Habilidades

1. Representar gráficamente yalgebraicamente una circunferenciadado su centro y su radio.

2. Determinar gráfica yalgebraicamente si un punto seubica en el interior o en el exteriorde una circunferencia.

3. Representar gráficamente rectassecantes, tangentes y exteriores auna circunferencia. Determinar siuna recta es secante, tangente oexterior a una circunferencia.

Partes de una circunferencia

Punto cualquiera sobrela circunferencia

Centro de la circunferencia

La medida del radioes la mitad de lamedida del diámetro

Ecuación de una circunferencia

𝑥 –2 2 + 𝑦 + 1 2 = 22

Centro: 2,−1

Radio: 2

Ejemplo

La ecuación de una circunferencia de radio 𝑟 y de centro (ℎ, 𝑘), está dada por

𝑥 – ℎ 2 + 𝑦 – 𝑘 2 = 𝑟2

1. Considere las siguientes representaciones gráficas decircunferencias de centro 𝑂:

De acuerdo con la información anterior ¿cuál número identifica larepresentación gráfica de la circunferencia 𝐶 de centro 𝑂, dadapor 𝑥2 + 𝑦 − 3 2 = 4?

A) I B) II C) III

SoluciónSe ubica el centro a partir de la ecuación de la circunferencia:

Así, 𝑂 = (0,3).

Y la única gráfica que tiene dicho centro es la I.

I. II. III.

Solución2. Si el punto (7,3) corresponde al centrode la circunferencia 𝐶 y la medida de suradio es de 5 , entonces, la ecuación de lacircunferencia es:

A) . 𝑥 + 7 2 + 𝑦 + 3 2 = 5

B) . 𝑥 − 7 2 + 𝑦 − 3 2 = 5

C) . 𝑥 − 7 2 + 𝑦 − 3 2 = 5

Recuerde que la ecuación de lacircunferencia esta dada por𝑥 − ℎ 2+ 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 y el centro

es (ℎ, 𝑘).

Se sabe que el centro está dado por (7,3)y 𝑟 = 5 así se procede a escribir laecuación:

𝑥 − 7 2 + 𝑦 − 3 2 = 52

Así: 𝑥 − 7 2 + 𝑦 − 3 2 = 5

Solución3. Si los puntos de una circunferencia 𝐶

equidistan del punto (−2,3) y la medida delradio de 𝐶 es 8, entonces, la ecuación de lacircunferencia es

A) . 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 8

B) . 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 64

C) . 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 3 2 = 64

Recuerde que la ecuación de lacircunferencia esta dada por𝑥 − ℎ 2+ 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 y el centro

es (ℎ, 𝑘).

Se sabe que el centro está dado por𝐶(−2,3) y 𝑟 = 8 así se procede aescribir la ecuación:

𝑥 − −2 2 + 𝑦 − 3 2 = 82

Así: 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 64

Solución4. Considere la representación gráfica deuna circunferencia 𝐶 de centro 𝐴:

De acuerdo con la información anterior,la ecuación de 𝐶 corresponde aA) . 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 3 2 = 9B) . 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 9C) . 𝑥 − 4 2 + 𝑦 + 3 2 = 9

Primero se ubica el centro llamado 𝐴. Note quela coordenada 𝑥 equivale a 4 y la coordenada𝑦 equivale a 3. Así, 𝐴 = (4,3).

Calculamos el radio. Note que la distancia delpunto 𝐴 al eje 𝑥 es 3 (pues es la distancia de𝐴 al punto (4,0)). Entonces, 𝑟 = 3. Luego, seprocede a escribir la ecuación:

𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 3 2 = 32

Por lo tanto, 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 3 2 = 9

Solución5. Considere la representación gráfica deuna circunferencia 𝐶 de centro 𝑂:

De acuerdo con la información anterior, laecuación de 𝐶 corresponde aA) . 𝑥 − 5 2 + 𝑦 − 3 2 = 4B) . 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 5 2 = 4C) . 𝑥 + 5 2 + 𝑦 − 3 2 = 4

Primero se ubica el centro llamado 𝑂. Note que lacoordenada 𝑥 equivale al valor que se encuentraen la mitad de −7 y −3, el cual es −5, y lacoordenada 𝑦 es 3. Así, 𝑂 = (−5,3).

Calculamos el radio. Note que el radio mide 2,pues de 𝑂 al punto (−3,3) (punto que seencuentra sobre la circunferencia a la derecha)hay dos unidades. Así, 𝑟 = 2. Luego, se procedea escribir la ecuación:

𝑥 − −5 2 + 𝑦 − 3 2 = 22

Así: 𝑥 + 5 2 + 𝑦 − 3 2 = 4

Punto exterior o interior a una circunferencia

Punto interiorSi la distancia entre el punto y el centro dela circunferencia es menor que la medida delradio, entonces el punto está en el interiorde la circunferencia.

Punto exteriorSi la distancia entre el punto y el centro dela circunferencia es mayor que la medida delradio, entonces el punto está en el exteriorde la circunferencia.

Ejemplo: Ejemplo:

Recuerde

Sean los puntos 𝐴 𝑥1, 𝑦1 y 𝐵 𝑥2, 𝑦2 .La distancia entre 𝐴 y 𝐵 está dada por

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Distancia entre puntos

Solución6. Sea la circunferencia 𝐶 dadapor 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 6 2 = 9,el punto 5,2 con respecto a lacircunferencia se encuentra:

A) Exterior a la circunferenciaB) Interior a la circunferenciaC) Sobre la circunferencia

Note que el radio de la circunferencia es 𝑟 = 9 = 3,y el centro de la circunferencia (4,6), debemos hallar ladistancia entre el punto 5,2 y el centro:

𝑑 4,6 , 5,2 = 5 − 4 2 + 2 − 6 2

= 12 + (−4)2

= 1 + 16

= 17≈ 4,1231

Como 𝑟 = 3 < 4,1231, entonces el punto es exteriora la circunferencia.

Solución7. Sea 𝐶 una circunferencia dadapor 𝑥 − 8 2 + (𝑦 − 2)2= 16,el punto (6, 3) con respecto a lacircunferencia se encuentra:

A) .Exterior a la circunferenciaB) .Interior a la circunferenciaC) Sobre la circunferencia

Note que el radio de la circunferencia es𝑟 = 16 = 4, y el centro de la circunferencia es elpunto 8, 2 , debemos hallar la distancia entre 8, 2 y6, 3 y comparar con la medida del radio.

𝑑 8, 2 , (6, 3) = 6 − 8 2 + 3 − 2 2

= (−2)2+12

= 4 + 1

= 5≈ 2,2361

Como 𝑟 = 4 > 2,2361, entonces el punto es interior ala circunferencia.

SoluciónVeamos que el centro de la circunferenciacorresponde a −4,−3 y el radio es 1, la gráficade la circunferencia dada es la siguiente:8. Sea 𝐶 una circunferencia dada

por 𝑥 + 4 2 + (𝑦 + 3)2= 1,trace la circunferencia en el planocartesiano, ubique el punto−3,−2 y determine si es un

punto exterior o interior con respectoa la circunferencia.

Solución8. Sea 𝐶 una circunferencia dadapor 𝑥 + 4 2 + (𝑦 + 3)2= 1,trace la circunferencia en el planocartesiano, ubique el punto−3,−2 y determine si es un

punto exterior o interior con respectoa la circunferencia.

Ahora ubiquemos el punto −3,−2 en el planocartesiano:

Por lo tanto, −3,−2 es un punto exterior a lacircunferencia.

Rectas tangentes, secantes y exteriores a una circunferencia

Rectas tangentes

Una recta es tangente a unacircunferencia si interseca a lacircunferencia en un único punto, esdecir, la recta contiene solo un punto dela circunferencia, al cual se le llama puntode tangencia.

Rectas tangentes, secantes y exteriores a una circunferencia

Rectas secantes

Una recta es secante a unacircunferencia si interseca a lacircunferencia en dos puntos, es decir, larecta contiene solo dos puntos de lacircunferencia.

Rectas tangentes, secantes y exteriores a una circunferencia

Rectas exteriores

Una recta es exterior a unacircunferencia si no interseca a lacircunferencia, es decir, la recta nocontiene puntos de la circunferencia.

Solución9. Considere las siguientes proposicionesreferidas a la circunferencia 𝐶 dadapor 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 6:

I. La ecuación 𝑦 = 5 determina unarecta secante a 𝐶 .II. La ecuación 𝑥 = 𝑦 + 1 determinauna recta exterior a 𝐶 ..

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) Solo la IB) Solo la IIC) Ninguna

I. Grafiquemos en el plano cartesiano la circunferenciay la recta 𝑦 = 5.Note que el centro de la circunferencia es (1,0) y elradio 6.

Como 𝑦 = 5 es una recta exterior a lacircunferencia, entonces la proposición es falsa.

SoluciónII. Grafiquemos en el plano cartesiano lacircunferencia y la recta 𝑥 = 𝑦 + 1.Note que el centro de la circunferencia es (1,0)y el radio 6.Luego, para trazar la recta debemos hallar lasintersecciones con los ejes coordenados.De la ecuación de la recta tenemos que,

𝑥 = 𝑦 + 1𝑦 = 𝑥 − 1

donde 𝑚 = 1, 𝑏 = −1.

9. Considere las siguientes proposicionesreferidas a la circunferencia 𝐶 dadapor 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 6:

I. La ecuación 𝑦 = 5 determina unarecta secante a 𝐶 .II. La ecuación 𝑥 = 𝑦 + 1 determinauna recta exterior a 𝐶 ..

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) Solo la IB) Solo la IIC) Ninguna

SoluciónIntersección con el eje 𝑥: −𝑏

𝑚, 0 =

1

1, 0 = (1,0)

Intersección con el eje 𝑦: 0, 𝑏 = (0, −1)

Gráficamente:

Como la recta 𝑥 = 𝑦 + 1 es secante a lacircunferencia, la proposición es falsa.

9. Considere las siguientes proposicionesreferidas a la circunferencia 𝐶 dadapor 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 6:

I. La ecuación 𝑦 = 5 determina unarecta secante a 𝐶 .II. La ecuación 𝑥 = 𝑦 + 1 determinauna recta exterior a 𝐶 ..

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) Solo la IB) Solo la IIC) Ninguna

Solución10. Considere la representación gráfica dela circunferencia 𝐶 de centro 𝑂:

De acuerdo con la información anterior, laecuación de una recta tangente a 𝐶 esA) .𝑦 = −2B) .𝑦 = −5C) .𝑦 = −6

Note que la circunferencia 𝐶 tiene por radio 2,por lo que en (−4, −5) hay un punto detangencia, así que 𝑦 = −5 corresponde auna recta tangente a 𝐶 .