17734718 Contrast Enhancement of Medical Images Using Multi Scale Edge Representation

8/8/2019 17734718 Contrast Enhancement of Medical Images Using Multi Scale Edge Representation

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T o a p p e a r i n O p t i c a l E n g i n e e r i n g , S p e c i a l I s s u e o n A d a p t i v e W a v e l e t T r a n s f o r m s

C o n t r a s t E n h a n c e m e n t o f M e d i c a l I m a g e s U s i n g

M u l t i s c a l e E d g e R e p r e s e n t a t i o n

J i a n L u

C e n t e r f o r I m a g e P r o c e s s i n g a n d I n t e g r a t e d C o m p u t i n g

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , D a v i s , C A 9 5 6 1 6

P h o n e : ( 9 1 6 ) 7 5 2 - 2 3 8 7 F a x : ( 9 1 6 ) 7 5 2 - 8 8 9 4

E m a i l : j i a n @ e c e . u c d a v i s . e d u

D e n n i s M . H e a l y J r .

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e

D a r t m o u t h C o l l e g e , H a n o v e r , N H 0 3 7 5 5

P h o n e : ( 6 0 3 ) 6 4 6 - 3 3 2 7 F a x : ( 6 0 3 ) 6 4 6 - 1 3 1 2

E - m a i l : h e a l y @ c u r a c a o . d a r t m o u t h . e d u

J o h n B . W e a v e r

D e p a r t m e n t o f D i a g n o s t i c R a d i o l o g y

D a r t m o u t h - H i t c h c o c k M e d i c a l C e n t e r

L e b a n o n , N H 0 3 7 5 6

P h o n e : ( 6 0 3 ) 6 5 0 - 5 8 4 6 F a x : ( 6 0 3 ) 6 5 0 - 8 2 0 8

E - m a i l : j o h n . b . w e a v e r @ d a r t m o u t h . e d u


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A b s t r a c t

E x p e r i e n c e s u g g e s t s t h e e x i s t e n c e o f a c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e c o n t r a s t o f a g r a y s c a l e i m a g e a n d t h e g r a d i e n t

m a g n i t u d e o f i n t e n s i t y e d g e s i n t h e n e i g h b o r h o o d w h e r e t h e c o n t r a s t i s m e a s u r e d . T h i s o b s e r v a t i o n m o t i v a t e s

t h e d e v e l o p m e n t o f e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e s . I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a s i m p l e a n d e e c t i v e

m e t h o d f o r i m a g e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t b a s e d o n t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f i m a g e s . T h e c o n t r a s t o f

a n i m a g e c a n b e e n h a n c e d s i m p l y b y s t r e t c h i n g o r u p s c a l i n g t h e m u l t i s c a l e g r a d i e n t m a x i m a o f t h e i m a g e . T h i s

m e t h o d o e r s e x i b i l i t y t o s e l e c t i v e l y e n h a n c e f e a t u r e s o f d i e r e n t s i z e s a n d a b i l i t y t o c o n t r o l n o i s e m a g n i c a t i o n .

W e p r e s e n t s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m e n h a n c i n g m e d i c a l i m a g e s a n d d i s c u s s t h e a d v a n t a g e s o f t h i s w a v e l e t

a p p r o a c h o v e r o t h e r e d g e - b a s e d t e c h n i q u e s .

K e y w o r d s :

C o n t r a s t e n h a n c e m e n t , m u l t i r e s o l u t i o n p r o c e s s i n g , m u l t i s c a l e e d g e s , m e d i c a l i m a g e p r o c e s s i n g , w a v e l e t t r a n s -

f o r m s .

1


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1 I N T R O D U C T I O N

I d e n t i f y i n g t h e e d g e s o f l o w c o n t r a s t s t r u c t u r e s i s o n e o f t h e m o s t c o m m o n t a s k s p e r f o r m e d b y t h o s e i n -

t e r p r e t i n g m e d i c a l i m a g e s . L o w c o n t r a s t s t r u c t u r e s n e e d t o b e r e s o l v e d i n a l l k i n d s o f d i g i t a l m e d i c a l i m a g e s ;

e . g . , c o m p u t e d t o m o g r a p h y ( C T ) , m a g n e t i c r e s o n a n c e ( M R ) , d i g i t a l m a m m o g r a p h y , u l t r a s o u n d , a n g i o g r a p h y a n d

n u c l e a r m e d i c i n e . O b t a i n i n g h i g h c o n t r a s t i n t h e r a w i m a g e d i r e c t l y f r o m t h e i m a g i n g d e v i c e i s a l m o s t a l w a y s

e x p e n s i v e i n e x a m i n a t i o n t i m e o r X - r a y d o s e t o t h e p a t i e n t . F o r e x a m p l e , t h e l o w c o n t r a s t i n C T i s o n l y i n c r e a s e d

b y r a i s i n g t h e n u m b e r o f p h o t o n s a b s o r b e d i n e a c h v o x e l , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e X - r a y d o s e .

1

S o , w h i l e

m o s t m e d i c a l i m a g e s c o n t a i n i m p o r t a n t s t r u c t u r e s h a v i n g l o w n a t u r a l c o n t r a s t w i t h t h e s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e s ,

t h e p r o d u c t i o n o f t h e s e i m a g e s g e n e r a l l y i n v o l v e s a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e n e e d f o r e n h a n c e d c o n t r a s t a n d t h e

v a r i o u s c o s t s o f o b t a i n i n g i t . I n t h e s e s i t u a t i o n s , d i g i t a l p o s t p r o c e s s i n g c a n p l a y a v e r y i m p o r t a n t r o l e .

F r o m a n i m a g e p r o c e s s i n g p o i n t o f v i e w , t h e c o n t r a s t p r o b l e m i s s i m i l a r f o r i m a g e s o b t a i n e d f r o m m a n y o f t h e

m e d i c a l i m a g i n g m o d a l i t i e s d e s c r i b e d a b o v e . I n m a n y c a s e s , l o w c o n t r a s t c a n b e c o n s i d e r e d a s a r e s u l t o f \ b a d "

d i s t r i b u t i o n o f p i x e l i n t e n s i t i e s o v e r t h e d y n a m i c r a n g e o f t h e d i s p l a y d e v i c e . T h i s s u g g e s t s t h e a p p l i c a t i o n o f

c o n t r a s t e n h a n c e m e n t m e t h o d s i n a n a t t e m p t t o m o d i f y t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e i m a g e .

T h e u n i v e r s a l l y u s e d m e t h o d o f d i s p l a y i n g l o w c o n t r a s t e d g e s i n m e d i c a l i m a g e s u t i l i z e s l i n e a r i n t e n s i t y s c a l i n g

a n d c l i p p i n g ; t h i s i s c o m m o n l y c a l l e d w i n d o w i n g t h e i m a g e b e c a u s e i t m a p s a p a r t i a l r a n g e ( w i n d o w ) o f t h e

g r a y s c a l e t o t h e f u l l d y n a m i c r a n g e o f t h e d i s p l a y d e v i c e . W i n d o w i n g t h e i m a g e b r i n g s u p t h e c o n t r a s t i n a

c e r t a i n g r a y s c a l e w i n d o w a t t h e e x p e n s e o f s a t u r a t i n g p i x e l s w h i c h f a l l o u t s i d e t h e w i n d o w . S i n c e g r a y s c a l e l e v e l s

o f t e n d r i f t a c r o s s t h e i m a g e , e i t h e r p r i o r k n o w l e d g e o r i n t e n s i v e h u m a n i n t e r a c t i o n i s n e e d e d t o c h o o s e t h e r i g h t

w i n d o w a t e a c h p a r t o f t h e i m a g e . T h e l a b o r i o u s n e s s o f t h i s p r o c e d u r e m o t i v a t e s t h e s e a r c h f o r a d d i t i o n a l , m o r e

a u t o m a t e d t e c h n i q u e s f o r i n c r e a s i n g t h e o v e r a l l c o n t r a s t i n i m a g e s . S u c h m e t h o d s w o u l d a l l o w l o w c o n t r a s t e d g e s

t o b e i d e n t i e d a n d f o l l o w e d m u c h m o r e e a s i l y .

W i n d o w i n g i t s e l f c a n b e r e g a r d e d a s a m e t h o d o f c o n t r a s t e n h a n c e m e n t . I t i s a s p e c i a l c a s e o f a g e n e r a l

t e c h n i q u e k n o w n a s h i s t o g r a m m o d i c a t i o n .

2

W i t h o u t p r i o r k n o w l e d g e a b o u t t h e i m a g e t o b e e n h a n c e d , a

f r e q u e n t l y c h o s e n m e t h o d i s h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n , i n w h i c h o n e a t t e m p t s t o m a k e t h e p i x e l i n t e n s i t i e s u n i f o r m l y

d i s t r i b u t e d o v e r t h e a v a i l a b l e d y n a m i c r a n g e . H o w e v e r , f o r i m a g e s c o n t a i n i n g l a r g e h o m o g e n e o u s r e g i o n s , s u c h a s

a a t b a c k g r o u n d , a p p l y i n g h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n i s n o t v e r y e e c t i v e a n d i n f a c t s e r v e s t o m a g n i f y n o i s e .

A d i e r e n t a p p r o a c h t o c o n t r a s t e n h a n c e m e n t b e g i n s w i t h h e u r i s t i c i d e a s . I t a p p e a r s t h a t t h e c o n t r a s t o f a

g r a y s c a l e i m a g e s c o r r e l a t e s h i g h l y w i t h t h e g r a d i e n t m a g n i t u d e o f i n t e n s i t y e d g e s i n t h e n e i g h b o r h o o d w h e r e t h e

t h e c o n t r a s t i s m e a s u r e d . I n d e e d , a n y a r e a i n a n i m a g e e x h i b i t i n g h i g h l y v i s i b l e e d g e s m u s t b e o f h i g h c o n t r a s t .

T h i s s u g g e s t s t h a t t h e c o n t r a s t o f a n i m a g e c a n b e e n h a n c e d b y a m p l i f y i n g t h e m a g n i t u d e o f e d g e g r a d i e n t s ,

o r t h e d i e r e n c e o f p i x e l i n t e n s i t i e s b e t w e e n t h e b o t h s i d e s o f e d g e s . F r o m t h i s p e r s p e c t i v e i t i s a l s o e v i d e n t

t h a t c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s s p a t i a l l y - d e p e n d e n t . I n p a r t i c u l a r , i t s e e m s r e a s o n a b l e t h a t t h e i n c r e a s e o f c o n t r a s t

s h o u l d b e p e r p e n d i c u l a r t o e d g e c o n t o u r s .

T h e a b o v e o b s e r v a t i o n s h a v e l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e s . T h e r e

a r e b a s i c a l l y t w o t y p e s o f s u c h t e c h n i q u e s t h a t w e k n o w o f . I n t h e r s t t y p e , e . g . i n t h e w o r k o f L e u ,

3

o r i n

t h a t o f B e g h d a d i a n d L e N e g r a t e ,

4

a p o i n t w i s e i n t e n s i t y t r a n s f o r m a t i o n i s s t i l l u s e d . E d g e p i x e l s a r e i d e n t i e d

a n d u s e d a s \ i n d i c e s " i n t h e d e s i g n o f t r a n s f o r m f u n c t i o n s . A s e c o n d t y p e o f e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t

h a s b e e n p r o p o s e d b y K i m a n d Y a r o s l a v s k i i ,

5

a n d b y N e y c e n s s a c .

6

I n t h i s a p p r o a c h , l t e r s a r e a p p l i e d t o t h e

i m a g e t o a m p l i f y t h e m a g n i t u d e o f e d g e g r a d i e n t s . I n f a c t , i t i s i d e n t i c a l t o t h e \ u n s h a r p m a s k i n g "

2

u s e d f o r e d g e

e n h a n c e m e n t . A d i s c u s s i o n o f t h e l i m i t a t i o n s o f t h e a b o v e t w o t y p e s o f t e c h n i q u e s i s g i v e n i n S e c t i o n 5 .

I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e a n e w m e t h o d f o r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t b a s e d o n a m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n

o r i g i n a l l y d e v e l o p e d b y M a l l a t a n d Z h o n g .

7

O u r m e t h o d i s m o t i v a t e d b y t h e f a c t t h a t t h e i n t e n s i t i e s o f p i x e l s

e n c l o s e d w i t h i n a n o b j e c t b o u n d a r y c a n b e r e c o n s t r u c t e d p r e c i s e l y f r o m m u l t i s c a l e e d g e s c o r r e s p o n d i n g t o t h a t

o b j e c t . T y p i c a l l y , t h e s e p i x e l s v a r y s l o w l y i n i n t e n s i t y a c r o s s t h e s m o o t h , h o m o g e n e o u s i n t e r i o r o f t h e o b j e c t , a n d

2


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t h e i r l o c a l v a r i a n c e o r c o n t r a s t n e e d n o t t o b e a l t e r e d . T h e r e f o r e , w e c a n a p p l y a n i n t e n s i t y t r a n s f o r m a t i o n t o

m u l t i s c a l e e d g e s o n l y a n d r e c o n s t r u c t t h e i n t e r i o r p i x e l s b y M a l l a t a n d Z h o n g ' s a l g o r i t h m . T h i s h a s t h e e e c t o f

r e t a i n i n g t h e h o m o g e n e i t y o f i n t e n s i t i e s w i t h i n a g i v e n r e g i o n w h i l e e n h a n c i n g t h e c o n t r a s t b e t w e e n t h e d i e r e n t

r e g i o n s . A s i m p l e a n d e e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n i s t o s t r e t c h o r u p s c a l e t h e g r a d i e n t m a g n i t u d e o f m u l t i s c a l e e d g e s

( \ e d g e s t r e t c h i n g " f o r s h o r t ) . W h e n t h e s t r e t c h i n g i s a p p l i e d t o e d g e g r a d i e n t s a t o n l y s e l e c t e d s c a l e s , f e a t u r e s

a n d o b j e c t s o f c e r t a i n s i z e s w i l l b e e n h a n c e d . I n t h i s w a y , n o i s e m a g n i c a t i o n c a n b e c o n t r o l l e d b y l i m i t i n g e d g e

s t r e t c h i n g a t s m a l l s c a l e s . N o i s e m a g n i c a t i o n c a n b e f u r t h e r r e d u c e d b y u s i n g o u r p r e v i o u s l y d e v e l o p e d d e n o i s i n g

a l g o r i t h m

8

t o p r e l t e r o u t n o i s y e d g e s .

A m o r e e x i b l e v a r i a n t o f t h e a l g o r i t h m p e r f o r m s i m a g e s e g m e n t a t i o n o n t h e b a s i s o f t h e p o s i t i o n a n d s t r u c t u r e

o f t h e m u l t i s c a l e e d g e s , s o t h a t r e g i o n - a d a p t e d l o c a l c o n t r a s t e n h a n c e m e n t m a y b e p e r f o r m e d . I n t h i s a p p r o a c h ,

o n e m a y e m p l o y t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h v a r y w i t h b o t h s c a l e a n d l o c a t i o n , u t i l i z i n g t h e l o c a t i o n a n d s c a l e i n f o r -

m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e d a t a o f t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n . T h i s p e r m i t s o n e t o p l a c e g r e a t e r e m p h a s i s

o n f e a t u r e s f r o m c e r t a i n l o c a l i z e d r e g i o n s w i t h i n t h e i m a g e a s w e l l a s s e l e c t i v e l y e n h a n c i n g o b j e c t s o f a c e r t a i n

s i z e .

T h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : S e c t i o n 2 b r i e y r e v i e w s t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f i m a g e s ;

S e c t i o n 3 d e s c r i b e s t h e m e t h o d f o r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t ; S e c t i o n 4 p r e s e n t s e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f e n h a n c i n g

m e d i c a l i m a g e s ; S e c t i o n 5 d i s c u s s e s t h e a d v a n t a g e s o f t h e w a v e l e t a p p r o a c h o v e r o t h e r e d g e - b a s e d t e c h n i q u e s , a n d

d i r e c t i o n s f o r f u t u r e d e v e l o p m e n t .

2 T H E M U L T I S C A L E E D G E R E P R E S E N T A T I O N O F I M A G E S

T h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f s i g n a l s w a s r s t d e s c r i b e d b y M a l l a t

9

a n d h a s e v o l v e d i n t w o f o r m s ,

b a s e d o n m u l t i s c a l e z e r o - c r o s s i n g s a n d m u l t i s c a l e g r a d i e n t m a x i m a r e s p e c t i v e l y . T h e l a t t e r a p p r o a c h , w h i c h i s

t o b e u s e d i n t h i s p a p e r , w a s o r i g i n a l l y d e v e l o p e d b y M a l l a t a n d Z h o n g ,

7

a n d e x p a n d e d t o a t r e e - s t r u c t u r e d

r e p r e s e n t a t i o n b y L u e t a l

1 0 , 1 1

W e b r i e y r e v i e w t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n f o r 2 - D i m a g e s . F o r a m o r e

d e t a i l e d d e s c r i p t i o n i n c l u d i n g b a c k g r o u n d m a t e r i a l o n w a v e l e t t r a n s f o r m s , s e e R e f e r e n c e s 7 , 9 , a n d 1 1 .

M a n y s t u d i e s o f i m a g e p r o c e s s i n g a n d i n t e r p r e t a t i o n u t i l i z e t h e i m p o r t a n t c o n c e p t o f e d g e f e a t u r e s , w h i c h a r e

c o n s i d e r e d t o o c c u r a t t h o s e p o s i t i o n s w h e r e t h e i m a g e i n t e n s i t y c h a n g e s r a p i d l y . S e v e r a l i m p o r t a n t e d g e d e t e c t i o n

a l g o r i t h m s l o o k f o r l o c a l m a x i m a o f t h e g r a d i e n t o f v a r i o u s s m o o t h e d v e r s i o n s o f t h e i m a g e . T h i s p r o d u c e s a

h i e r a r c h y o f e d g e f e a t u r e s i n d e x e d b y t h e v a r i o u s s c a l e s o r r e s o l u t i o n l e v e l s , o b t a i n e d b y s m o o t h i n g t h e i m a g e t o

v a r i o u s d e g r e e s . I n t h i s w a y , e d g e f e a t u r e s c a n b e c l a s s i e d b y t h e i r c h a r a c t e r i s t i c s c a l e .

M a l l a t a n d Z h o n g f o r m a l i z e d a n d s t u d i e d t h i s c o n c e p t o f m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n w i t h t h e w a v e l e t

t r a n s f o r m a s s o c i a t e d w i t h a p a r t i c u l a r c l a s s o f ( n o n - o r t h o g o n a l ) s p l i n e w a v e l e t s . I n t h e i r a p p r o a c h , a s e p a r a b l e

s p l i n e s c a l i n g f u n c t i o n ( x y ) p l a y s t h e r o l e o f t h e s m o o t h i n g l t e r , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g o r i e n t e d w a v e l e t s a r e

g i v e n b y i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s :

1

( x y ) =

@

@ x

( x y ) a n d

2

( x y ) =

@

@ y

( x y ) ( 1 )

T h e a s s o c i a t e d 2 - D d y a d i c w a v e l e t t r a n s f o r m ( W T ) o f a f u n c t i o n f ( x y ) 2 L

2

( R

2

) a t s c a l e 2

j

, a t p o s i t i o n

( x y ) a n d i n o r i e n t a t i o n k i s d e n e d i n t h e u s u a l w a y :

W

k

2

j

f ( x y ) = f

k

2

j

( x y ) k = 1 2 ( 2 )

3


5/22

w i t h

k

2

j

( x y ) =

1

4

j

k

x

2

j

y

2

j

T h e r e s u l t i s a r e p r e s e n t a t i o n o f f a s a s e q u e n c e o f v e c t o r e l d s i n d e x e d b y s c a l e ,

? ? ? !

W

2

j

f ( x y )

j

w i t h :

? ? ? !

W

2

j

f ( x y ) =

?

W

1

2

j

f ( x y ) W

2

2

j

f ( x y )

( 3 )

A n i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s t h e i n f o r m a t i o n i t p r o v i d e s a b o u t t h e g r a d i e n t , a n d h e n c e t h e e d g e s

o f f ; o n e m a y e a s i l y s h o w t h a t t h e 2 - D W T d e n e d b y ( 2 ) g i v e s t h e g r a d i e n t o f f ( x y ) s m o o t h e d b y ( x y ) a t

d y a d i c s c a l e s . W e c a l l t h i s t h e \ m u l t i s c a l e g r a d i e n t " :

r

2

j

f ( x y )

d e f

=

? ? ? !

W

2

j

f ( x y ) =

?

W

1

2

j

f ( x y ) W

2

2

j

f ( x y )

=

1

2

2 j

r (

2

j f ) ( x y )

=

1

2

2 j

r f

2

j ( x y ) ( 4 )

T h i s m u l t i s c a l e g r a d i e n t r e p r e s e n t a t i o n o f f i s c o m p l e t e . I n d e e d , w h i l e t h e w a v e l e t s u s e d b y M a l l a t a n d Z h o n g

a r e n o t o r t h o g o n a l , t h e y d o f o r m a n i c e f r a m e a n d f m a y b e r e c o v e r e d f r o m

? ? ? !

W

2

j f ( x y )

j

t h r o u g h t h e u s e o f

a n a s s o c i a t e d f a m i l y o f s y n t h e s i s w a v e l e t s . F u r t h e r m o r e , t h e s e c a l c u l a t i o n s m a y b e d o n e e c i e n t l y a n d s t a b l y .

I n f a c t , a l l o f t h e f o r w a r d a n d i n v e r s e t r a n s f o r m c o m p u t a t i o n s a r e a c t u a l l y c a r r i e d o u t o n d i s c r e t i z e d d a t a w i t h

e c i e n t a l g o r i t h m s u t i l i z i n g c o r r e s p o n d i n g l t e r s ; s e e t h e r e f e r e n c e s f o r d e t a i l s .

W h e n t h e 2 - D f u n c t i o n f ( x y ) r e p r e s e n t s t h e i n t e n s i t y o f a n i m a g e , t h e p o s i t i o n s o f r a p i d v a r i a t i o n o f f a r e

o f i n t e r e s t t o u s a s e d g e p o i n t s , a n d w e a r e l e d t o c o n s i d e r t h e l o c a l m a x i m a o f t h e g r a d i e n t m a g n i t u d e a t t h e

v a r i o u s s c a l e s :

2

j

f ( x y )

d e f

= r

2

j

f ( x y ) =

? ? ? !

W

2

j

f ( x y ) =

q

?

W

1

2

j

f ( x y )

2

+

?

W

2

2

j

f ( x y )

2

( 5 )

M o r e p r e c i s e l y , a p o i n t ( x y ) i s c o n s i d e r e d a m u l t i s c a l e e d g e p o i n t a t s c a l e 2

j

i f t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t ,

2

j

f a t t a i n s a l o c a l m a x i m u m t h e r e a l o n g t h e g r a d i e n t d i r e c t i o n

2

j

f g i v e n b y

2

j f ( x y )

d e f

= a r c t a n

W

2

2

j

f ( x y )

W

1

2

j

f ( x y )

( 6 )

F o r e a c h s c a l e , 2

j

w e c o l l e c t t h e e d g e p o i n t s a l o n g w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e g r a d i e n t ( i . e . , t h e

w a v e l e t t r a n s f o r m v a l u e s ) a t t h a t s c a l e . T h e r e s u l t i n g l o c a l g r a d i e n t m a x i m a s e t a t s c a l e 2

j

i s t h e n g i v e n b y ,

A

2

j ( f ) =

(

( x

i

y

i

) r

2

j f ( x

i

y

i

)

2

j

f ( x

i

y

i

) h a s l o c a l m a x i m u m a t

( x

i

y

i

) a l o n g t h e d i r e c t i o n

2

j f ( x

i

y

i

)

)

( 7 )

F o r a J - l e v e l 2 - D W T , t h e c o l l e c t i o n

4


6/22

f S

2

J f ( x y ) A

2

j ( f )

1 j J

g ( 8 )

i s c a l l e d a m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m a g e f ( x y ) . H e r e S

2

J f ( x y ) i s t h e l o w p a s s a p p r o x i m a t i o n o f

f ( x y ) a t t h e c o a r s e s t s c a l e , 2

J

A n i m a g e c a n b e e e c t i v e l y r e c o n s t r u c t e d f r o m i t s m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n a l o n e . M o r e p r e c i s e l y , w e c a n

r e c o n s t r u c t a c l o s e a p p r o x i m a t i o n o f f ( x y ) f r o m t h e d a t a i n ( 8 ) . A n a l g o r i t h m f o r p e r f o r m i n g t h i s r e c o n s t r u c t i o n

w a s d e v e l o p e d b y M a l l a t a n d Z h o n g .

7

I t a t t e m p t s t o n d a w a v e l e t t r a n s f o r m c o n s i s t e n t w i t h t h e s p a r s e d a t a

r e p r e s e n t e d b y ( 8 ) w h i l e e n f o r c i n g a c o n s t r a i n t i m p o s e d b y t h e r e p r o d u c i n g p r o p e r t y o f w a v e l e t t r a n s f o r m ; t h i s

p r o p e r t y i s o f c r i t i c a l i m p o r t a n c e t o M a l l a t a n d Z h o n g ' s a l g o r i t h m . R o u g h l y s p e a k i n g , t h e w a v e l e t - t r a n s f o r m e d

i m a g e s a t d i e r e n t s c a l e s a s d e n e d i n ( 2 ) a r e m u t u a l l y c o n s t r a i n e d o r c o r r e l a t e d . T h e c o n s t r a i n t c a n b e e x p r e s s e d

i n t e r m s o f r e p r o d u c i n g k e r n e l e q u a t i o n s .

1 2

T o e n f o r c e s u c h c o n s t r a i n t o n a s e t o f f u n c t i o n s i n t h e r e c o n s t r u c t i o n

p r o c e s s , M a l l a t a n d Z h o n g p r o j e c t t h e s e f u n c t i o n s o n t o t h e s p a c e c h a r a c t e r i z e d b y t h e r e p r o d u c i n g k e r n e l s .

7

A s

w i l l b e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 , t h i s p r o j e c t i o n o p e r a t i o n i s a l s o e s s e n t i a l t o o u r t e c h n i q u e f o r r e c o n s t r u c t i n g a

c o n t r a s t - e n h a n c e d i m a g e .

T h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f i m a g e s h a s a n i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n t o c o m p a c t i m a g e c o d i n g , a s

w a s d e m o n s t r a t e d b y M a l l a t a n d Z h o n g .

1 3

F o r s o p h i s t i c a t e d i m a g e a n a l y s i s a n d p r o c e s s i n g t a s k s , o n e n e e d s t o

c h a r a c t e r i z e t h e s t r u c t u r e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s e t . T h i s i s b e c a u s e m u l t i s c a l e e d g e s a r e n o t i n d e p e n d e n t p r i m i t i v e s

a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p i s i n v a l u a b l e t o i m a g e a n a l y s i s . T h e s t r u c t u r e o f m u l t i s c a l e e d g e s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d

b y M a l l a t a n d H w a n g ,

1 4

a n d L u e t a l

1 0 , 1 1

T h e w o r k o f M a l l a t a n d H w a n g f o c u s e d o n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f

s i n g u l a r i t i e s b y t h e L i p s c h i t z r e g u l a r i t y w h i c h c a n b e m e a s u r e d f r o m t h e e v o l u t i o n o f m u l t i s c a l e e d g e s i n s c a l e -

s p a c e . T h e w o r k o f L u e t a l l e d t o t h e c o n s t r u c t i o n o f a t r e e - s t r u c t u r e d m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n . B o t h o f

t h e s e a p p r o a c h e s h a v e f o u n d a p p l i c a t i o n s i n i m a g e d e n o i s i n g .

8 , 1 0 , 1 4

3 C O N T R A S T E N H A N C E M E N T B A S E D O N M U L T I S C A L E

E D G E S

3 . 1 T h e M e t h o d

S i n c e t h e m a g n i t u d e o f e d g e g r a d i e n t s c h a r a c t e r i z e s t h e i n t e n s i t y d i e r e n c e b e t w e e n d i e r e n t o b j e c t s a n d

r e g i o n s i n a n i m a g e , c o n t r a s t b e t w e e n o b j e c t s a n d r e g i o n s c a n b e e n h a n c e d b y a p p l y i n g a p p r o p r i a t e t r a n s f o r -

m a t i o n s o n e d g e g r a d i e n t s . W i t h t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n , d i e r e n t t r a n s f o r m a t i o n s c a n b e d e s i g n e d

a n d u s e d a t d i e r e n t s c a l e s , t h u s e n a b l i n g u s t o e m p h a s i z e f e a t u r e s o f c e r t a i n s i z e s . I t i s a l s o p o s s i b l e t o d e s i g n

t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h p l a c e g r e a t e r e m p h a s i s o n f e a t u r e s f r o m c e r t a i n s p a t i a l r e g i o n s w i t h i n t h e i m a g e ; t h i s i s a

s i m p l e c o n s e q u e n c e o f t h e l o c a t i o n i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e d a t a o f t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n .

F o r a g i v e n i m a g e f , t h e s i m p l e s t t r a n s f o r m a t i o n o n i t s e d g e g r a d i e n t s i s a l i n e a r s t r e t c h i n g o f t h e g r a d i e n t

m a g n i t u d e s . I n d e e d , f o r t h e e d g e s e t s A

2

j ( f ) d e n e d a b o v e , w e m a y d e n e t h e c o r r e s p o n d i n g s t r e t c h e d e d g e s e t

w i t h s t r e t c h i n g f a c t o r k > 1 s i m p l y b y m u l t i p l y i n g e a c h g r a d i e n t m a x i m u m v a l u e b y t h e s c a l a r k

k A

2

j ( f )

d e f

=

(

( x

i

y

i

) k r

2

j f ( x

i

y

i

)

( x

i

y

i

) r

2

j f ( x

i

y

i

) 2 A

2

j ( f )

)

( 9 )

N o t i c e t h a t t h i s h a s t h e e e c t o f s c a l i n g t h e l e n g t h o f t h e g r a d i e n t v e c t o r a t e a c h e d g e p o i n t w i t h o u t a e c t i n g

i t s d i r e c t i o n .

5


7/22

W e m a y a p p l y t h e s e s o r t s o f t r a n s f o r m a t i o n s t o e a c h s c a l e i n t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n . W e d i s t i n g u i s h

t w o o b v i o u s v a r i a t i o n s :

C o n s t a n t S t r e t c h i n g . T h e s t r e t c h i n g i s c o n s t a n t a t a l l s c a l e s a n d f e a t u r e s o f a l l s i z e s w i l l b e e q u a l l y e n h a n c e d .

T h e t r a n s f o r m e d m u l t i s c a l e e d g e s e t i s ,

f k A

2

j g

j

k 1 a n d i n d e p e n d e n t o f s c a l e i n d e x j ( 1 0 )

S c a l e V a r i a b l e S t r e t c h i n g . T h e s t r e t c h i n g i s v a r i a b l e d e p e n d i n g o n s c a l e s a n d f e a t u r e s o f d i e r e n t s i z e s w i l l b e

s e l e c t i v e l y e n h a n c e d . T h e t r a n s f o r m e d m u l t i s c a l e e d g e s e t i s

f k

j

A

2

j g

j

k

j

1 a g i v e n f u n c t i o n o f t h e s c a l e i n d e x j ( 1 1 )

I n b o t h c a s e s a b o v e , a c o n t r a s t - e n h a n c e d i m a g e c a n b e r e c o n s t r u c t e d i n t w o s t e p s . F i r s t , t h e w a v e l e t t r a n s f o r m

o f t h e e n h a n c e d i m a g e i s r e c o n s t r u c t e d f r o m t h e t r a n s f o r m e d m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n b y a n a l t e r n a t i n g

p r o j e c t i o n a l g o r i t h m d e s i g n e d b y M a l l a t a n d Z h o n g .

7

S e c o n d , a n i n v e r s e w a v e l e t t r a n s f o r m i s c o m p u t e d t o o b t a i n

t h e e n h a n c e d i m a g e . T h e r e a r e a c o u p l e o f m o d i c a t i o n s w e m a d e t o M a l l a t a n d Z h o n g ' s o r i g i n a l a l g o r i t h m i n

t h e r s t s t e p . W e s t a r t w i t h a m o d i c a t i o n o f t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f ( 8 ) , i n w h i c h t h e A

2

j

( f )

j

a r e r e p l a c e d b y ( 1 0 ) o r ( 1 1 ) . I n t h e i t e r a t i o n o f a l t e r n a t i n g p r o j e c t i o n s , w e a l l o w S

2

J f ( x y ) t o b e u p d a t e d w i t h

i t e r a t i o n s . I n s u c h a w a y , t h e r e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s n o t o n l y r e c o n s t r u c t s i n t e r i o r p i x e l s b e t w e e n e d g e s , b u t a l s o

a l t e r s S

2

J f ( x y ) t o m a k e i t c o n s i s t e n t w i t h m o d i e d m u l t i s c a l e e d g e s . T h i s e n s u r e s t h a t , i n a d d i t i o n t o e n h a n c i n g

t h e e d g e s , t h e c o n t r a s t b e t w e e n o b j e c t s a n d r e g i o n s s e p a r a t e d b y e d g e s i s e n h a n c e d c o r r e s p o n d i n g l y .

L e t u s n o w e x a m i n e t h e e e c t o f m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g w i t h a s i m p l e e x a m p l e . F i g . 1 ( a ) i s a s y n t h e s i z e d

l o w - c o n t r a s t i m a g e o f a c u b e p o s e d i n a n o i s y b a c k g r o u n d . T h e h i s t o g r a m o f t h i s i m a g e i s s h o w n i n F i g . 2 ( a ) . E n -

h a n c e d i m a g e s s h o w n i n F i g s . 1 ( b - d ) a r e o b t a i n e d b y h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n , c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g ,

a n d s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g , r e s p e c t i v e l y . T h e h i s t o g r a m s c o r r e s p o n d i n g t o e n h a n c e d i m a g e s a r e s h o w i n

F i g s . 2 ( b - d ) . I t c a n b e o b s e r v e d t h a t h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n m a g n i e s n o i s e d r a s t i c a l l y b y s p r e a d i n g m o s t w i d e l y

t h e h i g h e s t p e a k ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e i m a g e b a c k g r o u n d ) i n t h e h i s t o g r a m . I d e a l l y , w e w o u l d l i k e t o m i n i m i z e

t h e s p r e a d i n w i d t h o f t h e i n d i v i d u a l p e a k s i n t h e h i s t o g r a m , w h i l e p u l l i n g t h e p e a k c e n t e r p o s i t i o n s a p a r t s o t h a t

t h e c o n t r a s t b e t w e e n t h e i m a g e b a c k g r o u n d a n d t h r e e s u r f a c e s o f t h e c u b e w i l l b e e n h a n c e d . C o n s t a n t m u l t i s c a l e

e d g e s t r e t c h i n g d o e s m u c h b e t t e r t h a n h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n i n t h i s c a s e . I t a p p e a r s t h a t w i d t h s o f t h e i n d i v i d u a l

p e a k s a n d d i s t a n c e s b e t w e e n p e a k s i n t h e h i s t o g r a m a r e e v e n l y s p r e a d . I n t h e h i s t o g r a m c o r r e s p o n d i n g t o s c a l e

v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g , t h e s p r e a d o f p e a k w i d t h i s f u r t h e r r e d u c e d b y u s i n g a s m a l l s t r e t c h i n g f a c t o r a t t h e

n e s t s c a l e , t h u s f u r t h e r r e d u c i n g n o i s e m a g n i c a t i o n . I n S e c t i o n 4 , w e w i l l p r e s e n t a c a s e i n w h i c h w e r u n a

d e n o i s i n g a l g o r i t h m b e f o r e s t r e t c h i n g m u l t i s c a l e e d g e s .

3 . 2 T h e A l g o r i t h m

W e g i v e b e l o w a n o u t l i n e o f c o m p u t a t i o n a l s t e p s f o r i m a g e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t u s i n g t h e m u l t i s c a l e e d g e

r e p r e s e n t a t i o n . I t s u m m a r i z e s t h e p r e s e n t a t i o n m a d e i n S e c t i o n s 2 a n d 3 . 1 . T o h e l p v i s u a l i z e t h e a l g o r i t h m , w e

h a v e t a k e n a l i n e p r o l e ( R o w # 1 2 8 ) f r o m t h e c u b e i m a g e i n F i g . 1 , a n d h a v e p l o t t e d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o l e

a f t e r e a c h s t e p o f t h e a l g o r i t h m i n F i g s . 3 - 6 .

1 . T h e m u l t i s c a l e g r a d i e n t s o f a l o w - c o n t r a s t i m a g e a r e c o m p u t e d t h r o u g h a w a v e l e t t r a n s f o r m u s i n g a w a v e l e t

o f e d g e d e t e c t o r t y p e ( s e e F i g . 3 ) . F o r t h e c h o i c e o f w a v e l e t e d g e d e t e c t o r s , s e e t h e w o r k o f Z h o n g .

1 5

6


8/22

2 . L o c a l g r a d i e n t m a x i m a a r e d e t e c t e d a t a l l s c a l e s a n d c o l l e c t e d i n a r e p r e s e n t a t i o n s e t c o n t a i n i n g t h e p o s i t i o n ,

m a g n i t u d e , a n d p h a s e a n g l e o f a l l l o c a l g r a d i e n t m a x i m a , a n d t h e l o w p a s s a p p r o x i m a t i o n o f t h e i m a g e a t

t h e c o a r s e s t s c a l e u p t o w h i c h t h e w a v e l e t t r a n s f o r m i s c o m p u t e d ( s e e F i g . 4 ) .

3 . T h e m a g n i t u d e o f g r a d i e n t m a x i m a i s s t r e t c h e d b y a c o n s t a n t o r b y a f a c t o r v a r i a b l e a t d i e r e n t s c a l e s .

R e p l a c e a l l g r a d i e n t m a x i m a i n t h e r e p r e s e n t a t i o n s e t w i t h m o d i e d m a g n i t u d e v a l u e s ( s e e F i g . 5 ) .

4 . T h e w a v e l e t t r a n s f o r m o f t h e e n h a n c e d i m a g e i s r e c o n s t r u c t e d f r o m t h e m o d i e d e d g e r e p r e s e n t a t i o n s e t

b y M a l l a t a n d Z h o n g ' s a l g o r i t h m . T h e m o d i e d g r a d i e n t m a x i m a ( i n c l u d i n g t h e i r p o s i t i o n , m a g n i t u d e , a n d

p h a s e a n g l e ) a r e s t r i c t l y r e t a i n e d w h i l e t h e r e s t o f t h e w a v e l e t t r a n s f o r m , i n c l u d i n g t h e c o a r s e s c a l e d a t a , i s

u p d a t e d w i t h i t e r a t i v e p r o j e c t i o n s ( s e e F i g . 6 ) .

5 . T h e i n v e r s e w a v e l e t t r a n s f o r m i s c o m p u t e d t o o b t a i n t h e c o n t r a s t - e n h a n c e d i m a g e ( s e e F i g . 6 ) .

6 . I f t h e e n h a n c e d i m a g e i s o u t o f t h e d y n a m i c r a n g e o f t h e d i s p l a y d e v i c e , r e s c a l e i t p r o p e r l y a n d q u a n t i z e .

C l i p p i n g m a y b e u s e d i n r e s c a l i n g t h e i m a g e a t t h e e x p e n s e o f s a t u r a t i n g p i x e l s a t l o w a n d h i g h e n d s o f t h e

i n t e n s i t y s c a l e .

I n o u r i m p l e m e n t a t i o n , w e u s e d t h e c u b i c s p l i n e w a v e l e t a m o n g t h e f a m i l y o f w a v e l e t e d g e d e t e c t o r s d e s i g n e d

b y M a l l a t a n d Z h o n g .

7 , 1 5

W e c o m p u t e d w a v e l e t t r a n s f o r m s u p t o 6 d y a d i c s c a l e s f o r i m a g e s o f s i z e 2 5 6 2 5 6 o r

5 1 2 5 1 2 . I n t h e r e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s , w e s e t 1 0 t o b e t h e m a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s . I n t h e c a s e w h e r e

t h e r e c o n s t r u c t e d i m a g e i s o u t o f t h e d y n a m i c r a n g e o f t h e d i s p l a y d e v i c e , w e u s e d c l i p p i n g w i t h l i n e a r s c a l i n g t o

m a p t h e i m a g e t o t h e a v a i l a b l e d y n a m i c r a n g e .

4 E X P E R I M E N T A L R E S U L T S

W e n o w p r e s e n t s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e p r o p o s e d m e t h o d t o t h e e n h a n c e m e n t o f

t h r e e m e d i c a l i m a g e s o f d i e r e n t t y p e s : m a m m o g r a p h y , C T , a n d M R . I n t h e r s t t w o c a s e s , r e s u l t s w e r e o b t a i n e d

b y u s i n g ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) w i t h o r w i t h o u t p r e l t e r i n g b y t h e d e n o i s i n g a l g o r i t h m . I n t h e l a s t c a s e , w e e x p e r i m e n t e d

w i t h a v a r i a t i o n o f s i m p l e e d g e s t r e t c h i n g b y m a k i n g i t d e p e n d e n t o n t h e g r a d i e n t m a g n i t u d e o f m u l t i s c a l e e d g e s .

T h e c o n t r a s t i n X - r a y m a m m o g r a m s i s l i m i t e d b y t h e X - r a y d o s e a n d t h e p r e s e n c e o f X - r a y s c a t t e r f r o m d e n s e

r e g i o n s i n t h e b r e a s t . F i g . 7 ( a ) i s a 2 5 6 2 5 6 i m a g e c r o p p e d f r o m a d i g i t i z e d X - r a y m a m m o g r a m . T h i s p o r t i o n

o f t h e m a m m o g r a m c o n t a i n s a l o w - c o n t r a s t m a s s w h i c h m i g h t b e m a l i g n a n t . O t h e r r e g i o n s o f i n t e r e s t i n c l u d e a

c l u s t e r o f m i c r o - c a l c i c a t i o n s . F i g . 7 ( b ) i s t h e e n h a n c e d i m a g e w i t h a c o n s t a n t e d g e s t r e t c h i n g ( k = 5 ) a t 5 s c a l e s .

I t l o o k s m u c h s h a r p e r t h a n t h e o r i g i n a l . F i g . 7 ( c ) i s a r e s u l t o f s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g . I n t h i s c a s e , t h e

s t r e t c h i n g f a c t o r d e c r e a s e s l i n e a r l y a s s c a l e i n c r e a s e s i n o r d e r t o e m p h a s i z e f e a t u r e s o f s m a l l s i z e s . F i n e d e t a i l s

a r e h i g h l y v i s i b l e i n t h i s e n h a n c e d i m a g e . F i g . 7 ( d ) i s a n o t h e r r e s u l t o f s c a l e v a r i a b l e s t r e t c h i n g w i t h e m p h a s i s o n

m i d - s i z e f e a t u r e s . N o t e t h a t t h e s u s p i c i o u s m a s s a n d s h a p e o f t h e m i c r o - c a l c i c a t i o n c l u s t e r a r e c l e a r l y b r o u g h t

u p

T h e c o n t r a s t i n M R i s d o m i n a t e d b y t h e r e l a x a t i o n t i m e s o f t h e t i s s u e s i m a g e d . I n c r e a s i n g t h e d e t e c t a b i l i t y

o f l o w c o n t r a s t s t r u c t u r e s r e q u i r e s e x t r a s c a n n i n g t i m e o r r e d u c e d s p a t i a l r e s o l u t i o n . F i g . 8 ( a ) i s a 2 5 6 2 5 6 M R

i m a g e o f a h u m a n h e a d . W i t h c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5 s c a l e s , i m a g e c o n t r a s t i s i m p r o v e d b u t

n o i s e a l s o b e c o m e s q u i t e v i s i b l e . T h i s e n h a n c e d i m a g e i s s h o w n i n F i g . 8 ( b ) . T o s u p p r e s s n o i s e m a g n i c a t i o n

w i t h s c a l e v a r i a b l e s t r e t c h i n g , w e a p p l i e d a s m a l l s t r e t c h i n g f a c t o r a t t h e n e s t s c a l e ; t h e r e s u l t i s s h o w n i n F i g .

8 ( c ) . I n t h i s c a s e , n o i s e w a s n o t l t e r e d o u t a s m u c h a s d e s i r e d . T h e r e f o r e , w e r a n t h e d e n o i s i n g a l g o r i t h m

b e f o r e s t r e t c h i n g m u l t i s c a l e e d g e s t o l t e r o u t n o i s y o n e s . T h i s d e n o i s i n g a l g o r i t h m i s d e t a i l e d e l s e w h e r e .

8 , 1 0

T h e

e n h a n c e d i m a g e w i t h d e n o i s i n g a l g o r i t h m a n d c o n s t a n t m u l t i s c a l e s t r e t c h i n g i s s h o w n i n F i g . 8 ( d ) .

C o n t r a s t b e t w e e n s o f t t i s s u e s t r u c t u r e s i n X - r a y C T i s n o t o r i o u s l y s m a l l ; i t i s l a r g e l y d e t e r m i n e d b y t h e

e l e c t r o n d e n s i t y w h i c h i s a l m o s t c o n s t a n t i n a l l s o f t t i s s u e s . I n c r e a s i n g c o n t r a s t r e q u i r e s i n c r e a s i n g t h e X - r a y d o s e

7


9/22

t o t h e p a t i e n t . F i g . 9 ( a ) i s a t y p i c a l C T i m a g e o f b r a i n . O n e i m p o r t a n t t a s k h e r e i s t o i d e n t i f y t h e b o u n d a r y

b e t w e e n g r a y m a t t e r a n d w h i t e m a t t e r , w h i c h i s v e r y l o w c o n t r a s t i n C T .

1 6

T h e b o u n d a r y i s u s e d t o e s t i m a t e

t h e s i z e s a n d v o l u m e s o f s t r u c t u r e s i n c o g n i t i v e n e u r o s c i e n c e . T h i s i m a g e p o s e d a c h a l l e n g e t o t h e m e t h o d b a s e d

o n s i m p l e e d g e s t r e t c h i n g . F i g . 9 ( b ) i s t h e b e s t r e s u l t w e o b t a i n e d w i t h ( 9 ) . U s i n g ( 1 0 ) p r o d u c e d s i m i l a r r e s u l t s .

T h e i n a d e q u a c y o f s i m p l e e d g e s t r e t c h i n g f o r t h i s C T i m a g e i s d u e t o l a r g e s e p a r a t i o n b e t w e e n p e a k s i n a b i m o d a l

d i s t r i b u t i o n o f e d g e g r a d i e n t s . T h e p e a k i n t h e l o w g r a d i e n t r a n g e i s c o n t r i b u t e d m o s t l y b y t h e b r a i n t i s s u e , w h i l e

t h e o t h e r p e a k i n t h e h i g h g r a d i e n t r a n g e c o r r e s p o n d s t o t h e b o u n d a r y o f t h e h i g h - c o n t r a s t s k u l l . T h e a b u n d a n c e

o f h i g h - g r a d i e n t b o u n d a r i e s a n d t h e l i m i t e d d y n a m i c r a n g e o f d i s p l a y d e v i c e p r e v e n t e d u s f r o m e n h a n c i n g t h e

b r a i n t i s s u e d e t a i l s c h a r a c t e r i z e d b y s m a l l g r a d i e n t s . W e e x p e r i m e n t e d w i t h a v a r i a t i o n o f s i m p l e e d g e s t r e t c h i n g :

t h e s t r e t c h i n g f a c t o r w a s m a d e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e m a g n i t u d e o f e d g e g r a d i e n t s . T h e r e s u l t s a r e s h o w n

i n F i g . 9 ( c ) a n d 9 ( d ) . T h e s e t w o i m a g e s a r e d i e r e n t o n l y i n t h e w a y o f r e q u a n t i z a t i o n ; i . e . , w i t h o u t a n d w i t h

c l i p p i n g , r e s p e c t i v e l y ( s e e S e c t i o n 3 . 2 ) . T h e o n e w i t h c l i p p i n g g a i n s h i g h e r c o n t r a s t i n t h e b r a i n a t t h e e x p e n s e

o f s a t u r a t i n g p i x e l s a t t h e h i g h a n d l o w e n d s o f t h e g r a y s c a l e . H o w e v e r , t h e o v e r a l l a p p e a r a n c e o f b o t h F i g s . 9 ( c )

a n d 9 ( d ) i s m u c h b e t t e r t h a n t h a t c a n b e o b t a i n e d b y g r a y s c a l e w i n d o w i n g .

5 D I S C U S S I O N

O u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s u g g e s t t h a t t h e p r o p o s e d m e t h o d f o r i m a g e c o n t r a s t e n h a n c e -

m e n t i s v e r y e e c t i v e . I t i s a l s o v e r y s i m p l e f o r i m a g e s r e p r e s e n t e d b y m u l t i s c a l e e d g e s . I n t h i s s e c t i o n , w e w o u l d

l i k e t o c o m p a r e o u r m e t h o d t o o t h e r e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e s , a n d g i v e s o m e i n d i c a t i o n s o f

f u r t h e r d e v e l o p m e n t .

5 . 1 A C o m p a r i s o n w i t h O t h e r E d g e - B a s e d T e c h n i q u e s

A s w e r e v i e w e d i n S e c t i o n 1 , t h e i d e a o f u s i n g e d g e s f o r i m a g e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s n o t c o m p l e t e l y n e w .

H o w e v e r , w e f e e l t h a t n o n e o f t h e p r e v i o u s l y d e v e l o p e d t e c h n i q u e s e x p l o i t e d t h e v a l u e o f e d g e s f u l l y a n d e c i e n t l y .

L e u

3

w a s m o t i v a t e d t o e n h a n c e t h e c o n t r a s t b y i n c r e a s i n g t h e i n t e n s i t y d i e r e n c e b e t w e e n n e i g h b o r i n g r e g i o n s

o f n e a r l y c o n s t a n t i n t e n s i t y . H e d e r i v e d a h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n f u n c t i o n f r o m p i x e l s o n e d g e c o n t o u r s , a n d

a p p l i e d t h e s a m e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e e n t i r e i m a g e . ( T h e a c t u a l c o m p u t a t i o n w a s s l i g h t l y m o d i e d t o m i n i m i z e

t h e n u m b e r o f o n e - t o - m a n y m a p p i n g s ) . R e c a l l t h a t w e h a v e f o u n d t h a t c o n t r a s t i n c r e a s e m u s t b e p e r p e n d i c u l a r

t o e d g e c o n t o u r s . L e u ' s a p p r o a c h s e e m s a b i t i n d i r e c t a n d s u b - o p t i m a l b e c a u s e t h e h i s t o g r a m d o e s n o t p r o v i d e

g o o d s p a t i a l l o c a l i z a t i o n o f e d g e s . I t w o u l d b e b e t t e r t o d i r e c t l y w o r k o n e d g e s t h a n o n t h e i r h i s t o g r a m .

T h e t e c h n i q u e o f B e g h d a d i a n d L e N e g r a t e

4

w a s b u i l t u p o n t h e s p a t i a l l o c a l i z a t i o n o f e d g e s . T h e y i d e n t i e d

e d g e c o n t o u r s a n d u s e d t h e m a s i n d i c e s i n t h e d e s i g n o f i n t e n s i t y t r a n s f o r m f u n c t i o n s . U s i n g t h e s e t r a n s f o r m

f u n c t i o n s , p i x e l i n t e n s i t i e s o n t h e d i e r e n t s i d e s o f a n e d g e c o n t o u r w e r e e i t h e r i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d d e p e n d i n g

o n i f t h e y a r e g r e a t e r o r s m a l l e r t h a n t h e a v e r a g e p i x e l i n t e n s i t y o n t h e e d g e c o n t o u r . A q u e s t i o n a r i s e s w h e n

o n e t r i e s t o i m p l e m e n t s u c h a t e c h n i q u e : I n w h a t r a n g e o n e i t h e r s i d e o f t h e e d g e c o n t o u r s h o u l d o n e a p p l y

a c e r t a i n t r a n s f o r m f u n c t i o n ? T h e r e i s n o s i m p l e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n . I n t h e i r i m p l e m e n t a t i o n , B e g h d a d i

a n d L e N e g r a t e u s e d a w i n d o w . T h e c e n t e r o f t h e w i n d o w w a s p l a c e d a t t h e p i x e l w h o s e i n t e n s i t y i s t o b e

t r a n s f o r m e d . A s i n g l e e d g e c o n t o u r w a s e s t i m a t e d i n s i d e t h e w i n d o w . T h e n t h e p i x e l i n t e n s i t y w a s c o m p a r e d

t o t h e i n t e n s i t y o f t h e e d g e c o n t o u r , a n d w a s t h e n i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d . T h e c h o i c e o f a w i n d o w s i z e i s n o t

e a s y . I n o u r o p i n i o n , t h e r e i s n o \ r i g h t " s i z e a t a l l i n s o m e c i r c u m s t a n c e s . F o r e x a m p l e , t h e c u b e i m a g e i n F i g .

1 h a s t h r e e v i s i b l e s u r f a c e s , e a c h b o u n d e d b y f o u r s e g m e n t s o f e d g e c o n t o u r s w h i c h s e p a r a t e o n e s u r f a c e f r o m

t h e o t h e r t w o a n d f r o m t h e b a c k g r o u n d . B y B e g h d a d i a n d L e N e g r a t e ' s t e c h n i q u e , o n e a c h s u r f a c e o n e w i l l h a v e

d i e r e n t t r a n s f o r m f u n c t i o n s f o r p i x e l s c l o s e t o t h e d i e r e n t e d g e s . T h e c o n s e q u e n c e i s t h a t e a c h s u r f a c e c a n n o t

b e u n i f o r m l y e n h a n c e d a n d w i l l t h u s a p p e a r d i s t o r t e d . I t i s n o t c l e a r t o u s h o w t o s o l v e t h i s p r o b l e m c o m p l e t e l y

s i m p l y b y u s i n g a g o o d w i n d o w .

8


10/22

T h e a p p r o a c h o f K i m a n d Y a r o s l a v s k i i ,

5

a n d o f N e y c e n s s a c

6

i s s i m i l a r t o a n \ u n s h a r p m a s k i n g " u s e d i n e d g e

e n h a n c e m e n t . T h e p r i n c i p l e o f u n s h a r p m a s k i n g i s w e l l u n d e r s t o o d ( S e e , e . g . P . 2 4 9 i n J a i n

2

) . F i g . 1 0 s h o w s

a p r o l e o f a s m o o t h e d s t e p e d g e b e f o r e a n d a f t e r u n s h a r p m a s k i n g . O n e c a n s e e i m m e d i a t e l y a d e c i e n c y o f

t h i s o p e r a t i o n w h e n i t i s u s e d f o r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t . U n s h a r p m a s k i n g i n c r e a s e s o n l y l o c a l l y t h e i n t e n s i t y

d i e r e n c e b e t w e e n b o t h s i d e s o f t h e e d g e . I f w e c o n s i d e r t h a t t h e s t e p e d g e i n F i g . 1 0 s e p a r a t e s t w o h o m o g e n e o u s

r e g i o n s , t h e c o n t r a s t b e t w e e n t h e m i s n o t e n h a n c e d , b u t t h e e d g e i s . I n p r a c t i c e , w h e n a n i m a g e c o n t a i n s d e n s e l y

l o c a t e d e d g e s a n d r e g i o n s s e p a r a t e d b y e d g e s a r e s m a l l i n s u p p o r t , u n s h a r p m a s k i n g w i l l m a k e a p e r c e i v e d i m a g e o f

h i g h e r c o n t r a s t . I n a m o r e g e n e r a l s i t u a t i o n , a s i n t h e c a s e o f F i g . 1 0 , w e n e e d t o e x t e n d t h e i n c r e a s e d / d e c r e a s e d

i n t e n s i t i e s b e y o n d t h e s m a l l n e i g h b o r h o o d o f t h e e d g e .

B y u s i n g t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n , w e n d t h a t w e a r e a b l e t o m e e t t h e s e d i c u l t i e s w i t h s o m e

s u c c e s s . T o e n h a n c e i m a g e c o n t r a s t , w e a m p l i f y t h e g r a d i e n t m a g n i t u d e o f m u l t i s c a l e e d g e s w h i l e l e a v i n g t h e i r

p h a s e a n g l e s u n c h a n g e d . T h i s w i l l e n s u r e t h a t t h e c o n t r a s t i n c r e a s e i s p e r p e n d i c u l a r t o e d g e c o n t o u r s . T h e r e i s n o

n e e d t o d e c i d e h o w f a r a w a y f r o m t h e e d g e s h o u l d o n e i n c r e a s e o r d e c r e a s e t h e p i x e l i n t e n s i t i e s ; t h e r e c o n s t r u c t i o n

p r o c e s s w i l l t a k e c a r e o f i t . A l l i n t e r i o r p i x e l s i n a r e g i o n a r e d e t e r m i n e d f r o m e d g e s b o u n d i n g t h e r e g i o n , i n a

m a n n e r r e m i n i s c e n t o f t h e s o l u t i o n o f a b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m . I n l i g h t o f t h i s , i t i s p o s s i b l e t o s e e o n e d i c u l t y

t h a t B e g h d a d i a n d L e N e g r a t e ' s t e c h n i q u e i s f a c i n g : o n e c a n n o t r e c o n s t r u c t t h e i n t e r i o r p i x e l s f r o m o n l y a

s e g m e n t o f t h e r e g i o n b o u n d a r y a n d e x p e c t t h e r e c o n s t r u c t e d p i x e l s t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e f u l l b o u n d a r y .

T h e r e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s a l s o e l i m i n a t e s t h e d e c i e n c y o f u n s h a r p m a s k i n g f o r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t . H e r e

t h e p r o j e c t i o n b y t h e w a v e l e t r e p r o d u c i n g k e r n e l s p l a y s a c r i t i c a l r o l e . T h i s o p e r a t i o n p r o p a g a t e s t h e h i g h v a l u e s

o f t h e a m p l i e d e d g e g r a d i e n t s p r o p e r l y t o t h e i n t e r i o r o f a r e g i o n a n d e n f o r c e s c o n s i s t e n c y o f d a t a a t a l l s c a l e s .

I t a p p e a r s t h a t s o m e o f t h e d i c u l t i e s e n c o u n t e r e d b y o t h e r e d g e - b a s e d t e c h n i q u e s c a n b e h a n d l e d e c i e n t l y

a n d a d a p t i v e l y b y u s i n g a m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n . A d d i t i o n a l l y , w o r k i n g o n m u l t i p l e s c a l e s g i v e s u s

e x i b i l i t y t o s e l e c t i v e l y e n h a n c e f e a t u r e s o f d i e r e n t s i z e s a n d a b i l i t y t o c o n t r o l n o i s e m a g n i c a t i o n . T h e r e a r e

s t i l l p o t e n t i a l s t h a t w e c a n e x p l o r e w i t h a m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n .

5 . 2 D i r e c t i o n s f o r F u r t h e r D e v e l o p m e n t

T h e e n h a n c e m e n t o f t h e C T i m a g e i n S e c t i o n 4 s u g g e s t e d t h a t o u r t e c h n i q u e c a n b e m a d e m o r e a d a p t i v e a n d

e e c t i v e b y d e s i g n i n g a g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m a t i o n t h a t i s a f u n c t i o n o f b o t h s c a l e a n d g r a d i e n t m a g n i t u d e o f

e d g e s . S u c h a f u n c t i o n w i l l b e u s e f u l f o r o t h e r p u r p o s e s . F o r e x a m p l e , w h e n w e e m p l o y a s m a l l s t r e t c h i n g f a c t o r

a t n e s c a l e s , n o i s e m a g n i c a t i o n i s r e d u c e d a s n o i s e i s o f t e n c o n c e n t r a t e d a t s m a l l s c a l e s . H o w e v e r , t h i s m a y

d i s t o r t t h e h i g h f r e q u e n c y c o m p o n e n t s o f m a j o r e d g e s . A s a c o n s e q u e n c e , t h e i m a g e m a y b e c o m e a l i t t l e b l u r r e d .

O f c o u r s e , w e c o u l d r u n a s e p a r a t e e d g e - p r e s e r v i n g d e n o i s i n g a l g o r i t h m a s w e d i d i n t h e e x p e r i m e n t . H o w e v e r , i t

i s a l s o p o s s i b l e t o s o l v e t h e b l u r r i n g p r o b l e m b y d e s i g n i n g a g r a d i e n t - d e p e n d e n t t r a n s f o r m a t i o n .

R e s e a r c h i n h u m a n v i s u a l p e r c e p t i o n r e v e a l s t h a t t h e c o n t r a s t s e n s i t i v i t y o f t h e h u m a n v i s u a l s y s t e m t o v i s u a l

s t i m u l i o b e y s W e b e r ' s l a w

1 7

f o r a w i d e r a n g e o f i n t e n s i t i e s . I f w e d e n o t e t h e g r a y s c a l e i n t e n s i t y b y f , t h e n

a c c o r d i n g t o W e b e r ' s l a w , a u n i f o r m c h a n g e i n i n t e n s i t y , f , d o e s n o t p r o d u c e u n i f o r m c h a n g e i n p e r c e p t i o n .

R a t h e r , t h e r e l a t i v e c h a n g e , f = f , i s p e r c e i v e d a s u n i f o r m c h a n g e i n i n t e n s i t y . T h i s i m p l i e s t h a t t h e g r a d i e n t

m a g n i t u d e a t a n e d g e a l o n e d o e s n o t r e e c t a c c u r a t e l y t h e v i s u a l c o n t r a s t . I f a n e d g e g r a d i e n t i s s c a l e d b y t h e

m a g n i t u d e o f t h e e d g e p i x e l , i t w i l l b e a c l o s e r m e a s u r e o f c o n t r a s t . I t i s c l e a r t h a t b y s t r e t c h i n g m u l t i s c a l e e d g e s

w i t h ( 1 0 ) o r ( 1 1 ) , t h e c o n t r a s t i s n o t u n i f o r m l y e n h a n c e d f o r d a r k a n d b r i g h t a r e a s i n t h e i m a g e . T o u n i f o r m l y

e n h a n c e t h e c o n t r a s t f o r a l l i n t e n s i t y v a l u e s , w e c a n r s t t a k e a l o g a r i t h m i c o p e r a t i o n o n t h e i n p u t i m a g e , a n d

t h e n u s e o u r t e c h n i q u e a s d e s c r i b e d . F i n a l l y , w e n e e d a n e x p o n e n t i a l o p e r a t i o n t o g e t t h e e n h a n c e d i m a g e .

A n a t u r a l d e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d s p r e s e n t e d h e r e i n v o l v e s t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e -

s e n t a t i o n s w h i c h v a r y i n s p a c e a s w e l l a s i n s c a l e . T h a t i s , w e c o n s i d e r t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e f o r m

9


11/22

( x

i

y

i

) r

2

j

f ( x

i

y

i

) ! ( x

i

y

i

) k

j

( x

i

y

i

) r

2

j

f ( x

i

y

i

)

f o r e a c h e d g e p o i n t ( x

i

y

i

) i n t h e e d g e s e t s A

2

j ( f ) W e a r e s t u d y i n g a n a d a p t i v e a p p r o a c h t o t h e c o n s t r u c t i o n

o f t h e s c a l i n g f u n c t i o n s k

j

( x

i

y

i

) T h i s b e g i n s w i t h s e g m e n t a t i o n o f t h e i m a g e d o m a i n i n t o v a r i o u s s u b r e g i o n s

o f i n t e r e s t , o n t h e b a s i s o f t h e o r i g i n a l e d g e s e t s t r u c t u r e . T h e e d g e s a r e g r o u p e d i n t o t h e v a r i o u s s u b r e g i o n s ,

e n h a n c e d a p p r o p r i a t e l y , a n d t h e n t h e r e c o n s t r u c t i o n i s p e r f o r m e d .

B e f o r e c l o s i n g t h e d i s c u s s i o n , w e w o u l d l i k e t o p o i n t o u t t h a t s i m i l a r c o n t r a s t e n h a n c e m e n t r e s u l t s m a y b e

o b t a i n e d i n t h e i s o t r o p i c s t r e t c h i n g c a s e s ( c o n s t a n t a n d s c a l e v a r i a b l e ) b y s t r e t c h i n g a l l m u l t i s c a l e g r a d i e n t s , i . e . ,

a l l t h e w a v e l e t t r a n s f o r m c o e c i e n t s . I n t h i s w a y , t h e m u l t i s c a l e g r a d i e n t s n e e d n o t t o b e r e c o n s t r u c t e d f r o m t h e i r

l o c a l m a x i m a . H o w e v e r , i n o r d e r t o a v o i d t h e u n d e s i r e d p h e n o m e n o n i n u n s h a r p m a s k i n g ( F i g . 1 0 ) , w e w o u l d

s t i l l h a v e t o r u n t h e i t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s t o m a k e S

2

J f c o n s i s t e n t w i t h s c a l e d m u l t i s c a l e g r a d i e n t s .

W e g e n e r a l l y c h o o s e t o w o r k w i t h t h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n b e c a u s e i t p r o v i d e s u s w i t h m o r e e x i b i l i t y .

F o r e x a m p l e , d e n o i s i n g i s p e r f o r m e d s i m p l y i n m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n b y t r i m m i n g o a n u m b e r o f g r a d i e n t

m a x i m a . F u r t h e r m o r e , i n t h e c a s e o f a n i s o t r o p i c s t r e t c h i n g , o n e s e g m e n t s t h e i m a g e i n t o s u b r e g i o n s u s i n g t h e

e d g e s a n d t h e n s c a l e s t h e e d g e s a c c o r d i n g t o t h e s u b r e g i o n t o w h i c h t h e y b e l o n g . I t i s s i m p l e s t t o t h e n a l l o w t h e

r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m t o d e t e r m i n e t h e s c a l i n g o f t h e n o n - e d g e p o r t i o n s .

6 C O N C L U S I O N

W e h a v e p r e s e n t e d a d e s c r i p t i o n o f a n e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t m e t h o d , a n d d e m o n s t r a t e d i t s u s e

w i t h i m a g e s d r a w n f r o m t h r e e i m p o r t a n t m e d i c a l i m a g i n g m o d a l i t i e s .

E d g e - b a s e d e n h a n c e m e n t o e r s c e r t a i n a t t r a c t i v e a d v a n t a g e s o v e r h i s t o g r a m - b a s e d t e c h n i q u e s . F o r e x a m -

p l e , w e w a n t c o n t r a s t e n h a n c e m e n t t o t a k e p l a c e a l o n g t h e d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o e d g e s i n t h e i m a g e , a n d

h i s t o g r a m - b a s e d t e c h n i q u e s d o n o t p r o v i d e s u c h s p a t i a l a n d o r i e n t a t i o n l o c a l i z a t i o n .

T h e c o n c e p t o f e d g e - b a s e d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s n o t c o m p l e t e l y n e w ; h o w e v e r , p r e v i o u s l y d e v e l o p e d t e c h -

n i q u e s a l l e x p e r i e n c e c e r t a i n d i c u l t i e s i n i m p l e m e n t i n g t h e b a s i c i d e a . W e h a v e p r e s e n t e d s o m e e v i d e n c e t h a t

m a n y o f t h e s e d i c u l t i e s c a n b e a d d r e s s e d i n a n e e c t i v e w a y b y u s i n g a w a v e l e t b a s e d m u l t i s c a l e e d g e r e p r e -

s e n t a t i o n o f i m a g e s . A d d i t i o n a l l y , t h e w a v e l e t a p p r o a c h o e r s , a m o n g o t h e r a d v a n t a g e s t o b e f u r t h e r e x p l o r e d ,

e x i b i l i t y t o s e l e c t i v e l y e n h a n c e f e a t u r e s o f d i e r e n t s i z e s a n d i n d i e r e n t l o c a t i o n s , a s w e l l a s t h e a b i l i t y t o c o n t r o l

n o i s e m a g n i c a t i o n .

7 A C K N O W L E D G M E N T

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y A R P A g r a n t D O D F 4 9 6 0 - 9 3 - 1 - 0 5 6 7 a n d a c o n t r a c t f r o m t h e N a v a l S u r f a c e

W a r f a r e C e n t e r . F i g u r e 7 ( a ) w a s p r o v i d e d b y t h e H . L e e M o t t C a n c e r a n d R e s e a r c h C e n t e r , U S F , T a m p a , F L

3 3 6 1 2 .

8 R E F E R E N C E S

1 ] H . H . B a r r e t t a n d W . S w i n d e l l , R a d i o l o g i c a l I m a g i n g , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 8 1 , p p . 4 1 0 - 4 1 4 .

1 0


12/22

2 ] A . K . J a i n , F u n d a m e n t a l s o f D i g i t a l I m a g e P r o c e s s i n g , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N J , 1 9 8 9 .

3 ] J . - G . L e u , \ I m a g e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t b a s e d o n t h e i n t e n s i t i e s o f e d g e p i x e l s , " C V G I P : G r a p h i c a l M o d e l s

a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 5 4 , N o . 6 , p p . 4 9 7 - 5 0 6 , 1 9 9 2 .

4 ] A . B e g h d a d i a n d A . L e N e g r a t e , \ C o n t r a s t e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e b a s e d o n l o c a l d e t e c t i o n o f e d g e s , "

C o m p u t e r V i s i o n , G r a p h i c s , a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 4 6 , p p . 1 6 2 - 1 7 4 , 1 9 8 9 .

5 ] V . K i m a n d L . Y a r o s l a v s k i i , \ R a n k a l g o r i t h m s f o r p i c t u r e p r o c e s s i n g , " C o m p u t e r V i s i o n , G r a p h i c s , a n d

I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 3 5 , p p . 2 3 4 - 2 5 9 , 1 9 8 6 .

6 ] F . N e y c e n s s a c , \ C o n t r a s t e n h a n c e m e n t u s i n g t h e L a p l a c i a n - o f - a - G a u s s i a n l t e r , " C V G I P : G r a p h i c a l M o d -

e l s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 5 5 , N o . 6 , p p . 4 4 7 - 4 6 3 , 1 9 9 3 .

7 ] S . G . M a l l a t a n d S . Z h o n g , \ C h a r a c t e r i z a t i o n o f s i g n a l s f r o m m u l t i s c a l e e d g e s , " I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l .

a n d M a c h i n e I n t e l l . , v o l . P A M I - 1 4 , p p . 7 1 0 - 7 3 2 , J u l y 1 9 9 2 .

8 ] J . L u , J . B . W e a v e r a n d D . M . H e a l y , J r . , \ N o i s e r e d u c t i o n w i t h m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n a n d p e r -

c e p t u a l c r i t e r i a , " i n P r o c . o f I E E E - S P I n t l . S y m p . o n T i m e - F r e q u e n c y a n d T i m e - S c a l e A n a l y s i s , V i c t o r i a ,

B C , O c t . 1 9 9 2 , p p . 5 5 5 - 5 5 8 .

9 ] S . G . M a l l a t , \ Z e r o - c r o s s i n g s o f a w a v e l e t t r a n s f o r m , " I E E E T r a n s . I n f o r m . T h e o r y , v o l . I T - 3 7 , p p . 1 0 1 9 -

1 0 3 3 , J u l y 1 9 9 1 .

1 0 ] J . L u , \ S i g n a l r e c o v e r y a n d n o i s e r e d u c t i o n w i t h w a v e l e t s , " P h . D . D i s s e r t a t i o n , D a r t m o u t h C o l l e g e ,

H a n o v e r , N H , 1 9 9 3 .

1 1 ] J . L u , D . M . H e a l y , J r . a n d J . B . W e a v e r , \ A t r e e - s t r u c t u r e d m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n a n d a p p l i c a -

t i o n s , " i n p r e p a r a t i o n .

1 2 ] A . G r o s s m a n n a n d J . M o r l e t , \ D e c o m p o s i t i o n o f H a r d y f u n c t i o n s i n t o s q u a r e i n t e g r a b l e w a v e l e t s o f c o n s t a n t

s h a p e , " S I A M J . M a t h . , V o l . 1 5 , p p . 7 2 3 - 7 3 6 , 1 9 8 4 .

1 3 ] S . G . M a l l a t a n d S . Z h o n g , \ C o m p a c t i m a g e c o d i n g f r o m m u l t i s c a l e e d g e s , " i n P r o c . I n t l . C o n f . A c o u s t .

S p e e c h a n d S i g n a l P r o c . , T o r o n t o , M a y 1 9 9 1 .

1 4 ] S . G . M a l l a t a n d W . - L . H w a n g , \ S i n g u l a r i t y d e t e c t i o n a n d p r o c e s s i n g w i t h w a v e l e t s , " I E E E T r a n s . I n f o r m .

T h e o r y , V o l . 3 8 N o . 2 , p p . 6 1 7 - 6 4 3 , M a r c h 1 9 9 2 .

1 5 ] S . Z h o n g , \ S i g n a l r e p r e s e n t a t i o n f r o m w a v e l e t t r a n s f o r m m a x i m a , " P h . D . D i s s e r t a t i o n , N e w Y o r k U n i v e r -

s i t y , 1 9 9 0 .

1 6 ] R . A . B r o o k s , G . D i C h i r o a n d M . R . K e l l e r , \ E x p l a n a t i o n o f c e r e b r a l w h i t e - g r a y c o n t r a s t i n c o m p u t e d

t o m o g r a p h y , " J o u r n a l o f C o m p u t e r A s s i s t e d T o m o g r a p h y , V o l . 4 , N o . 4 , p p . 4 8 9 - 4 9 1 .

1 7 ] T . N . C o r n s w e e t , V i s u a l P e r c e p t i o n , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 0 .

1 1


13/22

( a ) ( b )

( c ) ( d )

F i g u r e 1 : E n h a n c e m e n t o f a s i m u l a t e d i m a g e . ( a ) A s y n t h e s i z e d l o w - c o n t r a s t i m a g e o f a c u b e p o s e d i n a n o i s y

b a c k g r o u n d ; ( b ) e n h a n c e d b y h i s t o g r a m e q u a l i z a t i o n ; ( c ) e n h a n c e d b y c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 6

d y a d i c s c a l e s , k = 4 ; ( d ) e n h a n c e d b y s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g a t 6 d y a d i c s c a l e s , k

1

= 2 k

2

= k

3

= =

k

6

= 4 . H i s t o g r a m s o f t h e o r i g i n a l a n d e n h a n c e d i m a g e s a r e s h o w n i n F i g . 2 .

1 2


14/22

( a ) ( b )

( c ) ( d )

F i g u r e 2 : H i s t o g r a m s o f t h e o r i g i n a l a n d e n h a n c e d i m a g e s i n F i g . 1 . ( a ) T h e h i s t o g r a m o f t h e o r i g i n a l l o w - c o n t r a s t

i m a g e i n F i g . 1 ( a ) ; ( b ) t h e e q u a l i z e d h i s t o g r a m ; ( c ) t h e h i s t o g r a m o f t h e i m a g e e n h a n c e d b y c o n s t a n t m u l t i s c a l e

e d g e s t r e t c h i n g ; ( d ) t h e h i s t o g r a m o f t h e i m a g e e n h a n c e d b y s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g .

1 3


15/22

f ( x )

( a )

W

2

1

f

W

2

2

f

W

2

3

f

W

2

4

f

W

2

5 f

S

2

5

f

( b )

F i g u r e 3 : A l i n e p r o l e a c r o s s t h e l o w - c o n t r a s t c u b e i m a g e a n d t h e w a v e l e t t r a n s f o r m o f t h e l i n e p r o l e . ( a ) R o w

# 1 2 8 a c r o s s t h e l o w - c o n t r a s t c u b e i m a g e i n F i g . 1 ( a ) ; ( b ) T h e d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m o f t h e l i n e p r o l e a t 5

d y a d i c s c a l e s , w h i c h g e n e r a t e s m u l t i s c a l e g r a d i e n t s .

1 4


16/22

A

2

1

( f )

A

2

2

( f )

A

2

3

( f )

A

2

4

( f )

A

2

5

( f )

S

2

5

f

F i g u r e 4 : T h e m u l t i s c a l e e d g e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l i n e p r o l e i n F i g . 3 ( a ) . T h e r e p r e s e n t a t i o n s e t c o n t a i n s t h e

p o s i t i o n s , g r a d i e n t m a g n i t u d e s , a n d s i g n s o f m u l t i s c a l e e d g e s , p l u s t h e c o a r s e s t a p p r o x i m a t i o n o f t h e l i n e p r o l e

a t s c a l e 2

5

1 5


17/22

k

1

A

2

1

( f )

k

2

A

2

2

( f )

k

3

A

2

3

( f )

k

4

A

2

4 ( f )

k

5

A

2

5

( f )

S

2

5

f

F i g u r e 5 : L i n e a r s t r e t c h i n g o f m u l t i s c a l e e d g e s . I n t h i s c a s e , t h e s t r e t c h i n g f a c t o r s a r e : k

1

= 2 k

2

= k

3

= k

4

=

k

5

= 4

1 6


18/22

f ( x )

( a )

d

W

2

1

f

d

W

2

2

f

d

W

2

3

f

d

W

2

4

f

d

W

2

5

f

d

S

2

5

f

( b )

F i g u r e 6 : R e c o n s t r u c t i o n o f a c o n t r a s t - e n h a n c e d l i n e p r o l e . ( a ) R e c o n s t r u c t e d b y a n i n v e r s e w a v e l e t t r a n s f o r m

o f ( b ) ; ( b ) r e c o n s t r u c t e d f r o m F i g . 5 b y a n a l g o r i t h m d e v e l o p e d b y M a l l a t a n d Z h o n g .

1 7


19/22

( a ) ( b )

( c ) ( d )

F i g u r e 7 : E n h a n c e m e n t o f a m a m m o g r a p h i c i m a g e . ( a ) A p o r t i o n o f a d i g i t i z e d X - r a y m a m m o g r a m ; ( b ) e n h a n c e d

b y c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5 d y a d i c s c a l e s , k = 5 ; ( c ) e n h a n c e d b y s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g

a t 5 d y a d i c s c a l e s , k

1

= 5 k

2

= 4 k

3

= 3 k

4

= 2 k

5

= 1 ; ( d ) e n h a n c e d b y s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5

d y a d i c s c a l e s , k

1

= 2 k

2

= 6 k

3

= 1 2 k

4

= 6 k

5

= 2

1 8


20/22

( a ) ( b )

( c ) ( d )

F i g u r e 8 : E n h a n c e m e n t o f a n M R i m a g e . ( a ) A l o w - c o n t r a s t M R i m a g e o f a h u m a n h e a d ; ( b ) e n h a n c e d b y

c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5 d y a d i c s c a l e s , k = 5 ; ( c ) e n h a n c e d b y s c a l e v a r i a b l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5

d y a d i c s c a l e s , k

1

= 2 k

2

= k

3

= k

4

= k

5

= 5 ; ( d ) e n h a n c e d b y c o n s t a n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5 d y a d i c

s c a l e s w i t h p r e l t e r i n g b y a d e n o i s i n g a l g o r i t h m , k = 5

1 9


21/22

( a ) ( b )

( c ) ( d )

F i g u r e 9 : E n h a n c e m e n t o f a C T i m a g e . ( a ) A n X - r a y C T i m a g e o f a h u m a n h e a d ; ( b ) e n h a n c e d b y c o n s t a n t

m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a t 5 d y a d i c s c a l e s ; ( c ) e n h a n c e d b y g r a d i e n t - d e p e n d e n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a n d

r e q u a n t i z e d w i t h o u t c l i p p i n g ; ( d ) e n h a n c e d b y g r a d i e n t - d e p e n d e n t m u l t i s c a l e e d g e s t r e t c h i n g a n d r e q u a n t i z e d

w i t h c l i p p i n g a t b o t h h i g h a n d l o w e n d s o f t h e i n t e n s i t y v a l u e s .

2 0


22/22

( a )

( b )

F i g u r e 1 0 : T h e e e c t o f u n s h a r p m a s k i n g . ( a ) A p r o l e o f a s m o o t h e d s t e p e d g e ; ( b ) t h e r e s u l t o f u n s h a r p m a s k i n g

b y a L a p l a c i a n - o f - G a u s s i a n o p e r a t o r .

2 1

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