数学史话

七巧板的ldquo身世之谜rdquo王熙熙

(首都师范大学数学科学学院北京１０００４８)

　　七巧板是我国最古老的智力游戏玩具之

一被西方誉为ldquo东方魔板rdquo我国民间流传着

一首关于七巧板的歌谣

七巧板真好玩姑娘小子都喜欢正方形三角形七块小板拼图案摆只鸡摆条鱼摆只蝴蝶舞蹁跹摆小桥摆帆船摆朵荷花浮水面随心所欲翻花样动手动脑乐无边在中小学数学教学中七巧板有着非常巧

妙的运用借助七巧板的性质特点可以使学

生更加直观的认识生活中一些常见的几何图

形理解平移旋转等数学概念演示勾股定理

等数学定理那你知道七巧板的ldquo身世之谜rdquo

吗

七巧板的ldquo诞生rdquo经历了以下几个阶段

１七巧板的起源

(１)燕几图

在我国古代ldquo燕rdquo同ldquo宴rdquoldquo燕几rdquo也即ldquo宴

几rdquo是指用来宴请宾客的桌子燕几图由宋代

黄伯思发明黄伯思(１０７９－１１１８)字长睿今福建人

天资聪敏好古文奇字是当时颇有名气的文

人和书法家他设计了包含六块长方形案几的

ldquo燕几rdquo又名ldquo骰子桌rdquo这六块案几可以任意

分开组合从而拼成各种形状在招待宾客

时根据人数和菜肴的多少来摆放案几除了

用于宴席招待外燕几还可用来陈设古玩书籍

等也是三五人进行琴棋书画等才艺切磋的好

工具有一天朋友宣谷卿来黄伯思家中做客

他非常欣赏燕几的百变形态后来他建议黄伯

思增加一小块案几来增加变换的形态这样

燕几总共有７块改名叫ldquo七星rdquo公元１１９４年

黄伯思编定laquo燕几图raquo刊行laquo燕几图raquo首页中给出了燕几的形制包括

ldquo长桌一样二只纵长七尺可坐四人横广一

尺七寸五分脚高二尺八寸中桌一样二只纵

长五尺二寸五分可坐三人横广并脚同前小

桌一样三只纵长三尺五寸可坐二人横广并

脚同前rdquo

图１　laquo燕几图raquo首页

图２　瑶池

根 据 这 些 案

几尺寸间的关系

可以摆出 多 种 不

同的形状黄伯思

将所摆出 的 图 形

分为 ２０ 类 ４０ 种

详细记载于laquo燕几图raquo中并根据它们的用途取

了非常有诗意的名字如图２中的ldquo瑶池rdquo中

1048944７１1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

间空出来的地方可以用来摆放烛台火炉花

卉等大家围坐四周可一起取暖赏花等(２)蝶翅几

到了明代严澄根据燕几图的设计原理

大胆引进三角形和梯形设计了一套包含１３块组件的案几这１３块案几合起来像蝴蝶的

翅膀称之为ldquo蝶翅几rdquo蝶翅几中包含２个全等的梯形(长斜几)

２个全等的直角梯形(左半斜几)２个全等的

直角梯形(右半斜几)２个全等的大三角形

(大三斜几)４ 个全等的小三角形 (小三斜

几)１个更小的小三角形(称之为闺)

图３　蝶翅几的配置

图４　蝶翅几拼成的正方形

蝶翅几将燕几中的长方形基本形制发展

成以斜角形为基本形制的组合其分开组合的

图形更加丰富包括正方形长方形八边形

菱形马蹄形S 形等图形百余种同黄伯思一

样严澄也给由蝶翅几拼成的一些图形取了特

定的名字如单独的一只长斜几名为ldquo新月rdquo

五只可拼成ldquo轻燕rdquoldquo双鱼rdquo十二只可拼出ldquo桐

叶rdquo等等有些拼成规则几何形的则没有取名

图５　蝶翅几的形制示例

万历四十五年(１６１７年)明代戈汕编撰

laquo蝶几谱raquo其中包含山亭花卉蝴蝶等图形

１００多种(３)七巧板的问世

清初在laquo燕几图raquo和laquo蝶几谱raquo的基础上

包含２块大三角形１块中三角形２块小三角

形１块正方形和１块平行四边形的七巧板问

世了

图６　七巧板

关于七巧板的最早记载见于公元１８１３年养拙居士著的laquo七巧图合璧raquo书内的七巧

图形由桑下客绘制

1048944８１1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图７　laquo七巧图合璧raquo

这时的七巧板已不再主要作为案几应用而

是作为一种娱乐消遣的智力拼板游戏吴友如在

其风俗画中曾描述了妇女玩七巧板的情景

图８　吴友如风俗画中的妇女在玩七巧板(局部)１８９２年

由于这种玩具制作简单形态丰富所以

流传极广在北京故宫博物院现存的清朝宫廷

玩具中就有一副盛放在铜盒中的七巧板英

国剑桥大学的图书馆中存放着桑下客编的laquo七

巧新谱raquo藏本在七巧板之后更丰富复杂的拼板游戏大

量涌现其中具有代表性的是清末文人童叶庚

发明的益智图益智图由１５个组块组成故又

称ldquo十五巧rdquo

图９　十五巧板

２外国的七巧板

明清时期来华商人将在广州购买的七巧板

及其书籍带回国于是七巧板游戏很快便在日本

和欧洲流行外国的七巧板主要有以下几种(１)阿基米德的盒子

西方最古老的拼图游戏是ldquo阿基米德的盒

子rdquo(TheLoculusofArchimedes)由古希腊著

名数学家物理学家阿基米德发明并记载在

其著作laquo十四巧板raquo(laquoStomachionraquo)中laquo十四巧板raquo有两份手稿一份希腊语的于

１８９９年在君士坦丁堡发现另一份阿拉伯语的

可以追溯到１０世纪在laquo十四巧板raquo中阿基米

德利用一种类似七巧板的拼图游戏研究了如

何用１４块包含锐角三角形直角三角形钝角

三角形四边形以及五边形的组块来拼成一个

正方形

２００３年比尔1048944卡特(BillCutler)用计算机

程序算出一共有１７１５２种拼成正方形的方法

这些方法可以分成５３６类成为组合学的开端

图１０　十四巧板

(２)日本的七巧板

公元１８３９年日本民间便流传着laquo七巧图

合璧raquo的翻刻版日本的七巧板与中国略有不

同包含１个小三角形２个全等的大三角形１个正方形１个平行四边形１个等腰梯形和１个直角梯形

1048944９１1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

图１１　日本七巧板

(３)德国的多巧板

１８９１年德国工业家阿道夫1048944李希特博

士(AdolphRichter)所创办的玩具厂开始生产

中国七巧板之后李希特开始设计生产自己的

七巧板到１９世纪末他设计的七巧板种类达

到３６种之多包括三角形四边形六边形八

边形圆形椭圆形心形等故称之为ldquo多巧板rdquo

３七巧板中的数学

七巧板的结构巧妙隐含着非常多有趣的

数学问题是中学生学习平面几何图形以及勾

股定理等数学知识的有趣教学工具首先七巧板的制作中就包含着一定的数

学知识七巧板的制作非常简单你知道有哪

些方法吗

我们简单介绍两种制作七巧板的方法一

种是对一个大正方形进行如图所示的划分

图１２　七巧板的制作方法一

(１)作正方形 ABCD 的对角线ACBD相交于点G

(２)分别取CDBCDGBG 的中点F

EHI连接EF 交AG 延长线于J

(３)连接 HFIJ沿实线剪开即可得到

一副七巧板第二种方法是基于两个同样大小的正方

形纸板(１)将其中一个正方形沿对角线剪开形

成两个全等的等腰直角三角形

(２)另一个正方形中分别取 EFEH

FG 的中点LJK连接LJ

(３)过点LK 分别作EHEF 的平行线

相交于点I连接 HIGI

(４)沿实线部分剪开即可得到一副七巧板

图１３　七巧板的制作方法二

　　如果把剪出来的小正方形的边长设为１

那么七巧板中所有组块的边长只有１２２

２２四个值你能给出证明吗

同样地如果设小正方形的边长为１则７个组块之间的面积比为１∶２∶４∶８你能证明

吗

1048944０２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图１４　七巧板

　　４七巧板的应用

七巧板不仅在数学学习中起着非常重要

的作用在日常生活中也有很多妙用清中晚期出现了一些红木等贵重木材制

的七巧桌目前在苏州留园的揖峰轩和北京

颐和园的牌云殿中都可以看到清代的七巧桌

图１５　苏州留园的七巧桌

图１６　北京颐和园牌云殿的七巧桌

十九世纪末至二十世纪初由于人们对七

巧板的喜爱七巧的造型也用在了生活用品

中最常见的是七巧攒盘通常放置在一个正

方形的木盒中主要用来盛放招待客人的干果

和甜品清道光年间江西景德镇出现了瓷质

的七巧攒盘

图１７　七巧果盘

图１８　小七巧攒盘

(江西 景德镇清 道 光 (１８２１mdash

１８５０年)１９1049008７times１９1049008７times２1049008１厘米)

由于七巧板可以拼出很多形态各异的图

案可以丰富儿童的想像力所以七巧板可以

用于幼儿教育日本利用七巧板来测试智力(下转第２２页)

1048944１２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

３ －４ １

图１Ｇ２

　＋y　rarr　

y－１ y＋４ y－３

y－２ y y＋２

y＋３ y－４ y＋１

图１Ｇ３ (下转第２３页)

105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882(上接第２１页)

七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

1048944２２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

间空出来的地方可以用来摆放烛台火炉花

卉等大家围坐四周可一起取暖赏花等(２)蝶翅几

到了明代严澄根据燕几图的设计原理

大胆引进三角形和梯形设计了一套包含１３块组件的案几这１３块案几合起来像蝴蝶的

翅膀称之为ldquo蝶翅几rdquo蝶翅几中包含２个全等的梯形(长斜几)

２个全等的直角梯形(左半斜几)２个全等的

直角梯形(右半斜几)２个全等的大三角形

(大三斜几)４ 个全等的小三角形 (小三斜

几)１个更小的小三角形(称之为闺)

图３　蝶翅几的配置

图４　蝶翅几拼成的正方形

蝶翅几将燕几中的长方形基本形制发展

成以斜角形为基本形制的组合其分开组合的

图形更加丰富包括正方形长方形八边形

菱形马蹄形S 形等图形百余种同黄伯思一

样严澄也给由蝶翅几拼成的一些图形取了特

定的名字如单独的一只长斜几名为ldquo新月rdquo

五只可拼成ldquo轻燕rdquoldquo双鱼rdquo十二只可拼出ldquo桐

叶rdquo等等有些拼成规则几何形的则没有取名

图５　蝶翅几的形制示例

万历四十五年(１６１７年)明代戈汕编撰

laquo蝶几谱raquo其中包含山亭花卉蝴蝶等图形

１００多种(３)七巧板的问世

清初在laquo燕几图raquo和laquo蝶几谱raquo的基础上

包含２块大三角形１块中三角形２块小三角

形１块正方形和１块平行四边形的七巧板问

世了

图６　七巧板

关于七巧板的最早记载见于公元１８１３年养拙居士著的laquo七巧图合璧raquo书内的七巧

图形由桑下客绘制

1048944８１1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图７　laquo七巧图合璧raquo

这时的七巧板已不再主要作为案几应用而

是作为一种娱乐消遣的智力拼板游戏吴友如在

其风俗画中曾描述了妇女玩七巧板的情景

图８　吴友如风俗画中的妇女在玩七巧板(局部)１８９２年

由于这种玩具制作简单形态丰富所以

流传极广在北京故宫博物院现存的清朝宫廷

玩具中就有一副盛放在铜盒中的七巧板英

国剑桥大学的图书馆中存放着桑下客编的laquo七

巧新谱raquo藏本在七巧板之后更丰富复杂的拼板游戏大

量涌现其中具有代表性的是清末文人童叶庚

发明的益智图益智图由１５个组块组成故又

称ldquo十五巧rdquo

图９　十五巧板

２外国的七巧板

明清时期来华商人将在广州购买的七巧板

及其书籍带回国于是七巧板游戏很快便在日本

和欧洲流行外国的七巧板主要有以下几种(１)阿基米德的盒子

西方最古老的拼图游戏是ldquo阿基米德的盒

子rdquo(TheLoculusofArchimedes)由古希腊著

名数学家物理学家阿基米德发明并记载在

其著作laquo十四巧板raquo(laquoStomachionraquo)中laquo十四巧板raquo有两份手稿一份希腊语的于

１８９９年在君士坦丁堡发现另一份阿拉伯语的

可以追溯到１０世纪在laquo十四巧板raquo中阿基米

德利用一种类似七巧板的拼图游戏研究了如

何用１４块包含锐角三角形直角三角形钝角

三角形四边形以及五边形的组块来拼成一个

正方形

２００３年比尔1048944卡特(BillCutler)用计算机

程序算出一共有１７１５２种拼成正方形的方法

这些方法可以分成５３６类成为组合学的开端

图１０　十四巧板

(２)日本的七巧板

公元１８３９年日本民间便流传着laquo七巧图

合璧raquo的翻刻版日本的七巧板与中国略有不

同包含１个小三角形２个全等的大三角形１个正方形１个平行四边形１个等腰梯形和１个直角梯形

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图１１　日本七巧板

(３)德国的多巧板

１８９１年德国工业家阿道夫1048944李希特博

士(AdolphRichter)所创办的玩具厂开始生产

中国七巧板之后李希特开始设计生产自己的

七巧板到１９世纪末他设计的七巧板种类达

到３６种之多包括三角形四边形六边形八

边形圆形椭圆形心形等故称之为ldquo多巧板rdquo

３七巧板中的数学

七巧板的结构巧妙隐含着非常多有趣的

数学问题是中学生学习平面几何图形以及勾

股定理等数学知识的有趣教学工具首先七巧板的制作中就包含着一定的数

学知识七巧板的制作非常简单你知道有哪

些方法吗

我们简单介绍两种制作七巧板的方法一

种是对一个大正方形进行如图所示的划分

图１２　七巧板的制作方法一

(１)作正方形 ABCD 的对角线ACBD相交于点G

(２)分别取CDBCDGBG 的中点F

EHI连接EF 交AG 延长线于J

(３)连接 HFIJ沿实线剪开即可得到

一副七巧板第二种方法是基于两个同样大小的正方

形纸板(１)将其中一个正方形沿对角线剪开形

成两个全等的等腰直角三角形

(２)另一个正方形中分别取 EFEH

FG 的中点LJK连接LJ

(３)过点LK 分别作EHEF 的平行线

相交于点I连接 HIGI

(４)沿实线部分剪开即可得到一副七巧板

图１３　七巧板的制作方法二

　　如果把剪出来的小正方形的边长设为１

那么七巧板中所有组块的边长只有１２２

２２四个值你能给出证明吗

同样地如果设小正方形的边长为１则７个组块之间的面积比为１∶２∶４∶８你能证明

吗

1048944０２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图１４　七巧板

　　４七巧板的应用

七巧板不仅在数学学习中起着非常重要

的作用在日常生活中也有很多妙用清中晚期出现了一些红木等贵重木材制

的七巧桌目前在苏州留园的揖峰轩和北京

颐和园的牌云殿中都可以看到清代的七巧桌

图１５　苏州留园的七巧桌

图１６　北京颐和园牌云殿的七巧桌

十九世纪末至二十世纪初由于人们对七

巧板的喜爱七巧的造型也用在了生活用品

中最常见的是七巧攒盘通常放置在一个正

方形的木盒中主要用来盛放招待客人的干果

和甜品清道光年间江西景德镇出现了瓷质

的七巧攒盘

图１７　七巧果盘

图１８　小七巧攒盘

(江西 景德镇清 道 光 (１８２１mdash

１８５０年)１９1049008７times１９1049008７times２1049008１厘米)

由于七巧板可以拼出很多形态各异的图

案可以丰富儿童的想像力所以七巧板可以

用于幼儿教育日本利用七巧板来测试智力(下转第２２页)

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幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

３ －４ １

图１Ｇ２

　＋y　rarr　

y－１ y＋４ y－３

y－２ y y＋２

y＋３ y－４ y＋１

图１Ｇ３ (下转第２３页)

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七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

1048944２２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图７　laquo七巧图合璧raquo

这时的七巧板已不再主要作为案几应用而

是作为一种娱乐消遣的智力拼板游戏吴友如在

其风俗画中曾描述了妇女玩七巧板的情景

图８　吴友如风俗画中的妇女在玩七巧板(局部)１８９２年

由于这种玩具制作简单形态丰富所以

流传极广在北京故宫博物院现存的清朝宫廷

玩具中就有一副盛放在铜盒中的七巧板英

国剑桥大学的图书馆中存放着桑下客编的laquo七

巧新谱raquo藏本在七巧板之后更丰富复杂的拼板游戏大

量涌现其中具有代表性的是清末文人童叶庚

发明的益智图益智图由１５个组块组成故又

称ldquo十五巧rdquo

图９　十五巧板

２外国的七巧板

明清时期来华商人将在广州购买的七巧板

及其书籍带回国于是七巧板游戏很快便在日本

和欧洲流行外国的七巧板主要有以下几种(１)阿基米德的盒子

西方最古老的拼图游戏是ldquo阿基米德的盒

子rdquo(TheLoculusofArchimedes)由古希腊著

名数学家物理学家阿基米德发明并记载在

其著作laquo十四巧板raquo(laquoStomachionraquo)中laquo十四巧板raquo有两份手稿一份希腊语的于

１８９９年在君士坦丁堡发现另一份阿拉伯语的

可以追溯到１０世纪在laquo十四巧板raquo中阿基米

德利用一种类似七巧板的拼图游戏研究了如

何用１４块包含锐角三角形直角三角形钝角

三角形四边形以及五边形的组块来拼成一个

正方形

２００３年比尔1048944卡特(BillCutler)用计算机

程序算出一共有１７１５２种拼成正方形的方法

这些方法可以分成５３６类成为组合学的开端

图１０　十四巧板

(２)日本的七巧板

公元１８３９年日本民间便流传着laquo七巧图

合璧raquo的翻刻版日本的七巧板与中国略有不

同包含１个小三角形２个全等的大三角形１个正方形１个平行四边形１个等腰梯形和１个直角梯形

1048944９１1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

图１１　日本七巧板

(３)德国的多巧板

１８９１年德国工业家阿道夫1048944李希特博

士(AdolphRichter)所创办的玩具厂开始生产

中国七巧板之后李希特开始设计生产自己的

七巧板到１９世纪末他设计的七巧板种类达

到３６种之多包括三角形四边形六边形八

边形圆形椭圆形心形等故称之为ldquo多巧板rdquo

３七巧板中的数学

七巧板的结构巧妙隐含着非常多有趣的

数学问题是中学生学习平面几何图形以及勾

股定理等数学知识的有趣教学工具首先七巧板的制作中就包含着一定的数

学知识七巧板的制作非常简单你知道有哪

些方法吗

我们简单介绍两种制作七巧板的方法一

种是对一个大正方形进行如图所示的划分

图１２　七巧板的制作方法一

(１)作正方形 ABCD 的对角线ACBD相交于点G

(２)分别取CDBCDGBG 的中点F

EHI连接EF 交AG 延长线于J

(３)连接 HFIJ沿实线剪开即可得到

一副七巧板第二种方法是基于两个同样大小的正方

形纸板(１)将其中一个正方形沿对角线剪开形

成两个全等的等腰直角三角形

(２)另一个正方形中分别取 EFEH

FG 的中点LJK连接LJ

(３)过点LK 分别作EHEF 的平行线

相交于点I连接 HIGI

(４)沿实线部分剪开即可得到一副七巧板

图１３　七巧板的制作方法二

　　如果把剪出来的小正方形的边长设为１

那么七巧板中所有组块的边长只有１２２

２２四个值你能给出证明吗

同样地如果设小正方形的边长为１则７个组块之间的面积比为１∶２∶４∶８你能证明

吗

1048944０２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图１４　七巧板

　　４七巧板的应用

七巧板不仅在数学学习中起着非常重要

的作用在日常生活中也有很多妙用清中晚期出现了一些红木等贵重木材制

的七巧桌目前在苏州留园的揖峰轩和北京

颐和园的牌云殿中都可以看到清代的七巧桌

图１５　苏州留园的七巧桌

图１６　北京颐和园牌云殿的七巧桌

十九世纪末至二十世纪初由于人们对七

巧板的喜爱七巧的造型也用在了生活用品

中最常见的是七巧攒盘通常放置在一个正

方形的木盒中主要用来盛放招待客人的干果

和甜品清道光年间江西景德镇出现了瓷质

的七巧攒盘

图１７　七巧果盘

图１８　小七巧攒盘

(江西 景德镇清 道 光 (１８２１mdash

１８５０年)１９1049008７times１９1049008７times２1049008１厘米)

由于七巧板可以拼出很多形态各异的图

案可以丰富儿童的想像力所以七巧板可以

用于幼儿教育日本利用七巧板来测试智力(下转第２２页)

1048944１２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

３ －４ １

图１Ｇ２

　＋y　rarr　

y－１ y＋４ y－３

y－２ y y＋２

y＋３ y－４ y＋１

图１Ｇ３ (下转第２３页)

105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882105088210508821050882(上接第２１页)

七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

1048944２２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

图１１　日本七巧板

(３)德国的多巧板

１８９１年德国工业家阿道夫1048944李希特博

士(AdolphRichter)所创办的玩具厂开始生产

中国七巧板之后李希特开始设计生产自己的

七巧板到１９世纪末他设计的七巧板种类达

到３６种之多包括三角形四边形六边形八

边形圆形椭圆形心形等故称之为ldquo多巧板rdquo

３七巧板中的数学

七巧板的结构巧妙隐含着非常多有趣的

数学问题是中学生学习平面几何图形以及勾

股定理等数学知识的有趣教学工具首先七巧板的制作中就包含着一定的数

学知识七巧板的制作非常简单你知道有哪

些方法吗

我们简单介绍两种制作七巧板的方法一

种是对一个大正方形进行如图所示的划分

图１２　七巧板的制作方法一

(１)作正方形 ABCD 的对角线ACBD相交于点G

(２)分别取CDBCDGBG 的中点F

EHI连接EF 交AG 延长线于J

(３)连接 HFIJ沿实线剪开即可得到

一副七巧板第二种方法是基于两个同样大小的正方

形纸板(１)将其中一个正方形沿对角线剪开形

成两个全等的等腰直角三角形

(２)另一个正方形中分别取 EFEH

FG 的中点LJK连接LJ

(３)过点LK 分别作EHEF 的平行线

相交于点I连接 HIGI

(４)沿实线部分剪开即可得到一副七巧板

图１３　七巧板的制作方法二

　　如果把剪出来的小正方形的边长设为１

那么七巧板中所有组块的边长只有１２２

２２四个值你能给出证明吗

同样地如果设小正方形的边长为１则７个组块之间的面积比为１∶２∶４∶８你能证明

吗

1048944０２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图１４　七巧板

　　４七巧板的应用

七巧板不仅在数学学习中起着非常重要

的作用在日常生活中也有很多妙用清中晚期出现了一些红木等贵重木材制

的七巧桌目前在苏州留园的揖峰轩和北京

颐和园的牌云殿中都可以看到清代的七巧桌

图１５　苏州留园的七巧桌

图１６　北京颐和园牌云殿的七巧桌

十九世纪末至二十世纪初由于人们对七

巧板的喜爱七巧的造型也用在了生活用品

中最常见的是七巧攒盘通常放置在一个正

方形的木盒中主要用来盛放招待客人的干果

和甜品清道光年间江西景德镇出现了瓷质

的七巧攒盘

图１７　七巧果盘

图１８　小七巧攒盘

(江西 景德镇清 道 光 (１８２１mdash

１８５０年)１９1049008７times１９1049008７times２1049008１厘米)

由于七巧板可以拼出很多形态各异的图

案可以丰富儿童的想像力所以七巧板可以

用于幼儿教育日本利用七巧板来测试智力(下转第２２页)

1048944１２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

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图１Ｇ２

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图１Ｇ３ (下转第２３页)

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七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

1048944２２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

数学史话

图１４　七巧板

　　４七巧板的应用

七巧板不仅在数学学习中起着非常重要

的作用在日常生活中也有很多妙用清中晚期出现了一些红木等贵重木材制

的七巧桌目前在苏州留园的揖峰轩和北京

颐和园的牌云殿中都可以看到清代的七巧桌

图１５　苏州留园的七巧桌

图１６　北京颐和园牌云殿的七巧桌

十九世纪末至二十世纪初由于人们对七

巧板的喜爱七巧的造型也用在了生活用品

中最常见的是七巧攒盘通常放置在一个正

方形的木盒中主要用来盛放招待客人的干果

和甜品清道光年间江西景德镇出现了瓷质

的七巧攒盘

图１７　七巧果盘

图１８　小七巧攒盘

(江西 景德镇清 道 光 (１８２１mdash

１８５０年)１９1049008７times１９1049008７times２1049008１厘米)

由于七巧板可以拼出很多形态各异的图

案可以丰富儿童的想像力所以七巧板可以

用于幼儿教育日本利用七巧板来测试智力(下转第２２页)

1048944１２1048944网址zxsscbptcnkinet　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱zxss２４８６１６３com

幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

３ －４ １

图１Ｇ２

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y－１ y＋４ y－３

y－２ y y＋２

y＋３ y－４ y＋１

图１Ｇ３ (下转第２３页)

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七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

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幻方与代数恒等式张在明１高晓岚２

(１玉溪师范学院云南 玉溪６５３１００２玉溪市高仓中学云南 玉溪６５３１００)

　　幻方(本文主要介绍的是３阶幻方即中

国人首先发现的世界上第一个幻方laquo洛书raquo)

有许多奇妙的特性我国著名的科普作家谈祥

柏老先生有过精彩的介绍笔者还建议读者可

以查阅[美]李学数教授编著的laquo数学和数学家

的故事raquo第７册第３章那里对３阶幻方和等

幂和有着较详尽的论述事实上依托幻方还可

以引导出许多代数恒等式下面就对此作初步

讨论为此先对３阶幻方作对称化的技术处

理再加上未知元y(见下图１Ｇ１至１Ｇ３)

４ ９ ２

３ ５ ７

８ １ ６

图１Ｇ１

　－５　rarr　

－１ ４ －３

－２ ０ ２

３ －４ １

图１Ｇ２

　＋y　rarr　

y－１ y＋４ y－３

y－２ y y＋２

y＋３ y－４ y＋１

图１Ｇ３ (下转第２３页)

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七巧板也可以用作传递信息的工具荷兰

著名汉学家高罗佩(原名罗伯特1048944梵1048944克利

克)在他的著作laquo狄仁杰断案传奇raquo中成功地塑

造了一名擅长用七巧板表达自己想法的哑童

在哑童被毒害后他留下的七巧图成为狄仁杰

断案的重要线索

图１９　根据七巧板设计的书架

七巧板也可用于商业活动许多家具都是

根据七巧板的形制设计的如图１９总之七巧

板在我们的日常生活中有着非常广泛的应用

七巧板的设计巧妙制作简单形态多变

是我们直观学习平面几何知识的重要资源了

解七巧板的ldquo身世之谜rdquo传承中华民族优秀的

数学文化是我们中学生的必修课参考文献

[１]徐锋老北京民间玩具歌谣[M]当代中国

出版社２００２３２[２]邓广铭程应镠中国历史大辞典(宋史卷)

[M]上海辞书出版社１９８４２４[３]吴鹤龄七巧板九连环和华容道mdashmdashmdash中国

古典智力游戏三绝[M]北京科学出版

社２００４７[４]黄飞英黄建东话说七巧板[J]文明的脚

步２００１６[５]陈敬Logo语言与七巧板[M]浙江少年

儿童出版社２００２[６]余音１００个智力小游戏[M]中国少年儿

童出版社１９９７(责审　周春荔)

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