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1.Mechanik
1.1. Kinematik
1.1.1. Modell der Punktmasse (PM) und
Koordinatensysteme (KS)
Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³
Masse m = endlich groß [m] = kg
Dichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m3
Folgen: - Ort genau angebbar
- Drehung um sich selbst nicht möglich!
2
Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):
hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)
Dimensionalität:
a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse
x<0 0 x>0 x
0 z<0
z>0
z
x
b) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse
c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse
Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durch
Ortsvektor festgelegt:
),,( zyxkzjyixr i
j
k
kji
,,Einheitsvektoren:
mit 1 kji
und kji
0 kjkiji
222 zyxrr
mit Betrag (Länge)
(Wiederholung Vektorrechnung)
b)
a)
c)
zyx eee
,,oder
3
1.1.2. Definition Geschwindigkeit und Beschleunigung
1.1.2.1. Eindimensionale Bewegung der PM
Definition Geschwindigkeit
t
x
tt
xxv
12
12
[v] = m/s
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
x1, x2 – Anfangs- u. Endort
xdt
dx
t
xv
t
0lim
Differenzialquotient
“1.Ableitung von x nach t“
v hängt oft von der Zeit ab:
Anstieg “tan “ der
x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,
v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve
bei t1
1txz.B.: =
Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel
0
x
t 1t
(Gibt an, wie sich x mit t ändert,
Momentangeschwindigkeit)
t
txttxv
t
0lim
Exp.: Momentangeschw.
4
Definition Beschleunigung
t
v
tt
vva
12
12
Momentanbeschleunigung:
Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
v1, v2 – Anfangs- u.
Endgeschwindigkeit
xdt
xdv
dt
dv
t
va
t
2
2
0lim
0
v
t 1t
“1.Ableitung von v nach t“
“2.Ableitung von x nach t“
a hängt oft von der Zeit ab:
Anstieg “tan “ der
v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1
a(t1) ist Tangente an v(t) Kurve
bei t1
1tvz.B.: =
Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf
Luftkissenbahn
[a] = m/s2
(Gibt an, wie sich v mit t ändert,
Momentanbeschleunigung)
t
tvttva
t
0lim
5
1.1.2.2. Dreidimensionale Bewegung der PM
t
r
tt
rrv
12
12
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
– Anfangs- u. Endort
rdt
rd
t
rv
t
0lim
Differenzialquotient
21, rr
tv
ist Vektortangente an
tr
t
trttrv
t
0lim
6
t
v
tt
vva
12
12
Momentanbeschleunigung:
Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
– Anfangs- u.
Endgeschwindigkeit
rdt
rdv
dt
vd
t
va
t
2
2
0lim
21,vv
Differenzialquotient
ta
ist Vektortangente an
tv
ta zeigt immer in Richtung des
Zentrums der gekrümmten Bahnkurve
t
tvttva
t
0lim
7
1.1.3.1. Gleichförmige, geradlinige (1-dim) Bewegung der
PM
1.1.3. Beispiele
constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:
dt
dxv 0
Separation der Variablen (x, t) dtvdx 0
Integration
t
t
tx
x
dtvdx
00
0
000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der
gleichförmigen, geradlinigen
Bewegung
000 ttvxtx
8
1.1.3.2. Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige (1-dim)
Bewegung der PM
constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:
dt
dva 0
Separation der Variablen (v, t) dtadv 0
Integration
t
t
tv
v
dtavd
00
0
000 ttavtv
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der
gleichmäßig beschleunigten,
geradlinigen Bewegung
,00 vtv
000 ttavtv
9
dt
dxv
Separation der Variablen (x, t) dttvdx
Integration
t
t
tx
x
dttvdx
00
2000002
1ttattvxtx
Weg-Zeit-Gesetz der
gleichmäßig beschleunigten,
geradlinigen Bewegung
t
t
dtttavxtx
0
0000
000 ttavtv mit
10
Winkelgeschwindigkeit ist
Vektor entlang Drehachse:
1.1.3.3. Gleichförmige Kreisbewegung - 2-dim. Bewegung
der PM
Ortsvektor: 2-dim. Bewegung in x-y Ebene – Kreisbahn
Drehachse entlang z-Achse
,tr
constrtr
Radius der
Kreisbahn
PM bewegt sich auf Kreisbogen:
trts
Definition Winkelgeschwindigkeit:
r
v
dt
ds
rdt
rtsd
dt
d
1/
[] = rad s-1 = s-1
v
- Bahngeschwindigkeit,
tangentielle Geschwindigkeit
tr
tv
t ts
x
y
PM
z
11
gleichförmige Kreisbewegung: const
Integration
t
t
t
dtd00 00
tt
trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit
0,sin,cos ttrtr
Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler
0,cos,sin ttrdt
rdtv
0,sin,cos2 ttrdt
vdtaz
Bahngeschwindigkeit:
r
r
r
vrtaz
2
2
Zentripetalbe-
schleunigung::
vrv ,
gleichförmige Kreisbewegung ist
beschleunigte Bewegung
0za
rv
r
vadt
vdz
Vektorprodukt (rechte Handregel)
Exp.: Schleifscheibe und
Vektorprodukt
tr
tv
t ts
tx
ty
x
y
PM
taz
,0,0
dt
d
0,0
vrv
dtd
12
rv
Vektorprodukt (rechte Handregel)
Exp.: Schleifscheibe und
Vektorprodukt
r
13
1.2. Dynamik - Kräfte
1.2.1. Kräfte als Vektoren
Kräfte sind Ursache für Geschwindigkeitsänderungen, d. h. Änderungen des Bewegungszustandes,
einer PM
Kräfte sind Vektoren und addieren bzw. subtrahieren sich wie diese:
Kraft F [F] = kg m/s2 = N
),,( zyxzyx FFFkFjFiFF
21 FFF
F
1F
2F
Kräfteparallelogramm
Bsp.: Segeln
0i
iF
Exp.: Kräftegleichgewicht mit Gewichten
0321 FFF
Gleichgewicht:
321 FFF
14
1.2.2. Newtonsche Axiome
Newtonsche Axiome sind Grundgleichungen der klassischen Mechanik
1. Axiom - Trägheitsgesetz
Exp.: rollende Kugel auf Ebene
Exp.: Flasche und Tischtuch
Eine PM verbleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung,
sofern auf sie keine äußeren Kräfte einwirken.
0i
iges FF
0 va
Koordinatensysteme (KS) in denen das 1. Axiom gilt, heißen Intertialsysteme.
Intertialsysteme: KS ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
constv
v
0
15
2. Axiom - Aktionsprinzip
Kraft ist Masse mal Beschleunigung:
amF
mit va
dt
vmdvmF
Impuls: vmp
[p] = kg m /s
Die zeitliche Änderung des Impulses einer PM ist gleich der wirkenden Kraft:
dt
(Charakterisiert Bewegungszustand einer PM)
Exp.: Impulsänderung auf schiefer Ebene
16
3. Axiom - Reaktionsprinzip
Wenn zwei PM miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die
PM aufeinander ausüben, den selben Betrag aber entgegengesetzte Richtungen:
BAAB
BAAB
FF
FF
ABF
BAF
Kraft von PM A auf PM B
Kraft von PM B auf PM A
Exp.: Rollwagen
A B ABF
BAF
17
1.2.3. Spezielle Kräfte
1.2.3.1. Gravitationskraft
Anziehende Kraft zwischen zwei PM m1 and m2
Newtonsches Gravitationsgesetz:
r
r
r
mm
rr
rr
rr
mmFG
2
21
12
12
212
2112,
Gravitationskonstante:
= 6,67259 · 10-11 m3 kg-1 s-2
21,12, GG FF
Newton´s 3. Axiom:
12,GF
- Kraft von m1 auf m2
21,GF
- Kraft von m2 auf m1
Gravitationskraft wirkt entlang Verbindungsvektor zwischen m1 und m2 12 rrr
Gravitationskraft ist „Zentralkraft“
m1
12,GF
1r
m2
2r
12 rrr
0
18
1.2.3.2. Schwerkraft - Gewichtskraft
- Spezialfall der Gravitationskraft
- Gravitationskraft die Erde auf eine Masse m in der Nähe der Erdoberfläche ausübt
Erdmasse: m1 = ME 5,97 1024 kg, m2 = m
Erdradius: r = RE 6370 103 m ME
ER
gFg
,
ze
m
z
z
E
Eg e
zR
mMF
2
mit 2
2
221 E
E
EE RR
zRzR
z << RE
z
E
Eg em
R
MF
2
gmegmF zg
mit Fallbeschleunigung: 2E
E
R
Mg
= 9,81 m/s2
r
r
r
mmFG
2
2112,
0
19
Bestimmung von g mit Atwoodscher Fallmaschine Exp.: Atwoodsche Fallmaschine
gmF
11
gmF
22
T
T
aa
m1
m2
z
T
- Zugspannung, Zugkraft im Seil
- m2 > m1
2. Newtonsches Axiom: m a = F
(I) Abwärtsbewegung: -m2 a = -m2 g + T (II) Aufwärtsbewegung: m1 a = T -m1 g
(II) – (I): m1 a + m2 a = -m1 g + m2 g
amm
mmg
12
12
a < g
Fallbewegung kann mit einfachen
Mittel untersucht werden
- Vernachlässigen Reibung sowie Massen des
Seils und der Rolle
20 20
1.2.3.3. Federkraft
- elastische Kraft die bei Dehnung oder Stauchung einer Feder (z. B. Spiralfeder) auftritt
- kann zur Messung anderer Kräfte genutzt werden (Federkraftmesser)
z0 = 0
z = z
z = 2 z
z = 3 z
z = 4 z z
gF
RF
RF
- Federkraft, rückstellende Kraft
Kräftegleichgewicht, 0i
iF
0 gR FF
gR FF
Hook´sche Gesetz:
zKFR
gR FF
zKFg
K - Federkonstante
[K] = kg/s2 = N/m
Messung der Gewichtskraft
durch Federkraftmesser
Exp.: Federkraftmesser
21
1.2.3.4. Zentripetalkraft
gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung mit
Zentripetalbeschleunigung rvaz
2. Newton´sches Axiom: amF
Zentripetalkraft wirkt in Richtung des
Zentrums der Kreisbahn
rmvmamF zz
tr
tv
x
y
PM
zz aF
,
Exp.: Federkraftmesser mit rotierender Masse
Papierscheibe und Kreide
Konisches Pendel
22
1.2.3.5. Reibungskräfte
1.2.3.5.1. Haft- und Gleitreibung
GHF ,
RF
gmFn
xe
x
GHF ,
nF
- Reibungskraft (H – Haftreibung)
(G – Gleitreibung)
-Normalkraft, senkrecht zur
Unterlage
xnGHGH eFF
,,
nGHGH FF ,,
GH , - Reibungskoeffizienten
(abhängig von Beschaffenheit der
Kontaktflächen)
GH
es gilt im allgemeinen
Exp.: Holzblock auf Holz, Messung von Reibungskräften mit Federkraftmesser
Schlaufe mit Gewicht auf schräger Achse
Ankerspill
Video
FH,G
23
1.2.3.5.2. Reibung in Fluiden
Reibungskraft ist Funktion der Geschwindigkeit des Körpers F = f(v)
a) Stokes Reibung bei kleinen Geschwindigkeiten
Bedingung: laminare Strömung, strömende Schichten (auftretende Wirbel sind stationär)
vFS
vrFS
6Bsp. Kugel mit Radius r: Stoke´sches
Gesetz
- Viskosität des Fluids, [] = kg (ms)-1
b) Newton Reibung bei hohen Geschwindigkeiten
Bedingung: turbulente Strömung (auftretende Wirbel sind instationär)
2vFN
v
vvAcF wN
2
2
- Dichte des Fluids
cw - Wert
A - Querschnitt des Körpers
24
1.2.3.6. Trägheitskräfte
-Trägheitskräfte treten auf, wenn Bewegung einer PM bzgl. eines beschleunigten KS (KS´)
beschrieben wird
-Trägheitskräfte sind Scheinkräfte
KS´ bewegt sich mit Beschleunigung bzgl. Inertialsystem KS Ra
PM mit Masse m in KS in KS´
Beschleunigung von m
Kraft auf m
a
Raaa
´
amF
´´ amF
RT amF
TF
ist Trägheitskraft
RamFF
´
TFFF
´
Exp.: Kugel auf Wagen,
Brett mit Wagen auf schiefer Ebene
25 25
Beispiel:
beschleunigter Fahrstuhl Tg FFF
´
zRz emaemgF
´
zR eagmF
´zg emgF
RR aa ,0,0
freier Fall: gaR ,0,0
0´F
fallender Körper ist
schwerelos Exp.: Poggendorf Waage
Beispiel: gleichförmige Kreisbewegung
tr
tv
x
y
PM
zz aF
,
KS
KS´
KS´ rotiert mit PM 0´ Tz FFF
zT FF
rmrvmFF zfT
Zentrifugalkraft:
Anwendung: Zentrifuge mFzf
Trennung nach Masse
RT amF
rmvmFz
Zentripetalkraft:
gF
Ra
KS
KS´
z
´F
26
rmFzf
sincos2 mgrm
g
r2
tan
dx
dy
g
x
g
r
22
tan
22
2
1x
gxy
Flüssigkeitsoberfläche
ist Parabel
Steighöhe ist nicht von m
abhängig
Exp.: rotierende Küvette
Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,
Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,
27
1.2.3. Bewegungsgleichung einer PM
allg. Bewegungsgleichung: rmF
zweifache Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit ergibt Weg-Zeit-Gesetz
der PM
beruht auf 2. Newtonschen Axiom
1
1cdtF
mtv
tr
212 ´1
cdtcdtdtFm
cdttvtr
Die Integrationskonstanten c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen der Bewegung
bestimmt.
z. B.:
00
00
vttv
rttr
28
1.2.3.1. Schiefe Ebene
x
xF x0
nF
gmFg
h
l
sinmgFx
cosmgFn Normalkraft:
Hangabtriebskraft:
x(t = t0) = x0, v(t = t0) = v0, t0 = 0 Anfangsbedingungen:
1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
tt
tx
v
v
dtgdtFm
dv0
sin1
00
tgvtv sin0
2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
t
x
x
dttvdx
00
200 sin
2
1tgtvxtx
tx
x
dttgvdx0
0 sin
0
gleichmäßig beschleunigte geradlinige
Bewegung
keine Reibung, FR = 0 a) keine Reibung, FH,G = 0
Exp.: Vergleich Impulsänderung und
wirkende Kraft auf schiefer Ebene
1
1cdtF
mtv
2cdttvtr
29
x
xF x0
nF
gmFg
h
l
GF
b) mit Gleitreibung, FG
cosmgFF GnGG
Gxgesx FFF ,
cossincossin, GGgesx mgmgmgF
1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
G
t
tgesx
v
v
dtgdtFm
dv0
, cossin1
00
tgvtv G cossin0
2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
t
x
x
dttvdx
00
200 cossin
2
1tgtvxtx G
falls 0cossin G
d.h. Gx FF
G tan gleichförmige, geradlinige
Bewegung
Exp.: schiefe Ebene mit Reibung
gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung
mit Reibung, FR = FG > 0
cosmgFn
1
1cdtF
mtv
2cdttvtr
30 30
1.2.3.2. Wurfbewegung
z
x xmax
0v
z0
zmax
zgz emgFF
Bewegungsgleichung: rmF
zyxmFFF zyx ,,,,
zyxmmg ,,,0,0
vertikale (z) und horizontale (x, y)
Bewegung sind unabhängig voneinander
Exp.: Unabhängigkeit der Bewegung
Lösung der Bewegungsgleichung für jede Komponente x, y, z durch zweifache Integration
nach der Zeit mit Anfangsbedingungen sin,0,cos 000 vvv
00 ,0,0 zr
200
2
1sin gttvztz tvtx cos0 0ty
Wurf in xz-Ebene
gleichmäßig beschleunigte geradlinige
Bewegung in z-Richtung
gleichförmig Bewegung
in x-Richtung
31 31
Bahngleichung: tvtx cos0 cos0v
txt
einsetzen in 200
2
1sin gttvztz
220
2
0cos2
tanv
xgxzz
z
x xmax
0v
z0
zmax Wurfparabel, z = f(x2)
- Reichweite xmax für z0 = 0 aus z = 0:
220
maxmax22
0
2max
maxcos2
tancos2
tan0v
xgx
v
xgx
2sincossin2 2
020max
g
vv
gx
- Höhe zmax für z0 = 0 :
g
vz
2
sin220
max
0
costan
220
v
xg
dx
dz
g
vx
cossin20
Extremwertaufgabe 0dx
dz
maximale Reichweite für = 45°
Exp.: Simulation Wurfbewegung
2
2ft
gh
32 32
Spezialfall: Vertikaler Wurf aus Höhe z0 = h:
200
2
1sin gttvztz
z
z0
h
20
2
1gttvhtz
= 90°
Spezialfall: Freier Fall aus Höhe z0 = h mit v0 = 0:
2
2
1gthtz
Fallzeit tf: 2
2
10 fgth
g
ht f
2
Exp.: - Freier Fall, tf = f(h) zur Bestimmung von g
- Darstellung h = g/2 tf2 d.h. h = m tf
2 ist Gerade mit Anstieg m = g/2
Bestimmung von Anstieg m über lineare Regression und
Ermittlung von g aus Anstieg m und g =g/2
33
1.2.3.3. Freier Fall mit Stokes Reibung
Kugelfall in Fluid mit Viskosität
Bewegungsgleichung:
vRF
vrF
S
S
6Reibungskraft:
(Stokes)
zmFF Sg
dt
dvmRvmg
v
v
t
t vm
Rg
dvdt
00 00
v
mg
R
R
mt 1ln
tm
R
eR
mgtv 1
t
t
x
x
dttvdx00 00
1t
m
R
eR
mt
R
mgtx
t
v
r
mg
R
mgtv
6
gttv 0
Exp.: Kugelfall in Wasser
Anwendung: Kugelfallviskositätsmessung
(Vernachlässigung von Auftrieb)
dt
dvv
m
Rg
34
1.2.3.4. Freier ungedämpfter harmonischer Oszillator
x
x = 0
-x
0xFR
xR eKxxF
Auslenkung der PM mit Masse m
erzeugt rückstellende Kraft:
KxxFR
xFxmF R Bewegungsgleichung: Kxdt
xdm
2
2
0202
2
xdt
xd
m
K0mit
wirkende Kraft oder Beschleunigung proportional und
entgegengesetzt zur Verschiebung x der PM sind
harmonische Schwingung
(harmon. Oszillator)
Bewegungsgln. des freien,
ungedämpften harmon. Oszillators
02
2
Kxdt
xdm
35
0202
2
xdt
xdLösung von (homogene Differentialgleichung 2.Ordnung) :
000 sin txtx
x
t
00
0
21
T
0 = 0
0 = 90° x0
-x0 0 = -180°
x0 - Amplitude
- Kreisfrequenz m
K0
2
00 - Frequenz
[0] = s-1
[0] = Hz = s-1
00 t - Phase der Schwingung mit
Phasenkonstante 0
K
m
T
2
1
00
- Schwingungsdauer
[T0] = s
da einsetzen von x(t) in Bew.-gln.
0sinsin 0020000
200 txtx
Exp.: Federschwinger, T0 m1/2
Anwendung: Molekülschwingungen,
Gitterschwingungen
36
1.2.3.5. Mathematisches Pendel
Radialkraft spannt Faden mit Zugspannung T TmgFr cos
sinmgFt Tangentialkraft verursacht Beschleunigung
Bewegungsgleichung: 2
2
sindt
sdmmgFt
sin2
2
gdt
sd
mit Kreisbogen ls 0sin2
2
l
g
dt
d
Grenzfall kleine Auslenkung <<1: sin
0202
2
dt
d
l
g0mit
harmonische Schwingung
(harmon. Oszillator)
Lösung: 000 sin tt g
lT
2
2
0
0 Schwingungsdauer:
0T ist unabhängig von m Exp.: math. Pendel, T0 m,
T0 l1/2, T0 = f(g)
rF
tF
gF
T
l
ts
m
ts - Kreisbogen
beschreibt Bahn
des Pendelkörpers
37
1.2.3.6. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator
freier harmonischer Oszillator mit Reibung (Stokes)
RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:
m
R
202 2
02
2
xdt
dx
dt
xd
m
K0mit
(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
und Dämpfungskonstante
Lösung für den Fall schwacher Dämpfung < 0:
tAetx t 'cos
gedämpfte Schwingung mit Frequenz
022
0'
x Einhüllende: tAe
Dämpfung
Exp.: Pendel in Wasser
physikalisches Pendel und Magnet
Anwendung: Spektroskopie im Zeitbereich
(NMR – „Free Induction Decay – FID“,
Dämpfung = Relaxation)
vRFS
Reibungskraft:
38
1.2.3.7. Erzwungene Schwingung
gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung
K x Bewegungsgleichung: tfx
dt
dx
dt
xd cos2 2
02
2
mit
(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
Lösung für t , stationäre Lösung: txtx cos
22222
0 4
f
x
220 2 r
xAmplitude ist von Erregerfrequenz
abhängig:
x
Exp.: erzwungene Schwingung mit
Federschwinger
Anwendung: Wechselwirkung
Licht – Materie
(Absorption, Dispersion)
max. Energieabsorption bei
r
m
Ff 0
tFtF cos0
xAmplitude hat Maximum bei der
Resonanzfrequenz:
0
d
xdaus
Resonanzkurve
rx max
39
x
txtx cos
22222
0 4
f
x
220 2 r
220
2tan
0
frequenzabhängige Amplitude
frequenzabhängige Phasenverschiebung
zwischen periodischer Kraftanregung
und Oszillator
Exp.: Spiralfeder,
Video Tacoma Bridge
rx max
40
1.3. Erhaltungssätze der Mechanik
1.3.1. Energieerhaltung
1.3.1.1. Arbeit und Leistung
b
a
r
rab rdrFW
PM m wird durch Kraft um Weg verschoben F
r
F
verrichtet Arbeit W an PM
rFW
[W ] = kg m2 s-2 = Nm = J
Beachte: W ist Skalarprodukt
cosrFW
r
F
wenn constF
Verallgemeinerung:
iii
rab rrFW
i
0lim
ar
- Anfangsort br
- Zielort
Arbeit:
Arbeit W >0, wenn Arbeit
an PM verrichtet wird !
Arbeit wird immer gegen eine im System vorhandene Kraft (z. Bsp. Schwerkraft, Federkraft) verrichtet
41
Leistung:
Leistung P ist die pro Zeiteinheit an PM verrichtete Arbeit
dt
dWP
Falls W zeitunabhängig: t
WP
[P] = Nm s-1
Falls zeitunabhängig: vFdt
rdF
dt
dWP
F
constF
(W = const)
Beispiel:
Fahrradergometer
42
1.3.1.2. Kinetische Energie
Erfahrung sagt:
Um einen Körper zwischen und auf eine
Geschwindigkeit v zu beschleunigen, muss man
die Arbeit W verrichten.
0r
r
Die Arbeit W ist in Form von kinetischer Energie in
dem sich bewegenden Körper gespeichert.
43
1.3.1.3. Potentielle Energie
Idee: Kraft leistet Arbeit
an PM
Arbeit wird in PM in
Form von potentieller
Energie gespeichert
PM kann diese potentielle
Energie wiederum in
Arbeit umwandeln, die
PM selbst verrichtet
Definition: ab
r
rabpot WrdrFrrE
b
a
,
Epot ist Maß für die im
System (PM) gespeicherte
Arbeit
Umkehrung:
z
rE
y
rE
x
rErF
potpotpot
,,
Konzept: Wenn die von der Kraft geleistete Arbeit Wab nicht vom Weg, sondern nur vom
Anfangsort und Endort abhängt, dann heißt die Kraft “konservativ“ und wir
können eine potentielle Energiedifferenz definieren. ar
br
FF
abpot rrE
, 0 rdF
Keine Reibung!
44
1.3.1.4. Energieerhaltungssatz
Berechnen die Zeitableitung der potentiellen Energie:
dt
dz
z
E
dt
dy
y
E
dt
dx
x
E
dt
trdE potpotpotpot
dt
dE
dt
rdmrrmrF kin
2
2
0dt
dE
dt
dE potkin
constEEE
EEdt
d
gespotkin
potkin
0Energieerhaltungssatz der Mechanik:
(gilt bei Vernachlässigung der Reibungskräfte)
Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen
Systems (keine Reibung !) ist konstant!
2
2
2
2
rm
vm
Ekin
dzz
Edy
y
Edx
x
EtrdE
potpotpot
pot
ausgehend vom totalen Differential
der potentiellen Energie
45
1.3.1.5. Energieerhaltungssatz - Beispiele
a) schiefe Ebene, keine Reibung
z
z = h
z = 0
zg emgF
m
m
1
2
01 v
constEEEEE potkinpotkinges )2()2()1()1(
mghmgdzrdFEhz
z
r
rgpot
b
a
0
1
02
21 vm
Ekin
Ort 1:
02 potE 22
2v
mEkin Ort 2:
constvm
mhgEges 2
200
ghv 2
vv 2
Exp.: schiefe Ebene, v = f(h)
(a)
(b)
46
bei :
b) Federschwinger, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)
000 sin txtx
0xtx bei :
00
0
0
20
0 2
xx
x
xx
xR
xxpot
xKKxdxdxFE
21 02
xvm
Ekin
0xtx 2
200
xKE
xxpot
00 xx
kinE
bei : 0tx 00 xpotE
220
20
20 0
22
1
2 xv
mxmx
KEges 000 xxv
Folgt auch für 0 = 0 aus:
00000 cos
00
xtx
txtv
Gesamtenergie des harmonischen Oszillators:
m
K0
RF
RF
00 xx
kinE
constEEEEEEExx
pot
xx
kin
x
pot
x
kin
xx
pot
xx
kinges )()()0()0()()( 0000
47
c) mathematisches Pendel, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)
mghEpot 0
00
kinE
00 potE
20
20
20
2 gl
mv
mEkin constgl
mEges 2
02
Exp.: Nagelpendel
0
h
l
2!2
11cos122
0oo mglmglmgl
10
tt 00 sin
tl
dt
ld
dt
dsv 000 cos
gll
gllv 00000
glv 00
Folgt aus: und l
g0
constEEEEEEE potkinpotkinpotkinges )()()0()0()()( 0000
48
1.3.2.1. Impulserhaltungssatz
Exp.: Pendelstoß mit mehreren Kugeln
Modell „isoliertes System“: Summe aller Kräfte auf alle N Teilchen im System ist null, d. h.
keine Kraft wirkt von außerhalb auf System! 0N
iiF
0
N
i
iN
i
iN
ii
dt
pd
dt
vmdF
constpN
ii
Gesamtimpuls der Teilchen in einem
abgeschlossenen System ist konstant!
1.3.2. Impulserhaltung
constpN
iix , constp
N
iiy , constp
N
iiz ,
In jeder Raumrichtung bleibt die Summe aller Impulse erhalten!
49
1.3.2.2. Schwerpunktsatz
Definition Schwerpunkt: isoliertes System
Schwerpunkt eines isolierten Systems ist
der Massenmittelpunkt
M
rm
m
rm
r
N
iii
N
ii
N
iii
S
constM
p
dt
rdv
N
ii
SS
Geschwindigkeit des Schwerpunkts:
Schwerpunkt eines isolierten Systems ruht oder
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
Exp.: Impulserhaltung
(Impulswagen, Wasserrad, Rakete)
constpvMpN
iiSS
Impuls des Schwerpunkts:
Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems
entspricht dem Impuls des Schwerpunktes
und ist konstant
50
Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz
4. Streich
51
Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz
4. Streich
52
„Und voll Dankbarkeit so dann
zündet er sein Pfeifchen an“
Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz
4. Streich
53
„Rums! Da geht die Pfeife los!“
constvmp ii
N
ii
Impulserhaltungssatz,
Für alle Gegenstände in
Meister Lampe‘s Zimmer
- vor Explosion ruhen alle
Gegenstände:
0 ii
N
ii vmp
- nach Explosion fliegen alle
Gegenstände in verschieden
Richtungen davon, aber
Gesamtimpuls ist wie vor
Explosion:
0' ii
N
ii ump
uLehrer Lämpel uOfen
uTisch uBrille
Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz
54
Beispiel: Zusammenstoß zweier Scheiben auf glatter Unterlage, !
vor dem Zusammenstoß: gespvmvmpp
221121
nach dem Zusammenstoß: gespumumpp
2211'2
'1
22112211 umumvmvm
'
2
'
121 pppp
constM
p
dt
rdv
N
ii
SS
1v
2v
1u
2u
Sv cm (center of mass)
- Schwerpunkt
0gesp
55
1.3.2.3. Stoßprozesse
1.3.2.3.1. Zentraler elastischer Stoß
m1 m2 1v
2v
x
Geschwindigkeiten vor Stoß:
Geschwindigkeiten nach Stoß:
0,0,11 vv
0,0,22 vv
0,0,11 uu
0,0,22 uu
Es gilt Impuls- und Energieerhaltung
Impulserhaltungssatz:
Energieerhaltungssatz: 222
211
222
211
2
1
2
1
2
1
2
1umumvmvm
Lösung für v2 = 0 (m2 ruht im Laborkoordinatensystem) 1
21
211 v
mm
mmu
1
21
12
2v
mm
mu
22112211 umumvmvm
56
Beispiele zentraler elastischer Stoß: 1
21
211 v
mm
mmu
1
21
12
2v
mm
mu
- m1 = m2, v2 = 0, v1 >0 u1 = 0, u2 = v1
Exp.: Pendelstöße mit m1 = m2
- m1 < m2, v2 = 0, v1 >0 u1 < 0, 0 < u2 < v1
Exp.: Pendelstöße mit m1 m2
- m1 > m2, v2 = 0, v1 >0 0 < u1 < v1, u2 > v1
- m2 = v2 = 0, v1 >0 u1 = -v1, u2 = 0 Reflektion an Wand
Stoß von Gasmolekül mit Wand (Fläche A): Impulsänderung: px = m1u1,x - m1v1,x = -2 m1v1,x
t
vm
t
pF
xxx
,112führt zu Kraft auf Wand
Druck der Gasmoleküle
auf Fläche A V
vNm
A
FNp
xxx2,11
N Moleküle im Volumen V
produzieren Nx Stöße pro
Zeit t auf Fläche A: V
tAvNN
xx
,1
2
Exp.: Pendelstoß mit Amboss, Astroblaster
Modell ideales Gas
57
1.3.2.3.2. Zentraler unelastischer Stoß
Exp.: Kugelfall auf Stahl, Messing, Blei
Es gilt nur Impulserhaltung
Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm
Energieerhaltungssatz gilt nicht, da Teil der mechanischen Energie in Wärme- und
Deformationsenergie umgewandelt wird: 222
211
222
2112 vmvmumumE
Bei einem perfekten unelastischen Stoß gilt: 21
221121
mm
vmvmuuu
Exp.: unelastische Stöße mit Sandsäcken
Crash Test (Video)
constpN
ii
58
1.4. Drehbewegung und starrer Körper
1.4.1. Spezielle physikalische Größen der Drehbewegung
tr
tv
t
PM
22
2
1rmErot
rv
Bahngeschwindigkeit:
rvv
,
222 rv
Rotationsenergie entspricht kinetische Energie bei Drehbewegung:
2
2
1vmEE rotkin
1.4.1.1. Kinetische Energie bei Drehbewegung - Rotationsenergie
59
1.4.1.2. Drehmoment und Drehbewegung
Exp.: Drehmoment und Drehtisch
Drehmoment FrT
[T] = Nm
x
tr
tv
t
PM
F
Drehmoment als Maß für die Effektivität der
angreifenden Kraft bzgl. der Drehbewegung
T
,FT
,rT
sinT
sinrFT
60
Allg. Bewegungsgleichung
für Drehbewegung
1.4.1.3. Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz
dt
pdrFrT
dt
pdr
dt
pdrpv
dt
prd
aber
dt
prdT
dt
LdT
prL
Drehimpuls [L] = kg m2 s-1
0T
constL
Wenn das angreifende äußere Drehmoment
null ist, bleibt der Drehimpuls erhalten
Drehimpulserhaltungssatz:
Bsp.: Zentralkraft, rF
|| Gravitationskraft, Planetenbewegung
Coulombkraft, Elektron im H-Atom
(Bohr‘s Atommodell)
rrmvmr
61
1.4.2. Mechanik des starren Körpers
1.4.2.1. Model starrer Körper
aufgebaut aus PM mi oder Massenelementen dm mit
festen Abständen untereinander constrr ji
x
y
z
ir imjr
kr
jm
km Modell:
und Gesamtmasse N
iimM
VM
dVrdmM
r
V
- Dichte
-Volumen
bzw.
dVrdm
mit
62
(Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems ( )
entspricht dem Impuls des Schwerpunktes
und ist konstant) x
y
z
ir imjr
kr
jm
km
Sr
Schwerpunkt:
M
rm
m
rm
r
N
iii
N
ii
N
iii
S
bzw. für homogenen Körper:
VM
S dVrrM
dmrM
r
11
V
S dVrV
r 1
Bewegung des Schwerpunkts:
SSS pvM
dt
rdM
G
SS Fdt
pd
dt
rdM
2
2
Schwerpunkt bewegt sich wie PM mit Masse M
unter Einfluss einer äußeren Gesamtkraft
(vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.)
0GF
Exp.: Drehmomentkörper
Doppelkegel
Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translations-
bewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durch
den Schwerpunkt
V
Mconstr
dVrdm
63
1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers
1.4.2.2.1. Drehmoment
- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch
Aufsummierung für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers
Idee:
Drehmoment FrT
sinrFT
r
T
F
- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers
Exp.: folgsame Rolle
64
Exp.: folgsame Rolle FrT
r
F
T
r
F
T
65
1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers
1.4.2.2.1. Drehmoment
- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch
Aufsummation für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers
Idee:
Drehmoment FrT
Exp.: folgsame Rolle
sinrFT
r
T
F
- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers
Gleichgewichtsbedingung 0i
iT
Summe aller angreifenden Drehmomente ist Null
Exp.: Schwerpunkt Besen
Hebel
66
Torque and Wrenches
wrench
torque is controlled by
length of wrench and force
you are applying
torque wrench
torque is controlled or
measured
by internal mechanism
(mechanical or electronic)
Exp.: Video Reifenwechsel
sinrFT
r =
F = = 90°
67
1.4.2.2.2. Rotationsenergie und Trägheitsmoment
22
2
1rmErot
PM
Starrer Körper:
Aufsummierung aller PM
bzw. Massenelemente i
iirot rmE 22
2
1
M
rot dmrE 22
2
1
mit Trägheitsmoment
IErot2
2
1
[I] = kg m2
für alle mi, da starrer Körper const
M
dmrI 2
Trägheitsmoment ist abhängig von
- Form und Masseverteilung des Körpers als auch von
- Lage der Rotationsachse bzgl. des Schwerpunkts und bzgl. der Symmetrieachsen des Körpers
ir
im
jr
jmkm kr
ir
68
69
Anwendung: Zylinder auf schiefer Ebene
Zylindermantel: 2
2
1MRIV Vollzylinder:
2MRIM
Energieerhaltungssatz:
000)( ,, zEzEzEhzEE rotvkingeskinpotges S
00)( , zEzEhzE rotvkinpot S
22
2
1
2
1IMvMgh s
Rollen ohne Rutschen: RvS
2
22
2
1
2
1
R
vIMvMgh s
s
2
2
R
IM
MghvS
Zylindermantel Vollzylinder
ghv VS3
4, ghv MS ,> Exp.: Zylinder auf schiefer Ebene
0 hzvs ss vzv 0
Ekin des
Schwerpunkts
Erot des starren
Körpers
RrS aus
z
z = h
z = 0
)(zvS
)0( zvS
R Sr
70
1.4.2.2.3. Drehimpuls
PM
Starrer Körper:
Aufsummierung aller PM
bzw. Massenelemente
i
iirmL 2
M
dmrL 2
rrmvmrprL
IL
Tdt
Ld
Tdt
dI
Bewegungsgleichung:
Drehimpulserhaltung: 0T
constL
I
LIErot
22
1 22
Exp.: Drehstuhl und Drehimpulserhaltung
ir
71
0Stuhl
0Stuhl
KreiselStuhl
fi II
M
dmrI 2
0T
constIL
ffii II
if
72
73
1.4.2.2.4. Anwendung – Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle
a) Trägheitsmoment
Bsp.: CO, NO, H2, O2, …
Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0
Rotationsachse durch Schwerpunkt
21
02
mm
rm
m
rm
rN
ii
N
iii
S
Schwerpunkt:
2022
1 SS rrmrmI
C
r = r0 r
r = 0
m1 m2 O
r = rS
20
21
2120 r
mm
mmrI
21
02
mm
rmrS
reduzierte Masse: 21
21
mm
mm
= 15.74 10-47 kg m2
12C16O
r0 = 0.115 nm
13C16O
= 0.115 nm
I = 15.05 10-47 kg m2
Bsp.:
Exp.: Rotation um freie Achsen
(Quader, Zylinder)
2
ii
irmI
Atome als PM
Trägheitsmoment:
74
b) Rotationsenergie
I
LErot
2
2
Quantenmechanik:
(Quantisierung des Drehimpulses)
122 JJL mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, …
12
2
, JJI
E Jrot
JrotE ,
1E
2E
3E
0,0 0 EJ
IEJ
2
1,1
IEJ
2
2
3,2
IEJ
2
3
6,3
JJJ EEE 1
1212
2
JJJJI
12
JI
c) Rotationsspektrum:
Bestimmung von I
und r0
aus Linienabstand I
2äquidistante Linien
Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz
20
21
2120 r
mm
mmrI
mit
J = 0 1 2 3 4
I
2
I
2
I
2
I
2
E = h
I
2
75
1.5. Wellen
Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung
einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.
z
rt
,
Exp.: gekoppelter Oszillator
76
1.5.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zz sin,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung
Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21T
0, zzt
z
zk
2
ztt ,0
A - Amplitude
- Wellenlänge
2zk - Wellenzahl
Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder
zkt z - Phase der Welle
[] = m
[kz] = m-1
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zz sin,
77
1.5.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zyx sin, ,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung
Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21T
0, zzt
z
zk
2
yxtt oder,0
0
,,2
22
2
2
z
ztv
t
ztph
Wellengleichung:
(Bewegungsgleichung)
(eindimensional)
Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine
Wellenmodell
phv - Phasengeschwindigkeit
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zyx sin, ,
z
phk
vmit
78
1.5.3. Phasengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit – Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle,
genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, ,
z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt:
zkt z
constzkt z
0 zktdt
dz
Bedingung:
0dt
dzkz phv
dt
dzmit
z
phk
vPhasengeschwindigkeit
Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium
in dem sich die Welle ausbreitet ab!
0 phzvk
Im allgemeinen gilt: sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen
wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften
zwischen den Teilchen
phv
phv
zkteAzt zyx sin, ,
Maximum
79
1.5.3. Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit
a) Seilwellen Transversalwellen
lm
Fvph
F – Zugkraft im Seil
m – Masse des Seils
l – Länge des Seils
b) Elastische Wellen in Festkörpern
Exp.: Seilwelle
Longitudinalwellen
Evph
E – Elastizitätsmodul
– Dichte
Transversalwellen
Gvph
G – Schub- bzw. Torsionsmodul
Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper
Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in
Al-Stab
c) Schallwellen in Gasen
pvph
Longitudinalwellen p – Druck
– Dichte
– Adiabatenkoeffizient
Exp.: Simulation von Schallwelle
80
1.5.4. Überlagerung von Wellen
1.5.4.1. Stehende von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter
Ausbreitungsrichtung
Welle in +z Richtung:
Welle in -z Richtung:
zktA z sin1
Superposition: zktzktA zz sinsin21
2cos
2sin2sinsin
2sin
2cos2
tzkA z
- Phasenunterschied
Schwingung
2sin
t
2cos2
zkA zmit ortsabhängiger Amplitude
zktA zsin2
Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt!
Resultat
81
2sin
2cos2
tzkA z
Diskussion:
Schwingungsknoten: 02
cos
zkz
212
2
nzkz
12
42212
1nn
kz
z
Schwingungsbäuche: 12
cos
zkz
nzkz
2
nn
kz
z
242
1
Amplitude oszilliert zwischen
-A und +A mit Schwingungsdauer
2T
Anwendung: Resonatoren, LASER
Knotenabstand: 2
z
82
Exp.: stehende Wellen
Reflektion am freien und festen Ende (Simulation)
Seilwelle
Wellenmaschine
stehende Welle im Hörsaal
83
1.5.4.2. Interferenz von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung,
aber konstanter Phasendifferenz = const
2sin1
zktA z
Superposition:
zktA z
sin2
cos2
2sin2
zktA z
21
2cos
2sin2sinsin
Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
0 02
cos 12 n
A2 12
cos n2
84
betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1
zkz
2zGangunterschied:
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
122
nz
nz
Exp.: Interferenz von Wasserwellen
(Simulation)
Interferenz von Schallwellen
Anwendung: Lichtbeugung,
Röntgenbeugung,
Elektronen- und
Neutronenbeugung
12 n
n2
z2 z1 z
Quelle 1 Quelle 2 Beobachter