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Traduccin de SA"1TIAGO GARMA

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LA MATEM:.ficA~ ; . , . - - r .

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MODERNA. Por .q~ . J uanito .

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por MoRRIS KuNB .

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MEXICO ESPAA ARGENTINA COLOMBIA

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siglo veintiuno editores, sa de cv CERRO OEL AGUA 248. DELEGACIN COYOACN, 04310 M~XICO. D.F.

siglo veintiuno de espaa editores, sa C/Pl.AZA 5. MADRID 33, ESPAA

siglo veintiuno argentina editores, sa siglo veintiuno de colombia, ltda AV .. 3a. 1173 PRIMER PISO, BOGOT. O.E COLOMBIA

primera edicin en espaol, 1976 siglo xxi de espaa editores, s. a . decimotercera edicin en espaol, 1988 siglo xxi editores, s. a. de c. v. IsBN 968-23~0505-5 ' primera edicin en ingls, 1973 st. martin's press, nueva york ttulo original : why johnny cant'add : the failure of the new math

derechos reservados conforme a la ley

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impreso y hecho en mxico/ printed and made in mexico ._

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INDICE

PREFACIO .. ........................... ...... .. ~ ... .. , ._;; . : 11. UNA MUE.STRA DE LA MATEMATxCA MODE'itNA . '

2. EL PLAN DE ESTUDOS TRADICIONAL . :' . : .. .

....

3. EL ORIGEN ~EL i.tovIMIENTO DE. LA MATEMATlCA . . MODERNA .. . ; . .': . :" .::: . : . . ~ ; . : ~- -

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21

4. LA INTERPRETACIN :OEDUCTIVA DE LAS ~ATEMA-TlCAS ............ : .'. ... 31

5. EL RIGOR .. . ....... 6. EL LENGUAJE DE LAS MATEMATlCAS . ..

7 .. LA MATEMATlCA POR LA MATEMATlCA

' 8. EL NUEVO CONTENIDO DE LA NUEVA MATEMATlCA

62 72

87 98.

9. EL TESTIMONIO DE LOS EXAMENES ... ; .. .. 120 iO. LA VERDADERA JUSTlFICACION DE LAS. NUEVAS MA-

TEMATlCAS . . ... ...... . .. . .: ... . ... ,. .. . : .... . . . 137

11. LA DIRECCION COJ:'IVENIENTE PARA UNA REFORMA 165

BIBLIOGRAF~A . . .. . . . .. ... . .. . . . 196

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Y o pregunto si es natural, si es incluso prudente, qui!, te has-tes t mismo y aburras a los estudianies.

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PREFACIO

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Durante muchas generaciones los Estados Unidos han mantenido un plan de estudios .casi invariable en las es-cuelas primarias y . secundarias: Este plan, al cual denomi- naremos tradicional, se ensea todava en el'SO 60 por 100 de las escuelas americanas. Un nuevo plan de' estudios para ,. las escuelas primarias y secundarias ha sido elaborado y :-ha tenido una aceptacin bastante amplia durante Jos lti- mos quince aos. Es el llamado plan de enseanza de mate-mticas modernas o de nueva matemtica. Aunque son mu chos los grupos q\le han contribuido a elaborarlo, y 'su_s . recomendaciones no han sido totalmente idnticas, creo que, para el objetivo que nos proponemos, es conveniente dejar ', de lado sus d;ferencias. ~ .

El trabajoy experimental de to o tipo con respecto ~l -nuevo plan ya ha sido hecho. Se ha escrito cientos de nue- . vos textos y millones de nios y jvenes han sido y estn siendo enseados con este nuevo mkterial. Adems se han

. publicado varias docenas de libros que explican el nuevo ; plan a los padres, maestros, directores, inspectores y otras . partes interesadas. El dinero, tiempo, energa e ideas inV.er-tidos en este programa han sido consider~bles_, , an ms: enormes.

Las matemticas ocupan el lugar principal en)a escuela. Los estudiantes consagran a las matemticas ocho aos en la escuela primaria y de dos a cuatro aos en 'la secundaria. Por otro lado, esta asignatura ha demostrado ser un obs-tculo para que muchos estudiantes pudiesen completar sus ;, estudios en la escuela. Por tanto, es importante saber si el

nuevo plan ha mejorado realmente la enseanza de las matemticas y ha hecho verdaderainente_ esta asignatura ms . accesible para el estudiante.

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1. UNA MUESTRA DE LA MATEMATICA MODERNA

... Gran Dios! Me gustarla ser un pagano amamantado en un credo gastado. As podra... tener visiones que me hiciesen menos desvalido. .

William Wordsworth

Echemos un vistazo a una clase de matemticas moder-nas. La maestra pregunta:

Por qu es 2 + 3 = 3 + 2? Los estudiantes responden decididamente: Porque ambos son igules a S.

' No -reprueba la profesora-, la respuesta correcta es: porque se cumple la propiedad conmutativa de la suma.

La siguiente pregunta es: Por qu 9 + 2 = 11? De nuevo los estudiantes responden a la vez: 9 .. y 1 son 10 y 1 ms son 11. ~Falso -exclama la profesora-. La respuesta correcta

es que, por definicin de 2,

9 + 2 = 9 + (l+ 1).

Pero como se cumple la propiedad asociativa de l.a suma:,

9 + (1+1) = (9+1) +l.

Ahora hien, 9 + 1 son 10, por definicin de 10, y 10 + 1 son 11 por definicin de 11.

Evidentemente, la clase . no lo est haciehdo muy bien, as que la maestra plantea una pregunta ms sencilla:

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. Una muestra de la . matemtica moderna s

c7 es Uh nmero? . 1 A los estudiantes; desconcertados por la sencillez de la

pregunta, les cuesta trabajo creer que es necesario respn~ der; pero el hbito de la pura obe9iencia les lle".a.!I res~onder afirmativamente. ta maestra se horroriza.

cSi os pregunto quines sis, qu responderish Los estudiantes, ahora, responden con cauiela,:pero uno,

ms valiente, contesta: ' Yo soy Roberto Fernndez. . . , La maestra le mira con incredulidad y le dice con tono

de reprensin: 1 . . . . . . . . cQuieres decir que t eres el nombre Roberto Fernn-

dez? Desde luego qu!'i no. T eres una persona y, tu nombre . es Roberto Fernndez. Volvamos ahora a ini pregunta ini-

. cial: 7 es un nmero? Claro que no! Es .el nombre de un . nmero. 5 + 2, 6. + .1. y 8 - 1 son nombres del .i:nismo n .

mero. El smbolo 7 es un numeral del nmero. .. La maestra se da cuenta de que los almnos no aprecian

la diferencia e intenta otro camino. cEs el nmero 3 la mitad del nmero 8?, pregunta. Y se respc;mde a s misma: cDesde luego que no! Pero el numeral J es la mitad del numeral 8, la mitad derecha.

Los estudiantes arden ahora en deseos de preguntar: e Qu es entonces un :nmero? Sirt embargo, estn tan desanimados por las respuestas equivocadas que han. dado que ya no tienen nimos para plantear la pregunta. Esto le viene muy bien a la maestra, porque explicar qu es real mente un nmero est ms allft de su capacidad y tambin ms all cie la capacidad de comprensin de los alumnos. As que despus de esto los alumnos tendrn cuidado en decir que 7 es un numeral, no un nmero. Pero nunca .sabrn qu es un nmero exactamente.

Las tristes respuestas de los alumnos no arredran a _la maestra, que pregunta: cCmo podremos expresar C

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6 Morris Kline

As se ensea a los alumnos el uso de los. conjuntos y, supuestamente, el de la precisin.

La. maestra, que estando profundamente convencida del cacareado valor del lenguaje preciso, quiere preguntar a sus alumnos si un nmero de pirules es igual

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2. EL PLAN DE ESTUDIOS TRADICIONAL

Le he dado un argumento, pero no estoy obligado a hacrselo comprender.

Samuel Johnson

Aunque en los ltimos aos el plan de enseanza tradi-cional en los Estados Unidos se ha visto algo afectado por e! espritu de reforma, sus caractersticas esenciales se pue-den describir en pocas palabras. Los seis primeros cursos de la escuela primaria estn dedicados a la aritmtica. En los cursos sptimo y octavo los alumnos aprenden un poco de lgebra y elementos de geometra, como las frmulas de reas y volmenes de las figuras ms frecuentes. En el primer curso de secundar :a se estudia lgebra elemental; en el segundo, geometra, y en el tercero, ms lgebra (ge-neralmente llamada lgebra intermedia) y trigonometra. Generalmente el cuarto curso de secundaria est dedicado a la geometra y el _ lgebra superior; sin embargo, sobre el trabajo del cuarto curso no hay tanta unanimidad como sobre el d'.! los primeros.

Repetidamente se han expresado varias y serias crticas a este plan. La crtica ms importante, que se dirige contra el lgebra en particular, es que impone un proceso mecnico y por tanto fuerza al alumno a confiar sobre todo en la memoria antes que en la comprensin.

Fcilmente se puede ilustrar la naturaleza de tal proceso mecnico. Pongamos un ejemplo de aritmtica. Para hacer la suma de las fracciones 5/4 y 2/3, es decir, para calcular

5 2 -+-4 3'

El plan de estudios tradicional 9

los estudiantes saben que tienen que hallar el mnimo co-mn denominador, es decir, el menor nmero al que 4.y 3 dividen exactamente. Este nmero es 2. Entonces al dividir 12 por 4 se obtiene 3 y este resultado se multiplica por el numerador de la primera fraccin, S. Igualmente _se divi-de 12 por 3 y el resultado 4 se multiplica por el numerador de la segunda fraccin, 2. El resultado que se obtiene es la conversin de la suma anterior en una suma igual

15 8 -+-. 12 12

Fcilmente se ve ahora que la suma es 23/12. Un buen maestro no dudara en hacer todo lo. posible

para ayudar a comprender la fundamentacin de este pro-ceso, pero, por lo general, el plan tradicionl no presta mu-cha atencin a la comprensin. Confa en la prctica para lograr que los alumnos hagan el proces rpidamente.

Despus que los alumnos han aprendido a sumar fraccio-nes numricas, se encuentran con una nueva dificultad cuan-do se les pide sumar fracciones en las que hay . letras. Aun-que se sigue el mismo procedimiento para calcular

3 2 - --+---, x+a x-a

cada paso es ms complicado. De nuevo, el plan confa en la prctica para pasar la leccin. Se pide a los alumnos que

practiquen con numerosos ejercicios de suma hasta que los pueden resolver con rapidez. .

Se ensean multitud de procedimientos como el anterior: descomponer en producto de factores, resolver ecuaciones con una o dos incgnitas; uso de los exponentes, suma, substraccin, muhiplicacin y divisin de polinomios y ope-raciones con nmeros negativos y con radicales como v3. En cada caso se les pide que imiten lo que el maestro y el libro hacen. Pr tanto, los alumnos se enfrentan con una variedad desconcertante de procedimientos que aprenden

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10 Morris Kline

de memoria a fin de dominarlos. Casi siempre el aprendi-zaje es completamente memorstico.

Tambin es verdad que los varios procedimientos estn desconectados entre s, por lo menos tal como se les presen-ta habitualmente. Raramente estn relacionados. Aunque todos estos procedimientos contribuyen al objetivo de lograr que los alumnos realicen operaciones algebraicas, en mate-mticas superiores, por lo que los alumnos alcanzan a ver, los temas son inconexos. Son como pginas arrancadas de un centenar de lbi-os diferentes, ninguno de los cuales ex-presa la vida, el significado y el espritu de la matemtica. Esta exposicin del lgebra no se sabe ni dnde empieza ni dnde acaba.

Despus de un ao de estudiar este tipo de lgebra en el plan tradicional, se pasa a la geometra eucldea. Aqu la matemtica se hace de repente deductiva. Es decir, que el texto comienza con las definiciones de las figuras geom-tricas y con los axiomas o definiciones bsicas sobre las figuras que se supone son obviamente ciertas. Luego se demuestran los teoremas aplicando a los axiomas razona-mientos deductivos. Los teoremas se deducen uno .de otro en sucesin lgica; es decir, que la demostracin de los ltimos teoremas depende sobre todo de las conclusiones obtenidas en los primeros. El repentino cambio del lgebra mecnica a la geometra deductiva es verdaderamente mo-lesto para la mayor parte de los alumnos. Hasta ahora no han aprendido, durante su educacin matemtica, lo que es una demostracin e inevitablemente deben dominar este concepto adems de aprender a dominar la propia materia.

En matemticas es fundamental el concepto de demos-tracin y as en geometra los alumnos tienen la oportuni-dad de aprender lo ms carncterstico de la asignatura. Pero puesto que la demostracin final deducida de i.Jn teorema es generalmente el resultado final de un montn de conje-turas y experimentaciones, y a menudo depende de un es-quema ingenioso que permite demostrar el teorema en la adecuada sucesin lgica, la demostracin no es necesaria-.mente la natural, es decir, la que se le ocunira inrnedia-

El plan de estudios tradicional 11.

tamen.te al adolescente. Por otra parte, el argumento deduc-tivo no da idea de las dificultades que hubo que superar al hacer por primera vez la demostracin. 'As pues, el alumno no puede comprender el razonamiento de sta y hace en geometra lo mis_mo que en lgebra. Aprende de memoria la demostracin:~

Otro problema preocupa a muchos alumnos: si el lgebra forma tambin parte de las matemticas, por qu se exige una demostracin deductiva en geometra y no en lgebra? Este problema se acenta cuando los alumnos llegan al l-gebra intermedia, generalmente despus del curso de geo-metra, cuando las demostraciones se sustituyen por las tcnicas.

Con o sin demostracin, el mtodo de enseanza tradi-cional es el resultado de un tipo de enseanza: la memori-zacin. La afirmacin de que tal tipo de exposicin ensefia a pensar es sumamente exagerada. Para ponerlo en eviden-cia, si es que esta evidencia es necesaria, he desafiado a cientos de profesores de enseanza secundaria y de colleges * a hacer exmenes con libros. Est sugerencia les escanda-liza; pero si estuviramos enseando . a pensar realmente y no a memorizar, de qu les iban a servir los libros a los alumnos?

El plan tr:adicional se ha hecho demasiado tradicional. Algunos de los temas en los que se haba insistido conside-rablemente, durante generaciones, han perdido importancia, aunque an se estudian. Un ejemplo es la resolucin de tringulos en trigonometra. Conocendo algunos datos -la-dos y ngulos- de un tringulo, la teora ensea cmo obtener los restantes elementos, e incluso cmo utilizar los logaritmos en los clculos. Esta cuestin, que tena ms im-portancia cuando en un principio la trigonometra se ense-aba a los futuros topgrafos, la ha perdido hace tiempo. Otro ejemplo es el de la obtencin de races irracionales de ecuaciones polinmicas. El mtodo que habitualmente se enseaba, llamado mtodo de Horner, requera un apren-dizaje de varias semanas, y esto no estaba justificado.

En Estados Unidos los primeros aos de enseanza a nivel univer-sitario se cursan en un college. (N. de/ T .)

12 Morrs Kline

Tambin hay defectos lgicos secundarios en el plan tra-dicional. Por ejemplo, se ensea a los estudiantes que r - 4 puede descomponerse en los factores (x+2) (x-2), pero que esto no es posible para r - 2. Sin embargo, esta ltima expresin s se puede descomponer en factores cuando que-remos introducir nmeros irracionales. En este caso los factores son X - v2 y X + v2. Igualmente, r + 4 puede descomponerse en factores si queremos usar nmeros com-plejos. En este caso los factores son x + 2i y x - 2i, donde i = v - l. As que el error cometido por el mtodo tradi-cionil de enseanza consiste en no especificar la clase de nmeros que queremos manejar con objeto de obtener la descomposicin en factores.

Adems de los pocos fallos que ya hemos descrito, el plan tradicional de enseanza se resiente del defecto ms grave que se pueda achacar a cualquier plan: la falta de motivacin. La verdadera matemtica, como deca el famoso matemtico de este siglo Hermann Weyl, tiene las propie-dades inhumanas de la luz de las estrellas, es brillante y ntida, pero fra. Tambin es abstracta. Trabaja con con-ceptos, aunque algunos, tales como los geomtricos, pueden visualizarse. Por ambos motivos , la frialdad y la abstraccin, muy pocos estudiantes se sienten atrados por la materia.

La gente joven comprende sin duda que hay alguna razn para aprender aritmtica, pero no ve el motivo para estu-diar lgebra, geometra y trigonometra. Por qu han de aprender la suma de fraccion es algebraicas, la resolucin de ecuaciones, la descomposicin en factores y otros temas pa-recidos? El atractivo de la geometra no es mayor. Es verdad que los estudiantes pueden ver de qu trata la geometra y qu afirman los teoremas; las figuras revelan de qu se ocupa esta rama de la matemtica. Pero la pregunta de por qu se debe estudiar esta asignatura, an no ha sido res-pondida. Es fcil comprender en qu consiste la historia de China, pero cabe preguntarse por qu se est obligado a aprenderla. Por qu es importante saber que los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales o que las alturas de un tringulo se cortan en un punto?

Evidentemente, no se puede defender el lgebra, la geo-

El plan de estudios tradicional 13

metra y la trigonometra 'diciendo que se utilizarn des-pus en la vida prctica. Los profanos no tienen nunca ocasin de usar estos conocimientos a menos que lleguen a ser cientficos, matemticos o ingenieros profesionales.

Pero este grupo slo lo forma un pequeo porcentaje del alumnado de enseanza secundaria. Adems, aun si todos los alumnos fuesen a usar las matemticas ms adelante en su vida, esto podra no motivar su inters. A los jvenes no se les puede pedir seriamente que aprendan algo porque pueden necesitarlo en aos sucesivos. Esta motivaciI} a.me-nudo se describe como ofrecer la luna.

El caso es que, en un esfuerzo por interesar a los alum-nos, las escuelas trataron de ensear . algunas aplicaciones de la aritmtica en los cursos sptimo y octavo. Enseaban inters simple y compuesto y descuento en prstamos. Pero los alumnos de doce y trece as no se interesaron por tales cuestiones y el experimento result un fracaso. La mo-tivacin debe atraer al alumno en el momento que cursa los estudios.

Otra motivacin que a menudo se ofrece a los estudian-tes es que deben estudiar matemticas para entrar en el college. Si las matemticas que les han enseado en la escuela primaria y secundaria son una muestra de lo que van a apr~nder en el college, puede que ellos no quieran ir al college.

Los futuros matemticos, cientficos e ingenieros encon- trarn que las matemticas son tiles en sus carreras. Pero si las matemticas que se les ofrecen no indican en qu sern tiles y carecen totalmente de atractivo, decirles a: los estudiantes que son necesarias para la ciencia. y la inge-niera slo les animar a buscar otra carrera:

A menudo se defiede la enseanza de las matemticas como un entrenamiento mental. Puede muy bien ser un entrenamiento, pero es posible lograr el mismo efecto con un contenido que sea ms comprensible y agradable. Se podran ensear las formas de razonamiento usadas comrt-mente recurriendo a problemas sociales o sencillamente le-gales cuya importancia en la vida es mucho ms clara para

14 Morris Kline

Jos estudiantes. No se necesitan matemticas para ensear a la gente que decir todos los coches buenos son caros no es igual que decir todos los coches caros son buenos. Adems, el uso de problemas sociales o legales no requiere el dominio del lenguaje tcnico, el simbolismo y los. con-ceptos abstractos que tienden a oscurec(fr el razonamiento. As. pues, es mucho ms difcil para el estudiante compren-der que la afirmacin todos los paralelogramos son cua-drilteros no es igual que todos los cuadrilteros son paral~logramos. De hecho, la experiencia en la enseanza muestra que a fin de hacer comprensibles para los estudian-tes los argumentos lgicos que se usan en los razonamien-tos matemticos, se deben utilizar ejemplos no matemti-cos que contengan los mismos argumentos. Por otra parte, est la cuestin de si el entrenamiento mental en una es-fera es aplicable en otra. Hay motivos para inclinarse a crer que es as, pero no es posible probarlo.

Otra justificacin que se da habitualmente del estudio de las matemticas a nivel de enseanza media es la belleza de la asignatura. Pero sabemos que los temas enseados no han sido seleccionados poi su belleza: Han sido escogi-dos porque son necesarios para el estudio posterior de la matemtica. No hay belleza alguna en la suma de las frac-ciones, en la resolucin de la ecuacin de segundo grado o en la frmula del seno. Todos los sermones o delirios del mundo acerca de la belleza de las matemticas no podrn hacer atractivo este patito feo. Adems, los nefitos no estn dispuestos a encontrar belleza en materias que an estn tratando de dominar; al igual que el que est apren- diendo gramtica francesa no puede apreciar la belleza de la literatura francesa.

Las matemticas atraen a unos pocos estudiantes por estmulo intelectual o porque les gusta algo que esperan hacer bien. El raro estudiante que experimenta este estmu-lo puede verdaderamente sentirse intrigado --:-

16 Morris Kline

Una tabla -de siete metros de laigo debe ser cortada en dos partes, una de ellas dos metros ms larga que la otra. Qu longitud tienen las dos partes? Naturalmente los alumnos terminan aburridos con los problemas de tablas.

Y no debemos olvidar los problemas de tiempo, propor-ciones y distancias, tales como el de cruzar un ro perpen-dicularmente; destinados a estudiantes que no estn inte-resados en ir a ningn sitio. Algunos de los problemas se refieren a paseos por un jardn circular y preguntar la di-mensin del jardn. Si permitiramos a los estudiantes pa-sear por un jardn en una agradable compaia haramos ms felices a los estudiantes.

Todos estos problemas son desesperadamente artificiales y no convencern a nadie ele que el lgebra es til.

Algunos de_ los autores ele textos de lgebra hacen hinca-pi en los problemas de fsica autnticos. Por ejemplo, la ley de Ohm dice que el voltaje V es igual a la intensidad I por la resistencia R. En smbolos, V == IR. Calcular V si I == 20 y R == 30. Pero la corriente que se utiliza en el pro-blema no mueve ningn motor mental. Por lo que sabe el estudiante, la ley de Ohm podra describir el nmero de matrimonios que se celebran en Birmania cada ao.

Durante generaciones los textos de clculo infinitesimal han enseado a los estudiantes a calcular los centros de gravedad y momentos de inercia de los cuerp~s sin que nunca se sealase por qu estas cantidades son importan-tes. En consecuencia, la gravedad de estos prblemas no produce sino inercia en los estudiantes. Tales problemas de fska, planteados sin exponer ni sus antecedentes ni su sig-nificado fsico, carecen de sentido para el estudiante. Est claro que una aplicacin fsica es intil si el estudiante no puede ver cmo se utiliza.

Aun el uso de la palabra aplicacin es a menudo mo-lesto . .Supongamos que se ensea a los estudiantes la fr-mula de un rea y se les pide calcular reas con ella. Se supone los clculos que son una aplicacin. Esta clase de aplicaciones no hacen ms que aadir lea al fuego. Puesto que las llamadas aplicaciones son intiles y sin em-

El plan de estudios tradicional

bargo forman parte de_ la matemtica, en qu sentido son aplicaciones?

El hecho es entonces que en el plan tradicional no se ofrece ninguna motivacin para el estudio de las matem-ticas. Los estuQiantes lo hacen porque se les obliga. La motivacin es -~lgo ms que un estmulo psicolgico. La motivacin autntica, adems, permite comprender el ver-

18 Morris Kline

Los autores de lfr,ro::; de tex to tambin parecen estar excesivamente orgullosos de su brevedad, la cual, a menudo, puede interpretarse como incomprensibilidad. Las razones de los pasos o no se dan o se dan de forma tan breve que la exposicin resulta casi intil para el estudiante. Mucl.1os de los autores parecen estar diciendo: Yo he aprendido este tema y ahora le desafo a usted que lo aprenda . La brevedad en la exposicin matemtica es la esencia de la estupidez y la oscuridad.

Lo peor de muchos textos tradicionales de matemticas es que carecen de originalidad y se repiten unos a ot:os interminablemente. Desde 1900 han sido publicados vanos miles de textos de aritmtica, lgebra, geometra y trigono-metria. Prcticamente todos los textos de cualquiera de es-

. tos temas utilizan los mismos materiales y la misma expo-sicin; slo el orden es diferente. Sin embargo, hay alguna esperanza de progreso, ya que cada uno de ellos. con-tiene al menos diez temas y el nmero de permutac10nes de diez objetos es de 3.628.800. Sera difcil calcular cuan-tos textos de trigonometra han sido escritos con la justi-ficacin de que tratan el ngulo en general antes que el ngulo agudo. Se puede estar seguro, sin embargo, de que sern tantos como los que ala1

20 Morris Kline

temas anticuados, la falta de toda motivacin o atractivo explican por qu a los jvenes no les gusta la asignatura y, por tanto, no avanzan en ella. La aversin a las mate-mticas se intensifica y las dificultades de comprensin aun:entan al tener que leer libros de texto oscuros, pobre-mente escritos y concebidos con fines comerciales.

Cierto es que la reforma era necesaria. Los i~iciadore5 del nuevo movimiento matemtico no citaron todos los de-fectos anteriores. Sin embargo sealaron algunos de ellos. As que vamos a ver ahora qu propuso hacer esta gente y a intentar valorar las mejoras efectivas que introdujeron en la enseanza de las matemticas.

1.: 3. EL ORIGEN DEL MOVIMIENTO DE LA MATEMATICA

MODERNA

cLa experiencia, sin embargo, ensea que para la mayorla de la gente culta, e incluso de los cientlfi-cos, las matemdticas siguen siendo la ciencia de lo incomprensible.

Alf red Pringsheim

A comienzos de los aos cincuenta, e incluso antes, todo el mundo estaba de acuerdo en que la enseanza de las matemticas era insatisfactoria. El nivel de los estudiantes en matemtics era ms bajo que en las otras asignaturas. La aversin e incluso el terror estudiantil a las matemticas estaban muy extendidos. Los adultos no recordaban casi nada de las matemticas que haban aprendido y no saban efectuar. operacion.es sencillas con fracciones. De hecho, no vacilaban en decir que no haban sacado nada en limpio de sus cursos de matemticas. Cuando los Estados Unidos entraron en la segunda guerra mundial, los militares descu-brieron rpidamente que los hombres estaban mal prepara-dos en matemticas y tuvieron que organizar cursos espe-ciales para elevar el nivel de conocimientos.

Aunque hay muchos factores que determinan el resul-tado de cualquier actividad docente, los grupos que acome-tieron la reforma se centraron en el plan y razonaron que si se perfeccionaba este componente, la enseanza de las matemticas sera un xito.

En 1952 el comit de la Facultad de Matemticas de la Universidad de Illinois, dirigido por el profesor Max Be; berman, comenz a elaborar un nuevo o moderno plan de

22 Morris Kline

matemticas. Hacia 1960 d plan (que en aquella fecha sola- ,, mente haba sido concebido para la enseanza secundaria) 1: fue probado en un grupo experimental. Ms adelante, el ~comit comenz a confeccionar un plan para la escuela pri- F mara y gradualmente extendi la enseanza de los temas de la enseanza primaria y media a otras reas geogrficas. Los textos experimentales, fotocopiados, fueron finalmente publicados como textos comerciales.

En 1955, la College Entrance Examination Board, cuya funcin es preparar exmenes de ingreso en los colleges que cumplan los requisitos exigidos por la mayor parte de ellos, decidi atacar el problema del plan de matemticas para Ja enseanza secundaria y elaborar lo que consideraron el plan adecuado. Esto les llev a la creacin de su propia comisin de matemticas. En 1959, la comisin distribuy su informe, el Program f or College Preparatory Mathema-tics, y aadi varios apndices con ejemplos de temas reco-mendados. Durante los aos 1955 a 1959, y tambin durante varios aos despus, los miembros de la comisin recorrie-ron el pas haciendo propaganda del plan que proponan en su Programa.

En otoo de 1957 los rusos lanzaban su primer Sputnik. Este acontecimiento convenci al gobierno y al pas de que Estados Unidos estaba por detrs de los rusos desde el pun-to de vista de las matemticas y la ciencia, y tuvo el efecto de aflojar la bolsa de los organismos gubernamentales y de las fundaciones. Puede que fuese una coincidencia, pero en ese momento. otros muchos grupos decidieron participar en la elaboracin de un nuevo plan.

La American Mathematical Society, organizacin dedi-cada a la investigacin, decidi en 1958 aplicar todos sus esfu.erzos a la redaccin de un plan para la enseanza se-cundaria y cre un nuevo grupo, el School Mathematics Study Group, dirigido por Edward G. Begle, entonces pro-fesor de la Universidad de Yale; para acometer la tarea. Este grupo comenz su tra_bajo redactando un plan para todos lQs cursos de la enseanza secundaria, y luego amp1i su programa para incluir el plan de aritmtica de las es-cuelas primarias.

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El origen del movimiento de la matemdtica moderna 23

El National Council of Teachers of Mathematics orga-niz su propio comit para el plan; el Sec9ndary School Currculum Committee, que dio a -conocer sus recomenda-ciones en un articulo publicado en The Mathematics Teacher en mayo de 1959. Otros muchos grupos, tales como el Ball State Project, el University of Maryland Mathe,matics Project, el Minnesota School Science and Mathematics Cen-ter y el Greater Cleveland Mathematics Program, pronto fueron organizados y comenzaron su trabajo.

Los profesores de enseanza secundaria y de cvllege comenzaron a finales de los aos cincuenta a escribir sus propios textos siguiendo la lfnea ya prevista o expres~mente recomendada por dichos grupos. Un torrente de li-bros de este tipo haba aparecido ya a comienzos de los aos sesenta y muchos ms han continuado apareciendo desde entonces.

Sorprendentemente, los numerosos grupos y escri~ores independientes siguieron todos aproximadamente la m1s~a direccin. Por tanto, su obra, con bastante razn, ha sido descrita con el trmino de matemtica moderna (o nueva matemtica). .

El origen del trmino matemtica moderna es signi-ficativo . Antes de que los miembros de la Comisin de Matemticas hubiesen determinado qu iban a recomendar, se dirigieron a un buen grupo de profesores. El contenido principal de su mensaje era que la enseanza ele las mate-mticas haba fracasado porque el plan tradicional ense-aba unas matemticas anticuadas, entendiendo por ello las matemt.icas creadas antes de 1700. Estaba implcito en el argumento el supuesto de que los jvenes conocan _este hecho y que, por tanto, se negaban a aprender matemticas. Ira usted, argumentaban estos educadores, a un abogado ~ a un mdico cuyos conocimientos estuviesen limitados a lo que se saba antes de 1700? Aunque estos portav?ces estaban sin duela bien informados sobre las matemticas, ignoraban el hecho de que las matem~icas se d~sarro~lart en forma acumulativa y que es prcticamente 1mpos1ble aprender los ltimos procesos si no se conocen los ante-

. riores. No obstante, la Comisin mantena que debamos

24 Morris Kline , El origen . del 111ovimie11to de la matemtica moderna 25

abandonar los temas de la matemtica tradicional en favor de campos tan nuevos como el lgebra abstracta, la topo- J logia, la lgica simblica, la teora de conjuntos y el lgebra de Boole. La consigna de la reforma era: matemticas modernas.

As pues, la reforma ofreca tanto un nuevo enfoque del plan tradicional como un nuevo contenido, y algunos gru-pos destacaron este hecho. Por eso el trmino matemtica moderna no es realmente el adecuado para describir el nue-vo plan. Sin embargo, quiz porque el valor propagandstico " de la palabra moderno era demasiado grande como para '' desperdiciarla -est claro que es ms deseable un auto-mvil de 1970 que uno de 1969-, se conserv el trmino ' matemtica moderna o nueva matemtica.

Aunque el plan de moderna o de nueva matemtica, tal como ha llegado hasta hoy, fue elaborado por los grupos ya mencionados, nuevos grupos aparecieron en la escena y comenzaron a recomendar reformas ms radicales. Por ejemplo, una conferencia internacional celebrada en Royau- .. mont (Francia) en 1959 jnstaba virtualmente el abandono 5' de todos los mtodos familiares en las matemticas de en-seanza secundaria, incluso de la geometra de Euclides . La conferencia declar que estos planteamientos haban sido superados por la electrnica, la relatividad, los orde-nadores y la inmensa importancia de las matemticas abs-tractas omo base de la ciencia moderna. Las nuevas ma-terias seran la lgica, la estructura y la unidad de las matemticas en conjunto y seran enseadas con un nuevo lenguaje. Esta conferencia no dio lugar a la nueva forma-cin de otros grupos para hacer un plan, pero incit a ini-ciar otros derroteros partiendo del plan tradicional.

Entre los nuevos grupos que propusieron las reformas ms radicales mencionaremos dos. Durante el verano de 1963 un grupo de matemticos asisti a la Cambridge Confe-rence on School Mathematics (su informe, Goals for Sclwol Mathematics, fue publicado por la Houghton Mifflin Com-pany). Este grupo 1ecomend la inclusin -al final del doceavo curso, cuarto ao de enseanza secundaria- de

muchos temas adicionales. avanzados sacados de la teora de los nmeros, el lgebra abstracta, el lgebra lineal, la geometra 11-dimensional, la geometra proyectiv, tensores, topologa, ecuaciones diferenciales y, naturalmente, el clcu-lo infinitesimal. En la pgina 7 afirmaba: Los temas que proponemos pueden ser descritos. a grandes r~s.gos diciendo que un estudiante que ha estudiado matema!!cas durante trece aos, de los cursos 1 al 12 (es decir, desde Ja escuela primaria hasta el cuarto ao de bachillerato), ten~rfa que tener un nivel comparable a los tres aos de ensenanza al ms alto nivel en un college de hoy da.

La justificacin de abogar por tal programa, .cuando los gmpos ya. existentes en torno al. plan apenas. haban co-menzado a poner en prctica sus programas o aun los esta,

.han elaborando, he dada en el prefacio por Francis Keppel, comisario de Educacin de los Estados Unidos. En l sea-laba que !Os canbios recientes de plan eran esencialmente diferentes de los intentados en el pasado y que las reformas haban tenido un gran xito, en su mayor parte (no est claro cmo poda saber esto el doctor Keppel en 1963. cuando la tnayor parte de los nuevos planes apenas haban sido llevados a Ja prctica), hasta el punto de que a. veces ha sido difcil distinguir sus defectos. Sin embargo, los defectos estn all y no son en modo alguno in~i~nifi~antes. Se puede argumentar, de hecho, que l.a~ def1c1encia~ del actual movimiento de reforma son lo suf1c1entemente graves como- para amenazar los objetivos _ expresos de l~s movi-mientos. Keppel entonces apuntaba que los camb10s reco-mend::;dos por el gmpo de Cambridge trataban de presentar la asignatura tal como la ven los estudiantes y que ~e supo-na que los estudiantes podan aprender mucho mas de lo que se haba esperado en el pasado. Las limitaciones del profesor eran sealadas tambin. La mayor parte de .los planes de reforma, bastante prcticame.nte, h~n prefendo limitar sus ambiciones a la luz de estas realidades. H~~ tendido a crear tantos nuevos mtodos como puedan utili-zar de forma competente los profesores existentes, despus de obtener el beneficio de una breve reeducacin. Lo han hecho perfectamente conscientes de que estaban as esta-

26 Morris Kline ~ El origen del movimiento de la matemdtica moderna i7 bleciendo un lmite su perior, lmit e desagradablemente re- [ vas del college. Los trabajos d~l grupo de Cambridge y del

28 Morris Kline ,~. El origen del movim(ento de la matemdtica moderna 29 lft

a todos los textos publicados por autores aislados que pro- t. ayudar en lo posible a su comprensin. En particular, las claman su carcter moderno. As, se deja que Jeduzcamos \' nuevas matemticas deberlan remediar, al menos en parte, por nosotros mismos qu es el plan de matemticas mo- t algunos de los defectos del plan tradicional. Desgraciada-derno y por qu es supuestamente superior al plan tradi- Vi . mente, er el campo de la educacin, a diferencia de las ma-cional. Podra suponerse que la ausencia de explicaciones t temticas propiamente dichas, no es posible dar una demos-y justificaciones significa que los partidados de las mate- ~] tracin irrebatible de que un determinado principio o tema mticas modernas no tienen muy claro ellos mismos qu h es correcto o falso. Pero hay argumentos que nos permiten es lo que han encabezado, o que temen que una afirmacin ~ decidir. explcita de las caractersticas y los supuestos mritos de ' Aunque ins de una docena de grupos han elaborado sus proyectos no resistira un examen? En cualquier caso, . nuevos planes y, por ahora, muchos textos de nuevas ma-para determinar la naturaleza y las cualidades de los planes ~ temticas estn en el mercado, ya hemos sealado que todos de matemtica moderna hay que examinar los textos y escu- :; optaban aproximadamente por el mismo enfoque y conte-char los discursos de los diversos partidarios de la reforma. ' nan los mismos temas. Esta uniformidad es consecuencia, Por el momento, en espera de una discusin ms amplia, r en parte, de la imitacin. Tambin es una consecuencia de permtasenos sealar que hay dos caractersticas principa- las preferencias y la. orientacin de los matemticos en la les en el nuevo plan: una nueva interpretacin de la mate- l investigacin actual, que estudiaremos ampliamente ms mtica tradicional y un nuevo contenido. ~- adelante. As pues, aunque no toda afirmacin que hagamos

Puesto que intentamos valorar las nuevas matemticas ti acerca de las nuevas matemticas se aplique necesaria-es necesario considerar en base a qu se las va a juzgar. r mente a cada uno de los planes, es justo tratarlos como Podra usarse como criterio: es la matemtica correcta? :'. movimientos aislados caracterizados por lneas y programas La respuesta es s, pero el criterio es inservible. La corree- .1 comunes. cin no garantiza que los estudiantes se aficionen a la asig- ; Nuestro propsito es considerar cuidadosamente la na-natura, que puedan comp1enderla o que estas matemticas, !, turaleza de los programas de las nuevas matemticas y ana-en particular, sean las que deberan ensearse. ,.. !izar sus ventajas e inconvenientes. Antes de hacer esto, nos

Se formarn con ellas matemticos? Aunque ste fuese :, gustarla intercalar una critica diferente, pero no obstante el plan ideal para formar matemticos, esto no serla sufi- !'.- adecuada. La reforma de la enseanza de las matemticas ciente. Las nuevas matemticas se ensean a alumnos de f.' era necesaria, pero la cuestin es si el plan . era el compo-enseanza primaria y secundaria que escogern las ms di- : nente ms dbil y si debera haber sido atacado en primer versas pn~fcsiones, trnbajos , empleos tcnicos y salidas o ~ lugar. Todo el mundo admite, creo, que la polltica de ense-se convertun ante todo en esposas y madres. De los nios 0 anza general proseguida en Estados Unidos es muy loable, de la escuela primaria, ni un uno por mil se~n matemticos; ~ pero nuestro pas no estaba ni est an preparado para y en cuanto a los es tudiantes que cursan enseanza secun- i; llevar adelante tal programa. Lo cierto es que no tene.mos daria, ni uno de cada cien llegar a serlo. Entonces est : bastantes profesores cualificados; por tanto, la educacin claro que un plan que pudiera ser ideal para la formacin i en muchas partes de esta nacin es lamentablemente floja. de matemticos podra no ser el coITecto para estos niveles ~ Si hubiera habido mejores profesores, stos habran sido de enseanza. . ~ capaces desde hace !iempo, actuando de acuerdo, de reme-

Su contenido debera contribuir a alcanzar los objetivos 1

30 Morris Kline ~ '

bien podan haberse dedicado al perfeccionamiento de los profesores. Es verdad que en 1958 la National Science Foun- 1., dation inaugur varios institutos para la formacin de r profesores que han proseguido esta labor. Estos institutos f deban haber sido utilizados para mejorar los conocimientos ~ : matemticos de los profesores de enseanza primaria y se- 1 cundaria, que hubieran podido formar juicios independien- r tes sobre qu es lo ms importante en matemticas. Des- ~: graciadamerite, han sido utilizados en gran medida para f ensear a los profesores cmo ensear matemticas sin haber probado antes si stas valan la pena.

Tanto si la reforma del plan debera haber recibido prio- :. . ridad como si no, debemos afrontar el hecho histrico de que el nuevo plan est ah y se usa ampliamente. Intente-mos por tanto evaluarlo.

t.

4. LA INTERPRETACION DEDUCTIVA DE LAS MATEMATICAS

La misma gran ciencia (las mate111ticas) emplea al menos tanto el poder de la i111agi11acin como el poder de las conclusiones lgicas.

Johann Friedriclt llerbart

Una de las crticas fundamentales al plan tradicional es que los alumnos aprendan a hacer las matemticas maqui-nalmente, memorizando procedimientos y demostraciones. El argumento de los defensores del plan de matemtiea mo-derna es que si la materia se enseara lgicamente, si se evidenciara el razonamiento en que se apoya cada paso, . los alumnos ya no tendran necesidad de estudiar de memo-ria. Co111prenderlan las matemticas. La interpretacin l-gica es tambin, en otras palabras, la interpretacin peda-ggica y la panacea para las dificultades que los estudiantes han tenido para aprender matemticas.

Qu significa exactamente la interpretacin lgica? Fundamentalmente es el usado en .el plan tradicional para ensear la geometra en la enseanza secundaria. Es decir, se comienza por los axiomas y definiciones y se demuestran en forma deductiva las conclusiones, a Ias que se llama teoremas. Aunque este enfoque ha sido usado en geometra, no ha sido utilizado en la enseanza de la aritmetica, el lgebra y la trigonometra. Por tanto, el mayor cambio en este aspecto del nuevo plan se ha producido en estas asig-naturas. Veamos qu supone el planteamiento deductivo de Ja aritmtica y del lgebra 1 Los ejemplos que examinare-

1 El lector que est familiarizado con el planteamiento deductivo puede prescindir de los prximos ejemplos.

32 Morris Kline La interpretacin deductiva de las matemdticas 33 mos estn tomados de tex tos tpicos d e matemtica mo- " derna.

En aritmtica se pres upone habitualmente que sabemos lo que son los nm eros O, 1, 2, .. . , los llama dos nmeros naturales . Entonces se introducen los axi omas. Sabemos que 4 ms 3

( '

34 l interpretacin deductiva de las matemdticas 35

Es verdad que nuestro mtodo de escribir nmeros tales ; Por el axioma asociativo, como el 13 empica lo que se llama la notacin posicional. Es decir, el 1 en el 13 vale to y esto debe tenerse en cuenta 17 + (4+x) = 17. en cualquier mtodo que ensee a multiplicar. La cuestin es si la mencin del axioma distributivo clarifica la opera- 1 Pero por definicin de O, cin. Supongamos que es as y veamos a qu conduce esto. Veamos el problema de multiplicar 17 X 13. Para seguir el .17+ o= 17, modlo anterior debemos hacer : 1'

17 X 13 = (10+ 7) X (10+3).

Entonces 10 + 7 debe mirarse como un nmero simple, Y , .. por. el axioma distributivo

(10+7) X (10+3) = [10 +7] X 10 + [10 + 7) X 3.

Por el axioma conmuta tivo de la multiplicacin

[10+ 7) X 10+ [10 + 7) X3 = lO X [ 10+ 7]+3X [10+ 71.

y de nuevo por el axioma distributivo

..

'.

t

as que, puesto que el cero es nico,

4 +X= 0. Vemos que si hubiera un nmero x tal que x + 4 = O, po-dramos resolver la ecuacin original. Por tanto, tenemos motivos para introducir el nmero -4, entendiendo que 4+(-4)=0.

A los nmeros naturales (excepto el O) se les llama ahora enteros positivos, y a los nuevos se les llama enteros nega-tivos. Para operar con los enteros negativos se acepta que los axiomas, o propiedades bsicas que se aplicaban a los naturales, ahora se verifican para la combinacin de los antiguos nmeros naturales y los nuevos nmeros negati-vos. As, puesto que los axiomas asociativo y conmutativo de la suma se cumplen para los nmeros naturales, se veri-10 X [10+7] + 3 X [10+7]

= (10 x 10+10 x 7) + (3xl0+3x7). r. ficarn para los enteros positivos y negativos. " Por ejemplo, para sumar -2 y -5 sealamos, primero,

Calculando las cantid ade~ entre parntesis y sumndolas obtenemos 221. Fcilmente podemos imaginar los pasos quP. 1 deberamos dar para multiplicar, por ejemplo . 172 por 135. t

En cierta etapa de la exposicin de la aritmtica Y el i. lgebra, generalmente entre los grados s~pti~? y nove1~0, se estudian los nmeros negativos. Para Justificar la mtro- 1 duccin de Jos nmeros negativos se les pregunta primero ~,. a Jos alumnos qu nmero x satisface la ecuacin f. 21 + x = 17? Para responder a esta pregunta se escribe 21 como 17 + 4, tal que l

que por definicin de -2 y -5,

(-2+2) + (-5+5) =o+ o= o.

Pero por los axiomas asociativo y conmutativo,

(-2+2) + (-5+5) = 2 + 5 + [(-2)+ (-5)];

as que o = 7 + [(-2) + (-5)).

l' Por tanto, -2 + (-5) deben ser -7, ya que sumando 7 a f. dicha expresin da O. (17+4) +X= 17 . r

~.

36 Morris Kline

Una vez que se ha aprendido cmo sumar nmeros ne-gativos y positivos, se dice a los alumnos que restar signi-

~ica aadir el opuesto . El 4 es el opuesto de -4 y a la mversa. Por tanto,

17 - 13 = 17 + (-13) = 4; 6 - 8 = 6 + (-8) = -2;

-5-(-11)= -5+ 11 =6.

Antes de establecer ms, propiedades de los nmeros ne-gativos, vamos a probar que a X O = O, para todo entero a. Puesto que por definicin de O, a + O = a, entonces

a X (a+O) =a X a.

Sin embargo, por el axioma distributivo,

a X (a+O) =a X a+ a X O.

Entonces

a X a + a X O = a X a.

Por tanto, a X O= O,

puesto que O es un nmero tal que sumado con cualquier nmero b, da b.

Ahora se supone que los alumnos estn preparados para entender la demostracin de que el producto de un entero negativo por un positivo es un negativo . Es decir, que -3 X 4 = - 12. Comenzamos con

(1) a X [b+(-b)] = a X O= O,

ya que b + ( - b) = O. Sin embargo, por el axioma distri-butivo,

(2) a X [b+( - b)] =a X b +a X (-b).

r ' '

l ' .

La interpretaci11 deductiva de las matemdticas 37

Entonces los segundos miembros de (1) y (2) son iguales, luego

a X b +a X (-b) =O. Por tanto, a X (-b) debe ser -(axb), ya que ax (-b) sumado con a X b da O y esto slo se cumple para el opues-to de a X b, es decir, -(a X b ).

Finalmente, si . en vez de (1) partimos de -a X [b+(-b)],

y repetimos los mismos pasos sin ms que cambiar -a por a, podemos demostrar que

-a X -b =a X b. A menudo se usa otro mtodo para introducir los n-

meros enteros (positivos y negativos). Se comienza con los nmeros 1, 2, 3, 4, .. :; stos son los nmeros naturales, excepto el O. Entonces los enteros se definen como las cla-ses de equivalencia de los pares ordenados de nmeros na-turales. Lo que significa lo siguiente. Un par ordenado de nmeros naturales es el par (7, 5). Esto intuitivamente sig-nifica 7 - 5. Sin embargo, ( 6, 4 ), ( 4, 2), ( 8, 6). y millones de otros pares represen~an el mismo entero. Dos de estos pa-res, (a, b) y (e, d), se llaman equivalentes si a + d = b + c. Entonces, el entero 2 es la clase d todos los pares equiva-lentes, por ejemplo, al par (7, 5). El mrito de esta defi-nicin es que permite introducir el par ordenado (5, 7), que intuitivamente representa 5 - 7 -2, utilizando tan slo los nmeros naturales. (5, 7), ( 4, 6), (6, 8) y los dems pares de esta forma son tambin el mismo entero negati-vo -2. El entero que generalmente llamaremos O es la clase de los pare. ordenados (5, 5), (6, 6), (7, 7), etc. Con el m-todo anterir crebamos los nmeros negativos; con GSte los construimos.

Las operaciones con enteros positivos y negativos se definen, segn este planteamiento, en trminos de pa.res or-denados. As que la suma de (7, 5) y (6, 3) es (13, 8). Intuiti-vamente sabemos que 2 + 3 ~ 5, pero el desarrollo lgico exige hacer lo anterior. Ms en general, (a, b) + (e, d) =

38 Morris Kllne

= (a +e, b + d). Vernos que la definicin de suma sirve igualmente para los negativos. As. (5, 7) + (3, 6) = (8, 13) o, intuitivamente, -2 + -3 = -S. La definicin de los en-teros mediante pares ordenados puede usarse para introdu-cir la resta , la multiplicacin y la divisin, y se obtienen milagrosamente las leyes habituales con que se manejan los nmeros enteros.

Para la introduccin de las fracciones se sigue un plan-teamiento similar al utilizado para los nmeros enteros ne-gativos. Se pregunta al alumno cmo encontrara el valor de x para el que 3x = 6. Es claro que x = (1/3) X 6 6/3. Entonces se le pregunta cmo calculara x cuando 3x = 7. Nin[!tn entero satisface esta ecuacin. Creamos entonces unos nuevos nmeros, las fracciones. En particular, para

- este x crearnos el nmero 7/3 , que significa (1/3) X 7, y acordamos que 3 X l /3 = l. Una vez introducidas las frac-ciones, acordarnos vC'rifi car los axiomas asociativo, conmuta-tivo y distributivo . Podernos demostrar en.tonces que se cumplen las operaciones habituales para la suma, resta, mul-tiplicacin y divisin de fracciones.

Algunos textos tambin introducen las fracciones corno pares ordenados de enteros. As. (3, 5) es la fraccin que intuitivamente significa 3/5. I,,as operaciones se definen con respecto a los pares 01denados y entonces se puede prnbar que la suma y la multiplicacin son asociativas , conmutati-vas y distributivas.

El planteamiento deductivo encuentra un serio obstcu-lo, al menos a nivel elemental, al tratar los nmeros irracio-nales. El lector debe recordar que nmeros tales corno ...f2. ...f5, ~ 4 y otros parecidos tambin pertenecen al sistema de numeracin. Para los principiantes es mucho ms difcil entender un tratamiento enteramente lgico de estos nme-ros, y aunque los alumnos pudiesen asimilarlo, el tiempo necesario sera desmesurado. Entonces los textos, habitual-mente, aceptan un convenio. Justifican la introduccin de tales nmeros, en primer lugnr, mostrando que para re-solver

x2=4

r . 1 i

' t i. t 1

f ; '

La. interpretacin deductiva de las matemdticas 39

tomamos la ralz cuadtada en ambos lados de igualdad Y obtenemos

X= 2.

Si~ilarmente, para resolver

se toma la raz cuadrada e~ ambos lados y se obtiene X,;,, . ...f2.

As es corno se introducen los nmeros irracionales. Se pue-de probar, y muchos textos lo hacen as, que V2 no es racional; es decir, que no es igual al cociente de dos enteros. Est claro que objetos tales como ...f2 son una nueva clase de nmeros. Sin embargo, esta justificacin no basta para introducir todos Jos nmeros irracionales, en _particu-lar el nmero 1t. Tampoco proporciona una base lgica para construir las propiedades de Jos nmeros irracionales. En consecuencia, estas propiedades deben postularse. Por ejemplo , se cumple que, si a y b son mayores que cero, ;,_a ..., = .. ab. Pero puesto que no puede probarse esto a nivel elemental, los textos se limitan a afirmarlo Y darle un nombre. Se le llama propiedad del producto de las rafees cuadradas. Anlogamente, no se puede probar que ...fa/b = = ..a/ ...fb, y as! simplemente se afirma que esto se cumple y se designa como propiedad del .cociente de las rafees cua-dradas. 1

Otras dificultades surgen en la introduccin de os nu-meros complejos, es decir, de los nmeros de la forma 3 + ... - l, 2 ... - 2, etc. En este caso, el nuevo plan, co?1o el antiguo, inventa ... -1 como solucin a .la ecuacin .x2 = -1 y forma entonces los nmeros complejos. Por ot.ra parte, se introducen los nmeros complejos . como pares ordenados de nmeros reales. Entonces se defmen las ope-raciones aritmticas entre nmeros complejos y se demes-tra que las propiedades asociativa, conmutativa y distribu-tiva se cumplen con estas operaciones.

40 Morris Kline I; :. ;La. interpretacin deductiva de las matemticas 41 Los fundamentos lgicos de la aritmtica nos sirven

ahora para construir el lgebra. El lgebra se distingue de f la aritmtica en que trabaja con expresiones que incluyen letras, como 3x2 + Sx + 2, y opera con tales expresiones ~' Puesto que las letras sustituyen a nmeros y todos los n-meros obedecen las mismas leyes, las letras obedecen a estas leyes. Consideremos una demostracin algebraica. Demos-traremos que si a X b = O, entonces o bien a es O, b es O,

aprenderlas y aplicarlas. Los autores no dicen si estas pro-piedades son axiomas ni demuestran sus enuncidos. El'

resultado es la confusin entre lo que se demuestra a. partir de los axiomas y lo que son reglas. Los autores, en efecto, estn repitiendo reglas mientras afirman que estn ensean-do matemticas deductivas.

Los ejemplos que hemos utilizado para mostrar cmo se aplica la dedt),2cin al lgebra y la aritmtica han sido muy sencillos. Se puede imaginar fcilmente lo largas y com-plicadas que son las demostraciones cuando el lgebra y la .

o ambos son cero. Si a = O, el teorema est demostrado. Si a no es igual a

cero, hay una propiedad del sis tema de nmeros que nos dice que existe un inverso 1/a. Entonces, como a x b =O " y cualquier nmero multiplicado por O da O, t

aritmtica se hacen ms complejas. La interpretacin deductiva de la georrietrfa eucldea es

fundamentalmente aquella que se enseaba antes en la en-seanza secundaria. Por tanto, no es necesario exponerla aqu. Sin embargo, en el captulo siguiente tendremos que decir algo ms acerca de las demostraciones en la geometra.

1 1 I' . - X(axb)=-X O=O. f a a f. Puesto que la mayor innovacin de las nuevas matemti-

cas es la interpretacin deductiva de los temas estudiados en el plan tradicional, tratemos de determinar qu mritos pedaggicos puede tener esta interpretacin. En particular, lleva a comprender las matemticas?

Por el axioma asociativo

42 Morris Kline La interpretacin deductiva de las matemdticas 43 /

x (60)' + 2 x 60 + 5, as co mo en nuestra base diez 125 ... su plan, comenzar con algunas verdades evidentes por s significa 1 x JO'+ 2 x JO+ 5. Tal sistema de escritura ' mismas, tales como que dos puntos determinan una recta exige casi el cero, ya que para escribir 105 se necesita el O y que todos los ngulos rectos son iguales. Dadas estas verda-para indicar que el no est en la posicin de las adecenas, des, o axiomas, planearon obtener deductivamente conclusio-sino en la de las Centenas . Los babilonios , sin embargo, nes o teoremas. Los teoremas ta~bin seran entonces ver-no crearon el cero. Sus nmeros fueron ambiguos y se tiene >.

44 Morris Kline La interpretacin deductiva de las matemdticas 45

cin de nmero negativo, complejo o irracional. Sin em-ron toda el lgebra en geometra para poder trabajar con , bargo, todos ellos manejaron estos nmeros muy satisfac-longitudcs, 1-cas y volm9ncs, que podan, por otro lado, toriamente en su trabajo, al menos en relacin con el uso ser representados numricamente con nmeros irraciona- ' que de ellos se haca en su tiempo. La historia d.e todo el les; incluso resolvieron las ecuaciones cuadrticas geom- F sistema numrico no slo es pertinente por mostrar cmo tricamente. se ha desarrollado, sino tambin porque el lgebra y el

La historia de las matemticas tras el perodo superior 1 anlisis (el clculo infinitesimal y sus ramas ms compli- . de la cultura griega es lo ms 'opuesto a la forma en que . cadas) utilizan obviamente el sistema numrico, e indepen-se conciben ordinariamente las matemticas. El progreso dientemente de la base sobre la que ste se apoye,' debe en el uso de los nmeros irracionales se debi a la civiliza- '. servir de base al lgebra y al anlisis. . cin griega de Alejandra, que fue una fusin de las civili- .' En la historia del lgebra hay otra ancdota significa-zaciones ele la Grecia clsica, Egipto Y Babilonia. Y a losr tiva. El uso ele una letra para representar un nmero fijo rabes e hindes, cuyos planteamientos eran totalmente _ pero desconocido proviene de los griegos. Sin embargo, el empricos. Fueron los hirtdcs quienes decidieron que v2 . uso de una o varias letras para representar toda una clase v3 = v6, y su razonamiento fue que con los irr~cionales 1 de nmeros no se concibi hasta finales del siglo XVI. Fran-pocla calcularse como con los enteros. es decir, como c;:ois. Victa introdujo entonces expresiones como ax + b, con v 4 v9 = v36. Puesto que esta ltima expresin es t donde a y b podan '!;er cualquier nmero (real) 2 El inters obviamente correct3, como se puede ver tomando las races ~ .. mayor de tales expresiones generales es que lo que podemos cuadradas de cacb nmero, igual sucede con v2 v3 =! demostrar acerca de ellas se cumple para todos los valores. = v6. Los nmeros irracionales fueron gradualmente acep " de b y X. As que si aprendemos a resolver la ecuacin tados a causa de su utilidad y porque la familiaridad elimi- cuadrtica ax 2 + bx + e =O, podernos resolver todas las na la crtica. ' ecuaciones cuadrticas, porque a, b y e pueden representar

Los nmerns negativos, introducidos por la pragmtica :: cualquier nmero. El uso de letras para representar cual-mentalidad hind alrededor de 600 aos d . de J. C .. no; quier nmero o incluso una clase restringida de nmeros tuvieron aceptacin durante mil aos. Razn: la falta de ' .es entonces, vcr.gaderamente, una enorme contribucin y una base intuitiva. Algunos de los nwtcmticos ms gran- ;: aparentemente s'hnple una vez que se ha obtenido. Sin em-des, como Cardan, Vieta, Descartes y Fermat, se negaron a bargo, durante todos los siglos en que los babilonios, egip-trabajar con nmeros negativos. La historia de los nme~ cios, alejandrinos, griegos, hindes y rabes trabajaron en ros complejos es similar, aunque no aparecieron hasta 1540:' lgebra, no se les ocurri la idea de usar letras por clases ' . d. de J. C., aproximadamente, y aunque slo transcurrieron .. de nmeros.' Estos pueblos hicieron su lgebra trabajando unos doscientos aos hasta que su uso se normaliz. Es ' . con expresiones concretas como 3x2 + 5x + 6 = O. Es de-interesante citar una observacin del eminente matemtico ' cir, que siempre usaron coeficientes numricos, e incluso, Carl Friedrich Gauss. Corno es bien sabido, fue uno d~ los;; de hecho, en su mayor parte no usaron un smbolo como descubridores ele la representacin geomtrica de los nume< la x para la incgnita. Usaron palabras. ros complejos, y acerca de ella dijo en 1831: Aqu [en' Por qu se retras el uso de las letras como coeficien-esta representacin] la demostracin del significado intu-, tes, en general, durante tanto tiempo? La respuesta podra tivo de v -1 est completamente razonada Y no se necesita , ser que este recurso es parte de un n.ivel ms alto de abs-ms para admitir esta cantidad en el domini~ d~ la aritt{ mtica. Ni Descartes, ni Ferrnat, Newton, Leibniz, Euler,., --2 -V-ie-ta-no admitla en realidad valores negativos para a, IJ Y. x. Lagrange, Gauss o Cauchy podran haber dado una defini:y

l

1 . ~

46 Monis Kline lA interpretacin deductiva de las matemdticas 47 t ' !,

traccin en matemticas, un nivel mayor, que suprime la ~ que advertir a los estudiantes: Insistid y la fe vendr a intuicin. Es ms difcil pensar acerca de ar + bx + e = O vosotros. que acerca de 3x2 + 5x + 6 = o. Sin embargo, slo despus : Caba esperar que el clculo entrada en crisis, en vista de que se introduj eron estos coeficientes generales fue po- !' de lo incierta, falta de claridad e incluso incorrecta que sible razonar deductivamente acerca de los procedimientos era su fundamentacin. Pero antes de que se crease la acle-

. cuada estructura deductiva, no solamente se habla exten-algebraicos para expresiones generales significativas. .. ~ dido y aplicado con xito el clculo, sino que se haban La historia del clculo infinitesimal es igualmente ins- ; desarrollado, sobre la base del clculo, temas tan amplios

tructiva. No entraremos en los detalles de los conceptos que ~ como las ecuaciortes diferenciales ordinarias y en derivadas estn relacionados con los fundamentos de esta materia. ': f 1

, parciales, el clculo de variaciones, la geometra di erencia Pero puede bastar con seal ar unos pocos he.chos acerca . y la teora de funciones de variable compleja. Cmo logra-de su desarrollo. Los grandes nombres en la creacin del } ron los matemticos estos enormes avances? Est claro que clculo infinitesimal son, naturalmente, Isaac Newton Y 1 pensaron intuitivamente. Los argumentos fsicos, los dibu-Gottfried Wilhelm Leibniz. Sin embargo, Descartes, Fcrrnat, 1: jos, las generalizaciones apoyadas en casos sencillos cono-Cavalieri, Pascal, Roverhal, Barrow y al menos una docena ! ciclos y Ja experiencia matemtica contribuyeron a llegar a ms de conocidos matemticos hicieron contribuciones sig- i conclusiones correctas. nificativas antes que ellos. A pesar de que tanto se hubiese 1 Es muy significativo que los fundamentos lgicos del hecho antes de que ellos desarrollaran su trabajo, ni Ncw t sistema numrico, el lgebra y el anlisis (el clculo y sus ton ni Leibniz pudieron formular correctamente los con- r ampliaciones) no fuesen desarrollados hasta finales del si-ceptos bsicos del clculo infinitesimaL Newton escribi glo xrx. En otras palabras, durante los siglos en los que se tres importantes artculos sobre clculo infinitesimal y pu- r .. edificaron las ramas ms importantes de las matemticas blic tres ediciones de su obra maestra Los principios ma- '. no habla un desarrollo lgico para la mayor parte de ellas. temticos de la f ilosufla natural. En cada uno de estos tex- ' Aparentemente la intuicin de los grandes hombres es ms tos dio una explicacin diferente del concepto bsico, que . poderow que su lgica. llamamos derivada. Actualmente, ningn . principiante en el '. Qu podemos deducir de esta historia? Parece claro que clculo infinitesimal aceptada ninguna de ellas. Leibniz fue t primeramente se aceptaron y utilizaron los conceptos. que igualmente desafortunado en muchos de sus artlculos .. Su t. r: tenan mayor significado intuitivo: todos los nmeros, las primer artculo fue descrito por los famosos hermanos Ber fracciones y los conceptos geomtricos, Los menos intuiti-noulli, James y John, como un enigma ms que una expli- '. vos, los nmeros irracionales, los nmeros negativos, los cacin. r . nmeros complejos, el uso de letras como coeficientes gene-

Tanto los trabajos de Newton como los de Leibniz reci- t 1rales y los conceptos del clculo, necesitaron de muchos bieron muchos ataques. Newton no respondi, pero Leibniz siglos para su creacin o para su aceptacin. Adems, cuan si lo hizo. Se opuso a las crticas puntillosas, y sostuvo , do fueron aceptados no fue la lgica la que indujo a ello que no debamos permitir que un exceso de escrpulos nos . a los matemticos, sino los argumentos por analoga; el sig llevara a rechazar los frutos de la inventiva. Sin embargo, .. . nificado fsico de algunos conceptos y la obtencin de re-los defectos estaban all y los ataques continuaron durante sultados cientficos correctos. En otras palabras, fue la todo el siglo XVIII. Eran tan grandes las dificultades para evidencia intuitiva lo que indujo a los matemticos a acep-clarificar los conceptos bs icos del clculo, que el famoso tarlos. La lgica siempre ha venido mucho despus de la matemtico del siglo XVIII Jean LcRond d'Alembert tuvo invencin, y, evidentemente, ha sido ms difcil de alcanzar.

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48 Morris Klne

As pues, la historia de la matemtica sugiere, aunque no lo pruebe, que es ms difcil el planteamiento lgi~o.

Se podra encontrar otro argumento contra la mterpre- .J, tacin deductiva en la evidencia histrica. Este argumento, . esencialmente, es el de que cada persona debe pasar apro-ximadamente por las mismas experiencias por las que pasa-ron sus antepasados si quiere alcanzar el nivel de pensa-miento que muchas generaciones han alcanzado; Este - argumento ha sido anticipado por muchos grandes matem- . ticos relacionados con la pedagoga. Henri Poincar, uno de los ms grandes matemticos ele los ltimos tiempos .. dijo , en sus Fundamentos de la ciencia: Los zologos mantienen que el desarrollo del embdn de un animal reproduce en un breve perodo la historia de sus antepasados a ~o largo de las pocas geolgicas. Pa1ece que sucede lo mismo en el desarrollo de la mente. L:1 tan:a del educador es hacer que ,. la mente de un niflo pase por las experiencias que han tenido sus padres, pasando rpidamente por _cier.tas etapas: pero '< sin omitir ninguna. La historia ele la c1enc1a debe guiarnos , en este propsito. '

.La interpretacin deductiva d las matemticas ,49

ms elevadas y, finalmente, a las formulaciones abstractas, siguiendo al hacer esto el mismo camino a lo largo del cual la raza humana ha salido de su sencillez original para llegar a las formas ms elevadas del conocimiento. Es necesario

. recordar frecuenl~mente este principio, ya que siempre hay quienes, al estilo de la escolstica medieval, comienzan l enseanza con las ideas ms generales, defendienclo este m-todo como "el nico cientfico". Y, sin embargo, esta justi-ficacin es todo menos cierta. Ensear cientficamente slo quiere decir inducir a pensar cientficamente, de ningn modo enfrentar al alumno, desde el principio, con fro~ sistemas cientficamente pulidos.

Un obstculo esencial para la difusin de tal mtodo, natural y verdaderamente cientfico, es la falta de conoci-mientos histricos que tan a menudo se hace notar. Para combatir esto, he intentado que el texto incluya nota~ his-tricas. Al hacerlo confo haber puesto de relieve con qu lentitud se han producido todas las ideas matemticas; cmo casi siempre han aparecido primero en esbozo y slo han cristalizado despus de largo tiempo en la forma defi-nitiva que resulta familiar en la exposicin sistemtica.

No se puede dudar de que las dificultades que los gran-des matemticos encontraron son tambin los obstculos eil los que tropiezan los estudiantes y no puede tener xito

El mismo pensamiento ha siclo expresado por uno de los . ms importantes matemticos y profesores de finales del t siglo xix y comienzos del xx. f'lix Klein, ~n su~ Eleme11tary Mathematics f ro111 an Advanced Standpomt, chce: Al aca-bar esta discusin de la teora ele colecciones (conjuntos), debemos hacer de nuevo la pregunta que acompaa a todas estas lecciones: "qu es lo que se puede usar de todo esto en la enseanza?". Desde el punto de vista ele la peda-goga matemtica, debemos naturalmente protestar con~ra

ningn intento de acabar con estas dificultades a base de t' palabrera lgica. Si los matemticos necesitaron un millar 0 de aos desde que aparecieron las primeras matemticas ; hasta que llegaron al concepto de n.mero negativo -y esto

la imposicin a los alumnos de cosas ta~ abstr~ctas y d1ff-ciles demasiado pronto. Para aclarar m1 propto punto de vista deseara recordar la ley fundamental de la biogen-tica, 0segn la cual el desarrollo de los individuos reproduce en una serie resumida todas las etapas del desarrollo de las especies. Esto es algo que hoy da sabe tod? :I mundo . . Pues bien, pienso que la ensei'ianza de las matemat1cas, como la de cualquier otra cosa, sigue esta ley, por_ lo menos a grandes rasgos. Teniendo en cuenta la capac1d.ad na.tura! de los jvenes, se les debe llevar lcrttamente hacia las ideas

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es lo que sucedi--, y si fueron necesarios otros mil aos para que los matemticos aceptaran los nmeros negativos --como asl fue-, podemos estar seguros que los estudiantes tendrn dificultades con los nmeros negativos. Adems, los estudiantes tendrn que superar estas dificultades aproxi-madamente en la misma forma en que lo hicieron los ma-temticos, acostumbrndose gradualmente a los nuevos conceptos, trabajando con ellos y sacando partido de todo apoyo intuitivo que el profesor pueda darles. Naturalmente, se. puede argumentar que, aun si el crecimiento de las ma-temticas ha seguido el camino descrito, nosotros tenemos

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50 Morris Kline ~ ahora las estructuras lgicas necesarias para el sistema nu-mrico, el clculo, etc., y no necesitamos pedir a los estu- " diantes que repitan las especulaciones de los maestros. Po-demos ofrecer a los estudiantes los planteamientos corree- > tos y ellos los entendern. Este argumento puede ser con- ~ trarrestado por el hecho de que los ms importantes mate-mticos trataron de construir los fundamentos lgicos de estas materias, pero fracasaron durante siglos. Su fracaso demostrara que las interpretaciones lgicas no son fciles de captar. Se puede comprimir la historia y evita~ muchos de los esfuerzos y trampas intiles, pero' no es posible darla de lado. Pero, naturalmente, nuestros estudiantes pueden ser superiores a los mejores matemticos del pasado.

Pero no insistiremos ms en la evidencia histrica. Hay otros argumentos ms fuertes contra una interpretacin puramente deductiva de las matemticas elementales. \

Debemos notar, antes de nada, que existe ya una expe-riencia en la presentacin deductiva de las matemticas. La geometra eucldea ha sido expuesta de esta man_era d~rante siglos . Adems, su significado intuitivo es tambin evidente para el estudiante. Sin embargo, los estudiantes no han te: nido ms xito en dominar la geometra que el lgebra; m han dejado el curso de geometra con un sentimiento de alegra por haber comprendido a~ fin. una. rama de la~ ~atemticas. Entonces, si la evidencia h1stnca no es suf1c1en-te, debe haber otros argumentos pedaggicos contra la interpretacin lgica. No son difciles de encontrar.

Hacia la mitad del siglo XIX se establecieron los diversos tipos de nmeros y sus propiedades sobre la base del uso que se haca de ellos. Asimismo, las propiedades de las fun-ciones, derivadas e integrales, usadas en el clculo se acep-taron sobre la base de que parecan evidentes para las fun-ciones ms simples o sobre la base de la verdad fsica de los resultados obtenidos. Los matemticos se ocuparon en-tonces de la construccin lgica de los fundamentos de las propiedades que haban empleado. De hecho, la lgi~a tena que justificar aquellas propiedades, antes que d~~e:mmarlas. As es como se edific una estructura muy artificial y com-plicada de axiomas y teoremas. El propsito de esta estruc-

La interpretacin deductiva de las matemdticas 51

tura era satisfacer las necesidades de los matemticos pro-fesionales, que insistan en la estructura . deductiva, pero nunca se pens utilizarla para una interpretacin pedag-gica. Si11 embargo, son estos fundamentos lgicos los que la nueva matemtica emplea para educar el entendimiento.

El hecho de que la utilidad determina la interpretain lgica, y no al contrario, es tan bsico en matemticas que merece que hagamos hincapi en l. Veamos un ejemplo. Para sumar fracciones, en la mayor parte de los casos, por ejemplo, para sumar 1/2 y 1/3, las reducimos al mn\mo comn denominador y sumamos 3/6 y 2/6, obteniendo 5/6. Sin embargo, cuando multiplicamos fracciones, multiplica-mos los numeradores y los denominadores, es decir, 1/2 X 1/3 = 1/6. Podramos csumar las fracciones suman-do los numeradores y los denominadores y obtener 1/2 + + 1/3 = 2/5 .. Por qu no usamos este .ltimo mtodo?

. ,Sera ms simple, pero no se ajustara a la experiencia. Cuando hemos adoptado una definicin til de la suma, las propiedades lgicas . de sta deben deducirse de la defi-nicin.

Otro ejemplo puede ser la multiplicacin de matrices. Para el uso de las matrices se requiere que la multiplica-cin sea no:Conmutativa, aunque podramos definir una multiplicacin que fuera conmutativa. Desde el momento en que la multiplicacin debe ser no-conmutativa, los fun-damentos lgicos de la teora de matrices deben adaptarse a este hecho. Por tanto, la lgica no dicta cules son los contenidos de la matemtica; el uso es lo que determina la estructura lgica. La organizacin lgica aparece a poste-riori, y en cierto sentido es tan slo un adorno 3

De hecho, si un estudiante es realmente inteligente y se le pide que emplee el axioma conmutativo para, por ejem-plo, justH.;ar que 3 X 4 = 4 X 3, puede muy bien pregun-tar por qu se cumple el axioma conmutativo? La verda-dera respuesta es, naturalmente, que nosotros aceptamos el axioma conmutativo porque nuestra experiencia con grupos de objetos nos dice que 3 X 4 = 4 X 3. En otras palabras,

3 Vase la definicin de matriz en el capitulo 8.

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52 Morris Kline La interpretacin deductiva de las matemdticas 33

el axioma conmutativo es correcto porq~e 4 x 3 = 3 x 4 Y. ~o hay que darle ms vueltas. El estudiante normal repe-tira como un papagayo las palabras axioma conmutativo

e.s ~ue ~I uso al que se destinan las matrices exige la rriul-. , t1phcac16~ no conmutativa. La interpretacin lgica da a

los estudiantes una impresin enteramente falsa sobre la forma ell' que se desarrollan las matemticas. Y ~.uerr, com? P~scal lo expres en sus Cartas provincianas, ,,

f13ar. estos t~rm1~os e.n la memoria porque no ' significan nada para la 111tehgenc1a.

Repitamos que es preciso conocer la finalidad de la ma-tellltica para poder edificar sus fundamentos lgicos. Poin-car sealaba que existen varias formas de construir el sis-tema numrico a partir de los nmeros positivos. Por qu i' a~epta~os una y no otra? La eleccin se gua por la con-s1derac1n de la nocin intuitiva dentro de la cual esta construccin ocupa un lugar;' sin esta consideracin, la elec-cin aparece injustificada. Pero para comprender una teo-ra no es suficiente con mostrar que el camino elegido no presenta obstculos, es necesario tener en cuenta las razo-.nes por las que se toma ese camino. Es posible entender una teora si desde el primer momento ~e le da l.a forma definitiva que impone una lgica rigurosa, sin mencionar para nada el camino por el que ha llegado a adoptar esta forma? No, realmente no es posible entenderla; incluso re- .' sulta imposible retenerla si no es de memoria .

Las c?nsideracione_s de Poincar pueden aplicarse al jue- . go del a.iedrcz. Para ,1ugarlo no basta con saber las reglas para mover las piezas. Con este conocimiento riicamente se puede saber si un movimiento es correcto, pero no se puede entender si un movimiento es mejor que otro. Las razones o estrategias internas no son evidentes. En el caso de la matemtica, la razn interna es su uso. -

En realidad, Ta interpretacin lgica induce a error. Al extender el sistema numrico desde los nmeros naturaies a los otros tipos de nmeros, se insiste en el nuevo plan en .la. conservacin de las prnpiedades asociativa y conmu-tativa de las operaciones. Por qu insistir en esas propie-dades? Los profesores saben que el uso de los nmeros necesita de ellas, pero los estudiantes adquieren la idea de que son propiedades necesarias a todas las cantidades mate-mticas. ~Por qu, entonces, no extendemos la propiedad .conmutativa a 1a multiplicacin de matrices? La respuesta

La mayor parte de las demostraciones que se ensean a los estudiantes tambin son artificiales por otras razones. Cuando un matemtico pretende demostrar un teorema que le parece correcto, utiliza para la demostracin todos. los medios, por ms que sean pesados, indirectos o tortuosos, pero quiz ms naturales en el proceso creativo. Una vez que el teorema. ha sido demostrado, sabiendo cmo puede superarse la dificultad esencial, el matemtico o sus suce-sores pueden idear por lo general una demostraci.n ms fcil o ms directa. Algunos teoremas han sido demostrados varias veces, y cada una de las sucesivas demostraciones remodel y simplifica la . anterior, incluyendo a menudo generalizaciones y resultados ms fuertes. As que el teore-ma final y su demostracin se alejan de los iniciales plan-teamientos naturales. Cabe esperar, entonces, que los estu-diantes, al enfrentarse a un resultado tan trabajado y lima-do, y posiblemente ms complejo, no puedan captarlo. Adems de intentar rehacer una demostracin para aumen-tar su brevedad y quiz su elegancia, a los matemticos les gusta erigir esfructu~as lgicas en l~s ci,~e se deducen mu-chos teoremas a partir de un pequeno numero de axiomas. El ajustar un teorema dentro de una estructura semejante puede exigir complicaciones adicionales en la demostracin y producir an ms dificultades a los estudiantes que pre-tenden comprenderlo.

Muchos profesores salen de sus clases muy satisfechos' consigo mismos despus de haber expuesto una serie de semejantes teoremas y demostraciones. Pero los estudiantes no quedan satisfech:.s. No han comprendido de . qu iba, y. todo lo q_ue pueden hacer es aprender de memoria lo que han odo. No conocfan el pensamiento original y no han sacado nada en j,;mpio de las repulidas demostraciones. La

interpretacin deductiva ha sido comparada a un zorro que borra sus huellas con la cola.

El hincapi en la interpretacin lgica engaa tambin

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al estudiante en otro sentido. Le hace creer que las mate- , mticas han sido creadas por genios que comenzaban con axiomas y razonaban directamente desde los axiomas hasta '< los teoremas. El estudiante, que no puede funcionar de esta manera, se siente humillado y desconcertado, pero el servicial profesor est completamente preparado para de-mostrar su genio en accin. Quiz no haga falta decirnos, a la mayor parte de nosotros, cmo ha sido creada la ma-temtiCa, pero nos convendra escuchar las palabras de Flix Klein: A menudo oye decir a los no-matemticos, especialmente a los filsofos, que las matemticas consis-ten exclusivamente en sacar conclusiones de unas premisas claramente establecidas, y qrie en este proceso no importa lo que las premisas significan, ni si son verdaderas o fal-sas, siempre que no se contradigan entre s. Pero una per-sona que haya hecho un trabajo matemtico productivo hablar de forma diferente. De hecho, esta gente [los no-matemticos] piensan slo en la forma cristalizada que fi-nalmente adoptan las teoras matemticas. Sin embargo, el investigador en matemticas como en cualquier otra ciencia, no trabaja con un modelo deductivo riguroso. Por el contrario, esencialmente hace uso de su imaginacin, y procede intuitivamente ayudado por mtodos heursticos. Se pueden dar numerosos ejemplos de matemticos que habiendo descubierto teoremas de gran importancia no han sido capaces de demostrarlos. Deberamos insistir en que esto no son matemticas, por respeto a la definicin ante-rior, y negarnos a reconocer sus logros? Despus de todo, el modo en que se use la palabra es algo arbitrario, pero ningn juicio de valor podr negar que el trabajo induc-tivo de quien enuncia un teorema por primera vez es, por 1. lo menos, tan vlido como el trabajo deductivo de quien lo prueba. Pues ambos son igualmente necesarios, y sin el descubrimiento no sera posible la conclusin posterior. Es intelectualmente deshonesto ensear la interpretacin deductiva como si se llegara a los resultados por pura lgica.

La interpretacin lgica produce complicaciones prcti-cas. Si un estudiante tiene que demostrar, por ejemplo,

La interpretacin deductiva de las matemdticas 55

que 4ab (ab+3ac) = 4a2b2 + 12a2bc, debiendo justificar cada paso, tendr que pensar cuidadosamente y dar razones a tantos pasos que necesitar minutos para hacer lo que hara casi automticament sobre la base de la experiencia nu-mrica . Es muy preferible que los estudiantes se familiari-cen con las propiedades bsicas, tales como la distributivi-dad, conmutatividad y asociatividad, hasta el punto de no advertir cundo las estn usando.

Pedir a los estudiantes que citen los axiomas en las ope-raciones elementales con nmeros es como pedirle a un adulto que justifique cada accin que realiza al levantarse por la mana. Por qu se baa? Por qu se limpia los dientes? Por qu se pone la ropa? Si un hombre tuviera que plantearse estas preguntas y responderlas, nunca llega-ra al trabajo. La mayor parte de las cosas que hace por la maana deben ser habituales.

Hay un cuento sobre un ciempis que iba caminando tranquilamente cuando se encontr con un sapo. El sapo le dijo al ciempis: Es asombroso que teniendo cien pies sepas cundo debes usar cada uno. Al instante el ciempis comenz a pensar qu pie deba usar a continuacin y no se pudo mover. .

Los estudiantes deberan habituarse a las operaciones elementales con nmeros, de tal forma que no tuvieran que pensar en ellas. Despus de ver que cuatro conjuntos de tres cubos y tres conjuntos de cuatro cubos hacen ainbos doce cubos; los estudiantes aceptarn el principio cohmu-tativo como algo tan evidente qu no necesita ser menciO.: nado. Ms an, en vez de obligarles a considerar esta pro-piedad en los nmeros naturales, en los nmeros enteros, en los nmeros racionales y en los dems, se les debera ensear que todos los nmeros . poseen estas propiedades. De hecho, deberamos hacer lo posible para que los estu-diantes se familiarizaran con las operaciones elementales, hasta el punto de no pensar en ellas ms de lo que se piensa cuando ~no ' se ata el cordn de los zapatos. Debera. alegrarnos que los alumnos aceptasen incondicionalmente hechos que les parecen completamente razqnables, basn-dose en la experiencia con nmeros o en argumentos intu-

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tivos. Si un alumno no ve r;pidamente que 3 X a = a X 3, no es por no estar familiarizado con la propiedad conmu tativa, sino por no haber comprendido que a es simplemente un numero. Cuando llegue el momento de estudiar una operacin no conmutativa, entonces se deber discutir el concepto de ccinmutatividad.

La necesidad ele que parte del trabajo se realice auto mticamente ha sido acentuada por hombres que sin .duda comprendan el papel de las demostraciones deductivas. El filsofo Alfred North Whitehead dice en An /lltroductio11 to Mathematics: Es un tpico profundamente errneo,

repetido por tocios los libros de texto y por las personas eminentes cuando dan conferencias, que deberamos culti var el arte de pensar en lo que estamos haciendo. Sucede exactamente al revs. La civilizacin avanza al aumentar el nmero de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas. Las operaciones del pensamiento son como las cargas de caballera en las batallas: su nmero debe ser estrictamente limitado, exigen caballos frescos y slo deben hacerse en momentos decisivos.

Hay muchos campos en los que el actual hincapi en la interpretacin lgica es completamente hipcrita. Qu ma temtico usa el desarrollo lgico de los nmeros complejos para justificar sus operaciones con nmeros reales o com piejos? Esto es, sin embargo, lo que se ensea a los alum-no~ como camino para aprender la verdad sobre los n meros. Cuntos matemticos han comprobado alguna vez que v2..f3 est ~lcfinido en la teora de los nmeros irra-cionales, o han demostrado rigurosamente que v2 v3 == ' == v3 v2? Cuntos han trabajado alguna vez sobre des-arrollos de la geometra eucldea sin la ayuda de figuras? Flix Klein no vacil en admitir: Para m es imposible seguir un argumento geomtrico puramente lgico sin te-ner delante las figuras en las que el razonamiento se apoya constantemente.

De hecho, la tentativa de mantener planteamientos com-pletamente deductivos conduce a una trampa. A menudo es necesario recurrir a demostraciones que incluso los pro-fes.ores de orientacin lgica reconocen ser demasiado di-

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La interpretacin deductiva de las matemticas 57

ffciles para el estudiante; por ejemplo, la demostracin de la frmula del rea del crculo en geometra. Muchos textos evitan el problema aceptarydo como un axioma que el rea es igual a 7tr2, donde res el radio. Naturalmente, si podemos introducir axiomas a voluntad no hay necesidad de probar nada. La nica leccin que un estudiante aprender de tales exposiciones es que cuando se quede atascado puede intro-ducir un axioma. Mientras que en otras cuestiones se piel.e a los alumnos que asimilen trivialidades, en el axioma del rea se les pide que se traguen un camello completo.

Por otra parte, al poder introducir axiomas libremente numerosos textos emplean .hasta setenta u och~nta axio~ mas. Como a los alumnos se les exige que al hacer las demostraciones citen los axiomas que justifican ~ada paso, estn obligados a recordar los setenta u ochenta axfomas. Lo cual es una carga intolerable que los alumnos no pueden sobrellevar. Sin embargo, tales libros piden que se evite. el estudio de memoria y que se ensee a pensar y .a com-prender. El profesor de matemticas no puede permitirse ser parco ni generoso en el uso de axiomas.

Otras medidas para evitar las demostraciones dificulto-sas son igualmente perjudiciales . En la presentacin del sis-tema de los nmeros reales, los textos de bachillerato parten de la axiomtica de los nmeros naturales. Pero al llegar

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. a los nmeros irracionales, los autores reconocen que su desarrollo lgico es demasiado difcil para los estudiantes;-recurriendo a la recta numrica. Muestran cmo los enteros y las fracciones pueden relacionarse con los puntos de una recta y entonces hacen notar que para. algunos puntos no existen los nmeros correspondientes. Se introducen enton-ces los nmeros irracionales. como los correspondientes a esos puntos. Si la presentacin lgica de los 41'!meros ra-

' cionales tena algn valor. ste se ha disipado a causa de . esta introduccin

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58 Morris Kline La interpretacin deductiva de las matemdticas 59

demostra~iones. supone la creacin o recreacin ele la~ ma- Hemi Lebesgue, sef'al el papel subordinado de la l~ica. temticas por Jos estudinntcs. posiblemente c~n la onent~- ~Ningn descubrimiento ha sido hecho en matemticas, 0 cin del profesor. Cmo crean los matemticos? Su pn- en un campo relacion,ado, por un esfuerzo de lgica deduc-mera meta es adivinar un posible teorema. Cuando lo han tiva; los descubrimientos resultan del trabajo de la imagi-logrado, deben realizar un nuevo trabajo creativo para en- i nacin creadora, que construye lo que le parece que es contrar la: demostracin . Como el gran matemtico Car! verdad, guiada a veces por analogas, a veces por un ideal Friedrich Gauss dijo, 11c llegado al resultndo, pero .no s esttico, pero sin apoyarse nunca en slidas bases lgicas. todava cmo den,;ostrarlo. En el trabajo creativo inter- 1 ~na v_ez que un descubrimiento ha sido hecho, la lgica vienen la imaginacin, la intuicin, la experimentacin, las mterv1ene como un control; es la lgica la que decide final-conjeluras ~ensatas. el tanteo, _las analogas, incluso las. ms mente si el descubrimiento es verdadero o ilusorio; su vagas, los tropiezos y los t1tub

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dad jurdica, la de negocio y Ja poltica son mucho ms importantes.

Los modernistas utilizan a menudo otro argumento a favor de su planteamiento. Las matemticas se pueden dis-frutar como un juego jugado de acuerdo con ciertas nor-mas. Pero, probablemente, ante la interpretacin puramente axiomtica de las matemticas, un estudiante inteligente se preguntar: por qu tengo que jugar este juego de acuerdo con estas particulares reglas?.

En vista de los muchos defectos pedaggicos de la inter-pretacin lgica de las matemticas, no es sorprendente que muchos matemticos perspicaces (hay. algunos no perspicaces) se hayan opuesto pblicamente a la interpre-tacin lgica. Descartes desaprob la lgica en un lenguaje bastante severo. Yo encuentro que la lgica, sus silogis-mos y la mayora de sus preceptos son tiles para comunicar lo que ya sabemos, o para discernimiento de lo que igno-ramos, pero no para la investigacin de lo desconocido. . Roger Bacon dijo: Un argumento puede decidir una cues- ., tin, pero no nos da la seguridad de hallarnos ante una ver-dad, excepto si podemos comprnbar por la experiencia que esta verdad lo es realmente. Pascal apuntaba: La razn es el lento y tortuoso mtodo por el que descubren la ver-dad quienes no la comprenden.

La interpretacin lgica recuerda la rplica que Samuel . Johnson tlio. a un ho111bre que insista en pedirle una expli \ cacin de sus comentarios. Johnson dijo: Le he dado un argumento, pero no estoy obligado a hacrselo coropren- . der. La estril y seca interpretacin axiomtica no facilita la compr