Preguntas de investigacin

En que consiste el modelado y la simulacin ?

Para que sirve el modelado y la simulacin? Cules son algunos de los tipos de modelos?

Cules son las fases del proceso de modelizar y simularun sistema?

Qu es la dinmica de sistemas y cuales son susprincipales elementos?

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Acerca de sistemas, modelos y

comprender el todo ...

El cuento de los siete ratones ciegos...

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Que lecciones se pueden extraerde este cuento?

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En el mundo real no sabemos que es un elefante: no

existe un observador omnisciente que tenga acceso a laverdad.

Uno bien puede ser como uno de los primeros seisratones, proponiendo una teora a sus pares que ellos no

encuentran del todo convincente

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Todos los ratones recogieron datos bsicos y generaronuna hiptesis consistente con los datos recolectados, esdecir realizaron abduccin.

Es fcil realizar abducciones. Es un proceso querealizamos muchas veces en la vida diaria.

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Pero, las abducciones no son infalibles. La abduccin no

es un mtodo que nos garantice el descubrimiento de laverdad.

Descripciones e hiptesis pueden variar en calidad y envalor por lo que debemos ir ms all de la simpledescripcin para obtener confianza en el valor de

nuestras percepciones iniciales

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Entonces, qu hacer?

Necesitamos herramientas que nos permitan formal ycuantitativamente postular predicciones especficas a

partir de nuestras descripciones aducidas de datos uobservaciones de sistemas ambientales o ecolgicos.

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Qu es un modelo?

Un modelo es una representacin simplificada de larealidad que resume el conocimiento sobre elfuncionamiento del sistema estudiado con referencia aun problema o interrogante dada

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Para qu sirven los modelos?

Tipo deproblema

DadoSe requiere

conocerUso delmodelo

Sntesis E y R S Comprensin

Anlisis E y S R Prediccin

Instrumentacin S y R E Control

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Ms usos .....

Sirven de marco conceptual para organizar o coordinarinvestigacin emprica

Proporcionan un mecanismo para sintetizar grandescantidades de datos

Identifican reas de ignorancia con respecto a la relacinde dos o ms objetos

Proporcionan informacin a gerentes y planificadoresmediante escenarios del tipo Que pasara si....

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Modelacin y Simulacin

Sistema real: Fuente de datos de comportamiento delsistema

Modelo: Conjunto de instrucciones para generar datos delcomportamiento del sistema

Modelacin o Modelado: Qu tan bien el modelo representael sistema real?

Simulacin: Son los resultados generados por elcomputador correctos?

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Tipos de Modelos

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Tipos de Modelos:

Estticos

El tiempo no es una variable explcita del modelo

Ejemplo: Relacin alomtrica entre dos atributos: A=aD2+b

Dinmicos

El tiempo es una variable explcita

Ejemplos: Concentracin de un compuesto al cabo de cierto

tiempo luego de un derrame dC/dt=-kC

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Tipos de Modelos

Continuos

El estado del sistema est definido en cada instante deltiempo

tiempo es continuo

Discretos

El estado del sistema est definido solo para instantesparticulares del tiempo

tiempo es discreto

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Tipos de Modelos

Espacialmente Heterogneos

El espacio es una variable independiente del modelo

Los objetos tienen una posicin en el espacio u ocupan una

regin finita del mismo Ejemplo: dinmica poblacional con inmigracin y emigracin

dependiente de los vecinos

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Espacialmente Homogneos

El espacio no es una variable independiente considerada en

el modelo Ejemplo: dinmica poblacional simple

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Tipos de Modelos

Mecanicista

Basados en procesos

Descriptivos

Basados en descripciones y no en el como funcionan lascosas

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Tipos de Modelos

Deterministas

Todos los parmetros son conocidos y los resultados sepueden predecir sin incertidumbre

Estocsticos Algunos de los procesos se expresan en probabilidades por

lo que los resultados obtenidos contienen aleatoriedad

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Ejemplo: Dinmica deCrecimiento Exponencial

Modelo muy simple. Puede ser un supuesto razonablecuando:

Modela el principio de una temporada de crecimiento

Unos pocos individuos ingresan a una zona desocupada

Cuando se hacen disponibles recursos hasta entonces noutilizados.

No nos interesa la distribucin por edad o sexo de lapoblacin

La poblacin se distribuye uniformemente en el espacio

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Modelo Exponencial

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Entendiendo el argot ...

X(t) es el estado del sistema en el tiempo t. Es la variable queestamos interesados en determinar en el sistema.

k es un parmetro del modelo. Coeficientes utilizados en lasrepresentaciones matemticas del proceso. Se consideranconstantes o variables pero conocidos

X(0) = X0 es la condicin inicial del sistema. Estado del sistema enel momento de comenzar la simulacin.

dX(t)/dt es la tasa de cambio de X con respecto al tiempo

X(t) = X(0)ekt es un modelo analtico . Resulta de resolver elmodelo matemticamente Dado un valor del tiempo, de losparmetros y condiciones iniciales, existe una formula quedetermina de manera explcita el valor de la variable de estado X enel tiempo.

En la mayora de los casos, no existe una solucin analtica delsistema y la nica forma de obtener la dinmica de X es a travs dela simulacin, es decir, obteniendo una solucin numrica al modelo

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El proceso de modelacin

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Enfoque clsico del Proceso deModelacin

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Formulacin del Modelo

Establecer los objetivos o propsitos del modelo

Cul es el sistema a ser modelizado?

Cules son las interrogantes que debe responder elmodelo?

Cundo se considera que el modelo es lo suficientementebueno?

Cmo se usarn los resultados?

Plantear las hiptesis

Traducir los objetivos a hiptesis sobre el funcionamientodel sistema

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Las ecuaciones

En la formulacin se expresan las hiptesis en forma deecuaciones matemticas

Se deben seleccionar los algoritmos adecuados para

obtener la solucin numrica al modelo. Dependiendo del problema, existen varios tipos de

modelos matemticos que se pueden usar:

Modelos de Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Modelos de Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales

Formalismos de eventos discretos

Autmatas celulares

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Volviendo al ejemplo ...Algoritmo de clculo

El modelo exponencial es una ecuacin diferencialordinaria (EDO).

Existen varios mtodos numricos para resolver EDOs(Euler, Runge Kutta, entre otros)

Utilicemos Euler (puede ser usado si el tamao de pasoes pequeo):

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Se aproxima dX/dt por [X(t+dt)-X(t)]/dt y de aqudespejamos: X(t+dt) =X(t) + dt k X(t)

Iteramos en esta ecuacin, partiendo de X(0):

1. X1= X(dt) = X0+ dt x k x X0 2. X2= X(2dt) = X1+ dt x k x X1 .....

f. Xf= X(tf) = X(tf- dt) + dt x k x X(tf-dt)

Note que para ejecutar este algoritmo se necesita unarchivo de entrada que especifique: k, un valor para lacondicin inicial, X0y el tamao del paso, dt y el tiempofinal, tf

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Verificacin

Las ecuaciones se traducen en cdigo que debe serejecutado en el computador

Existen diferentes herramientas para resolver el modelomatemtico:

Herramientas grficas: Vensim, Stella, Simile, etc.

Herramientas matemticas: Matlab, Octave, etc.

Simuladores para problemas especficos (DSSAT, SWAT,

etc.) Programacin

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La verificacin es el proceso de probar la lgica interna

del modelo.

En esta fase, uno se pregunta cosas como: Reacciona elmodelo como se esperara? Son sus unidadesconsistentes?

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Volviendo al ejemplo....Probando el algoritmo

No se preocupe!. Vensim hace estos clculos pornosotros

Sin embargo, una buena manera de asegurarse decomprender el proceso es hacerlo a pie.

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Realice la simulacin de crecimiento exponencialutilizando los siguiente datos:

Xo = 1 ind/m2, to = 0 das, k = 0.1 1/das, dt = 0.1, tf = 1da.

Escriba sus resultados en dos columnas, una para el

tiempo y otra para X

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Parametrizacin

Es la fase donde se calculan las constantes, parmetrosy condiciones iniciales del modelo

Los valores desconocidos de los parmetros puedenestimarse mediante experimentos especialmentediseados para ese fin, anlisis estadstico oestimaciones basadas en valores reportados en la

literatura

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Luego de agotar las estrategias previas pueden haberaun parmetros cuyo valor se desconoce para el sistemaen cuestin. Es entones necesario calibrar estos

parmetros. La calibracin es un intento de encontrar el mejor

acuerdo entre los datos calculados por el modelo y losdatos observados mediante la variacin de algunosparmetros.

Se puede hacer manualmente, mediante ensayo y error,o utilizando mtodos de estimacin y optimizacin.

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Volviendo al ejemplo ...Parametrizacin

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Anlisis y Evaluacin

Aqu se pregunta Qu tan bueno es el modelo?

Es el examen de la calidad del modelo con respecto a losobjetivos planteados

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La evaluacin es el proceso mediante el cual sedetermina:

El grado de precisin de las suposiciones hechas en laconstruccin y corrida del modelo

El grado de realismo que resulta de estas suposiciones

El grado de sensibilidad del comportamiento del modelo acambios en estassuposiciones.

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Validacin

Consiste en probar objetivamente la bondad de ajustedel modelo a los datos del sistema real

Es recomendable utilizar un conjunto de datos realesdiferente al usado durante la calibracin.

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Se puede realizar de manera visual pero tambin sonnecesarios criterios estadsticos cuantitativos sobre todo

si se quiere comparar diferentes versiones del modelo omodelos entre si.

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Cul modelo es mejor?

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Error cuadrtico medio y susvariantes

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ndice de Theil

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Interpretando el ndice de Theil

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Volviendo al ejemplo ...Validacin (1)

Se tienen los siguientes datos de la poblacin defaisanes consiguiente a su introduccin en una isla,desde 1938 hasta 1942:

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1) Dividir la serie en dos perodos A y B. Usar los datos delperodo A para estimar el valor de k. Por ejemplo, el valorde k utilizando los datos desde 1938 a 1939 es ~ ln(3) =

1.1

2)Con este valor de k corra la simulacin y produzca losresultados, incluyendo aquellos que corresponden a lasalida del modelo para el perodo B. Al correr el modelo

para los aos 1940 a 1942, se obtienen los siguientesresultados:

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Volviendo al ejemplo ...Validacin (2)

3)Compare la salida del modelo obtenido en 2 con los datosreales para el perodo B. La comparacin puede ser grficao mediante anlisis estadstico

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Se concluye que el valor de k estimado para el perodo1938-1940 est por encima del valor real para este

perodo. Lo que sucede es que estos datos s secomportan de acuerdo a un modelo exponencial, pero noel modelo lineal que postulamos en el que k esconstante sino a un modelo donde k es variable. Sicalcula el valor de k para el perodo 1940-1941 ~0.92,para 1941-1942 ~0.62 as que k parece decrecer con el

tiempo.

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Anlisis de Sensibilidad (AS)

Se estudia que tan sensible son los resultados del

modelo a cambios en los parmetros o las condicionesiniciales

Puede hacerse para un slo parmetro a la vez o paramltiples parmetros

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Usos:

Validacin: Un buen modelo es robusto ante pequeoscambios en los valores de los parmetros

Investigacin: Los parmetros ms sensibles deben serobjeto de mayor esfuerzo de estimacin

Control: Permite encontrar la combinacin de parmetros

que arroja los resultados deseados

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AS para un solo parmetro

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Note que:

S = 1 cambio lineal

S < 0, mientras el parmetro aumenta la respuestadisminuye o viceversa

S > 1 mucha sensibilidad del modelo al parmetro

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Volviendo al ejemplo ...AS para k

En el modelo exponencial asuma un valor nominal para kde 0.1 (Pn= 0.1), X0= 1 y tf= 1. La salida del modeloque nos interesa es el mximo de X

Utilizando X(t) =X0ektobtenemos que el valor nominalde la respuesta es Rn= e0.1 = 1.105

Para k = 0.2 (Pa= 0.2), se obtiene Ra= e0.2= 1.221

Entonces S = [(1.221 1.105) / 1.105] / [ (0.2 0.1)/0.1] = 0.105/1 = 0.105.

Al cambiar en 100% el valor del parmetro, la respuestacambio solamente un 10.5%

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Dinmica de Sistemas

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Dinmica de Sistemas

La dinmica de sistemas es una metodologa paramodelizar dinmicamente sistemas complejos

Se hace nfasis en la descripcin del sistema en trminode sistemas dinmicos de realimentacin

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Dinmica de Sistemas (II)

En el desarrollo de modelos de dinmica de sistemas secoloca el nfasis en:

Relaciones Causales: Las relaciones entre los elementos del

sistema se construyen de manera de reflejar relacionescausa-efecto.

Lazos de realimentacin: Un lazo de realimentacin es unciclo cerrado de causas y efectos en los que las condicionesen una parte del sistema causan resultados en algn otrolugar del mismo. Es decir, el flujo entre causa y efecto no esunidireccional.

Estabilidad e Inestabilidad: Se estudian las condiciones bajolas cuales el sistema alcanza un estado estable, cuando lasvariables de inters se estabilizan en el tiempo.

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Herramientas para hacerSimulacin

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Existen varias herramientas para hacer simulacinutilizando Dinmica de Sistemas: Stella, Smile y Vensimson las ms populares entre los eclogos

Vensim (http://www.vensim.com/) tiene una versingratis, Vensim PLE, con algunas funciones limitadas

La documentacin tambin esta disponible en el sitioweb. Existe una traduccin del manual y una comunidadde usuarios bastante grande

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Actividad

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Preguntas de Revisin y Estudio

En la lamina 14 de la clase introductoria se mencionanalgunas de las caractersticas que hacen complejos losmodelos de ecosistemas. Ilustre por lo menos dos deestas caractersticas con un ejemplo.

Realice a pie el ejercicio propuesto en la pgina 35.Haga una grfica de los resultados.

Implemente el ejercicio realizado en la pgina 38utilizando una hoja de clculo o el software estadsticode su preferencia. Obtiene los mismos resultados?

Repita el ejercicio de validacin expuesto en las pginas49 y 50 pero esta vez usando para calibracin los datosdesde 1938 hasta 1940 y para validacin los datosdesde 1941 hasta 1942. Discuta sus resultados

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Para el ejercicio de validacin realizado en la pginas 49y 50, cul es el porcentaje de la raz del error cuadrticomedio? Que porcentaje del error se puede atribuir adiferencias en media, varianza o correlacin entre losdatos y el modelo?

Calcule la sensibilidad de parmetro p1en estas doscorridas. El valor base del parmetro es 15 y la salida oresultado de la variable respuesta en la corrida base esde 1.25.

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