制御工学（2, 3系）Control Engineering

担当：福村 直博（3系）Naohiro Fukumura

部屋：F-408電話：0532-44-6884E-Mail: fukumura@cs.tut.ac.jpHP: http://www.bmcs.cs.tut.ac.jp/~fukumura/Control/

制御理論Control theory

• 制御とは：– ある変量をある目的に適合するように対象となっているものに所要の操作を加えること

• 対象＝制御対象– 例：航空機、ロボット、空調、車のエンジン、電力、ハードディスク、化学プロセス、工作機械など

• 目的– ある変量を希望の値（目標値）あるいはある軌道（目標軌道）に近づけること

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• あるシステムに何らかの入力を加えた場合に、どのように出力（変化）するかを予測する

• システムのモデル（数式表現）の推定を含む

f(t)が与えられた時のx(t)の解を求める

ダンパ・質量・ばね系 (spring-mass-damper system)

f(t) = Md2x(t)

dt2+ B

dx(t)

dt+ Kx(t)

物理学Physics

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制御Control

• システムが所望の出力値になるような入力、もしくはその入力の決定方法を求める

x(t)をある位置に静止させるある軌道に沿って移動させる

どのようなf(t)を与えなければならないか

f(t) = Md2x(t)

dt2+ B

dx(t)

dt+ Kx(t)

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ダンパ・質量・ばね系 (spring-mass-damper system)

制御工学Control Engineering

• 物理学(Physics)

– あるシステムにある入力を加えたらどのような出力が得られるか

• 制御工学(Control engineering)

– システムがある与えられた目標値を出力するためにどのような入力が必要か

システムg(x)入力 x 出力 y

入力 x 出力 y

工学においては、後者の問題の方が多い

目標値 yd

システムg(x)

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制御の変量と目的の例Controlled variable and objective

• ロボットアーム(Manipulator)– 手先位置をある位置に移動する– 手先位置を障害物を避ける軌道に沿って移動する

• 同じ問題は例えば移動ロボットにも当てはまる

• 航空機(Airplane)– ある高度を維持する– ある経路を通る

• 電力(electric power)– 電圧を○○[V]にする

• 空調(air conditioner)– 部屋の温度を〇〇度にする

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制御の種類Kinds of control

• サーボ制御(Servo control)：機械的な位置を出力として、それを制御する。希望値の変化に出力を追従させる。追値制御(Variable value control)

• プロセス制御(Process control)：炉内の温度を制御するような場合。希望値は一定。定置制御 (Constant value control)

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制御理論Control theory

• 制御目標には共通性が有する• 制御対象は様々だが、その特性を微分方程式などの数式モデルで表すことによって、一般的な記述が可能

• 制御対象の違いに関わらず、一般的な方法論が成立する＝制御理論

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断面積Aで流量係数（出口抵抗）がRであるタンクにqi(t)だけ水が流入したときの水位h(t)との関係。ただしqo(t)を流出量とする。

水位系のモデルWater level model

より

Adh(t)

dt+

1

Rh(t) = qi(t)

qi(t) � qo(t) = Adh(t)

dth(t) = Rqo(t)

R

qi(t)

qo(t)

h(t)

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機械振動系Mechanical vibration system

バネとダンパでつながれた物体の動きをモデル化

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運動方程式 (Motion equation)

f(t) = Md2x(t)

dt2+ B

dx(t)

dt+ Kx(t)

ダンパ・質量・ばね系 (Spring-mass-damper system)

抵抗、コンデンサ、コイルによる回路システム直列RLC回路 キルヒホッフの電圧則(Kirchhoff's law)

R L ei(t) = Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

1

C

�i(t)dt

eo(t) =1

C

�i(t)dt

ei(t) = LCd2eo(t)

dt2+ RC

deo(t)

dt+ eo(t)

eo(t)ei(t)i(t)

C

電気回路システムElectric circuit system

2次の微分方程式＝ダンパ・質量・バネ系と同じ同じ制御則が使える

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システム（系）System

様々な機能を有する複数の要素が何らかの相互作用で結合されている集合ロボットなどの機械、電気回路だけでなく、社会経済システム、生物システム、情報システムなど

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システムの性質Characteristics of system

• 因果性 (Causality)x(t)=0, t<0である限り出力はt<0ではy(t)=0である

• 入力が0の間は必ず出力は0である• 原因より先に結果が生じない

• 時不変性 (Time-invariance)– 時刻0から、x(t)という入力をシステムに与えたときにy(t)という出力が得られるとき、時刻τからx(t-τ)という入力をシステムに与えたときにはy(t-τ)という出力が得られる

• システムの性質が時間原点の選び方に無関係• 厳密にはなりたたないケースが多い

→成り立つと仮定 12

システムの性質Characteristics of system

• 線形性 (Linearity)入力x1(t)に対する出力をy1(t)、入力x2(t)に対する出力をy2(t)であるとき、任意の実数a,bについてax1(t)+bx2(t)を入力とすると、出力はay1(t)+by2(t)になる

• 重ね合わせの原理• 実際のシステムでは真に線形なシステムはない

→ある範囲に限って線形に近似して考える

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システムの性質Characteristics of system

• これらの３つの条件をもつシステムを扱う– 数学的な取扱が容易– 特に後の２つを合わせて線形時不変システム（linear time-invariant system） LTIシステムと呼ぶ

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閉ループ制御と開ループ制御Closed-loop and open-loop control systems

• 制御とはシステムが所望の出力値になるような入力、もしくはその入力の決定方法を求めること

• 例題：室温制御– ストーブなど

• スイッチを入れれば暖める。一定時間後に停止すると仮定

• 熱量で設定

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ストーブによる室温制御Room temperature control by a heater

• どの程度の熱量(u)で暖めれば温度(T)になるか、事前に調べておく⇒ストーブの熱量（入力u）と室温（出力T）の関係が予測可能

＝システムの特性を表す関数Gがわかる

システムG(u)

入力u 出力 T=G(u)

これをうまく使う方法は？

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ストーブによる室温制御Room temperature control by a heater

システムの特性を表す関数Gの逆関数を用いる

システム入力u 出力 T=G(u)

入力と出力の関係を反転したものを使う

u = G�1(T )出力入力T

G(u)

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y = G(u) = G(G�1(yd)) = yd なので必ず y = yd になる

開ループ制御Open-loop control

対象であるシステムの特性がy=G(u)で表され、u=G−1(y)が存在するならば、それをコントローラとして利用

システムコントローラ

制御量操作量目標値

出力 u=G−1(y)入力 y

開ループ制御 18

開ループ制御Open-Loop Control

• 逆関数の有無に関わらず、あらかじめ計算された入力に従い、システムの出力とは独立した制御

• 信号が一方向 ⇒ フィードフォワード制御 (Feed Forward Control)ともいう

• センサが不要で低コスト• システムの関数G(u)が正確なら、望ましい出力をする入力uの計算が容易

制御対象コントローラ

制御量操作量目標値

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開ループ制御の条件Requirement for open-loop control

• システムの動作特性G(u)が– 完全に把握されていること– 動作中にそれらの特性が変化しないこと

• 外乱(disturbance)が無い– 外乱：システムに加わる、入力以外の操作不能な入力

• システムの特性G(u)が完全に把握されていることはほとんどない

• 外乱が無いという状況もない

制御理論とはこのような条件下で、入力を適切に操作して目標値に近づけるコントローラを設計する理論

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開ループ制御の欠点Defects of open-loop control

• ストーブの例– 目標温度に達しなくても、ストーブがオフになれば終わり。

– 部屋にいる人数などの条件によって、温度変化が変わる可能性（正確な関数を求めることが難しい場合がある）

– 途中で誰かが外へ出るためにドアを開けると、温度が変わり、最終的に適温に達しない（外乱に対して修正動作ができない）

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人が調整するならば、どうするか？How do you control the system?

室温に応じて、ストーブの熱量を調節する。寒く感じれば強くし、暑くなれば弱くしたり止める

暑い？寒い？

手 部屋

皮膚の受容器

ストーブ脳温度Tr

熱量

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自動化するにはHow to automate this process

•現在の温度Trを温度センサで計測•目標温度Tdとの偏差eに応じて熱量を決定

閉ループ制御 (closed loop control)フィードバック制御 (feedback control)

温度センサ

コントローラ+ -設定温度Td

エアコン 23

部屋ストーブ温度Tr熱量偏差e

フィードバック制御 Feedback control閉ループ制御 Open-loop control•制御機能が出力にいくらか依存する特性を有する制御•制御量を測定して、それを目標値と比較して偏差に応じて制御入力を修正

センサ

コントローラ+ -目標値

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制御対象制御量偏差

制御工学Control engineering

フィードバック制御で制御するときのコントローラをどのようにすれば良いか

– なぜフィードバック制御が良いのか– 制御対象やコントローラの数学的な記述方法

• ラプラス変換を利用したシステム表現→古典制御• 状態変数を使ったシステム表現→現代制御

– システムの伝達関数の概念• システムの特性の表示方法

– システムの基本的な要素の性質– システムの安定判別法– 望ましい結果をもたらすコントローラーの設計法

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ブロック線図block diagrams

システムの内部やシステムと環境の間に信号が伝達する。この構造を表現するために図を使う。

– 要素をブロック– 信号（伝わる向き）を矢印で表す。

システムあるいは

要素

入力 出力(応答）

システムの入出力関係

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ブロック線図の基礎Fundamentals of block diagrams

a. 加え合わせ点Summing point

b. 引き出し点Takeoff point

＋±

x1

x2

x1±x2 x

x

x

x

c. 伝達要素Transfer element

Gx

…

Gx

G(jw), G(s)などと表す

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ブロック線図の簡単化Block Diagram Simplification

• 上述のシステムは要素をなるべく簡略化したもの– 実際にはもっと多くの要素が入り組んで構成

• ブロック線図を簡単な形に等価変換することが必要

– 前向き要素をG、フィードバック要素をHと表す– 入力xに対してGx, Hxを出力

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G1±G2x y

G2x

G1

（１）縦続結合Associative and commutative properties

G1・G2

（２）並列結合Blocks in parallel

±G2

G1

y x y

x y+

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（３）フィードバック結合Feedback loop

H

G＋x ye x y

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（４）重ね合わせ点の移動Displacement of summing point

＋± GG

＋

±

31

（５）引き出し点の移動Displacement of takeoff point

G G

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例題Example

＋−

移動で影響するブロックの出力が等しくなることを確認する

＋＋

G3

G2 G1

（制御工学 例題4-4）33

例題

＋−

＋＋

G3

G2 G1

重ね合わせ点の移動

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X Y

G2(X � Y )

例題

＋＋

G3

G2 G1

G2

＋−

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X Y

G2X � G2Y = G2(X � Y )

G2(X � Y ) + G3X

G =G1 (G2 + G3)

1 + G1G2

例題

G3

G2 G1

G2

＋−

＋＋

G2 + G3 G1

1 + G1G2

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G2(X � Y ) + G3X

E = X � Y

Y = G1 (G2E + G3X)

例題式変形版Alternative solution

中間の適当な信号に一時的な記号（E）をつけて、各ブロックの入出力を順に求める

＋−

＋＋

G3

G2 G1

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G =G1 (G2 + G3)

1 + G1G2

例題式変形版

E を消去して整理する

E = X � Y

Y = G1 {G2E + G3X}

Y = G1 {G2 (X � Y ) + G3X}(1 + G1G2) Y = G1 {G2 + G3} X

Y =G1 {G2 + G3}

1 + G1G2X

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