1

偏微分方程式

§1 偏微分方程式 独立変数

x1, x

2,!, x

nの未知関数関数

u(x

1, x

2,!, x

n)が次の関係式

F(x1, x

2,!, xn ,u,

!u

!x1

,!,!u

!x1

,!,!mu

!xi!x j!!xk,!)= 0 -----------(1,1,)

を満すという．この関係式を満たす関数 u(x

1, x

2,!, x

n)を求めたい．(1,1)をm階

の偏微分方程式という．領域D上で定義された関数 u(x

1, x

2,!, x

n)が(1,1,)を満た

しているとき， u(x

1, x

2,!, x

n)は偏微分方程式(1,1)の（領域Dでの）解であると

いう．それを求めることを偏微分方程式を解くという．n個の任意関数を含む解

を一般解という．そして，任意関数を特定の関数にしたものを特解という． 一般的に一般解を求めることは非常に困難なことで，ある条件下（初期条件，

境界条件）で解を求めることになる．

例

!u

!x=!u

!yの一般解は

u = f (x+ y)である．（ f は任意関数）

また， u = e

x+y,u = sin(x+ y)などは特殊解である．

例

!u

!x+!u

!y= 0一般解は

u = f (x! y)である．（ f は任意関数）

例

y!u

!x" x!u

!y= 0一般解は

u = f (x

2+ y

2)である．（ f は任意関数）

例

!2u

!x!y= 0の一般解は

u = F(x)+G(y)（F,Gは意関数）

!2u

!x!y=!

!y

!u

!x

"

#$$$%

&'''= 0より，

!u

!x= f (x)とかける．∴

u = f (x)dx+G(y)!

例 次の関数は２階線形偏微分方程式

!2u

!x2

+!2u

!y2

= 0の解である．

(i) u(x, y)= x

4!6x

2y2

+ y4 ( D = R

2 )

(ii) u = log x

2+ y

2 D = {(x, y) : (x, y)! R

2, x> 0, y> 0}

.[解](i)

!2u

!x2

+!2u

!y2

= (12x2"12y

2)+ (12y

2"12x

2)= 0

2

(ii)

!2u

!x2

+!2u

!y2

=1

x2

+ y2"

2x2

(x2

+ y2)2

#$%%

&%%

'(%%

)%%

+1

x2

+ y2"

2y2

(x2

+ y2)2

#$%%

&%%

'(%%

)%%

= 0

例

u =1

x2

+ y2

+ z2

( D = {(x, y, z) : (x, y, z)! R

2, x> 0, y> 0, z> 0} )

は

!2u

!x2

+!2u

!y2

+!2u

!z2

= 0の解である．

.[解]

!2u

!x2

="1

x2 + y

2 + z2( )3/2

+3x

2

x2 + y

2 + z2( )5 /2

であることから明らかである． 注意

!="2

"x1

2+"2

"x2

2+!+

"2

"xn

2

とする．そして，

!u =

"2u

"x1

2+"2u

"x2

2+!+

"2u

"xn

2u = u(x

1, x

2,!, x

n)( )

を意味するものとする． !を Laplaceの演算子という． 例 (i),(ii) (iii)の各uは， !u = 0を満たすとかける．

u,!u

!x1

,!,!u

!x1

,!,!mu

!xi!x j!!xk,!について線形（1次式）のとき，線形偏微分方程

式という．線形でないとき非線形という．

aii=1

n

!"u

"xi+ bi, j

1#i, j#n

!"2u

"xi"x j+!+ ci, j ,!,k

"mu

"xi"x j!"xkm

" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n

! = d -----------(#)

は線形偏微分方程式である． ai (i =1,!,n),bi, j (1! i, j! n),ci, j ,!,k (1! i, j!,k! n)

が定数のとき定数係数の線形偏微分方程式よいう．

L = aii=1

n

!"

"xi+ bi, j

1#i, j#n

!"2

"xi"x j+!+ ci, j ,!,k

"m

"xi"x j!"xkm

" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n

!

とし，

L(u)= aii=1

n

!"u

"xi+ bi, j

1#i, j#n

!"2u

"xi"x j+!+ ci, j ,!,k

"mu

"xi"x j!"xkm

" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n

!

3

とする．そのとき，

L(!u+ "v)= !L(u)+ "L(v) !," ! R,u = u(x),v= v(x)( ) が成立する．そこで， Lを線形微分作用素という．線形偏微分方程式(#)を

L(u)= d

とも表される．この方程式の一般解は L(u)= dの特解と

L(u)= 0の一般解の和と

して表される． 例 独立変数 x, yの関数u(x, y)について，

F x, y,u,!u

!x,!u

!x

"

#$$$

%

&'''= 0

は 1階の偏微分方程式である．

F x, y,u,!u

!x,!u

!x,!2u

!x2,!2u

!x!y,!2u

!y2"

#$$$$

%

&''''

= 0

を 2階の偏微分方程式である． § 1階偏微分方程式

1階偏微分方程式：

F x, y,u,!u

!x,!u

!x

"

#$$$

%

&'''= 0 ---------------------------(i)

の解の中で，独立な任意定数a,bを含む解

G(x, y,u,a,b)= 0 --------------------------(ii)

を完全解という． 例

!,",#は

!2 + "2 + # 2 =1 - -----------------------------(1)

を満たす任意の定数とする．

x2

+ y2

+ u2

= 2(!x+ "y+ #u) ----------------------------(2) を完全解とする偏微分方程式を求めよ． [解答] (2)は

(x!!)2 + (y!")2 + (u!#)2 =1 -----------------------------(3)

とかける．両辺を x, yに関して偏微分すると，

(x!!)+ (u!")"u

"x= 0,(y!#)+ (u!")

"u

"y= 0 -------------------------------(4)

これを(3)に代入すると，

4

(u!!)2"u

"x

#

$%%%&

'(((

2

+"u

"y

#

$%%%

&

'((((

2

+1

)*+++

,+++

-.+++

/+++

=1 ---------------------------------（5）

他方(4)から，

!= x+ (u!")"u

"x,# = y+ (u!")

"u

"y

これを(2)に代入すると，

x2

+ y2

+ u2

= 2 x+ (u!!)"u

"x

#

$%%%

&

'(((x+ y+ (u!!)

"u

"y

#

$%%%

&

'((((y+ !u

)*++

,++

-.++

/++

= 2 (x2

+ y2

+ u2)+ x(u!!)

"u

"x+ y(u!!)

"u

"y!u(u!!)

#$%%

&%%

'(%%

)%%

! x2 + y2

+ u2

="2(u"!) x#u

#x+ y#u

#y"u

$

%&&&

'

())))-------------------------------(6)

(5),(6)から (u!!)を消去すると，

(x2

+ y2

+ u2)2 !u

!x

"

#$$$%

&'''

2

+!u

!y

"

#$$$

%

&''''

2

+1

"

#

$$$$$

%

&

''''''= 4 x

!u

!x+ y!u

!y(u

"

#$$$

%

&''''

をうる．これは求める偏微分方程式である． § 比較的簡単に完全解が求まるタイプ

(I)

F!u

!x,!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= 0 (独立変数 x, yと関数uが陽に現れない)

F(a,b)= 0を満たす２つの定数a,bとして，

!u

!x= a,!u

!x= bとおくと，

u = ax+ by+ c ( cは任意定数)

が完全解である．

例

!u

!x+!u

!x=!u

!x"!u

!xの完全解を求めよ．

a+ b= abであるように定数a,bをとる．すなわち，

b=a

a!1ととる．

u = ax+a

a!1y+ c （a,cは任意定数）

が完全解であれる．

5

例

!u

!x

"

#$$$%

&'''

2

+!u

!x

"

#$$$%

&'''

2

=1の完全解を求めよ．

b= ± 1!a2 として，

u = ax± 1!a

2y+ c （a,cは任意定数）

が完全解である．

(II)

F x,!u

!x,!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= 0，

F y,!u

!x,!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= 0 (独立変数 xまたは yが陽に現れない)

!u

!y= bとおくと，

u = by+ g(x)で，

!u

!x= "g (x) を方程式に代入．

F x, !g (x),b( ) = 0

し，これから g(x)を求める．すなわち， !g (x)=!(x,b)とかけると，

u = !(x,b)dx! + by+ c b,c （b,cは任意の定数）

をうる．

例

x!u

!x"!u

!y

#

$%%%

&

'((((

2

= 0の完全解を求めよ．

!u

!y= bとすると，

u = by+ g(x) . ∴

x !g (x)"b

2= 0．

!g (x)=b2

x

従って， u = by+ b

2 log x+ c が完全解である．

(III)

F u,!u

!x,!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= 0 (独立変数 x, yが陽に現れない)

aを任意定数として， ! = x+ ayと変換する．

u = f (!)の形の解を捜せないか

を考える．そこで，

!u

!x=du

d!

!!

!x=du

d!,!u

!y=du

d!

!!

!y= a

du

d!

であるから，

常微分方程式：

F u,du

d!,adu

d!

!

"###

$

%&&&&

= 0

を解ければよい．これを

du

d!について解いて，

du

d!= "(u,a)より，

du

!(u,a)! = "+ b

これから，完全解

x+ ay+ b=du

!(u,a)! をうる．

6

例

u =!u

!x

"

#$$$%

&'''

2

+!u

!y

"

#$$$

%

&''''

2

の完全解を求めよ．

u = f (x+ ay)= f (!)とおく．

!u

!x= "f (!),

!u

!y= a "f (!)で，これを方程式に代入する．

u =du

d!

!

"###

$

%&&&&

2

(1+ a2) '

du

u= ±

d!

1+ a2

,

積分すると，

2 u = ±!+ b

1+ a2

故に， 4u(1+ a

2)= (x+ ay+ b)

2が求める完全解．

(IV) 変数分離形

F x,!u

!x

"

#$$$

%

&'''=G y,

!u

!y

"

#$$$

%

&''''

F x,!u

!x

"

#$$$

%

&'''=G y,

!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= aとおく．

!u

!x,!u

!yについて解いて，

!u

!x= f (x,a),

!u

!y= g(,a)

と表せたとする．

u = f (x,a)dx! + g(y,a)dy! + b

が完全解である．

例

!u

!x=!u

!yの完全解を求めよ．

!u

!x=!u

!y= a とおく．

u = adx! + ady! + b= a(x+ y)+ b

例

!u

!x"!u

!y= x

2+ y

2の完全解を求めよ．

!u

!x" x

2=!u

!y+ y

2= aとする．

!u

!x= x

2+ a,!u

!y= a" y

2

u = (! x2

+ a)dx+ (a" y2 )dy! + b=1

3(x

3" y3)+ a(x+ y)+ b

が求める完全解である．

(VI)

u = x!u

!x+ y!u

!y+ F

!u

!x,!u

!y

"

#$$$

%

&'''' （Clairautの方程式）

!u

!x= a,!u

!y= b （a,bは任意の定数）とする．

7

u = ax+ by+ F(a,b)

が完全解である．

例

u = x!u

!x+ y!u

!y+!u

!x"!u

!yの完全解を求めよ．

u = ax+ by+ abが完全解である．

例

F x!u

!x, y!u

!y

"

#$$$

%

&''''

= 0を変数変換により，(I)のタイプに直せ．

x = e! , y= e

" ! = log x,"= log y( )と変数変換すると，

x!u

!x= x!u

!!

d!

dx= x!u

!!

1

x=!u

!!, y!u

!y= y!u

!"

d"

dy= y!u

!"

1

y=!u

!"

であるから，与式は

F!u

!!,!u

!"

"

#$$$

%

&''''

= 0となる．

変数分離法 未知関数

u = f (x)g(y)の形になったとして，このことから解を見いだす．

これを変数分離法という．．

例

!u

!x=!u

!y

u = f (x)g(y)とかけていたとする．問題の意味から

fx (x)g(y)= f (x)gy (y)

!f (x)

f (x)=!g (y)

g(y)= a (定数)

とかける． f (x)= c

1eax,g(y)= c

2eay . u = Ae

axeay

= Aea(x+y)

例

x!2u

!x!y"2y

2u = 0

u = f (x)g(y)とかけていたとする. 問題の意味から

x !f (x) !g (y)= 2y

2f (x)g(y) .

.

x !f (x)

f (x)=2y

2!g (y)

g(y)= aとする．

x !f (x)= af (x)より，

f (x)= c

1xa

2y

2!g (y)= ag(y)より，

g(y)= c

2e

2y2

3a

u = f (x)g(y)= c

1xac2e

2y2

3a= Cx

ae

2y2

3a

例

!u

!x+!u

!y"2(x+ y)u = 0

8

u = f (x)g(y)とかけていたとする．

!u

!x+!u

!y"2(x+ y)u = #f (x)g(y)+ f (x) #g (y)"2(x+ y) f (x)g(y)

= !f (x)"2xf (x)( )g(y)+ f (x) !g (y)"2yg(y)( ) = 0

!f (x)"2xf (x)

f (x)="

!g (y)"2yg(y)

g(y)= a (定数とおく)

∴

!f (x)"2xf (x)= af (x)# !f (x)" (2x+ a) f (x)= 0

!g (y)"2yg(y)="ag(y)# !g (y)" (2y"a)g(y)= 0

故に, f (x)= c

1e2x+a

,g(y)= c2e2y!aで，

u = f (x)g(y)= Ce

2(x+y)をうる．

例

!u

!y= c

2 !2u

!x2

u = f (x)g(y)とかけていたとする．

!u

!y= c

2 !2u

!x2" f (x) #g (y)= c

2 ##f (x)g(y)"1

c2

#g (y)

g(y)=##f (x)

f (x)= a (定数とおく)

!!f (x)"af (x)= 0, !g (y)"ac

2g(y)= 0

(i) a> 0 のとき， f (x)= c

1e

a x+ c

2e! a x

, g(y)= c2eac2yであるから

u = C

1e

a x+ac2y

+C2e! a x+ac

2y

(ii) a< 0のとき， f (x)= c

1cos a x( )+ c

2sin a x( ), g(y)= c

2eac2y

故に， u = C

1e

a x+ac2y +C

2e! a x+ac

2y( )eac

2y

例

!2u

!x2

= c2 !

2u

!y2

!2u

!x2

= c2 !

2u

!y2" ##f (x)g(y)= c

2f (x) ##g (y)

1

c2

!!f (x)

f (x)=!!g (y)

g(y)= a (定数とおく),

!!f (x)"af (x)= 0, !!g (y)"ag(y)= 0

(i) a> 0 のとき, f (x)= c

1e

a cx+ c

2e! a cx

,g(y)= d1e

a y+ d

2e! a yで

u = f (x)g(y)= c

1e

a cx + c2e! a cx( ) d1e a y + d

2e! a y( )

(ii) a< 0のとき，

9

u = f (x)g(y)= c

1cos a cx( )+ c

2sin a cx( )( ) d1 cos a y( )+ d

2sin a y( )( )

(iii) a= 0のとき， f (x)= c

1x+ c

2,g(y)= d

1y+ d

2で

u = f (x)g(y)= c1x+ c

2( ) d1y+ d2( )

例 次の偏微分方程式を満たす u = u(x, y, z)を変数分離法により求めよ．

!2u

!z2= c

2 !2u

!x2+!2u

!y2"

#$$$$

%

&''''

u = f (x, y)g(z)とかけているとする．

!2u

!z2

= f (x, y) ""g (z),!2u

!x2

+!2u

!y2

= #f (x, y)( )g(z)であるから，

1

c2

!!g (z)

g(z)="f (x, y)

f (x, y)= a (定数，とおく)

!!g (z)"ac

2g(z)= 0,#f (x, y)= af (x, y)

とかける． (i) a> 0 のとき，

g(z)= c

1e

a z+ c

2c1e! a z

(ii) a< 0のとき， g(z)= c

1cos a z( )+ c

2sin a z( )

(iii) a= 0のとき， g(z)= c

1z+ c

2

である．

!f (x, y)= af (x, y)において，

f (x, y)=!(x)"(y)とかけていたとする．

!f (x, y)= af (x, y)" ##! (x)"(y)+!(x) ##" (y)= a!(x)"(y)

!!! (x)"a!(x)

!(x)="

!!" (y)

"(y)= b（定数，とおく）

!!! (y)+ b!(y)= 0を解く．

(iv) b> 0のとき， !(y)= c

3cos by( )+ c

4sin by( )

(v) b< 0のとき， !(y)= c

3e!by

+ c4c3e! !by

(vi) b= 0のとき， !(y)= c

3y+ c

4

!!! (x)" (a+ b)!(x)= 0を解くと,

(vii) a+ b> 0のとき， !(x)= c5e

a+b x+ c6e

! a+b x

(viii) a+ b< 0のとき， !(x)= c5 cos a+ bx( )+ c6 sin a+ bx( )

10

(ix) a+ b= 0のとき， !(x)= c5x+ c6

§ 微分方程式の境界条件 まず次の微分方程式（単振動の方程式）を考えよう．

d2x

dt2

+!2x = 0 （ !は正の定数）--------------------------(1)

解が

x = a

0+ a

1t + a

2t2

+!+ antn

+! --------------------------(2) とかけたとする．こう別微分して，

dx

dt= a1 + 2a2t + 3a3t

2+ 4a4t

3+ 5a5t

4+!+ na

ntn!1

+!

d2x

dt2

= 2a2 + 3"2a3t + 4 "3a4t2

+ 5 "4a5t3

+!+ n "(n!1)antn!2

+!

これを(1)に代入する．

2a

2+!2a

0( )+ 3!2a3

+!2a1( )t + 4 !3a

4+!2a

2( )t 2 + 5 !4a5

+!2a3( )t 3 +

!+ n(n!1)a

n+!2a

n!2( )t n!2 +!" 0

2a

2+!

2a0

= 0,3!2a3

+!2a1

= 0,4 !3a4

+!2a2,5 !4a

5+!

2a3,!

a0

= a,a1

= bとおいて，この関係を漸次解いて，

a2

=!!2

2a, a

4=!

!2

4 "3a2

=!2

4!a, a

6=!

!2

6 "5a4

=!!2

6!a, a

8=!2

8!a,!

a3

=!!2

3"2b, a

5=!

!2

5 "4a3

=!4

5!b, a

7=!

!2

7 "6a5

=!6

7!b, a

9=!

!2

9 "8a7

=!8

9!b,!

このことから，

x = a 1!!2

2!t2

+!2

4!t4 !!2

6!t6

+!"

#$$$$

%

&''''+ b t!

!2

3!t3

+!4

5!t5 !!6

7!t7

+!8

9!t9

+!"

#$$$$

%

&''''

= a 1!!2

2!t2

+!2

4!t4 !!2

6!t6

+!"

#$$$$

%

&''''+b

!!t!

!3

3!t3

+!5

5!t5 !!7

7!t7

+!9

9!t9

+!"

#$$$$

%

&''''

故に x = Acos!t + Bsin!t （ A,Bは任意定数） が一般解である．このような解法を級数による解法という． さて，

11

x(0)= l,dx

dt(0)= 0 ----------(*)

を満たすような解は求めてみよう．

dx

dt=!A! sin!t + B! cos!tより，

x(0)= A+ 0= l,dx

dt(0)= 0+ B!= 0であるから，

A= l,B= 0

従って， x = l cos!tが求めるものである．(*)を初期条件という． 一般に，

D = [a,b]で定義された未知関数 y(x)に関する

n階微分方程式： F(x, y, !y , !!y ,!, y

(n))= 0

において， x0! Dと予め指定した値

!0,!

1,!,!

n!1について，

y( j )(x

0)= !

j( j = 0,1,2,!,n!1) （初期条件）

を満たすような微分方程式の解 y(x)を求めることを初期値問題という．また，Dの境界（端a，b）での関数値，微分係数を指定（境界条件）して解を求めるこ

とを境界値問題という． 初期値問題では変数を時間 tで，境界値問題のときの変数は空間座標での領域 の境界を考えるのが普通である． § １次元波動方程式 数直線上の 2 点(原点 O，座標 lの点 L)とする． O,L 間に右図のように張られた弦の振動考える．点 x ,時刻 t

( t ! 0 )におけ

る変位をu(x,t)とする．弦の質量 !，その

張力T とし， c= T / !とすると，次の方

程式が成立することがわかる．

!2u

!t2" c

2 !2u

!x2

= 0 （ cは正の定数）

は１次元の波動方程式と呼ばれている．これはダランベールによってはじめて扱われた有名な問題である．まずこの偏微分方程式の一般解を求めてみよう．

! = x! ct, "= x+ ct

と変数変換する．

!u

!t=!u

!!

!!

!t+!u

!"

!"

!t="c

!u

!!+ c!u

!"

12

!2u

!t 2= c!

!t"!u

!!+!u

!"

#

$%%%

&

'((((

="c!2u

!! 2!!

!t+!2u

!!!µ

!"

!t

#

$%%%%

&

'((((+ c

!2u

!"!!

!!

!t+!2u

!µ2

!"

!t

#

$%%%%

&

'((((

= c2 !

2u

!! 2" c2

!2u

!!!µ" c2

!2u

!"!!+ c

2 !2u

!µ2

= c2 !

2u

!! 2+!2u

!µ2"2!2u

!!!µ

#

$%%%%

&

'((((

!u

!x=!u

!!

!!

!x+!u

!"

!"

!x=!u

!!+!u

!"

!2u

!x2=!2u

!! 2!!

!x+!2u

!!!µ

!"

!x

"

#$$$$

%

&''''+!2u

!"!!

!!

!x+!2u

!µ2

!"

!x

"

#$$$$

%

&''''

=!2u

!! 2+!2u

!µ2

+ 2!2u

!!!µ

∴

!2u

!t 2" c2!2u

!x2= c

2 !2u

!! 2+!2u

!µ2"2!2u

!!!µ

#

$%%%%

&

'((((" c2

!2u

!! 2+!2u

!µ2

+ 2!2u

!!!µ

#

$%%%%

&

'((((

="4c2!2u

!!!µ

であるから，与式は

!2u

!!!µ= 0

とかける．∴ u = f (!)+ g(")（ f ,gは任意関数）とかける．もとの変数に戻す

と，我々の微分方程式の一般解は

u(x,t)= f (x! ct)+ g(x+ ct)

と表される． いま，

u(x,t)= f (x! ct)

としてみると，

u(0,0)= u(x, x / c)= f (0)

である．これは原点おける変位 f (0)が，時間が x / c経過したときにも同じ変位

f (0)が現れることを意味する．また，曲線 u(x,0)= f (x)と曲線

u(x,t)= f (x! ct)

は合同（前者の曲線を ctだけ x軸の正の方向に平行移動したもの）である．す

なわち x軸の正の方向に速度 cで進む波動を表していると考えられる． g(x+ ct)

は x軸の負の方向に速度 cで進む波動を表していると考えられる．

境界条件： u(0,t)= u(l,t)= 0，初期条件：

!u

!t(x,0)= 0

の下で考えると，

u(x,t)=

1

2F(x+ ct)+ F(x! ct){ }

13

と表される．ここで，F(x)は奇関数で，2lを周期とする周期関数である． 一般解：

u(x,t)= f (x! ct)+ g(x+ ct)

と初期条件から，

!u

!t(x,0)= c(" #f (x)+ #g (x))= 0，すなわち，

! "f (x)+ "g (x)= 0

両辺を不定積分して，

! f (x)+ g(x)= 2A （定数）

∴

f (x)=1

2F(x)!A, g(x)=

1

2F(x)+ A

の形にかける．∴

u(x,t)=

1

2F(x+ ct)+ F(x! ct){ }

の形にかける．境界条件から，

F(!ct)= F(ct)すなわち，Fは奇関数

がわかる．さらに， F(l+ ct)+ F(l! ct)= 0で，Fは奇関数であるから，

F(l! ct)=!F(!l+ ct) .∴

F(l+ ct)= F(!l+ ct)

すなわち， F(2l+ ct)= F(ct)

これはFは2lを周期とする周期関数であることを意味している．実際は

0! x! lで考えたわけであるが2lの周期性から数直線全体に拡張されると考え

られる．2lを周期とする周期関数の奇関数として，

sin!

lx,sin

2!

lx,!,sin

m!

lx,!

が考えられるが，これらの任意のどれかをF(x)としてもよい．特解として

1

2sin

m!

l(x! ct)+ sin

m!

l(x+ ct)

"

#$$$

%

&'''= sin

m!

lx cos

m!

lct (m =1,2,!)

が考えられる． このような問題をダランベールにより提起され，Fourierにより完成された．