1er Laboratorio - Física II 2015-1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

LABORATORIO DE FISICA II 1

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y AMORTIGUADO

OBJETIVO:

OBJETIVO GENERAL:

Estudiar experimentalmente las leyes que gobiernan el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Armónico Amortiguado.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Determinar la constante de rigidez de un resorte a través de dos métodos :

Método estático

Método dinámico

Comprobar la relación entre el periodo, la masa y la constante de rigidez de un sistema masa-resorte.

Verificar las ecuaciones de movimiento de un sistema masa-resorte.

Estudiar la alternancia entre la energía cinética y la energía potencial de un

oscilador mecánico.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

Segunda Ley de Newton:

Los experimentos demuestran que si se aplica a un cuerpo una combinación

de fuerzas F⃗ 1, F⃗ 2, F⃗ 3, …., el cuerpo tendrá la misma aceleración (magnitud y

dirección) que si se aplicara una sola fuerza igual a la suma vectorial de

F⃗ 1 + F⃗ 2 + F⃗ 3, …. . Es decir, así actúen muchas fuerzas sobre un cuerpo solo

habrá una aceleración. Esta ley se resume en:

“Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, este acelera. La dirección

de aceleración es la misma que la dirección de fuerza neta. El vector de

fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración”

En símbolos:

(1)

Ʃ𝐹 = 𝑚𝑎



Movimiento armónico simple:

El movimiento armonico simple de masa m es establecido cuando sobre

dicha masa actua una fuerza recuperadora.

(2)

Donde F es la fuerza recuperadora X es la deformación del resorte a partir

de la posición de equilibrio. El signo menos indica que la fuerza actúa en

sentido contrario a la deformación apuntando siempre a la posición de

equilibrio.

La ecuación diferencia:

(3)

Da como resultado la posicion:

(4)

Donde A es amplitud en metros.

AMPLITUD:

Denotada por “A”, es la máxima magnitud del desplazamiento con respecto al equilibrio; siempre es positiva.

𝐹 = −𝐾𝑋

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝐾

𝑚𝑥 = 0

𝑥 = 𝐴 cos( 𝜔𝜃 + ∅ ) ó A sin(𝜔𝜃 + ∅)



Además:

(5)

En caso de que la masa del resorte supere el 5% de la masa del bloque

entonces:

(6)

FRECUENCIA:

Se simboliza por la letra “f”, es el número de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es positiva. La unidad de frecuencia en el S.I es el Hertz.

FRECUENCIA ANGULAR:

Simbolizado por “”, se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como 2π veces la frecuencia.

Se expresa en radianes/Segundo

𝜔 = 2𝜋𝑓 = √𝑘

𝑚 Hz

𝜔 = 2𝜋𝑓 = √𝑘

𝑚+ 1

3𝑚𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

Hz



PERIODO:

Simbolizado por “T”, es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes, en términos breves es el tiempo que dura un ciclo de la onda en volver a comenzar. La unidad del periodo en el S.I es el segundo, aunque a veces se expresa como “segundos por ciclo”.

FASE INICIAL:

Es una magnitud adimensional que me indica las condiciones iniciales del movimiento armónico simple.

Primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación, si la fuerza resultante de

todas las fuerzas externas que actúan sobre él es nula.

Matemáticamente:

(7)

Figura 1. Muestra en resumen la gráfica de un M.A.S



Para el caso de fuerzas coplanarias que se encuentran en el plano

cartesiano XY se reduce la fuerza resultante en cada uno de los ejes x e y

es cero:

(8)

(9)

Ley de Hooke

La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para

casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario

que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza

aplicada F.

La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite

elástico.

Método de los mínimos cuadrados:

Considerando los valores experimentales (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) , … , (xn,

yn) queremos construir una función F(x) de manera que los puntos (x1, F(x1)

), (x2, F(x2) ), … , (xn, F(xn) ) casi coincida con los puntos anteriores.

El ajuste por mínimos cuadrados consiste en hallar la curva F(x) tal que haga

mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones. Entonces si

denotamos con Di las desviaciones, se busca que: (S = D21 +D2

2 +… + D2n)

sea mínima

(Si se cumpliese S=0), es decir D1 =D2 =… = Dn = 0 se tendría que F pasa

por todos los puntos experimentales. Pero eso es pedir demasiado)

Una curva que ajusta los datos en el “sentido mínimo cuadrático” será

llamada “curva mínima cuadrática”.

Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto

intervalo fuera del rango de los valores medidos.

∑𝐹𝑥+ = ∑𝐹𝑥−

∑𝐹𝑦+ = ∑𝐹𝑦−



ENERGÍA EN EL M.A.S:

Como la fuerza ejercida por un resorte ideal es conservativa y las fuerzas verticales no efectúan trabajo, la energía mecánica total del sistema se conserva.

GRAFICO ENERGÍA - POSICIÓN

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO:

Es un tipo de movimiento cuya característica esencial es que la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye.

La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguamiento. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite.

Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción.

Dónde:

v : velocidad

b: constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora.



Grafica de un amortiguado

La ecuación de su movimiento del amortiguado, tiene la forma:

Dónde:

X (t)=La posición del cuerpo en función del tiempo (m) A0=Amplitud inicial de las oscilaciones (m) w= frecuencia angular (rad/s) t= tiempo (s) ᴓ=fase inicial (rad)

Para el periodo procederemos de la siguiente forma usando la ecuación siguiente:

Para el cálculo del decremento logarítmico haremos uso de lo siguiente formula:

Dónde: A1 y A2 son dos amplitudes máximas consecutivas en metros.



MATERIALES:

Una computadora con el programa

Logger Pro instalada.

Una interfase Labpro de Vernier.

Un detector de movimiento.

Un sensor de fuerza.

Un resorte.

Conjunto de pesas.

Un soporte universal con nueces.

Regla milimetrada metálica.

Recipiente plástico de 1 litro.

Placa de mica.

Agua 1 litro.



DIAGRAMA DE FLUJO

PRIMERA PARTE:

CONSTANTE DE RIGIDEZ DEL RESORTE, MÉTODO DINÁMICO.

CONSTANTE DE RIGIDEZ DEL RESORTE, MÉTODO DINÁMICO

SE SUSPENDIÓ EL RESORTE DE DISTINTAS

MASAS

SE MIDIÓ LA ENLONGACIÓN SUFRIDA POR

EL RESORTE EN CADA CASO

SE REGISTRÓ LOS DATOS EN UNA

TABLA

SE SUSPENDIÓ EL RESORTE DEL SENSOR DE

FUERZA

DEL RESORTE SE SUSPENDIÓ LA MASA DE

UN KILOGRAMO

SE COLOCÓ EL DETECTOR DE MOVIMIENTO DEBAJO DE

LA MASA Y SE CONECTA LOS SENSORES A LA INTERFASE

SE CONECTÓ LA INTERFASE AL COMPUTADOR Y SE

EJECUTA EL PROGRAMA LOGGERPRO

SE CONFIGURÓ EL PROGRAMA PARA QUE MUESTRE LA

GRÁFICA FUERZA- POSICIÓN

SE HIZO OSCILAR LA MASA E INICIAMOS LA TOMA DE

DATOS



SEGUNDA PARTE:

DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

TERCERA PARTE:

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO.

SE ARMÓ EL EQUIPO TAL COMO LO INDICA LA

GUIA

SE CONFIGURÓ EL SOFTWARE PARA QUE LA TOMA DE DATOS SEA DE 10

MUESTRAS POR SEGUNDO Y EL TIEMPO DE MUESTREO DE 15 SEGUNDOS

SE SELECCIONÓ UNA MASA PARA SUSPENDERLA AL

RESORTE

SE HIZO OSCILAR VERTIVALMENTE LA MASA E INICIÓ LA

TOMA DE DATOS

SE ARMÓ EL MÓDULO DE LA PESA CON LA

PLACA REFLECTORA TAL COMO LO INDICA LA

GUIA

SE SELECCIONO UNA MASA DE 1000 g Y SE LA SUSPENDIÓ DE MODO QUE EL

SISTEMA EFECTUÓ OSCILACIONES VERTICALES DENTRO DEL AGUA.

SE HIZO OSCILAR LA MASA, EMPEZANDO A

REGISTRAR LOS DATOS



PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

PRIMERA PARTE:

Constante de rigidez del resorte: Método estático.

1. Suspenda del resorte distintas masas. Para ello combine las masas que se le han proporcionado.

2. mida la elongación sufrida por el resorte en cada caso. 3. Registre sus datos en la siguiente tabla 1.

Tabla N°1 Tabla de datos con longitudes y pesos necesarios para el experimento 1

Masa (Kg) 0.496 0.99 0.25 1.486 1.24 0.746

Peso(N) 4.86 9.7 2.45 14.56 12.152 7.31

Elongacion(m) 0.046 0.126 0.016 0.215 0.169 0.083

Constante de rigidez del resorte: Método dinámico.

1. Suspenda el resorte del sensor de fuerza. 2. Del resorte suspenda una masa de un kilogramo. 3. Coloque el detector de movimiento debajo de la masa. 4. Conecte los sensores a la interface. 5. Conecte la interface al computador. 6. Ejecute el programa LoogerPro. 7. Configure el programa para que muestre la gráfica de Fuerza versus

posición. 8. Haga oscilar la masa y simultáneamente inicie la toma de datos. 9. Grabe sus resultados y exporte sus datos como texto.



Segunda Parte:

Determinación de las ecuaciones del Movimiento Armónico simple.

1° Utilice el arreglo experimental.

2° Configure el software para que la frecuencia de toma de datos sea 10 muestras por segundo y el tiempo de muestreo de 15 segundos.

3° Selección una masa de 1000g y suspéndala del resorte.

4° Haga oscilar verticalmente la masa y empiece la toma de datos.

Tercera parte:

Movimiento Armónico Amortiguado.

1° Arme el módulo de la pesa con la placa reflectora, para ello retire la armella de la pesa de 1kg y coloque el perno y ajuste la Placa con dos tuercas, de modo que quede completamente horizontal.

2° Realice el montaje experimental ya explicado.

3° Seleccione una masa de 1000g y suspéndela del resorte de modo que el sistema efectué solo oscilaciones verticales dentro del agua.

4° Haga oscilar verticalmente las masas y empiece a registrar sus datos de posición.



CALCULOS Y RESULTADOS

PRIMERA PARTE:

Análisis del Resorte:

Apoyándonos en la ley de Hooke ƩF⃗ = KΔx ; donde F⃗ esta expresado en (N), Δx en

metros y K en (N/m); hallaremos un valor aproximado para K mediante una grafica

F⃗ vs Δx que será una recta aproximada por el método de los mínimos cuadrados,

obteniendo la pendiente:

Proceso Estático: Utilizando múltiples pesas de diferente masa y suspendiéndolas en la base del

resorte obtuvimos el siguiente cuadro:

Ʃ𝐹

Δ𝑥= 𝐾 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒



1. Datos obtenidos experimentales del resorte. Donde g= 9.81m/s2

Grafica Elongación vs. Peso

Proceso Dinámico:

Grafica Elongación vs. Peso

Masa (Kg) 0.496 0.99 0.25 1.486 1.24 0.746

Peso(N) 4.86 9.7 2.45 14.56 12.152 7.31

Elongación(m) 0.046 0.126 0.016 0.215 0.169 0.083

y = 59.984x + 1.9568

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Pe

so

Elongación

Elongacion Vs. Peso

Series1

Lineal (Series1)





PORCENTAJE DE ERROR

𝛆 =𝐓𝐞𝐨𝐫𝐢𝐜𝐨 − 𝐄𝐱𝐩𝐞𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥

𝐓𝐞𝐨𝐫𝐢𝐜𝐨∗ (𝟏𝟎𝟎%)

𝛆 =𝟗𝟐. 𝟓 − 𝟓𝟗. 𝟗𝟖𝟒

𝟗𝟐. 𝟓∗ (𝟏𝟎𝟎%)

𝛆 = 𝟑𝟓. 𝟏𝟏%

SEGUNDA PARTE: Determinación de las ecuaciones del movimiento armónico simple.

4. Realice un ajuste de curvas y determine la ecuación de la posición.

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟔𝑲𝒈



La ecuación de la posición es:

𝒙𝒕 = (𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟔𝟐)𝒔𝒆𝒏((𝟕. 𝟐𝟔𝟏) ∗ 𝒕 + 𝟐. 𝟐𝟓𝟏) − 𝟎. 𝟎𝟕𝟎𝟒𝟑 𝒎.

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟔𝑲𝒈


𝒙𝒕 = (−𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝟖𝟐)𝒔𝒆𝒏((𝟏𝟎. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟏. 𝟑𝟓𝟔) − 𝟎. 𝟏𝟓𝟕𝟔 𝒎.



Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟎𝑲𝒈


𝒙𝒕 = (−𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔)𝒔𝒆𝒏((𝟏𝟏. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟎. 𝟗𝟓𝟔) − 𝟎. 𝟐𝟓𝟒𝟔 𝒎.

5. Del resultado anterior determine:

De la gráficas anteriores

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟔 𝑲𝒈

- Amplitud de las oscilaciones.

𝐴 = 0.04762𝑚.

- Periodo.

𝜔 = 7.261 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄

- Fase inicial de la oscilación.

∅ = 2.251 𝑟𝑎𝑑



Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟔𝑲𝒈


𝐴 = 0.02082 𝑚.

- Periodo.

𝜔 = 10.07 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄


∅ = 1.356 𝑟𝑎𝑑

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟎 𝑲𝒈


𝐴 = 0.0196𝑚.

- Periodo.

𝜔 = 11.07 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄


∅ = 0.956 𝑟𝑎𝑑

6. Del resultado en la pregunta 4, determine la velocidad y la aceleración.

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟔 𝑲𝒈

La ecuación de la Velocidad es:

𝒗𝒕 = (𝟎. 𝟑𝟒𝟓𝟕)𝒄𝒐𝒔((𝟕. 𝟐𝟔𝟏) ∗ 𝒕 + 𝟐. 𝟐𝟓𝟏) 𝒎 𝒔⁄

La ecuación de la Aceleración es:

𝒂𝒕 = (𝟐. 𝟓𝟏𝟎𝟔)𝒔𝒆𝒏((𝟕. 𝟐𝟔𝟏) ∗ 𝒕 + 𝟐. 𝟐𝟓𝟏) 𝒎 𝒔𝟐⁄

Para: 𝒎 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟔 𝑲𝒈


𝒗𝒕 = (𝟎. 𝟐𝟎𝟗𝟔)𝒄𝒐𝒔((𝟏𝟎. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟏. 𝟑𝟓𝟔) 𝒎 𝒔⁄


𝒂𝒕 = −(𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟐𝟓)𝒔𝒆𝒏((𝟏𝟎. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟏. 𝟑𝟓𝟔) 𝒎 𝒔𝟐⁄



Para: 𝒎 = 𝟏. 𝟒𝟗𝟎 𝑲𝒈


𝒗𝒕 = (𝟎. 𝟐𝟏𝟔𝟗𝟕𝟐)𝒄𝒐𝒔((𝟏𝟏. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟎. 𝟗𝟓𝟔) 𝒎 𝒔⁄


𝒂𝒕 = −(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟖𝟖)𝒔𝒆𝒏((𝟏𝟏. 𝟎𝟕) ∗ 𝒕 − 𝟎. 𝟗𝟓𝟔) 𝒎 𝒔𝟐⁄

TERCERA PARTE: Movimiento Armónico Amortiguado

8. Grafique la posicion a traves del tiempo

La grafica muestra el decremento de las amplitudes en el tiempo haciendo que el cuerpo tienda al

reposo.

La ecuación obtenida en la gráfica anterior podemos comparar:

𝑿(𝒕) = 𝑨𝟎 ∗ 𝒆−𝜸𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟎𝒕 + 𝚽)

𝑿 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟑𝟕𝒆𝒙𝒑(−𝟎. 𝟎𝟑𝟔𝒕) ∗ 𝑺𝒆𝒏(𝟖. 𝟖𝟑𝟒𝒕 + 𝟐. 𝟎𝟕𝟓)

Amplitud inicial, frecuencia angular, pseudo periodo, fase inicial, decremento

logarítmico y coeficiente de amortiguamiento del cuerpo para el experimento dado.

A(m) 0.5237 T(s) 0.711 ω(rad/s) 8.834 φ(rad) 2.075 Decremento. log 0.102 Coef. Amortiguamiento 0.036



CUARTA PARTE:

Como ya es conocido la posición de equilibrio (P.E) tomamos como referencia dicha

posición (x=0), por ello habrá posiciones positivas y “negativas”. En este caso solo

vamos a tomar como referencia los primeros 5 segundos del movimiento para hallar la

energía (para obtener una buena aproximación).

FORMULAS A UTILIZAR:

Para obtener la energía mecánica vamos a utilizar las siguientes ecuaciones del MAS:

𝐸𝑐 =1

2∗ 𝑚𝑎𝑠𝑎 ∗ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2

𝐸𝑝 =1

2∗ (𝑐𝑡𝑒. 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧) ∗ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛2

Cuadro, de aquí sacaremos los valores a graficar:

Tiempo

(s) Posición

(m) Posición

Modificada (m) E.

cinética (J)

E. potencial (J)

E. Mecánica

(J)

0.1 0.0379588 0.0378188 0.000636 0.03999369 0.04062994

0.4 -0.0042988 -0.0044388 0.036898 0.00055094 0.03744943

0.7 -0.0276228 -0.0277628 0.018185 0.02155274 0.03973751

1 0.0423492 0.0422092 0.001088 0.04981845 0.05090647

1.3 -0.018842 -0.018982 0.033977 0.01007535 0.04405238

1.6 -0.0237812 -0.0239212 0.03152 0.01600081 0.04752039

1.9 0.045642 0.045502 8.47E-06 0.05789445 0.05790293

2.2 -0.0232324 -0.0233724 0.027844 0.01527505 0.04311927

2.5 -0.0139028 -0.0140428 0.034336 0.00551421 0.03984984

2.8 0.0398796 0.0397396 0.003276 0.04415938 0.04743567

3.1 -0.0331108 -0.0332508 0.01378 0.03091578 0.04469577

3.4 0.000366 0.000226 0.04072 1.4282E-06 0.04072116

3.7 0.0379588 0.0378188 0.012447 0.03999369 0.05244096

4 -0.0402452 -0.0403852 0.007289 0.04560584 0.05289443

4.3 0.0061284 0.0059884 0.039169 0.00100276 0.04017141

4.6 0.03055 0.03041 0.017153 0.02585883 0.04301205

4.9 -0.036678 -0.036818 0.001025 0.03790499 0.03892995

5 -0.03119 -0.03133 0.009792 0.02744712 0.03723928

Elabore la gráfica de la energía cinética a través del tiempo

𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝



Elabore la gráfica de la energía potencial a través del tiempo.



Elabore la gráfica de la energía cinética a través de la posición.

Elabore la gráfica de la energía potencial a través de la posición

Elabore la gráfica de la energía cinética versus la energía potencial



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