18 Глава 2 Многочлены §1. Сложение …school-collection.iv-edu.ru/dlrstore/8abe436f-fd65-4ac1...Чтобы умножить многочлен на многочлен,

18

Примеры и комментарии

1. Посмотрите на многочлены

A =−x4 +2x2−3

B = x3 +x2 +x

Они записаны в стандартном виде.Степени их равны 4 и 3.Старшие члены: −x4 и x3.Старшие коэффициенты: −1 и 1.Свободные члены: −3 и 0.

2. Запись многочлена

2x3−x4−3+x3 +1

не является стандартной. Сложим егоподобные члены:

(2x3 +x3)−x4 +(−3+1) = 3x3−x4−2

и перепишем их в порядке убыванияих степеней:

−x4 +3x3−2.

Мы пришли к многочлену стандартно-го вида.

3. Посмотрите на многочлен

A = a3 +a2b−b3 +2ab+a+b−3

Он записан в стандартном виде. Мно-гочлены

A3 = a3 +a2b−b3

A2 = 2abA1 = a+bA0 =−3

— это его однородные составляющие,т. е. суммы одночленов одной и той жестепени.Степень многочлена A равна 3.Свободный член равен −3.Старшим членом выбран одночлен a3.

ПрезентацииСтандартный вид многочленаСловарь и примеры

ДемонстрацииСтандартный вид многочленас одной буквойСтандартный вид многочленас несколькими буквамиСложение многочленов

Глава 2 Многочлены

§1. Сложение многочленов

Многочлен — это выражение, являющееся суммой одночленов.

Многочлен имеет стандартный вид, если:он записан в виде суммы одночленов стандартного вида;среди одночленов нет подобных;одночлены более высокой степени стоят левее одночленовболее низкой степени.

Для многочленов с одной буквой стандартный вид определяетсяоднозначно. Действительно, в такой многочлен после приведе-ния подобных членов может входить не более одного одночленаданной степени. Расположив эти одночлены в порядке убыва-ния степеней, мы получим однозначно определенный многочленстандартного вида.

Если многочлен составлен с помощью нескольких букв, то егостандартный вид можно определить по-разному.Прежде всего, в нем не должно быть подобных одночленов.Далее мы объединим в группы одночлены одной и той же сте-пени — в отличие от одночленов с одной буквой их может бытьнесколько. Наконец, группы одночленов более высокой степенинужно расположить левее групп одночленов более низкой степе-ни. Это однозначно определит расположение групп одночленоводной и той же степени в убывающем порядке. Располагатьже одночлены внутри каждой такой группы можно по-разному.Обычно при этом учитывают алфавитный порядок букв.

Степень многочлена — это наивысшая степень одночлена,входящего в этот многочлен.Однородный многочлен — это многочлен, у которого все од-ночлены имеют одинаковую степень.Свободный член многочлена — это его одночлен нулевой сте-пени, т. е. входящее в него число. Если такого одночлена нетв стандартной записи многочлена, то считается, что он равеннулю.Старший член многочлена — это его одночлен наивысшейстепени. Для многочленов с одной буквой старший членопределен однозначно. Если букв более одной, нужно спе-циально договариваться о выборе старшего члена.Старший коэффициент — это коэффициент при старшемчлене.

19


1. Сложение многочленов с однойбуквой похоже на сложение строчек изих коэффициентов.

A = 4x3−x2 +9x

B = 2x3 +2x2−x+5

Строчки из коэффициентов:

A (4,−1,9,0)B (2,2,−1,5)

Сумма строк:

(6,1,8,5)Сумма многочленов:

A+B = 6x3 +x2 +8x+5

2. Надо быть внимательным, склады-вая многочлены разных степеней.

A = 2x−3

B = x2 +x

Строчки должны иметь одинаковуюдлину:

A (0,2,−3)B (1,1,0)

Сумма строк:

(1,3,−3)A+B = x2 +3x−3

3. При сложении многочленовс несколькими буквами надо уметьбыстро находить подобные слагаемые.Это сделать проще, если приучитьсязаписывать слагаемые одной и той жестепени в определенном порядке.Например, многочлен 2bc− b2 + ab++a2−3ac+2c2 лучше записать в такомпорядке: a2−b2 +2c2 +ab−3ac+2bc.Сначала записаны квадраты букв в ал-фавитном порядке, затем их попарныепроизведения. Эти произведения пе-речислены так: сначала взята перваябуква a и она умножена по порядкуна следующие: ab и ac. Затем взятаследующая буква b и умножена на сле-дующие (в данном случае за b следуеттолько c): bc.

СУММА МНОГОЧЛЕНОВ

Сумма (разность) двух многочленов — это выражение, полу-чающееся соединением двух многочленов знаком сложения(вычитания).

A+B— сумма многочленов

A−B— разность многочленов

Когда говорят «сложить (или вычесть) многочлены», то это незначит, что их нужно просто соединить плюсом или минусом.При этом имеют в виду, что нужно в записанной сумме (разно-сти) привести подобные члены и записать результат в стандарт-ном виде.

При сложении (вычитании) многочленов складываются (вы-читаются) коэффициенты при подобных слагаемых.

Как меняется степень при сложении многочленов?

Примеры

1. (x2−1)+(x3 +x2 +2) = x3 +2x2 +1Складывали многочлены разных степеней. В этом случае сте-пень суммы равна наибольшей из степеней слагаемых.

2. (x2−1)+(2x2−x+2) = 3x2−x+1Складывали многочлены одинаковых степеней. Их старшие чле-ны подобны, но их сумма отлична от нуля. В этом случаестепень суммы сохранилась.

3. (x2−1)+(−x2 +x+2) = x+2Складывали многочлены одинаковых степеней, но сумма ихстарших членов оказалась равной нулю. В этом случае степеньсуммы уменьшилась.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Дан многочлен −x3+3x−5. Чему равна его степень? Каковы егостарший коэффициент и свободный член?Может ли сумма двух многочленов третьей степени стать мно-гочленом второй степени? Приведите примеры.Разбейте многочлен x4 +y3 +3xy+y+x2y2 +1+x2 +xy2 +2x наоднородные составляющие.

20


1. (a + 2b) · (2a − b) = 2a2 − ab ++4ab−2b2 = 2a2 +3ab−2b2.При перемножении одночленов мы де-лали вычисления устно и сразу запи-сывали произведение в стандартномвиде. Это сильно сокращает записьи облегчает нахождение подобных сла-гаемых.

2. (x2 − xy+ 2y2) · (3x + 2y) = 3x3 ++ 2x2y − 3x2y − 2xy2 + 6xy2 + 4y3 == 3x3−x2y+4xy2 +4y3.Вычисляя, мы по очереди брали каж-дый одночлен из первой скобки иумножали его на каждый одночленвторой скобки.

3. (a2− ab+ b2) · (a+ b) = a3− a2b++ab2 +a2b−ab2 +b3 = a3 +b3.Сейчас мы поступили наоборот: бра-ли более простые одночлены второгомножителя и умножали на них пооче-редно каждый одночлен первого.

4. (x + y)(x + 2y)(x + 3y) = (x2 ++ 2xy + xy + 2y2)(x + 3y) = (x2 ++ 3xy + 2y2)(x + 3y) = x3 + 3x2y ++ 2xy2 + 3x2y + 9xy2 + 6y3 == x3 +6x2y+11xy2 +6y3.При умножении нескольких скобок на-до приводить подобные члены послеперемножения каждой пары скобок.

5. Если первый многочлен имеет mслагаемых, а второй — n, то произведе-ние многочленов (до приведения по-добных членов) имеет столько же сла-гаемых, сколько есть клеток в таблицеразмером m×n. Это число равно mn.

ПрезентацииУмножение многочленовПроизведение многочленовс одной буквой

ДемонстрацияУмножение многочленовс одной буквой

§2. Умножение многочленов

Произведение двух многочленов — это выражение, получаю-щееся при соединении двух многочленов знаком умножения.

A·B, A×B — произведение многочленов A и B

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждое слагае-мое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго,затем сложить все полученные одночлены и привести подобныечлены.При умножении многочленов мы сталкиваемся с комбинатор-ной задачей перебора произведений одночленов, составляющихперемножаемые многочлены. Можно действовать так. Взять пер-вое слагаемое первого множителя и последовательно умножитьего на каждое слагаемое второго. Затем то же самое проделатьсо вторым слагаемым, затем с третьим и т. д.

(A+B+C) · (X +Y +Z) == A·X +A·Y+A·Z+B·X +B·Y+B·Z+C ·X +C ·Y+C ·Z

Разумеется, можно выбрать для себя и другую процедуру пере-бора, например, по очереди брать слагаемые второго множителяи умножать их на все слагаемые первого.

(A+B+C) · (X +Y +Z) == A·X +B·X +C ·X +A·Y +B·Y +C ·Y +A·Z+B·Z+C ·Z

Каждое слагаемое произведения двух многочленов (до приведе-ния подобных членов) определяется парой одночленов, взятыхпо одному из множителей. Поэтому можно сказать, что переборпроизведений — это то же самое, что перебор пар в таблице.

X Y Z

A A·X A·Y A·ZB B·X B·Y B·ZC C ·X C ·Y C ·Z

При первом способе мы перечисляли элементы таблицы построчкам, а при втором — по столбцам.

21


1. (x+a) · (x+b) = x2 +(a+b)x+ab.Перемножать двучлены вида x+c при-ходится часто. Полезно запомнить пра-вило образования коэффициентов в та-ком произведении: коэффициент приx2 равен, конечно, единице, коэффици-ент при x — сумме свободных членовсомножителей, а свободный член — ихпроизведению.

2. (x+a) ·(x−a) = x2+(a−a) ·x−a2 == x2−a2.Великое тождество (x + a)(x− a) == x2−a2 нам встретится еще не раз.

3. (a2+3)·(a3−2) = a5+3a3−2a2−6.Перемножая двучлены степени вышепервой, надо внимательно следить застепенями одночленов в произведе-нии.

4. Предложенная нами упрощеннаясхема умножения многочленов, ис-пользующая «скрестное» перемноже-ние коэффициентов множителей, ана-логичных сокращенной схеме умноже-ния многозначных чисел столбиком:

× 132216

28512

В этой схеме цифры произведения(справа налево) получены следующимобразом:2·6 = 12 — пишем 2 и запоминаем 1;3 ·6+ 2 ·1+ 1 = 21 — пишем 1 и запо-минаем 2;1 ·6+ 3 ·1+ 2 ·2+ 2 = 15 — пишем 5 изапоминаем 1;1·1+3·2+1 = 81·2 = 2

5. Если коэффициенты одного много-члена обозначены через ai , а у второгочерез b j , причем номера совпадают состепенями буквы x, то в произведениикоэффициент при xk равен

ak ·b0 +ak−1 ·b1 +ak−2 ·b2 + . . .

. . .+a1 ·bk−1 +a0bk.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ С ОДНОЙ БУКВОЙ

Рассмотрим пример умножения двух многочленов.

(2x2−x+3) · (x2 +2x−1) = 2x2 ·x2 +2x2 ·2x+2x2 · (−1)+

+(−x) ·x2 +(−x) ·2x+(−x) · (−1)+3·x2 +3·2x+3· (−1) =

= 2x4 +4x3−2x2−x3−2x2 +x+3x2 +6x−3 =

= 2x4 +3x3−x2 +7x−3

Из этого примера можно сделать следующие общие выводы.

Старший член произведения многочленов равен произведе-нию старших членов сомножителей: 2x2 ·x2 = 2x4.Свободный член произведения многочленов равен произве-дению свободных членов сомножителей: 3· (−1) =−3.Степень произведения многочленов равна сумме степенейсомножителей: 2+2 = 4.

Схему умножения двух многочленов можно упростить, если сра-зу вычислять коэффициент при данной степени, т. е. складыватьподобные одночлены устно. Это нетрудно, если коэффициентыневелики. Приведем несколько таких схем:

(ax+b) · (cx+d) = ac·x2 +(ad+bc)x+bd.

(a2x2 +a1x+a0) · (b2x2 +b1x+b0) =

= a2b2x4 +(a2b1 +a1b2)x3 +(a2b0 +a1b1 +a0b2)x2 ++(a1b0 +a0b1)x+a0b0.

Во второй из этих схем мы специально поставили номера у ко-эффициентов, совпадающие со степенью одночлена. Проверьте,что в произведении коэффициент при xk получается сложени-ем произведений коэффициентов множителей, у которых сумманомеров равна k.


Даны два многочлена: 2x3−x+3 и x3 +x2−2x.Сколько слагаемых будет в их произведении до приведенияподобных членов?Какую степень будет иметь их произведение?Чему будут равны старший коэффициент и свободный членпроизведения?Сколько членов будет содержать произведение после приведенияподобных членов?Найдите устно коэффициент при x3 в произведении многочле-нов.

22


1. Доказательство формул квадратасуммы или разности двух букв произ-водится простым перемножением:

(a+b)2 = (a+b)(a+b) == a2 +ab+ba+b2 = a2 +2ab+b2

(или a2 +b2 +2ab);

(a−b)2 = (a−b)(a−b) == a2−ab−ba+b2 = a2−2ab+b2

(или a2 +b2−2ab).

2. В формулу для квадрата суммы(разности) можно вместо a и b под-ставлять любые выражения.

Пример

(x2+2y2)2 = (x2)2+2x2 ·2y2+(2y2)2 == x4 +4x2y2 +4y2

3. (a+b)2− (a−b)2 == a2 +2ab+b2− (a2−2ab+b2) =

= a2 +2ab+b2−a2 +2ab−b2 = 4ab.Из этого равенства можно произведе-ние ab выразить через квадраты:

ab=14

((a+b)2− (a−b)2) =

=(a+b

2

)2−

(a−b2

)2

4. Доказательство формулы для кубасуммы:

(a+b)3 = (a+b)2(a+b) == (a2 +2ab+b2)(a+b) =

= a3 +2a2b+ab2 +a2b+2ab2 +b3 == a3 +3a2b+3ab2 +b3.

5. Приведем еще одну полезную за-пись формул для куба суммы и разно-сти:

(a+b)3 = a3 +b3 +3a2b+3ab2 == a3 +b3 +3ab(a+b)

(a−b)3 = a3−b3−3a2b+3ab2 == a3−b3−3ab(a−b)

§3. Квадраты и кубы

Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс удвоенное про-изведение.Квадрат разности равен сумме квадратов минус удвоенноепроизведение.

(a+b)2 = a2 +b2 +2ab(a−b)2 = a2 +b2−2ab

Куб суммы равен сумме кубов плюс утроенные произведе-ния квадрата каждого слагаемого на другое

(a+b)3 = a3 +b3 +3a2b+3ab2

Формулу для куба разности можно получить из формулы длякуба суммы, заменяя b на −b:

(a−b)3 = (a+(−b))3 = a3 +(−b)3 +3a2(−b)+3a(−b)2

= a3−b3−3a2b+3ab2

Формулы для квадрата и куба суммы и разности двух букв можнозаписать разными способами.

(a+b)2 = a2 +b2 +2ab= a2 +2ab+b2

(a−b)2 = a2 +b2−2ab= a2−2ab+b2

(a+b)3 = a3 +b3 +3a2b+3ab2 = a3 +3a2b+3ab2 +b3

(a−b)3 = a3−b3−3a2b+3ab2 = a3−3a2b+3ab2−b3

Куб со стороной a+b можно разрезать на 8 частей: два куба состоронами a и b, три бруска с квадратным сечением площадиa2 и длиной b и три бруска с квадратным сечением площади b2

и длиной a.

23


1. Формула квадрата суммы легко рас-пространяется на любое число слага-емых: надо взять сумму всех квадра-тов и сложить со всевозможными удво-енными произведениями. Мы сновастолкнемся с комбинаторной задачей —как перебрать всевозможные произве-дения.

Пример

(a+b+c+d)2 == a2 +b2 +c2 +d2+

+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.

Перебор произведений выполнен так:берется первая буква a и умножает-ся на все следующие; затем беретсявторая буква b и умножается на всеследующие за ней и т. д.

2. Для доказательства более сложнойформулы для куба суммы трех чиселнадо аккуратно перемножить

(a+b+c)2 = a2 +b2 +c2

+2ab+2ac+2bc

и a+b+c. Получится следующая фор-мула:

(a+b+c)3 = a3 +b3 +c3++3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)+

+6abc.

ПрезентацииВозведение в квадратВозведение в куб

ДемонстрацииКвадрат суммыКуб суммы

КВАДРАТ СУММЫ ТРЕХ СЛАГАЕМЫХ

И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ

(a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2bc+2ac

Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс всевозможные удво-енные произведения.

Формула куба суммы трех слагаемых

(a+b+c)3 = a3 +b3 +c3 +

+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2c+3c2b+6abc

Формулы возведения двучлена a+ b в квадрат и куб можнообобщить для других степеней. Общая формула для вычисления(a+b)n носит название формулы бинома Ньютона.

Полезно запомнить формулу для четвертой степени:

(a+b)4 = ((a+b)2)2 = (a2 +2ab+b2)2 =

= a4 +4a2b2 +b2 +2a2 ·2ab+2a2 ·b2 +2·2ab·b2 =

= a4 +4a2b2 +b4 +4a3b+2a2b2 +4ab3 =

= a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 +b4.


Какие числа надо подставить вместо коэффициента a, чтобы сле-дующие многочлены стали полными квадратами: x2 +6xy+ay2;ax2−xy+y2; 4x2 +axy+9y2?Какие числа надо подставить вместо коэффициентов a иb, чтобы следующие многочлены стали полными кубами:

x3−6x2y+9xy2 +ay3; ax3 +6x2y+bxy2 +18

y3;x3

27+ax2y+bxy2−

−8y3?Сколько членов содержит разложение многочлена (a+b+c)2?

24


1. Общий множитель — одночлен:

2x3y2−4x2y3 = 2x2y2(x−2y).

2. Общий множитель — многочлен:

x(x2+y2)−y(x2+y2) = (x2+y2)(x−y).Обнаружив общий множитель, его ча-сто записывают впереди всего выраже-ния — выносят за скобки.

3. Обычно есть много способов груп-пировки, и не все они приводят кцели — нахождению общего множите-ля. Полезно научиться «прикидывать вуме», найдется ли общий множительпри выбранном способе группировки.Например, разлагая на множители вы-ражение A = a2 + a + b2 + b + 2ab,можно прикинуть, что, группируя a2,b2 и 2ab, мы получим квадрат сум-мы a + b, имеющий общий множи-тель (точнее, совпадающий) с суммойостальных членов:

A = (a2 +2ab+b2)+(a+b)= (a+b)2+(a+b)= (a+b)(a+b+1).

4. При группировке часто приходитсяразбивать слагаемое на сумму или раз-ность подобных членов.

Примеры

a2−5ab+6b2 == a2−2ab−3ab+6b2 =

= a(a−2b)−3b(a−2b) == (a−2b)(a−3b);

x2−x−2 = x2 +x−2x−2 == x(x+1)−2(x+1) = (x+1)(x−2).

ПрезентацияФормулы сокращенногоумножения

ДемонстрацияРазложение на множители

§4. Разложение на множители

Вынесение общего множителя за скобки:

A·X +A·Y +A·Z = A· (X +Y +Z)

Примеры

1. a4b2c3 +a3b3c3−a3b4c2 = a3b2c2(ac+bc−b2)

2. a2(a+b)+b2(a+b)+c2(a+b) = (a+b)(a2 +b2 +c2)

Группировка слагаемых:

A·X +B·Y +B·X +A·Y = (A·X +B·X)+(A·Y +B·Y) == (A+B) ·X +(A+B) ·Y = (A+B) · (X +Y)

Примеры

1. ax+by+az+bx+ay+bz= (ax+bx)+(ay+by)+(az+bz) == x(a+b)+y(a+b)+z(a+b) = (a+b)(x+y+z)

2. x2 + 3xy+ 2y2 = x2 + xy+ 2xy+ 2y2 = x(x+ y) + 2y(x+ y) =(x+y)(x+2y)

25


1. Полезно помнить, что разность чет-вертых степеней раскладывается натри множителя:

a4−b4 = (a2)2− (b2)2 == (a2−b2)(a2 +b2) =

= (a−b)(a+b)(a2 +b2).

2. Разность любых четных степенейможно представить как разность квад-ратов и затем разложить на два множи-теля:

x6−y8 = (x3)2− (y4)2 == (x3−y4)(x3 +y4).

3. Сумму шестых степеней (как исумму любых двух степеней, крат-ных трем) можно разложить, пользуясьформулой разложения суммы кубов:

a6 +b6 = (a2)3 +(b2)3 == (a2 +b2)(a4−a2b2 +b4).

4. Разность шестых степеней луч-ше сначала представить как разностьквадратов:a6−b6 = (a3)2− (b3)2 =

= (a3−b3)(a3 +b3) == (a−b)(a2 +ab+b2)×

×(a+b)(a2−ab+b2).Если бы ее представили как разностькубов, то получили бы только три мно-жителя:a6−b6 = (a2)3− (b2)3 =

= (a2−b2)(a4 +a2b2 +b4) == (a−b)(a+b)(a4 +a2b2 +b4).

Однако многочлен a4 +a2b2 +b4 тожеможно разложить на множители, ноболее «хитрым» способом:a4 +a2b2 +b4 =

= a4 +2a2b2 +b4−a2b2 == (a2 +b2)2− (ab)2 == (a2 +b2−ab)(a2 +b2 +ab).

5. Можно попытаться разложить по-хожий многочлен a4−a2b2 +b4, запи-сывая его как разность квадратов:a4−a2b2 +b4 =

= a4 +2a2b2 +b4−3a2b2 == (a2 +b2)2−3a2b2.

Возникает препятствие — число 3 неявляется квадратом целого числа.Если мы используем только целые ко-эффициенты, то разложение невозмож-но. Позже, когда мы введем квадрат-ные корни, мы сможем записать число3 в виде квадрата некоторого числаи продолжить разложение на множи-тели.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Разность квадратов равна произведению суммы на разность:

a2−b2 = (a−b)(a+b)

Эту формулу можно представить геометрически:

Примеры

1. 4a2−9b2 = (2a)2− (3b)2 = (2a−3b)(2a+3b)

2. (x+y)2− (x−y)2 = (x+y−x+y)(x+y+x−y) = 2y·2x = 4xy

Сумма и разность кубов

a3 +b3 = (a+b)(a2−ab+b2)

a3−b3 = (a−b)(a2 +ab+b2)

Пример. a3−8b3 = a3− (2b)3 = (a−2b)(a2 +2ab+4b2)

Выражения a2 + ab+ b2 и a2 − ab+ b2 называют неполнымиквадратами суммы и разности. Так их отличают от полныхквадратов: a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 и a2− 2ab+ b2 = (a− b)2.Словами формулы для суммы и разности кубов читают так:

Сумма кубов равна произведению суммы на неполный квад-рат разности.Разность кубов равна произведению разности на неполныйквадрат суммы.


Какой общий множитель можно вынести за скобку у следующихмногочленов: a3b2−a2b+a4b3; x3 +2x−xy2−2y?Какое число можно подставить вместо коэффициента a, чтобымногочлен x2+2ay2 можно было представить как разность квад-ратов?На сколько множителей можно разложить многочлены: x4−16y4;x6−y6; a4−9b2?Вычислите устно: 992−1; 19·21; 213−1.

26


1. Доказать тождество

a4 +4b4 == (a2−2ab+2b2)(a2 +2ab+2b2).

Преобразуем левую часть:

a4+4b4 = a4+4a2b2+4b4−4a2b2 == (a2 +2b2)2− (2ab)2 =

= (a2 +2b2−2ab)(a2 +2b2 +2ab).Почленное равенство множителей сле-ва и справа проверяется устно.

2. Доказать тождество:

x(x+1)(x+2)(x+3)+1 == (x2 +3x+1)2.

Преобразуем левую часть:

x(x+1)(x+2)(x+3)+1 == (x(x+3)) · ((x+1)(x+2))+1 =

= (x2 +3x)(x2 +3x+2)+1 == (x2 +3x)2 +2(x2 +3x)+1 =

= (x2 +3x+1)2.

Теперь левая часть совпадает с правой.


x(y+z)2 +y(x+z)2 +z(x+y)2−4xyz== (x+z)(x+y)(y+z).

При прямом вычислении слева полу-чится 10 слагаемых и справа 8. Попро-буем левую часть разложить на мно-жители.

x(y+z)2 +y(x+z)2 +z(x+y)2−4xyz

= x(y+z)2−2xyz+y(x+z)2−2xyz++z(x+y)2 =

= x(y2 +z2)+y(x2 +z2)+z(x+y)2 == (xy2 +xz2 +yx2 +yz2)+z(x+y)2 == xy(x+y)+z2(x+y)+z(x+y)2 =

= (x+y)(xy+z2 +zx+zy) == (x+y)(x(y+z)+z(z+y)) =

= (x+y)(y+z)(x+z).

ПрезентацияПримеры тождеств

§5. Тождества

Чтобы определить, равны ли между собой два многочлена,надо привести их к стандартному виду, а затем для каждо-го одночлена каждого из многочленов найти совпадающийс ним одночлен другого. Говорят, что при этом мы проверяемих почленное равенство.

Пример. Проверим равенство

(a2 +b2)(x2 +y2) = (ax+by)2 +(ax−by)2.

Перемножим скобки слева и раскроем квадраты справа

a2x2 +a2y2 +b2x2 +b2y2 =

= a2x2 +2ax·by+b2y2 +a2y2−2ay·bx+b2x2.

Многочлен слева не имеет подобных членов. Можно считать,что он записан в стандартном виде. В многочлене справанадо сложить 2ax · by = 2ab · xy и −2ay · bx = −2ab · xy. Этичлены взаимно уничтожатся, и оставшийся многочлен такжеможет считаться стандартным. Осталось сравнить одночле-ны. Каждый из двух многочленов содержит одни и те жеодночлены: a2x2, a2y2, b2x2 и b2y2. Равенство проверено.

Если два многочлена почленно равны, то в них можно вме-сто букв подставить любые числа, и мы получим верноечисловое равенство.

Два многочлена называются тождественно равными, еслиравны их значения при всех значениях входящих в них букв.Тождество — это два тождественно равных многочлена, со-единенных знаком =.Можно сказать, что тождество — это равенство, являющеесяверным при подстановке вместо букв произвольных число-вых значений.


Равны ли многочлены (x+2)(x−1) и x2 +x−2?Верно ли тождество (x+2)(x−1) = x2 +x−2?Назовите основные виды тождественных преобразованиймногочленов.Найдите по крайней мере 3 многочлена, тождественно равныхмногочлену a3 +b3.

27


1. Доказать тождество:(a+b)2 = (a2 +1)(b2 +1)− (ab−1)2.Перенесем влево последнее слагаемоеправой части(a+b)2 +(ab−1)2 = (a2 +1)(b2 +1).Теперь можно сделать вычисления по-рознь слева и справа и убедиться в по-членном равенстве, но проще сравнитьс доказанным тождеством

(a2 +b2)(x2 +y2) == (ax+by)2 +(ay−bx)2.

Достаточно положить в нем b = −1,x = b, y = 1.


(a+b+c)2 +(a−b−c)2 ++(a−b+c)2 +(a+b−c)2 =

= 4(a2 +b2 +c2).Прямые вычисления в левой частислишком длинны. Перенесем правуючасть влево и попробуем вынести об-щий множитель a+b+c:

(a+b+c)2 +(a−b−c)2−4a2 ++(a−b+c)2−4b2+(a+b−c)2−4c2 =

= (a+b+c)2 +(a−b−c−2a)×× (a−b−c+2a)+(a−b+c−2b)×× (a−b+c+2b)+(a+b−c−2c)×

× (a+b−c+2c) == (a+b+c)2−(a+b+c)(3a−b−c)+

+(a+b+c)(a−3b+c)++(a+b+c)(a+b−3c) =

= (a+b+c)(a+b+c−3a+b+c+a−−3b+c+a+b−3c)= (a+b+c)·0= 0,что и требовалось доказать.

3. Дано, что a+ b+ c = 0. Доказать,что

a(a+b)(a+c)+b(b+a)(b+c)++c(c+a)(c+b) ==−3(a+b)(a+c)(b+c).

Это пример так называемого условноготождества. Оно должно быть вернопри подстановке вместо букв a, b и cлюбых чисел, сумма которых равнанулю.Вместо перемножения скобок выразимиз данного условия суммы двух букв:a+b =−c, a+c =−b и b+c =−a.

Подставим в доказываемое тождество:

a· (−c) · (−b)+b· (−c) · (−a)++c·(−b)·(−a)=−3·(−c)·(−b)·(−a).Выполним действия:

abc+abc+abc= 3abc,3abc= 3abc.

ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Проверить тождество многочленов по определению невозможно,так как пришлось бы подставлять бесконечное число значенийбукв. Поэтому тождественное равенство проверяют обычнымобразом — приводят многочлены к стандартному виду и сравни-вают их почленно.Приводя многочлен к стандартному виду, мы его преобразуем.При этом используются два основных типа преобразования:частичное выполнения арифметических действий и применениезаконов этих действий. Совершая эти преобразования, мы пере-ходим от многочлена к тождественно равному ему, так как онине нарушают верность числовых равенств.

Тождественное преобразование выражения — это переходот него к другому, тождественно равному выражению.

Тождества можно доказывать двумя различными способами.При первом способе выполняют независимо друг от друга тож-дественные преобразования выражений в левой и правой частяхдоказываемого тождества. Цель — привести выражения к много-членам стандартного вида, которые можно сравнить почленно.

Другой способ — преобразовать само тождество так, чтобы егоистинность не могла нарушиться. При этом часто используютсяследующие преобразования равенств.

1. Прибавление к обеим частям равенства одного и того жевыражения.2. Умножение обеих частей равенства на число, отличное отнуля.3. Перенос членов из одной части равенства в другую с про-тивоположным знаком.

Если указанные в рамке три преобразования выполнять надчисловыми равенствами, то мы будем переходить от верныхравенств к верным. А так как все они обратимы — от преобразо-ванного равенства можно вернуться назад к исходному аналогич-ным преобразованием, то мы не можем из неверного равенстваполучить верное. Следовательно, такие преобразования ненарушают справедливости тождества.

28


1. В классе 20 человек. Каким числомспособов можно составить расписаниедежурств на пятидневную неделю, ес-ли на каждый день назначается одиндежурный и один человек не можетдежурить дважды?Составляем список. На первое местопоставим любого из двадцати человек,на второе — любого из 19 оставших-ся. Уже получится 20·19 «начал» этихсписков. Дописывая дежурных на каж-дый последующий день и учитывая,что число кандидатов на дежурствокаждый раз будет уменьшаться на еди-ницу, получим ответ: 20·19·18·17·16.Это число достаточно велико. С по-мощью калькулятора получаем ответ:20 · 19 · 18 · 17 · 16 = 1860480— околодвух миллионов вариантов.

2. Каким числом способов можно раз-местить в ряду из четырех стульев че-тырех человек, имея выбор из 10 чело-век?Эта задача ничем не отличается от за-дачи составления списка без повторе-ний или составления слова из разныхбукв. Размещаем людей: на первыйстул сажаем любого из 10, на второй —любого из 9 оставшихся и т. д.Ответ: 10·9·8·7 = 5040вариантов.

3. В предыдущей задаче мы исполь-зовали глагол «разместить». От негопроисходит термин «размещение», ко-торый часто и применяют для обозна-чения слова из различных букв илисписка с различными символами. Еслиу нас есть общий запас из m букв и мысоставляем слово из k различных букв,то число таких слов, или иначе числоразмещений из m по k, обозначаетсясимволом Ak

m.Мы уже знаем, что это число вычис-ляется так: надо перемножить k на-туральных чисел, первое из которыхравно m, а каждое следующее на 1меньше.

ПрезентацииКомбинаторикаПерестановки

ДемонстрацияПерестановки

§6. Комбинаторика-2

Если алфавит содержит 5 букв: А, Б, В, Г и Д, то число трехбук-венных слов, которые можно составить из этого алфавита, равно5·5·5 = 53.Мы применили правило произведения — при составлении слована первое место поставили любую из 5 букв, на второе — снова,независимо от того, какая буква была первой, одну из пяти букв.При этом число вариантов увеличилось в 5 раз: 5·5. Дописываянезависимо третью букву, мы еще раз впятеро увеличиваемчисло вариантов и получаем ответ 5·5·5 = 53 = 125.

В общем виде, если алфавит состоит из m букв, то числоn-буквенных слов, в которых буквы выбираются независимодруг от друга и могут повторяться, равно

m·m· . . . ·m︸︷︷︸n раз

= mn.

Рассмотрим задачу составления слов с неповторяющимисябуквами.Сколько можно составить трехбуквенных слов с различнымибуквами алфавита А, Б, В, Г, Д?На первое место ставим любую из 5 букв, на второе — любую изоставшихся. Получится 5·4 вариантов. Для третьей буквы у насостается 3 неиспользованных буквы. Всего получится 5·4·3= 60вариантов.Если мы накладываем ограничения — буквы не должны повто-ряться, — то запас вариантов выбора очередной буквы каждыйраз уменьшается на единицу. Так,

число трехбуквенных слов с неповторяющимися буквами,которые можно составить с помощью алфавита, имеющегоm букв, равно

m(m−1)(m−2).

В общем виде число k-буквенных слов с неповторяющимисябуквами из алфавита, содержащего m букв, вычисляется поформуле

m(m−1)(m−2) · . . . · (m−k+1).

29


1. Сколькими способами можно:1) обить 5 стульев, если имеются тканипяти различных цветов и все стульядолжны быть разного цвета;2) установить очередность дежурствв классе в течение недели (кроме вос-кресенья), если каждый из 6 назначен-ных учащихся дежурит один раз;3) разложить 7 различных писем посеми различным конвертам, если вкаждый конверт кладется только однописьмо;4) рассадить на скамейке 8 человек;5) расставить на одной полке 9 книгразных авторов?Во всех приведенных примерах надосоставить всевозможные перестановкиданных объектов. Ответы можно запи-сать с помощью факториала: 5! = 120;6! = 720и т. д.

2. Как удобнее всего перебирать пере-становки? Допустим, что мы хотим вы-писать все 24перестановки букв a, b, c,d. Фиксируем первую букву и к ней до-писываем вторую, затем третью и, на-конец, последнюю. Получится 4 груп-пы по 3! = 6 слов:

abcd bacd cabd dabcabdc badc cadb dacbacbd bcad cbad dbacacdb bcda cbda dbcaadbc bdac cdab dcabadcb bdca cdba dcba

3. Число перестановок m символовобозначается через Pm. Мы уже зна-ем, что Pm = m!. Обратим внимание наформальное равенство Am

m = Pm = m!.Буквы A и P являются первыми бук-вами английских слов arrangement —размещение и permutation — переста-новка.

4. Число Akm = m(m−1) · . . . ·(m−k+1)

можно записать с помощью факториа-ла. Домножим и разделим его на недо-стающие множители от m−k до 1, т. е.на число (m− k) · . . . · 2 · 1 = (m− k)!.В числителе получится произведениевсех чисел от 1 до m, т. е. m! В итогеимеем формулу:

Akm =

m!(m−k)!

=Pm

Pm−k.

ПЕРЕСТАНОВКИ

Когда мы составляли трехбуквенные слова с различными буква-ми из алфавита А, Б, В, то обнаружили, что каждое такое словосодержит все буквы алфавита. Друг от друга слова отличаютсятолько порядком букв:

АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.

Такие комбинации называются перестановками.

Пусть дан алфавит из m букв. Перестановкой этих буквназывается слово из m различных букв.Можно сказать, что перестановка — это последовательностьбукв (символов), записанных в определенном порядке.

Подсчитывая число перестановок трех букв, мы перемножимчисла 3·2·1, или 1·2·3. Это число можно описать как произве-дение натуральных чисел от 1 до 3.

Произведение натуральных чисел от 1 до m, т. е. число1 · 2 · 3 · . . . ·m, обозначается m! и называется факториаломчисла m (читается «m факториал»).Для любого натурального m имеет место правило: числоперестановок m букв равно m!

Выпишем несколько первых факториалов:

1! = 1, 2! =2, 3! = 6,

4! = 6·4 = 24, 5! =24·5 = 120, 6! = 120·6 = 720,

7! = 720·7 = 5040, 8! = 5040·8 = 40320,

9! = 40320·9 = 362880, 10! = 3628800.

Мы видим, что факториалы растут очень быстро. Например,число 100! имеет 158цифр.


Из букв А, Б, В и Г составляются трехбуквенные слова. Насколько больше всех возможных слов по сравнению с числомслов с неповторяющимися буквами?Сколькими способами можно переставить буквы в словах катер?катет?В номере a цифр. Каким числом способов можно составить этотномер из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры не повторялись?Дайте ответ при каждом значении a от 1 до 5.

30

Задачи1. Вот задача из арабской книги поматематике.Квадратный сад со стороной в 200ша-гов огорожен стеной. Ворота в сад сде-ланы в середине каждой стороны сада.Напротив восточных ворот в 15 шагахот них посажено дерево. На какое рас-стояние от южных ворот надо отойти,чтобы увидеть дерево?Сможете ли вы составить уравнениедля решения этой задачи?

2. Арабский способ решения квадрат-ного уравнения вида x2 +ax= b пока-зан на рисунке внизу. Попробуйте этимметодом найти положительные корниуравнений:1) x2 +12x = 64; 2) x2 +10x = 39.Второе из них вошло в историю какуравнение Аль-Хорезми.

x4 +4·x ·a4

+4·a2

16= b+

a2

4

3. Виет предложил преобразованиедвучлена x2 + ax, которое аналогичноарабскому геометрическому методу иизвестно как выделение полного квад-рата. Мы обратимся к нему в 8 классе,а пока покажем его на примере:

x2 +4x = x2 +2·2·x =

= x2 +2·2·x+4−4 = (x+2)2−4.

Найдите способом Виета положитель-ные корни уравнений из примера 2.

Беседа 2История

Омар Хайям (1048—1123)

В Средние века центром математи-ческой мысли были страны Восто-ка. В построенном одним из араб-ских калифов Доме Мудрости былисобраны, переведены на арабскийязык и прокомментированы руко-писи древнегреческой математики.Широкую известность, причем нетолько на Востоке, но впоследствиии в Европе, получили Комментариик «Началам» Евклида, написанныеОмаром Хайямом в конце XI века.

Омар Хайям известен всему ми-ру как один из величайших по-этов, книга стихов которого, Ру-байят, переведена на многие язы-ки. По замыслу Омара Хайямабыла построена новая мощнаяастрономическая обсерватория, аего проект календаря предложилочень точные измерения времени,которые требуют корректировкина 1 день лишь через 5 тысяч лет.

Франсуа Виет (1540—1603)

Франсуа Виет считается одним из «отцовалгебры». С его именем связывают введе-ние букв и развитие символьного исчисле-ния. Он был советником при дворе зна-менитого французского короля Генриха IV.Однажды посол Голландии при дворе Ген-риха IV заявил, что ни один французскийматематик не сможет найти ни одного кор-ня уравнения 45-ой степени, предложенно-го его соотечественником А. Ван Рооменом.

Вот первые члены этого уравнения:

x45−45x43+945x41− . . .+45x = K.

Генрих IV призвал своего советника, который на следующийдень предъявил не один, а 23 корня этого уравнения (остальные22 корня были отрицательными, и они как бы не существовалидля математики того времени).

31

Примеры симметричныхмногочленов

1. x+y

2. xy

3. a2 +b2

4. (a−b)2

5. x3 +xy+y3

6. x2y+xy2

7. a5 +a3 +b5 +b3

8. (a−1)(b−1)

9. x+y+z

10. xy+yz+zx

11. xyz

12. (a+b)(b+c)(c+a)

13. a2 +b2 +c2

14. (a−b)2(b−c)2(c−a)2

15. x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y

16. a2bc+b2ac+c2ab

Задача

Выразите через A = x+y и B = xyсимметричные многочлены:

1. (x2−y2)2;

2. x5 +y5;

3. x2(x−1)+y2(y−1).

СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Симметричный многочлен — это многочлен, который не ме-няется при любых перестановках входящих в него букв.

Рассмотрим многочлены с двумя буквами x и y. Самыми просты-ми симметричными многочленами с этими буквами являютсямногочлены

A = x+y и B = xy.

Роль этих многочленов состоит в том, что любой симметричныймногочлен с буквами x и y можно через них выразить.

Примеры

1. x2 +y2 = (x+y)2−2xy= A2−2B

2. x3 +y3 = (x+y)3−3xy(x+y) = A3−3AB

3. (x−y)2 = (x+y)2−4xy= A2−4B

4. x3y+xy3 = xy(x2 +y2) = B(A2−2B) = A2B−2B2

5. x4+y4 = (x2+y2)2−2x2y2 = (A2−2B)2−2B2 = A4−4A2B+2B2

Простейшими симметричными многочленами с тремя буквамиx, y, z считаются многочлены

A = x+y+z, B = xy+yz+zx и C = xyz.

В этом случае также через них можно выразить любой сим-метричный многочлен с буквами x, y, z, однако выкладки будутгромоздкими.

Примеры

1. x2 +y2 +z2 = (x+y+z)2−2(xy+yz+zx) = A2−2B

2. x3 + y3 + z3 = (x+ y+ z)(x2 + y2 + z2− xy− yz− zx) + 3xyz== A(A2−2B−B)+3C = A3−3AB+3C

3. x2yz+y2zx+z2xy= xyz(x+y+z) = AC

Позже мы узнаем знаменитую теорему Виета, которая позволя-ет вычислять значения симметричных многочленов от корнейуравнения любой степени, не находя сами корни. Например, поэтой теореме сумма корней x1 + x2 уравнения x2− x− 10 = 0,решать которое мы еще не умеем, равна 1, а их произведениеx1x2 равно −10.

Documents

18 Глава 2 Многочлены §1. Сложение …school-collection.iv-edu.ru/dlrstore/8abe436f-fd65-4ac1...Чтобы умножить многочлен на многочлен,