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1rJEltMIA§ JFIPlACC1rJICC([J)§ DE MEDIO FISICO APLICADOS
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JOSE JUAN MIGUEL MORELL
© José Fariña Tojo - Juan Miguel Morell Fuentes Edita: Departamento de Publicaciones E.T.S.A.M. I.S.B.N.: 84-87130-03-8 Dep. Leg.: M-7231-1991 Imprime: Folio,S.L.
C/ San Eugenio, 8 MADRID-28012
Recogemos a continuación una colección de ejercicios que aparecieron en algunas de nuestras publicaciones anteriores y, además, una serie de temas nuevos que estimamos de interés. En realidad esta recopilación de prácticas es el complemento más adecuado del curso "Clima, Territorio y Urbanismo", editado por el Departamento de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Madrid y dirigido a los estudiantes de Urbanismo.
El contenido de esta publicación la hemos organizado en un total de 24 temas prácticos que se refieren fundamentalmente a cuestiones de topografta y clima. Con objeto de hacer expUcitos en la medida de lo posible los objetivos pretendidos en cada uno, todos ellos están precedidos por un resumen de las cuestiones más importantes planteadas en los mismos. Recomendamos que el lector intente resolver con el mayor interés posible todos y cada uno de los ejercicios antes de comprobar las soluciones que, además, en algunos casos, no son únicas.
Se observará que los casos prácticos constituyen una simplificación de casos reales. Hemos.preferido presentar de esta forma los temas, en lugar de propuestas más complejas, por motivos didácticos. Desde este punto de vista consideramos tan importantes como las soluciones finales, numéricas o gráficas, los comentarios que se incluyen. También hay que hacer una advenencia respecto a las escalas. Por motivos de composición y adaptación del material a un formato manejable es posible que, en determinados casos, las escalas numéricas referidas en el texto no se correspondan con los dibujos. Para obviar en parte el problema se han incluido escalas gráficas en todo el material considerado conflictivo.
Como ya dijimos en alguna publicación anterior pretendemos que las páginas que siguen reflejen nuestra intención, que no es más que la de facilitar la labor del alumno. Y también, si ello es posible, contribuir a la delimitación de contenidos y objetivos de una asignatura tan dificil de estructurar como es la de "Introducción a la Urbanística".
Madrid, Enero de 1991
El estadiHo adjunto corresponde al trabajo de campo para el levantamiento de una parcela por radiación. El valor de la constante estadimétrica del aparato era 100 y los limbos estaban divididos en grados centesimales. Se pide:
1° .-Completar el estadiHo realizando los cálculos necesarios. 2° .-Dibujar la parcela a escala 1:1.000 3° .-Determinar su superficie, a ser posible analíticamente, expresándola en
metros cuadrados, hectáreas y pies cuadrados castellanos.
PUNTO PUNTO ANGULO ANGULO g DISTANCIA ALTURAS ESTACION VISADO LECTURA HILOS CENITAL ACIMUTAL REDUCIDA RELATIVAS
1 A 196/157 /118 87,17 36,67
B 200/157 /114 95,83 87,33
e 202/157 /112 103,17 160,17
D 205/157 /109 100,00 231,00
E 201/157 /113 92,17 286,67
F 203/157 /111 102,00 340,33
1.-Para completar el estadillo necesitamos calcular los números generadores, las distancias reducidas y las diferencias de alturas. ·
Número generador (para el punto A)
g = k*l = 100(196-118) = 100*78 = 7800 cm = 78 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Página 5
Distancia reducida (para el punto A)
d = g*sen2z = 78*sen2(87,17) = 74,87 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Alturas relativas
(para el punto A respecto al estación) H1A = d*cot(z)+i-c = d*tg(lOO-z)+i-c = 74,87*tg(100~87,17) = 15,30 m
(para el punto B respecto al estación) H2A = 85,63*tg(100-95,83) = 5,64
Análogamente se haría para los demás puntos.
No ha sido necesario utilizar el valor de i =altura del aparato, ya que al ser una radiación dicho valor es, lógicamente, igual para todos los puntos. Algo análogo, en este caso particular, sucede con el valor de e que, como se observa en el estadillo, es siempre de 157 cm. Por tanto hemos prescindido sin más de ambos valores. Otra cosa diferente sería si utilizásemos cotas absolutas.
PUNTO PUNTO LECTURA HILOS
ANGULO ANGULO g DISTANCIA ALTURAS ESTACION VISADO CENITAL ACIMUTAL REDUCIDA RELATIVAS
1 A 196/157 /118 87,17 36,67 78 74,87 +15,30
B 200 /157 /114 95,83 87,33 86 85,63 +5,62
e 202/157 /112 103,17 160,17 90 89,78 -4,47
D 205/157 /109 100,00 231,00 96 96,00 0,00
E 201/157 /113 92,17 286,67 88 86,68 +10,72
F 203/157 /111 102,00 340,33 92 91,91 -2,89
2.-Para dibujar la parcela necesitamos en primer lugar situar el punto estación. Dado que se trata de una radiación sin referencias a otros puntos en el plano de representación elegiremos un punto cualquiera en el centro de la hoja. A partir del Norte y en el sentido de las agujas del reloj vamos tomando los ángulos y las distancias (a la escala adecuada) hasta tener situados todos los puntos.
3. -Para superficiar el terreno, y dado que conocemos la longitud de los lados y el ángulo comprendido, el área de cada triángulo será:
Página 6
SAa = [(74,87 .85,63)/2]*sen(87 ,33-36,67) = 2290,05 m2
S8c = [(85,63.89,78)/2]*sen(160,17-87,33) = 3499,38 m2
Seo = [(89,78.96,00)/2]*sen(231,00-160,17) = 3864,92 m2
S08 = [(96,00.86,68)/2]*sen(286,67-231,00) = 3192,04 m2
S8F = [(86,68.91,91)/2]*sen(340,33-286,67) = 2973,87 m2
SFA = [(91,91.74,87)/2]*sen(400+36,67-340,33) = 3434,97 m2
Y la superficie total ser igual a la suma de las parciales:
S = 2290,05+3499,38+3864,92+3192,04+2973,87+3434,97 = 19.255,2 m2
La conversión en hectáreas y pies cuadrados castellanos:
S = 19.255,2/10.000 = 1,92552 Ha S = 19.255,2*12,88 = 248.004,4 pies cuadrados castellanos.
1A =
91,91 N
86,68
O 10 20 30m
1C 89,78
Página 7
Se ha realizado el levantamiento topográfico de una parcela mediante un itinerario, que partiendo del lindero con la' calle (punto 1[250;250;617,6]) ha recorrido su perímetro hasta cerrarlo en el otro límite con la calle (punto 7).
125 150 175 200 225 250 275
o 20 40 60m
Los datos de campo se han reflejado en la hoja de libreta adjunta, que deberá completarse, sabiendo que el valor de la constante estadimétrica k = 100 y los ángulos son centesimales. Representar la parcela con curvas de nivel de metro en metro y calcular su superficie mediante la fórmula de Gauss.
Página 9
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o
1 2 186/157 /128 95,95 270,10
i=162
2 3 170 /150 /150 97,32 331,88
i=165
3 4 184/163/142 95,27 263,42
i=160
4 5 171/159,5/148 96,34 332,03
i=161
5 6 176 /157 /138 104,05 35,71
i=164
6 7 194/161/128 106,12 62,15
i=161
1. -Para completar los datos de la hoja de la libreta necesitamos calcular los números generadores, distancias reducidas y coordenadas.
Número generador (Para el punto 2 desde 1)
g = k*l = 100(186-128) = 5800 cm = 58 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Distancia reducida (Entre 1 y 2)
d = g*sen2z = 58*sen2(95,95g) = 57,77 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Coordenadas x e y parciales
(Del punto 2 respecto del 1) x = d*sen(acimut) = 57,77*sen(270,1~) = -51,51 m y = d*cos(acimut) = 57,77*cos(270,1~) = -26,15 m
(Del punto 3 respecto del 2) x = d*sen(acimut) = 19,96*sen(331,88g) = -17,51 m y = d*cos(acimut) = 19,96*cos(331,88g) = 9,58 m
Análogamente se haría para los demás puntos.
Página 10
Coordenadas X e Y totales (Respecto del 1[250,250])
(Del punto 2) X = 250+ (-51,51) = 198,48 m Y = 250+(-26,15) = 223,85 m
(Del punto 3) X= 198,48+(-17,51) = 180,98 m Y = 223,85+( 9,58) = 233,43 m
Análogamente se haría para los demás puntos.
Coordenada z parcial
(Del punto 2 respecto del 1) z = d*cot(z)+i-c = 57,77*cot(95,95g)+ 1,62-1,57 = 57,77*tg(100g-95,95g)+ 1,62-1,57 = 3,73 m
(Del punto 3 respecto del 2) z = d*cot(z)+i-c = 19,96*cot(97,32g)+l,65-1,50 = 19,96*tg(100g-97,32g)+l,65-1,50 = 0,99 m
Análogamente se haría para.los demás puntos.
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1 2 186 /157 /128 95,95 270,10 58 57,77 198,49 223,85 621,33
i=162
2 3 170/150/150 97,32 331,88 20 19,96 180,98 233,43 622,32
i=165
3 4 184/163/142 95,27 263,42 42 41,77 145,92 210,73 625,40
i=160
4 5 171/159,5 /148 96,34 332,03 23 22,92 125,84 221,78 626,73
i=161
5 6 176/157 /138 104,05 35,71 38 37,85 145,98 253,83 624,39
i=164
6 7 194/161/128 106,12 62,15 66 65,39 200,15 290,46 618,08
i=161
Página 11
Coordenada Z total (Respecto del 1 [617 ,60])
(Del punto 2) Z = 617,60+(3,73) = 621,33 m
(Del punto 3) Z = 621,33+(0,99) = 622,32 m
Análogamente se haría para los demás puntos:
2.-Para calcular la superficie, una vez conocidas las coordenadas de cada uno de los vértices, se aplica la fórmula de Gauss:
X1(Y1-Y2) = 250,00(290,46-223,85) = + 16.652,50 xiYcY3) = 198,49(250,00-233,43) = + 3.288,98 xly2-y4) = 180,98(223,85-210,73) = + 2.374,46 xly3-y5) = 145,92(233,43-221,78) = + 1.699,97 X5(y4-y6) = 125,84(210, 73-253,83) = -5.423, 70 x6(y5-y7) = 145,98(221,78-290,46) = -10.025,91 xiy6-y1) = 200,15(253,83-250,00) = + 766,57
LA SUMA + 9.332,87 S=9.332,87/2 = 4.666,44 m2
3. -El dibujo de la parcela es bastante sencillo ya que conocemos las coordenadas de los vértices. Para dibujar las curvas de nivel, dado que solo contamos con las cotas de los vértices, habrá que graduar los linderos suponiendo una distribución lineal de las curvas, tal y como se indica en la figura que sigue. Existen diversos métodos para hacerlo, unos puramente gráficos y otros analíticos, pero en definitiva se basan en lo mismo: establecer las correspondientes proporciones. El que se incluye es de tipo mixto. Se supone colocado el dibujante en el punto de cota más baja de los dos que constituyen el lindero a graduar. Se dibuja una recta cualquiera que parta del mismo y se van tomando (por ejemplo en centímetros):
1 º.-El número que falta en la fracción para llegar al entero. Por ejemplo, si la cota es de 789 ,34 habrá que señalar sobre la recta, desde el vértice, una distancia de
1-0,34 = 0,66.
2 º.-Luego de metro en metro (es decir de centímetro en centímetro ya que hemos tomado el centímetro con unidad} se van haciendo una serie de señales sobre la recta a distintos intervalos: 1,66 2,66 3,66 4,66 hasta que sobrepasemos la diferencia entre las cotas de los dos vértices. Por ejemplo, si el otro vértice está a 792,45, 792,45-789,34 = 3,11, las medidas a tomar serían:
0,66 - 1,66 - 2,66 - 3,11
3 º.-Por último, sin más que unir este último punto y trazar las correspondientes paralelas tendremos graduado el lindero.
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Para determinar la altura de una antena instalada en lo alto de una torre se han efectuado, desde dos puntos A y las siguientes lecturas angulares:
PUNTO ESTACION PUNTO OBSERVADO ACIMUT CENIT
A C(base antena) 84,4041g 71,2481g
A C( vertice antena) 84,4041g 59,9557g
A B 142,9553g
B C(base antena) 387,4334g 76,2036g
B C( vertice antena) 387,4334g 66,1440g
B A 342,9553g
Los puntos de estación A y B se encuentran al mismo nivel.
1° .-Calcular las coordenadas del punto C (antena), sabiendo que las del A son [50;200] y las del B [175;100], dibujando los puntos a escala 1:1.000 en la posición vertical del folio, con dirección Norte la longitud mayor del papel.
2 ° .-Determinar la distancia entre los puntos A y B, y de cada uno de ellos a la proyección vertical de la antena (punto C), es decir, A-C y
3º .-Hallar la altura antena, y· la de la torre que la sustenta, referidas al plano de nivel de las estaciones.
4° .-Calcular la superficie encerrada por las alineaciones entre los tres puntos, aplicando la fórmula Gauss y expresando el valor en Ha, a, y ca.
Página 15
1.-Primero dibujamos los puntos para obtener su posición relativa, y posteriormente calcular las coordenadas de C. Para ello, con los valores de A y B, y con los acimutes de AC y de BC resolvemos la correspondiente intersección directa.
C? DETERMINEMOS LOS TRES ANGULOS INTERIORES DEL TRIANGULO A-B-C:
84,4041
A (50,200)
()( = 142,9553-84,4041 = 58,5512
{1 387,4334-342,9553 = 44,4781
B (175,100)
387,4334 )
200-58,5512-44,4781 = 96,9707
Las distancias entre puntos se obtienen del teorema del seno, al conocer los tres ángulos y la distancia AB por sus coordenadas.
AB = V[(175-50)2+(100-200)2 = v25625 = 160,0781 m
AB/senr = BC/sena = AC/sen.6
luego BC = (AB*sena)/seny= 127,4755 m AC = (AB*sen.6)/senr= 103,0777 m
Trabajamos con cuatro decimales para evitar errores en los siguientes cálculos que se apoyan en estos resultados.
2.-Como método de precisión que es la intersección directa calculamos las coordenadas de C por las dos posibilidades que tenemos, por AC y por BC, y fijamos su media.
Desde A:
Desde B:
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X1c = A0 *senoAc = 103,0777*sen(84,4041) = 100,00004 Y1c = Ac *cosoAc = 103,0777*cos(84,4041) = 25,00013
x2c = B/senoec = 127 ,4755*sen(387,4334) = -25,00003 Y2c = B0 *cosoec = 127 ,4755*cos(387 ,4334) = 125;0005
A X0 =XA +xlc=50+ 100 = 150 Y0 =YA +ylc=200+25 = 225
B X0 =XB+x2c= 175-25 = 150 Y0 =YB+y2c= 100+ 125 = 225
3. -Al estar A y B al mismo nivel tenemos un plano horizontal que será nuestra referencia de alturas. Del mismo modo que para el caso de las coordenadas, calcularemos las alturas pro A y por B, tomando el valor medio. El esquema de los ángulos cenitales es el siguiente:
A
Desde A:
Desde B:
ctg <I> v = VERTICE-C/ A-C
VERTICE-C = A-C/tg <I> v
ctg <I> B = BASE-e/ A-C
BASE-e = A-C/tg <I> B
altura vértice = 103,0777 /tg(59,9557) = 74,99998 m altura base = 103,0777/tg(71,2481) = 50,00008 m
altura vértice = 127,4755/tg(66,1440) = 75,000015 m altura base = 127 ,4755/tg(76,2036) = 50,00014 m
Resultan, por tanto, los valores siguientes:
Altura de la torre Altura de la antena Altura total
50,00 m 25,00 m 75,00 m
4.-Conocidas las coordenadas de A, By C la resolución por Gauss no presenta más problemas que la sustitución de valores y la realización concreta de las operaciones correspondientes:
AB BC CA
-[(100+200)/2]*(175-50) = -18.750 -[(225+100)/2]*(150-175) = -4.062,5 -[(200+ 225)/2]*(50-150) = 21.250
TOTAL. ............ 6.562,5
Tomamos el valor absoluto (6.562,5) que será la superficie encerrada en metros cuadrados. Dividiendo por 10.000, por 100 y 1 tendremos los valores:
0,66 Ha = 65,63 a =. 6.562 ca
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Se ha efectuado la nivelación geométrica de un polígono cerrado A-B-C-D. Los datos campo, obtenidos con un nivel y mira en centímetros son los que figuran en la libreta nivelación que se adjunta. La altitud punto A es de 412,397 metros. Deberá completarse la libreta y calcular las altitudes de los puntos C, D y nuevamente de A para comprobar si hay error.
PUNTO PUNTO LECTURAS DE MIRA DIFERENCIAS DE NIVEL
ALTITUDES ESTACION OBSERVADO ESPALDA FRENTE POSITIVAS NEGATIVAS
A 142,7 1
B 112,4
B 198,4 2
e 124,5
e 63,5 3
D 184,7
D 132,6 4
A 115,6
Las diferencias de nivel se hallarán simplemente como diferencias entre las lecturas de espalda y de frente de tal forma que serán:
ZAa = 142,7-112,4 = 30,3 = 0,303 m Zac = 198,4-124,5 = 73,9 = 0,739 m Zco = 63,5-184,7 = -121,2 = -1,212 m ZoA = 132,6-115,6 = 17,0 = 0,170 m·
Con lo que la hoja de la libreta quedará, colocando las diferencias de nivel y las altitudes en las casillas correspondientes, de la siguiente forma:
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LECTURAS DE MIRA DIFERENCIAS DE NIVEL PUNTO PUNTO ALTITUDES
ESTACION OBSERVADO ESPALDA FRENTE POSITIVAS NEGATIVAS
A 142,7 412,700 1 0,303
B 112,4
B 198,4 413,439 2 0,739
e 124,5
e 63,5 412,227 3 1,212
D 184,7
D 132,6 412,397 4 0,170
A 115,6
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Haciendo estación en un punto A con un taquímetro de coeficiente diastimométrico K = 100 y graduación centesimal, se miran dos puntos B y C situados al mismo nivel. De la observación de B resultan las siguientes lecturas de los hilos extremos: a=83, b=213; y como ángulo cenital Z8 =94,20g. El ángulo cenital de la visual al punto Ces Zc=97,09g.
Sabiendo que la altura del aparato en el punto A es i = 1,48 metros, obtener las distancias del punto A a los By C, así como las diferencias de nivel.
1° .-Si comenzamos con la alineación lo primero será calcular el número generador g, que será el producto entre la diferencia entre los valores extremos de los hilos multiplicado por la constante diastimométrica. Es decir:
g = 100*(213-83) = 13.000 cm
Conocido el valor de g, la distancia reducida será: d = g*sen2(z) = 13000*sen2(94,20) = 12.892,4 cm
Y la diferencia de nivel entre los puntos A y B: HAB = d*tg(lOO-z) + i-c = 12892,4*tg(5,8) + 148-[(83 + 213)/2] = 1.177 ,8 cm
2 °. -U na vez determinados los valores en AB, pasamos a obtener los de la alineación En este caso no tenemos las lecturas de los hilos, pero sabemos que el punto C está al mismo nivel que el con lo cual operamos en sentido inverso al anterior:
HAB = d*tg(lOO-z)+i-c = d*tg(l00-97,09)+148-c = 1.177,8 cm (d*0,04574)+ 148-c = 1177,8
Y despejando el valor de d: d = (1177,8-148+c)/0,04574 = (1029,8+c)/0,04574
Al no conocer el valor del hilo central, ·Y considerando que en la alineación anterior el valor de i era igual al de c, fijamos esta hipótesis para resolver el problema:
d = (1029,8+ 148)/0,04574 = 25.748,7 cm
Lógicamente, la distancia AC es mayor que la de AB, al corresponder un ángulo cenital de mayor valor y tener que salvar el mismo desnivel.
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Se contrató con una empresa de topografía, la fijación sobre un terreno de una malla ortogonal de 100 metros de lado, con hitos permanentes identificados por duplas, con objeto de realizar los trabajos necesarios proyecto y replanteo de una parcelación urbanística. También se encargó dicha oficina de la nivelación de los hitos de la malla, entregando sus altitudes conforme al fragmento de plano que se facilita. Para la debida determinación un accidente topográfico, se ha llevado por el mismo un itinerario, nivelándolo después cuyos datos son:
ESTACION OBSERVADO ACIMUTES
(54-55) A B A B c
(55-54) D E D E F
OBSERVADO
c B
B UPERFICIE s
D p
A E LA ARCELA: A
(54-55)
Ha (54-55) (55-54)
a (55-54)
ca D
D E
E F
LINDEROS Norte (51-53) (51-54)
(51-54) (52-55) (52-55) (54-55).
Sur (53-51) (55-51) (55-51) (55-54)
Este (54-55) (55-54)
Oeste (51-53) (53-51)
322,2222 100 300
277,7778 o
200
ESPALDA
3,25
1,55
1,40
1,35
1,50
1,46
1,32
DISTANCIAS X y
106,42 100,00 100,00 106,42 100,00 100,00
FRENTE DIFERENCIAS ALTITUDES
2,25
2,55
1,65
1,85
1,75
1,71
1,62
LONGITUD ACIMUT
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1 ° .-Determinar la escala y el Norte del plano, teniendo en cuenta que las orientaciones o acimutes topográficos de los ejes de la malla (50-54) (55-54) y (53-51) (53-56) son, con relación al Norte Geográfico, de 15oi; y 50g respectivamente.
2° .-Se trazarán las curvas de nivel de metro en metro, teniendo en cuenta la forma topográfica definida por el itinerario, que se dibujará en el plano.
3° .-En el proyecto de parcelación se definió una parcela poligonal. Los acimutes, longitudes de linderos y extensión superficial, se ealcularán y resumirán en el cuadro anexo, para su uso en la descripción de la parcela a realizar en la cédula urbanística y en el título de propiedad. La superficie se calculará por Gauss, dando el resultado en Ha, a y ca.
(50-54) 102,0 (51-55) 102,0
(51-54) 105,5 (52-55) 102,0 (53-56) 102,5
V (51-53) 104,5 o (52-54) 106,5
107,0 (53-55) 101,0
(53-54) 104,0
(52-52) 101,0 (53-53) 106,0
FACTOR DE REDUCCION (53-52) 103,0 (54-53) (55-54) 98,75 DEL PLANO 0,5
(53-51) 100,0 (54-52) 102,0 (55-53) 100,0
(54-51) 99,75 (55-52) 99,75 (56-53) 101,0
(54-50) 97,75 (55-51) 99,0 (56-52) 100,0
Página 24
Para determinar la escala se mide la longitud de cada lado que resulta ser de 50 milímetros. Dado que este lado mide en la realidad 100 metros la escala será la siguiente:
1/n = 50 mm/100.000 mm= 1/2.000
Con ello estamos en condiciones de- completar el estadillo. Para mayor facilidad la superficie de la parcela se ha realizado contando cuadrículas. Dado que la superficie de cada cuadro son 100*100 = 1O.000 m2
, y que existen 11 cuadrados completos y 4 mitades~
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(ll *10.000)+(4*5.000)' = 130.000 m2
ESTACION OBSERVADO ACIMUTES DISTANCJAS X
(54-55) A 322,2222 106,42 -100,00 B A 100 100,00 100,00 B e 300 100,00 -100,00
(55-54) D 277,7778 106,42 -100,00 E D o 100,00 0,00 E F 200 100,00 0,00
OBSERVADO ESPALDA FRENTE DIFERENCIAS
e 3,25 +1,00 B 2,25
B 1,55 -1,00 UPERFICIE A 2,55
E LA ARCELA: A 1,40
-0,25 (54-55) 1,65
13,0 Ha (54-55) 1,35 -0,50
(55-54) 1,85 1.300 a
(55-54) 1,50 -0,25 30.000 ca D 1,75
D 1,46 -0,25
E 1,71
E 1,32 -0,30
F 1,62
LINDEROS LONGITUD Norte (51-53) (51-54) 100
(51-54) (52-55) 141 (52-55) (54-55) 200
Sur (53-51) (55-51) 200 (55-51) (55-54) 300
Este (54-55) (55-54) 141
Oeste (51-53) (53-51) 283
y
36,40 0,00 0,00
-36,40 100,00
-100,00
ALTITUDES
A(99,50)
B(l00,50)
C(99,50)
D(98,50)
E(98,25)
F(97,95)
ACIMUT 50g
100g 150g
150g
50g
200g
200g
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ESCALA GRAFICA
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Se ha realizado el levantamiento de una parcela mediante un aparato centesimal. Una vez elaborados los resultados se han entregado al arquitecto los datos siguientes:
Punto Punto Distacia Acimut Cota estación observado reducida
o 1 49,64 41,45g 660
o 2 69,10 126,34g 663
o 3 64,46 241,45g 666
o 4 98,20 326,34g 666
1.-Si los puntos 1,2,3 y 4 son los vértices de los linderos dibujar la parcela a escala 1/1.000 si 0[120;76] y el Norte se encuentra según el sentido positivo eje Y.
2.-Dibujar las curvas de nivel de metro en metro.
3 .-Suponiendo que el punto deba de estar situado sobre una plataforma horizontal a cota 670 dibujar dicha plataforma y la nueva topografía con unos taludes interiores constantes de 1/4.
1° .-Dado que se trata de una radiación, lo primero será· situar el punto O, lo que no representa ninguna dificultad puesto que conocemos sus coordenadas. Después iremos situando los puntos 1, 2, 3 y 4, tomando el ángulo correspondiente desde la dirección del Norte en el sentido de las agujas del reloj (puesto que todos lo~ acimutes son positivos), y la distancia a escala 111.000.
2° .-Para dibujar las curvas de nivel se graduarán convenientemente los linderos. Así, el lindero 1-4 se dividirá en seis partes (dado que la cota de 2 es 666 y la de 1 es 660, entonces 666-660=6). El 1-2 en 3 (663-660=3). Y el 2-3 en 3 (666-663=3). Las curvas resultarán de unir los correspondientes puntos de paso.
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3° .-Dado que la cota de la plataforma es 670, para dibujarla trazaremos las tangentes a las circunferencias que resultan de restar su cota de la del punto y multiplicarla por la distancia entre curvas. Dado que los taludes son de 1/4 esto significa que, para una equidistancia de curvas de un metro la distancia horizontal será de 4 metros. Es decir, que la distancia entre curvas a escala 1/1.000 será de 4 milímetros.
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Por tanto, los radios de las circunferencias serán los siguientes:
punto (1) punto (2) punto (3)
670-660 = 10 10x4 = 40 mm = 4 cm 670-663 = 7 7x4 = 28 mm = 2,8 cm 670-666 = 4 4x4 = 16 mm = 1,6 cm
Una vez dibujada la plataforma sin más que ir trazando paralelas a 4 mm de distancia iremos obteniendo las curvas de nivel correspondientes a la nueva topografía.
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Los ejes de las calles que delimitan una manzana proyectada en un Plan de Ordenación Urbana están definidos geométricamente por los lados de una poligonal cerrada, cuyos datos aparecen en el fragmento de cuaderno siguiente:
Punto Punto Acimut Distancia Variación estación observado alturas
1 2 109,0334g 282,84 ~
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2 3 375,7162g 215,41 12,25
3 4 284,4042g 164,92 -8,75
4 5 220,4833g 126,49 6,00
1° .-Dibujar a escala 1/2.000 los ejes de las calles, y con semianchos calle de 10 metros las alineaciones de manzana. Se supone el origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda de la hoja, el punto 1(40,80) y el Norte en el sentido creciente positivo del eje de las Y.
2 ° .-Entre los lados 1-2 y 2-3 se proyectará una curva de encuentro con radio 60 metros (al eje de la calle).
3° .-Se trazarán las curvas de nivel correspondientes al terreno antes de realizar los trabajos de movimiento de tierras (esto con objeto de facilitar la resolución gráfica de la práctica). Para ello se considerará que el punto de intersección de las dos diagonales de la poligonal formada por los ejes de las calles tiene una cota P(l000,00), y que la del punto 1(1007 ,25).
4° .-Trazar las curvas de nivel correspondientes a la nueva topografía, resultante de efectuar un vaciado para excavar interiormente la manzana, de forma que quede una plataforma horizontal situada a la cota 995, con taludes, hacia la parte interior la parcela de 1/6.
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1° .-Como se trata de un itinerario (desde el punto 1 se observa el 2, desde el 2 se observa el 3, etc.), bastará que desde el punto 1[40;80] situemos el punto 2 a una distancia de 282,84 m. y con un ángulo de 109,0334g. Desde el punto 2 el 3 a 215,41 m. y 375,7762g. Y lo mismo con los demás hasta completar la poligonal. Por último, se trazarán paralelas a ambos lados de los ejes, equidistantes de los mismos 1 O m.
2° .-Se reduce a un sencillo problema de dibujo técnico: trazar una circunferencia de radio dado tangente a dos rectas que se cortan.
3 °. -Para trazar las curvas de nivel procederemos a graduar los linderos (lados de la poligonal que forman los ejes de las calles) y las diagonales.
Veamos, como ejemplo, el lado 1-2. Como la cota de 1 es 1007 ,25 y la de 2 es 997, 75 comenzaríamos por 2 para ir subiendo progresivamente a 1. Desde 2 trazamos una recta cualquiera (0-R) que es la que vamos a dividir adecuadamente. Para ello en nuestro ejemplo, y vista la escala, podemos utilizar perfectamente el centímetro para cada curva. Desde 997, 75 para llegar a 998 faltan 0,25. Sobre 0-R, y desde O trazamos una señal a 0,25 cm. La curva 999 estará a 1,25 cm de O. La 1000 estará a 2,25 de O. La 1001 a 3,25; la 1002 a 4,25; la 1003 a 5,25; la 1004 a 6,25; la 1005 a 7,25; la 1006 a 8,25; la 1007 a 9,25. Por último, el punto 1 de cota 1007,25 estará a 9,25+0,25=9,50.
Sin más que unir este punto de 0-R con 1 ya estamos en condiciones de, mediante paralelas, obtener los correspondientes puntos de paso de las curvas sobre el lado 1-2 de la poligonal. Esto mismo hacemos con los demás lados y sin más que unir los puntos de paso correspondientes a cada curya obtendremos una representación topográfica aproximada del mismo.
Una vez dibujada la topografía original procederemos, por observación directa del plano, a fijar los valores de cota correspondientes al lindero del terreno delimitado.
4 °. -Como los trabajos de movimiento de tierras van a realizarse dentro del terreno sin ocupar o afectar a las calles, todas las determinaciones se harán sobre el límite de la parcela. Para determinar el perfil de la plataforma horizontal situada a la cota 995, trazaremos en cada vértice una circunferencia, cuyo radio sea la distancia en planta (a escala) que ocupan las curvas de nivel (con la separación entre curvas correspondiente a la relación 1/6 del talud) que hay entre la cota del vértice y la de 995.
Por ejemplo, el punto de la manzana correspondiente al 3 de la poligonal está a 1008,8 metros de altura. Entre la cota de este punto y la de la plataforma habrá 1008,8-995 = 13,8 metros. Como el talud es 1/6 significa que por cada metro de desnivel hay 6 en horizontal. Para los 15 metros que tenemos en nuestro caso habrá una distancia horizontal de 13,8x6 = 82,8 metros. Estos 82,8 m. son, a escala 1/2.000, el radio de la circunferencia.
Hacemos lo mismo con los demás vértices y sin más que trazar las correspondientes tangentes tendremos dibujada la plataforma de cota 995.
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Las nuevas curvas de nivel serán uneas \)arale\as a \os bordes de esta ~\atafof11lª se\)~adas 6
IUetros (a escala 112.000 serán 3 nun)· Al efectuar su trazado, en \a 1ntersecc16n c~n \os \jnl1tes de
\a IUanzana deberán coincidirnos con \os \)untos de \)aso de \as antiguas curvas de t11ve\.
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Para poder representar sobre el plano una parcela sobre la que se va a actuar, realizamos un ievantamiento de la misma mediante un itinerario. Después de una primera elaboración de los datos de campo se obtienen los valores siguientes:
Punto Punto Distancia Acimut estación observado reducida
1 2 147,12 97,4030g
2 3 71,69 166,5096g
3 4 92,45 243,1704g
4 5 dd 22 321,6000g - - -,
5 1 80,75 8,6990g
1° .-Dibujar la parcela con linderos, curvas de nivel dirección del Norte.
Altitud del punto estación
664
653
650
660
metro en y
2 ° .-La actuación a realizar sobre dicha parcela consiste en organizar una plataforma circular horizontal para una pista de baile al aire libre. El centro de dicha plataforma se halla en la intersección de la diagonal que une los puntos estación 2 y 5, con la que va desde el 1 a la mitad del lado definido por los 3 y Su radio es de 25 metros y su altitud la definida por la que tiene el punto central al que hemos hecho referencia. El talud, tanto para el desmonte como para el terraplén será del 15%. Dibujar la nueva topografía resultantes de formar mediante movimientos de tierras la citada plataforma y sus taludes.
El dibujo, tanto de la topografía original como de la modificada se realizará a escala 1/1000 (el punto 1 se situará en la parte superior izquierda de la hoja colocada en posición horizontal).
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1° .-Se soluciona sin más que ir tomando acimutes y distancias desde el punto 1 sucesivamente y después graduando los linderos lo que no representa dificultad apreciable al coincidir todos con números de cota enteros.
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2°.-Como el talud es del 15% a cada diferencia de altura de 1 m (equidistancia) le corresponderá una distancia horizontal de 6,67 m. Dibujaremos, por tanto, a partir del punto O una circunferencia de radio 25 m a la cota 658 y luego circunferencias concéntricas a esta cada 6,67 m que nos irán definiendo la nueva topografía.
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Se da un plano con curvas de nivel de metro en metro y tres puntos: el A de coordenadas [75,77;137,71], el B de coordenadas [175,61;71,61], y el C. Se pide:
1.-Determinar el Norte suponiéndolo coincidente con la dirección del eje Y en sentido positivo.
2.-Averiguar la escala del plano.
3.-Dibujar el contorno de la intersección del plano determinado por los puntos A, B y C con el terreno y la nueva topografía.
4.-Determinar en m3 el volumen de tierras necesario para explanar el terreno según el plano A, B y Cº
A(75,77-137, 71)
ESTE DIBUJO HA SIDO REDUCIDO EN UN 50% RESPECTO· A SU DIMENSION ORIGINAL CON OBJETO DE ADAPTARLO AL FORMATO DE LA PAGINA. PUEDE VERSE EN SU VERDADERA ESCALA EN LA PARTE CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION DE ESTA PRACTICA.
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Orientación
Se traza una circunferencia que tenga por diámetro la distancia AB. Por una de las dos mitades, y a la escala calculada para el plano, llevamos la distancia equivalente al incremento de x desde el punto A, cortando a la s~micircunferencia en un punto R; la distancia R .. B debe resultar equivalente al valor de incremento de y siendo también perpendicular a RA, como corresponde al ángulo inscrito en un arco de 180 º.
A(75,77~ SENTIDOS POSITIVOS
de Y
ESTE DIBUJO HA SIDO REDUCIDO EN UN 503 RESPECTO A SU DIMENSION ORIGINAL CON OBJETO DE ADAPTARLO AL FORMATO DE LA PAGINA. PUEDE VERSE EN SU VERDADERA ESCALA EN LA PARTE CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION DE ESTA PRACTICA
Asociando cada dirección y a los ejes x e y, analizamos, de acuerdo con las coordenadas de A y B, los sentidos de crecimiento, o positivos de cada eje de coordenadas. Si resultan dextrógiros la solución es la correcta, siendo la dirección del Norte la de crecimiento del eje de ordenadas y.
Si, por el contrario, hubieran resultado levógiros, repetiríamos la construcción, por la semicircunferencia libre, en un dibujo simétrico al anterior respecto a la recta AB, volviendo a analizar los sentidos de crecimiento de x e y, que en esta segunda posibilidad serían dextrógiros y obteniendo, consecuentemente, la correcta dirección del Norte.
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Escala del plano
Cálculo de la distancia A-B: AB2 = A.2x + A.2y
distancia A-B = (175,61-75,77)2+(137,71-71,61)2 = 119,74 metros
Midiendo dicha distancia sobre el papel resulta ser de 12 cm. Como E = D~/DR = lle
e= 119,74 m/11,95 cm = 11.974 cm/11,95 cm = 1.002,0t
E :::: 1/1.000
Intersección con el terreno y nueva topografía
El plano que forman A-B-C debe contener a las rectas AB, BC y CA por lo que hallando los puntos de cota redohda en cada una de estas rectas. Es decir, graduándolas, y uniendo los puntos de igual valor, conseguiremos la representación de las líneas de nivel del citado plano ABC. Como el plano queda delimitado por su intersección con el terreno, prolongando cada línea de nivel hasta que corte a su homóloga en el terreno obtendremos los límites, punto a punto, del contorno y simultáneamente dibujaremos la nueva topografía.
Procedemos a graduar la recta A-B. Como A está a la cota 660 y B a la 664, la dividimos en 4 partes con lo que la curva 661 pasar por 1, la 662 por 2 y la 663 por 3. Hacemos lo mismo con A-C y B-C obteniendo los puntos 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Solo resta determinar la intersección de la recta 9-1 con la curva 661 (lo hará en 9d, ld, ld' y ld"), la 8-2 con la curva 662 (lo hará en 8d, 2d, 2d' y 2d"), la 7-3 con la 663 (lo hará en 7d y 3d), la 6-B con la 664 (lo hará en 6d) y la 5-4 con la 665 (lo hará en 4d y 5d). Uniendo estos puntos obtendremos la intersección. Una vez hecho lo anterior el dibujo de la nueva topografía es muy fácil (ver la figura correspondiente).
Volumen
Tomando el plano de referencia correspondiente a la curva 660 determinamos primero las áreas encerradas por las curvas antes y después del corte:
curva m1 antes del corte m1 después del corte
660 661 662 663 664 665 666 667 668 669
15.496,86 11.876,86 9.290,77 7.118,87 5.267,21 3.586,27 2.250,83 1.098,60
294,95 22,60
15.496,86 11.586,96 8.604,02 5.573,24 2.869,98
731,83
Página 43
Estas superficies han sido calculadas mediante un programa de ordenador bastante preciso. Realizando los cálculos por métodos gráficos el alumno podrá comprobar el error cometido. Volumen primitivo:
V(660~661) = (15.496,86+ 11.876,86)/2 X 1 = V(661-662) = (11.876,86+9.290,77) /2 X 1 = V(662-663) = (9.290,77+7.118,87) /2 X 1 = V(663-664) = (7.118,87+5.267,21) /2 x.1 = V(664-665) = (5.267,21 +3.586,27) /2 X 1 = V(665-666) = (3.586,27 +2.250,83) /2 X 1 = V(666-667) = (2.250,83+1.098,60) /2 X 1 = V(667-668) = (1.098,60+294,95) /2 X 1 = V(668-669) = (294,95 + 22,60) /2 X 1 = V(669-670) = (22,60+0) /2 X 1 =
VOLUMEN PRIMITIVO TOTAL
Volumen una vez realizado el desmonte:
V(660-661) = (15.496,86+ 11.586,96)/2 X 1 = V(661-662) = (11.586,96+8.604,02) /2 X 1 = V(662-663) = (8.604,02+5.573,24) /2 X 1 = V(663-664) = (5.573,24+2.869,98) /2 X 1 = V(664-665) = (2.869,98+731,83) /2 X 1 = V(665-666) = (731,83+0) /2 X 1 =
13 .686,67 m3 10.583,63 m3 8.204,82 m3 6.193,04 m3 4.426,74 m3 2.918,55 m3 1.674,72 m3
696,73 m3 158,78 m3 11,30 m3
48.554,98 m3
13.541,91 m3 10.095,49 m3 7.088,63 m3 4.221,61 m3 1.800,91 m3
365,92 m3
VOLUMEN TOTAL DESPUES DEL DESMONTE 37.114,47 m3
El volumen de desmonte será, por tanto:
Página 44
VD = 48.554,98 - 37 .114,47 = 11.440,51 m3
Nota: A pesar de su irrelevancia hemos decidido mantener la precisión de dos decimales en todos los ~cálculos con objeto de que el alumno pueda verificar fácilmente sus operaciones. Esta nota es' valida para casos análogos a lo largo de estas prácticas. Por supuesto que el alumno debe de ser consciente que el error cometido al utilizar un método como el de las áreas extremas supera notablemente la precisión matemática de los cálculos.
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Página 45
-página 46
Para facilitar el acceso a un terreno se va a ampliar el camino existente, modificando su trazado y anchura. Deberá calcularse el movimiento de tierras que se llevará a cabo considerando: que el ancho de la vía será de 10 metros; que los taludes laterales de contención de tierras tendrán de pendiente los valores 1/2 para el terraplén y 1/1 para el desmonte; que los perfiles transversales se realizarán a intervalos menQres de 100 metros en tramos rectos, y de 50 metros en tramos curvos; que el esponjamiento de las tierras excavadas será del 20%.
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D = O T = O
D = 4,68 m2 T = 15,68 m2
T1 = 35,03 m2 T2 = 24,68 m2
T = 59,71 rn2
D 31,35 m2
D 21,00 m2
T 253,50 m2
T = 91,34 rn2
Dl = 28,00 rn2 D2 = 23,60 m2
D = 51,60 m2
D = 1,25 rn2 T = 1,50 m2
A
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Para calcular los volúmenes de desmonte y terraplén, una vez determinadas las secciones correspondientes, lo iremos haciendo tramo a tramo. Para ello aplicaremos a cada uno de los tramos las fórmulas correspondientes que, si las dos secciones son de desmonte o terraplén:
V = [(Sl +S2)/2]*d
Y en el caso de ser una de desmonte y otra de terraplén:
Página 50
VD = [(D*D)/(D+T)]*(d/2) VT = [(T*T)/(D+T)]*(d/2)
Tramo A-B
VD = [(4,68+0)/2]*85,30 = 199,602 VT = [(15,68+0)/2]*85,30 = 668,752
Tramo B-C
VD = [(4,68*4,68)/(4,68 + 25,03)]*(85,30/2) = 23,524 VT = [(35,03*35,03)/4,68+35,03)]*(85,30/2) = 1317 ,951 VT = [(15,68 + 24,68)/2]*85,30 = 1721,354
Tramo C-D
VD = [(31,35*31,35)/(59,71 +31,35)]*(85,40/2) = 460,.867 VT = [(59,71 *59,71)/(59,71 +31,35)]*(85,40/2) = 1671,838
Tramo D-E
VD = [(31,35+21,00)/2]*50,40 = 1319,220
Tramo E-F
VD = [(21,00*21,00)/(21,00+253,50)]*(50,40/2) = 40,485 VT = [(253,5*253,5)/(21,00+253,50)]*(50,40/2) = 5899,480
Tramo F-G
VT = [(253,50+91,34)/2]*50,40 = 8689,968
Tramo
VD = [(51,60*51,60)/(91,34+51,60)]*(50,30/2) = 468,472 VT = [(91,34*91,34)/(91,34+51,60)]*(50,30/2) = 1467,933
Tramo H-I
VD = [(28,00+ 1,25)/2]*85,00 = 1243,125 VD = [(23,60*23,60)/(23,60+ 1,50)]*(85,00/2) = 943,060 VT = [(l,50*1,50)/(23,60+ 1,50)]*(85,00/2) = 3,810
Desmonte 4698,355 TOTAL DESMONTE (Esponjamiento xl,20) 5638,026 TOTAL TERRAPLENADO
Página 51
Con base en el fragmento de adjunto se deberá:
1° .-Realizar un esquema que incluya la hidrografía, divisorias y vaguadas.
2 ° .-Dibujar la planimetría del fragmento, excluyendo usos del suelo y divisiones administrativas (Nota: se entiende por usos del suelo los cultivos, la vegetación y aquellas zonas con características especiales).
3° .-Unir, mediante una carretera, el punto kilométrico 2 de la CV que, partiendo de Altea discurre en la dirección E-O, -con el kilómetro 6 de la que pasa Altea la Vieja de forma que, manteniendo en lo posible sin modificar el terreno, no se supere la pendiente del 10%. Para ello será necesario, además, proponer realización de un puente para cruzar el· río Algar. Dibujar la carretera en planta sobre el propio plano, y un perfil longitudinal de la misma convenientemente realzado, en papel
4 ° .-Dividiéndolo en dos mitades por una línea N-S realizar, sobre el una representación clinométrica de su parte derecha e hipsométrica la clinometría se tomarán solamente dos intervalos: zonas de pendiente igual o menor al 10%, y zonas de pendiente superior al 10%. La representación hipsométrica se realizará seleccionando las curvas directoras, y con intervalos comprendidos entre curva y curva de las seleccionadas.
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Queremos conocer la diferencia de cota entre los puntos A y C de un terreno. Para ello contamos con un par estereoscópico de la zona en el que no conseguimos apreciar en el altímetro la altura del vuelo. Sin embargo sí conocemos la distancia focal del objetivo que es 152 milímetros. También sabemos, mediante un mapa de la zona que la distancia real entre los puntos A y B es de 4,5 kilómetros. Además, la cota de los puntos principales es parecida.
Una vez colocados debidamente los fotogramas, ayudados por un estereoscopio de espejos, y mediante un estereomicrómetro, tomamos las lecturas de los puntos Ay C, para poder calcular la diferencia de paralaje entre ambos. Empezamos por el punto A, para lo cual hacemos coincidir el índice izquierdo del aparato con Al y ajustamos a continuación el derecho hasta no ver más que un único índice al mirar por el estereoscopio, es decir, hasta que el índice derecho coincida con A2. Hacemos esta operación tres veces (consideraremos como lectura válida la media de las tres) y lo mismo para el punto C. El resultado de las seis lecturas es el siguiente:
Lecturas para A
Lecturas para B
Ll = 13,27 mm = 13,24 mm
L3 = 13,25 mm = 11,56 mm
L2 = 11,56 mm = 11,57 mm
Con ayuda del esquema del dibujo de abajo calcular la diferencia de altura entre A y
2.
CO"rAS EN CM.
Página 59
Dado que los puntos PC 1, PC2 y A están aproximadamente en el mismo plano, aplicamos la fórmula II de la página 292 del libro 11 Clima, territorio y urbanismo 11
• También podríamos haber aplicado la 1, pero para ello necesitaríamos conocer el par al aj e directo del punto A (o bien los paralajes de los puntos centrales de ambos fotogramas). Para poder aplicar la fórmula lo primero es conocer la altura del vuelo. Empezamos por hallar la escala a nivel del punto más bajo (el A). Como sabemos que entre A y B hay 4,5 kilómetros, y midiendo sobre el fotograma son 15,3 centímetros, entonces:
450.000 cm/ 15,3 cm = 29.412
E= 1/29.412
Recurriendo a la fórmula de la página 276:
HT = 0,152 m * 29.412 = 4.471 m
No es imprescindible calcular el valor de H puesto que jµstamente HT = H - hA al tomarse, generalmente, la altura de vuelo sobre el punto más bajo como altura de vuelo, al determinar alturas.
Necesitamos ahora conocer el valor de b (fotobase corregida) que, tal y como se indica en el página 288, si la diferencia no es mucha puede tomarse la media.
b = (11,50+ 11,75)/2 = 11,63 cm
Solamente resta hallar la diferencia de paralaje enfre A y C:
Con lo cual tenemos que:
LMA = (13,27+13,24+ 13,25)/3 = 13,25 mm ~e = (11,56+ 11,56+ 11,57)/3 = 11,56 mm
PAc = 13,25-11,56 = 1,69 mm = 0,169 cm
Sustituyendo todos los datos anteriores en la fórmula II resulta el valor siguiente:
hAc = [447.100/(0,169+ 11,63)]*0,169 = 6.404 cm
Es decir, que la diferencia alturas entre los ournos A y Ces aproximadamente
Página 60
metros.
Determinar el acimut y la solares en grados sexagesimales el día 27 de 18 horas minutos (hora solar) en ~<~ue11a Técnica Superior de (latitud: 40º; longitud:
La declinación para dicho día se calculará por fórmula aproximada que en el libro. Determinar también del acimut (en grados sexagesimales) y la hora oficial (utilizar la corrección de tiempo el valor de minutos) a la que se produce el ocaso dicho No es necesario corregirlo de refracción ya que los errores introducidos en el cálculo de la declinación y ecuación de tiempo son superiores a dicha corrección.
1.-Acimut a las 18 horas minutos
Calculamos la declinación pdr la fórmula aproximada que aparece en la página 16 del libro:
sen(o) = 0,4*sen[0,986(d-82)] sen(o) = 0,4*sen[0,986(147-82)] = 0,36
o = 21,09º
El ángulo horario lo determinamos partiendo de que su valor es de -90º a las 6 horas, de Oº a las 12 horas, y de +90º a las 18 horas. Por tanto, a las 18 horas 15 minutos serán los 90º correspondientes a las 18 horas más la equivalencia de los 15 minutos. Sabemos que 360º equivalen a 24 horas. Es decir, 21.600 minutos de grados serán equivalentes a 1.440 minutos de hora. Por
· tanto, estableciendo la correspondiente equivalencia:
X = 21.660*15/1.440 = 3,75º 18 h 15' = 90º + 3,75º = 93,75º
Para calcular la altura solar aplicaremos la fórmula correspondiente que aparece al final de la página 18 del libro:
Página 61
sen(h) = sen(L)*sen(o) + cos(L)*cos(o)*cos(H) sen(h) = sen(40º)*sen(21,09º) + cos(40º)*cos(21,09º)*cos(93,75º) = 0,18
h = 10,63 o = 10º38'06"
Análogamente, para calcular el acimut aplicamos la fórmula 1 que aparece al final de la página 18 del libro:
sen(A) = cos(o)*sen~)/cos(h) sen(A) = cos(21,09º)*sen(93,75º)/cos(10,63 º) = 0,95
A=71,31º
La solución del ángulo correspondiente a este seno que resulta en la máquina de calcular es, como hemos visto de 71,31 º. Sin embargo, y como es bien conocido por trigonometría, a la inversa del sen(A)=0,95 le corresponden dos valores: uno antes y otro después, ambos simétricos de 90º. Para una hora de cálculo posterior a la correspondiente al paso por los 90 º el resultado sería, lógicamente, un ángulo superior a 90 º. Dado que este es nuestro caso, como puede fácilmente comprobarse, la solución sería:
A = 180º-71,31 º = 108,69º
Es por tanto, como ya se advirtió en el libro, más interesante utilizar directamente la fórmula 11 que no plantea estos problemas:
cos(A) = [sen(L)*sen(h)-sen(o)]/cos(L)*cos(h) cos(A) = [sen(40º)*sen(10,63 º)-sen(21,09º)]/cos(40º)*cos(10,63 º) = -0,32
A = 108,69º = 108º41'23"
2.-Acimut y hora oficial al ocaso
Para calcular el acimut al ocaso aplicamos la fórmula correspondiente que aparece en la página 19:
cos(A) = -sen(o)/cos(L) cos(A) = -sen(21,09º)/cos(40º) = -0,47
A = 118,02° = 118º01'00"
Para el cálculo de la hora oficial partimos del ángulo horario, que según la fórmula correspondiente de la página 19:
cos(H) = -tg(L)*tg(o) cos(H) = -tg(40º)*tg(21,09º) = -0,32
H = 108,88º
Una vez conocido el ángulo horario la hora- solar será:
Página 62
108,88º - 90º = 18,88º = 1.133 minutos de grado 1.440*1.133/21.600 = 75,52 minutos de hora = 1 hora 15'31"
solar = 18 horas + 1 hora 15'31" = 19 h 15'31"
Para hallar la hora oficial habrá que corregir la hora solar de la forma siguiente:
Corrección de huso (verano) = 2 horas = 120 minutos
Corrección de longitud (3º44'W). Como 15 minutos de grado corresponden a 1 minuto de hora, los 224 minutos de grado a que equivalen los 3 º44' serán 224/15 = 15' de hora.
La corrección según la ecuación de tiempo nos viene dada por el enunciado y será -3'.
Con todos estos datos resulta que:
Hora oficial = 1.156'+ 120'+.15'+ (003') = 1.288' = 21 horas 28'
Página 63
En el plano facilitado, correspondiente a un lugar próximo a Madrid, se representa una parcela calificada para uso deportivo. En ella se va a construir una piscina con graderíos conforme a las dimensiones indicadas en el croquis. Considerando la sombra arrojada por el edificio E durante el período de 10 a horas del mes de Agosto, situar la piscina para que quede soleada en las citadas horas. El eje longitudinal del vaso deberá de coincidir con la dirección N-S. Se representará, para una mejor localización, la zona de parcela por la. sombra en el período indicado.
Si un observador se encuentra sentado en el borde Oeste de la piscina, en su centro, mirando hacia el graderío, determinar la obstrucción anual que le produce la pantalla la parte alta del graderío. Se considerará una altura de 0,50 metros sobre el suelo los ojos del observador.
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Dado que hay que representar la zona barrida por la sombra entre las 10 y las 16 horas, es más adecuado realizar una carta de Fisher para este período y trabajar gráficamente. Elegimos el día 21 de Agosto como el más significativo. En este caso podemos utilizar directamente el gráfico de la página 16 del libro en el que se lee que la
~ = 12,20º
Tomamos además, para Madrid, una latitud aproximada de 40ºN.
Para determinar el ángulo de obstrucción, y según el esquema reproducido abajo, resulta que:
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15,0
tg(h) = (8-0,5)/15 = 0,50
h = 26,57º
El acimut de la dirección de la normal a la pantalla será de 90ºW, y los de los extremos:
ZA = 45ºW Z8 = 135ºW
Con los datos anteriores estamos ya en condiciones de poder realizar las representaciones gráficas correspondientes que resuelven el problema tal y como se observa en las figuras que se reproducen a continuación.
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Página 68
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El edificio de dos alturas que aparece en la figura destacado en trazo más fuerte, pretende sustituirse por otro de ocho. Determinar la variación de la obstrucción producida sobre el punto A situado en el suelo (portal de entrada). ·
La figura pretende representar parte de una foto aérea tomada el día 1 de Septiembre a las 16 horas (hora oficial), en Castellón de la Plana (aproximadamente su longitud es de Oº y su latitud de 40ºN). Ese día la declinación tiene un valor de + 8,37º y la corrección de tiempo puede considerarse cero. Todavía no se ha producido el cambio de hora para el invierno y el desfase es de dos horas. La topografía del lugar es prácticamente horizontal. Las sombras aparecen destacadas mediante una trama de líneas paralelas.
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Lo primero será determinar la orientación. Para ello necesitamos conocer el acimut y, previamente, la altura solar.
Hora solar: Ho = Hs+N+CL+CT H = H -N-CL-CT = 16h-2h-Oh-Oh = 14 h
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Angulo horario: 14 h - 12 h = 2 h 2 h X 15º = 30º
Altura solar: sen(h) = sen(i)sen(k) + cos(i)cos(k)cos(H) sen(h) = sen(40)sen(8,37) + cos(40)cos(8,37)cos(30) sen(h) = 0,7499 h = 48,58º
Acimut: cos(A) = [sen(i)sen(h)-sen(k)]/cos(i)cos(h) cos(A) = [sen(40)sen(48,58)-sen(8,37)]/cos(40)cos(48,58) cos(A) = 0,66 A= 48,40º
Es decir, que el sol se encontrará a 48,40º desde el Sur contados siguiendo el sentido de las agujas del reloj.
U na vez determinado el Sur procederemos a calcular los ángulos que nos sirvan para dibujar las curvas correspondientes a las cornisas indefinidas:
Fachadas en dirección Este-Oeste: Para el de II alturas: tg(i)= 6m/12m = 0,50 i = 26,57º Para el de IH alturas: tg(i)= 9m/12m = 0,75 i = 36,87º Para el de IV alturas: tg(i)= 12m/12m = 1,00 i = 45,00º Para el de VIII alturas: tg(i)= 24m/12m = 2,00 i = 63,43º
Fachadas en dirección Norte-Sur: Para el de IV alturas: tg(i)= 12m/20m = 0,60 i = 30,96º
Dibujadas estas curvas (mediante simple interpolación entre las que ya aparecen) en el diagrama de obstrucciones producidas por una cornisa indefinida, las llevamos a la carta cilíndrica de 40ºN:
Las de la dirección Este-Oeste con origen en Oº, puesto que el acimut de la perpendicular a la dirección de la cornisa es de Oº .Las de la dirección Norte-Sur con origen en -90º, puesto que el acimut de la perpendicular a la dirección de la cornisa es de -90º.
Solamente resta acotar cada una de las curvas (las cornisas no son de longitud indefinida) midiendo el acimut de los puntos extremos con sus correspondientes valores positivos o negativos.
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Observese en la solución que la variación es notablemente apreciable desde Febrero a Abril y de Septiembre a Diciembre. En concreto:
-el 21 Ene y el Die hay una horas de sol -el 21 Feb y el Oct hay una 3 horas de sol -el 21 Mar y el 21 Sep hay una pérdida de 2, 75 horas de sol -el 21 Abr y el 21 Ago hay una 2 horas de sol
Además estas pérdidas corresponden a horas de sol de mañana, más convenientes por lo general que las de tarde. Por otra parte, y como se observa en la carta, el edificio no produce sombras en los meses de Mayo, Junio, Julio y buena parte de Agosto que es cuando serían más necesarias. Con una orientación de este tipo, la relación anchura-altura de edificios enfrentados tiene que ser bastante pequeña para que se produzca sombra en los meses en que se necesita, eliminando prácticamente el soleamiento en los meses infracalentados. En estas condiciones la única solución es recurrir a medios puramente arquitectónicos (parasoles, voladizos, etc.) y no a los urbanísticos.
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Conocemos la planta correspondiente a las ventanas 1y2, de 2 metros de anchura y 1,20 de altura cada una. El alfeizar se supone a 0,80 m del suelo. Consideremos un punto P en el suelo de la habitación. Si se sabe la situación del Norte:
1° .-Dibujar sobre la, carta solar cilíndrica para la latitud 40ºN el enmarque correspondiente, para deducir de su observación las horas en las que el punto recibe el sol en las distintas épocas del año.
2 ° .-Se supone ahora que se proyecta una marquesina continua de un metro de vuelo en ambas fachadas, y a una altura de 2,25 sobre el nivel del suelo. Deberá dibujarse el nuevo enmarque razonando las variaciones producidas sobre el anterior.
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1 °. -Para poder analizar el soleamiento producido sobre el punto P utilizaremos la carta cilíndrica. Con objeto de los hemos considerado conveniente suponer reducido el espesor los muros a cero y, consiguiente también el del pilar esquina quedará convertido en una línea. En el tema práctico de enmarque urbano que sigue a continuación podrá estudiarse el tema del grueso de muros. Lo primero es medir los ángulos desde el Sur:
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Y posteriormente, calcular los ángulos de obstrucción que serán:
Para el alfeizar: Para el dintel: Para la marquesina:
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El resultado se ha reflejado en la carta cilindrica que se incluye a continuación. En ella se observa que, durante los meses de verano, recibe más o menos tres horas de sol por la tarde. Durante los de invierno solo a partir de febrero, y en la primavera y el otoño es cuando más sol recibe.
2 °. -Haciendo la misma operación suponiendo construida la marquesina se observa un cambio radical manteniéndose un escaso soleamiento en todas las épocas del año. Por tanto, el que su construcción, o no, sea aconsejable depende esencialmente del clima en el que nos encontremos y del objetivo a conseguir. Por ejemplo, si se trata de un clima extremado, típico de muchos lugares centrales de la Península Ibérica, se tratará de evitar el sol en verano y mantener al máximo posible el de invierno, en cuyo caso sí sería recomendable su construcción. Por el contrario, en un clima frío, las pérdidas de horas de sol en las estaciones intermedias, serían imperdonables y la construcción de la marquesina sería totalmente desaconsejable.
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Se acompaña la planta de un plaza porticada rectangular de 100x50 mts, situada a 40ºN, y la situación de un punto P en el suelo bajo los soportales. Se representa también un detalle ampliado de la arcada con el punto en planta y alzado y asimismo la dirección del Norte. La altura de la cornisa de las fachadas es de metros. Dibujar sobre la carta solar cilíndrica las obstrucciones correspondientes suponiendo solamente el pórtico situado frente al punto y los dos adyacentes, ya que el resto solo permitiría el paso del sol en una proporción ínfima.
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Determinaremos en primer lugar la obstrucción producida por las paredes A, B y C (ver la figura de abajo). Para ello nos auxiliaremos del gráfico de obstrucciones de cornisas horizontales con longitud indefinida.
Para la pared A: tg(h) = 14/78,5 = 0,1783 h = 10,11 º Para la pared B: tg(h) = 14/52,0 = 0,2692 h = 15,07º Para la pared C: tg(h) = 14/21,5 = 0,6512 h = 33,07º
Se miden los acimutes correspondientes a cada tramo de pared y se acotan convenientemente las curvas en la carta cilíndrica (recordemos que los acimutes en clima se miden desde el Sur positivos en el sentido de las agujas del reloj).
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Para determinar el encarte o "agujero" de los tres pórticos lo haremos por puntos. Por ejemplo, el punto medio de la clave del pórtico situado frente a P se calcularía así:
x = (7rR/180)*A = (3,14x3cm/180º)*14,50º = 0,76 cm y = tg(h)R = ( 450/206)x3cm = 6,55 cm
Llevando estos dos valores directamente a la carta cilíndrica de 40ºN y radio de 3 cm tendríamos situado dicho punto. Análogamente se haría con los demás. En las arcadas adyacentes se presenta el pequeño problema de que hay que considerar la parte interior y exterior de la arcada ya
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Se pretende realizar el análisis climático de dos lugares A y B, cuyas coordenadas geográficas son: Punto A (L = 41 º25'N; M = 0º8'E). Punto B (L = 34º35'S; = 58º29'W). Para ello se facilitan los datos anuales de temperatura y humedad relativa, proporcionados por los respectivos Servicios Meteorológicos.
1° .-Representar, sobre la carta bioclimática de Olgyay, las condiciones climáticas de cada uno de los lugares, indicando la época del año más confortable para cada sitio.
2° .-Definir los tipos de clima de A y 3 ° .-Comentar brevemente los requerimientos y diferencias de cada zona.
Punto A Punto A Punto B Punto B
MES TºC HR% TºC
Enero 8,6 72 29,6
Febrero 9,8 71 29,1 67
Marzo 11,8 71 25,6 75
Abril 14,5 72 22,8 77
Mayo 17,4 71 18,7 81
Junio 21,4 15,8
Julio 25,0 68 15,0 80 1
Agosto 24,0 70 16,4 75
Septiembre 20,6 71 19,0 73
Octubre 16,1 73 22,2
Noviembre 11,5 72 25,5
Diciembre 72 28,5
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Como se aprecia por las condiciones geográficas el punto A corresponde al hemisferio norte (Barcelona), y el B al hemisferio sur (Buenos Aires). Por ello las condiciones en los períodos sobrecalentados corresponden en el primero al verano, y en el segundo al invierno y primavera. El período de confort en A se produce al principio de verano y otoño, mientras que en B es hacia mitad del otoño.
El clima de A es templado y requiere soleamiento desde el otoño a la primavera con algún ligero viento en verano. El de B caliente-húmedo (según la clasificación de Olgyay) y precisa viento durante la mitad del año con escasas necesidades de radiación solar.
50 EV APORACION EN GRAMOS DE AIRE SECO
45 5
45
40
40 35 30
25 35 2D
15
r 30 26 27 28
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15
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HUMEDAD RELATIVA EN %
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o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
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Se facilita un fragmento de plano topográfico a escala 1/5.000 en el puntos A y B de coordenadas: A(8.220;5.825), B(8.695;5.425). latitud 42º30'N.
figuran dos lugar es
El área recogida corresponde a una zona "caliente-seca", y los vientos dominantes, en dirección E-O, carecen de relevancia (para el desarrollo de esta práctica) desde el vista de la elección del sitio.
Se pide:
Localizar el asentamiento óptimo para el poblado de una sociedad minera, considerando que alcanzará como máximo una superficie de 1,8 hectáreas.
Una vez localizado, dibujar su forma y la disposición más adecuada de la calle o calles colonia, indicando la anchura más conveniente.
2. Trazar una carretera 10 metros de ancho, con pendiente menor o igual al 8%, que enlace desde el punto B el poblado y el observatorio existente en el punto A.
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l. Asentamiento
Al corresponder el lugar a un clima "caliente-seco" la localización óptima se sitúa en la parte baja de las laderas, junto al valle, orientada preferentemente la línea de máxima pendiente 25º hacia el Este, medidos desde el Sur.
Para el desarrollo urbano, las pendientes máximas han de ser del 20% (poblados unifamiliares, con criterios muy generosos respecto a las mismas, y contando con la realización de algún tipo de movimiento de tierras), que para el intervalo de 5 metros entre curvas de nivel y la escala 1/5.000 del plano, equivale a una distancia horizontal de:
z/DH = tg(20º) DH = z/tg(20º) = 500cm/0,3639702 = 1373, 74 cm
A escala 1/5.000 esto se traduce en:
E= Dp/DT 1/5.000 = Dp/1373,74
DP = 0,27 cm
La extensión de 1, 8 hectáreas abarcará, asimismo, una superficie en plano de:
Sp/ST = 1/E2
Sp = 180.000.000/5.0002 = 7,2 cm2
La forma de esta superficie ha de establecerse con un criterio de estructura compacta, buscando la sombra, aunque también la ventilación. Si, como es lógico pensar en un poblado tipo de explotación, la edificación es 'Unifamiliar de dos plantas (6,50 metros de altura), y los espacios libres no van a ser generosos, la separación;entre edificios (y, por tanto la anchura de calles) irá en función de garantizar dos h.oras de soleamiento en los meses infracalentados, sin olvidar las sombras en los sobrecalentados.
Comprobando sobre la carta cilíndrica de 42 º30'N, el dfa 21 de Diciembre, y situando el gráfico de obstrucciones en 25 ºE, se puede apreciar que la relación altura-anchura de la calle es de 25 º aproximadamente, para disponer de dos horas de soleamiento. Por tanto las calles deben de ser:
tg(25º) = h/d d = h/tg(25º) = 6,50/0,4663 = 13,94 m
Es decir, unos 14 metros de anchura entre edificios. Hay que hacer notar que esta hipótesis se hace suponiendo una superficie plana ya que, .como sabemos, en laderas orientadas al Sur se puede reducir notablemente dicha separación en función de la topografía. Probablemente en este caso sería conveniente dicha reducción al tratarse de un clima en el que las necesidades de sombra son casi tan importantes como las de soleamiento, a pesar de que este criterio, por motivos didácticos, es el único verdaderamente considerado en la resolución de esta práctica.
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Con todos estos datos no tenemos más que buscar un espacio en el topográfico que se adjunta, que cumpla los requisitos fijados, señalando la solución gráfica en el mismo. Es conveniente considerar que la forma seleccionada no se ciña a una figura geométrica sino que tenga en cuenta también las características topográficas del terreno.
2. Carretera
Para que la carretera no supere el 8 % de pendiente y se pueda acoplar su anchura con esta limitación, es conveniente fijar una holgura del 10% sobre el valor establecido. De este modo la pendiente de cálculo será:
8%-0,1*8% = 7,2%
La separación entre curvas es de 5 metros, luego se precisa una distancia horizontal de:
z/DH' = 7,2% DH = 500cm/7 ,2 % = 6944 cm
que equivale a la escala del plano a 1,38 cm.
El proceso de dibujo en el plano consiste en ir trasladando con el compás esta magnitud entre curvas consecutivas, de forma que el punto de contraste en la curva siguiente sea el punto de apoyo para actuar en el próximo intervalo.
El borrador de la solución estudiada aparece dibujado en el plano que se acompaña en la página siguiente. Al realizar el análisis del mismo sería conveniente considerar lo expuesto en el párrafo de abajo.
Interesa verificar la pendiente una vez trazado el borrador del itinerario, para las condiciones supuestas de ancho y radio de las curvas de la carretera. En el caso que nos ocupa no habría problemas ya que se trata de un camino (sobre todo el que sube al observatorio) rural, pero en casos reales es imprescindible considerar el radio mínimo de las curvas.
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En el fragmento de plano que se facilita y está reproducido en la página siguiente, aparecen reflejados los extremos 1y2 de una parcela con 70 m. de lindero a la calle, así como la dirección del Norte.
Para proceder a su dibujo se ha efectuado un levantamiento topográfico radiación. Lecturas en cms., ángulos en grados centesimales, constante k=lOO y altura del aparato 1,65 m. Se pide:
!.-Completar el estadillo.
2.-Dibujar la parcela.
3.-Superficiar el terreno.
4.-Dibujar sobre una carta cilíndrica la obstrucción producida una edificación de 18,50 m. de altura que se construirá a lo largo del lindero sobre un observador situado en (altura de los ojos 1,65 m.). Latitud 40ºN.
Punto Punto Lectura hilos Angulo Acimut g Red u Altur Estación Visado Cenital
A 1 209/180/151 97,00 42,04
A 2 197 /175/153 109,53 138,21
A 3 207 /181/155 106,12 174,31
A 4 183/161/139 95,78 306,10
A 5 179/155 ,5/132 91,57 7,52
Página 91
UN
o
---- 2
15 m
---- Observador a +1,65 m.
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1.-Para completar el estadillo necesitamos calcular los números generadores, las distancias reducidas y las diferencias de alturas.
Número generador (de 1 desde A)
g = k*l = 100(209-151) = 100*58 = 5800 cm = 58 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Distancia reducida (entre A y 1)
d = g*sen2z, = 58*sen2(97 ,00) = 57 ,87 m Análogamente se haría para los demás puntos.
Alturas relativas
(para el punto 1 respecto al estación) HA1 = d*cot(z)+i-c = d*tg(lOO-z)+i-c = 57,87.tg(l00-97,00)+ 1,65-1,80 = 2,58 m
(para el punto 2 respecto al estación) HA2 = 43,02.tg(l00-109,53)+ 1,65-1,75 = -6,59
Análogamente se haría para los demás puntos.
Página 92
1
1 PUNTO PUNTO LECTURA HILOS
ANGULO ANGULO DISTANCIA ALTURAS ESTACION VISADO CENITAL ACIMUTAL g
REDUCIDA RELATIVAS
A 1 209 /180 /151 97,00 42,04 58 57,87 +2,58
i=l,65 2 197/175/153 109,53 138,21 44 43,02 -6,59
3 207 /181/155 106,12 174,31 52 51,52 -5,13
4 183/161/139 95,78 306,10 44 43,81 +2,95
5 179/155,5/132 91,57 7,52 47 46,18 +6,25
2.-Para dibujar la parcela necesitamos en primer lugar situar el punto estación. Para ello, y a la escala adecuada, trazaremos con un compás dos arcos, uno con centro en 1 y distancia dA1(57 ,87 m), y otro con centro en 2 y distancia dA2(43,02 m). En el punto de corte estará A. En este caso, y por la índole del ejercicio, no hay duda al respecto a pesar de existir dos puntos de corte. Sin embargo en situaciones diferentes puede ser necesario recurrir al sentido de los ángulos para su adecuada determinación. Una vez situado A se dibujarán los demás puntos a partir del Norte (origen de acimutes en Topografía) tomando los ángulos en el sentido de las agujas del reloj, y las correspondientes distancias a escala.
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Observador a +1.65 m.
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-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20
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~ ~ 80 ~ ~ w ~ ~ ~ ACIMUT EN GRADOS SEXAGESIMALES
3. -Para superficiar el terreno, y dado que conocemos la longitud de los lados y el ángulo comprendido, el área de cada triángulo será:
S12 = [(57 ,87.43,02)/2] .sen(138,21-42,04) = 1242,53 m2
S23 = [(43,02.51,52)/2].sen(174,31-138,21) = 595,27 m2
S34 = [(43,81.51,52)/2].sen(306,1-174,32) = 990,74 m2
S45 = [(46,18.43,81)/2].sen(400+7,52-306,1) = 1011,32 m2
S51 = [(57,87.46,18)/2].sen(42,04-7,52) = 689,56 m2
Y la superficie total ser igual a la suma de las parciales:
S = 1242,53+595,27+990,74+1011,32+689,56 = 4529,4 m2
4.-Para calcular el ángulo de obstrucción a los 18,5 m de altura de la edificación habremos de restarle los 1,65 m de altura de los ojos ya que la obstrucción se nos pide sobre éstos. Por tanto:
tg(h) = (18,5-1,65)/15 = 1,12 y el ángulo = 48,32º
Dado que la orientación de la obstrucción es Este, situaremos el eje de la cosinusoide que nos la determina, con un desplazamiento de 90º hacia el Oeste, ya que la perpendicular desde O a la obstrucción forma un ángulo de 90º desde el Sur hacia el Oeste. Una vez dibujada la curva sobre la carta cilíndrica de 40ºN .hay que proceder a su recorte ya que la línea de cornisa que nos ocupa no es indefinida. Para ello, con un semicírculo de 360º medimos los ángulos A y B que resultan ser A=162º y B=32º.
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Se acompaña un fragmento de plano en el que figuran señalados los puntos A, de cota 591 metros, ha sido tomado como estación de una radiación, con altura en dicho punto de i = 155 cm, desde la que se han visado B, C y D. Los datos del levantamiento, realizado con teodolito centesimal de K=lOO, son los siguientes:
Punto Punto Hilos Pendiente Acimut Estación Observado
A B 165,8/140/114,2 11,1527g 350g
A e 149,5/110170,5 6,9418g 6g
A D 185/155/125 Og 50g
Uniendo los puntos A y y e, e y D y se obtienen los linderos de una ll'll!'Jlll'i"IPl!'J!
situada a 40ºN en un clima frío, donde nos proponemos actuar. actuación consistirá en explanación de dicha parcela de manera que quede toda ella horizontal a la cota con taludes laterales, exteriores a la parcela, del 50%. Y en la construcción de dos bloques gemelos paralelos y enfrentados, abiertos con disposición bilateral 9x30 metros. Entre ambos se una calle de tal forma que la separación sea la mínima que permita un soleamiento 2 horas en cualquier punto de la fachada de la planta baja del bloque obstruido, en el solsticio de invierno. Los bloques serán de 8 alturas y tres metros por altura. Se pide:
1° .-Determinar el Norte, la escala y la equidistancia entre curvas.
2 ° .-Dibujar la nueva topografía una vez realizada la explanación.
3° .-Ambos bloques se disponen forma paralela al lado Determinar su separación para que cumplan los requisitos expuestos arriba y razonar si su orientación es la más conveniente en función de las condiciones climáticas.
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I Página 98
Escala
Calculamos la distancia reducida entre los puntos A y B: d = g*cos2(p) = k*l*cos2(p) = k*(a-b)*cos2(p)
d = 100(165,8-114,2)*cos2(11,1527g) = 5.003,33 cm
Medimos sobre el plano dicha distancia y resulta ser 10 centímetros. Por tanto: E = 10/5003,33 '-= 11500
Orientación
Como en topografía el acimut se mide desde el Norte hacia el Este (en el sentido de las agujas del reloj), tomamos 350g a partir de AB en sentido contrario al de las agujas del reloj y situamos el Norte.
Equidistancia entre curvas
Tomando d = 5. 000 cm para no arrastrar las décimas: HAB =· d*tg(p)+i..:c = 5.000*tg(ll,1527&)+ 155-140 = 900 ce
Como entre A y B hay 9 espacios la equidistancia entre curvas será de un metro.
Situación de los puntos C y D
Para situar el punto C: d = 100(149,5-70,5)*cos2(6,9418g) = 7.806 cm
Como sabemos que el acimut son 6g resulta fácil señalarlo.
Para el punto D: d = 100(185-125)*cos2(0g) = 6.000 cm
con un acimut de 5~.
Nueva topografía
Como los taludes son exteriores a la parcela el dibujo de la nueva topografía resulta muy sencillo. Basta, simplemente, con calcular la distancia mínima entre curva y curva y, partiendo de la de cota 594 ir trazando paralelas a la distancia requerida.
Al ser los taludes del 50% por cada metro (equidistancia entre curvas) deberían existir dos por planta. Es decir, las distancias entre curvas sobre el dibujo serían de 4 milímetros.
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Colocación de los bloques
Con los bloques situados tal y como se dice en el enunciado de la práctica y con la máxima separación posible dentro de la parcela analicemos el soleamiento. Para ello comencemos por suponer que el bloque obstructor es el de la derecha y. el obstruido el de la izquierda. El punto obstruido más desfavorable será el situado en M en la planta baja del suelo del bloque.
Antes de pasar a considerar la obstrucción determinemos el soleamiento de dicho punto. Es evidente que solamente podrá recibir sol desde que este salga hasta el momento en que pase por la dirección marcada por la línea del bloque.
Para poder operar con las cartas solares que están en grados sexagesimales es imprescindible considerar la necesidad de cambiar los grados que aparecen en las determinaciones topográficas (que son centesimales) al sistema sexagesimal.
Dado que la dirección del bloque forma 45 º (5~) con la dirección del Sur en el sentido hacia el Este procederemos a trazar una línea en la carta cilíndrica de 40º con un acimut de 45º hacia el Este. Pues bien, desde esta línea hacia el Sur y hacia el Oeste el punto M no volverá a tener sol ya que el propio bloque se lo tapa. Sin más que mirar la trayectoria solar sobre dicha carta correspondiente al solsticio de invierno se observa que sin ningún tipo de obstrucción la propia orientación del bloque impide que pueda tener las dos horas de sol requeridas. Con esta consideración queda solucionado el tema de la orientación (que no es precisamente la más adecuada) y la separación entre bloques (sea cual sea dicha separación e imposible conseguir los requerimientos especificados).
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En la población Ajalvir (Madrid), coordenadas geográficas va a proceder a la urbanización de su plaza. Para ello se cuenta con un en el que aparecen señaladas las alineaciones que ocuparán los bordillos Se ha superpuesto en el mismo una malla no orientada de 25x25 metros coordenadas UTM de los puntos A y B son las siguientes: B(459,127;4488,029). Deberá calcularse en primer lugar la escala y la dirección del lugar, representando ambas sobre el plano.
El espacio a tratar (desde la verja de la iglesia hasta el Ayuntamiento) deberá contar con calles de pendiente uniforme delimitadoras de un espacio central que se nivelará a una altitud de 649,20. Se formarán aceras 2,50 m. de anchura, y a partir de ellas taludes 25% pendiente para acomodar los encuentros de plataforma y aceras. Se dibujarán las aceras, plataforma y curvas de nivel que resultan. Asimismo se calculará el volumen en excavación y relleno, considerando un esponjamiento del 5%.
En el punto A se sitúa un observador pie, con una altura cierra el extremo percibe la obstrucción del sol la iglesia
perfil aparece representado en el croquis abajo analizar en la carta 1'>111inn11ru•o
horas en que la iglesia el sol al observador.
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Escala y meridiana
Para determinar la escala se cuenta con diversas posibilidades:
1. Dado que la malla superpuesta es de 25x25 metros, tomando un intervalo y cotejando su medida se obtiene
Dp/DT = 1/E 6,25cm/2500cm = 1/E = 1/400
Z. Como t~mbién conoce¡nos las coordenadas de A y B la escala será también: DAB = VL}.x.2+Ay2 = V(459.172-459.127)2 +(4.487.951-4.488.029)2 = 90,05 m
22,65cm/9005cm = 1/E = 11397,6 ~ 1/400
3. Al disponer del croquis acotado de la iglesia y su representación en el plano, no tenemos más que comparar dimensiones, por ejemplo las de la nave de la iglesia
8,7cm/3500cm = 1/E = 1/402,3 ~ 1/400
La escala, por tanto, es 1/400, representándose gráficamente en el plano. Para determinar la Meridiana, emplearemos la teoría del arco capaz, de manera que construyéndolo gráficamente en el plano para los puntos A y B cuyas coordenadas UTM son conocidas, establecemos el eje de ordenadas y, en el sentido creciente del mismo estará ~u valor.
Calles y plataforma
Las calles representadas están definidas por la alineación de los bordillos, pero no se marcan ni sus pendientes ni otros elementos que nos indiquen que están consolidadas. Por ello partimos de los edificios perimentrales, que debemos ~espetar en su nivelación actual para no dejarlos enterrados o descolgados. Además, las curvas en la zona de edificios están sensiblemente equidistantes por tramos de calles, lo cual ya nos indica que el nivel a adoptar es el marcado por estos valores.
Así, trazando perpendiculares al eje de la calle desde los puntos de paso en los edificios, obtenemos los curvas futuras de las calles. Para mayor simplicidad en el dibujo no se considera el escalón bordillo-calzada. Estas curvas continúan hasta la alineación de puntos y se prolongan 2,50 metros más constituyendo la acera central de la plaza.
Como los taludes deben arrancar desde esta acera hacia el interior, con una pendiente del 25% hasta alcanzar la altitud de 649 ,20, no tiene mayor complicación el problema que calcular los desniveles en los vértices de la plaza entre la acera y la plataforma, y fijar la distancia horizontal que se precisa al 25 % .
Estas distancias llevadas a escala sobre el plano nos darán el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen este requisito (una circunferencia) y las tangentes a las mismas constituirán la intersección del plano del talud con el plano de la plataforma. Es decir, el límite de la superficie plana y horizontal a 649,20 m de altitud. Por ejemplo, el vértice próximo a A tiene una altitud de 653 m, y el radio de la circunferencia resulta de
(CT-CP)/DH = 25/100 DH = [(653-649,2)/25]*100 = 15,20 m (radio circunferencia)
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654 IGLESIA
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Una vez obtenida la plataforma, se trazarán las curvas de los taludes, que serán paralelas a los bordes de la plataforma, quedando separadas una distancia· de
1/D = 25/100 D = 4m
En el dibujo se procurará dar continuidad al trazado de curvas desde la calle al talud, por acomodarse su encuentro sin cortes verticales, resolviendo los posibles puntos singulares con la lógica que corresponde al concepto de curva de nivel. ·
Volumen de tierras
Determinando la superficie encerrada entr~ cada curva de nivel primitiva y su modificada, y considerando los prismatoides compuestos por cada dos-curvas, procederemos al cálculo del volúmen, tanto para desmonte como para terraplén, por el método de las áreas extremas.
VD6s2-6s3 ((155,55 +0)/2)*1,00 77,775
VD6s1-6S2 ((314,88+ 155,55)/2)*1,00 235,215
VD6S0-6s1 ((601,80+ 314,88)/2)*1,00 458,340
VD649,2-6so ((845,90+601,80)/2)*1,00 723,850
VD 649-649,2 ((0+61,41)/2)*1,00 30,715
VD64s-649 ((61,41 +75,05)/2)1,00 68,240
VOLUMEN GEOMETRICO DESMONTE 1.594,135 m3
VT6s2-6s3 ((42,25+ 13,00)/2)*1,00 42,325
VT6s1-6S2 ((89,25 +55,25)/2)*1,00 72,250
VT6S0-6s1 ((69,28 + 89,25)/2)*1,00 79,315
VT 649,2-6so ((34,80+69,28)/2)*1,00 52,090
VT 649-649,2 ((423,25 +225,3)/2)*1,00 324,275
VT648-649 ((225,30+0)/2)*1,00 112,650
VOLUMEN GEOMETRICO TERRAPLEN 687,905 m3
Al valor geométrico obtenido en el desmonte le añadimos un 5 % en razón del esponjamiento, con lo que resulta un valor total del desmonte de
DESMONTE = 1594, 135+5%(1594,135) = 1.673,842 m3
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Obstrucción
Al componerse el cuerpo en estudio de diversos planos, con retranqueos y formas variadas, obtendremos su representación sobre la carta cilíndrica tomando los tres planos verticales y calculando su línea de obstrucción para posteriormente delimitar sus extremos por los ángulos acimutales de las aristas, midiendo estos valores directamente en el gráfico.
Trazando una perpendicular desde A al cuerpo de la iglesia tenemos una distancia de 11,50 metros. Como la altura del observador es 1,50 metros y la de la nave 9 metros, la altura sobre el plano del horizonte será 9-1,5 = 7 ,50 metros. El ángulo de obstrucción para este cuerpo resulta:
tgO = h/d = 7 ,50/11,50 = 0,6521739 o = 33º6'
Si acotamos su dimensión desde 1 hasta 5, mediante los acimutes Z 1 = 129 ºE y ZS = 24 ºE y tomamos como referencia para la línea de obstrucción el acimut de la perpendicular Zp = 64 ºE, podremos ya representar la obstrucción en la carta cilíndrica.
Operando de manera análoga para el campanario (2-3) y el crucero (6-7) y completando el dibujo con las correspondientes direcciones perpendiculares tendremos resuelto el problema sin más que identificar posteriormente las partes vistas y las ocultas.
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Al dorso de esta misma hoja se incluye parte de una supuesta fotografía aérea obtenida con el eje vertical y un objetivo de distancia focal de 30 centímetros. altura vuelo sobre el terreno era de 300 metros y fue tomada el día 1 de Septiembre a las 17 horas 22 minutos hora solar verdadera en una latitud de 40ºN.
En ella se distingue un bloque de viviendas (A) y la sombra que proyecta sobre la topografía del terreno (como se observa en aquellos momentos la dirección de los rayos solares era la perfecta continuación de las fachadas laterales). También aparece representado el punto 1 con sus coordenadas correspondientes a un sistema de ejes que no está dibujado& Dicho punto 1, conjuntamente con los puntos 2 y 3, de coordenadas
Punto 2 Punto 3
(120,160, 715) (220,40,740)
delimitan una parcela triangular. Deberá obtenerse:
escala y orientación la supuesta foto aérea.
2.-EI dibujo de la parcela con sus linderos y curvas nivel de 5 en 5 metros.
3.-La altura del edificio.
nueva topografía correspondiente a la explanación de la parcela a la cota 710 con taludes interiores a la misma 100% (Las nuevas curvas de nivel se dibujarán línea discontinua o en color diferente a las originales).
5.-Sobre dicha explanación, y basándose exclusivamente en criterios soleamiento deberán situarse correctamente orientados, y a las distancias adecuadas,.otros tres bloques iguales al A y la calle o calles necesarias. Se trata de un clima calienteseco.
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E = f/HT = 30cm/300m = 30/30. 000 = 1/ l. 000
Orientación
Calculamos en primer lugar el ángulo horario. Como una hora de tiempo equivale a 5 º de ángulo horario, entonces 5 horas de tiempo (de las 12 a las 17) serán 75º de ángulo.
Para los minutos: como 1' de tiempo equivale a 15' de ángulo horario, entonces 22' de tiempo serán 330' de ángulo. Es decir 5,5º de ángulo. Luego el valor de H será
H = 75 + 5,5 = 80,5º
En segundo lugar calcularemos la declinación
sen(o) = 0,4*sen[0,986(d-82)] = 0,4*sen[0,986(243-82)] = O, 15 o = 8,34º
Ahora la altura solar
sen(h) = sen(L)*sen(o) + cos(L)*cos(o)*cos(H)
sen(h) = sen(40)*sen(8,34) + cos(40)*cos(8,34)*cos(80,5) = 0,22 h = 12,61 o
Y, por último, el acimut
cos(A) = [sen(L)*sen(h)-sen(o)] / cos(L)*cos(h)
cos(A) = [sen(40)*sen(12,61)-sen(8,34)] / cos(40)*cos(12,61) = 1 A= 90º
Linderos y curvas de nivel
Sin más que unir los puntos 1, 2 y 3 obtendremos los linderos. Como conocemos también la altitud de los puntos procedemos a graduar los linderos para saber los puntos de paso de las curvas.
Desde el punto 1 al 2 hay un desnivel de 25 metros. Dado que las curvas nos las piden de 5 en 5 metros, entonces 25/5 = 5 espacios en ·que debemos dividir el segmento 1-2. Análogamente
Segmento 1-3 740-690 = 50 5015 = 10 espacios Segmento 2-3 740-715 = 25 2515 = 5 espacios
Ahora, sin más que unir los puntos de igual cota tendremos dibujadas las curvas de nivel.
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Altura edificio
Como ya hemos calculado la altura solar que vale 12,61 ºmedimos sobre el papel la longitud de la sombra que son 39 metros. Evidentemente lo que medimos no es la longitud real de la sombra sino su proyección sobre el plano horizontal. Como el terreno está inclinado calculamos la pendiente
tg(p) = 25/100 = 0,25 p = 14,04º
Como se observa en el dibujo (se trata de un esquema explicativo, no de un plano a escala), por el teorema de los senos calculamos fácilmente la altura del edificio:
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NOTA: SE TRATA DE UN ESQUEMA EXPLICATIVO NO DE UN DIBUJO A ESCALA
12,34°
sen(B) = 39/x de donde x = 39/0,97 = 40,2 m
+--39 m-+
O!. = 90 - 12,61 = 77 ,39º B = 90 - 14,04 = 75,96º
por tanto el valor del tercer ángulo gamma será:
topografía
180 - 77,39 - 75,96 = 26,65º 40,2/sen(77 ,39) = h/sen(26,65) de donde
h = 18,48 m
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Dado que las curvas van de 5 en 5 metros, la separación en planta entre curvas correspondiente a una pendiente del 100 % será justamente de 5 metros, que a una escala de 1/ 1. 000 quedarán reducidos a 5 milímetros. Partimos de la curva 71 O. Dicha curva hay que llevarla a la
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izquierda y a la derecha para formar la plataforma horizontal. Como lo máximo que se puede aproximar a la 705 son 5 metros en planta (lo mismo que a la 715) dibujamos en los puntos de los linderos correspondientes a las cotas 705 y 715 sendos circulitos de 5 milímetros de diámetro y trazamos las tangentes desde los puntos 71 O a dichos círculos. El proceso lo repetimos hasta el final de la parcela y habremos obtenido la nueva topografía.
Situación y orientación de los bloques
Aunque el enunciado no lo especifica, dado el fondo del bloque (12 metros) se trata, obviamente, de un bloque en triple crujía de tipo bilateral que nunca 1111P1t111Pr1í~
en una región caliente-seca (y mucho menos tres bloques más). Esta sería la respuesta correcta. Sin embargo 'vamos a presuponer (con objeto de completar el ejercicio) que se trata de bloques con disposición unilateral. En este caso la disposición adecuada sería de 25º hacia el Este.
Conocida la orientación veamos la separación entre bloques. Para poder movernos con suficiente libertad en el diseño consideraremos separación entre franjas con lo que quedamos del lado de la seguridad (normalmente habrá más horas de sol, nunca menos). Colocando el gráfico de obstrucción sobre la carta cilíndrica .de 40ºN y desplazándola hasta los 25º0 se ve que el ángulo necesario para que el 21-XII contemos con 2 horas de sol en el punto más bajo del bloque es aproximadamente de 33 º. Entonces, como la altura del edificio es de 18,28 metros, la separación entre bloques será
tg(33) = 18,28/d d = 18,28/tg(33) = 28,2 metros
Una vez determinada la orientación y la separación entre bloques procederemos a situarlos sobre la parcela. Una solución es la que se muestra en la figura que sigue. Dado que los requerimientos de orientación de la calle en un clima de este tipo son fundamentalmente de vientos y no de soleamiento se ha pretendido situarla en aquella zona en que los movimientos de tierras fueran mínimos.
Se ha arbolado la zona S-0 de la calle con objeto de producir sombra a partir del mediodía. Igual criterio se ha seguido con las zonas arboladas a la izquierda de las áreas de estancia, con sol a primeras horas de la mañana y luego protegidas del mismo por los propios bloques primero y luego por los árboles. Hemos completado el trabajo incluyendo una lámina de agua muy conveniente en un clima de estas características.
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1 RADIACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Número generador. Distancias y diferencias de cota entre puntos. Superficie de una parcela conocidas las longitudes de los linderos y los ángulos comprendidos.
2 ITINERARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Número generador. Coordenadas absolutas y relativas. Distancias. Superficie según Gauss. Curvas de nivel conocidas las cotas de los vértices.
3 INTERSECCION DIRECTA ..................................... .
4 NIVELACION
5 TAQUIMETRIA
6 ALTIMETRIA
Coordenadas de un punto conocidas las de otros dos y las visuales. Distancias entre puntos conocidas las coordenadas. Alturas de puntos en función de los ángulos cenitales. Superficie según Gauss.
Diferencias de nivel. Altitudes.
Distancias taquimétricas. Desniveles.
Escala del plano. Determinación del Norte. Curvas de nivel conocidas las cotas de una malla ortogonal y un itinerario. Linderos de parcela con datos de libreta de · campo. Superficie aproximada de parcela.
7 MODELADO DEL TERRENO .. · .................................. . Linderos a partir de 1os datos de una radiación. Curvas de nivel conocidas las cotas de los vértices. Plataforma horizontal con taludes hacia el interior de la parcela y valores prefijados para los mismos.
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8 ...................................... 31 Linderos a partir de los datos de un itinerario. Curvas de nivel conocidas las cotas de los vértices y un punto interior. Plataforma horizontal con taludes hacia el interior de. la parcela y valores prefijados para los mismos.
9 PLATAFORMA CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Linderos a partir de los datos elaborados de un itinerario. Curvas de nivel -conocidas las
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cotas de los vértices. Plataforma horizontal de forma circular con taludes hacia el exterior de la plataforma y valores prefijados para los mismos.
10 SECCION DEL TERRENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Determinación del Norte. Escala del plano. Sección del terreno por un plano determinado por tres puntos. Cuantificación del volumen del movimiento de tierras.
Cálculo del movimiento de tierras necesario para realizar un camino entre dos puntos, equilibrando en la medida de lo posible desmontes y terraplenes, con taludes y ancho de vía prefijados.
47
12 CARTOGRAFIA ............................... , . . . . . . . . . . . . . 53 Sobre un fragmento del MTN25 buscar: hidrografía, divisorias, vaguadas. Planimetría. Pre-diseño de carretera de pendiente máxima adaptada al terreno. Hipsometría. Clinometría.
FOTOGRAFIAAEREA ....................•.................... 59
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Escala. Altura de vuelo. Fotobase corregida. Diferencia de paralelaje. Diferencia de altura entre puntos .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Declinación. Angulo horario. Cálculo analítico del acimut y la altura solares en un momento y lugar determinados. Acimut y hora oficial del ocaso en un momento y lugar determinados.
OBSTRUCCION
Situar una piscina para que se vea libre de la sombra de un edificio en determinadas horas y épocas. Determinar mediante la carta de Fisher la zona barrida por la sombra. Obstrucción producida sobre un punto por el graderío de la piscina mediante la carta solar cilíndrica.
Variación en la obstrucción producida sobre un punto de un edificio al variar la altura de un bloque. Carta solar cilíndrica.
17 PARASOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Variación en la obstrucción producida sobre un punto del interior de una habitación al utilizar una marquesina como parasol. Utilización de la carta solar cilíndrica para el caso de enmarques.
18 ENMARQUE URBANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Días y horas de sol producidos sobre un punto interior del soportal de una plaza porticada. Carta solar cilíndrica.
19 CARTA BIOCLIMATICA ...................................... . Análisis climático comparativo entre dos puntos geográficos diferentes a partir de las temperaturas del termómetro seco y humedades relativas correspondientes a los distintos meses del año. Carta bioclimática de Olgyay.
Práctica sobre selección de sitio para asentamiento humano. Estructura del mismo en función de elementos climáticos y topográficos. Trazado de carretera de pendiente dada.
I ..................................... . Radiación. Número generador. Distancias reducidas. Alturas. Linderos de parcela. Superficie de un terreno. Obstrucción producida sobre un punto por un bloque edificado en la parcela. Carta solar cilíndrica.
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11 ....................................... 97 Radiación. Norte. Escala y equidistancia entre curvas. Linderos de parcela. Plataforma horizontal con taludes exteriores. Separación entre bloques para que se cumpla un mínimo de soleamiento. Orientación en función dei tipo de clima ..
Para una plaza de la localidad de Ajalvir: orientación y escala. Movimiento de tierras, plataformas y curvas de nivel. Volúmenes de relleno y excavación. Obstrucción solar en caso real.
24 CLIMA Y TERRITORIO IV ..................................... .
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Se pretenden integrar en este ejercicio, como resumen del libro, diversos temas que se refieren a Clima y Territorio.
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