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josh2002
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2.2 Gravitationsmodelle
1
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (22) )
Stdte als Gravitationszentren am Beispiel der Penderstrme
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (33) )
Gravitationsmodell: Fragestellung
o Wovon hngt die Intensitt ab, mit der zwei oder mehr rumliche Einheiten (Regionen, Stdte) interagieren?
o Lsst sich in Analogie zur Gravitationstheorie von Newton ein konomischer Ansatz formulieren? Welche Modifikationen sind dabei erforderlich?
o Gibt es eine mikrotheoretische Fundierung des Gravitationsmodells?
o Wie ist das Modell empirisch nutzbar?
o Wovon hngt die Intensitt ab, mit der zwei oder mehr rumliche Einheiten (Regionen, Stdte) interagieren?
o Lsst sich in Analogie zur Gravitationstheorie von Newton ein konomischer Ansatz formulieren? Welche Modifikationen sind dabei erforderlich?
o Gibt es eine mikrotheoretische Fundierung des Gravitationsmodells?
o Wie ist das Modell empirisch nutzbar?
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (44) )
Newtons Gravitationslehre
Die Anziehungskraft aij, die zwischen Himmelskrpern mit Masse mi und mj wirkt, bestimmt sich als
wobei dij die Entfernung zwischen mi und mj bezeichnet.
Die Anziehungskraft ist also proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung; der Proportionalittsfaktor ? ist eine Naturkonstante
2,ij i j ija m m d=
Die Anziehungskraft aij, die zwischen Himmelskrpern mit Masse mi und mj wirkt, bestimmt sich als
wobei dij die Entfernung zwischen mi und mj bezeichnet.
Die Anziehungskraft ist also proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung; der Proportionalittsfaktor ? ist eine Naturkonstante
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (55) )
Die regionalkonomische Analogie:
o der Anziehungskraft in der Gravitationslehre entsprechen in der Regionalkonomie Stromgren (z.B. Handels-, Transport-, Pendlerstrme)
o der Masse der Himmelskrper entspricht ein Ma fr die Bedeutung von Ursprungs- und Zielregion (z.B. Summe der ein- oder ausgehenden Strme);
o der physikalischen Entfernung entspricht ein Ma fr die konomische Entfernung, die neben der Distanz auch die Leichtigkeit der Entfernungsberbrckung einschlieen kann
o der Anziehungskraft in der Gravitationslehre entsprechen in der Regionalkonomie Stromgren (z.B. Handels-, Transport-, Pendlerstrme)
o der Masse der Himmelskrper entspricht ein Ma fr die Bedeutung von Ursprungs- und Zielregion (z.B. Summe der ein- oder ausgehenden Strme);
o der physikalischen Entfernung entspricht ein Ma fr die konomische Entfernung, die neben der Distanz auch die Leichtigkeit der Entfernungsberbrckung einschlieen kann
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (66) )
Modifikationen:
Es gibt keinen Grund, die genaue funktionale Form des Gravitationsgesetzes auf die Regionalkonomie zu bertragen; z.B.:
o warum sollten z.B. die Stromgren zwischen konomischen Einheiten gerade mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen? Sinnvoller ist eine allgemeinere Formulierung der Distanzabhngigkeit ber eine Entfernungsabschreckungsfunktion:
f(dij) mit f < 0;
Es gibt keinen Grund, die genaue funktionale Form des Gravitationsgesetzes auf die Regionalkonomie zu bertragen; z.B.:
o warum sollten z.B. die Stromgren zwischen konomischen Einheiten gerade mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen? Sinnvoller ist eine allgemeinere Formulierung der Distanzabhngigkeit ber eine Entfernungsabschreckungsfunktion:
f(dij) mit f < 0;
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (77) )
Das Gravitationsmodell in der Regionalkonomie:
( )
: Summe der in entstehenden Strme
: Summe der in eintreffenden Strme
:Entfernung zwischen und
, , : unbekannte Parameter des Modells
( ) : Entfernungsabschreckungsfunk
ij i j ij
i
j
ij
ij
t u z f d
u i
z j
d i j
f d
=
tion
( )
: Summe der in entstehenden Strme
: Summe der in eintreffenden Strme
:Entfernung zwischen und
, , : unbekannte Parameter des Modells
( ) : Entfernungsabschreckungsfunk
ij i j ij
i
j
ij
ij
t u z f d
u i
z j
d i j
f d
=
tion
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (88) )
Das Gravitationsmodell in der Regionalkonomie:
Mgliche spezielle Modellierung:
: Summe der in entstehenden Strme
: Summe der in eintreffenden Strme
:Entfernung zwischen und
, , , : unbekannte Parameter de
ij i j ij
i
j
ij
t u z d
u i
z j
d i j
=
s Modells
( ) : spezielle Entfernungs-
abschreckungsfunktionij ijf d d
=
Mgliche spezielle Modellierung:
: Summe der in entstehenden Strme
: Summe der in eintreffenden Strme
:Entfernung zwischen und
, , , : unbekannte Parameter de
ij i j ij
i
j
ij
t u z d
u i
z j
d i j
=
s Modells
( ) : spezielle Entfernungs-
abschreckungsfunktionij ijf d d
=
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (99) )
Ursprungs-/Zielmatrix:
Strme zwischen Ursprungs- und Zielregion
Ziel Ursprung R1 R2 ... Rn
R1 t11 t12 ... t1n u1
R2 t21 t22 ... t2n u2
Rn tn1 tn2 ... tnn un
z1 z2 ... zn
Strme zwischen Ursprungs- und Zielregion
Ziel
Ursprung R1 R2 ... Rn
R1 t11 t12 ... t1n u1
R2 t21 t22 ... t2n u2
M M M M M
Rn tn1 tn2 ... tnn un
z1 z2 ... zn
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1010) )
Distanzmatrix:
Ziel
Ursprung R1 R2 ... Rn
R1 d11 d12 ... d1n
R2 d21 d22 ... d2n
Rn dn1 dn2 ... dnn
Ziel
Ursprung R1 R2 ... Rn
R1 d11 d12 ... d1n
R2 d21 d22 ... d2n
M M M M
Rn dn1 dn2 ... dnn
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1111) )
Transformation des Modells in einen Regressionsansatz
Es liegen Beobachtungen fr die
sowie die vor;
Es soll der Ansatz
(1)
verwendet werden;
Wie lasse
Annahme:
Frage:n sich die unbekannten Parameter de
ij
ij
ij i j ij
t
d
t u z d =
Antwort:
s Modells (d.h.: , , , ) bestimmen?
Mit Hilfe der Regressionsanalyse!
Es liegen Beobachtungen fr die
sowie die vor;
Es soll der Ansatz
(1)
verwendet werden;
Wie lasse
Annahme:
Frage:n sich die unbekannten Parameter de
ij
ij
ij i j ij
t
d
t u z d =
Antwort:
s Modells (d.h.: , , , ) bestimmen?
Mit Hilfe der Regressionsanalyse!
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1212) )
Transformation des Modells in einen Regressionsansatz
0 1 2 2
2
... (2)
: abhngige Variable (Regressand)
: erklrende Variablen (Regr
Modell der Regre
essoren)
: st
ssionsanalyse:
Problem
ochastische Strung
mit E
:
( ) 0, var( )
W
i i k k i
i
i
i
i i
y x x x
y
x
= + + + + +
= =
ie kann das Gravitationsmodell in den Regressionsansatz berfhrt werden?
0 1 2 2
2
... (2)
: abhngige Variable (Regressand)
: erklrende Variablen (Regr
Modell der Regre
essoren)
: st
ssionsanalyse:
Problem
ochastische Strung
mit E
:
( ) 0, var( )
W
i i k k i
i
i
i
i i
y x x x
y
x
= + + + + +
= =
ie kann das Gravitationsmodell in den Regressionsansatz berfhrt werden?
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1313) )
Transformation des Modells in einen Regressionsansatz
1. Linearisierung durch Logarithmier
(1)
ln ln ln ln ln
ln ln
ung:
2. Hinzufgen eines Strterms:
3. Re-Parametrisie
ln ln ln
ij i j ij
ij i j ij
ij iji j ij
t u z d
t u z d
t u z d
=
= + +
= + + +
1 2 3 4
1 2 3 4
ln ln ln ln
mit : ln , : ,
r
: , : .
:ung
ij iji j ijt u z d = + + + +
= = = =
1. Linearisierung durch Logarithmier
(1)
ln ln ln ln ln
ln ln
ung:
2. Hinzufgen eines Strterms:
3. Re-Parametrisie
ln ln ln
ij i j ij
ij i j ij
ij iji j ij
t u z d
t u z d
t u z d
=
= + +
= + + +
1 2 3 4
1 2 3 4
ln ln ln ln
mit : ln , : ,
r
: , : .
:ung
ij iji j ijt u z d = + + + +
= = = =
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1414) )
Transformation des Modells in einen Regressionsansatz
( )( )
1 2 3 4
1 2
Regressionsmodell in
wobei hier : , , ,
vec ln : ln ',ln ', , ln '
:
Vektor- /Matrixs
te Spalte der Ursprungs-/ Zielmatrix
: Matrix der Reg
chreibweise:
ress
ni
= +
=
= =
i
y X? ??
y T t t t
t
X
L
oren besteht aus 4 Spalten:
Spalte 1: Vektor von EinsenSpalte 4: vektorisierte und logarithmierte DistanzmatrixSpalten 2 und 3 enthalten logarithmierte Werte von und i ju z
X
( )( )
1 2 3 4
1 2
Regressionsmodell in
wobei hier : , , ,
vec ln : ln ',ln ', , ln '
:
Vektor- /Matrixs
te Spalte der Ursprungs-/ Zielmatrix
: Matrix der Reg
chreibweise:
ress
ni
= +
=
= =
i
y X? ??
y T t t t
t
X
L
oren besteht aus 4 Spalten:
Spalte 1: Vektor von EinsenSpalte 4: vektorisierte und logarithmierte DistanzmatrixSpalten 2 und 3 enthalten logarithmierte Werte von und i ju z
X
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1515) )
Transformation des Modells in einen Regressionsansatz (ohne tii )
21 2 1 21
31 3 1 31
41 4 1 41
12 1 2 12
32 3 2 32
42 4 2 42
13 1
23
43
14
24
34
ln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln ln
: ; :ln 1 ln lnlnlnlnlnln
t u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt uttttt
= =
y X
21
31
41
12
32
42
3 13 13
2 3 23 23
4 3 43 43
1 4 14 14
2 4 24 24
3 4 34 34
; : ;ln
1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln
z du z du z du z du z du z d
=
?1
2
3
4
:=
?
21 2 1 21
31 3 1 31
41 4 1 41
12 1 2 12
32 3 2 32
42 4 2 42
13 1
23
43
14
24
34
ln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln ln
: ; :ln 1 ln lnlnlnlnlnln
t u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt uttttt
= =
y X
21
31
41
12
32
42
3 13 13
2 3 23 23
4 3 43 43
1 4 14 14
2 4 24 24
3 4 34 34
; : ;ln
1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln
z du z du z du z du z du z d
=
?1
2
3
4
:=
?
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1616) )
Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998
Exports from Germany GDP Distance to Germany
1 France 60.3 1,427 809
2 United States 51.1 8,230 7,836
3 United Kingdom 46.3 1,357 876
4 Italy 40.1 1,172 963
5 Netherlands 38.1 382 349
6 Belgium# 30.9 248 425
7 Austria 29.5 212 482
8 Switzerland 24.3 264 468
9 Spain 21.9 553 1,632
10 Poland 13.7 159 632
11 Sweden 12.5 226 1,259
12 Czech Republic 10.7 56 404
13 Japan 10.4 3,783 9,085
14 Denmark 9.4 175 556
15 Hungary 8.7 48 853
* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.
Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998
Exports from Germany GDP Distance to Germany
1 France 60.3 1,427 809
2 United States 51.1 8,230 7,836
3 United Kingdom 46.3 1,357 876
4 Italy 40.1 1,172 963
5 Netherlands 38.1 382 349
6 Belgium# 30.9 248 425
7 Austria 29.5 212 482
8 Switzerland 24.3 264 468
9 Spain 21.9 553 1,632
10 Poland 13.7 159 632
11 Sweden 12.5 226 1,259
12 Czech Republic 10.7 56 404
13 Japan 10.4 3,783 9,085
14 Denmark 9.4 175 556
15 Hungary 8.7 48 853
* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1717) )
Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998
Exports from Germany GDP Distance to Germany
1 France 60.3 1,427 809
2 United States 51.1 8,230 7,836
3 United Kingdom 46.3 1,357 876
4 Italy 40.1 1,172 963
5 Netherlands 38.1 382 349
6 Belgium# 30.9 248 425
7 Austria 29.5 212 482
8 Switzerland 24.3 264 468
9 Spain 21.9 553 1,632
10 Poland 13.7 159 632
11 Sweden 12.5 226 1,259
12 Czech Republic 10.7 56 404
13 Japan 10.4 3,783 9,085
14 Denmark 9.4 175 556
15 Hungary 8.7 48 853
* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.
Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998
Exports from Germany GDP Distance to Germany
1 France 60.3 1,427 809
2 United States 51.1 8,230 7,836
3 United Kingdom 46.3 1,357 876
4 Italy 40.1 1,172 963
5 Netherlands 38.1 382 349
6 Belgium# 30.9 248 425
7 Austria 29.5 212 482
8 Switzerland 24.3 264 468
9 Spain 21.9 553 1,632
10 Poland 13.7 159 632
11 Sweden 12.5 226 1,259
12 Czech Republic 10.7 56 404
13 Japan 10.4 3,783 9,085
14 Denmark 9.4 175 556
15 Hungary 8.7 48 853
* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.
Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998
Exports from Germany GDP Distance to Germany
1 France 60.3 1,427 809
2 United States 51.1 8,230 7,836
3 United Kingdom 46.3 1,357 876
4 Italy 40.1 1,172 963
5 Netherlands 38.1 382 349
6 Belgium# 30.9 248 425
7 Austria 29.5 212 482
8 Switzerland 24.3 264 468
9 Spain 21.9 553 1,632
10 Poland 13.7 159 632
11 Sweden 12.5 226 1,259
12 Czech Republic 10.7 56 404
13 Japan 10.4 3,783 9,085
14 Denmark 9.4 175 556
15 Hungary 8.7 48 853
* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1818) )
Figure 1.7 German exports and distance, 1998 monthly average
Panel a. German exports
y = -1.4172x + 15.07R2 = 0.2534
-4
-2
0
2
4
6
8
10
5 6 7 8 9 10 11
ln distance
ln e
xpo
rt
Panel b. German exports, income-adjusted
y = -0.8229x - 0.9695R2 = 0.5214
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
06 7 8 9 10 11
ln distance
ln a
dju
sted
exp
ort
s
Figure 1.7 German exports and distance, 1998 monthly average
Panel a. German exports
y = -1.4172x + 15.07R2 = 0.2534
-4
-2
0
2
4
6
8
10
5 6 7 8 9 10 11
ln distance
ln e
xpo
rt
Panel b. German exports, income-adjusted
y = -0.8229x - 0.9695R2 = 0.5214
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
06 7 8 9 10 11
ln distance
ln a
dju
sted
exp
ort
s
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (1919) )
Germanys largest export markets
country GDP 98 million US $ Distance to Germany Export from Germany 1998 million US $1 France 1426967 809 50252 United States 8230397 7836 42603 United Kingdom 1357197 876 38564 Italy 1171865 963 33435 Netherlands 381819 349 31716 Belgium 248184 425 25757 Austria 211858 482 24568 Switzerland 263630 468 20279 Spain 553230 1632 1826
10 Poland 158574 632 1145
Gravity equation
-10
-8
-6
-4
5 10
ln(distance)
ln(e
xpor
t)-1
.033
*ln(
GD
P)
Japan
Belgium
Holland
Czech R. Austria
Switz.country GDP 98 million US $ Distance to Germany Export from Germany 1998 million US $
1 France 1426967 809 50252 United States 8230397 7836 42603 United Kingdom 1357197 876 38564 Italy 1171865 963 33435 Netherlands 381819 349 31716 Belgium 248184 425 25757 Austria 211858 482 24568 Switzerland 263630 468 20279 Spain 553230 1632 1826
10 Poland 158574 632 1145
-10
-8
-6
-4
5 10
ln(distance)
ln(e
xpor
t)-1
.033
*ln(
GD
P)
Japan
Belgium
Holland
Czech R. Austria
Switz.
926.0
ln(869.0)ln(033.1281.0)ln()77.12()86.34()40.0(
=
+=
2
iii
R
)distanceGDPexport
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2020) )
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2121) ) MZ 05.11.02
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2222) )
Beschftigte durch Ansssige und Einpendler (Stadt und Landkreis Regensburg
3230020200
59500
11300
0
20000
40000
60000
80000
100000
Stadt Landkreis
Einpendler
AnsssigeBeschftigte
3230020200
59500
11300
0
20000
40000
60000
80000
100000
Stadt Landkreis
Einpendler
AnsssigeBeschftigte
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2323) )
Beschftigte durch Ansssige und Einpendler (Stadt und Landkreis Regensburg
32300
20100
1100043300
0
20000
40000
60000
80000
Stadt Landkreis
Auspendler
Arbeitsplatz am Ort
32300
20100
1100043300
0
20000
40000
60000
80000
Stadt Landkreis
Auspendler
Arbeitsplatz am Ort
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2424) )
Pendlersalden nach rumlicher Struktur
2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2525) )
Pendlersalden in deutschen Regionen 2005