UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE INGENIERA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

CLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO A

31 de Mayo de 2010 Semestre 2010-2 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duracin mxima del examen es de 2.5 horas.

1. Mediante el lmite de la suma de Riemann calcular

( )0

1

1 2x dx

10 puntos

2. Obtener 0x

dydx

=

si 2

xcos x

ey log e=

10 puntos

3. Calcular, si existe

( )322

x

ln sen xlim

x

10 puntos

1EF10-2A

4. Efectuar

22

2 2

11 2

x x dxa ) e sen x dx b ) dx c )x x x

+

20 puntos

5. Por medio de integrales calcular la longitud de una circunferencia de radio r

15 puntos

6. Trazar la regin de definicin de la funcin f e identificar sus curvas de nivel

para 0z = y 1z =

( ) 2 2 1f x ,y x y= +

15 puntos

7. Calcular la magnitud de la derivada direccional de la funcin

( ) x yf x, y ln y lnx= + en el punto( )1 1, y en la direccin del vector v i j= +

20 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MXICO

Solucin del

1.

(

1 1

0

1

1 13 3 1

1 2 2

n n

i i

n n

n

S .R . i x f i h i h h n h

nS .R S .R .n n

l im S .R l i m

l im S .R x d x

= =

= = =

+ =

= + =

= =

2. Si la funcin la escribimos como:

( )

2

2

2

3 3

1 223 3

c o s xln e c o s xy y , p o r lo q u eln ln

y ' s e n x x b ie n y 'ln ln

s i x

= =

= =

=

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MXICOFACULTAD DE INGENIERA

CLCULO INTEGRAL

Solucin del Primer Examen Final Tipo A Semestre 2010 2

( ) ( )( )( )

1

1 2 1 1 2 2

3 2

ix h i ihn

f i ih ih

f i ih

= = =

= + = +

=

( ) ( )

)

(

1 1

0

1

3 2 3 2

1 13 3 1

13 1 2

1 2 2

n n

i i

S .R . i x f i h ih h n h

S .R S .R .n n

l i m S .R l i mn

l im S .R x d x

R e s u l t a d o

= =

= = =

= +

= + =

= =

Si la funcin la escribimos como: 2

2

3 3

1 223 3

ln e c o s xy y , p o r lo q u eln ln

x s e n xy ' s e n x x b ie n y 'ln ln

=

= =

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MXICO

1 2 1 1 2 2f i ih ih= + = +

( )

( )

2

0

1

13 2 3 2

2

1 2 2

n nS .R . i x f i h i h h n h

R e s u l t a d o

x d x

+ = = =

=

10 puntos

S1EF10-2A

( ) ( )2 22 23 3

23

s e ny '

ln ln

R e s u lta d o

d yd x ln

= =

=

10 puntos

3.

Al calcular se obtiene 00

por lo que aplicamos la regla de LHpital ( ) ( )

( )

2 2 2

2

3

3

33 3 0 0

12

0

2

c o s xs e n x

x x x

x

l n s e n xl im l i m l im c o t x

x

R e s u l t a d o

l n s e n xl im

x

= = = =

+

=

+

10 puntos

4. a)

1

x

x

x

x x

I

e s e n x d x p o r p a r t e s

u e d v s e n x d x

d u e d x v c o s x

I e c o s x e c o s x d x

= =

= =

= +

! ""# " "$

S1EF10-2A

( )

1

1

2 2

2

x

x

x x

x x

x x

x

I a su vez por partes

u e dv cos x dx

du e dx v s en x

I e s en x e s en x dx

I e cos x e s en x I

e eI cos x s en x C

Re sultado

eI cos x s en x C

= =

= =

=

= +

= + +

= +

b)

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2

1 211 1

121

1 1 1 11 11

112

112

1 1 1 12 2 1 12 1 2 1

x d x a l h a c e r la d iv is i n d xx x

I d x d xx

p o r fra c c io n e s p a r c ia le s o s u s t itu c i n tr ig o n o m tr ic aA B A x B x

x xx

S i x A

x B

d x d x ln x ln x Cx x

R e s u lt

+ +

= +

= + = + + +

= =

= =

+ = + + +

i i

11

a d oxI x ln Cx

= + + +

c)

(

( )

(

2 2

2

1 1

2

1

1 1

dx dx por sustitucin trigonom tricax x

x secdx sec tan d

x tan

sec tan dI sec dtan

I ln sec tan C

=

=

=

=

= =

= + +

5. Sea la circunferencia de radio

( ) 2 2f x r x= de grfica la longitud solicitada puede calcularse como

( )0 0 0

0

4 1 ' 4 4

4 4 0 2

r r r

r

L f x dx dx r dx

xL r angsen r rr

= + = =

= = =

( )

)

(

2 2

1 1

1 1

1 1 1

dx dx por sustitucin trigonom tricax

sec tan dI sec d

I ln sec tan C

R e sultado

I ln x x C

= =

= + +

= + +

Sea la circunferencia de radio r de ecuacin 2 2 2x y r+ = y sea la funcin

de grfica la longitud solicitada puede

)2

2

2 2 2 20 0 0

4 1 ' 4 4

4 4 0 22

Re2

r r rr rL f x dx dx r dxr x r x

L r angsen r r

sultadoL r u

= + = =

= = =

=

S1EF10-2A

)21 1 1

dx dx por sustitucin trigonom trica

I ln x x C = + +

20 puntos

y sea la funcin

de grfica la longitud solicitada puede

[ ]

2 2

2

r rL f x dx dx r dxr x

sultadoL r u

15 puntos

6. El dominio de esta funcin es

entonces la regin es:

7. Sea f f y xf i j ln y i ln x jx y x y = + = + + +

[ ]1 1P

f , y s e a u ,

d f f ud s

= =

= = + = =i

0 1

1 2

Si z la curva es x y

Si z la curva es x y

= + =

= + =

El dominio de esta funcin es ( ){ }2 2 1 0fD x,y x y= + si

f f y xf i j ln y i ln x jx y x y

= + = + + +

1 11 12 2

1 1 2 22 2 2

v

v

f , y s e a u ,

f u

R e s u l t a d od fd s

= =

= = + = =i

2 2

2 2

0 1

1 2

Si z la curva es x y

Si z la curva es x y

= + =

= + =

S1EF10-2

1 0 si 2 2 1x y+ ,

15 puntos

2

R e s u l t a d o

d s=

20 puntos