2. 座標系 (Reference frame) Reference system：定義、概念 Reference frame ：観測して数値化した座標値 2.0 宇宙技術以前の測地座標系 緯度、経度、高さ（標高）の組み合わせ ・緯度、経度の測定原理＝天文観測 緯度の測定原理 北極点の高度（角度）：P点の水平面を基準 経度の測定（「地球が丸いって本当ですか？」参照） →同期した時計（２つ以上）＋地球の自転を利用 共通の星の南中時刻を測る いずれにしても水平面（等ポテンシャル面）を基準 日本測地系（1841~2002.3.31）の決め方 ・地球形状に近い回転楕円体（地球楕円体）

𝑥! + 𝑦!

𝑎! +  𝑧!

𝑏! = 1

𝑓 =𝑎 − 𝑏𝑎    flathening扁平率

を当てはめる Bassel楕円体 a = 6377397.155m、f = 1/299.152813を採用 ・日本測地系の設定

１．経緯度原点で鉛直線(重力に平行)を決めて経緯度測定 ２．この値を Bessel楕円体での同一経緯度とする ３．千葉県鹿野山の一等三角点の方向を原点方位角 ４、水準原点の直下 24.4140m(24.3900mに H23.10.21改正)に東京湾の平均海水面がある:（これだけでなくそこに Bessel 楕円体の面があることにした(してしまった!)） ～問題点～ １．Bessel楕円体の中心∦地球の重心 ２．東京湾の平均海水面∦全球的な平均海水面 ３．Bessel楕円体の aが小さい 2.1 宇宙技術以降、日本測地系→世界測地系へ 人工衛星（スプートニク 1957、旧ソ連）：地球の重心のまわりを運動 地球中心（地心）座標系の登場 → x,y,zの３成分で記述、自転する 世界測地系へ GRS80（Geodetic Reference System 1980） a = 6378137m f = 1/298.2572 GM = 398600.5 kgm3/s2 （大気含む） J2 = -C20 =0.00108263 世界測地系の設定 １．経緯度原点で（宇宙測地）XYZ座標を GRS80に準拠して(φ,λ)とする

φ= 35°39` 29`` 1572N λ= 139°44` 28``8869E（H23.10.21変更） 真北から時計周り ２．国土地理院の VLBI観測点（つくば市）の方位＝原点方位角 32°20`46``209 （H23.10.21変更.それ以前は32°20′44″756だった） ３．水準原点の直下 24.3900mに GRS80の楕円体面 2.2 宇宙測地時代の緯度、経度、高さ (x,y,z) → (𝜑,  𝜆, h) h:楕円体高 (「標高」とは異なる．定義からして違うもの)

x = 𝑁cos𝜑cos𝜆 y = 𝑁cos𝜑sin𝜆

z =  𝑏!

𝑎!  𝑁𝑠𝑖𝑛𝜑

!!!!!

!!+   !

!

!!= 1を満足

ここで、𝑁 =   !!

!! !"#!!!!! !"# !! 卯西線曲率半径

Pから楕円体面に垂線を下すと

X = N+ h cos𝜑cos𝜆 ① Y = N+ h cos𝜑𝑠𝑖𝑛𝜆 ②

z =𝑏!

𝑎!𝑁 + ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ③

(𝜑,  𝜆, h) → (x,y,z) は容易。問題は(x,y,z) → (𝜑,  𝜆, h)をどう求めるか？ GPSでは日常的に行われている。

②

①→ tan 𝜆 =  

𝑌𝑋      

𝜆 = tan!!𝑌𝑋

hと𝜑をどう求めるか？近似的にしか求めることができない。

① ②より、h =   !!!!!

!"#!− 𝑁 ④

③ より、Z = (N+ h− 𝑒!𝑁) sin𝜑 ⑤

ただし、𝑒! =   !!!  !!

!!

④ 、⑤より、 tan𝜑 =   !!!!!!

1− 𝑒! !!!!

⑥

（求め方） １．h=0とする。（Nよりずっと小さい）

tan𝜑(!) =   !!!!!!

(1− 𝑒!)より、仮の𝜑 =  𝜑(!)を得る

3. 𝜑(!)を用いてN =   !!

!! !"#!!!!! !"# !!から、N=N(1)を得る

4. 𝜑(!)、N(1)を用いて、④より h=h(1)を得る 5. h=h(1)を用いて、１に戻る 6. 𝜑(!)、N(2)、h(2)を求める。（繰り返す） 7. ほぼ一定になったらやめる （反復法と呼ばれる数値計算の手法の１つ） (x,y,z) → (𝜑,  𝜆, h)を求めることができる （注意）水平面基準の概念が出てこない。最新技術 cm以下まで計算可能

2.3 ３つの高さ PQ：楕円体高 h PR：（正）標高 H RQ：ジオイド高 N 厳密には PQ∦PR しかし、よい近似で H=h-Nが成り立つ 2.4 慣性座標系, Inertial System and Frames →宇宙空間に固定、地球（太陽系）の重心が原点 赤道座標系（地心が原点） α：赤経 right asention、春分点を中心に東回り δ：赤緯 declination

ε：黄道傾斜角

国際天文準拠系 International Celstial Reference System →608個の電波星（準星, quasar）の位置, ICRFとして与える（宇宙空間の三角点） 2000年 1月 1日 UT12hでの位置として与える ＝J2000.0 Julius Caesar 地球上の経度λ、赤経α、地球の自転の関係 θ：グリニッジ恒星時 Sidereal Time H：時角 Hour angle

H = θ+λ－α ある天体が南中した時、λ=0では H=0

α δ 春分点 0h 0 夏至点 6h 23.4 秋分点 12h 0 冬至点 18h -23.4

2.5 地球座標系 Terrestrial Reference Systems and Frames 地球重心が原点、地球に固定 ITRF 世界中の地表の基準点のある時期における xyz座標＋xyz速度場を与える 2.6 慣性座標系と地球座標系の関係 歳差(precession)：約 25800年で自転軸の方向が慣性空間内を一周する． 原因は月と太陽の潮汐力によるモーメント（トルク）．

à その結果、天の赤道は移動 à「春分点」が年間 50″で東から西へ移動

章動(nutation)：月と太陽の潮汐力によるモーメント（トルク）によって 生ずる自転軸の（短周期の）向きの振動：「首振り運動」など と力学の本に書いてあることもある．18.6年周期が有名． 極運動(polar motion / wobble)：自転軸の向きが「地表面」に対して移動する運動．原因は（外部天体ではなく），地球システム全て（固体地球+ 大気海洋+氷＋地下水…）． 自転角速度変動： 自転角速度（ベクトル）の大きさが変化、即ち「一日の長さ」が変化するということで、Length-Of-Day(LOD)変化とも呼ばれる． IS(Inertial System:慣性座標系) × (歳差運動)×(章動) ×（極運動）×（自転角速度変動）＝TS (Terrestrial System:地球座標系)