1987 г. Январь Том 151, вып. 1

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК

533.95:537.84

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ*)

Б. Б. Кадомцев

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Вмороженность магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Равновесие плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Двумерное перезамыкание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Токовые слои, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Эксперименты по перезамыканию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Тиринг-неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Перезамыкание в космической плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. Самоорганизация плазмы в токамаках . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1. Магнитные острова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Пилообразные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Магнитный флаттер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Срывы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Пинчи с обратным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. ВВЕДЕНИЕ

При движении плазмы с очень высокой электропроводностью имеет местозамечательное свойство «приклеенности» магнитных силовых линий: придвижении плазмы силовые линии следуют за ней, будучи как бы «вмороже-ны» в плазму. Свойство вмороженности существенно облегчает анализ сил состороны магнитного поля, возникающих при смещении плазмы от перво-начально равновесного состояния. Тем самым значительно упрощается ана-лиз устойчивости равновесных состояний плазмы. Кроме того, свойствовмороженности, казалось бы, гарантирует сохранение топологии магнитныхсиловых линий при более сложных движениях плазмы. Оказывается, однако,что это последнее утверждение не вполне верно. Дело в том, что при сложномдвижении плазмы силовые линии с различными направлениями могут подходитьочень близко друг к другу, почти соприкасаясь (рис. 1, а). При дальнейшемдвижении плазмы силовые линии могут разойтись в прежней топологии,а могут и «перезамкнуться», как показано, на рис. 1, б. При наличии конеч-ной, хотя и очень большой, электропроводности такое перезамыкание можетпроизойти без касания линий, а всего лишь при тесном их сближении. Разу-меется, сам факт сближения силовых линий с сильно различающимися напра-влениями магнитного поля означает, что вблизи точки сближения имеетсядостаточно высокая плотность электрического тока. Таким образом, при

*) Статья на английском языке публикуется в журнале «Reports on Progress inPhysics».

перезамыкании конечная электропроводность «срабатывает» только в малыхобластях с высокой плотностью тока, но при этом может происходить сущест-венное изменение топологии силовых линий, которое может сказаться надвижении всей плазмы.

Важность процессов перезамыкания была понята вначале в применениик физике Солнца и магнитосферы Земли. Первые идеи о возможности пере-замыкания силовых линий в нейтральных точках в плазмах были высказаныдовольно давно в применении к солнечным (Джованелли, 1947) и магнито-сферным (Данжи, 1958) физическим явлениям. Данжи (1961) на основе про-стых физических соображений о перезамыкании силовых линий магнитосферыЗемли со встречными полями солнечного ветра объяснил, как в результате

переброса «разрезанных» силовых линий наночную сторону Земли происходит образова-ние магнитного хвоста. Накапливаемые вхвосте силовые линии приводят к образова-нию нейтрального слоя между полями проти-воположных направлений. Акасофу (1964)показал, что перезамыкание в нейтральномслое магнитного хвоста является наиболееестественным механизмом освобождения маг-нитной энергии хвоста и возбуждения суб-бурь.

Простейшие модели перезамыкания былипредложены Паркером (1963), Свитом (1958)и Печеком (1964). В этих моделях сущест-венную роль играет сопротивление плазмы,обеспечивающее перенос силовых линий через

так называемую x-точку, т.е. точку пересечения встречных полей. Для условиймагнитосферы Земли более адекватно кинетическое описание плазмы в отсут-ствие столкновений. Роль диссипации, обеспечивающей перевод части маг-нитной энергии в плазму и перенос силовых линий через x-точку, выполняет-ся в этом случае частицами, ускоряющимися в процессе перезамыкания.А сам процесс перезамыкания начинается как результат неустойчивостинейтрального слоя, по которому течет ток также в виде плоского слоя, поотношению к стягиванию этого тока в отдельные токовые нити. Эта неустой-чивость называется тиринг-неустойчивостью. Коппи, Лаваль и Пелла (1966)были первыми, кто предложил тиринг-неустойчивость как механизм иници-ирования процесса перезамыкания силовых линий и суббури. ПозднееШиндлер (1974) показал, что малая поперечная к слою компонента магнит-ного поля полностью подавляет электронную тиринг-моду, т. е. исключаетэлектроны из процесса диссипации. Таким образом, только ионная тиринг-мода представляется относящейся к делу. Галеев и Зеленый (1975, 1976)пояснили, почему суббуря имеет характер внезапного взрыва, опираясь налинейный анализ и показав, что тиринг-неустойчивость возможна тольков определенном интервале значений поперечного магнитного поля. Дажеслабое начальное возмущение может перевести этот слой в состояние с x-точ-ками, где стабилизация поперечным полем отсутствует и тиринг-неустой-чивость развивается в нелинейном режиме (Галеев, Коронити и Ашур-Абдалла, 1978).

Кинетические и МГД-неустойчивости в нелинейном режиме изучалисьчисленно во многих работах, их результаты будут обсуждены в данномобзоре.

Другой круг явлений, связанных с процессом перезамыкания, относитсяк солнечным вспышкам, во время которых происходит достаточно быстраяперестройка магнитного поля с превращением части магнитной энергиив энергию ускоренных частиц. Для описания этого круга явлений болееадекватной представляется модель перезамыкания Сыроватского (1966).

Рис. 1. Сближение (а) и пере-замыкание (б) силовых линий

В этой модели перезамыкание рассматривается как динамический процесс,сопровождающийся уменьшением плотности вблизи x-точки и образованиемтокового слоя. Тем самым создаются условия, способствующие ускорениючастиц.

Для изучения процессов перезамыкания были поставлены специальныелабораторные эксперименты (Сыроватский, Франк и Ходжаев, 1973; Стен-цель и Гекельман, 1979, 1981), которые подтвердили теоретические представ-ления.

Оказалось, однако, что процессы перезамыкания совершенно неожидан-но проявились в экспериментах, в которых все усилия экспериментаторовбыли направлены на получение спокойной плазмы без каких-либо динами-ческих процессов. Мы имеем в виду эксперименты по термоядерным исследо-ваниям. Наиболее устойчивой плазма, казалось бы, должна быть в условиях,когда она стабилизирована сильным магнитным полем. Установка такого типаназывается токамаком. Упрощенно это — тороидальная камера с сильнымпродольным магнитным полем, в которой плазма создается и поддерживаетсяв горячем состоянии протекающим по плазме продольным током. Идеально,в такой плазме должны образовываться вложенные друг в друга тороидаль-ные поверхности, на которых располагаются магнитные силовые линии. Одна-ко оказалось, что поведение плазмы гораздо сложнее этой идеальной картины.Еще в ранних экспериментах Арцимовича, Мирнова и Стрелкова (1964)и Горбунова и Разумовой (1963) было обнаружено, что в плазме токамакдиногда неожиданно развивается так называемая неустойчивость срыва,которая приводит к выбросу части полоидального магнитного потока запределы плазмы, а иногда приводит к полному разрушению плазмы и пре-кращению тока.

Долгое время не было ясно, какова природа неустойчивости срыва. Ключк ее пониманию появился, когда в экспериментах фон Гёлера, Стодикаи Саутхофа (1974) было обнаружено другое явление, получившее названиепилообразных колебаний или внутреннего срыва. Оно заключается в том, чтов глубине плазменного шнура возникают периодические колебания релакса-ционного типа, в которых центр шнура постепенно разогревается, а затемтепло резко сбрасывается за пределы некоторого цилиндра радиуса rs,который обычно значительно меньше радиуса плазмы а. Радиус rs получилназвание точки переворота фазы колебаний. Кадомцев (1975) предложилпростую модель внутреннего срыва, согласно которой сброс тепла из центрасвязан с развитием винтовой тиринг-моды с последующим полным переза-мыканием силовых линий винтового шнура с силовыми линиями окружаю-щих магнитных поверхностей. Эта простая модель оказалась согласующейсяс целым рядом наблюдений пилообразных колебаний. Более подробное изу-чение пилообразных колебаний показало, что иногда картина усложняетсяразвитием турбулентности в области перезамыкания (Дюбуа и Самэн, 1980)и стохастизацией силовых линий (Лихтенберг, 1984).

Объяснение внутреннего срыва позволило развить походы к объяснениюмалого и большого срывов плазмы. Физическая причина срыва была поясне-на простой моделью заброса вакуумных пузырей в плазму из-за винтовойнеустойчивости (Кадомцев и Погуце 1973). В этой работе были использованыпредложенные авторами редуцированные уравнения магнитной гидродина-мики, которые оказались очень удобными для описания нелинейных МГДявлений в плазме токамака. Трехмерная динамика плазмы с развитиеммногих винтовых мод была численно промоделирована в работах Ваделлас коллегами (1976, 1978, 1979) и Страусса (1976). Это моделирование, в кото-ром большую роль играют процессы перезамыкания силовых линий взаимо-действующих мод, показало достаточно правдоподобным, что срывы связаныс нелинейной МГД-неустойчивостью плазменного шнура и проявляютсяв разрушении магнитной структуры и стохастизации силовых линий магнит-ного поля.

Другой физический объект, где ярко проявляются процессы переза-мыкания, представляет собой пинч с обратным полем. Основанная на частич-ном перезамыкании силовых линий идея Тейлора (1974) хорошо объясняетравновесную магнитную конфигурацию пинча с обратным полем. Слабыеперезамыкания силовых линий при дрожании магнитных поверхностейответственны за аномальную электронную теплопроводность, как показаноКадомцевым и Логуце (1984).

В настоящее время общепризнано, что перезамыкание силовых линийпредставляет собой фундаментальный физический процесс в плазме, ответ-ственный за многие явления плазменной активности. Для правильного описа-ния динамики плазмы в магнитном поле его понимание не менее важно, чемпредставление о вмороженности силовых линий.

При описании процессов перезамыкания удобно различать два типаперезамыкания — вынужденное и спонтанное. При вынужденном перезамы-кании перестройка магнитной конфигурации происходит под действиемзадаваемого извне течения плазмы, которое связано с существованиемприложенного к плазме внешнего магнитного поля. Вынужденное перезамы-кание более удобно для теоретического описания и численного моделирова-ния, поскольку ряд параметров задается извне. То, что происходит в лабора-торной и космической плазмах, обычно ближе к спонтанному перезамыканию.Перед началом перезамыкания в такой плазме имеется определенный, запасмагнитной энергии, затем в ней начинает развиваться так называемая раз-рывная (тиринг) неустойчивость, которая и приводит затем к перезамыканиюсиловых линий и переходу избыточной энергии магнитного поля в кинетиче-скую и тепловую энергию плазмы, а иногда и в энергию ускоренных частиц.

Настоящий обзор построен не в историческом плане обнаружения и опи-сания различных явлений перезамыкания, а по принципу объясненияэлементарных физических процессов с последующей иллюстрацией их ролив лабораторных или космических плазмах. Эксперимент и наблюденияпоказывают, что процессы перезамыкания проявляются обычно в видерелаксационных явлений: некоторое, достаточно продолжительное времяплазма эволюционирует спокойна, а затем очень быстро развивается пере-стройка магнитной конфигурации, сопровождаемая процессами перезамыка-ния. Поэтому мы начинаем с рассмотрения равновесных (или медленноэволюционирующих) состояний плазмы, ограничиваясь только наиболее важ-ными для последующего изложения примерами. Далее описаны простейшиемодели двумерного перезамыкания, в том числе с образованием токовых слоев.Затем представлены результаты некоторых экспериментов, поставленныхспециально для изучения двумерного перезамыкания плазмы. Затем рас-сматривается так называемая разрывная неустойчивость плазмы, котораячасто является инициатором спонтанного перезамыкания силовых линий.В последующих разделах приведены наиболее важные примеры развитияпроцессов перезамыкания в лабораторных и космических плазмах.

2. ВМОРОЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Факт вмороженности магнитного поля в идеально проводящую плазмубыл установлен основателем магнитной гидродинамики X. Альвеном.

Его логика была следующей. Пусть плазма с очень высокой электро-проводностью движется со скоростью v, и при этом в ней имеется магнитноеполе В. Тогда на заряженную частицу плазмы должна действовать силаЛоренца F = еЕ + (e/с) [vB], где е — заряд частицы, а Е — электрическоеполе. На электроны и ионы, имеющие противоположные заряды, соответ-ствующие силы действуют в разные стороны, т. е. они должны были быприводить к возбуждению электрического тока. Но если электропроводностьочень велика, т. е. практически бесконечна, то при любой конечной величинегенерируемого тока сила F должна быть исчезающе мала. Это значит, что

Величина плотность электрического тока. Изуравнения (2.4) видно, что при высокой электропроводности правая частьуравнения (2.4) может быть существенной только при условии образованияобластей с очень высокой плотностью тока j. Такие области называются токо-выми слоями. Если токовые слои отсутствуют, то правой частью в (2.4) мож-но пренебречь, и тогда просто переносится с плазмой, т. е. имеет местовмороженность поля в плазму.

Уравнение (2.2) описывает свойство вмороженности при трехмерномтечении плазмы. В этом легко убедиться, если рассмотреть произвольныйзамкнутый контур l и показать затем, что магнитный поток через магнитнуюповерхность, натянутую на этот контур, остается постоянным, если контур lдвижется вместе с плазмой.

Итак, в идеально проводящей плазме силовые линии обладают свойст-вом «приклеенности», а магнитное поле оказывается вмороженным в плазму.Этот факт существенно упрощает качественный анализ явлений, происходя,щих в замагниченной плазме. Более того, именно благодаря приклеенностисиловых линий появляется сама возможность говорить о движении силовыхлиний как о реальном физическом процессе.

3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ

Нередко процесс перезамыкания возникает в виде внезапной перестрой-ки магнитной конфигурации, до того медленно эволюционирующей во вре-мени и близкой к равновесной. Поэтому довольно естественным путем к дости-жению понимания процессов перезамыкания представляется рассмотрениеравновесных магнитных конфигураций и изучение их устойчивости по отно-шению к возмущениям, нарушающим геометрию магнитного поля.

Это уравнение показывает, что субстанциональная производная= 0, т. е. переносится вместе с плазмой. Если учесть сопротивление плазмы,хотя бы и даже очень малое, уравнение (2.3) модифицируется следующимобразом:

Оказывается, что это уравнение устанавливает закон вмороженности магнит-ного поля в плазму.

Наиболее просто это видно в двумерном случае, который, как будетвидно из дальнейшего, представляет для нас особый интерес, поскольку онпозволяет проанализировать и описать самые простые типы перезамыкания.Пусть v и В имеют только х- и у-компоненты в прямоугольной системе коор-динат х, у, z. Тогда в силу div В = 0 магнитное поле можно представить в ви-

где e z — единичный вектор по оси z.Нам удобно интерпретировать как функцию потока магнитного поля.

Как мы видим, const на силовой линии. Если подставитьвместо В его представление через в (2.2), то оно принимает вид

в идеально проводящей среде электрическое поле автоматически подстраива-ется под величину Е = — (i/c) [vB]. Но тогда из уравнения Максвелла

следует соотношение

устанавливающим факт равенства силы газокинетического давления и силыАмпера. Уравнение (3.1) относится к условиям, когда плазма близка к тер-модинамическому равновесию, т. е. функции распределения электронови ионов по скоростям близки к максвелловским. Кроме этого, ларморовские

радиусы электронов и ионов предполага-ются малыми по сравнению с характернымпространственным масштабом изменениядавления плазмы. Это последнее условиетакже есть результат допущения о близо-сти к термодинамическому равновесию:только при его выполнении неравновес-ность, связанная с протеканием электри-ческого тока, не очень сильно искажаетмаксвелловское распределение.

Из уравнения (3.1) следует, чтоДругими сло-

вами, силовые линии магнитного поля илинии тока расположены на поверхно-стях Р = const. Так как в силу div В =

0, div j = 0 силовые линии и линии тока не имеют источников и стоков, тоограниченная в пространстве равновесная замкнутая конфигурация можетбыть только тороидальной. Типичным примером такой конфигурации слу-жит токамак.

В токамаке (рис. 2) силовые линии лежат на вложенных друг в другаосесимметричных тороидальных поверхностях. Магнитное поле складываетсяиз продольного поля Вт, направленного вдоль тора, и полоидального полявозникающего из протекающего по плазме продольного электрического тока.Важной характеристикой магнитной конфигурации токамака является вели-чина

Для обсуждаемых ниже примеров перезамыкания магнитных силовыхлиний достаточно рассмотреть лишь некоторые типичные примеры равно-весных конфигураций. Если пренебречь действием сил гравитации, то равно-весие плазмы описывается уравнением

Рис. 2. Равновесие в токамаке

где r — малый радиус, a R — большой радиус тороидальной поверхности.Нетрудно видеть, что величина q равна отношению числа оборотов силовойлинии по большому азимуту к числу оборотов этой же линии по маломуазимуту при многократном обходе тора.

Плазма токамака устойчива только при выполнении критерия Круска-ла — Шафранова, qa > 1, где qa — величина (3.2) на краю плазменногошнура. По этой причине величину q принято называть запасом устойчивости.Давление плазмы в токамаке обычно невелико: отношение давления плазмык давлению магнитного поля не превышает нескольких процен-тов.

Существуют и другие тороидальные конфигурации, в том числе болеесложной геометрии и без продольного тока — так называемые стеллараторы.Однако с точки зрения процессов перезамыкания интересны именно те кон-фигурации, в которых велик запас магнитной энергии, связанной с протека-ющими по плазме токами, которая может легко освобождаться в процессеперезамыкания. С этой точки зрения интерес представляет другой классосесимметричных систем — так называемые пинчи с обратным полем.Пинчи с обратным полем сходны с токамаками, но имеют гораздо большееполоидальное поле, так что у них Давление в таких пинчах невелико,

Оказывается, что в пинче с обратным полем величина постоянна посечению и Bz имеет решение в виде функции Бесселя нулевого индекса. Придостаточно больших r эта функция становится отрицательной, т. е. на пери-ферии плазменного шнура продольное поле принимает отрицательное значе-ние. Это и объясняет термин пинч с обратным полем. Компонента имеетвид функции Бесселя индекса один, она возникает благодаря продольномутоку, протекающему по плазменному шнуру. Пинч с обратным полем — этолишь конкретный частный пример магнитного поля, близкого к бессилевому.

На самом деле бессиловые поля более сложных конфигураций довольночасто встречаются в астрофизике. Например, к их числу принадлежат маг-нитные поля солнечных пятен. Само пятно — это лишь вторичное проявле-ние присутствия сильного магнитного поля: такое поле подавляет конвекциюи поэтому затрудняет перенос тепла к фотосфере и уменьшает интенсивностьее излучения. Магнитные поля пятен — это всплывающие из глубин Солнцамагнитные конфигурации. Над поверхностью Солнца эти поля находятсяв разреженной, но хорошо проводящей плазме, поэтому они оказываютсябессиловыми. При движении пятен их магнитные поля перераспределяютсяи могут создавать токовые слои, которые при своем разрушении приводятк перезамыканию силовых линий и к образованию хромосферных вспышек.Сходные процессы образования слоев со встречными полями и затем развитияперезамыкания в слое имеют место в хвосте магнитосферы Земли.

Для описания состояния с полями противоположного знака оказываетсяудобной идеализированная модель нейтрального бесконечного слоя (рис. 3, а).Вдали от слоя магнитное поле предполагается постоянным, равным по абсо-лютной величине В0, но имеющим противоположные знаки по разные стороныот слоя. Посредине слоя магнитное поле обращается в нуль, так что давлениеполя с двух сторон от слоя должно уравновешиваться давлением прослойкиплазмы. Наиболее популярным для моделирования нейтрального слояявляется равновесный слой Харриса, в котором магнитное поле и давлениеплазмы считаются имеющими вид

Рис. 3. Нейтральный слой (а) и слой с поперечным магнитным полем (б)

так что соответствующую магнитную конфигурацию можно считать при-ближенно бессиловой, с током, направленным вдоль поля, т. е.

характерная ширина слоя. Как видно, это распределение удовлет-воряет условию равновесия

Равновесие Харриса удобно тем, что оно сохраняет свой вид и в случаеочень тонких слоев, когда предпочтительно не МГД-, а кинетическое описа-

а давление плазмы равноНаряду с простым одномерным нейтральным слоем для некоторых прило-

жений представляет интерес равновесный слой с поперечной компонентоймагнитного слоя (рис. 3, б), когда магнитное поле имеет двумерную геомет-рию. Если поперечная компонента поля Ву очень мала, то отклонение от

решения Харриса также будет мало: слабое натяжение силовых линий вдольоси x, равное ВудВх/ду, легко уравновешивается слабым градиентом давленияплазмы вдоль слоя, т. е. малой величиной

Указанное равновесие легко допускает обобщение на случай наличиямагнитного поля по оси z. Если это поле однородно, то имеет место то жесамое равновесие. Однако при наличии достаточно сильного магнитного по-ля Вz давление плазмы может быть меньше величины (3.5), в этом случаедавление компоненты поля Вх уравновешивается давлением компонентыполя Bz. В частности, возможна и бессиловая конфигурация, когда В2 == const.

Кроме равновесия с нейтральным слоем, при рассмотрении процессовперезамыкания представляют интерес также геометрии с нейтральнымилиниями и точками. В качестве простейшего примера равновесия с ней-тральной линией мы рассмотрим магнитное поле (с плазмой) от двух парал-лельных проводников с текущим по ним током в одном направлении (рис. 4, а).Как мы видим, нейтральная линия представляет собой совокупность x точек,где происходит пересечение двух частей сепаратрисной поверхности, разде-ляющей области с различной топологией магнитного поля. Рассматриваемоеравновесие допускает наличие магнитного поля, направленного вдоль стерж-ней с током. Кроме нулевой линии, состоящей из x-точек, возможна нулеваялиния из 0-точек: это просто ось симметрии плазменного шнура с током(рис. 4, б). Что касается равновесия с нулевой точкой, то оно осуществляетсяв так называемой «касп»-геометрии, создаваемой, например, полями двухсоосных колец с токами, текущими в противоположных направлениях(рис. 4, в). Если вдоль оси симметрии протекает ток по плазме, то нулеваяточка сохраняется, а геометрия силовых линий становится несколько болеесложной (рис. 4, г).

Разложением около нулевой линии или точки можно показать (Буланов,и Сасоров, 1978), что рис. 4 исчерпывает все случаи нулевых линий и точек.

где п0 — плотность, масса и температура частиц сорта j, Pz =обобщенный момент, Аz (у) = векторный

потенциал магнитного поля. Оказывается, что токовые скорости совпадаютс так называемыми дрейфовыми скоростями:

ние плазмы. При этом функции распределения электронов и ионов по скоро-стям имеют вид

Рис. 4. Нейтральная линия из x-точек (а), 0-точек (б), касп-геометрия (в) и касп с про-дольным током (г)

4. ДВУМЕРНОЕ ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ

В реальных условиях перезамыкание развивается, как правило, в видеспонтанного процесса из-за потери устойчивости равновесной конфигура-ции. Однакo для более ясного понимания самого процесса перезамыканиячасто пользуются идеализированной моделью вынужденного перезамыкания.

При вынужденном перезамыкании пе-рестройка магнитного поля происходитвблизи нулевых линий или точек вслед-ствие медленного изменения внешних па-раметров равновесного состояния. Рас-смотрим сначала более простую картинудвумерного вынужденного перезамыка-ния. Простейшая модель двумерного пе-резамыкания была предложена Паркером(1963) и Свитом (1958). Она изображенана рис. 5. Пусть слой перезамыкания име-ет толщину Перезамкнувшиеся силовыелинии в этом слое подобно «рогатке»выбрасывают плазму со скоростью масштаба СА (см. рис. 5). Через время

слой обновляется, и скорость движения вещества к слою перезамыка-ния может быть оценена как С другой стороны, толщина слоя опреде-ляется скоростью проникновения магнитного поля в плазму за счет конеч-ной проводимости, т.е. Отсюда находим

Рис. 5. Модель Паркера — Свитадля двумерного перезамыкания вбли-

зи x-точки.Крупные стрелки показывают движение

вещества

Явления перезамыкания силовых линий наблюдаются и в солнечной,и в околоземной плазме. Однако скорость такого перезамыкания, как прави-ло, значительно превышает оценку (4.1).

Для объяснения более быстрого перезамыкания Печеком была пред-ложена более сложная модель со стационарными альвеновскими волнами.В своей простейшей форместационарного двумерногоМГД-течения она схематиче-ски представлена на рис. 6.Она характеризуется нали-чием двух пар медленныхударных волн, стоящих спи-ной друг к другу. Эти волнырезко искривляют и уско-ряют течение плазмы, так чтоона с большей скоростью вы-брасывается из области пере-замыкания, чем это было вмодели Паркера — Свита.Скорость перезамыкания мо-жно характеризовать величи-ной М = и/СА, где и — скорость вещества перед разрывом, а СА — альвеновскаяскорость перед разрывом. В модели Печека на первый взгляд эта величина

т. е. она, казалось бы, допускает очень большие скорости перезамы-кания. Именно поэтому модель Печека оказалась очень привлекательной дляописания различных типов взрывных магнитных процессов, сопровождаю-щихся освобождением большого количества магнитной энергии в течениеочень короткого времени.

Для большинства приложений, разумеется, интерес представляетслучай очень низкого сопротивления плазмы, которое определяет темп

Рис. 6. Модель Печека для быстрого перезамы-кания

перезамыкания силовых линий вблизи x-точки. Недавно Бискамп (1983)обратил внимание на то, что при численном симулировании модели Печенавозникает трудность, связанная с медленностью резестивного перезамыка-ния в x-точке. Чтобы восстановить темп перезамыкания, приходится привле-кать представление об аномальном сопротивлении (Сато, 1979). Это сопро-тивление не обязательно должно быть связано с кинетическими эффектами,а может возникать из-за сложного трехмерного течения плазмы при турбу-лизации переходного слоя. Например, Пикельнер (1971) сравнительно давнообратил внимание на возможный процесс аннигиляции встречных полей,когда освободившаяся от магнитного поля плазма выдавливается из токовогослоя между силовыми линиями и не мешает сближению свежих слоев встреч-ных полей. С этими оговорками модель Печека представляется отвечающейдействительности для многих случаев быстрой аннигиляции встречныхполей.

5. ТОКОВЫЕ СЛОИ

При движении идеально проводящей жидкости с магнитным полемдовольно легко могут образовываться токовые слои. Токовый слой разделяетдве области с противоположно направленными полями, как показано нарис. 3, а, а при наличии компоненты поля вдоль слоя (т. е. за чертежрис. 3, а) — области с противоположно направленными поперечными ком-понентами поля. Как может образоваться такой слой, поясняет рис. 7.

Рис. 7. Поле двух проводников с током (а) и образование токового слоя при сближении(б) и удалении проводников (в)

Допустим, что имеется магнитное поле двух параллельных стержнейс токами, направленными в одну сторону (рис. 7, а). При этом вблизи осимежду стержнями образуется область квадрупольного магнитного поля,так что поле нарастает линейно с удалением от оси симметрии: В = В0 x/a.Пусть вся область заполнена идеально проводящим газом малого давления.Сдвинем теперь эти стержни друг к другу на малое расстояние При этоммагнитные поверхности вблизи стержней сдвинутся вместе со стержнями,а магнитный поток между осью, где первоначально поле было равно нулю,и каждым из стержней должен сохраниться. Это значит, что поле около осидолжно подрасти до значения, несколько большего, чем первоначальноеполе на расстоянии от оси, т. е. должно быть По разные сторо-ны от оси симметрии поля направлены противоположно друг другу, так чтов центральной области должен появиться токовый слой (рис. 7, в). Еслистержни отодвинуть друг от друга, то появится токовый слой с противо-положно направленным поверхностным током.

В центральной части слой разделяет две области с противоположнонаправленными магнитными полями. По краям токового слоя, в точкахветвления, картина поля имеет симметричный вид: сепаратриса, разделяю-щая области с разной топологией силовых линий имеет вид трех плоскостей,сходящихся под углом 120° к линии ветвления. Картина, описанная выше,является следствием сохранения топологии магнитного поля. Ее можнопредставить себе как предельное состояние при очень медленном измененииполя (или смещении стержней с током).

Временная эволюция этого процесса была рассмотрена Сыроватским(1966). Он обратил внимание на то, что смещение плазмы с полем являетсяпереходным процессом со скоростью распространения возмущения, равнойлокальной альвеновской скорости. Эта скорость обращается в нуль в х-точке.Поэтому вблизи нулевой линии образуется сходящаяся волна типа ударной,что приводит к существенному снижению плотности плазмы около токовогослоя. Таким образом, нестационарное формирование слоя происходит слож-нее, хотя с точки зрения магнитного поля конфигурация опять имеет видрис. 7, а.

Токовый слой может возникать также в случае, когда в дополнениек полям рис. 7 имеется продольное магнитное поле, направленное вдольнейтральной линии. Токовый слой при этом выглядит так же, хотя динамикаего образования меняется. Картина еще больше усложняется, если течениене является чисто двумерным (Розенау, 1979). При этом сингулярный токможет перетекать с токового слоя на сепаратрисную поверхность. Такогорода более сложные токовые образования на сепаратрисных поверхностяхмогут возникать и вблизи нулевых точек.

6. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ПЕРЕЗАМЫКАНИЮ

Токовый слой удобен для экспериментального наблюдения перезамыка-ния магнитных силовых линий. Его можно создать почти так, как показанона рис. 7, но вместо смещения проводников с током достаточно просто изме-нять ток в стержнях или в плазме.

В экспериментах Сыроватского, Франк и Ходжаева (1973) производи-лась инжекция плотной плазмы в прямое квазистационарное квадрупольноемагнитное поле. Затем в плазме создавался импульсный продольный ток.При достаточно большой электропроводности плазмы в районе нулевойлинии магнитного поля создавался нейтральный токовый слой. Ширина слояв несколько раз превышает его толщину. Измеренные поля хорошо соответ-ствовали теоретической картине образования нейтрального токового слоя.Оябу, Окамура и Кавашима (1974) использовали в своих экспериментахлинейное квазистационарное квадрупольное магнитное поле. В эту областьинжектировалась плазма, и затем в ней с помощью конденсаторной батареисоздавался разряд между двумя сетками. Авторы наблюдали разрыв токово-го слоя, который приводит к выбросу двух плазменных сгустков, с высокойэффективностью трансформации энергии магнитного поля в кинетическуюэнергию частиц.

Очень подробный цикл экспериментов по лабораторному моделирова-нию перезамыкания был проведен Стенцелем и Гекельманом (1979, 1981).В установке сравнительно больших размеров (1 м диаметром и 2 м длиной)создавалась разреженная плазма (пе = 1012 см–3) с температурой около10 эВ, очень удобная для подробного изучения с помощью зондов. Квадру-польное магнитное поле создавалось с помощью импульсных токов, проте-кавших по двум параллельным алюминиевым пластинам, расположеннымпо бокам плазменного столба, x-точки квадрупольного поля лежат на осиустановки. Затем через плазму пропускался ток, направленный противо-положно току в пластинах, и изучалось изменение топологии магнитного

поля, а также свойства плазмы, в том числе флуктуации электрическогои магнитного полей в плазме.

Эксперименты показали, что в плазме образуется длинный тонкийнейтральный слой, макроскопически устойчивый в течение многих альвенов-ских времен. В слое имеются магнитные флуктуации, приводящие к случай-ному образованию небольших магнитных островов в слое. В дополнениек магнитным флуктуациям имеются электрические флуктуации, которыесовместно на один-два порядка увеличивают сопротивление плазмы и приво-дят к более эффективной конверсии магнитной энергии в тепловую энергиюи кинетическую энергию частиц.

Таким образом, экспериментальное исследование образования токовыхслоев и перезамыкания в них поля показало, что лабораторная плазма ведетсебя примерно так, как это предсказывается простейшими теоретическимисоображениями.

7. ТИРИНГ-НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

В описанных выше экспериментах изучалось вынужденное перезамыка-ние, которое создавалось с помощью возбуждения тока в плазме, т. е. приприложении внешнего электрического поля к плазме. В природных явленияхчаще развивается спонтанное перезамыкание. Плазменная неустойчивость,которая приводит к разрушению слоя, называется разрывной неустойчи-востью.

Физика этой неустойчивости поясняется на рис. 8. Нейтральный слойможно рассматривать как составленный из большого числа параллельныхнитей с током. Параллельные токи притягиваются между собой. Поэтомумалое возмущение рис. 8, а должно привести к стягиванию приблизившихсядруг к другу токов и образованию токовых жгутов (рис. 8, в). Филаментациятока приводит к образованию магнитных островов.

Эта упрощенная картина не учитывает присутствия плазмы. На самомделе перестройка поля рис. 8, в должна сопровождаться появлением токов

в плазме, которые, согласно закону Ленца, должны препятствовать измене-нию поля. В частности, в x-точках, где изменение поля наиболее сильное,должны индуцироваться токи в прежнем направлении. Физически это озна-чает, что вблизи этих точек должно происходить ускорение частиц, а с точкизрения возможной эволюции системы возникает вопрос: не могут ли этииндуцированные токи полностью затормозить тиринг-неустойчивость и вос-препятствовать филаментации. Ответ на него требует более подробного рас-смотрения прежде всего линейной стадии тиринг-неустойчивости.

Особенно просто этот анализ выглядит в приближении магнитной гидро-динамики с идеальной проводимостью. Вмороженность магнитного поляв плазму гарантирует сохранение топологии магнитного поля, поэтому

Рис. 8. Тиринг-неустойчивость как филаментация токов в нейтральном слое.а — Протяжение токов. б — Филаментация токов

неустойчивость может приводить только к периодической модуляции толщи-ны слоя (рис. 9). Можно попытаться найти равновесную конфигурациютакого вида. Ее можно характеризовать функцией потока так чтоэлектрический ток j-пропорционален Из условия равновесия следует,что линии потока совпадают с линиями постоянного давления и ток jz такжепостоянен на этих линиях, т. е. Если представить в виде суммы

невозмущенного значения и малого возмущения то уравнение дляпосле линеаризации выглядит как

где k — волновое число вдоль x, т. е. Величина выражает-ся через

Например, для слоя Харриса с распределением магнитного поля В —величина так что в исходном состоя-

нии равновесияСоответственно после

линеаризации уравненияв (7.1) получается выраже-

ние

Рис. 9. Тиринг-неустойчивость

Уравнение (7.1) выглядит какуравнение Шрёдингера с потен-циалом В случае слоя Хар-риса, т. е. при потенциале (7.2),уравнение (7.1) имеет ограничен-ные при решения толь-ко при одном значении Другими словами, при слой ней-трально устойчив по отношению к малому его возмущению с периодом

по оси х.Что же будет с возмущениями Общий подход к анализу такого

рода возмущений не только для нейтрального слоя, но и для любых болееобщих равновесных конфигураций, был развит в работе Фюрта, Килленаи Розенблюта (1963). Мы рассмотрим его на примере слоя Харриса.

Рассмотрим опять уравнение (7.1) с потенциалом (7.2) и построим два

его решения: обращающееся в нуль при стремящеесяк нулю при Попытаемся теперь сшить эти решения при у = 0.

Мы легко можем достигнуть равенства но, кроме этого, нуж-но сшить и производные. В общем случае это невозможно, величина

вообще говоря, не равна нулю. Она равна нулю только при и в этомслучае существует близкое к начальному периодическое равновесие, т. е. мо-жно говорить о безразличном равновесии. Если то величинаотрицательна, а при она положительна. И в том, и в другом случаеможно построить равновесие из функций но отсутствие сшивки попроизводным означает, что при у = О следует добавить поверхностный ток,причем его знак определяется знаком величины

Возникает вопрос, может ли такой локальный ток возбуждаться самойдинамикой плазмы. Именно в этом и состоит анализ тиринг-неустойчивости:в большей части слоя, где магнитное поле достаточно велико, плазма может

находиться в состоянии, близком к равновесию, поскольку инкремент тиринг-неустойчивости мал. И только вблизи нейтрального слоя у = 0 следует болееточно учесть взаимодействие электромагнитного поля с частицами плазмы.Чтобы неустойчивость нарастала, т. е. происходила филаментация токов,как показано на рис. 8, в x-точках должен происходить обмен потоками,а для этого там должно присутствовать электрическое поле Ez > 0. Прибесконечной электропроводности этого не может быть, так как в покоящейсяв x-точках плазме Ez = 0. Однако при наличии конечного хотя бы и малогосопротивления в x-точке появится Еz > 0, если в ней возмущенная плотность

Для этого требуетсяТаким образом, слой Харриса неустойчив по отношению к тиринг-

возмущениям с причем инкремент нарастания соответствующих воз-мущений стремится к нулю при Соответствующая тиринг-неустойчи-вость называется поэтому резистивной, она проявляется в плотной лаборатор-ной плазме и не только в тонких слоях, но и в диффузных тороидальныхплазмах.

В космической плазме частоты столкновений настолько малы, что болееадекватным является бесстолкновительное кинетическое описание плазмы.Подход здесь аналогичен: в дополнение к равновесному во всем слое реше-

нужно более точно рассмотреть динамику частиц вблизи у = 0. В линей-ном приближении для этого используются линеаризованные кинетическиеуравнения с самосогласованным полем. Роль диссипации (Лаваль, Пеллаи Вюлэмен, 1965; Коппи, Лаваль и Пелла, 1966) в бесстолкновительноц плаз-ме берет на себя черепковское взаимодействие частиц с волной возмущенияполя. Оказывается, что в простом слое (см. рис. 3, а) более важным являетсяэлектронное взаимодействие Ландау с волнами, так что электронная тиринг-мода в таком случае всегда приводит к неустойчивости. Однако Бискампи Шиндлер (1971) показали, что даже очень слабая компонента поля поперекслоя приводит к стабилизации электронной тиринг-моды. Шиндлер (1974)обратил внимание на то, что в этом случае может развиваться ионная модас затуханием на ионах вблизи слоя с Ву = 0.

Более подробный анализ устойчивости нейтрального слоя с учетом какэлектронов, так и ионов проведен Галеевым и Зеленым (1975, 1976). Онипоказали, что при увеличении поперечного поля, т. е. b = Ву/В0, оченьсущественно меняется электронный вклад. В дополнение к тому, что малое

подавляет электронную диссипацию, высокая электронная проводи-мость вдоль поля делает непрозрачным тонкий слой плазмы вблизи у = 0.Она имеет вид дополнительного узкого, но очень высокого горба в ямеВследствие этого тиринг-мода подавляется. При дальнейшем увеличении

электронный вклад уменьшается, и только при некотором достаточнобольшом значении Вy/В0 появляется возможность для ионной тиринг-неус-тойчивости. Впрочем, если и дальше повышать магнитное поле Ву, то ононачинает замагничивать ионные орбиты, подавляя диссипацию на ионах,и тиринг-неустойчивость вновь подавляется. Таким образом, если исключитьиз рассмотрения практически мало интересный случай исключительномалых b, т. е. электронной тиринг-моды, то реальная, ионная тиринг-модав линейном приближении может развиваться только в определенном интер-вале значений b = Вy/В0, когда электронный вклад уже не существен,а ионы еще не замагничены.

Галеев, Коронити и Ашур-Абдалла (1978) обратили внимание на то, чтоионная тиринг-мода может довольно быстро выходить в нелинейный режим,когда сам инкремент возрастает с амплитудой. Качественно, это происходитиз-за того, что область незамагниченных ионов вблизи x-точек расширяетсяс ростом возмущения. Нелинейная неустойчивость приводит к взрывномуросту неустойчивости, что подтверждается и численными расчетами (Тера-сава, 1981).

После того как нейтральный слой филаментируется, он становитсяпохожим на цепочку токовых нитей на рис. 8, а, которая в свою очередь неустой-чива по отношению к слиянию в более крупные нити. Это подтверждаетсяи численными расчетами (Катанума и Камимура, 1980; Лебоёф, Тазимаи Даусон, 1982).

Итак, тиринг-неустойчивость является наиболее естественной причинойразрушения токового слоя, причем существуют условия для взрывообразно-го протекания этого процесса на нелинейной стадии.

8. ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

Именно в астрофизике зародились первые идеи о механизме перезамы-кания магнитных силовых линий. Они связаны с попыткой объяснить быстропротекающие процессы конверсии магнитной энергии в кинетическую и теп-ловую энергию частиц плазмы. Два примера наиболее известны: солнечные

вспышки с освобождением энергии ~1033 эрг и геомагнитные суббури с энер-гией ~ 1022 эрг. И в том, и в другом случае сравнительно быстрое перерас-пределение магнитных полей и трансформация магнитной энергии в тепло,излучение и пучки энергичных частиц довольно естественно связываютсяс пересоединением магнитных силовых линий. Скорость перезамыканияв солнечных вспышках достаточно велика, она достигает величины u~0,1 СА.Именно большая величина этой скорости побудила Сыроватского с сотруд-никами (1973, 1981) и Стенцеля и Гекельмана (1979, 1981) провести экспери-менты по лабораторному моделированию токового слоя и перезамыканиясиловых линий. Геометрия реальных магнитных полей на Солнце гораздосложнее, чем в лабораторных экспериментах. Поэтому, несмотря на качест-венную демонстрацию перезамыкания в экспериментах и многочисленныечисленные моделирования, утверждать, что солнечные вспышки получилиокончательное объяснение, пока еще рано.

Более ясной представляется картина перезамыкания силовых линийв околоземной плазме, в частности в магнитном хвосте. Магнитные переза-мыкания вообще играют большую роль в околоземной плазме. В пионерскойработе Данжи (1961) было показано, что процессы перезамыкания играютсущественную роль при взамодействии солнечного ветра с магнитосферойи приводят к образованию длинного хвоста магнитосферы. Схема пересоеди-нения силовых линий по Данжи показана на рис. 10. Как изображено на рисун-ке, налетающий на магнитосферу солнечный ветер может нести с собоймежпланетное магнитное полe. Если направление этого поля совпадаетс направлением магнитного поля Земли в точке встречи, то ничего особенно-го не происходит: плазма солнечного ветра просто обтекает магнитосферу.

Рис. 10. Схема Данжи образования магнитного хвоста магнитосферы

Если же поле ветра направлено против поля Земли, то в точке встречи про-исходит перезамыкание силовых линий: силовая линия магнитного поляЗемли разрезается пополам и ее концы соединяются с концами разрезаннойсиловой линии межпланетного магнитного поля. Полученная таким образоммагнитная силовая линия, будучи линией магнитного поля Земли на близкихрасстояниях, переносится вместе с плазмой солнечного ветра на далекомрасстоянии от Земли. В результате эта линия переносится в магнитный хвост.Число этих линий со временем накапливается: магнитный хвост растет. Приэтом в магнитном хвосте образуются рукава из магнитных силовых линийразного знака в северной и южной половине, а между ними создается ней-тральный плазмослой. Со временем этот слой становится все тоньше и тонь-ше и постепенно переходит в метастабильное состояние, обсуждавшеесявыше. Теперь достаточно небольшого возмущения, чтобы начался взрывнойпроцесс перезамыкания силовых линий в нейтральном слое: это и есть магнит-ная суббуря — бурный и сравнительно короткий процесс магнитных возму-щений. Так упрощенно явление перезамыкания может быть положенов основу объяснения суббурь, сумма которых составляет магнитную бурю.Реальная картина полной динамики суббури сложнее этой упрощенной моде-ли, но не видно, чтобы ее можно было понять, не привлекая представленийо перезамыкании силовых линий.

9. САМООРГАНИЗАЦИЯ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ

Явление перезамыкания играет большую роль в лабораторных плазмах,в частности в достаточно устойчивой плазме токамака. Схематически плазматокамака изображена на рис. 2. Наличие сильного продольного (вдоль тора)

Рис. 11. Распределение тем-пературы Те (r) и запаса ус-тойчивости q (r) по радиусу

в плазме токамака.Профили распределения темпе-ратуры и плотности тока опре-деляются коллективными про-

цессами в плазме

магнитного поля в токамаке играет стабилизирующую роль, но и в этих усло-виях собственная активность плазмы очень тесно связана с процессамиперезамыкания магнитных силовых линий. Многие из этих явлений изученыдостаточно хорошо и могут служить базисом для более глубокого пониманияпроцессов перезамыкания.

Можно сказать даже больше: процессы перезамыкания играют сущест-венную роль в установлении параметров плазменного шнура, точнее, в фор-мировании устойчивого распределения плотности тока по сечению шнура.

Схематически распределение температуры в плазме токамака изображе-но на рис. 11, и на этом же рисунке представлена зависимость q (r), где

так называемый запас устойчивости. Эти величины тесносвязаны между собой: распределение температуры определяет распределениеплотности тока поскольку удельное сопротивление плазмы зависитот температуры: Соответственно плотность тока выше там, гдевыше температура. Априори не исключена возможность, что весь ток собе-рется в центр плазменного шнура, где плазма интенсивнее нагревается.Однако этого не происходит, и в действительности устанавливается некоторыйсамосогласованный профиль температуры и плотности тока, который опреде-ляется коллективными процессами в плазме. Можно сказать, что плазматокамака является самоорганизующейся физической системой.

Условно, все сечение плазмы токамака можно разбить на три зоны.Во внутренней зоне, как мы увидим ниже, плотность тока контролируетсятак называемыми внутренними срывами или пилообразными колебаниями.Эти периодически повторяющиеся процессы перезамыкания не дают плотно-сти тока увеличиться, ограничивая ее на уровне, соответствующем величине

Далее идет зона аномальной электронной теплопроводности, в кото-рой важную роль играют мелкомасштабные перезамыкания силовых линий —так называемый магнитный флаттер, и, наконец, на периферии расположеназона более холодной резистивной плазмы, в которой повышены переносыи шумы в плазме и которая играет заметную роль в формировании полныхпрофилей Те (r), q (r).

9.1. М а г н и т н ы е о с т р о в а

Чтобы яснее представить себе физику плазмы токамака, нужно болееотчетливо знать реакцию плазмы на малые возмущения. Другими словами,следует понимать, при каких условиях плазма устойчива, а если есть какие-либо неустойчивости, то нужно знать, к чему они могут привести. Преждевсего это нужно знать в рамках МГД-приближения.

У плазмы токамака есть два источника неравновесности, которые могутпривести к неусточивости: наличие тока в плазме и наличие градиента давле-ния в плазме. В рассматриваемом нами аспекте перезамыканий неравно-весность тока более важна. Поэтому мы условно будем рассматривать упро-щенную ситуацию бессиловой плазмы.

МГД-устойчивость идеальной плазмы очень чувствительна к распреде-лению плотности тока по радиусу, или, более конкретно, к распределениюq (r). Напомним, что q (r) — это отношение числа оборотов по большому ради-усу к числу оборотов по малому радиусу (при стремлении этих чисел к беско-нечности). Если q равно рациональному числу т/п, то это означает, чтосоответствующая линия замыкается сама на себя после m оборотов по боль-шому и п оборотов по малому радиусу. Возмущения в плазме в линейномприближении можно считать суперпозицией гармоник вида ехр

большой, или тороидальный, азимут, а малый, или полоидаль-ный, азимут. Как мы видим, возмущение с номерами т/п находится в резо-нансе с силовой линией в точке q (r) = т/п. Как мы увидим ниже, это обсто-ятельство оказывается очень важным, в особенности для резистивной плаз-мы. Но сначала рассмотрим идеальную плазму.

Неустойчивости идеальной плазмы по отношению к возможности осво-бождения магнитной энергии тока принято называть винтовыми или кинк-модами. Это неустойчивости, связанные с винтовыми возмущениями с опре-деленными парами т/п. При плоском распределении тока по радиусу j (r) == const, величина q также постоянна по радиусу, и это самая неустойчиваяситуация: оказывается, что возмущения с любыми т/п неустойчивы по отно-шению к винтовому искривлению границы плазменного шнура. Реальноераспределение рис. 11 более устойчиво: при изменении полного тока,

т. е. q (а), можно найти окна устойчивости по отношению к идеальным кинк-модам. Однако в резистивной плазме могут развиваться еще тиринг-неустой-чивости. Тиринг-моды токамака сходны с рассмотренными ранее на примеренейтрального слоя. В линейном приближении можно опять получить два

равновесных решения для снаружи и внутри от резонансной точки rs,где q (rs) = т/п. Если в этой точке величи-

равная разности логарифмических

производных положительна, то в плазменачинает развиваться резистивная мода.Соответстенно на магнитных поверхностяхначинают возникать магнитные острова (см.рис. 12, где изображены острова при q = 2и q = 3). Ширина острова b определяетсякачественно из условия, что разность лога-рифмических производных, взятых в точкахrs ± b/2, должна равняться нулю. Далееэтого предела остров, казалось бы, разви-ваться не должен (см., впрочем, далее раз-дел 9.4 по неустойчивости срыва).

В плазме токамака, как правило, при-сутствуют винтовые возмущения, наблюда-емые снаружи по колебаниям магнитногополя — так называемые осцилляции Мир-

нова. Внутри плазмы им соответствуют магнитные острова. Следует иметьв виду, что из-за тороидальности плазмы токамака мода т/п обычно со-провождается сателлитами т ± (s/n) с меньшей амплитудой ~ (r/R)s.Таким образом, реальная конфигурация токамака не вполне соответ-ствует вложенным магнитным поверхностям, а содержит еще магнитныеострова. Но поскольку сами эти острова узкие, то существенного искажениямагнитной структуры глобального характера не происходит.

Рис. 12. Магнитные острова наповерхностях с q = 2 и q = 3

9.2. П и л о о б р а з н ы е к о л е б а н и я

В 1974 г. фон Гёлер, Стодик и Саутхоф на токамаке обнаружили оченьлюбопытное явление пилообразных колебаний электронной температуры

в центре плазменного шну-ра. Пилообразные колеба-ния выглядят как перио-дический процесс, состоя-щий в медленном нараста-нии температуры электро-нов в центре плазмы, затемна фоне этого нарастанияпоявляются колебаниявинтовой моды т = 1/n == 1, которые сменяютсязатем резким сбросом тем-пературы внутри некото-

рой области r < rs. Снаружи от этой области, т. е. при r > rs, темпера-тура резко возрастает. Радиус rs, как обычно, — радиус инверсии. Схема-тически пилообразные колебания изображены на рис. 13.

Простая физическая модель этого явления была предложена Кадомце-вым (1975). Предположим, что в центре плазменного шнура запас устойчи-вости q (0) меньше единицы, так что в области q < 1 возможно развитиевнутренней винтовой моды т = 1/п = 1. По отношению к такому возмуще-

Рис. 13. Пилообразные колебания

нию поперечная компонента магнитного поля оказыва-ется имеющей разные знаки по разные стороны от точки r = rs, где q = 1.Тогда вблизи r = rs оказывается возможным перезамыкание силовых линий,как показано на рис. 14. Подчеркнем, что точка rs в этой модели связываетсяс положением q (rs) = 1, что в самом деле согласуется с экспериментальнымиданными по определению профиля q (r). В предположении параболическогоначального профиля плотности тока вблизи оси из сохранения потока можновайти радиус области перезамы-кания Это значениеблизко к экспериментальному.Удовлетворительное согласие сэкспериментами показало и чис-ленное моделирование развитияи перезамыкания (Днестров-ский, Лысенко, Смит, 1977;Ваддел, Розенблют и коллеги,1976). Эта модель была несколь-ко усовершенствована Параи-лом и Переверзевым (1980), что-бы учесть распределение тока,обусловленное последователь-ностью пилообразных зубцов.Тем не менее нельзя сказатьчто физика пилообразных коле-баний выяснена до конца. Во-первых, не очень ясно, какаяименно неустойчивость служиттриггером для старта модыт = 1. В рамках идеальноймагнитной гидродинамики внут-ренняя мода т = 1 при обыч-ных давлениях плазмы в тока-маках должна быть устойчивой(Буссак с коллегами, 1975). Более неустойчивыми являются диссипативныемоды (Буссак с коллегами, 1978), которые в горячей плазме усложняютсядрейфовыми эффектами.

Важно отметить, что в некоторых экспериментах в обычных режимах2 перезамыкание не всегда идет до конца. На установке ТФР (Дюбуа,

Пекэ, Ревердэн, 1983) результаты наблюдений пилообразных колебанийлучше согласуются с моделью неполного перезамыкания, которая трактуетсяДюбуа и Самэном (1980) как модель с МГД-турбулентностью в x-точке сепа-ратрисы.

Разумеется, картина спокойного ламинарного и притом полного пере-замыкания является упрощенной. Во-первых, само выбрасывание плазмыиз x-точки может служить источником сильных возмущений плазмы внутриострова, там может возбуждаться МГД-турбулентность. Кроме того, как былоотмечено Лихтенбергом (1984), из-за тороидальности область вблизи сепара-трисы может стать стохастической. В результате дочерный остров A (рис. 14)может оказаться полностью стохастизированным, и тогда пересоединениеможет приостановиться: сила, выталкивающая внутренность плазменногошнура к периферии, исчезает.

Итак, перезамыкание силовых линий является наиболее естественныммеханизмом пилообразных колебаний. Перезамыкание может идти до концаили оно может приостановиться, если вновь образованный месяцевидныйостров окажется турбулизированным.

Пилообразные колебания играют большую роль в формировании профилятока в токамаке: они не позволяют q (r) спустится заметно ниже единицы

Рис. 14. Модель полного перезамыкания сило-вых линий в пилообразных колебаниях

в центре шнура (впрочем, имеются эксперименты, которые не противоречатдопущению q (0) < 1, пилообразные колебания при этом отсутствуют). Какуже отмечалось выше, пока еще не ясно, что является триггером пилообраз-ных колебаний.

9.3. М а г н и т н ы й ф л а т т е р

Обсудим теперь вторую и третью зоны рис. 11. В этих областях, какпоказывает эксперимент, основным каналом потерь энергии плазмы и соот-ветственно установления профиля температуры является аномальная элек-тронная теплопроводность. Наиболее аккуратные данные по определениювеличины электронной теплопроводности были получены на установке Т-11Мережкиным и Муховатовым (Мережкин, 1978). Они показали, что элек-тронная температуропроводность пропорциональна величинеЭто соотношение, замеченное ранее Окавой (1978), имеет довольно простойфизический смысл: это толщина бесстолкновительного скин-слоя,

характерное время пролета электрона вдоль силовой линии,характерная длина которой~ qR. Таким образом, естественно возникает карти-на, которую можно назвать магнитным флаттером (Каллени др., 1979; Кадомцеви Погуце, 1984). Магнитные поверхности токамака могут испытывать колеба-ния и вследствие этого близко подходить друг к другу. При идеальной про-водимости они не могут обмениваться силовыми линиями. Однако на рас-стоянии магнитное поле не может быть вморожено в плазму из-запродольной инерции электронов, играющей роль бесстолкновительногосопротивления. Таким образом, при дрожании поверхностей происходитперезамыкание силовых линий на длине и электроны могут перете-кать с одной поверхности на другую. Источником колебаний магнитныхповерхностей могут служить колебания плазмы на периферии плазменногошнура в сочетании с возбуждаемыми ими магнитными островами.

9.4. С р ы в ы

Еще более интригующее явление взрывного разрушения плазменногошнура было открыто в самых ранних исследованиях на токамаках (Арцимо-вич, Мирнов и Стрелков 1964; Горбунов и Разумова, 1963). При срыве

происходит резкое уплощение рас-пределения плотности тока в шну-ре. При этом из плазмы выбрасы-вается часть полоидального пото-ка, срыв сопровождается сильны-ми МГД колебаниями и выбросомзаметной доли энергии плазмы настенки. Большой срыв приводитк полному прекращению тока вплазме.

Уплощение профиля плотно-сти тока регистрируется по уменьшению индуктивности плазменно-го шнура и подскоку тока, а вы-брос некоторой доли полоидаль-

ного потока, по отрицательному пичку на напряжении обхода, как показа-но на рис. 15. Естественно считать, что срыв связан с МГД-перестройкоймагнитной конфигурации. Сходство явлений пилообразных колебаний и срывовподсказывает, что оба эти явления могут быть связаны с процессами пере-замыкания силовых линий.

Для понимания того, как может сбрасываться энергия полоидальногополя, была полезной идеализированная модель Кадомцева, Погуце (1973)

Рис. 15. Ток в плазме и напряжение обходапри срыве

проникновения винтовых вакуумных пузырей внутрь шнура. Она былаоснована на упрощенных уравнениях гидродинамики плазмы в сильноммагнитном поле, которые затем использовались для моделирования болеесложной трехмерной динамики плазмы (Ваделл с коллегами, 1975, 1978,1979; Страусе, 1976). В более сложных моделях учитывается возбуждениемногих мод с различной винтовой симметрией, т. е. различными m/п. Такиемоды могут взаимодействовать либо косвенно путем квазилинейного измене-ния профиля плотности тока, либо напрямую из-за нелинейного зацепления.Существуют различные подходы к анализу такого взаимодействия.

Вессон, Сайке и Тернер (1982) полагают, что одно лишь обратное влияниемоды т = 2 на профиль тока может привести к состоянию нелинейнойнеустойчивости этой моды. Захаров (1980, 1981) рассмотрел вопросо возможности нелинейной неустойчивости с помощью анализа винтовыхравновесий и привел аргументы в пользу разрушения плазменного столбапри винтовом его возмущении. Нелинейная вспышка сцепленных междусобой тиринг-мод была показана численными экспериментами (Ваделл с кол-легами, 1978, 1979; Каллен с коллегами, 1979). Главным нелинейным меха-низмом представляется взаимодействие мод т = 2/n = 1 и т = 3/n = 1,которые затем порождают набор многих мод с различными т/п. Численноемоделирование неплохо описывает экспериментально наблюдаемые чертысрыва.

Таким образом, представляется довольно правдоподобным, что неустой-чивость срыва связана с нелинейной МГД-неустойчивостью плазменногошнура и проявляется в раз-рушении магнитной струк-туры и стохастизации си-ловых линий магнитногополя. С точки зрения дви-жения плазмы МГД-тур-булентность во время сры-ва, вероятно, сходна собычной турбулентностьюжидкости.

10. ПИНЧИС ОБРАТНЫМ ПОЛЕМ

Еще большую роль иг-рают процессы перезамы-кания в пинчах с обрат-ным полем. Пинч с обрат-ным полем — это тоже то-роидальный разряд, ста-билизированный продоль-ным полем, но, в отличиеот токамака, имеющий

Другими словами,в RFP продольное магнит-ное поле одного порядкавеличины с собственным полем тока. Сравнительно давно было обнаружено,что в таком пинче продольное магнитное поле меняет знак на периферииразряда, чем и объясняется название RFP. На рис. 16 в качестве примерапоказано распределение продольного и полоидального магнитных полейв установках НВТХ1А (Бодин, 1984). Как видно, распределения продольно-

и полоидального полей близки соответственно к нулевой и первойфункции Бесселя. Этот факт был объяснен Тейлором (1974) как результат ре-лаксации магнитной конфигурации к состоянию с минимумом магнитной

Рис. 16. Экспериментальные профили тороидального(продольного) и полоидального магнитных полей в

НВТХ1А

энергии при заданной винтовости. Эта релаксация происходит с перезамы-канием силовых линий. В качестве простейшей модели эту релаксациюрассматривают в рамках перезамыкания на модах т = 1. Но это не обяза-тельно. Если магнитное поле слегка стохастизировано, то силовые линиидиффундируют поперек плазменного шнура. В конфигурации, близкойк бессиловой, const вдоль силовой линии (это следует из условия

И так как одна силовая линия покрывает все сечение,можно считать не зависящей от r, а это автоматически приводит к модели

функций Бесселя. Аналогичное рассуждение можно привести и в терминахпереноса электронного момента тока вдоль стохастизированных силовыхлиний (Расбридж, 1982) либо в терминах магнитного динамо. Однако сутьфизической картины остается прежней: перезамыкания слабо разрушаютконфигурацию вложенных магнитных поверхностей и приводят к релаксациимагнитной конфигурации к модели функций Бесселя.

11. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Идея перезамыкания силовых линий оказалась очень плодотворной.Она оказалась ключевой в объяснении целого ряда явлений в лабораторнойи космической плазмах, имеющих характер взрывной трансформации энер-гии магнитного поля в тепло и кинетическую энергию частиц. Только идеяперезамыкания позволяет найти общий подход к объяснению этого широкогокруга явлений. Более того, эта идея позволяет найти общие черты в процес-сах, отличающихся многими порядками величин по геометрическим и энерге-тическим масштабам явлений. Поэтому качественная роль идеи перезамыка-ния неоценима. Что же касается количественной стороны, то она пока еще неможет считаться достигшей совершенства. Дело в том, что процессы пере-замыкания довольно сложны даже в лабораторных, а тем более в естествен-ных условиях. Теоретические модели, как правило, ухватывают лишь качест-венные, в основном двумерные, черты явления перезамыкания. Между темреально развивающееся перезамыкание быстро принимает трехмерный,т. е. хаотически сложный, характер, вместе с тем напоминающий взрывооб-разный или, по крайней мере, релаксационно развивающийся процесс.Поэтому и соответствующие теоретические модели самого процесса переза-мыкания являются либо сильно упрощенными, либо достаточно сложными,либо, наконец, одновременно и упрощенными и сложными.

На сегодня большую ценность представляют скорее не модели, а выра-женные в них идеи. Это идеи самого перезамыкания, т. е. изменение тополо-гии магнитного поля, и конкретные идеи образования токовых слоев и по-следующего перезамыкания в них, иногда принимающего взрывной характер.Уже сами эти идеи позволяют качественно понять многие конкретные прояв-ления перезамыкания силовых линий.

Дальнейшее развитие теории должно быть связано с описанием переза-мыкания как взрывного турбулентного процесса. Кроме численного модели-рования, желательно развить полуколичественные методы описания согласо-ванной картины изменения топологии магнитного поля, возбуждения турбу-лентного течения плазмы и ускорения частиц.

Настоящий обзор ставил своей целью изложить лишь общую картинуперезамыкания силовых линий, привести ряд конкретных проявленийэтого явления и подчеркнуть общие черты в различных процессах перезамы-кания. Список литературы позволит найти более подробную информациютем читателям, которые заинтересованы в более глубоком изучении за-тронутых здесь вопросов.

Институт атомной энергииим. И. В. Курчатова

*) Работы на русском языке расположены в порядке транслитирации фамилий авто-ров буквами латинского алфавита.