1=l'ojet liB fln d'ntmles' - Intranet IRD

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1=l'ojet liB fln d'ntmles'Ecole polytechnique de Thies

Deuartement de Genie Civil

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Proj5. 11

~~Dysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~ŒD~Œœs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms

A me s parents,

A tous me s :frères et. soeurs,

A t.ous ceux qui ont contribué

â Fe i r e de mo i ce que je sui s.

Fa i t ~ g1Lb c) 0 U' g1L ~ i ~

Ecole Polytechnique de ThiésCi&CLIIJE :!!! JE

Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~no/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~U~mü~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~

REMIERCRIEMENTS

Je tiens à remercier, ici, Ml'. Jean Claude WARMAOES,

professeur à l'Ecole Polytechnique qui, malgré ses

lourdes charges à l a tête du département de génie

mécanique n'a jamais cessé de nous soutenir et de nous

encourager tout au long du travail,pas toujours facile

que nous avons eu à mener.

Je confonds dans le même hommage Ml' Samba DIALLO,

professeur de Route et transport au département de génie

civil de l ' Ec 0 l e Polytechnique de Thiès, dont

l'expérience pratique dans

gr-arid secours.

le domaine nous a été d'un

Que tout le personnel du centre de calcul tl'ouve ici

aussi l'expression de notre profonde gratitude pour le

soutien actif qu'il n'a cessé de nous apporter.

Je remercie, enifin tout ceux qui, d'une façon ou

d'une autre,

au j our-d ' riu i .

ont fait de ce projet ce qu'il est

Fa i t ~ ~Lb dl 0 U:. ~L "l i "lEcole Polytechnique de Thiés

<l&CU:lE. ;!!:IE.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~DV5œ ~œ5 5œ~aœs ~~~m~D~Œa~~œs~~~ ~~ rnœ~~~~œ ~œ œV~-~D~S

TABLE [lES MATmElRlES

INTRODUCTION. . . . . . . . . 1

CHAPITRE 1

PRESENTATION DE LA METHODE. . .

1.2 Cheminement de la méthode ...

CHAPTIRE 2.

IDENTIFICATION . . . . . . . . . .

2.1 Processus Autorégressifs AR .,

6

9

10

2.2 Processus de moyenne mobi le MA .. . . Il

2. 3 Processus mixte ARMA 12

2.4 Méthodologie d'identification .. .. 13

2. 5 Méthode 15

2.6 Exemples de processus .. .,.. 21

CHAPITRE 3

ESIMATION . . . .

3. 1 Estimé des paramètres.

30

31

Fa i t ~ g!Lb d 00 U 1 g1L'l i 'lEcole POlytechnique de Thiés

cseu~E.:!!~E.


Proj5. 11

Am~Uo/sœ Œœs sœ~Dœs ~~~~m~o~mô~~œs~~~ D~ rnœ~~~Œœ Œœ œID~-~Dms

3.2 Qualité des coefficients. 35

3. 3 Redondance paramétrique. 36

CHAPITRE l!

DIAGNOSTIC CHECKING.

ll-. 1 oua l i té des coefficients.

ll-. 1. 1 Stationnari te.

ll-. 1. 2 inversibi lité.

ll-.2 Autocorrélation des résidus.

4. 3 Test du portemanteau.

4.4 Reformulation du modèle.

CHAPITRE 5

PREVISIONS.

5. 1 Intervall es de confiance.

CONCLUSION.

ANNEXES.

37

37

38

39

41

L~2

45

ll-6

48

ll-9

51

Fa i t ~ g1Lb do 0 u. g1L"J i "JEcole Polytechnique de Thiés

fi&«J1E. !! lE.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~nysœ ~œs sœ~ôœs ~~~m~n~ffiô~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~O~

1WIITI RiGi DWI cm 1101 N

La statistique mathématique moderne peut se définir

comme un ensemble de méthodes pour prendre des décisions

raisonnables en présence d'incertitudes.

Cette réorientation de la statistique, opération-

nelle depuis le début du siécle, sous la houlette des

théoriciens anglo-saxons dont les chefs de file furent

K. PEARSON et FISHER se veut totalement différente de

l'idée qui consistait à considérer la statistique comme

la science du dénombrement. Cette nouvelle approche,

sous-tendue par le calcul des probabilités, est basée

sur une méthode inductive, i. e., utiliser le raisonne-

ment mathématique pour essayer de trouver le mécanisme

générateur d'une série statistique donnée.

La démarche de la statistique, à partir de ce moment

s'articule en trois phases qui peuvent étre schématisées

comme suit:

- La description qui consiste à effectuer une

mise en ordre de la série considérée en vue de

réduire le volume de données à une dimension

plu s man i ab le.

Fait~ ~b~ou' ~~ i. ~Ecole Polytechnique de Thiés

Page - 1 -

fi&(L.J1E.!!1E.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

AUlalD'0/ Se d1œ s s œu' 0e S <I: IhIr<DUlID D<DIE 0q]Ulœ S~aI~ Dai rnœa~<Ddlœ d1œ œV~-~D~

L'information contenue dans la sêrie est alors

exprimêe sous forme condensée à l'aide de

quelques graphiques ou valeurs types (moyenne,

êcart type, techniques multidimensionnel-

1es ... ) .

- L'analyse des r-ë s u Lt a t s s'en suit. Il s'agit

d'une tentative de formalisation de

l'information contenue dans 1 a série et

exprimêe lors de l'étape prêcêdente par les

graphiques ou valeurs types. Cette formalisa-

tion conduit à l'établissement d'une formule

mathématique rendant compte du comportement

passé de la sêrie et permettant d'en faire une

projection sur le futur.

- La prevision but ultime de la presque totalitê

des processus de modélisation consiste à pro-

jeter le modèle obtenu dans futur le pour

organiser cet avenir et ainsi prendre des

décisions.

Fait par: ~!.bdoU Il ~? ~ ?Ecole Polytechnique de Thiés

Page - 2 -

Ci&<U1E ;!! JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Oo/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~O~mü~~œs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~

Dans la grande majorité des modèles statistiques, il

est couramment admis que l.es observations varient

indépendamment les unes des autres. A tel point que,

dans plusieurs applications, une interdépendance de ces

observations, si petite soit elle, est considérée comme

nuisible à la qualité du modèle. Mai's une telle situa-

tion relève quand même de l'idéal car dans la réalitë de

tous les jours, les données, quelque soit leur- nature ou

leur processus d'acquisition, sont toujours liées entre

elles. Essayer de quantifier cette dépendance temporelle

existant à l'intérieur d'une série de données est le but

que se fixe la méthode de BOX et JENKINS dont il est

question dans ce projet. Plus même, elle fait de

l'interdépendance existant à l'intérieur d'une série

chronologique le soubassement de la démarche de cons-

truction de modêles stochastiques ainsi que de leur uti-

l isation. Nous allons dans ce qui suit essayer de

présenter succinctement cette méthode dans le but non

zeulement d'en rêv~ler toute la puizzance, maiz aussi de

montrer tout l'attrait qu'elle devrait avoir pour tous

les corps de métiers en général et pour les ingénieurs

de conception en particulier.

Fait par: ~booU' ~~ i ~

Ecole Polytechnique de Thiés

Page - 3 -

(SCUE!!:EAnnée Scolaire 1985-87

1

Proj5. 11

Am~Dys~ ~~s sœ~fi~s ~~~~m~D~mfi~~~s~~~ D~ rnœ~~~~~ ~~ œID~-~D~

Avant l'apparition de la méthode de BOX-JENKINS,

le type de prévision le plus souvent rencontré dans

la pratique statistique consistait à. admettre

l'existence d'une loi fondamentale indépendante de la

série, représentée par les données disponibles avec

un cert.ain caractère aléatoire. L'activité principale

de la méthode consistait donc à. isoler, le mieux pos-

sible, les caractéristiques stat.istiques de ladite

loi afin de l'utiliser comme base des projections

dans le futur.

Autrement di t , l'anal yse statistique, jusqu'à.

l'apparition des méthodes telles que celle de BOX et

JENKINS, se résumait à. une tentative d'ajustement des

observations à. un modéle préétabli par le calcul de

certains par-amë t r-e s. Ces mê t.ho de s , appl icabl es, quand

série contenait peu de fluctuations, atteignaient

Fait par: ~Lbôou. ~L~ i ~


Page - 4 -

G<U:IE.;!!:IE.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Dys~ ~~s s~~ü~s ~~~~~~D~mü~~~s~~~ D~ rn~~~~~~ ~~ œID~-~O~

rapidement leurs limites quand la vraie loi de varia-

tion de la sSrie ne suivait plus, pour diffSrentes

raisons, le criemi nerne n t qu'on voulait lui imposer.

Quand on sait qu'une sSrie est en gSnSral soumise â

la combinaison de trois types de variation:

- la tendance de la sSrie

- 1a composante cyc 1igue

- les variations alSatoires

on se rend compte que jusqu'ici le travail de

l'analyste des donnSes n'Stait pas de tout repos.

La mSthode de BOX-JENKINS a voulu s'affranchir

de cette contrainte et se propose, au lieu de suppo-

ser que la sSrie suit une loi de comportement prSala-

blement ê t.ab l Le , de dë t er-rru n e r- q u r e l Le est, pour

nous, 1 a mei Il eure loi de comportement de 1 a s ê r Le .

Cette nouvelle approche de la prSvision fait de

la mSthode dSveloppSe par les professeurs BOX et JEN-

KINS une v ë r t tabl e phi l o s oph i e car, en pl us de sup-

primer la n ê c e s s Lt.ë de faire au dSpart l'hypothèse

d'une loi de comportement de la s é r Le , elle offre

l'opportunitS de juger si une loi de variation est

Fa i t par: ab ~ <:> u 1 sglL'=J i '=JEcole Polytechnique de Thiés

Page - -5 -

(j&UE!!]~


Proj5. 11

~aDo/sœ ~œs sœ~oœs ~~~m~D~mO~~œs

~a~ Da rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~

satisfaisante et même è~ quelle est la prêcision

qu'on pourrait en attendre. Même si elle ne l'est

pas, elle donne des indications supplémentaires per-

mettant d'identifier la loi correcte.

m. l ChelmiilnellTlemlt dIe mal Iméltlhodle

La démarche suivie par la méthode de BüX-JENKINS

est celle en trois étapes de toutes les méthodes

d'analyse prêvisionnelle. A ce titre il peut être

schématisê par le diagramme suivant

Fait par: gltb~ou' ~(,~ i ~


Page - 6 -

C!&CL.JE!!:IE.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

AmffiO~sœ ~œs sœ~fiœs ~~~m~O~~fi~wœs~ffi~ Offi rnœ~~~~œ'~œ œID~-~D~

Etape 3 Test(DIQgnoSb'c. chee

klll j )

CHQ:ïx- d'un ,av de .rl.usieur~

~m'odeles sU5cèphblec; d~rr'e

m~cl1l'\ismes ge",!..rateu.r-s

E'shme.r. les rClr~me.he5·

Je~ rnoc:le.\t"SGhois-is ;

1ie~e:rpe 1.

Ver;fier /ic;adè'fuabon

du n'\ode\e

tai re d0Gpreci~loM

o~it.e rnod·ele

e';J~ -i\ Sa h5~i~c:i~r

Figure 1 : Organigramme de fonctionnement de

mêthode de BOX/et JENKINS"., ';;:",

Fa i t ~ ~b Cll <> u. ~ "3 ~ "3 C:&«..J:JE.!!:JE.Ecole Polytechnique de Thiés Année Scolaire 1986-87

Page - 7 -

Proj5. 11

Am~Do/sœ ~œs sœ~ôœs ~~IDmIDDID~ô~~œs~~~ D~ rnœ~~ID~œ ~œ œID~-~D~

PROCE~SUS

~ "H d;,...l.\:.\ a. acv.. 0 ~ ~"(t:l f-i" \4~ cl i sto "t' i 6\<l.s

Su,. V\'\ a.- "(li. y i <li l:. la. Q Ia.A to \,.a 1 \ ... LI u '" \4 ~

\a. ~a:'cQ~is..".1'l ~t:"IIi(<:ltw( ""'o~ha\'lr

1" "~'f i 4h "\0 dt.. è. ci Q"!> \~ ta. "n4 ~ 50

(1) ( J ),\)" ~(t;lc.(/.":>sus 1'!\(.O'YIYlIJ

do ""1\'1\ ll. .,.. ai 51'!> ~ 1ICJl... 1

t\ '" S 4.'(\(

0"/\ ez..":>t4..'<t. 1ua. la.'"T'I\o4«-k Ùlo\'il\ eL<:.r '

~di 9"" r

I~EALISATION ., MODE-LE

( 2)I----------'.-:".,~.. (U"CL.fCl.'ra:S(,~ ~q \-io';"~ldlA

.fto C:Cl.:c;,<,(t<s·.t-<O:\J~a. 'CM_,

v,~\\s!\",r. \~. ~~i \e) ,o"#. Ùt\oivi'r ...L.-~-:, ~ --J

,v.,.: ......... 0 ~~ \ a . "i.lJ ~ ~et.·r \-\ ~ la.det. .cl 0 "V\ YI 4. '( \ (l.. """ CL C.'0. 'YI i '!> '\'\4(1

~(''1\a:''('", t4U'/' da. ~ $a.-ii4.

Figure 2 _ Processus en trois étapes de la méthode de

BOX et JENKINS

Fait par: Z1LbooU 1 Z1L~ i. ~ Ci&CUlE.!!lE.Ecole Polytechnique de Thiés Année Scolaire 1986-87

Page - 8 -

ChaoLfn.<?\

2

Iii l '1 Iii

Froj5. 11

~al 0'r s œ dJœ s s œlr Ôœs ([ OllrlDOllD 0lDlE Ôq]lIJœ s~allr Oal rnœ~~lDdJœ dJœ œ~~-~Dms

L'identification est, par 'léfinition, le proces-

sus par le quel on reconnait la classe d'appartenance

d'un modèle. Elle repose sur le principe suivant:

Les données, dans une série chronologique, sont

r i ëes entre elles. La forme et la force de cette

interdépendance

caractéristiques

sont indiquées

statistiques

par

que

les deux

sont:

l'autocorrélation que nous abrégerons par acf (~uto-

correlation !unction) et l'autocorrélation partielle

ou pacf (Eartial ~uto~orrelation !unction).

L'étude du comportement de ces deux paramètres

permet de classer chaque série chronologique dans

l'une des trois catégories suivantes.

Fait par: ~f.bdou 1 ~f.~ i ~


Fage - 9 -

<l&<U1E 2!1E.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Mal 0 'l' s œ dJœs s œlr ôœ s cc Ollr(D01(D 0(DIE Ôq]LDœ slPallr 0al onœ1tOl(DdJœ dJœ lB([)X'(-.lJIIlI'D:OINS

Un processus est dit auto régressif quand la

val eur de la variable aléatoire Z à un instant t

donné est une combinaison linéaire des p valeurs

antérieures de cette mêrne variable aléatoire. On dit

alors qu'on a un processus autorégressif d'ordre p et

on le note AR(p). L'équation générale d'un processus

autorégressif d'ordre p s'écrit:

Cette équation se lira de la façon suivante:

La val eur de la variable aléatoire Z à

l'instant t est significativement liée aux p valeurs

précédentes de cette même variable aléatoire.

Exemples de processus ~

Zt=C+01Zt-1+at------------------------- AR(1)

Fa i t ~ ~b 0 <0 u. ~L 'O:J i 'O:JEcole Polytechnique de Thiés

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C!&<LlI1E,:!!! 1E,Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Note:

AlnalO~sœ dJœs sœrrfiœs <r:lhrr([)Ul([)O([)/EfiqJUJœs~alrr Dai rnœ~lh([)dJœ dJœ œ~~-~D~

On r-e c onna L t dans le premier exempl e un pro--

cessus Markovien ce qui a fait dire à certains

auteurs que la méthode de BOX et JENKINS est

une nouvelle façon de considérer les processus

stochastiques.

Un processus est dit de moyenne mobile si la

valeur de la variable aléatoire Z à un instant donné

est une combinaison linéaire des valeurs des valeurs

de l'erreur de régression jusqu'à l'ordre q. On dit

que ce processus est une moyenne mobile d'ordre q et

on le note MACq).

L'équation générale d'un processus de moyenne

mobile peut alors s'écrire de la forme suivante:

Fa i t ~ ~I.b dl 0 U. ~ -=J i. -=JEcole Polytechnique de Thi~s

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C!&CLJ1E~ lEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

ÂMllalOysœ dlœs sœll'fiœs a::lha'(I)IIl(I)O(I)/EUqjLOœSlPalll' 0al ll11œilOl(I)dlœ dlœ lB([)}1(-JJIEINI)(UlNS

Exemples de processus~

Zt=C.. e1Clt-1+at-----:-------------------- MA(1)

Note: Le signe (- ) devant les paramètres e est

une convention d'écriture

- Le paramètre (Cl est appelée tendance cen-

traIe de la série et une

moyenne de la série.

fonction de la

- L'appellation moyenne mobile est abusive

car la somme des différents coefficients e

n'est pas égal e à 1. Malgré cet

inconvénient, elle est couramment utilisé

dans la littérature.

C'est, comme l'indique assez clairement son nom,

un processus ayant les caractéristiques des deux pro-

Fa i t ~ ~Lb 00 U 1 gi!. -:, i -:,Ecole Polytechnique de Thiés

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Cl&<U1E 2!!1EAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

tWlal 0or s œ dlœs s œu' üœs ([ OlU'(DIIl(D 0(DIE Üqunœ s(pallr' 0al onœ1t01(Ddlœ dlœ lBtD>1C-JJŒIMJ::OINS

cessus sus-citées. C'est le processus le plus général

et le plus couramment rencontré en pratique, mais il

est beaucoup moins utilisé que les précédents car

demandant un effort de calcul nettement plus Lrnpo r->

tant donc moins économique. On le note ARMA(p,q) où p

est l'ordre de la composante autorégressive du modèle

et q est l'ordre de la composante de moyenne mobile.

Avant de présenter la démarche à suivre pour

reconnaitre un modèle, nous allons présenter quelques

opérations sur les séries chronologiques:

* Le centrage

Il a pour but de supprimer le paramètre C des

équations générale des modèles. Il est

par l'équation suivante:

défini

avec ~= (Ezt)/n est l'espérance mathématique de

la variable aléatoire Z

Fa i t ~ ~Lb d 0 U. ~L ':J i ':JEcole Polytechnique de Thies

Page - 13 -

C!&(LJ]E~ lEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~Oo/sœ ~œs sœ~üœs Œ~~mmmOm~ü~wœs

~~~ O~ rnœ~~m~œ ~œ œ~~-~D~

* La différenciation

Elle permet une expression plus concise, donc

plus facile â manipuler, des mod~les. Elle se

présente sous la forme suivante:

BZt=Zt-1

Bl<Zt =Zt-K

L'opérateur (B) appelé ainsi â cause de la ter-

minologie anglo-saxonne (BacKshift operator) se

comporte comme l'opérateur différentiel (d).

En utilisant cette double notation nous pouvons

réécrire les processus précédemment mentionnés de la

mani~re suivante:

MA :

où

autorégressif

de moyenne mobile

est 1" opérateur

Fa i t ~ ~b 00 u. ~L ~ i ~


Page - 14 -

<!SoUlE!! :JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Aolal Dys œ dlœs s œil" Üœs ([ iJlll"<DU1<D D<Dffl Üq]LDœ s~alll" Oal rnœ~iJl<Dcllœ cllœ œ~~-~oms

il'. • 5i Mé ltllloOdloO 1100 91 ii e

Comme mentionné au précédent chapi tre,

l'identification consiste essentiellement en l'étude

de la loi de variation des deux caractéristiques

statistiques que sont la fonction d'autocorrélation

(acf)

(pacf).

et la fonction d'autocorrélation partielle

,Comme toute autre type de corrélation, la fonc-

tion d'autocorrélation exprime la direction et la

force d'un lien unissant deux variables aléatoires.

L'autocorrélation ne se distingue de cette définition

que par le fait qu'elle exprime la corrélation

existant entre deux paramètres de la mème variable

aléatoire d'où le préfixe auto-. Comme fonction de

corrélation ses valeurs possibles vont de

avec:

-1 à 1

-1 pour une corrélation parfaitement négative

+1 pour une corrélation parfaitement positive

o quand les deux variable aléatoire son totale-

ment indépendantes

Fa i t ~ s;lLb Ô <>u. s;lL ~ i ~

Ecole Polytechnique de Tl1iés

Page - 15 -

C!&CU:JE :!!:JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Amal D0/Sœ clJœ s s œ[)" üe s cr: Ihlr<DD1<D D<DIE Üq]UJœ s~al[)" Dal rnœ~~<DclJœ clJœ œID~-~D~S

La formule la plus utilisêe pour calculer

l'autocorrêlation s' êcrit:

n-1E

N N

ZtZt+kt =1

rK=n-kE ( Zt)'t =1

Cette êquation est dêduite d'un calcul de

rêgression linêaire simple

Quant à l'autocorrêlation partielle (pacf) elle

exprime elle aussi la force et la direction de la

relation d'interdêpendance existant entre deux varia-

bles d'une même sêrie chronologique mais, à 1 a

diffêrence de son homologue (ae f) , elle permet en

outre de tenir compte de l'effet des autres variables

situêes entre celles que l'on essaie de caractériser.

C'est pourquoi elle est appelêe autocorrêlation avec

mémoire. Pour calculer ses valeurs. il faudrai t.,

idéalement procéder à un régression multiple. Mais

YULE et WALKER ont développé des formules simples

permettant, avec moins d'effort de programmation,

d'en avoir des estimations très précises.

Fa i t ~ ~b dl <> ut 1 ~"=J i "=JEcole polytechnique de Thiés

Page - 16 -

œCU:lE :!! EAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Do/s~ ~~s sœ~D~s ~~~~~D~mD~~~S~~~ D~ rnœ~~~~~ ~~ œ~~-~D~

H,-1

rK- E iJK - 1, J rK - jJ =1

k- 1

1 - E iJ]<: - 1, J r- jj =1

Une fois ces deux caractéristiques calculées, on

reconnait les modèles gràce aux trois principes sui-

vants:

1* Une loi de variation peut être approximée par

un modèle autorégressif stationnaire si et

seulement si sa fonction d'autocorrélation

décroît, en valeur absolue, exponentiellement

vers zéro tandis que sa fonction

d'autocorrélation partielle est identiquement

nulle au-delà du temps t-p. La valeur de p qui

est aussi égale au nombre pics significatifs

dans la représentation en histogramme des

p ac f s , est appelé ordre du processus. On note

.

Fait par: ~booU' ~~ i ~


Page - 17 -

(6VE ;!!:lEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Do/s~ ~~S sœ~D~s ~~~~m~D~mD~Œ~SIP~~ 0~ lIl1œllDl~~~ ~~ 1B({))\,(-JlIIDO: OINS

alors ce processus AR(p}.


un modèle de moyenne mobile stationnaire si

et seulement si sa fonction d'autocorrélation

partielle décroît, en valeur absolue, exponen-

tiellement vers zéro tandis que sa fonction

d'autocorrélation est identiquement nulle au-

delà du temps t-q. La valeur de q qui est

aussi égale au nombre pics significatifs dans

la représentation en histogramme des a c f s , est

appe l ë ordre du processus. On note alors ce

processus MA «n .


un modële de processus mixte stationnaire si

et seulement si fonction d'autocorrêlation

tout comme celle d'autocorrëlation partielle

décroissent rapidement vers zéro. L'ordre du

Il

processus est obtenu en prenant le temps (pl

au-delà duquel les autocorrêlations partielles

peuvent être prises pour identiquement nulles

et le temps «n au-delà duquel les auto-

Fait par: ~bd<>U. ~~, ~


Page - 18 -

GUE ~]E


Proj5. 11

~ffiDysœ ~œs sœ~ôœs ~hr~m~D~mô~~œs~ffi~ Dffi rnœ~~~~œ ~œ œID~-~O~

corrélations sont considérées comme toutes

null es.

Dans les trois propositions précédentes nous

avons utilisée le terme "identiquement nulle". Ceci

est à comprendre au sens statistique. Et pour savoir

jusqu'à quel point une des valeurs des autocorréla-

tions peut être prise pour non nulle; on procédera à

un test de l'hypothêse de nullité HO'

Pour ce faire on calculera l'erreur commise sur

l'estimation des autocorrélations. Pour un processus

stationnaire dont les résidus sont normalement dis-

tribués BARTLETTT a développé la formule suivante:

K-1s (rK) = (1 + 2 *E r l

j ) y, *n - y,j =1

Pour tester l'hypothèse HO nous utiliserons le T

de STUDENT de la façon suivante:

La distribution du T de Student nous permet de

Fait~ ~b~oU 1 ~'=J ~ '=JEcole Polytechnique de Thiés

Page - 19 -

GUE. !!15Année Scolaire 1986-87

Froj5. 11

dire que:

~~Do/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~D~ffiü~~œs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~

rK est statistiquement dirrerent avec 95ï. de

niveau de conriance si trK~2.0

Pour les autocorrêlations partielles BARTLETT

donne la formule suivante:

Le calcul de ces caractêristiques permet de

choisir un modêle d'essai aprês inspection visuelle

de la reprêsentation grapllique sous forme

d'llistogramme des acfs et p ac f s . Une fois un ou plu-

sieurs modèles retenus, on peut procêder à

l'estimation de ses paramètres.

Fait par: ~boou' glL~ i. ~Ecole Polytechnique de Thiés

Page - 20 -

(5CUlE~lE


Proj5. 11

~.3l D0/S e dlœS S œrr fie S le Illcr'<Dcrl<D D<DIE fiqunœS

~alrr Dal rnœ~lll<Ddlœ dlœ œ~~-~DWS J

/1.0 -r- A.O_~

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Page - 21 -

Proj5. 11

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Page - 22 ..

Froj5. 11

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Page - 23 -

Proj5. 11

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Page - 24 -

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Page - 25 -

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Page - 26 -

Froj iW1alOo/Ste dJœsr

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Page - 27 -

Proj5. 11

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"Annee Scolaire 1985-87

Page - 28 -l,·

Proj5, 11

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..Ecole Polytechnique de Annee Scolaire 1986-87

Page - 29 -

3

Proj5. 11

Am~Oysœ ~œs sœ~oœs ~~~~m~O~mo~~œs

~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~

[~lUI!!~[l!.!.Q.l!i.

lQ.L~Ji

~~i!I~J.~JI[lE.[~

L'estimation des paramètres d'un modèle peut

ètre vue comme étant un raffinement de l'analyse

faite lors de l"étape d'identiflcation. En effet, une

fois les autocorrélations et autocorrélations par-

tie 11 es cal cul ê e s et qu r uri modè l e de base (AR, MA, ou

ARMA ) aété choisi en suivant les principes exposés

dans le chapitre précédent, l'estimation consiste ~

calculer les paramètres requis par le modèle en ques-

tion et ~ discuter de leur qualité et de leur apti-

tude ~ modéliser la série donnée.

Il Existe plusieurs méthodes d'estimation de ces

paramètres allant d'une simple analyse de regression

(pour les processus autorégressifs purs) au lissage

par la méthode des moindres carrés non linéaires.

La meilleure de ces méthodes ce jour

dë ve Loppë e , est celle dite du compromis de MARQUARDT.

Fait par: glLbdou' glL':J i ':JEcole Polytechnique de Thies

Page - 30 -

C!&(LJ:lE ;!!:lEAnnee Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Dys~ ~~s sœ~ôœs ~~~~m~D~Œô~~~S~~~ D~ mœ~~~~~ ~~ œ~~-~u~ ]

Compromis parce qu'alliant la résolution des syst~mes

équations non linéaires par la méthode de GAUSS-

NEWTON au moindres carrés non linéaires. Dans sa

démarche, le compromis de MARQUARDT part d'un ensem-

ble de valeurs d'essais pour les coefficients tente

d'en trouver de meilleurs, c'est à dire des coeffi-

cients minimisant l a somme des carrés des r-ë s i du s. Sa

procédure systématique a pour résultat d'entrainer

une convergence raplde vers les meilleures estima-

tions possibles pour les param~tres recherchés.

Pour notre part nous avons préféré utiliser la

méthode développée par YULE et WALKER pour estimer

les paramètres du modèle pour des raisons d'ordre

pratique, mais aussi guidé par un souci de cohérence

entre toutes les étapes.

YULE et WALKER nous font rema~quer que le calcul

des paramètres d'un modèle général d'ARMA(p, q) peut

Fait par: ~f.boou' ~f.-=J i-=JEcole Polytechnique de Thiès

Page - 31 -

Cs&CU1E :!!! 1EAnnée Scolaire 1986-87

Froj5. 11

km~Oysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~O~Œü~~œs

~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~

être fait en deux étapes successives:

- Déterminer les coefficients d'autorégression

du modèle

- Réécrire le modèle sous la forme d'une moyenne

mobile pure

Déterminer les coefficients du modè 1 e de

moyenne mobile

En appliquant cette méthode on trouve pour les

modèles d'ordre infêrieur ou égal à 2 les valeurs de

la page suivante.

La procêdure de YULE-WALKER fournit en même

temps les matrices de variance covariance qui permet-

tent d'avoir, au moment de l'estimation, une idêe sur

non seulement la dispersion des paramètres estimées,

mais aussi sur la degré de corrélation existant entre

les paramètres que l'on vient d'estimer. Ceci nous

permet, à ce stade, de procéder à une première véri-

fication de l'adéquation entre le modèle que l'on

suppose générateur de la série et la série

Fa i t ~ g:!Lb ô 0 u. g:lf. "l '" "lEcole Polytechnique de Thiés

Page - 32 -

Cl&<UJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Uysœ ~œs sœ~üœs ~~~m~U~mü~~œsIP~~ U~ rrnœ"tl:.lh~~œ cüe 1E([J}l(-JJŒIM)(DINS

Processus

AR (1)

MA (1)

AR(2)

Paramètres

r =Q1 1

-8ri = 1

1 +81

r (1-r )Qi = 1 2

1-ri1

r -ri82=--Z--i

1-r l

1

1

8 (1-8 )

ri =- 1 2

1 +81 +81

MA(2) 1 2

8r2=- 2

1 +81 +81

1 2

(1-8 ~\ ) ({) -8 )

ri = 1 1 1

1 +81 -2Q 81 1 1

ARMA (1, 1 )r2= r {)

1 1

Tableau 1: Valeurs des coefficientspour les modèles les plus

courants

Fa i t ~ glLb 0 00 u, gll."'l i "'lEcole Polytechnique de Thiés

Page - 33 -

C!&eu~E 2! ~EAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~@Oysœ ~œs s~~fiœs ~~~IDmIDOIDmfi~~œs~@~ O@ rn~~~ID~œ ~œ œID~-~U~

Les mêmes équations donnent aussi une estimation de

l'erreur commise ainsi que de la corrélation entre les

par-amë t r-e s estimés. Ces résultats sont compilés dans le

tabl eau suivant.

Modèles

AR (1)

MA (1)

MA(2)

ARMA (1, 1 )

Variance-corrélation

V ( Q1 ) =n - 1 ( 1 - QI 1)

V(8 ,8 ) =n- 1 (1-81 )122

8a=- __1_

1-82

(1-Q8)1 (l-QI )

V (Q) = -(Q -81 )

(1-Q8)1 (1-81 )

v (8) =(Q-81 )

( 1 - Q8) ( 1 - QI ) (1 - 81 )a=-----------

( Q-81 )

Tableau 2: Variances et coefficientsde corrélations des modèles courants

Fa i t ~ glLb dl 0 LI 1 glL ~ a ~


Page - 34 -

Cl&CU:lEi:!!! :lEiAnnée Scolaire 1985-87

Am~ilo/s~ ~~s sœ~ü~s ~~~m~il~Œü~~~S[p~n' il al l1T1œitlh~~~ cüœ lB([)}1(-JJIllNlJ( OINS

Proj5. 11

Ir========================ïl

Tout comme lors de la précédente étape (IDENTI-

FICATION), la qualité statistique des coefficients

estimés est à vérifier. Pour ce faire, on uti 1 isera

le même T-test de STUDENT pour évaluer l'hypothèse de

nullité HO:

teK=

les racines carrés des

variances données dans le tableau prêcédent.

Fa i t ~ glLb 0 <> u.' glL"'J & "'J1 Ecole Polytechnique de TI1iés

Cl&CUJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87

Page - 35 -

Froj5. 11

~l~Oysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~O~~ü~wœs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms

lRedlq:>lndlalln<ce /pallrél1llllé ltr ii qlule

On dit qu'on a une redondance paramétrique dans

un modèle ARMA(p,q) s'écrivant:

où

9 (B) = ( 1 - aB) 9' (B)

8 ( B) = ( 1 - f3B) 8' (B)

si a=f3.

En effet, après simplification, l'ordre du

modèle diminue de 2 unités et ne pas relever cette

particularité, serait d'essayer d'appliquer au modèle

plus de paramètres qu'il n'en requiert, ce qui en

plus de ne pas être économique conduit quelques fois

â des singularités dans certaines matrices de tra-

vail.Ce serait le cas par exemple d'un processus

ARMA(l,l) où 9=8. En effet, en ce moment, la variance

du processus tend vers l infini. Ce cas est rencontré

dans la pratique lorsque les paramètres d'un modèle

AR(l) ou MA(l) sont très petits et ont été assimilés

â zéro lors d'un premier essai d'identification.

Fait par: ~boou U ~{.~, ~


Page - 36 -

c&eu~E !!!~EAnnee Scolaire 1956-87

· III

4

Proj5. 11

km~fiysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~&fi~~œs

~~~ U~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~

Une fois les paramètres du modèle expliqués dans

le chapitre précédent, il s'agit dans celui-ci de

procéder à la certification ele ces paramètres pour se

prononcer leur aptitude réelle à ètre utiliser pour

établir des prévisions.

La première étape du diagnostic est la

vérification de la qualité statistique des coeffi-

cients trouvés lors de l'étape d'identification du

modèle. Pour ce faire, les paramètres trouvés doivent

satisfaire plusieurs exigences qui ont pour nom:

- stationnarité

- inversibilité

- significativité

Fa i t ~ ~Lb ô <> U. ~"=J i. "=JEcole Polytechnique de Thies

Page - 37 -

CI&<LlI:JE. :!!:JE.Annee Scolaire 1986~87

Proj5. 11

~~Oysœ ~œs sœ~Dœs ~~~~m~O~mü~~œs

~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms

L'objectif de ce critère est d'assurer une con-

vergence de la procédure d'estimation de ces par-

amètres qui, est-il besoin de le rappeler, est une

procédure itérative de résolution de systèmes

d'équations non linéaires.

Pour vérifier si un processus est stationnaire ou

non, nous procédons dans la pratique a

un inspection visuelle de la courbe

représentative de la série considérée pour

essayer de voir si on n'a pas une variation

dans le temps de la moyenne auquel cas nous

devrons procéder a une différenciation de la

série autant de fois que cela s'avérera

nécessaire

un examen de la représentation des auto-

corrélations pour voir si elles décroissent

"rapidement" vers zéro. C'est a dire, prati-

quement, si les valeurs absolues du T

(T-val) sont inférieures a environ 1.6 pour

les valeurs de K(time-lag) supérieures a 5.

Fa i t ~ 2;lLb <.:lI 0 LI' 2;lL ~ i ~


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Ct&CLJJE :!.!JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~D~sœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~O~mfi~wœs

~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms

Ces nombres ne sont donnés qu'à titre

catif.

indi-

examiner chaque coefficient Q pour voir

satisfait les conditions limites

établ i e s. Ces coefficients seront donnés

pl us bas, dans le t.ab l eau 3.

Ce critère s'applique aux coefficients e des

processus de moyenne mobile (MA). Il sert à vérifier

que l'influence des autres valeurs de la série dimi-

nue à mesure que l'on s'éloigne dans le passé ( ce

qui est presque naturel). Cela peut se faire en

s'assurant que

vérifiées.

les conditions du tableau 3 sont

Le tableau 3 est donné à la page suivante

Fa i t ~ g1Lb 00 0 LI 1 g1L ~ ~ ~

Ecole Polytechnique de Thi~s

Page - 39 -

Cl&CLJ:lE:!!! :lEAnnee Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Ordre

~~Dysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~mfi~~œs

~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~o~

Stationnarité Inversibilté

1 -1 < Ql < 1 -1 < e < 11

-1 < Q < 1 -1 < e < 12 2

~2 + Q < 1 el' + e < 12 fi 1 "l- 1

Q - Ql < 1 e - e < 12 2 1

l , 1 -1 < e < 11

Tableau 3 Limites de validité des coefficients

Une fois les paramétres vérifiés, on doit

procéder à la vérification globale de tout le modéle.

Pour ce faire, on se rappelle qu'on avait posé comme

hypothése que les erreurs résiduelles suivaient une

distribution normale de tendance centrale nulle.

C'est cette caractéristique que l'on essaie de

vérifier en se penchant sur l'autocorrélation des

résidus.

Fa i t par: glLb dl <> U. glL"J i "JEcole Polytechnique de Thiés

Page - 40 -

<I&<U:J5. 2!!!]5.Année Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~m~nysœ ~œ5 5œ~ôœs ~~~m~n~mô~~œs~~~ n~ mœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms

Soit racf, l'autocorrélation des résidus (at) de

l a série. Le calcul de ce paramètre se fait dans le

but d'avoir une idée, comme lors de l'identification,

sur la relation d'interdépendance existant entre les

résidus (at). Si cette caractéristique est statisti-

quement différente de zéro, on peut alors conclure

qu'il y a un ou plusieurs paramètres qui n'ont pas été

pris en compte dans l'expression mathématique de la

série, dépendamment du nombr-e de racfs qui ont été

non nulles.

L'autocorrélation des résidus se calcule de la

méme maniè~e que l'autocorrélation de la série. La

série s'écrit alors:

ns(rj{)=(1+2E r· J

h 2 ) Y.n - Y,t =1

s étant la variance des racfs (BARTLETT)

Fa i t ~ 2:lLb dl 0 u B g1L ~ ~ ~


Page - 41 -

CS«UJE!!JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Cette

~~nvsœ ~œs sœ~üœs ~~~m~n~mü~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~oms

dispersion des racfs nous permet de

vérifier l'hypothèse de nullité en utilisant le test

du T de STUDENT.

Les valeurs des autocorrélations résiduelles

sont statistiquement différentes de zéro si:

k ! 3

k > 3

1 T-val 1 z 1. 25

1 T-val 1 !. 1. 60

Il est utilisé pour tester l'hypothèse de nul-

lité HO mais avec la condition de simultanéité en

pl us.

HO: r-1 =r 2 =r 3 = =r 15: a

Pour ce faire, LJUNG et BOX proposent de cal-

culer la caractéristique Q suivante:

Fa i t ~ sglLb 00 U 1 sglL'Cf i 'CfEcole Polytechnique de Thiés

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Ci&CUl1E ;!!!1EAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~Dysœ ~œs sœ~üœ5 ~~~~m~D~Œü~~œs

~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms

10:n(n+2) L: (n-]<;.) -l r]<;.A2 (at)

]<;. :

5

1

LJUNG et BOX ont montré que 0 suivait une distri-

bution en KHI-CARRE avec 15-m degrés de liberté 00 m

est le nombre de paramètres nécessaires pour un

modè 1 e donné:

m:2 pour les processus AR(l) et Ma(l)

m=3 pour les processus AR(2), MA(2) et ARMA(l,l)

Les valeurs de 0 obtenues dans la formule sont à

comparées avec les valeurs critiques données dans le

tableau suivant:

Degré Niveau de confianceProcessus de

Liberté 75 f. 90 f. 95 f.

AR (1) 13 16. 0 19. 8 22.4-

AR(2) 12 14. 8 18. 5 21. 0

MA( 1) 13 16.0 19. 8 22.4-

MA(2) 12 14. 8 18. 5 21. 0

ARMA (1, 1 ) 12 14. 8 18. 5 21. 0

Tableau ~ Valeurs critiques de 0

Fait ~ ~f.booU' ~~ i ~


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CI&<UJE !!JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~Dysœ ~œs sœ~üœs Œ~~~m~D~mü~~œs~~~ D~ mœ~~~~œ ~œ œ~~-.mDNOCD~

Si le paramètre Q calculé est ini'erieur il une

valeur du tableau precedent, alors on dit que

l'hypothèse qui veut que les coei'i'icients

d'autocorrélations des résidus soient tous nuls, est

satisi'aite il un niveau de coni'iance correspondant il

la colonne qui a éte utilisée pour établir cette

comparaison.

Pour un processus AR (1) par exempl e, pour les

autocorrélations des résidus soient significativement

différentes de zéro avec 95 ï. de niveau de confiance,

il faut que Q > 22.4

Il existe aussi d'autres caractéristiques per-

mettant de se prononcer sur le choix d'un ou de

plusieurs modèles stochastiques comme mécanismes

générateurs d'une série donnée. Nous en avons choisie

deux: la RMSE (Root Mean Square Error) et la MAPE

(Mean Absolute Percent Error). La première est une

autre expression de la dispersion des résidus tandis

que la seconde mesure le degré de précision, en val-

eur relative, qu'on devra attendre du modèle. Elles

sont données par les formules suivantes:

Fait ~ g1Lboou U g1L~' ~


Page - 44 -

Ci&CUJE !!JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

~~Do/sœ ~œs sœ~Dœs ~~~m~D~mD~~œs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œv~-~n~

1 nRMSE=----

n

100MAPE=----

n

m

:t\_1t .

La reformulation du modèle a lieu quand on

trouve une certaine autocorrélation des résidus.

Comme guide de la reformulation on utilisera le

diagramme des autocorrélations des résidus qui donne

le nombre de paramètres manquant à la formulation par

le nombre d'autocorrélations résiduelles non nulles.

Fa i t ~ SJlLb 00 u, glL ~ i ~


Page - 45 -

Ci&CU:lE.2!:lE.Année Scolaire 1986-87

5

l'': - I."·'.~ -. · · · . · l':: 1·'t·~····I>·.- ~, . ~ .., ... -', ... . . -.

Proj5. 11

~~Dys~ ~~s sœ~ü~s ~~mmmDm~ü~w~s

~~~ D~ rnœ~~m~~ ~~ œID~-~U~

Cette ultime étape de la méthode de BOX-JENKINS

est la finalité de tout modèle d'analyse prévision-

ne Ile. La prévision se fait par l'utilisation de

l'équation développée et vérifiée lors des précéden-

tes étapes:

avec

nC=~(1-L:: ih)

i =1

1 n~ = - L:: Zt

n t=l

A l'a.lde de l'équation précédente, pour

n'importe qu'elle valeur de t, Zt peut ètre calculé

si les valeurs antécédentes ) sont

connues. A partir d'une origine définie, toutes les

valeurs subséquentes de Zt peuvent ètres générés en

faisant les hypothèses suivantes:

- A un instant t postérieur à la dernière date

de l a série, les valeurs de Zt-l et de at-l

sont égales à leurs valeurs les plus probables

Fa i t ~ glLb 0 0 ur' glL ~ i ~


Page - 46 -

Cl&CU15, ;!!15,Année Scolaire 1986-87

Froj5. 11

~m~Dysœ ~œs sœ~oœs Œ~~m~D~mo~wœs~~~ D~ mœ~~~~œ ~œ œ~~-~ows

* pour Zt, sa val eur la plus probable

est celle obtenue à pratir de

l'équation précédente.

* pour at, sa val eur la plus probable

est égale à zéro.

Rappelons que, tel que mentionné à

l'introduction, la méthode de BOX et JENKINS

s'appliquent à la prévision à court terme. La raison

en est que la supposition faite précédemment conduit,

pour une série stationnaire, à une convergence des

prévisions vers la moyenne arithmétique de la série

car, si l a val eur l a pl us probabl e du terme tenant

compte de l'erreur résiduelle est nulle, on remar-

quera, en regardant l'expression générale des séries,

qu'à la limite nous n'aurons que des termes autoré-

g r-e s s i f s qui, comme on l'a déjà montré au chapitre

précédent tendent vers zéro, à mesure que l'ordre du

processus augmente. On peut même dire que pour un

processus de type MA(q), à un instant to " t+q, t

étant l'origine de l a prévision, toutes les valeurs

prévues de

considérée.

ZtO sont égales à la moyenne de la série

Fa i t ~ ~t::> Ô' 0 u! ~L ~ i ~


Page - 47 -

œ CUJE. :!! :lE.Année Scolaire 1986-87

Froj5. 11

Am~Oysœ ~œs sœ~ôœs ~~~~m~O~mô~~œs

~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms

Si on a par exemple un processus MA(l), toutes

les valeurs de prévisions au-delà de l'ordre 1 sont

égales la moyenne de la série.

Notons que si la série n'est pas originellement

stattionnaire et qu'il a donc fallu lui appliquer la

méthode de BOX et JENKINS après l'avoir rendue sta-

tionnaire par différenciation successive, ce qui

vient d'être dit plus haut ne lui est pas applicable

car ne fluctuant pas autour d'une valeur fixe ( cri-

tère de stationnarité), on ne doit pas s'attendre à

ce que ses valeurs les plus probables (prévisions)

convergent vers la moyenne de la série.

Il 1I11l<elr'!'al Il Il e s dl<e lC<lHli1' li amc e d1<e:li IPtré'!' ii:li li <OII1:1i

Soit et(l) l'erreur de prévision commise sur une

valeur située à une distance

prévisions. On la note:

l de l'origine des

Fa i t ~ ~b dl 0 u. glL"=J i. "=JEcole Polytechnique de Thi~s

Page - 48 -

Cl&<UJE :!! JEAnnée Scolaire 1956-57

Proj5. i i

Am~Dysœ ~œs sœ~üœs ~~~romroDromü~~œs~~~ D~ rnœ~~ro~œ ~œ œID~-~O~

La valeur de la dispersion des erreurs résiduel-

les de prévision est donnée par leur variance.

al [e t ( l ) ]

Si les erreurs résiduelles son normalement dis-

tribuées (hypo t.n ë s e que nous avons déjà formulée), et

si la taille de l'échantillon est assez grande, alors

les les prévisions suivent elles aussi une distibu-

tion qui peut être prise pour normale. On peut donc,

autour de chaque point de prévision, définir un

intervalle de confiance en utilisant une table de

probabilités pour une distibution normale.

Fait par: glLt::>dou D glL~ ~ ~


Page - 49 -

CI&CLlIJE :!!! JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. 11

Am~Oysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~O~mfi~~œs

~~~ O~ mœ~~~~œ ~œ œ~%-~o~

lfJQJ~.lf..l1.11U2. illQ.l!!.

Nous dirons que l'outil qui a été présenté dans

les pages préëédentes n'est et ne sera jamais qu'un

outil, puissant certes, mais il n'est ni plus ni

moins q'un instrument de travail dont la pleine

mesure n'est atteinte que par un utilisateur ayant un

solide background en théorie des processus stochasti-

ques. Mais il n'en demeure pas moins utilisable (dans

sa version programme d'ordinateur) par n'importe

qu'elle personne sachant manipuler un tant soit peu

des données statistiques.

Sa facilité d'abord fait, de jour en jour, gros-

sir le nombre de ses adeptes. Mais il faudrait peut

être dire qu'aucune méthode statistique ne peut

fournir des résultats de prévision plus précis que

les données elles-mêmes. C'est pourquoi une attention

soutenue devrait être accordée aux méthodes

d'acquisitions des données en vue de leur traitement

stat i st ique.

Fa i t par: ~b CIl 0 U. S9L ~ ~ ~

Ecole Polytechnique de ThiésCl&CU:lE ~:lE


Proj5. 11

Am~Oysœ ~œs sœ~ôœs ~~~m~O~mô~~œs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~o~

La méthode qui vient d'être présentée est

générale et s'applique à tous les corps de métiers.

Cette universalité est due au fait qu'elle ne présup-

pose pas l'existence d'une loi fondamentale sous-

jacente à une série statistique donnée mais propose

plutôt une démarche rigoureuse applicable quelque

soit l'origine et la dimension de la série.

Nous avons en ce qui nous concerne essayer de

déblayer le terrain et de proposer à l'analyste des

données, un outil qui, bien que paraissant simplifié,

n'en permet pas moins de résoudre la quasi-totalité

des problèmes qui se posent à lui.

Les cinq modèles stochastiques présentés tout au

long de ce travail doivent nécessairement satisfaire

ses besoins. Si tel n'était pas le cas, il devrait se

poser des questions sur les jugements qu'il a fait

tout au long du processus de modélisation.

Le programme joint en annexe devrait l'aider

dans cette tâche souvent ignorée qu'est l'analyse

prévisionnelle.

Fa i t ~ glLb dl <> lU. glL '=J i '=JEcole Polytechnique de Thiés

Page - 2 -

Ci&CUJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87

Proj5. i i

, -Am~Dvsœ ~œs sœ~uœs Œ~~m~D~mD~~œS

~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Drns

Dans les pages qui vont suivre nous donnons le

listing du programme qui a été écrit comme support

pratique de l'analyse des données par la méthode de

BOX et JENKINS.

Le programme écrit en FORTRAN 77 se veut modu-

laire et chacun des chapitres précédents fait

l'objet de

repérabl es.

sous programmes et sont ainsi aisément

La technique de choix à l'aide de menus a été

utilisé tout au long du développement de ce logiciel,

ceci dans le but d'offrir à l'utilisateur une cer-

taine forme d'interactivité lui permettant de reve-

nir à n'importe quel moment de la modélisation sur

les décisions qu'il a prises ou alors de modifier l'

ordre des étapes pour satisfaire des besoins propres.

On peut par exemple, tout de suite après avoir estimé

les coefficients du modèle, procéder à une prévision

dans 1 e but, par exemple, d'avoir une idée sur le

Fa i t par: ~b 0 QI u, glL ~ i ~


Page - 52 -

Ci&(LJ:JE ~:JEAnnée Scolaire i966-87

'Proj5. 11

~ffiDysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~D~Œü~~œs

~ffi~ Dffi rnœ~~ID~œ ~œ œID~-~Dms

comportement de la sérle dont on dispose à un certain

ordre.

Il faut quand mème noter que cette version est

préliminaire car nous n'avons pas pu procèdé

pr-o c ë de r-, au moment de la remise du projet à un test

complet du logiciel. Néanmoins une version compilée

devrait être disponible au centre de calcul de

l'Ecole POlytechnique de Thiès.

Fa i t ~ glf,b 0 <> U 1 s;lL ~ ~ ~


Page - 53 -

Ct&eulE~lE


Proj5. 11

AmmDysœ ~œs sœ~üœs ~~~ID~IDDID~ü~~œs~m~ Dm rnœ~~ID~œ ~œ œ~~-~D~

BIBLIOGRAPHIE

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~rah·st".,-cs in Inseneennj and manG\3ement. scien-c.e 1/

, , ,

Fa i t ~ gI{. b dl 00 U' gI{. "J i "J C!&CU:JE!!:JEEcole Polytechnique, de Thiés Année Scolaire 1986-87

Programm ArimaImplicit rea1K8(a-h, o-z)criar-ac t er-s i z entree, sortieDimension donnees (2000), acf (15,3), p a c f (15,3)

cC

1 Format('1', 'Entrer le nom du fichier de données"" ',a12,$)2 Format(' ','Entrer le nom du fichier de résultats ,.',a12,$)

Read(M,1) Entreeread(M,2) Sortie

c Open(unit=5, file=Entree)c Ope n ï un Lt e ô , file=sortie)c

do 10 i = 1, 1000010 read(5, M, ERR:20) donnees (i)

20 n=ic3 format (' 1', 20x, 'M M MME N U G E N E R A L M MM')4 Format(4(/))c6 format(' ',10x,'[1] Identifier la série',I,10x)7 format (' [2] Estimer les paramètres du modèle', /', 10x)8 format ( ' [3] Tester les paramètres', /', 10x)9 format(' [4] Faire des prévisions', Il, 10X)5 format(' [0] Quitter le programme', 1111, 30x, $)cc30 wr i t e ( M, 3)

write(M,4)Wri te (M, 6)

wri te (M, 7)

wri te (*, 8)

wri te (*, 9)

wri te (*, 5)r-e ad t x , *) in

cif(in, eq. 0) goto 100if(in,eq.1) goto 200if (in, e q, 2) goto 300.I f (in, eq, 3) goto 400if(in. eq,4) goto 500

c

c200

300

4-00

500

cC100

goto 30

calI identifiergoto 30calI Estimergoto 30calI Testergoto 30

calI Prevoirgoto 30

stopEND

5ubroutine trace(acf,pacf)Implicit real~8(a-h, o-z)character code*2, cllgne*~Odimension xl igne (~O), acf (15,3), pacf (15,3)

ccc

codeFF= char (12)codeLF=char(10)

ccc

, ',58('='),'ï1')

[ , , a 5 8, ' Il ' )( , 3 ( , 11"' ) , ~O ( , ~' ) , '{ ) , "

r '[ Lag IICoef. liT-val li ,20x, R ,19x, Il )r , ',3 ( , 'C' ) , ~O ( ='), '11' "l

[ , , r 5, ' Il ' , f [. 2, r Il r , f 5. 2, r Il ' , a~O, r Il r )

r , 3 ( , 'C' ) , ~6 ( r =' ) , '~' )

Format(' ,Format ('Format('Forniat('Format('Format ('Format ('

xligne(1)=-1.Do 100 i =2, 11-0xligne(i) =xligne(i-1) +.05100

cc123~.

557c

wri te (5, *) codeFFwr-i t e (5,1)

cc

wr i t e ( 5, 2) ,Wr i t e ( 5, 2) ,wr i te (5, 2)wri te (5, 3)write(6,~)

wr i te (5, 5)

A U TOC 0 R REL A T ION S

do 10 i = 1, 15ac 1 =ac f ( i, 1)ac 2 =ac f ( i, 2)c a i i ligne(ac1, ac2)write(5,5) i, aC1, acf(i, 3), codeligne

10 continuewr i te (5, 7)write(5, *) codeLFwrite(*,~) 'Appuyer sur ~~ pour continuer'r-e a d t s i x ) code

cwrite(5,1)wr i t e ( 5, 2) r

Wr i t e ( 5, 2) ,wr i te ( 5, 2) r

wr i te (5, 3)write(5, ~)

write (5,5)

Autocorrélations partielles

cdo 20 i=1, 15pac 1 =pac f ( i, 1)pac2=pacf(i,2)c a l l ligne(pac1,pac2,xligne, cligne)wr i te (6, 6) i, pac 1, pac f (i, 3) • cl i gne

20 continuewrite (6. 7)wr i t e ( 6, M) code LFwrite(M"M) 'Appuyer sur 4--' pour continuer'r-e ad t x , M) code

cc

ReturnEnd

cc

Subroutine Identifier(don,nx, acf,pacf)Implicit realx5(a-h, o-z)dimens i on don (rix ) , ac f ( 15, 3) , pac f ( 15, 3)

characterx2 codeccc

CodeCS= char (12)cc1 Format(' ' .. x MENU D"IDENTIFICATION .. x',III)2 Format (l, 1üx,' [1] Calculer les coefficients de corrélation')3 Format (l, 10x, r [2] Différenciere la série')4- Format (l, 10x, r [0] Retourner au Menu Général')5 Format(lIII,20x,'Vous désirez ?',i2,$)cc10 write(x, x) codeCS

wr i te ( x, 1 )wri te (x, 2)wri te (x, 3)write(x,4-)read(x,5) in

c

20

c

if(in. eq. 0) returnif (in. e q. 1) then

do 20 i=1,nx-1don(i)=don(i+1)-don(i)nx=nx-1

elseif(in. eq. 2) then

calI centrer(don,nx, acf,pacf)endifendif

goto10

END

Subroutine centrer(dat,nx, acf,pacf)Implicit real*8(a-h, o-z)dimension dat(nx), d(2000), acf(15, 3),pacf(15, 3)

cc

Do 10 1: l , nxd ( i ) : da t ( i )som:som+d(i)

10 som2:som2+d(i)**2moy:moyjnx

cc

20c

c

do 20 i:l,nxd(i) =d(i) -rno y

calI acorr(d,nx, acf)calI pacorr(acf,pacf)calI trace(acf,pacf)

returnend

102030lJ-O

5055lJ-0

6070

123lJ56789

121110

c

subroutine ligne(a,b, c, xligne)implicit r-e a r x e ra-fi. o-t)

character, car (lJ-0)dimension xligne(lJ-O)do 10 0 i. = 1. lJ-0100 car ( i ) = "do 10 i: 1, lJ-0aa=a-xligne(i)if(aa) 920,20,10CONTINUEif (i-20) 30, lJ-0, 50do 35 j =i, 19c ar ( i) : ' « ,go to lJ-Odo 55 j =21, ic ar ( i ) =' » ,car(20):'1'do 50 i=20,lJ-0bb=b-xligne(i)if(bb) 70,70,50continuecar(i)=']'car(20-i) =' ['wr i t e ( 6, M) (c ar ( i ) , i = 1 , lJ-0) , ' Il 'returnENDSUBROUTINE ESTIMER(acf, pacf, P, t)implicit real M8 (a-h,o-z)dimension acf(15, 3),pacf(15, 3),p(15), t(15)character codeM2LOGICAL EVALcode rb=char(07)FORMAT('o')'MMM ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELEFORMAT(II Il,10X,'[1] ar(1):auto regressif d'ordre 1')FORMAT II, 10x,' [2] ar(2): auto regressif d'ordre 2')FORMAT (/,10x,'[3] MA(1): moyenne mobile d'ordre 1')FORMAT (l, 10x, ' [lJ-] ma(2) : moyenne mobile d'ordre 2')FORMAT (/, 10x,' [5] arma(1, 1): modele mixte')FORMAT (/, 10x, .r [5] CAS GENERAL')FORMAT (~' 10x,' [0] retour au menu appelant ')FORMAT ( Il,20x,'vous desirez ?',i2,$)DO 12 i = ,15P(i):OT(i) =0DO 10. i = 1, 8WRITE (M, i)read (M,9) inIF(in.lt.O.OR.IN.GT.5) go to 11IF (in. eq. 1) then v i e ac r ç t , 1)

v2:acf(1,2)v3=acf(1,3)

if(in.eq.1) p(1)=R1If (in. eq. 3) thent1 =- 1/2/R 1 + ( 11 ( 2 li R 1 ) li li 2 - 1 ) **."5

t 2 = - 1/2/R 1 - ( 11 (2 *Ri) * * 2- 1 ) * *. 5T ( 1 ) =donax (t 1, t 2)endifif(in. eq. 2) thenp(1) = (1-R2) *r1/(1-R1u2)p ( 2 ) = (R'2 - Ri u 2 ) 1 ( 1 - Ri uR 2 )i f (dab > (p ( 1 ) ). l t. 11. and. (p ( 1 ) +P ( 2) ). l t. 12. and. (p(2)-p(1)).lt.1)eval=dab>p(1).lt. 1. and. (p(1)+p(2)). lt. 1. and. (p(2)-p(1)). lt. 1IF(. not. eval) . call messageendif

if(in. eq. 5)thenp( 1) =r2/R (1)

t 1 =O.P1=p(1)do 20, i=1, 100T1= ((1-P1*T1) * (p1-t1) (r1-1-T1u2)/2/P1T(1)=t1IF EVAL =dabs(p1).lt.AND.DABS(t1).LT.IF(.NOT. EVAL) call messageendifif(in. eq.~) thenTi =0T2=0DO 30 i=1 • 100T1= (t2-t1)/R1/1+T1**2+T2**2)

30 T2=-1/R2/(1+T1**2+T2**2)e v a l e d ab s (t1).LT. LAND. (T2+T1).LT.1.AND. (t2-T1).LT. 1. AND. DABS(T2).LT.1IF(. NOT. EVAL) call messageendifif(IN. EG. 6) call car gen (acf, pac f , p, t)if(IN.EG.O) returnwr-Lt e ï s •• ) , appuyer sur 4..J pour continuer'read (*, *) code

go to IlendSUBROUTINE MESSAGECHAR ACTER CODE

C

WRITE (*. *)'LES PARAMETRES DE CE MODELE SONT EN DEHORS DES LIMITES PERMISE~

WRITE (*, 'III'. 20x) 'appuyer sur <l..J pour continuer'read (*, *) code

CreturnendSUBROUTINE CAR GEN(acf.pacf,p, t)implicit real*8(a-h, o-z)character code *2di me n si 0 n a c f ( 1 5. 3) ,pa c f (1 5, 3) , P ( 1 5) , t ( 1 5 )

cwrite (*.' 10x') ,'non encore implementee'wri te (*, 1 Ox) , 'appuyer sur 4..J pour continuer, '\READ (*, *) codeend

SUBROUTINE TESTER (n,mx,res,da t,model)IMPLICIT REALM8(a-h,o-z)DI MENSIO N R ES(-1:n x),da t(-1:n x),t(15),p(15)

dat(-1)=0dat(O)=Ores(-1)=0r e s r o j e oS 1 =0S 2 =0do 10 i=1,nxz:dat(i)z1=dat(i-1)Z2=dat(i-2)a i e r e s t i v t j

a2:res(i-2)A= Z-(P 1*Z 1+ P2 * Z2 -T1 MA1-T2 MA2)r e s t t j e as i e s t e o a b s ra z z ls2=s2+A**2

10 CONTINUErn e oDO 20 I=1,15IF (T(i).NEQ.O) m e m-eiIF (p(i).NEQ.O) m c m ei

20 CONTINUEM=m+ 1ESMR :1/(n-m)Ms2 '\epam :1/NMS1

cif (modele.eq.1) thenS(1,1):p1S(1,2)=(1-p1MM2)/n8(1,4-)=1ENDIFif (modele.eq.2) thens(1,1)=p1s(2,1)=p2s(1,2)=(1-p2lflf2)/ns(2,2)=s(1,2)s(1,4-)=-p1(1-p2)s(2,4-)=s(1,4-)ENDIFIF (m od e Le .eq.ô) thens(1,1)=t1S(1,2)=(1-T1**2)/NS(1,4-)=1ENDIFIF(modele,eq,4-) thens(1,1)=t1S(2,1)=t2s(1,2)=(1-t2lflf2)/ns(2,2)=s(1,2)s(1,4-)=-t1/(1-t2)s(2,4-)=s(1,4·)ENDIF

-;....x- ,

IF (modele.eq.5) thens(1,1)=p1s(2,1)=t1s(1,2)=(1-p1~t1)**2~(1-pH*2)/(p1-t1~*2)

S ( 2 , 2 ) = ( 1 - P 1 * t1 ) ** 2 * ( 1 - t 1 * * 2 ) / ( P 1 - t 1 ~ * 2 )S ( 1 , 4 ) = (1 - P 1 * 2 ) * ( 1 - P 1 * ~ 2 ) ( 1 - t 1 * * 2 ) / ( P 1 - t 1* * 2 )s(2,4)=S(1,4)ENDIFrn e m-1do 30 i=1,m

30 s(i,3)=dabs(s(i,1)/s(i,2)SUBROUTINE DIGNOSTIC (res,nx)IMPLICIT REAL~8 (a-h,o-z)DIMENSION racf(15,3),res(nx)CALL CENTER(res,nx,racf)

SUBROUTINE TESTERIMPLICITE REAU8(a-h,o-z)D lM ENSI ON r acf (15,3), r p a c f (15 ,3),c oe f( 4)DATA /COEF /22.4,21.0,22.4,21.0,21.0,21.0/CALL CENTER (ics,nx,racf,rpacf)S 1 0 0do 10 1<;=1,15s 1=s 1+ r a c f( 1<; , 1 ) MK2 / ( n x - K )x q e n x xt n x s ê j xs tIF(xq.LT.COEF(modele)) thenwr i te(M,K) 'le modele choisi est adequat pour la precision'elsewri te (M,20) xqwrite (M,K) 'elle ne satisfait pas a l'hypotheae de nulliteavec 95ï.DE NIVEAU DE CONFIANCE'ENDIFWRITE (M,X) 'appuyer sur <-1 pour retourner au menu r

read (K,M) code20 format (' ".' la valeur Q du test de L~TUNG-BOX vaut',

f5.1 )returnENDSUBROUTINE PREVOIRIMPLICIT REAL M8(a-h,o-z)CHAR ACTER CODEx2DIMENSION DONNEES(2000),da t(2000),res(2000)w(i)= plKdat(i-1)Mp2xpdat(i-2)xres(i)

-t1xres(i-l)-t2Mres(i-2)tl=t(l)pl=p(1)t2=t(2)p2=p(2)pdat(-l)=OPDAT(O)=ODO 10 i=l,nx

10 p d a t t i j e w t L)

20 FORMAT (' ','ENTRER LES BORNES DE L'INTERVALLE DE PRECISION .r

$)

READ (x,20) 10,11IF (lO.GT.NX) thenDO 39 i=nx,lO

30 pdat(i)=w(i)ENDIF

RETURNEND

-

--

Valeur de reet

00000 0 000o ~ ~ G ~ ~ ~ ~ ~ ~ _

-~~~~~~t0~~~r-. -.~~~;~~

1"--~>", 1"-,"'-., " ~ "

-~~~~\;~~~\""" r-,

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0."198O. :53'

0.77e:.0 ..6'l7,0.7620.5870.3971.3111.6.970.569

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