2° BLOQUE 3 GUIA DE EJERCICIOS

3.1Construir sucesiones de

números con signo a partir de una regla dada.

Obtener la regla que genera una sucesión de números con

signo.

PATRONES Y FÓRMULAS

Trabajando en equipo, observen y analicen, detenidamente, cada una de las igualdades, y contesten lo que se solicita.

83

¿Cuántas se necesitan para balancear la última igualdad?

=1

= =

= ==

¿Cuántas se necesitan para que se cumpla la última igualdad?2

= = =

¿Cuántos se necesitan para que se cumpla la última igualdad?3

= = =

¿Cuántos se necesitan para que se cumpla la última igualdad?4

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literalesB

LOQ

UE 3

¿Cuál es la velocidad con que se mueve el automóvil? _________

¿Qué operación realizaste para obtener la distancia? _________

¿Qué fórmula utilizaste para obtener la distancia? ...... _________

Enseguida, ¿qué está sucediendo? Escribe números y letras, y después sugiere una fórmula.

______ ______ ______ 4 + 2 ______ ______

______ ______ ______ ______ ______ 6 + 2n

Fórmula ___________

Si un automóvil recorre 100 m en 10 segundos, encuentra cuántos metros recorre cada segundo.

Segundos 1 3 5 7 9

Distancia

BLO

QU

E 3

84

Lo que hemos trabajado hasta aquí nos permite aplicarnos en otros problemas semejantes. Veamos algunos ejemplos analizando la cantidad de figuras relacionándolas con algún número y letra.

Si al lugar de inicio le llamamos "n", el siguiente será "n + 1" y, ¿después?

n n + 1 ______ n + 3 ______ ______ ______ ______ ______

1 2 3 4 ______ ______ 7 ______ 9

Otro ejemplo. Hagámosle una operación a la posición donde nos ubiquemos, tomándolo como "n". Escribe lo que falte. Fórmula

1 4 9 ______ ______ 36 49 ______ ____________

1² 2² 3² ______ ______ ______ ______ ______

Acomodemos triángulos y contemos los vértices que intervienen en cada nueva figura.

21

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales

En cada una de las series, encuentra la regla literal que se está cumpliendo, según los valores que cada término presenta. La regla debe cumplirse para todos los términos de la serie. Sugerencia: haz uso de figuras, recta numérica u otros objetos.

Términos Regla o Fórmula

1) 1 8 27 64 125 216 343 __________________ 2) 0 2 4 6 8 10 12 __________________ 3) 2 5 10 17 26 37 50 __________________ 4) - 2 1 4 7 10 13 16 __________________ 5) - 7a - 5a - 3a - a a 3a 5a __________________ 6) 4 5 6 7 8 9 10 __________________ 7) 6 1 - 2 - 3 - 2 1 6 __________________ 8) 4 3 2 1 0 - 1 - 2 __________________ 9) - 3 1 5 9 13 17 21 __________________10) 1 2 3 4 5 6 7 __________________

BLO

QU

E 3

85

En cada uno de los números, desarrolla la serie que se propone, escribiendo un valor numérico en cada línea. A la literal, asígnale valor de la posición del término.

1) 3n - 1 3(1) - 1 = 2 3(2) - 1 = 5 8 ______ ______ 17 ______7p

2) 5 - 2m _________ _________ ______ ______ ______ ______ ______6p

3) 4n² + 1 _________ _________ ______ ______ ______ ______ ______5p

4) (n + 3) ÷ 2 _________ _________ ______ ______ ______ ______ ______1p 2p 3p 4p

5) n + 3 ÷ 2 _________ _________ ______ ______ ______ ______ ______

En cada uno de los números, desarrolla la serie que se propone, escribiendo un valor numérico en cada línea. A la literal, asígnale valor de 1 y al número que suma o resta, increméntalo de 1 en 1.

1) 3n - 1 3(1) - 1 = 2 3(1) - 1 + 1 = 3 ______ ______ 6 ______

2) 5 - 2m _________ __________ ______ ______ ______ ______

3) 4n² + 1 _________ __________ 8 ______ ______ ______

4) (n + 3) ÷ 2 _________ __________ ______ ______ ______ ______

5) n + 3 ÷ 2 _________ __________ ______ 3.5 ______ ______


Trabajando en equipo, en cada una de las igualdades analicen el valor que tienen las figuras y logren que la tercera igualdad tenga un valor coincidente con las dos primeras.

¿Cuántos se requieren para nivelar la tercera igualdad? y ¿cuál es el valor de cada figura?

= ______ = ______ = ______

= ==

Interpreta la orden que se te de en cada PATRÓN y obtén una fórmula o regla con sus primeros cuatro términos de la serie. FÓRMULA o REGLA

1. La suma de dos números seguidos diferentes ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

2. El doble de un número, aumentado en dos unidades ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

3. La mitad, de la suma de dos números consecutivos ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

4. La mitad de, un número más tres unidades ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

5. La mitad de un número, más tres unidades ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

6. La diferencia de dos números cuadrados ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

7. La división de dos cantidades, cuyo cociente sea entero ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

8. El cuadrado de, la suma de dos números ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

9. La diferencia del cubo de un número y el cuadrado de otro ______________________

____________ ____________ ____________ ____________

BLO

QU

E 3

86

Para terminar este tema, con los prismas dispersos que encuentras en la parte izquierda, forma una pirámide teniendo en cuenta que las piezas tienen una secuencia para poder acomodarse. Guíate con la cuadrícula.

XII

X

IX

VII

VI

IV

III

I

P


3.2Resolver problemas que impliquen el

planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la

forma ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o ambos

miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios,

positivos o negativos.

ECUACIONES

A Diofanto de Alejandría, quien vivió entre el año 200 - 290 d. C., se le considera el padre del Álgebra y creador de una serie de problemas para pasatiempo. Fue tan poco conocido que su edad sólo se supo hasta después de su muerte, pues ordenó se pusiera en su tumba, el siguiente epitafio:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

Expresiones algebraicas Equivalencia en años

Edad de Diofanto = x

Fue niño =

Le salió barba =

Duró soltero =

Nació su primer hijo =

Vida del hijo =

Lamentó la muerte =

SUMA TOTAL =Realiza operaciones necesarias.

Edad de Diofanto ________

Para que puedas resolver el problema anterior, empecemos con un ejercicio mental como los que habrás oído alguna vez: "te adivino lo que te quedó"

Expresión algebraica Expresión Numérica1) Piensa un número x 7 12

2) Súmale 5 x + 5 ________ 12 + 5

3) Multiplica el resultado por 2 2(x + 5) 2(7 + 5) ________

4) A lo que quedó, réstale 4 _________ 14 + 10 - 4 24 + 10 - 4

5) El resultado, divídelo entre 2 2x + 6 302 2 2

6) A lo que quedó, réstale el número que pensaste x + 3 - x 10 - 7 ________

El número que quedó es _______ 3 3 3

BLO

QU

E 3

87


Veamos un problema

En un camión de transporte urbano, sube una anciana con una canasta repleta de huevos; a medida que avanza el camión, en alguna de las múltiples frenadas bruscas, se le caen todos los huevos estrellándose por completo en el piso; alguno de los pasajeros, se conduele del hecho y convence a los demás para que le paguen el contenido de aquella canasta, a la humilde anciana, preguntándole a ésta, cuántos huevos traía en la canasta, a lo cual, ella contesta: lo único que me acuerdo es que, si la cantidad total de huevos en mi canasta, la dividía entre 2, me sobraba 1; cuando la dividía entre 3, me sobraban 2; cuando dividía entre 4, me sobraban 3 y, cuando dividía entre 5, me sobraban 4. ¿Cuántos huevos traía la anciana en su canasto y, cuánto le pagaron los pasajeros, si cada huevo cuesta $ 1.50 pesos? Obtén el resultado con cálculos numéricos.

Estimación Sobrante

Dividiendo entre 2 _____ ÷ _____ = _____ 1




Cantidad de huevos __________ Pago recibido ___________

BLO

QU

E 3

88

Uno más: "voy a adivinar el número que pensaste"Expresión algebraica Expresión Numérica

Proceso que debes seguir:

1) Piensa un número x 15 32

2) Multiplícalo por 5 5x ________ 160

3) A lo que quedó, súmale 12 ________ 87 ________

4) Lo que quedó multiplícalo por 10 50x + 120 870 1720

5) A lo que quedó súmale 5 ________ ________ 1725

6) Lo que quedó multiplícalo por 2 100x + 250 1750 3450No se te pase la siguiente pregunta:

7) ¿Qué número te quedó? 100x + 250 1750 3450

Cuando te hayan contestado la pregunta, mentalmente realiza las siguientes operaciones:

A lo que les quedó, réstale 250 y 100x 1500 3200

al resultado divídelo entre 100 y encuentras el número. x 15 32


Otro ejemplo: "te adivino lo que te quedó" Expresión algebraica Expresión Numérica1) Piensa un número x 8 7

2) Súmale 3 ________ 8 + 3 ________

3) Multiplica por 2 el resultado 2(x + 3) _________ 2(7 + 3)

4) A lo que quedó súmale 4 ________ 16 + 6 + 4 ________

5) El resultado divídelo entre 2 x + 5 13 12

6) A lo que quedó réstale el número que pensaste x + 5 - x ____ 5

El número que quedó es _______

Así como el problema anterior lo pudiste resolver con estimaciones de números divisibles, habrá otros que sea necesario un proceso matemático para poder encontrar su solución; por lo cual, es necesario aprendamos a resolver ecuaciones adecuadamente.

En alguna ocasión habrás visto una "balanza" como la del dibujo inferior. Esta herramienta era utilizada para medir el peso de las mercancías que se compraban en las tiendas de alimentos, preferentemente. Actualmente son pocos los lugares donde se pueden encontrar en uso.

Usemos este aparato para entender las ecuaciones de primer grado.

Cuando en ambos platos de la balanza se encuentra el mismo peso, el equilibrio se manifiesta conservándose la horizontalidad de los platos; pero, si en alguno de ellos el peso es diferente, el equilibrio se pierde y, en consecuencia, el plato con mayor peso descenderá (bajará), mientras el otro ascenderá (subirá)

Observa detenidamente la balanza de la izquierda, que se encuentra en equilibrio, y forma una ecuación con los pesos que hay en cada plato. Utiliza literales y números.

____________________

Contesta cada pregunta.

Como se encuentra la balanza y la ecuación,

si al plato de la derecha le quitas un cubo, ¿qué pasa? .............. _________________________

¿Cómo queda la ecuación? _________________

Si al plato de la izquierda le quitas un cubo, ¿qué pasa? ............ _________________________


Si a cada plato de la balanza le quitas dos cubos, ¿qué pasa? .. _________________________


Si a cada plato de la balanza le agregas dos cubos, ¿qué pasa? _________________________


¿En cualquier caso permanece el mismo valor de la esfera? ____

¿Por qué? _______________________________

x1

1 1x1

1 1 1

1

BLO

QU

E 3

89


¿Qué movimiento se debe realizar, para que la balanza conserve siempre su equilibrio?

_____________________________________________________________________________

Cuando el movimiento de la izquierda no es el mismo que el de la derecha, ¿qué sucede?

_____________________________________________________________________________

Teniendo en cuenta las dos observaciones anteriores, vamos realizando algunos ejercicios.

La balanza está en total equilibrio. Haz que así permanezca, mientras logras que una esfera quede sola en el plato izquierdo y una sola figura en el plato derecho.

Completa cada paso:

Ejemplo: Si quito un cubo verde del lado derecho, ¿qué debo hacer en el lado izquierdo? Quitar un cubo verde.

x x1 1 1x

x x11 1

Empecemos con los movimientos: (Los movimientos pueden ser cinco, más o menos)

LADO IZQUIERDO LADO DERECHO

Primer Movimiento ___________________ = ___________________

Segundo Movimiento ___________________ = ___________________

Tercer movimiento ___________________ = ___________________

Cuarto movimiento ___________________ = ___________________

Quinto movimiento ___________________ = ___________________

¿Cuál es el valor de "x"? _________

Ya que realizamos los movimientos correctos, hagámoslos con expresiones algebraicas.

ECUACIÓN 3x + 5 = 2x + 7

Primer Movimiento ___________________ = ___________________

Segundo Movimiento ___________________ = ___________________

Tercer movimiento ___________________ = ___________________

Cuarto movimiento ___________________ = ___________________

Quinto movimiento ___________________ = ___________________

En el trabajo realizado, se han efectuado movimientos que hacen la misma operación, tanto en un lado como en el otro; escribe lo que hayas observado.

1) __________________________________________________________________________

2) __________________________________________________________________________

3) __________________________________________________________________________

4) __________________________________________________________________________

BLO

QU

E 3

90

=


Observa la balanza y realiza operaciones que te permitan llegar a tener el valor de una esfera, conservando siempre el equilibrio de los dos miembros.

Escriban el proceso que van siguiendo para obtener el resultado pedido.

Comparen los procesos entre los diferentes equipos formados en el grupo. Pueden existir un número distinto de pasos en el proceso.

x xx xx x

x

11 x

x xx xx 1

1

11

1

ECUACIÓN: _____________ = _____________

PROCESO.

1) __________________________________ 2) __________________________________

3) __________________________________ 4) __________________________________

5) __________________________________ 6) __________________________________

En este ejemplo, ¿se encuentra algún nuevo movimiento que no se hubiera visto antes? ______

¿Cuál es? ____________________________________________________________________ BLO

QU

E 3

91


31v6

5v3)6 −=

( ) ( )7

1a323

5a42)8 +=

−( )3m232

3m5)7 −=+

Usando las observaciones o conclusiones surgidas de los diferentes ejemplos, encuentra el valor que tiene cada una de las literales que componen las distintas ecuaciones. Cuida, en todo momento, no se pierda el equilibrio entre los dos miembros de la ecuación.

1) 4x + 5 = 2x + 9 2) 5n + 4 = 2n + 13 3) 6 + 3 y = 6y + 3

4) 8h - 5 = 5h + 2 - 2h + 7 5) 12w - 8 = 5w + 13

31d

51d)9 +=

−

BLO

QU

E 3

92


¿Qué has hecho cuando el número tiene signo negativo? _______________________

¿Qué dudas has tenido? _________________________________________________

Consulta con tu Maestro.

Sigamos resolviendo ejercicios de ecuaciones, con el auxilio de la Profesora o Profesor de tu grupo. Trabaja en equipo.

10) 4y + 3 - y = 2y + 9 -5 11) 4(3x - 4) + 1 = - 3 12) 7 + 2( 3 - 2w) = 1

13) 2(x + 3) - 5 = 5 - (x - 2) 14) 4(n - 3) - 2(4 - 2n) = - 4 15)

16) 17) 3(2 - R) + (- 5)(2R + 6) = - 1 18)

19) m = (5 - 7)(3 - m) 20) 21)

22) 23) 24)

2g4g4

35g6 +−=

+

( )2p33

p510+=

−+ 6

4T59=

−

33b2

3=

+ 1c29

2c7

−=

+

5c6

5c7 −=

41e38

35e47 −−=

−+5

1)z38(7

)1z2(5 −−=

−−

2.- Una mercancía se abarató un 10 % y luego se encareció en un 10 %. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de encarecerla?

OPERACIONES

Costo de la mercancía = x

Mercancía rebajada

Mercancía incrementada

RESPUESTA: La mercancía es más barata un centavo, después de encarecerla.

x9.010

x910

xx10x101xx

10010x ==

−=−=−=

x99.0100

x99100

x9x90100

x910

x9x109

10010x

109

==+

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Diez centavos menos, por cada peso del precio

normal.

4.- Una mercancía encareció un 10 % y luego abarató en un 10 %. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla?

OPERACIONES

1.- Encontrar un número tal que su mitad, más su cuarta parte, más 1, sea igual al número pedido.

número pedido = x número pedido = 4

mitad del número = mitad del número = 2

cuarta parte del número = cuarta parte del número = 1

Comprobación:4 = 2 + 1 + 1

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, leyéndolos detenidamente en equipo con algunos de tus compañeros, anotando en cada uno los datos, las operaciones, los resultados y comprobando cada uno de ellos.

2x2x

4x4x

4x8x2

x68x88

x2x41x

14x

2xx

===−

+=−

++=

BLO

QU

E 3

93

3.- El perímetro de un jardín rectangular es de 358 m. Si el lado mayor mide 42 m, más que el lado menor, ¿cuánto miden los lados del jardín?

OPERACIONESLado menor = x

Lado mayor = x + 42

Perímetro = 2x + 2(x + 42) = 358

Lado mayor = ________ Lado menor = _______

xx + 42


7.- En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

5.- Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lo hace en 6 horas. El depósito está vacío y se abren los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse?

6.- Un hortelano lleva una caja con manzanas. Encuentra a tres amigos y le da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

8.- Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestan 12 pesos más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?

BLO

QU

E 3

94


11.- Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía?

9.- A unas vacantes en el Gobierno, se presentaron 37 candidatos a presentar prueba. Todos los residentes del estado consiguieron plaza y su número representaba el 95 % del total de aprobados. ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran originarios del estado?

10.- Una cuadrilla de cortadores de pasto, debe segar dos prados; uno tenía doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande y, la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminadas los dos cortes, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuyo corte ocupó el día siguiente completo a un solo cortador. ¿Cuántos cortadores componían la cuadrilla? B

LOQ

UE 3

95


3.3Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la

biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de

cantidades que varían una en función de la otra y representar

esta relación mediante una tabla o expresión algebraica de la

forma y = ax + b.

Significado y uso de las literalesSentido numérico y pensamiento algebraico

01

BLO

QU

E 3

RELACIÓN FUNCIONAL

En el mundo que nos rodea, existe una RELACIÓN y/o DEPENDENCIA entre todas las cosas, animales y personas.

Por ejemplo:

Como ves, cada par de ideas tiene una relación entre sí que l a s h a c e e x i s t i r , p o r necesidad, "acompañadas".

Veamos un ejemplo sencillo:

¿Por qué llueve?Llueve debido a que las nubes están cargadas de agua y el peso que ésta tiene, la hace caer.

¿Cómo se forman las nubes?

La nubes se forman, cuando el calor que produce el sol cae sobre la superficie del agua, haciendo que ésta se transforme en vapor, el cual al estar caliente es muy liviano y se eleva.

¿Qué pasa con el vapor que se eleva?

El vapor que se eleva llega a alturas de la atmósfera que se encuentran muy frías y que hacen se convierta en nube, en la cual, con ese frío vuelve a transformarse el vapor en agua, que está lista para caer nuevamente. Cuando el frío en la atmósfera es demasiado intenso, ese vapor llega a hacerse hielo, el cual cae en lo que conocemos como "GRANIZO".

Con base en el ejemplo anterior, encuentra la DEPENDENCIA de lo que se pide enseguida.

Las nubes dependen de .......... ____________________________________________________

El granizo depende de ............ ____________________________________________________

La temperatura depende de .... ____________________________________________________

El vapor depende de ............... ____________________________________________________

El agua depende de ................ ____________________________________________________

96

Veamos la RELACIÓN entre cada dos ideas.

La Escuela .............................. AlumnosEl Maestro ............................... EscuelaEl Salario ................................. TrabajoEl Tipo de trabajo .................... EstudioEl Hijo ...................................... PadresEl Carpintero ........................... Muebles de maderaLa Ecología ............................. HigieneLos Bancos ............................. Necesidades de dineroEl Producto ............................. Consumidor

El 7 depende de la suma del 3 y 4

El PERÍMETRO del cuadrado depende de sus LADOS

El ÁREA del cuadrado depende de sus LADOS

La CIRCUNFERENCIA (perímetro) depende del RADIO

El CÍRCULO (área) depende del RADIO

Un SISTEMA DE ECUACIONES depende de las INCÓGNITAS

El VOLUMEN del prisma depende de sus LADOS

La SUPERFICIE o ÁREA de sus caras depende de CADA LADO

El MATERIAL DE CONSTRUCCIÓN depende de las ÁREAS

a ) 3 + 4 = 7

b )

c )

d ) y² = 2x + 5 2x + y = 16

e )

Pues bien, ya vimos que la vida de cualquier ser humano se desenvuelve dentro de un mundo donde la existencia de relaciones o dependencias, de diferente tipo, se presentan a diario; entonces, como la MATEMÁTICA es parte del mundo del individuo debe tener también DEPENDENCIAS entre sus contenidos.

Veamos algunas de estas dependencias:

Significado y uso de las literalesSentido numérico y pensamiento algebraicoB

LOQ

UE 3

Una presa abre sus compuertas y permite la salida de agua de acuerdo a la siguiente tabla:

a) ¿Cuántos segundos tardará en vaciar 95 metros cúbicos? .................. __________________

b) ¿Cuántos litros han salido de la presa después de dos minutos? ......... __________________

c) Escribe la expresión algebraica que describa la forma de obtener la cantidad de metros cúbicos en función del tiempo transcurrido ............................................ __________________

0297

x Tiempo (en segundos) 2 4 6 8 10

y Metros cúbicos de agua 10 20 30 40 50

Significado y uso de las literalesSentido numérico y pensamiento algebraico

03

BLO

QU

E 3

La familia Rodríguez habita en casa de renta por la cual paga la cantidad de $ 2,500.00 cada mes:

a) ¿Cuánto habrá pagado en medio año? ................................................. _________________

b) Si ha pagado $ 50,000.00 ¿Cuántos meses han habitado esa casa?... _________________

c) Escribe la expresión algebraica que describa la forma de obtener la cantidad de tiempo en función del dinero pagado ..................................................................... _________________

Un elevador cuyo peso es de 140 kilogramos tiene capacidad para máximo 8 personas, el peso promedio de cada persona que entra en él es de 70 kilogramos:

a) ¿Cuál es el peso total del elevador con su capacidad máxima? .............. ________________

b) Si el peso total es de 560 kilogramos, ¿cuántas personas van dentro? ... ________________

c) Escribe la expresión algebraica que represente esta situación ................ ________________

Completa la tabla

Completa la tabla

El salario de un empleado en el área de ventas es de $ 400.00 por semana mas $ 50.00 por cada $ 1,000.00 de ventas que realice:

x Ventas 0 $ 1,000.00 $ 2,000.00 $ 3,000.00 $ 4,000.00

y Salario $ 400.00 $ 450.00 $ 550.00

a) ¿Qué venta tuvo que haber realizado para lograr un sueldo de $ 800.00? ........ ___________

b) Si el pago de esa semana fue de $ 1,050.00, ¿cuánto vendió? ......................... ___________

c) Escribe la expresión algebraica que represente el salario de este empleado ..... ___________

Completa la tabla

98

x Personas 0 1 2 3 4

y Peso en kilogramos 140 210 280

x Tiempo (en meses) 1 2 3 4

y Cantidad de paga $ 2,500.00 $ 5,000.00

Significado y uso de las literalesSentido numérico y pensamiento algebraicoB

LOQ

UE 3

04

Escribe la expresión algebraica que represente esta tabla:

______________________________

Escribe la expresión algebraica que represente esta tabla:

_______________________________

Escuela "Da Vinci" Escuela "David Alfaro"

¿Cuál escuela ofrece el curso más barato? ..................... _______________________________

Traza una gráfica que describa la situación de cada escuela:

Escuela "Da Vinci" Escuela "David Alfaro"

La escuela de pintura "Da Vinci" ofrece un curso de seis meses por el cual cobra $ 560.00 de inscripción y materiales y mensualidades de $ 190.00; La "David Alfaro", por el mismo curso cobra $ 420.00 de inscripción y materiales y mensualidades de $ 240.00.

Utiliza una hoja de cálculo para obtener una tabla que represente esta situación

meses transcurridos

1 2 3 4 5 6

$ 300.00

$ 1,200.00

$ 900.00

$ 600.00

$ 1,500.00

$ 1,800.00cantidad a pagar

meses transcurridos

1 2 3 4 5 6

$ 300.00

$ 1,200.00

$ 900.00

$ 600.00

$ 1,500.00

$ 1,800.00cantidad a pagar

99

JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS

100

JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS3.4

Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos

interiores de cualquier polígono.

A la derecha, tienes un polígono regular inscrito en una circunferencia, el cual tiene ángulos entre cada uno de sus pares de lados. Vamos encontrando el valor de la suma de esos ángulos. Para marcar los ángulos interiores de un polígono, debe seguirse el sentido contrario a las manecillas de un reloj.

1) Traza líneas rectas que inicien en el centro del polígono, hasta cada uno de sus vértices.

¿Cuántos triángulos iguales se obtuvieron? ............................................................. _________

¿Cada uno de esos triángulos, tiene uno de sus ángulos en el centro? ................... _________

Al sumar todos los ángulos del centro, ¿cuántos grados resultan? .......................... _________

¿Cuántos grados suman los tres ángulos de un triángulo? ...................................... _________

Entonces, el total de grados de todos los triángulos, ¿cuánto suman? .................... _________

Si a este total, le restas la suma de los ángulos centrales, ¿qué resulta? ................ _________

El resultado que obtuviste, es la suma de los ángulos interiores del polígono.

Por lo tanto, ¿cuántos grados mide cada uno de los ángulos del Heptágono? ....... _________

Todo polígono está formado por un número de lados, ¿cuántos le encontraste? .... _________

Analizando lo que hicieron, escribe una conclusión o fórmula __________________________

Y, ¿si el polígono no tuviera una forma regular? ¿Cuál de los dos procesos sería posible aplicar?

¡Claro!, es posible aplicar los dos procesos, porque se puede señalar un centro cualquiera y partir de allí para cada vértice formando triángulos con un ángulo en el centro del polígono.

Veamos entonces, la aplicación de los procesos. ¡Házlo!

¿Cuántos triángulos formaste? ................................................... ______

¿Cuántos grados interiores tiene cada triángulo? ..................... ______

El total de grados entre todos los triángulos, ¿cuánto suma? .... ______

El número que obtuviste, ¿es igual al del proceso anterior? ....... ______

Entonces, hay una conclusión o fórmula, ¿cuál es?

Recuerden que estuvieron trabajando en un polígono de 7 lados

2) Hagámoslo de otra manera, dibujando líneas rectas entre cada dos vértices, cuidando no haya empalmes entre los triángulos que se formen. Inicien en el vértice que deseen.

Formas geométricasForma, espacio y medidaB

LOQ

UE

3

101

¿Cuál de las divisiones dibujaste? ¿Cuántas hay diferentes a la tuya? ........ ________

¿Cuántos lados tiene el polígono? ________ ¿Cuántos triángulos se forman? ........... ________

¿Cuántos grados suman los tres ángulos de un triángulo? .......................................... ________

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono irregular analizado? ........... ________

¿Qué conclusión o fórmula permite obtener la suma de los ángulos interiores teniendo en cuenta, tanto el número de lados, como el número de triángulos formados? .... ______________

Vámonos a otro polígono irregular que tenga 8 lados.

¿Cuántas líneas trazaste? ..................................... _________

Número de triángulos formados ............................. _________

Cantidad de grados en cada triángulo ................... _________

Multiplicación de 180° por el número de triángulos _________

Fórmula para el total de grados que obtuviste _____________

¿Los dos procesos, servirán tanto para polígonos regulares como irregulares? ..... _________

Veamos algunos ejemplos:

POLÍGONO REGULAR POLÍGONO IRREGULAR

Número de lados del polígono _________

Número de triángulos _________¡Ahora Tú! Colorea los diferentes triángulos que se formen.

Número de lados del polígono _________

Número de triángulos _________

?

Forma, espacio y medida Formas geométricas

BLO

QU

E 3

102

Aplicando el proceso que consideres más adecuado o aplicando los dos procesos, encuentra la suma de los ángulos interiores de cada uno de los polígonos que se te presentan a continuación. Realiza las operaciones necesarias, en la parte derecha.

Ángulos interiores = _________

Cada ángulo = _________

Ángulos interiores = _________


1)

2)

Por último, con todo lo visto hasta aquí, ya debes haber obtenido la fórmula 180° (n - 2), donde n es el número de lados del polígono y, (n - 2) es el número de triángulos. Con base en ello, completa la tabla para diferentes polígonos. Realiza operaciones en el espacio inferior.

POLÍGONO N° N° Total delados triángulos grados

Cuadrado ______ 2 360°

Pentágono ______ ______ ______

Hexágono ______ ______ ______

Heptágono ______ ______ 900°

Octágono ______ ______ ______

Nonágono 9 ______ ______

Decágono ______ ______ ______

Forma, espacio y medida Formas geométricasB

LOQ

UE

3

103

Sigamos encontrando la suma de los ángulos interiores de polígonos.

Suma Ángulos interiores = _________



Cada ángulo = _________ y _________



3)

4)

5)

6)


BLO

QU

E 3

104

En el vitral inferior, escoge algunos polígonos y encuéntrales la suma de sus ángulos interiores.

Comprueba que, tanto en el cuadrado, como en el rectángulo, se aplican cualquiera de los dos procesos.

Forma, espacio y medida Formas geométricasB

LOQ

UE

3

FIGURAS PLANAS

105

BLO

QU

E 3

Al observar a los albañiles, cuándo están poniendo cerámicas, azulejos o mosáicos en el piso de una construcción, notarás que lo hacen pegando una pieza junto a otra, sin dejar espacios huecos entre ellas y de esta manera lo siguen haciendo hasta terminar el piso, por lo siguiente, podemos decir: Que los albañiles, teselan al estar colocando las piezas.

Teselar es cubrir el piso con cerámicas, mosáicos, azulejos, ladrillos regulares o irregulares.Al teselar un piso o un plano, entre las figuras, no quedan espacio y tampoco se sobreponen.

Como observas en los polígonos anteriores; no con todos los polígonos es posible teselar.Para teselar un plano los polígonos se deben de someter a rotación, traslación y simetría.

Con los siguientes 4 polígonos se intenta construir una tesela

3.5Conocer las características de

los polígonos que permitan cubrir el plano y realizar

recubrimientos del plano.

DD

DD

BBB B

CBA D

A A A A A A A


CCCC

CCCC


106

BLO

QU

E 3

Con cada uno de los triángulos que se muestran, trata de formar una tesela en la cuadrícula que se encuentra en la parte de abajo.

(Usa una figura a la vez)

¿Pudiste formar la tesela con cada uno de los triángulos? ......................... __________________

¿Se puede teselar con cualquier tipo de triángulo? .................................... __________________


107

BLO

QU

E 3Con cada uno de los polígonos que se muestran, trata de formar una tesela en la cuadrícula que se encuentra en la parte de abajo.

(Usa una figura a la vez)

¿Pudiste formar la tesela con cada uno de los polígonos? ........................ __________________

¿Se puede teselar con cualquier tipo de polígonos? ................................. __________________

A C D E


108

¿Con cuáles de los polígonos se pudo cubrir el plano? ........................................... ___________

¡Qué características tiene los polígonos que permiten cubrir el plano? .................... ___________

_______________________________________________________________________________

Para cubrir un plano con polígonos sin dejar huecos, se necesita reunir en un punto vértices de

varios polígonos de manera que sus ángulos interiores sumen: ............................... ___________

¿Cuáles son los polígonos con los que no pudiste cubrir el plano?........................... ___________

_______________________________________________________________________________

¿Cualquier triángulo tesela? __________ ¿Cualquier paralelogramo tesela?......... ___________ ¿Cualquier trapecio tesela? __________ ¿Cualquier polígono regular tesela?..... ___________

¿Por qué no es posible que todos los polígonos teselen? ________________________________

_______________________________________________________________________________

Forma un equipo de trabajo con tres de tus compañeros. Imaginen que cada una de las figuras es un mosaico. En una cartulina dibujen y recorten los mosáicos iguales como se indica en la parte de abajo, y traten de formar una tesela con los mosáicos. Intenten cubrir todos los espacios sin dejar hueco, para cada caso se debe utilizar figuras de una sola forma.

Tracen y recorten 10 mosáicos iguales al A. Tracen y recorten 10 mosáicos iguales al B.

Tracen y recorten 10 mosáicos iguales al C. Tracen y recorten 10 mosáicos iguales al D. Tracen y recorten 10 mosáicos iguales al E

BLO

QU

E 3


109

BLO

QU

E 3

Forma un equipo de trabajo con tres de tus compañeros para que tracen y recorten en una cartulina, el número que se indica de figuras semejantes a las que se muestran en la parte de abajo y formen una tesela.

¿Cómo son los polígonos que utilizaron? .................................... _________________________

¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano? ..... _________________________

¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras? ...................... _________________________

¡Cuánto suman los ángulos que coinciden en el mismo vértice? _________________________

8 figuras 2 cm

7 cm

16 figuras

6 cm

2 cm

5 cm

3 cm

4 cm

2 cm

2 cm

2 cm 5 cm

3 cm

6 cm

4 cm

16 figuras

Haz, en forma individual, una tesela con la figura que desees y coloréalo a tu gusto.

8 figuras 2 cm

14 cm

Los diferentes fenómenos se pueden describir por medio de una tabla de valores, una fórmula o una GRÁFICA.

3.6Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales

asociadas a diversos fenómenos.

La distancia entre Hermosillo y Chihuahua es de 650 kilómetros. Si desde Hermosillo hacia Chihuahua hemos viajado 200 kilómetros, ¿cuántos kilómetros nos faltan para llegar a la segunda ciudad?

Completa la siguiente tabla de valores.

Localiza en la siguiente gráfica los puntos correspondientes a esta relación para cada 100 kilómetros recorridos.

GRÁFICAS

BLO

QU

E 3

110

Kilómetros recorridos 50 200 350 500

Kilómetros por recorrer 450

X

Y

Kiló

met

ros

que

falta

n

100

400

100 200 300 400 500 600

200

300

500

600

La expresión que representa la gráfica anterior se forma de:

kilómetros que faltan = 650 menos kilómetros recorridos.

La ecuación de esta recta es: y = 650 - x

¿Es ésta una relación lineal? ________ ¿Por qué? ___________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Escribe la expresión que relaciona los kilómetros recorridos con los kilómetros que faltan.

______________________________________________________________________________

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números

BLO

QU

E 3

111

¿Qué observan en los puntos de la primera gráfica? ___________________________________

_____________________________________________________________________________

¿Qué observan en los puntos de la segunda gráfica? __________________________________

_____________________________________________________________________________

Organizados en parejas, comenten lo que cada una de las siguientes gráficas ofrece como información y contesten las preguntas en cada caso.

¿Cuántas millas equivalen a 8 kilómetros?

______________

¿Cuántos kilómetros equivalen a 1 milla?

______________

¿Cuántos kilómetros equivalen a 7 millas?

______________

A que distancia del punto de partida está el tren a las 12:00 hs. ................ __________

¿Cuánto tiempo tarda el tren en recorrer 60 km? .................................. __________

Millas que recorre un automóvil.

km

Millas

1.6

4.8

3.2

8.0

12.8

1 3 6 9

BLO

QU

E 3

Horas

Distancia que recorre el tren.

40

80

100km

160

60

8 8:30 9 9:30 10 10:30 11

Litros

y

x1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

30 60 90 120Kilómetros

y

x

Silla

s de

l sal

ón

Alumnos

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

910

11


BLO

QU

E 3

112

Si los lados de un cuadrado miden 1 cm, su área será 1 cm². Ahora aumenta la medida de los lados del cuadrado a 2,3 y 4 centímetros. Elabora una tabla de valores y gráfica los resultados obtenidos.

El Perímetro de un triángulo se obtiene mediante la fórmula P = (3)(l)P = Perímetro y l = longitud de un lado.

Completa la tabla de valores:

Resuelve lo que se te plantea en seguida:

Contesta lo que se te pide.

¿Varían la medida de los lados del cuadrado y su área de manera directamente proporcional? __

¿Qué pasó con el área del cuadrado al aumentar la medida de sus lados? _________________ ______________________________________________________________________________

La ecuación de esta recta es: ...................................................................... _________________

Longitud de un lado (cm) l = 2 l = 3 l = 4 l = 5

Longitud del perímetro (cm) P = P = P = P =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

24

12

68

10

1416

LADO (cm)

PERÍMETRO (cm)

Traza la gráfica deesta relación

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4

12

68

10

1416


GRÁFICASB

LOQ

UE 3

113

Con uno de tus compañeros, construyan las gráficas de las siguientes ecuaciones lineales, utilicen el mismo plano cartesiano.

Observa las gráficas y contesta lo siguiente:

¿En qué punto se cruzan cada una de las rectas con el eje vertical "y"?

y = 3x + 2 en .... _________ y = 3x - 2 en ... __________

y = 3x - 3 en ..... _________ y = 3x + 3 en .. __________

y = 3x en ........... _________

Completa las tablas de valores.

y = 3x + 2 y = 3x - 2 y = 3x - 3 y = 3x + 3 y = 3x

y = 3x + 2 y = 3x - 2 y =

x y

- 2 - 401

x y x y- 1 01

x y

x y

y = 3(- 2) + 2y = - 6 + 2y = - 4

¿Cómo son entre sí todas las rectas que trazaste? ............. _____________________________

¿En qué son iguales las rectas? .......................................... _____________________________

¿Qué tienen en común todas las ecuaciones? .................... _____________________________

¿Qué es diferente en las ecuaciones? ................................ _____________________________

x

y


3.7Anticipar el comportamiento de

gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de

m permanece constante.

BLO

QU

E 3

114

En pareja con uno de tus compañeros analiza las siguientes gráficas y completen las ecuaciones correspondientes. Las rectas se pueden prolongar para ambos lados.

En el mismo plano cartesiano anterior, gráfica las siguientes funciones:

y = 4 x - 6 y = 4x + 7 y = 4x + 1

y = 4x - 1 y = 4x + 1/2 y = 4x - 4

x y x y

x y

x y

¿Qué nombre reciben este grupo de rectas? _____________________

x y x y


Para la recta 1: Para la recta 2: Para la recta 3: Para la recta 4:

y = x ________ y = x ________ y = x ________ y = x ________

¿Qué es lo que determina los valores de b? __________________________________________

_____________________________________________________________________________

y

42

3

x

1

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

- 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

BLO

QU

E 3

115

poner números

Con otro de tus compañeros, analiza las ecuaciones y anota en el paréntesis, el número 1 a las ecuaciones que sean paralelas, el número 2 a las que sean iguales y el 3 a las que no sean paralelas.

BLO

QU

E 3

La ecuación de una recta es de la forma y = mx + b. Encuentra los valores apropiados de "b" y "m" para que la recta:

a) Pase por el origen y el punto (3, 3) ............................................. _____________________

b) Sea horizontal y que corte el eje "y" en el valor 5 ....................... _____________________

c) Corte el eje "y" en el valor 7 y corte el eje "x" en el valor - 3 ....... _____________________ Traza las gráficas de las ecuaciones que encontraste:

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4

12

6810

1416

x81yx84yx85y)(43x3y

2x3y5x3y)(

22x10y

1x5y)(

1x32y

1x23y)(

32x2y

32x2y)(

3x4y3x5y)(

−−=−=−=

+=

−=+=

−=

−=

−=

−=

+=

−=

−=−=

( )

1x5y2x3y3x8y)(

3x3y3x4y3x5y

3x32y

4x32y)(

32xy

33xy)(

6x3y12x6y)(1x6y5x6y)(

−=+−=+−=

−=−=−=

+=

−=

−=

+=

+=+=−=+=


116

BLO

QU

E 3

En el mismo plano cartesiano y organizados en equipos, construyan las gráficas de las siguientes funciones.y = 3x + 4 y = 5x + 4y = 2x + 4 y = 7x + 4y = x + 4

Asigna valores a la "x" y resuelve para encontrar el valor de "y". Con los resultados se formarán los puntos de las gráficas.

En las ecuaciones anteriores, ¿qué tienen en común? .............................................. __________

¿Qué tienen en común todas las rectas anteriores? ___________________________________

____________________________________________________________________________

Traza la función y = - 2x + 2, en el mismo plano, y expresa las diferencias que encontraste con las primeras, tanto en las rectas como en las ecuaciones. _______________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

012

y = 3x + 4 y = 5x + 4 y = 2x + 4 y = 7x + 4 y = x + 4x yx y x yx y x y

y

-3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


GRÁFICAS3.8Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la

forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

117

BLO

QU

E 3Para la ecuación lineal de la forma de y = mx + b, la pendiente o inclinación de la recta está representada por m; y el intercepto en "y", está representado por b. Se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Escribe en la tabla la pendiente y el intercepto de "y" para las rectas de las siguientes ecuaciones

Traza la gráfica de cada una de las rectas expresadas por las ecuaciones en la tabla anterior.

BLO

QU

E 3

1) y = 3x + 2

2) y = - 4x + 9

3) y = - 2x - 4

4) y = 3x - 4

5) y = x

6) 3x - y = 9

Ecuación lineal Pendiente (m) Intercepto de "y" (b)


y

x1

2

3

4

5

6

7

8

9

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

- 9

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Toda función de primer grado se representa gráficamente por una línea recta y se le llama función lineal y la ecuación correspondiente es una ecuación lineal.

La PENDIENTE o INCLINACIÓN de una recta puede ser positiva, negativa, cero o infinita (no cruza el eje y). La recta con una pendiente positiva está inclinada en un ángulo menor a 90º, en relación con el eje "x", donde el valor de "y" aumenta, al aumentar el de la "x"; o bien, "y" disminuye al disminuir "x". Es lo contrario en una recta con pendiente negativa, donde la recta está inclinada en un ángulo mayor a 90º, donde el valor de "y" disminuye al aumentar el de "x" o a la inversa.La recta horizontal tiene una pendiente de 0. Por lo tanto, el valor de "m" (pendiente) en la ecuación y = mx + b es 0. Entonces la ecuación de una recta horizontal es y = b.La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde "a" es una constante. La pendiente de una recta vertical no esta definida.Una recta que pasa por el origen tiene un intercepto en "y" = 0. Por lo tanto, el valor de "b" en la ecuación y = mx + b, es 0. La ecuación es y = mx

La ecuac ión y = - 4x - 3 es tá expresada de la f o rma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es m = - 4, la "b" = - 3 y el intercepto en "y" es el punto (0, - 3).

La ecuac ión x + y = 4 no es tá expresada de la forma pendiente-intercepto; pero, lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es y = - x + 4.

Encuentra la "b" y los interceptos en "y" de las siguientes ecuaciones:

y = 6x + 3 b = ______ intercepto en y = ____________

y = 5x b = ______ intercepto en y = ____________

4y = 12x - 8 b = ______ intercepto en y = ____________

Escribe el tipo de pendiente que tienen las ecuaciones siguientes:

118

Pendiente (m) positiva,ángulo menor a 90º

y

xb

m = 0, la recta eshorizontal

y

x

Pendiente (m) negativa,ángulo mayor a 90º

y

xb

La recta es vertical,la m es infinita

y

x

BLO

QU

E 3

90º


- 2x + y = 6 ________________________ y = - 2x ______________________

y = - x ________________________ 14 = x + 7y ______________________ 7x - 4 = y ________________________ y = x - 1 ______________________

y = 5 ________________________ x - y = 2 ______________________

y = -3 + 6x ________________________ y = 1/2 + x ______________________


119

BLO

QU

E 3Observa el plano cartesiano y contesta lo que se te pide.

¿Cuál es el intercepto en "y" de la recta 6? ........................................... ____________________

Expresa la ecuación de la recta 3 ........................................................... ____________________

De la recta 2, su ecuación es ................................................................. ____________________

Las rectas 5 y 6, ¿qué tienen en común? .............................................. ____________________

¿Qué tipo de pendiente tienen las rectas 1 y 3? .................................... ____________________

¿Cuál es el valor de "b" en las rectas 3 y 5? .......................................... ____________________

¿Cuál es el tipo de pendiente contraria a la de la recta 3? ..................... ____________________

Expresa la ecuación de la recta 2 . .......................................................... ____________________

¿Cuál es la recta que corta al eje "y" en - 5 y pasa por el punto (- 5, 0)?____________________

La ecuación de la recta 5 es ................................................................. ____________________

1

23

4

5

6

y

x1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

Encuentra la ecuación lineal para cada una de las tablas de valores:

y - 2 - 6 - 8

x - 1 - 3 - 4y 4 7 8

x 1 4 5

___________________ ___________________

Documents

2° BLOQUE 3 GUIA DE EJERCICIOS